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Zahlen

Herzlich willkommen zur Mathe in Tholey

Heute:

Von R nach C und darüber hinaus

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Der ursprüngliche Hintergrund: Fraktale

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Fraktal in C

Mit Hilfe von

komplexen Zahlen

4

Oder

5

Fraktal in H

Mit Hilfe von

„Quaternionen“,hyperkomplexenZahlen

6

Nichts geht ohne komplexe Zahlen

Also:

Komplexe Zahlen und weitere Zahlbereiche

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Der Plan

• Eine Wiederholung: Von N nach R• Was ist eigentlich R? R ist perfekt, fast• Aber: x2+1 = 0 ist in R nicht lösbar• Imaginäre Zahlen, komplexe Zahlen und ihr

Preis• Was leisten komplexe Zahlen?• Weitere Zahlen: H und O• Noch mehr Zahlen: Robinson und Conway

Ich weiß nicht, wie lange dies dauert.

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Der Stil

Das Roossche Axiom:

Es gibt keine dummen Fragen, es gibt nur dummeAntworten.

Fragen, Kommentare sind immer erwünscht.

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Zahlen

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ....}: Natürliche Zahlen

Subtraktion

Z = {.., - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..}: Ganze Zahlen

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Zahlen

Z = {.., - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..}: Ganze Zahlen

Division

Q = {Brüche}: Rationale Zahlen („Quotienten“)

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Die rationale Welt des Pythagoras

569– 475 v.Chr.

Mathematiker, Philosoph,Zahlenmystiker.

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Es gibt Zahlen, die keine Brüche sind

2 ist kein Bruch;

Zerstörung des Welt

des Pythagoras!

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2 lebt auf der Zahlengeraden!

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Neue Zahlen müssen her: Reelle Zahlen, R

Bedarf:

Es gibt Zahlen, die keine Brüche sind:

2, 3, Primzahl,

e,

Fast alle Za

π, fast alle

hlen sind ke

L

in

ogarithm

e Brüc

en.

he.

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R aus Q, wie geht das?

Man muss die Löcher auf derZahlengeraden stopfen:„Vervollständigung“

Methoden: Cauchy-Folgen,Intervallschachtelungen,Dedekind-Schnitte.

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Welche Eigenschaften bestimmen R?

• In R kann man normal rechnen:R ist ein Körper (K)

• Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V)

• Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A)

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K: Normales Rechnen, Regeln der Addition (G,+)

• a + b = b + a• (a + b) + c = a + (b + c)• a + 0 = a, 0 ist neutral• a + x = 0 eindeutig lösbar (x = -a)

Statt a + (-b) schreibt man a – b.

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K: Normales Rechnen, Regeln der Multiplikation (G, ·)

• a · b = b · a• (a · b) · c = a · (b · c)• a · 1 = a, 1 ist neutral• a · x = 1 ist eindeutig lösbar

(a ≠0, x = a-1).

Statt a · (b)-1 schreibt man a /b.

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K: Normales Rechnen, Regeln des Ausmultiplizierens (D)

• a ·(b + c) = a ·b + a ·c

20

Welche Eigenschaften bestimmen R?

• In R kann man normal rechnen:R ist ein Körper (K): Ok

• Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V)

• Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A)

21

V: Die Zahlengerade wird erfasst

• Alle Punkte der Zahlengeraden sind Zahlen, es gibt keine Löcher.

• Technisch anspruchsvoll.• Es geht nicht ohne Grenzwerte.

22

Welche Eigenschaften bestimmen R?

• In R kann man normal rechnen:R ist ein Körper (K): Ok

• Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V): Ok

• Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A)

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A: Die Zahlengerade ist angeordnet

• (A1): Für jede Zahl x gilt: Entweder x = 0 oder x >0 oder -x > 0.

• (A2) Aus a > 0 und b > 0 folgt:a + b > 0

• (A3) Aus a > 0 und b > 0 folgt:a ∙ b > 0

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Welche Eigenschaften bestimmen R?

