Erwartungswert der Altersdifferenz und seine Anwendungen Von N ikolaus M iitler (Stuttgart)

Die Bestimmung des wahrscheinlichkeitstheoretischen Erwartungswerts der Alters- differenz, dem bisher wenig Aufmerksamkeit in der Literatur und Praxis geschenkt wurde, entspringt dem Bedfirfnis, die Belastung durch Witwe~trentenzahlungen aus zu erwartenden Nachehen eines anf~nglich verheirateten Mannes abzuschi~tzen. Solche Fragestellungen kommen sowohl bei der Individualversicherung als auch bei der Berechnung von Pensionsriickstellungen hi~ufig vor.

Im folgenden wird zun~chst der Erwartungswert der Altersdifferenz eines Paares bestimmt. Mit seiner Hilfe wird als allgemeineres Problem der Erwartungswert der gleitenden Altersdifferenz eines beliebig gemischten t~estands behandelt. Schliel~lich werden die AnwendungsmSglichkeiten besprochen und Naherungsverfahren ftir die Praxis angegeben.

1. Zer/all des An/angsbestands Gegeben sei ein Ehepaar mit ganzzahligen Altern x und y und somit ebenfalls ganz- zahliger Altersdifferenz VAxy. Fiir die Gewahrung der Witwenrente sind folgende auf das Paar einwirkende Ursachen von Bedeutung: a) Der Tod des Mannes 15st die Witwenrente an die ,,anfi~ngliche" Ehefrau aus. Es

ist dabei gleichgiiltig, ob der Mann als Aktiver oder als Invalider oder als Alters- rentner stirbt.

b) Die Ehescheidung bewirkt den Wegfall des Anspruchs der anfanglichen Ehefrau und gibt dem Mann die MSglichkeit einer Wiederverheiratung usw.

c) Der Tod der anfanglichen Ehefrau kann ebenfalls zu einer Wiederverheiratung usw. fiihren.

Diese Vorginge des Familienstandwechsels kSnnen sich selbstverstindlich wieder- holen, doch werden im folgenden dritte und weitere Ehen nicht beriicksichtigt, da sie zahlenmil]ig praktisch nicht ins Gewicht fallen, wahrend ihre Erfassung bekannt- lich auf Integralgleichungen [1] l) fiihrt. Sie sind vom Interesse in der Regel nur bis zu einem bestimmten Zeitpunkt, z. B. bis zum Beginn der Altersrente, zu dem die Festlegung des Witwenrentenanspruchs erfolgt. Die Wahrscheinlichkeit eines anfanglich Verheirateten, nach n Jahren verheiratet zu sein, ist selbstverstandlich eine andere GrSl]e als die entsprechende Zustands- wahrscheinlichkeit eines gemischten Bestands. Auch die Altersdifferenz eines an- fi~nglich Verheirateten, vielmehr ihr Erwartungswert wird infolge mSglicher Nach- ehen anders sein als die durchschnittliche (gleitende) Altersdifferenz im gemischten Bestand. Betrachtet man aus Griinden der Zweckmal]igkeit e in gegebenes Paar als den An- fangsbestand, so zerfillt dieser im Laufe von n Jahren in folgende nicht ganzzahlige sechs Teilbestande :

Teflbestand 1 : Verheiratet mit der anfanglichen Frau, 2 : Verheiratet nach Ehescheidung,

i) Vgl. Literaturverzeichnis am SchluB der Arbeit.

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Teilbestand 3: Verheiratet nach Verwitwung, ,, 4: Gesehiedene, ,, 5 : Witwer, ,, 6: Gestorbene.

Die urspriingliehe Altersdifferenz ist nur beim Teilbestand 1 erhalten geblieben, bei den Teilbest~nden 2 und 3 ist sie ver~ndert, bei den Teflbest~nden 4 und 5 entf~llt dieser Begriff fiberhaupt, und der Teilbestand 6 interessiert an dieser SteUe nicht.

2. AusgangsgrSflen Die Untersuehungen von Freudenberg [2] aufgrund des Materials des Statistischen Bundesamts haben gezeigt, dab der Sterblichkeitsverlauf nicht unbetr~chtlich vom Familienstande abh~ngig ist. Da die ganze vorliegende Untersuchung auf den Mann abgestellt ist, wird mit dem linken oberen Index der Familienstand f des Mannes bezeichnet, und zwar bedeuten

v verheiratet in der ersten Ehe, v (s) verheiratet nach Ehescheidung, v (w) verheiratet nach Verwitwung, v (l) verheiratet aus dem ledigen Stande, s geschieden, w verwitwet, t gestorben, 1 ledig, g Gesamtbestand ohne Riicksieht auf den Familienstand.

Somit bedeuten fqx die Sterbenswahrscheinliehkeiten des Marines in Abh~ngigkeit vom Alter und Familienstand. Dabei wird zur Vereinfachung der Reehnung voraus- gesetzt, dab der t~aergang yon einer Reihe der Wahrseheinlichkeiten auf die andere beim Weehsel des Familienstands s p r u n g h a f t erfolgt. Entspreehend bedeuten vqy die Sterbenswahrseheinlichkeiten der Ehefrauen; Frauen eines anderen Familien- standes kommen in der Untersuchung nicht vor. fAx bezeichnet die Altersdifferenz zwisehen den Ehegatten. Fiir den Anfangs- bestand sowie fiir den Teflbestand 1 ist sie konstant, VAxy = const. ; dagegen h~ngen die GrSBen v(S)Ax und v(w)zJ x stark vom Alter des wiederheiratenden Mannes ab, desgleiehen die zun~chst nicht benStigten v(l)Ax. Die Heiratswahrseheinlichkeiten des l~Iannes, ebenfalls in Abh~ngigkeit vom Fami- lienstande, werden mit shx, wh x und lhx bezeichnet. Eine besondere Bedeutung kommt den Seheidungswahrscheinlichkeiten Sx zu. Gerade diese GrSge daf t nieht vernaehl~ssigt werden, denn sie betr~gt das Vielfaehe der anderen Ursache der Eheaufl6sung -- der Sterbenswahrscheinlichkeit der Ehefrau-- bis zu einem Alter des Mannes yon 40--50 Jahren (vgl. numerisches Beispiel in Ziff. 8). Aber auch in den hSheren Altern hat sie eine durchaus beachtliehe HShe. Augerdem ist besonders bei den Gesehiedenen sowohl die Heiratsh~ufigkeit, als aueh die Altersdifferenz in der Nachehe iiberdurehsehnittlieh. Daher wird der Erwartungswert der Altersdifferenz in der Regel dureh die Sx in welt st~rkerem MaBe beeinfluBt als durch die vqy (vgl. Saxer [5]). In der Untersuchung yon Freudenberg sind die Sx in Abh~ngigkeit yon der Ehedauer abgestuft. Hier erseheint dagegen nut die Abstufung naeh dem Alter des Mannes geeignet, da damit aUe Werte einheitlich yon x abh~ngen und eine doppelte Abstufung vermieden wird. Ebenso unberiieksiehtigt bleibt die naheliegende Vermutung, dab die Sx auBerdem yon der Ordnungszahl der Ehe abh~ngen; hierfiber l~Bt sieh jedoch kein statistisches Material beschaffen. Der Verlauf der Ausgangs- grSBen ist fiir das in Ziff. 5 behandelte Beispiel graphisch dargestellt. Sowohl fiir die

