Post on 06-Apr-2015
Harmonische SchwingungenHarmonische Schwingungen
Harmonische SchwingungenHarmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionaleRückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt.
Harmonische SchwingungenHarmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionaleRückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt.
Man nennt sie harmonische Oszillatoren.
SW02.1 Federpendel.nb SW02.2 Gaspendel.nb SW02.3 Fadenpendel.nbSW02.4 Schüsselpendel.nb
Harmonische SchwingungenHarmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionaleRückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt.
d2fdt2
Jede DGL der Form
Man nennt sie harmonische Oszillatoren.
+ K f = 0 (wobei K > 0)
Harmonische SchwingungenHarmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionaleRückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt.
d2fdt2
Jede DGL der Form
Man nennt sie harmonische Oszillatoren.
+ K f = 0 (wobei K > 0)
führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin (t - t0) ^
Harmonische SchwingungenHarmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionaleRückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt.
d2fdt2
Jede DGL der Form
Man nennt sie harmonische Oszillatoren.
+ K f = 0 (wobei K > 0)
führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin (t - t0) mit = K ^
Harmonische SchwingungenHarmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionaleRückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt.
d2fdt2
Jede DGL der Form
Man nennt sie harmonische Oszillatoren.
+ K f = 0 (wobei K > 0)
führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin (t - t0) mit = K ^
Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist.
Harmonische SchwingungenHarmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionaleRückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt.
d2fdt2
Jede DGL der Form
Man nennt sie harmonische Oszillatoren.
+ K f = 0 (wobei K > 0)
führt auf eine harmonische Schwingung ^
Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist.
Hookesches Gesetz: F = -D s
f(t) = f sin (t - t0) mit = K
Harmonische SchwingungenHarmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionaleRückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt.
d2fdt2
Jede DGL der Form
Man nennt sie harmonische Oszillatoren.
+ K f = 0 (wobei K > 0)
führt auf eine harmonische Schwingung ^
Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist.
Hookesches Gesetz: F = -D s
genauer: F = -D1s - D2s2 - D3s3 - ...
f(t) = f sin (t - t0) mit = K
Harmonische SchwingungenHarmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionaleRückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt.
d2fdt2
Jede DGL der Form
Man nennt sie harmonische Oszillatoren.
+ K f = 0 (wobei K > 0)
führt auf eine harmonische Schwingung ^
Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist.
Hookesches Gesetz: F = -D s
genauer: F = -D1s - D2s2 - D3s3 - ...
Dn enthält den Faktor 1/In, sodaß für s << l alle höheren Potenzen von s
vernachlässigt werden können.
f(t) = f sin (t - t0) mit = K
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
m
s
F
l
mg
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
m
s
F
l
mg
d2sdt2
F = m
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
m
s
F
l
mg
d2sdt2
F = m s = l
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
m
s
F
l
mg
d2sdt2
F = m = ml d2dt2 s = l
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
m
s
F
l
mg
d2sdt2
F = m = ml
F = -mg sin
d2dt2 s = l
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
