12.3

12.3 Partielle Ableitungen

Gegeben sei die Funktion z = f(x, y).

y = y0 feste Zahl → z = f(x, y0) = F1(x) Funktion von x allein

x = x0 feste Zahl → z = f(x0, y) = F2(y) Funktion von y allein

Die Untersuchung der Funktionen F1(x) und F2(y) aufDifferenzierbarkeit fuhrt auf die folgende

Definition:Die Funktion z = f(x, y) heißt an der Stelle P (x, y)partiell nach x

(y)differenzierbar, wenn bei festgehaltenem

y(x)

ihre Ableitung nach x(y)

existiert.

Partielle Ableitung nach x:

∂f(x, y)

∂x:= lim

h→0

f(x + h, y)− f(x, y)

h

Partielle Ableitung nach y:

∂f(x, y)

∂y:= lim

k→0

f(x, y + k)− f(x, y)

k=

∂f(x, y)

∂y=

∂f

∂y. . .

Schreibweisen:∂f(x, y)

∂x=

∂f

∂x=

∂z(x, y)

∂x=

∂z

∂x= fx(x, y) = fx = zx(x, y) = zx

∂f(x, y)

∂y=

∂f

∂y=

∂z(x, y)

∂y=

∂z

∂y= fy(x, y) = fy = zy(x, y) = zy

1

12.3

Beispiele:

1) z = 6x2 + 5xy − 7y2 + 3x + 2y − 13∂z

∂x= 12x + 5y + 3

∂z

∂y= 5x− 14y + 2

2) z = ln(xy2) zx =1x, zy =

2y

3) z = arctany

x∂z

∂x=

1

1 +(

yx

)2

(−y

x2

)=

−y

x2 + y2,

∂z

∂y=

1

1 +(

yx

)2 ·1x

=x

x2 + y2

4) f(x, y) = x2y3 + y lnx

fx(x, y) = 2xy3 +y

x, fy(x, y) = 3x2y2 + lnx

2

12.3

Geometrische Deutung:

xyzy0x0αβz = f(x, y0)z = f(x0, y)

∂f

∂x= tan α

∂f

∂y= tan β

3

12.3

Partielle Ableitungen hoherer Ordnung:

fxx =∂

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2

fxy =∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x∂y

fyx =∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y∂x

fyy =∂

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2

partielle Ableitung 3. Ordnung

fxxx =∂

∂x

(∂2f

∂x2

)=

∂3f

∂x3

fxxyxy =∂

∂y(fxxyx) usw.

4

12.3

1. Beispiel: z = f(x, y) = arctany

x

fx = −y

x2 + y2, fy =

x

x2 + y2

fxx =2xy

(x2 + y2)2, fxy =

∂

∂y

( −y

x2 + y2

)=−(x2 + y2) + y · 2y

(x2 + y2)2

=y2 − x2

(x2 + y2)2

fyx =∂

∂x

(x

x2 + y2

)=

x2 + y2 − 2x2

(x2 + y2)2=

y2 − x2

(x2 + y2)2

d. h. fxy = fyx

fyy =∂

∂y

(x

x2 + y2

)=

−2xy

(x2 + y2)2

2. Beispiel: z = f(x, y) = xy

fx = y, fy = x, fxx = 0, fxy = 1, fyx = 1, fyy = 0

wieder Beobachtung: fyx = fxy

Vertauschbarkeit der Reihenfolge bei der Differentiation:

Satz von Schwarz:Sind die gemischten zweiten partiellen Ableitungen fxy

und fyx einer Funktion f(x, y) in einem Bereich G stetigeFunktionen, so gilt uberall im Innern dieses Bereichesfxy = fyx.

5

12.3

Folgerung: Zwei hohere partielle Ableitungen vonz = f(x, y) sind gleich, falls alle auftretenden Ableitungenstetig sind und wenn die Anzahl der Differentiationen nachx und die Anzahl der Differentiationen nach y in beidenAbleitungen ubereinstimmen.

