HelabaLandesbank Hessen-Thüringen Girozentrale

Eine Einführung in die VaR-BerechnungReferent: Klaus Bohl

Frankfurt MathFinance Institute, 20. Dezember 2000

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

2

Agenda

• Fakten und Zahlen aus der Praxis

• Grundlagen interner Modelle (GS I, MaH)

• VaR

• Eine Alternative zum VaR

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

3

Organisationsstruktur in der Commerzbank

Unternehmensbereich Konzernsteuerung Unternehmensbereich Konzernsteuerung

Zentraler Stab Risikocontrolling (ZRC)

Zentraler Stab Risikocontrolling (ZRC)

Fachbereiche

Marktrisiko Bonds

Marktrisiko Equities

Marktrisiko Treasury

Methoden und Policies

Operationales Risiko

Gruppen

Marktdaten

Marktgerechtigkeitsprüfung

Fachbereiche

Marktrisiko Bonds

Marktrisiko Equities

Marktrisiko Treasury

Methoden und Policies

Operationales Risiko

Gruppen

Marktdaten

Marktgerechtigkeitsprüfung

Zentraler Stab Kredit (ZKA)

Zentraler Stab Kredit (ZKA)

Risk Commitee (RC)

RisikomanagementRisikomanagement

Fachbereiche

Commercial Banking

Prophylaxe/ Work out

Investment Banking

Fachbereiche

Commercial Banking

Prophylaxe/ Work out

Investment Banking Zentraler Stab Recht (ZRA)

Zentraler Stab Recht (ZRA)

Interne RevisionInterne Revision

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

4

Geschäftsberichte 1999 im Vergleich

• Risikobericht erstmals pflichtmässig im Geschäftsbericht- Welche Risikoarten werden unterschieden?- Wie ist die Organisationsstruktur?

• Angaben zu Marktpreisrisiken- Value-at-Risk bzw. Money-at-Risk Zahlen- Anerkennung für Internes Modell?

• Angaben zu Operativen Risiken

Deutsche BankDresdner BankCommerzbank

Deutsche BankDresdner BankCommerzbank

WestLBBalabaHelaba

WestLBBalabaHelaba

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

5

Bilanzsummen 1999 im Vergleich

0100200300400500600700800900

in M

rd. E

UR

O

Dt. Ban

k

HypoVer

eins.

DreBa

Wes

t LB

Comm

erz

Balab

a

Helab

a

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

6

VaR- bzw. MaR-Zahlen 1999 im Vergleich

0

50

100

150

200

250

300

350

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

7

VaR- bzw. MaR-Zahlen 1999 im Vergleich

020

4060

80100120

140160

180

in M

io E

UR

O

Zinsen

Währungen

Sonstige

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

8

Internes Modell gemäß Grundsatz I

Dt. Bank Für alle Marktrisikopositionen (allg. + spez. Kursrisiko)

DreBa Für alle Marktrisikopositionen (allg.) seit 1998

Helaba Für Zinsänderungsrisiken (allg.) seit 1998

Commerzbank Ausbau des Konzepts (Prüfung geplant)

WestLB Ausbau des Konzepts

Balaba Ausbau des Konzepts

Dt. Bank Für alle Marktrisikopositionen (allg. + spez. Kursrisiko)

DreBa Für alle Marktrisikopositionen (allg.) seit 1998

Helaba Für Zinsänderungsrisiken (allg.) seit 1998

Commerzbank Ausbau des Konzepts (Prüfung geplant)

WestLB Ausbau des Konzepts

Balaba Ausbau des Konzepts

Hinweise aus Traber-Artikel (WM Heft 20/2000)

1998 gab es 15 Anträge, davon wurden 9 Interne Modelle genehmigt

Multiplikator liegt zwischen 3,1 und 5,0 (Median 4,4)

(seit Frühjahr 2000: Eine Bank mit Multiplikator 3,0)

Hinweise aus Traber-Artikel (WM Heft 20/2000)

1998 gab es 15 Anträge, davon wurden 9 Interne Modelle genehmigt

Multiplikator liegt zwischen 3,1 und 5,0 (Median 4,4)

