Willi Bohl Wolfgang Elmendorf - ciando...

Willi BohlWolfgang Elmendorf

Technische Strömungslehre

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Kamprath-Reihe

Prof. Dipl.-Ing. Willi BohlProf. Dr.-Ing. Wolfgang Elmendorf

TechnischeStrömungslehre

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen, Hydrostatik,Aerostatik, Inkompressible Strömungen, Kompressible

Strömungen, Strömungsmesstechnik

15., überarbeitete und erweiterte Auflage

Vogel Buchverlag

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Prof. Dipl.-Ing. WILLI BOHL,

Jahrgang 1936. Nach dem Abitur 1955 und anschließendem Industriepraktikum studierte er bis 1960 Maschinenbau an der Technischen Hochschule Karlsruhe (heute Universität) mitabschließendem Diplom. Einer zweijährigenIndustrietätigkeit folgte die Dozentur an derdamaligen Fachhochschule Heilbronn. Prof. Bohlbetreute bis 1999 die Vorlesungen und Übungen fürStrömungslehre und Strömungsmaschinen undwar Leiter des Labors Strömungsmaschinen.

Von den Autoren sind folgende Vogel-Fachbüchererschienen:

BOHL/ELMENDORF: Strömungsmaschinen 1W. BOHL: Strömungsmaschinen 2BOHL/ELMENDORF: Technische Strömungslehre

Prof. Dr.-Ing. WOLFGANG ELMENDORF,

Jahrgang 1960. Nach dem Abitur 1979 und demWehrdienst studierte er bis 1986 Maschinenbau ander RWTH Aachen. Während der nachfolgendenwissenschaftlichen Tätigkeit am Institut für Strahlantriebe der RWTH beschäftigte sich Wolfgang Elmendorf insbesondere mit Transsonik-und Überschallverdichtern. Nach der Promotion1994 arbeitete er bei der Siemens AG KWUzunächst in der Verdichterentwicklung und übernahm später die Verantwortung für die Anlagenbewährung und Rotordynamik der Gasturbinen. Prof. Dr.-Ing. W. Elmendorf, seit 1999 Nachfolgervon Prof. W. Bohl an der Hochschule Heilbronn, ist dort für Vorlesungen und Labore im Bereich Strömungstechnik, Strömungsmaschinenund CFD (Computational Fluid Dynamics) verantwortlich.

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ISBN 978-3-8343-3329-215. Auflage. 2014Alle Rechte, auch der Übersetzung, vorbehalten.Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form(Druck, Fotokopie, Mikrofilm oder einem anderenVerfahren) ohne schriftliche Genehmigung desVerlages reproduziert oder unter Verwendungelektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigtoder verbreitet werden. Hiervon sind die in §§ 53, 54 UrhG ausdrücklich genannten Ausnahmefälle nicht berührt.Printed in GermanyCopyright 1971 by Vogel Business Media GmbH & Co. KG, Würzburg Satzherstellung und digitale Bildbearbeitung: Fotosatz-Service Köhler GmbH, Würzburg


Sowohl die mehr als 40-jährige Lehr- und Praxiserfahrung von Prof. Dipl.-Ing. Willi Bohl alsauch die mehr als 25-jährige Lehr- und Praxiserfahrung von Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Elmendorf –beide haben sich intensiv mit strömungstechnischen Abläufen in Industrie und Forschung beschäftigt – sind Grundlage dieses Lehrbuchs. Das gilt auch für Erfahrungen aus der langjähri-gen Betreuung von Studien- und Abschlussarbeiten, die meist über einen engen Industriekon-takt im Labor für Strömungsmaschinen der Hochschule Heilbronn von den Autoren begutachtetwurden.

Seit der 1. Auflage 1971 wurde dieses Standardwerk kontinuierlich weiterentwickelt und aufdem Stand der Technik im Umfang mehr als verdoppelt. Das hier beschriebene und konkreti-sierte Know-how der technischen Strömungslehre, einschließlich der kompressiblen Strömun-gen und der immens wichtigen Strömungsmesstechnik, gewährleistet eine praxisnahe Aus-bildung für Studentinnen und Studenten im Maschinen- und Anlagenbau sowie der Versor-gungs- und Verfahrenstechnik. Wichtige Grundgleichungen wurden abgeleitet und Grenzen derGenauigkeit der Berechnungen erläutert. 46 durchgerechnete Beispiele zum jeweiligen Themafestigen das Gelernte.

Zahlreiche aussagekräftige Bilder, Tabellen, Diagramme mit Stoffeigenschaften und empiri-sche Beiwerte ermöglichen auch dem Ingenieur und Techniker, das Lehrbuch als Nachschlage-werk für Lösungen von strömungstechnischen Aufgaben in der täglichen Praxis zu nutzen. Be-sonders ausführlich ist diesbezüglich das Thema Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungenbearbeitet. Zur Bewältigung mathematischer und physikalischer Berechnungen genügen Kennt-nisse der einfachen Mechanik, der Differential- und Integralrechnung.

Da das Buch auch als Vorlesungsbegleitbuch an Hochschulen, Fachhochschulen und ver-gleichbaren Bildungseinrichtungen verwendet wird, wurden die abgeleiteten bzw. aus anderenQuellen übernommenen Gesetzmäßigkeiten und Gleichungen (von wenigen Ausnahmen abge-sehen) als Größengleichungen angelegt – sie gelten demnach unabhängig vom verwendetenMaßsystem. Die Bezeichnungen der physikalischen Größen und Werte entsprechen weitest-gehend den einschlägigen ISO- und DIN-Normen sowie VDI-Richtlinien.

Wir bedanken uns beim Vogel Buchverlag für die fachmännische Beratung und Unter-stützung sowie den gewohnt sorgfältigen Druck.

Resonanz zum Buch und den vermittelten Lösungswegen ist uns stets willkommen, weil einlebendiger Wissensaustausch Forschungs- und Lehrbetrieb immer wieder motivieren und inspi-rieren kann. Den schnellsten Kontakt erfüllt eine E-Mail: [email protected].

Heilbronn Willi BohlWolfgang Elmendorf

Vorwort


Vorwort. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Die wichtigsten Formelzeichen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Dichte, spezifisches Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2 Dichte von Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3 Dichte von Gasen und Dämpfen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4 Dichte von Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2 Viskosität Newton’scher Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2.1 Dynamische Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2.2 Kinematische Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.2.3 Temperaturabhängigkeit der Viskosität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.2.4 Druckabhängigkeit der Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2.5 Arbeitsunterlagen und Gebrauchsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.3 Viskosität nicht Newton’scher Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Thermische Stoffwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.2 Spezifische Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.3 Gaskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.4 Enthalpie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.5 Dampfdruck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6 Oberflächenspannungen und Kapillarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6.2 Oberflächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.6.3 Haftspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.4 Grenzflächendruck (Kapillardruck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.5 Kapillarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1 Ausbildung der freien Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2 Hydrostatischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.2 Einheiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.3 Erzeugung des hydrostatischen Druckes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.3.1 Kolbendruck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.3.2 Druckarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.3.3 Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.3.4 Kommunizierende Gefäße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3 Druckkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.1 Druckkräfte bei Wirkung des Kolbendruckes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.1.1 Druckkräfte gegen ebene Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.1.2 Druckkräfte gegen gekrümmte Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.2 Druckkräfte bei Wirkung des Schweredruckes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.2.1 Druckkräfte gegen ebene Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.2.2 Druckkräfte gegen gekrümmte Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Inhaltsverzeichnis


