2.6 Theorie des Haushalts - Uni Ulm Aktuelles · der höchstmöglichen Indifferenzkurve liegt. •...

3939

Allgemeine Volks-wirtschaftslehre fürWiMa und andere(AVWL I)WS 2007/08

Prof. Dr. Sabine JokischInstitut für Wirtschafts-Wissenschaften,Universität Ulm

2.6 Theorie des Haushalts

Nutzenfunktionen und Indifferenzkurven

Nutzenfunktion:

Hilfsmittel, um Präferenzen zu beschreiben

→ Eine Präferenzordnung lässt sich unter den obigen Annahmen über eine Nutzenfunktion u darstellen mit

)x,x(u)x,x(u 12

11

02

01 = wenn )x,x()x,x( 1

211

02

01 ≈

)x,x(u)x,x(u 12

11

02

01 > wenn )x,x()x,x( 1

211

02

01 f

4040




→ Die Nutzenfunktion ordnet den Präferenzen reelle Zahlen zu.

→ ordinales Nutzenkonzept:nur Größenrelationen sind relevant

4141




→ Nutzengebirge:

u

x1

x2

1x

2x

4242




→ positiver Grenznutzen („mehr ist besser als weniger“):

;0xu

1

>∂∂ 0

xu

2

>∂∂

→ abnehmender Grenznutzen:

;0)x(u

21

2

<∂∂

0)x(

u2

2

2

<∂∂

4343




→ Grafische Herleitung:Schnitt parallel zur u-x1-Ebene in Höhe von x2 im Nutzengebirge

x1

u

01x 1

1x

)x,x(u 21

(analog für x2)

4444




→ Indifferenzkurven: Höhenlinien im NutzengebirgeSchnitt parallel zur x1-x2-Ebene in Höhe von u

u

x1

x2

1x

2x

4545




x1

x2

1u

2u3u

4646




Zusammenhang zwischen GRS und Nutzenfunktion:

Indifferenzkurve: )x,x(uu 21=

→ GRS erhält man durch marginale Veränderung von x1 und x2, dass das Nutzenniveau unverändert bleibt. u

→ totales Differential:

22

11

dxxudx

xu0ud

∂∂

+∂∂

==

)GRS(x/ux/u

dxdx

2

1

u1

2 =∂∂∂∂

=−⇒

→ GRS kann auch als marginale Zahlungsbereitschaft interpretiert werden.

4747




Beispiele für Nutzenfunktionen:

• Cobb-Douglas-Nutzenfunktion:

β2

α121 xx)x,x(u = mit α>0 und β>0

• Lineare Nutzenfunktion:

221121 xaxa)x,x(u += mit a1>0 und a2>0

• Leontief-Nutzenfunktion:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

2

1

121 a

x,axmin)x,x(u mit a1>0 und a2>0

• Quasilineare Nutzenfunktion:

2121 x)x(v)x,x(u +=

4848




Konsumentscheidung

• Der Konsument wählt die Kombination von Gütern, die auf der höchstmöglichen Indifferenzkurve liegt.

• Gleichzeitig darf der Konsument die Budgetrestriktion –dargestellt durch die Budgetgerade – nicht überschreiten.

• Die optimale Konsumentscheidung ist durch den Punkt gegeben, an der sich Budgetgerade und Indifferenzkurve tangieren.

• Bei diesem Punkt entspricht die Grenzrate der Substitution dem relativen Preis der Güter, d.h. die Bewertung der beiden Güter durch den Konsumenten entspricht der Bewertung durch den Markt – dem Preis.

