Didaktik der Algebra und Funktionenlehre 3

Prof. Dr. Kristina ReissLehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Universität Augsburg

Wintersemester 2004/05

Gleichungen und

Ungleichungen

Problem

„Eine gegebene Strecke ist so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist.

Skizze

M

F=M2

m

m

a

F=am

Gleichung

am = M2

a = M+m(M+m)•m = M2

(M/m)2 - M/m - 1 = 0

Lösung

M/m = (1±5)/2

http://www.kmk.org/aktuell/home1.htm

Lehrplan Realschule

Lehrplan Realschule

M 7.3 Terme und Gleichungen

Beim Diskutieren von Abhngigkeiten und Begrnden von Sachverhalten stellen die Schler fest, dass das

Umformen von Termen bzw. das Lsen von Gleichungen ntig ist. Im Sinne kumulativen Lernens ben sie die

grundlegenden Techniken ein, die sie im weiteren Verlauf des Schuljahrs und in den nachfolgenden

Jahrgangsstufen vertiefen.

M 7.3.2 Lsen von Gleichungen (ca. 9 Std.)

Das Mathematisieren von Sachzusammenhngen fhrt hufig zu linearen Gleichungen mit einer Variablen. Die

Schler gewinnen Verstndnis fr das systematische Lsen dieser Gleichungen und lernen, einen

Lsungsalgorithmus sicher anzuwenden. Dabei wird ihnen bewusst, dass sie die durch das Kalkl gewonnene

Lsung kritisch reflektieren mssen.

- Begriff der linearen Gleichung mit einer Variablen

- Aufstellen und Lsen solcher Gleichungen

M 7.6 Vertiefen der Algebra (ca. 12 Std.)

Die Schler mathematisieren erneut Sachzusammenhnge durch Terme oder Gleichungen. Dabei whlen sie die der

jeweiligen Problemstellung angemessene Strategie, erkennen Sinn und Nutzen der bereits erlernten Techniken und

vertiefen diese in vielfltigen Anwendungen. Um f lexibel einsetzbare Grundlagen zu entwickeln, steht vor allem die

Verknpfung der verschiedenen erlernten Kenntnisse und Methoden im Vordergrund. Die Schler verbessern ihre

Fhigkeit, mit Hilfe von Termen bzw. Gleichungen zu argumentieren und Zusammenhnge zu verbalisieren. Dabei

wiederholen und vertiefen sie gezielt den Umgang mit den bisher bekannten Gr§en und deren Einheiten.

Lehrplan für die Klasse 7 (G8)

Lehrplanentwurf für die Klassen 8 und 9 (Gymnasium)

Lehrplanentwurf für die Klasse10 (Gymnasium)

Gleichung

• zentraler Begriff in der Mathematik bis zu

Beginn des 20. Jahrhunderts

• bedeutende Rolle in der Algebra

• Mathematik als Theorie der Gleichungen

Viele bedeutende Sätze in der Mathematik

können dem Lösen bzw. der Gültigkeit von

Gleichungen zugeordnet werden.

Beispiele:

• Satz von Fermat-Wiles

• Chinesischer Restsatz

• Fundamentalsatz der Algebra

Satz von Fermat-Wiles

Die Gleichung xn+yn=zn hat für die ganzen Zahlen x,y,z und eine natürliche Zahl n≥3 nur triviale Lösungen.

Die große Bedeutung von Gleichungen als

Ausdrucksmittel in der Mathematik wird deutlich,

wenn man die Verwendung von Gleichungen in

verschiedenen Teilgebieten betrachtet.

Beispiele sind:

• Zahlen

• Terme

• Funktionen

Zahlen

Für den Bereich der Zahlen gilt, dass grund-

legende Eigenschaften der Zahlbereiche formal

durch Gleichungen beschrieben werden

(Kommutativgesetz, Assoziativgesetz ...).

Auch Beziehungen zwischen Rechenoperationen

werden durch Gleichung ausgedrückt:

a + b = c a = b - c.

Terme

Termumformungen basieren auf Gleichungen. Hier

handelt es sich um allgemeingültige Gleichungen,

bei denen beide Seiten Terme sind.

Terme ergeben sich häufig als Rechenschemata, die

durch Umformungen zu Formeln werden. Formeln

sind wiederum ein anderer Typ von Gleichungen.

Funktionen

Eigenschaften von Funktionen werden ebenfalls

häufig durch Gleichungen ausgedrückt, so z.B. die

Symmetrie zur y-Achse: f(x) = f(-x).

Aber auch die Verwendung von Funktionen liefert

Gleichungen (z.B. bei der Nullstellenberechnung).

Aspekte zum Umgang mit Gleichungen im

Unterricht sind

• Lernen von Algorithmen für Gleichungen,• Umformen von Gleichungen,• Lösen von Sachaufgaben.

Bei den Algorithmen für Gleichungen geht es vor

allem um Algorithmen zum Gleichungslösen.

Ein schnelles und sicheres Lösen von

Gleichungen beruht auf einer algorithmischen

Lösungsstrategie.

