Datum: Lernheft: Brüche - Realschule am...

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Lernheft: BrücheDatum:___________

1. Basiswissen 2 1.1 Arten von Brüchen 2

1.2 Bedeutung eines Bruches 2

1.3 Umwandlung von Brüchen 5

2. Darstellung von Brüchen 6 2.1 Brüche ablesen 6

2.2 Brüche darstellen 7

2.3 Brüche am Zahlenstrahl 8

2.4 Brüche als Anteile von beliebigen Größen 10

3. Vergleichen und ordnen von Bruchzahlen 13 3.1 Gleichwertige Brüche: Ein Bruch viele Namen 13

3.2 Erweitern und Kürzen von Brüchen 13

3.3 Brüche vergleichen 15

4. Dezimalzahlen, Dezimalbrüche und Prozente 16 4.1 Dezimalzahlen und Dezimalbrüche 16

4.2 Brüche als Angabe von Anteilen in Prozent 18

5. Rechnen mit Brüchen 19 5.1 Addieren und Subtrahieren 19

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1. Basiswissen 1.1 Arten von Brüchen

Man unterscheidet :

1.2 Bedeutung eines Bruches

Brüche setzen sich aus einem Zähler (oben) und einem Nenner (unten) zusammen, die durch einen waagerechten Bruchstrich getrennt werden:

35

Zähler

Nenner

35

Zähler

Nenner

Echte Brüche Der Zähler ist kleiner als der Nenner.

53

55

oder

Unechte Brüche Der Zähler ist größer oder gleich dem Nenner.

Gemischte Brüche Der Zähler ist kleiner als der Nenner.

35

Zähler

Nenner

ganze Zahl 3

So spricht man die Zahl im Nenner korrekt aus:

1 eintel 6 sechstel 20 zwanzigstel

2 zweitel 7 siebtel 30 dreißigstel

3 drittel 8 achtel 40 vierzigstel

4 viertel 9 neuntel 100 hundertstel

5 fünftel 10 zehntel 1000 tausendstel

Keine Lust zu lesen? Dann scan mich und guck dir das Video an!

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1.2.1 Bruch zur Angabe der Größe eines Anteils

Mit Brüchen kann man ausdrücken, das von etwas nicht ein Ganzes, sondern nur ein Teil eines Ganzen gemeint ist, und man kann damit sagen, wie groß dieser Teil sein soll.

Der Kreis wurde in 4 Teile unterteilt; jeder Teil ist ein Viertel des Kreises. Wenn 3 der 4 Teile ausgewählt werden, sind das drei viertel des Kreises.

Im Nenner steht, in wie viele Teilstücke insgesamt das Ganze unterteilt wurde. Im Zähler steht, wie viele Teilstücke ausgewählt sind.

34

= „drei viertel“Der Bruch:

Der Nenner des Bruches „benennt“ die Anzahl der Anteile, der Zähler „zählt“, wie viele Anteile ausgewählt wurden.

1.2.2 Bruch als „Geteilt-durch“-Rechnung

Die Bruchschreibweise ist eine andere Schreibweise für die Division, wobei der Zähler der Dividend und der Nenner der Divisor ist.

34

= 3 : 4 Der Bruch:

Jeder Bruch kann als Divisionsaufgabe und jede Divisionsaufgabe kann als Bruch geschrieben werden. Daraus folgt, dass jede ganze Zahl als Bruch geschrieben werden kann, da ja zum Beispiel 7:

7 = 7 : 1 = 7

1

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Mathematische Erklärung: Warum geht das nicht?

Als Ergebnis würden wir eine 2 erhalten, da 10 : 5 = 2. Im Umkehrschluss gilt dann logischerweise auch 2 • 5 = 10.

Angenommen, die Lösung von 10 : 0 wäre eine Zahl x, 10 : 0 = x. Dann würde wie oben gelten: x • 0 = 10

Da aber jede Multiplikation mit 0 wieder 0 ergibt, ist die Gleichung falsch und für keine Zahl x lösbar. Es gibt deshalb auch keine Lösung für 10 : 0 - der Bruch ist nicht definiert.

