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Elektronenquantisierung (1) X Semiklassische Quantentheorie der Wechselwirkung von Licht und Materie 1 Quantisierung von Ladungsträgern und makroskopische Mittlung Bestes Konzept: Zweite Quantisierung, führt zu weit, verwenden eine didaktische Vereinfachung: elektronische Ladungsdichte über Wahrscheinlichkeitsdichte darstellen (q: Ladung) Wellenfunktion eines Elektrons mit Ansatz aus QM: , wobei: El-Feld (z.B. H-Atom Lösungen) freie u. El-Feld Wechselwirkung gebundene Elektronen für Teilchensorte “i” mit Ladung q Mittelung: Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.1/30

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Elektronenquantisierung (1)

X Semiklassische Quantentheorie der Wechselwirkung von Licht und Materie

1 Quantisierung von Ladungsträgern und makroskopische Mittlung

Bestes Konzept: Zweite Quantisierung, führt zu weit,verwenden eine didaktische Vereinfachung:

elektronische Ladungsdichte � ��� � � � über Wahrscheinlichkeitsdichte darstellen(q: Ladung)

Wellenfunktion eines Elektrons� ��� � � � � � ��� � � � � � � � � �

mit Ansatz aus QM:

� � �� �� � � ��� � � � �

, wobei:

� � �������� � � �

El-Feld� �� � � ��� � � � �� � � (z.B. H-Atom Lösungen)

freie u. El-Feld Wechselwirkunggebundene Elektronen

� � � � ��

� � ��� � �� � � � � � � � �"! � #

� � � � � �� # � � ��� � ��� � � � # � � �

für Teilchensorte “i” mit Ladung q

Mittelung:

$ � ��� � � �% � � ! � #

� � � � � �� � � � & ' � (*) ��� � � ( � � � � � ( � � � # � � ( �

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.1/30

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Elektronenquantisierung 2

Mittlung am Bsp. gebundener Ladungen:

Wellenfunktion � � � � �

(Einelektronenorbital)) mittelt über ein MolekülElektronenkoordinate wird dargestellt als

��� � � (

, wobei

�� der Ort des i-ten Moleküls ist:

ϕm

(r’ − R ) Ri

r’

i

$ � � � � � � % � � ! � #

�� � � � �� # � � � & ' � ( ) ��� � � ( ��

� � � � ( � �� � � � # � � ( � �� �

� � ! � #! �

� � � � � �� # � � � & ' � ( ) � � � � ( � �� � � � � � ( � � � # � � ( �

weil die Wellenfunktion stark mit

� � ( �

abfällt und das Integral abschneidet machtman nur einen kleinen Fehler wenn man g nach

� � ( �

entwickelt

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Elektronenquantisierung 3

Taylorreihe:

� �"! � #! �

� � �� # & ' � ( � � � � ( � � � # � � ( �

� �� ��� � #

) ��� � �� �

� �� �

�"! � � �� � � ) � � � �� �!makroskopische El-Dichte am Ort � wird durch Ionen kompensiert

� � ! � #! �

� � �� # & ' � ( � � ��� ( � � ( � � # � � ( ���

��� ) � � � �� �

� �� �

� �"! � #! � � � �� # �� � # � �� ) ��� � �� �

$ �% � �� � � � � � � �� �

� ��� � � � + Quadrupolanteile

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Elektronenquantisierung 4

�� � # � & ' � ( � � ��� ( � � ( � � # � � ( �

Dipolmoment des Moleküls/Atoms zwischen Zustand m, m’.