8 Inhaltsverzeichnis

2.3.2.3 Aufwärts gerichtete Vertikaldruckkraft (Aufdruckkraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.4 Auftrieb und Schwimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4.1 Statischer Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4.2 Thermischer Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4.3 Schwimmen und Schweben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4.4 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4.4.2 Stabilität von vollständig eingetauchten Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4.4.3 Stabilität von teilweise eingetauchten Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3 Aerostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 Zusammensetzung der Atmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3 Schichtung der Atmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4 Isotherme Schichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5 Isentrope Schichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6 Polytrope Schichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.7 Normatmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4 Inkompressible Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.1 Kontinuitätsgleichung (Durchflussgleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.2 Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3.2.1 Bewegungsgleichung längs einer Stromlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3.2.2 Energiegleichung längs einer Stromröhre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3.2.3 Verschiedene Druckbegriffe in einem strömenden Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.2.4 Einige praktische Anwendungen der Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3.3 Druckänderung senkrecht zur Strömungsrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3.4 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3.4.1 Allgemeine Ableitung und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3.4.2 Anwendungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3.5 Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.3.5.1 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.3.5.2 Spezielle Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3.5.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.4 Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.4.2 Ähnlichkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.4.3 Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.4.4 Froude-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.5 Modellversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.6 Strömungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.6.2 Laminare und turbulente Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.6.3 Umströmung von Kreiszylindern und Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.6.4 Strömende und schießende Bewegung bei Strömungen

mit freier Oberfläche unter Schwereeinfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.6.5 Turbulenzgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.7 Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen (Rohrhydraulik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.7.1 Energiegleichung für reibungsbehaftete Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.7.1.1 Stationäre Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.7.1.2 Instationäre Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.7.2 Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt

bei laminarer Strömung (Re < 2320) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151


4.7.3 Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt bei turbulenter Strömung (Re > 2320) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.7.3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.7.3.2 Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.7.3.3 Druckabfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.7.4 Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt

bei Strömung nicht Newton’scher Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.7.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.7.4.2 Fließgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.7.4.3 Repräsentative Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.7.4.4 Druckverlust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.7.5 Druckabfall in gewellten Rohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.7.6 Rohre mit nicht kreisförmigen Querschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.7.6.1 Hydraulischer Durchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.7.6.2 Bestimmung der Rohrreibungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.7.7 Strömungsverluste in Rohrleitungselementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.7.7.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.7.7.2 Rohreinläufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.7.7.3 Rohrausläufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.7.7.4 Querschnittsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.7.7.5 Richtungsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004.7.7.6 Rohrverzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.7.7.7 Dehnungsausgleicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094.7.7.8 Absperr- und Regelorgane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094.7.7.9 Drosselgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.7.7.10 Filter und Siebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.7.7.11 Zusammengesetzte Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.7.8 Einlaufstrecke (Rohreinlauf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2264.7.9 Spaltströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

4.8 Strömung in offenen Gerinnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.8.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.8.2 Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.8.3 Fließformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404.8.4 Hydraulisch optimale Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

4.9 Ausfluss aus Behältern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464.9.1 Ausfluss durch kleine Öffnungen bei konstantem Druckunterschied

und konstanter Spiegelhöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464.9.2 Ausfluss ins Freie durch große Öffnungen unter dem Einfluss

der Schwere bei konstanter Spiegelhöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2524.9.3 Ausfluss unter Gegendruck bei konstantem Niveauunterschied . . . . . . . . . . . . . . . 2544.9.4 Ausfluss bei veränderlicher Spiegelhöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2544.9.4.1 Ausfluss aus kleinen Öffnungen unter dem Einfluss der Schwere . . . . . . . . . . . . . . 2544.9.4.2 Instationärer Ausfluss unter Gegendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

4.10 Umströmung von Körpern (Außenströmung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2604.10.1 Strömungsbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2604.10.2 Kraftwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2684.10.2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2684.10.2.2 Reibungswiderstand (Flächenwiderstand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2704.10.2.3 Radscheibenreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2724.10.2.4 Druckwiderstand (Formwiderstand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2774.10.2.5 Gesamtwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2774.10.3 Luftkräfte an Fahrzeugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2854.10.3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2854.10.3.2 Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2854.10.3.3 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2864.10.3.4 Seitenwindkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2874.10.4 Schwebegeschwindigkeit von Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Inhaltsverzeichnis 9


4.11 Tragflügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2904.11.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2904.11.2 Kurze Einführung in die Geschichte der Tragflügeltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2904.11.3 Profilgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2924.11.4 Kräfte am unendlich breiten Tragflügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2944.11.5 Druckverteilung am Profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2954.11.6 Polardiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2974.11.7 Induzierter Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

5 Kompressible Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3055.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3055.2 Schallausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3055.3 Grundgleichungen der 1-dimensionalen Stromfadentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

5.3.1 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3085.3.2 Energiegleichung, Isentrope und Polytrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3095.3.3 Thermodynamische Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3145.3.4 Impulssatz und Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

5.4 Flächen-Geschwindigkeits-Beziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3145.5 Rohrströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

5.5.1 Druckabfall bei beliebigem Wärmeaustausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3165.5.2 Druckabfall bei isothermer Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3195.5.3 Druckabfall bei adiabater Strömung (Fanno-Strömung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3205.5.4 Druckabfall bei adiabater Drosselung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

5.6 Ausströmvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3255.6.1 Ausströmen aus Druckbehältern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3255.6.1.1 Ausströmgeschwindigkeit und Mach-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3255.6.1.2 Austretender Massenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3285.6.1.3 Kritischer Zustand für eine reibungsfreie Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3305.6.1.4 Kritischer Zustand für eine reibungsbehaftete Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3335.6.2 Ausströmen mit Vorgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3385.6.3 Laval-Düse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3395.6.3.1 Verhältnisse im Auslegungspunkt für eine reibungsfreie Strömung . . . . . . . . . . . . 3405.6.3.2 Verhältnisse im Auslegungspunkt für eine reibungsbehaftete Strömung . . . . . . . . 3425.6.3.3 Strömungsverhältnisse bei nicht angepasstem Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3435.6.3.4 Konstruktive Gestaltung von Laval-Düsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

5.7 Verdichtungsstöße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3465.7.1 Senkrechter Verdichtungsstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3475.7.2 Schräger Verdichtungsstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

5.8 Prandtl-Meyer-Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3505.9 Verdichtungsströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3525.10 Umströmung von Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

5.10.1 Strömungsbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3555.10.2 Druck- und Temperaturerhöhung im Staupunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3565.10.3 Widerstand von umströmten Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3585.10.3.1 Widerstand der ebenen Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3585.10.3.2 Widerstand räumlich ausgedehnter Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3585.10.4 Tragflügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3595.10.4.1 Tragflügel in reiner Unterschallströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3605.10.4.2 Tragflügel mit örtlichen Verdichtungsstößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3605.10.4.3 Tragflügel in reiner Überschallströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

6 Strömungsmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3636.1 Druckmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

6.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3636.1.2 Druckentnahme und Anbringung von Druckmessgeräten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

10


Inhaltsverzeichnis 11

6.1.3 Flüssigkeitsdruckmessgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3666.1.4 Kolben-Druckmessgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3706.1.5 Federelastische Manometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716.1.6 Elektrische Druckmessgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3726.1.6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3726.1.6.2 Widerstandsdruckmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3726.1.6.3 Kapazitive Druckaufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3736.1.6.4 Induktive Druckaufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3736.1.6.5 Piezoelektrische Druckaufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

6.2 Geschwindigkeitsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3746.2.1 Rotierende Stromwegmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3746.2.2 Staurohre und Sonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3776.2.2.1 Druckbegriffe in strömenden Fluiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3776.2.2.2 Totaldrucksonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3796.2.2.3 Statische Sonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3796.2.2.4 Staudrucksonden (Staurohre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3806.2.2.5 Strömungsrichtungssonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3826.2.3 Thermische Sonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3856.2.4 Optische Messsonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

