Algebra im Überblick

Modul berblicke ber Teilgebiete der Mathemathik (UEB)

Vorlesungsskript

Algebra im berblickDietrich Burde Oktober 2010

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 2 Algebra und Symmetrie2.1 2.2 2.3 2.4 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Isometriegruppen des Euklidischen Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetriegruppen von Ornamenten Kristallographische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 77 13 18 25

3 Algebra und Gleichungen3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Polynomiale Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynomringe in mehreren Variablen Monomordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multivariate Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Monomideale und Dicksons Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grbnerbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Buchbergers Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2727 31 34 38 40 42 47

4 Algebra und Codierung4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endliche Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perfekte Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zyklische Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BCH und Reed-Solomon Codes

5355 59 65 68 73 81

3

1 Einleitungberblicke ber Teilgebiete der Mathematik. In den Zielen dazu heit es, die Studierenden sollen zentrale Resultate derthematik der Universitt Wien und gehrt zum Modul Algebra kennenlernen, oft auch ohne detaillierte Beweise. Fr Studierende, die nach dem Bachelorstudium in das Berufsleben einsteigen wollen, liefert dieses Modul eine Verbreiterung des allgemeinmathematischen Wissens. Einige Themen ber Gruppen, Ringe und Krper werden vorher im Modul Die Vorlesung

Algebra im berblick

ist Bestandteil des Bachelor-Studiengangs in Ma-

Algebra

Elementare

angeboten. Wir stellen drei ausgewhlte Themenbereiche vor, von denen das

erste mit Gruppentheorie assoziiert ist, das zweite mit Ringtheorie, und das dritte mit Krpertheorie. Alle drei Themen sind auch Beispiele fr die Anwendungen der Algebra. Das Skript wird derzeit berarbeitet, wobei ich Gerald Teschl herzlich danken mchte fr zahlreiche gute Verbesserungsvorschlge.

5

2 Algebra und SymmetrieIn diesem Abschnitt wollen wir Symmetriegruppen von Ornamenten und Kristallen behandeln, und eine kleine Einfhrung ist das Gebiet der kristallographischen Gruppen geben. Die Klassikation kristallographischer Gruppen ist durchaus wichtig in den Anwendungen, sei es fr die Festkrperphysik, bei der Beschreibung von inkommensurabel modulierten Strukturen, Quasikristallen und magnetischen Strukturen, oder fr Anwendungen innerhalb der Kristallographie.

2.1 GruppenoperationenDie Denition einer Gruppenoperation, oder einer Gruppenwirkung ist wie folgt.

Denition 2.1.

Sei

G

eine Gruppe und

X

eine Menge. Eine Abbildung

G X X, (g, x) gxnennt man eine (1) (2)

Operation von G auf X , falls giltfr alle

g(hx) = (gh)x ex = x

g, h G

und alle

x X, x X.auf

fr das neutrale Element

eG

und alle

Eine Menge

X

mit einer Operation einer Gruppe

G

X

heit auch

G-Menge.

Wir

wollen uns einige Beispiele anschauen.

1. Die Gruppe GLn (K) der invertierbaren n n Matrizen ber einem Krper K operiert n auf dem K durch Matrixmultiplikation (A, x) Ax. 2. Jede Gruppe G operiert auf jeder Menge X durch die triviale Operation, d.h. durch gx = x fr alle g G und alle x X . 3. Die symmetrische Gruppe Sn operiert durch Permutationen auf der Ziernmenge X = {1, 2, . . . , n}. 4. Jede Gruppe G operiert auf sich selbst durch Konjugation: mit X = G ist die Opera1 tion durch (g, x) gxg gegeben. b 5. Die Gruppe SL2 (C) der komplexen 2 2 Matrizen A = ( a d ) mit Determinante c det(A) = 1 operiert auf der Riemannschen Zahlenkugel C = C {} durch Mbiustransformationen

(A, z) A z =

az + b . cz + d

7

2 Algebra und Symmetrie

Dabei gilt 1z+0 Ez = 0z+1

A = a/c und A (d/c) = . Die Einheitsmatrix E operiert durch b = z . Fr zwei Matrizen A = ( a d ), B = rechnet man nach, da gilt c A (B z) = A z + z + a = cz+ z+ z+ z+

+b +d

= =

(a + b)z + (a + b) (c + d)z + (c + d) a + b a + b z c + d c + d

= (AB) z. X X . Sie bildet eine Gruppe unter Komposition. Fr jedes g G sei L(g) : x gx die Linksmultiplikation mit g . 1 Oenbar ist L(g) eine Bijektion von X , mit inverser Abbildung L(g ).Es bezeichne

Sym(X)

die Menge aller Bijektionen

Satz 2.1.1. Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert. Dann ist die Abbildung L : G Sym(X), g L(g) ein Gruppenhomomorphismus. Ist umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus : G Sym(X) gegeben, so operiert die Gruppe G auf X durch (g, x) (g)x.Beweis.L(e) = id und L(g) (L(h) x) = L(gh) x fr alle g, h G und x X . Das besagt genau, da L ein Gruppenhomomorphismus ist. Dabei ist L(g) Sym(X) fr g G. Die zweite AussageDie beiden Bedingungen einer Gruppenoperation bedeuten folgt analog. Der Satz ist manchmal hilfreich. So nennt man eine Operation von falls der Homomorphismus

G auf X

auch

treu,

gx = x fr alle der Sn treu aufdie Menge

L : G Sym(X) x X schon g = e impliziert. X = {1, 2, . . . , n}.Sei

injektiv ist; mit anderen Worten, wenn Zum Beispiel operiert jede Untergruppe

Denition 2.2.die

G

eine Gruppe, die auf einer Menge

X

operiert. Fr

xX

heit

Gx = {gx | g G} X

Bahn von x, oder der Orbit von x.G-Bahnvon

Manchmal sagt man auch

x.

Eine Operation heit

xX

gibt mit

X = Gx.

In diesem Fall nennt man

X

einen

transitiv, falls es ein homogenen Raum fr G.

X = {1, 2, . . . , n}. Wenn G auf X operiert, so nennt man eine Teilmenge S X auch G-invariant, falls gx S gilt fr alle g G und alle x S . Dann induziert die Operation von G auf X auch eine Operation von G auf S . Die Bahn Gx von X ist die kleinste G-invariante Teilmenge von X , die x enthlt. Fr x, y X schreiben wir x y , falls es ein g G gibt mit y = gx. Das deniertZum Beispiel operiert die symmetrische Gruppe transitiv auf

Sn

8

2.1 Gruppenoperationen

oensichtlich eine quivalenzrelation:

1. Die Relation is reexiv, da x = ex gilt. 2. Die Relation ist symmetrisch, da aus x y folgt y = gx, und somit x = g 1 y , also y x. 3. Die Relation ist transitiv, weil y = gx und z = hy zusammen oenbar z = h(gx) = (hg)x implizieren. Die quivalenzklassen dieser Relation sind nichts anderes als die G-Bahnen. Sie bilden eine Partition von X .

Beispiel 2.1.2. Fr eine Gruppe G, die auf sich selbst operiert durch Konjugation, sind die G-Bahnen genau die Konjugationsklassen.Fr

xX=G

ist die Konjugationsklasse von

x

die Menge

{gxg 1 | g G}.

Beispiel 2.1.3. Sei G = D die Untergruppe von Sym(R), die von allen Translationen T (x) = x + 1 und allen Spiegelungen S(x) = x erzeugt wird. Sie heit die unendliche 1 Diedergruppe. Sie operiert auf X = R. Die G-Bahnen der Elemente x = 1, 2 , 1 sind 3 gegeben durchG 1 = Z, G 1 1 = + Z, 2 2 1 1 G = +Z 3 3

2 +Z . 3 Xoperiert. Fr

Denition 2.3.die Menge der

Sei

G

eine Gruppe, die auf einer Menge

xX

heit

Gx = {g G | gx = x} G

Stabilisator von x, oder die Isotropiegruppe von x.Gxeine Untergruppe von

In der Tat ist

G,

aber nicht unbedingt ein Normalteiler.

Vielmehr haben wir folgendes Resultat.

Lemma 2.1.4. Fr g G und x X giltgGx g 1 = Ggx .

Beweis.Ggx .

Es sei

Das

h Gx , also hx = x. Dann folgt (ghg 1 )gx = ghx = gx, 1 bedeutet gGx g Ggx . Gilt umgekehrt h(gx) = gx, so folgt (g 1 hg)x = g 1 (h(gx)) = g 1 gx = x.

also

ghg 1

Das bedeutet

g 1 hg Gx ,

oder

h gGx g 1 .

9


Beispiel 2.1.5. Falls G durch Konjugation auf sich selbst operiert, so ist der Stabilisator von x die GruppeCG (x) = {g G | gx = xg}.

Sie heit Zentralisator von x in G.Das Zentrum

Z(G)

von

G

ist der Schnitt ber alle Zentralisatoren:

Z(G) =xGFr eine Teilmenge

CG (x) = {g G | gx = xg x G}.denieren wir den Stabilisator von

SX

S

als

Stab(S) = {g G | gS = S}.Oenbar ist Wie in

Stab(S) eine Untergruppe von G, und Stab(x) = Gx 1 Lemma 2.1.4 zeigt man, da Stab(gS) = g Stab(S)g .

fr ein Element

x X.

Beispiel 2.1.6. Fr die Operation der unendlichen Diedergruppe D auf R sind die 1 Satbilisatoren von x = 1, 2 , 1 gegeben durch 3G1 = {id, T 2 S}, G 1 = {id, T S},2

G 1 = {id}.3

Beweis.

n n 2 Die Gruppenelemente sind von der Form T S oder T fr n Z, wegen S = id 1 1 und ST = T S . Fr x = 3 hat die Gleichung W (x) = x nur die Lsung W = id. Falls 1 n W = T so impliziert T n ( 1 ) = 3 natrlich n = 0. Fr W = T n S ergibt die Gleichung 3

1 = (T n S) 3einen Widerspruch wegen

1 3

= Tn

1 3

=n

1 3

n Z.

Beispiel 2.1.7. Es operiere G auf sich selbst durch Konjugation. Sei H eine Untergruppe von G. Der Stabilisator von H heit dann der Normalisator NG (H) von H in G:NG (H) = {g G | gHg 1 = H}.

Satz 2.1.8. Operiert eine Gruppe G auf einer Menge X , so ist die AbbildungG/Gx Gx, gGx gx

eine Bijektion. Es gilt |Gx| = (G : Gx ).

Korollar 2.1.9. Die Anzahl der Konjugierten gHg1 einer Untergruppe H von G ist gleich (G : NG (H)).

10

2.1 Gruppenoperationen

Wenn

X

eine endliche Menge ist, dann ist

X

eine disjunkte Vereiningung von endlich

vielen Bahnen

Oi ,

also

m

X=i=1Das bedeutet dann

Oi .m

m

|X| =i=1fr

|Oi | =i=1

(G : Gxi )

xi Oi .

Wenn

G

auf

X =G

durch Konjugation operiert, erhlt man dadurch die

sogenannte Klassengleichung.

Theorem 2.1.10 (Klassengleichung). Es bezeichne C ein Vertretersystem von Elementen fr die Konjugationsklassen von G. Dann gilt|G| =xCDie Klassengleichung hat viele Folgerungen fr die Gruppentheorie. Wir wollen an einige ausgewhlte Resultate erinnern.

(G : CG (x)).

Theorem 2.1.11 (Cauchy). Sei p eine Primzahl, die die Gruppenordnung |G| teilt. Dann enthlt G ein Element der Ordnung p. Korollar 2.1.12. Sei G eine Gruppe der Ordnung 2p fr eine Primzahl p > 2. Dann ist G zyklisch oder eine Diedergruppe. Eine Gruppe G heit zyklisch, falls sie von einem Element r G erzeugt wird. Manschreibt dann auch

G = r . Wenn r endliche Ordnung hat, also wenn rn = e fr ein n N gilt, so ist G = {e, r, r2 , . . . , rn1 }. Es ist leicht zu sehen, da es bis auf Isomorphie genau eine zyklische Gruppe der Ordnung n gibt, fr jedes n . Man hat Cn = {e, r, r2 , . . . , rn1 } Z/nZ, C = {. . . , ri , . . . , r1 , e, r, . . . , ri , . . .} ZDer Satz von Lagrange impliziert folgendes Resultat:

Satz 2.1.13. Jede Gruppe von Primzahlordnung p ist zyklisch.Geometrisch gesehen kann man sich Polygons mit

Cn

als die Gruppe der Drehungen eines regulren

n

Seiten vorstellen.

1

2

6

3

5

4

11


n-Ecks. Nummeriert man die Ecken des Polygons gegen den Uhrzeigersinn mit 1, 2, . . . , n, so bezeichne r die Drehung um 2/n, und s die Spiegelung an der Geraden durch 1 undDie Diedergruppe fr ist die Symmetriegruppe eines regulren den Mittelpunkt des Polygons. In Formeln,

Dn

n 3

r(i) = i + 1 mod n, s(i) = n + 2 i mod n.n1 Man rechnet leicht nach, da (srs)(i) = i + n 1 = r (i) gilt. Man hat auerdem rn = e und s2 = e. Die Gruppe Dn wird also prsentiert durch

Dn = r, s | rn = s2 = e, sr = rn1 s . Dn = {e, r, r2 , . . . , rn1 , s, rs, r2 s, . . . , rn1 s}. Die geometrische Denition zeigt, da alle Elemente hier verschieden sind, d.h., |Dn | = 2n. Des weiteren ist Dn = r s = Cn C2 ein semidirektes Produkt der zyklischen Gruppen Cn und C2 , mit (s)(ri ) = ri . Wir bemerken noch, da man fr n 2 die Diedergruppen wie folgtMan hat deniert:

D1 = C1 ,

D2 = C2 C2 . 2pmit

Beweis.

