L¨osungen der Klausur: Aufgabe 1matveev/Lehre/LA0607/vorlesung15.pdf · R :=...

Losungen der Klausur: Aufgabe 1

Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)

◮ (Reflexivitat)

◮ (Reflexivitat) x ∼ x

◮ (Reflexivitat) x ∼ x Da (a, a), (b, b), (c , c) ∈ R, ist ist dieRelation reflexiv.

◮ (Symmetrie)

◮ (Symmetrie) ist x ∼ y , so ist y ∼ x

◮ (Symmetrie) ist x ∼ y , so ist y ∼ x Die einzigen in Fragekommenden Paare sind (a, b) und (b, a). Da die beide in R liegen,ist Symmetrieeigenschaft erfullt.

◮ (Transitivitat)

◮ (Transitivitat) Ist x ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ z

◮ (Transitivitat) Ist x ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ z Es reichte zusagen: es gibt keine verketteten Paare x ∼ y und y ∼ z so dassx , y , z paarweise verschieden sind.

Aquivalenzklasse von a besteht aus der Elemenete, die zu aaquivalent sind. In unserem Fall ist sie

Aquivalenzklasse von a besteht aus der Elemenete, die zu aaquivalent sind. In unserem Fall ist sie {a, }

Aquivalenzklasse von a besteht aus der Elemenete, die zu aaquivalent sind. In unserem Fall ist sie {a, b}

Transitivitat Ausfuhrlicher:

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ z

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a:

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:b ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:b ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a.)

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:b ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a.)b ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:b ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a.)b ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a)

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:b ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a.)b ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a)Fur x = c : fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es nur diese Moglichkeiten:

R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:b ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a.)b ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a)Fur x = c : fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es nur diese Moglichkeiten:c ∼ c und c ∼ c (in dem Fall ist tatsachlich c ∼ c)

Aufgabe 2

Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.

Aufgabe 2

|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)

Aufgabe 2

|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)Linearitat

Aufgabe 2

= (~v , ~v + ~u) + (~u, ~v + ~u)

Aufgabe 2

= (~v , ~v + ~u) + (~u, ~v + ~u)Linearitat

Aufgabe 2

(~v , ~v) + (~v , ~u) +

Aufgabe 2

(~v , ~v) + (~v , ~u) + (~u, ~v) + (~u, ~u)

Aufgabe 2

(~v , ~v) + (~v , ~u) + (~u, ~v) + (~u, ~u)Symmetrie

Aufgabe 2

= (~v , ~v) + 2(~u, ~v) + (~u, ~u).Ahnlich, |~v −~u|2 = (~v , ~v)− 2(~u, ~v)+ (~u, ~u).

Aufgabe 2

= (~v , ~v) + 2(~u, ~v) + (~u, ~u).Ahnlich, |~v −~u|2 = (~v , ~v)− 2(~u, ~v)+ (~u, ~u). Da |~v +~u|2 = |~v −~u|2,

Aufgabe 2

= (~v , ~v) + 2(~u, ~v) + (~u, ~u).Ahnlich, |~v −~u|2 = (~v , ~v)− 2(~u, ~v)+ (~u, ~u). Da |~v +~u|2 = |~v −~u|2,ist (~u, ~v) = 0,

Aufgabe 2

= (~v , ~v) + 2(~u, ~v) + (~u, ~u).Ahnlich, |~v −~u|2 = (~v , ~v)− 2(~u, ~v)+ (~u, ~u). Da |~v +~u|2 = |~v −~u|2,ist (~u, ~v) = 0, also |~u||~v | cos(α) = 0,

Aufgabe 2

= (~v , ~v) + 2(~u, ~v) + (~u, ~u).Ahnlich, |~v −~u|2 = (~v , ~v)− 2(~u, ~v)+ (~u, ~u). Da |~v +~u|2 = |~v −~u|2,ist (~u, ~v) = 0, also |~u||~v | cos(α) = 0, also cos(α) = 0.

Aufgabe 3

Liegt der Vektor0� −1−1−1

1A in der linearen Hulle von0� 1

0� 321

(Mit Begrundung)

Aufgabe 3

0� 321

(Mit Begrundung)

Antwort. Ya!

Aufgabe 3

0� 321

(Mit Begrundung)

Antwort. Ya!0� −1−1−1

1A = − 14

0� 123

1A− 14

0� 321

Aufgabe 3

0� 321

(Mit Begrundung)

1A = − 14

0� 123

1A− 14

0� 321

1A und deswegen liegt in der

linearen Hulle der Vektoren.

Aufgabe 3

0� 321

(Mit Begrundung)

1A = − 14

0� 123

1A− 14

0� 321

linearen Hulle der Vektoren.Wie findet man die Koeffizienten λ = − 1

4 , µ = − 14?

Aufgabe 3

0� 321

(Mit Begrundung)

1A = − 14

0� 123

1A− 14

0� 321

4 , µ = − 14? Vektor liegt in der

linearen Hulle (einer Menge), falls er eine Linearkombination derVektoren (der Menge) ist.

