Die Einsteinsche Feldgleichung

Seminararbeit

David EiberOktober 2015

Inhaltsverzeichnis

1 Probleme der Verallgemeinerung des Newtonschen Potentials 3

2 Einsteinsche Feldgleichung 42.1 Einsteins Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Mathematik hinter der Einsteinschen Feldgleichung . . . . . . . . . . . . 62.3 Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Newtonsche Gravitation 73.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Gezeitenkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Gravitationspotential eines Sterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Newton Gravitation als Grenzfall der Einsteinschen Feldgleichung . . . . . 11

4 Schwarzschild-Metrik 12

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1 Probleme der Verallgemeinerung des NewtonschenPotentials

Das Ziel der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) ist die relativistische Verallgemei-nerung der Newtonschen Gravitationstheorie. Diese Verallgemeinerung kann verglichenwerden mit dem Übergang von der Elektrostatik zur Elektrodynamik. [1, S. 6]

Sehen wir uns also zunächst besagte Verallgemeinerung der Elektrostatik zur Elektro-dynamik an und versuchen, die Newtonsche Gravitation analog zu behandeln[1, S. 6-8]:Ausgangsgleichung ist die Poissongleichung der Elektrostatik:

∆φe = −4πρe (1)

Aus der Elektrodynamik ist jedoch bekannt:

Aα = 4πcjα (2)

Von Gleichung 1 zu 2 kommt man offensichtlich durch die Ersetzungen

ρe ⇒ (ρec, ρevi) = jα (3)φe ⇒ (φe, Ai) = Aα (4)∆⇒ (5)

Gleichung 1 ergibt sich als 0-Komponente von Gleichung 2 für den elektrostatischen Fall(keine Zeitabhängigkeit).Nun können wir uns überlegen, ob man die Newtonsche Gleichung

∆φ = 4πGρ (6)

ähnlich verallgemeinern kann[1, S. 138, 139].Im nichtrelativistischen Grenzfall gilt

g00 = 1 + 2φc2 (7)

T00 = ρc2 (8)

und daher kann man Gleichung 6 auch folgendermaßen ausdrücken:

∆g00 = 8πGc4 T00 (9)

Als Grenzfall der gesuchten Gleichung sollte sich also dieses Ergebnis reproduzieren.Naheliegend wäre demnach die Verallgemeinerung

gαβ = −8πGc4 (Tαβ) (10)

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Problematisch bei Gleichung 10 ist jedoch, dass im Energie-Impuls-Tensor nicht alle Ener-gieformen einbezogen werden, da auch das erzeugte Gravitationsfeld selbst Energie enthält.Man könnte nun auch der rechten Seite der Gleichung diesen Beitrag durch Additioneines weiteren Tensors hinzufügen, jedoch kann man diesen nicht näher bestimmen.

2 Einsteinsche Feldgleichung

Es bedarf also einer völlig neuen Herangehensweise, um dieses Problem zu lösen. Einsteinfand ebendiese Lösung und daher werden die zugehörigen Gleichungen auch EinsteinscheFeldgleichungen genannt.Nachdem Albert Einstein 1912 Gravitation in Verbindung mit der Gauß’schen Theoriegekrümmter Flächen brachte, brauchte er drei Jahre, um die Feldgleichungen seinerAllgemeine Relativitätstheorie veröffentlichen zu können[2].Einstein fand diese Lösung durch Testen verschiedener Kombinationen von infragekommenden Objekten und verfolgte immer wieder falsche Ansätze, weswegen er so langebrauchte, um die finale Formel, die bis heute Bestand hat, angeben zu können[2].

