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Zentrum für schulpraktische Lehrerausbildung Bocholt

Seminar für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen

„Freier Fall!“-

Hinführung zur momentanen Änderungsrate im Kontext

eines historischen Experiments unter Einsatz dynamischer

Geometrie-Software

Entwurf zum fünften Unterrichtsbesuch im Fach Mathematik

Ausbildungsschule: Städtisches Ganztagsgymnasium Nepomucenum Holtwicker Straße 8 48653 Coesfeld Datum: Mittwoch, 30.11.2016

Lerngruppe: EF Mathematik

Anzahl der SuS: 22 (12 Schüler, 10 Schülerinnen)

Zeit, Raum: 4. Stunde (10:45 – 11:30 Uhr), Raum 167 (PC-Raum)

Referendar: Julian Hundt

Ausbildungsbeauftragte(r):

Schulleiterin:

Fachleiterin:

Kernseminarleiter:

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INHALTSVERZEICHNIS

1. DARSTELLUNG UND BEGRÜNDUNG DER LÄNGERFRISTIGEN UNTERRICHTSZUSAMMENHÄNGE 1

1.1 Darstellungen von Entscheidungen zur Planung des Unterrichtsvorhabens ................. 1

1.1.1 Intentionen des Unterrichtsvorhabens ........................................................................... 1 1.1.2 Einordnung der Unterrichtsstunde in das Unterrichtsvorhaben ................................. 3 1.2 Didaktisch-methodische Überlegungen im Rahmen des Unterrichtsvorhabens ............ 3

2. PLANUNG DER UNTERRICHTSSTUNDE 5

2.1 Bedingungsanalyse ...................................................................................................... 5

2.2 Schwerpunktlernziel der Unterrichtsstunde .................................................................. 6

2.3 Begründung didaktisch-methodischer Entscheidungen ................................................ 6

2.4 Geplanter Unterrichtsverlauf ........................................................................................ 9

3. ANHANG 10 3.1 Literatur- und Quellenverzeichnis ................................................................................10

3.2 Anlagen (Übersicht) ....................................................................................................10

3.3 Anlagen ......................................................................................................................11

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1. DARSTELLUNG UND BEGRÜNDUNG DER LÄNGERFRISTIGEN

UNTERRICHTSZUSAMMENHÄNGE 1.1 Darstellungen von Entscheidungen zur Planung des Unterrichtsvorhabens

1.1.1 Intentionen des Unterrichtsvorhabens

„Ein unendlich kleines Steigungsdreieck mit endlichem Verhältnis!?“ – Wie der Differentialquotient die Tür zur Analysis öffnet.

Die Untersuchung der mittleren und momentanen Änderungsrate einer Funktion bilden den zentralen Gegenstand des vorliegenden Unterrichtsvorhabens. Die Analysis ist die Bezugsdisziplin der Mathematik, die sich der Untersuchung des Verhaltens einer Veränderlichen widmet. In der mathematischen Fachdidaktik besteht Konsens darüber, dass der Analysisunterricht von einer kalkülorientierten und innermathematischen Sichtweise zunehmend verständnis- und anwendungsorientiert konzipiert werden muss.1 Dies zeigt sich in aktuellen Kernlehrplänen bzw. schulinternen Curricula und schlägt sich in den Abituraufgaben nieder. Vor diesem Hintergrund ergibt sich die Chance eines verstärkten Einsatzes von Computern oder grafikfähigen Taschenrechnern. Im Analysisunterricht kann der Rechner u.a. zum Experimentieren, Visualisieren und Berechnen als auch zur Kontrolle der Ergebnisse verwendet werden (ebd., S.5). Diese vielfältigen Funktionen bieten ein enormes Potential, die sich mit der Forderung der stärkeren Kontext- und Verständnisorientierung in Einklang bringen lässt. Nach Greefrath (ebd., S.22) wird jenes Potential derzeit (Stand 2009) noch nicht ausreichend ausgeschöpft. Das vorliegende Unterrichtsvorhaben soll aufzeigen, dass durch eine Orientierung an Anwendungen und kombinierten Einsatzes dynamischer Geometrie-Software ein tragfähiges propädeutisches Verständnis des Grenzwertbegriffs gebildet werden kann. Letzteres markiert eine Schlüsselstelle des Analysisunterrichts. Schaut man in den derzeit vorliegenden nordrhein-westfälischen Kernlehrplan des Faches Mathematik für die Einführungsstufe findet sich die Forderung, Schülerinnen und Schüler2 sollen ein Grundverständnis des Ableitungsbegriffs erwerben3. Dies umfasst die „Berechnung der durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate“ und deren Interpretation im Kontext4. Das Unterrichtsvorhaben setzt den Schwerpunkt auf das Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A). Im Folgenden werden die intendierten inhaltsbezogenen Kompetenzen aufgeführt, die erworben bzw. vertieft werden sollen. Die SuS sollen „durchschnittliche und lokale Änderungsraten berechnen und im Kontext interpretieren. Qualitativ auf Basis eines propädeutischen Grenzwertbegriffs wird an Beispielen der Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate erläutert werden.“5 Dabei kommt ein Darstellungswechsel zum Tragen, denn die Änderungsrate soll geometrisch als Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten verstanden werden. Dies ist gleichbedeutend mit der Interpretation der

1 (vgl. [8], S. 3) 2 Im Folgenden mit SuS abgekürzt 3 (vgl. [2], S. 24) 4 (vgl., ebd., S. 25) 5 (vgl. ebd.)