QM- Übergangsamplitude zwischen � � � ( erzeugt Dipoldichte P

��� quantenmechanische Dipoldichte

�� ! � ! � #

� � � � � �� # � � � ��"! � # ) ��� � �� �als Summe über alle Atome an den Positionen

��mit Dipolmomenten

�� � # und den zeitabhängigenWahrscheinlichkeitsamplituden � � � � � � (� � � �

die Zeitverlauf derQuantendynamik beschreiben

zB: 1 Atom bei

�� � �

und g als stark lokalisiert auf mesoskopischer Ebene:) � �� � � � � � � � �

Analog kann der Strom beschrieben werden:

� � � � � �� � �

Magnetisierung/Quadrapolanteile

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Bewegungsgl. f. die Ladungen 5

2. Quantenmechanische Bewegungsgleichungen für gebundene Elektronen��� � � � ��� � � � � � � �� �

, wenn

� � �� � � � ��

� ��� � � � ��

� � � � � �� � �.

In quantenmechanischer Beschreibung: �� � � �

(m: 1-N Niveaus) gesucht

� �� � � � � � mit

� � � � � �

ww � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �

Ansatz: � �

�� �� � � � � � � � � � � N-Niveau System am Ort

��

� ��

� � � � � � � � ��

� � � � � �� � � � �

Multipl. mit � � ��� �

und Int. über den Raum� & ' � �

� �� �� � � � ��

� � � � � �� �

�� � � & ' � � � ��� � ��� � � ��� �

� & ' � � � ��� � � � � � ��� �

� �� �

� � � ��

� & ' � � � ��� � � � � ��� �� � �� �

� �� �

�� �� � �� �

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Bewegungsgl. f. die Ladungen (6)

�� � � & ' � � � ��� � � � � ��� �

Dipolmoment des Atoms/moleküls

Zur besseren Interpretation : 2-Niveaus,

� � � � � � �

Zweiniveausystem am Ort

��

2

1

� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � && � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude von 1 nach 2

1.Term: freie Bewegung, 2.Term: Felder als Quellen des Übergangs

� � � � � � � � � Besetzungswahrscheinlichkeit des Zustands 1, 2 analog

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Bewegungsgl. f. die Ladungen (7)

Interpretation von �� � (Gleichungen später)als Besetzungswahrscheinlichkeit des Zustands i� � � � � � � � � entspricht Pauli-Blocking (Fermionen!) - Erhöhung von � � � �verringert die weiter Erhöhung / Ankopplung an LichtFür Gleichbesetzung ergibt sich 0 für Differenzkeine Ankopplung an das Lichtfeld(induzierte Emission und Absorption sind gleich!)

Verallgemeinerung für viele Atome an Positionen

�� und Dipoldichte P:

� � � � � � ��

� � � �� � � � � � ) ��� � �� � � ��� � �

� � ����� � �

���� � � � ��� � � �

� � �� � � � � � � � � ��� � � ��

�� � Mittlungsvolumen �) � � �� ��� � �

�� � Zahl der atomaren Systeme in

��

� � � Anzahldichte der atomaren Systeme � � � � �� � ��

also für Ortsabhängigkeiten (phänomenologisch):

� � � � ��� � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

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Bewegungsgl. f. die Ladungen (8)

Grenzfall der linearen Optik:

� � � � � � � � � � festgehalten, wird nicht von E getrieben,sonst wäre dieser Term von E abhängig und damit die Antwort nichtlinear

Real, Imaginärteil:

� � � � � � �� � � � �� �

� � � � � � � � � � �� � � � � � � �

�� � � � � �� � �� � �� �

� �� �� � � �� � � � � � � � � � �

��� � �� �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

stellt die Gleichung für die Dipoldichte P darentspricht FAST klassischem Oszillatorergebnis(gilt nur im Grenzfall linearer Optik)

allerdings jetzt alle Kopplungen quantenmechanisch bestimmt

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Bewegungsgl. f. die Ladungen (9)

Definition der linearen Suszeptibilität � im Frequenzraum

� � � � � � � � � ��� � � � � � � �

��� � � �� � � � � � � � � � �

� �

�� � � � �� � � �� � �

erinnert an klassischen harmonischen OszillatorErgebnis wird aber mit

� � � � � � � � � also der Inversion multipliziert, dieserFaktor ist nichtklassisch und bewirkt bei stärkerer Besetzung des oberenNiveaus im Vergleich des oberen Niveaus einen Vorzeichenwechsel und damitden Wechsel von Absorption (Im � >0) zu Verstärkung Im � < 0! (stimulierteEmission), siehe späteres Kapitelist essentiell für den Laserprozess!!

