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3c KinematikBewegungen in einer Dimension
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Wikimania10 September 2008
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Zusammenfassung
Graphische Analyse einer 1D-Bewegung
Wenn man Luftwiderstand und Reibung vernachlässigt fallen alle Objekte in
Richtung des Erdzentrums mit der gleichen konstanten Beschleunigung, unabhängig
von ihrer Masse. Die Beschleunigung erfolgt aufgrund der Gravitation.
200 2
1v attyy ++=
Freier Fall
²m/s81.9=g
mittlerer Wert der Gravitationsbeschleunigung
2
1
v
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=
cat
atRelativitätstheorie liefert
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Schiefe EbeneBewegung mit konstanter Beschleunigung
2
0v0x
200
21x
21vxx
00
at
att
=
⇓
++=
==
Position nach 1s
Positionnach 2s
xΔ
xΔxΔ
xΔxΔ4TEST TEST TEST
Ergebnis unabhängig von der BeschleunigungVariation der Beschleunigung durch Änderung der Neigung
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Fallexperimente
Fallturm in Bremen
Höhe 110 m
Fallröhre kann evakuiert werdenFallzeit 5s
Geschwindigkeit beim Aufprall 165 km/h
Tropfen unter Mikrogravitation
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BeschleunigungswertePKW vs ICE
s²m30
12ss 3600
hkm
m 1000100
s 12h
km100
tv
PKW
PKW ===ΔΔ
=a
s²m0.51
55ssm 27.8
s 55h
km100
tv
ICE
ICE ===ΔΔ
=a
Die Gerade für das Auto ist natürlich unrealistisch (konstante Beschleunigung bis zur Endgeschwindigkeit (600 km/h)
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BeschleunigungswertePKW vs Flugzeug
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Ortsverschiebungin Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
( ) ( )( ) ttx
tTtxxxx
kk ΔvΔv0vΔ
ΔΔΔ
1110
21
=−⋅+−⋅=
+=
( )
Geschwindigkeit ergibt sich aus Änderung der Ortskoordinate
⇒=→=→= txtx
dtdx vΔΔ
ΔΔvtv
const v
Geschwindigkeit ändert sich grob
allgemein
∑
∑∑
=→
==
=−
==−
⋅=−
N
00Δ
N
0
N
0
Δvlim
ΔvΔ
ΔN
kktif
kk
kkif
if
txx
txxx
ttt gleiche Zeitintervalle
if
if
ttt
xxx
−=
−=
Δ
Δ
consttx
txx f
i
t
tif
+=
=−
∫∫d v(t)
d v(t)
analog für Geschwindigkeit in Abhängigkeit von a(t)
Integration
Verschiebung ist grün markierte Fläche unter der Kurve
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Senkrechter Wurf
Haben die beiden Steine an der Stelle des roten Pfeils eine andere Geschwindigkeit?
Fall AWurf senkrecht nach oben mit v=13 m/s
Fall BWurf senkrecht nach unten mit v=13 m/s
y
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Senkrechter Wurf
Fall AWurf senkrecht nach oben mit v=13 m/s
( )
( )
( ) m15.53ss²m9.81
213s
sm130m)s3(
m38.62ss²m9.81
212s
sm130m)s2(
10m.81ss²m9.81
211s
sm130m)s1(
²21v
²21v
2
2
2
00
00
−=−+==
=−+==
=−+==
−+=
++=
ty
ty
ty
gttyy
attyy
sm43.16s3
s²m9.81
sm133s)v(t
sm62.6s2
s²m9.81
sm132s)v(t
sm19.3s1
s²m9.81
sm131s)v(t
vv 0
−=−==
−=−==
=−==
−= gt
Höhe über Abwurf nach x Sekunden
Geschwindigkeit nach x Sekunden
y
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Senkrechter Wurf
Fall BWurf senkrecht nach unten mit v=13 m/s
( )( )
sm16.4
s²m²269v
5.10m)-(0s²m9.812-
sm13v²
2vv
2vv
20
20
20
20
2
±==
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−−=
−+=
yyg
yya
Wurf nach untenGeschwindigkeit in Höhe -5.10 m
Zum VergleichWurf nach oben
y
sm43.16s3
s²m9.81
sm133s)v(t
vv 0
−=−==
−= gtGeschwindigkeit des Körpers hängt nur von der Anfangsgeschwindigkeit
und der Höhe in Bezug auf einen Referenzpunkt ab.
