Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II€¦ · den ersten Teil der 4. Maxwell-Gleichung (in...

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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)

Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II

Teil 1: Elektrizitätslehre, Elektrodynamik

1. Elektrische Ladung und elektrische Felder2. Kapazität3. Elektrischer Strom4. Magnetostatik5. Elektrodynamik6. Schwingkreise und Wechselstrom

Teil 2: Optik

7. Elektromagnetische Wellen8. Optik

158


Von elektrisch ungeladenem Eisen kann eine Kraft auf ein anderes Stück Eisen ausgeübt werden.

4 Magnetostatik

4.1 Magnetische Kraftwirkung

Eisenmagnet

Kompass-nadel

Fr

Versuch: Eisenmagnet und Kompass-nadel 1F

r

2Fr

Anziehung

Von dem Eisen geht ein Magnetfeld aus, in dem sich die Kompassnadel ausrich-tet. Je nach Ausrichtung des Magneten wirkt die Kraft anziehend oder abstoßend.

1Fr

2Fr

Abstoßung

Magnetpole (Nord- und Südpol) lassen sich nicht trennen. Zerbricht man einen Stabmagneten, dann ergeben sich zwei kürzere Magnete mit beiden Polen.

159


Im Gegensatz zu elektrischen La-dungen, die einzeln erzeugt werden können, sind einzelne Magnetpole (so genannte magnetische Monopole) bisher nicht beobachtet worden. Daher kann das Magnetfeld auch nicht über die Kraftwirkung von magnetischen Monopolen definiert werden.

Teilung eines Stabmagneten:

Feldlinienin der Nähe eines Pols

Dipol

Feldlinien eines mag-netischenDipols

160


Leiter

PlexiglasscheibeEisenfeilspäne

Nach Einschalten des Stromes orientieren sich die Eisenfeilspäne kreisförmig um den Leiter.

Versuch: Feldlinien eines stromdurch-flossenen Leiters

Hans Christian Ørsted entdeckt 1820 den Zusammenhang zwischen Strom und Magnetfeld:

Hans Christian Ørsted(1777-1851)

161


StromI

LeiterMagnetfeld B

Ein Ausmessen des Magnetfeldes mit einer Kompassnadel ergibt, dass ein stromdurchflossener Leiter von einem kreisförmigen Magnetfeld umgeben ist.

jr

Br

Im Gegensatz zum elektrostatischen Feld gibt es geschlossene Magnet-feldlinien. Die Feldlinien geben wieder die Kraftwirkung (Richtung und Stärke) des Magnetfeldes an.

162


Die Richtung der Magnetfeldlinien kann einfach mit der rechten Hand demonstriert werden.

rj

rB

⇒ E-Feld ≠ B-Feld

Das Ein- und Ausschalten des Magneten hat keinen Einfluss auf die geladene Kunststoffkugel. Ersetzt man diese durch eine Eisenkugel, dann ist deutlich eine Kraftwirkung zusehen.

geladeneKunststoffkugel

Magnet

Versuch: Magnetfeld und elektrisches Feld

163


4.2 Magnetfeld eines geraden Leiters

Wir wollen jetzt das Magnetfeld eines geraden Leiters, durch den der StromI fließt, aus Symmetrieüberlegungen herleiten.

Das Feld kann nur vom Abstand r vom Leiter abhängen. Die Feldlinien sind konzentrische Kreise (dies ergibt sich später aus der 2. Maxwell-Gleichung).

( ) ( )B r B r eϕ=r r r

Es gilt also

mit dem Einheitsvektor in Polarkoordi-naten .eϕ

r

Experimentell findet man für den Betrag des Magnetfeldes B(r):

( ) IB rr

∝

Die Proportionalitätskonstante wird mit μ0 / 2π bezeichnet. Für das magnetische Feld eines stromdurchflossenen Leiters erhält man daher:

0( )2

IB r er ϕ

μπ

=r r r

I

r

( )B B r eϕ=r r

.|| constB =r

164


Bemerkungen:

(3) Der Leiter ist hier als „unendlich ausgedehnt“ angenommen worden. Deswegen fällt das Feld nur mit 1/r ab (wie beim Zylinderkondensator) und nichtgemäß 1/r2 wie im Falle von elektrischen Punktladungen.

(4) Es ist zu beachten, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Das Magnetfeld lässt sich daher nicht über die Kraftwirkung auf „magnetische Ladungen“ definieren, sondern nur über Ströme.

(1) ist die magnetische Permeabilität des Vakuums.

Sie wird auch als magnetische Feldkonstante bezeichnet.

Ihr Wert ist:

Die Einheit des Magnetfeldes ist damit:

0μ0μ0μ

0μ

AmVs104 70

−⋅= πμ

[ ] (Tesla) T1mVs1

2==B

r

(2) In Materie muss die Formel für das Magnetfeld eines Leiters abgeändert werden. Mit der Permeabilität des Mediums gilt:

d.h. muss durch das Produkt ersetzt werden.

Beispielsweise ist für Eisen

μ

0μerIrB rr

r

πμμ

2)( 0= μμ 0

5000≈μ

165


4.3 Ampèresches Gesetz

Das Resultat für das Magnetfeld eines geraden Leiters, durch den der Strom I fließt, lässt sich in allgemeiner Form darstellen.

I

r

( )B B r eϕ=r r

.|| constB =r

drr

Das Resultat

lässt sich „rückwärts“ umformen zu:

Das geschlossene Wegintegral über das Magnetfeld , welches den Strom Iumfasst, ergibt also μ0I.

( )B rr r

Es stellt sich heraus, dass dieses Resul-tat stark verallgemeinert werden kann.

Hierbei handelt es sich auf der linken Seite um ein Wegintegral über das Vektorfeld entlang eines Kreises mit dem Radius r.