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formelmi~Bige Darstellung, als auch f/ir die numerisehe Beispielsberechnung wird angenommen, dab die gew/~hlten AusgangsgrSBen unabhi~ngige (partielle) einj/~hrige Wahrseheinlichkeiten darstellen; iba'e Verbindung hat da.her multiplikativ zu er- folgen. Es wird ferner angenommen, dab das Ausscheiden aus der Gesamtheit (etwa durch Sx) in der Mitts des Jahres erfolgt. Die Zustandswahrseheinlichkeiten werden dagegen stets auf das Ende des Jahres angegeben. Die ~Tbergangswahrscheinlich- keiten sowie die Ausscheldeordnungen des Mannes aUein werden mit kleinen Buch- staben, die Zustandswahrseheinlichkeiten und die Ausseheideordnungen der Paare werden mit groBen Buchstaben bezeichnet. MAt Rficksicht auf die praktischen Be- rechnungen werden die Formeln in der diskontinuierliehen Sehreibweise angegeben.

3. Erwartungswert der Altersdi~ersnz eines Paares Die in der Versieherungsmathematik gewShnlieh auftretenden Funktionen haben einen homograden Charakter, d.h. sie besehreiben die Intensiti~t des Ausseheidens oder des Verbleibens infolge einer Ursaehe, so z. B. die qx, ix usw. Auch die Wahr- scheinliehkeit, verheiratet zu sein, drfickt einen Alternativzustand aus. An diesem Charakter wird durch eine Koppelung mehrerer Wahrseheinlichkeiten nishts ge/~ndert. Unter einem ganz anderen Aspekt erssheint die Altersdifferenz. DaB sis keine Aus- scheidefunktion, sondern eine Funktion, die die Aufgliederung der Gesamtheit be- sehreibt, darstellt, ist dabei bslanglos. Entseheidend ist ihr heterograder Charakter. Einem festen tieiratsalter des Mannes ist eine ganze Verteilung yon Altersdifferenzen zugeordnet. Entsprechendes gilt aueh fiir sp~tsre Zeitpunkte, z. B. beim Tode des Mannes. Es wird daher unter der durehschnittlichen Altersdifferenz eines heiratenden Mannes das mit Anzahlen gewogene arithmetische Mittsl der einzelnen Altersdiffe- renzen verstanden. Diese durshschnittliche Altersdifferenz ist eine Funktion des Heiratsalters und des Familienstandes des Mannes. Der Erwartungswert der Alters- differenz ist aul]erdem eine Funktion der Zeitspanne unter Beobachtung. Der Erwartungswert der Altersdifferenz eines durch x und VAxy vorgegebenen Mannes naeh n Jahren ergibt sieh als das Ergebnis der L~berlagerung aller Alters-

v - - differenzen der Teilbest~nde 1--3. Er wird im folgenden mit nAxy bezeiehnet. Seine formelm/~Bige Darstellung erfolgt in mehreren Sehritten .Es sei nochmal betont, dab der Anfangsbestand nur aus e inem Paar besteht, so dab die Verbleibswahrsehsin- liehkeiten fiir diessn Bestand gleichzeitig die Anzahlen angeben. Die zun/~ehst be- nStigte Darstellung der Teilbest/~nde ist an sieh niehts andsres als eine Aufgliederung der in Bezug auf den Mann betrachteten gesehlossenen Gesamtheit. Die Wahrscheinliehkeit ftir das Bestehen des anfi~ngliehen Paares naeh m Jahren betri~gt

m - - 1

mVVxy---H(1 - Vqx+~) (1 - Sx+~) (1 - Vqy+~). (1) v = 0

Analog ergeben sich die Wahrseheinlichkeiten fiir das Bestehen der durch Wiederver- heiratung naeh vorangegangener Ehescheidung bzw. Verwitwung entstandenen Paare v(~px und V(~px. Von Vpxy unterscheiden sie sich lediglieh dureh andere Altersdifferenzen, wtLhrend in Bezug auf die Sterbliehkeit kein Untersehied vorhanden ist, da es sieh dabei ebenfalls um Verheiratete handelt. Damit hat das anf/~ngliche Paar die Wahrseheinliehkeiten, im Laufs des (m + 1)-ten JaMes aufgel6st zu werden,

dureh die Eheseheidung Vpxy- Sx+m. (1 vq2+m)(1 vq2+m),

dureh den Ted der Ehefr&u Vpxy • vqy+m " (1 Vq?m)(1 -- ~ ) •

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Da das Ausscheiden aus der Gesamtheit laut Voraussetzung in der Mitre des Jahres erfolgt, mul~ten die partiellen Wahrscheinlichkeiten auf totale Wahrscheinlichkeiten ergiinzt werden. Entsprechend wird auch in weiteren Formeln vorgegangen. Die Anzahl N der nach m Jahren Verheirateten, ausgehend yon ein e m Geschiedenen, ermittelt mit vom Heiratsalter x + v abhi~ngigen Altersdifferenzen v(s)ZJx+~, betr~gt

111--1 * , o ~Px " 1 -- " Shx+~ " m-,-~':x+~+~ , (2)

v k - - 1

wobei die Ausscheideordnung der Geschiedenen dutch ~Px = H ( 1 - Sqx+~). • (1 - Shx+,) dargestellt wird. ~=o

Die entsprechende Anzah], ausgehend yon e i n e m Witwer, ermittelt mit v(w)Ax+, be- tri~gt

rn - -1

v(~Nx = ~. Wpx 1 wq +~ . Whx+,'m_~_½~x+~+~, (3) v = 0

k - - 1

wobei die Ausscheideordnung der Witwer sinngemi~B ~Px = H ( 1 - Wqx+~) (1 - Whx+~) ist. ~= 0 Damit kann man die Gesamtanzahl der Paare nach n Jahren, ausgehend vom An- fangsbestand 1, wie folgt angeben:

n - - 1 2 v ( ~ A x = n P ~ y + ,Pxy Sx+. 1 - - - -

v ~ 0

I I - -1 ( v v + ~, ,Pxy" qy+~" 1 -- - -

v ~ 0

• n-v-~x+v+½ •

( 4 )

Diese Anzahl besteht aus drei Summanden entsprechend den drei Teilbestii, nden gem~B Ziff. 1 und kann somit auch in der Form

~ A x = v nPxy + v(S.)Ax + v(W)A n- ~x (5 )

zur Abkfirzung geschrieben werden. Da jedoch die Teilbest~nde 2 und 3 ffir jedes Alter x + v ve r s c h i e d e n e Altersdifferenzen aufweisen, kann man diese Anzahl nur als BezugsgrSBe verwenden.