Weil der Umkehrschluss nicht gilt, ist auch die Division durch Null nicht erlaubt!

10

5

10

0

1.2.3 Bruch als Verhältnis zweier Zahlen zueinander

Brüche sind eine Möglichkeit, Verhältnisse anzugeben. Dabei stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen.

„ der Äpfel sind grün“ kann auch „ 3 von 5 Äpfeln sind grün bedeuten.

WICHTIG! Der Nenner eines Bruches darf nie Null werden!

Aus der Grundschule kennt man die Vorstellung der Division als Aufteilen oder Verteilen.

Die Aufgabe oder 12 : 4 kann man also auffassen als „ 12 Bonbons werden gerecht an

4 Kinder verteilt. Wieviele Bonbons bekommt ein Kind?“ ————————— Richtig, 3 Bonbons.

Bei einer Aufgabe wie 12 : 0 bzw. müssten die 12 Bonbons an 0 Kinder verteilt werden.

Da Bonbons aber nicht einfach so verschwinden, man sie also nicht an niemanden verteilen

kann, macht diese Aufgabe keinen Sinn.

12

4

12

0

3

5

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1.3 Umwandlung von Brüchen

Gemischte Brüche in unechte Brüche Ein gemischter Bruch besteht aus einer natürlichen Zahl (den Ganzen) und einem Bruch (echten Bruch, dem Bruchteil). Gemischte Brüche kann man in unechte Brüche umwandeln.

Schauen wir uns den Bruch als Beispiel an

Bildlich: Rechnerisch:

11

4

4

4

4

4

3

4+ + =

3

42= Der Nenner 4 bleibt unverändert.

Den Zähler musst du ausrechnen: Die Ganze Zahl 2 mal den Nenner 4, addiert mit dem Zähler 3.

2 • 4 + 3 = 11, so erhält man:3

42

11

4=

3

42

Unechte Brüche in gemischte Brüche Ein unechter Bruch kann in einen gemischten Bruch umgewandelt werden, wenn der Zähler größer ist als der Nenner.

Schauen wir uns den Bruch an:

Bildlich: Rechnerisch

12

9=9

9

3

9

3

91

+

=

Der Nenner 9 bleibt unverändert.

Den Zähler musst du ausrechnen: Der Nenner 9 passt 1 Mal in den Zähler 12. Wie oft der Nenner in den Zähler passt gibt an wie groß die Ganze Zahl ist, in diesem Fall ist die Ganze Zahl 1. Der Rest ist der neue Zähler und diesem Fall ist der Zähler 3. So erhält man: 3

91

12

9=

12

9

1 3

9+

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2. Darstellung von Brüchen

2.1 Brüche ablesen

Ein Bruch gibt den Anteil eines Ganzen an. Um den Nenner und Zähler heraus finden müssen wir uns das Bild genau anschauen.

Der Nenner Um den Nenner zu ermitteln schauen wir uns an in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde

Der Zähler Um den Zähler zu ermitteln schauen wir uns zählen wir die Teile die markiert wurden.

35

59

Das Ablesen bei unechten Brüchen oder gemischten Brüchen verläuft das ähnlich dem Ablesen von echten Brüchen. Unten in dem Beispiel sehen wir 2 Ganze und 5 Teile eines Ganzen. Die Ganzen wurden jeweils in 9 Teile eingeteilt.

1 Ganzes mit 9 Teilen 1 Ganzes mit 9 Teilen 5 Teile eines Ganzen mit 9 Teilen

9

9

9

9

5

9

Das sind dann insgesamt 9 + 9 + 5 = 14 Teile. Also der Zähler ist 14. Ein Ganzes wurde in 9 Teile eingeteilt. Der Nenner ist somit 9.

14

9Die Lösung lautet als unechter Bruch:

5

92oder als gemischter Bruch:

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2.2 Brüche darstellen

Um einen Bruch darstellen zu können betrachtet man den Zähler und die Nenner.

Schauen wir uns das Beispiel an:

Der Nenner 7 gibt an in wie viele gleich große Teile das Ganze eingeteilt wird.

