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-
Eletromagnetismo IIEletromagnetismo II
55aa AulaAula
Professor Alvaro VaProfessor Alvaro Vannnuccinucci
-
Na aula passada, Na aula passada, dasdas EquaEquaçções de ões de MaxwellMaxwell, vimos, vimos::
11oo)) ConservaConservaçção de ão de EnergiaEnergia
( ) ˆES
H n dA− =× ⋅∫� �
�
(Vetor de Poynting)S�
VE J dV⋅+ ∫� �
1
2
∂ ⋅ + ⋅ + ∂ ∫� � � �
VH B E D dV
t ������� �������������
�������
Dissipação Joule
Densidade de Energia EM
-
22oo)) PropagaPropagaççãoão de Ondas Eletromagnde Ondas Eletromagnééticasticas(meios lineares, (meios lineares, ρρρρρρρρ == 00))
22
20εµ σµ
∂ ∂∇ − − =
∂ ∂
� �� E EE
t t
Espaço vazio: σ = 0, ε = ε0, µ = µ0 ; em 1D (eixo z):
( )( )
2 2
2 20
E zE z
z c
ω∂+ =
∂
��
0 0
1c
ε µ=
( ) ( )0,ω− ±
=�
i t KzE z t E e ( ) ( )0, cosE z t E t Kzω= ±
�
2K
c
π ω
λ
= =
Onda caminhando para a
“direita” ou para a
“esquerda”.
Solução:
→
;
-
Para dielPara dieléétricos ...tricos ...
�� σσ = 0, = 0, µµ ≅≅ µµ00; mas s; mas sóó que agora que agora c c →→ vv
cn
v=
1
cv
n
vεµ
=
=
Rn ε=
2π ω= =
f nK
v c
RKc
ωε=
;;
R0
εε
ε= ≡ Cte Dielétrica
00
1
Rε ε µ=
R
c
ε=
→→→→→→→→
e e ∴∴∴∴∴∴∴∴ Sendo que:
�� Como:Como:
-
Para dielPara dieléétricos ...tricos ...
�� σσ = 0, = 0, µµ ≅≅ µµ00; mas s; mas sóó que agora que agora c c →→ vv
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v=
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εµ= =
cv
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2π ω= =
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εε
ε= ≡ Cte Dielétrica
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Rε ε µ=
R
c
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e e ∴∴∴∴∴∴∴∴ Sendo que:
�� Como:Como:
-
Potenciais Potenciais -- ElEléétrico e Magntrico e Magnééticotico
�� escalarescalar...... E ϕ= −∇��
B A= ∇ ×� ��
0
0
'1 ( )( )
4
( )(
''
'')
4 '
V
V
rr dV
r r
J rA r dV
r r
ρϕ
πε
µ
π
= −
= −
∫
∫
��
� �
� �� �� �
(2)
(1)
�� ... e ... e vetorvetor
No semestre passado, vimos que os campos e , estáticos podiam ser calculados através dos potenciais:
E�
B�
dV’
•P
0
'r r−� �
r�
'r�
-
2
0
ρϕ
ε
∇ = −
• Maneira alternativa para o cálculo dos potenciais, também já vista anteriormente:
2 µ∇ = −� �A J
Equação de Poisson→
• No entanto, estes resultados foram obtidos para campos estáticos.
�E
�B• A pergunta é: eles continuariam válidos para e
variando no tempo?
-
• Por exemplo, a 2a Eq. ( ) satisfaz diretamentea 2a Eq. de Maxwell:
= ∇×�� �
B A
∇ ⋅� �
B Sempre!
(Div do Rot é SEMPRE zero!)
• Este resultado indica, a princípio, que vale,mesmo para campos magnéticos variando no tempo
= ∇×�� �
B A
• Por outro lado é fácil verificar que a outra expressão: é inconsistente com a 3a Eq. de Maxwell !
( ) 0E ϕ−∇× = ∇ =× ∇� � � �
( )E ϕ= −∇� �
Sempre!
(Rot do Grad é SEMPRE zero!)
!B
Et
resultando∂
∇ −≠×∂
�� �
( ) 0A∇= ⋅ =×∇���
-
ϕ= −∇ +� � �E N
( )∂ ∇∇× = −
∂
��
� �N
A
t
( )ϕ∇× ∇×= − ∇×∇ +�� � ��E N
∂= −
∂
�B
t
∂= −∇×
∂
�� A
t
∂= −
∂
�� AN
t
• Para contornar esta dificulade podemos pensar em introduzir um termo extra (desconhecido) à Eq. :ϕ= −∇
� �E
(tomando o Rot dos 2 lados)⇒ ⇒
⇒0
• Usando a Eq. (2) :( )B A= ∇×�� �
⇒
Comparando:
-
/ρ ρ ε∇ ⋅ = ⇒∇ ⋅ =� � � �
D E( )2 A
t
ρϕ
ε
∂ ∇ ⋅−∇ − =
∂
� �
(4)
(3)ϕ∂
= −∇ −∂
�� � AE
t• Substituindo:
• Agora, subst. eqs. (2) e (3) na Lei de Ampère:
( )B A= ∇×�� �
• Subst. Eq. (3) na 1a Eq. de Maxwell:
∴
• Devemos agora verificar que eq. (3) e eq. (2) : satisfazem as duas eqs. de Maxwell restantes.