Die Anzahl der Paare mit der g l e i c h e n Altersdifferenz, die zur Bildung yon Ge- wichten bei der Bestimmung yon VA-xy benStigt wird, gewinnt man am besten rekursiv. Die Ableitung der Formel werde fiir die Witwer gegeben, ffir die Geschie- denen besteht vSllige Analogie. Die Anzahl der zwischen den Altern x + v und x + v + 1 im Anfangsbestand ange- fallenen und beim Alter x + v + 1 noch lebenden Witwer ergibt sich unter Vernach- liissigung der Wiederverheiratungen im gleichen Jahr als

Die Anzahl der insgesamt zum Zeitpunkt x + v unter Heiratsrisiko stehenden, also bis dahin noch nicht wiederverheirateten Witwer ergibt sich rekursiv als

WLx+. = WLx+._l (1 -- Whx+.-1) (1 - - W q x + v - 1 ) -~- Wlx+~-i (7)

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mit der Anfangsbedingung WLx+ 1 = wl x. Mit Hilfe der kombinierten abhi~ngigen Wiederverheiratungswahrscheinlichkeit der Witwer und der ~berlebenswahrschein- lichkeit der gebfldeten Paare

Whx = ( 1 - w~q2x). Whx. ( 1 - ~ ) ( 1 - s ~ ) ( 1 - - ~ ) (8,

ergibt sich die Anzahl der zum Zeitpunkt x + n mit der jeweiligen Altersdifferenz vcw)zJx+~ verheirateten ,,Witwer" Ms

v(w)~ n,,~ (v(W)Ax) = 0

~(*~x+~ (.<w)3.+~) = wL~+~. Whx+~. ~-~Px+2 v(w)~ . v(w)n (9)

n ~ x + 2 ( v ( W ) A x + 2 ) = W L x + 2 " Whx+2 n-arx+3

v ( w ) ~ . . n~x+n-1 (v(w)Ax+n-1) = WLx+n-1 Whx+n-1 V(Wo)Px+n.

Die Verknfipfung yon (9) mit (7) liefert schlieIBich Ms Rekursionsformel

v(w)~ (v(w)A v-l) ] v ( W ) ~ x + ~ ( v ( w ) Z ] x + v ) = [ n x + , - - 1 x + [ 0 - - --Wqx+- l + •

• v(w)D (10) • W h x + v • n _ v _ l ~ x + ~ + l ,

wobei v = 1, 2, . . . , n -- 1 ist. Trotz des komplizierten Aufbaus der Formel verl~uft v(w)u die Rechnung relativ schnell, da die Reihen der Werte Whx+~, Wlx+~, n-~x+~ usw.

leicht bereitzustellen sind.

Die Gesamtanzahl der nach n Jahren noch Verheirateten in zweiter Ehe (nach voran- gegangener Verwitwung) ergibt sich somit als

n - - I v(w) A n- -x = ~, v(wn)2x+~ (v (w) A x+~). (11 )

v = l

Entsprechend bestimmt man die Anzaklen der nach vorangegangener Ehescheidung Verheirateten

v(s)~ v(~)A . (13) n~x+v (v(s)Ax+~) (12) und n~x

An dieser Stelle mul~ vermerkt werden, dab die Formeln (4) und (11) ffir die Anzahlen VOAx infolge verschiedener diskontinuierlicher N~herung keine algebraischen Iden- tit~ten darstellen. Ffir die praktischen Rechnungen sind (11) und (13) zu bevorzugen, Fiir die Bestimmung des Erwartungswerts der Altersdifferenz geniigt die Kermtnis der gewonnenen Gr613en. Der Erwartungswert der Altersdifferenz des Teilbestandes 2 ergibt sich zu

n - - 1 v(s)~ . n"x+~ v(s)z~x+ v

v%)Xx =~:~ (14)

und fiir den Teilbestand 3 als n - - 1

v(w) ~- • = 1 1V.JX

V(Sn)A x

V(Wn)~x + v • v(W)Ax+v

v(wn)A x (15)

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Als Erwartungswert der Altersdifferenz fiir den gesamten Anfangsbestand kann man somit das Mittel der entsprechenden Werte der Teilbest~nde 1--3 ansehen:

vp + v(S)Ax, v%)z~ x + v(wn)Ax " v(w)A- x nvA-_ n ,¢,-vA,~ (16)

4. Gesamtsterblichlceit

Ffir die Gewinnung der WahrscheinlichkeR, verheiratet zu sein, wird an manchen SteUen die Gesamtsterblichkeit der verschiedenen Best~nde benStigt. Diese ist nicht identisch mit der Aggregatsterblichkeit einer nicht nach dem Familienstand aufge- gliederten Sterbetafel. Sie ist vielmehr -- in vSlliger Analogie zur Gesamtsterblich- keit der Zimmermann-SchaertIin'schen Zerfallordnung der Aktiven -- durch eine gewisse Anfangsbedingung festgelegt. Diese Anfangsbedingung ist nichts anderes als die Anfangsstruktur der in Frage kommenden geschlossenen Gesamtheit. In allen Formeln miil3te man daher [x] + v schreiben. Im folgenden werde die Gesamtsterblichkeit der mit e i n e m Geschiedenen als An- fangsstruktur gebildeten geschlossenen Gesamtheit betrachtet. Von der Ausscheide-

n - - 1

ordnung der Geschiedenen ~Px ---- / - / ( 1 --Sqx+,)(1 --Shx+~) unterscheidet sie sich v = 0

deswegen, weil die Sterblichkeit der aus dem anfgnglichen Bestand anfallenden Wiederverheirateten und der aus diesen entstehenden Witwer andere Niveaus hat als die Sterblichkeit der unverheiratet gebliebenen Geschiedenen sowie der Wieder- geschiedenen. Der (3bergang von einem Niveau zum anderen erfolgt nach Voraus- setzung sprunghaft. Bei kontinuierlicher Betrachtungsweise weist also die Intensiti~ts- funktion der Mannessterblichkeit Unstetigkeitsstellen auf, die beispielsweise wie in Abb. 1 liegen kSnnen.

f,~ x + t

I I

I I I I I

x ÷ f o x ÷ t 1 x÷ f z x * t 3 × ÷ t

Abb. 1 Sterblichkeitsniveaus eines anf~inglich Geschiedenen

Die Bildung der Erlebenswahrscheinlichkeiten stSBt jedoch nicht auf prinzipieUe Schwierigkeiten:

t~ t2 t ,

f S~x+~ dt + f V/~x+t dt T f W/~x+t dt g'aSpx = eL t, t~ (17)

Der 13bersichtlichkeit halber sei der Zerfall des behandelten Bestands -- e ines Geschiedenen -- mi~ Angabe der einwirkenden Ursachen in Abb. 2 schematisch dar- gestellt. Im l~ahmen der diskontinuierlichen 2{Eherung kSnnen die einzelnen Teilgesamtheiten wie folgt dargestellt werden. Da keine Verwechslungen auftreten kSnnen, wird die

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doppelte Abstufung nicht besonders angedeutet. Bemerkenswert ist die - - aller- dings schwache - - Abh~ngigkeit der Gesamtsterblichkeit v o n d e r Frauensterblieh- keit.

