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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-1

4. Stoßvorgänge

● Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auf-treten.

● Gesucht wird ein Zusammenhang zwischen den Ge-schwindigkeiten vor dem Stoß und den Geschwindigkei-ten nach dem Stoß.

● Der genaue zeitliche Verlauf der Kräfte ist nicht bekannt.

● Stoßvorgänge werden daher mithilfe des integrierten Im-pulssatzes beschrieben.

● Dabei müssen Annahmen zum Kraftstoß getroffen wer-den.


4. Stoßvorgänge

4.1 Idealisierungen

4.2 Stoß eines Massenpunktes

4.3 Stoß zwischen zwei Massenpunkten


4.1 Idealisierungen

● Idealisierungen sind vereinfachende Annahmen, die ge-troffen werden, damit ein Problem rechnerisch untersucht werden kann.

● Bei Stoßvorgängen werden folgende Annahmen getroffen:

– Die Stoßdauer tS ist so klein, dass Lageänderungen der be-

teiligten Körper während der Stoßdauer vernachlässigt wer-den können.

– Es müssen nur die durch den Stoß verursachten Kraftstöße berücksichtigt werden. Wegen der sehr kleinen Stoßdauer sind die Kraftstöße aller anderen Kräfte vernachlässigbar.


4.1 Idealisierungen

– Die Verformungen der beiden Körper sind so klein, dass die Bewegungsgesetze für starre Körper angewendet werden können.



● Ein Massenpunkt trifft schräg auf eine glatte Wand.

– Bekannt:● Masse m

● Geschwindigkeit vA, α

A vor

dem Auftreffen

– Gesucht:

● Geschwindigkeit vB, α

B nach

dem Auftreffen

x

y

vA

vB

αA

xα

B

m



● Geometrie:

● Integrierter Impulssatz in y-Richtung:

– Da die Wand glatt ist, werden keine Kräfte in y-Richtung übertragen.

– Damit gilt:

● Integrierter Impulssatz in x-Richtung:

– Der Stoßvorgang wird in zwei Phasen unterteilt, die Kom-pressionsphase und die Restitutionsphase.

vAx=−vA cos A , vAy=v Asin A

vBx=vB cos B , vBy=vB sin B

mvBy−mv Ay=0 vBy=v Ay



– Kompressionsphase:● Der Massenpunkt wird zusammengedrückt, bis die Ge-

schwindigkeit senkrecht zur Wand null ist.● Dazu muss auf die Masse der Kraftstoß wirken:

– Restitutionsphase:● Während der Restitutionsphase bildet sich die Verformung

ganz oder teilweise zurück.● Dabei nimmt die von der Wand auf den Massenpunkt ausge-

übte Kraft ab und ist am Ende der Restitutionsphase null.

FK

m⋅0−mvAx= FK −mvAx= FK



● Für den Kraftstoß während der Restitutionsphase gilt:

– Zeitlicher Verlauf der Kraft auf den Massenpunkt:

FR

mvBx−m⋅0= FR mvBx= FR

t

F

Fmax

tS

F KF R



● Stoßhypothese:

– Mit

stehen zwei Gleichungen zur Ermittlung der drei Unbekann-ten zur Verfügung.

– Zur Lösung wird noch eine Hypothese über das Verfor-mungsverhalten benötigt.

– Diese Hypothese stellt einen Zusammenhang zwischen den beiden Kraftstößen her.

−m vAx= FK , m vBx= FR

vBx , FK , FR



– Vollkommen elastischer Stoß:

● Verformungen und Kräf-te in der Restitutions-phase verlaufen spie-gelbildlich zur Kompres-sionsphase.

● Nach dem Stoßende hat die Masse wieder ihre ursprüngliche Form.

● Für die Kraftstöße gilt: t

F

Fmax

tS

F KF R

FR= FK



● Damit folgt:

● Ergebnis:

– Vollkommen plastischer Stoß:● Die gesamte Verformung bleibt erhalten.● Der Kraftstoß während der Restitutionsphase verschwindet:

● Damit folgt:

−mvAx = FK

mvBx = FK

mvAxmvBx=0

vBx=−vAx

vBy=vAy

vB=vA

B=A

FR=0

vBx=0



● Mit und folgt weiter:

● Der Massenpunkt rutscht an der Wand entlang.