Das sichere Beherrschen eines Algorithmus setzt

verschiedene, hierarchisch geordnete Fähigkeiten

voraus. Beim Lösen von linearen Gleichungen

beispielsweise sind dies Kenntnisse über

• globale Vereinfachungsstrategien für lineare Gleichungen,

• Äquivalenzumformungen für Gleichungen,• Termumformungen,• Grundrechenarten.

Das Entwickeln von Algorithmen zur Lösung von

Klassen bestimmter Aufgaben ist eine

mathematisch kreative Leistung. Die Fähigkeit zur

Algorithmisierung ist von großer Bedeutung und ist

Ziel des Mathematikunterrichts.

Demgegenüber ist eine Überbetonung des

algorithmischen Arbeitens zu vermeiden, da

dadurch Problemlösefähigkeiten nicht gefördert

werden. Algorithmisches Arbeiten dient vor allem

dazu, bei Problemlöseaufgaben Teile des Problems

ohne großen Aufwand zu bearbeiten und somit den

Kern des Problems im Auge zu behalten.

Umformen von Gleichungen

• Termumformungen, bei denen beide Seiten der

Gleichung unabhängig voneinander und• Äquivalenzumformungen von Gleichungen, bei

denen beide Seiten abhängig voneinander

umgeformt werden.

Äquivalenzumformung: Waagemodell

Nach dem Waagemodell kann man auf beiden

Seiten der Gleichung das Gleiche tun, so wie

man bei einer (Balken-)Waage im Gleichgewicht

auf beiden Waagschalen gleiche Gewichts-

veränderungen vornehmen kann, ohne dass die

Waage aus dem Gleichgewicht gerät.

Nachteil: z.B. die Multiplikation einer Gleichung

mit negativen Zahlen kann nicht erklärt werden.

Äquivalenzumformung:

Elementarumformungsregeln

Bei Elementarumformungsregeln handelt es

sich um zwei grundlegende Regeln:

additiv: A + B = C A = C - B,

multiplikativ: A · B = C A = C : B (B 0).

Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Real-schulen 7. Frankfurt: Diesterweg.

Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 7. Frankfurt: Diesterweg.

Frau Schön ist dreimal so alt wie ihre Tochter Steffi. In 4 Jahren wird sie achtmal so alt sein, wie ihre Tochter vor 7 Jahren war. Wie alt sind beide jetzt?

Mischt man 5 Liter Obstsaft mit 61% Fruchtgehalt mit 9 Litern Obstsaft, der einen anderen Fruchtgehalt hat, so erhält man Obstsaft mit einem Fruchtgehalt von 70%. Welchen Fruchtgehalt hat die zweite Sorte Obstsaft?

Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Anwendungsaufgaben

Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Lösen von Sachaufgaben

Sachaufgaben/Textaufgaben sind i.a. bei Schülern

besonders unbeliebt. Das Hauptproblem besteht

dabei in der Erfassung der relevanten Informationen

und dem Aufstellen einer Gleichung. Das Lösen der

Gleichung dagegen bereitet dann weniger Probleme.

Viele Sachaufgaben, die im Mathematikunterricht

behandelt werden, sind sog. „eingekleidete

Aufgaben“, deren Inhalt in der Regel keinen Sinn

gibt. Dennoch haben einige dieser Aufgaben einen

Knobelcharakter, der durchaus motivierend wirken

kann.

Beispiel:

Eine fünfköpfige Familie ist zusammen 142 Jahre

alt. Die Tochter ist halb so alt wie die Mutter, die

um vier Jahre jünger ist als der Vater. Der Sohn

ist um vier Jahre jünger als seine Schwester und

um ein Jahr älter als sein Bruder. Wie alt sind die

einzelnen Personen?

Forderungen

Sachaufgaben sollen:

• echte Umweltprobleme der Schüler ansprechen;• einfach und klar in den Formulierungen sein, so

dass Angaben und Problem unmittelbar zu erkennen sind;

• Mathematisierungsprozesse einleiten können, die ohne mathematische Hilfsmittel nicht oder nur schwer lösbar sind.

Notwendige Fähigkeiten zur Bearbeitung von

Textaufgaben:

nach Vollrath, 1994

Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 7. Frankfurt: Diesterweg.

Bei den Schülern zeigen sich im wesentlichen

zwei verschiedene Strategien beim Bearbeiten

von Textaufgaben. Dabei liegt der Fokus

- auf der gesuchten Größe,

- auf Beziehungen zwischen Größen.

Fokus auf der gesuchten Größe:

Ein Schüler

- ermittelt und benennt die gesuchte Größe,

- setzt damit Terme zusammen,

- setzt die Terme in Relation.

Beispiel, bei dem sich diese Strategie anbietet:

Zwei Zahlen unterscheiden sich um 2. Vermehrt

man jede der beiden Zahlen um 3, so nimmt ihr

Produkt um 45 zu. Wie heißen die beiden Zahlen?

Fokus auf Beziehungen zwischen Größen:

Ein Schüler

- erkennt eine Relation, die der Aufgabe

zugrunde liegt,

- setzt Terme in Relation zueinander,

- drückt die Relation durch Terme aus.

