Post on 06-Apr-2016
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren ZeitintegrationEinführung
Numerische Methoden
- Einführung- Raumdiskretisierung- Numerische Verfahren (FD, FV, FE)- Zeitintegration
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren ZeitintegrationEinführung
Wieso CFD?• CFD heisst Computational Fluid Dynamics• Hohe Rechenleistung dank Computertechnik• Analytische Lösungen haben Einschränkun-gen
• Verschieden numerische Verfahren - Finite Differenzen (FD), finite Volumen (FV) und finite Elemente (FE)
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Die Raumdiskretisierung• 1. Schritt: Diskretisierung des Raums, d.h.
Unterteilung in Teilgebiete.• 2 Haupmöglichkeiten: strukturierte oder
unstrukturierte Netze.• Netzgenerierung braucht im Allgemeinen
einen Netzgenerator.• Die Diskretisierung ist häufig schwieriger
als die Rechnung.Raumdiskretisierung
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Strukturierte Gitter
• Jedes Element und jeder Knoten ist durch ndim Zeiger identifi-zierbar.
1 2 N12
NP(5,4)
• Untertypen struktu-rierter Gitter sind:– Reguläre Gitter,– Orthogonale Gitter und– krummlinige Gitter
1 2 N12
NP(5,4)
Raumdiskretisierung
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Vor-/Nachteile strukturierter Gitter
• Wenig Speicherbedarf• Geringer Verwaltungsaufwand, schnelle
Rechenzeiten• Gut geeignet bei “ausgeschalteten” Teilgebieten• Geringe, geometrische Flexibilität• Nicht geeignet bei beweglichen Rändern
Raumdiskretisierung
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren ZeitintegrationRaumdiskretisierung
Vor-/Nachteile strukturierter Gitter
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Numerische VerfahrenGrundlagen
• Analogie zwischen Experiment und Numerik.• Anstelle einer kontinuierlichen Variablenvertei-
lung verwenden numerische Verfahren diskrete Knotenwerte.
• Die Verfahren unterscheiden sich durch die Art, wie sie aus diskreten Knotenwerten die Variablen-verteilung annähern.
• Bekannteste Verfahren sind FD, FV und FE.
Numerische Verfahren
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Modellgleichung - Poisson Gleichung
fx
2
2
Numerische Verfahren
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Übersicht numerische Methoden• FD arbeitet mit der Differentialform der
PDGL– Massenerhaltung ist nicht gewährleistet
• FV benutzt die Integralform der PDGL– Massenerhaltung im Element ist gewährleistet
• FE stützt sich auf die schwache Integralform– Massenerhaltung über Gesamtgebiet i.O.
Numerische Verfahren
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
FD• Älteste Methode, wurde von Euler 1768 für die
Lösung von Differentialgleichungen erfunden.• Differentialquotienten werden durch
Differenzenquotienten approximiert, diese sind u.U. nicht stetig, was zu numerischen Fehlern führen kann. Aus einer Taylor-Reihenentwicklung folgt:
xx 213
2
2
231
22
2 2xx
Numerische Verfahren
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
FD• FD benötigen reguläre Netze, üblicherweise
strukturierte, um die Differenzenapproximation einfach bilden zu können.
• Die Netze dürfen nur geringe Variationen aufweisen (Dehnung/Verzerrung der Zellen), da sonst der numerische Fehler gross wird.
• Grundnetz in 3D bildet ein sechs seitiger Körper, der den effektiven Rändern angepasst werden kann.
• Multiblock reduziert diese Einschränkung.
Numerische Verfahren
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
FV
• Ueber ein Kontrollvolumen werden die Flüsse bilanziert: „Rein gleich Raus plus Quelle/Senke“:
fxx
integriert xfxx w
WP
e
PE
Numerische Verfahren
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FV• Wurden von McDonald (1971) bzw. McCormack und
Paullay (1972) zum ersten Mal in 2D verwendet und 1973 von Rizzi auf 3D erweitert.
• Da die Formulierung über Zellvolumen und nicht Netzschnittpunkte erfolgt, ist hohe geometrische Flexibilität gegeben. Die Zellen können aus beliebigen Körpern gebildet werden.
