MHD-Gleichgewicht

Bjp

Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft(Ströme senkrecht zum Magnetfeld)

0 pB

Druck entlang von MF-Linien ist konstant

Kraftgleichung (stationär)

Grundlage des magnetischen Einschlusses von Plasmen

r

zB

Iz

BjBjBjp zz

Beispiel: Z-Pinch

a) stabil

b) marginal

c) instabil

d) linear instabil

e) linear stabil

Stabilität von Gleichgewichten

Beispiel aus der Hydrodynamik: Rayleigh-Taylor Instabilität

gpdt

vd Kraftgleichung:

Ausgangspunkt: MHD-Gleichungen

0)v( t

Kontinuitätsgleichung

Bjpt

v)v(vKraftgleichung

):(0v jresistivBE Ohmsches Gesetz

Maxwell-Gleichungen

0,,0

BBjEt

B

Adiabatische Zustandsänderung: 0)(

dt

pd

Und dazu noch:

Nichtlineare Stabilität: numerische Lösung der MHD Gleichungen

Einfacher: Lineare Stabilität:

Betrachte kleine Störungen des GG 000 Bjp

Störungsansatz für , v, p, B:

z.B. ),()(),( 10 trrtr

Stabilitätsuntersuchungen

00 vFür statische Gleichgewichte findet man Gleichungenfür die zeitliche Entwicklung der gestörten Größen 1, v1, p1, B1

Lineare Stabilitätsuntersuchungen

10011 vvt

Kontinuitätsgleichung:

010

100

11

0

11vBBBBp

t

Kraftgleichung ( mit ) Bj

0

1

Faradaysches + Ohmsches Gesetz:

0v BE,Et

B

011 Bvt

B

Lineare Stabilitätsuntersuchungen

Adiabatengesetz: 00)(

p

vtdt

pd

011

11

vp

pvt

p

t

p

Mit Kontinuitätsgleichung: vvt

011

11

vp

pvvvp

t

p

0

vppvt

p 10011 vppvt

p

Kraftgleichung

10011 vppvt

p

010

100

11

0

11vBBBBp

t

011 Bvt

B

Statt v1 anschaulichere Größe (Zeitintegral von v1) verwenden

: Verschiebungsvektor (kleine Verschiebung des GG-Zustandes)

011 BB

0011 ppp

010

100

121

2

0

11BBBBp

t

011000 )( BjBjpp

Keine Quellen und Senkenin idealer MHD

EW-Problem mit reellem 2

2 > 0: Schwingungen um GG-Lage => Alfvèn-Wellen

2 < 0, Im >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einerAnfangsstörung

Eigenwertproblem in linearer MHD

),((2

2

0 trFt

tiertr )(),(

))(()(20 rFr

011000 )()( BjBjppF

)( 01 BB 011 /)( Bj

Die treibenden Kräfte

Einfachster Fall: homogenes Plasma 0,0 00 jp

Keine Instabilitäten, aber Wellenausbreitung

Zusätzlich zu Schallwellen: Alfvèn-Wellen

Wellen im Gas bzw. im Plasma ohne Magnetfeld:

Schallwellen

Ausbreitungsgeschwindigkeit: p

cs

Scher- Alfvèn-Wellen

Magnetfeld-Energie

Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und

00

0

B

vv Aph Charakteristische (Alfvèn-) Geschwindigkeit

Kompressionale Alfvèn-Wellen

Kompressions-Energie

Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und

0

0

00

20

pB

vph Charakteristische Geschwindigkeit:

MHD-Instabilitäten

tiertr )(),(

2 < 0, Im >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einerAnfangsstörung

))(()(20 rFr

011000 )()( BjBjppF

getrieben durch Druckgradienten und Plasmaströme

(detaillierter behandelt im 2. Semester)

Auch Rotation kann Quelle freier Energie sein

Beispiel: Magnetorotations-Instabilität in Akkretionsscheiben

Bilanzierung von Gravitation und Zentrifugalkraft:22 / rmgrm

Magnetorotations-Instabilität in Akkretionsscheiben

• zwei Massenpunkte (gekoppelt durch vertikales B-Feld) starten am gleichen Radius und laufen durch kleine Anfangsstörung radial auseinander

• Wegen ~r-3/2, gewinnt der nach innen laufende MP in , der nach außen laufende verliert, aber Feldlinienspannung verhindert Auseinanderlaufen

-> auswärts laufendes Element wird durch Kopplung beschleunigt, das nach innen laufende abgebremst-> wegen Drehimpuls P~r1/2, bedeutet Abbremsung weitere Bewegung radial nach innen und Beschleunigung Bewegung radial nach außen-> kleine Anfangsstörung wird verstärkt, System ist instabil!

Woher kommen Magnetfelder in der Astrophysik?

“The core”

BuBt

B

2

0

Zeitliche Entwicklung des Magnetfeldes:

BuBBBt

B

0

22

0

02

2

1

2

)2/(

dVB

...2 0

Betrachte zeitliche Änderung der MF-Energie:

Alle Terme ~B, seed MF kann verstärkt, aber nicht “erschaffen” werden

BBBBBB

dAnBBdVBB

BB

2schon verwendet bei Ableitung obiger Formel

jB

0Am Rand sei j=0

2220

jBB

Reduzierung der MF-Energie durch Dissipation

BuBt

B

2

0

Zeitliche Entwicklung des Magnetfeldes:

dVB

...2 0

Betrachte zeitliche Änderung der MF-Energie:

Alle Terme ~B, seed MF kann verstärkt, aber nicht “erschaffen” werden

BBuBBuBuB

BjujBuBBu

0

1

dAnBBudVBBu

Am Rand sei u=0

BuBBBt

B

0

22

0

02

2

1

2

)2/(

BjuBuB

0

1

Bedeutung???