Aufgabe 3

0� 321

(Mit Begrundung)

1A = − 14

0� 123

1A− 14

0� 321

0� 123

1A + µ

0� 321

0� −1−1−1

Aufgabe 3

0� 321

(Mit Begrundung)

1A = − 14

0� 123

1A− 14

0� 321

0� 123

1A + µ

0� 321

0� −1−1−1

1ADas ist ein lineares Gleichungssystem:

Aufgabe 3

0� 321

(Mit Begrundung)

1A = − 14

0� 123

1A− 14

0� 321

0� 123

1A + µ

0� 321

0� −1−1−1

1ADas ist ein lineares Gleichungssystem:8<: λ + 3µ = −1

Aufgabe 3

0� 321

(Mit Begrundung)

1A = − 14

0� 123

1A− 14

0� 321

0� 123

1A + µ

0� 321

0� −1−1−1

2λ + 2µ = −1

Aufgabe 3

0� 321

(Mit Begrundung)

1A = − 14

0� 123

1A− 14

0� 321

0� 123

1A + µ

0� 321

0� −1−1−1

2λ + 2µ = −13λ + µ = −1

Aufgabe 3

0� 321

(Mit Begrundung)

1A = − 14

0� 123

1A− 14

0� 321

0� 123

1A + µ

0� 321

0� −1−1−1

2λ + 2µ = −13λ + µ = −1

Man lost es (Gauß-Algorithmus) und bekommt die Antwort.

Aufgabe 4

Man gebe an,

Aufgabe 4

Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.

Aufgabe 4

Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.

(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.

(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.

Aufgabe 4

(a) ist richtig;

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”:

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”:

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U,

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U;

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U so ist

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U so istλu + 0u + 0u

Aufgabe 4

(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U so istλu + 0u + 0u = λu ∈ U.)

(b) ist falsch,

Aufgabe 4

(b) ist falsch, da in R2

Aufgabe 4

(b) ist falsch, da in R2 span

Aufgabe 4

, span

Aufgabe 4

, span

Aufgabe 4

, span

paarweise verschieden und eindimensional sind.

Aufgabe 4

, span

paarweise verschieden und eindimensional sind.

Aufgabe 5

Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die

lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123

0� 012

0� 101

1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,

(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung)

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektiv

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.

Wir zeigen dass0� 1

0� 012

0� 101

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

1A linear unabhangig sind.

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

1A linear unabhangig sind. Seien

λ, µ, ν so dass

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

λ, µ, ν so dass λ

0� 123

1A + µ

0� 012

1A + ν

0� 101

1A = ~0.

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

0� 123

1A + µ

0� 012

1A + ν

0� 101

1A = ~0. Das ist das folgende lineare

Gleichungssystem

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

0� 123

1A + µ

0� 012

1A + ν

0� 101

Gleichungssystem8<: λ + ν = 0

2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

0� 123

1A + µ

0� 012

1A + ν

0� 101

2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0

Wir losen es: Gleichung 3 minus

Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0;

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

0� 123

1A + µ

0� 012

1A + ν

0� 101

2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0

Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2,

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

0� 123

1A + µ

0� 012

1A + ν

0� 101

2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0

Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

0� 123

1A + µ

0� 012

1A + ν

0� 101

2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0

Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0.

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

0� 123

1A + µ

0� 012

1A + ν

0� 101

2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0

Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0. Also, nur die trivialeLinearkombination der Vektoren ist gleich ~0.

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

0� 123

1A + µ

0� 012

1A + ν

0� 101

2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0

Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0. Also, nur die trivialeLinearkombination der Vektoren ist gleich ~0. Deswegen sind die Vektorenlinear unabhangig.

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

0� 123

1A + µ

0� 012

1A + ν

0� 101

2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0

Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0. Also, nur die trivialeLinearkombination der Vektoren ist gleich ~0. Deswegen sind die Vektorenlinear unabhangig.Dann ist die Matrix A der Abbildung nichtausgeartet,

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

0� 123

1A + µ

0� 012

1A + ν

0� 101

2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0

Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0. Also, nur die trivialeLinearkombination der Vektoren ist gleich ~0. Deswegen sind die Vektorenlinear unabhangig.Dann ist die Matrix A der Abbildung nichtausgeartet,und deswegen istdie Abbildung ein Isomorphismus,

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

0� 123

1A + µ

0� 012

1A + ν

0� 101

2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0

Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0. Also, nur die trivialeLinearkombination der Vektoren ist gleich ~0. Deswegen sind die Vektorenlinear unabhangig.Dann ist die Matrix A der Abbildung nichtausgeartet,und deswegen istdie Abbildung ein Isomorphismus, also ist bijektiv,

Aufgabe 5

0� 012

0� 101

0� 012

0� 101

0� 123

1A + µ

0� 012

1A + ν

0� 101

2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0

Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0. Also, nur die trivialeLinearkombination der Vektoren ist gleich ~0. Deswegen sind die Vektorenlinear unabhangig.Dann ist die Matrix A der Abbildung nichtausgeartet,und deswegen istdie Abbildung ein Isomorphismus, also ist bijektiv, also ist surjektiv undinjektiv.

Allgemeiner Hinweis:

Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten)

Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.

Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht,

Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht, probieren Sie dass gezielt zu machen.

Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht, probieren Sie dass gezielt zu machen.Bsp: Aufgabe 5. Betrachten Sie die lineare Abbildung, die die Vektoren

e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 1

0� 012

0� 101

1A uberfuhrt. Ist die

Abbildung (a) surjektiv, (b) injektiv?

0� 012

0� 101

Abbildung (a) surjektiv, (b) injektiv?Die Matrix der Abbildung ist

1 0 12 1 03 2 1

Dann der Vektor x =0�x1

1A wird auf Ax abgebildet.

