Urheberrecht: Simon Blank Druck und Vertrieb: Fachschaft Elektro- und Informationstechnik e.V.

Preis: 0,90 €

SN: 1.03.0

Elektrizitäts-

lehre

Prof. Wachutka (TU München)

Formelsammlung

Stand: 03.06.2004

Vorwort zur 7. Auflage: Grundlage dieser Formelsammlung ist die Erstsemester-Vorlesung "Elektrizitätslehre", welche Herr Prof. Dr. Wachutka im Wintersemester 1999/2000 an der TU München für Studierende der Fachrichtung "Elektrotechnik und Informationstechnik" gehalten hat. Alle Kapitel- und Formelnummerierungen stimmen mit den Nummerierungen aus der Vorlesung überein. Für die 6. Auflage habe ich die Formelsammlung mit Hilfe des aktuellen Originalskriptums (von Herrn Prof. Dr. Wachutka, welches während der Vorlesung an die Tafel geschrieben wird) im Juli 2003 komplett überarbeitet und inhaltlich erweitert. Dabei habe ich einen kleinen Fehler in Formel (2.14) und in Kapitel 5.3.1 (bei Zeigeraddition) übersehen, die ich hiermit korrigiert habe. wichtiger Hinweis: Diese Formelsammlung darf leider nicht in der Prüfung „Elektrizitätslehre“ an der TU München verwendet werden, sondern nur (außer dem Skriptum der Vorgängerprofessoren und einer mathematischen Formelsammlung) „5 Blätter DIN-A4 eigene handschriftliche Aufzeichnungen“. Kontakt: Die jeweils aktuelle (farbige) Version dieser Formelsammlung und anderes (Formelsammlungen für andere Fächer, Linksammlungen etc.) kann man sich auf meiner Webseite herunterladen: http://home.pages.at/studium_elt/ Korrektur- und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit herzlich willkommen. Ich bin unter folgender E-Mail-Adresse zu erreichen: simonblank@gmx.de

letzte Aktualisierung: 03.06.2004

Elektrizitätslehre - Formelsammlung Inhaltsverzeichnis Kapitel 1: Elektrostatik 1.1 Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen S. 1 1.2 Superpositionsprinzip S. 1 1.3 Elektrische Feldstärke S. 1 1.4 Elektrische Arbeit S. 1 1.5 Elektrische Spannung und Potenzial S. 2 1.6 Elektrische Felder in polarisierbaren materiellen Medien S. 3 1.7 Kontinuierliche Ladungsverteilungen S. 4 1.8 Elektrostatische Felder zwischen leitenden Medien S. 5 1.9 Kondensatoraggregate S. 6 1.10 Elektrostatische Feldenergie S. 7

Kapitel 2: stationäre Ströme 2.1 Stromstärke, Stromdichte S. 8 2.2 Ladungstransport im elektrischen Feld S. 8 2.3 Ladungserhaltung S. 10 2.4 Schaltungen mit Widerständen S. 10 2.5 Elektrische Netzwerke aus galvanisch gekoppelten Gleichstromkreisen S. 10 2.6 Elektrische Leistung und Energieübertragung S. 11

Kapitel 3: Magnetostatik 3.1 Kräfte auf bewegte Ladungen S. 13 3.2 Kraft und Drehmoment auf Strom führende Leiter S. 14 3.3 Permanentmagnete S. 14 3.4 Quellenfreiheit des B-Feldes S. 15 3.5 Erzeugung magnetostatischer Felder S. 15 3.6 Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte aus gegebener Stromverteilung S. 16 3.7 Magnetische Kreise S. 17

Kapitel 4: induzierte elektrische Felder und Spannungen 4.1 Bewegungsinduktion S. 19 4.2 Galvanomagnetismus (Halleffekt) S. 19 4.3 Ruheinduktion S. 20 4.4 Allgemeine Form des Induktionsgesetzes S. 20 4.5 Induktivität S. 20 4.6 Transformatoren S. 21 4.7 Magnetostatische Feldenergie S. 22

Kapitel 5: Elemente der Wechselstromlehre 5.1 Grundbegriffe S. 23 5.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen S. 24 5.3 Wechselstromrechnung mit Hilfe komplexer Zahlen S. 25 5.4 Einfache Schaltungen aus R, L und C S. 28 5.5 Leistung und Effektivwerte S. 29 5.6 Gedämpfter Schwingkreis S. 33 5.7 Transformator in komplexer Rechnung S. 34

- 1 -

Elektrizitätslehre - Formelsammlung

Kapitel 1: Elektrostatik 1.1 Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen (1.1)

( )1 22 1 1 2 2 13

0 2 1

q q1F F r r

4 πr r

← ←⋅= − = ⋅ ⋅ −

ε −

Coulombsches Gesetz

1.2 Superpositionsprinzip (1.2)

( ) ( )∑=

−⋅−

⋅ε

=N

1i

i3

i

i

0

rrrr

qπ4

qr

qF

Kraft, die eine Anordnung von N Ladungen ( )iq i 1 N= … an den Orten

( )ir i 1 N=… auf eine weitere Ladung q am Ort r

ausübt.

1.3 Elektrische Feldstärke (1.3)

( )N

ii3

i 10 i

q1E r r

4 πr r=

= ⋅ ⋅ −ε −∑

E

-Feld einer diskreten Ladungsverteilung ( )i i i 1 N

q , r= …

; Einheit: ( ) V

dim Em

=

(iii) Spezialfall: Feld einer Punktladung 0q am Ort 0r

(1.4)

( ) ( )03

0

0

0

rrrr

qπ4

1rE

−⋅

−⋅

ε=

(iv) Spezialfall: Dipolfeld, Ladungen (((( ))))1Q,r

und (((( ))))2Q,r

(1.5)

( ) ( ) ( )1 23 30 1 2

Q 1 1E r r r r r

4 πr r r r

= ⋅ ⋅ − − ⋅ −

ε − −

1.4 Elektrische Arbeit (1.6)

( ) ( ) ( )( )1, 2

l

12

0 C P Pdr

W F r(s) t s ds : F r dr= ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫

Der Wert des Wegintegrals ( )( )1, 2C P P

F r dr⋅∫

ist unabhängig von der Parameterdarstellung, solange die Orientierung

21 PP → beibehalten wird.

- 2 -

(iii) konservative Kraftfelder

Ein Kraftfeld ( )F r

heißt konservativ, wenn das Wegintegral ( )( )1, 2C P P

F r dr⋅∫

nur von 1P und 2P , aber nicht von der

Wahl des verbindenden Weges ( )1 2C P , P abhängt.

Es gilt: ( )F r

konservativ <=> ( )j i

i j

F F für alle i,j i j

x x

∂ ∂= ≠

∂ ∂

1.5 Elektrische Spannung und Potential (1.7) Def.:

( )1 2

1212

C P ,P

WU E dr

q= = ⋅∫

Elektrische Spannung; Einheiten: ( )12dim W J= , ( )12dim U V=

Da elektrostatische Felder konservativ sind, ist 12U wegunabhängig!

(iii) Folgerung: In der Elektrostatik gilt: (1.8)

∫ =⋅C

0rdE

für jede geschlossene Kurve C !

(iv) Definition des elektrischen Potentials (1.9a)

( ) ∫∫ ⋅−=⋅==P

0P

0P

P

0PP, rdErdEUrΦ

bzgl. 0P ; 0P (am Ort 0r

) fester Referenzpunkt, P (am Ort r

) beliebiger

Punkt.

Insbesondere gilt: ( )0

Φr : 0=

(v) Folgerung: (1.10)

( ) ( )21122P1P rΦ

rΦ

UU

−==

(1.9b)

( ) ( ) ( )0

P(r)

0

P

Φr

Φr E r dr= − ∫

, wobei ( )0r

Φ beliebig zu wählen ist.

(vi) Äquipotentialflächen

E

steht senkrecht auf allen Tangenten an die Äquipotentialflächen ( ) .constrΦ

=

, d.h., E

ist ↑↑ 1 zur Oberflächennor-

male.