Sei

G

eine Gruppe der Ordnung

p > 2.

Wir wollen das Korollar

2.1.12

beweisen. Der Satz von Cauchy zeigt, da es ein Element

s

der Ordnung

2,

und ein

Element r der Ordnung p in G geben mu, da 2 und p ein Teiler von |G| sind. Dann ist Cp = r ein Normalteiler in G wegen (G : Cp ) = 2. Natrlich ist s Cp , weshalb G = Cp Cp s ist. Das bedeutet G = {1, r, . . . , rp1 , s, rs, . . . , rp1 s}. Da Cp ein Normalteiler 1 ist, gilt srs = ri fr ein i Z. Wegen s2 = e ist

r = s2 rs2 = s(srs1 )s1 = ri .Das bedeutet

2

i2 1 mod p, oder i2 = 1 im Krper Z/pZ. Diese quadratische Gleichung hat genau zwei Lsungen i = 1, also i 1 mod p oder i 1 mod p. Im ersten Fall p 2 ist die Gruppe G kommutativ, d.h. G = r, s | r = s = e, rs = sr C2p . Im zweiten 1 Fall hat man srs = r1 , also G Dp .

Beispiel 2.1.14. Jede Gruppe der Ordnung 6 ist entweder isomorph zu C6 , oder zu S3 .2.1.12 mit p = 3. Eine Gruppe der Ordnung 2p = 6 ist demnach entweder zyklisch, oder isomorph zu D3 . Die Gruppe D3 ist erzeugt von den beiden Permutationen s = (23) und r = (123), nach Denition von r und s. Damit ist aber klar, da D3 = S3 gilt.Das folgt aus Korollar Eine Gruppe

G

der Ordnung

pn

heit

p-Gruppe.

Die Klassengleichung impliziert auch

folgenden Satz.

Satz 2.1.15. Jede nicht-triviale p-Gruppe hat ein nicht-triviales Zentrum.

12

2.2 Isometriegruppen des Euklidischen Raumes

Korollar 2.1.16. Jede Gruppe der Ordnung p2 ist kommutativ, und damit isomorph zu Cp Cp oder Cp2 . Beweis. Sei G eine Gruppe der Ordnung p2 mit Zentrum Z . Dann ist |Z| ein Teiler vonp2 , 1 verschieden ist. Somit hat G/Z die Ordnung p oder 1. G/Z eine zyklische Gruppe ist. Es gibt also ein x G mit G/Z = xZ . Fr zwei beliebige Elemente g = xr z1 und h = xs z2 , mit zi Z folgt dannder wegen Satz von In beiden Fllen folgt, da

2.1.15

gh = xr z1 xs z2 = xr+s z1 z2 = xs z2 xr z1 = hg.Also ist

G

kommutativ.


Denition 2.4.E R.

Ein Euklidischer Vektorraum ist ein Paar

(E, ),

bestehend aus einem

endlich-dimensionalen

R-Vektorraum E

und einer positiv deniten Bilinearform

: E

x E setzen wir |x| = (x, x) und d(x, y) = |x y|. Das deniert eine d : E E R. Wir knnen den Vektorraum E nach Wahl einer orthonormalen n Basis mit dem Koordinatenraum R identizieren. Dann ist (x, x) = x, x das bliche Skalarprodukt, und d(x, y) = x y die bliche Euklidische Metrik.Fr Metrik

Denition 2.5.fr alle

Eine Abbildung

f: E E

heit

Isometrie, oder Bewegung, falls

d(f (x), f (y)) = d(x, y) x, y Egilt.

Eine Isometrie erhlt also den Abstand zwischen zwei Punkten. Sie ist oensichtlich injektiv. Wir werden auch sehen, da jede Isometrie zugleich auch surjektiv ist. Somit ist jede Isometrie bijektiv, und ihre Umkehrabbildung ist wieder eine Isometrie. Die Isometrien eines Euklidischen Vektorraums bilden eine Gruppe unter Komposition. Sie wird mit

Iso(E)

bezeichnet.

Beispiel 2.2.1. Eine Translation von E ist eine Abbildung T : E E der FormT (x) = x + b

fr einen Vektor b E . Das ist oensichtlich eine Isometrie.Eine lineare Abbildung

f : Rn Rn

heit

orthogonal, fallsB,die

f (x), f (y) = x, yfr alle

x, y Rn

gilt. Wegen

x, y = xt y

erfllt die Matrix

f

reprsentiert dann

die Gleichung

xt B t By = xt yfr alle

x, y Rn .

Somit gilt

B t B = En ,

und

B

gehrt zur orthogonalen Gruppe

On (R).

13


Beispiel 2.2.2. Eine orthogonale lineare Abbildung f : E E ist eine Isometrie.In der Tat, es gilt

d(f (x), f (y))2 = f (x) f (y) 2 = f (x y), f (x y) = x y, x y = d(x, y)2 .

Lemma 2.2.3. Es sei f : E E eine Isometrie, die den Ursprung xiert, d.h., mit f (0) = 0. Dann ist f eine orthogonale lineare Abbildung.Beweis.Mit der sogenannten Polarisierungsformel folgt

2 x, y = x 2 + y 2 x y 2 = d(x, 0)2 + d(y, 0)2 d(x, y)2 = d(f (x), f (0))2 + d(f (y), f (0))2 d(f (x), f (y))2 = f (x) 2 + f (y) 2 f (x) f (y) 2 = 2 f (x), f (y)fr alle

f das innere Produkt. Es bleibt zu zeigen, da f eine n lineare Abbildung ist. Sei e1 , . . . , en die Standardbasis des R . Da f das innere Produkt erhlt, ist auch f (e1 ), . . . , f (en ) eine ONB. Fr jedes x E gilt jetztAlso erhlt

x, y E .

n

x=k=1 n

x, ek ek , f (x), f (ek ) f (ek )k=1 n

f (x) = =k=1Also folgt

x, ek f (ek ).und

f(

n k=1

xk e k ) =

n k=1

xk f (xk )

f

ist linear.

Wir sehen nun, da Euklidische Isometrien ane Abbildungen sind.

Satz 2.2.4. Sei f : E E eine Isometrie von E . Identizieren wir E mit dem Standardraum Rn , so gibt es eine orthogonale Matrix A On (R) und einen Vektor v Rn mitf (x) = Ax + v

fr alle x E = Rn .

14


Beweis.

Sei

f: E E

eine Isometrie und

v = f (0).

Dann ist

g = T 1 f, x f (x) veine Isometrie mit Abbildung, und

g(0) = 0. Also f (x) = g(x) + v .

ist

g

nach Lemma

2.2.3

eine orthogonale lineare

Nun ist es leicht zu sehen, da gegeben durch Dann gilt

Iso(E) eine Gruppe unter Komposition ist. Seien f, g f (x) = Ax + v und g(x) = Bx + w, mit A, B On (R) und v, w Rn . (f g)(x) = A(Bx + w) + v = ABx + (Aw + v) f 1 (x) = A1 x A1 v.

Wir knnen damit Isometrien von

E

durch

(n + 1) (n + 1)-Matrizen

beschreiben.

Iso(E) =Jedes

A v 0 1x 1

| A On (R), v Rnin der Hyperebene

xE

entspricht einem Punkt

{(x1 , . . . , xn , xn+1 ) Rn+1 | xn+1 = 1}im

Rn+1 .

Die Gruppe

Iso(E)

operiert auf dem Raum

E = Rn

durch

A v 0 1gegeben durch

x 1

=

Ax + v 1 Iso(E)studieren. Die Multiplikation ist

Wir knnen nun die Struktur der Matrixgruppe

A v 0 1Das Inverse ist dann

B w 0 11

=

AB Aw + v . 0 1

A v 0 1

=

A1 A1 v 0 1 Iso(E),gegeben durch

Die Translationen bilden einen Normalteiler in

T (n) =In der Tat ist

En v 0 1 A v 0 1

| v Rn1

A v 0 1Es ist nun leicht zu sehen, da

En w 0 1

=

En Aw 0 1

Iso(E) ein semidirektes Produkt von On (R) und T (n) ist: Iso(E) = T (n) On (R).

15


Sind

N

und

Produkt

Q zwei Gruppen, so knnen wir eine Gruppenstruktur auf dem kartesischen N Q denieren durch punktweise Multiplikation: (n, q) (n , q ) = (nn , qq )

n, n N und q, q Q. Diese Gruppe heit das direkte Produkt von N und Q und wird mit G = N Q bezeichnet. Nun kann Q durch einen Gruppenhomomorphismus : Q Aut(N ) auf N operieren, viafr alle

q n = (q)(n).Damit kann man

N Q

wie folgt mit einer Gruppenstruktur versehen:

(n, q) (n , q ) = (n(q)(n ), qq ).Diese Gruppe nennen wir das von N und Q, und schreiben G = Q Aut(N ), gegeben durch (q)(n) = n, erhalten wir das direkte Produkt zurck. Die Gruppe N ist ein Normalteiler von G, und Q G/N ist der Quotient. Fr N = T (n), Q = On (R) und die natrliche Inklusion : On (R) Aut(T (n)) erhalten wir G = Iso(E) = T (n) On (R).

semidirekte Produkt

N

Q.

Fr den trivialen Homomorphismus

Wir knnen das semidirekte Produkt auch noch etwas abstrakter beschreiben.

Denition 2.6.

Eine Sequenz von Gruppen und Gruppenhomomorphismen

1N GQ1 heit

exakt, falls injektiv,

surjektiv ist, und

(N ) = ker()

gilt.

(N ) N ein Normalteiler von G, den wir oft mit N identizieren. Weiterhin ist Q G/(N ) der Quotient. Man sagt auch, da G dann eine Erweiterung von Q durch N ist. Oenbar liefert ein semidirektes Produkt N Q eine Erweiterung von Q durch N , nmlich 1 N N Q Q 1.Damit ist Diese kurze exakte Sequenz hat dann allerdings eine besondere Eigenschaft: sie

zerfllt.

Denition 2.7.

1 N G Q 1 eine Gruppenerweiterung. Bezeichne mit G/(N ) G die Abbildung, die jeder Restklasse x G/(N ) einen Vertreter :Q= (x) G zuordnet. Eine solche Funktion : Q G heit Transversale.Sei Nach Denition gilt

( (x)) = x,

i.e.,

= id | Q

(2.1)

Im allgemeinen mu eine Transversale kein Gruppenhomomorphismus sein. Genau diese Eigenschaft ist aber wichtig:

16


Denition 2.8.Transverale

Eine Erweiterung

1N GQ1

heit

zerfallend, falls es eine

:QG

gibt, die ein Gruppenhomomorphismus ist. In diesem Fall heit

ein Schnitt.

Satz 2.2.5. Eine Gruppe G ist ein semidirektes Produkt N eine zerfallende Erweiterung von Q durch N ist.

Q genau dann, wenn G

Beispiel 2.2.6. Die beiden folgenden Erweiterungen zerfallen:1 T (n) Iso(Rn ) On (R) 1, 1 SLn (k) GLn (k) k 1. det

Die erste Sequenz zerfllt wie folgt. Wir schreiben ist

(A, v) fr die Matrixdurch

A 0 0 1

. Dann

(A, v) = A,

und man kann

Fr die zweite Sequenz deniere man

(A) = (A, 0) whlen. : k GLn (k) 1 ... 0 0 . .. . . . . . . . . a . 0 . . . 1 0 0 ... 0 aund

Das ist ein Schnitt wegen

(ab) = (a) (b)

( )(a) = det (a) = a. Rn .Wir benutzen diese Tatsache, um

Die Gruppe

diskrete Untergruppen von Iso(E) zu denieren.

Iso(E)

operiert, wie gesagt, auf dem

Denition 2.9.

Eine Untergruppe

unter der Operation diskrete Eine Menge ist diskret im

Iso(E) heit diskret, n Mengen im R sind.ein

falls ihre Bahnen

x Rn

Rn ,

falls sie keinen Hufungspunkt hat. Das bedeutet, fr

x = y

mit

mindestens

y = x, gibt es c ist: d(x, y) c > 0.

c > 0,

so da der Abstand zwischen

x

und

y

Beispiel 2.2.7. Die Untergruppe Iso(R2 ), die einen Kreis S 1 in sich berfhrt ist nicht diskret. Sei enthlt Drehungen um einen beliebigen Winkel, und Spiegelungen an einem beliebigen Durchmesser.In der Tat, diese Gruppe ist

= O2 (R).1 0

Beispiel 2.2.8. Die Untergruppe Iso(R2 ), die von zwei Translationen t1 (x) = x+ und t2 (x) = x + 0 erzeugt wird ist diskret. 1Es handelt sich um die Gruppe

= Z2 = Z Z.