0� 012

0� 101

1 0 12 1 03 2 1

Abbildung ist surjektiv falls Bildf = R3, also falls jedes b ∈ R

0� 012

0� 101

1 0 12 1 03 2 1

3 ist Ax furirgendwelches x ∈ R

0� 012

0� 101

1 0 12 1 03 2 1

3. Also die Abbildung ist surjektiv,

0� 012

0� 101

1 0 12 1 03 2 1

3. Also die Abbildung ist surjektiv, falls Ax = b furalle b losbar ist.Abbildung ist injektiv falls Ax = Ay

0� 012

0� 101

1 0 12 1 03 2 1

3. Also die Abbildung ist surjektiv, falls Ax = b furalle b losbar ist.Abbildung ist injektiv falls Ax = Ay nur fur x = y .

0� 012

0� 101

1 0 12 1 03 2 1

3. Also die Abbildung ist surjektiv, falls Ax = b furalle b losbar ist.Abbildung ist injektiv falls Ax = Ay nur fur x = y . Das ist auch einlineares Gleichungssystem auf

0� 012

0� 101

1 0 12 1 03 2 1

3. Also die Abbildung ist surjektiv, falls Ax = b furalle b losbar ist.Abbildung ist injektiv falls Ax = Ay nur fur x = y . Das ist auch einlineares Gleichungssystem auf unbekannten xi .

Aufgabe 6

Die lineare Abbildung f : R2 → R

2 bildet die Vektoren�

�1−1

Aufgabe 6

�1−1

�jeweils auf die Vektoren

Aufgabe 6

�1−1

�ab.

Aufgabe 6

�1−1

�ab. Man bestimme die Matrix

der Abbildung und das Bild des Vektors

Aufgabe 6

�1−1

der Abbildung und das Bild des Vektors�

Aufgabe 6

�1−1

Man kann sofort sehen,

Aufgabe 6

�1−1

Man kann sofort sehen, dass 12

�+ 1

�1−1

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies

wie folgt bekommen:

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

wie folgt bekommen:λ

�+ µ

�1−1

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 12

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 12

�+ µ

�1−1

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 12

�+ µ

�1−1

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 12

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 0λ− µ = 1

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 12

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 0λ− µ = 1

⇐⇒

(λ = 1

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 12

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 0λ− µ = 1

⇐⇒

(λ = 1

2µ = − 1

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 12

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 0λ− µ = 1

⇐⇒

(λ = 1

2µ = − 1

Dann ist

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 12

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 0λ− µ = 1

⇐⇒

(λ = 1

2µ = − 1

Dann ist f

��10

��Linearitat

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 12

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 0λ− µ = 1

⇐⇒

(λ = 1

2µ = − 1

Dann ist f

��10

��Linearitat

��11

��+ 1

��1−1

��=

�1/21

�3/20

��01

��Linearitat

��11

��−

��1−1

��=

�1/21

�−

�3/20

�−11

Also, die Matrix der Abbildung ist

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 12

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 0λ− µ = 1

⇐⇒

(λ = 1

2µ = − 1

Dann ist f

��10

��Linearitat

��11

��+ 1

��1−1

��=

�1/21

�3/20

��01

��Linearitat

��11

��−

��1−1

��=

�1/21

�−

�3/20

�−11

2 −11 1

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 12

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 0λ− µ = 1

⇐⇒

(λ = 1

2µ = − 1

Dann ist f

��10

��Linearitat

��11

��+ 1

��1−1

��=

�1/21

�3/20

��01

��Linearitat

��11

��−

��1−1

��=

�1/21

�−

�3/20

�−11

2 −11 1

. Der Vektor

wird auf(

2 −11 1

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 12

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 0λ− µ = 1

⇐⇒

(λ = 1

2µ = − 1

Dann ist f

��10

��Linearitat

��11

��+ 1

��1−1

��=

�1/21

�3/20

��01

��Linearitat

��11

��−

��1−1

��=

�1/21

�−

�3/20

�−11

2 −11 1

. Der Vektor

wird auf(

2 −11 1

2x − yx + y

Aufgabe 6

�1−1

�+ 1

�1−1

�−

�1−1

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 1λ− µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 12

�+ µ

�1−1

�⇐⇒

�λ + µ = 0λ− µ = 1

⇐⇒

(λ = 1

2µ = − 1

Dann ist f

��10

��Linearitat

��11

��+ 1

��1−1

��=

�1/21

�3/20

��01

��Linearitat

��11

��−

��1−1

��=

�1/21

�−

�3/20

�−11

2 −11 1

. Der Vektor

wird auf(

2 −11 1

2x − yx + y

abgebildet.

Terminologie:

Terminologie: Seien X und Y Mengen

Terminologie: Seien X und Y Mengen f : X → Y eine Abbildung.

Terminologie: Seien X und Y Mengen f : X → Y eine Abbildung.Fur jedes a ∈ A heißt f (a) das Bild von a

Terminologie: Seien X und Y Mengen f : X → Y eine Abbildung.Fur jedes a ∈ A heißt f (a) das Bild von a (unter der Abbildungf ).“Bestimme das Bild des Vektors”

Terminologie: Seien X und Y Mengen f : X → Y eine Abbildung.Fur jedes a ∈ A heißt f (a) das Bild von a (unter der Abbildungf ).“Bestimme das Bild des Vektors”=

Terminologie: Seien X und Y Mengen f : X → Y eine Abbildung.Fur jedes a ∈ A heißt f (a) das Bild von a (unter der Abbildungf ).“Bestimme das Bild des Vektors”= “finde in welche Vektor wirdunser Vektor uberfuhrt”.