• Man unterscheidet Zellmittelpunkt bzw. Zelleckpunkt FV-Methoden. Zellmittelpunkt hat Stabilitätsvorteile, bei Zelleckpunkt lassen sich RB’s besser formulieren.
• FV ist die verbreitetste Diskretisierungsmethode.
Numerische Verfahren
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
FE• FE geht von der schwachen Integralform aus, d.h. die
Ausgangsgleichung wird gewichtet und integriert.• Durch Integration der gewichteten Ausgangsglei-
chung über das Gebiet verschwindet der Fehler der Diskretisierung.
• FE nimmt Verteilfunktionen der Variablen über die Elemente an, diese sind linear oder Polynome höherer Ordnung.
Numerische Verfahren
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
• Am Punkt A innerhalb des Elements 1 wird die Variab-le A linear aus den Werten 1 und 2 der Nachbarkno-ten interpoliert:
212
11
12
2)12(12
11
XX
XAX
XX
AXX
XX
XAXA
• Die Brüche vor den Variablen 1 und 2 nennt man “Ansatzfunktionen”. Sie werden auch zur Gewichtung der schwachen Integralform gebraucht. Ansätze höherer Ordnung sind möglich.
Numerische Verfahren
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
FE• FE wurde von R. Courant im Jahr 1943 entwickelt.• Die Elemente werden durch Netzschnittpunkte
gebildet, wo auch die Unbekannten sitzen. • Die Stabilität ist reduziert aber RB’s lassen sich
einfach formulieren.• Die Genauigkeit kann durch den Grad der
Ansatzfunktionen beliebig erhöht werden.• Vergleich der Rechenzeiten mit FV ist schwierig, da
die Genauigkeit bei FE a priori höher ist.
Numerische Verfahren
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Was sind Verfahren höherer Ordnung?
• In der Taylor-Reihenentwicklung werden Terme höherer Ordnung berücksichtigt (FD)
• Berücksichtigung von Ansatzfunktionen höherer Ordnung (FE).
• Verwendung von MUSCL, mit dem die Ordnung beliebig erhöht werden kann (FV).
• Achtung: Schemen höherer Ordnung neigen zu Oszillationen!
Zeitintegration
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Upwind Verfahren• Bis jetzt waren alle Verfahren sog. “zentrale”
Verfahren, d.h. Information floss von ober- und unterstrom mit gleichem Gewicht ein.
• Bei schiessender Strömung ist dieser Ansatz nicht gerechtfertig, da von unterstrom keine Beeinflussung stattfinden kann.
• Upwind Verfahren berücksichtigen den Infor-mationsfluss korrekt, d.h. sie gewichten die Seite stärker, von der Information einfliesst.
Zeitintegration
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Upwind Verfahren höherer Ordnung
• Analog wie Verfahren höherer Ordnung, aber nur Information oberstroms wird berücksich-tigt.
Zeitintegration
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Welche Methode eignet sich für meine Bedürfnisse?
• Grundsätzlich kann man mit jeder Methode alles machen. Teilweise erfordert die Anpassung hohes Fachwissen.
• Ich würde bei der Wahl die gewünschte Netzauflösung in den Vordergrund stellen.
• Keine Methode hat nur Vorteile!• FV ist sicher für CFD ein sehr guter
Kompromiss.Numerische Verfahren
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
ENDE
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Randbedingungen
• Zur Lösung der PDG braucht es Randbedingungen.• Randbedingungen beeinflussen die Lösung am
Rand und oftmals bis tief ins Rechengebiet.• Schlecht gesetzte RB bewirken eine schlechte Lö-
sung, unabhängig von der Güte der Numerik!• Als Regel kann gelten: überall wo eine charakteri-
stische Information ins Rechengebiet eintritt, muss eine RB gesetzt werden.
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Anfangsbedingungen
• Die Randbedingungen in Zeitrichtung nennt man Anfangsbedingungen.
• Stationäre Probleme werden oft mit instationären Algorithmen gelöst. In diesen Fällen spielt die AB eine untergeordnete Rolle.
