Investor hat folgende Alternativen für die Anlage von 100Investor hat folgende Alternativen für die Anlage von 100

A: Fixe Verzinsung zu 8%A: Fixe Verzinsung zu 8%

oderoder

B: Aktien, mit Wahrscheinlichkeit von 1/3 B: Aktien, mit Wahrscheinlichkeit von 1/3 eine Rendite von -20%, 15%, 40%eine Rendite von -20%, 15%, 40%

Beispiel 3.6

Raoul Lavaulx-Vrecourt Martin Zeman

Auszahlungsmatrix Auszahlungsmatrix für Investition von 100 GEfür Investition von 100 GE

Zustand 1 Zustand 2 Zustand 3 Erwartungswert

Wahrscheinlichkeit 1/3 1/3 1/3

Alternative A 108 108 108 108

Alternative B 80 115 140 111,6666667

U(x) = 2x – 0,005 x²U(x) = 2x – 0,005 x²

Zustand 1 Zustand 2 Zustand 3Erwartungswert

des Nutzens

WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit 1/31/3 1/31/3 1/31/3

Nutzen Alternat. A 157,68 157,68 157,68 157,68

Nutzen Alternat. B 128 163,875 182 157,958333

Alternative B wird aufgrund des höheren Erwartungswert des Nutzens gewählt

SicherheitsäquivalentSicherheitsäquivalent

E[U(x)] = 2x´ - 0,005 x´² E[U(x)] = 2x´ - 0,005 x´²157,9583 = 2x´ - 0,005 x´²157,9583 = 2x´ - 0,005 x´²

x´x´11 = 108,3030353 = 108,3030353x´x´2 2 = 291,6969647 = 291,6969647

Alternative A müsste eine Auszahlung von ~ 108,3 Alternative A müsste eine Auszahlung von ~ 108,3 generieren, um zu Alternative B indifferent zu sein.generieren, um zu Alternative B indifferent zu sein.

RisikoprämieRisikoprämie

ππ = µ - x´= µ - x´

ππ = 111,6666 – 108,3030353= 111,6666 – 108,3030353

ππ = 3,363631= 3,363631

Risikoprämie von Alternative B beträgt ~ 3,36 GERisikoprämie von Alternative B beträgt ~ 3,36 GE

c)c)U(i) = E [U(ii)]U(i) = E [U(ii)]U(i(k))=E[U(ii(k))]U(i(k))=E[U(ii(k))]k=103,95k=103,95

bei Kaptial in der Höhe von 103,95 ist der bei Kaptial in der Höhe von 103,95 ist der Investor indifferent zwischen i und iiInvestor indifferent zwischen i und ii

unter 103,95 unter 103,95 Aktien Aktien über 103,95 über 103,95 fixe Verzinsung fixe Verzinsung

NutzenfunktionNutzenfunktionNutzenfunktion

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

160,00

180,00

200,00

1,00 51,00 101,00 151,00 201,00

x

U(x

)

U(x) = 2x – 0,005 x²

X=200 U(x)´ = 0

Definitionsbereich[0;200]

Entscheidung zwischen den Alternativen erfolgt aufgrund von dem jeweils erwarteten Nutzen bzw. Nutzenzuwächsen. Da sich der Nutzen-zuwachs mit steigendem x verringert, hängt die Entscheidung von Anlage-volumen ab.Je größer das Vermögen, desto höher ist die Risikoaversion des Investors.