1 Zeichenerklärung: −↑↑ parallel

- 3 -

(vii) Beispiel: Potential einer Punktladung Q am Ort Qr

(1.11)

( )

( )

( ) ( )0P r

0

0 Q 0 QP r

Q 1 1E dr

Φr

Φr

4 π ε r r r r

⋅ = ⋅ − = − − −

∫

(1.12)

( ) 0 Q:0

1 QΦr

Φ4 π r r

∞=

= + ⋅ε −

für Referenzpunkt 0r → ∞

(iix) Beispiel: Potential einer diskreten Ladungsverteilung =

i, i(q r );i 1...N

(1.13)

( )N

i

i 10 i

q1Φr

4 π ε r r== ⋅

−∑

1.6 Elektrische Felder in polarisierbaren materiellen Medien (Dielektrikum) 1.6.1 Dielektrizitätskonstante (elektrische Permittivität) (1.14)

( ) ( )

( )N

iq q,Vakuum i3

i 1r 0 r i

:ε q1 qF r F r r r

4 πr r=

=

= = ⋅ ⋅ −ε ε ε −

∑

1.6.2 Dielektrische Verschiebung, Gaußsches Gesetz (1.15)

( ) ( ) ( )r 0D r : ε E r ε ε E r= ⋅ = ⋅

(iii) Verallgemeinerung: beliebiger Ort 0r

von Q und beliebige Hüllfläche

(1.16)

∫∂=

∉⇐∈⇐

=⋅VH 0

0

Vr0

VrQadD

(iv) Gaußsches Gesetz (für Punktladungen) (1.17)

( )i

ir VH V

D da Q V q∈=∂

⋅ = = ∑∫

(v) Einschub: Flächenintegrale in 3ℝℝℝℝ

( )1 2da N da t t dudv= ⋅ = × ⋅

Vektorielles Oberflächenelement

( )( )1 1

0 0

v u

S v u

r rF da : F r u, v dudv

u v

∂ ∂ ⋅ = ⋅ × ∂ ∂ ∫ ∫ ∫

Fluss eines Vektorfeldes ( )F r

durch die Fläche S

- 4 -

1.7 Kontinuierliche Ladungsverteilungen 1.7.1 Raumladungsdichte (i) Idee

( )( )

Zahl der Ladungen in V rρ (r)V r

∆=

∆

für V 0∆ →

(ii) Definition

( ) ( )3ρ r d r ρ x, y,z dxdydz⋅ = ⋅ ist die im Volumenelement dxdydz enthaltene Ladung dQ , sodass gilt:

( ) ( ) ( )3

V

ρ r d r ρ x, y, z dxdydz Q V⋅ = ⋅ =∫ ∫∫∫

für beliebige Volumina V , die eingeschlossene Ladung ergibt.

1.7.2 Oberflächenladungsdichte (i) Idee

In Leitern sitzt elektrostatische Ladung auf sehr dünner Schicht an der Oberfläche S verteilt.

( ) ( )( )

Zahl der Ladungen in A rσ rA r

∆=

∆

für A 0∆ →

(ii) Definition

( ) ( )( ) r rσ r da σ r u, v dudvu v

∂ ∂⋅ = ⋅ × ⋅∂ ∂

ist die in Oberflächenelement da enthaltene Ladung dQ , so dass

( ) ( )S

σ r da Q S⋅ =∫

für beliebige Flächenstücke S die enthaltene Ladung ergibt.

1.7.3 Gaußsches Gesetz (für Raumladungsverteilungen) (i) Raumladungsverteilung (1.18)

( ) 3

H V V

D da Q V ρ d r=∂

⋅ = = ⋅∫ ∫

für jedes Gebiet V mit Hüllfläche V∂ .

(ii) Oberflächenladungsverteilung (1.19)

( )H V S V

D da Q V S σ da=∂ ∩

⋅ = ∩ = ⋅∫ ∫

für jedes Gebiet V , das eine Leiteroberfläche S schneidet.

(1.20) σND =⋅

auf Leiteroberflächen außerhalb des Leiters ( N

zeigt vom Leiter nach außen)

- 5 -

1.8 Elektrostatische Felder zwischen leitenden Medien 1.8.1 Influenz (i) Definition von Leiter

Ein Leiter besitzt sehr viele (≈1021 - 2023) Ladungsträger pro Volumen (cm3). => Leiter sind Äquipotentialgebiete (-flächen)

=> Leiter haben wegen dielektrischer Abschirmung keine Raumladung: ( )E 0Φ

r const.≡ ⇔ =

(ii) Wird ein Leiter einem äußeren elektrostatischen Feld ausgesetzt, so wird durch Ladungsverschiebung eine Oberflächen-ladung σ induziert, so dass gilt:

1. E 0=

im Inneren des Leiters

2. flächeLeiteroberE ⊥

(außen)

3. σ D N= ⋅

auf Leiteroberfläche (Influenz).

1.8.2 Kapazität (i) Definition

2

12 1 2

1

UΦ Φ

E dr= − = ⋅∫

hier: 1 2

Φ Φ> ; Leiter 1 habe die Ladung Q , Leiter 2 die Ladung Q−

H um "1"

Q D da= ⋅∫

(1.21)

12

QC 0

U= >

(1.22)

H"2"

"1"

ε E da

C

E dr

⋅ ⋅=

⋅

∫

∫

=> ( )C f ,Geometrie= ε , unabhängig von E

!

(ii) Beispiel: Plattenkondensator (1.23)

d

AεU

QC

12

⋅== mit 1H

Q D da D A ε E A= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅∫

und dErdEU

2

1

12 ⋅=⋅= ∫

Qσ D N D D const.A

= ⋅ = ⇒ = =

Flächenladungsdichte

- 6 -

(iii) Beispiel: Kugelkondensator (1.24)

ab

baπ ε4U

QC

12 −⋅⋅== mit a := Innenradius, b := Außenradius,

( ) ( ) 2

K(0,r) K(0,r)

Q D da ε E r da ε E r 4 π r∂ ∂

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫

und

( )b b

12 2a a

Q 1 Q 1 1 Q b aU E r dr dr

4 π ε 4 π ε a b 4 π ε a br

− = ⋅ = ⋅ = ⋅ − = ⋅ ⋅ ∫ ∫

Kugelkapazität g egen

C 4 π ε a∞∞

= ⋅ mit ∞→b

Zwei koaxiale Metallzylinder (senkrecht zur Zeichenebene unendlich ausgedehnt; nach Lösung von Übung 5)

adDLqQ

H

⋅=⋅= ∫ mit rda e 2 r dz= ⋅ π ⋅

und rDreD ⋅=

( )rQ 2 π r L D r⇒ = ⋅

( )r

qD r

2 π r⇒ =

( )r

qE r

2 r⇒ =

πε

Dabei gilt: r := Radius ( a r b≤ ≤ ) und L := Höhe einer zylindrischen Hüllfläche.

1 1 11

1

Q q L qσA 2 π aL 2 π a

= = = 2 2 22

2

Q q L qσA 2 π b L 2 π b

= = = Oberflächenladungen

mit a := Radius von Innenleiter (Ladung: 1q ) und b := Radius von Außenleiter (Ladung: 2q )

( ) ( ) ( )a

12

b

q bU

Φa

Φb E r´ dr´ ln

2 a

= − = − = πε ∫ Potentiale

12

q 2c

bUln

a

π⋅ε= =

Kapazität pro Längeneinheit

1.9 Kondensatoraggregate (i) Parallelschaltung (1.25)

∑=

==N

1i

itotal

p CU

QC mit parallelp CC ≡

(ii) Serienschaltung (1.26)

N

i 1s i

1 1

C C=

=∑ mit seriells CC ≡

- 7 -

(iii) „Parallele“ dielektrische Materialien (1.27)

1 1 2 2ε A ε AQ

CU d d

= = + mit ( )d

UAεAεQ 2211 ⋅⋅+⋅=

Dabei gilt:

2

d

U

221

d

U

112

D

21

D

121 AEεAEεAσAσQQQ

21

⋅⋅+⋅⋅=+=+=

(iv) „Serielle“ dielektrische Materialien

1 2

QD D

A= =

(1.28)

2

2

1

1 εdεd A

U

QC

+== mit 1 2

1 1 2 2

1 2

d d 1U E d E d Qε ε A

= ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅

1.10 Elektrostatische Feldenergie (i) Energie eines aufgeladenen Kondensators (1.29)

22

el

1 1 1 QW UQ CU

2 2 2 C= ⋅ = ⋅ = ⋅

(ii) Energiedichte des E -Feldes

(1.30)

( )el

1w E D

2= ⋅

aus

2 2el

el

W 1 1 1w : E D ε E D

V 2 2 2 ε= = ⋅ = ⋅ = ⋅

- 8 -

Kapitel 2: stationäre Ströme 2.1 Stromstärke, Stromdichte (i) Strom

LadungsflussStrom:

Zeit=

(2.1)

( ) AA

dQI A

dt= Einheit: ( ) C

dim As

=

(ii) Stromdichte:

( )AI Aj

A=

für A 0→ und A Stromfluss⊥ ; die Richtung von j

ist die Tangente an den Ladungsflussli-

nien (Ladungstrajektorien) (2.2)

d Q j da dt= ⋅ ⋅

ist die pro Zeiteinheit durch ad

fließende Ladung => Ad I j da= ⋅

=> ( )A

A

I A j da= ⋅∫

Einheit: ( ) 2

Adim j

m=

(iii) Zusammenhang mit Raumladungsdichte

( ) ( )ρ r q n r= ⋅ mit n := Trägerkonzentration =

Trägeranzahl

Volumen und q := Ladung eines Trägers

für mehrere Trägersorten gilt: ( ) ( )N

i ii 1

ρ r q n r=

= ⋅∑

Die im Volumen dV da dr= ⋅ befindlichen Ladungsträger sind genau die, die in der Zeit dt die Kontrollfläche da

passiert haben: dQ j da dt q n dV q n da v dt= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(2.3)

j q n v= ⋅ ⋅

gilt nur für eine Trägersorte; j

:= Stromdichte

(2.4)

N

i i ii 1

j q n v=

= ⋅ ⋅∑

gilt für mehrere Trägersorten

2.2 Ladungstransport im elektrischen Feld 2.2.1 Transport ohne Stoßprozesse (Vakuum)

( )rEqdt

vdm

⋅=⋅ gilt nur für einen Ladungsträger

- 9 -

(2.5)

( )2 21 2 12

1m v v q U

2⋅ ⋅ = ⋅

Um

q2v(U) ⋅

⋅= wenn gilt: Anfangsgeschwindigkeit ( )v 0 0=

2.2.2 Transport mit Stoßprozessen (Leiter; Driftbewegung) (i) Beweglichkeit

Viele Ladungsträger, die an Streuzentren gestreut werden. Statistik => mittlerer Driftgeschwindigkeit ( )v v E=

, mittle-

re Stoßzeit τ und effektive Masse *m

( )

* *

*

sgn q v v q τq E m m v E

t τ m⋅

∆ ⋅⋅ = ⋅ = ⋅ ⇔ = ⋅∆

linearer Ansatz mit := Beweglichkeit. Dabei gilt: 0>µ

(2.6)

( )v sgn q E= ⋅ ⋅

mit v

:= mittlerer (Drift-)Geschwindigkeit

(2.7)

j q n E= ⋅ ⋅ ⋅

Stromdichte für eine Trägersorte

(2.8)

( )k

i i ii 1

j q n E=

= ⋅ ⋅ ⋅∑

Stromdichte für mehrere Trägersorten

(ii) Ohmsches „Gesetz“ in lokaler Form (2.9)

j E= σ⋅

mit k

i i ii 1

q n =

σ = ⋅ ⋅∑ := spezifische elektrische Leitfähigkeit; Einheit: ( ) A S 1dim

Vm m mσ = = =

Ω

(iii) Ohmsches „Gesetz“ in integraler Form (2.10)

12I G U= ⋅ mit A A

G

AI j da σ E da σ U

l=

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫

( A := homogener Querschnitt, σ := homogene Leitfähigkeit

und l := Länge des Leiters) (2.11)

AG

l= σ ⋅ elektrischer Leitwert; Einheit: ( ) 1

dim G S= = ⋅Ω

(2.12)

12U R I= ⋅ mit 1

RG

=

- 10 -

(2.13)

1 l lR σ A A

= ⋅ = ρ ⋅ elektrischer Widerstand

(2.14)

1σρ = spezifischer elektrischer Widerstand; Einheit: ( )2mm

dim mm

ρ = Ω = Ω

Flussrichtung von I : vom höheren Potentialwert zum niedrigeren Potentialwert 2.3 Ladungserhaltung (i) integrierte Darstellung (allgemein gültig) (2.15)

( )V

dQ Vj da

dt∂

⋅ = −∫

Für eine stationäre Stromverteilung gilt: d

0dt

= (wg. ( )Q V zeitlich konstant) => V

j da 0∂

⋅ =∫

für jede beliebige Hüll-

fläche V∂ für stationären Fall

(ii) Kirchhoffsche Knotenregel (2.16)

N

kk 1

I 0=

=∑

2.4 Schaltungen mit Widerständen (i) serielle Schaltung (2.17)

N N N

i i s ii 1 i 1 i 1

U U R I R R= = =

= = ⋅ ⇒ =∑ ∑ ∑

(ii) Parallelschaltung (2.18) und (2.19)

N N

ii 1 i 1p i

1 1G G

R R= == ⇔ =∑ ∑

2.5 Elektrische Netzwerke aus galvanisch gekoppelten Gleichstromkreisen (i) Spannungsquelle (2.20)

IRUUIRIRU i0k

U

Lasti0

k

⋅−=⇒⋅+⋅=

mit 0U := eingeprägte Spannung, iR := Innenwiderstand

und kU := Klemmenspannung

Für max. Stromfluss gilt: i

0maxk

R

UI0U =⇔=

- 11 -

(ii) Stromquelle

0

k i i i 0 i

U

U R I R I R I=

= ⋅ = ⋅ − ⋅ Klemmenspannung; mit 0I := eingeprägter Strom und iR := Innenwiderstand

einer Stromquelle (iii) Kirchhoffsche Maschenregel (2.21)

Es gilt ∑=

=N

0i

i 0U für jede Masche

0

0 1 N N 1

: K

K ,K ,...,K , K +=

(:= geschlossene Knotenfolge), wobei ( )i i 1 iU : U K K−=

die

gerichtete Spannung längs des Stromzweiges i 1 iK K−

bezeichnet.

(v) Allgemeine Regeln für Netzwerkanalyse 1. Bestimme K = Anzahl der Knoten (:= Verknüpfung von mehr als zwei Zweigen) des Netzwerks 2. Bestimme Z = Anzahl der Zweige (:= Folge von einfachen Kanten zwischen zwei Knoten) Unbekannte: • Zweigströme 1 2 Z´I , I ,..., I (es gilt: ZZ´≤ ) in den Zweigen ohne Stromquellen

• Spannungen 1 2 Z Z´U , U ,..., U − in den Z´Z − Zweigen mit eingeprägtem Strom

=> also Z Unbekannte Gleichungen: • 1K − linear unabhängige Knotengleichungen • ( )1KZM −−= linear unabhängige Maschengleichungen

Regel: Jede neue Maschengleichung muss über noch nicht genutzte Zweige des Netzwerkes führen.

Sind ( )1 2 Z´ 1 2 Z Z´I , I ,..., I ;U , U ,..., U − bestimmt, lassen sich Zweigspannungen gemäß ( )k k kU R I k 1 Z´= ⋅ = … bestim-

men. 2.6 Elektrische Leistung und Energieübertragung (i) Leistungsbegriff (allgemein)

elel

dW q E drP q E v

dt dt

⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅

gilt nur für einen Ladungsträger

(2.22)

( )iel i iP q v E= ⋅ ⋅

Leistungsumsatz pro (Ladungs-)Träger der Sorte i

(ii) Leistung bei bewegter Raumladung

∑=

⋅⋅=k

1i

iii vnqj

Stromdichte; vgl. (2.4)

(2.23)

( )k k

iel el i i i i

i 1 i 1

p P n q n v E j E= =

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

∑ ∑

Elektrische Leistungsdichte

- 12 -

(iii) (Verlust-)Leistungsdichte bei ohmscher Driftbewegung (2.24)

2 22

el

1p j E σ E j ρ jσ= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

(iv) Verlustleistung am ohmschen Widerstand (der Länge l mit dem Querschnitt A)

UIlEAjlApP elel ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=

aus AjI ⋅=

und U E l R I= ⋅ = ⋅

(2.25)

R

UIRIUP

22

el =⋅=⋅= falls IRU ⋅= gilt; Einheit: ( )eldim P W VA= =

(v) Elektrische Energieübertragungsverluste

Eine Energiequelle speist in eine Leitung (Widerstand der Leitung: LR ) die Spannung EU , den Strom I und die

transportierte Leistung zum Energieverbraucher (Eingangsspannung: VU ). Dann gilt:

Erzeugte Leistung: IUP EE ⋅=

Verbrauchte Leistung: IUP VV ⋅= mit IRUU LEV ⋅−=

(2.25)

2E

EL

U

PR1η ⋅

−= Übertragungswirkungsgrad

Herleitung: V V E L L

E E E E

P U U R I R Iη 1P U U U

− ⋅ ⋅= = = = −

Es gilt: 1η → für ∞→EU

- 13 -

Kapitel 3: Magnetostatik 3.1 Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld (i) Lorentzkraft (3.1)

( )BvqFL

×⋅= mit LF

:= Lorentzkraft und B

:= magnetische Kraftflussdichte (Induktion) oder B

-Feld

(„Magnetfeld“).

