Die Konstruktion des regelmäßigen 65.537-Ecks mit Zirkel...
51
INSTITUT F ¨ UR ALGEBRA UND GEOMETRIE Die Konstruktion des regelm¨ aßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal Tag der Mathematik Dr. Holger Kammeyer | 16. M ¨ arz 2019 KIT – Die Forschungsuniversit¨ at in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
Transcript of Die Konstruktion des regelmäßigen 65.537-Ecks mit Zirkel...
INSTITUT FUR ALGEBRA UND GEOMETRIE
Die Konstruktion des regelmaßigen65.537-Ecks mit Zirkel und LinealTag der Mathematik
Dr. Holger Kammeyer | 16. Marz 2019
KIT – Die Forschungsuniversitat in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
Gegeben seien Punkte in der Ebene.
Sie durfen
mit einem Lineal eine Gerade ziehen, auf der zwei Punkte liegen.
mit einem Zirkel einen Kreis um einen Punkt schlagen, dessenRadius der Abstand zweier Punkte ist.
Entstehen dabei Schnittpunkte von Geraden und Geraden,Geraden und Kreisen oder Kreisen und Kreisen, gelten diese Punkteals konstruiert und durfen fur neue Konstruktionen verwendet werden.
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 2/26
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
Gegeben seien Punkte in der Ebene. Sie durfen
mit einem Lineal eine Gerade ziehen, auf der zwei Punkte liegen.
mit einem Zirkel einen Kreis um einen Punkt schlagen, dessenRadius der Abstand zweier Punkte ist.
Entstehen dabei Schnittpunkte von Geraden und Geraden,Geraden und Kreisen oder Kreisen und Kreisen, gelten diese Punkteals konstruiert und durfen fur neue Konstruktionen verwendet werden.
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 2/26
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
rr
Gegeben seien Punkte in der Ebene. Sie durfen
mit einem Lineal eine Gerade ziehen, auf der zwei Punkte liegen.
mit einem Zirkel einen Kreis um einen Punkt schlagen, dessenRadius der Abstand zweier Punkte ist.
Entstehen dabei Schnittpunkte von Geraden und Geraden,Geraden und Kreisen oder Kreisen und Kreisen, gelten diese Punkteals konstruiert und durfen fur neue Konstruktionen verwendet werden.
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 2/26
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
Gegeben seien Punkte in der Ebene. Sie durfen
mit einem Lineal eine Gerade ziehen, auf der zwei Punkte liegen.
mit einem Zirkel einen Kreis um einen Punkt schlagen, dessenRadius der Abstand zweier Punkte ist.
Entstehen dabei Schnittpunkte von Geraden und Geraden,
Geraden und Kreisen oder Kreisen und Kreisen, gelten diese Punkteals konstruiert und durfen fur neue Konstruktionen verwendet werden.
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 2/26
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
rr
Gegeben seien Punkte in der Ebene. Sie durfen
mit einem Lineal eine Gerade ziehen, auf der zwei Punkte liegen.
mit einem Zirkel einen Kreis um einen Punkt schlagen, dessenRadius der Abstand zweier Punkte ist.
Entstehen dabei Schnittpunkte von Geraden und Geraden,Geraden und Kreisen
oder Kreisen und Kreisen, gelten diese Punkteals konstruiert und durfen fur neue Konstruktionen verwendet werden.
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 2/26
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
rr
r’
Gegeben seien Punkte in der Ebene. Sie durfen
mit einem Lineal eine Gerade ziehen, auf der zwei Punkte liegen.
mit einem Zirkel einen Kreis um einen Punkt schlagen, dessenRadius der Abstand zweier Punkte ist.
Entstehen dabei Schnittpunkte von Geraden und Geraden,Geraden und Kreisen oder Kreisen und Kreisen, gelten diese Punkteals konstruiert und durfen fur neue Konstruktionen verwendet werden.
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 2/26
Beruhmte Konstruktionsaufgaben
?
Gegeben ein beliebiger Winkel. Teile ihn in drei gleiche Teile!
