Post on 08-Sep-2019
Kompakte Objekte in der Astrophysik
� Weisse Zwerge
� Neutronensterne
� Schwarze Löcher
� Beobachtung / Physikalische Prozesse: ART
� Aufbau: Zustandsgleichung ...
� Entwicklung: Akkretion / Kühlung ...
Vorlesung im SS2004 von Christian Fendt
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3d. Chandrasekhar-Grenzmasse
Masse-Radius-Relation für entartetes Elektronengas:
--> polytropes Gasgesetz: Γ = 5/3 , 4/3
--> löse hydrostatisches Gleichgewicht:
durch Substitution:
Γ = 5/3,
1r 2
ddr
r 2
�
dPdr
=�4�G � r
M =4� R 3 � n / 1� n n�1 K4�G
n / n � 1
�13 � n / 1� n
�12� ' �1
�=� c �n
r =a �� =1�1/ n
a=n�1 K � c
1 /n � 1
4�G
1 / 2
� � =0 for �� �1
R=1.12×10 4 � c
10 6 gcm 3
�16
� e
2
�56
km
M =0.70R
10 4 km
�3
� e
2
�5
M o
Γ = 4/3,
R=3.35×10 4 � c
10 6 gcm 3
�13
� e
2
�23
km
M =1.447� e
2
� 2
M o
n=32
, �1=3.65.., �12� ' �1 =2.71.. n=3, �1=6.89..., �1
2� ' �1 =2.01...
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
��
Zusätzliche Effekte verändern Chandrasekhar-Modell für weiße Zwerge (z.B. Hamada & Salpeter 1961):
(1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte: --> lokale Ladungsverteilung: --> Elektronen im Coulomb-Potential der Ionen --> Anziehung vermindert Druck
--> Annahme: n_e konstant im Ionengitter: --> Gitterzelle um Ion mit Z Elektronen mit Radius:
--> elektrostatische Energie:
--> zw.Elektronen: --> zw. Ion u. Elektr.:
--> Coulomb-Energie pro Elektron:
--> Coulomb-Druck:
--> Druck durch Coulomb-Kräfte:
r 0�4�3
r 03=n N
�1
E ee =�0
r 0
q dqr
=35
Z 2 e 2
r 0
q =�Z e r / r 03
E ei = Z e�0
r 0
dqr
=�32
Z 2 e 2
r 0
E c
Z=
E ee�E ei
Z=�
910
e 2 43� n e Z 2
13
P c =n e2 d
dn e
E c
Z=�
310
e 2 43� n e
4 Z 2
13
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
��
Elektrostatischer Druck:
--> vgl. zu Chandrasekhar-Modell
(1) extrem relativistisch:
( α = 1/137 Feinstruktur-Konstante) --> kleiner Effekt, aber wichtig in dichten WD / wenig dichten NS
(2) nicht relativistisch:
--> P = 0 für
--> Beispiel Eisen: --> Abweichung: Elektronengas nicht gleichförmig bei kleinen Dichten, Rand-Effekte --> Ansatz ok für WD und große Planeten
P 0 =�h c8�
3� 2 n e4
13 P
P 0
=P 0� P c
P 0
=1�2
53
53�
13
� Z23
P 0 ~n e
53 P
P 0
=1�4 �m e e 2
h 2
Z 2
2 n e
13
n e =Z 2
2�3 a 03 , a 0 =
h 2
2�m e e 2 � 0�0.4 Z 2 g / ccm
� 0�250 g / ccm , Laborwert � 0 =7.86 g / ccm
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
��
(1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte:
--> besserer Ansatz: Thomas-Fermi-Methode:
--> Dichte:
--> Potential V(r) sphärisch, leicht variabel, Poisson-Gl.:
--> Thomas-Fermi-Gleichung: mit
--> Druck:
--> für kleine ρ (für große ρ s.o.):
P =8�
15 h 3 m e
p F5 r 0 =
Z 2 e 2
10��4
� x 0
x 0
52
E F =�e V r �
p F2 r
2 m e
=constant
� 2 V r =4� e n e� nukl. Anteil