BjuBuB

0

1

Bedeutung???

puBjudt

du

pBjdt

du

2

1

2

1 2

Analogon: Änderung der kinetischen Energie

Kraftgleichung: | u/2

Umwandlung von MF-Energie in kinetische

BjuBuB

0

1

Beschreibt Umwandlung von kinetischer in MF-Energie

Anfangs-MF kann verstärkt werden = Dynamo!

BjudVjdVB

dVt

2

0

2

2

Änderung der MF-Energie

Ohmsche Dissipation

Umwandlung zwischen kinetischer und MF-Energie

Bt

B 2

0

MF-Energie kann nur auf Kosten der kinetischen Plasmaenergie erhöht werden, in statischen Plasmen zerfällt MF:

mit charakteristischer Zeitskala:20 LM

MF kann anwachsen, wenn ausreichend kinetische Energie zur Verfügung steht

BuB

2

0

MF kann anwachsen, wenn ausreichend kinetische Energie zur Verfügung steht

BuB

2

0

oder magnetische Reynolds-Zahl 10

uLRM

Analogie zur Hydrodynamik:

LuRH

L

u

L

20

entspricht kinematischer Viskosität /

Das Magnetfeld der Erde

fester äußerer Mantel3500 km < r < 6000 km

flüssige Schicht1200 km < r < 3500 km

fester ErdkernR < 1200 km

Aufbau der Erde

Erdmagnetfeld:

Fast Dipolfeld

rmV

VB

1

Äquator: 30 T, magn. Pole: 60 T

• Magnetfeld muss im Erdinneren erzeugt werden, weil es nach außen abfällt

• Magnetfeld kann nicht durch Permanentmagnet erzeugt sein, da im Zentrum Temperatur zu hoch (> Curie-Temperatur)

• Zerfallszeit Jahre (Parameter des flüssigen Erdkerns)

• Änderung der Polarität alle 200000 – 300000 Jahre, aber MF-Stärke etwa konstant (innerhalb Faktor 3) seit 109 Jahren

• magnetische Reynolds-Zahl: 125

53 101...104 M

Das Magnetfeld der Erde

Erdmagnetfeld existiert viel länger als Zerfallszeit!

Dynamo in 2D?

BuBt

B

2

0

Kann man MF aus Bewegung des flüssigen Erdkerns erzeugen?

Wie könnte ein Dynamo funktionieren?

In 2D kein Dynamo, denn Fluss durch blaue Linie ändert sich nicht!

Dynamo in 3D?

BuBt

B

2

0

Kann man MF aus Bewegung des flüssigen Erdkerns erzeugen?

Wie könnte ein Dynamo funktionieren?

Aber in 3D möglich!

Dynamo für ein Dipolfeld?

Ein axisymmetrisches stationäres MF kann man aber nicht mit Dynamo erzeugen

x x

C

NN

Betrachte Kreis C durch neutrale Punkte:

ldBuEdljCC

muss endlich sein

B || dl entlang C (nur toroidales MF)

t

BSdEldE

SC

Widerspruch für stationäres MF!

Erdmagnetfeld

Aber das Erdmagnetfeld ist auch nicht streng ein Dipol-Feld

Betrachte fluktuierendes Feld:

BuBt

B

2

0

Der kinematische Dynamo

Änderung des mittleren Feldes:

Zusätzlicher Term durch Fluktuationen

Änderung des mittleren Feldes:

Zusätzlicher Term durch Fluktuationen

BBv ~~

Betrachte spezielle Form einer Fluktuation

Bewegung der Flüssigkeit auf einer Spirale

B

v

(turbulente Bewegung von sich bewegenden Wirbeln)

BBv ~~

Betrachte spezielle Form einer Fluktuation

Bewegung der Flüssigkeit auf einer Spirale

Störung kann symmetrisches MF erzeugen

Rekonnektion erforderlich

Das Magnetfeld der Erde

Konvektion

Flüssigkeitsbewegung wegen Kühlung der Erde an Oberfläche

• T-Gradient in radialer Richtung

• Konvektion wegen temperaturabhängiger Dichte der Flüssigkeit:

-wärmere (weniger dichte) Flüssigkeit steigt im Gravitationsfeld auf- kühlt dann oben ab- fällt wieder ab

• System rotiert -> Corioliskraft wirkt

Umwandlung von toroidalem in poloidales MF und umgekehrt

Das Magnetfeld der Erde

Flüssigkeitsbewegung wegen Kühlung der Erde an Oberfläche

Simulationsrechnungen

Los Alamos

95% durch Ströme im Erdinneren5% durch Ströme in Hochatmosphäre (v.a. Ionsosphäre)

Dynamo funktioniert bei laminarer Strömung (kleine Reynolds-Zahlen), aber nicht für realistische (turbulente Strömung)

10

uLRM

LuRH

Für (realistische) turbulente Strömung (hohe Re-Zahl) ist RM für Na zu klein -> Plasma?