– Teilelastischer Stoß:● Die Verformungen bilden sich teilweise zurück.● Für die Kraftstöße gilt:

● Die dimensionslose Konstante k wird als Stoßzahl bezeich-net.

● Der Wert der Stoßzahl liegt zwischen 0 (vollkommen plasti-scher Stoß) und 1 (vollkommen elastischer Stoß).

vBx=vB cos B , vBy=vBsin B vBy=vAy

B=90 °vB=vBy=vAy=vAsinA

FR=k FK



● Damit folgt:

● Ergebnis:

● Wegen k < 1 gilt:● Die Stoßzahl kann aus dem Verhältnis der Geschwindigkeiten

berechnet werden:

● Die Stoßzahl hängt von den Eigenschaften des Körpers und von den Eigenschaften der Wand ab.

−mvAx = FK

mvBx = k FK

k m vAxmvBx=0

vBx=−k vAx

tan B=vBy

vBx=

vAy

−k vAx=

1k

tan A

tan Btan A BA

k=−vBx

vAx



x

y

vA

vB

αA

xα

Bx

y

vA

vA

αA

xα

A

y

vA

vB

αA

x

αB

k = 1 0 < k < 1 k = 0

vollkommen elastisch teilelastisch vollkommen plastisch



● Bestimmung der Stoßzahl im Fallversuch:

– Eine Masse fällt aus der Höhe hA senkrecht auf eine waage-

rechte Unterlage.

– Nach dem Stoß erreicht sie die Höhe hB.

– Geschwindigkeiten nach oben werden positiv gezählt.

– Dann gilt für die Geschwindigkeit vA :

– Für die Höhe hB gilt:

– Damit folgt für die Stoßzahl:

vA=−2 g hA

hB=12

vB2

g vB=2 g hB

k=−vB

v A= hB

hA



● Typische Werte der Stoßzahl:

– Glas auf Glas: 0,94

– Stahl auf Stahl: 0,8

– Holz auf Holz: 0,5

– Kork auf Kork: 0,56

● Außer vom Material hängt die Stoßzahl auch von der Geometrie des Körpers und von der Größe des Kraftsto-ßes ab.


4.3 Stoß zwischen zwei Massenpunkten

4.3.1 Definitionen

4.3.2 Gerader zentrischer Stoß

4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß


4.3.1 Definitionen

● Berührungsebene und Stoßnormale:

– Die Berührungsebene liegt tangential zu den beiden Körpern.

– Der Stoßpunkt P liegt in der Berührungsebene.

– Die Stoßnormale geht durch den Stoßpunkt P und steht senkrecht auf der Berührungsebene.

P

S1

S2

Stoßnormale

Berührungsebene


4.3.1 Definitionen

● Gerader Stoß:

– Die Geschwindigkeiten unmit-telbar vor dem Stoß haben die Richtung der Stoßnormalen.

● Schiefer Stoß:

– Die Richtungen der Geschwin-digkeiten unmittelbar vor dem Stoß stimmen nicht mit der Stoßnormalen überein.

P

S1

S2

v1

v2

P

S1

S2

v1

v2


4.3.1 Definitionen

● Zentrischer Stoß:

– Die Stoßnormale geht durch die beiden Schwerpunkte.

– Beim zentrischen Stoß können die beteiligten Körper als Mas-senpunkte betrachtet werden

● Exzentrischer Stoß:

– Die Stoßnormale geht nicht durch die beiden Schwerpunkte.

S1

S2

P

S1

S2

P


● Vor dem Stoß:

– Die Massen m1 und m

2 bewegen sich mit den Geschwindig-

keiten v1 und v

2 entlang einer Geraden, die mit der Stoß-

normalen übereinstimmt.


x

m1

m2

v1

v2

v1 > v

2



● Während des Stoßes:

– Zum Zeitpunkt t = 0 treffen die beiden Massen aufeinander.