( )B rr r

∫ =⋅=⋅

⋅=

Kreis

IrdrB

IrerB

eeIrrB

0

0

0

)(

2)(

|2)(

μ

μπ

μπ

ϕ

ϕϕ

rr

rr

rrr

ϕπμ eI

rrB r

r

2)( 0=

166


Bemerkungen:

• Dies ist das sog. Ampèresche Gesetz. Hierbei handelt es sich bereits um den ersten Teil der 4. Maxwell-Gleichung (in integraler Form).

• Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass (stationäre) Ströme (statische) magnetische Felder hervorrufen.

• Statische Magnetfelder werden generell durch das Fließen von Strömen erklärt. Das bedeutet beispielsweise, dass in einem magnetischen Stück Eisen mikroskopische Ströme fließen müssen.

• Es ist zu beachten, dass das Wegintegral in der obigen Gleichung entlang jeder beliebig geformten geschlossenen Kurve, die den Strom I umschließt, berechnet werden darf.

• Mit dem Ampèreschen Gesetz können Magnetfelder berechnet werden.

Ein (vom Weg dr eingeschlossener) Strom I ruft ein Magnetfeld Bhervor, welches die folgende Gleichung erfüllt:

André Marie Ampère(1775-1836)

∫ =⋅ IrdB 0μrr

167


4.4 Magnetfeld einer langen Spule

Beispiel: Magnetisches Feldlinienbild einer langen Spule

168


I

Br

Feldlinienbild einer Spule

Das Magnetfeld im Inneren der Spule der Länge l soll jetzt mit dem Am-pèreschen Gesetz und einigen verein-fachenden Annahmen berechnet wer-den. Wir betrachten die folgende Zeichnung:

Näherungsweise gilt:

l

N Windungen

0rr

≈B

0 xB B e=r r

xer

innerhalb der Spule: .0 constBB ==rr

im Außenraum: 0rr

≈B

169


Mit dem Ampèreschen Gesetz ergibt sich nun:

inner- außer-halb halb

0

0 00B

x

B dr B dr B dr

B le N Iμ≈

⋅ = ⋅ + ⋅

= ⋅ + =

∫ ∫ ∫rr

r r rr r r

14243

r r

Das homogene Magnetfeld im Inneren einer Spule der Länge l mit N Windungen, durch die ein Strom der Stärke I fließt, ist damit also:

0N IBl

μ=

Feldlinien eines stromdurchflossenen Torus

Diese Formel ist für dicht gewickelte Spulen mit großer Windungszahl-dichte N/l sehr genau.

170


Wird die Hallsonde („Magnetfeldmesser“) im Innern der Spule parallel zur Achse bewegt, dann wird ein nahezu konstantes Feld gemessen. Erst im Randbereich nimmt es ab.

Versuch: Magnetfeldstärke in einer Spule

Hallsonde

lange Spule

171


Nach dem Einschalten des Stromes wird der Eisenkern in die Spule hineingezogen.

Eisenkern

Spule

Versuch: Spule mit Eisenkern

Federwaage

Spule

Eisenkern

Stromver-sorgung

172


mit Eisenkern= starkes Feld

Versuch: Magnetfeld einer Spule ohne und mit Eisenkern

Spule Hallsonde Eisenkern

ohne Eisenkern= schwaches Feld

173


Hallsonde

Spule

Eisenkern

I

Das an einer Spule mit einer Hall-sonde gemessene Magnetfeld ist er-heblich größer, wenn ein Eisenkern in die Spule geschoben wird. Kerne aus z.B. Kupfer oder Aluminium zeigen keinen größeren Effekt.

0N IBl

μ=

Die Formel für das Magnetfeld im Inneren einer langen Spule war:

Dabei wurde angenommen, dass sich keine Materie im Inneren befindet. Mit Materie gilt (μ0 ⇒ μ0μ):

0N IBl

μ μ=

Da für Eisen μ ≈ 5000 gilt, ergibt sich so die sehr große Verstärkung mit dem Eisenkern. Dies kann allerdings erst später genauer verstanden werden ( ⇒Kapitel 4.11).

174


Spulen

Eisenjoch

Luftspalt

Beispiel eines Experimentiermagneten zur Erzeugung von Magnetfeldern bis etwa Bmax ≈ 1 Tesla:

Hallsonde

Eisenjoch

Spule

Noch effektiver ist eine Anordnung mit einem geschlossenen Eisenjoch, in dessen Spalt Felder bis ca. 1 Tesla erzeugt werden können. Hier werden die Feldlinien geschlossen im Eisen geführt (siehe auch Transformator in Kapitel 6.9).

175


Beispiel: Magnetisches Feld der Erde

176


F qv B= ×r rr

Eine Ladung q bewegt sich mit der Geschwindigkeit v in einem magne-tischen Feld B. Experimentell ergibt sich, dass die Ladung dann von einer Kraft abgelenkt wird gemäß:

4.5 Lorentz-Kraft

Antoon Lorentz( 1853-1928 )

Diese spezielle Kraft heißt Lorentz-Kraft. Es ist zu beachten, dass auf ein ruhendes Teil-chen keine Lorentz-Kraft wirkt.

Das Besondere ist, dass diese Kraft von der Geschwindigkeit der Ladung abhängt. Hierauf beruhende Effekte werden in den folgenden Abschnitten diskutiert.

Vektorprodukt: Rechte-Hand-Regel:

z

xy

KraftFr

FeldBr

Bewegungvr

177


Das Magnetfeld beträgt B = 1 Tesla, wenn auf eine Ladung von q = 1 C, die sich mit der Geschwindigkeit v = 1 m/s bewegt, die Kraft F = 1 N wirkt. 1 Tesla ist ein relativ großes Magnetfeld.