6.3 Füllstandsmessung (Niveaumessung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3896.4 Volumenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3916.5 Durchflussmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

6.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3946.5.2 Netzmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3946.5.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3946.5.2.2 Anordnung und Anzahl der Messpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3956.5.2.3 Referenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3966.5.2.4 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3976.5.3 Wirkdruckverfahren mit Drosselgeräten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3996.5.4 Durchflussmessung in offenen Gerinnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4116.5.4.1 Messwehre (Überfallwehre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4116.5.4.2 Venturi-Kanäle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4136.5.5 Schwebekörper-Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4146.5.6 Magnetisch-induktive Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4156.5.7 Ultraschall-Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4166.5.8 Wirbelzähler-Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4186.5.9 Spezielle Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4196.5.9.1 Durchflussmessung aus dem Druckabfall in geraden Rohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4196.5.9.2 Durchflussmessung an Rohrkrümmern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4206.5.9.3 Ellison-Annubar-Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4216.5.10 Pulsierende Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

6.6 Viskosimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4246.6.1 Rotationsviskosimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4246.6.2 Fallkörperviskosimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4266.6.3 Kapillarviskosimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

Tafelverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

Namensverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495


12


Formel- empfohlene Bedeutungenzeichen SI-Einheit

A m2 Fläche, Querschnitta m/s2 Beschleunigung, Verzögerunga m, mm Durchmessera m/s SchallgeschwindigkeitB m BreiteB (V · s)/m2 magnetische Flussdichteb m BreiteC N FliehkraftC 1 GeschwindigkeitsbeiwertC F elektrische KapazitätC 1 DurchflusskoeffizientCP 1 AusnutzungsgradCS 1 Schubbelastungsgradc m/s AbsolutgeschwindigkeitcA 1 Auftriebsbeiwertca 1 AuftriebsbeiwertcD 1 FormwiderstandsbeiwertcF 1 WiderstandszahlcM 1 Drehmomentenbeiwertcm 1 Momentenbeiwertcp J/(kg · K) isobare spezifische WärmekapazitätcS 1 Beiwert der Seitenwindkraftcv J/(kg · K) isochore spezifische Wärmekapazitätcw 1 Widerstandsbeiwertcwi 1 Beiwert des induzierten WiderstandesD m DurchmesserD s– 1 Geschwindigkeitsgefälled m DurchmesserE N/m2 Elastizitätsmodule m AbstandF N KraftFr 1 Froude-Zahlf diverse Faktorf s– 1 FrequenzG N Gewichtskraftg m/s2 ErdbeschleunigungH m Höhe, Fallhöhe, FörderhöheH N Horizontalkrafth m Höhe, Überfallhöheh J/kg; (N · m)/kg; m2/s2 spezifische EnthalpieHe 1 Hedstrom-ZahlI m4 Trägheitsmoment, ZentrifugalmomentI kg · m/s ImpulsI A; mA elektrische Stromstärke

Die wichtigsten Formelzeichen und Einheiten



i 1 OrdnungsnummerJ 1; %; ‰ KanalgefälleK diverse IntegrationskonstanteK 1 Faktor, KalibrierbeiwertKG diverse GerätekonstanteKCh m0.5/s Geschwindigkeitsbeiwert nach BazinKMS m1/3/s Geschwindigkeitsbeiwert nach Manning-Stricklerk m; mm Rauigkeitk diverse FaktorL m Längel m Länge, Streckel mm MessausschlagM N · m Moment, DrehmomentM 1 Mach-ZahlMd N · m Moment, DrehmomentMi kg/kmol molare Massem kg Massem· kg/s Massenstromm 1 Öffnungsverhältnis von Drosselgerätenn 1 Exponent für Geschwindigkeitsprofiln 1 Öffnungsverhältnis von Behälternn 1 Anzahln 1 PolytropenexponentO m2 OberflächeP W Leistungp Pa; bar DruckR m RadiusR N KraftresultierendeRe 1 Reynolds-ZahlRi J/(kg · K) spezifische oder spezielle GaskonstanteRm J/(kmol · K) molare oder allgemeine GaskonstanteRS W Ohmscher Widerstandr m Radiuss m Weg, Strecke, Länge, Abstand, Blechdickes J/(kg · K) spezifische EntropieSr 1 Strouhal-ZahlT K absolute Temperaturt m Tiefe, Eintauchtiefe, Abstand, Teilungt s Zeitt °C Temperatur in Grad CelsiusU m UmfangU V; mV elektrische Spannungu m/s UmfangsgeschwindigkeitV m3 VolumenV· m3/s Volumenstromv m3/kg spezifisches Volumenw m/s Geschwindigkeit, Relativgeschwindigkeitx m Länge, Abstand, Koordinatex 1 Dampfgehalty m Länge, Abstand, KoordinateZ 1 Realgasfaktorz m Höhe, Koordinate

14 Die wichtigsten Formelzeichen und Einheiten



a grd, Bogenmaß Winkela 1 Energiestrombeiwerta 1 Durchflusszahl von Drosselgerätena m1/2 Rauigkeitsbeiwert für Gerinneb grd, Bogenmaß Winkelb 1 Geschwindigkeitsbeiwertb 1 Durchmesserverhältnis bei Drosselgerätenbp 1/K isobarer WärmeausdehnungskoeffizientbT 1/bar isothermer KompressibilitätskoeffizientG m2/s Zirkulationg grd, Bogenmaß Gleitwinkelg 1 Impulsstrombeiwertd m, mm Grenzschichtdicked grd, Bogenmaß Winkele 1 Gleitzahle 1 Expansionszahl bei Drosselgerätene0 F/cm Dielektrizitätskonstante des leeren Raumeser 1 Dielektrizitätskonstante des Fluidsz 1 Widerstandszahlx 1 relativer Druckverlusth Pa · s dynamische Viskositäth 1 Wirkungsgradk 1 Isentropenexponentl 1 Rohrreibungszahll 1 Seitenverhältnis von Tragflügelnm 1 Ausflusszahln m2/s kinematische Viskositätn 1 Prandtl-Meyer-Funktionr kg/m3 Dichtes N/m Oberflächenspannungs grd, Bogenmaß Winkels grd Stoßwinkelt N/m2 Schubspannungj 1 relative Luftfeuchtej grd, Bogenmaß Winkelj 1 GeschwindigkeitsbeiwertY 1 Ausflussfunktiony 1 Kontraktionszahlw s– 1 Winkelgeschwindigkeit

Die wichtigsten Formelzeichen und Einheiten 15


16


1.1 Einleitung

Das vorliegende Buch befasst sich hauptsäch-lich mit dem statischen und dynamischen Ver-halten homogener Fluide. Unter einem Fluidwird dabei ein flüssiges oder gasförmigesKontinuum verstanden.

Flüssigkeiten sind in 1. Näherung, d.h. fürviele praktische Betrachtungen und Rechnun-gen, dichtebeständig und haben ein festes Vo-lumen bei beliebiger Form. Gase und Dämpfekönnen abhängig von Druck und Temperaturjedes Volumen bei beliebiger Form annehmen.

Fluide haben im Gegensatz zu festen Kör-pern die gemeinsame Eigenschaft, dass sichihre Teilchen durch Druck- und Schubkräfteleicht verschieben lassen.

Flüssigkeiten kann man auch als tropfbareFluide bezeichnen, Dämpfe und Gase liegenunterhalb der Siedelinie (Bild 1.1).

mr =

31

(Gl. 1.1)V

Eine Stoffportion ist ein abgegrenzter Fluidbe-reich, der aus einem oder mehreren Stoffen be-stehen kann.