– Sie üben eine Kraft F(t) aufeinander aus.

x

m1

m2

F(t)

Freigeschnitten:



– Kompressionsphase:● Während der Kompressionsphase werden die beiden Massen

zusammengedrückt.

● Am Ende der Kompressionsphase (Zeitpunkt t0 ) haben die

beiden Massen die gleiche Geschwindigkeit v0.

● Die Kontaktkraft F(t) erreicht zum Ende der Kompressions-phase ihr Maximum.

● Für den Kraftstoß während der Kompressionsphase gilt:

FK=∫0

t0

F t dt



– Restitutionsphase:● Während der Restitutionsphase bilden sich die Verformungen

teilweise oder vollkommen zurück. ● Dabei fällt die Kontaktkraft F(t) ab und ist am Ende (Zeitpunkt

tS ) null.

● Für den Kraftstoß während der Restitutionsphase gilt:

– Stoßhypothese:● Zwischen den Kraftstößen besteht die Beziehung

FR=∫t0

tS

F t dt

FR=k FK



● Nach dem Stoß:

– Die Massen m1 und m

2 bewegen sich mit den Geschwindig-

keiten w1 und w

2 entlang einer Geraden, die mit der Stoß-

normalen übereinstimmt.

x

m1

m2

w1

w2

w1 < w

2



● Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

– Der integrierte Impulssatz für jede der beiden Massen wäh-rend der Kompressionsphase lautet:

– Der integrierte Impulssatz für jede der beiden Massen wäh-rend der Restitutionsphase lautet:

– Damit stehen vier Gleichungen zur Verfügung, mit denen die vier Unbekannten w

1, w

2, v

0 und berechnet werden

können.

m1 v0−v1 =− FK , m2 v0−v2 = FK

m1 w1−v0 =−k FK , m2 w2−v0 =k FK

FK



– Addition der beiden Gleichungen für die Kompressionspha-se ergibt:

– Damit folgt für den Kraftstoß:

m1 v0−v1 m2 v0−v2 =0 v0=m1v1m2 v2

m1m2

FK=m2 v0−v2 =m2m1v1m2 v2

m1m2

−v2=m2

m1 v1m2 v2−m1m2 v2

m1m2

=m1m2

m1m2v1−v2



– Aus den Gleichungen für die Restitutionsphase folgt:

– Ergebnis:

w1=v0−kFK

m1

=m1v1m2 v2

m1m2

−km2

m1m2v1−v2

w2=v0kFK

m2

=m1v1m2 v2

m1m2

km1

m1m2v1−v2

w1=m1 v1m2 v2−k m2 v1−v2

m1m2

w2=m1v1m2 v2k m1 v1−v2

m1m2



– Spezialfälle:● Ideal plastischer Stoß: k = 0● Ideal elastischer Stoß: k = 1

● Gleich große Massen: m1 = m

2

● Ideal elastisch mit gleich großen Massen:

● Ideal plastisch mit gleich großen Massen:

w1=w2=m1 v1m2 v2

m1m2

w1=2m2 v2m1−m2 v1

m1m2

, w2=2m1v1m2−m1 v2

m1m2

w1=12 [ 1−k v1 1k v2 ] , w2=

12 [ 1k v11−k v2 ]

w1=v2 , w2=v1

w1=w2=12 v1v2



● Impulserhaltung:

– Da wegen der sehr kurzen Stoßzeit der Kraftstoß der äuße-ren Kräfte auf das Gesamtsystem vernachlässigbar ist, muss der Impuls des Gesamtsystems erhalten bleiben.