( ) ( ) 2

V Vsdim vB dim B T

m m= ⇒ = = mit T := Tesla

(ii) Superpositionsprinzip: elektromagnetische Kraftwirkung (3.2)

( )F q E v B= ⋅ + ×

(iii) Leistung im B

-Feld

( )

0dt

rdBvq

dt

dWP

v

magnmagn

=⋅×⋅== mit ( )magn LdW F dr q v B dr= ⋅ = ⋅ × ⋅

=> Ein Magnetfeld leistet keine Arbeit! (iv) Bewegung im homogenen Magnetfeld

( )Bvqdt

vdm

×⋅=⋅ mit q := Ladung und m := Masse eines Massenpunktes

(3.4)

fπ2m

Bq⋅⋅=

⋅= mit := Gyrationsfrequenz

Trajektorie im Ortsraum:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

t

0 x 0 0

t

vx t x t v t´ dt´ x t cos t t⊥= + = − ⋅ Ω⋅ − Ω∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

t

0 y 0 0

t

vy t y t v t´ dt y t sin t t⊥= + = + ⋅ Ω⋅ − Ω∫

( ) ( ) ( )0 || 0z t z t v t t= + −

mit ( ) ( )2 2x 0 y 0v v t v t⊥ = +

(3.5) vR ⊥= Radius einer Schraubenlinie in 3ℝ ;

- 14 -

(v) Kraft auf Stromverteilung (3.6)

Bjf L

×= mit Lf

:= Lorentzkraftdichte;

Herleitung: ( ) BvnqnBvqf

j

k

1i

iii

k

1i

iiiL

×

⋅⋅=⋅×= ∑∑

==

3.2 Kraft und Drehmoment auf Strom führende Leiter (i) Grundvorstellung (3.7) Die Kraft auf im Leiter bewegte Ladungen wird vollständig auf das Substratmaterial (z.B. Wirtsgitter) übertragen:

( ) ( ) 3Leiter

V

F j r B r d r= × ⋅∫

(ii) linienförmige Leiter („Drähte“) (3.8)

( )Leiter

C

F B s I ds= − × ⋅∫

mit ( )( )A s

I j s da const.= ⋅ =∫

Differentielle Schreibweise (3.9)

Leiter

C

F dF= ∫

mit dF I ds B= ⋅ ×

(iii) Drehmoment auf Leiterschleife

( ) FrrM 0

×−= Drehmoment an Hebel

Drehmoment auf rechteckige Leiterschleifen

( ) ( )Achse

CR

M r r dF M 2 I b R B= − × = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫

Gesamtdrehmoment;

mit b

:= Länge parallel zur Drehachse und R

:= Radiusvektor (halbe Breite senkrecht zur Drehachse)

(3.10)

( )BAIM

×⋅= gilt für beliebig geformte Leiterschleifen C

(3.11), (3.12) und (3.13)

HmM

×= mit m I A= ⋅ ⋅

und B1H

⋅= ;

mit m

:= magnetisches Moment, H

:= magn. Feldstärke und := magn. Permeabilität

3.3 Permanentmagnete Ein Permanentmagnet besteht aus einem Material, in dem viele atomare Ringströme gleich orientierte magnetische Momente 0m

beitragen. Die Orientierung des magnetischen Moments ist von Süden nach Norden.

- 15 -

0n m= ⋅ M Magnetisierung; mit n := Zahl der Ringströme pro Volumen

( ) 0m

M V n m H V H= ⋅ × = ⋅ ×

M

M Drehmoment auf Dauermagnet;

mit m

:= gesamtes magnetisches Moment und V := Volumen => Dauermagnete und Ringströme zeigen gleiches Verhalten!

3.4 Quellenfreiheit des B

-Feldes

(i) experimentelle Erfahrung Es gibt keine magnetischen Ladungen bzw. Monopole (nur magnetische Dipole) (ii) Divergenzsatz

( )V

D da Q V∂

⋅ =∫

Elektrostatik; vgl. (1.17)

(3.14)

V

B da 0∂

⋅ =∫

Magnetostatik (der Wert dieses Integrals ist 0, da es keine magnetischen Dipole gibt!)

3.5 Erzeugung magnetostatischer Felder (i) Ampèresches Durchflutungsgesetz (3.15)

( )r 0

A B dr I A∂

⋅ = ⋅ ⋅∫

experimenteller Befund für alle (orientierten) Flächen A ;

mit m

s

10π4 70

−⋅⋅= := magnetische Feldkonstante (auch: Vakuumpermeabilität und r := relative Permeabilität

(Korrekturfaktor, dimensionslos). Im Vakuum gilt: 1 r = und 0=κ .

(3.16) und (3.20)

0r : ⋅=µ (absolute) Permeabilität 1: r −=κ magnetische Suszeptibilität

(ii) magnetische Feldstärke (3.17)

HHHB 00

⋅κ⋅µ+⋅µ=⋅= mit H

:= magnetische Feldstärke und B

:= magnetische Kraftflussdichte

Diamagnetismus: r 1µ < bzw. 0κ < , aber 1κ <<

Paramagnetismus: r 1µ > bzw. 0κ > , aber 1κ <<

Ferromagnetismus: 1r >>µ bzw. 1>>κ

(3.18)

( )∫∂

=⋅A

AIrdH

gilt in magnetisierbaren Medien.

Fazit: H

hängt nur von dem erzeugenden Strom, nicht vom umgebenden Material ab!

- 16 -

(iii) allgemeine Form des Durchflutungsgesetzes (3.19)

∫∫ ⋅=⋅∂ AA

adjrdH

(iv) Analogie zwischen E-Statik und H-Statik: E-Statik: M-Statik: Kraft wirkt auf: ruhende Probeladung bewegte Probeladung Art der Kraft: elektrische Kraft Lorentzkraft Symbol: E

B

Bemerkung: E

und B

sind materialabhängige Größen! E-Statik: M-Statik: Wirkung von: Ladungsverteilung

( )rρ Stromverteilung ( )rj

Gesetz: „Gauß“ „Ampère“ Symbol: D

H

Bemerkung: D

und H

sind nur von Quellen abhängig!

D E= ε ⋅

B H= µ ⋅

Materialgesetze

3.6 Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte aus gegebener Stromverteilung 3.6.1 Mit Hilfe des Ampèreschen Gesetzes (i) Beispiel: unendlich langer, gerader Draht (3.21)

( ) IH r e

2 π rϕ= ⋅

⋅ ⋅

mit

sin

e cos

0ϕ

− ϕ = ϕ

(3.22)

12 1 212

dF I Ie

ds 2 π a

⋅ ⋅= − ⋅

⋅ ⋅

Kraft pro Längeneinheit zwischen zwei parallelen, geraden Drähten.

12e

weist von 1 nach 2, 1e12 =

=> parallele Ströme ziehen sich an.

(ii) Beispiel: allgemeine zylindersymmetrische Stromverteilung (3.23)

( ) ( )r

0

1H r H r e j(r´) r´ dr´

rϕ ϕ= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅∫

(iii) Spezialfall: gerader und unendlich langer Draht mit Radius a

2

Ifür 0 r a

j(r) a πfür r>a

0

≤ ≤= ⋅

- 17 -

2

I rfür 0 r a2 aH (r)für r>aI

2 r

ϕ

⋅ ≤ ≤ ⋅ π ⋅= ⋅ π ⋅

Hϕ für r>a verhält sich wie H

-Feld eines linienförmigen Leiters!