Die Dimension der Dichte ist gemäßDefinitionsgleichung 1.1:

Masse03

Länge3

Üblicherweise wird als Einheit

kg5

m3

verwendet.Die Dichte eines Fluids ist von den Zu-

standsgrößen Druck und Temperatur ab-hängig.

dr5

= bT · dp – bp · dT (Gl. 1.2)r

dr Dichteänderungr DichtebT isothermer Kompressibilitätskoeffizientbp isobarer Wärmeausdehnungskoeffizientdp DruckänderungdT Temperaturänderung

Der Kehrwert der Dichte r, d.h., der Quotientaus Volumen V und Masse m einer Stoff-portion, wird als spezifisches Volumen u be-zeichnet.

1 Vu =

21

= 31

(Gl. 1.3)r m

1 Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

Bild 1.1 Aggregatzustände von Wasser

1.2 Dichte, spezifisches Volumen

1.2.1 Definitionen

Nach DIN 1306 ist die Dichte r als Quotientaus Masse m und Volumen V einer Stoffpor-tion definiert:

01 Stoffeigenschaften.qxd 9/17/2013 3:15 PM

Die Dimension des spezifischen Volumens ist

Länge3

03Masse

Die dazu passende SI-Einheit lautet:

m3

41kg

Die Angabe von Dichte oder spezifischem Vo-lumen ist nur dann vollständig, wenn nebender genauen Stoffbezeichnung auch nochTemperatur und Druck, bei Gasen u.U. auchnoch die Feuchte genannt sind.

1.2.2 Dichte von Flüssigkeiten

Die Temperaturabhängigkeit der Dichte vonFlüssigkeiten kann durch den in Gleichung 1.2eingeführten isobaren Wärmeausdehnungs-koeffizient bp ausgedrückt werden:

DV = V0 · bp · DT

V = V0 + DV = V0 · (1 + bp · DT)

m mr =

31

= 006V V0 (1 + bp · DT)

m31

= r0V0

r0r = 08

(Gl. 1.4)1 + bp · DT

r Dichte bei Temperatur Tr0 Dichte bei Bezugstemperatur T0

(meist 0°C)bp isobarer WärmeausdehnungskoeffizientDT Temperaturabweichung zur

Bezugstemperatur T0

In Tafel 1 im Anhang des Buches ist der iso-bare Wärmeausdehnungskoeffizient bp fürWasser zusammengestellt. Tabelle 1.1 enthältWerte weiterer Flüssigkeiten.

Flüssigkeiten besitzen wie feste Körpereine geringe Elastizität. Nimmt man nach dem


Hooke’schen Gesetz einen linearen Zusam-menhang zwischen Volumen- und Druckän-derung an, erhält man folgende druckabhän-gige Dichteänderung:

DV = bT · V0 · Dp

V = V0 – DV = V0 – bT · V0 · Dp

V = V0 (1 – bT · Dp)m m

r = 31

= 005V V0 (1 – bT · Dp)

m31

= r0V0

r 0r = 07

(Gl. 1.5)1 – bT · Dp

r Dichte beim Druck pr0 Dichte beim Bezugsdruck p0

(meist 1 bar)bT isothermer KompressibilitätskoeffizientDp Druckerhöhung

In Tafel 2 sind die isothermen Kompressibi-litätskoeffizienten bT von Wasser und einigenorganischen Flüssigkeiten angegeben.

Wird eine Flüssigkeit sowohl einer Tempe-ratur- als auch einer Druckänderung unter-worfen, kann die Dichteänderung durch Zu-sammenfassen der Gleichungen 1.4 und 1.5ausgedrückt werden.

r0r = 00004

(Gl. 1.6)(1 + bp · DT) · (1 – bT · Dp)

Tabelle 1.1 Isobarer Wärmeausdehnungskoeffizi-ent bp einiger Flüssigkeiten, Bezugsdruck p0 = 1 bar,Bezugstemperatur t0 = 0°C

Flüssigkeit bbp in 1/K

Wasser – 0,085 · 10– 3

(0,207 · 10– 3 bei 20°C)Quecksilber 0,181 · 10– 3

Methanol 1,19 · 10– 3

Benzol 1,06 · 10– 3

Ethanol 1,1 · 10– 3

Tetrachlorkohlenstoff 1,22 · 10– 3

Glycerin 0,5 · 10– 3


Die Messung der Dichte von Flüssigkeiten istin [1.1] ausführlich beschrieben.

In Tafel 3 sind die Dichtewerte wichti-ger Flüssigkeiten in Form von Kurven, in Tafel 4 tabellarisch zusammengestellt. Tafel 5enthält Dichte- und Dampfdruckwerte des Wassers.

1.2.3 Dichte von Gasen und Dämpfen

Ausgehend von der thermischen Zustands-gleichung für das ideale Gas

p · V = m · Ri · T

erhält man folgende Beziehung für die Dich-te r:

m p31

= 9V Ri · T

pr =

9

(Gl. 1.7)Ri · T

p Druck (Absolutdruck)Ri individuelle Gaskonstante

(siehe Abschnitt 1.5.3)T thermodynamische Temperatur

Zahlenwerte für die individuelle Gaskon-stante Ri finden sich in Tabelle 1.6.

In vielen praktischen Berechnungen undVersuchen kann die Dichte von Gasen nachGleichung 1.7 hinreichend genau bestimmtwerden, wenn deren Zustand (Druck undTemperatur) weit außerhalb der Sättigungs-kurve (Siedelinie) liegt, d.h., wenn die Gasestark überhitzt sind.

Bei hohen Drücken und niedrigen Tempe-raturen wird Gleichung 1.7 sehr ungenau.

Das reale Gasverhalten wird durch Ein-führung eines Korrekturwertes, Realgasfak-tor Z genannt, beschrieben:

p · V = Z · m · Ri · T

m p31

= 06V Z · Ri · T

Dichte, spezifisches Volumen 19

pr =

06

(Gl. 1.8)Z · Ri · T

Für Luft, Sauerstoff, Stickstoff und Kohlendio-xid sind die Realgasfaktoren Z in Tafel 6 zu-sammengestellt. Weitere Werte finden sich in[1.2 und 1.3].

Bei Dämpfen, z.B. Wasserdampf, entnimmtman die Dichte r oder das spezifische Volu-men u aus einer Dampftafel (z.B. [1.4, 1.5, 1.6])oder speziellen Diagrammen.

In Tafel 7 ist der Realgasfaktor Z, in Tafel 8das spezifische Volumen u von Wasserdampfdargestellt.

1.2.4 Dichte von Luft

Luft ist ein Gemisch aus Stickstoff, Sauerstoff,Kohlendioxid, Edelgasen und enthält norma-lerweise noch Wasserdampf.

Abhängig von Druck und Temperatur kanndie Luft nur eine bestimmte, maximale Was-serdampfmenge aufnehmen. Enthält Luft die maximal mögliche Wasserdampfmenge,spricht man von gesättigter Luft. Die Dichte rf

von feuchter Luft kann aus folgender Bezie-hung bestimmt werden:

p pdrf = 0

· 11 – 0,378 · j · 42 (Gl. 1.9)

Ri · T p

r f Dichte der feuchten Luftp Druck der feuchten LuftRi Gaskonstante der trockenen Luft nach

Tabelle 1.6T Temperatur der feuchten Luftj relative Luftfeuchtepd Sättigungsdruck des Wassers nach Tafel 5

oder Tafel 9

Der Term vor der Klammer beschreibt physi-kalisch die Dichte trockener Luft bei Tempera-tur und Druck der feuchten Luft. Feuchte Lufthat somit eine geringere Dichte als trockeneLuft gleichen Druckes und gleicher Tempera-tur.