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Abstrahlung atomarer Systeme (10)

3. Abstrahlung atomarer Systeme:Strahlungsdämpfung und Superradianz

betrachten eine Ansammulung von strahlungsfähigen Dipolsystemen(Antennen, atomare Systeme)

durch die Abstrahlung von Energie muß Dipolschwingung abklingen(Energieerhaltung), dieser Dämpfungsmechanismus wirdStrahlungsdämpfung genannt

Rechnung erfolgt im Fourierraum:

� ��

�� � � �� � � �� �) � � � �� �

Summe über alle strahlenden Systeme�

mit Dipolmoment

�� � � und derÜbergangswahrscheinlichkeitsamplitude �� � � �� �

. ) ��� �

ist die Funktion, dieüber den Raum mittelt, die Verteilung der atomaren Systeme sei inVolumen

� � '

� �� �� � � �� � � � �� � � �� � � �� � � � ��� � � �� � � � � � � � � � � � � ��

ist die Gleichung für die Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude imFourierraum,

� ist das elektrische Feld am i-ten Dipol,

� � �

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Strahlungsdämpfung und Superradianz (11)

Weiterhin gilt die Wellengleichung, die den Abstrahlungsprozeßbeschreibt:

� � �� � � � �

� ��� � � � � & ' � ( �� � ��� �� # �

� � � � ( �� �

��� ��� ( � � �

� ��� � � � � & ' � ( �� � ��� �� # �

� � � � ( �

��� � � � ��� ( � � �

� �� � � � � � & ' � ( � �� � �

��� � �� � � � ( � � � � � �

��� � � ��

( � ��� ( � � � �� � �� �� # �

� � � � ( � �

��� � � � � � � ��� �

�� � � �� � & ' � ( � � � � � �� �

� ��

( � �� � �) � � ( � �� � �� � ��� �� # �

� � � � ( �

Da alle Systeme

in einem Volumen kleiner

� '

sind, kann man für alleSysteme ein identische Dynamik voraussetzen:�� � � � � � � weiterhin

�� � � � �

(identische Dipole annehmen)� � � � � ( � � �

, weil wir kleine Volumen des atomaren Systeme gegen dieWellenlänge annehmen, Taylorreihe der Exponentialfunktion

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Strahlungsdämpfung und Superradianz (12)

Nehmen nur den ersten Anteil der Summe rechts weiter mit (didaktischeVereinfachung).Der erste Term der Taylor-Entwicklung ist eine Realteil in denBewegungsgleichungen und beschreibt i.a. einen unendlich grossenEnergieshift, ist allgemeines Problem der ED mit Punktteilchen (bis heute inQED: weglassen von Unendlichkeiten (Renormierung)!).Der 2. Term der Taylor-Entwicklung dieses Beitrags einen Imaginärteil, dieserbringt später eine neue Struktur in die Materialgleichungen, den nehmen wirmit!

��� � � � �� �� � �

��

� � � � � � �� ��

& ' � (� ) ��� ( � �� � �

( Annahme: alle Systeme am Koordinatenursprung

�� � �

)

� �� � �� � Anzahl der atomaren Systeme

��� � � � � ��' �

�� � �� � � � � � � �� �

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Strahlungsdämpfung und Superradianz (13)

Einsetzen des Felds in die � � � Gleichung:

� �� � � � �� � � �� � � �� � � � �' � ��

�� � � � � � � � � � � � �� �Die Gleichung für die Übergangsamplitude läßt sich daher im Zeitraumschreiben als:

�� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �rad

� � � � � �

rad

� �� ��

rad � ��

rad

� � �� �� '� � �

�� � �

wobei � � � � � gesetzt wurde um die FT zu ermöglichen(Resonanzapproximation).

man erkennt eine gedämpfte Schwingung

typisches atomares ��

rad� �

� � � � � � � � � � für einen atomaren Übergang

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.13/30

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Strahlungsdämpfung und Superradianz (14)

wenn also der atomare Oszillator Licht abstrahlt, so muss die OszillationEnergie verlieren, dies wird durch die Dämpfung � � beschriebenist proportional zum Dipolmoment hoch 2 und zu Schwingungsfrequenzhoch 3.

Quanten-ED: mittlere Zeit für Emissionsvorgang (Photonabstrahlung) ist

� �

rad, diese Rate entspricht dem Einsteinkoeffizienten für die spontaneEmissiondie Dämpfung der Schwingungsamplitude � � � der atomaren Systeme, ineinem Volumen kleiner als

� '

, ist proportional zu Anzahl der Systeme

��

(Superradianz=erhöhte Wahrscheinlichkeit der Abstrahlung pro Zeit,weil sich

�� Oszillatoren in der Phase überlagern, gilt auch für Antennen)

oftmals werden mehrere Antennen aufgestellt um der superradianteEffekt auszunutzen, denn man kann zeigen, daß auch die Intensität derEmission um

� �� und nicht nur um

�� erhöht wird

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.14/30

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Theorie der Laseremission (15)

4. Theorie der LaseremissionAufbau:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

L x

Resonator mit Medium (zweiniveausystem)

Stehende Wellen zwischen Spiegeln(Abstand L).Zweiniveausystem mit

� � � � � � � � � � � � �

(Inversion).Spiegel sind durchlässig, um Laseremissionnach außen zu ermöglichen.

3.1 Beschreibung des LichtsIm Resonator:

� � � � � � ��

� � � � ��� � � � � � � � � � � � ��

� � � � ��� � � � �

� � � � �

sind die Moden, die der Resonater zuläßt. Wir nehmen diese alsbekannt an, z.B. im 1d-System: � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � �

(siehe Kap. zu Wellenleitern und Resonatoren)

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.15/30

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Beschreibung des Lichts (16)

Die Moden � � � � sind ein vollständiges System im Resonator und befriedigendie Randbedingungen an idealen Metallen, zB 1d:

� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� ��

� � �� � � �

� � � � ��

� � � �� �

: Dipoldichte (Zweiniveausysteme)

: Verluste an SpiegelnBehandlung der Wellengleichung:

Modenentwicklung des Felds in

� � � � � ��

� � � � �� �

einsetzen.Mit Hilfe Orthonomalität der Moden

� � & ' � � � � � ��� � # ��� � � � � � # � eineGleichung für Komponente

� � � � � herleiten:

� ��

� � � � � � � � � � � ��� #

� � � # �� � � # � � � � �� � ��

� � � � �

� � � # � & ' � � � ��� � � ��� ��� � # ��� � � � � � # � � � falls � � � � �konstant

� � � � � � & ' � � � ��� � � � � � � � � & ' � � � � � ��

� � � �� � � � � � � �� � � � � � �

��

� � ���� � �� � � � � � � � � � �

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.16/30

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Beschreibung des Lichts (17)

Drehwellennäherung (Rotating wave approximation)Anteil mit � �� �� �

werden getrennt, man teilt die Wellengleichung in 2Gleichungen, nach der Oszillationsfrequenz in der Gleichung für � � �

( � � �� ���

) bzw. � � � ( � � �� ���

) , gibt 2 Gleichungen

:

� ��

� � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � �� � ��

� �

Näherung der langsam veränderlichen Amplitude

� �

(Slowly varying envelope)