Beispiel: fxyyyy = fyxyyy = fyyxyy = fyyyxy = fyyyyx

Partielle Ableitungen bei Funktionen von mehr als zweiVeranderlichen:

z = f(x1, . . . , xn)

∂f(x1, . . . , xn)

∂x1

= limh→0

f(x1 + h, x2, . . . , xn)− f(x1, . . . , xn)

h

= zx1= fx1

=∂z

∂x1

analog∂f

∂x2, . . . ,

∂f

∂xn.

Satz von Schwarz:Sind alle gemischten zweiten partiellen Ableitungen einerFunktion f(x1, . . . , xn) in einem Bereich G ⊆ Rn stetigeFunktionen, so gilt uberall im Innern dieses Bereichesfxixj

= fxjxii = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n

6

12.3

Erganzung, Verallgemeinerung:

Definition:Sei z = f(x) = f(x1, . . . , xn) eine Funktion der nVeranderlichen x1, . . . , xn, definiert furx = (x1, . . . , xn)T ∈ D ⊆ Rn.f heißt partiell differenzierbar in x◦ ∈ D, wenn alle

partiellen Ableitungen∂f(x◦)

∂x1, . . . ,

∂f(x◦)∂xn

existieren.

f heißt partiell differenzierbar in A ⊆ D, wenn f injedem Punkt von A partiell differenzierbar ist.

Definition:Der Vektor der partiellen Ableitungen einer Funktionf : D → R1 heißt deren Gradient:

∇f(x◦) = f ′(x◦) = grad f(x◦) :=

∂f(x◦)

∂x1...∂f(x◦)

∂xn

,

x◦ ∈ D ⊆ Rn

Im Gegensatz zu Funktionen einer reellen Veranderlichenfolgt aus der partiellen Differenzierbarkeit einer Funktionf : D → R1 im Punkt x◦ ∈ D ⊆ Rn noch nicht dieStetigkeit von f im Punkt x◦.

7

12.3

Betrachte dazu folgendes Beispiel:

z =

2xy

x2 + y2fur (x, y) 6= (0, 0)

0 fur (x, y) = (0, 0)

z(x, y) ist unstetig im Punkt (0, 0) (vgl. Beispiel 3 von12.2), obwohl z im Punkt (0, 0) partiell differenzierbar ist:

∂z(0, 0)∂x

= limh→0

z(0 + h, 0)− z(0, 0)h

= limh→0

2h·0h2+0

− 0

h= 0

∂z(0, 0)∂y

= limk→0

z(0, 0 + k)− z(0, 0)k

= limk→0

2·0·k0+k2 − 0

k= 0

Die partiellen Ableitungen von z sind jedoch im Punkt(0, 0) nicht stetig. Fur (x, y) 6= (0, 0) ergibt sich z. B. diepartielle Ableitung nach x zu:

zx =2y(x2 + y2)− 2xy · 2x

(x2 + y2)2= 2y

y2 − x2

(y2 + x2)2

Langs der Geraden y = αx gilt

zx(x, αx) = 2αxα2x2 − x2

(α2x2 + x2)2=

2α

x

α2 − 1(α2 + 1)2

,

8

12.3

so dass

lim(x,y)→(0,0)y=αx, x>0

zx(x, αx) =

∞, falls α > 10, falls α = 1

−∞, falls 0 < α < 1

d. h. zx(x, y) ist unstetig im Punkt (0, 0).

Unter Differenzierbarkeit (schlechthin) versteht man diefolgende scharfere Bedingung:

Definition:Die Funktion f : D → R1 (D ⊆ Rn) heißt differenzier-bar (auch ”total differenzierbar”) in einem inneren Punktx◦ von D, wenn sie in x◦ partiell differenzierbar ist und au-ßerdem in folgender Zerlegungsformel dargestellt werdenkann:

f(x) = f(x◦) + (x− x◦)T∇f(x◦) + %(x− x◦),

wobei fur % : D → R1 gilt: limx→x◦

%(x− x◦)||x− x◦||

= 0

f heißt differenzierbar in A ⊆ D, wenn f in jedem Punktvon D differenzierbar ist.

9

12.3

Satz:f : D → R1 (D ⊆ Rn) ist in dem inneren Punkt x◦

von D differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen∂f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xnin einer Umgebung von x◦ existieren und in

x◦ stetig sind.

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