JE
Bt
µ µε∂
∇× = +∂
��
��
( )( ) 2
2µ µε
ϕµε
∂ ∇∇×
∂∇× =
∂−
∂−
� �� �
��J
t
A
tA⇒
;EA
N Nt
ϕ∂
+ = −∂
= −∇
�� �� �
(Rot do Rot)
(2)
-
( )2
22
AA
ttA J
ϕµ µε µε
∂∇ ∇
∂∇ ⋅ − ∇ = − −
∂ ∂
�� � �� ��
22
2
AA A J
t t
ϕεµ εµ µ
∂ ∂ −∇ ∇ ⋅ + =
∂ ∂+ + ∇
�� �� ��
(5)
• Substituindo o Rot do Rot:
⇒
• Ou seja, eqs. (4) e (5) – que só dependem das incógnitas – precisam ser simultaneamente satisfeitas.
• De forma que, resolvendo-se (4) e (5), obtem-se e, depois:
eA ϕ�
eA ϕ� AB
EA
tϕ
= ∇× ∂
= −∇ −∂
�
�
��
��
⇒
( )2 At
ρϕ
ε
∂ ∇ ⋅ −∇ − =
∂
��
-
• Mas, antes de passarmos à resolução das eqs. (4) e (5), talvez fosse interessante tentar simplificá-las um pouco.
• Além disso, como veremos, para um determinado problema com e específicos, não existe um único par que satisfaça e B A= ∇×
�� � AE
tϕ
∂= −∇ −
∂
�� �E
�B�
eA ϕ�
• Ou seja, é possível escolher um par que seja o mais adequado, para uma determinada situação, de forma que (4) e (5) sejam satisfeitas e (2) e (3) continuem válidas
' 'ϕ�A e
• Vejamos como eles diferem para que isto seja verdade.
(2) (3)
• Para ilustrar isso, supor 2 conjuntos e que correspondam aos mesmos campos e .
( ', ')A ϕ�
( , )A ϕ�
E�
B�
-
Equivalência de soluEquivalência de soluççõesões
' α= +� � �A A
'ϕ ϕ β= +
'
∇× =∇× =
�� �
�� �A B
A B⇒ ( )α α∇× = ∇× + = ∇× + ∇×
� � �� � � �� �A A A
0α∇× =� �
α λ= ∇��
(6)
(7)
• Vamos supor que os potenciais difiram entre si por parâmetros da forma:eα β
�
e E B� �; sendo que os 2 conjuntos
correspondem aos mesmos
• Então:
⇒
⇒
A '�
Ou seja, pode ser escritocomo o grad de algum escalar:
α�
i)
'A A λ=∴ ∇+� � �
-
ϕ∂
= −∇ −∂
�� � AE
t
ϕ∂
−∇ −∂
�� A
t
0α
β∂
∇ + =∂
��
t
0λ
β∂
∇ + = ∂
�
t
A
t t
αϕ β
∂ ∂= −∇ − ∇ − −
∂ ∂
� �� �
ii)
''ϕ
∂= −∇ −
∂
�� � AE
t
⇒
⇒
( );' 'ϕ ϕ β α= + = +� � �A A ⇒
⇒
⇒ Usando (7): ( )α λ= ∇��
⇒ ⇒
⇒ ⇒ Resolvendo:λ
β∂
+ =∂t
cte
Solução + simples:t
λβ
∂∴ = −
∂(8)
0=
'ϕλ
ϕ∂
−=∂t
e, então:
-
i.e., dada uma função escalar λλλλ qualquer,
podemos acrescentar em e, ao
mesmo tempo, subtrair de ,
que não se alteram!
λ∇� �
A
λ∂∂t ϕ
e � �E B
• Assim:'ϕ
λϕ
∂−=
∂t
' λ+ ∇=� � �A A
• Transformações em deste tipo, são denominadas ‘Transformações de Gauge’ ou ‘de Calibre’
eA ϕ�
• Há vários ‘calibres’ possíveis e a escolha depende do problema que se pretende resolver.
• Dois destes ‘calibres’ são mais frequentemente utilizados: o de Coulomb e o de Lorentz.