n e =8�
3 h 3 p F3
=8�
3 h 3 2 m e E F �e V r32
d 2�
dx 2 =�
3
xE F �e V r =
Z e 2� xr
r =� x , �=a 0
9� 2
128 Z
13
P =2h 3
13 �0
p F p 2
m e
4� p 2 dp
� x ~144 x �3 , x �� : P ~ x 0�10
~ 010 / 3x 0 �� ,
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
��
(2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):
--> bei hohen Dichten:
für
Bedingung: kein β-Zerfall:
--> erfüllt bei hoher Dichte: --> alle Energieniveaus für e besetzt
--> Mischung aus p, n, e:
--> chem. Potentiale: --> �relativity parameter�:
Ladungserhaltung -->
--> Zustandsgleichung der (p,n,e)-Mischung:
u.ä. für innere Energie u
--> Kritische Dichte für Neutronen (x_p <<1):
-->
e�� p � n��
E e� m n �m p c 2=1.29 MeV
n � p�n��
� e�� p=� n
x e=p F
e
m e c, x p=
p Fp
m p c, x n=
p Fn
m n c
m e 1� x e2�m p 1� x p
2=m n 1� x n
2
m e x e=m p x p
P=m e c 2
� e3 � x e �
m p c 2
� p3 � x p
�m n c 2
� n3 � x n
n=1
3� 2� p
3 x p3�
12� 2
� n3 x n
3 , � i=h
2�m i
x n=0, m e 1� x e2=m n �m p
n=1
3� 2� e
3
m n �m p
m e
2
�1
32
n=7.37×10 30 cm�3 0=1.2×10 7 g
cm 3
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
��
(2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):
--> Zunahme Neutronen bei höheren Dichten:
-->
--> Verhältnis n_p/n_n : -- sinkt erst für steigendes x_n -- ist minimal (=0.0026) für -- steigt dann auf 1/8 für
--> Probleme: - Neutrino-Emission - thermodyn. GG (offenes System) - n/p/e aus nukl. Reaktionsraten
m e2�m p
2 x p2�m p 1� x p
2=m n 1� x n
2
n p
n n
�18
1�4m n �m p
m n x n2 �4
m n �m p2�m e
2
m n2 x n
4
1�1/ x n2
3 / 2
� 0=7.8×10 11 gcm 3
x n �� , � 0 ��
10 7�� 0�4×10 11 g cm�3
4×10 11 g / cm 3
4×10 12 gcm 3
u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n
--> Harrison-Wheeler-Zustandsgleichung: --> für und Baryonenzahl --> Problem: welche Nukleonen?
--> Nuklearbrennen im thermodyn. GG --> stabile (minimale) Energiezustände (z.B. Eisen Fe(56,26) für A=56) --> Neutronenreichere Kerne bei hohen ρ --> kritische n/p-Verhältnis ab
--> �neutron drip�: freie Neutronen (+ Elektronen + Kerne N) definieren niedrigsten Energiezustand --> Druck freier Neutronen ab
--> Energiedichte eines (N,n,e)-Gemischs:
--> M(A,Z) = ??? (Kern-Energie, �Massengleichung�) --> HW: M(A,Z) semi-empirisch
A=10 57
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
��
Harrison & Wheeler, 1958 (HW):
--> Zustandsgleichung P(ρ):
-- �neutron drip� bei hier: (A,Z) ~ (122, 39.1) -- 60% n-Druck bei hier: (A,Z) ~ (187, 48.8)
--> vgl. zu Eisen (56, 26): (ideales Elektronengas) Abweichungen ab
--> Baym-Pethick-Sutherland, 1971 (BPS):
--> Verbesserungen für
--> A und Z sind diskret ! --> Gitter-Energie ~> nukl. Zusammens. ~> u_e
--> Phasenübergang zwischen Nukleonen --> Diskontinuität in n und ρ = u/c^2:
--> Beispiel: für Fe56 -> Ni62, also Z/A=0.464 -> Z/A=0.452