( )0

0

dvF m qv B vdtdvmv q v v Bdt

=

= = × ⋅

⇒ ⋅ = ⋅ × =

rr rr r

r rr r r

14243

Durch die Kraftwirkung kann die Einheit des Magnetfeldes definiert werden (für ):

Wir betrachten jetzt die Lorentz-Kraft und das 2. Newtonsche Axiom, also:

dvF m qv Bdt

= = ×rr rr

Multiplikation mit v ergibt:

( )

( )

2

1 02

d dv dv dvv v v v vdt dt dt dt

d dvm v v mvdt dt

⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅

⇒ ⋅ = ⋅ =

r r rr r r r r

rr r r

Es ist

( )2 0 const.

0

d v vdt

dv dvv vdt dt

= ⇒ =

⋅ = ⇒ ⊥

r r

r rr r

und damit:

Im Magnetfeld bleibt der Betrag der Geschwindigkeit von q (und damit die kinetische Energie) also konstant.

N[ ] 1 1T=1TeslaCm s

FB B

q v= ⇒ = =

rr r

r

Brr

⊥ν

178


Die Lorentz-Kraft ist:

F qv B mr= × =r rr r&&

00

0 0

x y z

y x z

z

v v Bv B v v B

B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟× = × = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rr

Damit folgt:

Es ergeben sich die 3 Gleichungen:

(1)

(2)(3) 0

y z

x z

mx qv B

m y qv Bmz

=

= −

=

&&

&&

&&

(3) Entspricht oder

.)( 0 constztz ==

(1) und (2) ergeben das Gleichungssys-tem:

und z zx y y xqB qBv v v vm m

= = −& &

Einheitenbetrachtung:

2

CN 1 kg m da NCm s kg s s

zqBm

⎡ ⎤ = = =⎢ ⎥⎣ ⎦

Beispiel: Bewegung einer Ladung im homogenen Magnetfeld

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

0

00

y

x

z

vv

v

BB

r

r

xy

zBr

vr

Definition des Koordinaten-systems

0. === constvz z&

179


zz

qBm

ω =

Es wird die „Zyklotron-Frequenz“ defi-niert:

Das Gleichungssystem kann dann ge-schrieben werden als:

z

z

ω

ωx y

y x

v v

v v

= +

= −

&

&

Ableiten der ersten Gleichung und Einsetzen der zweiten ergibt eine homogene DGL 2. Ordnung für vx:

2z z

2z

ω ω

ω 0x y x

x x

v v v

v v

= + = −

⇒ + =

&& &

&&

Dies ist die DGL des harmonischen Oszillators für vx.

( )

( )

0 z

0z

z

( ) cos ω

( ) sin ωω

xv t v tvx t t

=

⇒ =

Als Lösung ergibt sich für eine gewählte Anfangsbedingung vx(t = 0) = v0 :

Entsprechend kann für die y-Komponente gezeigt werden:

( )

( )

0 z

0z

z

( ) sin ω

( ) cos ωω

yv t v t

vy t t

= −

⇒ =

22 2 2 0

z

( ) ( ) ( ) const.ωvR t x t y t ⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Die Ladung bewegt sich also auf einer Kreisbahn mit der Zyklotron-Frequenz

ωz = qBz/m.

180


R

Magnetfeld

v0

B

l

α

Elektronen-strahl

Die Winkelablenkung eines Elektronen-strahls im Magnetfeld ist:

Wenn l die Bahnlänge im Magnetfeld ist und R der Bahnradius, dann ist der Ablenkwinkel (in Radian) gegeben durch:

lR

α =

Versuch: Elektronenstrahl im homo-genen Magnetfeld

Durch zwei sog. „Helmholtz-Spulen“wird ein nahezu homogenes Magnet-feld erzeugt. Ein Elektronenstrahl läuft dann auf einer Kreisbahn:

GlühkathodeStrahl

Vakuumröhre

181


Der Bahnradius R kann aus dem Gleichgewicht der Lorentz-Kraft und der Zentrifugalkraft ermittelt werden:

20

0

0

1

vq v B mR

q BR m v

× =

⇒ =

rr

+Ua

Anode

Kathode

Glaskolben

Magnet-spule

Leucht-schirm

II

Beispiel: Fernsehbildröhre

Dann ist der Ablenkwinkel gegeben durch

0

l q BlR m v

α = =

wobei v0 durch eine feste Beschleu-nigungsspannung genau eingestellt werden kann.

182


Ernest Lawrence(1901-1958)

Beispiel: Funktionsweise eines Zyklotrons

Da sich im magnetischen Feld der Betrag der Geschwindigkeit nicht ändert, können Ladungen allein mit Magnetfeldern nicht beschleunigt werden. Im Zyklotron wird dafür ein elektrisches Feld immer wieder durchlaufen.

183


Das Isozyklotron der Uni Bonn

184


=Ub−

2R

R

+Teilchenquelle

Schirm

q, m

v0

Spektrallinie

Beschleunigungs-strecke

B

Die geladenen Teilchen werden durchUb beschleunigt und erhalten die Ge-schwindigkeit:

mUqv b0

2=

Im Magnetfeld B werden sie auf einem Halbkreis abgelenkt. Das Kräftegleich-gewicht ist hier:

BqRvmBvq

Rvm

=⇒= 0020

Quadriert man beide Ausdrücke dann folgt:

22

2

2b

22

2

2

20b2

0

2

und2

Bmq

mq

RU

Bmq

Rv

mUqv

=⇒

==

Daraus ergibt sich schließlich:

22b

2 2b

2 ( )2

Uq Bm R Rm R B qU= ⇒ =

Beispiel: Massenspektrometer

185


Die Lorentz-Kraft auf eine bewegte Ladung q im Magnetfeld ist:

F qv B= ×r rr

Ist auch noch ein elektrisches Feld vorhanden, dann wirkt die Gesamt-kraft:

( )F q E v B= + ×r r rr

Beispiel: Vergleich der Kräfte auf ein geladenes Teilchen, welches sich (fast) mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, d.h. es ist v ≈ c. Die elektrische und magnetische Kraft sind gleich groß, wenn:

BcErr

=

4.6 Magnetische & elektrische Kräfte Ein Magnetfeld von B = 1 Tesla ist leicht zu erzeugen. Dem würde ein elektrisches Feld entsprechen von

mV103 8⋅=E

r

Dies ist nahezu unmöglich zu erzeugen (Problem: el. Überschläge). In Teilchen-beschleunigern werden daher Magnete zur Ablenkung verwendet.