Tote aus Wiedergesehiedenen

S_ ÷~ qX~" V ~ / Tote aus Geschiedenen

/ | ~ , | Geschiedene und Wieder- X ~ / S X geschiedene

÷V W,, x ÷ n

I ~ ~XPV Tote aus Witwern

Verheiratete Zerfall eines Bestands yon ~ Vq X Geschiedenen ~ Tote aus Verheirateten

Die Anzahl der lebenden Geschiedenen, die ihren Familienstand nieht/~ndern (also die Ausscheideordnung), ist

m--1 s

mPx = H ( 1 - - Sqx+v) (1 - - Shx+v) . ( I S ) v=0

Die Anzahl der Geschiedenen, die im (v ~- 1)-ten Jahr heiraten und am Ende des Jahres noeh verheiratet sind, betr~gt

v(s)lx+, s ( ~ ) v(S)D (19) = , p x " 1 - - .Shx+~- ½~x+,+~.

Die Gesamtanzahl der Verheirateten bei x -k m ist somit m-1

V(~N x = ~. v(s ) lx+, m-V-(~Px +~ +1 • (20) v=0

Die gestrichelte Linie in der Abb. 2 deutet den ~bergang aus der Gesamtheit der Verheirateten in die urspriingliche Gesamtheit der Geschiedenen an, also die Ent- stehung der Gesamtheit der Wiedergeschiedenen, die im folgenden mit s (v, s) bezeiehnet wird. Zu ihrer Bestimmung muB man yon der Anzahl der Verheirateten e i n e s Jahres v(S)lx+~ ausgehen und die bis zum Zeitpunkt x ~- m stattfindenden Vorg~nge im Bestande der Verheirateten - - Verbundensein, Ehescheidung, Uber- leben als Geschiedener - - berficksichtigen; dann ergibt sich die Anzahl der Wieder- gesehiedenen bei x -4- m aus der Anzahl der Verheirateten bei x + v A- 1 als

m--v--2

~=0 ~ 2 2 s (21 )

• m--v--g--l~Px+~+/~+l~ •

Durch Erfassung aller innerhalb yon m gahren heiratenden Gesehiedenen erhi~lt man die Gesamtanzahl der Wiedergeschiedenen als

111--2 s(v,s)r. m~x = ~ , s (v'S)lx+~ • (22)

r ~ 0

Die Anzahl der Witwer ergibt sich naeh analoger Betrachtung als m--2

w(v,e)l. __ m - - x (23)

v=0

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SelbstverstAndlich ist es mSglich, die jeweilige Anzahl der Toten darzustellen, jedoch werden dabei die Formeln etwas uniibersichtlich. Die Summe der gewonnenen Anzahlen der vier Teflgesamtheiten stellt die Erlebenswahrscheinlichkeit dar:

s v(s)~T s(v 's) l , w(v 's) l , (24) g'n~P~ = npx + . - , x + n~x + n ~ x -

Damit kSnnen auch die einj~hrigen Sterbenswahrscheinlichkeiten gewonnen werden entweder als

g,Spx g,Sqx+n- 1 = 1 - - (25) g,s

oder als n-lPx

s 1 [ s / Vqx+n~ .v(s)xT Iv. - - Sq x+n ~' qx+n= g,~- [nPx" (Sqx+n + Shx+n" ~ j-r- n-,x'~ ,ix+n ~-Sx+n ' - K - + v q y + n ' ~ )

~Px s(v's)l w(v's)l- • Wqx+n] , (26) + n~x" Sqx+n + n~x

wobei mit Vqy+n die , ,mitt leren" 8terbenswahrseheinliehkeiten der an sieh ungleieh- altrigen Ehefrauen bezeiehne* sind; die Gewiehte zu ihrer Bildung ergeben sieh mit

v(s) o (19) als v(S)lx+v, n-~-l~x+~+l. Bedeutet ferner vqy+n(V(S)ZJx+~) die Sterbenswahr- scheinlichkeit der zum Zeitpunkt der EheschlieSung (y + v)-ji~hrigen Ehefrau nach n Jahren, wobei die Ehe mit dem (x + v)-j~hrigen Geschiedenen geschlossen wurde, so ergibt sich vqy+n nach der Formel

n--1 v(s)~ ~, Vqy+n (v(s)/lx+,) • v(S)lx+, • n_ ,_ l rx+ ,+ l v~y+n __ ~=0 (26a)

V(SnINx

Auch die Formeln (25) und (26) bilden keine algebraisehe Identi tat . In gleicher Weise ergibt sich die Gesamtsterblichkeit bei Betrachtung eines Witwers oder eines Ledigen. Bei dem letzten wird hierdurch auch nur eine Ehe beriicksichtigt. Wesentlich komplizierter ist die Ermit t lung der Gesamtsterblichkeit des in Ziff. 3 betrachteten Anfangsbestandes. Da hier yon einem Verheirateten ausgegangen wird, hgmgt die Gesamts~erbIichkeit des Mannes auch yon der Sterblichkeit der anf/~nglich vorhandenen Ehefrau stark ab und ist somit sogar d r e i f a c h abgestuft, n/~mlich in Abh~ngigkeit vom Alter des Mannes, yon der Altersdifferenz des anfi~nglichen Paares und yon der abgelaufenen Dauer. Die ji~hrliche Sterbenswahrscheinlichkeit ergibt sich als das Ergebnis der Mischung der Sterbenswahrscheinlichkeiten der Verheira- teten, Geschiedenen und Verwitweten etwas umst/~ndlich und selbstverst~ndlich nur im Rahmen der diskontinuierlichen N~herung als

g,Vqx+~ v(w) v-" __ [Vpxy (I -Sx+ v)(i _Vqy+ ~) +v(s~A x (i - Sx+ v)(I _v~+ ~) + ~Ax (l-sx+ ~)(I- qy+ ~)] .Vqx+ ~

v v(w) A s ,Pxy + "(S~Ax + , ,~x + ,Ax + WAx

~Ax (1 - ~hx+,) • Sqx+, + WAx (1 - Whx+,). Wqx+, + , (27)

Vexy + *~Ax + v(W~Ax + ~Ax + WAx

wobei die mittleren Sterbenswahrscheinlichkeiten der auch hier ungleichaltrigen Ehefrauen analog (26a) mit Hilfe yon (9) und (11) als

~-1 Vqy+, (v(w) A x+ ~,)" v(w~)-x+ i,(vCw)A x+l,)

v-" ~=1 (27a) qy+v = v(w) A

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und yon (12) und (13) als v - - 1

v(s)~ (v(S)Ax+~) Vqy+~(v(S)Ax+~ ) . ~,,x+u V - - ' /t=l qy+v ----

v(s) A

zu bestimmen sin&

(27b)

5. Zerlegung des An/angsbestandes In Ziff. 3 wurden die Teilbestgnde 1--3 angegeben. Mit Hilfe der besprochenen Gesamtsterblichkeit kann man nunmehr auch die restlichen Teilbestinde angeben. Als Differenz zwischen der Anzahl der innerhalb yon n Jahren insgesamt ange- fallenen Witwer und der bis zum gleichen Zeitpunkt wiederverheirateten Witwer ergibt sich der Teilbestand 5 als

