Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und LeistungselektronikFakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik

Technische Universität München

Elektrische AntriebeGrundlagen und Anwendungen

Übung 1

Elektromagnetismus, Aufbau undFunktionsprinzip derGleichstrommaschine

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1 Theorie

1.1 Leiter im Magnetfeld

Eine mit der Geschwindigkeit −→v in einem magnetischen Feld mit der Flussdichte−→B bewegte

Ladung q, erfährt eine Kraft. Diese sogenannte Lorentzkraft wird entsprechend Gleichung (1.1)berechnet.

−→F = q · (−→v ×

−→B ) [N ] (1.1)

1.1.1 Kraftentstehung

Ein Teil eines stromdurchflossenen Leiters erfährt in einem Magnetfeld eine Kraft

−→dF = dQ · (−→v ×

−→B ). (1.2)

Die Geschwindigkeit der Ladungen ist

−→v =

−→dl

dt.

Heraus ergibt sich Gleichung (1.2)

−→dF = dQ · (

−→dl

dt×−→B )

=dQ

dt· (d−→l ×−→B )

= I · (−→dl ×

−→B )

Abbildung 1.1: Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld.

Schlussendlich ergibt sich Gl. (1.3) für die Lorentzkraft, die auf den Leiter wirkt (motorischesPrinzip).

⇒−→F = I · (

−→l ×−→B ) [N ] (1.3)

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1.1.2 Spannungsinduktion

Wird der Leiter aus Abb. 1.1 bewegt, wirkt die Kraft aus Gl. (1.1) auf die Ladungen undes wird eine Spannung induziert (generatorisches Prinzip). Diese Spannung kann mithilfe desenergetischen Ansatzes berechnet werden:

Arbeit ist in der Mechanik das Produkt aus Kraft und Weg:

dW =−→F · d

−→l

Die elektrische Spannung ist die Arbeit pro Ladung

U =dW

dQ

Die induzierte Spannung ist dann

Ui =

−→F · d

−→l

dQ

=d−→l ·−→F

dQ

=

−→l ·−→F

Q

Mit Gleichung (1.1) folgt

Ui =−→l · (−→v ×

−→B ) [V ] (1.4)

Abbildung 1.2: Bewegter Leiter im Magnetfeld.

1.2 Induktionsgesetz

Der magnetische Fluss Φ ist die Anzahl der Feldlinien, die eine Fläche A durchsetzen

Φ =−→B ·−→A = B ·A · cos(θ) [Wb] (1.5)

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Sollte sich das Magnetfeld−→B durch eine Leiterschleife oder die Fläche

−→A der Leiterschleife die

vom Magnetfeld durchsetzt wird ändern (Abb. 1.3), wird eine Spannung in der Leiterschleifeinduziert, die gleich der zeitlichen Änderung des Flusses mal der Windungszahl ist

Ui = −N · dΦ

dt[V ]. (1.6)

Abbildung 1.3: Induktion bei steigender Fläche.

In Abb. 1.3 stellt sich die Richtung des Stromes so ein, dass das neue durch den Strom induziertemagnetische Feld dem ursprünglichen entgegen wirkt (in diesem Fall nach der Rechte-Hand-Regel im Uhrzeigersinn).

1.3 Magnetischer Kreis

Zwischen den Gesetzen des magnetischen Flusses und den Gesetzen im elektrischen Stromkreiskann man eine Analogie bilden. Diese Analogie ist in Tabelle 1.1 dargestellt.

Tabelle 1.1: Analogie zwischen magnetischen und elektrischen Gesetzen.elektrische Größe magnetische Größe

elektrische Spannung, U magnetische Spannung, Θelektrischer Strom, I magnetischer Fluß, Φ

Widerstand, R Reluktanz, <ohmsches Gesetz, U = R · I Θ = < ·Φ

Konduktivität, σ Permeabilität, µ

Abbildung 1.4 stellt einen magnetischen Kreis dar, erregt durch eine Spule mit Strom I undWindungszahl N , sowie einem Luftspalt der Länge g.

