Fraktale

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Fraktale Julia-Mengen

die Mandelbrotmenge

komplexe Abbildungen

realisiert als JAVA-Applet


z z2

Beispiel 1: z=2+iz=2+i

Erinnerung: Komplexe Zahlen


z z2


Problem:

Jede komplexe Zahl verhält sich unter der Abbildungz z2 anders.

Welche Zahlen liegen in einem bestimmten Radius ?

Welche Zahlen „fliegen“ bei einer bestimmten Anzahl von Hintereinanderausführungen der Abbildung aus jedem Radius heraus ?

Hintereinanderausführung einer Abbildung wird als „Iteration“ der Abbildung bezeichnet.


Unterteilung der komplexen Zahlenebene in zwei Bereiche:

Punkte, die nach einer bestimmten Anzahl n von Iterationen innerhalb eines bestimmten Radius liegen (Gefangenenpunktmenge)

Punkte, die außerhalb dieses Radius liegen(Fluchtpunktmenge)

Idee des Mathematikers Julia um 1900:


Die Julia-Gefangenenpunktmenge für die Konstante C=-0.5 + 0.5i

nach 0 1 2 18 Iterationen6


Ansätze der Realisierung

a) Realisierung als Applikation

schlechte Portabilität ins Internet

JAVA-Viewer nötig zum Berechnen der Fraktale

b) Realisierung als Applet

von jeder Maschine aus ausführbar (im Browser)

das Programm kann beliebig weitergegeben werden

c) Gleichzeitige Realisierung von a) und b)

Konflikte zwischen Applet und Frames müssen abgefangen werden höherer Programmieraufwand


Realisierung als Applet

Interaktivität des Programms i.A. auf zwei Arten möglich:

a) AWT

komfortable Steuerung wie in Anwendungen

Programm erfordert jedoch hohe Rechenleistung, und da nicht multithreaded programmiert wurde, können während des Zeichenvorgangs keine Events bearbeitet werden !!

b) Parameterübergabe aus HTML-Code

Individuelle Einstellung möglich, jedoch nur eingeschränkte Interaktivität

Dennoch zur Zeit einzige sinnvolle Lösung


Parameter

String [][] info ={

{PARAM_CRe,"double","Konstante, Realteil"},{PARAM_CIm, "double" , "Konstante Imaginärteil"},{PARAM_ItDepth, "int" , "Iterationstiefe"},{PARAM_ItBegin, "int","Anfangsiterationszahl"},{PARAM_ItStep,"int","Iterationsschrittweite"},{PARAM_xshift,"double","Verschiebung in Re-Richtung"},{PARAM_yshift,"double","Verschiebung in Im-Richtung"},{PARAM_xscale,"double","Zoomfaktor x-Aspekt"},{PARAM_yscale,"double","Zoomfaktor y-Aspekt"},{PARAM_Colors,"boolean","jeder zweite Schritt Schwarz"}

};

Konstante C, benötigt C.Re und C.Im

Iterationstiefe, ggf. Iterationsbeginn und Schrittweite

Skalierungs- und Translationsfaktoren zum Verschieben der Zeichnung

Farbenschalter: Farbverlauf oder alternierendeFarben, ggf. Grundfarben


Klasse CNumber

class CNumber // COMPLEX NUMBERS{

public double Re;public double Im;

CNumber (){

this(0.0,0.0);}

CNumber (double r, double i){

Re=r;Im=i;

}

public double Betrag(){

return Math.sqrt(Re*Re+Im*Im);}public String toString(){ return (Re+"+"+Im+"i"); }}


public void paint(Graphics g){

double farbwechsel=0;for (int i=iteration; i<totalDepth;i+=itStep){if (Cycle==true)

{ farbwechsel+=(255.0d*(1.0d/(totalDepth))); farbe =new Color((int)(farbwechsel),0,0);}else {

if (i%2==0){ farbe=Color.black; }else{ farbe=Color.red; }

}g.setColor(farbe);showStatus("Iteration Nr."+i+

"; Colormode:"+Cycle);Julia (i,g);

}}

Paint


Colormode : Schattiert oder zweifarbig ?

schattierte Darstellung:

mit jedem Iterationsschritt wird der R-Anteil der Zeichenfarbe um 1 / totalDepth erhöht

Cycle-Darstellung:

jeder zweite Iterations-schritt wird schwarz gemalt


Der Pixelspiel-Algorithmuspublic void Julia(int IterationDepth,Graphics g ){

if (C.Betrag()>2.0) Grenzbetrag=C.Betrag();int iteration=0;for (int y=0;y<600;y++){

for (int x=0; x<600;x++){

CNumber z=new CNumber();z.Re=(xscale*x)+xshift; z.Im=(yscale*y)+yshift;

// z=QuadMap(Null); //Mandelbrotwhile

((z.Betrag()<Grenzbetrag)&&(iteration<IterationDepth)){

z=QuadMap(z);iteration++;

}iteration=0;if (z.Betrag()<Grenzbetrag)

g.fillRect(x,y,1,1);

}}

}


Erweiterung: die Mandelbrotmenge

Betrachtung der Parameter, bzw. der verschiedenen Abbildungen, die eine Julia-Menge erzeugen.

M ={C | Julia-Menge ist stetig für C}

Startwert der Iteration wird als C gewählt und in die Abbildung mit übernommen

Die Mandelbrotmenge ist eine „Landkarte“ für stetige (zusammenhängende) Julia-Mengen

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