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Tangentensteigung als lokale Änderungsrate. Ein Abschluss des Unterrichtsvorhabens bildet die Erkenntnis, dass sich die lokalen Änderungsraten wiederum funktional beschreiben lassen6. Letzteres resultiert in der Bestimmung der Ableitungsfunktionen einfacher Potenzfunktionen7. Bei der Planung des Unterrichtsvorhabens werden Erkenntnisse der pädagogischen Psychologie und Hirnforschung herangezogen, um einen nachhaltigen Kompetenzerwerb zu anzuregen. Nach J. Bruner8 kann (mathematisches) Wissen auf drei verschiedene Arten repräsentiert werden: enaktiv, ikonisch und symbolisch. Diese Begriffe können mit „handelnd, bildhaft“ und „verbal-formal-abstrakt“ übersetzt werden. Es bestehen wechselseitige Beziehungen zwischen den Darstellungsebenen, wobei die Sprache eine zentrale Rolle einnimmt. Um die Repräsentationen eines mathematischen Gegenstands stärker zu vernetzen, regt der LAA an verschiedenen Stellen des Unterrichtsvorhabens Darstellungswechsel an. Beispielsweise kann der Übergang von der mittleren Änderungsrate zur momentanen Änderungsrate an einem Bild oder einer Animation vollzogen werden (Sekante Tangente!). Durch die Bewegung eines Schiebereglers können die SuS quasi-enaktiv diesen Übergang nachvollziehen. Zusätzlich werden Verbalisierungen eingefordert, um das sprachliche Verständnis zu betonen. Gleichsam ist es erforderlich, das Wissen auch mit Hilfe der Mathematik formal-symbolisch ausdrucken zu können. Auch formale Notationen sollten wieder mit Hilfe von Verbalisierungen akzentuiert werden. Ein Leitgedanke des Unterrichtsvorhabens ist, dass ein propädeutisches Verständnis des Begriffs der lokalen Änderungsrate herausgebildet werden soll, bei der formale Schreibweisen wie

limℎ→0

((𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ)

gleichsam mit einer ikonischen Sichtweise (Übergang Sekante-

Tangente) und einer Handlung (Schieberegler) assoziiert werden. Gelingt der Aufbau dieser komplexeren neuronalen Strukturen, steigt einerseits die „Behaltens-Wahrscheinlichkeit“, andererseits können dieses Strukturen künftig auch schneller abgerufen werden. Das Entdecken, Begründen und die Anwendung weiterer Regelmäßigkeiten im Bereich der Analysis steht im Fokus anschließender Unterrichtsvorhaben. Hier werden die Ableitungsfunktionen gezielt zum Gegenstand der Analyse gemacht und resultieren in der Bestimmung der Summen- bzw. Faktorregel. Wie oben beschrieben wird das Unterrichtsvorhaben anlehnend an einen kompetenzorientierten Lehrplan geplant. Ergänzend findet ein Abgleich mit dem vorliegenden schulinternen Lehrplan9 für die EF statt. Entsprechend zum Schwerpunkt des Unterrichtsvorhabens werden die SuS „durchschnittliche und lokale Änderungsraten berechnen und im Kontext interpretieren“ (ebd., S.1). Dabei soll auch der Übergang der globalen Änderungsrate

6 „(…) beschreiben und interpretieren Änderungsration funktional (…)“ (vgl. ebd.) 7 „(…) nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten (…)“ (vgl. ebd.) 8 (vgl. [13]) 9 (vgl. [3])

Abbildung 1: Übergänge der Darstellungsarten: [12]

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zur lokalen Änderungsrate, die als Eigenschaft einer Stelle gedeutet wird, beispielhaft erläutert werden.10 Unterschiede zwischen Kernlehrplan und schulinternen Curriculum bestehen nur in der Vorgabe prozessbezogener Kompetenzen seitens des schulbezogenen Curriculums. So sollen „Vermutungen aufgestellt und beispielgebunden unterstützt werden“ und diese „mithilfe von Fachbegriffen (…) präzisiert werden“, was im Bereich des mathematischen Argumentierens liegt. „Unterschiedliche digitale Werkzeuge“ sollen „zum grafischen Darstellen von Funktionen und Wertetabellen“ und zur „Erkundung, Recherche, Berechnung“ eingesetzt werden.