Die Reluktanz des Luftspalts ist

<g =g

µ0 ·A[H−1], (1.7)

µ0 ist die Permeabilität der Luft (µ0 = 4π · 10−7H/m), l ist die durchschnittliche Länge, undA ist die Fläche. Die Reluktanz des Eisenkerns ist

<c =l

µ0µr ·A, (1.8)

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µr ist die Relativpermeabilität des Eisenkerns.

Die magnetische Spannung ist Θ = N · I, und der Fluss ist

Φ =Θ

<summe=

N · I<g + <c

. (1.9)

Die Induktivität ist

L =N ·ΦI

[H] (1.10)

und die gespeicherte magnetische Energie ist

Wm =1

2·L · I2 [J ]. (1.11)

Abbildung 1.4: Magnetischer Kreis.

In elektromechanischen Systemen unterscheidet man zwei Kräfte: Reluktanzkraft (Ausrichtungvon Flüssen) und Lorentzkraft (stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld).

In Abb. 1.5 kann sich ein kleiner Eisenkern (Kolben) im Luftspalt des Kreises von Abb. 1.4frei bewegen. Wenn die Spule mit einem Strom I erregt ist, bewegt sich der Kolben wodurchdie Flusslinien sich ausrichten und die gesamte Länge der Linien minimiert wird. Der Flussversucht den Weg mit der minimalen Reluktanz zu nehmen was zu einer Reluktazkraft führt,die mit Gleichung (1.12) berechnet wird.

F =dW

dx=

1

2· I2 · dL

dx[N ]. (1.12)

Auf diesem Konzept wird ein Hubmagnet aufgebaut. Dieser Grundaufbau hat aber einen Nach-teil: der Tauchkern kann sich nur in eine Richtung bewegen. Deshalb wird immer eine Federeingebaut, wie es in Abb. 1.6 dargestellt ist.

Abbildung 1.7 zeigt einen Lautsprecher der auf dem Prinzip der Lorentzkraft aufgebaut wird.Der Vorteil bei diesem Aufbau ist die Bewegung in beide Richtungen beim umpolen des Stroms.

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Abbildung 1.5: Reluktanzkraft im magnetischen Kreis.

Abbildung 1.6: Hubmagnet.

Abbildung 1.7: Lautsprecher.

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1.4 Aufbau Gleichstrommaschine

Die zwei im vorangegangen Kapitel genannten Prinzipien der Kraftentstehung und der Span-nungsinduktion, stellen die wichtigsten Konzepte dar auf denen eine elektrische Maschine auf-gebaut ist.

In Abbildung 1.8 ist die Querprofilansicht einer zweipoligen fremderregten Gleichstrommaschi-ne dargestellt. Die drei wesentlichen Bestandteile sind: der Stator, der Rotor, und der Kollektor.Die Erregerwicklung im Stator erzeugt das Erregerfeld, welches den Rotor durchsetzt. Durchdie am Rotor angebrachte Ankerwicklung fließt der Ankerstrom. Damit wird eine Lorentzkrafterzeugt, die auf die Ankerwicklung wirkt und zu einem DrehmomentM und Drehzahl ω führt1.Das Bürsten-Kollektor-System stellt den Kommutator der Maschine dar und hat zwei Funk-tionen: der Ankerstrom soll nur im Bereich des Erregerfeldes fließen und nach einer halbenUmdrehung so umgepolt werden, dass die Kraft immer in die gleiche Richtung wirkt.

Kollektor

Bürste

Stator

Rotor

Anker-

wicklung

Erreger-

wicklung

Erregerfeld

Abbildung 1.8: Querprofilansicht einer zweipoligen Gleichstrommaschine.

1Gilt nur wenn die Ankerwicklungen in der Luft statt in Nuten angebracht sind.