Aufgabe 7

Seien V ,W Vektorraume,

Aufgabe 7

Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V

Aufgabe 7

Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung.

Aufgabe 7

Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)

(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.

(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.

Aufgabe 7

(a) ist richtig.

Aufgabe 7

(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0.

Aufgabe 7

(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist

f (λ1v1 + ... + λnvn)

Aufgabe 7

f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat

Aufgabe 7

= λ1f (v1) + ... + λnf (vn)

Aufgabe 7

= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0,

Aufgabe 7

= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.

Aufgabe 7

= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)}

Aufgabe 7

= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist,

Aufgabe 7

= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist, sind alle λi gleich 0.

Aufgabe 7

= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist, sind alle λi gleich 0.(b) ist falsch.

Aufgabe 7

= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist, sind alle λi gleich 0.(b) ist falsch. Wir konstruieren ein Gegenbeispiel.

Aufgabe 7

= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist, sind alle λi gleich 0.(b) ist falsch. Wir konstruieren ein Gegenbeispiel. Betrachte die

Abbildung f : R2 → R

Aufgabe 7

2, f (v) = ~0.

Aufgabe 7

2, f (v) = ~0. Die Menge

Aufgabe 7

ist linear

unabhangig,

Aufgabe 7

ist linear

unabhangig, die Bildmenge {~0} nicht.

Aufgabe 7

ist linear

unabhangig, die Bildmenge {~0} nicht.

Aufgabe 8

Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

AX + B = C

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

AX + B = C ⇐⇒ AX = C − B

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

AX + B = C ⇐⇒ AX = C − Bfalls A nichtausgeartet

⇐⇒

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

⇐⇒ X = A−1(C − B).

C − B =

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

⇐⇒ X = A−1(C − B).

C − B =

−20 40 −4

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

⇐⇒ X = A−1(C − B).

C − B =

−20 40 −4

. Lass uns A−1 ausrechnen.

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

⇐⇒ X = A−1(C − B).

C − B =

−20 40 −4

. Lass uns A−1 ausrechnen.�2 2 1 01 −1 0 1

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

⇐⇒ X = A−1(C − B).

C − B =

−20 40 −4

� �2 2 1 0

0 −2 −12

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

⇐⇒ X = A−1(C − B).

C − B =

−20 40 −4

� �2 2 1 0

0 −2 −12

� 2 0 1

0 −2 −12

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

⇐⇒ X = A−1(C − B).

C − B =

−20 40 −4

� �2 2 1 0

0 −2 −12

� 2 0 1

0 −2 −12

! 1 0 1

0 1 14−

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

⇐⇒ X = A−1(C − B).

C − B =

−20 40 −4

� �2 2 1 0

0 −2 −12

� 2 0 1

0 −2 −12

! 1 0 1

0 1 14−

!Also, A−1 =

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

⇐⇒ X = A−1(C − B).

C − B =

−20 40 −4

� �2 2 1 0

0 −2 −12

� 2 0 1

0 −2 −12

! 1 0 1

0 1 14−

!Also, A−1 =

!Dann ist X = A−1(C − B) =

!�−20 4

0 −4

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

⇐⇒ X = A−1(C − B).

C − B =

−20 40 −4

� �2 2 1 0

0 −2 −12

� 2 0 1

0 −2 −12

! 1 0 1

0 1 14−

!Also, A−1 =

!�−20 4

0 −4

�−5 −1−5 3

Aufgabe 8

2 21 −1

, B :=

2 3−3 2

, C :=

−18 7−3 −2

⇐⇒ X = A−1(C − B).

C − B =

−20 40 −4

� �2 2 1 0

0 −2 −12

� 2 0 1

0 −2 −12

! 1 0 1

0 1 14−

!Also, A−1 =

!�−20 4

0 −4

�−5 −1−5 3

Aufgabe 9

Invertieren Sie die Matrix

Aufgabe 9

Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2

1 3 −22 −1 0

Aufgabe 9

1 3 −22 −1 0

1A und berechnen Sie

ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1

Aufgabe 9

1 3 −22 −1 0

1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1

Aufgabe 9

1 3 −22 −1 0

1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1

1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

Aufgabe 9

1 3 −22 −1 0

1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1

1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A (∗)0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

Aufgabe 9

1 3 −22 −1 0

1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1

1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A (∗)0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A 0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 0

0 0 1 −74

Aufgabe 9

1 3 −22 −1 0

1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1

1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A (∗)0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A 0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 0

0 0 1 −74

1AAlso, die inverse Matrix ist

Aufgabe 9

1 3 −22 −1 0

1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1

1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A (∗)0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A 0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 0

0 0 1 −74

0� −12

−1 1 0

Aufgabe 9

1 3 −22 −1 0

1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1

1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A (∗)0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A 0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 0

0 0 1 −74

0� −12

−1 1 0

1ADeterminante ausrechnen kann man mit Hilfe der mnemonischen Regel,

Aufgabe 9

1 3 −22 −1 0

1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1

1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A (∗)0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A 0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 0

0 0 1 −74

0� −12

−1 1 0

1ADeterminante ausrechnen kann man mit Hilfe der mnemonischen Regel,der Laplace-Entwicklung.