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Richtungsweisende Bewegungenhäufige Missverständnisse
Behauptung 1Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors und des Beschleunigungsvektors stimmen immer überein!
v
a
Behauptung 2Ein Körper senkrecht nach oben geworfen
erfährt am höchsten Punkt der Kurvekeine Beschleunigung!
Dann könnte die Ballerina an diesem Punkt verharren!
(eine zu leichte Beute für die Jäger)
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Extreme Beschleunigungen
Colonel Strapp wurde auch bekannt als Urheber von Murphys Gesetz
We do all of our work in consideration of Murphy's Law
Raketenwagen
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Extreme Beschleunigungen
Extreme Beschleunigungen werden oft in Einheit der Erdbeschleunigung g=9.81 m/s² angegeben.
46.2 g=450 m/s²Achterbahn zum Vergleich: etwa 3g
Beschleunigung
Abbbremsung
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Extreme Beschleunigungen
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Extreme BeschleunigungenDrei Minuten bis zum Stillstand
37.36.040 m
37:23 min
38:06 min
39:39 min
39:54 min
40:15 min
ta
ΔΔ
=v
sm 0.5144kn 1 =
Zeit
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Extreme Beschleunigungen
37.36.040 m
37.23 m
38.06 m
39.39 m
39.54 m
40.15 m
BeschleunigungΔv/ Δt=0.014 m/s²
BeschleunigungΔv/ Δt=0.037 m/s²
BeschleunigungΔv/ Δt=0.040 m/s²
BeschleunigungΔv/ Δt=0.067 m/s²
Solche Beschleunigungswerte sind nicht geeignet für Actionfilme
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Allgemeine FormGeschwindigkeit und Beschleunigung ändern sich mit der Zeit
∫∫ =t
t
x
x
(t)dtdx00
v
∫+=t
t
(t)dtxx0
v0
∫+=t
t
dtxx0
00 v
∫+=t
t
t)dta0
(vv 0
∫+=t
t
dta0
00vv
( )[ ]∫ −++=t
t
dtttaxx0
0000 v
( )000 v ttxx −+= ( ) ( )200000 21v ttattxx −+−+=
SpezialfallGeschwindigkeit konstant
SpezialfallBeschleunigung konstant
( )000vv tta −+=
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Zusammenfassung
Kinematk beschreibt die Bewegung von Körpern
Die Beschreibung muss immer in Bezug auf ein Referenzsystem erfolgen.In der Regel ist dies die Erde. Andere Systeme sind möglich und erleichtern möglicherweise die Analyse.
Translation ist die Änderung der Position eines Körpers.
tx
avg ΔΔ
=v
Die instantane Geschwindigkeit ist die mittlere Geschwindigkeit in einem infinitesimalen
Zeitintervall.
xdtd
== xv &
Die mittlere Geschwindigkeit eines Körpers ist die zugelegte Strecke in einer bestimmten Zeit.
Die instantane Beschleunigung ist die mittlere Beschleunigung in einem infinitesimalen
Zeitintervall.
vvdtda == &
Bei konstanter Beschleunigung in einer Dimension sind die Beschleunigung a, die Geschwindigkeiten v,
v 0 und die Positionen x, x 0 gegeben durch
( )020
2
0
2vv
vv
xxa
at
−+=
+=
2vvv
²21vxx
0
00
+=
++= att
Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit Δt in einem bestimmten Zeitintervall. Die mittlere
Beschleunigung in einem Zeitintervall Δt ist
taavg Δ
Δ=
v
Körper die vertikal nach oben oder vertikal nach unten in der Nähe der Erdoberfläche beschleunigt werden, erfahren eine konstante Beschleunigung
durch die Gravitation. Der Wert der Gravitationsbeschleunigung ist 9.81 m/s². Dabei
vernachlässigt man den Luftwiderstand.