1.1.2 Einordnung der Unterrichtsstunde in das Unterrichtsvorhaben

1. „Änderungen im Fokus“ – Qualitative Näherung an den Begriff der Änderungsrate

1. UE11 (ES)

„Letzte Etappe – steilster Anstieg!“ – Grafische Deutung der Änderungsrate als „Steilheit“ eines Graphen am Beispiel eines Radrennens

2. UE „Flüssigkeiten, Flugzeuge, Vergessenskurve“ – Gruppenteilige Übungen zur Änderungsrate im Alltag

3. UE (ES)

„Flüssigkeiten, Flugzeuge, Vergessenskurve“ - Präsentation und Diskussion der Ergebnisse und Möglichkeit zur Selbstdiagnose mit kahoot!

2. „Änderungen im Fokus“ - Einstieg in die Differentialrechnung durch quantitative Untersuchungen der Änderungsrate

1. UE „Fünfzig Meter pro Minute“ - Bestimmung unterschiedlicher Sinkgeschwindigkeiten im Kontext einer Flugzeuglandung

2. UE (ES)

„Freier Fall!“ – Hinführung zur momentanen Änderungsrate im Kontext eines historischen Experiments unter Einsatz dynamischer Geometriesoftware

3. UE „Möge die h-Methode mit dir sein!“ - Bestimmung der momentanen Änderungsrate an verschiedenen Stellen als Gruppenpuzzle

4.UE (ES)

„Zu jeder Stelle die Tangentensteigung bestimmen“ – Erarbeitung der Ableitungsfunktion zu Potenzfunktionen mit Hilfe des GTR

5. UE „Übung macht den Meister!“ – individuelle Übungen zur Sicherung und Vertiefung des Gelernten zur Vorbereitung auf die Klausur

6. UE Klausur Nr. 2 - Schriftliche Leistungsüberprüfung

1.2 Didaktisch-methodische Überlegungen im Rahmen des Unterrichtsvorhabens

Bei der Planung der einzelnen Unterrichtseinheiten hat der LAA versucht, aktuelle

fachdidaktische Prinzipien und Konzepte mit schulinternen Besonderheiten in

Einklang zu bringen, um einen nachhaltigen Kompetenzerwerb anzustoßen.

Es wird versucht, die einzelnen Unterrichtseinheiten zu vernetzen, sodass das

unterrichtliche Handeln sich an den Kernprozessen „Anknüpfen, Erkunden,

Ordnen, Vertiefen“12 orientiert. Beispielsweise wird in der ersten Unterrichtseinheit

10 „qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate erläutern (…)“ (vgl. ebd.) 11 Unterrichtseinheit (UE) entspricht einer Doppelstunde. Einzelstunden werden mit ES markiert. 12 (vgl. [10])

4

die mittlere Geschwindigkeit im Kontext einer Flugzeuglandung thematisiert, welche

zur nachfolgenden Unterrichtseinheit eine natürliche Verbindung aufweist. Die

Verbindung der beiden Einheiten besteht darin, dass im ersten Fall die

Momentangeschwindigkeit abschnittsweise konstant ist, während sich diese im

zweiten kontinuierlich verändert. Eine Systematisierung und Ordnung des Konzepts

der Linearisierung jeder (den SuS bekannten) Funktion wird in der nachfolgenden

Unterrichtseinheit angestrebt, bevor vertiefende Fragestellungen thematisiert werden.

Wie geschildert, kann die unterrichtliche Orientierung an die Kernprozesse auch im

Laufe eines Unterrichtsvorhabens deutlich werden.

Wo es der Unterrichtsgang erlaubt, sollen SuS individuell gefördert werden. Dies

zeigt sich konkret im zusätzlichen Angebot von Hilfestellungen und zur vertieften

Auseinandersetzung anregender Fragen.

Im Sinne eines Erziehungsauftrages der Oberstufe ist intendiert, SuS bei der

Gestaltung des Unterrichts mitwirken zu lassen. Hierzu hat der LAA auf ein

besonderes Diagnoseinstrument zurückgegriffen, das in 2.1 genauer erläutert wird.

Ziel ist, dass die SuS ihren Lernprozess zunehmend selbst strukturieren

(Selbststeuerung) und Vorschläge für die Verbesserung des Unterrichtsverlaufs

einbringen (Mitwirkung) sowie Verantwortung für das Ge- oder Misslingen ihres

Lernerfolgs selbst übernehmen (Eigenverantwortung).