186


a IUH

d

Br

Durch einen Leiter der Breite a und der Dicke d fließt ein Strom I. Wenn senkrecht zum Leiter das MagnetfeldB wirkt, dann werden die bewegten Ladungen im Leiter senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Rich-tung des Stroms abgelenkt.

Wir hatten für die Geschwindigkeit der Elektronen im Leiter bereits den folgen-den Zusammenhang gefunden:

HHund

UI Iv EA ad aρ ρ

= = =rr

Dadurch entsteht an den Seiten eine Potentialdifferenz UH die solange an-steigt, bis die ablenkende Wirkung des Magnetfeldes durch das entstehende elektrische Feld EH an den Leiterseiten kompensiert wird. In diesem Gleich-gewichtszustand gilt:

( )HH

0

0

F e E v B

E v B

= + × =

⇒ + × =

r r rr

r rr

Beispiel: Hall-Effekt

187


Die Ladungsdichte ρ wird oft durch die Volumendichte n der Ladungsträgerausgedrückt:

neρ =

Daraus ergibt sich die sog. Hall-Spannung:

Die Größe

H1 1R

neρ= =

ist die Hall-Konstante. Sie ist besonders groß, wenn n klein ist. Dies ist speziell für Halbleiter der Fall.

Da B ∝ UH kann durch Messen der Hall-Spannung das Magnetfeld B be-stimmt werden. Vor allem aus kleinen Halbleiterstreifen gefertigte Sonden wer-den häufig zur Magnetfeldmessung ver-wendet (⇒ „Hall-Sonden“).

Hall-Konstanten können prinzipiell positiv oder auch negativ sein (entsprechend „Elektronenleitung“ oder „Löcherleitung“ in Halbleitern).

Da und kann mit den Beträgen gerechnet werden:

νν rrrrr ⊥⊥ EB, BE

rr⊥

adIB

aU H

ρ=

dIBR

dIBU HH == ρ

188


Elektromagnet

Hall-Sonde

Eine Erhöhung des Stromes (hier: durch ein dünnes Silberblech) durch den Elektromagneten vergrößert proportional dazu auch die Hall-Spannung.

Versuch: Hall-Effekt

189


Auf einen stromdurchflossenen Leiter der Länge l wirkt im Magnetfeld eine Kraft F. Dabei findet man experimentell:

Fr

rl

Br

I Strom

Hier ist ein Vektor, der in die Richtung des Stromflusses zeigt. Der Betrag vongibt die Länge des Leiterstücks an, das vom homogenen Magnetfeld B durch-setzt wird.

lr

lr

Für die Kraft auf das Leiterstück ergibt sich zunächst qualitativ:

BFrr

⊥ und lFrr

⊥

4.7 Leiterschleife im Magnetfeld

BlIFrrr

×∝

190


Magnet

Strom-versorgung

Ampère-meter

Leiterschaukel

Der stromdurchflossene Leiter wird je nach Richtung des Stromflusses in den Magneten hineingezogen oder herausgedrückt.

Leiter

Versuch: Leiterschaukel im Magnetfeld

191


Ar

vrρ

dlr

Es soll jetzt gezeigt werden, dass diese Kraftwirkung zurückgeführt werden kann auf die Lorentz-Kraft der im Leiter fließenden Elektronen. Wir betrachten die folgende Situation in einem Leiterstück der Länge :dl

r

Die Lorentz-Kraft auf die Anzahl N der im Volumen Adl enthaltenen Ladungen ist:

Die Elektronenanzahl ist das Produkt aus Ladungsdichte und Volumen:

Damit erhält man also:

Für den Strom I im Leiter lässt sich schreiben

Die Lorentz-Kraft auf die bewegte Ladung dQ im Volumen Adl lautet dann

BveNFdrrr

×−= )(

AdlN ρ=

BldveABvdleAFdrrrrr

×−=×−= ρρ

Avedl

vqtqI ρ−===

BldIFdrrr

×=

Die Richtung von dl entspricht der von v.

192


Eine von einem Strom I durchflossene rechteckige Leiterschleife mit den Kan-tenlängen a und l befindet sich um die x-Achse drehbar in einem homogenen Magnetfeld B.

Die parallel zur x-Achse wirkenden KräfteFa heben sich gegenseitig auf. Dagegen erzeugen die Kräfte F auf die Seiten l ein Drehmoment um die x-Achse der Stärke

2 sin sin2 x xaM F e a F eϕ ϕ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

r r rr r

Die Kraft auf die Leiterseiten ist

z yF I l B I lB e= × =rr r r

wobei: 00

z

BB

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

r

Dann wird das Drehmoment:

{ sinz xA

M I al B eϕ=

=r r

4.8 Magnetisches Moment

z

a

Ar

Fr

x

y

ϕ

l

Br

aFr

aFr

−

I

Fr

193


Es wird wieder eine Flächennormale definiert, deren Betrag

Ar

laA =r

beträgt. Dann kann das Drehmoment auch in der folgenden Form geschrie-ben werden:

M I A B= ×rr r

Diese Beziehung gilt ganz allgemein für beliebig geformte Leiterschleifen.

m I A=rr

Man ordnet einer Leiterschleife, durch die der Strom I fließt und die die Fläche A umschließt, das magnetische Moment m zu, mit:

M m B= ×r rr

Damit ergibt sich für das auf eine Leiter-schleife wirkende Drehmoment:

EpMrrr

×=Dipol

Die Analogie zum wirkenden Dreh-moment auf einen elektrischen Dipol ist zu erkennen. Es war:

Das magnetische Moment ist also die zum elektrischen Dipolmoment äquiva-lente Größe.