Beispiel, bei dem sich diese Strategie anbietet:

Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang

von 15 cm. Jeder Schenkel ist doppelt so lang wie

die Grundlinie. Wie lang sind die Seiten?

Zum Teil sind die Aufgabentexte übersetzungs-

freundlich:

Die Zahl der Studenten ist sechsmal so groß wie

die Zahl der Professoren.

Zum Teil sind sie aber auch tückisch:

Auf einen Professor kommen sechs Studenten.

Den Übersetzungsvorgang beschreibt Malle (1993)

in drei Schritten:

1. Vom Text zur konkret-anschaulichen

Wissensstruktur,

2. Von der konkret-anschaulichen Wissensstruktur

zur abstrakt-formalen Wissensstruktur,

3. Von der abstrakt-formalen Wissensstruktur zur

Formel.

Jeder Schritt ist dabei fehleranfällig.

Nach der (mathematischen) Bestimmung einer

Lösung zu einer Textaufgabe, ist es

zweckmäßig eine Probe durchzuführen. Dabei

wird geprüft, ob der Text mit der gefundenen

Größe stimmig ist.

Erweiterungen

(in Anlehnung an die Lehrpläne der

Klassenstufen 7 bis 10)

Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 7. Frankfurt: Diesterweg.

Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Griesel, H. & Postel, H. (2000). Mathematik heute 9. Hannover: Schroedel.

Griesel, H. & Postel, H. (2000). Mathematik heute 9. Hannover: Schroedel.

Griesel, H. & Postel, H. (2000). Elemente der Mathematik 10. Hannover: Schroedel.

Konvergente Formulierung Offene Formulierung

Berechne .12,2,6,3 2735

Berechne einige Potenzen, die dirgefallen!

Berechne einige Potenzen mit einemdreistelligen Wert!

Berechne .1712 Bilde Produkte, deren Wert nahe bei 200liegt.

Berechne: ]2:)89[(24

Stelle aus den Zahlen 24, 9, 8 und 5verschiedene Terme auf und berechne

sie.

Gib mit diesen Zahlen drei Terme an, beidenen das Ergebnis zwischen 0 und 10

liegt.

Finde ebenso drei Terme mit einemErgebnis zwischen 100 und 110.

Erfinde Rechenaufgaben mit Klammern.

Ulm, V. (2004). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe für individuelle Lernwege öffnen. Seelze: Kallmeyer.

Ulm, V. (2004). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe für individuelle Lernwege öffnen. Seelze: Kallmeyer.

Lse die Gleichung 7x Š 11 = 24.

Stelle einige Gleichungen mit der Lsungx = 5 auf.

Stelle Exponentialgleichungen mit derLsung x = 5 auf.

Stelle quadratische Gleichungen mit denLsungen 1 und 5 auf. Beschreibe alle

hierzu mglichen quadratischenGleichungen.

Erfinde zur Gleichung 7x Š 11 = 24 eineTextaufgabe.

Lse das Gleichungssystem:1. 4x Š y = 12. x + 2y = 7

Stelle verschiedene lineareGleichungssysteme auf, die mit dem

Additionsverfahren, demGleichsetzungsverfahren bzw. dem

Einsetzungsverfahren besonders gutlsbar sind (und die Lsungsmenge

{(1;3)} haben).

Ein Hase frisst an 10 Tagen 2 kg 500 gFutter. Wie viel frisst er im Schnitt pro

Tag?

Schreibe eine Textaufgabe, in der 2 kg500g und 10 Tage vorkommen. Lse

dann diese Textaufgabe.

Konvergente Formulierung Offene Formulierung

Ulm, V. (2004). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe für individuelle Lernwege öffnen. Seelze: Kallmeyer.

Die Backstreet Boys

Die Backstreet Boys waren 1998 zusammen 107 Jahre alt. Kevin war ein Jahrälter als Brian und Howie. Nick war sechs Jahre jünger und A. J. fünf Jahrejünger als Kevin. Wie alt war jeder?

Max der Ver gessliche

Max will wissen, wie viel sein Kuli gekostet hat, den er zusammen mit einigenanderen Sachen gekauft hat. Doch er weiß nur noch, dass dieser halb so teuerwar wie der Füller. Und der Füller, erinnert er sich, hat 2 DM mehr gekostet alsder Stift. Der Stift, das weiß er noch, war so teuer wie das Heft. Das Heft, dasBuch und die Mappe haben zusammen 20 DM gekostet. Das Buch war um 4DM teurer als das Heft. Die Mappe hat 4 DM gekostet.

Der Weihnachtsmann

Der Weihnachtsmann hat an Weihnachten viel zu tun, also hat er einen Helfer.Weihnachtsmann A ist grad in Finnland und will zurück zum Nordpol. Um 19Uhr startet er seine 1120 km lange Reise mit 25 km/h zum Nordpol.Weihnachtsmann B ist am Nordpol und will in Finnland weiter machen. Erstartet auch um 19 Uhr und fährt mit 35 km/h. Wann treffen sie sich?

Mathegeschichten (Klasse 8)