Der LAA unterbreitet mehrere Möglichkeiten zur Überprüfung des Lern- und

Kompetenzzuwachses. Im Unterrichtsgespräch werden immer wieder

Verbalisierungen von mathematischen Fachbegriffen oder Prozessen und deren

Querbezüge zu bereits Bekanntem eingefordert. Zusätzlich werden mit Hilfe eines

quiz-ähnlichen Formats Kurzabfragen zu Beginn oder Ende einer Unterrichtseinheit-

oder -sequenz angeboten, mit denen die SuS individuell oder paarweise ihre

Fähigkeiten prüfen können. Letztlich stellen auch Übungsstunden eine Möglichkeit

dar, die eigenen Fähigkeiten und Fertigkeiten zu diagnostizieren.

Das Nepomucenum hat seit dem Schuljahr 2016/17 einen dritten Computerraum, der

mit einem ActivBoard sowie 14 Laptops ausgestattet ist. Aufgrund dieser

schulinternen Besonderheit hat der LAA den Unterricht in vielen Phasen

rechnergestützt geplant, um die Chancen dieser überdurchschnittlichen guten

Ausstattung des Kursraums wahrzunehmen. Im Sinne der Mitwirkung wurde diese

Vorgehensweise eines medien- und rechnergestützten Unterrichts durch die SuS

begrüßt (vgl. 2.1). In der Mehrheit der Unterrichtseinheiten bezieht sich die Nutzung

der Computer auf die dynamische Geometrie-Software GeoGebra. Um der

curricularen Forderung des Einsatzes des grafikfähigen Taschenrechners zu

entsprechen, wird auch dieser gelegentlich eingesetzt. Hier ist allerdings

anzumerken, dass dessen Einsatz durch die günstigen Rahmenbedingungen durch

die Notebooks gelegentlich schwer zu rechtfertigen ist.

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2. PLANUNG DER UNTERRICHTSSTUNDE

2.1 Bedingungsanalyse

Der Kurs der Einführungsphase (EF) besteht aus 12 Schülern und 10 Schülerinnen. Die drei Unterrichtsstunden verteilen sich auf eine mittwochs stattfindende Einzel- und eine Doppelstunde am Donnerstag. Da die Planung jeden Unterrichtsvorhabens bei der Lernausgangsplanung der SuS beginnen sollte, hat sich der LAA gezielt für das Diagnoseinstrument der SINUS-Tests [8] entschieden. Mit Hilfe dieser Tests konnte so beispielsweise festgestellt werden, dass von 22 SuS 14 nicht oder nur schlecht mit Graphen zu Sachsituationen zuordnen können. Auch in einfachen algebraischen Umformungen (Potenzgesetze) zeigten einige SuS Schwächen. Mit Hilfe dieser Diagnose hat der LAA die Inhalte im Unterricht wiederholt und Übungsaufgaben angeboten. In Phasen der Unterrichtsgespräche zeigt sich im Vergleich zu anderen Lerngruppen des LAA eine deutlich erhöhte Mitarbeit. Einige SuS liefern ausnahmslos in jeder Unterrichtsstunde zahlreiche und qualitativ gute Beiträge. Nach Durchsicht der ersten Klausur ist bei einigen SuS eine Diskrepanz zwischen der (guten) schriftlichen Leistung und der (eher durchschnittlichen) mündlichen Beteiligung festgestellt worden. Hier hat der LAA in anschließenden kurzen Einzelgesprächen motiviert, das eigene Verständnis und auch Unverständnis durch Fragen in das Unterrichtsgeschehen einzubringen. Mit kooperativen Lernformen sind die SuS vertraut, so arbeiten sie in zufällig gebildeten oder durch den LAA bestimmten Gruppen produktiv und ohne Schwierigkeiten. Die Atmosphäre kann als harmonisch und lernförderlich beschrieben werden. Im Kurs sind einige bemerkenswert gute SuS. Ein Schüler nimmt regelmäßig an Mathematik-und anderen Wettbewerben teil und weist gegenüber seinen Mitschülern deutliche Wissensvorsprünge auf. Auch die Art der Begründungen und Argumentation unterscheidet sich in der fachlichen Präzision und Korrektheit. Gelegentlich verzichtet der LAA im Unterrichtsgespräch zu Beginn darauf, diesen Schüler mit einzubinden, damit ein „lebendigeres“ Gespräch entsteht. Eine Schülerin im mittleren Notenbereich äußerte in einem Gespräch nach der Klassenarbeit, dass sie in der einen oder anderen Stunde das Gefühl hatte, gar nichts verstanden zu haben. An dieser Stelle hat der LAA unterstrichen, dass in diesem Fall nur Rückfragen während des Unterrichtsgeschehen helfen und herausgestellt, dass diese das Unterrichtsgeschehen in jedem Fall bereichern. Der LAA hat die Einschätzung, dass ein vertrauensvolles Klima besteht, in der Fehler Anlass sind, Erkenntnisse noch einmal zu hinterfragen oder aus einer anderen Perspektive zu betrachten. Die Auswertung der ersten Klausur (vgl. nebenstehende Abbildung) deutet auf ein überdurchschnittlich hohes Leistungspotential hin.