17


2.3 Symmetriegruppen von OrnamentenBei einem Ornament wird ein Motiv auf einem ebenen Flchenstck derart regelmig gestaltet, da seine Fortsetzung ins Unendliche suggeriert wird. Es breitet sich sozusagen regelmig wiederholend ber die ganze Ebene aus. Das entstehende Muster ist sehr symmetrisch in dem Sinne, da man es auf vielerlei Weise drehen, verschieben oder spiegeln kann, ohne das Muster zu verndern. Eine solche Operation der Ebene, die das Muster unverndert lt, nennt man eine bilden eine Gruppe.

Symmetrie

des Musters. Solche Symmetrien

Im allgemeinen ist eine Symmetrie einer Menge folgt deniert.

M

in einem Euklidischen Raum wie

Denition 2.10. Sei M eine nicht-leere Teilmenge heit eine Symmetrie von M , falls s(M ) = M gilt.Die Menge aller Symmetrien von

von

E.

Eine Isometrie

s: E Edie mit

M

bildet eine Untergruppe von

Iso(E),

Sym(M )

bezeichnet wird.

Wir wollen uns hier nun den Symmetriegruppen von Ornamenten in der Ebene widmen. Darunter versteht man eine ganz spezielle Klasse von Gruppen.

Denition 2.11. Eine Untergruppe Iso(R2 ) heit Ornamentgruppe, falls sie diskretist, und zwei Translationen mit linear unabhngigen Richtungen enthlt.

18

2.3 Symmetriegruppen von Ornamenten

Unter einem gruppe

Ornament

versteht man dann ein Muster

M R2 ,

deren Symmetrie-

Sym(M )

eine Ornamentgruppe ist.

Wir wollen uns folgendes Ornament anschauen, und seine Symmetriegruppe bestimmen.

Die einzigen Isometrien der Ebene, die das Ornament also erzeugt von den beiden Translationen

M

Translationen in die gezeigten Richtungen. In Bezug auf diese Basis des

in sich berfhren, sind R2 wird Sym(M )

1 0 A = 0 1 0 0und es gilt

1 0 , 1

1 0 B = 0 1 0 0 Sym(M ) n m 1

0 1 1also aus den Matrizen , mit

AB = BA.

Damit besteht die Gruppe

n, m Z, 1 0 n m 0 1 A B = 0 0wobei

n, m Z.

Es gilt also

Sym(M ) Z2 .

Man vergleiche mit Beispiel

2.2.8.

Es stellt sich nun heraus, da man alle Ornamentgruppen klassizieren kann. Bis auf Isomorphie gibt es genau

17

Ornamentgruppen, und fr jede dieser Gruppen kann man

ein Ornament aus der Kunst nden, das genau diese Symmetriegruppe hat. Einen ersten Beweis dieser Klassikation hat Fedorov

1891

erbracht.

Theorem 2.3.1 (Fedorov 1891). Es gibt genau 17 verschiedene Ornamentgruppen Gruppen in der Ebene.

19


Fedorov hatte zuerst Symmetriegruppen von Kristallen im trachtet, und danach erst die einfacheren

3-dimensionalen Raum be-

2-dimensionalen Entsprechungen der Kristalle, 2sagen. Die waren zuerst

nmlich die Ornamente, untersucht. Dazu kommen wir noch. Zunchst aber wollen wir noch etwas zu den Beweismethoden des Satzes in Dimension vor allen Dingen geometrischer Natur. Isometrien der Ebene sind entweder Drehungen, Spiegelungen oder Gleitspiegelungen. Endliche Isometriegruppen der Ebene kann man dann wie folgt beschreiben.

Satz 2.3.2. Eine endliche Untergruppe von Iso(R2 ) ist entweder eine zyklische Gruppe Cn , die aus Drehungen um die Winkel 2k/n fr k = 0, 1, 2, . . . , n 1 um einen Punkt P besteht, oder aber eine Diedergruppe Dn , die aus solchen Drehungen und zustzlich aus n Spiegelungen an Geraden durch P besteht.2 Hat man nun eine Ornamentgruppe Iso(R ), so bilden die Translationen in einen 2 2 Normalteiler N = T (2) Z , so da der Quotient /Z eine endliche Untergruppe 2 von Iso(R ) ist, die sogenannte . Man kann nun obigen Satz anwenden und

Punktgruppe

das folgende Resultat zeigen.

Korollar 2.3.3. Die Punktgruppen einer Ornamentgruppe ist entweder eine zyklische Gruppe C1 , C2 , C3 , C4 , C6 , oder eine Diedergruppe D1 , D2 , D3 , D4 , D6 .1, 2, 3, 4, 6 haben. Das nennt man manchmal die kristallographische Restriktion. Sei A O2 (R) eine 2 solche Drehung. Dann ist det(A) = 1. Falls det(A) = 1, so gilt A = E , und A hat Ordnung 2. Andernfalls ist det(A) = 1, undTatschlich kann eine Drehung in einer Punktgruppe nur die Ordnung

A2 tr(A)A + E = 0nach Cayley-Hamilton. Nach Multiplikation mit

A1

folgt

A + A1 = tr(A)E.Fr

Av N und A1 v N wegen (A, w) (E, v) (A, w)1 = (E, Av). 1 Deshalb ist (A + A )v = tr(A)v N . Whlt man nun v so, da es kein Vielfaches eines anderen Vektors aus N ist, so folgt tr(A) Z. Da aber A SO2 (R) ist, und v Nfolgt

SO2 (R) =folgt

cos() sin() sin() cos()

,

tr(A) = 2 cos().

Deshalb ist

bedeutet fr den Drehwinkel die Mglichkeiten

|tr(A)| 2, und somit tr(A) = 2, 1, 0, 1, 2. Das = , 2 , , , 0, und A hat die Ordnung 3 2 3

2, 3, 4, 6, 1.Nun kann man Theorem mgliche Darstellung der

2.3.1 17

mit Hilfe dieses Korollars beweisen. Das ist aber immer

noch relativ mhsam. Einen ausfhrlichen geometrischen Beweis ndet man in [3]. Eine Ornamente sieht wie folgt aus:

20


Die Klassikation der Ornamentgruppen kann auch mit sionen

algebraischen Methoden erreicht

werden. Damit wird dann auch eine Klassikation solcher Gruppen in hheren Dimen-

n 3 mglich - in diesem Fall spricht man von kristallographischen Gruppen. Die

algebraischen Methoden gestatten einen algorithmischen Zugang, mit dem man dann, im Prinzip, alle kristallographischen Gruppen berechnen kann. Ein wichtiger Satz von Bieberbach besagt, da es in jeder Dimension nur endlich viele solche Gruppen geben kann. Mit Hilfe von umfangreichen Computerrechnungen liegt heute die Klassikation bis einschlielich Dimension Dimension

6

vor. Die Anzahl der kristallographischen Gruppen steigt expoin in

nentiell an. In Dimension

6

schon

3 hat man 219 verschiedene kristallographische Gruppen, 28927922. Die Resultate sind auch wichtig fr die Anwendungen Iso(R2 )

der Kristallographie und Festkrperphysik. Wir wollen einige dieser algebraischen berlegungen skizzieren. Sei also

eine Ornamentgruppe. Die folgende Argumentation ist brigens nicht nur fr die Ebene, n sondern fr E = R gltig. Wie schon gesagt besitzt dann einen Translationsnormal2 2 teiler N Z , mit endlichem Quotienten F = /Z . Anders gesagt, man hat eine kurze exakte Sequenz von Gruppen

1 Z2 F 1, wobei

(Z2 )

eine maximal abelsche Untergruppe von

riert durch Konjugation auf dem Translationsgitter

ist. Die N Z2 .

endliche Gruppe Damit wird

F

ope-

F

zu einer

21


endlichen Untergruppe von

Aut(Z2 ) = GL2 (Z) = {A M2 (Z) | det(A) = 1}.Genauer gesagt, erhlt man eine Konjugationsklasse von immer nur endlich viele solcher Konjugationsklassen:

F

in

GL2 (Z). Nun gibt es aber

Satz 2.3.4 (C. Jordan, 1880). Die Gruppe GLn (Z) hat nur endlich viele Konjugationsklassen endlicher Untergruppen.Diese Konjugationsklassen heien

arithmetische Ornamentklassen. Hat man diese Ko-

njugationsklassen bestimmt, so mu man gem der obigen exakten Sequenz alle mglichen Erweiterungen bis auf Isomorphie nden, und erhlt so alle Ornamentgruppen. Es gibt wiederum nur endlich viele solche Erweiterungen. Die Konjugationsklassen endlicher Untergruppen von elementar bestimmen. Es gibt genau nicht zueinander konjugiert sind in

GL2 (Z)

lassen sich aber relativ von

13 endliche Untergruppen GL2 (Z). Es seien V = 0 1 , 1 0

GL2 (Z),

die jeweils

E=Es gilt sind

1 0 , 0 1

U=

0 1 , 1 1und

W =

0 1 . 1 1 U, Vund

V 2 = E , also V 4 = E , in der Tat 3, 4 und 6.

U 3 = E, W 6 = E.

Die Ordungen von

W

Satz 2.3.5. Es gibt genau 13 arithmetische Ornamentklassen, also 13 endliche, nichtkonjugierte Untergruppen von GL2 (Z). Sie sind wie folgt gegeben:C1 E , C4 V , D1 D3 D6 0 1 1 0 C2 E , C6 W , , D2 , . D3 C3 U , D1 1 0 0 1 , D2 , D4 0 1 , E , 1 0 0 1 ,V 1 0 ,

1 0 , E , 0 1 0 1 ,U 1 0

0 1 ,U 1 0 0 1 ,W 1 0

Beweis.

Wir geben eine Beweisskizze. Sei A ein Element von GL2 (Z) von endlicher m Ordnung. Das bedeutet, A = E fr ein m 1. Die Eigenwerte von A sind also m-te Einheitswurzeln.

1. Behauptung: AJordanform ber

ist diagonalisierbar.

Angenommen, das ist nicht der Fall. Dann hat

A

zwei gleiche Eigenwerte, und seine

C

ist

J=

1 . 0

22


2 Diese Matrix hat aber unendliche Ordnung wegen = 1. Damit hat auch 1 Ordnung, wegen A = SJS . Das ist ein Widerspruch.Es gibt also ein

A unendliche

S GL2 (C)

mit

SAS 1 =Angenommen es gilt

0 . 0

A2 = E . 2 0 0 2

Dann folgt

= (SAS 1 )2 = SA2 S 1 = SES 1 = E.

Das bedeutet

2 = 2 = 1, also , = 1. Somit ist A eine der folgenden vier Matrizen: 1 0 , 0 1 1 0 , 0 1 1 0 , 0 1 1 0 . 0 1 2.Die einzige Matrix aus

Dabei hat

E

Ordnung

1,

und die anderen Matrizen Ordnung

SL2 (Z)

der Ordnung

2

ist

E .mit

2. Behauptung:

Es gelte

Am = E

m 3.

Dann folgt

A SL2 (Z).

, beide m-te Einheitswurzeln sind, gilt || = || = 1, und einer der beiden kann nicht reell sein, wegen m 3. Nur fr m 2 sind alle m-ten Einheitswurzeln reell. Sagen wir also, da R. Nun gilt aber tr(A) = + Z. Insbesondere mu + reell sein. Es folgt = . Das impliziert det(A) = = = ||2 = 1.Da die Eigenwerte

3. Behauptung:Fr

Es gelte

Am = Eund

in

GL2 (Z).

Dann folgt

m = 1, 2, 3, 4, 6.

m3

ist

A SL2 (Z)

tr(A) = + = e m + e m = 2 cosganzzahlig, mit

2i

2i

2 m

|tr(A)| 2. Die Gleichungen 2 cos(2/m) = 2, 1, 0, 1, 2 ergeben dann m = 2, 3, 4, 6, 1. Alle Flle treten auch wirklich auf. Die obengenannten Matrizen A GL2 (Z) haben Ordnung m = 1 und m = 2, und es gilt ja U 3 = V 4 = W 6 = E frdie im Satz genannten Matrizen.

4. Behauptung: Jede endliche Untergruppe G SL2 (Z) hat die Ordnung 1, 2, 3, 4, 6 und ist in GL2 (Z) zu einer der 5 zyklischen Gruppen E , E , U , V oder W konjugiert. Man beachte, da wir bisher nur die mglichen Ordnungen von Gruppenelementen kennen. Wir knnen ten. Die Projektion

SL2 (Fp ) ber einem endlichen Krpern Fp einbetZ Z/pZ induziert einen Gruppenhomomorphismus SL2 (Z) SL2 (Fp ), und damit einen von G nach SL2 (Fp ). Fr p = 3 ist er injektiv, d.h., G ist isomorph zu einer Untergruppe von SL2 (F3 ). Wegen |SL2 (F3 )| = 24 und nach Lagrange ist |G| also ein Teiler von 24, d.h. |G| = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24. Die echten Untergruppen vonin eine Gruppe

G

23


SL2 (F3 )

sind aber wohlbekannt:

C2 , C3 , C4 , C6

und die Quaternionengruppe

Q8 .

Sie ist

deniert als

Q8 = a, b | a4 = e, a2 = b2 , bab1 = a3 .Dazu kann man unter anderem die Sylow-Stze verwenden. Der Punkt ist nun aber, da unsere Gruppe momorphismus

G nicht isomorph zu Q8 sein kann. Dazu betrachtet man den Ho : G SL2 (F2 ), indem man die Matrizen von G modulo 2 reduziert. Die Gruppe SL2 (F2 ) hat Ordnung 6, und man erhlt relativ schnell einen Widerspruch. Fr mehr Details, auch insgesamt zu dem Satz, siehe [5]. Somit kann G auch nicht zu SL2 (F3 ) selbst isomorph sein, denn ansonsten htte G eine zu Q8 isomorphe Untergruppe. Es bleiben also nur die angegebenen Mglichkeiten.