Aufgabe 9

1 3 −22 −1 0

1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1

1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A (∗)0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A 0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 0

0 0 1 −74

0� −12

−1 1 0

1ADeterminante ausrechnen kann man mit Hilfe der mnemonischen Regel,der Laplace-Entwicklung. Noch einfache ist zu merken,

Aufgabe 9

1 3 −22 −1 0

1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1

1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A (∗)0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A 0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 0

0 0 1 −74

0� −12

−1 1 0

1ADeterminante ausrechnen kann man mit Hilfe der mnemonischen Regel,der Laplace-Entwicklung. Noch einfache ist zu merken, dass bis zum (∗)wir nur λ-facher einer Zeile zu anderen addiert haben, und dieseelementare Zeilenumformung andert die Determinante nicht.

Aufgabe 9

1 3 −22 −1 0

1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1

1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A (∗)0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A 0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 0

0 0 1 −74

0� −12

−1 1 0

1ADeterminante ausrechnen kann man mit Hilfe der mnemonischen Regel,der Laplace-Entwicklung. Noch einfache ist zu merken, dass bis zum (∗)wir nur λ-facher einer Zeile zu anderen addiert haben, und dieseelementare Zeilenumformung andert die Determinante nicht. Also,

det0� 1 2 −2

1 3 −22 −1 0

1A = det0� 1 0 −2

0 1 00 0 4

1A Oberdiagonal= 1 · 1 · 4 = 4

Aufgabe 9

1 3 −22 −1 0

1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1

1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A (∗)0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1

1A 0� 1 0 0 −12

0 1 0 −1 1 0

0 0 1 −74

0� −12

−1 1 0

1ADeterminante ausrechnen kann man mit Hilfe der mnemonischen Regel,der Laplace-Entwicklung. Noch einfache ist zu merken, dass bis zum (∗)wir nur λ-facher einer Zeile zu anderen addiert haben, und dieseelementare Zeilenumformung andert die Determinante nicht. Also,

det0� 1 2 −2

1 3 −22 −1 0

1A = det0� 1 0 −2

0 1 00 0 4

1A Oberdiagonal= 1 · 1 · 4 = 4

Aufgabe 10

Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.

Aufgabe 10

Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade ist

Aufgabe 10

Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det

�a11 a12a21 a22

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

�= a11a22 − a12a21.

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist

a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1)

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n)

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n) Matrix deren Eintrage ±1 sind ist

ganzzahlig und gerade.

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

ganzzahlig und gerade. Betrachte A =

0BB� a11 ... a1n

.an1 ... ann

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

0BB� a11 ... a1n

.an1 ... ann

1CCA, wobei alle

aij = ±1.

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

0BB� a11 ... a1n

.an1 ... ann

1CCA, wobei alle

aij = ±1. Wir benutzen die Laplace-Spaltenentwicklung.

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

0BB� a11 ... a1n

.an1 ... ann

1CCA, wobei alle

det(A) :=n∑

(−1)i+jaijdet(AStrij )

Jede Summante

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

0BB� a11 ... a1n

.an1 ... ann

1CCA, wobei alle

det(A) :=n∑

Jede Summante (−1)i+jaijdet(AStrij )

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

0BB� a11 ... a1n

.an1 ... ann

1CCA, wobei alle

det(A) :=n∑

Jede Summante (−1)i+jaijdet(AStrij ) ist ganzzahlig und gerade, da

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

0BB� a11 ... a1n

.an1 ... ann

1CCA, wobei alle

det(A) :=n∑

Jede Summante (−1)i+jaijdet(AStrij ) ist ganzzahlig und gerade, da aij

ganzzahlig

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

0BB� a11 ... a1n

.an1 ... ann

1CCA, wobei alle

det(A) :=n∑

ganzzahlig ist und det(AStrij ) gerade nach I.V.

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

0BB� a11 ... a1n

.an1 ... ann

1CCA, wobei alle

det(A) :=n∑

ganzzahlig ist und det(AStrij ) gerade nach I.V. ist;

Aufgabe 10

�a11 a12a21 a22

0BB� a11 ... a1n

.an1 ... ann

1CCA, wobei alle

det(A) :=n∑

ganzzahlig ist und det(AStrij ) gerade nach I.V. ist; also ist die Summe

auch ganzzahlig und gerade.

Sie konnen die Klausur ab Montag innerhalb von

Sie konnen die Klausur ab Montag innerhalb von zwei Wochen beimir im Buro (EAP 3531) ansehen. (Nach der zweiten Klausurbekommen Sie auch eine Moglichkeit.)

Aufgabe 1 so-so

Aufgabe 2 schlecht

Aufgabe 3 ganz gut

Aufgabe 4 katastrophal

Aufgabe 5 noch schlechter

Aufgabe 6 ganz gut

Aufgabe 7 katastrophal schlecht

Aufgabe 8 ganz gut

Aufgabe 9 ganz gut

Aufgabe 10 katastrophal schlecht

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

Definition

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

Definition Zeilenrang

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz)

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]})

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n).