• In R kann man normal rechnen:R ist ein Körper (K): Ok

• Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V): Ok

• Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A): Ok

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R ist einmalig

• Es gibt nur ein R:

• Jede Struktur, die K, V, A erfüllt, ist gleich R.

• Aber: R hat kleine Mängel:

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Ein Mangel

Einfachste Gleichungen sind nichtlösbar:

• x2 – 1 = 0: Zwei Lösungen

• x2 + 1 = 0: Keine Lösung oder sind wir zu dumm?

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Satz: x2 + 1 = 0 ist in R nicht lösbar.

Beweis:

x = 0 ist keine Lösung;

Für x≠0 gilt: x2 > 01 = 12 > 0Es folgt (A2): x2 + 1 > 0

In R gibt es keine √-1

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Die hemdsärmelige Lösung:

2

Setze i = -1 und rechne normal!

Also auch: i = -1

Aber: Wo lebt i?

Sicher nicht auf der Zahlengeraden.

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Schöne neue Welt:

Jede quadratische Gleichung istlösbar.

Ein Beispiel:

30

Ein Beispiel2

2

2

2

x 4x 13 0

(x 4x 4) 9 0

(x 2) 9

(x 2) 9 ( 1)

x 2 3i

x 2 3i,

C ist geboren

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Ein kühner Täter: Cardano

1501 – 1576

Mathematiker, Arzt

Klaute Tartaglia die berühmte Formel

Rechnete mit Wurzeln aus negativen Zahlen

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Auch er kühn: Bombelli

1526 – 1572

Lehrte als erster formalkorrektes Rechnen mit komplexen Zahlen

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Ein Skeptiker: Descartes

1596 – 1650

Der große Philosophund Mathematiker.

Rechnete richtig mitkomplexen Zahlen, gabzu, dass man noch keine Vorstellung vondiesen Objekten habe.

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Ganz skeptisch: Newton

1643 – 1727

Einer der Größten.

Deutete das Auftretenkomplexer Lösungen als Zeichen für Unlös-barkeit eines Problems

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Genial: Euler

1707 - 1783

Größter Mathematiker seiner Zeit

Rechnet unbefangen, intuitiv richtig, souverän in C.

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Eine von Eulers Großtaten

2 3 4 5 6 7 8x

2 4 6

3 5 7

Beweisidee: Was er wusste:

x x x x x x x xe 1

1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!

x x xcos(x) 1 ...

2! 4! 6!

x x xsin(x) x ...

3! 5! 7!

ixe = cos(x) + i sin(x)

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Der Trick: Ersetze x durch ix

2 3 4 5 6 7 8ix

2 3 4 5 6 7 8ix

2 4 6 8 3ix

2 3 2 4 5Beachte : i

ix (ix) (ix) (ix) (ix) (ix) (ix) (ix)e 1

1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!

x x x x x x x xe 1 i i i i ..

1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!

x x x x x xe 1 i (

2! 4! 6! 8! 1! 3!

i 1, i i i, i 1, i i, ...

5 7

ix

x x..)

5! 7!

e cos(x) i sin(x)

38

Eulers berühmteste Formel

ix

i

i

Beweis :

Setze x= in e cos(x) i sin(x) :

e cos( ) i sin( )

e 1 i 0.

i e 1 0

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Offen: Wo liegt C?

Wo lebt i? Sicher nicht auf der Zahlengeraden.

Wo leben die komplexen Zahlen?

Die Antwort von Gauss

40

Gauss

1777 – 1855

Der größte Mathematiker

41

Multiplikation mit -1

(-1)·1 = -1:Drehung um 180°

(-1)·1=i2 ·1 =i(i ·1)

Zweifache Multiplikation mit i

42

Multiplikation mit i

Multiplikation mit i:Drehung um 90°

1·i = i, also ist i die Einheit auf der y-Achse, der imaginären Achse

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Die Zahl z = 3 + 2i

44

Die Gausssche Zahlenebene

C {z | z a b i, a,b R}

a heißt Realteil von z,

b heißt Imaginärteil von z.

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Rechnen in C

Addition, Subtraktion, Multiplikation:Ohne Probleme.