d2sdt2
F = m = ml
F = -mg sin
d2dt2
-mg sin = ml d2
dt2
m
s
F
l
mg
s = l
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
m
s
l
mg
d2sdt2
F = m = ml
F = -mg sin
d2dt2
-mg sin = ml d2
dt2 sin
= s/l
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
d2sdt2
F = m = ml
F = -mg sin
d2dt2
-mg sin = ml d2
dt2 sin
l + g = 0 d2dt2
m
s
F
l
mg
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
d2sdt2
F = m = ml
F = -mg sin
d2dt2
-mg sin = ml d2
dt2 sin
l + g = 0 d2dt2
+ = 0 d2dt2
g l
m
s
F
l
mg
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
d2sdt2
F = m = ml
F = -mg sin
d2dt2
-mg sin = ml d2
dt2
l + g = 0 d2dt2
+ = 0 d2dt2
g
(t) = sin (t - t0) ^
m
s
F
l
mg
l
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
d2sdt2
F = m = ml
F = -mg sin
d2dt2
-mg sin = ml d2
dt2
l + g = 0 d2dt2
+ = 0 d2dt2
g
(t) = sin (t - t0) ^
=g
l
m
s
F
l
mg
l
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
d2sdt2
F = m = ml
F = -mg sin
d2dt2
-mg sin = ml d2
dt2
l + g = 0 d2dt2
+ = 0 d2dt2
g
(t) = sin (t - t0) ^
=g
l
T = 2 lg
m
s
F
l
mg
l
Mathematisches PendelMathematisches Pendel
d2sdt2
F = m = ml
F = -mg sin
d2dt2
-mg sin = ml d2
dt2
l + g = 0 d2dt2
+ = 0 d2dt2
g
(t) = sin (t - t0) ^
=g
l
T = 2 lg
Sekundenpendel: l = 25 cm
m
s
F
l
mg
l
FlüssigkeitspendelFlüssigkeitspendel
FlüssigkeitspendelFlüssigkeitspendel
A
d2sdt2
F = m
FlüssigkeitspendelFlüssigkeitspendel
A
d2sdt2
F = m
FlüssigkeitspendelFlüssigkeitspendel
m = lA
A
d2sdt2
F = m
FlüssigkeitspendelFlüssigkeitspendel
m = lA
p = gh
d2sdt2
F = m
FlüssigkeitspendelFlüssigkeitspendel
m = lA
p = gh
F = pA = -g 2s A
d2sdt2
F = m
FlüssigkeitspendelFlüssigkeitspendel
m = lA
p = gh
F = pA = -g 2s A
d2sdt2
lA = -g 2s A
d2sdt2
F = m
FlüssigkeitspendelFlüssigkeitspendel
m = lA
p = gh
F = pA = -g 2s A
d2sdt2
lA = -g 2s A
d2sdt2
+ s = 02gl
d2sdt2
F = m
FlüssigkeitspendelFlüssigkeitspendel
m = lA
p = gh
F = pA = -g 2s A
d2sdt2
lA = -g 2s A
d2sdt2
+ s = 02gl
=2g
l
d2sdt2
F = m
FlüssigkeitspendelFlüssigkeitspendel
m = lA
p = gh
F = pA = -g 2s A
d2sdt2
lA = -g 2s A
d2sdt2
+ s = 02gl
=2g
l
T = 2 l2g
d2sdt2
F = m
FlüssigkeitspendelFlüssigkeitspendel
m = lA
p = gh
F = pA = -g 2s A
d2sdt2
lA = -g 2s A
d2sdt2
+ s = 02gl
=2g
l
T = 2 l2g
Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule.
d2sdt2
F = m
FlüssigkeitspendelFlüssigkeitspendel
m = lA
p = gh
F = pA = -g 2s A
d2sdt2
lA = -g 2s A
d2sdt2
+ s = 02gl
=2g
l
T = 2 l2g
Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule.Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.
Übersteuertes Flüssigkeitspendel
d2sdt2
F = m
m = lA
p = gh
F = pA = -g 2s A
d2sdt2
lA = -g 2s A
d2sdt2
+ s = 02gl
=2g
l
T = 2 l2g
Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule.Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.
Übersteuertes Flüssigkeitspendel
d2sdt2
F = m
m = lA
p = gh
F = pA = -g 2s A
d2sdt2
lA = -g 2s A
d2sdt2
+ s = 02gl
=2g
l
T = 2 l2g
Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule.Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.
F = -mg
Übersteuertes Flüssigkeitspendel
d2sdt2
F = m
m = lA
p = gh
F = pA = -g 2s A
d2sdt2
lA = -g 2s A
d2sdt2
+ s = 02gl
=2g
l
T = 2 l2g
Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule.Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.
F = -mg = -g l A (unabhängig von s)
d2sdt2
F = m
FlüssigkeitspendelFlüssigkeitspendel
m = lA
p = gh
F = pA = -g 2s A
d2sdt2
lA = -g 2s A
d2sdt2
+ s = 02gl
=2g
l
T = 2 l2g
Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule.Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.
gilt nicht überall!