1.3 Schallgeschwindigkeit

Weil sich die Dichte von Fluiden druckabhän-gig ändert, breitet sich eine kleine Druck-störung dp in Form einer Longitudinalwelleim Fluid aus.

Nach LAPLACE (s. Namensverzeichnis) be-trägt die Ausbreitungsgeschwindigkeit einerkleinen Druckstörung bei isentroper, d.h. rei-bungsfreier Kompression ohne Wärmetausch:

6dpa = f

5

(Gl. 1.10)dr

a Schallgeschwindigkeitdp Druckänderungdr Dichteänderung

Aus dieser allgemeinen Beziehung lassen sichfür Flüssigkeiten und Gase folgende Glei-chungen zur Berechnung der Schallgeschwin-digkeit ableiten:

a) FlüssigkeitenVernachlässigt man die bei der sehr kleinenisentropen Verdichtung dp der Flüssigkeit ent-stehende Temperaturzunahme dT, d.h., wirddT = 0 gesetzt, erhält man aus Gleichung 1.2folgende Beziehung:


dr5

ª bT · dpr

dp 15

ª9dr bT · r

6 0dp 1a = f

51

ª f9dr bT · r

Den Reziprokwert des isothermen Kompressi-bilitätskoeffizienten bT bezeichnet man alsElastizitätsmodul E.

1E =

5bT

Damit erhält die Gleichung zur Bestimmungder Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeitenfolgende endgültige Form:

0 51 Ea ªf

0

ª f4

(Gl. 1.11)bT · r r

a SchallgeschwindigkeitbT isothermer Kompressibilitätskoeffizientr DichteE Elastizitätsmodul

Diese Beziehung gilt nur für reine Flüssigkei-ten ohne Einschluss von Gas- oder Dampf-blasen! In 2-Phasen-Fluiden ist die Schall-geschwindigkeit wesentlich kleiner als die

Beispiel 1

Aufgabenstellung:

Bei einem Versuch wurden folgende Luft-daten gemessen:

Druck der feuchten Luft p = 997 mbar Temperatur der feuchten Luft T = 19,3 °Crelative Luftfeuchte j = 78 %

Wie groß ist die Dichte rf der feuchten Luft?

Lösung:

Für die Stoffdaten erhält man:

Ri = 287 J/(kg · K) aus Tabelle 1.6pd = 22,39 mbar = 2239 Pa aus Tafel 9

p = 997 mbar = 99 700 Pa undT = (19,3 + 273,15) K = 292,45 K

folgt für die Dichte der feuchten Luft:

99 700 2239r f =

00

· 11 – 0,378 · 0,78 · 012287 · 292,45 99 700

r f = 1,180 kg/m3

Zum Vergleich wird die Dichte trockenerLuft bei gleichem Druck und gleicher Tem-peratur nach Gl. 1.7 berechnet:

99 700 r =

00

= 1,188 kg/m3

287 · 292,45


Schallgeschwindigkeit in der reinen flüssigenPhase oder in der Dampfphase.

b) GaseDie isentrope Verdichtung eines idealen Gaseswird durch folgende Zustandsgleichung be-schrieben:

p · uk = konst

mit k als Isentropenexponent (siehe Abschnitt1.5.2).

pp · uk =

5

= konstr k

dp5

= konst · k · rk – 1

dr

dp p5

= 4

· k · rk – 1 = p · k · r – 1

dr rk

dp p · k5

= 8

= p · u · k = Ri · T · kdr r

Schallgeschwindigkeit 21

6dpa = f

5dr

9

04

p · k 05a = d p · u · k = f

8

= dk · Ri · Tr

(Gl. 1.12)

a Schallgeschwindigkeitp Drucku spezifisches Volumenk Isentropenexponentr DichteRi individuelle GaskonstanteT Temperatur

Die Schallgeschwindigkeit a der atmosphäri-schen Luft kann abhängig von der Höhe z ausTafel 29, die Schallgeschwindigkeit a von Was-serdampf aus Tafel 10 entnommen werden.

Beispiel 2

Aufgabenstellung:Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit inreinem, absolut blasenfreiem Wasser von20°C bei einem Druck von 1 bar?

Lösung:Aus Tafel 2 wird der isotherme Kompressi-bilitätskoeffizient bT von Wasser bei 20°C ineinem Druckbereich von 1…100 bar zu

bT = 46,8 · 10– 6 1/bar

entnommen.Weil 1 bar = 105 Pa ist (Abschnitt 2.2.2),

entspricht dies einem bT-Wert von:

bT = 46,8 · 10– 6 · 10– 5 1/Pa

Die Dichte r beträgt nach Tafel 5:

r = 998,3 kg/m3

Damit lässt sich die Schallgeschwindigkeit aaus Gleichung 1.11 berechnen:

011a ª f

0bT · r000021

a ª f0000146,8 · 10– 6 · 10– 5 · 998,3

a ª 1463 m/s

Beispiel 3

Aufgabenstellung:Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit inLuft von 20°C bei einem Druck von 1 bar?

Lösung:Nach Abschnitt 1.5 betragen die thermi-schen Werte Ri und k von Luft:k = 1,4

Ri = 287 J/(kg · K)

Damit kann die Schallgeschwindigkeit anach Gleichung 1.12 bestimmt werden:

06a = d k · Ri · T0604a = d 1,4 · 287 · 293,15

a = 343,2 m/s


1.4 Viskosität

1.4.1 Einleitung

Zur Bewegung eines festen Körpers durch einFluid (Außenströmung) oder eines Fluidsdurch einen Kanal (Innenströmung) muss eineKraft aufgewandt werden, die den Reibungs-widerstand überwindet. Dieser Widerstandkann auch als Formänderungswiderstand ge-deutet werden.

Verläuft diese Formänderung genügendlangsam, tritt praktisch keine Widerstands-kraft auf; die Strömung kann als reibungs-frei angesehen werden. Rasche Formänderun-gen, d. h. große Formänderungsgeschwin-digkeiten, haben große Reibungskräfte zur Folge.

Beim Strömen der Fluidelemente in Schich-ten verschieben sich diese unter der Wirkungkleiner tangentialer Reibungsspannungen ge-geneinander. Die Größe dieser Reibungsspan-nungen hängt sowohl von der Formände-rungsgeschwindigkeit als auch einer Stoff-eigenschaft ab, die man als Viskosität be-zeichnet.

In der praktischen Strömungstechnik wen-det man 2 Begriffe von Viskosität an:

q dynamische Viskosität hq kinematische Viskosität n

Je nach Fließverhalten spricht man von New-ton’schen oder nicht Newton’schen Fluiden.

Die Messung der Viskosität bezeichnet manals Viskosimetrie ([1.7 bis 1.9]), die Beschrei-bung des Fließverhaltens der Fluide als Rheo-logie [1.10].


1.4.2 Viskosität Newton’scher Fluide

1.4.2.1 Dynamische Viskosität

Zwischen 2 parallelen Platten befindet sich einhomogenes Fluid konstanter Temperatur. DiePlatten haben die gleiche Fläche A und gegen-einander den relativ kleinen Abstand y. Ander oberen Platte greift die Kraft F an und be-wegt sie mit der Geschwindigkeit w (Bild 1.2).Die untere Platte ruht (w = 0). Zwischen denPlatten bildet sich ein lineares Geschwindig-keitsprofil aus.