5. Behauptung: Die endlichen Untergruppen G GL2 (Z) sind diejenigen unter 4., D1 , D2 , D3 , D4 , D6 . Daraus erhlt man noch genau weitere 8 Konjugationsklassen.Sei

und

Gruppen

GL2 (Z). Dann ist H = G SL2 (Z) eine der C1 , C2 , C3 , C4 , C6 wegen 4.. Fr G = H ist (G : H) = 2, und damit H Normalteiler in G = H Hx. Hier ist x G\H . Alle Elemente in Hx haben nun Ordnung 2, weil sie Matrizen endlicher Ordnung in GL2 (Z) sind mit Determinante 1, und wegen 2.. Insbesondere, wenn y die zyklische Gruppe H erzeugt, hat yx Ordnung 2, also (yx)(yx) = 1 1 und xyx = y 1 . Daraus folgt, da G isomorph ist zu D1 , D2 , D3 , D4 , D6 . Galso eine endliche Untergruppe in Die Quaternionengruppe

Bemerkung 2.3.6.R1 Ri Rj Rk

sache, da sie auch auf der Teilmenge

Q8 verdankt ihren Namen auch der Tat{1, i, j, k} der Quaternionenalgebra H =

realisiert wird, nmlich durch die Multiplikation, die durch

i2 = 1 = j 2 , ij = k = ji.bestimmt wird. Des weiteren haben wir gesehen, da man die Gruppe Untergruppe von von

Q8

nicht als

GL2 (Z) realisieren kann. Man kann sie aber sehr wohl als Untergruppe0 0 i e = ( 1 0 ) , a = ( 0 0 ) , a2 = 1 1 , a3 = i i , 0 1 0 i 0 2 3 0 1 i 0 0 1 i 0 b = ( 1 0 ) , ab = ( 0 i ) , a b = ( 1 0 ) , a b = ( 0 i ) .

GL2 (C)

realisieren:

Bemerkung 2.3.7.einer der folgenden

Ist

G eine endliche Untergruppe von GL2 (Q), so ist G isomorph zu C1 , C2 , C3 , C4 , C6 , D2 , D3 , D4 , D6 .

9

Gruppen:

Aus Satz Sei

F

eine

2.3.7 kann man nun die Klassikation der 17 Ornamentgruppen gewinnen. der 13 arithmetischen Ornamentklassen. Die Ornamentgruppen entstehen 1 Z2 F 1,

daraus durch Erweiterungen.

Dazu kann man die Kohomologiegruppen mentgruppen.

H 2 (F, Z2 ) H 1 (F, R2 /Z2 )

berechnen. Diese

endlichen Gruppen liefern dann zusammen mit den arithmetischen Klassen alle Orna-

24

2.4 Kristallographische Gruppen

Ist die Kohomologiegruppe ne Gruppe

H 1 (F, R2 /Z2 )

trivial, dann erhlt man zu

F

auch nur ei-

. Das passiert in allen Fllen bis auf drei Ausnahmen: fr die Klassen F = D1 , D2 , D4 . Dort erhlt man zu D1 dann 2 Gruppen, zu D2 dann 3 Gruppen, und zu D4 auch 2 Gruppen. Das sind insgesamt dann 10 + 2 + 3 + 2 = 17 Gruppen.

2.4 Kristallographische GruppenDie allgemeine Denition einer kristallographischen Gruppe ist wie folgt. Wir identin zieren den n-dimensionalen Euklidischen Raum E mit dem R .

Denition 2.12.

Eine Untergruppe n diskret ist und R / kompakt ist.

von Iso(E) heit kristallographische Gruppe, falls

Tatschlich ist das eine Verallgemeinerung von Ornamentgruppen, wie das Resultat von Bieberbach zeigt.

Satz 2.4.1 (Bieberbach 1, 1910). Sei Iso(E) eine kristallographische Gruppe. Dann enthlt die Translationsgruppe Zn als abelschen Normalteiler, und der Quotient /Zn ist eine endliche Gruppe.Der Quotient gelst.

F = /Zn

heit

Punktgruppe. Hilbert hatte 1900 gefragt, ob es in jeder

Dimension nur endlich viele solcher Gruppen gibt. Dieses Problem wurde von Bieberbach

Satz 2.4.2 (Bieberbach 2, 1910). In jeder Dimension enthlt Iso(E) nur endlich viele verschiedene kristallographische Gruppen.Beweis.Der

1.

Satz von Bieberbach liefert eine kurze, exakte Sequenz von Gruppen

1 Zn F 1. F = /Zn operiert treu durch Konjugation, also durch innere n Automorphismen, auf dem Gitter Z . Dadurch erhlt man eine Einbettung von F bis n auf Konjugation in die Automorphismengruppe von Z , also in die GruppeDie endliche Punktgruppe

GLn (Z) = {A Mn (Z) | det(A) = 1}.Es gibt aber nur endlich viele Konjugationsklassen von Satz von Jordan,

F

in

GLn (Z).

Das besagt der

2.3.4.

Daraus ergeben sich alle kristallographischen Gruppen durch

Erweiterungen. Da man dort wieder nur endlich viele Mglichkeiten hat, liegt an der 2 n 1 n n Tatsache, da die Kohomologiegruppe H (F, Z ) H (F, R /Z ) endlich ist. In der 2 1 Tat, die Gruppe H links ist diskret, und H rechts ist kompakt. Sei

N (F )

der Normalisator von

F

in

GLn (Z).

Der letzte Schritt in der Klassikation

der kristallographischen Gruppen beruht auf folgendem Satz.

25


Satz 2.4.3. Es gibt eine bijektive Korrepsondenz zwischen den kristallographischen Gruppen in den arithmetischen Kristallklassen und den Bahnen unter der Operation der Gruppe N (F ) auf der Kohomologiegruppe H 1 (F, Rn /Zn ).Darauf aufbauend gibt es einen Algorithmus von Zassenhaus, um alle kristallographischen Gruppen zu klassizieren. Die Klassikation in Dimension Es gibt

3

wurde unabhngig voneinander schon

1885

von Fe-

dorov, Schnies und Barlow erbracht, allerdings mehr mit geometrischen Methoden.

219

Gruppen. Jede von ihnen kann als Symmetriegruppe eines echten Kristalls

verwirklicht werden.

Satz 2.4.4 (Schoenies, Barlow, Fedorov 1885). Es gibt genau 219 verschiedene kristallographische Gruppen im drei-dimensionalen Raum.Beweis.Zuerst bestimmt man die arithmetischen Kristallklassen, d.h. die Konjugationsklassen endlicher Untergruppen in

Wege, das einzusehen. Man kann zunchst bemerken, da aus

73. Es gibt mehrere A = E in GL3 (Z) wieder folgt m = 1, 2, 3, 4, 6. Damit hat eine endliche Untergruppe G GL3 (Z) hchstens 4 Ordnung 2 3 = 48, und H = G SL3 (Z) hchstens Ordnung 24. Die endlichen Untergruppen in SL3 (Z) sind bis auf Isomorphie C1 , C2 , C3 , C4 , C6 , D4 , D6 , D8 , D12 und A4 , S4 . Danach berechnet man die Bahnen der Normalisatoren N (F ) auf den Gruppen H 1 (F, R3 /Z3 ). Dann erhlt man genau 219 verschiedene Gruppen.Davon gibt es genau m Mit Hilfe des Zassenhaus-Algorithmus sind bisher alle kristallographischen Gruppen

GL3 (Z).

in den Dimensionen

1 n 6 klassiziert worden. Die folgende Tabelle gibt ihre Anzahldie Anzahl der arithemtischen Klassen bezeichnet.

sn

wieder, wobei

an

n an sn 1 2 2 2 13 17 3 73 219 4 710 4783 5 6079 222018 6 85311 28927922Eine explizite Formel fr vermutet.

Jahr

1891 1891 1885 1978 2000 2000 sn 2n2

sn

ist bisher nicht bekannt. Fr die Asymptotik wird

26

3 Algebra und GleichungenAlgebra ist im ursprnglichen Sinn die Lehre der Ausung von Gleichungen. Damit beschftigten sich bereits Mathematiker frherer Kulturen, etwa im Zusammenhang mit Problemen der Landvermessung. Es gibt Keilschrifttafeln aus dem polynomiale Gleichungen werden behandelt. Die Naturwissenschaften und die Technik stellen heutzutage allerhchste Anforderungen an die Mathematik hinsichtlich der Ausung von Gleichungssystemen. Die numerische Mathematik befasst sich dabei mit dem Aunden von Nherungslsungen. Der Verzicht auf Exaktheit wirft allerdings auch Probleme auf. Den exakten Lsungen, und dem Studium von qualitativen Aspekten der Lsungsmengen widmet sich eine mathematische Disziplin, die

2.

Jahrtausend, auf

denen bereits lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten gelst werden. Auch

algebraische Geometrie

heit. Wir knnen hier nicht genauer auf diese

Theorie eingehen. Vielmehr geben wir einen Einstieg in die Frage nach den Lsungen polynomialer Gleichungssysteme. Ein zentraler Begri dabei ist eine

Grbnerbasis.

3.1 Polynomiale GleichungssystemeHat man ein System von linearen Gleichungen, so kann man das Eliminationsverfahren von Gau anwenden, um es auf Dreiecksform zu bringen. Aus dieser Dreiecksgestalt liest man dann die Lsung unmittelbar ab. Wir betrachten folgendes Beispiel ber einem Krper

K: 2x y z = 0, x + 2y 2z 1 = 0, x y + 2z 2 = 0.

Nach Anwendung des Gau -Algorithmus, unter der Voraussetzung chungen.

char(K) = 11,

er-

halten wir folgendes quivalente System (d.h., mit der gleichen Lsungsmenge) von Glei-

x + 2y 2z 1 = 0, y 5z + 4 = 0, z 1 = 0.Das bedeutet

(x, y, z) = (1, 1, 1).

Wegen

2 1 1 det 1 2 2 = 11 1 1 2

27

3 Algebra und Gleichungen

haben wir alle Lsungen bestimmt, auer fr den Fall, da die Charakteristik von

Kfr

11 ist. In diesem Fall hat das homogene System die Lsungen (, 9, 4), K . Alle Lsungen sind dann gegeben durch (1, 1, 1) + (1, 9, 4). Normalerweise wollen wir K = C, R oder Q annehmen.gleich machen. Wir betrachten das folgende Beispiel:

Fr polynomiale Gleichungssysteme kann man dieses Verfahren in adaptierter Form auch

x2 + y 2 + z 2 6 = 0, x3 + y 3 + z 3 xyz + 4 = 0, xy + xz + yz + 3 = 0.Dazu berechnen wir eine sogenannte Grbnerbasis. Sie liefert das folgende quivalente System von Gleichungen

49x + 49y + 12z 5 16z 4 18z 3 + 72z 2 37z + 36 = 0, 49y 2 + 12yz 5 16yz 4 18yz 3 + 72yz 2 37yz + 36y 16z 5 +54z 4 + 24z 3 145z 2 + 180z 195 = 0, (z + 2)2 (z 1)4 = 0.Die dritte Gleichung bestimmt die Lsungen fr Sei also zuerst

z , nmlich z = 1 oder z = 2. Daraus gewinnt man dann y aus der zweiten Gleichung, und dann fr x aus der ersten Gleichung. z = 1. Dann folgt (y + 2)(y 1) = 0, x + y + 1 = 0.

Somit erhlt man die Lsungen so folgt

x+y2 = 0

und

(x, y, z) = (2, 1, 1), (1, 2, 1). Beginnt man mit z = 2, (y 1)2 = 0, also (x, y, z) = (1, 1, 2). Insgesamt gibt es also

genau drei Lsungen,

S = {(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)}.Hat man ein System von polynomialen Gleichungen gegeben, so kann man zuerst die Frage betrachten, ob es berhaupt irgendeine Lsung gibt, ob es nur endlich viele Lsungen gibt, oder sogar unendlich viele. Wir haben gerade ein System mit nur endlich vielen Lsungen betrachtet. Wenn wir es nur ein wenig variieren, hat es mehr:

gar keine Lsung

x2 + y 2 + z 2 6 = 0, x3 + y 3 + z 3 3xyz + 4 = 0, xy + xz + yz + 3 = 0.Das kann man wiederum mit Hilfe einer Grbnerbasis sehen. Und schlielich ist die Anzahl der Lsungen ber

C

des folgenden Systems unendlich:

z 3 y 2xy + z = 0, 3xz + y 4 x 2x2 = 0, y 3 z 2xz = 0.

28

3.1 Polynomiale Gleichungssysteme

Es ist natrlich nicht schwer zu sehen, da alle

(x, y, z) = (0, y, 0)

Lsungen sind. Sieht

man allerdings von diesen irgendwie trivialen Lsungen ab, gibt es nur noch In der Tat, aus einer Grbnerbasis erhlt man dann die Relation

10

weitere.

3z 10 3z 7 + 30z 5 128z 3 + 256z 1 = 0, x y z

und sowohl

als auch

lassen sich dann durch Polynome in

ausdrcken, und sind

damit fr gegebenes

z

bestimmt.