2.1 Einsteins Annahmen

Die Einsteingleichung lautet

Gµν = 8πGc4 Tµν (11)

und es stellt sich natürlich die Frage, wie Gµν genau aussieht. Einstein postulierte zunächstdrei Annahmen:

1. Äquivalenz von träger und schwerer Masse

2. Gravitationskräfte sind äquivalent zu Trägheitskräften

3. Im Satellitenlabor gelten die Gesetzte der speziellen Relativitätstheorie ohne Gravi-tation

Die träge Masse beschreibt die Eigenschaft eines Körpers, sich einer Kraft zu widersetzen,wogegen die schwere Masse bestimmt, wie stark ein Körper gravitativ wechselwirkt. DasVerhältnis aus beiden kann man beispielsweise mit dem freien Fall bestimmen:

mträg z = mschwerg (12)

⇒ z = mschwer

mträgg (13)

Die Äquivalenz beider Massen würde bedeuten, dass das Verhältnis mschwermträg

gleich Einsist. Der Zusammenhang mträg = mschwer wird mit zunehmender Genauigkeit bereits seitNewton (1689) erforscht und wurde beispielsweise 1999 von der Eötwash-Gruppe mit einer

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Genauigkeit von 10−13 bestätigt[3]. Eine Konsequenz dieses Prinzips ist die Tatsache,dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse im freien Fall gleich stark beschleunigtwerden.Die Äquivalenz von Gravitations- und Trägheitskräften besagt außerdem, dass Gravitati-onskräfte ausgeschaltet werden können, wenn man sich beispielsweise in einem geeignetbeschleunigtem Bezugssystem befindet. Das Paradebeispiel hierfür ist der frei fallendeFahrstuhl oder auch Parabelflüge.Der dritte Punkt ist eine Formulierung des starken Äquivalenzprinzips.Aufgrund dieser Ausgangspunkte war Einsteins Vermutung, dass Masse, und aufgrund derÄquivalenz von Masse und Energie damit auch jegliche Form von Energie, die Raumzeitbeeinflusst. Das heißt, dass man nun keine flache Minkowski Metrik mehr verwendenkann, da jede Masse eine Abweichung von dieser bewirkt:

ds2Minkowski = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2 (14)

=∑

ηµνdx2µ (15)

Da die Abweichungen von der flachen Metrik meist gering sind, kann man diese mathe-matisch realisieren, indem man ηµν um kleine Störungen erweitert. Man bezeichnet dieneuen Koeffizienten des Linienelements dann allgemein mit gµν .Nun ist klar, dass der Tensor Gµν in Gleichung 11 etwas mit der Geometrie der Raumzeitzu tun haben muss. Außerdem forderte Einstein bestimmte Eigenschaften dieses Tensors[1,S. 140]:

1. Gµν ist ein Riemanntensor

2. Gµν wird aus den ersten und zweiten Ableitungen des metrischen Tensors gµν gebil-det. Dabei soll Gµν linear in der zweiten und quadratisch in den ersten Ableitungensein.

3. Für den Energie-Impuls-Tensor gilt die Symmetrie Tµν = Tνµ und die Kontinuitäts-gleichung T ||νµν = 0. Wegen Gleichung 11 übertragen sich diese Eigenschaften aufGµν :

Gµν = Gνµ (16)

G||νµν = 0 (17)

4. Für ein schwaches, stationäres Feld muß sich der Grenzfall ergeben, also

G00 = ∆g00 (18)

[Anmerkung: Hier wurde die Notation T ||νµν := ∂νTµν verwendet.]Schließlich fand Einstein folgenden Tensor:

Gµν = Rµν −12gµνR (19)

Dieser stimmt mit allen seinen Anforderungen überein und enthält nur den Ricci-TensorRµν , den Ricci-Skalar R und die Metrik gµν .

