Vorlesung vom 23. November 2006Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II

Torsten Mayer-Gürr

Vorlesung vom 23. November 2006Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II

Torsten Mayer-Gürr

Isostatische ModelleIsostatische Modelle

Geoidberechnung

Berechnung der Schwere im Erdinneren:

- für Orthometrische Höhen

- für die Bestimmung des Geoids

- Erforschung der Struktur der Erdkruste

- Interpolation von Schwerewerten

Berechnung der Schwere im Erdinneren:

- für Orthometrische Höhen

- für die Bestimmung des Geoids

- Erforschung der Struktur der Erdkruste

- Interpolation von Schwerewerten

Remove-Restore-Technik:

1. Beseitigung der Massen

2. Berechnung z.B

- Fortsetzung nach unten (Freiluftreduktion),

- Interpolation,

- oder Berechnung der Geoids

3. Aufsetzten der Massen (indirekter Effekt)

Remove-Restore-Technik:

1. Beseitigung der Massen

2. Berechnung z.B

- Fortsetzung nach unten (Freiluftreduktion),

- Interpolation,

- oder Berechnung der Geoids

3. Aufsetzten der Massen (indirekter Effekt)

Geoidberechnung

Definitionen:

- Schwereanomalie:

- Freiluftanomalie:

- Bougueranomalie:

- verfeinerte Bougueranomalie:

Definitionen:

- Schwereanomalie:

- Freiluftanomalie:

- Bougueranomalie:

- verfeinerte Bougueranomalie:

- Freiluftreduktion:

- Bouguerkorrektion:

- Geländekorrektion:

- Freiluftreduktion:

- Bouguerkorrektion:

- Geländekorrektion:

0' Pgg

0 FPF ggg

0 FBPB gggg

0' FGBPB ggggg

Hm

mGal

hgF

3086,0

Hm

mGalgB 1119,0

Gg

SchwereanomalienSchwereanomalien

TopographieTopographie

Kruste

Mantel

Geoid

Mohorovičić-Diskontinuität

(Moho)

Isostatisches Modell (Airy-Heiskanen)

Isostatisches Modell (Airy-Heiskanen)

Kruste

Mantel

Geoid

Mohorovičić-Diskontinuität

(Moho)

Isostatisches Modell (Airy-Heiskanen)

Kruste

Mantel

Geoid

Mohorovičić-Diskontinuität

(Moho)

D

T=30 km

H

Isostatisches Modell (Airy-Heiskanen)

Kruste

Mantel

Geoid

Mohorovičić-Diskontinuität

(Moho)

Annahmen über die Dichten:

- Kruste:

- Ozean:

- Mantel:

Annahmen über die Dichten:

- Kruste:

- Ozean:

- Mantel:

32670

kg

m

31030w

kg

m

3642

M

kg

m

D

T=30 km

H

Airy-Heiskanen - planare Approximation

Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):

D

T=30 km

HH D

4,45D H H

Tiefe der Wurzel:

T CM M

Airy-Heiskanen - planare Approximation

Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):

D

T=30 km

H

Auf dem Ozean:

( )w wH D

2,73ww wD H H

Tiefe der Antiwurzel:

T CM M

4,45D H H

Tiefe der Wurzel:

Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):

Airy-Heiskanen - sphärische Approximation

D

T=30 km

HT CM M

2R H

T

R

M r dr d

3 3( )

3TM R H R d

TM d

Masse der Topographie:

Masse der Wurzel:

3 3( ) ( )3CM R T R T D d

R

R+H

R-T

R-T-D

Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):

Airy-Heiskanen - sphärische Approximation

D

T=30 km

HT CM M

Gleichsetzten und auflösen:

R

R+H

R-T

R-T-D

3/ 23 3( )( ) 1 1

R H RD R T

R T

FreiluftanomalienFreiluftanomalien

TopographieTopographie

FreiluftanomalienFreiluftanomalien

Airy-HeiskanenAiry-Heiskanen

Airy-Heiskanen

Kruste

Mantel

Geoid

Mohorovičić-Diskontinuität

(Moho)

Pratt-Hayford

D=100 km

H

Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):

Pratt-Hayford

D=100 km

H

TM const

0 ( )D D H

Dichte der Säule:

0

D

D H

Auf dem Ozean:

0 ( )w w wD D H H

0w

ww w

HD

D H D H

FreiluftanomalienFreiluftanomalien

Pratt-HayfordPratt-Hayford

FreiluftanomalienFreiluftanomalien

Airy-HeiskanenAiry-Heiskanen

Kruste

Mantel

Geoid

Mohorovičić-Diskontinuität

(Moho)