Nach NEWTON (s. Namensverzeichnis) ver-hält sich die Tangentialkraft F proportionalzur Geschwindigkeit w und umgekehrt pro-portional zum Abstand y:

wF ~

3y

Als Proportionalitätsfaktor wird die dynami-sche Viskosität h eingeführt und die Kraft Fals Produkt aus tangentialer Schubspannung tund Fläche A ausgedrückt:

wF = t · A = h · A ·

3yw

t = h · 3y

Für den Quotienten w/y wird aus DIN 1342[1.11] der Begriff Geschwindigkeitsgefälle Dübernommen, so dass für die Schubspannungfolgender einfacher Ausdruck entsteht:

t = h · D (Gl. 1.13)

t Schubspannungh dynamische ViskositätD Geschwindigkeitsgefälle

w

w = 0

F

A

Ay

x

2

Bild 1.2 Zur Erklärung der Schubspannung in einer Fluidschicht zwischen 2 ebenen Platten


Die für die gesamte Strömung zwischen denparallelen Platten formulierte Aussage giltauch für einen differentiell kleinen Bereich imStrömungsraum zwischen den Platten (Bild1.3). DIN 1342 drückt deshalb das Geschwin-digkeitsgefälle D als Grenzwert bzw. Differen-tialquotienten aus:

Dwx dwxD = lim 182 = 7

(Gl. 1.14)Dy Æ 0 Dy dy

D GeschwindigkeitsgefälleDwx = wx2 – wx1 Geschwindigkeitsdifferenz

zwischen 2 FluidteilchenDy orthogonaler Abstand zwischen 2 Fluid-

teilchen

Die als Proportionalitätsfaktor eingeführte dy-namische Viskosität ist eine charakteristischeStoffeigenschaft eines Fluids und ist druck-und temperaturabhängig.

Weil die Schubspannung t wie alle Span-nungen die Einheit N/m2 = Pa (Pascal) und

m/sdas Schergefälle D die Einheit

8

= s– 1

m

Viskosität 23

haben, ergibt sich aus Gleichung 1.13 die Ein-heit der dynamischen Viskosität:

Pa · s (Pascalsekunde)

Ältere Einheiten – z.B. Poise (P) und Zenti-poise (cP) – sind seit dem 1.1.1978 nicht mehrzugelassen.

Bei Newton’schen Fluiden ist die dynami-sche Viskosität h per Definition unabhängigvom Geschwindigkeitsgefälle D und damitdie Schubspannung t direkt proportional zumGeschwindigkeitsgefälle D (Bild 1.4).

1.4.2.2 Kinematische Viskosität

Die kinematische Viskosität n wird nach MAX-WELL (s. Namensverzeichnis) als Quotient ausdynamischer Viskosität h und Dichte r de-finiert:

hn =

3

(Gl. 1.15)r

n kinematische Viskositäth dynamische Viskositätr Dichte

Durch Einsetzen der Einheiten für h und r er-gibt sich die Einheit der kinematischen Visko-sität n :

h Pa · s N · s · m3

{n} = 536 = 02

= 07r kg/m3 m2 · kg

kg · m · s · m3 m2

= 004

= 5s2 · m2 · kg s

y

Δy

x

wx2 = wx1+Δwx

wx1

Bild 1.3 Zur Erklärung der Schubspannung zwischen 2 Fluidelementen

konstant

Geschwindigkeits-gefälle D

Geschwindigkeits-gefälle D

dyn

. Vis

kosi

tät

h

Sch

ubsp

annu

ng t

h = tana

aBild 1.4 Viskosität und Schub-spannung in einem Newton’schenFluid


Die kinematische Viskosität n hat die Einheit:

m2/s (Quadratmeter je Sekunde)

Seit 1.1.1978, d.h. seit Einführung des SI-Ein-heitensystems, sind ältere Einheiten wie St(Stokes), cSt (Zentistokes), Englergrad, Say-boldgrad usw. nicht mehr im Gebrauch.

Werden bei der Benutzung älterer LiteraturUmrechnungsformeln, Tabellen oder Dia-gramme zur Umrechnung veralteter Einheitenin SI-Einheiten benötigt, können diese bei-spielsweise [1.9 oder 1.12] entnommen wer-den.

1.4.2.3 Temperaturabhängigkeit der Viskosität

a) FlüssigkeitenDie dynamische Viskosität von Flüssigkeitennimmt wegen der Temperaturabhängigkeitder zwischenmolekularen Adhäsionskräfte,die zwischen den einzelnen Flüssigkeits-schichten wirken, mit zunehmender Tempera-tur ab, während die dynamische Viskositätvon Gasen und Dämpfen wegen der Verstär-kung des Impulsaustausches zwischen denMolekülen mit steigender Temperatur zu-nimmt (Bild 1.5).

Zur Beschreibung der Temperaturabhän-gigkeit wurden zahlreiche Formeln und Ver-fahren vorgeschlagen, die jedoch keine allge-meingültigen für alle Flüssigkeiten, Gase undDämpfe zutreffenden Angaben enthalten.Diese empirischen Beziehungen gelten des-halb nur innerhalb eines begrenzten Bereichs


und weisen mehr oder minder große Unge-nauigkeiten auf.

Nach H. VOGEL [1.13] kann für die Tempe-raturfunktion der dynamischen Viskosität vonNewton’schen Flüssigkeiten folgende Bezie-hung angesetzt werden:

b6h = k · e t + q (Gl. 1.16)

h dynamische Viskosität bei derTemperatur t

k für die jeweilige Flüssigkeit charakteristi-sche Konstante mit der Dimension derdynamischen Viskosität

e Basis des natürlichen Logarithmust Temperaturb, q charakteristische konstante Beiwerte der

Flüssigkeit mit der Dimension einer Temperatur

In [1.14] wird die empirische Gleichung vonANDRADE in modifizierter Form zur Abschät-zung der Temperaturabhängigkeit der Visko-sität Newton’scher Flüssigkeiten empfohlen:

TA TA61

– 62h = h0 · eT + TB TB + T0 (Gl. 1.17)

h dynamische Viskosität bei der Temperatur T

h0 dynamische Viskosität bei der Temperatur T0 = 273 K

e Basis des natürlichen LogarithmusTA; TB charakteristische Beiwerte

(Temperaturen) nach Tabelle 1.2

Der VDI-Wärmeatlas [1.15] enthält ein empiri-sches Verfahren, mit dem man die dynamischeViskosität von Flüssigkeiten direkt abschätzenkann:

c · r5h ª 10– 6 · A · r1/3 · e T (Gl. 1.18)

h dynamische Viskosität in Pa · sA Beiwert nach Tafel 11r Dichte in kg/m3

p = konst.

Temperatur

dyn

amis

che

Vis

kosi

tät

Flüssigkeiten

Gase und Dämpfe

Bild 1.5 Temperaturabhängigkeit der Viskosität


e Basis des natürlichen Logarithmusc Beiwert nach Tafel 11T Temperatur in K

Die Unsicherheiten der obigen Gleichungwerden für die meisten Stoffe kleiner als ± 1%im Temperaturbereich 0…100°C angegeben.Bei den mit * gekennzeichneten Flüssigkeitenkönnen Fehler bis ± 5% (im Extremfall auchbis 20%) auftreten. In [1.16] werden für dieTemperaturabhängigkeit der kinematischenViskosität n von Flüssigkeiten die empirischenFormeln von VOGEL, UBBELOHDE-WALTHER undUMSTÄTTER vorgeschlagen.

Die Darstellung der Funktionen h = f (t)bzw. n = f (t) ergibt auf doppellogarithmi-schem Papier in begrenzten Temperaturberei-chen praktische Geraden [1.13].

b) GaseDie Zunahme der dynamischen Viskosität vonGasen mit steigender Temperatur kann nachder in [1.14] empfohlenen empirischen Glei-chung von SUTHERLAND abgeschätzt werden:

T0 + TS T 3/2

h ª h0 · 02

· 142 (Gl. 1.19)T + TS T0

Viskosität 25


h0 dynamische Viskosität bei der Temperatur T0 = 273 K(bei Wasserdampf: T0 = 373 K!)