10 7�� 0�4×10 11 g cm�3 ¿
� c 2=u=n e
M A , ZZ
�u ' n e �u n n n
P= P e� P n
n=n eAZ�n n u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n �u L
� �
��� nn��
� Z / AZ / A
3.18×10 11 g / cm 3
4.54×10 12 g / cm 3
� 0~10 7 g / cm 3
�� / ��0.029
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
��
--> Harrison & Wheeler (1958), Baym, Pethick & Sutherland (1971) und andere:
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
��
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3g. Zsfssng: WD-Zustandsgleichung
--> Zustandsgleichung für weiße Zwerge: --> gut untersucht, gut verstanden:
--> �kalte� Z-Gleichung unterhalb Neutronen-�drip�: --> Elektronen voll relativistisch für:
--> Chandrasekhar-Modell --> Grenzmasse 1.4 M_o
--> positive Ladungen (Kerne) formen regelmäßiges Coulomb-Gitter im e-Gas
--> Coulomb-Kräfte: kleinere Stern-Radien (größere Zentraldichte)
--> Neutronisierung (HW, BPS): -- GG-Kern bis : Fe(56,26) -- Neutronenanreicherung für höhere ρ_0 durch
inversen β-Zerfall (Fermi-e verhindern β-Zerfall)
-- Minimum (n_p/n_n) bei
� 0�4×10 11 g cm�3
� 0� 10 7 g cm�3
� 0� 10 7 g cm�3
--> Z.-Gleichung beschreibt Struktur von Planeten & (stabilen) weißen Zwergen:
--> Chandrasekhar Z.-Gleichung + Coulomb-Korrektur gute Näherung --> BPS, HW - Z.-Gleichung für stabile GG: -- WD womöglich nicht im GG (Reaktionszeiten) -- NS im GG --> Pygno-nukleare Reaktionen
--> Bsp.: Neutronisierungsschwellen:
� 0�7.8×10 11 g cm�3
H11
� n , 1.22×10 7 g cm�3
He24
� H13
�n � 4n , 1.37×10 11 g cm�3
S1632
� P1532
� Si1432 , 1.47×10 8 g cm�3
Fe2656
� Mn2556
� Cr2456 , 1.14×10 9 g cm�3
u.v.a.m.
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Masse-Radius-Relation für entartetes Elektronengas (Hamada & Salpeter 1961):
MM o
=0.7R
10 4 km
�3
� e
2
�5
MM o
=1.447� e
2
� 2
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3g. Zsfssng: WD-Zustandsgleichung
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
--> Vergleich mit der Beobachtung: Masse & Radius für weiße Zwerge:
--> WD optisch sichtbar (~ Kühlzeiten) --> Positionierung im HR-Diagramm:
--> WD mit fester Masse (~1 M_o) (--> d.h. Radius ~10^9 cm) --> Linie im HRD: L ~T_eff^4 --> alle WD im engen Bereich
--> WD-Massen: schwierig bestimmbar (Begleiter erforderlich)
--> WD-Radien: Modellatmosphäre: (Entfernung D aus Parallaxe)
--> Test der Masse-Radius-Beziehung: --> Gravitationsrotverschiebung:
L =4� R 2� T eff
4
F�
F� 0
=R 2
D 2
��
��
GMR c 2 =0.6362
M / M o
R / Ro
km s�1
--> WD Massen & Radien, optisch (~1977):
--> Verbesserung z.B. durch HIPPARCOS (--> Parallaxenbestimmung)
Masse M o Radius Ro Redshift km / sSirus B 1.053±.028 0.0074 ±.0006 89 ±1640 Eri B 0.48±.02 0.0124 ±.0005 23.9 ±1.3Stein 2051 0.50 ±.05 0.0115±.0012 ? ?
