Post on 27-Sep-2020
Mathematik macht Freu(n)de AB – Quadratische Funktionen
Eine Funktion f mit Funktionsgleichung der Form
f(x) = a · x2 + b · x + c mit a 6= 0
nennt man quadratische Funktion.
Quadratische Funktionen
Gegeben ist die quadratische Funktion f mit
f(x) = x2 − 2 · x− 3.
Ergänze die fehlenden Einträge in der Wertetabelle.
x −2 −1 0 1 2 3 4
f(x) 5 0 −3 −4 −3 0 5
Skizziere rechts den Funktionsgraphen.Der Funktionsgraph ist eine Parabel.Der Extrempunkt (1 | −4) ist der Scheitelpunkt der Parabel.
Scheitelpunkt
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = (x− 1)2 − 4.
An welcher Stelle x ist der Funktionswert f(x) am kleinsten?Wie groß ist dieser kleinste mögliche Funktionswert?
Es gilt (x− 1)2 ≥ 0 und (x− 1)2 = 0, falls x = 1 ist.
An der Stelle x = 1 ist also der kleinste Funktionswert f(1) = 0− 4 = −4.
Minus mal minus
Jede quadratische Funktion kann auch in der sogenannten Scheitelpunktform
f(x) = a · (x− xS)2 + yS
dargestellt werden. Erkläre, warum der Funktionsgraph den Scheitelpunkt S = (xS | yS) hat.Es gilt (x− xS)2 ≥ 0 und (x− xS)2 = 0, falls x = xS ist.
f(xS) = a · 02 + yS = yS
Streiche jeweils die falsche Aussage durch:
1) Wenn a > 0 ist, dann ist yS der kleinste/größte Funktionswert von f .Die Parabel ist dann nach oben/unten geöffnet.
2) Wenn a < 0 ist, dann ist yS der kleinste/größte Funktionswert von f .Die Parabel ist dann nach oben/unten geöffnet.
3) Je größer |a | ist, desto steiler/flacher ist die Parabel.
Scheitelpunktform
Datum: 21. März 2020
Mathematik macht Freu(n)de AB – Quadratische Funktionen
Ordne den Funktionsgleichungen den entsprechenden Funktionsgraphen zu.
f1(x) = x2 − 4 B
f2(x) = 0,3 · (x− 2)2 + 2 F
f3(x) = 2 · (x− 3)2 − 2 A
f4(x) = −2 · (x− 3)2 + 1 E
f5(x) = −0,5 · (x + 1)2 + 2 C
f6(x) = −x2 + 4 D
A B C
D E F
Funktionsgleichung → Funktionsgraph
Erinnere dich an die Binomischen Formeln Mehr dazu findest du auf dem Arbeitsblatt – Pascalsches Dreieck I.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 und (a− b)2 = a2 − 2 · a · b + b2.
Binomische Formeln
Wandle die quadratische Funktion f mit Scheitelpunktform
f(x) = (x− 1)2 − 4
in die Polynomform f(x) = a · x2 + b · x + c um.
f(x) = x2 − 2 · x + 1− 4 = x2 − 2 · x− 3
Scheitelpunktform → Polynomform
Beim quadratischen Ergänzen verwenden wir die Binomischen Formeln „rückwärts“:
x2 + 6 · x = x2 + 2 · x · 3 = x2 + 2 · x · 3 + 32 − 32 = (x + 3)2 − 9
Ergänze quadratisch:
x2 − 12 · x = x2 − 2 · x · 6 = x2 − 2 · x + 62 − 62 = (x− 6)2 − 36
Quadratisches Ergänzen
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Mathematik macht Freu(n)de AB – Quadratische Funktionen
Die Polynomform f(x) = a · x2 + b · x + c einer quadratischen Funktion f kannst duimmer mit den gleichen Schritten in die Scheitelpunktform f(x) = a · (x− xS)2 + yS umwandeln.Führe die folgenden Schritte für die Funktion f mit f(x) = 5 · x2 − 30 · x + 3 durch.