3.6.2 Feldberechnung mit Hilfe des Biot-Savartschen Gesetzes (i) Biot-Savartscher Satz (3.24)

( ) ( ) ( ) 3

3V

j r´ r r´1H r d r´

4 πr r´

× −= ⋅ ⋅

−∫

durch gegebene Stromverteilung ( )j r

erzeugtes Magnetfeld ( )H r

(ii) Spezialfall: linienförmige Stromleiter („Drähte“) (3.25)

( ) ( )3

C

ds r sIH r

4 πr s

× −= ⋅

−∫

(iii) Magnetfeld eines Ringstromes

( ) ( ) ( )( )

22z r

30

a ra e za eIH r d

4 πr s

π − ⋅ + ⋅ ϕ= ⋅ ⋅ ϕ

− ϕ∫

=> elliptische Integrale für allgemeinen Aufpunkt ( )r x, y, z=

( )( )

2

z3 22 2

I a 1H 0,0, z e

2 a z

⋅= ⋅ ⋅+

Spezialfall: r

auf z -Achse

3.7 Magnetische Kreise 3.7.1 Magnetisierbarer Kern mit Luftspalt Annahmen: • Magnetfeld nur in Kern (Eisen) und Luftspalt (gute Näherung für Kern 1µ >> )

• keine Streufelder außerhalb, homogenes Feld innerhalb des Kerns (3.27)

B:BB SpaltKern ==

(3.28)

1 H

H

Spalt

Kern

Kern

Spalt>>=

mit Spalt

0 Spalt

BH =

µ ⋅µ

und Kern

0 Kern

BH =

µ ⋅µ

(iii) Strom-Feld-Beziehung (3.29)

I l l wB

Spalt

Spalt

Kern

Kern

0 ⋅

+

⋅= mit w := Windungszahl der Spule, Kernl := Kernlänge und Spaltl := Spaltbreite

- 18 -

3.7.2 Allgemeiner magnetischer Kreis (i) Analogie: Elektrischer Stromkreis - magnetischer Stromkreis siehe auch Skript „Elektrizitätslehre“ auf S. 109-112 (3.6.4 Vergleich zwischen magnetischen Kreisen und elektrischen Stromkreisen) Analogie ist durch folgende Korrespondenzen gegeben:

j E B H= σ⋅ ⇔ = µ ⋅

: j B , σ µ , E H

m mU R I V R= ⋅ ⇔ = ⋅Φ : mU V , mR R , I Φ

Definitionen (3.30)

( )A

ΦA : B da= ⋅∫

magnetischer Kraftfluss

(3.31)

2

1

P

m

P

V : H dr= ⋅∫

magnetische Spannung (ev. Wegabhängig beachten!)

(3.32)

mm m Kern mSpalt

VR R RΦ= = + magnetischer Widerstand

(3.33)

j

j

m j

j

l=

⋅ ⋅r 0

R A

magnetische Serienwiderstände

- 19 -

Kapitel 4: induzierte elektrische Felder und Spannungen 4.1 Bewegungsinduktion

(i) leitfähiges Medium wird durch Magnetfeld B mit Geschwindigkeit

v bewegt

(4.1)

Lind

FE v B

q= = ×

mit LF

:=Lorentzkraft

(ii) bewegte Leiterschleife mit der Fläche A (4.2)

( )ind

dU

ΦA

dt= − ⋅ mit ( )

A

ΦA B da B A= ⋅ = − ⋅∫

:= magnetischer Fluss

(4.3)

( )( )( ) ( )

ind

A t C t A t

dU V B dr B da

dt∂ =

= × ⋅ = − ⋅

∫ ∫

allgemein gültige Darstellung;

gilt für zeitlich veränderliche (Leiter-)Schleife ( )A t∂ in zeitlich konstantem Magnetfeld ( )B r

(iii) Unipolar-Maschinen (4.4)

( )a

2ind

0

1U

B r dr

B a

2= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ Barlowsches Rad; mit fπ2

⋅⋅= und a := Außenradius

4.2 Galvanomagnetismus (Halleffekt)

Im leitfähigen, ruhenden Medium bewegen sich Ladungsträger mit der Ladung q und der Geschwindigkeit v

.

Lorentzkraft: ( )LF q v B= ⋅ ×

„zusätzliches“ E

-Feld: LH

FE v B

q= = ×

mit

1v j

q n= ⋅

⋅

=> Heuristisches Modell für Stromtransport: ( )el H

Potentialgradient

j E E E v B = σ⋅ + = σ ⋅ + ×

(4.5)

Hj E R j B = σ⋅ + ⋅ ×

rigorose Transporttheorie; mit H

0,7 1,3

1R Faktor

q n≈

= ⋅⋅…

(4.6)

H H HU E d R d j B= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

Hallspannung

- 20 -

4.3 Ruheinduktion (4.7)

( )ind

dU A

dt= − ⋅Φ

(4.8)

ind

A

BU da

t

∂= − ⋅∂∫

(Leiterschleife zeitlich unverändert, d.h. ( )B B t=

)

4.4 Allgemeine Form des Induktionsgesetzes (4.9)

( ) ( ) ( )ind

A(t) A(t)

BU v r, t B r, t dr r, t da

t∂

∂= × ⋅ − ⋅∂∫ ∫

Leiterschleife ( )A t∂ und Magnetfeld ( )B r, t

zeitlich unver-

ändert (4.10)

( )( ) ( )ind

A(t)

d dU

ΦA t B r, t da

dt dt= − = − ⋅∫

(4.11)

( )( )

( )( )

ind ind

A t A t

dU E r, t dr B r, t da

dt∂

= ⋅ = − ⋅∫ ∫

(Maxwellsche Hypothese: ( )A t∂ kann auch immateriell sein!)

4.5 Induktivität (i) generelle Annahmen

• Ortsfeste Anordnung von Leiterschleifen (Spulen) ( )iC i 1 N= … , die von Strömen ( )iI t durchflossen werden =>

nur Ruheinduktion

• Quasistationäre Änderung der Ströme: idI

dt erzeugt keine Strahlungsfelder (keine Antennen)

(iv) Flussberechnung bei magnetisch gekoppelten Stromkreisen (4.12)

( ) ( )∑=

⋅=N

1j

jiji tILtψ mit iii

Φwψ = , iw ist Windungszahl der Spule i

(4.13)

ijji LL = mit i, j 1 N= …

Dabei gelten folgende Bezeichnungen: • ijL := Induktivitätskoeffizienten

• iiL := Selbstinduktionskoeffizienten

• ji,L ij ≠ := Gegeninduktionskoeffizienten

- 21 -

4.6 Transformatoren (i) Leiterschleife (4.14)

Nj

i i i ijj 1

dIU R I L

dt=

= ⋅ +∑ Transformatorgleichungen; mit iR := Innenwiderstand

(ii) Spezialfall: zwei Spulen (i,j=1…2), kein Innenwiderstand (4.15)

( )( )

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

U t L I L I

U t L I L I

= +

= +

ɺ ɺ

ɺ ɺ

(4.16)

111

21

0I1

2

L

M

L

L

U

U

2

==

=

Spannungsübersetzung

es gilt: 111 L:L = , 222 L:L = und 2112 LL:M ==

(4.17)

2

2 21

1 22 2U 0

I L M

I L L=

− = =

Stromübersetzung

(4.18)

2

1 2

MK: Stromübersetzung Spannungsübersetzung 1

L L= ⋅ = ≤ Kopplungsfaktor: K ist ein Maß für das Ver-

hältnis zwischen Sekundär- und Primärleistung (iii) Berechnung für spezielle Geometrie: Dreischenkelkern (4.19a), (4.19b) und (4.19c)

( )3m2m

21

111 RRN

wLL +== mit iw := Windungszahl der Spule i

( )3m1m

22

222 RRN

wLL +==

3m21

2112 RN

wwMLL ====

(4.20)

( )( )3m1m3m2m

23m

11

22

RRRR

R

LL

MK

++== Kopplungsfaktor ( )20 K 1≤ ≤

(4.21)

2

m 2 m1

m32 2 2

1 1 m 2 m3 1 1I 0

falls R R

RU w wMK

U L R R w w=

=

= = ⋅ = ⋅ +

Spannungsübersetzung

- 22 -

(4.22)

2

m1 m 2

m 32 1 1

1 2 m1 m 2 2 2U 0

falls R R

RI w wMK

I L R R w w=

=

− = = ⋅ = ⋅ +

Stromübersetzung

4.7 Magnetostatische Feldenergie (i) Energie einer stromdurchflossenen Induktivität

U dt L dI⋅ = ⋅

(4.23)