Bemerkung 3.1.1.nur bis

Jedes nicht-konstante Polynom

f (z)

hat ber

C

mindestens eine

Nullstelle. Das besagt der Fundamentalsatz der Algebra. Es hat dann genau so viele

n 1 angibt. Allerdings sind Ausungen durch Radikale n = 5 gibt es schon Beispiele, die nicht mehr durch Radikale 5 gelst werden knnen: man betrachte etwa f (z) = z 16z + 2. Dieses Polynom 5-ten Grades ist irreduzibel ber Q und hat genau drei reelle und zwei komplexe Nullstellen. Damit ist nach einem Satz seine Galoisgruppe die volle symmetrische Gruppe S5 , dieNullstellen, wie sein Grad

n4

mglich. Fr

nicht ausbar ist. Deshalb kann es nicht durch Radikale gelst werden.

Polynomiale Gleichungssysteme tauchen in vielen Anwendungsbereichen in ganz natrlicher Weise auf, und Methoden der algebraischen Geometrie und der Computeralgebra werden verwendet, um diese Gleichungen zu lsen oder zu vereinfachen. Beispiele solcher Anwendungsbereiche sind u.a. die System- und Kontrolltheorie zur Steuerung von Prozessen; Gleichgewichtsreaktionen in der Kinematik; die Stabilittsanalyse bei der Entwicklung von elektrischen Schaltungen; Bewegungsablufe bei der Robotersteuerung, und statistische Modelle in der algebraischen Statistik. Zudem gibt es weitere Bereiche in der Kryptographie und der Kodierungstheorie. Wir wollen ein bescheidenes Beispiel geben, in bezug auf geometrische Beschreibungen von Robotern. Angenommen wir haben folgenden Roboterarm (siehe Zeichnung). Er 2 besteht aus zwei Stangen der Lnge 2 und 1 in der Ebene R . Der Arm ist bei O = (0, 0) verankert. Bezeichnen wir die zwei weiteren Punkte des Armes mit ist der Zustand des Armes vollstndig durch die Koordinaten die folgenden Gleichungen beschrieben:

(x, y) und (z, w), so (x, y, z, w) R4 beschrie-

ben. Es knnen natrlich nur bestimmte Tupel als Zustand auftreten. Sie werden durch

x2 + y 2 4 = 0, (x z)2 + (y w)2 1 = 0.

29


4 3 2 1 1Wenn wir jetzt einen Punkt chungssystems in

P = (2,2) Q = (3,1) 2 3 4(z, w).

(z, w)

in der Ebene vorgeben und wissen wollen, ob und

wie der Roboterarm ihn erreichen kann, so mssen wir die reellen Lsungen dieses Glei-

x

und

y

bestimmen, bei vorgegebenen

1. Beispiel: P = (2, 2).

Wir wollen also die reellen Lsungen des Systems

x2 + y 2 4 = 0, (x 2)2 + (y 2)2 1 = 0bestimmen. Wiederum ist eine Grbnerbasis sehr ntzlich. Sie liefert das folgende quivalente Gleichungssystem

4x 4y 11 = 0, 32y 2 88y + 57 = 0.Damit erkennt man leicht, da es genau zwei reelle Lsungen gibt:

(x, y) =

11 + 8

7 11 7 , 8

,

(x, y) =

11 8

7 11 + 7 , 8

.

Die Symmetrie der Lsungen ist natrlich geometrisch sofort ersichtlich.

2. Beispiel: Q = (3, 1).

Nun lautet das System

x2 + y 2 4 = 0, (x 3)2 + (y 1)2 1 = 0.

30

3.2 Polynomringe in mehreren Variablen

Die Bestimmung einer Grbnerbasis liefert das folgende quivalente Gleichungssystem

6x + 2y 13 = 0, 40y 2 52y + 25 = 0.Damit erhlt man zwei nicht-reelle, komplex-konjugierte Lsungen

(x, y) =

39 + 3i 13 9i , 20 20

,

(x, y) =

39 3i 13 + 9i , 20 20 3

.

Der Roboterarm kann den Punkt auerhalb des Kreises um re Situationen im

Q = (3, 1)

also nicht erreichen. Das ist wiederum geohat, und der Punkt

metrisch vollkommen klar, da der ausgestreckte Arm ja Lnge

Q

(0, 0) mit Radius 3 liegt. Man kann sich aber komplizierte3-dimensionalen Raum vorstellen, wo man die Situation keineswegs

geometrisch sofort versteht.

3.2 Polynomringe in mehreren VariablenSei

R

ein kommutativer Ring mit

1.

Der Polynomring

R[x]

in einer Variablen besteht

aus den Polynomen

n

f=i=0mit Koezienten den

ai x i n,fr

ai

an = 0

gilt, der

f Grad von f .aus Ist

R.

nicht das Nullpolynom, so heit die grte Zahl Wir schreiben

n = deg(f ).n

Die Menge

R[x]

wird durch

die bliche Addition und Multiplikation ebenfalls zu einem kommutativen Ring mit

1:

n

n

ai x ii=0 n i

+i=0 m

bi x i

=i=0

(ai + bi )xi ,m+n

ai xi=0

j=0

bj x

j

=k=0 i+j=k

ai b j

xk .

Bei der Addition kann man durch Hinzufgen von Termen mit Null-Koezienten annehmen, da beide Summen von Ein Element mit

x R, x = 0

heit

Nullteiler, wenn es 0 teilt, d.h., wenn es ein y R gibtRmit

0

bis

n

laufen.

xy = 0.Ein kommutativer Ring

Denition 3.1.Nullteiler hat.

1

heit

Integrittsring,

falls er keine

R = Z ein Integrittsring, oder auch jeder Krper R = K . Andererseits ist etwa R = Z/6Z kein Integrittsring, da 2 3 = 0, aber beide Faktoren von Null verschieden sind. Polynomringe R = K[x] ber einem Krper sind ebenfallsZum Beispiel ist Integrittsringe, wie folgender Satz zeigt.

31


Satz 3.2.1. Der Polynomring R[x] ist genau dann ein Integrittsring, wenn R ein Integrittsring ist.Fr jedes heien

Hauptideale.

x R

ist die Menge

(x) = xR = {xy | y R} 1. Z

ein Ideal. Solche Ideale

Denition 3.2.

Sei

R

ein kommutativer Ring mit

Dann heit

R Hauptidealring mZist. Anderer-

(HIR), falls jedes Ideal ein Hauptideal ist. Zum Beispiel ist

R=Z

ein HIR, weil jedes Ideal in

von der Form

seits kann man etwa zeigen, da der Unterring

Z[ 5] = {x + 5y | x, y Z} Cvon

C

kein HIR ist. Der Polynomring

Z[x]

ist ebenfalls kein HIR, wie folgender Satz

zeigt.

Satz 3.2.2. Der Polynomring R[x] ist genau dann ein HIR, wenn R ein Krper ist.Eine strkere Eigenschaft als HIR ist die folgende.

Denition 3.3. Ein Integrittsring R zusammen mit einer Abbildung d : R \ 0 N heit Euklidischer Ring, falls fr alle a, b R mit b = 0 Elemente q, r R existieren mita = qb + r,so da entweder

r=0

gilt, oder

d(r) < d(b).

Satz 3.2.3. Jeder Euklidische Ring R ist ein HIR.{d(b) | b I \ 0} nicht-negativer a = 0, d.h., es gilt d(a) d(b) fr alle b I \ 0. Nach Annahme existieren fr jedes b I Elemente q, r R mit b = qa + r, so da r = 0 oder d(r) < d(a). Der zweite Fall ist aber unmglich, weil r = b qa I , und d(a) minimal war. Also folgt r = 0 und b = qa (a). Damit erhlt man (a) I (a), und somit I = (a).Sei

Beweis.

I=0

ein Ideal in

R.

Dann hat die Menge

ganzer Zahlen ein minimales Element

d(a)

mit

d(n) = |n| ist ein Euklidischer Ring. Man hat eine Division mit Rest, die zu gegebenen a, b Z, b = 0 die Elemente q, r liefern mit a = qb + r , so da entweder r = 0 oder |r| < |b| gilt. Damit kann man unter anderem den ggT von zwei Zahlen ausrechnen. Betrachten wir das Beispiel a = 903 und b = 700:Der Ring

R = Z,

zusammen mit der Abbildung

903 = 1 700 + 203, 700 = 3 203 + 91, 203 = 2 91 + 21, 91 = 4 21 + 7, 21 = 3 7 + 0.Es gilt also

ggT (903, 700) = 7. Den dazugehrigen Algorithmus nennt man den Euklidi schen Algorithmus. Damit ist Z auch ein HIR. Der Ring R = Z[ 2] ist ein Euklidischer

32

3.2 Polynomringe in mehreren Variablen

Ring, und somit auch ein HIR. Hingegen ist

R = Z[ 5]

kein Euklidischer Ring, und

auch kein HIR. Interessanterweise gibt es Ringe von diesem Typ, die zwar nicht Euklidisch sind, aber doch HIR. Ein bekanntes Beispiel ist der Ring Der Polynomring erhlt die Elemente

R = K[x] ber einem Krper ist Euklidisch Man q, r durch Polynomdivision. Damit kann man dann auch einen ggT von zwei Polynomen ausrechnen. Betrachten wir zum Beispiel R = Q[x] und die beiden 5 1 5 1 7 2 2 3 Polynome f (x) = x x + x , g(x) = x x + . Mit 12 multipliziert schreiben 3 3 3 6 6 3 2 2 sie sich als 12x 28x + 20x 4 und 12x 10x + 2 in Z[x]. 5 1 7 x3 x2 + x = 3 3 3 5 1 x2 x + = 6 6Daher ist

Z[(1 + 19)/2]. mit d(f ) = deg(f ).

x x

3 2 1 2

5 1 x2 x + 6 6 x 1 3 + 0.

+

1 4

x

1 3

,

ggT (f, g) = (x 1 ). 3 R1 = R[x]ausgehen, und den Polynomring

Kommen wir nun zu Polynomringen in mehreren Variablen. Wir knnen dabei von dem Polynomring

R2 = R1 [y] = R[x, y]

betrach-

ten. Seine Elemente lassen sich eindeutig in der Form

f=i,j0

ai,j xi y j

schreiben, mit ai,j R, fast alle gleich Null. Wir knnen induktiv so fortfahren, also mit R3 = R2 [z] = R[x, y, z] und so weiter. Dann erhalten wir den Polynomring R[x1 , . . . , xn ] in n Variablen. Allerdings sind diese Polynomringe fr n 2 nun komplizierter als der Polynomring in einer Variablen. Der bedeutsamste Unterschied fr uns ist, da der Ring

K[x1 , . . . , xn ] K

nicht mehr Euklidisch ist, und auch kein HIR mehr.

Im folgenden wollen wir also einen Polynomring xieren. Wir interessieren uns fr die Ideale eine Teilmenge von

S = K[x1 , . . . , xn ] ber einem Krper in S . Nach Denition ist ein Ideal I S

S

mit

0 I, f, g I f + g I, f I, h S hf, f h I.Wir bezeichnen das Ideal, das von Polynomen

f1 , . . . , f s S

erzeugt wird mit

s

(f1 , . . . , fs ) =i=1

hi fi | hi S, i = 1, . . . , s . I Sendlich erzeugt, und daher von

Nach dem Hilbertschen Basissatz ist jedes Ideal dieser Form. Die Nullstellenmenge eines Ideals

I

ist gegeben durch

V (I) = {x K n | f (x) = 0 f I}.

33


Wegen

I = (f1 , . . . , fs )

ist

x = (x1 , . . . , xn ) V (I) f1 (x1 , . . . , xn ) = 0, =., . f1 (x1 , . . . , xn ) = 0.. . . .

gleichwertig mit einem System

polynomialer Gleichungen

In diesem Kapitel wollen wir ja etwas zur Lsung solcher Gleichungssysteme sagen. Wie schon erwhnt, sollen Grbnerbasen eine tragende Rolle dafr spielen. Sie helfen aber auch bei anderen Fragen. Sei

I

ein Ideal in

S.

Wir befassen uns mit folgenden

algorithmischen Problemen bezglich (1) Gilt

I:

V (I) =

? Ist

I=S

?

(2) Polynomiale Gleichungen: man bestimme die Punkte in (3) Idealzugehrigkeitsproblem: sei

V (I). f I?

f S

ein gegebenes Polynom. Gilt dann

Das erste und letzte Problem wird durch die Berechnung einer Grbnerbasis gelst. Wie wir schon gesehen haben, hilft eine Grbnerbasis auch sehr bei der Lsung polynomialer Gleichungssysteme, obwohl man vielleicht noch mehr tun mu, um alle Lsungen zu nden. Falls Tat, ein Ideal

S = K[x] gilt, also n = 1, sind alle diese Fragen einfach zu beantworten. In der I K[x] ist dann von der Form I = (g), und f I = (g) gilt genau dann, wenn der Euklidische Algorithmus f = qg + r liefert, mit r = 0. Damit kann das Idealzugehrigkeitsproblem durch den Euklidischen Algorithmus entschieden werden. Schon fr geht das so nicht mehr. Der Ring K[x, y] ist nicht Euklidisch. Betrachten wir 2 ein Beispiel. Seien g = xy + 1 und h = y 1 Polynome in K[x, y]. Sei

n=2

I = (g, h) = {f1 (xy + 1) + f2 (y 2 1) | f1 , f2 K[x, y]}.Wir wollen wissen, ob das Polynom

f = xy 2 x in I liegt oder nicht. Wir haben die Darstellung f = y g + 0 h + r mit r(x) = (x + y) = 0. Wenn die Division mit Rest eindeutig wre, knnten wir f I schlieen. Das ist aber falsch. Es gilt f I , da wir auch f = 0 g + x h + 0 schreiben knnen.Unser Ziel ist es nun, eine geeignete Basis fr

I

zu nden, so da man eine Division mit

Rest hat, die die richtige Antwort zu dem Idealzugehrigkeitsproblem liefert. Tatschlich existiert so eine Basis, nmlich eine Grbnerbasis. Um sie einzufhren, brauchen wir Monomordnungen, Monomideale, und die multivariate Division.