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Nach etwa zehn Wochen hat der LAA um eine Rückmeldung zum Unterricht gebeten. Dies ist mit Hilfe des Werkzeugs SEfU13 geschehen. Einige Ergebnisse14 werden kurz skizziert, da hier die Einschätzung des Kurses und des Unterrichts durch den LAA mit der Wahrnehmung der SuS abgeglichen und somit ein authentischeres Bild des Kurses gezeichnet werden kann. Der Großteil (86%) der SuS stimmt der Aussage „Das Unterrichtsfach interessiert mich“ voll bzw. eher zu. Die Empfindung des LAA der angenehmen Arbeitsatmosphäre wird durch 14 von 15 Befragten bestätigt, die der Aussage „Ich fühle mich im Unterricht sehr wohl“ voll oder eher zustimmten. Darüber hinaus wurde die Aussage „Mit meinen Beiträgen geht der Lehrer wertschätzend um“ von allen SuS bekräftigt. Dies ist im Hinblick auf Erkenntnisse der pädagogischen Psychologie zu begrüßen, da eine angstbesetzte Atmosphäre Ursache von Lernschwierigkeiten sein kann. Ebenso deutet dies darauf hin, dass ein positiver Umgang mit Fehlern besteht (Fehlerkultur). Ein Drittel der Befragten stimmte der Aussage „Er kennt meine Schwächen und Stärken“ nicht oder eher nicht zu. Dies ist nach Einschätzung des LAA auf die erst kürzlich erfolgte Übernahme des Kurses zurückzuführen. Interessanter ist der Bereich des Humors im Unterricht: Hier zeigt sich eine hohe Zustimmung (5: eher zustimmend, 10 voll zustimmend), die der LAA selbst nicht so eingeschätzt hat. In den freien Antworten wurde der Einsatz von Medien und Computern, insbesondere der kahoot15-Selbstüberprüfungen positiv erwähnt. Gleichsam wurde kritisch geäußert, dass „einzig das Spielen eines kahoots nicht verständnisfördernd“ sei. Diese Äußerung ist absolut berechtigt, so muss der Mehrwert dieser Methode tatsächlich kritisch geprüft werden. Klar muss sein, dass es beim Einsatz dieses Mediums nicht um ein „freies Spielen“ geht, sondern das Lernen und die Vertiefung/ Vernetzung des Unterrichtsstoffes im Vordergrund stehen muss. Positiv wurde erwähnt, dass „die Stimmung in dem Kurs sehr locker“ sei, man „komme gut miteinander klar und keiner“ müsse „sich schämen, eine Frage zu haben und diese dann auch zu stellen.“ Verbesserungsvorschläge waren „Mehr Einzelarbeit“ und „deutliche Tafelanschriebe“. Diese Aspekte versucht der LAA in den anschließenden Unterrichtsstunden stärker zu berücksichtigen. An dieser Stelle möchte der LAA abschließend noch einmal das wertvolle Potential dieses Instruments unterstreichen, das eine Einschätzung und Verbesserung der eigenen Unterrichtsqualität ermöglicht.

2.2 Schwerpunktlernziel der Unterrichtsstunde

Die SuS vertiefen ihre Kompetenzen im Bereich Differentialrechnung, indem sie erkennen, dass die mittlere Änderungsrate bei kleineren Betrachtungsintervallen eine Approximation an die lokale Änderungsrate darstellt und beide Größen im Kontext deuten.

2.3 Begründung didaktisch-methodischer Entscheidungen

Um an die Vorerfahrungen und Kenntnisse der letzten Unterrichtseinheit anzuknüpfen, wird zunächst die Reflexion der letzten Unterrichtsstunde vergegenwärtigt. Hierbei sollen die SuS den Begriff der mittleren Änderungsrate verbalisieren (vgl. 1.1.1: Darstellungswechsel). Als Folge wird ein ähnlich gelagertes Anwendungsszenario vorgestellt. Dieses zeigt zunächst eine problemhaltige Situation, die Anlass für eine für unterschiedlichste Fragestellungen gibt.