Gegeben ein Kreis. Konstruiere ein flachengleiches Quadrat!
Gegeben n und zwei Punkte. Konstruiere das regelmaßige n-Eck!
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 3/26
Beruhmte Konstruktionsaufgaben
?
Gegeben ein beliebiger Winkel. Teile ihn in drei gleiche Teile!
Gegeben ein Kreis. Konstruiere ein flachengleiches Quadrat!
Gegeben n und zwei Punkte. Konstruiere das regelmaßige n-Eck!
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 3/26
Beruhmte Konstruktionsaufgaben
?
Gegeben ein beliebiger Winkel. Teile ihn in drei gleiche Teile!
Gegeben ein Kreis. Konstruiere ein flachengleiches Quadrat!
Gegeben n und zwei Punkte. Konstruiere das regelmaßige n-Eck!
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 3/26
Die Konstruktion des Funfecks
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 4/26
Konstruierbare n-Ecke
Schon die alten Griechen beschaftigten sich mit Konstruktionsproblemen.Diese Tabelle gibt eine Ubersicht, welche n-Ecke sie konstruieren konnten.
n 3 4 5 6 7 8 9
n-Eck konstruierbar? ja ja ja ja ? ja ?
10 11 12 13 14 15 16 17 18 · · ·
ja ? ja ? ? ja ja ? ? · · ·
Danach gab es in dieser Frage etwa 2.000 Jahre lang keinen Fortschritt.
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 5/26
Carl Friedrich Gauß
(* 30. April 1777 in Braunschweig, † 23. Februar 1855 in Gottingen)
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 6/26
Der Konstruierbarkeitssatz
Satz (Gauß, 1796)Das regelmaßige Siebzehneck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Satz (Gauß ∼1798, Wantzel 1837)Sei n ≥ 3. Das regelmaßige n-Eck ist dann und nur dann mit Zirkel undLineal konstruierbar, wenn n von der Form n = 2k oder n = 2k p1 · · · pl istmit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen p1, . . . , pl .
Eine Fermatsche Primzahl ist eine Primzahl p der Form p = 22m+ 1.
Fur m = 0, 1, 2, 3, 4 erhalt man die Primzahlen 3, 5, 17, 257, 65.537.
Es ist nicht bekannt, ob es noch weitere Fermatsche Primzahlen gibt.
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 7/26
Konstruierbare n-Ecke
Die Tabelle der alten Griechen konnen wir nun vervollstandigen.
n 3 4 5 6 7 8 9
n-Eck konstruierbar? ja ja ja ja nein ja nein
10 11 12 13 14 15 16 17 18 · · ·
ja nein ja nein nein ja ja ja nein · · ·
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 9/26
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 10/26
Was steckt hinter dem Konstruierbarkeitssatz?
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 11/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
Man kann addieren und subtrahieren...
0 1 a
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
Man kann addieren und subtrahieren...
0 1
b
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
Man kann addieren und subtrahieren...
0 1
a+b
a−b
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
...multiplizieren, indem man zunachst ein Koordinatenkreuz konstruiert...
0 1
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
...dann aus den Langen a und b folgende Figur erstellt...
a
1
b
10
x
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
...um mit dem Strahlensatz zu schließen xa = b
1 , also x = a · b.
a
1
b
10
ab
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
So ahnlich kann man auch dividieren.
1
0 1 b a
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
Man konstruiert die Parallele. Der Strahlensatz gibt x1 = a
b ,
1
0 1 b a
x
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
Man konstruiert die Parallele. Der Strahlensatz gibt x1 = a
b , also x = ab .
1
0 1 b a
a/b
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
Letzte Konstruktion: Wurzel ziehen.
0 1
a
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
Letzte Konstruktion: Wurzel ziehen.
a1
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
Letzte Konstruktion: Wurzel ziehen.
a1
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck rechtwinklig.
a1
x
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
Nach dem Hohensatz des Euklid gilt x2 = 1 · a , also x =√
a.
aa1
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Rechnen mit Zirkel und Lineal
Damit haben wir nachfolgenden Satz bewiesen.