TS SUTHERLAND-Konstante mit der Dimension einer Temperatur nach Tabelle 1.3

In [1.17] wird das Temperaturverhalten derdynamischen Viskosität von Gasen bei niedri-gen Drücken beschrieben. Dieses empirischeBerechnungsverfahren basiert auf der dyna-mischen Viskosität im kritischen Punkt, aufstoffunabhängigen Konstanten und der aufdie kritische Temperatur Tkr bezogenen Tem-peratur T:

q 2 1/4

h ª H · hkr · q 2/3 · 1012 (Gl. 1.20)1 + q 2


H Konstante; H = 0,263 ± 0,008hkr kritische Viskosität (Tabelle 1.4)q reduzierte Temperatur q = T/Tkr

Tkr Temperatur des Gases im kritischenPunkt (Tabelle 1.4)

Tabelle 1.3 Sutherland-Konstante TS

Wasser- Luft O2 N2 H2 He CO2

dampf

h0 1,229 1,710 1,924 1,672 0,782 1,871 1,367 10– 5 Pa · s

TS 890 122 125 117 – 10 86 242 K

Tabelle 1.2 Beiwerte zur Temperaturabhängigkeit der dynamischen Viskosität h von Flüssigkeiten

Wasser Methanol Quecksilber

h0 179,3 · 10– 5 81,7 · 10– 5 168,5 · 10– 5 Pa · s

TA 506 1110 160 K

TB – 150 – 20 – 96 K


1.4.2.4 Druckabhängigkeit der Viskosität

Die Druckabhängigkeit der dynamischen Vis-kosität macht sich erst bei hohen Drücken be-merkbar. Fluide, deren dynamische Viskositäteine relativ große Temperaturabhängigkeitaufweist, besitzen im allgemeinen auch einemerkliche Druckabhängigkeit der Viskosität.

Bei den meisten Flüssigkeiten steigt die dy-namische Viskosität h annähernd exponentiellmit dem Druck, sodass man folgende Bezie-hung ansetzen kann [1.13]:

hp ª h0 · e a · p (Gl. 1.21)

hp dynamische Viskosität beim Druck p undbei der Temperatur t

h0 dynamische Viskosität beim Druckp0 = 1 bar und der Temperatur t

e Basis des natürlichen LogarithmusDruckkoeffizient bei der Temperatur t

1 dhpa = 3 1612h t dp t

p Druck

Nach E. KUSS [1.13] liegen die Druckkoeffizi-enten von Schmierölen aus Kohlenwasser-stoffen bei 25°C zwischen a = 1,7 · 10–3 und 3,5 · 10–3 bar–1. In Bild 1.6 ist die dynamischeViskosität h von Hydrauliköl abhängig vonDruck und Temperatur nach Unterlagen derFa. BP dargestellt. Weitere Angaben findensich u.a. in [1.18]. Tafel 15 enthält die druck-


und temperaturabhängigen Werte der dyna-mischen Viskosität h von Luft nach [1.20].

1.4.2.5 Arbeitsunterlagen und Gebrauchsformeln

Weil bei der Lösung praxisnaher Aufgaben inAusbildung und Beruf häufig konkrete Visko-sitätswerte benötigt werden und nicht immerHandbücher und Tabellenwerke zur Verfü-gung stehen, sind im Tafelanhang des Buchesfolgende Diagrame und Tabellen zusammen-gestellt:Tafel 12 Dynamische und kinematische Vis-

kosität des Wassers in TabellenformTafel 13 Kinematische Viskosität des Was-

sers abhängig von der TemperaturTafel 14 Dynamische und kinematische

Viskosität der Luft in TabellenformTafel 15 Dynamische Viskosität der LuftTafel 16 Kinematische Viskosität der LuftTafel 17 Kinematische Viskosität von

FlüssigkeitenTafel 18 Kinematische Viskosität von ÖlenTafel 19 Dynamische Viskosität von GasenTafel 20 Kinematische Viskosität von GasenTafel 21 Dynamische Viskosität von Wasser-

dampfWeitere Angaben finden sich u.a. in [1.15 und1.19]. Weil heute die meisten strömungstech-nischen Berechnungen mit Rechnerunterstüt-zung durchgeführt werden, ist es in vielenFällen sinnvoller, anstelle von Tabellen undDiagrammen Gebrauchsformeln anzugeben,um die in einem Programmablauf benötigten

Tabelle 1.4 Dynamische Viskosität hkr und Temperatur Tkr im kritischen Punkt von Gasen (nach [1.17])

Gas chemische Formel dynamische kritischeViskosität hhkr Temperatur Tkr

Pa · s K

Wasserstoff H2 2,47 · 10– 6 32,98Sauerstoff O2 18,95 · 10– 6 154,8Stickstoff N2 14,06 · 10– 6 126,1Luft – 15,18 · 10– 6 132,5Kohlendioxid CO2 25,51 · 10– 6 304,2Ammoniak NH3 20,07 · 10– 6 405,5Wasserdampf H2O 29,93 · 10– 6 647,3Schwefeldioxid SO2 30,34 · 10– 6 430,7Methan CH4 12,24 · 10– 6 190,7


Viskositätswerte numerisch bestimmen zukönnen, ohne das Programm zur Werteein-gabe unterbrechen zu müssen.

Für Wasser und Luft werden folgende Be-ziehungen angegeben und – soweit bekannt –auch die Quellen genannt:

a) Dynamische Viskosität hh von Wasser nach [1.21]:

1795 · 10– 6

h = 00006

in Pa · s1 + 0,036 · t + 0,000185 · t2

(Gl. 1.22)

Temperatur t in °C

Viskosität 27

b) Kinematische Viskosität nn von Wassernach [1.22]:

1,78 · 10– 6

n = 00007

in m2/s1 + 0,0337 · t + 0,000221 · t2

(Gl. 1.23)

Temperatur t in °C

c) Dynamische Viskosität hh von Luft nach [1.21]:

h = 17,07 (1 + 0,00286 · t – 0,0000015 · t2)

· 10– 6 in Pa · s (Gl. 1.24)

Bezugsdruck p = 1 barTemperatur t in °C

dyn

amis

che

Vis

kosi

tät

h

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0,22

0,20

0,18

0,16

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0

Druck p bar

Hyd

raul

iköl

H-L

P 49

Hydra

ulikö

l H-L

P 49

Hydrauliköl H-LP 49H

ydra

ulik

öl H

-LP

16

Hydrauliköl H-LP 16

Hydrauliköl H-LP 16

Pa·s

40 °C

60 °C

100 °C

Bild 1.6 Dynamische Viskosität von Hydraulikölen, abhängig von Druck und Temperatur, nach Fa. BP


d) Dynamische Viskosität hh von Luft nach [1.23]:

T 3/2

h = 1,458 · 10– 6 · 06

in Pa · sT + 110,4

(Gl. 1.25)

Bezugsdruck p = 1 barTemperatur T in K

e) Kinematische Viskosität nn von Luft nach [1.24]:

T 3/2

n = 42,6 · 10– 10 · 06

in m2/s123,6

1 + 9

(Gl. 1.26)T

Bezugsdruck p = 1 barTemperatur T in K


f) Kinematische Viskosität nn von Luft(Quelle unbekannt):

418,45 T 5/2

n = 02

· 06

· 10– 6 in m2/sp T + 110,4 (Gl. 1.27)

Druck p in PaTemperatur T in K

In [1.23] wird eine auf POISEUILLE (s. Namens-verzeichnis) zurückgehende Näherungsfor-mel zur Abschätzung des Temperatureinflus-ses auf die dynamische Viskosität h von Flüs-sigkeiten empfohlen:

h0h = 00001

in Pa · s1 + 0,0337 t + 0,00022 t2

(Gl. 1.28)

h0 dynamische Viskosität in Pa · s bei 0°Ct Temperatur in °C

Beispiel 4

AufgabenstellungWie groß sind Dichte r, dynamische Visko-sität h und kinematische Viskosität n vonWasser bei einem Druck von 1 bar und einerTemperatur von t = 80°C?