11--1

WAx = , P x y 1 -- 1 -- vqy+ . n-~-tPx+~,% -- ~,,-x- v = O

Entspreehend ergibt sieh der Teilbestand 4 als n - - 1

~Ax ,Pxy 1 1 +" g,s v(s) A (29) ~ v - - - - - - Sx+v " n-v-~px+v+~. - - - n -~x •

Damit betr~gt die Anzahl der gestorbenen M~nner -- Teflbestand 6 --

tA~ 1 v v(~)A -- v(W~)Ax ~AxS WnAx - - nPx:¢ - - n" ~-x - - - - • (30)

Die Summe der Teilbest~nde 4 und 5, also die nicht wieder Verheirateten, kann auch in der Form

s+w A g,v v v(s~A x v(w) A g,v v n - ~ X = n P x - - n P x y - - - - n - ~ x = n P x - - n A x ( 3 1 )

angegeben werden. Die Erlebenswahrscheinlichkeit n--1

~'n~px = / 7 (1 -- ~,Vqx+,) (32) v = 0

ist dabei mit Hilfe yon (27) zu ermitteln. Damit ist der Anfangsbestand vollstiindig in die Teilbestinde zerlegt. Die charakteristischen Merkmale der einzelnen Teilbe- st inde sind in folgender ~Jbersicht zusammengestellt:

Tefl- A n z a h l b e s t a n d I n h a l t

E r w a r t u n g s w e r t d e r Al te r sd i f fe renz

Symbol Formel Symbol Formel

1 V e r h e i r a t e t e m i t a n f i n g l . F r a u Vpxy (1) VAxy = cons t . v ( s )~

2 V e r h e i r a t e t e n a c h E h e s c h e i d u n g V(Sn)Ax (13) n ~ x 0 4 )

3 V e r h e i r a t e t e n a c h V e r w i t w u n g V(Wn)Ax (11) V(Wn)Ax (15)

1 + 2 + 3 V e r h e i r a t e t e i n s g e s a m t VAx (4) VnAxy (16) $

4 Gesch iedene n A x (29) - - - - w

5 W i t w e r nAx (28) - - - -

4 + 5 n i c h t V e r h e i r a t e t e s +WAx (31 ) - - - - t

6 G e s t o r b e n e n A x (30) - - - -

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6. Wahrscheinlichkeit, verheiratet zu sein

Die gewiihlten Ausgangsgr6gen fqx+,, Vqy+v, fZ~x+v, f h x + , , S x + ,

bestimmen in eindeutiger Weise die Wahrscheinlichkeit eines anf~nglich Verheira- teten, naeh n Jahren noeh verheiratet zu sein. Eine i~hnliche Relation wurde erstmals yon Dienst [9] erkarmt, wobei er jedoeh den umgekehrten Weg einschlug, n/~mheh die Bestimmung der Heiratswahrseheinliehkeiten aus den Wahrscheinliehkeiten, verheiratet zu sein. In der vorliegenden Untersuehung dagegen stellt sich der aus- gesproehene funktionale Zusammenhang ganz zwangsl~ufig ein. Die Formeln (2) und (3) geben die absolute Anzahl der Verheirateten an, die aus einem Anfangsbestand von e i n e m Gesehiedenen bzw. Witwer innerhMb yon m Jahren anfallen und zum Zeitpunkt x + m noeh verheiratet sind. Entspreehendes gilt fiir Ledige :

m--1 v,l']% T ~ 1 ( ~ ) v'l ' O (33'

m * ' x = v p x " 1 - - " l h x + v " m - v - ½ ~ x + v + . ~ • v~0 - - \ ~ ]

Bezogen auf die fiberhaupt noch am Leben befmdlichen Personen dieser Gruppen, ermittelt nach Ziff. 4, ergeben sich die gesuchten Wahrscheinlichkeiten, verheiratet zu sein, wie folgt:

v(1) N 1 m x (34) fiir Ledige mHx -- g,mlPx ,

(35) ffir Geschiedene ~SHx -- g~Px '

V(Wm)N~ (36) ffir Witwer w m H x - g,mWp x

Welter ergibt sich ffir das anfiingliche Paar (Anfangsbestand) die Wahrscheinliehkeit, verheiratet zu sein, als

n H x g'nVpx + ,=o'PxY " Sx+, " 1 -- - - i -- " m-,-hHx+v+½

n--1 + Z~_o Vpxy- vqy+~, "(1 --v~+~)(1 -- ~ ) " m-v-'~Hx+~,+½ (37,

oder auch aus (1), (11), (13) und (32) als

vp v(Sn)Ax + v(wn)Ax nVHx__ n xy + (38)

g'Vpx

Da die Auswertung der Formeln (34)--(38) haupts~Lchlich wegen des komplizierten Aufbaus der jeweiligen Gesamtsterblichkeit betr~Lchtliche Rechenarbeit erfordert, kann man zur Gewinnung eines N~herungswertes auf die exakte Gesamtsterblichkeit verzichten. Dabei rechnet man am zweckmi~Bigsten fiir (34)--(36) mit den jeweiligen partiellen Ausscheideordnungen

n--1 npx = / - / ( 1 -- fqx+,);

v = 0

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die Wahrscheinlichkeiten, verheiratet zu sein, werden dadurch leicht erhSht. Das 11--t

gleiehe tr i t t tin, wenn man in (31) mit nPx = / 1 ( 1 -- Vqx+~) reehnet und damit (38) gewinnt. ,=o

7. Erwartungswerte im gemischten Bestand

Die gewonnenen Ergebnisse kann man auf die Ermittlung der gleitenden Alters- differenz tines sich aus Verheirateten, Geschiedenen, Witwern und Ledigen zusam- mensetzenden Bestands anwenden, etwa um dadurch Ausgangswerte flit die Berech- hung der Witwenrentenanwartschaft naeh der fiblichen kollektiven Methode zu gewinnen. Der gesamte Bestand wird hierzu zun~chst nach dem Alter des Mannes gegliedert. Jeder dieser Altersbest~nde mit x = const, und Gewicht Bx hat bei Ver- heirateten eine Verteflung der Altersdifferenzen, in der jeder ganzzahligen Altersdiffe. renz das Gewieht Vflx,z zukommt; auBerdem haben dig Ledigen, Geschiedenen und Witwer ebenfalls Gewiehte. Zusammen gilt also

Y V~x,~ + % + S~x + wt~ = 1. (39) A

Der Erwartungswert der gleitenden Altersdifferenz ffir jeden solchen Altersbestand ergibt sich ffir n Jahre als

n~-x ~ ,Vf lx , A v - 1 - s - - w - • nAx + " nAx " = • nAxy + 1fix Sflx + w/~x ,Ax. (40) A

Die dabei benStigten Erwartungswerte der Altersdifferenz ffir anfgnglich Ledige, Geschiedene und Witwer sind wit folgt zu bestimmen. Mit Hiffe der Ausscheideord-

k--1

nung yon Ledigen ~px--- - / I ( 1 -- lqx+~) (1 -- thx+~) ergibt sigh als Erwartungswert v=0

der Altersdifferenz eines Ledigen nach n Jahren

n-1 ( , ) ~ l q~ 1 - - + - ~ "lhx+v" _v( l~P x - . ~ ++~" 1Ax+v

nAx = (41)