-
11oo) Gauge de Coulomb:) Gauge de Coulomb:
( )2t
A ρϕ
ε
∂ −∇ − =
∂
⋅
∇
��
0A∇ ⋅ =��
2 ρϕε
∇ = − Equação de Poisson
ϕ∂
= −∇ −∂
�� � AE
t
Transformações de “Gauge”
• Subst. na eq. (4) …
… e (5):
⇒
⇒
⇒2
22
AA J
t t
ϕεµ µ εµ
∂ ∂ −∇ + = − ∇
∂ ∂
�� � �
�������termo independente de A
�
≡ ‘eq. de onda’ nãohomogênea p/ A
�
Só o cálculo de ϕ não mais nos fornece !
�E
22
2( )
AA A J
t t
ϕεµ εµ µ∇ ⋅
∂ ∂−∇ + + ∇ + =
∂ ∂
��� �� �
-
At
ϕεµ
∂∇⋅ = −
∂
��22oo) Gauge de Lorentz:) Gauge de Lorentz:
É o mais interessante no estudo das ondas
EM
• Subst. nas eqs. (4):( )2
t
A ρϕ
ε
∂ −∇ − =
∂
⋅
∇
��
22
2
AA J
tA
t
ϕεµ εµ µ
∂ ∂−∇ + + ∇ + =
∂ ∂ ⋅
∇
�� � ���
e (5):
22
2t
ϕ ρϕ εµ
ε+ − =
∂−
∂∇
• Temos:2
22
A
A Jt
εµ µ+ − −∂
∇ =∂
�� �
Eqs. Desacopladas!(do mesmo tipo)
(9)
(10)
• Ou seja, escolhendo o gauge de Lorentz, tanto obedecem ao mesmo tipo de eq. diferencial não-homogênea.
oA qt ϕ�
-
22 2
2tεµ
∂= ∇ −
∂ �
2
2A J
ρϕ
ε
µ
= −
= −
� �
�
�
2
2A J
ρϕ
ε
µ
∇ = −
∇ = −
� �
e, no limite
estático:
• Em termos do d’Alembertiano
( )
0
'1( ) '
4 '
ρϕ
πε=
−∫�
�� �
V
rr dV
r r
( )0 '( ) '4 '
µ
π=
−∫� �
� �� �
V
J rA r dV
r r
e cujas soluções já foram obtidas em Eletromagnetismo I:
e
Como já
visto antes,
• Finalmente:
22
2t
ϕ ρϕ εµ
ε
∂∇ − = −
∂
22
2
AA J
te εµ µ
∂∇ − = −
∂
�� �
-
•P
0
'r r−� �
r�
'r�
• Novamente, lembrar que ≡ distância da fonte ao
ponto P onde o potencial écalculado
'−� �r r
• Mas, e no caso não estático?
• Mostraremos que as eqs. mantêm as formas acima; sóque agora surge um problema!
• Ao se calcular os potenciais em P, em um dado instante t, qual a configuração de cargas e correntes que se deve considerar? As correspondentes ao mesmo instante t?
dV’
-
{
'r
r rt t
c
−= −
� �
• Considerando-se que o ‘sinal’ propaga-se com velocidade c ⇒ deve-se utilizar as configurações de cargas e correntesrelativas a um instante anterior:
‘ tempo retardado ’
• assim:( )0 ,( ,
'4
') 'r
V
rJA dV
rr
r
tt
µ
π=
−∫�
�� �
��
( )
0
,1( , ) '
'
'
4r
V
r tr t dV
r r
ρϕ
πε=
−∫ � ��
�
≡ ‘Potenciais Retardados ’
• Notar que para pontos P próximos das fontes:'
0−
→
� �r r
c⇒ rt t→
resta mostrar que os potenciais retardados são soluções das eqs. diferenciais (caso não estático)
-
Um evento solar, quanto tempo demora Um evento solar, quanto tempo demora
para chegar para chegar àà Terra?Terra?
-
Um evento solar, quanto tempo demora Um evento solar, quanto tempo demora
para chegar para chegar àà Terra?Terra?
-
... e com rela... e com relaçção ao Universo?ão ao Universo?
* Velocidade da Luz: * Velocidade da Luz: cc = 300.000 km/s= 300.000 km/s
Via LVia Láácteactea:
* 200 bilhões de Estrelas! - Ainda existem?Ainda existem?
* 100.000 anos-luz de diâmetro.
* Sol encontra-se a 30.000 anos-luz do centro.
* Período de translação do Sol: 200 milhões de anos.
-
A Grande Nuvem de Magalhães
• É a galáxia mais próxima da Terra (160 mil anos-luz)
• É pequena, comparada com a Via Láctea (1/10 da massa)