∫ =⋅=I

0

2mag LI

2

1IdILW Energieinhalt bei Stromanstieg von I 0= bis I I=

(4.24)

22mag

ψL2

1ψ I2

1LI

2

1W ⋅

⋅=== äquivalente Formulierung zu (4.23) wegen IL

Φwψ ⋅=⋅=

N

mag ij i ji, j 1

1W L I I

2 == ⋅ ⋅ ⋅∑ gilt bei N gekoppelten Induktivitäten

1

2 2mag 1 2 2 1 2

1 1W L I L I M I I

2 2= + + ⋅ ⋅ Beispiel: Transformator ( N 2= )

(ii) Energiedichte des Magnetfeldes (4.25) und (4.26)

2 2

mag

1 1 1w H B H B

2 2 2 = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

falls B H= µ ⋅

und const.µ =

- 23 -

Kapitel 5: Elemente der Wechselstromlehre Zeitlich periodische, insbesondere sinusförmige („harmonische“) Strom- und Spannungsverläufe sind technisch außer-ordentlich wichtig: • Transformierbarkeit ( => Energieübertragung) • Modellierbarkeit ( => Informationsübertragung) • Anpassung an Generatoren und Motoren 5.1 Grundbegriffe 5.1.1 Wechselspannungsgenerator (i) Erzeugungsprinzipien:

• in B

-Feld rotierende Leiter (kleine Frequenzen, hohe Leistung) • Schwingkreis (hohe Frequenzen, kleine bis mittlere Leistungen)

(ii) Beispiel: rotierende Leiterschleife erzeugt induzierte Spannung ( )u t

(5.1)

( ) 0tt ϕ+ω=ϕ Drehwinkel mit Kreisfrequenz d

const.dt

ϕ = ω =

(5.2)

( ) ( )0tsinUtu ϕ+ω⋅= induzierte Spannung; mit max

U A BΦ

= ω⋅ ⋅

:= Scheitelwert (Amplitude) der Spannung

5.1.2 Kenngrößen sinusförmiger Wechselspannungen und -ströme (5.3)

( ) ( )u t kT u t+ = mit T := Zeit für eine Periode und k ∈ℤ

5.1.3 Zeigerdiagramm (i) Idee (5.4)

( )( )

( ) ( )( )

1

2

U cos t u t: u t

ˆ u tU sin t

⋅ ϕ = = ⋅ ϕ

Der Zeiger ( )U : u t 0= = hat die Länge U und den Drehwinkel 0ϕ

=> U charakterisiert (bei fester Kreisfrequenz ω ) den Spannungsverlauf ( ) ( )0ˆu t U sin t= ⋅ ω + ϕ eindeutig

(ii) allgemeine Zeigerdarstellung (5.5)

( ) ( ) u

u

U coscos t sin tˆU t D t Uˆsin t cos t U sin

⋅ ϕω − ω = ω ⋅ = ⋅ ω ω ⋅ ϕ

mit ( )D tω := Drehmatrix

(5.6)

( ) ( ) i

i

I cosI t D t

I sin

⋅ ϕ= ω ⋅

⋅ ϕ

- 24 -

5.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen 5.2.1 Ohmscher Widerstand (5.7a) und (5.7b)

IRU ⋅= u iϕ = ϕ

(5.8)

IRU ⋅=

5.2.2 Induktivität („Spule“) (5.9a) und (5.9b)

ILU ⋅⋅ω= 2

πiu =ϕ−ϕ

(5.10)

I2

πDLU ⋅

⋅⋅ω= mit 0 1π

D1 02

− =

;

πL D

2

ω⋅ ⋅

entspricht Widerstand mit Phasendrehung um π2

+ (Blindwiderstand, Reaktanz)

5.2.3 Kapazität („Kondensator“) (5.11a) und (5.11b)

UCI ⋅⋅ω= 2

πiu −=ϕ−ϕ

(5.12)

I2

πD

C

1U ⋅

−⋅⋅ω

= mit 0 1π

D1 02

= − ;

1 πD

C 2

⋅ − ω⋅ entspricht Widerstand mit Phasendrehung um

π2

− (Blindwiderstand, Reaktanz)

πC D

2

ω⋅ ⋅

entspricht Leitwert mit Phasendrehung um π2

+ (Blindleitwert, Suszeptanz)

5.2.4 Parasitäre Elemente, Gültigkeit der quasistationären Näherung

p p

u i1 1min ,

L i C uα α

α α

ω ⋅ ⋅

≪ , also bei kleinen Frequenzen arbeiten. Typische Werte: f 1MHz≪

mit pL := Leitungsinduktivität, pC := Leitungskapazität und R,L,Cα =

- 25 -

5.2.5 Kirchhoffsche Regeln bei quasistationären Bedingungen (i) Momentanwerte am Zeitpunkt t (parasitäre Ströme und Spannungen vernachlässigt) (5.13) und (5.14)

( )kt R

k

i t 0∈∀ =∑ am Knoten

( ) ( )k et R

k

u t u t∈∀ =∑ längs Maschen; mit ( )eu t := eingeprägte Spannungen

(ii) Zeigerdarstellung (falls alle Ströme und Spannungen sinusförmig) (5.15) und (5.16)

∑ =k

k 0I ek

k UU =∑ Kirchhoffsche Regeln in Zeigerdarstellung

5.3 Wechselstromrechnung mit Hilfe komplexer Zahlen 5.3.1 Komplexe Zahlen (i) komplexe Zahlen = Zeiger mit Addition und Multiplikation 2 , , )= + ⋅ℂ ℝ

( ) ( )U V U V1 1 1 1U V : U V j U V

1 1 2 2U V U V2 2 2 2

+ + = + = = + + ⋅ + +

Zeigeraddition

( ) ( )1 1 1 1 2 21 1 2 2 1 2 2 1

2 2 1 2 2 1

U V U V U VU V U V U V j U V U V

U V U V U V

− ⋅ = ⋅ = = − + ⋅ + +

Zeigermultiplikation

(ii) Satz: 2 , , )= + ⋅ℂ ℝ ist ein Körper

Es gelten für komplexe Zahlen dieselben Rechenregeln wie bei reellen Zahlen (5.17)

1j2 −= mit 2e1

0:j =

=

(iii) Darstellung in Real- und Imaginärteil (=kartesische Koordinaten) (5.18)

21 UjUU ⋅+=

(iv) Darstellung in Polarkoordinaten (5.19)

( )cosZ r r cos j sin

sin

ϕ = ⋅ = ⋅ ϕ + ⋅ ϕ ϕ

(5.20a)

2 2r Z : a b= = + Länge des Zeigers Z ; mit a

Z :b

=

- 26 -

(5.20b)

a

btan =ϕ => ( ) b

arg z arctana

ϕ = = mit 0 2≤ ϕ ≤ π

(v) konjugiert komplexe Zahl

( )* jz a jb r cos j sin r e− ϕ= − = ⋅ ϕ + ⋅ ϕ = ⋅

(vi) Berechnung von Quotienten („Nenner reell machen“)

2

*

*

*

V

VU

VV

VU:

V

U ⋅=⋅⋅=

5.3.2 Drehungen in ℂ ; Eulersche Formel

(i) komplexe Exponentialfunktion (5.21)

nZ

n 0

1e Z

n!