• -o'F~" i- .,hx+,. ~_/!~P~+,+~

ttierbei wurden nur die Erstehen beriicksichtigt. Ganz analog ergeben sigh mit Hilfe der Ausscheideordnungen der Ziff. 3 die Erwartungswerte ftir Gesehiedene JJ-~ und Wltwer nA x. Dm nach Formel (40) fiir jedes Alter x ermittelten Werte fiir n ----- 1, 2, 3,.. ergeben, belastet mit den entsprechenden Gewichten Bx der einzelnen Altersbesti~nde, die gewiinsGhten Werte der gleitenden Altersdifferenz des gesaraten Bestands

11

X(~ + n) = ~ B~+,- ~-Jx+, • (42) Y=0

Da der gesamte Bestand aus den nur yore Eintrittsalter abhangigen Altersbestiinden zusammengesetzt ist, besteht die MSglichkeit einer Anwendung der Methode yon 1%ueff [6] zwecks Beriicksiehtigung der siikularen Sterbhchkeitsabnahme. Dabei mu$ beaehtet werden, daI3 die Abnahme der Mannessterbliehkeit zwar die Anzahl der Witwen reduziert, jedoch gleichzeitig die Anzahl der Wiederverheiratungen, die infolge des hSheren Alters immer grSBere Altersdifferenzen aufweisen, steigert. Wegen starker Verjiingung der nachgeheirateten Frauen dfirfte ihre Langlebigkeit besonders stark ins Gewicht fallen.

5 Versicherungsmathematlk IV, 1 6 5

AuBer der gleitenden Altersdifferenz wird fiir die kollektive Methode noch die Wahr. seheinlichkeit, verheiratet zu sein, benStigt. Diese kann durch Mischung der Ergeb- nisse (34)--(38) ermittelt werden. Fiir jeden Altersbestand gilt

nHx ~ Vflx,~ nHx -~ lflx" 1 s w = .v nHx -~- S~x. nHx ~- W~x. nHx. (43)

Ffir den gesamten Bestand ergibt sich schlie~lich

H (x ~- n) = ~ Bx+," n-,Hx+, • (44) ~ 0

Die Formeln (42) und (44) liefern somit die beiden Reihen der Mal3zahlen, die ffir den Aufbau der Witwenrentenversicherung nach der kollektiven Methode benStigt werden.

8. Numerisches Beispiel

Eine numerische Auswertung der in den vorangehenden Abschnitten angegebenen Formeln stie]3 wegen Mangels an statistischen Unterlagen auf Schwierigkeiten. Um wenigstens die GrS•enordnung abzusch~tzen, wurden die Ergebnisse der Volksz~hlung 1950 nach dem Statistischen Jahrbuch 1952 [7] verwendet. Die Sterblichkeit der M~nner in Abhi~ngigkeit yore Familienstand wurde der Untersuchung yon Freuden- berg [2], die auf der Tafel 1949/51 basiert, entnommen; desgleichen die Sterblichkeit der verheirateten Frauen. Die verwendeten Heiratswahrscheinlichkeiten, getrennt nach dem Familienstande und die Ehescheidungswahrscheinliehkeiten, ermittelt nach dem Statistischen Jahrbuch [7] und graphisch ausgeglichen, sowie die zum Vergleich der GrSi3enordnung angeffihrten Sterbenswahrscheinlichkeiten der Ehefrauen sind der ~bersichtlichkeit halber in Abb. 3 zusammengestellt.

%oi

y÷5

Abb. 3 Ver~inderungswahrscheinlichkeiten fllr den Familienstand

Infolge des FeMens der statistischen Unterlagen wurde ZAx ~--sAx ~ wA x ----Ax gesetzt; diese GrSl~en wurden als gewogenes arithmetisches Mittel der einzelnen Altersver~eilungen der Heiratenden ebenfalls aus dem Stabis~isehen Jahrbuch 1952, Seite 38/39, ermittelt (vgl. Abb. 4).

In der Abb. 5 sind die Altersdifferenzen der Heiratenden sowie die gleitende Alters- differenz nach dem Tabellenwerk [3] dargestellt. Aul~erdem wurden mit den be-

66

Abb. 4 Einige Verteflungen der Alters- differenzen der t te iratenden

%

FO

//

- fO 0

~_ x = 24,,5

[,~ x = 39,5 ; \

~"1o ,,Zo VAxy

schriebenen 8 Ausgangsreihen Vqx+~, Sqx+., Wqx+. , vqy+., Sx+. Shx+~, Whx+~, Ax+. drei Beispiele ffir die Erwartungswerte der Altersdifferenz durchgerechne~ und die Er- gebnisse ebenfalls eingetragen.

Abb. 5 Altersdifferenzen und ihre Erwartungswerte

Aj 20.

i

7O

5

0

-$

V ~

_ k A~5,25

" " " - ,~E~x + k ~ zo, zo

x,,k nach[3]

30 qO 50 60 x ÷k

I m ersten Beispiel betr/~gt x = 45 und VLJxy = - - 5; infolgedessen ist der EinfluB der Wiederverheiratungen nach Verwitwung dominant. I m zweiten Beispiel dagegen (x = 45, V~Jxy = + 20) sind beide MSglichkeiten der Wiederverheiratung gleich stark. Schliel31ich is~ im drit~en Beispiel mit x = 30 und VZJxy = + 10 der Efllflul] der Ehescheidungen starker. Entsprechend der Darstellung in Ziff. 5 ergaben sich folgende Werte ffir die Teilbest~nde 1--3:

Teilbestand Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3 Beispiel 3 x = 4 5 , VAxy=-5, n = 2 0 x=45,VLIxy = 2 0 , n = 2 0 x = 8 0 , VAxy=10, n = 2 0 x = 3 0 , VAxy=10, n = 8 5

Alters- Anzahl Alters- Anzahl Alters- Anzahl Alters- Anzahl differenz differenz differenz differenz

1 0,559 -- 5 0,721 20 0,803 10 0,589 10 2 0,014 12,2 0,014 12,2 0,067 6,8 0,059 7,9 3 0,058 13,0 0,010 12,8 0,014 8,0 0,024 11,0

1A-2~3 0,631 -- 3,0 0,745 19,8 0,884 9,7 0,672 9,9

An allen Beispielen ist die asymptotische Eigenschaft der Kurve der Altersdifferenz der Heiratenden deutlich sichtbar. Die Bedeutung der gestrichelten Linie wird in Ziff. 9 erl~utert. I m Beispiel 1 wurden auch die restlichen Teilbest/£nde wie folgt ermittelt :

Teilbestand 4 Anzahl 0,007,

5" 67

Teilbestand 5 Anzahl 0,124, Teilbestand 6 Anzahl 0,238.

Die nach Formel (38) erreehnete Wahrseheinlichkei~, verheiratet zu sein, ergab sich ebenfaUs fiir n = 20 als 0,828.