Geometrisch interpretierbar

Beispiel: Addition

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Geometrische Addition

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Division in C

2

2

1 2i (1 2i) (3 i)

3 i (3 i) (3 i)

3 i 6i 2i

9 i1 1

(5 5i) (1 i)10 2

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Eigenschaften von C

C ist Körper: Man kann ungeniert rechnen.

C ist vollständig: Die Ebene ist ohne Löcher.

x2+1 = 0 ist in C lösbar.

C ist nicht angeordnet! C ist „bewertet“, dies sind bestimmte Eigenschaften des Abstandes der Zahlen zum Nullpunkt.

C ist dadurch einzigartig.

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Beispiel:Polynome (normiert)

P1(x) = x + 3 = x1 + 3

P2(x) = x2 + 4x + 13

P3(x) = x3 + 4 x2 - 12x + 18

P4(x) = x4 - 4 x2 + 7x + 42

50

Formeln für Nullstellen:

Grad N:

N = 1: x1 + p = 0N = 2: x2 + px + q = 0N = 3: x3 + px2 + qx +r = 0N = 4: x4 + px3 + qx2 + rx + s = 0

51

N = 2: x2 + px + q = 0

2

1,2

Lösungen :

p px q

2 2

52

(Zu 2.4)

Die Lösungen einer Gleichung dritten Grades

solve(x^3+p*x^2+q*x+r=0,x);

16

( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3

6

13q

19p2

( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3

13p ,

112

( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3

3

13q

19p2

( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3

13p

12I 3

16

( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3

6

13q

19p2

( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3

,

112

( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3

3

13q

19p2

( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3

13p

12I 3

16

( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3

6

13q

19p2

( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3

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N = 4:

x4 + px3 + qx2 + rx + s = 0

Formel bekannt (nach 1700), sehr groß!

N = 5?

54

Nils Abel

1802 – 1829,Norweger, lebte ein kurzes Leben in großer Armut,Mathematiker, genial.

1824: Für N=5 kann eskeine Formel geben

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Evariste Galois

1811 – 1832

Ein kurzes, schwieriges Leben.

Genial: Seine Galois- Theorie

Man zeigt damit:Keine Formel für n≥5.

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Aber: Fundamentalsatz der Algebra (FS)

Satz: (Gauss, Euler, Argand, …)

Ein Polynom n-ter Ordnung besitzt N Nullstellen in C .

Fürs Leben: Es gibt Dinge, die man niebekommen kann.

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Trost für Praktiker

Näherungslösungen für Nullstellen:

Newton-Verfahren,Fixpunktmethoden, klappen auch bei komplexen Funktionen,

die „Regula Falsi“ klappt nicht!

58

Aus dem FS: Es gibt drei dritte Wurzeln von 1

3

3

z 1 0

z = 1.

Drei Lösungen:

z = 1

-1+i 3z =

2

-1-i 3z =

2

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Als Appetizer:

Ein Fraktal, bei demdritte Wurzeln,und das Newtonverfahrenwichtig sind.

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Für Bildungshungrige: Anwendungen von C• Mathematik:

– Funktionentheorie– Analytische Zahlentheorie (ζ-Funktion)

• Physik:– Relativitätstheorie (Minkowski-Raum)– Quantentheorie (Schrödinger-Gl.)– Strömungsmechanik

• Technik:– Wechselstrom (man schreibt j statt i)– MP3

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Weitere Zahlen?

• Zahlen auf der Geraden: R• Zahlen in der Ebene: C• Zahlen im Raum?

Dreidimensionale Zahlen?• Was erwarten wir von Zahlen?

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Erwartungen an Zahlen:

Die Grundrechnungsarten müssenklappen.

Es darf keine Löcher geben. (Vollständigkeit)

Zahlen haben eine Größe (Länge, Betrag)

Bremse: Division (vollst. Divisionsalgebren, sehr modern)

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Heinz Hopf

1894 – 1971

Für mich einer derganz Großen.