Isostatisches Modell

Kruste

Mantel

Geoid

Mohorovičić-Diskontinuität

(Moho)

Isostatisches Modell

Kruste

Mantel

Geoid

Mohorovičić-Diskontinuität

(Moho)

Isostatisches Modell (Airy-Heiskanen)

Kruste

Mantel

Geoid

Mohorovičić-Diskontinuität

(Moho)

Isostatisches Modell (Vening-Meinez)

Kruste

Mantel

Geoid

Mohorovičić-Diskontinuität

(Moho)

Isostatisches Modell (Vening-Meinez)

Kruste

Mantel

Eis

Kruste

Mantel

Eis1

Geoidberechnung

Berechnung der Schwere im Erdinneren:

- für Orthometrische Höhen

- für die Bestimmung des Geoids

- Erforschung der Struktur der Erdkruste

- Interpolation von Schwerewerten

Berechnung der Schwere im Erdinneren:

- für Orthometrische Höhen

- für die Bestimmung des Geoids

- Erforschung der Struktur der Erdkruste

- Interpolation von Schwerewerten

Remove-Restore-Technik:

1. Beseitigung der Massen

2. Berechnung z.B

- Fortsetzung nach unten (Freiluftreduktion),

- Interpolation,

- oder Berechnung der Geoids

3. Aufsetzten der Massen (indirekter Effekt)

Remove-Restore-Technik:

1. Beseitigung der Massen

2. Berechnung z.B

- Fortsetzung nach unten (Freiluftreduktion),

- Interpolation,

- oder Berechnung der Geoids

3. Aufsetzten der Massen (indirekter Effekt)

Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)

FreiluftanomalienFreiluftanomalien

Verfeinerte BougueranomalienVerfeinerte Bougueranomalien

0 FPF ggg

0' FGBPB ggggg

0 FCGBPI gggggg

Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)

- glatt

Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)

- glatt

Freiluftanomalien

- sehr rau

Freiluftanomalien

- sehr rau

Verfeinerte Bougueranomalien

- glatter, aber stark negativ

Verfeinerte Bougueranomalien

- glatter, aber stark negativ

0 FPF ggg

0' FGBPB ggggg

0 FCGBPI gggggg

Beseitigung der Massen

Geoid

Geoid

Beseitigung der Massen

Geoid

Indirekter Effekt

Co- Geoid

Beseitugung der Massen bei Airy-Heiskanen

Kruste

Mantel

Geoid

Mohorovičić-Diskontinuität

(Moho)

Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)

- glatt

- kleiner indirekter Effekt

Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)

- glatt

- kleiner indirekter Effekt

Freiluftanomalien

- sehr rau

- kein indirekter Effekt

Freiluftanomalien

- sehr rau

- kein indirekter Effekt

Verfeinerte Bougueranomalien

- glatter, aber stark negativ

- grosser indirekter Effekt

Verfeinerte Bougueranomalien

- glatter, aber stark negativ

- grosser indirekter Effekt

0 FPF ggg

0' FGBPB ggggg

0 FCGBPI gggggg

Beseitigung der Massen

Geoid

Geoid

Beseitigung der Massen

Geoid

Helmert

Kondensation der Massen auf eine einfache Schicht

Auf das Geoid(Helmert II)

In 21 km(Helmert I)

Helmert

Auf das Geoid(Helmert II)

In 21 km(Helmert I)

Helmert

Kondensationsmethode nach Helmert

- unveränderte Gesamtmasse

- sehr kleiner indirekter Effekt

Kondensationsmethode nach Helmert

- unveränderte Gesamtmasse

- sehr kleiner indirekter Effekt

0 FcondTopoPH ggggg

Auf das Geoid(Helmert II)

In 21 km(Helmert I)

Helmert

Kondensationsmethode nach Helmert

- unveränderte Gesamtmasse

- sehr kleiner indirekter Effekt

- Effekte heben sich auf, daher änhlich wie Freiluftanomalie

- sehr rau

Kondensationsmethode nach Helmert

- unveränderte Gesamtmasse

- sehr kleiner indirekter Effekt

- Effekte heben sich auf, daher änhlich wie Freiluftanomalie

- sehr rau

0 FcondTopoPH ggggg

0 FPH ggg

Geoidberechnung

Berechnung der Schwere im Erdinneren:

- für Orthometrische Höhen

- für die Bestimmung des Geoids

- Erforschung der Struktur der Erdkruste

- Interpolation von Schwerewerten

Berechnung der Schwere im Erdinneren:

- für Orthometrische Höhen

- für die Bestimmung des Geoids

- Erforschung der Struktur der Erdkruste

- Interpolation von Schwerewerten

Remove-Restore-Technik:

1. Beseitigung der Massen

2. Berechnung z.B

- Fortsetzung nach unten (Freiluftreduktion),

- Interpolation,

- oder Berechnung der Geoids

3. Aufsetzten der Massen (indirekter Effekt)

Remove-Restore-Technik:

1. Beseitigung der Massen

2. Berechnung z.B

- Fortsetzung nach unten (Freiluftreduktion),

- Interpolation,

- oder Berechnung der Geoids

3. Aufsetzten der Massen (indirekter Effekt)

Bestimmung des Geoids

Das GeoidDas GeoidOrthometrische HöhenOrthometrische Höhen

Geoidundulationen:

- Verknüpfung von orthometrischen Höhen und GPS-Höhen

- Reduktion der Beobachtungen für die Koordinatenberechnung auf das Ellipsoid

Geoidundulationen:

- Verknüpfung von orthometrischen Höhen und GPS-Höhen

- Reduktion der Beobachtungen für die Koordinatenberechnung auf das Ellipsoid

Bestimmung des Geoids

Ellipsoid

Geoid

P

Q

Nr

Gesucht: - Form der Randfläche (Geoid)

- Gravitationspotential über dem Geoid

Gemessen: - Schwerewerte

- Lage der Messpunkte

- Lotabweichungen

Pg

Bestimmung des Geoids

Ellipsoid

Geoid

P

Q

Nr

Pg

222

z

V

y

V

x

Vg g

z

Vy

Vx

V

VgNicht-lineare Beobachtungsgleichungen:

Bestimmung des Geoids

Ellipsoid

Geoid

P

Q

Nr

Pg

222

z

V

y

V

x

Vg g

z

Vy

Vx

V

VgNicht-lineare Beobachtungsgleichungen:

...)()()( 00

0

xx

x

fxfxf

x

Linearisierung:

Bestimmung des Geoids

Ellipsoid

Geoid

P

Q

Nr

Pg

PW

QU

( ) ( )W W P U Q Potentialanomalie:

( ) ( ) P PT W P U P W U Störpotential:

0const

Bestimmung des Geoids

Ellipsoid

Geoid

P

Q

Nr

Pg

PW

QU

P QW W U Potentialanomalie:

P PT W U Störpotential:

0const

P QQ

UW U r

n

Q r Geoidundulation:

(Formel von Bruns) Q

TrN

Q

UW r

n

Reduktion der gemessenen Beobachtungen

Ellipsoid

GeoidQ

Nr

PW

QU

Gemessen auf dem Geoid (P):

Schwereanomalien:

Schwerestörungen:

PPg

Pg

QPgg

PPgg

r

hg QP

rh

g

Q

T

hg

h

U

h

Wh

T

Reduktion der gemessenen Beobachtungen

Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie:Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie:

Gemessen auf dem Geoid (P):

Schwereanomalien:

Schwerestörungen:

Pg

QPgg

PPgg

r

hg QP

rh

g

Q

T

hg

h

U

h

Wh

T

Q

T

hh

Tg

2. Näherung:2. Näherung:

r

GMU

Sphärische Näherung

Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie:Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie:

Q

T

hh

Tg

1. Näherung:1. Näherung:

rh

2r

GM

r

U

32

2

2r

GM

r

U

r

3. Eingesetzt:3. Eingesetzt:

T

rr

Tg

TGM

r

r

GM

r

T

2

32

r

T

r

T2

Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie

in sphärischer Näherung:

Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie

in sphärischer Näherung:

r

T

r

Tg 2

Beobachtungsgleichungen

Beobachtungsgleichungen:Beobachtungsgleichungen:

r

T

r

Tg 2

0 0

1

),(),(21

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

R

rr

n

R

GM

0 0

1

),(),(1

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

R

r

n

R

GM

Repräsentation des Störpotentials durch Kugelfunktionen:Repräsentation des Störpotentials durch Kugelfunktionen:

0 0

1

),(),(n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

R

R

GMT

1

0 0

1( , ) ( , )

n n

nm nm nm nmn m

T GM n Rc C s S

r R r r

Gauß-Markoff-Modell:Gauß-Markoff-Modell:

Axvl

Beobachtungsgleichungen

BeobachtungsgleichungenBeobachtungsgleichungen

0 0

1

),(),(1

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

R

r

n

R

GMg

Ng

g

g

g

3

2

1

l

nms

s

c

c

21

21

20

x

),(1

),(1

),(1

),(1

11

11

1

1111

1

11

NNnm

n

NNNNnm

n

NN

nm

n

nm

n

Cr

R

r

n

R

GMC

r

R

r

n

R

GM

Sr

R

r

n

R

GMC

r

R

r

n

R

GM

A