9. Anwendungen

Bei den Einzelpensionstarifen der Lebensversicherungsgesellschaften sind die An- wartsehaftsbarwerte auf die Witwenrente in der Regel nur ffir e ine konstante Alters- differenz, z .B. yon 5 Jahren, mit einer Wahrscheinlichkeit, verheiratet zu sein, gleich 1 errechnet. Bei iiberdurchschnittlichen Altersdifferenzen, etwa von 8 und mehr Jahren, wird die versicherte Witwenrente um einen gewissen Prozentsatz gekfirzt. Diese Kfirzung kann auch durch Abschlu$ einer zus~tzliehen Versicherung ausgegliehen werden. Wendet man hierauf die in der vorliegenden Untersuchung gewormenen Ergebnisse an, so ergibt sich als e x a k t e r Barwert der Anwartschaft auf die Witwenrente bei vorgegebenen x und y und bei Festlegung der Dauer n, w/~hrend der die Versicherung nach kollektiver Methode 1/~uft (beim Alter x + n erfolgt also die Festlegung der Begiinstigung der Witwe)

n - - 1

(45) ] - -1- g'VDx+n" nVttx • (wa~+n+~x+ n - v, Vax+n,7+n+~+n) mit ex+k = VAxy -- ~Axy.

Die praktische Verwendung dieser Formel st513t auf fiberaus umst/~ndliche Rechen- arbeiten. Daher empfiehlt sich hier folgendes N~herungsverfahren. Man erhebt vom Ehepaar x und y s tar t der ji~hrlichen Pr~mie

yaW(t) xy

Pxy ---- aa (46) a - -

x n l

eine solche ffir die Kombinat ion x und y - - e, also yaW(t)

x,Y--$x+n Px, y - , - - a a ( 4 7 )

a - - xn]

Durch diese Verzerrung der anf~nglichen Altersdifferenz werden die naeh x ~ n eintretenden Todesf~Ue exakt erfaBt, w~hrend die bis zum genannten Zeitpunkt an- faUenden Witwen nut im Rahmen der durch dieses Verfahren erzielten ,,Dehnung" berficksichtigt werden. Das vorgeschlagene Verfahren macht die Verwendung jeg- licher Zusatzversicherungen oder Kfirzungss~tze der Witwenrente iiberflfissig. Seine Genauigkeit mSge am folgenden Beispiel mit x = 45, y = 50 und n = 20 gezeigt werden. Die Wahrscheinlichkeiten, verheiratet zu sein, wurden dem Beispiel 1 der Ziff. 8 entnommen, die Gesamtsterblichkeit dem Tabellenwerk [3 ] als exakte doppelt abgestufte Gesamtsterblichkeit der Aktivenzerfallordnung. Es wurde ferner ange- nommen, dab diese Gesamtsterblichkeit die Gesamtsterblichkeit nach Formel (27) darstellt. Es ergab sieh nach Formel (46) eine j/ihrliehe Nettopr/~mie yon 0,2533, w/~hrend die Formel (47) eine solche yon 0,2567 lieferte. Der absolute Fehler betr~gt -4-0,0034 und der relative Fehler nur ~-1,3%. Liegen die anf~nglichen Altersdifferenzen etwa so wie in den Beispielen 2 und 3, so stellen die Barwerte naeh der individuellen Methode gleichzeitig n/~herungsweise

58

aueh die Barwerte nach der kollektiven Methode dar. ~berhaupt bildet das geschil- derte Verfahren der Ver/~nderung der rechnungsmi~Bigen Altersdifferenz ein Analogon zu der bekannten Methode von Rueff [6], bei der das Eintrittsalter variiert wird. Ebenso wie in der genannten Abhandlung die Gegenauslese durch eine zus/itzliehe Altersversehiebung von 2 Jahren (Klassenselektion) beriicksichtigt wird, kann auch bier bei gewissen Personenkreisen mit ausgepr~gter Heiratsh/~ufigkeit eine ,,Er- schwerung" in Form einer zus/~tzlichen Altersdifferenz additiv angesetzt werden. Will man sich auf eine einzige rechnungsm~Bige Altersdifferenz besehr/~nken und die Witwenrente bei hSheren Altersdifferenzen kiirzen, so spielt bei der Untersuchung der Kombinationen, ffir die diese Kiirzung vorgenommen werden soil, und fiir den Umfang der Kiirzung die im folgenden als kritisehe Linie bezeichnete Kurve eine wichtige Rolle. Diese Kurve wird bei vorgegebenem festem Altersrentenbeginn- alter x + n, zu dem auch die Festlegung der Begiinstigung der Witwenrente erfolgt,

v - - als die Gesamtheit aller Anfangspunkte (x, VZJxy) dureh die Relation VAxy = n~xy implizit definiert. Sie verli~uft stets oberhalb der Reihe A x der Heiratenden und mfindet in diese bei x + n. Ffir alle Kombinationen (x, VAxy) mit dem Anfangs- punkt oberhalb der kritisehen Linie (vgl. Beisp. 2 und 3) ist die Individualpr~mie gewiB nicht niedriger als die Koilektivpr/imie; alle unterhalb der kritischen Linie liegenden Anfangspunkte stellen die Kombinationen dar, fiir die eine Kfirzung erforderlieh ist (vgl. Beisp. 1). Der ungef~thre Verlauf der kritischen Linie in den behandelten Beispielen ist in der Abb. 5 gestrichelt dargestellt. Auch bei der Berechnung yon Pensionsriiekstellungen, also den Deekungskapitalien der Anwartschaften auf die Witwenrente, kann der Erwartungswert verwendet wer- den. Hier liegt folgender Sachverhalt vor. Im Falle der Pensionszusage an einen e i n z e l n e n Versorgungsberechtigten steht es zu Beginn der Zusage und zu jedem spi~teren Berechnungstermin lest, ob er verheiratet ist oder nieht. Da Zusagen von Witwenrenten an Ledige nicht tiblich sind, wird im folgenden nur der erste Fall betrachtet, bei dem zwei Variationen denkbar sind: a) Bezugsberechtigt ist nur die- jenige Ehefrau, mit der der Versorgungsbereehtigte zum Zeitpunkt der Erteilung der Zusage verheiratet ist. Hier ist die Anwendung der individueilen Methode, etwa gem~B [4] eine Selbstverst~ndlichkeit. b) Bezugsberechtigt ist die beim Tod vor- handene Ehefrau, wobei in der Regel nach einer Anzahl yon Jahren, etwa zum Zeit- punkt der Pensionierung, die Festlegung der Begiinstigung erfolgt, so dab eine etwaige Wiederverheiratung danach keine Wiederbelebung des Anspruchs auf Witwenrente zur Folge haben kann. Die nach Ziff. 6 zu bestimmenden Wahrschein- lichkeiten, verheiratet zu sein, weichen je nach den Ausgangsdaten x, VZJxy und der ab- gelaufenen Dauer m wesentlich yon den nur vom erreichten Alter x + m abh/£ngigen durchsehnittliehen Werten ab, die fiir die Aufstellung der koilektiven Methode, bei. spielsweise im Tabellenwerk [3], dort mit hx bezeiehnet, verwendet werden. Auf diesen Tatbestand hat bereits SchSnwiese in [1] hingewiesen. Es werden zahlreiche Verfahren zur Beseitigung dieses MiBstandes bei Versorgungs- zusagen im Fall b) verwendet. Am primitivsten ist wohl die Elimination der Wahr- seheinliehkeiten hx durch die Division der Anwartschaftsbarwerte durch 1 -- lax zu bezeiehnen. Besser ist dagegen die Verwendung der individueilen Methode etwa gem~LB [4]; diese hat nur den Nachteil, dab die kiinftige Ver~nderung des Risikos durch Wiederverheiratungen mit andersaltrigen Frauen nicht beriicksichtigt wird. Beispielsweise ist die HShe der Witwenrentenverpfliehtung an einen 45j/~hrigen, der mit einer um 5 Jahre/~lteren Frau verheiratet ist, in Wirklichkeit grSBer als naeh der individuellen Methode bewertet. Umgekehrt ist es aber bei einem 45j~hrigen, der mit einer 25j/~hrigen Frau verheiratet ist. Der Erwartungswert der Altersdifferenz

