Def o Für fol I IER heißt die Potenzreihe 80

f a kTK a x ak O k

Taylorreihe von f um a

f I R heißt reell analytisch auf IER wenn

ka EI JE 0 the Ucla fk Thx a

Bem o Für Ela muß die Taylorreihe nicht konvergierenWenn sie konvergiert gilt nicht notwendigerweisefix Thx a

Bsp f D as fix up Ez mit flo 0

ist fe CIR und so dass they f lo O

Damit ist Tlx.io O aber fix O für k 0

Afk

the I fix Tk a him Rule Ov oo

ooSatz Sei flx Zar x x a ER eine Potenzreihe mit

K OKonvergenzradius R dann gilt tx ro eR tTlx xo flx

Beweis Durch Differenzieren erhält man f x ann knew

Damit ist die Potenzreihe gleich ihrer Taylorreihe

81Bsp Insbesondere stimmen die trigonometrischen

hypergeometrischen Funktionen sowie die Exponentralfktmit ihren Taylorreihen überein

c sk EE II coshix EE etc

VIII 3 Gleichmäßige Approximation

Satz Weierstrass Approximation

Ist f ab IR stetig auf Ea b CIR dann existiert

eine Folge von Polynomen die auf a b gleichmäßig

gegen f konvergiert

Beweisskizze Ein paar Zutaten

Für k.no No Ken definieren wir pn 41 IR durch

pn.nl K 1k

Für diese giltn pn x 1

k O

z VS 0 Egg pn x E 4 gz ohneBeweis

mit b f KEIN o Ken n 1k nxls.usahh von G n

Für fellas heißt

Buk EIFIE punkdas n te Bernstein Polynom

82Betrachte zunächst a b Ian Gleichmäßige Stetigkeitvon f auf ab VE 075 O Vx c a b

Ix I S Ifk fix E

Ifk Bulut offte f IE pn.nu

II Ifk ft E punkt

Detnausea.snEs EsE Puk 211ft pn Kkab es

n cz 4nsE ftp.a.s

Zug

Damit gilt limsup 11 f Bull E für alle E 0 alsov tat

him If Bull 0ns ab

Ist ab an definieren wir f 0,1 aß b a ta

Dann ist Hf Bn of Ilia H fol Bull an und dieAussage folgt aus der eben bewiesenen B

Bem o Bizier Kurven Computer Grafik verwenden die

Bernstein Basis Polynome pn.ci

Ist f e l o.is dann gilt auch dass

V Kin Hf BY II O für n so