∞

=

= ⋅∑

(5.22)

ϕ⋅+ϕ=ϕ sinjcose j Eulersche Formel

(ii) (5.23)

( ) jZ r cos j sin r e ϕ= ⋅ ϕ + ⋅ ϕ = ⋅ zargjezz ⋅⋅=

(5.24)

( ) ϕ=ϕ⋅+ϕ=ϕ jesinjcosd mit π20 ⋅<ϕ≤ („Einheitszeiger“)

Multiplikation von ( )d ϕ mit Z∈ℂ ist Drehung von Z um Winkel ϕ im Gegenzeigersinn

(iii)

Drehungen in ( )2ℝ ℂ sind additiv:

• ( ) ( ) ( )j jd d e e dϕ ψϕ ⋅ ψ = ⋅ = ϕ + ψ

• ( ) ( ) ( )D D Dϕ ⋅ ψ = ϕ + ψ Matrixschreibweise; mit ( )D tω := Drehmatrix

5.3.3 Komplexe Zahlen als Drehstreckungen im 2ℝ (i)

• Drehung um ϕ entspricht einer Multiplikation mit ϕje

• Streckung um Faktor r entspricht einer Multiplikation mit r ∈ℝ

=> Eine Drehstreckung entspricht einer Multiplikation mit ϕ⋅ jer

(ii)

Jede komplexe Zahl lässt sich als Drehstreckung im 2ℝ auffassen und umgekehrt

- 27 -

(iii) (5.25)

speziell gilt: Z U Z U⋅ = ⋅ für Z, U ∈ℂ

5.3.4 Wechselstromzeigerdiagramm in komplexer Darstellung (i) Spannungs- und Stromzeiger (5.26) und (5.27)

ujeUU ϕ⋅= ijeII ϕ⋅= Anfangswerte

(5.28) und (5.29)

( ) ( ) ( )uj tj tˆ ˆ ˆU t D t U e U U e ⋅ ω +ϕω= ω ⋅ = ⋅ = ⋅ Momentanwerte

( ) ( ) ( )ij tj tˆ ˆ ˆI t D t I e I I e ⋅ ω +ϕω= ω = ⋅ = ⋅

(ii) lineare Bauelemente (5.30)

ˆ ˆU Z I= ⋅ komplexes Ohmsches Gesetz; mit Z := komplexer Scheinwiderstand (Impedanz)

(5.31) und (5.32)

IZU ⋅= für jz z e ⋅ψ= ⋅ ; mit Z := Impedanz

( )u i arg Z ψϕ + ϕ = =

(5.33)

UYUZ

1I ⋅=⋅= mit jψ1 1

Y eZ Z

−= = ⋅ := komplexer Scheinleitwert (Admittanz)

(iii) Beispiele: a) Ohmscher Widerstand

RZ = 1 1

Y GZ R

= = = RZ = ( )u i arg Z 0ϕ − ϕ = =

b) Induktivität (5.34)

Z

ˆ ˆU j L I= ω ⋅ 1

Yj L

=ω

Z L= ω ( )2

πZargiu ==ϕ−ϕ

c) Kapazität (5.35)

Z

1ˆ ˆU Ij C

= ⋅ω

Y j C= ω 1

ZC

=ω

( )2

πZargiu −==ϕ−ϕ

- 28 -

5.4 Einfache Schaltungen aus R, L und C 5.4.1 R und L in Serie geschaltet (RL-Glied) (5.36)

Z R j L= + ω Impedanz

222 LRZ ω+= Scheinwiderstand

(5.37)

21 ZZZ += Serienschaltung von Impedanzen

(5.37a) und (5.37b)

ILRU 222e ⋅ω+=

( )e i

Larg Z arctan

R

ωϕ − ϕ = =

Übungsaufgabe 30: Scheinleistung und Wirkleistung (R und L in Serie)

IU2

1P s ⋅⋅= Scheinleistung

( )w

1 ˆ ˆP U I cos2

= ⋅ ⋅ ⋅ ϕ 2 2B S WP P P= − Wirkleistung wP und Blindleistung BP

5.4.2 R und C parallel geschaltet (RC-Glied) (5.38)

1Y G j C j C

R= + ω = + ω Admittanz

2 2 2Y G C= + ω Scheinleitwert

21 YYY += YZZ

ZZ

Z

1

Z

1

Z

1

21

21

21

=⋅+

=+= Parallelschaltung zweier Impedanzen 1Z und 2Z

(5.39a) und (5.39b)

2 2 2e e

ˆ ˆI G C U= + ω ⋅ ( ) ( )i e

Carg Y arctan arctan R C

G

ω ϕ − ϕ = = = ω

mit e i 02

π− ≤ ϕ − ϕ ≤

5.4.3 Gedämpftes LC-Glied

RLZ R j L= + ω Serienschaltung von R und L , parallel zu C

(5.40)

RL

1 1Y j C

Z Z= = ω +

(5.41)

21 LC j R CY

R j L

− ω + ω=+ ω

- 29 -

(5.42)

( )2 2 2 4 2 2

2 2 2

1 R C 2 LC L CY

R L

+ ω ⋅ − + ω=

+ ω

(5.43) und (5.44)

( ) ( )2 2 2i e 2

R L L 1arg Y arctan arctan arctan C R L L

R R1 LC

ω ω = ϕ − ϕ = − = ⋅ ω⋅ + ω − ω − ω Phasenwinkel

5.5 Leistung und Effektivwerte 5.5.1 Momentane Leistung (5.45)

( ) ( )m

u i u i

Mittelwert: P Mittelwert: 0

1 1ˆ ˆ ˆ ˆp(t) U I cos U I cos 2 t2 2

= ⋅ ⋅ ⋅ ϕ − ϕ − ⋅ ⋅ ⋅ ω + ϕ + ϕ

(5.46)

( )ium cosIU2

1P ϕ−ϕ⋅⋅⋅= Mittelwert

Eine Schaltung enthält einen Energiespeicher (z.B. 2UC2

1 ⋅⋅ oder 2IL2

1 ⋅⋅ ), falls u i 0∆ϕ = ϕ − ϕ ≠

5.5.2 Wirkleistung, Effektivwerte (i) Def. (5.47)

( ) ( )T

w m

0

1 1 ˆ ˆP : p t dt P U I cosT 2

= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ∆ϕ∫ mit u i∆ϕ = ϕ − ϕ

(5.48)

( )∫ ⋅⋅=T

0

2eff dttu

T

1:U

(5.49)

( )∫ ⋅⋅=T

0

2eff dtti

T

1:I

(5.50) und (5.51)

U2

1U eff ⋅= I

2

1I eff ⋅=

(5.52)

( ) ( )w eff eff u i eff effP U I cos U I cos= ⋅ ⋅ ϕ − ϕ = ⋅ ⋅ ϕ mit u iϕ = ϕ − ϕ := „relativer Phasenwinkel“;

oft wird „eff“ weggelassen! (5.53)

U2

1U ⋅= I

2

1I ⋅= komplexe Effektivwerte

- 30 -

(ii) komplexe Schreibweise für Leistung (5.54)

* *

w B

1 ˆ ˆP : U I U I P j P2

= ⋅ ⋅ = ⋅ = + ⋅ komplexer Leistungszeiger

(5.55) und (5.56)

( )eff effP U I cos j sin= ⋅ ⋅ ϕ + ⋅ ϕ ( )wP Re P= mit u iϕ = ϕ − ϕ

(iii) Beispiele a) ohmscher Widerstand (5.57)

effeffw IUP ⋅= , also 1cos =ϕ !

b) Spule

( )wP Re P 0= = , also 0cos =ϕ mit 2

π=ϕ !

c) Kondensator

( )wP Re P 0= = , also 0cos =ϕ mit 2

π−=ϕ !

5.5.3 Energiespeichernde Elemente (i) Spule (5.58)

( ) ( )mag 2dW 1 ˆp t L I sin 2 t

dt 2= = ω ⋅ ω

( )T

W

0

1P p t dt 0

T= =∫

(ii) Kondensator (5.59)

( ) ( ) ( ) ( )2eldW 1 ˆp t u t i t C U sin 2 tdt 2

= = ⋅ − ⋅ω ⋅ ω

( )T

W

0

1P p t dt 0

T= =∫

5.5.4 Scheinleistung und Blindleistung (i) Leistungsbilanz bei linearen Elementen (5.60)

( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2eff

zugeführte Anteil an im Zunahme oder Abnahme an gespeicherter

(Netto ) System verbrauchte >dWLeistung Leistung 0 Energie = = 0dt

<

p t Re Z i t Im Z I sin 2 t

−

≥

= ⋅ + ⋅ ⋅ ω

- 31 -

(5.61)

( ) ( )dt

dWtiRtp 2

w +⋅= Leistungsbilanzgleichung mit ( )wR : Re Z= (Wirkwiderstand) und

( ) ( )2eff

dWIm Z I sin 2 t

dt= ⋅ ⋅ ω

( ) ( ) ( )T T

2 2W w eff

0 0

1 1P p t dt R i t dt Re Z I

T T= = ⋅ = ⋅∫ ∫ = mittlere verbrauchte Leistung 0≥

(ii) Blindleistung (5.63)

( ) 2B effP : Im Z I= ⋅ Blindleistung

(5.64)

( ) ( )( ) ( )w Bp t P 1 cos 2 t P sin 2 t= ⋅ − ω + ⋅ ω

(iv) komplexe Zeigerdarstellung (5.65a)