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1.4.1 Ersatzschaltbild (ESB) des Erregerkreises

1.4.1.1 Magnetisches ESB

Abb. 1.9 stellt das magnetische Ersatzschaltbild des Erregerkreises dar. Der Index s steht fürStator, r für Rotor, und δ für Luftspalt.

Abbildung 1.9: Magnetisches ESB des Erregerkreises.

Das ohmsche Gesetz im magnetischen Kreis ist in Gleichung (1.13) dargestellt,

Φe =Θe∑R. (1.13)

Die Summe aller Reluktanzen ist∑R = Rs +Rr + 2 ·Rδ.

Die Flussdichte, B, ist durch

B =Φe

Aδ(1.14)

gegeben. Aδ ist die Fläche des Luftspalts.

1.4.1.2 Elektrisches ESB

Abb. 1.10 stellt das elektrische Ersatzschaltbild des Erregerkreises dar und kann mit Gl. (1.15)beschrieben werden

Abbildung 1.10: Elektrisches ESB des Erregerkreises.

Ue = Re · Ie + Le ·dIedt

(1.15)

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1.4.2 Ankerrückwirkung

Ein im Allgemeinen unerwünschter Effekt bei elektrischen Maschinen ist der durch die Anker-induktivität verzögerte Stromaufbau, da er die Dynamik des gesamten Systems verschlechtert.Bei Belastung der Maschine fließt der Ankerstrom in der Ankerwicklung und erzeugt sein ei-genes magnetisches Feld das das Erregerfeld stört, wie es in Abbildung 1.11 dargestellt wird.Wenn der Ankerstrom gleich null ist, überschneiden sich die geometrische neutrale Zone (GNZ)und die magnetische neutrale Zone (MNZ). Bei der Belastung der Maschine ist die magnetischeneutrale Zone um einen Winkel verschoben sodass sich die Ankerwicklungen, die jeweils kom-mutiert werden, nicht mehr in einer feldfreien Zone befinden, was zur Induktion der Spannungin den Wicklungen und der Verzögerung des Stromaufbaus führt.

Kollektor

Abbildung 1.11: Ankerrückwirkung in der Gleichstrommaschine.

Bei der Gleichstrommaschine führt der verzögerte Stromaufbau bei hohen Drehzahlen zu einemweiteren Nachteil am Kommutator: Wird drehzahlbedingt die für die Stromkommutierung vor-gesehene Zeit kürzer als sich der Strom in der Ankerinduktivität abbauen kann, fließt der amEnde verbleibende Strom nach der Kontaktunterbrechung zwischen Bürste und Kollektorlamel-le zwangsläufig über die Luft weiter und bildet dort einen Lichtbogen. Dieses sog. Bürstenfeuerbestimmt den Verschleiß des Kommutators maßgeblich mit.

Da sich die Bürste immer an der magnetischen neutralen Zone ausrichten soll, ist die lastabhän-gige Verschiebung der Bürste nicht praktisch. Zur Minimierung dieser Effekte werden deshalbzwei konstruktive Maßnahmen ergriffen: wie in Abbildung 1.12 dargestellt, werden neben dengroßen Lufträumen links und rechts des Rotors zur Optimierung Wendepole (rot) und Kom-pensationswicklungen (blau) integriert, die in Reihe zur Ankerwicklung geschaltet sind undvom gleichen Ankerstrom durchflossen werden. Dabei rufen sie ein gegenläufiges Feld hervor,das das Ankerfeld φa idealerweise vollständig kompensiert. In Summe entsteht damit aus demAnkerstrom deutlich weniger Fluss, was zu einer Senkung der Ankerinduktivität und damit derAnkerzeitkonstante führt.

1.4.3 Drehmoment und Spannungsinduktion

Die Kraft die auf die Ankerwicklung in der Gleichstrommaschine wirkt ist gegeben durch

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Abbildung 1.12: Maßnahmen zur Verkleinerung der Ankerzeitkonstante

F = 2 · Ia · l ·B (1.16)

Das Drehmoment, das auf eine Ankerwicklung mit Windungszahl N und Radius r wirkt, istdann

M = 2 ·N ·F · r= 2 ·N · r · Ia · l ·B

Die Fläche des Luftspalts unter den Polschuhen ist

Aδ = r · θp · l (1.17)

θp ist der Winkel den die Polschuhe umfassen.