Der Zähler 4 gibt an, wie viele der Teile eingefärbt werden

4

7

Das Darstellen von unechten Brüchen oder gemischten Brüchen verläuft ähnlich dem Darstellen von

echten Brüchen. Unten in dem Beispiel sehen wir die Darstellung von .7

103

Wir benötigen 3 Ganze und einen Teil. Nehmen wir in diesem Beispiel einen Balken. Für die Darstellung benötigen wir 4 Balken von dergleichen Größen. Drei Ganze und einen um die weiteren Anteile darzustellen.

Der Nenner gibt uns nun vor, in wie viele gleich großen Teile wir die Ganzen teilen. In diesem Fall in 10 Teile.

Der Zähler gibt nun an, wie viele weiteren Teile markiert werden. In dem leeren Balken werden in diesem Fall 7 Anteile markiert.

7

103 =

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2.3 Brüche am Zahlenstrahl


Brüche wie , , , kann man ebenso wie die

natürlichen Zahlen 0 , 1, 2, 3, … durch Punkte auf dem Zahlenstrahl darstellen.

1

2

1

3

2

4

3

4

2.3.1 Echte Brüche am Zahlenstrahl

Echte Brüche sind immer kleiner als ein Ganzes. Das heißt, dass sie kleiner sind als 1. Möchte man diese Zahlen nun auf dem Zahlenstrahl eintragen betrachtet man nur den Bereich zwischen 0 und 1. Die Strecke Zwischen 0 und 1 ist unser Ganzes.

Wie trägt man nun die Brüche am Zahlenstrahl ein?

Der Nenner gibt die nun an in wie viele gleich große Abschnitte das Ganze eingeteilt werden muss.

Der Zähler gibt an, nach welchem Anteil die Markierung erfolgen muss.

Tragen wir zur Übung die oben angegebenen Brüche ein.

Zunächst : Der Nenner sagt uns, dass wir die Strecke in zwei gleich große Teile einteilen müssen und der Nenner sagt uns, dass wir nach dem ersten Anteil unsere Markierung für den Bruch setzen müssen. So verfahren wir auch mit den anderen Brüchen.

1

�12

12

24

22

332

313

34

44

14

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1

43

13

4

2.3.2 Unechte Brüche und gemischte Brüche am Zahlenstrahl

Unechte Brüche oder gemischte Brüche sind größer als 1 und trotzdem ist die Darstellung dieser Brüche am Zahlenstrahl ganz ähnlich wie bei den echten Brüchen.

Auch hier gibt der Nenner an in viele Teile der Bereich am Zahlenstrahl zwischen 0 und 1; 1 und 2; 2 und 3 und wo weiter eingeteilt wird.

Nehmen wir das Beispiel = .

Zunächst teilen wir die Bereiche zwischen in den Zahlen in 4 gleich große Teile, so wie der Nenner es uns vorgibt.

1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

13 Viertel

1 2 3 1Drei Ganze und 1

Viertel

1 2 3 4

1 2 3 4

Bei einem unechten Bruch zählen wir nun von Null an 13 ab, so wie es uns der Zähler vorgibt. Dann haben wir 13 Viertel abgezählt.

Bei einem gemischten Bruch gibt uns die Ganze Zahl an, ab welcher Zahl im Zahlenstrahl der Zähler abgezählt werden muss. Hier ab 3 ein Viertel weiter.

13

4

1

43

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2.4 Brüche als Anteile von beliebigen Größen

2.4.1 Der Teil ist gesucht

Wir wollen wissen, wie groß der Anteil eines Ganzen ist. Wieviel etwas davon ist.

Die Rechenanweisung: davon bedeutet zum Beispiel:3

4

Zerlege das Ganze in vier gleich große Teile und nimm 3 davon.

Dividiere eine Größe durch 4. Multipliziere das Zwischenergebnis mit 3.

oder

Eine Parkanlage besitzt eine Fläche von 1600m2 , davon ist Rasenfläche.

Frage: Wie viele Quadratmeter sind das?

Rechnung:

Gegeben: Gesucht: Teil des Ganzen = ? Ganzes = 1600m2

Anteil =

Lösung: Die Rasenfläche beträgt 1200m2.