4949




Budgetgerade

A

D

BC

Ex1

x2

1I2I

3I

x1*

x2*

Optimum

5050




Im Haushaltsoptimum(-gleichgewicht) gilt:

2

1

2

1

pp

x/ux/u)GRS( =∂∂∂∂

=

→ Informationen über die Lage des Haushaltsoptimums liefert die Budgetbeschränkung

→ Anforderung an Steigung der Indifferenzkurve und Budgetbeschränkung

5151




→ Randlösung: z.B. x1* > 0, x2* = 0

→ innere Lösung: x1* > 0, x2* > 0

x1

x2

x1*

5252




Formale Lösung des Entscheidungsproblems:

→ Lagrange-Ansatz

]xpxpm[λ)x,x(u)λ,x,x(L 22112121 −−+=

λ: Lagrange-Multiplikator

Notwendige Bedingungen für ein Maximum der Lagrange-Funktion:

;0xL

1

=∂∂ ;0

xL

2

=∂∂ 0

λL=

∂∂

Maximiere u(x1,x2) unter der Nebenbedingung p1x1+p2x2=m

5353




0pλxu

xL

111

=−∂∂

=∂∂

0pλxu

xL

222

=−∂∂

=∂∂

0xpxpmλL

2211 =−−=∂∂

2

1

2

1

pp

x/ux/u

=∂∂∂∂

⇒ (I)

(II)

(I) und (II) als Bestimmungsgleichungen der optimalen Mengen x1* und x2*

→ (I) und (II) sind notwendige, aber keine hinreichenden Bedingungen für ein Maximum

5454




→ Auflösung von (I) und (II) nach endogenen Variablen x1und x2 in Abhängigkeit der exogenen Variablen p1, p2 und m:

x1 = x1(p1,p2,m)

x2 = x2(p1,p2,m)

→ Nachfragefunktionen

5555




→ Einsetzverfahren

Budgetgerade nach einer endogenen Variablen auflösen:

z.B. x2: (III)12

1

22 x

pp

pmx −=

Einsetzen in die Zielfunktion:

)xpp

pm,x(u

2x

12

1

21

43421

−

5656




Optimierung bzgl. der verbleibenden Entscheidungsvariablen ergibt:

0pp

xu

xu

2

1

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

∂∂

+∂∂

oder:

2

1

2

1

pp

x/ux/u

=∂∂∂∂

(I)

→ (I) und (III) bestimmen die optimalen Mengen x1* und x2*

5757




Nachfragefunktionen spezieller Nutzenfunktionen:

β2

α121 xx)x,x(u =

• Cobb-Douglas-Nutzenfunktion:

→ GRS:1

2

2

1

xx

βα

x/ux/u

=∂∂∂∂

im GG gilt: (I)2

1

1

2

2

1

pp

xx

βα

x/ux/u

==∂∂∂∂

mxpxp 2211 =+Budgetbeschränkung: (II)

5858




1122 xpαβxp =(I) auflösen:

in (II) einsetzen: mxpαβxp 1111 =+

mxpαβα

11 =+

⇒

11 p

mβα

αx+

=⇒

Nachfragefunktion nach Gut 1

5959




einsetzen in (I):2

2 pm

βαβx+

=

Nachfragefunktion nach Gut 2

6060




2121 xxln)x,x(u +=

• Quasi-lineare Nutzenfunktion:

→ GRS:12

1

x1

x/ux/u

=∂∂∂∂

im GG gilt: (I)2

1

12

1

pp

x1

x/ux/u

==∂∂∂∂

mxpxp 2211 =+Budgetbeschränkung: (II)

;ppx

1

21 =⇒ 1

pmx

22 −=

6161




Komparative Statik

→ Wie beeinflussen Einkommensänderungen die Entscheidung der Konsumenten?

Wir wissen: Eine Einkommenserhöhung verschiebt die Budgetgerade parallel nach außen.

→ Der Konsument ist damit in der Lage, mehr von beiden Gütern zu konsumieren und auf eine höhere Indifferenzkurve zu kommen.

6262




x1

x2

I1x1*

x2*

ursprüngliche Budgetgerade

ursprüngliches Optimum

x1

x2

I1x1*

x2*

neue Budgetgerade

x1

x2

I1x1*

x2* I2

höhereIndifferenzkurve

x1

x2

I1

x1*

x2* I2

x1**

2**x

neues Optimum

6363




→ in obiger Abbildung: normale Güter

Konsument kauft mehr von einem Gut bei steigendem Einkommen, d.h.