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix

A (Bezeichnung: rks)

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

1CCA})

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

1CCA})

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

1CCA})

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

1CCA})in R

m ≡ Mat(m, 1).Bsp:

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

1CCA})in R

m ≡ Mat(m, 1).Bsp: Zeilenrang und Spaltenrang der 0-Matrix sind gleich 0.

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

1CCA})in R

m ≡ Mat(m, 1).Bsp: Zeilenrang und Spaltenrang der 0-Matrix sind gleich 0.Bsp:

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

1CCA})in R

m ≡ Mat(m, 1).Bsp: Zeilenrang und Spaltenrang der 0-Matrix sind gleich 0.Bsp: Zeilen und Spaltenrang der (n × n) Id-Matrix sind gleich n.

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

1CCA})in R

Tatsachlich,

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

1CCA})in R

Tatsachlich,die Spalten sind

0BBBB�10

1CCCCA ,

0BBBB�01

1CCCCA , ...,

0BBBB�00

1CCCCA und sind die

Standard-Basisvektoren von Rn.

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

1CCA})in R

0BBBB�10

1CCCCA ,

0BBBB�01

1CCCCA , ...,

0BBBB�00

1CCCCA und sind die

Die Zeilen sind (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1)

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

1CCA})in R

0BBBB�10

1CCCCA ,

0BBBB�01

1CCCCA , ...,

0BBBB�00

1CCCCA und sind die

Die Zeilen sind (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) und sind dieStandard-Basismatrizen von Mat(1, n).

Sei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA∈ Mat(m, n)

({ 0BB�a11

1CCA , ...,

0BB�a1n

1CCA})in R

0BBBB�10

1CCCCA ,

0BBBB�01

1CCCCA , ...,

0BBBB�00

1CCCCA und sind die

Die Zeilen sind (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) und sind dieStandard-Basismatrizen von Mat(1, n).

HauptBsp.

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

, wobei Idk,k ist die

Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r)

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0;

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0; ebensosind die erste k Zeilen die Standard-Basismatrizen desMat(k + p, 1) ≡ R

k+p und die andere sind ~0;)

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

Bsp. A ∈ Mat(n, n) sei nichtausgeartet.

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

Bsp. A ∈ Mat(n, n) sei nichtausgeartet. Dann ist rks(A) = rkz(A) = n.

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

Tatsachlich,

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

Tatsachlich, nach Satz 11 sind die Spalten von A

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

Tatsachlich, nach Satz 11 sind die Spalten von A linear unabhangig,

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

Tatsachlich, nach Satz 11 sind die Spalten von A linear unabhangig, also

rks(A) = n.

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

rks(A) = n. Nach Satz 18 ist die transponierte Matrix auch

nichtausgeartet;

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

nichtausgeartet; da die Spalten von At sind die Zeilen von A,

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

nichtausgeartet; da die Spalten von At sind die Zeilen von A, sind die

Zeilen von A linear unabhangig;

HauptBsp. A :=

Idk,k 0k,p

0r ,k 0r ,p

0BBBBBBBB� 11

nichtausgeartet; da die Spalten von At sind die Zeilen von A, sind die

Zeilen von A linear unabhangig; also rkz(A) = n.

Satz 22 – Definition 25

Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A).

Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A

Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.

Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Vor dem Beweis.

Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Vor dem Beweis.Lemma 17 (AB)t = B tAt

Beweis. Hausaufgabe 1, Blatt 7.

Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Vor dem Beweis.Lemma 17 (AB)t = B tAt

Beweis. Hausaufgabe 1, Blatt 7.

Lemma 18

Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.

Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)

(ii)= rks(AC ).

In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.

(ii)= rks(AC ).

In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis.

(ii)= rks(AC ).

In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen:

(ii)= rks(AC ).

In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).

f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat

= λ1f (e1) + ... + λnf (en).

(ii)= rks(AC ).

= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}).

(ii)= rks(AC ).

= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te

(ii)= rks(AC ).

= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist,

(ii)= rks(AC ).

= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).

(ii)= rks(AC ).

= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst

(ii)= rks(AC ).

= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i).

(ii)= rks(AC ).

= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA

= KernfA .

(ii)= rks(AC ).

= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also

(ii)= rks(AC ).

= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA

(ii)= rks(AC ).

.Ahnlich,

(ii)= rks(AC ).

.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA

(ii)= rks(AC ).

, dann BAx = ~0,

(ii)= rks(AC ).

, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0,

(ii)= rks(AC ).

, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0,

(ii)= rks(AC ).

, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA .

(ii)= rks(AC ).

, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA

) = dim(KernfA).

(ii)= rks(AC ).

) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel

(ii)= rks(AC ).

) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel ist

dim(Rn) = dim(BildfA) +dim(KernfA)

(ii)= rks(AC ).

dim(Rn) = dim(BildfA) +dim(KernfA)dim(Rn) = dim(BildfBA

) +dim(KernfBA)

Dann ist dim(BildfA) = dim(BildfBA),

(ii)= rks(AC ).

) +dim(KernfBA)

Dann ist dim(BildfA) = dim(BildfBA), und deswegen rks(A) = rks(BA).

(ii)= rks(AC ).

) +dim(KernfBA)

Wir beweisen jetzt

(ii)= rks(AC ).

) +dim(KernfBA)

Wir beweisen jetzt (ii).BildfA := {Av wobei v ∈ R

n}BildfAC

:= {ACu wobei v ∈ Rn}

(ii)= rks(AC ).