69

ist das Kri terium fiir solche Aussagen. Bei Ausgangskombinationen oberhalb der kritischen Linie wird man also vorzugsweise die individuelle Methode anwenden. Da die Bereitstellung yon Barwerten fiir verschiedene Alter, Altersdifferenzen und Zins- fiiBe weder nach der exakten Formel (45), noch nach den Methoden yon Grieshaber [8] oder Saxer [5] schon aus wirtschaftlichen Gesichtspunkten mSglich ist, wird folgendes N~herungsverfahren vorgeschlagen. I m Gegensatz zum Verfahren yon Dienst [9] spielt hier die Altersdifferenz die wichtigste RoUe. Man bfldet die Verh~ltnisse f(x, VZ]xy, n - - m) der nach der fiblichen individuellen Methode ermittelten Barwerte der Witwenrentenanwartschaft fiir den Erwartungs- wert der Altersdifferenz und fiir den anf~nglichen Wert der Altersdifferenz:

f(x, VAxy, n - - m) - - ax+nly+n-,,+n (48) a x + n l Y + n

Mit diesen Faktoren multipliziert man die Barwerte der Anwartschaft nach der individuellen Methode, wie sie beispielsweise in [4] angegeben sind, und rechnet dann yon Jahr zu Jahr die Reserve (Rtickstellung) mittels teehnischer Pr&mie, also ffir den Terrain x 4- m :

f (x 4- m, VZlx+m. y+m, n--m) aw a w " ( 4 ) a x + m - - l , y + m - - 1 - - m - - 1 V a w Px+mn-m l - - , (49) a a

a x + m - 1, y + m - - 1 n - m + 11

mV aw f (x 4- m, vA x+m, y+m, n m) ,4, aw aw a a = - - " ~ J a x + m , y + m - - P x + m n - m l " a x + m , y + m n - m I •

(50) Es handelt sich also um eine yon Jahr zu Jahr verschiedene Dehnung der Reserve, die im Falle des Bestehens des anf~nglichen Paares nach n Jahren automatiseh den richtigen Wert angibt. Begniigt man sich mit einer Genauigkeit yon z. B. 0,1 Jahren bei der Altersdifferenz, so kann man entweder die Faktoren fiir ein festes Alters- rentenbeginnalter tabellieren oder im Bedarfsfalle die Barwerte selbst, etwa durch kubisehe Interpolation, mit kaum nennenswertem Arbeitsaufwand gewinnen. Selbst- verst~ndlieh kann man dieselben Faktoren auch auf anders errechnete Barwerte, z .B. fiir die Aktiven- oder die Gesamtsterblichkeitswerte, insbesondere auch ffir steigende Leistungen anwenden. Die Reserven sind dabei als nach kollektiver Methode erreehnet anzusehen. Die Frage, welche Reserve naeh der AuflSsung des anf~nglichen Paares etwa durch Scheidung zu stellen ist, beriihrt mehr die steuerliehen Fragen und soll hier nicht erSrtert werden. In der Abb. 6 ist der Verlauf der Reserven dar- gestellt, der sich nach der gesehilderten Methode mit dem Tabellenwerk [4] ergibt, und mit dem Verlauf der nach der individuellen Methode errechneten Reserve ver- glichen.

mif dem / re k J o r ~ /

/ ~,/~diw/'dL/e// Abb. 6 0 ; : ; : ~_ Deckungskapitalien

0 fO 20 k

70

Absehl ie~end mug noch gesagt werden, dal3 die Auswer tung der angegebenen For - meln fiir d ie E rwar tungswer t e de r Al~ersdifferenz m i t Rechena rbe i t en erhebl ichen Umfangs ve rbunden ist. Der E insa tz yon e lekt ronischen Rechenger~ten wiirde sich gerade hier lohnen. Besonders e rs t rebenswer t is t eine vol ls t~ndige Dars teUung der E rwar tungswer t e und der kr i t i schen Linien gem~I3 Abb. 5.

Eingegangen am 19. Dezember 1957.

LITERATURVERZEICHNIS

[1] Sch6nwiese, R.: ,,Witwenrentenversieherung nach direkter Methode", BlOtter f'tir Versiehe- rungsmathematik, Band 5, S. 75 (1940).

[2] Freudenberg, K.: ,,Die Sterblichkeit naeh dem Familienstande in Westdeutschland 1949/51", VerSffentlichung Reihe A, Nr. 1, der Deutsehen Akademie far Bev61kerungswissenschaft an der Universit~t Hamburg, Hamburg (1957).

[3] Heubeck/Fischer: ,,Riehttafeln f'tir die Pensionsversieherung", Mathematiseher Tabellen- Verlag Ren6 Fischer, WeiBenburg/Bayern (1948).

[4] HeubecI~/Fischer: Erg~nzung I I I zu [3] (1956). [5] Saxer, W.: ,,Versieherungsmathematik", 1. Teil, Springer-Verlag (1955). [6] Rue], Ft.: ,,Ableitung von Sterbetafeln f'fir die Rentenversicherung und sonstige Versiche-

rungen mit Erlebensfallcharakter", SonderverSffenthehung l~r. 2 der DGVM (1955). [7] Statistisches Jahrbueh ftir die Bundesrepublik Deutschland 1952. [8] Grieshaber, H.: ,,Die Rechnungsgrundlagen der Versicherungskasse f'dr die eidgen6ssischen

Beamten, Angestellten und Arbeiter", Bern (1922). [9] Dienst, H.-R.: ,,Witwenrentenanwartschaft und Ehestandsh~ufigkeit", BlOtter der DGVM,

Tell I in Bd. II , Heft 4 (1956), Tell I I in Bd. I I I , Heft 2 (1957).

Summary

The paper discusses the valuation of widows' pensions payable to the original wife or to any subsequent wife in the event of remarriage. For this purpose the mathematical expectation of the difference in age of husband and wife is expressed as a function of the initial difference in age and of the years to run. All changes of marital status by death, divorce and remarriage are taken into account, using probabilities depending on the marital status. The expected age-difference and the probability of being married are illustrated by numerical examples. When these results are obtained in relation to a closed aggregate of persons as a series for successive ages they can be used to establish tables for widows' pensions based on the collective method. Finally, some approximate formulae, avoiding tedious calculation, are given for the evaluation of present values, net premiums and premium reserves.

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