Das Drehmoment ergibt sich somit zu

M = 2 ·N · r · Ia · l ·Φe

Aδ

= 2 ·N · r · Ia · l ·Φe

r · θp · l

=2 ·Nθp· Ia ·Φe

wobei Φe der magnetische Fluss ist.

Zur Vereinfachung wird das Drehmoment durch Gl. (1.18) berechnet (k1 ist die Maschinenkon-stante).

M = k1 · Ia ·Φe [N ·m] (1.18)

Dreht sich der Rotor mit der Drehzahl ω[rad/s], wird eine Spannung im Ankerleiter induziert

Ui(Leiter) = l · v ·B (1.19)

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Die induzierte Spannung Ea in einer Ankerwicklung mit Windungszahl N ist dann

Ea = 2 ·N · l · v ·B

= 2 ·N · l · (r ·ω) · Φe

Aδ

= 2 ·N · l · (r ·ω) · Φe

r · θp · l

=2 ·Nθp·ω ·Φe

Ea = k1 ·Φe ·ω [V ] (1.20)

1.4.4 4-Polige Maschine

Bei der in Abb. 1.8 dargestellten Gleichstrommaschine handelt sich um eine zwei polige Ma-schine (Polpaarzahl p = 1). Sollte die Maschine 4 oder mehr Pole haben (wie in Abb. 1.13dargestellt), muss zwischen mechanischer Drehzahl ω und elektrischer Drehzahl ωelek unter-schieden werden

Abbildung 1.13: 4-Polige Gleichstrommaschine.

welek = p ·w (1.21)

Gleichung (1.18) und (1.20) gelten noch, jedoch muss die Maschinenkonstante k1 mit p multi-pliziert werden.

1.4.5 Leistung und Verluste

Abbildung 1.14 zeigt den Leistungsfluss durch einen Motor. Im motorischen Betrieb ist dieelektrische Leistung die Eingangsleistung P1, die mit Gleichung (1.22) berechnet wird, und diemechanische Leistung ist die verfügbare Leistung P2, die mit Gleichung (1.23) berechnet wird.

Elektrische LeistungPelek = Ua · Ia (1.22)

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Abbildung 1.14: Leistungsfluß durch einen Motor (Schröder, D. (2013). Elektrische Antriebe -Grundlagen. Springer.).

Mechanische LeistungPmech = M ·ω (1.23)

Die elektrischen Verluste, auch Kupfer-(Stromwärme-)Verluste genannt, sind im Vergleich zuden anderen Verluste lastabhängig und werden mit Gleichung (1.24) berechnet

PeV = Ra · I2a . (1.24)

Der Wirkungsgrad η = P2

P1wird dann im motorischen Betrieb mit Gleichung (1.25) berechnet

η =PmechPelek

. (1.25)

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2 Übungsaufgaben

2.1 Aufgabe 1: Bewegter Leiter im Magnetfeld

Ein Leiterstab mit der Länge l = 20 cm und Masse m = 50 g rutscht in einem Magnetfeld B =2,5T mit Geschwindigkeit v auf einer Rampe die einen Winkel α = 30 mit der Horizontaleneinnimmt (Abb. 2.1).

Abbildung 2.1: Leiterstab im Magnetfeld.

(a) Erklären Sie warum ein Strom induziert wird und zeichnen Sie die Stromrichtung imelektrischen Kreis ein.

(b) Berechnen Sie die induzierte Spannung Ui in Abhängigkeit von v.

(c) Berechnen Sie die Lorentzkraft die auf den Leiterstab in Abhängigkeit von v wirkt wennR = 10 Ω gilt und zeigen Sie die Richtung.