3.3 MonomordnungenSei

= (1 , . . . , n ) Nn

ein

n-Tupel

nicht-negativer ganzer Zahlen. Wir schreiben

x = x1 xn 1 n

34

3.3 Monomordnungen

fr ein Monom in Reihenfolge.

S = K[x1 , . . . , xn ].

Wir mchten die Monome, die als Terme in ei-

nem Polynom auftauchen, eindeutig ordnen, sei es in aufsteigender oder absteigender

Denition 3.4.

Eine Relation

heit

partielle Ordnung

auf einer Menge

S,

falls sie

folgende Axiome erfllt: (1) Reexivitt:

aa

fr alle und

a S. baimplizieren

(2) Antisymmetrie: (3) Transitivitt:

ab

a=b

fr alle

a, b S .

ab

und

bc

implizieren

acfalls

fr alle

a, b, c S . b agilt fr je zwei

A Partialordnung auf Elemente

S

heit

Totalordnung,

a b

oder

a, b S .

Diese Eigenschaft impliziert die Reexivitt.

Beispiel 3.3.1. Die Menge 2N aller Teilmengen von N ist eine partielle geordnete Menge bezglich der Inklusion , aber keine Totalordnung.Fr Polynomringe sind auch die folgenden Ordnungen relevant:

Denition 3.5.

Eine

Wohlordnung auf einer Menge SS

ist eine Totalordnung auf

S

mit

der Eigenschaft, da jede nicht-leere Teilmenge von dieser Ordnung hat.

ein kleinstes Eelment bezglich

Beispiel 3.3.2. Die Standardordnung auf N ist eine Wohlordnung. Auf Z hingegen ist sie keine Wohlordnung, da zum Beispiel die Teilmenge der negativen ganzen Zahlen kein kleinstes Element enthlt. Denition 3.6.so da gilt: (1) (2) ist eine Wohlordnung auf Eine

Monomordnung auf S = K[x1 , . . . , xn ] ist eine RelationNn .fr alle

auf

Nn ,

impliziert

( + )

( + )

, , Nn .

Es gilt das folgende Resultat, siehe [2].

Lemma 3.3.3. Eine Totalordnung jede echt absteigende Sequenz in Nn(1)

auf Nn ist genau dann eine Wohlordnung wenn(2) (3)

schlielich endet.

Denition 3.7 (Lexikographische Ordnung).in

Nn .

Wir denieren

gesehen in der

Sei = (1 , . . . , n ) und = (1 , . . . , n ) , falls der erste von Null verschiedene Eintrag von links lex n Vektordierenz Z negativ ist.

35


Beispiel 3.3.4. Sei n = 3, S = K[x, y, z] und = (0, 4, 0) y 4 = (1, 1, 2) xyz 2 = (1, 2, 1) xy 2 z = (3, 0, 0) x3

Dann gilt lex lex lex . Denition 3.8 (Graduierte lexikographische = (1 , . . . , n )in

Ordnung)

N

n

. Sei

|| =

n i=1

.

Seien

i .

Wir denieren and

lex

= (1 , . . . , n ) grlex , falls gilt

und

|| < ||,Mit anderen Worten, erhalten wir

oder

|| = ||

. , , ,

grlex ordnet die Monome zuerst nach Totalgrad, und entscheidetgrlex grlex

dann im tie-break mit der lexikographischen Ordnung. Fr obiges Beispiel von

grlex grlex

grlex

. || =

In der Tat, die Entscheidung

fllt durch tie-break. Wir haben

|| = || = 4.

Denition 3.9 (Graduierte reverslexikographische Ordnung).npositiv ist. Fr unser Standardbeispiel haben wir

Seien

= (1 , . . . , n ) und = (1 , . . . , n ) in N . Wir denieren grevlex , falls || < ||, n oder falls || = || und der erste von Null verschiedene Eintrag von rechts in Z

Wir haben lsst.

grevlex

grevlex

grevlex

.

grevlex

,

weil

= (0, 1, 1)

durch Umordnung der Variablen aus

grlex

ist. Man beachte, da

grevlex

nicht

entsteht, wie der Name vielleicht vermuten

Satz 3.3.5. Die Ordnungen lex, grlex und grevlex sind Monomordnungen auf Nn .Fr

n=1

ordnung

sind diese Monomordnungen brigens identisch. Sobald wir eine Monomn auf N xiert haben, knnen wir die Monome eines Polynoms f S eindeutig anordnen.

in bezug auf

Beispiel 3.3.6. Man betrachte das Polynom f = 4xyz 2 + 4x3 5y4 + 7xy2 z in Q[x, y, z]. Bezglich lex wrden wir die Terme von f wie folgt absteigend ordnenf = 4x3 + 7xy 2 z + 4xyz 2 5y 4 ,whrend wir fr

grlex

f = 7xy 2 z + 4xyz 2 5y 4 + 4x3 f = 5y 4 + 7xy 2 z + 4xyz 2 + 4x3 .

htten, und fr

grevlex schlielich

36

3.3 Monomordnungen

Bemerkung 3.3.7.

Es gibt eine weitere Ordnung

alex, deniert durch.

alex

lex

n Das ist aber keine Monomordnung auf N , weil es keine Wohlordnung ist: betrachte die 2 2 Teilmenge N {0} N . Dann wird die echt absteigende Folge in N

(0, 0)nicht enden.

alex

(1, 0)

alex

(2, 0)

alex

Denition 3.10.

Sei

f=

Nn

c x

ein von Null verschiedenes Polynom in

S

und

eine Monomordnung.

(1) Der (2) Der (3) Das (4) Der

Multigrad von f

ist

mdeg(f ) = max { Nn | c = 0}.ist

Leitkoezient von f fhrende Term von f

lc(f ) = cmdeg(f ) .ist

fhrende Monom von f

lm(f ) = xmdeg(f ) .

ist

lt(f ) = lc(f ) lm(f ).

Beispiel 3.3.8. Betrachten wir wieder das Polynomf = 4xyz 2 + 4x3 5y 4 + 7xy 2 z Q[x, y, z].

Die folgende Tabelle zeigt die denierten Begrie fr f . Ordnungmdeg(f ) lc(f ) lm(f ) lt(f )Fr das Nullpolynom kann man Resultat.

lex

grlex

grevlex

(3, 0, 0) (1, 2, 1) 4 7 3 x xy 2 z 4x3 7xy 2 z

(0, 4, 0) 5 y4 5y 4denieren. Man hat folgendes

mdeg(0) = Nn

Lemma 3.3.9. Sei(2) mdeg(f + g)

eine Monomordnung auf Nn und f, g S . Dann gilt:max {mdeg(f ), mdeg(g)}.

(1) mdeg(f g) = mdeg(f ) + mdeg(g). (3) Gilt mdeg(f ) = mdeg(g), so folgt sogarmdeg(f + g) = max{mdeg(f ), mdeg(g)}.

37


3.4 Multivariate DivisionWir wollen einen Divisionsalgorithmus fr Polynome in mehreren Variablen vorstellen. Unser Ziel ist es, ein Polynom der Form

f S

durch Polynome

f1 , . . . , f s S

zu teilen, i.e.,

f

in

f = q1 f1 + qs fs + r.auszudrcken. Der Algorithmus geht wie folgt:

Input: Polynome f, f1 , . . . , fs S , ungleich Null, und eine Monomordnung auf Nn . Output: Polynome q1 , . . . , qs , r S mit f = q1 f1 + qs fs + r, so da kein Monom in rdurch einen der fhrenden Terme

lt(f1 ), . . . , lt(fs )

teilbar ist.

1. r 0, p f . for i = 1, . . . , s 2.while if

do

qi 0.some

p = 0 do lt(fi ) | lt(p) for

1 i s, q i qi +

then choose some such

i,

lt(p) , lt(fi )

pp

lt(p) fi lt(fi )

else

r r + lt(p), p p lt(p). q1 , . . . , q s , r .

3.

return

Man beachte aber, da das Resultat dieses Algorithmus noch nicht eindeutig ist - wir haben noch die Wahl eines mglichen Index

lt(p) teilt. Wir knnen aber Eindeutigkeit herstellen, indem wir immer den kleinsten Index i whlen.wo den fhrenden Term

i

lt(fi )

Beispiel 3.4.1. Sei S = K[x, y], versehen mit der lexikographischen Ordnung , und f = x2 y + xy 2 + y 2 , f1 = xy 1, f2 = y 2 1. Dann liefert der Algorithmus q1 = x + y , q2 = 1 und r = x + y + 1, alsof = (x + y)(xy 1) + (y 2 1) + (x + y + 1).Man beachte, da

x2 y

xy 2

y2,

und

lt(f1 ) = xy , lt(f2 ) = y 2

gilt. Dann sind die

Schritte im Algorithmus wie folgt:

1. r = 0, p = x2 y + xy 2 + y 2 , q1 = q2 = 0. 2. lt(f1 ) | lt(p),d.h., fr

i = 1.

Dann folgt

q1 = 0 +

x2 y = x, xy x2 y (xy 1) = xy 2 + x + y 2 . xy

p = (x2 y + xy 2 + y 2 )

38

3.4 Multivariate Division

Dann ist entweder

lt(f1 ) | lt(p), aber auch lt(f2 ) | lt(p). Also haben i = 1 oder i = 2. Wenn wir i = 1 nehmen, folgt q1 = x + xy 2 = x + y, xy

wir zwei Mglichkeiten,

p = (xy 2 + x + y 2 ) Nun gibt es keinen Index

xy 2 (xy 1) = x + y 2 + y. xyDer Algorithmus liefert dann

i

mit

lt(fi ) | lt(p).

r = 0 + lt(p) = x, p = (x + y 2 + y) lt(p) = y 2 + y.es folgt

lt(f2 ) | lt(p) = y 2 ,

so da

q2 = 0 +

y2 = 1, y2 y2 p = (y 2 + y) 2 (y 2 1) = y + 1. y i,so da

Hier gilt

lt(fi ) lt(p)

fr alle

r = x + lt(p) = x + y, p = (y + 1) lt(p) = 1.Wiederum ist

lt(fi ) lt(p)

fr alle

i,

so da

r = x + y + 1, p = 0,und der Algorithmus terminiert. Der Output ist

q1 = x + y , q2 = 1 i = 2

and

r = x + y + 1.

Bemerkung 3.4.2.q 1 = x, q 2 = x + 1

Htten wir oben die andere Wahl

getroen, so htten wir

and

r = 2x + 1,

und

f = x(xy 1) + (x + 1)(y 2 1) + (2x + 1).erhalten.

Denition 3.11.Polynome

Das Polynom heien

r,

da wir bei der multivariaten Division von

das geordnete Tupel von Polynomen

q1 , . . . , q s

Quotienten. Wir schreibenr=f

(f1 , . . . , fs )

erhalten, heit der

Rest

f

durch

von

f.

Die

mod (f1 , . . . , fs ).

39


Eine natrliche Frage ist nun, ob dieser Divisionsalgorithmus das Idealzugehrigkeitsproblem lst. In jedem Fall wissen wir, wenn wir

r = 0

nach Division erhalten, da

f = q1 f 1 + . . . + qs f s

gilt, und daher

Also ist die Bedingung Abschnitt

r=0

eine

notwendige Bedingung fr Idealzugehrigkeit. Leider

f

tatschlich zu dem Ideal

I = (f1 , . . . , fs )

gehrt.

ist sie keine hinreichende Bedingung, wie das folgende Beispiel zeigt (das wir schon aus

3.2

kennen).

Beispiel 3.4.3. Sei f = xy2 x und f1 = xy + 1, f2 = y2 1 in K[x, y]. Dann ist f im Ideal I = (f1 , f2 ) enthalten, aber r = f mod (f1 , f2 ) = (x + y) = 0.In der Tat, das Resultat der multivariaten Division ist

xy 2 x = y (xy + 1) + 0 (y 2 1) (x + y),aber wegen

f = 0 f1 + x f2 + 0 I = (f1 , . . . , fs )

ist

f (f1 , f2 ). r=0tatschlich quivalent

Wir knnen diese Situation aber reparieren, indem wir ein gutes Erzeugendensystem fr das Ideal nden, so da die Bedingung zur Idealzugehrigkeit ist. Natrlich ist es a priori berhaupt nicht klar, ob es eine solche gute Menge gibt. Wir werden aber sehen, da eine Menge ist.

Grbnerbasis genau eine solche gute

3.5 Monomideale und Dicksons LemmaMonomideale in

S

stellen sich als sehr wichtig fr uns heraus.

