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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.4-1

4. Ebene Tragwerke

● In diesem Kapitel wird untersucht, wie sich Kräfte in Lagern und Gelenken ebener Tragwerke ermitteln lassen.

● Lager und Gelenke schränken die Bewegungsmöglichkeit eines Bauteils ein.– Um eine Verschiebung zu unterdrücken, muss das Lager

eine Kraft auf das Bauteil ausüben.– Um eine Verdrehung zu unterdrücken, muss das Lager ein

Moment auf das Bauteil ausüben.– Die Kräfte in den Gelenken zwischen einzelnen Bauteilen

sorgen dafür, dass die Bauteile zusammen bleiben.


4. Ebene Tragwerke

1. Einfache ebene Tragwerke2. Mehrteilige ebene Tragwerke


4.1 Einfache ebene Tragwerke

● Beispiel:– Gegeben:

● Gewicht G = 5000N● Höhe h = 3m● Abstand a = 2,5m

– Gesucht:● Reaktionskräfte in den

Lagern A und B

G

A

Ba

h

Loslager

Festlager



– Freischneiden:● Die Lager werden ent-

fernt.● Die Kräfte, die die Lager

auf das Bauteil ausüben, werden eingezeichnet.

● Die Pfeilrichtung legt die positive Richtung fest.

● Ergibt die Rechnung einen negativen Zah-lenwert, so wirkt die Kraft entgegen der Pfeil-richtung.

G

A

B

x

y

a

h

Ax

Bx

Ay



– Gleichgewichtsbedingungen:● Zur Bestimmung der 3 unbekannten Kräfte A

x, A

y und B

x

stehen die 3 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung.

∑ F y=0 :

Ax−Bx=0

A y−G=0

∑ F x=0 :

∑M A=0 : h Bx−aG=0

A y=G

Bx=ahG

Ax=B x

Ax=B x=2,53⋅5000N=4167N A y=5000N



● Statisch bestimmte Lagerung:– Eine Lagerung heißt statisch bestimmt, wenn sich die

Lagerreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen be-stimmen lassen.

– Wenn die Gleichgewichtsbedingungen nicht zur Bestim-mung der Lagerreaktionen ausreichen, heißt die Lagerung statisch unbestimmt.

– Bei ebenen Tragwerken gilt:● Treten 3 Lagerreaktionen auf, so ist das Tragwerk statisch

bestimmt.● Treten mehr als 3 Lagerreaktionen auf, so ist das Tragwerk

statisch unbestimmt.



– Beispiel:

3 Lagerreaktionen:statisch bestimmt

4 Lagerreaktionen:statisch unbestimmt

Freigeschnitten:



● Wertigkeit:– Die Wertigkeit eines Lagers gibt an, wie viele Bewegungs-

möglichkeiten das Lager unterdrückt:● Ein 1-wertiges Lager unterdrückt eine Bewegungsmöglichkeit.

Es tritt eine Reaktionslast auf.● Ein 2-wertiges Lager unterdrückt zwei Bewegungsmöglichkei-

ten. Es treten zwei Reaktionslasten auf.● Ein 3-wertiges Lager unterdrückt drei Bewegungsmöglichkei-

ten. Es treten drei Reaktionslasten auf.



Festlager:

Feste Einspannung:

Loslager:

Glatte Wand:


4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke

● Beispiel:– Gegeben:

● Kraft F = 10kN● Abmessungen a = 2m,

b = 3m, c = 5m, h = 1m– Gesucht:

● Reaktionskräfte in den Lagern A und B

● Kräfte im Gelenk C

Fa

b

c

h

A

B

C



– Freischneiden:● 4 unbekannte Lagerkräfte● 3 Gleichgewichtsbe-

dingungen● zusätzliche Bedingung: Ge-

lenk überträgt kein Moment

Fa

b

c

h

A

B

CAx

Ay

Bx

By

x

y



– Freischneiden der einzelnen Bauteile:

Fa

b

A CAx

Ay

x

y

Cy

Cx

Träger AC:

c - b

hB

C

Bx

By

x

y

Cy

Cx

Träger BC:



– Mit den Gelenkkräften Cx und C

y treten 2 weitere Unbekann-

te auf. Diese Kräfte werden als Zwischenreaktionen be-zeichnet.