) +dim(KernfBA)

n}BildfAC

Da C nichtausgeartet ist,

(ii)= rks(AC ).

) +dim(KernfBA)

n}BildfAC

Da C nichtausgeartet ist, fur jedes v ∈ Rn gibt es

(ii)= rks(AC ).

) +dim(KernfBA)

n}BildfAC

Da C nichtausgeartet ist, fur jedes v ∈ Rn gibt es u ∈ R

(ii)= rks(AC ).

) +dim(KernfBA)

n}BildfAC

n mit Cu = v(Satz 20),

(ii)= rks(AC ).

) +dim(KernfBA)

n}BildfAC

n mit Cu = v(Satz 20), und deswegen BildfA = BildfAC .

(ii)= rks(AC ).

) +dim(KernfBA)

n}BildfAC

n mit Cu = v(Satz 20), und deswegen BildfA = BildfAC . Also, rks(A) = rks(AC ).

Lemma 19

Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann

fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt

fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)

(ii)= rkz(AC ).

In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.

(ii)= rkz(AC ).

In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.

(ii)= rkz(AC ).

In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis.

(ii)= rkz(AC ).

In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗)

(ii)= rkz(AC ).

In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).

(ii)= rkz(AC ).

(i): rkz(BA)(∗)=

(ii)= rkz(AC ).

(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)

Lem.17=

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

(ii): rkz(AC )

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

(ii): rkz(AC )(∗)=

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)

Lem.17=

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lem.17= rks(C

tAt)Lem.18

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lem.17= rks(C

tAt)Lem.18

= rks(At)

(∗)=

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lem.17= rks(C

tAt)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lemma 20

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lem.17= rks(C

tAt)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lem.17= rks(C

tAt)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis.

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lem.17= rks(C

tAt)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix,

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lem.17= rks(C

tAt)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix, nach Lemma 18 andern dies nichtden Spaltenrang.

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lem.17= rks(C

tAt)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix, nach Lemma 18 andern dies nichtden Spaltenrang. Multiplizieren von rechts mit einer Elementarmatrix isdasselbe wie elementare

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lem.17= rks(C

tAt)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix, nach Lemma 18 andern dies nichtden Spaltenrang. Multiplizieren von rechts mit einer Elementarmatrix isdasselbe wie elementare Spaltenumformung.

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lem.17= rks(C

tAt)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix, nach Lemma 18 andern dies nichtden Spaltenrang. Multiplizieren von rechts mit einer Elementarmatrix isdasselbe wie elementare Spaltenumformung. (Man kann das directnachweisen wie in Hausaufgabe 1, Blatt 6)

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lem.17= rks(C

tAt)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix, nach Lemma 18 andern dies nichtden Spaltenrang. Multiplizieren von rechts mit einer Elementarmatrix isdasselbe wie elementare Spaltenumformung. (Man kann das directnachweisen wie in Hausaufgabe 1, Blatt 6) Nach Lemma 18 andert dies

(ii)= rkz(AC ).

Lem.17= rks(A

tB t)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lem.17= rks(C

tAt)Lem.18

= rks(At)

(∗)= rkz(A).

Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix, nach Lemma 18 andern dies nichtden Spaltenrang. Multiplizieren von rechts mit einer Elementarmatrix isdasselbe wie elementare Spaltenumformung. (Man kann das directnachweisen wie in Hausaufgabe 1, Blatt 6) Nach Lemma 18 andert diesden Spaltenrang nicht.

Satz 22 – Definition 25

Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.

Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Idee des Beweises des Satzes 22:

Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Idee des Beweises des Satzes 22: wir zeigen dass mit Hilfe vonelementaren Zeilen- und Spaltenumformungen kann man die Matrix in dieForm wie in HauptBsp.

�Idk,k 0k,p

0r,k 0r,p

�bringen.

�Idk,k 0k,p

0r,k 0r,p

�bringen. Fur diese Matrix rkz = rks .

�Idk,k 0k,p

0r,k 0r,p

Da die elementare Zeilen- und Spaltenumformungen andern weder Zeilen-noch Spaltenrang,

�Idk,k 0k,p

0r,k 0r,p

Da die elementare Zeilen- und Spaltenumformungen andern weder Zeilen-noch Spaltenrang, ist rkz(A) = rks(A).

�Idk,k 0k,p

0r,k 0r,p

Beweis des Satzes 22:

�Idk,k 0k,p

0r,k 0r,p

Beweis des Satzes 22: Sei A eine m × n Matrix. Wir bringen mit Hilfe von

elementaren Zeilen und Spaltenumformungen die Matrix A in die Form�Idk,k 0k,p

0r,k 0r,p

�Idk,k 0k,p

0r,k 0r,p

�. Parallel zum Beweis werden wir alle Schritte auf der Matrix0�0 1 2 3

1 2 3 42 3 4 5

1A anwenden.

�Idk,k 0k,p

0r,k 0r,p

�. Parallel zum Beweis werden wir alle Schritte auf der Matrix0�0 1 2 3

1 2 3 42 3 4 5

1A anwenden.

Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein

von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):

von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4

0 1 2 32 3 4 5

1AFalls es nicht moglich ist,

0 1 2 32 3 4 5

1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.

0 1 2 32 3 4 5

1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.

0 1 2 32 3 4 5

1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m

0 1 2 32 3 4 5

1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1

zu der i−te Zeile.

