II. Wahrscheinlichkeitstheorie1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume

1.1. Kombinatorische Formeln1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein-

lichkeiten2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume

2.1. Der diskrete Fall2.2. Der stetige Fall2.3. Unabhängigkeit und bedingte

Wahrscheinlichkeit3. Zufallsvariablen

3.1. Grundbegriffe3.2. Erwartungswert und Varianz

3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

InsekteneierN : Anzahl der Eier, die ein bestimmtes Insekt legtM : Anzahl der Eier, die sich entwickelnN - M : Anzahl der Eier, die unentwickelt bleiben

Annahmen

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Insekt genau n Eier legt, beträgt

d. h.

Jedes Ei entwickelt sich mit dergleichen Wahrscheinlichkeit p

Die Eier beeinflussen sich nicht in ihrer Entwicklung

Dann gilt:

1

2

3

Beispiele Poisson-verteilter Zufallsvariablen

Anzahl der pro Zeiteinheit abgestrahlten Teilchen einesradioaktiven Präparats

Anzahl der pro Zeiteinheit an einer Tankstelletankenden PKW

Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto

Anzahl der pro Jahr von einer Versicherung zuregulierenden Schadensfälle

Bäckerei BröselBröselX : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr

n : Anzahl der betrachteten Haushalte

Annahmen

Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Haushalt zu der Zeit bei Brösel einkauft, ist bei allen Haushaltengleich

Die Haushalte entscheiden unabhängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht

Dann gilt:

d. h.

Nun wird die Anzahl n der betrachteten Haushalte vergrößert.

Die „Einkaufswahrscheinlichkeit“ p hänge dabei so von n ab, dass gilt:

Dann konvergiert die Verteilung von X gegen eine Poisson-Verteilung. Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich

Die Gauß- oder Normalverteilung

Dichte

Verteilung

Verteilungsfunktion

Erwartungswert

Varianz

Der Zentrale Grenzwertsatz

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Schätzer von

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung

Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y

hat man

III. Induktive Statistik

1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung

2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle

3. Tests 3.1. Grundbergriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

Beschreibende Statistik(= Deskriptive Statistik)Beschreibung von Datenmaterial

Schließenden Statistik(= Induktive Statistik)Analyse von Datenmaterial,Hypothesen, Prognosen

1. Semester

2. Semester

Wahrscheinlich-keitstheorie

1. Semester

Die hypergeometrische Verteilung

Notation

Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze.

Aus der Urne werden nacheinander m Kugelnohne Zurücklegen gezogen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen?

Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg

N Fische werden gefangen und markiert

Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben.

Man geht erneut auf Fischzug und fäng m Fische. Von diesen seien k markiert.

Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See:

Statistische Struktur(diskreter Fall)

Dabei sind:

Schätzproblem

Schätzer

Ω

ΘModell

Beobachtung(Stichprobe)

Grundgesamtheit(mögliche Beobachtungen)

Schätzung

Ω

ΘModell

Beobachtung(Stichprobe)

Grundgesamtheit(mögliche Beobachtungen)

Schätzung

Eg

Berliner Taxifahrer

Ein Berliner Taxifahrer notierte imJanuar 1987 während 5 Schichten mit je 20 Fahrten, welchen Prozentsatz des Fahrpreises lt. Taxameterdie Fahrgäste als Trinkgeld gaben.

Stichprobe(diskreter Fall)

Mathematischer Rahmen

Stichprobenfunktionen

StichprobenfunktionenBeispiel „Taxifahrer“

SonntagseinsätzeFeuerwacheFeuerwache

Mittlerer quadratischer Fehler

Gegeben sind:

Statistische Struktur Schätzproblem

Als mittleren quadratischen Fehler bezeichnet man die Größe

Schätzer

„Feuerwache“Angepasste Poisson-Verteilungen