– Damit sind insgesamt 6 Unbekannte zu bestimmen– Für jeden der beiden Träger müssen 3 Gleichgewichtsbe-

dingungen erfüllt sein.– Damit stehen 6 Gleichungen zur Verfügung.



– Gleichgewicht am Träger BC:

c – b

hB

C

Bx

Byx

y Cy

Cx

φ∑ F x=0 : C x−Bx=0 C x=Bx

∑ F y=0 : −C yB y=0 C y=B y

∑ M C =0 : c−b B y−h B x=0

B yBx

= hc−b

= tan

c - b

h B Bx

By

φ

ByBx



– Pendelstütze:● Die Richtung der im Punkt B am Träger BC angreifenden

Kraft stimmt mit der Richtung des Trägers überein.● Ein Träger, der in zwei Punkten gelenkig gelagert ist und auf

den keine äußeren Kräfte wirken, kann nur Kräfte übertragen, deren Wirkungslinie durch die beiden Gelenke verläuft.

● Ein solcher Träger wird als Pendelstütze bezeichnet.F

FF

F



– Gleichgewicht am Träger AC:Fa

b

A CAx

Ay

x

yB

y

Bx∑ F x=0 : Ax−Bx=0 Ax=B x

∑ F y=0 : A yB y−F=0∑M A=0 : −a Fb B y=0

B y=ab F

B yBx

= hc−b

Bx=c−bhB y=

c−bhabF

A y=F−B y=b−abF



– Zahlenwerte:

B y=2m3m⋅10kN=6,67kN

Bx=5m−3m1m

2m3m

⋅10kN=13,33kN

C y=6,67kN

C x=13,33 kN

Ax=13,33 kN

A y=3m−2m3m

⋅10kN=3,33kN



● Statisch bestimmte Tragwerke:– Ein aus starren Körpern zusammengesetztes Tragwerk

heißt statisch bestimmt, wenn sich alle Lagerreaktionen und Zwischenreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen lassen.

– Regel:● Ein ebenes Tragwerk aus N starren Körpern mit L Lagerre-

aktionen und Z Zwischenreaktionen ist statisch bestimmt, wenn gilt:

L + Z = 3N



● Beispiel: Hebebühne

a

a

a a 2a

a

2a

A

B

C

D E

H

F



– Überprüfung auf statische Bestimmtheit:● In den Punkten A und H liegen Festlager vor.● Die Lagerung besteht aus zwei 2-wertigen Lagern. Damit

liegen 4 unbekannte Lagerreaktionen vor: L = 4● In den 4 Gelenken B, C, D und E treten je 2 unbekannte

Zwischenreaktionen auf: Z = 4 ∙ 2 = 8● Das Tragwerk besteht aus 4 starren Körpern: N = 4● Die Beziehung L + Z = 3N ist erfüllt. Das Tragwerk ist statisch

bestimmt.– Identifikation von Pendelstützen:

● Die Träger CD und EH sind Pendelstützen.



– Gleichgewicht am Gesamtsystem:● Es wird ausgenutzt, dass der Träger EH eine Pendelstütze

ist.

a

a

a a 2a

a

2a

A

B

C

D E

H

F

x

y

Ay

Ax

H

45°



∑ F x=0 : Ax−22 H=0 Ax=22 H

∑ F y=0 : A y22 H−F=0 A y=F−22H

∑ M A=0 : −a F4a 22 H=0 H=F22

H=24 F

Ax=14F

A y=34F



– Gleichgewicht am Träger BE:● Es wird ausgenutzt, dass der Träger CD eine Pendelstütze

ist.

4a2a

B D EF

x

y

3a

HDBy

Bx

H

H

E

H



∑ M B=0 : 2a 22 D−3a F4a22 H=0

D= 32F−2H=3 22 −22 F

∑ F x=0 : Bx22 D−22H=0

Bx=22

H−D =−22⋅3 24F

D=2F

Bx=−34F



∑ F y=0 : B y 22 D−F22H=0

B y=F−22

HD =F− 22 24 2F=1−22 ⋅54 2F

B y=−14F



– Probe am Träger AB:

a

a

a a

A

B

C

x

y

Ay

Ax

C

D

D

D

ByB

x

∑ F x=−BxAx−22 D

= 3414−1F=0∑ F y=−B y−22 DA y

= 14−1 34 F=0

∑MC=a BxB yAxA y =a−34−141434 F=0

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