13 Projekt des Instituts für Psychologie der Friedrich-Schiller-Universität Jena, (vgl. [5]) 14 Ergebnisse verfügbar, (vgl. [6]) 15 (vgl. [9])

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Die Auswahl fiel auf das historische Experiment16 des freien Falls, das einer Legende nach Galileo Galilei am schiefen Turm von Pisa durchführte. Zum Einstieg zeigt der LAA eine Videosequenz, bei dem ein Gegenstand von diesem Turm fallen gelassen wird. Durch die Verwendung authentischen Materials und des Videos erhofft sich der LAA eine erhöhte SuS-Motivation. Fragestellungen können unterschiedlich gelagert sein, so könnte vermutet werden, dass verschiedene Gegenstände unterschiedlich schnell fallen. Dieser (interessanten) Vermutung soll jedoch nicht nachgegangen werden, da sie Bestandteil des Physik-Unterrichts ist und nicht zielführend im Hinblick auf das Lernziel wäre. Gegebenenfalls impulsgestützt soll die Leitfrage „Wie schnell ist der Stein beim Aufprall?“ formuliert und damit eine Fokussierung der Problemstellung im Hinblick auf das Lernziel geschaffen werden. Bevor dieser Fragestellung im hohen Maße eigenständig nachgegangen werden soll, sollen sinnvolle Ideen und mögliche Ansätze zur Untersuchung der Situation gesammelt werden. Denkbar ist etwa eine Zeitlupen-Videoaufnahme und Messung der Höhen zu verschiedenen Zeitpunkten und/oder eine Visualisierung der Situation sein. Mit einem Übergang zur Arbeitsphase findet eine kurze Instruktion zur Vorgehensweise statt. Eingesetzt wird ein vorbereitetes GeoGebra-Arbeitsblatt, dass die SuS in Partnerarbeit gemeinsam bearbeiten sollen. Zur Verwendung von GeoGebra hat sich der LAA aufgrund der positiven Rückmeldungen der Lerngruppe entschieden (vgl. 2.1). Parallel dazu sollen auf einem ausgedruckten Arbeitsblatt Ergebnisse und Erkenntnisse festgehalten werden. Der LAA hat sich für eine heterogene Zusammensetzung der Partner entschieden. Einerseits wird so die lernförderliche Atmosphäre in dem Kurs genutzt, bei denen die SuS unabhängig von den Arbeitsteams gute Ergebnisse liefern und das Potential der Heterogenität berücksichtigt, bei dem schwächere SuS von den stärkeren profitieren und diese ihrerseits durch mögliche Erklärungen ein tieferes Verständnis aufbauen (Lernen durch Lehren) können. Die Partnerarbeit ist die Methode der Wahl, da zum einen eine 1:1-Ausstattung mit Notebooks nicht möglich ist. Andererseits hat diese Form des Lernens Vorteile und kann als Vorstufe kooperativer Lernformen17 bezeichnet werden. Dies liegt in der Möglichkeit zum intensiveren Austausch, sodass stärker auf die Gedanken des/r Partners/in eingegangen werden muss und ein Abgleich mit den eigenen Vorstellungen vorgenommen werden kann (Ko-Konstruktion). Zudem hat sich diese Form der Zusammensetzung in vorherigen Unterrichtseinheiten bewährt und der Kurs lässt sich recht gut in zwei etwa gleich große heterogene Gruppen „clustern“. Der Lernweg mit Hilfe des GeoGebra-Arbeitsblatts ist linear vorstrukturiert. Zusätzlich finden sich vorbereitete Hilfestellungen und Tipps, die individualisierte Lernwege ermöglichen. Zudem findet sich auf dem Arbeitsblatt eine Sammlung unterschiedlicher vertiefender Fragestellungen für schnellere SuS. Hierbei hat sich für der LAA für eine Auswahl möglicher Zusatzaufgaben entschieden, sodass sich die schnelleren SuS beliebigen weiteren Fragestellungen widmen können. Diese bedienen unterschiedliche vertiefende Aspekte, etwa eine formale Untersuchung des Falls, dass beide Punkte „zusammen fallen“ oder eine Reflexion des Einsatzes einer modellierenden Funktion. Damit die langsameren SuS nicht benachteiligt werden, sollen diese Fragestellungen jedoch keine inhaltlichen Aspekte des nachfolgenden Unterrichts vorwegnehmen.

16 (vgl. [1], S. 83f) 17 (vgl. [11], S.60)

8

Ziel dieser Material-gesteuerten Planung ist, dass möglichst viele SuS-Teams die Fragestellung beantworten können bei gleichzeitiger Schaffung eines größtmöglichen differenzierten Lernangebots. Der LAA hat in der Arbeitsphase die Aufgabe, die SuS-Teams zu beobachten und ihren Lernfortschritt zu beobachten. Dabei sollen insbesondere die Vermutungen bei Aufgabe (3) diagnostiziert werden. Sollten sich hierbei Schwierigkeiten ergeben, wird der LAA an dieser Stelle impulsgesteuert mögliche Vermutungen der SuS einholen, ohne diese zu bewerten. Ziel der Stunde ist die Entdeckung und Erkenntnisgewinnung, dass durch die Wahl immer kleinerer Betrachtungsintervalle bei der Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit eine Prognose der Momentangeschwindigkeit möglich wird. Diese Erkenntnis soll in der Sicherungsphase herauskristallisiert werden. Mit

dieser Hilfe kann die Aufprallgeschwindigkeit mit etwa −30𝑚𝑚

𝑠 (bzw. 108

𝑘𝑚

ℎ)