Lösung:a) Die Dichte r wird aus Tafel 5 entnommen:

r = 971,6 kg/m3

b) Die dynamische Viskosität h wird ausGleichung 1.22 berechnet:

1795 · 10– 6

h = 000021 + 0,036 t + 0,000185 t2

1795 · 10– 6

h = 000001 + 0,036 · 80 + 0,000185 · 802

h = 354,5 · 10– 6 Pa · s

Aus der Wasserdampftafel [1.5] wird Seite15 entnommen:

h = 355 · 10– 6 Pa · s

bei 80°C und 1 bar

c) Die kinematische Viskosität n berechnetsich aus der dynamischen Viskosität hund der Dichte r nach Gleichung 1.15:

h 355 · 10– 6

n = 3

, n = 07r 971,6

n = 0,365 · 10– 6 m2/s

Aus Tafel 13 wird abgelesen:

n = 0,36 · 10– 6 m2/s

Nach Gleichung 1.23 errechnet sich die ki-nematische Viskosität n wie folgt:

1,78 · 10– 6

n = 000071 + 0,0337 · t + 0,000221 · t2

1,78 · 10–6

n = 0000031 + 0,0337 · 80 + 0,000221 · 802

n = 0,348 · 10– 6 m2/s

Die aus 3 verschiedenen Quellen stammen-den Werte für n stimmen recht gut überein!


Beispiel 5

Aufgabenstellung:Wie groß sind die dynamische Viskosität hund die kinematische Viskosität n von Luftbei einem Absolutdruck von 10 bar und ei-ner Temperatur von 100°C?

Lösung:a) Aus Tafel 14 werden folgende Werte ent-

nommen:

dynamische Viskosität

h = 21,7 · 10– 6 Pa · s

kinematische Viskosität

n = 232,8 · 10– 8 m2/s

= 2,33 · 10– 6 m2/s

b) Aus Tafel 16 kann für einen Druck p = 1000 mbar , 1 bar eine kinematischeViskosität

n = 23,15 · 10– 6 m2/s

abgelesen werden.Weil das Produkt n · p konstant ist, kanndie kinematische Viskosität n bei einemDruck von 10 bar berechnet werden:

n · p = 23,15 · 10– 6 · 1 = n · 10 = konst

n = 2,315 · 10– 6 m2/s bei 10 bar

c) Nach Gleichung 1.24 ergibt sich folgende dynamische Viskosität h:

h = 17,07 (1 + 0,00286 · t

– 0,0000015 · t2) · 10 – 6

h = 17,07 (1 + 0,00286 · 100

– 0,0000015 · 1002) · 10– 6

h = 21,7 · 10–6 Pa · s

Weil die Druckabhängigkeit der dynami-schen Viskosität im unteren Druckbereich

Viskosität 29

gering ist (vgl. Tafel 15), trifft dieses Re-chenergebnis auch für den Druck p = 10 barrelativ genau zu.

d) Gleichung 1.25 liefert folgendes Ergebnis:

T 3/2

h = 1,458 · 10– 606T + 110,4

3733/2

h = 1,458 · 10– 600373 + 110,4

h = 21,73 · 10– 6 Pa · s

e) Aus Tafel 19 wird eine dynamische Viskosität h von etwa

h = 22 · 10– 6 Pa · s

abgelesen.Ein ähnliches Ergebnis liefert Tafel 15.

f) Die kinematische Viskosität n kann ausden Gleichungen 1.26 und 1.27 nähe-rungsweise berechnet werden:

T 3/2

n = 42,6 · 10– 1007

(Gl. 1.26)123,6

1 + 9T

3733/2

n = 42,6 · 10– 1007123,61 +

0373

n = 23,05 · 10– 6 m2/s bei p = 1 bar

n = 2,305 · 10– 6 m2/s bei p = 10 bar

418,45 T 5/2

n = 02

· 06

· 10– 6 (Gl. 1.27)p T + 110,4

418,45 3735/2

n = 02

· 09

· 10– 6

10 · 105 373 + 110,4

n = 2,33 · 10– 6 m2/s


g) Aus Tafel 20 wird entnommen:

m2

n · p = 2,3 4

· Pas

n · p 2,3n =

7

= 03p 10 · 105


n = 2,3 · 10– 6 m2/s

Auch die nach verschiedenen Quellen abge-schätzten Werte für die kinematische Visko-sität n stellen recht gut übereinstimmendeErgebnisse dar.

1.4.3 Viskosität nicht Newton’scher Fluide

Nicht Newton’sche Fluide sind Substanzen,deren Fließverhalten nicht durch den New-ton’schen Schubspannungsansatz der Glei-chung 1.13 beschrieben wird.

Nach DIN 1342-3 werden 3 Klassen vonnicht Newton’schen Flüssigkeiten unterschie-den:

q nichtlinear-reinviskose Flüssigkeiten,q linear-viskoelastische Flüssigkeiten,q nichtlinear-viskoelastische Flüssigkeiten.

In dieser Norm werden die Flüssigkeiten defi-niert und ihr Fließverhalten beschrieben.

Im Vergleich zu den Newton’schen Sub-stanzen treten folgende Fließanomalien auf:

a) Plastische Stoffe sind Flüssigkeiten, diesich im Ruhezustand und bei kleinen Schub-spannungen wie elastische Festkörper verhal-ten und erst bei größeren Schubspannungen,Fließgrenze genannt, zu fließen beginnen.

Ist der Zusammenhang zwischen Schub-spannung und Schergefälle linear, spricht manvon einem Bingham-Körper.

b) Strukturviskose Flüssigkeiten weiseneine mit steigender Schubbeanspruchung ab-nehmende Viskosität auf.

Mit zunehmendem Geschwindigkeitsge-fälle orientieren sich die Partikel der Flüssig-keit in Fließrichtung, wodurch sie leichter,d.h. mit geringeren Reibungsverlusten, anein-ander vorbeigleiten können.

Dieses Phänomen ist nicht über demganzen Bereich des Geschwindigkeitsgefällesgleich stark ausgeprägt. Bei sehr kleinenSchergefällen verhalten sich strukturviskoseFluide wie Newton’sche Flüssigkeiten. Esschließt sich ein Bereich an, in dem die Visko-sität in Abhängigkeit vom Geschwindigkeits-gefälle stark abnimmt. Bei hohen Geschwin-digkeitsgefällen ändert sich die Viskositätdann kaum noch (Bild 1.7).

Die meisten nicht Newton’schen Flüssig-keiten verhalten sich strukturviskos.

c) Dilatante Stoffe besitzen eine mit demSchergefälle steigende Viskosität. DilatantesFließverhalten erweist sich bei vielen Produk-tionsprozessen als ungünstig. Dilatante Stoffekommen verhältnismäßig selten vor.

h1′

h2′

h ′= f (D)log

h′ 1.

Newton’scherBereich

2.Newton’scher

Bereich

log D

Bild 1.7Viskositätskurve einer strukturviskosen Flüssigkeit


Willi Bohl Wolfgang Elmendorf - ciando...

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