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 12/26
Konstruierbare Zahlen
SatzErhalt man eine Zahl ausgehend von der 1 durch wiederholtes Anwendenvon +,−, ·, : ,√ , so ist diese Zahl mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Um das 17-Eck zu konstruieren, mussen wir diesen Punkt konstruieren.
2
17
π
1
0
Dazu genugt es, die Zahl cos(
2π17
)zu konstruieren!
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 13/26
Konstruierbare Zahlen
Hier gelang Gauß ein wahrer Geniestreich. Er wies nach, dass
cos(
2π17
)=
116
(−1 +
√17 +
√2(17−
√17) +
+ 2
√17 + 3
√17−
√2(17−
√17)− 2
√2(17 +
√17)
).
Mit dem letzten Satz beweist dies die Konstruierbarkeit des 17-Ecks.
Die Zahl gibt eine explizite Anleitung, die aber sehr aufwendig ist.
Eine erste praktische Konstruktionsanleitung wurde von JohannesErchinger im Jahre 1825 veroffentlicht.
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 14/26
Konstruktion des Siebzehnecks
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 15/26
Konstruktion des Siebzehnecks
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 16/26
Wie ist Gauß darauf gekommen?
“Der Tag war der 29. Marz 1796, und der Zufall hatte gar keinen Anteildaran. [...] Durch angestrengtes Nachdenken uber den Zusammenhangaller Wurzeln untereinander nach arithmetischen Grunden gluckte es mir,bei einem Ferienaufenthalt in Braunschweig am Morgen des gedachtenTages (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war) diesen Zusammenhangauf das klarste anzuschauen, so daß ich die spezielle Anwendung auf das17-Eck und die numerische Bestatigung auf der Stelle machen konnte.”
aus einem Brief an Christian Ludwig Gerling (1788–1864) aus dem Jahr 1819
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 17/26
Die Gaußsche Zahlenebene
Punkte u, v in der Ebene kann man nicht nur als Vektoren addieren...
u
vu+v
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 18/26
Die Gaußsche Zahlenebene
...sondern auch multiplizieren, indem man die Langen multipliziert und dieWinkel addiert.
v
uα+β
βα
v
uv
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 19/26
Die Gaußsche Zahlenebene
Das Siebzehneck besteht somit aus den Nullstellen (den ”Wurzeln“) desPolynoms p(z) = z17 − 1.
ζ2
1
ζ
ζ3
ζ16
ζ15
...
...
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 20/26
Die ”Arithmetik der Wurzeln“
Es gilt
ζ1 + ζ2 + ζ3 + ζ4 + ζ5 + ζ6 + ζ7 + ζ8 + ζ9 + ζ10 + ζ11 + ζ12 + ζ13 + ζ14 + ζ15 + ζ16 = −1.
Alle Zahlen von 1 bis 16 erhalt man auch als Reste von 30, 31, 32, . . . , 315
nach Division durch 17. Seien nun
η0 = ζ1 + ζ9 + ζ13 + ζ15 + ζ16 + ζ8 + ζ4 + ζ2, η1 = ζ3 + ζ10 + ζ5 + ζ11 + ζ14 + ζ7 + ζ12 + ζ6
die Teilsummen mit Exponenten 32k bzw. 32k+1. Dann gilt
η0 + η1 = −1
η0 · η1 = −4.
Nach dem Satz von Vieta sind η0 und η1 die zwei Nullstellen von
x2 − (η0 + η1)x + η0 · η1 = x2 + x − 4.
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 21/26
Die ”Arithmetik der Wurzeln“
Damit erhalten wir
η0 =−1 +
√17
2und η1 =
−1−√
172
,
fur die Gaußschen Perioden erster Stufe η0 und η1.
Teilt man η0 und η1 erneut auf, erhalt man die Perioden zweiter Stufe.
Dabei kann man fur jede Periode zweiter Stufe einen Wurzelausdruckin den Perioden der ersten Stufe bestimmen.