(seit Frühjahr 2000: Eine Bank mit Multiplikator 3,0)

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

9

Risikomesssysteme – Drei Problemkreise

Daten

MathematischeModellierung

IT

40 %40 %

20 %20 %

40 %40 %

Vgl. Traber, Uwe [2000]Vgl. Traber, Uwe [2000]

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

10

Bei der Betrachtung der Bestände sind die Begrifflichkeiten von Handelsrecht, MAH und Grundsatz I zu unterscheiden

Handels-bestand

Nicht-Handels-bestand

Nicht-Handels-geschäfte

Handels-geschäfte

Geschäftsbestand

Trading-Book

Non-Trading-

Book

MAH

Handels-recht

GS I

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

11

Interne Modelle - organisatorische Anforderungen der Aufsicht

Anforderungen aus:

- MaH- Grundsatz I

- BIZ

• Angemessene Aufsicht durch Geschäftsleitung

• Adäquates Risikomanagementsystem

• Angemessenes Internes Kontrollsystem

Ergebnis-überleitung

zur GuV

Positions-abstimmungen

Markt-konformitäts-

kontrollen

Personal

Verantwortungder

Geschäftsleitung InterneGeschäfte

Portfolio-strukturAbwicklung

Internes Modell

Revision

Ergebnis-ermittlung

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

12

Wirtschaftlichkeit und interne Modelle

Zwischen den Kosten einer Informationsrechnung und dem Nutzen der durch sie vermittelten Informationen muss ein angemessenes Verhältnis bestehen.

(Aus: Busse von Colbe, W./Ordelheide, D.: Konzernabschlüsse, 6. Auflage, 1993, S. 42)

Zu erfassende Risikofaktoren gemäss GS I:

Bei der Bestimmung der potentiellen Risikobeträge sind alle nicht nur unerheblichen Marktrisikofaktoren in einer dem Umfang und der Struktur des Geschäftes des Instituts angemessenen Weise zu berücksichtigen.

(§ 35 Abs. 1)

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

13

Grundlagen interner Modelle (GS I, MaH)

  MaH

  GS I

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

14

MaH

Mindestanforderungen an das Betreiben von Handelsgeschäften der Kreditinstitute

2.4 Qualifikation und Verhalten der Mitarbeiter

Absatz 3:

Die Gehälter der Mitarbeiter des Risiko-Managements und des Risiko-Controllings sowie der Abwicklung sollten so bemessen sein, dass qualifiziertes Personal gefunden und gehalten werden kann.

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

15

VaR

  Definition des VaR

  Die drei Klassen der VaR-Methoden

  Beispiele

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

16

Statistische Grundbegriffe für MaR-Modelle

• Haltedauer: Zeitraum, den man zur Liquidation bzw. vollständigen Ab-sicherung der Handelsposition braucht ( z.B. 1 Tag, 10 Tage).

• Historischer Beobachtungszeitraum: Wie weit in die Vergangenheit werden die Marktschwankungen (Volatilitäten) der Risikofaktoren analysiert (z.B. 250 Handelstage)?

• Konfidenzniveau: Beschreibt die Wahrscheinlichkeit (z.B. 99%), mit der eine nachfolgend zu berechnende, in Geldeinheiten gemesseneVerlustobergrenze nicht überschritten wird.

• Korrelationen: Das Gesamtrisiko des Portfolios ist geringer als die Summe der Risiken der einzelnen Positionen (Diversifikation)

Auf Basis der Analyse der Zinsentwicklung des letzten Jahres können wir mit 99%iger Wahrscheinlich-

keit sagen, daß unser Verlust von heute in 10 Tagen nicht höher als x Mio EUR sein wird.

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

17

VaR – Mathematische Definition

Seien die Risikofaktoren (Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Maß P) eines beliebigen Portfolios und

die dazugehörige Loss-Funktion in Abhängigkeit der Realisierungen der Risikofaktoren. Dann ist

der VaR zum Sicherheitsniveau von 99%.