� �� � � � � � � � �� �� � � � �� � � � � � � � �� � � � �

� ��

� � � � � � � � � � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � � �� � �� � � � � � �� � � � ��

� ��

� �� � �� � � � ��

� �� � �� � � � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � � � � �� � � � � ��

�� � �� � � � �� � � � � � � �� � � � �� � � � �� � � � � �� � �

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.17/30

Page 18: X Semiklassische Quantentheorie der Wechselwirkung von ...€¦ · Elektronenquantisierung 2 Mittlung am Bsp. gebundener Ladungen: Wellenfunktion (Einelektronenorbital)) mittelt über

Beschreibung des Lichts (18)

Dimensionslose Größe für Lichtmoden

� � :

� �� � � �� �� � �

� � �

�� � � � � � �� � � � � � � � � � �� � �

� � ��� � �

� � � �� � �� � � � � �

�� � � � � � �� � � � � � � � � ��

) �� �� � �

ist die Gleichung für die Stärke einer Lichtmode

im Resonator.Der Kopplungsparameter ) �� der Lichtmode mit dem i-ten Atom ist mit

� � � � � �� � � � �

� � �� �

gegeben.

Die erste beiden Terme auf der rechten Seite beschreiben die Oszillation unddie Dämpfung der Mode im Resonator. Der nächste Term zeigt, daß dieDipolschwingungen

� � � in der Materie (in den Atomen) diese Moden antreiben.Stellt inhomogene Differentialgleichung dar.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.18/30

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Beschreibung des Lichts (19)

3.2 Beschreibung der Materie

erfolgt über die Bewegungsgleichungen der Zweiniveauatome:

�� �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � ��� �

,�� � � �

: Feld an der Stelle des Atoms

� � � � � � � : Besetzungswahrscheinlichkeiten� � � � � � � : Übergangsamplituden�� � � : Übergangsenergie

|2>

|1>

ρ0ω

ρ

ρ

22

11

h 21

Interpretation: Oszillatorgleichung für Übergangsamplituden, das Licht treibtdie Übergänge, Pauli-Blocking

ist wirksam. Ankopplung nur an Übergängezwischen elektronischen Niveaus mit nichtverschwindendemDipolmatrixelement. Die Gleichungen für die Besetzungswahrscheinlichkeitenmüssen abgeleitet werden, da diese bei der Laserbeschreibung wichtig sind.Die Lasergleichungen werden nichtlineare Differentialgleichungen sein.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.19/30

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Beschreibung der Materie (20)

Umformung mit den normierten Feldamplituden

�� �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � ��

��� � ���� � �� �

� � � � � � �� � � � ��� �

�� �� � � � � � �� � � � � � �� � � � ��

) �� � � � �� � � � ��� �

�� Dämpfungsmechanismus, strahlungslos, zB Phononen

Für die Inversion gilt:

�� � � �� � � � ��� �

�� �� � � � ��

�) �� ��� � � � � ) �� �� � � � � � � � �� � � � � �

diese Gleichungen werden analog zu �� � � zu Beginn Kap.X bestimmt,Beschreiben Kopplung der Inversion an das Lichtfeld und die Relaxation derInversion zu einem Gleichgewichtswert (letzter Summand per Hand zugefügt),dabei ist

� � ein durch externe Pumpe vorgegebener stationärer Wert, gegenden das System sich bewegt (mit der Zeit

� � �

), wenn man die Lichtkopplungabschaltet () � �

):�� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �

. Bei einemHalbleiter-Laser ist dieser stationäre Wert durch den externen Pumpstromgegeben.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.20/30

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Beschreibung der Materie (21)

Diskussion der Gleichung für die Materialgleichungen:

a) Ubergangsamplituden �� � � ist Oszillatorgleichung mit der Oszillationsfrequenz

� � � des atomaren Übergangs.