– Addition der integrierten Impulssätze für die Kompressions-phase ergibt:

– Addition der integrierten Impulssätze für die Restitutions-phase ergibt:

m1 v0−v1 m2 v0−v2 =0

m1 w1−v0 m2 w2−v0 =0



– Addition dieser beiden Gleichungen ergibt:

– Daraus folgt:

– Diese Beziehung gilt un-abhängig von der Stoß-zahl.

m1 w1−v1 m2 w2−v2 =0

m1w1m2w2

=m1v1m2 v2

● Stoßbedingung:

– Für die Geschwindig-keitsdifferenz w

2 – w

1 folgt:

w2−w1

=k m1 v1−v2 k m2 v1−v2

m1m2

=k v1−v2

k=−w2−w1

v2−v1



– Die Stoßzahl ist gleich dem Verhältnis von relativer Tren-nungsgeschwindigkeit zu relativer Annäherungsgeschwin-digkeit.

– Mit Impulserhaltungssatz und Stoßbedingung stehen zwei Gleichungen zur Verfügung, die nach w

1 und w

2 oder nach v

1

und v2 aufgelöst werden können.



● Energiebilanz:

– Die mechanische Energie, die dem System durch Verfor-mung und Erwärmung verloren geht, berechnet sich aus der Differenz der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß:

– Daraus folgt zunächst:

E=E vK−En

K=

12 m1v1

2m2 v2

2 −12 m1w1

2m2 w2

2

2E = m1 v12−w1

2 m2 v22−w2

2 = m1 v1−w1 v1w1 m2 v2−w2 v2w2



– Mit folgt weiter:

– Aus den Stoßgleichungen folgt:

m2 v2−w2 =−m1 v1−w1 2E = m1 v1−w1 v1w1 −m1 v1−w1 v2w2

= m1 v1−w1 v1w1−v2−w2 = m1 v1−w1 v1−v2−k v1−v2

v1−w1=m1m2 v1−m1 v1−m2 v2k m2 v1−v2

m1m2

=m2 v1−v2 k m2 v1−v2

m1m2

=m2

m1m21k v1−v2



– Damit folgt:

– Ergebnis:

– Beim ideal elastischen Stoß ist wegen k = 1 der Energiever-lust null.

– Beim ideal plastischen Stoß ist wegen k = 0 der Energiever-lust am größten.

2E=m1m2

m1m21k v1−v2 1−k v1−v2

E=12

m1m2

m1m21−k2 v1−v2

2



● Betrachtet wird nur der schiefe zentrische Stoß zweier Massen in der Ebene.

● Dabei wird angenommen, dass die Oberflächen der Mas-sen glatt sind.



x

y

Stoßnormale

Berührungsebene

m1

m2

v1

v2

v1x

v1y

v2x

v2y

w1y

w2y

w1x w

2x

w2w

1

Geschwindigkeitenentgegen derx-Achse sind negativ.



● Impulserhaltungssatz in y-Richtung:

– Da die Oberflächen der beiden Massen als glatt vorausge-setzt werden, werden in der Berührungsebene keine Kräfte übertragen.

– Der Impulserhaltungssatz in y-Richtung für jede der beiden Massen liefert:

m1 v1 y=m1w1 y v1 y=w1 y

m2 v2 y=m2 w2 y v2 y=w2 y



● Integrierter Impulssatz in x-Richtung:

– In Richtung der Stoßnormalen liegen die gleichen Verhält-nisse vor wie beim geraden zentrischen Stoß.

– Der über die gesamte Stoßzeit tS integrierte Impulssatz für

jede der beiden Massen lautet:

– Zusätzlich muss die Stoßbedingung erfüllt sein:

m1w1 x−m1 v1 x=− F , m2w2 x−m2 v2 x= F

F= FK FR

k=−w1 x−w2 x

v1 x−v2 x



– Damit stehen drei Gleichungen zur Bestimmung der drei Unbekannten w

1x, w

2x und zur Verfügung.

– Wie beim geraden zentrischen Stoß folgt:

– Geschwindigkeiten entgegen der x-Achse sind negativ.

F

w1 x=m1 v1 xm2 v2 x−k m2 v1 x−v2 x

m1m2

w2 x=m1v1 xm2 v2 xk m1 v1 x−v2 x

m1m2

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