1) Beim Term a · x2 + b · x den Koeffizienten a herausheben:
f(x) = 5 · [x2 − 6 · x] + 3
2) Den Term x2 + ba · x in der Klammer quadratisch ergänzen:
f(x) = 5 ·[x2 − 2 · x · 3 + 32 − 32
]+ 3 = 5 ·
[(x− 3)2 − 9
]+ 3
3) Die äußere Klammer ausmultiplizieren und vereinfachen:
f(x) = 5 · (x− 3)2 − 45 + 3 = 5 · (x− 3)2 − 42
Polynomform → Scheitelpunktform
Die Flugbahn eines Tennisballs kann näherungsweise durch den Graphen einer quadratischen Funktion hbeschrieben werden:
h(x) = −0,01 · x2 + b · x + c
x . . . horizontal zurückgelegte Wegstrecke in mh(x) . . . Höhe über dem Boden an der Stelle x in m
1) Der Tennisball wird 40 cm über dem Boden abgeschlagen und landet in 20 m horizontaler Entfernungam Boden. Ermittle die Koeffizienten b und c.
2) Berechne den höchsten Punkt der Flugkurve.
1) h(0) = 0,4 =⇒ c = 0,4
h(20) = 0 =⇒ −0,01 · 202 + b · 20 + 0,4 = 0 =⇒ b = 0,18
2) h(x) = −0,01 · x2 + 0,18 · x + 0,4 = −0,01 · [x2 − 18 · x] + 0,4 == −0,01 · [(x− 9)2 − 81] + 0,4 = −0,01 · (x− 9)2 + 1,21
Der höchste Punkt der Flugkurve ist der Scheitelpunkt (9 m | 1,21 m).
Wurfparabel
Der Scheitelpunkt S und der Punkt P rechts am Graphender quadratischen Funktion f haben ganzzahlige Koordinaten.Ermittle die Funktionsgleichung von f in Scheitelpunktform.
f(x) = a · (x− xS)2 + yS
S = (−2 | −4) =⇒ f(x) = a · (x + 2)2 − 4
P = (0 | −2) =⇒ f(0) = −2 =⇒ a · 22 − 4 = −2 =⇒ a = 0,5
=⇒ f(x) = 0,5 · (x + 2)2 − 4
Funktionsgraph → Scheitelpunktform
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Mathematik macht Freu(n)de AB – Quadratische Funktionen
Die Graphen der quadratischen Funktionen f und g mit
f(x) = 0,25 · x2 bzw. g(x) = 0,25 · x2 + 3
sind rechts dargestellt. Es gilt: g(x) = f(x) + 3.
Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f
um 3 Einheiten nach oben.
Markiere Punkte auf den beiden Graphen, die einander unterdieser Verschiebung entsprechen.
Vertikale Verschiebung
x f(x)
−3 9
−2 4
−1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
x g(x)
−5 9
−4 4
−3 1
−2 0
−1 1
0 4
1 9
Die Graphen der quadratischenFunktionen f und g mit
f(x) = x2 bzw. g(x) = (x+2)2
sind rechts dargestellt.
Vervollständige die Wertetabellen.Was fällt dir auf?
Es gilt: g(x) = f(x + 2).
Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f um 2 E. nach links.
Horizontale Verschiebung
x 7→ f(x) + d mit d > 0 verschiebt den Graphen von f um d Einheiten nach oben.
x 7→ f(x)− d mit d > 0 verschiebt den Graphen von f um d Einheiten nach unten.
x 7→ f(x + c) mit c > 0 verschiebt den Graphen von f um c Einheiten nach links.
x 7→ f(x− c) mit c > 0 verschiebt den Graphen von f um c Einheiten nach rechts.Diese Aussagen stimmen für alle Funktionen f : R → R. Mehr dazu findest du auf dem Arbeitsblatt – Funktionsgraphen.
Links, rechts, oben oder unten?
Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion g mit g(x) = a · x2 ist (0 | 0).
Wir verschieben den Graphen von g um xS Einheiten nach rechtsund um yS Einheiten nach oben:
g(x− xS) + yS = a · (x− xS)2 + yS
Die quadratische Funktion f mit
f(x) = a · (x− xS)2 + yS
hat ihren Scheitel also im Punkt S = (xS | yS).
Scheitelpunktform grafisch
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