� stellt Dämpfung durch Ankopplung der Umgebung dar (Phononen).Die Amplitude der Materieschwingung wird durch das Laserfeld (nachModen

entwickelt) getrieben: wird von den dominanten Moden die imLaserresonator überleben getrieben.Das Vorzeichen des Treiberterms hängt von

�� � �� � � � ��� � ab.

b) Inversion

�� � �� � � � ��� � ist Besetzungsdifferenz durch die Besetzung des

oberen Niveaus mit Elektronen.

� � � � � � ist eine quantenmechanischeGrösse, durch ihre Existenz werden die Lasergleichungen nichtlinear inder Feldstärke macht (Effekt der Quantenmechanik, nichtlineare Optik).

� � �

, Elektron ist wahrscheinlicher im unteren Zustand,� � �

wahrscheinlicher oben.Die Nichtlinearität sieht man durch iteratives Einsetzen ohne Pumpe:linear in � � � und

� � �, dann Iteration der Gleichung für die

Besetzungsdifferenz (Inversion), geht mit

� �

usw. .

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.21/30

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Lasergleichungen (22)

3.3 Lasergleichungen für den Einmodenfall

Annahme: nur eine Mode � � � � im Resonator relevant.) �� � ) � sei reell und konstant (kann durch Phasenwahl der Wellenfkt. in

� � �

immer erreicht werden).

Definitionen: � ��

��� � � � �

�� � � � �� � �

�� � � � � �� � � � � � � � �) � �

�� � � � � � � � � � � � � �) � � � � � � �

�� � � � � �� � � � � � �) �Suche nach Lösung die genau mit Resonatormode schwingt:

� � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �

��� � � � � � � � � � � � � � � � � �) � � � � � � � � � � �

Ratengleichungsnäherung: � � � � � � schnelle Relaxation,

“Versklavungsprinzip:”

� � � � �

“versklavt” die schnell relaxierende Größe � � � � � � � � � �)� � �

� ,

� � � � � � : Interpretation als Photonenzahl (prop. zur Intensität) �.Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.22/30

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Lasergleichungen (23)

einsetzen von � � in die � Gleichung ergibt 2 Lasergleichungen:

�� � � � � � � � � ��) �

� �

�� � � � � � � � �� � � � � ��� ��

�� � � � � � � � � � � � � �� �

Die beiden Gleichungen stellen die Ratengleichungen des Lasersfür Photonzahl/Inversion dar.� � � � � � � � �

müssen selbstkonsistent gelöst werden.

� kann als die Rate mit der ein angeregtes Atom ein Photon pro Zeiteinheiterzeugt, interpretiert werden:für konstantes

und ohne Resonatorverluste folgt: � � � � � � � � �

, 1 Atom mit� � � � � � � � � � � � � � � �

), d.h. man sieht ein exponentielles Anwachsen desFelds in der Zeit � � �

.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.23/30

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Stationärer Betrieb (24)

3.3.1 Stationäre Lösungen

Aus

� �Gleichung:

� � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � ��

aus � �Gleichung: � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� � � � �

� � �2 Lösungen � � � � : � � � �

oder

� � � � � � �� � � � � � � �

Für

� � � �

kann die zweite Lösung realisiert werden:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��

da � � � �� � � � � � � � � � � � � �

� �� Laserbedingung

Der gepumpte Gleichgewichtswert der Inversion

� � � �

muß groß genug sein,um die Verluste � pro Zeiteinheit in der ein Photon abgestrahlt wird zukompensieren.Dann wird � � � �

und es existiert ein Feld im Resonator.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.24/30

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Stationärer Betrieb (25)

Daher:

1. Unter einem kritischen Wert der Pumpleistung

� � � �

tritt keine Lasertätigkeitauf ( � � � �

).

2. Wenn die Pumpleistung

� � � �

den kritischen Wert überschreitet, so istLasertätigkeit � � � � �

, also eine Intensität bzw. nichtverschwindendePhotonenzahl im Resonator möglich.