Eine stromdurchflossene Leiterschleife richtet sich im Magnetfeld immer so aus, dass ihre Flächennormale parallel zum Magnetfeld steht.

194


Wenn die Leiterschleife ausgerichtet ist, dann verschwindet das Drehmo-ment, und es gibt auch keine resultie-renden Kräfte auf die Gesamtschleife. Dies gilt sofern das Magnetfeld homogen ist, d.h.

const.)( 0 == BrBrrr

In einem inhomogenen Magnetfeld würde aber eine Kraft auf die strom-durchflossene Leiterschleife wirken. Dies ist analog zum elektrischen Dipol im inhomogenen elektrischen Feld (siehe Abschnitt 1.5).

MagnetdrehbareSpule

Feder

Beispiel: Prinzip des Ampèremeters

195


Stromquelle

AmpèremeterSpule mit Magneten

Die stromdurchflossene Spule richtet sich im Magnetfeld immer so aus, dass ihr Flächenvektor parallel zu den Feldlinien verläuft.

I

I

Versuch: Spule im homogenen Magnetfeld

196


Beispiel: Mechanische Messungvon Magnetfeldern

Br

mrϕ

Im Magnetfeld führt die Kompassnadel Schwingungen aus. Wenn sie um ihre Drehachse das Trägheitsmoment J hat, dann gilt:

( )

( )

2

( ) sin ( )

( ) sin ( ) 0

Für kleine Ausschläge ( ) 1 gilt:

( ) ( ) 0 mit

J t m B t

m Bt t

Jt

m Bt t

J

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ω ϕ ω

= −

⇒ + =

197


4.9 Kräfte auf magnetische Momente

Wir berechnen jetzt die Kraftwirkung auf eine infinitesimale Leiterschleife in einem inhomogenen Magnetfeld.

Es wird angenommen, dass auf dem Flächenelement dx dy das Magnetfeld senkrecht steht, dessen Stärke sich entlang der y-Achse verändert. Die Kräfte auf die dy-Kanten kompen-sieren sich.

Die Kräfte auf die dx-Kanten sind:

,1

,2

( )

( )y z

y z

dF I dx B y

dF I dx B y dy

= −

= +

Mit dem Magnetfeld

( ) ( ) zz zdBB y dy B y dydy

+ = +

folgt

,1 ,2

( ) ( )

wobei:

y y y

zz z

z z zz z

z z

dF dF dF

dBI dx B y I dx B y dydy

dB dB dBI dx dy I dA dmdy dy dy

dm I dA I dx dy

= +

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = =

= =

zdA

z

xydy

dxdFy,1dFy,2I

198


Man kann daher in einer Dimension schreiben:

( )y z zddF dm Bdy

=

Für eine endlich große Leiterschleife mit dem magnetischen Moment folgt für die Kraft dann (verallgemeinert auf drei Dimensionen):

( )F m B= ∇ ⋅r r rr

mr

In einem homogenen Feld ver-schwindet der Gradient und damit auch die Kraft auf einen magnetischen Dipol.

Beispiel: Stern-Gerlach-Versuch

Auch auf Atome mit einem magnetischen Moment wirkt eine Kraft, wenn sie durch ein stark inhomogenes Magnetfeld ge-schickt werden.

OfenMagnet

inhomogenerFeldbereichSilber-atome

199


Da es keine magnetischen Monopole gibt, sind Magnetfeldlinien immer ge-schlossen. Es gibt keine „Quellen“ der magnetischen Feldlinien:

Br

4.10 Magnetischer Fluss Der magnetische Fluss ΦB eines Feldesist ein Maß für die „Anzahl“ der

Feldlinien, die durch eine Fläche A treten („Feldliniendichte“).

Br

Wenn die Feldlinien senkrecht auf der Fläche A stehen, dann ist der magne-tische Fluss durch diese Fläche definiert durch:

B B A BAΦ = =r

Analog zum elektrischen Fluß wird der magnetische Fluss ΦB definiert.

ABr

200


Der magnetische Fluss ΦB durch die Fläche A ist nun:

B

B

cosB A B A

B A

α⊥Φ = =

⇒ Φ = ⋅

r r

rr

Alle bisherigen Betrachtungen gelten nur, wenn das durch die Fläche A tre-tende Feld konstant ist. Ist dies nicht der Fall, dann muss der Fluss durch Summation bzw. Integration bestimmt werden.

Für eine beliebig geformte Fläche A gilt im Fall eines inhomogenen Feldes:

Der magnetische Fluss dΦB, der durch die Fläche dA tritt, ist dann:

B ( )d B r dAΦ = ⋅rr r

Ar

ABr

α

B ⊥r

Adr

A

( )B rr r

201


Adr

A

( )B rr r

Der gesamte magnetische Fluss ΦBdurch die Fläche A ist dann durch Integration über alle Einzelflüsse dΦBdurch die Flächen dA gegeben:

Br

dAr

O

Wie im Fall des elektrischen Feldes soll nun wieder der Fluss durch ge-schlossene Flächen betrachtet werden.

1. Fall: Magnet außerhalb der geschlo-ssenen Oberfläche

AdrBA

B

rrr⋅=Φ ∫ )(

202


2. Fall: Magnet innerhalb der ge-schlossenen Oberfläche

Br

dAr

Befindet sich der Magnet außerhalb der geschlossenen Oberfläche, dannliegen dieselben Verhältnisse vor, wie beim statischen elektrischen Feld. Es gilt daher:

Da die Feldlinien immer geschlossen sind, fließen aus einem Pol genauso viele Feldlinien heraus, wie in den anderen Pol hineinfließen. Daher gilt hier und ganz allgemein für statische magnetische Felder:

∫ =⋅O

AdB 0rr∫ =⋅=Φ

OB AdB 0

rr

Dies ist die 2. Maxwell-Gleichung in integraler Form. Dies bedeutet anschau-lich, dass es keine Quellen des sta-tischen magnetischen Feldes gibt. Die Feldlinien sind immer geschlossen. Es existieren also auch keine magnetischen Monopole.

203


4.11 Magnetisches Feld in Materie

Transportstromdichte(von außen aufge-prägt, Spule usw. )

MikroskopischeStromdichte in

Anwesenheit desMagnetfeldes

∫∫ ⋅==⋅ AdjIrdBrrrr

00 μμ

Das Ampèresche Gesetz gilt ganz allgemein für alle Arten von Strömen bzw. Stromdichten:

Transport-ströme

Magnetisierungsströme(Flächenströme)

Trans. Mag.j j j= +r r r

Dabei gibt es zwei prinzipiell unter-schiedliche Arten von Strömen, d.h.:

Die mikroskopischen Ströme bestim-men das magnetische Verhalten eines Stoffes. Man definiert das Feld der Magnetisierung z.B. durch:

∫∫ ⋅=⋅ AdjrdM Magrrrr

204


Einsetzen in das Ampèresche Gesetz ergibt:

Nun wird durch

ein neues Feld definiert, dessen Ursache allein die makroskopischen Transport-ströme sind.

0

BH Mμ

= −r

r r

Häufig findet man experimentell, dass die Magnetisierung proportional zu dem durch die Transportströme erzeugten Feld ist, also:

mM Hχ=r r

Ohne mikroskopische Ströme gilt also:

0B Hμ=r r

Dabei ist χm die sog. „magnetische Suszeptibilität“. Sie ist eine Material-konstante und beschreibt das Bestreben der magnetischen Dipole, sich im Feld auszurichten. Damit folgt:

HHB

HBH

m

m

rrr

rr

r

00

0

)1( μμχμ

χμ

=+=⇒

−=

∫∫

∫∫⋅=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅+=⋅

AdjrdMB

AdjjrdB

Trans

MagTrans

rrrvr

rrrrr

0

0 )(

μ

μ

205


Die Permeabilität μ eines Materials hängt also direkt mit der Suszeptibilitätχm über μ = 1 + χm zusammen.

χm > 0 : paramagnetische Stoffe(Al, Pt, O2)

χm < 0 : diamagnetische Stoffe(H2O, Cu, Bi)

Experimentell findet man, dass es Stoffe gibt mit:

Material χm⋅106 µrH2O -9 0.999991Cu -7.4 0.999993Bi -153 0.999847Al 21.2 1.000021Pt 264 1.000264

O2 (flüssig) 3620 1.003620

diamagnetisch (Lenzsche Regel)

paramagnetisch(Dipolmoment)

Die Permeabilität μ kann also größer oder kleiner als Eins sein, im Gegen-satz zur Dielektrizitätskonstante, für die (bei statischen Feldern) ε > 1 gilt.

HHB mrrr

00 )1( μμχμ =+=

206


N

S

N

SBr eigenes domi-

nantes magn.Dipolfeld

Paramagnetische Stof-fe werden in den Be-reich höherer Feldstär-ke gezogen.

Br

SN

Fr

(ii) Paramagnetismus:

induzierterStrom

N

S

Br

N

S

Diamagnetische Stoffe werden im inhomoge-nen Feld in den Be-reich kleinerer Feld-stärke gedrängt

Br

NS

Fr

inhomogenes Feld(i) Diamagnetismus: Das Dipolmoment wird durch das äußere Feld induziert (Lenzsche Regel)

207


Magnet

Probe

Paramagnetische Stoffe richten sich im inhomogenen Magnetfeld in Richtung des Feldes aus, diamagnetische Stoffe dagegen quer zu den Feldlinien. Die Probe hängt leicht drehbar an einem dünnen Faden.

Al-Stab

Feldaus

Al-Stab

Feldein

Versuch: Dia- und Paramagnetismus

208


Magnetpole

Al-Kugel

Magnetfeld aus: Die paramagnetische Al-Kugel hängt frei am Faden

Magnetfeld ein: Die Kugel wird in denBereich dichterer Feldlinien gezogen.

Bei einem diamagnetischen Stoff (z.B. Glaskugel) wirkt die Kraft in entgegen-gesetzter Richtung, die Kugel wird aus dem Bereich dichterer Feldlinien verdrängt.

Versuch: Dia- und Paramagnet im inhomogenen Feld

209


Bei ferromagnetischen Substanzen wie Eisen, Cobalt oder Nickel ist χm , μ >> 1 (etwa 5000 bei Eisen). Außerdem ist der Zusammenhang

nicht mehr linear, d.h. μ ist eine Funk-tion des äußeren Feldes und zeigt ein Hystereseverhalten:

(i) Ferromagnetismus:

H

BSättigung ≈ 2T

Hysteresekurve

Remanenz

Koerzitivfeldstärke

µ

H1

Jedes ferromagnetische Material be-steht aus Bereichen mit permanen-ten magnetischen Momenten, die man als „Weißsche Bezirke“ be-zeichnet. Sie sind durch „Blochsche Wände“ getrennt.

HBrr

0μμ=

)(Hr

μμ =

dHdBH

0

1)(μ

μ =

210


Bloch-Wände

Weiß-Bezirke

Durch ein äußeres Magnetfeld können die Weißschen Bezirke in eine Vor-zugsrichtung gebracht werden. Das geht solange, bis alle Bezirke in Rich-tung des erregenden Feldes zeigen. Dann ist die magnetische Sättigung des Materials erreicht.

Bloch-Wände und Weißsche Bezirke

00=⇒

=B

H

HBH

∝⇒> 0

const.BH

≈⇒∞→

211


Die Ursache für das Hystereseverhalten ist das verzögerte Umklappen der Weißschen Bezirke, die wie kleine Dipolmagnete wirken. Das Umklappen kann man akustisch hörbar machen (Barkhausen-Effekt).

Versuch: Barkhausen-Effekt

Verstärker

Lautsprecher

Induktionsspule Magnet

ferromag-netischer

Stab

Induktions-spule

bewegterStabmagnet

Verstärker

Lautsprecher

Anordnung desExperiments zumBarkhauseneffekt:

inddBUdt

∝

212


4.12 Biot-Savartsches Gesetz

Das elektrostatische Feld konnte mit dem Superpositionsprinzip für jede beliebige Ladungsverteilung berechnet werden. Da es keine magnetischen Ladungen gibt, ist es recht schwierig, das statische Magnet-feld für eine beliebige Stromverteilung zu bestimmen.

Wir betrachten jetzt ein von einem Strom Idurchflossenes Leiterelement , dass sich am Ort befindet und am Ort das Magnetfeld erzeugt.

ldr

'rr rrdBr

( )03

'4 '

dl r rIdBr r

μπ

× −=

−

r r rr

r r

Das Biot-Savartsche Gesetz besagt, dass ein vom Strom I durchflossenes Leiter-element dl einen Beitrag zum Magnet-feld leistet:

dBr

I dlr

Leiter

Irr

0

'rr'rr rr −

Bdr

213


0, '

'

r r r R

dl r

= − =

⊥

rr r r

r r

Aus der Abbildung liest man ab:

Beispiel: Magnetisches Feld im Zentrum einer kreisförmigen Leiterschleife

B

R

dϕ

r′r

dlr

IDas Feld eines stromdurchflossenen Leiters ist dann gegeben durch:

( )⎮⌡

⌠

−−×

=

Leiter

30

''

4)(

rrrrldIrB rrrrr

rr

πμ

Dabei ist das Integral entlang der Linie des Verlaufes des Leiters zu berechnen.

03

Leiter

'(0)4 '

I dl rBr

μπ

⌠⎮⎮⎮⌡

×=

r rrrr

Mit dem Biot-Savart-Gesetz ergibt sich dann am Ort : 0r =

rrdl Rd r R

dl r Rd R e

ϕ

ϕ ⊥

′= =

′⇒ × =

r r

r r r

Aus der Zeichnung ergibt sich weiter:

214


2

03

0

20 0

0

(0)4

4 2

I Rd RB eR

I Ie d eR R

π

π

μ ϕπ

μ μϕπ

⊥

⊥ ⊥

⌠⎮⎮⌡

=

= =∫

rr r

r r

Der Vektor steht hierbei senkrecht auf der Leiterschleife. Einsetzen ergibt:

e⊥r

dz = dl

r0

z

I

α

0

r ′r

0r =rr

Aus der Zeichnung ergibt sich jetzt:

2 2 00

sin

sin

dl r dz r

rr r r zr

α

α

′ ′× =

′ ′= = + =′

r r

r

Beispiel: Magnetisches Feld im Abstand r0 von einem unendlich langen strom-durchflossenen Draht

00 3

Leiter

03

Leiter

'( )4 '

sin4

I dl rB rr

I dzrerϕ

μπ

μ απ

⌠⎮⎮⎮⌡

⌠⎮⎮⌡

×=

′=

′

r rrr

r

Einsetzen ergibt

215


( )

0 0 00 3 3

Leiter Leiter

00 3

2 2 20

sin( )4 4

4

I I r dzdzrB r e er r

I dze rr z

ϕ ϕ

ϕ

μ μαπ π

μπ

∞

−∞

⌠⌠⎮⎮⎮ ⎮

⌡ ⌡

⌠⎮⎮⎮⌡

′= =

′ ′

=+

r r r

r

Es ist (Formelsammlung, z.B. Bronstein):

( )⎮⌡⌠

=+

∞

∞−

20

23220

2rzr

dz

Dann ergibt sich für das Magnetfeld im Abstand r0 vom Leiter wieder:

00

0

( )2

IB r er ϕ

μπ

=r r

4.13 Definition der Einheit Ampère

1 m ist die Strecke, die das Licht im Vakuum zurücklegt in 1/299792458 Sekunde (exakt, da so definiert).

1 kg ist die Masse des internationalen Kilogrammtyps (Fehler: Δm/m ≈ 10-9)

1 s ist das 9192631770-fache der Pe-riodendauer beim Übergang zwischen den Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von 133Cs (Fehler:Δt/t ≈ 10-14)

1 A ist die Stärke eines konstanten Stromes, der durch gerade, parallele und unendlich lange Leiter im Abstand von 1 m fließt und dabei pro Meter Leiterlänge die Kraft F = 2⋅10-7 N erzeugt (Fehler: ΔI/I ≈ 10-6)

216


2 20d

r r d zz

⎛ ⎞⎜ ⎟= = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

r r

z

x

y

dz

z rr

d

Leite

r 1

Leite

r 2

I1 I2

Bdr

Es ist:

1

0 00 0

0

ddl r d dz

dz z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟× = × = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r r

Damit ergibt sich

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

0

0

ydBBdr

mit:

( )0 1

y 32 2 24

I d dzdBd z

μπ

= −+

Es soll jetzt die Kraft zwischen zwei parallelen, unendlich langen Leitern berechnet werden.

Herleitung mit Biot-Savartschem Gesetz: Das vom Leiter 1 am Leiter 2 erzeugte Magnetfeld ist:

0 1 134

I dl rdBr

μπ

×=

r rrr

217


Der gesamte Leiter 1 erzeugt also am Ort des Leiters 2 das Feld:

( ) 210

2322

10y

244 d

dI

zd

dzdIBπ

μπ

μ−=⎮

⌡

⌠

+−=

∞

∞−

Die Kraft auf dl2 des Leiters 2 ist:

2 2 2

0mit 0dF I dl B dl

dz

⎛ ⎞⎜ ⎟= × = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

r rr r

Einsetzen des Magnetfeldes ergibt:

0 1 2 02

0

dzI IdF

dμπ

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

r

Zahlenwerte:

1 2

70

7 27

1A, 1mVs4 10Am

4 10 1 1 Vs A N2 102 1 Am m m

I I d

dFdz

μ π

ππ

−

−−

= = =

= ⋅

⋅ ⋅ ⋅= = ⋅

⋅

Ohne Biot-Savartsches Gesetz: Feld eines stromdurchflossenen Leiters 1:

10

1 2)( I

rrB

πμ

=

Kraft auf Leiter 2 der Länge z = l im Abstand r = d :

lIId

drF 21021 2)(

πμ

==

218


+I1

–I2

Fr

Damit ist die Definition der Stromstärke gegeben:

Definition der Stromstärke 1 A:Wenn zwei parallele Leiter imAbstand von d = 1m von je 1A

durchflossen werden, wirkt eine Kraft von 2·10−7 Newton

pro Meter Länge.

Ältere Definition der Stromstärke 1 A:

Pro Sekunde wird 1.118 mgSilber aus wässriger

Lösung ausgeschieden, wennein Strom von 1A fließt.

I1

I2Fr

Die Richtung der Kraft hängt von der Stromrichtung ab:

219


Leiter ausKupferlitze

Fr

Fr

I I

Anziehung

Fr

Fr

I I

Abstoßung

Versuch: Kraft zwischen zwei Leitern

220


ohne Strom nach Einschalten des Stroms

Ein aus mehreren dünnen parallelen Metallfolien gebildeter Leiter schnürt sich nach Einschalten des Stroms ein, bis er wegen Überhitzung schmilzt.

Versuch: Pinch-Effekt

221


4.14 Maxwell-Gleichungen für statische Magnetfelder

Wir hatten bisher die folgenden zwei wichtigen Eigenschaften für statische Magnetfelder kennen gelernt:

Jetzt sollen diese Gleichungen wieder in die differentielle Schreibweise der Maxwell-Gleichungen überführt werden. Wie beim elektrischen Feld erfordert dies ein wenig Mathematik.

Dies sind bereits die 2. und 4. Maxwell-Gleichung, wobei letztere noch in der Elektrodynamik (d.h. für zeitlich veränderliche Felder) um einen Term erweitert wird.

∫

∫=⋅

=⋅

S

A

IrdBii

AdBi

0)(

0)(

μrr

rr

222


Es werden wieder die Integralsätze verwendet, die in der Zusatzstunde ausführ-licher erläutert werden. Es gilt für ein beliebiges Vektorfeld sowie für eine ge-schlossene Oberfläche O, die ein Volumen V umschließt sowie eine Fläche A mit der Randkurve :

Br

A∂

( )O V O

B dA BdV⋅ = ∇ ⋅∫∫ ∫∫∫rr r r

Satz von Gauß (Oberflächenintegral ⇔ Volumenintegral):

Carl-Friedrich Gauß(1777-1855)

( )A A

B dr B dA∂

⋅ = ∇× ⋅∫ ∫∫rr r rr

Satz von Stokes (Wegintegral ⇔ Flächenintegral):

George Gabrial Stokes(1819-1903)

223


0O

B dA⋅ =∫∫rr

Die 2. Maxwell-Gleichung lautet:

Mit dem Gaußschen Satz folgt für die linke Seite der 2. Maxwell-Gleichung:

( )O V O

B dA BdV⋅ = ∇ ⋅∫∫ ∫∫∫rr r r

Dies ist die 2. Maxwellsche Gleichung in differentieller Form.

Es folgt also

( )

0V O

BdV∇⋅ =∫∫∫r r

für jede beliebige Oberfläche O.

0B∇⋅ =r r

Dies kann nur gelten, falls der Integrandverschwindet:

( )A A

B dr B dA∂

⋅ = ∇× ⋅∫ ∫∫rr r rr

Die linke Seite des Ampèreschen Ge-setzes lässt sich mit dem Satz von Stokes umformen zu

wobei die Randkurve der Fläche A, den Integrationsweg auf der linken Seite dar-stellt.

224


AAdr

)(rj rr

Iges

Um die rechte Seite des Ampèreschen Gesetzes umzuformen, benötigen wir den Begriff der Stromdichte. Die Strom-dichte ist ein Vektor, der in Richtung des Stromflusses zeigt.

jr

Der Gesamtstrom Iges , der durch eine Fläche A fließt, lässt sich mit der Strom-dichte folgendermaßen ausdrücken:

gesA

I j dA= ⋅∫∫rr

( ) 0A A

B dA j dAμ∇× ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫r rr r r

Damit lässt sich das Ampèresche Gesetz schreiben als:

Da dies für jede Fläche A gelten soll, müssen die Integranden auf beiden Sei-ten übereinstimmen, also:

0B jμ∇× =r r r

225


0 0A

(ii) 0 0

(iv) O

B dA B

B dr I B jμ μ∂

⋅ = ⇔ ∇ ⋅ =

⋅ = ⇔ ∇× =

∫∫

∫

rr r r

r r r rr

Dies ist die 4. Maxwell-Gleichung in differentieller Form, die allerdings in der Elektrodynamik noch erweitert wird. Das statische magnetische Feld ist also nicht wirbelfrei. Es gibt daher kein (skalares) magnetisches Potential Um mit: Für das statische magnetische Feld gilt zusammengefasst:

mB U= −∇r r

Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II€¦ · den ersten Teil der 4. Maxwell-Gleichung (in...

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