Denition 3.12.gibt mit

I= x

A

I S heit Monomideal, = {x | A} .Ein Ideal

falls es eine Teilmenge

A Nn

Mit anderen Worten, trachte zum Beispiel

I ist durch Monome mit Exponenten von A erzeugt. Man beA = {(4, 2), (3, 4), (2, 5)} N2 . Dann ist I = (x4 y 2 , x3 y 4 , x2 y 5 )

K[x, y]

das zu

A

assoziierte Monomideal.

Beispiel 3.5.1. Sei n = 2 und S = K[x, y]. Dann ist I = (x2 y, x2 +y) ein Monomideal, I = (x + y, y 2 1) hingegen nicht (siehe 3.5.6).In der Tat,

I = (x2 y, x2 + y) = (x2 , y).

Lemma 3.5.2. Sei I = xA ein Monomideal von S und Nn . Dann gilt x I genau dann, wenn es ein A gibt mit x | x . Bemerkung 3.5.3. Nn .Das Monome, die Nn }.

x | x genau dann gilt, wenn x = x x fr ein ist quivalent zu = + . Mit anderen Worten, die Exponenten aller n durch x teilbar sind, sind gegeben durch die Menge + N = { + |Man beachte, da

40

3.5 Monomideale und Dicksons Lemma

Man betrachte zum Beispiel das Monomideal nenten der Monome in

I = (y 3 , xy 2 , x3 y)

in

K[x, y].

Die Expo-

I

bilden die Menge

(0, 3) + N2 (1, 2) + N2 (3, 1) + N2 .Man kann sie sich in der Ebene als die Gitterpunkte vorstellen, die ber und rechts von den drei angegebenen Punkten liegen.

Lemma 3.5.4. Sei I ein Monomideal und f S . Dann sind die folgenden Aussagen quivalent.(1) Es gilt f I . (2) Jeder Term von f liegt in I . (3) f ist eine K -lineare Kombination von Monomen in I . Beweis.Die Implikationen

(2) (3) (1)

sind klar und gelten fr jedes Ideal von

S.ein

Die Folgerung

(1) (2)

hingegen ist nicht immer wahr. Hier braucht man, da

I

Monomideal ist.

Bemerkung 3.5.5.jeder Term von

In der Tat,

I

ist genau dann ein Monomideal wenn fr alle

f I

f

schon in

I

liegt.

Beispiel 3.5.6. Sei I = (x + y, y2 1) wie oben, in K[x, y]. Dann ist x + y I , aber x I , y I . Also ist I kein Monomideal. / /Wegen

(3)

ist jedes Monomideal eindeutig durch seine Monome bestimmt. Wir erhal-

ten also folgendes Korollar.

Korollar 3.5.7. Zwei Monomideale stimmen genau dann berein, wenn sie die gleichen Monome enthalten. Theorem 3.5.8 (Dicksons Lemma). Jedes Monomideal I = xA wird von endlich vielen Monomen erzeugt, d.h., fr alle A Nn gibt es eine endliche Teilmenge B A mit I = xA = xB .Es gibt einen konstruktiven Beweis, der nicht den Hilbertschen Basissatz verwendet. Wir verweisen auf [2].

2 Beispiel 3.5.9. Sei A = {(1 , 2 ) N2 | 62 = 1 71 + 18} und I = xA . Dann ist die Teilmenge B der minimalen Elemente von A gegeben durch

B = {(0, 3), (1, 2), (3, 1)}.Also folgt Man

I = xA = y 3 , xy 2 , x3 y . beachte, dass A eine unendliche Menge

ist, und

2 1

gilt, da

2 1 71 + 18 = 0

keine ganzzahligen Lsungen hat, wegen negativer Diskriminante.

41


3.6 GrbnerbasenAngenommen, wir haben eine Monomordnung auf wir die Menge ihrer fhrenden Terme wie folgt.

Nn xiert. Dann hat jedes f S einen eindeutigen fhrenden Term lt(f ). Fr jede Teilmenge P S = K[x1 , . . . , xn ] denieren

Denition 3.13.

Fr

P S

setzen wir

das Ideal, das von den Elementen aus

lt(P ) = {lt(f ) | f P }. lt(P ) erzeugt wird.

Es bezeichne

lt(P )

Wegen Dicksons Lemma existiert fr jedes Ideal mit Dann gilt

I von S eine endliche Menge P I lt(P ) lt(I) : in der Tat, sei P = {f1 , . . . , fs } und I = f1 , . . . , fs = (f1 , . . . , fs ). lt(P ) = lt(f1 ), . . . , lt(fs ) lt(I) .

Hier gilt allerdings im allgemeinen keine Gleichheit, denn als

lt(I)

kann echt grer sein

lt(f1 ), . . . , lt(fs )

, obwohl

I = f1 , . . . , f s

. Hier ist ein Beispiel.

Beispiel 3.6.1. Sei I = f1 , f2 gegeben durch f1 = x3 2xy und f2 = x2 y + x 2y 2 in K[x, y], zusammen mit der Ordnung grlex. Dann ist x2 lt(I) , aber x2 / lt(f1 ), lt(f2 ) = x3 , x2 y .In der Tat gilt

x2 = x(x2 y + x 2y 2 ) y(x3 2xy) = y f1 + x f2 I.Aber

x2

ist nicht teilbar durch

lt(f1 ) = x3

oder

lt(f2 ) = x2 y , so da x2 x3 , x2 y /

wegen

Lemma

3.5.2.

Andererseits haben wir aber folgendes Resultat:

Lemma 3.6.2. Sei I S ein Ideal und P I eine endliche Menge mit lt(I) = lt(P ) , Dann folgt P = I .Beweis.mus Sei

P = {f1 , . . . , fs } und f I . Dann liefert der multivariate Divisionsalgorithf = q1 f 1 + + qs f s + r

q1 , . . . , qs , r S , und entweder r = 0, oder kein Term teilbar. Da aber r = f q1 f1 qs fs I gilt, folgtmit

von

r

ist durch ein

lt(fi )

lt(r) lt(I) lt(f1 ), . . . , lt(fs ) .Das widerspricht der Teilbarkeit wegen Lemma

3.5.2,

und wir erhalten

r=0

und

f

f1 , . . . , f s = PTatschlich ist

.

lt(I)

ein Monomideal, und wir knnen Dicksons Lemma anwenden.

Satz 3.6.3. Sei I S ein Ideal. Dann ist lt(I) ein Monomideal, und es gibt g1 , . . . , gs I mit lt(I) = lt(g1 ), . . . , lt(gs ) .

42

3.6 Grbnerbasen

Beweis.

lm(g) der Elemente g I ungleich Null erzeugen das Monomideal lm(g) | g I, g = 0 . Da lm(g) und lt(g) sich nur durch eine von Null verschiedene Konstante unterscheiden, ist dieses Ideal gleich lt(g) | g I, g = 0 = lt(I) . Da lt(I) von den Monomen lm(g) erzeugt wird, fr g I, g = 0, besagt dasDie fhrenden Monome Lemma von Dickson, da endlich viele davon schon das Ideal erzeugen, d.h.,

lt(I) = lm(g1 ), . . . , lm(gs ) = lt(g1 ), . . . , lt(gs ) .

Damit erhlt man folgenden bekannten Satz.

Theorem 3.6.4 (Hilberts Basissatz). Jedes Ideal I S ist endlich erzeugt: es gibt eine endliche Menge P I mit P = I und lt(P ) = lt(I) .f = 0 erzeugt. Die endliP = {g1 , . . . , gs } heit auch Basis von I , da es I als Ideal erzeugt, wegen Lemma 3.6.2. Sie hat die schne Eigenschaft, da lt(I) = lt(g1 ), . . . , lt(gs ) gilt. Wie wir in Beispiel 3.6.1 gesehen haben, haben nicht alle Basen diese Eigenschaft. DeshalbDas Nullideal ist ein gewisser Sonderfall, es wird durch che Menge bekommen diese speziellen Basen einen besonderen Namen.

Denition 3.14.endliche Teilmenge

Sei

I S eine Ideal und xiere eine Monomordnung auf Nn . G I heit Grbnerbasis fr I , falls lt(G) = lt(I) gilt.

Eine

Korollar 3.6.5. Man xiere eine Monomordnung auf Nn . Dann hat jedes Ideal I S eine Grbnerbasis.Wir setzen Beispiel

3.6.1

fort:

Beispiel 3.6.6. Sei I = f1 , f2 , mit f1 = x3 2xy und f2 = x2 y + x 2y2 in K[x, y], mit der Ordnung grlex. Dann ist G = {f1 , f2 } keine Grbnerbasis. Eine mgliche Grbnerbasis ist etwaG = {f1 , f2 , x2 , 2xy, x 2y 2 }.Wir haben schon gesehen, da

lt(G) = lt(f1 ), lt(f2 ) = lt(I)

gilt, wegen

x2 lt(I) \ lt(f1 ), lt(f2 ) .Also ist

G = {f1 , f2 }

keine Grbnerbasis. Wir werden noch sehen, wie man eine Grb-

nerbasis berechnen kann.

Beispiel 3.6.7. Sei I = g1 , g2 in K[x, y, z] mit der Ordnung lex, wobei g1 = x + z und g2 = y z . Dann ist G = {g1 , g2 } eine Grbnerbasis von I .In diesem Fall knnen wir direkt die Denition berprfen. Wir mssen zeigen, da

lt(I) lt(G) = lt(g1 ), lt(g2 ) = x, y

43


gilt, d.h., da der fhrende Term eines jeden Polynoms Lemma

f I \0

in

x, y

liegt. Wegen f r das

3.5.2

ist das gleichwertig damit, da der fhrende Term von jedem

entweder durch weder durch

x

oder

y

teilbar ist. Angenommen es gibt ein

f I \ 0,

y teilbar ist. Dann mu f ein Polynom nur in V (I) verschwinden, wegen f I . Aber (t, t, t) ist ein Punkt in V (I) fr alle t K , wegen gi (t, t, t) = 0. Insbesondere verschwindet f auf allen Punkten (t, t, t) V (I), d.h., f (t) = 0 fr alle t K . Das bedeutet f = 0, also einennoch durch mu auf allen Punkten in Widerspruch.

x

f I\0 lt(f ) z sein. Es

Bemerkung 3.6.8.

Grbnerbasen wurden

1965

durch Bruno Buchberger eingefhrt.

Er benannte sie nach seinem Lehrer Wolfgang Grbner (1899-1980). Die multivariate Division liefert auch folgendes Resultat.

Satz 3.6.9. Sei I S ein Ideal, f S und G = {g1 , . . . , gs } eine Grbnerbasis von I . Dann existiert ein eindeutiges r S , so da f r I und kein Term von r durch irgendein lt(g1 ), . . . , lt(gs ) teilbar ist. Korollar 3.6.10. Der Rest r bei der multivariaten Division von f durch G hngt nicht von der Reihenfolge der Elemente aus G ab. Wir schreibenr=f mod G.

Diese Eigenschaft einer Grbnerbasis lst das Idealzugehrigkeitsproblem:

Korollar 3.6.11. Sei I S ein Ideal und G = {g1 , . . . , gs } eine Grbnerbasis von I . Fr jedes Polynom f S gilt nun f I genau dann, wenn r = f mod G Null ist:f I r = 0.

Beweis.durch

Aus

r=0

folgt natrlich

f I.

Ist umgekehrt

f I,

dann erfllt

f = f +0

die Bedingungen aus Satz

3.6.9.

Also ist

r=0

der eindeutige Rest von

f

bei Division

G.Man kann leicht zeigen, da eine Menge

Bemerkung 3.6.12.

G = {g1 , . . . , gs }genau dann eine Grbnerbasis fr

I

ist, wenn fr alle

f S

gilt

f If

mod G = 0. lt(I) = lt(g1 ), . . . , lt(gs ).

In der Tat, diese Eigenschaft ist quivalent zu Wir wissen jetzt, da jedes Ideal

I S

eine Grbnerbasis hat. Es fehlt uns aber

noch ein Algorithmus, um eine solche Basis zu berechnen. Das wird der

Algorithmus leisten, den wir im nchsten Abschnitt vorstellen.

Buchberger

Nehmen wir igendein Erzeugendensystem

{f1 , . . . , fs } von I . Dann liegt die Obstruktion

44

3.6 Grbnerbasen

fr diese Menge, eine Grbnerbasis zu sein darin, da Polynomialkombinationen der auftreten knnten, deren fhrende Terme nicht in dem von den

fi

lt(fi )

erzeugten Ideal

liegen. Zum Beispiel knnten sich die fhrenden Terme in einer geeigneten Kombination x fi x fj wegheben, so da nur kleinere Terme blieben, und der neue fhrende Term eben nicht mehr durch irgendein lt(fi ) teilbar wre. Andererseits ist x fi x fj I , so da sein fhrender Term in

lt(I)

liegt. Dann ist aber

{f1 , . . . , fs } keine Grbnerbasis.

Beispiel 3.6.13. Sei I = f1 , f2 wie in Beispiel 3.6.1, d.h.,f1 = x3 2xy, f2 = x2 y + x 2y 2 .

Eine geeignete Kombination ist yf1 + xf2 = x2 , wo lt(x2 ) = x2 weder durch lt(f1 ) noch durch lt(f2 ) teilbar ist.Um dieses Krzungsphnomen zu studieren, werden folgende Polynome eingefhrt.

Denition 3.15.