Eigentlich muss die Lsg. � � � �

für

� � � � � � � � � durch eine Lösung der zeitab-hängigen Gleichungausgeschlossen werden.

n

2k/w

Laserschwelle

Lasertätigkeit

|∆0|

Lasertätigkeitkeine

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.25/30

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Dynamische Betrachtungen (26)

3.3.2 Dynamische Betrachtungen

a) Ratengleichung für �

kann für :

� �� � � � � � � � � � � � � �

abgeleitet werden (schnelle Relaxationvon

� � � , Versklavung durch langsame Feldamplitude

� � ):

� � � � � � � � � � �� � � � � � � �� �� �

� � � � � �� � � � �

Einsetzen in die Photonenzahlgleichung:

� � � � � � � � ��

� �� � � � �

Für kleine � gilt dann die folgende Ratengleichung:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

Aus dem ersten Term erhält man für eine im Resonator vorgegebenePhotonenzahl � � � � � � � � � : � � � � � � � ��� � � � ��� � �

was oberhalb derLaserschwelle eine anwachsende Photonenzahl bewirkt (stimulierte Emissionkompensiert die Verluste) oder man erhält unterhalb der Laserschwelle � �

im Verlauf der Zeit, da die Verluste überwiegen.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.26/30

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Dynamische Betrachtungen (27)

Prinzip der zeitabhängigen Lösungen:Unterhalb der Schwelle werden spontan vorhandene Photonen verbraucht, dhaus dem Resonator emittiert.Oberhalb der Laserschwelle werden spontan entstandene Photonen stimuliertverstärkt und es stellt sich im Verlauf ein stationärer Wert �

stat ein. Kann vonoben oder unten erreicht werden.

w| |−2k

| |

∆0

02w2 ∆nstat=( )

n0

n0

n0^’

toberhalb der Laserschwelleunterhalb der Laserschwelle

t

Γ

Bisher leider der Startprozess über spontane Photonen (spontane Emission)nicht in der Theorie enthalten. Dazu müsste das Strahlungsfeld nochquantisiert werden.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.27/30

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Dynamische Betrachtungen (28)

b) volle Dynamik:Stabilitätsanalyse und Relaxationsoszillationen für

und �Frage: Kleine Abweichungen von deren stationären Zustand haben welcheAuswirkung? Wird der stationäre Zustand wiederhergestellt? Jetzt keineRatengleichungsnäherung für die Inversion.

� � �

stat

� � � � � � � � � �

stat

� � � � � �

stat

� � � � �� � � � � � � �

�� � �stat

� � � �� � � �

stat

nichtlineare Korrekturen

� � � � �

Einsetzen in Lasergleichungen.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.28/30

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Dynamische Betrachtungen (29)

�� � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � �� �

�� � � � � � � � �

stat

� � � � � � � � � �

stat

� � � � � � � � �

stat

� � � � � � � �

�� � � � � � � � � � � �

stat

� � � �

stat

� � � �

weil die stationäre Lösung verwendet werden kann

�� � � � � � �

stat

� � � � � � � � � � � � �

stat

� � � � � �

stat

� � � �

�� � � � � � � � � � � �

stat

� � � �

stat

� � �

��

� �� � � � � � � � �

stat� �

stat�

� � � �

stat � � � � � �

stat

� �� �

lineares Gleichungssystem, Eigenwerte der Matrix können berechnet werden,diese ergeben dann zeilich abklingende Kurven (negativer Realteil von

) mitOszillationen (Imaginärteil von

�) für

� �.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.29/30

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Beschreibung der Materie (30)

Die auftretenden Oszillationen heißen Relaxationsoszillationen. Siebeschreiben die Relaxation von � � � � � � � � �

in dem stationären Laserzustandbei grossen Photonenzahlen wenn man zu Beginn eine Abweichung vondiesem stationären Zustand präpariert hat:

nstat

t

n(t)

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.30/30