0 1 2 32 3 4 5

zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich

0 1 2 32 3 4 5

zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110

1CCCCA ist.

0 1 2 32 3 4 5

1CCCCA ist.0�1 2 3 4

0 1 2 30 −1 −2 −3

1ASchritt 1c:

0 1 2 32 3 4 5

0 1 2 30 −1 −2 −3

1ASchritt 1c: Fur jedes j > 1, j ≤ n

0 1 2 32 3 4 5

0 1 2 30 −1 −2 −3

1ASchritt 1c: Fur jedes j > 1, j ≤ n addieren wir die erste Spalte mal −

0 1 2 32 3 4 5

0 1 2 30 −1 −2 −3

zu der j−te Spalte.

0 1 2 32 3 4 5

0 1 2 30 −1 −2 −3

zu der j−te Spalte. Wir bekommen

0BB� a11

irgendwas

0 1 2 32 3 4 5

0 1 2 30 −1 −2 −3

0BB� a11

irgendwas

1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

0 1 2 32 3 4 5

0 1 2 30 −1 −2 −3

0BB� a11

irgendwas

1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

1ASchritt 1d:

0 1 2 32 3 4 5

0 1 2 30 −1 −2 −3

0BB� a11

irgendwas

1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

1ASchritt 1d: Wir dividieren die erste Spalte durch a11.

0 1 2 32 3 4 5

0 1 2 30 −1 −2 −3

0BB� a11

irgendwas

1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

1ASchritt 1d: Wir dividieren die erste Spalte durch a11. Wir bekommen0BB� 1

irgendwas

0 1 2 32 3 4 5

0 1 2 30 −1 −2 −3

0BB� a11

irgendwas

1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

irgendwas

1CCASchritt k: Wir wiederholen die Schritte 1a, 1b, 1c, 1d fur die

((m − k + 1) × (n − k + 1)) Untermatrix,

0 1 2 32 3 4 5

0 1 2 30 −1 −2 −3

0BB� a11

irgendwas

1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

irgendwas

((m − k + 1) × (n − k + 1)) Untermatrix, die im rechten unteren Ecke

steht. Falls wir den Schritt ka nicht tun konnen (also falls alle Eintrage

der Untermatrix gleich Null sind), dann ist unsere Matrix schon in der

gewunchnten Form.

0 1 2 32 3 4 5

0 1 2 30 −1 −2 −3

0BB� a11

irgendwas

1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

irgendwas

((m − k + 1) × (n − k + 1)) Untermatrix, die im rechten unteren Ecke

steht. Falls wir den Schritt ka nicht tun konnen (also falls alle Eintrage

der Untermatrix gleich Null sind), dann ist unsere Matrix schon in der

gewunchnten Form.

Fur k=2:

1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

Fur k=2:

1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

Schritt 2a. Der (2, 2)-Element ist schon nicht Null.

Fur k=2:

1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

Schritt 2b.

1 0 0 00 1 2 30 0 0 0

Fur k=2:

1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

Schritt 2b.

1 0 0 00 1 2 30 0 0 0

Schritt 2c:

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

Fur k=2:

1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

Schritt 2b.

1 0 0 00 1 2 30 0 0 0

Schritt 2c:

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

Die Matrix ist in der Form wir brauchen.

Fur k=2:

1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

Schritt 2b.

1 0 0 00 1 2 30 0 0 0

Schritt 2c:

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

Die Matrix ist in der Form wir brauchen. Ihr Rang ist 2.

Fur k=2:

1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

Schritt 2b.

1 0 0 00 1 2 30 0 0 0

Schritt 2c:

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

Der Satz gibt uns auch eine Methode: um Rang einer Matrix zuberechnen,

Fur k=2:

1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

Schritt 2b.

1 0 0 00 1 2 30 0 0 0

Schritt 2c:

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

Der Satz gibt uns auch eine Methode: um Rang einer Matrix zuberechnen, mussen wir Sie in die Form

�Idk,k 0k,p

0r,k 0r,p

Fur k=2:

1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3

Schritt 2b.

1 0 0 00 1 2 30 0 0 0

Schritt 2c:

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

Der Satz gibt uns auch eine Methode: um Rang einer Matrix zuberechnen, mussen wir Sie in die Form

�Idk,k 0k,p

0r,k 0r,p

�bringen.

Betrachte ein lineares Gleichungssystem

8>><>>: a11x1+ ... +a1nxn = b1

.am1x1+ ... +amnxn = bm

In Matrix Form: Ax = b, wobei A =

0BB� a11 ... a1n

.am1 ... amn

1CCA )Definition 26 Die (m × n) Matrix A heißt die Koeffizientenmatrix des

Systems. Die (m × (n + 1))-Matrix

0BB� a11 ... a1n b1

am1 ... amn bm

1CCA heißt die

erweiterte Matrix.Satz 23 Betrachte das linearen Gleichungssystem Ax = b. Dann gilt:

(a) Das System ist genau dann losbar, wenn der Rang derKoeffizientenmatrix gleich den Rang der erweiterten Matrix ist.

(b) Sei x eine Losung des System. Dann fur jede Losung x liegt derVektor x − x in KernfA , und fur jedes v ∈ KernfA ist x + v auch eineLosung.

L¨osungen der Klausur: Aufgabe 1matveev/Lehre/LA0607/vorlesung15.pdf · R :=...

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