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3g. Zsfssng: WD-Zustandsgleichung
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
--> Vergleich mit der Beobachtung: Masse & Radius für WD: --> HIPPARCOS (Provencal et al.2003): -- Feldsterne (Redshift) -- visuelle Doppelsterne
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3g. Zsfssng: WD-Zustandsgleichung
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
--> Vergleich mit der Beobachtung: Masse & Radius für WD: --> HIPPARCOS-Daten (Provencal et al.2003): Feldsterne (Redshift)
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3g. Zsfssng: WD-Zustandsgleichung
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Vergleich Modell � Beobachtung: --> emittierte Strahlung <---> Kühlungszeiten (--> Kühlungstheorie <---> Festkörperphysik)
4a. Struktur der Atmosphäre Aufbau weißer Zwerge:
1. Sterninneres entartet: Fermi-Gas aus Elektronen:
hohe therm. Leitfähigkeit: gleichförmige Temperatur 2. Dünne Atmospäre, nichtentartete Oberflächenschicht: --> im LTE (lokales thermisches GG) --> Strahlungstransport durch Diffusion von Photonen:
Diffusionsnäherung:
L [erg/s]: Leuchtkraft, aT^4: Schwarzkörper-Energiedichte, κ [cm^2/g]: Opazität
--> (1/κρ) ~ mittlere freie Weglänge des Photons
--> Kramer-Opazität: Photoionisation, inverse Bremsstrahlung freier Elektronen (b-f, f-f)
Kompakte Objekte -- WD-Kühlung
4 . Kühlung Weißer Zwerge
L=�4 � r 2 c3 � �
ddr
aT 4�
dTdr=�
34 a c
� �
T 3
L4 � r 2
�=� 0 � T �3.5 , � 0=4.34×10 24 Z 1�Xcm 2
g
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Dichte/Temperatur-Schichtung: --> hydrostatisches GG:
--> in der Atmosphäre: m(r) =M, ideales Gas
--> D-Gl. für P(T): --> Integration mit P(T=0) = 0 --> P durch ρ ersetzen:
--> Grenze zum entarteten Sterninneren: : idealer Gasdruck = Entartungsdruck:
-->
Kompakte Objekte -- WD-Kühlung
4a . Atmosphäre weißer Zwerge
dPdr=�
G m r �
r 2 �dPdr=�
4 a c3
4�G m r� 0 L
T 6.5
�
P= n e�� i n i kT =�
� m u
k T
P dP=4 a c
34�G M� 0 L
T 7.5 dT
�=2
8.54 a c
34�G M� 0 L
� m u
k
12
T 3.25
T deg , � deg
� deg k T deg
� e m u
=1.0×10 13 � deg
� e
53
� � deg=2.4×10�8� e T deg
3 / 2 gcm 3
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Leuchtkraft weißer Zwerge: --> mit ρ(T) und ρ_deg(T_deg) :
--> Innentemperatur T_deg des weißen Zwergs aus L, M, Z, X bestimmbar:
--> z.B.: X =0, Y = 0.9 (Helium) , Z=0.1:
--> Für
--> kT der Elektronen i.d. Atmosphäre << als Fermi-Energie
--> Höhe der Atmosphäre: ersetze ρ in dT/dr -Gleichung, Integration:
-->
--> Für
Kompakte Objekte -- WD-Kühlung
4a . Atmosphäre weißer Zwerge
L=�5.7×10 5 �
� e2 1 Z 1�X
MM o
T deg3.5 erg s�1
� e�2, ��1.4, L=2×10 6 MM o
T deg3.5 erg s�1
L�10� 2�10�3 L o � T deg�10 6
�10 7 K , � deg�10 3 g cm�3�� c
T deg=1
4.25� m u
kG M
RR
r deg
�1 , r deg= r T =T deg
T deg�10 6�10 7 K �
R� r deg
R�10� 2 , H �R� r deg�50 km
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte -- WD-Kühlung
4a . Atmosphäre weißer Zwerge
L=2×10 6 MM o
T deg3.5 erg s�1
Leuchtkraft weißer Zwerge:
Neue Modelle (Chabrier et al. 2000):
--> kühle WD: T ~ 1500K --> reine H-Atmosphäre --> relativistisches Plasma (Ionen/Elektronen) --> Quanteneffekte --> Randbedingungen zw. Kern und Atmosphäre --> neue Atmosphären-Modelle (H2-H2-Dipol-Absorption) Kerntemperatur~Leuchtkraft
--> Verzögerung d. Kühlung durch (Chabrier et al. 2000)
Kristallisation, chemische Fragmentierung: 1.0 -1.5 Gyr --> Knick durch Konvektion bei kleinen T (-> Verz. -> Beschl.)