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2.2 Mathematik hinter der Einsteinschen Feldgleichung

Im Folgenden werden nun die einzelnen Bestandteile der Einsteinschen Feldgleichung,welche aus der Differentialgeometrie stammen, näher betrachtet.Die verwendete Metrik wird durch

ds2 = gµνdxµdxν (20)

charakterisiert.[4, S. 13]. Hat man einen konkreten metrischen Tensor gµν gegeben, sinddie Christoffel Symbole wie folgt definiert:

Γµαβ := 12g

µγ(∂αgβγ + ∂βgγα − ∂γgαβ) (21)

Zu beachten ist, dass es sich bei den Christoffel Symbolen um keine Tensoren handelt!Ferner sind sie symmetrisch unter Vertauschung der unteren Indizes Γµαβ = Γµβα und mitihnen ist es nun möglich, den Riemannschen Krümmungstensor zu definieren:

Rµναβ := ∂αΓµνβ − ∂βΓµνα + ΓmνβΓµmα − ΓmναΓµmβ (22)

Bei Rµναβ handelt es sich um einen Tensor der 4. Stufe mit folgenden Eigenschaften:

Rµναβ +Rνµαβ = 0 (23)Rµναβ +Rµνβα = 0; (24)

Rµναβ = Rαβµν (25)R[µναβ] = 0 (26)

In der letzten Gleichung bezeichnet [µναβ] die Verallgemeinerung der Antisymmetriesie-rung [µν] = µν − νµ. Die Einschränkungen der Gleichungen 23 bis 26 führen dazu, dassRµναβ nur noch 20 unabhängige Einträge hat. Da die gµν jedoch nur 16 Freiheitsgradedarstellen, werden noch weitere Symmetrien benötigt, um alle Freiheitsgrade zu eliminie-ren. Der Tensor kann außerdem im Rahmen der Differentialgeometrie als Maß für dieKrümmung eines Raumes interpretiert werden.Er taucht bespielsweise in der Deviationsgleichung[5] auf, die eine Änderung des Abstandeszweier Geodäten beschreibt.

D2V α

Dτ2 = ∂xβ

∂τ

∂xµ

∂τV νRαµβν (27)

Diese Gleichung hat Ähnlichkeit zu einer Gleichung der Newtonschen Gravitationslehre,welche später behandelt wird. Mit dieser Definition des Krümmungstensors lassen sichnun auch der Ricci Tensor und der Ricci Skalar bestimmen:

Rµν := Rαµαν (28)R := gµνRµν (29)

Da der Riemannsche Krümmungstensor eine Krümmung des Raumes beschreibt und sichGµν nur aus Ricci Tensor und Skalar zusammensetzt, welche wiederum aus dem Riemann-schen Krümmungstensor aufgebaut sind, wird nochmal die Interpretation der Gravitationals Raumkrümmung verdeutlicht. Abbildung 1 zeigt eine typische Visualisierung diesesPrinzips:

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Abbildung 1: Gravitation als Krümmung in der Raumzeit. Aus [6]

2.3 Energie-Impuls-Tensor

Außer den bereits definierten mathematischen Hilfsmitteln geht in die EinsteinschenFeldgleichungen auch der Energie-Impuls-Tensor ein. Für unsere Zwecke beschränkenwir uns jedoch auf die einfache Form des Tensors für perfekte Flüssigkeiten ohne äußereKräfte. In diesem Fall wird der Energie-Impuls-Tensor diagonal[1, S. 42]:

Tµν =(ρ+ P

c2

)uµuν − Pηµν =

ρc2 0 0 00 P 0 00 0 P 00 0 0 P

(30)

wobei für die zweite Gleichheit noch die Annahmen uµ = (c, 0, 0, 0) und ηµν aus der spezi-ellen Relativitätstheorie verwendet werden[7]. In den Tensor fließen alle Parameter einesSystems ein, welche einen Beitrag zur Energiedichte liefern. Für eine perfekte Flüssigkeitmit den oben genannten Bedingungen sind das der Druck P und die Massendichte ρ.