Sein Ergebnis: Richtige Zahlen habendie Dimension 1, 2, 4oder 8.Also: Keine Zahlen im

Raum

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William Rowan Hamilton

1805 – 1865, Ire

Mathematiker, Physiker

Arrogant, starrsinnig, ließ nur Gauß und Grassmann gelten

1843: Quaternionen, 4-dimensionale Zahlen

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Quaternionen

u=-3 + 4i – 6j + 3k

v= 2 + 3i + 8j - 8k

u+v= -1 + 7i + 2j - 5k

Übliches Rechnen

i j ki -1 k -jj -k -1 ik j -i -1

Multiplikation

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Quaternionen: H in der Math.:

H steht für „hyperkomplexe Systeme“

In H gilt nicht: ab = ba (Kommutativgesetz)

H ist eindeutig bestimmt

Fundamentalsatz der Algebra in H

Viele Funktionen möglich in H, z.B ez

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Anwendungen

Dirac-Gleichung (alternativ: Paulimatrizen)

Beschreibung von Drehungen imRaum mittels H

Computergrafik (Spiele, Fraktale, Quat 3D)

Hamilton hat die Bedeutung von Htotal überschätzt (Prüfungsfach in Dublin!)

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Cayley

1821 – 1895

Matrizenalgebra

Fand 1845 die Oktaven, 8-dim. Zahlen

(1843 schon von Graves beschrieben)

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Oktaven: 8-dim. Zahlen (O)

Die Regeln

ab = ba (Kommutativgesetz)(ab)c = a(bc) (Assoziativgesetz)

gelten nicht.

O ist eindeutig bestimmt.

Keine wichtigen Anwendungen, just for fun!

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Zahlen nach Dimension und ihr Preis:• 1-dimenional: Reelle Zahlen• 2-dimensional: Komplexe Zahlen,

Verlust der Anordnung• 4-dimensional: Quaternionen,

Verlust von ab = ba• 8-dimensional: Oktionen,

Verlust von (ab)c = a(bc)

Mehr gibt es nicht in dieser Art, wenn man dividieren will.

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Ist dies wirklich alles?

• Natürlich nicht.

• Gegenmodelle:– Non-Standard-Analysis

• Schmieden, Laugwitz, Robinson– Spieltheoretische Modelle

• Conway-Spiele– p-adische Zahlen (Hensel)

• Aber: Man zahlt immer einen Preis!

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Abraham Robinson

1918 – 1974Deutsch-jüdischer Mathematiker

Emigration 1933

Wichtige Beiträge zurangewandten Math.

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Non-standard Analysis

Robinson 1961 nach Vorarbeitenvon Schmieden,Laugwitz

250 Jahre nachLeibniz

„Infinitesimale“

Technisch schwierig (Ultrafilter, spezielle Maße)

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Conway

Geb. 1937 in Liverpool

Höchst kreativ:

Geometrie,Gruppentheorie

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Conway: Zahlen und Spiele

Zwei Ideen (1976):

Neue Dedekindschnitte

Ordnung: Durch Spiele

Vorteile:Infinitesimale, geht schnell, aber:

Verdammt anspruchsvoll,vor allem technisch.

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Wenn Sie mehr wissen wollen

www.wickipedia.de: Da werden Sie geholfen.

Zur Geschichte der Mathematik:

The MacTutor History of Mathematics archive

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Literaturtipps:

• Ebbinghaus et al.: ZahlenSpringer 2000 39,95 €

• Conway/Guy: ZahlenzauberBirkhäuser 1997 vergriffen

• Berlekamp, Conway: Gewinnen..Vieweg 1985 vergriffen

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Fragen? Ich bitte darum.

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Wie geht’s weiter?

Fraktale: Der zweite Teil, Apfelmännchen und Co. Mit vielen Bildern, einfacher als heute.

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Was ist das?

Mathe in Tholey wird weiter gehen, wenn Sie dies wünschen!

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Zwei kleine Bitten:

• Teilen Sie uns mit, wie Sie unsere Veranstaltungen erleben. Schicken Sie Frau Backes-Burr oder mir eine kleine Bewertung.

• Schicken Sie uns Verbesserungsvorschläge.

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Mathe ist einfach prima

Vielen Dank!