3

4

3

4

:4400m2

1200m2

•3

3

4davon

Beginne mit dem Ganzen

Das Zwischenergebnis

1. Teile das Ganze durch den Nenner 4.

Multipliziere das Zwischenergebnis mit dem Zähler 3.

Teil des Ganzen

1600m2

Teil von einer Größe bestimmen

Teile das Ganze durch den Nenner und multipliziere das Zwischenergebnis mit dem Zähler.

Merke

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2.4.2 Das Ganze ist gesucht

Wir kennen den Anteil und wissen wie groß er ist. Wie groß aber war das Ganze?

3

4

Der Schulhof wird neu gestaltet. des neuen Schulhofs sollen Rasenfläche werden. Das sind 1200m2.

Frage: Wie viele Quadratmeter hat der gesamte Schulhof?

Rechnung:

Gegeben: Gesucht: Ganzes = ? Teil des Ganzen = 1200m2

Anteil =

Lösung: Der Schulhof hat 1600m2 .

3

4

•4400m2

1200m2

:3

3

4davonGanzes


2. Multipliziere das Zwischenergebnis mit dem Nenner 4.

1. Dividiere den Teil durch den Zähler 3.

Beginne mit dem Teil des Ganzen

1600m2

Das Ganze bestimmen

Dividiere den Teil des Ganzen durch den Zähler und multipliziere das Zwischenergebnis mit dem Nenner.

Merke

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Der Schulhof mit seinen 160 m2 wird neu gestaltet. 20 m2 davon sollen mit als Blumenbeete bepflanzt werden. Wie groß ist der Anteil der Blumenbeete auf dem neuen Schulhof?

Frage: Wie groß ist der Anteil der Blumenbeete auf dem gesamte Schulhof?

Rechnung:

Gegeben: Gesucht: Anteil = ? Teil des Ganzen = 20m2

Ganzes = 160m2

Lösung: Der Anteil des Blumenbeets auf dem gesamten Schulhof beträgt .

2.4.3 Der Anteil ist gesucht

Wir kennen das Ganze und wir wissen wie groß der Teil des Ganzen ist. Aber was ist das für ein Anteil?

: 1601 m2

20m2

•20

20

160davonGanzes


1. Teile das Ganze durch 160. Trage den Divisor in den Nenner ein.

2. Multipliziere das Zwischenergebnis mit 20. Trage den Faktor in den Zähler ein.

Beginne mit dem Teil des Ganzen

160m2

3. Kürze den Bruch so klein wie möglich.

1

8=

:20

1

8

Den Anteil bestimmen

Dividiere das Ganze durch sich selber und notiere das Ganze als Nenner. Multipliziere das Zwischenergebnis 1 mit dem Teil des Ganzen. Notiere den Teil des Ganzen als Zähler.

Kürze den Bruch so weit wie es geht (siehe 3.2 Erweitern und Kürzen)

Merke

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3. Vergleichen und ordnen von Bruchzahlen

3.1 Gleichwertige Brüche: Ein Bruch viele Namen

3.2 Erweitern und Kürzen von Brüchen

!

!28

!

!3

12

!

!5

20

!

!14

Sieh dir die dargestellten Brüche an. In jedem Kreis ist dieselbe Fläche ausgemalt. Die Brüche tragen aber verschiedene Namen. Derselbe Anteil kann nämlich durch verschiedene Brüche dargestellt werden.

Obwohl die Brüche verschieden aussehen, haben sie alle den gleichen Wert.

3.2.1 Erweitern eines Bruches Gucken wir uns zwei gleichwertige Brüche einmal genauer an. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Brüchen?

Die Unterteilung des Kreises wird verfeinert: Jedes Viertel wird in zwei Teile unterteilt.

! !

Der Nenner und der Zähler des ersten Bruches werden mit 2 multipliziert.

!14

=1 ∙ 24 ∙ 2

=28

! ! 14

28

Du kannst einen Bruch mit jeder natürlichen Zahl, die größer als 1 ist, erweitern.

Diese Vorgehen heißt erweitern.

Erweitern eines Bruches Ein Bruch wird erweitert, indem man seinen Zähler und seinen Nenner mit derselben Zahl multipliziert.