Iteriert man dieses Verfahren erneut, entsteht als Periode dritter Stufe
ζ1 + ζ16 = 2 cos(
2π17
)= 1
8
(−1 +
√17 +
√2(17−
√17) + 2
√17 + 3
√17−
√2(17−
√17)− 2
√2(17 +
√17)
).
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 22/26
Beweis Konstruierbarkeitssatz (fur Experten)
Satz
z ∈ C konstruierbar ⇔ z ∈ L mit L/Q Galoissch und [L : Q] = 2k .
Lemma1 [Q(ζn) : Q] = ϕ(n),2 ϕ(n) = 2k ⇔ n = 2r p1 · · · ps.
Beweis (des Konstruierbarkeitssatzes).
ζn konstruierbarSatz⇔ [Q(ζn) : Q] = 2k
Lemma⇔ n = 2r p1 · · · ps.
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 23/26
Konstruktion des 257-EcksFunctionExpand@Cos@2 ∗πê 257DD
1����4
ikjjjjjjjjj 1����2
ikjjjjjjjjj 1����2
ikjjjjjjjjj 1����2
ikjjjjjjjjj 1����2
ikjjjjjjjjj 1����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz y{zzzzzzzzz +
.ikjjjjjjjjj32 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M +
1����2
ikjjjjjj 1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +
1����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +
1����2
ikjjjjjj 1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +
&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz −&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +
1����2
ikjjjjjjjjj 1����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz y{zzzzzzzzz + 2
ikjjjjjjjjj 1����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz −&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz y{zzzzzzzzzy{zzzzzzzzzy{zzzzzzzzz +
.ikjjjjjjjjj16 +
1����2
ikjjjjjjjjj 1����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz y{zzzzzzzzz +
1����2
ikjjjjjjjjj 1����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzzy{zzzzzzzzz +
1����2
ikjjjjjjjjj 1����2
ikjjjjjj 1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz −&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz y{zzzzzzzzz +
1����2
ikjjjjjjjjj 1����2
ikjjjjjj 1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz −&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz y{zzzzzzzzz +
.ikjjjjjjjjj32 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M +
1����2
ikjjjjjj 1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +
1����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +
1����2
ikjjjjjj 1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +
&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz −&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz + 2
ikjjjjjjjjj 1����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz +&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''64 +
7����2
ikjjjjjj 1����2
I−1 +è!!!!!!!!!257 M +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 −è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz − 4
ikjjjjjj 1����2
I−1 −è!!!!!!!!!257 M −$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%128 +
1����2
I1 +è!!!!!!!!!257 M y
{zzzzzz y{zzzzzzzzz +
1����2
y
257.nb 1
Und das ist nur Seite 1 von 36.
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 24/26
Konstruktion des 65.537-Ecks
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 25/26
Konstruktion des 65.537-Ecks
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 25/26
Konstruktion des 65.537-Ecks
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 25/26
Konstruktion des 65.537-Ecks
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 25/26
Konstruktion des 65.537-Ecks
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 25/26
Konstruktion des 65.537-Ecks
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 25/26
Bildnachweise
Gauß-Portrait: Gottlieb Biermann, 1887, gemeinfrei
Zirkel-und-Lineal-Animationen: Wikipedia-User Aldoaldoz, CreativeCommons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license
Tortenfoto: Wikipedia-User PlayMistyForMe, CreativeCommons-Lizenz Namensnennung 3.0 Unported
17-zackiger Stern: Wikipedia-User Brunswyk, Creative CommonsAttribution-Share Alike 3.0 Unported license
Logo Mathematik-Olympiade: Mathematik-Olympiaden e.V.
DDR-Briefmarke, 1977, Deutsche Post der DDR, gemeinfrei
Diarium zur Kreisteilung, Johann Gustav Hermes, 1879, gemeinfrei
Dr. Holger Kammeyer – Die Konstruktion des regelmaßigen 65.537-Ecks mit Zirkel und Lineal 16. Marz 2019 26/26