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadxs
0
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdxs
0 0
s
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdx = s2s
0 0
s D2
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdx = s2s
0 0
s D2 Wkin = v
2 m2
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdx = s2s
0 0
s D2 Wkin = v
2 = m2
dsdt
m2 ( )2
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdx = s2s
0 0
s D2 Wkin = v
2 = m2
dsdt
m2 ( )2
s = s sin t dsdt
= s cos t ^ ^
W = Wpot + Wkin = s2 sin2t + 2 s2 cos2tD2
^ m2
^
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdx = s2s
0 0
s D2 Wkin = v
2 = m2
dsdt
m2 ( )2
s = s sin t dsdt
= s cos t ^ ^
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdx = s2s
0 0
s D2 Wkin = v
2 = m2
dsdt
m2 ( )2
s(t) = s sin t dsdt
= s cos t ^ ^
W = Wpot + Wkin = s2 sin2t + 2 s2 cos2tD2
^ m2
^
D = m2
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdx = s2s
0 0
s D2 Wkin = v
2 = m2
dsdt
m2 ( )2
s(t) = s sin t dsdt
= s cos t ^ ^
W = Wpot + Wkin = s2 sin2t + 2 s2 cos2tD2
^ m2
^
D = m2
W = s2 (sin2t + cos2t) m2
^2
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdx = s2s
0 0
s D2 Wkin = v
2 = m2
dsdt
m2 ( )2
s(t) = s sin t dsdt
= s cos t ^ ^
W = Wpot + Wkin = s2 sin2t + 2 s2 cos2tD2
^ m2
^
D = m2
W = s2 (sin2t + cos2t) = s2 m2 ^
2
m2
^2
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdx = s2s
0 0
s D2 Wkin = v
2 = m2
dsdt
m2 ( )2
s(t) = s sin t dsdt
= s cos t ^ ^
W = Wpot + Wkin = s2 sin2t + 2 s2 cos2tD2
^ m2
^
D = m2
W = s2 (sin2t + cos2t) = s2 = s2m2 ^
2
m2
^2
D2
^
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdx = s2s
0 0
s D2 Wkin = v
2 = m2
dsdt
m2 ( )2
s(t) = s sin t dsdt
= s cos t ^ ^
W = Wpot + Wkin = s2 sin2t + 2 s2 cos2tD2
^ m2
^
D = m2
W = s2 (sin2t + cos2t) = s2 = s2m2 ^
2
m2
^2
D2
^
oder mit der Schnelle v = s ^ ^
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdx = s2s
0 0
s D2 Wkin = v
2 = m2
dsdt
m2 ( )2
s(t) = s sin t dsdt
= s cos t ^ ^
W = Wpot + Wkin = s2 sin2t + 2 s2 cos2tD2
^ m2
^
D = m2
W = s2 (sin2t + cos2t) = s2 = s2m2 ^
2
m2
^2
D2
^
oder mit der Schnelle v = s ^ ^
W = v 2 m ^
2
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdx = s2s
0 0
s D2 Wkin = v
2 = m2
dsdt
m2 ( )2
s(t) = s sin t dsdt
= s cos t ^ ^
W = Wpot + Wkin = s2 sin2t + 2 s2 cos2tD2
^ m2
^
D = m2
W = s2 (sin2t + cos2t) = s2 = s2m2 ^
2
m2
^2
D2
^
oder mit der Schnelle v = s ^ ^
W = v 2 m ^
2
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = Fadx = Dxdx = s2s
0 0
s D2 Wkin = v
2 = m2
dsdt
m2 ( )2
s(t) = s sin t dsdt
= s cos t ^ ^
W = Wpot + Wkin = s2 sin2t + 2 s2 cos2tD2
^ m2
^
D = m2
W = s2 (sin2t + cos2t) = s2 = s2m2 ^
2
m2
^2
D2
^
oder mit der Schnelle v = s ^ ^
Potentielle und kinetische Energiesind gleichverteilt.
W = v 2 m ^
2