Beispiel: 23

=2 ∙ 43 ∙ 4

=8

1223

=2 ∙ 63 ∙ 6

=1218

Merke

Erweiterungszahl

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Das Kürzen ist die Umkehrung des Erweitern. Du vergröberst die Einteilung des Bruches.

Die Unterteilung des Kreises wird vergröbert: Immer zwei Achtel werden zu einem Viertel.

! !

Der Nenner und der Zähler des ersten Bruches werden durch 2 dividiert.

!28

=2 :28 :2

=14

! ! 28

14

Kürzen eines Bruches Ein Bruch wird gekürzt, indem man seinen Zähler und seinen Nenner mit derselben Zahl dividiert.

Beispiel: 812

=8:4

12:4=

23

1218

=12:618:6

=23

Merke

Kürzungszahl

Du kannst mit jeder Zahl kürzen, solange im Nenner und Zähler wieder eine natürliche Zahl stehen.

!1025

=10 :525 : 5

=25

!

!1025

=10 :225 : 2

=5

12,5!

3.2.2 Kürzen eines Bruches

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3.3 Brüche vergleichen

Bruchzahlen lassen sich vergleichen und der Größe nach ordnen (>, < oder =). Beim Vergleichen zweier Brüche gibt es verschiedene Möglichkeiten:

Fall 1 Fall 2 Fall 3

Wir wenden die Strategien an bei Brüchen mit…

Strategie Du brauchst nur den Zähler vergleichen ! der Bruch mit dem größeren Zähler ist der größere Bruch.

Du brauchst nur den Nenner vergleichen ! der Bruch mit dem kleineren Nenner ist der größere Bruch.

Du erweiterst oder kürzst die Brüche so, dass sie den gleichen Nenner haben. Dann gehst du vor wie bei Fall 1.

Veranschaulichung

Erklärung Wir haben mehr gleich große Teile einer Sorte (hier Sechstel) und 2 Teile sind weniger als 5 Teile. Deshalb sind 3 Sechstel kleiner als 5 Sechstel.

Die Teile sind unterschiedlich groß. Drittel sind größer als Viertel. Da wir eine gleiche Anzahl der Teile haben, sind daher auch 2 Drittel größer als 2 Viertel.

Indem wir die Brüche auf den gleichen Nenner bringen, können wir Fall 1 anwenden.

Beispiel

gleichen Nennern, unterschiedlichen Zählern

36

□56

gleichen Zählern, unterschiedlichen

Nennern 23

□24

36

<56

unterschiedlichem Nenner und unterschiedlichem Zähler

34

□25

23

>24

<

und daher sind

34

=3 ∙ 54 ∙ 5

=1520

25

=2 ∙ 45 ∙ 4

=8

20

1520

820

34

<820

Haben zwei Brüche den gleichen Nenner, spricht man von gleichnamigen Brüchen.

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4. Dezimalzahlen, Dezimalbrüche und Prozente

4.1 Dezimalzahlen und Dezimalbrüche2,09; 8,145; 6,48; … das sind Dezimalzahlen. Sie haben ein Komma. Rechts vom Komma stehen nacheinander die Zehntel z, die Hundertstel h, die Tausendstel t und so weiter.

Als Stellenwerttafel sieht das so aus:

… Hunderter Zehner Einer Zehntel Hundertstel Tausendstel …

H Z E , z h t

1 1 1 1 1 1

1

10

1

100

1

1000

H Z E z h t Dezimalzahl Zerlegung in ganze Zahlen und Dezimalbrüche

Gemischte Schreibweise

gewöhnlicher Bruch

1 1 1 1,11 = 1 + = =

8 2 8,2 = 8 + = =

3 3 0 1 33,01 = 33 + = =

7 0 6 0,706 = =

11100

210

1100

7061000

11100

1

210

8210

1100

3311007061000

8

33

111100

Möchte man eine Dezimalzahl (Kommazahl) in einen Bruch umwandeln, so gibt die kleinste Stelle den Nenner an.

0,34 = Die 4 steht an der kleinsten Stelle, der hundertstel Stelle. Der Bruch hat den Nenner 100. Für den Zähler notieren wir Ziffern ohne Komma.