Somit ist der VaR das kleinste 99%-Quantil der Verlustverteilung.

nn

n

,x,xLoss,x,x

Loss

11

:

n,x,x 1

n,X,X 1

99,0,,0inf 1%99 cXXLossPcVaR n

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

18

Verteilung der Delta-Gamma-Approximation

Unter der Normalverteilungsannahme für die Risikofaktoren hat die Taylorapproximation 2.Ordnung eine Verteilung wie die Summe einer Linearkombination von unabhängigen nicht-zentral Chi-quadrat- und einer unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen.

(Handbook of Statistics 1980)

Matrix der itVielfachhemit Eigenwerte die die sind Dabei

sind.eilt normalvert Uund -quadratChi zentralnicht die

und unabhängig Uunddie wobei,,~,~

'2

1

2

22

jj

j

jj

jjjj

f

UfPNr

rrrP

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

19

Eine Alternative zum VaR

  Definition des ML

  Eigenschaften des ML

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

20

Maximum Loss – Mathematische Definition

Seien wie vorhin die Risikofaktoren und die betrachtete Loss-Funktion. Es wird

nun die Loss-Funktion auf die volumenmäßig kleinste (meßbare) Konfidenzmenge im Faktorraum eingeschränkt und deren Maximum als Maximum Loss bezeichnet.

Ist C nicht eindeutig bestimmt, könnte das Supremum über alle C herangezogen werden.

Sind die Risikofaktoren gemeinsam normalverteilt, dann ist die Konfidenzmenge ein Ellipsoid.

n,X,XLoss 1

n,X,X 1

BVolCVolBPBCP

CxxxxLossML

nn

nn

99,0:99,0

wobei,,,,,sup 11%99

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

21

Maximum Loss – Konfidenzellipsoid

Im dreidimensionalen Faktorraum kann ein 99%-Konfidenzellipsoid so aussehen:

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

22

Maximum Loss – Subadditivität

Sind A und B zwei disjunkte Porfolios mit Loss-Funktionen LossA und LossB, dann gilt

Beweis:

BABA LossMLLossMLLossLossML

.

:0

)()()(

)(:0

qedLossMLLossMLLossML

LossMLLossMLLossML

LossMLLossMLxLossxLossxLoss

LossMLxLossLossMLCx

BABA

BABA

BABABA

BABABA

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

23

Maximum Loss >= VaR

Das kleinste -Quantil der Verlustverteilung ist nicht größer als der Maximum Loss über einem –Konfidenzbereich.

Beweis:

PUUUzzLosszLosszP meßbar, supinfinf

zLosszPQ inf

PUUUzzLossE meßbar, supinf

E.Qist gilt, 0 allefür dies Da .ist Also

. und ist Dann .sup Setze

sup und mit meßbaresein esgibt Dann .0 Sei

:EQ

ExQ

xzLosszPPUxzLosszUUzzLossx

EUzzLossEPUU

.

auchist gilt, 0 allefür dies Da .supfolgt Daraus

.sup und ist Dann . Setze

Qmit ein esgibt Dann .0 Sei

:

QE

QUzzLossE

UzzLossPUzLosszU

QzLosszP

EQ

Mat

hFin

an

ce 2

0.12

.20

00

24

Literaturhinweise

Artzner, Philippe/Delbaen, Freddy/Eber, Jean-Marc/Heath, David: Coherent Measures of Risk, Mathematical Finance, Vol.9, No.3 (July 1999), p. 203-228

www.GloriaMundi.org: All about Value-at-Risk by Barry Schachter.

Grundsatz I. Rechtsverordnung zu §§10, 10a KWG.

Hull, John: Options, Futures and other Derviatives. Fourth Edition, 2000

RiskMetricsTM-Monitor. First quarter 1996.

RiskMetricsTM-Technical Document. Fourth Edition, 1996

Traber, Uwe: Die Prüfung und Zulassung bankinterner Marktrisikomodelle nach § 32 Grundsatz I, in: WM Heft 20/2000

HelabaLandesbank Hessen-Thüringen Girozentrale

Klaus Bohl, Frankfurt am Main, 20. Dezember 2000

Ein frohes Weihnachtsfest und einen gutenRutsch ins neue Jahr wünscht ihnen imvoraus

Ein frohes Weihnachtsfest und einen gutenRutsch ins neue Jahr wünscht ihnen imvoraus