;0dmdx1 > 0

dmdx2 >

→ Was passiert bei inferioren Gütern?

Konsument kauft weniger von einem Gut bei steigendem Einkommen, d.h.

0dmdx1 < oder 0

dmdx2 <

6464




→ Grafisch: x2 als inferiores Gut


x1

x2

I1

x1*

x2*

x1

x2

I1x1*

x2*

I2x1**

x2**neues Optimum

6565




→ Wie beeinflussen Preisänderungen die Entscheidung der Konsumenten?

→ Eine Preissenkung dreht die Budgetgerade nach außen und verändert die Neigung der Budgetgeraden.

6666





x1

x2

I1x1*

x2*

x1

x2

I1

x1*

x2* I2

x1**

x2**

neues Optimum

6767




Einkommens- und Substitutionseffekt

Preisänderungen haben zwei Auswirkungen auf die Konsumentscheidungen:

→ Einkommenseffekt

→ Substitutionseffekt

Konsumveränderung aufgrund der Veränderung der relativen Preise

Konsumveränderung aufgrund der Veränderung der Kaufkraft

Im Folgenden: Slutsky-Zerlegung

6868




Annahme: ∆pi < 0

• Gut i wird im Vergleich zu Gut j billiger. Der Konsument wird Gut j durch Gut i substituieren.

→ Drehung der Budgetgerade entsprechend der Veränderung der relativen Preise

→ Substitutionseffekt

• Die Kaufkraft des Konsumenten nimmt zu. Bei gegebenem Nominaleinkommen kann er sich jetzt mehr von Gut i (oder j) leisten.

→ Bewegung zur neuen Indifferenzkurve

→ Einkommenseffekt

6969




Grafische Isolierung der beiden Effekte:

• Substitutionseffekt:

Änderung des Preisverhältnisses bei konstanter Kaufkraft

→ Rotation der ursprünglichen Budgetgerade entsprechend der Veränderung der relativen Preise im ursprünglichen Optimum

→ konstante Kaufkraft: trotz veränderter relativer Preise muss das ursprüngliche Güterbündel erreichbar sein

7070




• Einkommenseffekt:

Änderung der Kaufkraft bei konstanten relativen Preisen

→ Parallelverschiebung der gedrehten Budgetgerade zur Indifferenzkurve im neuen Optimum

7171




Beispiel: Preissenkung bei Gut 1

x1

x2

I1

x1*

x2*

altes Optimum

x1

x2

I1

x1*

x2*

I2

x1**

x2**neues Optimum

x1

x2

I1

x1*

x2*

I2

x1**

x2**

x1

x2

I1

x1*

x2*

I2

x1**

x2**

x1S

x2S

SE

SE

EE

EE

7272




Analytische Zerlegung des Gesamteffekts:

→ Vorüberlegung zum Substitutionseffekt:

ursprüngliche Budgetgerade mit Optimum:

*22

*11 xpxpm +=

Budgetgerade nach Preisänderung und konstanter Kaufkraft:

*22

*11 xpx'p'm +=

Subtraktion ergibt:

*2

0

22*111 x)pp(x)p'p(m'm

43421=

−+−=−

7373




∆m: Änderung des Einkommens, die bei einer Preisänderung ∆p1 erforderlich ist, um die Kaufkraft konstant zu halten

*11xpm'm:m Δ=−=Δ

7474




→ Zerlegung der gesamten Nachfrageänderung:

*1

**11 xxx −=Δ

)xx()xx( *1

S1

S1

**1 −+−=

)xx()xx( **1

S1

*1

S1 −−−=

m1

S1 xx Δ−Δ=

1

m1

1

S1

1

1

px

px

px

ΔΔ

−ΔΔ

=ΔΔ

⇒

7575




Wir wissen:

*11xpm Δ=Δ

{ 43421EE

m1*

1

SE1

S1

1

1

mxx

px

px

ΔΔ

−ΔΔ

=ΔΔ

oder *1

1 xmp Δ

=Δ

→ Slutsky-Gleichungen:

für Gut 1:

für Gut 2:(analoge Herleitung) m

xxpx

px m

2*1

1

S2

1

2

ΔΔ

−ΔΔ

=ΔΔ

7676




0px

1

S1 <

ΔΔ

Direkter Substitutionseffekt:

im Zwei-Güter-Fall: 0px

1

S2 >

ΔΔ

Kreuzpreissubstitutionseffekt:

im n-Güter-Fall (i ≠ j):

Substitutionsgüter: 0px

j

Si >

ΔΔ

Komplementärgüter: 0px

j

Si <

ΔΔ

7777




Einkommenseffekt:

0mxm

1 >ΔΔ

Gut 1 ist normales Gut:

0mxx:EE

m1*

1 <ΔΔ

−⇒

Gut 1 ist inferiores Gut: 0mxm

1 <ΔΔ

0mxx:EE

m1*

1 >ΔΔ

−⇒

7878




Gesamteffekt für Gut 1:

• Gut 1 ist normales Gut:

• Gut 1 ist inferiores Gut:

SE < 0; EE < 0 → GE = SE + EE < 0

SE < 0; EE > 0 → GE = SE + EE unbestimmt!

Zwei Möglichkeiten:

|EE| > |SE| → GE > 0 Giffen-Gut

|EE| ≤ |SE| → GE ≤ 0 inferiores Gut, kein Giffen-Gut

7979




Grafisch: Gut 1 als Giffen-Gut

x1

x2

I1

x1*I2

x1**x1

x2

I1

x1*I2

x1**SE

EE

8080




Alternative zur Slutsky-Zerlegung: Hicks-Zerlegung

→ Substitutionseffekt wird nicht bei konstanter Kaufkraft, sondern bei konstantem Nutzenniveau ermittelt

→ Grafisch bedeutet das eine Drehung der ursprünglichen Budgetgerade entsprechend der relativen Preisänderung entlang der ursprünglichen Indifferenzkurve

8181




Ableitung der Nachfragekurve

→ Die Nachfragekurve eines Verbrauchers kann als die Summe seiner optimalen Konsumentscheidungen interpretiert werden, die sich aus seinen Budgetgeraden und seiner Indifferenzkurvenschar ergeben.

8282




x1

x2

I1

x1* x1**

I2

AB

Haushaltsoptimum Nachfragekurve nach Gut x1

x1

p1

x1* x1**

A

B

p1

p1' Nachfrage

8383




Anwendung: Wie beeinflusst der Zinssatz die Spartätigkeit?→ Wenn der Substitutionseffekt größer ist als der

Einkommenseffekt, dann führen steigende Zinsen zu größerer Spartätigkeit.

→ Wenn der Einkommenseffekt größer ist als der Substitutionseffekt, dann sinkt die Spartätigkeit mit steigenden Zinsen.

→ Aus Sicht der ökonomischen Theorie sind beide Situationen möglich.

8484




Beispiel:

Nehmen Sie an, Ihr Lebensabschnitt ist in zwei Perioden aufgeteilt:

• Wenn Sie jung sind, gehen Sie arbeiten und erhalten ein Einkommen von 100.000€.

→ Sie teilen dieses Einkommen auf in Konsum heute und Ersparnisse für morgen.

→ Der Zinssatz betrage 10%.

• Wenn Sie alt sind, gehen Sie nicht mehr und leben von Ihren Ersparnissen einschließlich der Zinszahlungen.

8585




Konsum-Spar-Entscheidung:

Konsum injungen Jahren

Konsum imAlter

100'

110'

50'

55'

Ersparnis

8686




a) Ein höherer Zinssatz erhöht die Ersparnis


Konsum imAlter

I1

I2

alte Ersparnis

neue Ersparnis

8787




b) Ein höherer Zinssatz verringert die Ersparnis

alte Ersparnis

neue Ersparnis


Konsum imAlter

I1I2

8888




Literaturempfehlung zur Vertiefung:

Varian, H.R. (2001): Grundzüge der Mikroökonomik, 5. Auflage, München, Kapitel 2-6.

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