• Komplexe, nichtlineare Systeme konvergieren nur, wenn physikalisch sinnvolle AB gesetzt werden. Dies kann u.U. die Ruhe sein (h=konst., v=0).
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren ZeitintegrationEinführung
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Methode der finiten Differenzen FD• Die FD geht von der Differentialform der PDG
aus (siehe Modellgleichung).• Die Variable wird in einer Taylor-Reihe um 2
entwickelt und als Näherung von 1 benutzt. Da-raus resultieren Ausdrücke für die Ableitungen.
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
• Subtraktion bzw. Addition der beiden, Gleichungen ergibt:
xx 213
2
2231
22
2 2xx
....21
22
22
221
x
xx
x
....21
22
22
223
x
xx
x
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Modellgleichung in FD
• Unsere Modellgleichung kann damit ange-nähert werden durch:
211 2
xf iiii
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
• Anwendung auf jeden Punkt im Rechenge-biet resultiert in:
2100000121..00
0121..00.121000..121000.01210000012
12x
A
A · x = b
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Vor-/Nachteile von FD
• Anschauliche Formulierung• Schnelle Rechenzeiten.• Geringe, geometrische Flexibilität.• Vorsicht bei numerischen Stössen, wo sich
unendliche Gradienten ergeben können!
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Methode der finiten Volumen FV• Die FV geht von der Integralform der Modellglei-
chung aus. Diese resultiert aus:
fxx
integriert
xfxx w
WP
e
PE
0
dxfxx
e
wwe
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Vorteil von FV
• Durch die Verwendung der Integralform ist der Erhalt von Masse, Impuls und Energie gesichert (Bilanzierung).
• In 2D und 3D ist die Formulierung unabhängig von der Geometrie der Elemente. Die geometrische Flexibilität ist grösser als bei FD.
• Schnelle Rechenzeiten.
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
Methode der finiten Elemente FE• FE geht von der schwachen Integralform aus.
Diese resultiert durch Anwendung der Methode der gewichteten Residuen.
• Durch Integration der gewichteten Ausgangsglei-chung über das Gebiet verschwindet der Fehler der Diskretisierung.
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
• Anwendung der gewichteten Residuen auf die Modellgleichung ergibt:
02
2
1
dxfx
Wi
i
x
x
• Es wird angenommen, dass Aenderungen über ein Element durch ein Polynom angenähert werden können, im einfachsten Fall durch:
x21 bzw.
Kxx
e
2
1
2
1
2
1
11
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
• Aus den vorhergehenden Gleichungen erhalten wir die Ansatzfunktionen durch folgende Umformungen:
• Von den Ansatzfunktionen wird gefordert, dass sie den Wert 1 am betreffenden Knoten und den Wert 0 an allen anderen Knoten aufweisen.
eKx 11 und 11 KxN i
x21 bzw.
Kxx
e
2
1
2
1
2
1
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
• Am Punkt E innerhalb des Elements 1 wird die Variab-le E linear aus den Werten 1 und 2 der Nachbarkno-ten interpoliert:
212
11
12
2)12(12
11
XX
XEX
XX
EXX
XX
XEXE
• Die Brüche vor den Variablen 1 und 2 nennt man “Ansatzfunktionen”. Sie werden auch zur Gewichtung der schwachen Integralform gebraucht. Ansätze höherer Ordnung sind möglich.
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
• Von den Ansatzfunktionen wird gefordert, dass sie den Wert 1 am betreffenden Knoten und den Wert 0 an allen anderen Knoten aufweisen.
212
11
12
2
XX
XX
XX
XX EEE
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Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
• Da die Ansatzfunktionen Polynome sind, sind sie einfach differenzierbar, d.h. falls die Koeffizienten bestimmt sind, so können die Ableitungen der Ansatzfunktionen einfach entwickelt werden.
• Die Modellgleichung lässt sich diskretisieren durch Matrixprodukte aus unbekannten Knoten-werten und Ansatzfunktion bzw. deren Ableitung.
• Bei der Methode von Galerkin wird die Gewichts-funktion identisch der Ansatzfunktion gesetzt.