3 Newtonsche Gravitation

3.1 Grundlagen

Die Anziehungskraft aufgrund der Gravitation zwischen zwei Punktmassen lässt sichdurch das Newtonsche Gravitationsgesetz beschreiben:

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~F2→1 = −Gm1m2|~r|2

~r

|~r|(31)

Die auftretende Gravitationskonstante G kann heute beispielsweise mithilfe speziellerGravitationswaagen[8] sehr genau gemessen werden. Die Konstante wird bei NIST mitG = 6.67408 ∗ 10−11 m3

kg∗s2 und einer Genauigkeit von 4, 7 ∗ 10−5 gelistet.[9]Nun kann man eine der Massen, in diesem Fall m1, als Testmasse im Feld der anderenMasse, m2, betrachten und damit das Konzept eines Gravitationsfeldes einführen, welchesdie Gravitationskraft pro Masse beschreibt[4, S. 3-6]:

~f :=~F

m= −GM

|~r2|~r

|~r|(32)

Da nun nur noch eine Masse verwendet wird, wurden m1 und m2 mit m respektive Mersetzt. Man beachte die Analogie zur Elektrodynamik, da die Kraft nun als Produkt derMasse mit dem Gravitationsfeld ausgedrückt werden kann.

~F = m~f ⇔ ~F = q ~E (33)

Nun kann man dem Gravitationsfeld ein Potential der Form

φ = −GM|~r|

(34)

zuordnen, welches die Gleichung

∇φ = −~f (35)

erfüllt.Außerdem gilt:

∇~f = −4πGMδ(3)(~r) (36)

und damit auch die Poisson Gleichung

∆φ = 4πGMδ(3)(~r) (37)

In Gleichung 37 wird das Feld von einer Punktmasse erzeugt. Hat man nun mehrereMassen, ist das zugehörige Feld eine Superposition aller Felder und daher kann giltfolgende Verallgemeinerung:

∆φ = 4πGρ (38)

Diese Gleichung verknüpft die Quelle ρ mit seinem Feld φ. Zusammen mit der Äquivalenzvon schwerer und träger Masse folgt nun auch, dass die Beschleunigung einer Masse imGravitationsfeld eines anderen Körpers unabhängig von der Masse ist und nur von ihrerPosition im Gravitationsfeld abhängt:

mträg~r = mschwer~f (39)

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3.2 Gezeitenkraft

Betrachtet man zwei fallende Körper mit kurzem Abstand zueinander, muss man jedochauch die Anziehung der beiden Körper zueinander beachten. Dieser Ansatz führt dannauf eine allgemeinere Form der Newtonschen Gravitation[4, S. 6,7].Die relative Beschleunigung zwischen den Körpern ergibt sich als

δ~a = [~f(~r + δ~r)− ~f(~r)] = δ~r ∗ (∇~f)] (40)

Nun kann man auch eine Gezeitenkraft-Matrix definieren:

Kab := −(∇~f)ab = −∂afb (41)

wobei a und b von eins bis drei laufen und die Raumrichtungen indizieren. Kab ist sym-metrisch Kab = Kba, was äquivalent zur verschwindenden Rotation des Gravitationsfeldsist. Außerdem gilt auch Kab = ∂a∂bφ, wodurch man die Poissongleichung folgendermaßendarstellen kann:

3∑a=1

Kaa = trace K = 4πGρ (42)

Die Gleichungen 41 und 42 können als Pendant der Gleichung 27 gesehen werden. DieRolle der Gezeitenkraft-Matrix Kab übernimmt dort Kαν := ∂xβ

∂τ∂xµ

∂τ Rαµβν .

3.3 Gravitationspotential eines Sterns

Wir wollen nun eine Lösung für das Potential φ eines Sterns finden[4, S. 7,8]. Zunächstbetrachten wir r > R, wobei R der Radius des Sterns ist. In diesem Bereich gilt dieLaplace Gleichung:

∆φa = 0 (43)

Aufgrund der Kugelsymmetrie des Problems, kann φ nur von r abhängen und daherist nur der r-abhängige Teil des Laplace Operators wichtig, welcher ( 1

r2 )∂r(r2∂r) lautet.Diese Gleichung lässt sich leicht lösen und liefert als Lösung für φa

φa = α

r+ β (44)

