Lagrange-Formalismus
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Lagrange-Formalismus
• Warum Lagrange• Benötigte Begriffe
– Zwangsbedingungen (holonome)– Generalisierte Koordinaten
• Lagrange-Gleichungen– 1. Art (Bestimmung der Zwangskräfte)– 2. Art (Bestimmung der Bewegungsgleichungen) Euler-Lagrange-Gleichung
Variationsrechnung (Hamilton´s Wirkungsprinzip)
• Beispiel
Warum Lagrange
• Alternative zu NewtonWeiteres Werkzeug zur Bestimmung von Bewegungsgleichungen Aber beliebige Koordinaten wählbar
• Zwangsbedingungen leichter implementierbarExplizites Ausrechnen der Zwangskräfte relativ leicht möglichOder Elimination der Zwangskräfte durch generalisierte Koordinaten -> Reduktion der Dimension desProblems (Freiheitsgrade)
• Zu lösenden Gleichungen invariant unter KoordinatentransformationenBehalten immer die gleiche Form
• Bessere analytische Möglichkeiten(zB. Symmetrien <-> Erhaltungsgrößen ; Begriff der Gesamtenergie bei v-abhängigen Potentialen)
Benötigte Begriffe
• Holonome Zwangsbedingungen(griech.: „ganz gesetzlich“)
– Gleichungen zwischen den Ortskoordinaten(auch explizite Zeitabhängigkeit zugelassen)
– Darstellbar als vollständiges Differential einer Funktion
Generalisierte Koordinaten
• An das Problem angepasste Koordinaten
• Können die `Dimension des Problems` verringernJede Zwangsbedingung entspricht dem Festhalten einer generalisierten Koordinate-> Reduktion der Freiheitsgrade
Lagrange-Funktion
• L = T – VT … kin. Energie V … verallgemeinerte potentielle Energie
Die Lagrange-Gleichung(en)
• Lagrange-Gleichung erster Art
s …. Anzahl der Zwangsbedingungen Fk = 0 λk … Lagrange-Multiplikator Koordinatentransformation
L = T –V , Q = -∇VLagrange-Gleichung 2.Art (Euler-Lagrange-Glg.)