angegeben und Bezug auf die eingangs aufgestellte Leitfrage genommen werden. Durch die Vermutungen der SuS („die Geschwindigkeiten nehmen zu“, „je kleiner das Intervall, desto höher die Geschwindigkeit“) kann auch gezielt ein propädeutisches Verständnis des Grenzwertbegriffs herausgearbeitet werden, wenn der Impuls „wird die Durchschnittsgeschwindigkeit denn beliebig/unendlich groß?“ passend gesetzt wird. Es bietet sich dann an, den Grenzwert als einen Wert zu definieren, den der Differenzenquotient (bzw. im Kontext: die Durchschnittsgeschwindigkeit) bei immer kleiner werdenden Intervallen nicht übersteigt. Auch ein kurzer Vergleich mit dem Fachbegriff der Asymptoten ist hier denkbar, um Querbezüge und Vernetzungen herauszuarbeiten. In der Sicherungsphase sollen die SuS den Prozess der Erkenntnisgewinnung reflektieren, indem sie einen Satzanfang vervollständigen. Dazu wird ihnen dieser auf einem kleinen Zettel gedruckt, auf dessen Rückseite mögliche Begriffe zur Vervollständigung angeboten werden. Dieser offenere Zugang verfolgt das Ziel, auch in dieser entscheidenden Phase schwächere und stärkere SuS gleichermaßen einzubinden und einen individuellen Lernzugewinn zu definieren. Abschließend sollen einige dieser vervollständigten Satzanfänge vorgetragen und abgeglichen werden. An dieser Stelle ist es die Aufgabe des LAA, diese besondere Idee als Schlüsselgedanken zu betonen, der die Tür zur Welt der Differentialrechnung öffnet! Ziel der Stunde ist es nicht, eine formale Notation des Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten herauszuarbeiten. Da die kommende Unterrichtsstunde bereits am nächsten Tag ist, entscheidet sich der LAA gegen eine Hausaufgabe. Umfangreichere Übungen, auch zur Vorbereitung auf die anstehende zweite Klausur, werden in der Folgestunde angeboten.

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2.4 Geplanter Unterrichtsverlauf

18 Verwendete Abkürzungen: AcB = ActivBoard, LV = Lehrervortrag, PA = Partnerarbeit, SV = SuS-Vortrag, AB = Arbeitsblatt

Name: Julian Hundt Lerngruppe: EF Mathematik Datum: 30.11.2016

10:45 – 11:30

STUNDENTHEMA: „Freier Fall!“ – Hinführung zur momentanen Änderungsrate im Kontext eines historischen Experiments unter Einsatz dynamischer Geometrie-Software. ZIEL: Die SuS vertiefen ihre Kompetenzen im Bereich Differentialrechnung, indem sie erkennen, dass die durchschnittliche Änderungsrate bei kleineren Betrachtungsintervallen eine Annäherung an die lokale Änderungsrate darstellt und beide Größen im Kontext deuten.

Phasen Unterrichtsgeschehen Sozialform Medien

Organisation Begrüßung der SuS und des Besuchs LV

Einstieg Anknüpfen an die Vorerfahrungen

Ankommen im Lernkontext Problemstellung verdeutlichen

Re-Reflexion zur letzten Stunde: Mittlere Änderungsrate verbalisieren L. zeigt historisches Experiment von Galileo Galilei am schiefen Turm von Pisa L.: „Welche Fragen könnte sich Galileo gestellt haben?“

o SuS nennen Fragestellungen und Ideen o L. moderiert die Ideen: „Wie fliegt der Stein (Gegenstand)?“ / „Mit welcher

Geschwindigkeit fliegt er?“ / „Wie stark schlägt er auf dem Boden auf?“ L. lenkt Fokus auf die Geschwindigkeit des Steins und lässt (SuS) Leitfrage formulieren

„Wie ist die Geschwindigkeit beim Aufschlag?“ L. sammelt Ideen, wie man diese Situation untersuchen könnte – wie man dieses

Problem lösen könnte. Visualisierung mit GeoGebra – SuS verbalisieren die Darstellung.