Durch Randbedingungen lassen sich α und β bestimmen. Gewöhnlich fordert man, dassdas Potential im Unendlichen verschwindet, was zu β = 0 führt. Zur Bestimmung von αfordert man, dass das Potential und die erste Ableitung an der Oberfläche des Sterns(r = R) übereinstimmen. Daher müssen wir nun eine Lösung der Poissongleichung imInneren des Sterns finden:

∆φi = 4πGρ (45)

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Analog zu oben findet man die Lösung unter der vereinfachenden Annahme, das ρkonstant ist, als

φi = 23πGρr

2 + C1r

+ C2 (46)

Mit der Annahme, dass bei r = 0 das Potential einen konstanten Wert φ0 besitzt, folgt

C1 = 0 (47)C2 = φ0 (48)

⇒ φi = 23πGρr

2 + φ0 (49)

Mit M(r) = 43πr

3ρ ergibt sich die Form

φi = GM(r)2r + φ0 (50)

Nun kann man Gleichheit der Potentiale φi und φa und ihrer ersten Ableitungen beir = R auswerten und erhält schließlich

φ(r) =−GM

r für r ≥ RG M

2R3 r2 − 3GM

2R für r < R(51)

Abbildung 2 skizziert den Verlauf des eben berechneten Potentials.

Abbildung 2: Gravitationspotential eines homogenen Sterns. Aus [4, S. 8]

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3.4 Newton Gravitation als Grenzfall der Einsteinschen Feldgleichung

In diesem Abschnitt soll nun gezeigt werden, dass sich die Newtonsche Gravitationtatsächlich aus der Einsteinschen Feldgleichung als Grenzfall ergibt, wie in Kapitel 2.1gefordert wurde.Im nichtrelativistischem Fall ist die Ruheenergie sehr viel größer als die Bewegungsenergie,weswegen wir alle geschwindigkeitsabhängigen Einträge im Energie-Impuls Tensor derGleichung 30 gleich null setzen. Damit ist nur noch T00 = c2ρ ungleich null.Als Konsequenz reduziert sich die Berechnung auf die 00-Komponente der Feldgleichung.Die Rechnung wird außerdem einfacher, wenn man die Einsteinsche Feldgleichung ineiner anderen Form benutzt:

Rµν −12gµνR = 8πG

c4 Tµν (52)

⇔Rµν = 8πGc4

(Tµν −

12gµνT

)(53)

Man erhält diese Form durch Kontraktion von Gleichung 52:

gµνRµν − gµνR

2 gµν = −8πGc4 gµνTµν (54)

⇒Rνν −R

2 δνν = −8πG

c4 T νν (55)

Da man auf beiden Seiten der Gleichung über die ν summiert, ergibt δνν = 4, Rνν = Rund T νν = T . Es folgt letztlich

−R = −8πGc4 T (56)

und wenn man dieses Ergebnis wieder in Gleichung 52 einsetzt, folgt die EinsteinscheFeldgleichung in der Form von Gleichung 53.Um nun die 00-Komponente davon zu berechnen, benötigen wir also R00, T00, g00 und T .Beginnen wir mit T :

T =∑

Tµµ = T00 = ρc2 (57)

Für R00 ist folgende Formel hilfreich[1]:

R00 = −∂Γi00∂xi

(58)

mit

Γi00 = 12∂g00∂xi

, (59)

sodass R00 = −12∂

2i g00 gilt. Nun kann man g00, wie in Kapitel 2.2 beschrieben, durch

eine flache Metrik mit Störung nähern:

g00 = η00 + 2φc2 (60)

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Damit folgt sofort

R00 = − 1c2 ∆φ (61)

Setzt man nun alles ein, erhält man:

R00 = −8πGc4

(T00 −

T

2 g00

)(62)

⇒R00 = −8πGc4 T00(1− 1

2 (1 + 2φc2 )︸ ︷︷ ︸

≈1

) = −4πGc4 T00 (63)

⇒− 1c2 ∆φ = −4πG

c4 ρc2 (64)

⇒∆φ = 4πGρ (65)

Der Vergleich mit Gleichung 38 zeigt, dass sich der korrekte Grenzfall ergeben hat.

4 Schwarzschild-Metrik

Die Einsteinsche Feldgleichung ist eine hochkomplexe Gleichung und exakte Lösungenerhält man nur, indem man verschiedene Annahmen hinzuzieht. Die erste bekannte Lösungdieser Gleichungen berechnete Karl Schwarzschild 1916 für eine homogene, ungeladeneund nicht rotierende Kugel; Diese Lösung ist heute als Schwarzschild-Metrik bekannt[4,S. 17] [10].Das Linienelement der Metrik sieht folgendermaßen aus[4, S. 17]:

ds2 = (1− α

R)dt2 − dr2

1− αR

−R2dΩ2 (66)

mit dΩ2 = dθ2 + sin2 θdθ2 und R = (r3 + α3)1/3.Die auftretende Singularität bei α = R sorgte damals zunächst für Verwirrung, spieltheute jedoch eine wichtige Rolle. Der Radius R = α, der sogenannte Schwarzschild-Radius,wird genutzt, um schwarze Löcher zu charakterisieren.Neben der Lösung von Karl Schwarzschild existieren heute viele weitere Lösungen fürverschiedene Annahmen, die Schwarzschild-Metrik ist jedoch seit ihrer Entdeckung diewichtigste und meistverwendete Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen geblieben.Eine weitere nennenswerte Metrik stellt beispielsweise die De-Sitter Metrik dar, die ein be-liebtes Werkzeug zur Beschreibung von kosmischer Inflation darstellt und folgendermaßenaussieht:

ds2 = −(

1− r2

α2

)dt2 +

(1− r2

α2

)−1dr2 + r2dΩ2

n−2 (67)

Tabelle 1 zeigt eine Auswahl weiterer Lösungen, wobei alle in der Tabelle aufgeführtenMetriken geeignet sind, um schwarze Löcher zu beschreiben:

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statisch rotierendungeladen Schwarzschild-Metrik Kerr-Metrikgeladen Reissner-Nordström-Metrik Kerr-Newman-Metrik

Tabelle 1: Übersicht verschiedener Lösungen der Einsteinschen Feldgleichung

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Literatur

[1] Torsten Fließbach. Allgemeine Relativitätstheorie. 2. Auflage. Spektrum Akademi-scher Verlag, 1995. isbn: 3-86025-685-8.

[2] Wie Einstein seine Feldgleichungen fand. url: http://www.thp.uni-koeln.de/gravitation/courses/WS09/wie_einstein.pdf.

[3] Wikipedia: Äquivalenzprinzip. url: https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%83%C2%84quivalenzprinzip_(Physik)#.C3.84quivalenz_von_tr.C3.A4ger_und_schwerer_Masse.

[4] Christian Heinicke und Friedrich W. Hehl. „Schwarzschild and Kerr Solutions ofEinstein’s Field Equation – an introduction“. In: Int. J. Mod. Phys. D24.02 (2014),S. 1530006. doi: 10.1142/S0218271815300062. arXiv: 1503.02172 [gr-qc].

[5] Wikipedia: Deviationsgleichung. url: https://de.wikipedia.org/wiki/Deviationsgleichung.[6] Raumzeit Krümmung. url: http://www.teilchen.at/images/grumil10032006/

142410spacetim.jpg.[7] Wikipedia: Energie-Impuls-Tensor. url: https://de.wikipedia.org/wiki/

Energie-Impuls-Tensor#Der_Energie-Impuls-Tensor_der_Hydrodynamik.[8] Wikipedia: Gravitationskonstante. url: https : / / de . wikipedia . org / wiki /

Gravitationskonstante#Das_Cavendish-Experiment.[9] The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. url: http://physics.

nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bg.[10] Wikipedia: Schwarzschild-Metrik. url: https : / / de . wikipedia . org / wiki /

Schwarzschild-Metrik.

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