(d) Mit welcher konstanten Geschwindigkeit v rutscht der Leiterstab? (Erdbeschleunigungg = 9, 81m/s2)

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2.2 Aufgabe 2: Magnetischer Kreis

Abb. 2.2 stellt einen halbierten Ringkern mit Innenradius ri = 10 cm, Außenradius ra = 12 cmund kreisförmiger Querschnittfläche dar. Ein Strom I = 2A fließt durch die Spule mit Win-dungszahl N = 50. Ein Luftspalt mit Länge g = 5mm trennt die zwei Hälften. Die relative Per-meabilität des Kerns ist µr = 2 · 105 und die Permeabilität des Luftspalts ist µ0 = 4π · 10−7H/m.

Abbildung 2.2: Reluktanzkraft beim halbierten Ringkern.

(a) Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises.

(b) Berechnen Sie die gesamte Reluktanz des Kreises (zur Vereinfachung wird das mag. Feldim Luftspalt als eine Gerade angenommen), den magnetischen Fluss und die magnetischeFlussdichte im Kreis.

(c) Welche Kraft entsteht im Luftspalt?

(d) Eine Feder mit Konstante K = 25N/m und entspannter Länge L0 = 20mm wird imLuftspalt angebracht (Abb. 2.3). Berechnen Sie die Gleichgewichtslage g0 < 5mm (dieWirkung der Feder auf das mag. Feld wird vernachlässigt).

Abbildung 2.3: Reluktanzkraft beim halbierten Ringkern.

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2.3 Aufgabe 3: Aufbau GSM

(a) Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen der Ankerspannung, Ua, dem Ankerstrom,Ia und der Drehzahl ω einer fremderregten Gleichstrommaschine. Stellen Sie außerdemdas elektrische Ersatzschatbild (ESB) des Ankerkreises dar.

(b) Tragen Sie in dasM−ω Diagramm in Abb. 2.4 die Kennlinie der Maschine. Die Kennliniegibt die Drehzahl in Abhängigkeit vom Drehmoment an. Nehmen Sie einen konstantenAnkerstrom an.

(c) Eine Reihenschlussmaschine ist (im Vergleich zur fremderregten Maschine) eine Gleich-strommaschine, in der der Erreger und der Anker in Serie geschaltet sind. Der Anker undder Erreger werden durch die gleiche Spannung versorgt.

(i) Stellen Sie das elektrische ESB der Maschine dar.

(ii) Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen Drehzahl und Ankerstrom, sowie Dreh-moment und Ankerstrom im stationären Betrieb (Strom als konstant annehmen).

(iii) Warum darf die Reihenschlussmaschine nicht ohne Last gestartet werden?

Abbildung 2.4: M − ω Diagramm

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Appendix: Physikalische Größen und Einheiten

Größe Formel- Einheit Beziehung

zeichen Name Zeichen

Kraft F Newton N 1 N = 1kg m

s2

Energie W Joule J 1 J = 1 Ws = 1kg m2

s2

Leistung P Watt W 1 W = 1J

s= 1

kg m2

s3

Elektrische Spannung U Volt V 1 V = 1W

A= 1

kg m2

A s3

Elektrischer Widerstand R Ohm Ω 1 Ω = 1V

A= 1

kg m2

A2 s3

Elektrischer Leitwert G Siemens S 1 S =1

Ω= 1

A

V= 1

A2 s3

kg m2

Elektrische Ladung Q Coulomb C 1 C = 1 As

Kapazität C Farad F 1 F = 1C

V= 1

A2 s4

kg m2

Magnetischer Fluss Φ Weber Wb 1 Wb = 1 Vs = 1kg m2

A s2

Magnetische Flussdichte B Tesla T 1 T = 1Wb

m2= 1

kg

A s2

Induktivität L Henry H 1 H = 1Wb

A= 1

kg m2

A2 s2

Tabelle 2.1: Physikalische Größen und Einheiten.

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