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Energiequellen für Strahlung weißer Zwerge:
--> Gravitative Kontraktion: kein Beitrag, da Stern entartet
--> Neutrino-Emission: nur in frühen Phasen (hohe Temperaturen)
--> Thermische Elektronenenergie: kein Beitrag, da (niedrige) Elektronenzustände besetzt
--> Thermische Ionenenergie: spezifische Wärme pro Ion: c_v --> thermische Energie des Sterns: (monoatomisch)
--> (~ Supernova-Energie im Optischen)
--> Kühlrate ~dU/dt ~ Leuchtkraft L = C MT^(7/2) mit CM_o ~ 2x10^6 erg/s:
-->
(T_o Anfangstemperatur (>> T) bei t_o) --> ~ 10^9 yr für L ~ 0.001 L_o
Kompakte Objekte -- WD-Kühlung
4b . Kühlung weißer Zwerge
U =32
k TM
A m u
, c v =32
k
�
ddt
3kT / 2A m u
=C T 7 / 2 ,35
kA m u
T �5 / 2�T 0
�5 / 2=C t � t 0
�� t � t 0 =35
kT MA m u L
~LM
�5 / 7
U �10 48 erg für T =T deg =10 7 K
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kühlung kalter weißer Zwerge:
--> Kristallisation: bei Temperaturen T < T_g --> spezifische Wärme durch Vibration der kristallinen Ionen --> effektivere Kühlung
--> Kristallisation, wenn Γ groß:
--> Γ << 1 --> Maxwell-Boltzmann-Verhalten
--> Γ >> 1 --> Plasma kristallisiert in periodisches Gitter (Γ ~ 75, 126, 171 ... modellabh.) --> 1. kritische (Schmelz-) Temperatur:
--> bei Kristallisation freigesetzte Wärme: --> verläng. d.Kühlzeit
--> 2. kritische Temperatur --> kin. Energie der Ionen > Vibrationsenergie,
T > T_g : --> Dissoziation des Gitters --> dichtes, nicht-ideales Gas --> Wärmekapazität steigt (Faktor 2) wegen kT/2 aus Gitterpotential -->
Kompakte Objekte -- WD-Kühlung
4b . Kühlung weißer Zwerge
�q~k T m
T m �Z 2 e 2
� k4�3
�
2 Z m u
1 / 3
�2×10 3�
1 / 3 Z 5 / 3 K �3×10 6� 0.6 M o
1 / 3 Z 5 / 3 K
� �Z 2 e 2
r i k T=
Coulomb�Energiethermische Energie
, n i43� r i
3=1
T g�16 T m
c v~3 k
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte -- WD-Kühlung
4b. Kühlung weißer Zwerge
� p= 4� n i Z 2 e 2/m i
c v�165�
4 TT D
3
k für T �T D
c v=� �
� T V
T D�h
2�� p
k�4×10 3
�1 / 2 K
�=65
kT MA m u L
, für T D�T �T g , c v=3 k
�=325�
4 TT D
3
T 0
T1
kT MA m u L
, für T �T D , T 0T D
Kühlung kältester (also alter) weißer Zwerge:
--> bei tiefsten Temperaturen: quantenmechanische Effekte im Gitter
--> Debye-Temperatur: (Ionen-Plasmafreq.: )
--> versch. Polarisationsmoden (longitudinal, transversal), Wellenzahlen der Gitterschwingungen: Integration --> Ionen-Energie --> ε(T) -->
-->
==>> Kühlungszeiten:
1)
2)
c v
k~
32
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte -- WD-Kühlung
4b. Kühlung weißer Zwerge c v=
� �
� T V --> spezifische Wärme bei verschiedenen Temperaturen:
c v
k�
165
�4 T
T D
3
c v
k~3
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte -- WD-Kühlung
4b. Kühlung weißer Zwerge Modellrechnungen Chabrier et al. (2000):
--> mit/ohne Kristallisierung (rechts/links), --> verschieden Massen (DA WD), (0.6 M_o DA weißer Zwerg) (ohne Kristallisierung: xxx)
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte -- WD-Kühlung
4b. Kühlung weißer Zwerge Modellrechnungen Chabrier et al. (2000):
--> Masse-Leuchtkraft-Beziehung für konstante Kühlrate (H-Atmosphäre, Alter in Gyrs)
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte -- WD-Kühlung
4b. Kühlung weißer Zwerge Vergleich mit Beobachtung (Beispiele):
--> HST Beobachtung M4 --> Interpretation Hansen et al. (2004) --> Alter M4 12.1 Gyr (Alter Vorgänger??) --> Bergeron et al. (2001, BLR): Parallaxen