Seien

f, g S

von Null verschiedenen Polynome mit

= (1 , . . . , n ) = mdeg(f ), = (1 , . . . , n ) = mdeg(g), = (max{1 , 1 }, . . . , max{n , n }).Dann heit durch

x

das

kgV von lm(f ) and lm(g). Das S-Polynom von fS(f, g) = x x f g. lt(f ) lt(g)

und

g

ist deniert

Ein Es

S -Polynom ist so angelegt, da es ein Wegheben von fhrenden Termen produziert. gilt S(f, g) = S(g, f ) und S(f, g) f, g .

Beispiel 3.6.14. Seien f1 , f2 K[x, y] wie oben, mit der Ordnung grlex. Dann ist S(f1 , f2 ) = x2 .Wir haben = mdeg(f1 ) = (3, 0), = mdeg(f2 ) 3 2 3 kgV von x und x y ist x = x y . Also folgt

= (2, 1),

also

= (3, 1),

und das

S(f1 , f2 ) =

x3 y x3 y f1 2 f2 = yf1 xf2 = x2 . x3 xy

Beispiel 3.6.15. Seien f, g K[x, y] gegeben, mit der Ordnung grlex, durchf = x3 y 2 x2 y 3 + x, g = 3x4 y + y 2 .

Dann ist S(f, g) = x3 y3 + x2 1 y3 . 3

45


Es gilt

= (4, 2)

und

S(f, g) =

x4 y 2 x4 y 2 f 4 g x3 y 2 3x y 1 =xf yg 3 1 = x3 y 3 + x2 y 3 . 3

Bemerkung 3.6.16.S -Polynome

Man kann zeigen, da alles Wegkrzen, das auftreten kann, durch

beschrieben werden kann.

Wir haben das folgende Kriterium von Buchberger, wann eine Idealbasis fr eine Grbnerbasis ist.

I S

Theorem 3.6.17. Eine endliche Menge G = {g1 , . . . , gs } von Polynomen in S ist genau dann eine Grbnerbasis fr das Ideal I = G , fallsS(gi , gj ) mod G = 0 fr alle 1 i < j s.

Beispiel 3.6.18. Man xiere die Ordnung lex auf K[x, y, z] mit y z x. Seien g1 = y x2 , g2 = z x3 in K[x, y, z]. Dann ist G = {g1 , g2 } eine Grbnerbasis fr I = g1 , g2 .Es gilt mit

mdeg(g1 ) = (1, 0, 0), mdeg(g2 ) = (0, 1, 0), so da = (1, 1, 0). Dann folgt mit multivariater Division S(g1 , g2 ) =

das kgV gleich

x = yz

ist,

yz yz (y x2 ) (z x3 ) y z 2 3 = zx + yx = x3 g1 x2 g2 + 0.so da

Das bedeutet ist.

S(g1 , g2 ) mod G = 0,

G

nach Theorem

3.6.17

eine Grbnerbasis

Bemerkung 3.6.19.Grbnerbasis fr

Das Ergebnis hngt von der Ordnung ab. In der Tat,

I

bezglich der Ordnung

lex mit x

G

ist keine

y

z.

46

3.7 Buchbergers Algorithmus

3.7 Buchbergers AlgorithmusWir stellen nun Buchbergers Algorthmus vor, fr die Berechnung einer Grbnerbasis. Er basiert auf dem Kriterium aus Theorem system

3.6.17.

Wir starten mit einem Erzeugenden-

{f1 , . . . , fs }

fr das Ideal

I,

und fgen dann jedes

S -Polynom

hinzu, da das

Kriterium noch nicht erfllt. Da der Ring nerbasis fr

S = K[x1 , . . . , xn ]

Noethersch ist, wird dieses

Verfahren nach endlich vielen Schritten terminieren. Das Resultat ist dann eine Grb-

I.

Sie mu allerdings (noch) nicht minimal oder eindeutig sein. auf

Input: Von Null verschiedene Polynome f1 , . . . , fs S , und eine MonomordnungNn .

Output:mit

Eine Grbnerbasis fr alle

fi G

G = {g1 , . . . gt } 1 i s.

fr das Ideal

I = f1 , . . . , f s

bezglich

,

1. G {f1 , . . . , fs }. 2.repeat

3. H order the elements of for

G

as

g1 , . . . , gt .

1i 0.

K

also eine Kopie des Krpers

Fp = Z/pZ,

und wir sagen dann,

Wir nennen die Krper

F2 , F3 , F5 , . . ., und den Krper Q auch Primkrper. Jeder Krper

enthlt eine Kopie von genau einem dieser Primkrper.

Satz 4.3.4. Die Anzahl der Elemente eines endlichen Krpers K ist eine Primzahlpotenz, d.h., |K| = pn .Beweis.K endlich ist, enthlt K einen Primkrper Fp . Als Vektorrume betrachtet heit das, K ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum ber Fp , sagen wir mit Basis (e1 , . . . , en ). Somit hat K = { n i ei | i Fp } genau pn Elemente. i=1Da

66

4.3 Endliche Krper

K[x]. Ein Polynom f (x) vom Grad n 1 heit reduzibel ber K , wenn es Polynome g(x) und h(x) in K[x] vom Grad kleiner als n gibt mit f (x) = g(x)h(x). Andernfalls heit f (x) irreduzibel ber K .Zu einem Krper betrachten wir den Polynomring

K

Lemma 4.3.5. Der Quotientenring K[x]/(f (x)) ist genau dann ein Krper, wenn f (x) irreduzibel ist.Beweis.Die Restklassen modulo

f (x)

sind reprsentiert durch Polynome

a0 + a1 x + + an1 xn1 ,Der Beweis verluft nun ebenso, wie der fr

ai K.wenn

Z/mZ,

m

eine Primzahl ist.

K = Fp ist und f (x) ein Fp [x]/(f (x)) genau pn Elemente.Wenn

normiertes Polynom vom Grad

n,

so hat der Krper

Beispiel 4.3.6. Sei K = F2 und f (x) = x3 + x + 1. Dann ist f (x) irreduzibel, undF2 [x]/(x3 + x + 1) = {a0 + a1 x + a2 x2 | ai F2 }

ist ein Krper mit 8 Elementen.Wir werden sehen, da Form

jeder

endliche Krper

K

isomorph ist zu einem Krper der

Fp [x]/(f (x)).

Es gibt aber auch noch andere Darstellungen. Einen Krper mit

9

Elementen erhlt man zum Beispiel nicht nur durch

F3 [x]/(x2 + 1),sondern auch durch

Z[i]/(3).

Wir bentigen folgendes Resultat.

Lemma 4.3.7. Fr jeden endlichen Krper K ist die Gruppe K zyklisch. Beispiel 4.3.8. Fr K = F3 [x]/(x2 + 1) ist K isomorph zu C8 .Wir knnen auch einen Erzeuger angeben, wobei wir die Restklasse bezeichnen. Die Potenzen von

x

wieder mit

x

x

in

K

sind wie folgt:

1, x, x2 = 1 = 2, x3 = 2x, x4 = (2x)2 = 2 = 1.Also hat

x

die Ordnung

4

und kann kein Erzeuger von

K

sein. Besser ist es,

x+1

zu

betrachten:

(x + 1)1 (x + 1)3 (x + 1)5 (x + 1)7

= x + 1, (x + 1)2 = 2x, = 2x + 1, (x + 1)4 = 2, = 2x + 2, (x + 1)6 = x, = x + 2, (x + 1)8 = 1.

67

4 Algebra und Codierung

Satz 4.3.9. Jeder endliche Krper K ist isomorph zu Fp [x]/(f (x)) fr eine Primzahl p und ein normiertes, irreduzibles Polynom f (x) in Fp [x].Beweis.Sei

K

ein endlicher Krper. Wegen Satz

4.3.4

hat

K

also

Primzahl p und ein n 1. Wir haben eine Krpereinbettung Gruppe K ist zyklisch nach Lemma 4.3.7. Sei ein Erzeuger. Dann erhalten wir einen Ringdurch Evaluierung von Polynomen bei , also durch (f (x)) = f (). Da jedes Element entweder Null oder k ist, mu surjektiv sein: es k k gilt (0) = 0 und = (x ) fr alle k 0. Der Homomorphiesatz fr Ringe liefert homomorphismus dann

pn Elemente Fp K . Die

fr eine

: Fp [x] K

Fp [x]/ ker() K.Hierbei ist ist

ker()

ein Hauptideal, das von der Form

(f (x))

ist, fr ein normiertes,

irreduzibles Polynom

f (x)

in

Fp [x],

siehe Lemma

4.3.5.

Der Satz sagt nicht, ob es berhaupt zu jeder Primzahlpotenz einen endlichen Krper n gibt. Er sagt nur, da wenn ein Krper mit p Elementen existiert, dann ist er isomorph zu einem Krper

Fp [x]/(f (x)).

Satz 4.3.10. Zu jeder Primzahlpotenz q = pn gibt es bis auf Isomorphie genau einen endlichen Krper Fq .Beweis.x xqUm die Existenz zu zeigen, sei

K

der Zerfllunskrper des Polynoms

g(x) =

ber

Fp .

Das bedeutet,

g(x)

zerfllt in

K

in Linearfaktoren

xq x = (x a1 ) (x aq )mit

aq Fp . Es folgt aus der Krpertheorie, da so ein Krper existiert. In K S = {a K | aq = a}.

betrachten

wir nun die Menge

Sie hat genau q1

qx

q Elemente, weil xq x keine doppelten Nullstellen 1 = 1 = 0. Nun ist S ein Unterkrper von K , wegen (a b)q = aq bq = a b, (ab1 )q = aq (bq )1 = ab1

hat wegen

(xq x) =

Fr die erste Gleichung haben wir benutzt, da alle inneren Binomialkoq ezienten in (a b) durch p teilbar sind, und p 0 mod p ist. Der kleine Fermat p q impliziert a = a und a = a. Somit ist S = K unser gesuchter Krper mit q Elementen. Die Eindeutigkeit folgt aus der Eindeutigkeit von Zerfllungskrpern.

fr

a, b S .

4.4 Perfekte CodesWir knnen die Denition eines perfektes Codes auch wie folgt formulieren:

68

4.4 Perfekte Codes

Denition 4.11. Ein Code C Fn mit ungerader Minimaldistanz d(C) = 2t(C) + 1 q n heit perfekt, falls es zu jedem Element y Fq genau ein Codewort x C mit Abstandd(x, y) t(C)gibt. Die Kugeln mit Radius er existiert, genau dann erfllen:

t(C) = (d(C) 1)/2 perfekt, wenn n und q Aq (n, d) = |C| =

partitionieren also

C.

Der Code ist, falls

die folgende kombinatorische Bedingung

qnt(C) n i=0 i

(q 1)i

.

Ist

C

ein linearer

[n, k, d]q -Code, q

so ist

|C| = q k ,t(C)

und die Bedingung wird zu

nk

=i=0

n (q 1)i . i

(4.1)

Beispiel 4.4.1. Fr ein ungerades n 1 ist der binre n-fache Repetitions-Code perfekt.[n, 1, n]2 -Code, mit k = 1, q = 2 und t = t(C) = (n 1)/2. Siehe auch Beispiel 4.2.9 und Satz 4.1.7. Die Bedingung 4.1 ist erfllt,In der Tat, dieser Code ist ein linearer denn es giltn1 2

2

n1

=i=0

n i

n Ebenso ist der triviale Code C = Fq , oder der triviale Code C = {0} perfekt. Man nennt auch den n-fachen Repetitions-Code , wenn man von perfekten linearen

trivial

Codes spricht. Die Erfllung der Bedingung

4.1 bedeutet nicht, da es einen linearen Code [n, k, d]q

mit

diesen Parametern berhaupt geben mu.

Beispiel 4.4.2. Fr n = 90, k = 78, d = 5 und q = 2 ist die Bedingung 4.1 erfllt. Es gibt aber keinen linearen [90, 78, 5]2 -Code.Wir haben

n k = 12

und

90 2

= 4005.

Somit gilt

2

212 = 4096 =i=0und die Bedingung

90 , i

4.1

ist erfllt. Andererseits gibt es aber folgendes Argument. Hat

den Fehlerkorrekturparameter

t

mit

d = 2t + 1, x1 j

so ist das

Lloyds Polynom deniert als

C

t

Lt (n, x) :=j=0

(1)j

nx (q 1)tj . tj x R.Das

Hierbei benutzt man die Konvention Polynom hat

t

x := x(x 1) (x j + 1)/j! fr j verschiedene reelle Nullstellen. Nun gilt folgendes Resultat.

69

4 Algebra und Codierung

Theorem 4.4.3 (Lloyds 1957, Lenstra 1972). Sei C ein perfekter Code der Lnge n mit Fehlerkorrekturparameter t. Dann hat das Polynom Lt (n, x) genau t verschiedene ganzzahlige Nullstellen aus {1, 2, . . . , n}.In unserem Beispiel ist

t = q = 2,2

und das Llodys Polynom ist

L2 (90, x) =j=0

(1)j

x1 j

90 x 2j

= 2x2 182x + 4096.

Oensichtlich hat es keine ganzzahlige Nullstelle. Die folgende Klassikation zeigt, da es nur sehr wenige perfekte, lineare Codes gibt.

Theorem 4.4.4 (Tietvinen; Leont'ev, Zinov'ev 1973). Es sei C ein nichttrivialer, perfekter, linearer [n, k, d]q -Code. Dann tritt genau einer der drei folgenden Flle ein.1 (1) C ist ein [ qq1 , n

Algebra im Überblick

Documents

Transcript of Algebra im Überblick