( )* 2effP Z I I Z I= ⋅ ⋅ = ⋅

(5.66)

( ) ( )w B

2 2eff eff

P P

P Re Z I j Im Z I= ⋅ + ⋅ ⋅

(5.65b)

* * * 2effP U I U Y U Y U= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

(5.67)

P:P s = Scheinleistung

(5.68)

2B

2w

2s PPP +=

(5.69)

effeff*

s IUIUIUP ⋅=⋅=⋅=

(5.70) und (5.71)

w sP P cos= ⋅ ϕ B sP P sin= ⋅ ϕ

(5.72)

( )( )

Im Ztan

Re Zϕ =

- 32 -

5.5.5 Energieaustausch zwischen Kapazitäten und Induktivitäten (i) Impedanz (bei Parallelschaltung von Kondensator und Spule) (5.73)

e 2

j Lˆ ˆU I1 L C

ω= ⋅− ω

(5.74) und (5.75)

( ) 2

LZ

1 LC

ωω =− ω

u i

π 1, für

2 LC∆ π 1

, für2 LC

+ ω <ϕ = ϕ − ϕ = − ω >

(ii) Leistung

0P w = 2

2 2B eff eff2

L 1 LCP I U

L1 LC

ω − ω= ⋅ = ⋅ω− ω

Spezialfall für 1

L Cω = : LC-Glied nimmt überhaupt keine momentane Leistung auf, d.h. ( ) 0tp ≡

(iii) gespeicherte Energie (5.76)

( ) ( ) ( )2 2 2L L L

1 1 ˆW t L i t L I sin t2 2

= ⋅ = ⋅ ⋅ ω Energie in Spule

(5.77)

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2C L

1 1 1ˆ ˆW t C u t cos t C U C L I cos t2 2 2

= ⋅ ⋅ ω = ⋅ = ω ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω Energie in Kondensator

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2L C L

1 ˆW t W t W t L I sin t L C cos t2

= + = ⋅ ⋅ ω + ω ⋅ ⋅ ⋅ ω gespeicherte Gesamtenergie

(5.78a) und (5.78b)

( ) ( ) ( )2L

dW ˆ ˆU I 1 LC sin t cos tdt

= ⋅ ⋅ − ω ⋅ ω ⋅ ω zeitliche Änderung der Gesamtenergie

( ) ( )2

2dW 1 LCU sin t cos t

dt L

− ω= ⋅ ⋅ ω ⋅ ωω

Spezialfall: 1

L Cω = (Resonanz): ( ) dW

W t const. 0dt

= ⇒ =

( ) ( ) ( )2

2dW 1 LCˆp t U sin t cos tdt L

− ω= = ⋅ ⋅ ω ⋅ ωω

zugeführte Leistung

Falls 1

L Cω = (Resonanz): ( )p t 0=

=> es wird nur zwischen L und C Energie ausgetauscht ( => Schwingkreis)

- 33 -

5.6 Gedämpfter Schwingkreis - eine Fallstudie (LC-Parallelkreis, R und L in Reihe) 5.6.1 Resonanzverhalten bei erzwungener Schwingung [vgl. (5.41) und Übungsaufgabe 30] (i) komplexe Impedanz (5.80)

( ) 12 2

2

0

1 jR j LZ R

1 LC j RC1 j

+ ωτ+ ωω = = ⋅− ω + ω ω− + ωτ ω

mit 1

L:

Rτ = , 2 : RCτ = und 0

1:

LCω =

(ii) Schweinwiderstand (5.81)

( )2

2 21

4

2 2

200

1Z R

21

+ ω τω = ⋅

ω+ ω τ − + ωω

(iii) Resonanzverschiebung (5.82)

2 2r 0

1 1

1 2τ τ

ω = ω ⋅ + −τ τ

(iv) Dämpfungsverhalten (5.83)

22

1

R C1 2

L

τ⋅ = < +τ

Fazit: bei erzwungenen Schwingungen gilt…:

Widerstand Dämpfung Resonanzfrequenz Impedanz

R=0 Ungedämpft r 0ω = ω hat Pol bei 0ω 2R C

1 2L

< + unterkritisch r 00 < ω < ω hat Maximum ( )rZ Rω >

2R C1 2

L= + kritisch r 0ω = ( )rZ Rω =

2R C1 2

L> + überkritisch kein rω ( )Z Rω ≤

(v) Phasenwinkel (5.84)

( ) ( )3 1u i 2 1 2

0

arctan arctan f τ

ϕ − ϕ = − ω⋅ τ − τ + ω ⋅ = − ω ω

(5.85)

2

R 0

R C1

Lω = ω ⋅ −

- 34 -

Es gilt: • R 0ω ≤ ω

• Rω existiert nur im unterkritischen und kritischen Fall, d.h. nur für 2R C

1 2L

≤ +

• R rω ≤ ω

Rω := ω bei u i 0ϕ − ϕ = mit R 0≠

0ω := ω bei u i 0ϕ − ϕ = mit R 0=

5.6.2 Energiebilanz für erzwungene Schwingungen (i) Leistung (5.86)

1

2 2eff eff

W 2 2 2 2 2

R U U1P

RR L 1

⋅= = ⋅

+ ω + ω τ Wirkleistung

(5.87)

1

2

1 2 12

0eff

B 2 2

UP

R1

ω ω⋅ τ − τ − ⋅ τ ω = ⋅

+ ω τ Blindleistung

Es gilt: • WP 0> (wegen ohmschen Verlust)

• Falls 2

2 1

R C1

L

τ > τ ⇔ >

: ( )BP 0ω < für alle ω

• Falls 2

2 1

R C1

L

τ ≤ τ ⇔ ≤

: ( ) R

BR

00 fürP

0 für

< ω < ω>ω = ω < ω<

(ii) momentane Leistungs- und Energiebilanz (5.88)

( ) ( )

CLR

0>

=0

<

dWdWp t p t

dt dt>

= + +

5.7 Transformator in komplexer Rechnung 5.7.1 Transformator-Gleichungen

( ) ( ) ( )N

kk k k kj

j 1

diu t R i t L t

dt=

= + + ⋅∑

kR und k1 kNL L… befinden sich in Reihe. Es gilt: kj jkL L=

- 35 -

(iv) komplexe Trafo-Gleichungen (5.89)

( )N

k k jk k kk k jj k

U R j L I j L I≠

= + ω ⋅ + ω ⋅∑ komplexe Trafo-Gleichungen

11 1 11 12 1N

22 21 2 22

NN N1 N NN

IU R j L j L j L

IU j L R j L

IU j L R j L

+ ω ω ω ω + ω = ⋅ ω + ω

⋯

⋮

⋮⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯

Matrixschreibweise

(v) Spezialfall: Trafo mit zwei Wicklungen (Primär- und Sekundärwicklung) (5.90) und (5.91)

11 1 1

22 2 2

IU R j L j M

IU j M R j L

+ ω ω = ⋅ ω + ω

mit 1 11L : L= , 2 22L : L= und 12 21M : L L= =

entspricht dem Widerstand eines Zweitors (bzw. Vierpols):

11 11 12

22 21 22

IU Z Z

IU Z Z

= ⋅

( 1I und 2I fließen in den Vierpol hinein)

6.7.2 Transformator mit sekundärseitigem Verbraucher Schaltplan: siehe Skript „Elektrizitätslehre“ auf S. 221 (5.6.2 Sekundärseitig belasteter Transformator) (5.92)

( ) ( )2 1 2 21 1 2 2

j M ZU U

R j L Z R j L M

ω ⋅= ⋅+ ω ⋅ + + ω + ω

( ) ( )2 2

2 1 2 21 1 2 2

Z R j LI I

R j L Z R j L M

+ + ω= ⋅

+ ω ⋅ + + ω + ω

mit 1U : Spannungsquelle; Z : Impedanz des Verbrauchernetzwerks; 1R und 1L bzw. 2R und 2L in Serie

(ii) Kenngrößen (5.93)

2 1

2

2 2 21 I 0 1

U M

U R L=

ω= + ω

Spannungsübersetzung

(5.93)

22

2

2 2 21 2U 0

I M

I R L=

ω= + ω Stromübersetzung

( ) ( )2 2 1

22

2 2 2 2 2 21 1I 0 U 0 1 2 2

IU M

U I R L R L= =

ω⋅ = + ω ⋅ + ω Kopplungsfaktor