Die Brüche, die eine 10er Potenz (10, 100, 1000, …) in ihrem Nenner haben, nennt man Dezimalbrüche.

34100

Dezimalbrüche kann man sofort als Dezimalzahl aufschreiben. Der Nenner gibt an, an welcher Stelle der Einer des Zählers notiert wird:

= 8,2 = 0,04 8210

4100

Schau dir dieses Video dazu an.

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Möchte man einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Erweitere oder Kürze deinen Bruch, sodass du einen Dezimalbruch erhältst.

2. Berechne mit der schriftlichen Division die Dezimalzahl.

Erweitern oder Kürzen

Erweitern:

= = 0,04

Kürzen:

= = 0,30

Schriftliche Division

1 : 25 = 0,04 60 : 200 = 0,30 -0 - 0 10 600 - 0 -600 100 0 - 100 0

4100

125

60200

30100

•4

:2

Das schriftliche Dividieren fällt dir schwer? Schau dir dieses Video an.

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4.2 Brüche als Angabe von Anteilen in Prozent

Die Prozentrechnung hilft dabei Anteile an etwas Ganzem darzustellen. Ein Prozent - kurz 1 % - ist nichts anderes als 1 : 100. Man kann daher ein Prozent auch mit einem Bruch ausdrücken, bei dem im Zähler eine 1 und im Nenner 100 steht. Die Prozentrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik.

1 Prozent bedeutet 1 Hundertstel: 1 % = = 0,01

19 Prozent bedeuten 19 Hundertstel: 19 % = = 0,19

1100

19100

Schau dir dieses Video an.

sprich: 19 Prozent

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5. Rechnen mit Brüchen

5.1 Addieren und Subtrahieren

5.1.1 … von gleichnamigen Brüchen

Auf einem Schulfest hat Tim sich an einem Pizza-Stand zwei verschiedene Sorten Pizza gekauft. Die Pizzas sind jeweils in Sechstel aufgeschnitten. Er hat sich von der Pizza Salami genommen und Pizza Spinat gekauft. Wie viel Pizza hat er insgesamt?3

6

26

!

Addiere: 2 Sechstel + 3 Sechstel = 5 Sechstel

! + ! = !

Tim hat sich also ! einer ganzen Pizza.

26

36

56

56

34

An einem anderen Stand gibt es Torten. Auf einem Teller befinden sich noch einer ganzen Schokotorte. Tim kauft ein Viertel der ganzen Torte. Wie viel der ursprünglichen Torte ist jetzt noch übrig?

!

Subtrahiere: 3 Viertel - 1 Viertel = 2 Viertel

! - ! = !

Es bleiben ! der ganzen Schokotorte übrig.

34

14

24

24

Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche Addition: Addiere die Zähler der Brüche. Behalte den Nenner bei.

Subtraktion: Subtrahiere die Zähler der Brüche. Behalte den Nenner bei.

58

+28

=5 + 2

8=

78

58

−28

=5 − 2

8=

38

Merke


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5.1.2 … von ungleichnamigen Brüchen

Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit verschiedenen Nennern, hilft dir das Erweitern und Kürzen weiter:

1. Schritt: Wir bringen die beiden Brüche auf den gleichen

Nenner (Gleichnamigmachen), indem wir sie kürzen oder erweitern.

2. Schritt: Jetzt können wir vorgehen wie bei den gleichnamigen

Brüchen. Wir addieren die Zähler und behalten den Nenner bei.

38

+14

=38

+1 ∙ 24 ∙ 2

=38

+28

=3 + 2

8=

58

Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche Addition: Mache die Brüche gleichnamig durch Erweitern oder Kürzen. Addiere dann die Zähler der Brüche. Behalte den Nenner bei.

Subtraktion: Mache die Brüche gleichnamig durch Erweitern oder Kürzen. Subtrahiere dann die Zähler der Brüche. Behalte den Nenner bei.

34

+16

=912

+212

=9 + 2

12=

1112

45

−320

=1620

−3

20=

16 − 320

=1320

Merke

!38

+14

=

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