UG

AcB18 - Folie AcB - Folie (Video)

Erarbeitung Erkundung und Entdeckung des Problems Lernprodukt herstellen

L. erklärt Ablauf der Unterrichtsstunde, weist Partner zu und teilt Arbeitsblätter aus.

SuS lernen in Partnerarbeit am Rechner und füllen parallel das Arbeitsblatt aus o ggf. Zwischensicherung (Vermutungen bei den Durchschnittsgeschwindigkeiten

mündlich sammeln)

LV

PA

AB Notebooks GeoGebra-Datei

Sicherung Präsentation der Ergebnisse Diskussion des Lernprodukts Lernertrag reflektieren

L. bittet drei SuS zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeiten an die Tafel. Diskussion und Festhalten der Auffälligkeiten (Intervall wird kürzer, Geschwindigkeit

nimmt zu, wächst später nur noch wenig, überschreitet einen bestimmten Wert nicht Approximation (Annäherung) an die Momentangeschwindigkeit)

o ggf. Fundierung: Grenzwert (verbal oder schriftlich). Beantwortung der Leitfrage – Klärung offener Fragen Abschluss: Lernertrag reflektieren durch individuelle Verbalisierungen (Merksätze)

o ggf. kahoot als did. Reserve zur Überprüfung des Lernertrags

SV

UG

AcB-Folien Notizzettel zur Sicherung

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3. ANHANG

3.1 Literatur- und Quellenverzeichnis

[1]: Mathematik Neue Wege. Einführungsphase: Arbeitsbuch. Nordrhein-Westfalen, Schroedel Verlag GmbH, 2014, ISBN = 3507858118. [2]: Kernlehrplan Mathematik für die gymnasiale Oberstufe für Nordrhein-Westfalen. schulentwicklung.nrw.de/lehrplaene/upload/klp_SII/m/KLP_GOSt_Mathematik.pdf Internetquelle: Zugriff am 9.11.2016 [3]: Schulinternes Curriculum des Ganztagsgymnasiums Nepomucenum, Coesfeld. Internetquelle: service.neponet.de/curricula/Mathematik/M_currEP.pdf, Zugriff am 9.11.2016 [4]: „Freier Fall – Auf dem Weg zur Ableitung“ – Interaktives GeoGebra-Arbeitsblatt, Autor: Julian Hundt, Internetlink: tube.geogebra.com/herr_hundt, (2016). [5]: Schüler als Experten für Unterricht, Online-Befragungsinstrument zur Evaluation des Unterrichts, www.sefu-online.de, Friedrich-Schiller-Universität Jena, Zugriff am 9.11.2016 [6]: Auswertung der Erhebung mittels SEfU, Internetquelle: http://schulinformatik.info/?p=558, Zugriff am 9.11.2016 [7]: „Mit dem Computer qualitativ arbeiten?“, Prof. Dr. G. Greefrath (2009), Internetquelle, .math.uni-sb.de/ag/lambert/AKMUI09/Folien/GreefrathSoest09.pdf, Zugriff am 9.11.2016 [8]: QUA-LiS NRW, SINUS.NRW, Internetquelle: schulentwicklung.nrw.de/sinus/ , Zugriff am 10.11.2016 [9]: kahoot: Quiz mit Integration schülereigener Endgeräte (BYOD-Ansatz mit Gamification-Elementen]): Internetquelle: kahoot.com. [10]: „Anknüpfen, Erkunden, Ordnen, Vertiefen – Ein Modell zur Strukturierung von Design und Unterrichtshandeln“. Prediger, Leuders, Barzel, Hußmann, Internetquelle: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/13-BzMU_Kosima_Strukturmodell-Webversion.pdf, Zugriff am 14.11.2016 [11]: Erfolgreich unterrichten durch Kooperatives Lernen, L. Brüning, T. Saum, NDS Verlagsgesellschaft, Essen. 5. Auflage, 2009. [12]: Einführung Mathedidaktik, Prof. Dr. Hafenbrak, Internetquelle: http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vorlesungen/Hauptschule/Zahlbereiche/ws08_09/Did06_04.pdf Zugriff am 26.11.2016 [13]: Studien zur kognitiven Entwicklung (1971): Bruner, Jerome S. et al. Stuttgart: Ernst Klett Verlag.

3.2 Anlagen (Übersicht)

SuS-Arbeitsblatt „Der freie Fall – Untersuchung der Änderungsrate“

Notizzettel zur Sicherung (Stichworte werden auf die Rückseite gedruckt)

Antizipierte SuS-Lösungen

Auswahl verwendeter ActivBoard-Folien

Auswahl einiger Lernschritte aus dem zugehörigen GeoGebra-Arbeitsblatt

11

3.3 Anlagen

12

Notizzettel zur Sicherung

13

Antizipierte SuS-Lösungen

In der Reflexionsphase (Auswahl möglicher Lösungen):

Die Geschwindigkeit in einem Punkt kann bestimmt werden, indem man …

…die Steigung der Geraden durch zwei Punkte berechnet und einen Punkt immer näher an

den anderen Punkt heranrückt lässt.

… den Differenzenquotienten aus Höhe und Zeit für immer kleinere Zeitintervalle bildet.

… die Sekante zu einer Tangente werden lässt und dessen Steigung bestimmt.

… die Durchschnittsgeschwindigkeit immer kleinerer Zeitintervalle bestimmt.

… den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt.

14

Auswahl verwendeter ActivBoard-Folien

15

Auswahl einiger Lernschritte aus dem GeoGebra-Arbeitsblatt: