Leistungsmessung - Duisburg-Essen Publications online · PDF fileorun tersuc h ung I...

Leistungsmessung

bei schriftlichen mathematischen Probleml�osungen

in Abh�angigkeit vom Bewertungsmodell

Vom Institut f�ur Mathematik

der Fakult�at � � Naturwissenschaften

der Gerhard�Mercator�Universit�at Duisburg

zur Erlangung des akademischen Grades eines

Dr� paed�

genehmigte Dissertation

von

Birte Hagemann

ausM�ulheim an der Ruhr

Referent� Prof� Dr� G�unter T�orner

Korreferent� Prof� Dr� Manfred Leppig

Tag der m�undlichen Pr�ufung� ��

Inhalt

� �Uberblick �

� Probleme und Aufgaben� Probleml�osen �

�� Der Problembegri� im umgangssprachlichen Verst�andnis � � � �

�� Die Begri�e Problem und Aufgabe aus der Sicht der Psychologie

�� Probleme � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Die Begri�e Lernen� Denken und Probleml�osen aus der Sicht

der Psychologie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Lernen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Denken � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Gerichtetes und ungerichtetes Denken � � � � ��

�� Produktives und reproduktives Denken � � � � ��

�� Konvergentes und divergentes Denken � � � � ��

�� Probleml�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Begri�e Kreativit�at und Flexibilit�at � � � � � � � � � � � � ��

�� Kreativit�at � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Kreativit�at als Eigenschaft des Produkts � � � �

�� Kreativit�at als Eigenschaft des Individuums � �

�� Kreativit�at als Proze � � � � � � � � � � � � � ��

i

INHALT ii

�� Flexibilit�at � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Begri�e Problem und Aufgabe aus der Sicht der Mathe�

matik�Didaktik � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Probleme � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Klassi�zierungen von Problemen � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Klassi�zierung �uber Barrieren � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Interpolationsbarriere � � � � � � � � � � � � � ��

�� Synthesebarriere � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Dialektische Barriere � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Zusammenfassung und Erweiterung der Bar�

riere�Typen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Klassi�zierung hinsichtlich der O�en� bzw� Geschlos�

senheit der Zust�ande � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Klassi�zierung hinsichtlich der involvierten Denkprozesse ��

�� Klassi�zierung mathematischer Probleme � eine M�og�

lichkeit � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Ubungsaufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Translationsprobleme � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Proze probleme � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Angewandte Probleme � � � � � � � � � � � � � ��

�� Puzzle�Probleme � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Modelle f�ur das L�osen mathematischer Probleme � � � � � � � � ��

�� Vier�Phasen�Modelle � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Das Modell von Polya � � � � � � � � � � � � � �

�� Das Modell von Lester � � � � � � � � � � � � � ��

�� Drei�Phasen�Modelle � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

INHALT iii

�� Das Modell von Charles und Lester � � � � � � ��

�� Das Modell von Mason � � � � � � � � � � � � � ��

�� Ein graphentheoretischer Ansatz� die Modelle von Kies�

wetter � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Heuristische Prinzipien und Strategien � � � � � � � � � � � � � �

� Mathematikunterricht und Probleml�osen ��

�� Aufgaben des Unterrichtsfachs Mathematik � � � � � � � � � � � ��

�� Vermittlung von Basis�Kenntnissen und �F�ahigkeiten � �

�� Vermittlung von Wissen � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Entfaltung der Pers�onlichkeit� Bereicherung des Lebens ��

�� Probleml�osen als ein Teil des Mathematikunterrichts � � � � � ��

�� Gesellschaftliche Gr�unde � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Motivatorische Gr�unde � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Sonstige Gr�unde � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Methoden zur Leistungsmessung ��

�� Grundlegende Anforderungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Analytische Bewertung mittels vektorieller Skalen � � � � � � � �

�� Zur Entwicklung einer vektoriellen Skala � � � � � � � � ��

�� Vorteile und Nachteile der analytischen Bewertung � � ��

�� Vorteile � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Nachteile � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Anwendungsm�oglichkeiten und �voraussetzungen � � � � ��

�� Holistische Bewertung mittels linearer Skalen � � � � � � � � � � ��

�� Zur Entwicklung einer linearen Skala � � � � � � � � � � ��

�� Vorteile und Nachteile der holistischen Bewertung � � � �

INHALT iv

�� Vorteile � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Nachteile � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Anwendungsm�oglichkeiten und �voraussetzungen � � � � ��

�� Bewertung des Gesamteindrucks � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Vorteile und Nachteile der Bewertung des Gesamtein�

drucks � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Vorteile � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Nachteile � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Anwendungsm�oglichkeiten und �voraussetzungen � � � � �

� Forschungsfragen ��

Die Untersuchung Grundlagen ��

�� Die Problemstellungen und die Arbeitsb�ogen � � � � � � � � � � �

�� Allgemeine Grundlagen � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Der Arbeitsbogen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Die Problemstellungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Das Hallo�Problem � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Das Bonbon�Problem � � � � � � � � � � � � � � �

�� Das M�uhle�Problem � � � � � � � � � � � � � �

�� Das W�urfel�Problem � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Das Tier�Problem � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Das Quadrate�Problem � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Bewertungsverfahren � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Allgemeine �Uberlegungen � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Uberlegungen zu vektoriellen Skalen � � � � � � � � � � � ��

�� Uberlegungen zu linearen Skalen � � � � � � � � � � � � � �

INHALT v

�� Die Skalen der empirischen Untersuchung � � � � � � � � ��

�� Die vektorielle Skala � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die lineare Skala � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Rahmenbedingungen und Umsetzung ��

�� Die Probleml�osungen� Rahmenbedingungen � � � � � � � � � � � �

�� Die Auswahl geeigneter Schulklassen � � � � � � � � � � ��

�� Die Situation bei der L�osung der Probleme � � � � � � � ��

�� Die Bewertung� Rahmenbedingungen � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Umsetzung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Umsetzung in den Schulen � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Voruntersuchung� zwei Probebewertungen � � � � � ��

�� Die Umsetzung der Bewertung � � � � � � � � � � � � � � �

� Die Auswertung der Daten �Uberblick ��

� Die Auswertung des HalloProblems ��

�� Ein Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � � � � � �

�� Ein Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � � � � � �

�� Die Phase Verstehen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Die Phase Beantworten � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Ein Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � � � � � �

�� Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergebnisse � � �

�� Beziehungen und Korrelationskoe�zienten � � � � � � �

�� Eine Zusammenfassung der wichtigsten Auswertungsergebnisse ��

�� Der Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � ��

�� Der Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � ��

�� Der Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � ��

INHALT vi

� Die Auswertung des BonbonProblems ��

�� Ein Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � � � � � ��

�� Ein Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � � � � � ��

�� Die Phase Verstehen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Phase Beantworten � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Ein Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � � � � � ��

�� Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergebnisse � � ��

�� Beziehungen und Korrelationskoe�zienten � � � � � � � ��





�� Die Auswertung des M�uhleProblems ��




�� Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��









INHALT vii

�� Die Auswertung des W�urfelProblems ��




�� Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��









�� Die Auswertung des TierProblems ��




�� Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��









INHALT viii

�� Die Auswertung des QuadrateProblems ��




�� Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��








�� Der Vergleich der beiden Bewertungsmethoden � � � � � ��

�� Zusammenfassung und Theoriebildung ��

�� Die Zusammenfassung der Ergebnisse der beiden holistischen

Bewertungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Das mathematische Gebiet � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die ben�otigten Denkprozesse � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Fazit � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Zusammenfassung der Ergebnisse der beiden analytischen

Bewertungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Das mathematische Gebiet � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Die Phase Verstehen � � � � � � � � � � � � � � �

�� Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Phase Beantworten � � � � � � � � � � � � ��

�� Die ben�otigten Denkprozesse � � � � � � � � � � � � � � � ��

INHALT ix

�� Die Phase Verstehen � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Phase Beantworten � � � � � � � � � � � � ��

�� Fazit � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Zusammenfassung der gemittelten Ergebnisse der beiden

Bewertungsmethoden � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Eine Zusammenfassung ohne Ber�ucksichtigung der spe�

zi�schen Problemcharakteristiken � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Bewertungsergebnisse � � � � � � � � � � � ��

�� Die Mittelwerte � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Korrelationskoe�zienten � � � � � � � � � ��

�� Eine Zusammenfassung mit Ber�ucksichtigung der spe�

zi�schen Problemcharakteristiken � � � � � � � � � � � � ��

�� Das mathematische Gebiet � � � � � � � � � � � ��

�� Die ben�otigten Denkprozesse � � � � � � � � � ��

�� Der gesuchte Umfang der L�osung � � � � � � � ��

�� Fazit � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Nachwort und Ausblick ��

Literaturverzeichnis ��

A Vektorielle Bewertungsskalen ��

A�� Skala von Charles und Lester � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

A�� Modi�zierte Skala nach Charles und Lester � � � � � � � � � � � ��

B Lineare Bewertungsskalen ��

B�� Skala von Malone � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

B�� Skala von Woods � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

B�� Skala von Zielinski � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

B�� Skala von Charles und Lester � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

INHALT x

C Die Skalen der Untersuchung ��

C�� Die vektorielle Skala � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

C�� Die lineare Skala � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

D Folie mit den Tips zur Vorgehensweise ��

E Die Problemstellungen ��

E�� Die Einleitung in die Situation � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

E�� Das Hallo�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

E�� Das Bonbon�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

E�� Das M�uhle�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

E�� Das W�urfel�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

E� Das Tier�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

E�� Das Quadrate�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

F Die Charakteristiken der Probleme ��

G Bewertungsergebnisse �Ubersicht ��

G�� Die Ergebnisse der beiden holistischen Bewertungen � � � � � � ��

G�� Die Ergebnisse der beiden analytischen Bewertungen � � � � � ��

G�� Die gemittelten Ergebnisse der beiden Bewertungsmethoden � ��

H Ergebnisse Voruntersuchung ��

I Ergebnisse holistische Bewertungen ��

J Ergebnisse analytische Bewertungen ��

K Gemittelte holistische Ergebnisse ��

L Gemittelte analytische Ergebnisse ��

Tabellenverzeichnis

�� Die Zusammensetzung der Schulklassen � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die klassenspezi�sche Zusammensetzung der Arbeitsb�ogen � � ��

�� Das Hallo�Problem � Die Bearbeitungszahlen � � � � � � � � �

�� Die Verteilung der Punkte bei beiden holistischen Bewertungen �

�� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Verstehen � �

�� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase L�osen � � �

�� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Beantworten �

�� Die beiden Verteilungen der Gesamtpunktzahlen � � � � � � � �

�� Der Zusammenhang zwischen den bei den beiden Bewertungs�

methoden �durchschnittlich� erreichten Punktzahlen � � � � � � ��

�� Das Bonbon�Problem � Die Bearbeitungszahlen � � � � � � ��

�� Die Verteilung der Punkte bei beiden holistischen Bewertungen��

�� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Verstehen � ��

�� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase L�osen � � � ��

�� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Beantworten ��

� Die beiden Verteilungen der Gesamtpunktzahlen � � � � � � � � ��



�� Das M�uhle�Problem � Die Bearbeitungszahlen � � � � � � � ��

xi

TABELLENVERZEICHNIS xii





�� Die beiden Verteilungen der Gesamtpunktzahlen � � � � � � � � ��



�� Das W�urfel�Problem � Die Bearbeitungszahlen � � � � � � � ��








�� Das Tier�Problem � Die Bearbeitungszahlen � � � � � � � � � ��








�� Das Quadrate�Problem � Die Bearbeitungszahlen � � � � � ��



TABELLENVERZEICHNIS xiii






�� Die Anteile der Arbeiten mit vier und f�unf �Gesamt��Punkten

beim Quadrate�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Anteile der Arbeiten mit vier und f�unf �Gesamt��Punkten

beim Tier�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Die Anteile der Arbeiten mit sechs� sieben und acht �Gesamt��

Punkten beim Hallo�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��


Punkten beim M�uhle�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��


Punkten beim W�urfel�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

Kapitel �

�Uberblick

Das �� Jahrhundert kann man ansehen als ein Zeitalter der Hochtechnisie�

rung� wissenschaftliche und technologische Entdeckungen ver�andern st�andig

unser Leben� Schon Probleme� die sich im t�aglichen Leben ergeben� sind oft

derart komplex� da einfaches� traditionelles Denken zu deren L�osung h�au�g

nicht mehr ausreicht� Hieraus resultiert eine Forderung auch an die Schule�

Sie mu ihren Sch�ulern� die F�ahigkeit vermitteln� selbst komplexere Prob�

lemsituationen eigenst�andig l�osen k�onnen�

In diesem Zusammenhang ist auch das Fach Mathematik gefordert� Der Ma�

thematikunterricht soll zu einer zeitgem�a en Allgemeinbildung der Sch�uler

beitragen� Hierzu z�ahlt die Vermittlung grundlegender Kenntnisse aus der

Mathematik genauso wie die Vermittlung spezieller mathematischer F�ahig�

keiten und Fertigkeiten� Der Mathematikunterricht mu in der Schule aber

auch M�oglichkeiten geben� Br�ucken zu schlagen zwischen fachlichen Konzep�

ten und lebensweltlichen Vorstellungen� zwischen mathematischem Denken

und einem�Alltagsdenken�� zwischen praktischem Tun und Re�exion �vgl�

�MSWWF�� S� �� Durch Untersuchungen im Rahmen der�Dritten Inter�

nationalen Mathematik� und Naturwissenschaftsstudie �TIMSS�III�� wurde

jedoch deutlich� da deutsche Sch�uler im internationalen Vergleich bemer�

kenswerte De�zite im Fach Mathematik aufweisen� Hierzu schreibt Baumert�

�So steht das Akronym

�TIMSS� in Deutschland vereinfachend f�ur die �Uber�

raschung� da die mathematisch�naturwissenschaftlichen Kompetenzen von

deutschen Jugendlichen und jungen Erwachsenen �nur� in einem breiten in�

ternationalen Mittelfeld liegen��Baumert u�a�� S� ��

�Im Rahmen dieser Arbeit wird der Einfachheit halber immer von�dem Sch�uler��

�dem

Lehrer��dem Probleml�oser� usw� gesprochen� hiermit sind aber stets sowohl weibliche

als auch m�annliche Personen gleichzeitig gemeint� Sollte dieses an gewissen Stellen dieserArbeit nicht der Fall sein� so wird dieses explizit kenntlich gemacht�

�

KAPITEL �� UBERBLICK �

Ver�anderungen im Unterrichtsfach Mathematik sind o�ensichtlich notwendig�

Die Vermittlung von Probleml�osef�ahigkeiten im Rahmen des Mathematikun�

terrichts kann� nach Meinung vieler Fachleute� aber dazu beitragen� sowohl

die an die Schulen bzw� die an den Mathematikunterricht gestellten Forde�

rungen erf�ullen zu helfen� als auch vorhandene mathematische De�zite bei

Sch�ulern zu verringern� Wie auch f�ur jeden anderen Unterrichtsinhalt� ist in

diesem Fall eine Bewertung der Leistungen notwendig� welche die Sch�uler

beim Probleml�osen erbringen� Dieses f�uhrt zum zentralen Thema dieser Ar�

beit� der Leistungsmessung bei schriftlichen mathematischen Probleml�osun�

gen� von Sch�ulern� Es werden zwei verschiedene Methoden zur Messung sol�

cher schriftlichen Leistungen gegen�ubergestellt und ihre systemimmanenten

Vor� und Nachteile aufgezeigt� Die Arbeit gliedert sich in einen ersten theo�

retischen und einen zweiten empirischen Teil�

Der erste Teil dieser Arbeit beginnt im Kapitel � mit einer Diskussion grund�

legender Begri�e aus der Probleml�oseforschung� Hierzu z�ahlen insbesondere

die Termini�Lernen��

�Denken� und

�Probleml�osen� sowie

�Aufgabe� und

�Problem�� Unterschiedliche De�nitionen dieser Begri�e werden zum einen

aus der Sicht der Psychologie und zum anderen aus der Sicht der Mathematik�

Didaktik dargestellt und klar voneinander abgegrenzt� Es wird weiter her�

ausgearbeitet� wie der Proze des Probleml�osens im Rahmen dieser Arbeit

verstanden werden soll� Hieran anschlie end werden verschiedene Klassi�zie�

rungsmodelle f�ur Probleme allgemein und speziell f�ur mathematische Prob�

leme vorgestellt� die eine Basis f�ur die Charakterisierung der im Rahmen

der empirischen Untersuchung verwendeten Probleme bilden werden� Die�

ses Kapitel endet mit einer Darstellung verschiedenartiger Modelle f�ur den

Probleml�osungsproze � Im Kapitel � wird einerseits dargelegt� welche grund�

legenden Aufgaben das Unterrichtsfach Mathematik als solches hat� Anderer�

seits werden unterschiedliche Gr�unde vorgestellt� welche die Vermittlung von

Probleml�osef�ahigkeiten im Rahmen des Mathematikunterrichts rechtfertigen�

ja sogar als notwendig erscheinen lassen� Der theoretische Teil dieser Arbeit

endet mit der Au�istung unterschiedlicher Methoden zur Leistungsmessung

bei schriftlichen mathematischen Probleml�osungen im Kapitel �� Neben einer

Darlegung der allgemeinen Forderungen� die an eine ad�aquate Methode zur

Messung schriftlicher Leistungen �uberhaupt gestellt werden� werden schwer�

punktm�a ig die Vor� und Nachteile solcher Bewertungsmethoden diskutiert�

bei denen sowohl die L�osung selbst als auch das Endergebnis mit in die Be�

wertung ein�ie en�

�Im Rahmen dieser Arbeit werden ausschlie�lich schriftliche L�osungen von mathemati�schen Problemstellungen betrachtet� Daher wird im folgenden auch von Probleml�osungenbzw� einfach von L�osungen oder Arbeiten gesprochen�

KAPITEL �� UBERBLICK �

Der zweite� empirische Teil der Arbeit l�a t sich selbst noch einmal in zwei Ab�

schnitte gliedern� Der erste Abschnitt liefert die detaillierte Beschreibung al�

ler Grundlagen und Vorarbeiten der empirischen Untersuchung sowie die Dar�

stellung der Untersuchung selbst� Der zweite Abschnitt dient der Darlegung

und der Auswertung der Bewertungsergebnisse sowie einer Theoriebildung�

Der erste Abschnitt beginnt mit der Formulierung der beiden Forschungs�

fragen im Kapitel �� welche die eigentliche Basis f�ur die gesamte empirische

Untersuchung bilden� Hieran schlie t sich die Beschreibung aller Grundla�

gen der empirischen Untersuchung im Kapitel � an� Hierzu z�ahlen sowohl die

Hintergr�unde �uber die Entwicklung neuer bzw� �uber die Ver�anderung bereits

in der Literatur vorhandener Problemstellungen� so da diese f�ur Sch�uler

der Klassenstufen f�unf und sechs geeignet sind� als auch die Hintergr�unde

�uber die Auswahl der angewendeten Wertungsskalen� In diesem Zusammen�

hang werden Vor� und Nachteile unterschiedlicher linearer und vektorieller

Bewertungsskalen aus der Literatur diskutiert und es werden Gr�unde aufge�

zeigt� welche eine Modi�kation der ausgew�ahlten Skalen vor ihrer Verwen�

dung im Rahmen der empirischen Untersuchung notwendig machten� Dieser

Abschnitt endet mit einer detaillierten Beschreibung der eigentlichen Um�

setzung der empirischen Untersuchung im Kapitel � Hierzu z�ahlen die Rah�

menbedingungen in den Schulklassen w�ahrend der Bearbeitung ebenso wie

die Rahmenbedingungen bei der anschlie enden Bewertung�

Im zweiten Abschnitt des empirischen Teils dieser Arbeit werden die Er�

gebnisse der Untersuchung diskutiert� d�h� die gewonnenen Daten werden

� auch tabellarisch � dargestellt� erl�autert und ausgewertet� Im Kapitel �

wird zun�achst ein �Uberblick �uber die sich in den Kapiteln � bis �� anschlie�

enden Auswertungen der sechs Probleme gegeben� Da jedes Problem der

empirischen Untersuchung eigene Charakteristiken aufweist� ist es notwen�

dig� die unterschiedlichen Bewertungsergebnisse� die sich hinsichtlich der bei�

den bewertenden Personen bzw� hinsichtlich der beiden Bewertungsmethoden

ergeben haben� zun�achst f�ur jedes Problem getrennt auszuwerten� Hierbei

werden stets sowohl �Ubereinstimmungen als auch Unterschiede herausgear�

beitet und m�ogliche Gr�unde f�ur festgestellte Abweichungen dargelegt� Im

Kapitel �� werden die in den vorangegangenen Kapiteln erhaltenen Ergeb�

nisse der einzelnen Probleme hinsichtlich unterschiedlicher Problemcharak�

teristiken res�umiert� Diese Zusammenfassung dient auch als Basis f�ur die

Theoriebildung in diesem Kapitel� Die Arbeit endet schlie lich mit einem

kurzen Ausblick �uber weitergehende Forschungsfragen im Kapitel ��

Kapitel �

Probleme und Aufgaben�

Probleml�osen

Das zentrale Thema dieser Arbeit ist die Bewertung von Leistungen� welche

beim schriftlichen L�osen von mathematischen Problemen erbracht worden

sind� Eine Auseinandersetzung mit diesem Thema macht es erforderlich� die

hiermit grundlegend verbundenen Begri�e� wie�Problem� und

�Aufgabe�

oder�Probleml�osen�� direkt zu Beginn dieser Arbeit zu de�nieren bzw� klar

voneinander abzugrenzen� So werden am Anfang dieses Kapitels diese Begri�e

zun�achst aus der Sicht der Psychologie und anschlie end noch einmal speziell

aus der Sicht der Mathematik�Didaktik diskutiert� Im Rahmen der De�ni�

tion des Begri�s�Probleml�osen� ist auch eine Kl�arung der Termini

�Lernen�

und�Denken� erforderlich� Dar�uber hinaus werden in diesem Zusammenhang

auch die Begri�e�Kreativit�at� und

�Flexibilit�at� eingehend er�ortert� da diese

mit dem Probleml�osen in einer sehr engen Verbindung stehen�

In der Literatur gibt es eine Vielzahl von verschiedenen Problembegri�en�

Daher ist es weiter erforderlich� im zweiten Abschnitt dieses Kapitels un�

terschiedliche Arten der Klassi�zierung von Problemen vorzustellen� Dazu

werden zun�achst M�oglichkeiten aufgezeigt� Probleme insgesamt zu charak�

terisieren� Hierzu geh�oren beispielsweise die Klassi�zierung �uber Barrieren

nach D�orner oder die Klassi�zierung hinsichtlich der Klarheit der Ausgangs�

und der Zielsituation� Hieran anschlie end wird eine M�oglichkeit dargelegt�

speziell mathematische Probleme� so wie sie in der Schule Anwendung �n�

den k�onnen� zu klassi�zieren� Dieses Kapitel endet mit der Diskussion unter�

schiedlicher Modelle zur Beschreibung des Probleml�osungsprozesses�

�

KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN �

�� Der Problembegri� im umgangssprach�

lichen Verst�andnis

Betrachtet man unser allt�agliches Leben� scheinen Probleme eine wesentli�

che Rolle zu spielen� Probleme� mit denen wir t�aglich konfrontiert werden�

k�onnen zun�achst grob unterteilt werden in pers�onliche� ein einzelnes Indivi�

duum betre�ende Probleme und in Probleme� die unsere ganze Gesellschaft

oder einen Teil hieraus betre�en�

So kann beispielsweise die Entwicklung eines Menschen als ein fortlaufender

Proze angesehen werden� in welchem sich immer wieder Probleme erge�

ben� die gel�ost werden m�ussen� Neue Anforderungen oder fremde Situatio�

nen k�onnen Probleme f�ur einen Menschen hervorrufen� alle diese pers�onlichen

Probleme spielen in seinem Alltag eine zentrale Rolle� Diesen pers�onlichen

Problemen stehen Probleme allgemeiner Art gegen�uber� diese betre�en die

Allgemeinheit� die ganze Gesellschaft bzw� Teile von ihr� In allen Bereichen

des t�aglichen Lebens� wie beispielsweise der Kultur� der Wirtschaft oder der

Wissenschaft� begegnen wir solchen allgemeinen Problemen� Auch in unse�

rer Alltagssprache wird die Bedeutung von Problemen ersichtlich� das Wort

�Problem� ist allgegenw�artig�

Besonders deutlich werden wir mit dem Begri� des Problems im Bereich der

Wissenschaft und Forschung konfrontiert� So liegen jedem Forschungsprojekt

ein spezielles Problem bzw� eine Gruppe von Problemen zugrunde� welche

gel�ost oder zumindest in Teilen gel�ost werden sollen� Jede wissenschaftliche

Arbeit � so auch diese Arbeit � basiert auf einer Problemstellung und soll

zur L�osung dieses Problems beitragen� ja m�oglicherweise selbst noch neue

Probleme o�enlegen� Hierdurch kann gleichzeitig der weitere Fortgang der

Forschungst�atigkeiten auf diesem Gebiet bestimmt werden� Aus dieser Sicht�

weise haben Probleme also auch eine vorausbestimmende� eine wegweisende

Funktion�

Diese Beispiele verdeutlichen� da wir mit Problemen praktisch t�aglich auf

irgendeine Art und Weise konfrontiert werden� was aber genau unter dem

Begri��Problem� zu verstehen ist� ist nicht einfach festzulegen� Probleme

sind beispielsweise�schwierige Aufgaben oder komplizierte Fragestellungen�

oder�nicht gel�oste Fragen� beruhend auf dem Wissen oder der Erkenntnis�

da das verf�ugbare Wissen nicht ausreicht� um eine gestellte Aufgabe zu

bew�altigen oder einen Zusammenhang zu durchschauen� dessen Verst�andnis

angestrebt wird�� Probleme werden�daher ankn�upfend an Sokrates auch als

�Wissen vom Nichtwissen� beschrieben� Das Problem ist der Ausgangspunkt

KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN

des Fragens und des Forschens� vor allem in der Wissenschaft� Eine zentra�

le Rolle spielen Probleme in Gestalt von sogenannten Vermutungen in der

Mathematikgeschichte��Brockhaus��

Diese De�nition zeigt� da der Begri��Problem� eine gewisse Spanne auf�

weist� Zusammenfassend kann gesagt werden� da sowohl das Auftreten von

Problemen als auch deren L�osungen einerseits im Leben eines einzelnen In�

dividuums� andererseits auch im gesellschaftlichen Leben von gro er Bedeu�

tung sind� Aus dieser Betrachtungsweise kann man sagen� da Probleme nicht

einfach nur irgendwelche h�au�g auftretenden Umst�ande sind� Vielmehr be�

stimmen sie im gewissen Sinne unser Handeln� sie strukturieren es�

�� Die Begri�e Problem und Aufgabe aus

der Sicht der Psychologie

In diesem Abschnitt werden die Begri�e�Problem� und

�Aufgabe� de��

niert und klar voneinander abgegrenzt� Dieses ist notwendig� da beispiels�

weise eine falsche Zuordnung dieser beiden Begri�e bei der Vermittlung von

Probleml�osef�ahigkeiten zu falschen Zielsetzungen f�uhren kann �vgl� hierzu

�Schoenfeld�� S� �� Im Rahmen der Diskussion des Problembegri�s wird

seine Entstehung und seine geschichtliche Entwicklung aufgezeigt und eine

heute allgemein akzeptierte De�nition dieses Begri�s herausgearbeitet�

�� Probleme

Schon in der fr�uhen Geschichte sind durch die Mathematik unterschiedlichste

Fragen bzw� o�ene Probleme aufgeworfen worden� mit denen sich Philoso�

phen und Naturwissenschaftler gleicherma en besch�aftigt haben�� Erst zu

Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts� nachdem die Psychologie als Wissen�

schaft konstituiert worden war� besch�aftigten sich Denkpsychologen erstmalig

mit der Erforschung derjenigen Prozesse� die bei der L�osung von Problemen

bzw� Aufgaben im Gehirn ablaufen� Ein Pionier auf diesem Gebiet war der

Experimentalpsychologe Otto Selz�� In den zwanziger Jahren untersuchte er

�Als Beispiele seinen hier die Poincar�e�Vermutung� die Riemannsche Vermutung oderdas Syrakus�Problem genannt�

�Herausragende Pers�onlichkeiten ihrer Zeit waren z�B� der Philosoph� Mathematikerund Naturwissenschaftler Ren�e Descartes �� oder der Philosoph� Mathematikerund Physiker Jules Henri Poincar�e ��

�Geboren am �� Februar �� in M�unchen� nach dem heutigem Wissen ermordet am�� August �� im Konzentrationslager Auschwitz�


eingehend das produktive Denken� Er war einer der ersten Wissenschaft�

ler� die Denken als Operation aufgefa t haben� Seine Ergebnisse sind gerade

heute wieder in besonderem Ma e f�ur die Forschung aktuell� etwa bei der

Simulation von Denkvorg�angen mit Hilfe von Computern� Selz spricht in sei�

nen Arbeiten noch nicht explizit von Problemen� sondern von Aufgaben und

deren L�osung�

Erteilen wir einer Versuchsperson eine Aufgabe� so bildet die De�termination �Willensbestimmung� zur L�osung der Aufgabe den Reiz�durch welchen eine Reihe spezi�scher Reaktionen ausgel�ost werden��

�Selz�� S� ��

Mitte der drei iger Jahre forschte Karl Duncker auf dem Gebiet des produk�

tiven Denkens� Direkt zu Beginn seiner Ver�o�entlichung Zur Psychologie des

produktiven Denkens� in der er untersucht� wie aus einer Problemsituation ei�

ne L�osung hervorgeht bzw� welche Wege zur L�osung eines Problems es gibt�

de�niert Duncker� was er unter einem Problem versteht�

Ein Problem� entsteht z�B� dann� wenn ein Lebewesen ein Ziel hat

und nicht wei�� wie es dieses Ziel erreichen soll� �Duncker�� S� �

An dieser Stelle f�uhrt Duncker die sogenannte Bestrahlungsaufgabe als ein

erstes Beispiel f�ur ein praktisch�technisches Problem ein� Mit Hilfe dieser

Aufgabe hat er eingehend die L�osungs�ndung bei Problemen experimentell

untersucht� Er befragte seine Versuchspersonen nach einem Verfahren� mit

dem man einen Menschen von einer inoperabelen Magengeschwulst befreien

kann mit Hilfe von Strahlen� die bei gen�ugender Intensit�at organisches Ge�

webe zerst�oren� ein Mitzerst�orung der umliegenden gesunden K�orperpartien

aber soll vermieden werden� Die Versuchspersonen sollten� nachdem ihnen

das Problem geschildert worden war� in einem Gespr�ach mit Duncker ein

derartiges Verfahren � unterst�utzt durch R�uckfragen bzw� durch Hilfestel�

lungen � heraus�nden und beschreiben� Im Jahre �� de�niert S�ullwold ein

Problem bereits wie folgt�

Ein Problem sei dann gegeben� wenn ein Individuum ein bestimmtesZiel erreichen will� jedoch nicht wei�� wie es zu diesem Ziel gelangenkann� also nicht auf wohlbekannte spezi�sche Verfahren� spezi�scheTechniken und Operationen zur�uckgreifen kann� �S�ullwold�� S� ��

Nach der Au�assung von D�orner ist es durch diese De�nition von S�ullwold

erstmalig gelungen��den Kern der verschiedenartigen Versuche� den Begri�

�In diesem Zusammenhang spricht man auch vom sogenannten Reiz�Reaktions�Schema�


des Problems zu de�nieren�� zu tre�en �D�orner�� S� �� Noch im Jahre ��

geht D�orner in seinem Buch Die kognitive Organisation beim Probleml�osen

selbst zun�achst von dieser richtungsweisenden De�nition aus� Nach Newell

und Simon� zwei bedeutenden Wissenschaftlern auf dem Gebiet der moder�

nen Theorie des Probleml�osens� hat eine Person dann ein Problem� wenn sie

�irgend etwas erreichen m�ochte� aber nicht sofort wei � welche Handlungs�

schritte hierzu durchzuf�uhren sind� �Newell�Simon�� S� �� Beachtenswert

ist es� da sich diese aktuelle De�nition kaum von der bereits im Jahre ��

von S�ullwold gegebenen De�nition eines Problems unterscheidet�

Diese vier De�nitionen werden nachfolgend noch einmal genauer mitein�

ander verglichen und Unterschiede bzw� �Ubereinstimmungen zwischen ih�

nen herausgearbeitet� Zun�achst ist festzustellen� da alle vier De�nitionen

fachgebietsunabh�angig sind� In allen Bereichen� in denen Probleme auftre�

ten� k�onnen diese De�nitionen Anwendung �nden� Weiter wird deutlich�

da sich Probleme nur f�ur Lebewesen �Duncker�� Individuen �S�ullwold� bzw�

�Versuchs��Personen �Selz sowie Newell und Simon� ergeben k�onnen� Sowohl

S�ullwold als auch Newell und Simon zeigen mit ihren De�nitionen einen wei�

teren� grundlegenden Aspekt eines Problems auf� Ein Individuum will ein

Ziel erreichen� eine Person will etwas� Demnach ist der Wunsch� ein Ziel zu

erreichen oder die gegebene Situation zu ver�andern� unerl�a lich f�ur ein Prob�

lem� Ein Problem ber�uhrt stets die emotionale Ebene des Menschen� Wenn

beispielsweise ein Kind einen Text auswendig lernen mu � ohne es zu wol�

len� und wenn das Kind nicht wei � wie es vorgehen soll� damit es den Text

nicht wieder vergi t� so kann nach dem obigen Verst�andnis nicht von einem

Problem gesprochen werden�

Wenn man den Grad der Pr�azision bei diesen vier De�nitionen miteinander

vergleicht� so zeigt sich� da dieser bei allen Vieren recht gering ist� Im Prinzip

wird nicht konkret angegeben� was ein Problem ist� Im Grunde wird mehr

oder weniger ausf�uhrlich beschrieben� unter welchen Umst�anden Probleme

auftreten� Ein Versuch� ein Problem pr�aziser resp� wissenschaftlicher zu de��

nieren� wurde von Klix im Jahre �� unternommen� Er stellt zun�achst fest�

Bei der Bestimmung des Begri�s�Problem� mu man

�eine spezi�sche Be�

ziehung zwischen objektiv gegebenen Situationseigenschaften und ihrer Ab�

bildung in einer internen kognitiven Struktur als Ausgang nehmen� �Klix��

S� ��

Ein Problem ist nach Klix durch drei wesentliche Komponenten de�niert�

Erstens mu eine Ausgangssituation� vorgegeben sein� in welcher sich eine

�In diesem Zusammenhang spricht man auch von einem Ausgangs� oder Ist�Zustand�

KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN

Person be�ndet� Zweitens mu ein weiterer erw�unschter Zustand� gegeben

oder beschrieben sein� dieser Zustand mu sich aus dem ersten erzeugen oder

herleiten lassen� Das dritte� komplexe Merkmal eines Problems besteht in

der Notwendigkeit der �Uberf�uhrung der Ausgangssituation in den erw�unsch�

ten Zustand� welche aber nicht oder nicht unmittelbar gelingt �vgl� �Klix��

S� �� D�orner greift im Jahre �� diese De�nition von Klix noch einmal

auf� Zus�atzlich pr�agt er allerdings einen neuen� grundlegenden Begri�� Er

de�niert � wie auch Klix � Probleme �uber gegebene Anfangszust�ande und

erw�unschte Zielzust�ande� Dar�uber hinaus f�uhrt er nun den Begri� der Bar�

riere ein� Diese Barriere liegt zwischen dem Anfangs� und dem Endzustand

und sie verhindert die unmittelbare �Uberf�uhrung der Ausgangssituation in

die erw�unschte Zielsituation �vgl� �D�orner��

Zwei Jahre sp�ater verfeinert D�orner seine eigene De�nition aus dem Jahre

�� unter Bezugnahme auf Klix und S�ullwold�

Was ein Problem ist� ist einfach zu de�nieren� Ein Individuum stehteinem Problem gegen�uber� wenn es sich in einem inneren oder �au�e�ren Zustand be�ndet� den es aus irgendwelchen Gr�unden nicht f�urw�unschenswert h�alt� aber im Moment nicht �uber die Mittel verf�ugt�um den unerw�unschten Zustand in den w�unschenswerten Zielzustandzu �uberf�uhren� �D�orner�� S� ��

�Uberdies wurden in der modernen Theorie des Probleml�osens auch Versuche

unternommen� den Begri��Problem� formal exakt zu de�nieren� In seiner

Arbeit Zur metrischen Erfassung von subjektiven Problemstellungen und zu

deren Ver�anderung im Denkproze� diskutiert Sydow unterschiedliche Modelle

zur Beschreibung subjektiver Problemsituationen mit Hilfe von Mengen und

Relationen �vgl� �Sydow�� S� �� So kann ein Problem de�niert werden

durch eine endliche Menge W von Zust�anden und eine Menge F von Abbil�

dungen W �� W � die aus der endlichen Menge der Operationen bez�uglich

der Hintereinanderausf�uhrung von Operationen erzeugt wird� H � W sei die

Menge der Anfangszust�ande� Y � W sei die Menge der gew�unschten Ziel�

zust�ande� Sydow beschreibt nun ein individuelles Problem einer Person als

die Suche nach einer Relation f � F � f�ur die gilt� w � H �� f�w� � Y ��

�� Aufgaben

Probleme und Aufgaben m�ussen klar voneinander abgegrenzt werden� auch

wenn wir im allt�aglichen Sprachgebrauch normalerweise nicht explizit zwi�

�Dieser wird auch als Ziel� oder Soll�Zustand bezeichnet��Korrekterweise ist die Suche nach einer geeigneten Relation die L�osung des Problems�

vergleiche hierzu Abschnitt ��

KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��

schen diesen beiden Ausdr�ucken unterscheiden� Zum einen ist diese Abgren�

zung notwendig� um Mi verst�andnisse zu vermeiden� Andererseits kann eine

verkehrte Zuordnung der Begri�e�Aufgabe� und

�Problem� bei der Vermitt�

lung von Probleml�osef�ahigkeiten zu einer falschen Zielsetzung f�uhren �vgl�

�Schoenfeld�� S� ��

Zur Bestimmung des Begri�s�Problem� ist die objektive Beschreibung einer

Situation und die Beschreibung der in ihr bestehenden �bzw� zu suchenden�

Zusammenh�ange allein nicht ausreichend �vgl� �Klix�� So kann f�ur Klein�

kinder das Binden einer Schleife ein Problem sein� f�ur Schulkinder ist es dieses

hingegen im allgemeinen aber nicht� Bei Problemen� die ein einzelnes Indivi�

duum betre�en� m�ussen stets sein schon erworbenes Wissen und seine bereits

gemachten Erfahrungen ber�ucksichtigt werden� um beurteilen zu k�onnen� ob

diese Person ein Problem oder nur eine Aufgabe l�osen mu � Infolge des�

sen kann man bei Untersuchungen zum Probleml�osen bei einer Gruppe von

Versuchspersonen nicht global von�einem Problem� sprechen� Anhand des

Beispiels�Die Division von �� durch �� zeigt D�orner� da Aufgaben geisti�

ge Anforderungen sind� f�ur deren Bew�altigung die Methoden bereits bekannt

sind �vgl� �D�orner�� S� �� Zum L�osen von Aufgaben ist reproduktives

Denken ausreichend� es mu nichts Neues gescha�en werden�

Wir grenzen Probleme von Aufgaben ab� Aufgaben sind geistige An�forderungen� f�ur deren Bew�altigung Methoden bekannt sind��D�orner�� S� ��

�� Die Begri�e Lernen� Denken und Prob�

leml�osen aus der Sicht der Psychologie

Im letzten Abschnitt sind unterschiedliche De�nitionen der Termini�Prob�

lem� und�Aufgabe� diskutiert und diese beiden Begri�e klar voneinander

abgegrenzt worden� Hieran ankn�upfend wird in diesem Abschnitt eingehend

er�ortert� was explizit unter�Probleml�osen� verstanden werden soll� In die�

sem Zusammenhang ist auch eine kritische Auseinandersetzung mit den bei�

den Begri�en�Lernen� und

�Denken� erforderlich� In den verschiedensten

Handb�uchern der Psychologie werden diese drei Begri�e stets de�niert� Ge�

meinsamkeiten oder Unterschiede werden jedoch nur selten klar herausgear�

beitet� Ein m�oglicher Grund daf�ur k�onnte darin bestehen� da zum einen in

der Lernpsychologie und zum anderen in der Denkpsychologie diese Begri�e

im Rahmen der fachgebietsinternen Forschungen unterschiedlich festgelegt

und weiterentwickelt worden sind�


�� Lernen

Dieser Abschnitt soll mit einer aktuellen De�nition des Begri�s�Lernen�

begonnen werden�

�Lernen ist ein� Sammelbegri� f�ur eine Vielzahl von Prozessen� diezum Erwerb sowie zur Ver�anderung von Wissen und damit zu einerVer�anderung menschlicher F�ahigkeiten und Verhaltensweisen f�uhren��Pl�otzner�� S� ��

Diese De�nition beschreibt im Prinzip klar� was unter�Lernen� verstanden

werden kann� Trotzdem sollen nachfolgend noch einmal unterschiedliche Auf�

fassungen des Begri�s�Lernen� diskutiert werden� Betrachtet man zun�achst

das klassische� traditionelle Lernen� klassisches und operantes Konditionie�

ren�� so zeigt sich� da bei diesen beiden Lernverfahren der wichtigste Aspekt

eine Ver�anderung des zu beobachtenden Verhaltens ist� Das Lernen besteht

in diesem Fall darin� auf einen bestimmten �Umwelt��Reiz in einer bestimm�

ten Art und Weise zu reagieren�� Ahnlich wie Pavlov de�niert auch Klix den

Begri��Lernen�� Er fa t Lernen auf als eine

�umgebungsbezogene Verhal�

tens�anderung� welche als Folge einer individuellen� systemeigenen Informa�

tionsverarbeitung eintritt� �Klix�� S� �� Diese Verhaltens�anderung ist

immer durch eine Korrektur einer individuellen Ged�achtnisstruktur bedingt�

mu aber nicht notwendiger Weise durch individuellen Kenntniserwerb ent�

stehen�

Nach dem zuvor dargelegten Verst�andis von Lernen ist jeweils eine Ver�ande�

rung des Verhaltens der jeweiligen Person der wichtigste Faktor� Bei ande�

ren Au�assungen des Begri�s�Lernen� r�uckt dieser Aspekt in den Hinter�

grund� vordergr�undig ist hierbei der Gesichtspunkt des Erwerbs von Wissen�

In diesem Sinne ist beispielsweise die De�nition von Mandl und Friedrich� Sie

verstehen unter Lernen�den Erwerb und die Ver�anderung von Wissen und

F�ahigkeiten in Interaktion mit externen Instanzen �Lehrer� Medien usw��

�Mandl�Friedrich�� S� �� Wenn man im Sinne dieser De�nition von Lernen

spricht� erwartet man also vielmehr eine Ver�anderung des kognitiven Appa�

rats als eine Ver�anderung des Verhaltens� wie dieses beim Konditionieren der

Fall ist� Nach diesem Verst�andnis wird durch Lernen also der individuelle

Ged�achtnisbesitz ausgebildet oder korrigiert��

�In der entsprechenden Fachliteratur �ndet man alle Details zu diesen durch Pavlowbzw� Skinner gepr�agten �und in der Psychologie dem behavioristischen Ansatz zugeordne�ten� Arten des Lernens� vgl� beispielsweise �Pavlov�� Pavlov�� Hilgard�� Gray��

�Hierbei handelt es sich wieder um das sogenannte Reiz�Reaktions�Schema��Eine solche Au�assung von Lernen wird in der Psychologie dem kognitiven Ansatz


Bei einem umfassenderen Verst�andnis des Begri�s�Lernen� unter dem Ge�

sichtspunkt des Kenntniserwerbs sollte zwischen induktivem Lernen und de�

duktivem Lernen unterschieden werden� Induktives Lernen setzt relativ wenig

Vorwissen voraus� Ziel dieser Form des Lernens ist der Erwerb von Wissen�

welches�nicht deduktiv aus dem Vorwissen ableitbar ist� Vielmehr werden

durch induktives Lernen neue Wissensstrukturen konstruiert� die zus�atzliche

Problemstellungen erfolgreich bearbeitbar machen� �Pl�otzner�� S� ��f��

Beispielsweise ist Lernen durch Versuch�und�Irrtums�Verhalten induktiv� Im

Gegensatz hierzu ist f�ur deduktives Lernen bereits ein gro es Ma an Vor�

wissen erforderlich��Rein deduktives Lernen �� f�uhrt zu Transformationen

bereits vorhandenen Wissens in e�zienter nutzbare und damit operationalere

Strukturen� �Pl�otzner�� S� ��

Prinzipiell kann Lernen also verstanden werden als eine Ver�anderung des

Wissens� der F�ahigkeiten oder des Verhaltens eines Individuums�

�� Denken

Grunds�atzlich ist Denken eine T�atigkeit� Unter dem Begri��Denken� k�onnen

zun�achst alle kognitiven Aktivit�aten zusammengefa t werden��die im Rah�

men des Lebensvollzugs wirksam werden� �Titze�� S� �� Schon pr�aziser

ist die folgende De�nition�

Denken wird in der Psychologie als Schlu�folgerungsproze� verstan�den� Auf der Basis aktuell gegebener Informationen wird neue Infor�mation mit Hilfe von Interferenzen abgeleitet und so die verf�ugbareInformation erweitert� �Beller�Spada�� S� ��

Wenn ein Individuum denkt� stellt es also Beziehungen zwischen Informa�

tionen her� die bereits in seinem kognitiven System verankert sind und er�

weitert dieses hierdurch� Es ist dabei auf sich allein gestellt �vgl� �Aebli��

In diesem Sinne kann Denken auch verstanden werden als das aktive� spon�

tane Herstellen und Erfassen von sachverhaltlichen Beziehungen zwischen

Inhalten des Gegenstandsbewu tseins �vgl� �Kainz�� S� �� F�ur eine de�

taillierte Auseinandersetzung mit dem Begri��Denken� ist eine genauere

Di�erenzierung zwischen verschiedenen Formen des Denkens erforderlich�

zugeordnet� Herausragende Forschungsergebnisse �uber Lernen als die Ausbildung immere�zienterer kognitiver Schemata des Handelns und des Denkens resp� der Erkenntnisstammen von dem schweizerischen Psychologen Jean Piaget �� Neuenburg �� yGenf��


�� Gerichtetes und ungerichtetes Denken

Eine M�oglichkeit hierf�ur ist eine Unterscheidung zwischen gerichtetem und

ungerichtetem Denken� Man spricht von gerichtetem Denken bzw� einfach von

Denken� wenn die folgenden drei Voraussetzungen erf�ullt sind �vgl� �Mayer��

S� ��

�� Denken ist kognitiv� aber es wird aus dem Verhalten des Menschen abge�

leitet� Denken vollzieht sich im Ged�achtnis oder im kognitiven System des

Menschen� d�h� Denken geschieht stets innerlich�

�� Denken ist ein Proze � welcher eine gewisse Ver�anderung im oder Wirkung

auf das Wissen des kognitiven Systems einschlie t�

�� Denken ist gerichtet und l�auft auf ein Verhalten hinaus� das ein Problem

l�ost bzw� welches zumindest gegen eine Probleml�osung gerichtet ist�

Ist nun speziell die dritte Bedingung nicht erf�ullt� so spricht man explizit

von ungerichtetem Denken� Diese Art des Denkens ist ziellos� aus ihr mu

auch nicht zwangsl�au�g ein zu beobachtendes Handeln resultieren� Wenn man

beispielsweise seinen Gedanken einfach�freien Lauf� l�a t� ohne �uber etwas

Konkretes nachzudenken� dann denkt man also ungerichtet�

�� Produktives und reproduktives Denken

Dar�uber hinaus kann einer Unterscheidung zwischen produktivem und repro�

duktivem Denken sinnvoll sein�� Man spricht von reproduktivem Denken�

wenn f�ur die Bew�altigung von Aufgaben die Anwendung von verf�ugbarem

Wissen oder von bekannten Strategien gen�ugt� Dagegen erfordert �nach der

gestalttheoretischen Au�assung��produktives Denken die Ber�ucksichtigung

spezi�scher struktureller Merkmale der Probleml�osekonstellation� aus denen

sich aufgrund von Einsicht ein neues L�osungsprinzip erschlie t� �Krems��

S� �� Das Resultat des produktiven Denkens ist im allgemeinen eine neue�

bislang unbekannte Sicht eines Problems und seiner L�osung�

��Der Begri��produktives Denken� ist wesentlich durch den Gestaltpsychologen Max

Wertheimer �� Prag �� yNew York �� gepr�agt worden� vergleiche hierzu�Wertheimer��


�� Konvergentes und divergentes Denken

Schlie lich kann eine Di�erenzierung zwischen konvergentem und divergen�

tem Denken notwendig sein� Konvergentes Denken zeichnet sich dadurch

aus� da vorgegebene Probleme oder Aufgaben auf einem vorgezeichneten

L�osungsweg e�zient bearbeitet werden� Dieses Denken ist �xiert und um�

grenzt� aber auch logisch� es verl�auft �uberlegt und in systematischen Schrit�

ten� Im Gegensatz dazu ist divergentes Denken ein freies� ungeordnetes und

phantastisches Denken �vgl� �Linneweh�� S� �� Neuartige Probleme wer�

den auf neuen� fremden� vorher nicht abzusehenden Wegen durchdacht und

gel�ost� Dieses Denken mu nicht logisch nachvollziehbar sein �vgl� hierzu

�Guilford��

�� Probleml�osen

Wie im Abschnitt �� dargelegt� dient �gerichtetes� Denken dazu� ein

festgelegtes Ziel zu erreichen� Wenn es f�ur das Erreichen dieses Ziels aller�

dings noch keine bekannten Handlungsroutinen gibt� so spricht man weniger

von Denken sondern eher von Probleml�osen �vgl� �Putz�Osterloh�� S� ��

Nach dem Verst�andnis dieser De�nition bilden die Probleml�oseprozesse also

eine spezielle Klasse unter allen Denkprozessen� Eine �ahnliche� jedoch schon

pr�azisere Au�assung dieses Begri�s �ndet man bei George� Er de�niert Prob�

leml�osen als denjenigen Proze � durch den sich ein Individuum eine geeignete

Menge von Antworten zu einer neuen Situation aneignet �vgl� �George��

Wenn man noch einmal die De�nition eines Problems von Klix aus dem Jah�

re �� aufgreift� so kann Probleml�osen auch als derjenige Proze aufgefa t

werden� welcher erforderlich ist� um den gegebenen� unerw�unschten Anfangs�

zustand in den w�unschenswerten Zielzustand zu �uberf�uhren�

Einen v�ollig anderen Ansatz zur De�nition des Begri�s�Probleml�osen� �n�

det man bei Newell und Simon� Sie de�nieren diesen Terminus �uber gra�

phentheoretische Elemente� Im Rahmen der Darstellungen ihrer eingehenden

Untersuchungen �uber das menschliche Denken verstehen sie Probleml�osen

als eine zielgerichtete Suche in einem Problemraum� Dieser Suchproze kann

durch einen Graphen beschrieben werden� Die Knoten des Graphen entspre�

chen den m�oglichen Zust�anden oder Problemsituationen� die Kanten zwi�

schen den Knoten entsprechen den m�oglichen �Uberg�angen oder Transforma�

tionen zwischen den Zust�anden� die aufgrund der Anwendung von zul�assi�

gen Probleml�osungsoperationen de�niert sind �vgl� �Newell�Simon�� Das

L�osen eines Problems stimmt somit mit der Suche nach dem g�unstigsten


Weg von einem Anfangszustand in einen Zielzustand �uberein �vgl� hierzu

auch �Opwis��

Erfolgreiches Probleml�osen wird durch verschiedene mentale Abl�aufe beein�

�u t� Jede L�osung eines Problems umfa t einen Proze � bei welchem bereits

vorhandene Erfahrungen� schon erworbenes Wissen und eine pers�onliche In�

tuition in einen Versuch� eine Methode zur L�osung einer Situation zu �nden�

deren Ausgang man nicht kennt� koordiniert werden m�ussen� Charles und

Lester nennen drei Kategorien von Faktoren� die beim Probleml�osen zusam�

menwirken �vgl� �Charles�Lester�� S� ��

� Beein�ussungsfaktoren

Dieses sind unter anderem Stre � Druck� Interesse und Motivation�

� Erfahrungsfaktoren

Hierzu z�ahlen beispielsweise das Alter des Probleml�osers� sein bereits

erworbenes Mathematikwissen sowie die Vertrautheit mit L�osungsstra�

tegien und dem Problemzusammenhang�

� Geistige Faktoren

Zu diesen Faktoren geh�oren z�B� F�ahigkeiten beim Lesen� F�ahigkeiten

im Verstehen� arithmetische F�ahigkeiten oder logische F�ahigkeiten�

�� Die Begri�e Kreativit�at und Flexibilit�at

Die Probleml�oseforschung ist eng mit der Kreativit�atsforschung verbunden�

dieses wird auch in der Literatur immer wieder deutlich� Wenn beispielsweise

die L�osungs�ndung zu vorgegebenen Problemstellungen untersucht wird� so

werden h�au�g auch die Kreativit�at und die Flexibilit�at des Probleml�osers mit

ber�ucksichtigt� Im Rahmen der Leistungsmessung beim Probleml�osen kann

die Kreativit�at z�B� dann von Interesse sein� wenn beispielsweise neuartige�

au ergew�ohnliche L�osungswege besser bewertet werden sollen als herk�omm�

liche L�osungswege�

��Es sei an dieser Stelle auch auf den Abschnitt �� hingewiesen� Kieswetter modelliertProbleml�osungsprozesse ebenfalls mit Hilfe graphentheoretischer Elemente�

��Charles und Lester beziehen sich mit ihrer Aufstellung speziell auf Faktoren f�ur dieL�osung mathematischer Probleme� In der Regel sind jedoch stets Faktoren aus diesen dreiKategorien bei der L�osung eines jeden Problems � allerdings in unterschiedlichem Ma�e �involviert�


�� Kreativit�at

Nach unserem allt�aglichen Verst�andnis begegnet man der Kreativit�at �uber�

all� in der Kunst und Wissenschaft genauso wie in gew�ohnlichen Alltags�

situationen� Allerdings ist es nicht einfach� eine einheitliche De�nition des

Begri�s�Kreativit�at� zu geben� es scheint �uberhaupt keine allgemein ak�

zeptierte De�nition dieses Wortes zu geben� Jeder Wissenschaftler� der sich

mit dieser Thematik auseinandersetzt� formuliert o�ensichtlich seine eigene

Version �vgl� �Haylock�� Bei der n�aheren Betrachtung verschiedener De�

�nitionen aus der Literatur stellt man allerdings fest� da sich diese jedoch

im allgemeinen nicht wesentlich voneinander unterscheiden� Alle beruhen auf

grundlegenden Begri�en wie Neuheit� Seltenheit� Ungew�ohnlichkeit� Origina�

lit�at� Realit�atsn�ahe� N�utzlichkeit� Ungew�ohnlichkeit� Phantasie� Flexibilit�at

usw� �vgl� �Neuhaus�� S� ��

Eine umfassende Darstellung des Begri�s�Kreativit�at� zeigt beispielswei�

se Weth auf� Die zuvor aufgef�uhrten grundlegenden Begri�e der Kreativit�at

f�uhren zu den beiden am meisten verwendeten Ans�atzen �uber die Produkt�

bzw� die Individuumsorientierung� Der dritte Ansatz betrachtet die Kreati�

vit�at als Proze �vgl� hierzu �Weth�� Auch in der Arbeit von Neuhaus wird

die derartige Di�erenzierung des Begri�s�Kreativit�at� sehr eingehend darge�

legt� Im Rahmen der Diskussion des Kreativit�atsproblems in der Psychologie

erfolgt eine intensive Auseinandersetzung mit dem kreativen Produkt� dem

kreativen Proze � der kreativen Person und der kreativen Umwelt �vgl� hierzu

�Neuhaus��

�� Kreativit�at als Eigenschaft des Produkts

Wird Kreativit�at verstanden als eine Eigenschaft des Produkts� so wird Krea�

tivit�at de�niert �uber die erzeugte Idee bzw� �uber das erhaltene Ergebnis� Ein

Produkt wird dann als kreativ angesehen� wenn es eine besondere Neuar�

tigkeit oder N�utzlichkeit aufweisen kann� Bezogen auf den Mathematikun�

terricht hei t dieses� da ein Sch�uler etwas bisher f�ur ihn Unbekanntes ei�

genst�andig entwickelt oder entdeckt hat� welches f�ur ihn selbst oder auch f�ur

den Unterricht n�utzlich ist�

�� Kreativit�at als Eigenschaft des Individuums

Bei einem zweiten Verst�andnis von Kreativit�at kann diese als eine Eigenschaft

eines einzelnen Individuums aufgefa t werden�


Kreativit�at wird �� de�niert als die F�ahigkeit� m�oglichst viele ver�schiedenartige und ungew�ohnliche �originelle� L�osungen einer Aufgabeproduzieren zu k�onnen� �S�u�� S� ��

S�u spricht hierbei von Aufgaben� ohne diesen Begri� zu pr�azisieren� Sei�

ne De�nition ist somit f�ur alle Bereiche des menschlichen Lebens anwendbar�

Nach diesem Verst�andnis kann Kreativit�at als eine Anlage angesehen werden�

die jeder Mensch � allerdings in verschieden stark ausgepr�agtem Ma e � be�

sitzt� Wird das kreative Potential eines Menschen nicht gef�ordert� so kann es

mit der Zeit verk�ummern� Speziell aus dem Bereich der Mathematik�Didaktik

stammt die De�nition von Bergstr�om� Sie tendiert in die gleiche Richtung wie

die De�nition von S�u � allerdings ist f�ur Bergstr�om die Anzahl der L�osungen

unbedeutend� Er betrachtet Kreativit�at als eine Leistung� bei der ein Indivi�

duum etwas Neues� etwas Unerwartetes scha�t �vgl� �Bergstr�om�� S� ��

Eine sehr umfassende De�nition von Kreativit�at als Eigenschaft eines Indivi�

duums liefert Weth� Hierbei zeichnen � neben weiteren typischen Eigenschaf�

ten� wie Neugier� Ausdauer oder Unabh�angigkeit � f�unf Haupteigenschaften

eine kreative Person aus� Fl�ussigkeit� Flexibilit�at� Originalit�at� Elaboration

und Problemsensitivit�at �vgl� hierzu �Weth�� S� ��

�� Kreativit�at als Proze�

Wird Kreativit�at schlie lich als ein Proze verstanden� so bilden jetzt das

kreative Handeln bzw� das kreative Denken einer Person die Basis hierf�ur�

Ein Handeln wird dann als kreativ bezeichnet� wenn sein Ergebnis eine neue

Kombination bereits bekannter Dinge ist� Drei Kriterien sind charakteri�

stisch f�ur kreatives Handeln� die Originalit�at des Handelns� der Wert des

Handelns sowie spezi�sche mentale F�ahigkeiten der handelnden Person �vgl�

�Hayes��

Beschr�ankt man sich bei der De�nition der Kreativit�at ausschlie lich auf

den Bereich des Probleml�osens� so kann unter Kreativit�at eine�kognitive

Aktivit�at verstanden werden� die zu neuartigen L�osungen eines Problems

f�uhrt� �Mayer�� S� �� In diesem Sinne de�niert auch Torrance den Begri�

�Kreativit�at��

�Creativity is� a process of becoming sensitive to problems� de�cien�cies� gaps in knowledge� missing elements� disharmonies� and so on�identifying the di�culty� searching for solutions� making guesses� orformulating hypotheses about the de�ciencies� testing and retestingthese hypotheses and possibly modifying and retesting them� and ��nally communicating the results� �Torrance�� S� ��


An dieser Stelle m�ochte ich noch einmal speziell auf den Begri� des kreativen

Denkens eingehen� Dieser wurde gepr�agt durch die Probleml�oseforschung in

den Bereichen des L�osens o�ener Problemstellungen und der Problem�ndung�

Vor diesem Hintergrund de�niert Wake�eld kreatives Denken als�eine aus�

sagekr�aftige Antwort auf jede Situation� welche das Finden eines Problems

und dessen L�osung auf seine eigene Art und Weise erfordert� �Wake�eld��

S� �� Detaillierter ist die De�nition von Linneweh�

Kreatives Denken ist verinnerlichtes� bewu�tes oder unterbewu�tesProbehandeln� das mit intuitiven und rationalen� mit digitalen undanalogen� produktiven und reproduktiven� vor allem aber mit konver�genten und divergenten Denkoperationen arbeitet��Linneweh�� S� ��

Kreatives Denken kann also auch verstanden werden als eine zielstrebende

Zusammenarbeit des logischen und des divergenten Denkens� Wenn man beim

L�osen von Problemsituationen kreativ denkt� dann produziert das divergente

Denken eine Vielzahl von �L�osungs��Ideen� Einige hiervon scheinen hilfreich

bei der L�osungs�ndung� Aus diesen Ideen schlie lich wird eine Zusammen�

fassung durch einen Proze des logischen Denkens gebildet� Speziell in der

Mathematik werden normalerweise die zwei sehr unterschiedlichen Denkwei�

sen ben�otigt� kreatives �intuitives� Denken und analytisches �logisches� Den�

ken� Die wohl pr�agnanteste De�nition� bei welcher der kreative Proze der

eigentliche De�nitionsgegenstand ist� stammt von Hussy�

Kreatives Denken ist Probleml�osen� �Hussy�� S� ��

�� Flexibilit�at

Bei dem Verst�andnis von Kreativit�at als einer Eigenschaft eines Individuums

wird ein kreatives Individuum durch f�unf Haupteigenschaften gekennzeich�

net� Eine hiervon ist die Flexibilit�at� Hierbei wird Flexibilit�at als die F�ahig�

keit verstanden� eine Sache von verschiedenen Seiten aus zu betrachten� Flexi�

bilit�at ist die F�ahigkeit eines Menschen� Ann�aherungsweisen an ein Problem

zu ver�andern� beispielsweise f�ahig dazu zu sein� eine Reihe von Aufgaben zu

l�osen� von denen jede eine unterschiedliche Strategie erfordert� Flexibilit�at

beim Denken erm�oglicht es� f�ur Probleme originelle Strategien zu entwickeln

oder neue L�osungsm�oglichkeiten zu �nden �vgl� �Mayer�� Nach Kieswet�

ter ist Flexibilit�at als eine Komponente der Kreativit�at die wahrscheinlich

wichtigste F�ahigkeit� die ein erfolgreicher Probleml�oser besitzen sollte �vgl�

�Kieswetter��


�� Die Begri�e Problem und Aufgabe aus

der Sicht der Mathematik�Didaktik

Im Abschnitt �� sind unterschiedliche De�nitionen aus der psychologischen

Probleml�oseforschung f�ur die Begri�e�Problem� und

�Aufgabe� diskutiert

worden� Diese De�nitionen sind prinzipiell f�ur alle Bereiche des Alltags oder

der Wissenschaft universell anwendbar� Andererseits hat sich das Forschungs�

gebiet�Probleml�osen� aber auch zu einem wesentlichen Teilgebiet der Mathe�

matik�Didaktik entwickelt� in welchem von unterschiedlichen Wissenschaft�

lern verschiedene� fachspezi�sche De�nitionen entstanden sind� Daher ist es

notwendig� die Begri�e�Problem� und

�Aufgabe� noch einmal speziell aus

der Sicht der Mathematik�Didaktik zu erl�autern und voneinander abzugren�

zen�

�� Probleme

Bereits Mitte der vierziger Jahre schlug Polya in seinem Buch How to sol�

ve it eine richtungsweisende Neuerung f�ur den Mathematikunterricht in den

amerikanischen Schulen vor� Er bef�urwortete das L�osen von Problemen als

einen festen Bestandteil des Unterrichts� In seiner Arbeit beschreibt er die

Vorgehensweise im Unterricht ausf�uhrlich� Obwohl er von Problemen und

deren L�osung spricht� de�niert er den Begri� des Problems hier nicht expli�

zit� Im Jahrbuch �� des�National Council of Teachers of Mathematics�

�NCTM� mit den Titel Problem Solving in School Mathematics �ndet man

eine De�nition von Polya aus dem Jahre ��

Solving a problem is �nding the unknown means to a distinctly con�ceived end� If the end by its simple presence does not instantaneouslysuggest the means� if� therefore� we have to search for the means� re��ecting consciously how to attain the end� we have to solve a problem��Polya�� S� �

Polya de�niert den Begri� des Problems hier nicht konkret� Vielmehr han�

delt es sich um eine Beschreibung� wie und wann ein Problem zu l�osen ist�

Er beschr�ankt sich nicht speziell auf mathematische Probleme� Nach sei�

nem Verst�andnis mu der Zielzustand klar de�niert sein� Sogenannte o�ene

Probleme ��open�ended problems�� mit unklaren Zielzust�anden� welche in

der Schulmathematik im Rahmen des Probleml�osens ebenfalls Anwendung

�nden k�onnen� werden hier nicht ber�ucksichtigt� Eine aktuellere De�nition

f�ur ein Problem stammt von Kantowski� Sie de�niert ein Problem als eine


Situation� f�ur welche ein Individuum� das damit konfrontiert wird� keinen Al�

gorithmus zur Verf�ugung hat� der eine L�osung garantiert� Um das Problem

zu l�osen� mu das Wissen der Person in einer neuen Art zusammengesetzt

werden �vgl� �Kantowski�� S� ��

Beide De�nitionen beschreiben ein Problem als eine Situation f�ur eine Per�

son� bei welcher der L�osungsweg nicht unmittelbar zu erkennen ist� Man mu

nach neuen Mitteln suchen oder sein Wissen neu kombinieren� Polya spricht

in seiner De�nition explizit von einem Ziel��zustand�� Kantowski hingegen

nicht mehr� Somit kann ihre De�nition auch f�ur Probleme mit unklaren Ziel�

vorstellungen angewendet werden� Bei beiden De�nitionen wird allerdings

der Gesichtspunkt des Wunsches oder der Notwendigkeit zur L�osung des

Problems noch nicht ber�ucksichtigt� Charles und Lester dagegen involvieren

diesen emotionalen Aspekt in ihre De�nition� Die wichtigsten Komponenten�

die �mathematische� Probleme charakterisieren� werden klar herausgestellt�

A problem is a task for which�

� The person confronting it wants or needs to �nd a solution�

�� The person has no readily available procedure for �nding the so�lution�

� The person must make an attempt to �nd a solution�

�Charles�Lester�� S� ��

In dieser De�nition werden die drei grundlegenden Aspekte eines Problems

deutlich� Erstens mu ein Sch�uler� welcher ein Problem l�osen soll� den Wunsch

haben oder die Notwendigkeit sehen� eine L�osung zu �nden� Hierdurch ist

auch der Lehrer gefordert� er mu das Problem f�ur den Sch�uler ansprechend

pr�asentieren� Zweitens sollte das Problem so gestellt werden� da die L�osung

nicht direkt oder nicht unmittelbar erreicht werden kann� Letztendlich ist es

notwendig� da der Sch�uler eine bewu te Anstrengung zur L�osungs�ndung

unternehmen mu �

�� Aufgaben

Auch mathematische Probleme m�ussen deutlich von mathematischen Auf�

gaben�� abgegrenzt werden� Zum L�osen einer Aufgabe sind die Methoden be�

reits bekannt� zum L�osen eines Problems hingegen im allgemeinen nicht� F�ur

die L�osung eines Problems mu die Person kreativ sein und eigene L�osungs�

methoden �nden� es m�ussen fr�uher erworbene Kenntnisse in einer neuen und

unbekannten Situation verwendet werden� Hierzu schreibt Polya�

��In diesem Zusammenhang wird auch von Standard� bzw� Routineaufgaben gesprochen�


To solve a problem is to �nd the way where no way is known o��hand�to �nd a way out of a di�culty� to �nd a way around an obstacle� to at�tain a desired end� that is not immediately attainable� by appropriatemeans� �Polya�� S� �

Wenn beispielsweise der Lehrer im Unterricht ein einf�uhrendes Beispiel�Prob�

lem aus dem Schulbuch l�ost und somit auch gleichzeitig einen m�oglichen

L�osungsweg hierf�ur aufzeigt� dann sind die noch verbleibenden�Probleme�

aus dieser Aufgabenklasse keine Probleme mehr im Sinne der De�nition�

Die L�osungsstrategien sind f�ur die Sch�uler ja nicht l�anger unbekannt� Nach

der Au�assung von Krulik und Rudnick l�osen die Sch�uler nun zwar noch

�Probleme�� es handelt sich hierbei aber nicht mehr um �de�nitionsgem�a es�

Probleml�osen�� Derartige�Probleme�� die vorwiegend zum Ein�uben von Re�

chenverfahren etc� entwickelt worden sind� sollten als Aufgaben bezeichnet

werden �vgl� �Krulik�Rudnick�� S� ��

�� Klassi�zierungen von Problemen

Verschiedene Probleme k�onnen unterschiedliche Charakteristiken aufweisen�

So wird es sich z�B� zeigen� da auch die Probleme der empirischen Un�

tersuchung voneinander abweichende Merkmale aufweisen� die bei der Aus�

wertung der zugeh�origen L�osungen von Bedeutung sein werden� Daher ist

zun�achst eine genaue Klassi�zierung aller Probleme zwingend notwendig� In

diesem Abschnitt werden unterschiedliche M�oglichkeiten hierf�ur aufgezeigt�

So k�onnen Probleme einerseits mit Hilfe verschiedener Barriere�Typen�� un�

terschieden werden� Probleme k�onnen andererseits aber auch di�erenziert

werden hinsichtlich der O�en� bzw� Geschlossenheit von Anfangs� und Ziel�

zustand oder �uber die zur L�osung notwendigen Denkprozesse� Zum Abschlu

dieses Abschnitts wird noch eine M�oglichkeit f�ur eine Klassi�zierung speziell

von mathematischen Problemen� so wie sie im Schulunterricht Anwendung

�nden k�onnen� vorgestellt�

��Es ist anzumerken� da� das L�osen von Problemen ��solving problems�� und Problem�

l�osen ��problem solving�� in der Literatur unter Umst�anden unterschiedlich verstanden

werden� Hierzu schreiben Krulik und Rudnick��There is a world of di�erence between

problem solving und merely solving problems� �Krulik�Rudnick�� S� �� Im Rahmendieser Arbeit wird zwischen beiden Ausdr�ucken jedoch nicht di�erenziert�

��Der Begri� der Barriere ist durch D�orner gepr�agt worden�


�� Klassi�zierung �uber Barrieren

Die Klassi�kation von Problemen mit Hilfe verschiedener sogenannter Barrie�

ren geht auf D�orner zur�uck� Im Abschnitt �� ist seine De�nition eines Prob�

lems bereits diskutiert worden� Nach seinem Verst�andnis von einem Problem

verhindern eben diese Barrieren die M�oglichkeit der sofortigen Transformati�

on des Anfangszustandes in den erw�unschten Zielzustand �vgl� �D�orner��

Zur genauen Beschreibung der unterschiedlichen Barriere�Typen ist es erfor�

derlich� zun�achst noch die Begri�e�Operator� und

�Operation� einzuf�uhren�

Unter einem Operator versteht man die allgemeine Form einer Handlung� die

den Anfangszustand in den Zielzustand �uberf�uhrt� also das f�ur die L�osung

des Problems zur Verf�ugung stehende Handlungsprogramm� Dagegen ist ei�

ne Operation die konkrete Ausf�uhrung eines Operators� seine Realisierung�

Eine aktuelle Operation ist immer nur eine der meist zahlreichen Realisie�

rungsm�oglichkeiten eines Operators �vgl� hierzu �D�orner�� S� ��

�� Interpolationsbarriere

Bei Problemen mit einer Interpolationsbarriere bzw� bei Interpolationsprob�

lemen besteht die einzige Schwierigkeit darin� die f�ur die L�osung notwendigen

Operatoren auszuw�ahlen und diese anschlie end geschickt zu kombinieren

bzw� zu hierarchisieren� Der Probleml�osende mu also nicht zun�achst nach

richtigen Operatoren suchen� da diese von Anfang an bereits bekannt sind� In

einem solchen Fall ist allein die Interpolation zwischen dem festgelegten An�

fangszustand und dem ebenfalls festgelegten Zielzustand behindert� es liegt

eine Interpolationsbarriere vor� Kurz� der Probleml�osende wei � was er errei�

chen will� und er kennt die Mittel daf�ur�

Ein Beispiel f�ur ein Interpolationsproblem ist das sogenannte�Kursbuchprob�

lem�� Eine Person m�ochte um �� Uhr vom einem Ort A zu einem Ort B

reisen� Startpunkt und Zielpunkt sind also bekannt� Das Kursbuch enth�alt

alle erforderlichen Transformationen� Die L�osung des Problems besteht dann

lediglich aus der richtigen zeitlich�r�aumlichen Hintereinanderschaltung der

einzelnen Transformationen�

�� Synthesebarriere

Bei Problemen mit einer Interpolationsbarriere sind dem Probleml�oser die f�ur

die L�osung notwendigen Operatoren bekannt� Dagegen ist dem Probleml�osen�

den bei Problemen mit einer Synthesebarriere bzw� bei Syntheseproblemen


bewu t � entweder von Beginn an oder nach einigen erfolglosen L�osungs�

versuchen �� da die ihm bekannten Mittel zur L�osung des Problems allein

nicht ausreichen� In diesem Fall mu der Probleml�osende auch die richtigen

Operatoren selbst entdecken oder wiedererkennen� bei Interpolationsproble�

men mu ten diese ja eben nur kombiniert werden� Bei Syntheseproblemen

ist also das Operator�Inventar zu erweitern� weil wichtige Operatoren noch

unbekannt sind� Kurz� der Probleml�osende wei � was er erreichen m�ochte�

aber er kennt die Mittel daf�ur nicht�

Es sei noch einmal an die Bestrahlungsaufgabe von Duncker erinnert �vgl�

hierzu Abschnitt �� Hierbei handelt es sich um ein Problem mit Synthese�

barriere� Die Versuchsperson kennt sowohl den Anfangszustand �Person mit

Geschwulst�� als auch das erw�unschte Ziel �vom Geschwulst befreite Person��

aber die Mittel zur �Uberf�uhrung des Anfangszustandes in den Endzustand�

also die korrekte Anwendung der Strahlen� sind unbekannt� Viele Denksport�

aufgaben� beispielsweise Lagever�anderungen von Streichh�olzern� enthalten

Synthesebarrieren� Probleme mit Interpolations� oder Synthesebarriere ha�

ben eine wesentliche �Ubereinstimmung� Bei beiden Problemtypen sind dem

Probleml�oser sowohl der Anfangs� als auch der Zielzustand bekannt� Sie un�

terscheiden sich allein durch den Bekanntheitsgrad der zur Transformation

erforderlichen Operatoren� Auf Probleme des Alltags tri�t dieses allerdings

nicht immer zu� Dieses f�uhrt D�orner zu einer weiteren Dimension in der Un�

terscheidung von Problemen� die Bekanntheit des Zielzustandes�

�� Dialektische Barriere

Probleme mit einer dialektischen Barriere bzw� dialektische Probleme sind

dadurch gekennzeichnet� da der Zielzustand f�ur den Probleml�osenden nicht

eindeutig festgelegt ist� Erst im Verlauf des L�osungsprozesses wird das Ziel�

unter Ber�ucksichtigung der m�oglichen Alternativen� manifestiert� In diesem

Zusammenhang spricht D�orner auch von hinsichtlich des Zielzustandes o�e�

nen Problemen��

Je o�ener ein Problem hinsichtlich des Zielzustandes ist� in um soh�oherem Ma�e mu� eine dialektische Prozedur zur Zielsetzung ver�wendet werden� desto mehr mu� man also versuchen� durch Erzeu�gen und nachfolgende Beseitigung von Widerspr�uchen sukzessiv einePr�azisierung der Zielvorstellung zu erreichen� �D�orner�� S� ��

Als ein klassisches Beispiel f�ur ein Problem mit einer dialektischen Barriere

gilt das Schachspiel� Beiden Spielern ist der gew�unschte Endzustand� n�amlich

��Zur De�nition eines o�enen Problems vergleiche Abschnitt ��


die Schachmatt�Stellung des Gegenspielers� im Prinzip von Beginn an be�

kannt� das genaue Aussehen des Zielzustandes kennen sie allerdings nicht�

Aufgrund der unz�ahligen Varianten f�ur Schachmatt�Stellungen kann jedoch

keiner der Spieler dieses Ziel direkt anstreben� anf�angliche Zielvorstellungen

m�ussen nach jedem Spielzug neu �uberdacht und der aktuellen Spielsituation�

z�B� aufgrund von Verlusten eigener oder fremder Spiel�guren� angepa t wer�

den�

�� Zusammenfassung und Erweiterung der Barriere�Typen

Die drei zuvor diskutierten Problemarten weisen eine Gemeinsamkeit auf�

Es erfolgt allein eine Unterscheidung einerseits hinsichtlich der Bekanntheit

der Mittel und andererseits hinsichtlich der Klarheit des Zielzustandes� der

Bekanntheitsgrad des Anfangszustandes wird v�ollig au er Acht gelassen� Ge�

rade dieser Aspekt kann aber auch bei der Unterscheidung von Problemen

von Bedeutung sein und f�uhrt zu der Notwendigkeit einer di�erenzierteren

Zuordnung dieser Barriere�Typen� So unterscheidet beispielsweise Sell einer�

seits nach dem Bekanntheitsgrad der Operatoren und andererseits nach dem

Bekanntheitsgrad des Anfangs� und des Zielzustandes �vgl� �Sell��

Sind sowohl die Ist� als auch die Soll�Kriterien bekannt und ist die L�osung des

Problems allein durch die Ausf�uhrung verschiedener bekannter Operatoren

m�oglich� dann spricht man � wie bereits dargelegt � von einem Interpola�

tionsproblem oder auch von einem analytischen Problem� M�ussen hingegen

die Operatoren zur L�osung des Problems erst gefunden werden� und zwar

unabh�angig davon� ob die Ist� und Soll�Kriterien gut oder schlecht de�niert

sind� so liegt ein Problem mit Synthesebarriere bzw� ein synthetisches Prob�

lem vor� Dialektische Probleme sind dann gegeben� wenn entweder die Ist�

Kriterien oder die Soll�Kriterien schlecht oder nicht vollst�andig de�niert sind

und zur L�osung des Problems eine Reihe bekannter oder unbekannter Ope�

ratoren ben�otigt werden� Diese Klassi�zierung ist nicht starr� es treten auch

Mischformen auf� Es mu noch einmal daran erinnert werden� da stets zur

genauen Einordnung eines Problems zwingend die individuelle Wissensstruk�

tur des jeweiligen Probleml�osenden zu ber�ucksichtigen ist�

��Hierbei werden Anfangszust�ande auch als Ist�Kriterien und Ziel� bzw� Endzust�andeauch als Soll�Kriterien bezeichnet�


�� Klassi�zierung hinsichtlich der Oen bzw� Ge

schlossenheit der Zust�ande des Problems

Eine andere Unterscheidung von Problemen kann ausschlie lich �uber die Be�

kanntheitsgrade des Anfangs� und des Zielzustands erfolgen� In Abh�angigkeit

davon� ob der Anfangs� und der Zielzustand gut oder schlecht de�niert sind�

ergeben sich vier unterschiedliche Problemtypen�� Diese werden in der Regel

wie folgt zusammengefa t�

� Geschlossenes Problem

Man bezeichnet ein Problem dann als geschlossen� wenn sowohl der

Anfangszustand als auch der Zielzustand gut de�niert sind� d�h� beide

sind dem Probleml�oser von Beginn an bekannt�

� O�enes Problem

Ein Problem� bei dem entweder der Anfangszustand oder der Zielzu�

stand oder sogar beide Zust�ande gleichzeitig schlecht de�niert sind�

d�h� dem Probleml�osenden mehr oder weniger unbekannt sind� wird als

o�enes Problem bezeichnet�

Im Rahmen der empirischen Untersuchung war eine Beschr�ankung auf ge�

schlossene Probleme erforderlich� da o�ene Probleme gr�o tenteils derart kom�

plex sind� da eine zufriedenstellende Bearbeitung der Problemstellungen

durch die Sch�uler in der ihnen zur Verf�ugung stehenden Zeit �maximal ei�

ne Unterrichtsstunde f�ur den gesamten Arbeitsbogen� nicht zu gew�ahrleisten

gewesen w�are�

�� Klassi�zierung hinsichtlich der bei der L�osung

des Problems involvierten Denkprozesse

Im Abschnitt �� sind neben dem Begri��Denken� auch verschiedene Arten

des Denkens diskutiert worden� hierbei erfolgte auch eine Unterscheidung

zwischen konvergentem und divergentem Denken� Diese beiden Arten des

Denkens f�uhren zu einer entsprechenden M�oglichkeit der Klassi�zierung von

Problemen�

� Konvergentes Problem

Man spricht von einem konvergenten Problem� wenn f�ur seine L�osung

��Eine n�ahere Beschreibung einer solchen Klassi�zierung �ndet man beispielsweise bei�Reitmann��


konvergentes Denken ausreichend ist� Das gew�unschte Ziel ist eindeutig

vorgegeben� Meistens gibt es nur einen einzigen Weg� auf welchem die�

ses Ziel erreicht werden kann� Konvergente� mathematische Probleme

k�onnen im allgemeinen algorithmisch gel�ost werden�

� Divergentes Problem

Dem gegen�uber spricht man von einem divergenten Problem� wenn f�ur

die L�osung des Problems divergentes Denken erforderlich ist� Derartige

Probleme sind gekennzeichnet durch eine Vielzahl von L�osungswegen�

auf welchen der Probleml�oser das Ziel erreichen kann� In der Regel ist

dieses Ziel selbst auch nicht genau vorgegeben�

�� Klassi�zierung mathematischer Probleme � eine

M�oglichkeit

Die drei zuvor vorgestellten Klassi�zierungsarten sind f�ur alle auftretenden

Probleme verwendbar� Trotzdem ist es erforderlich� speziell mathematische

Probleme� so wie sie im Unterricht Anwendung �nden� noch einmal geson�

dert zu di�erenzieren� Bei der n�aheren Betrachtung verschiedener B�ucher f�ur

den Mathematikunterricht an Schulen bzw� unterschiedlicher Lehrpl�ane und

Richtlinien f�ur Schulen stellt man fest� da eine gro e Zahl von unterschied�

lichen mathematischen Aufgaben bzw� Problemen existiert� Es gibt verschie�

dene Arten� diese mathematischen Probleme einzuordnen� Eine m�ogliche und

auch allgemein anerkannte Art der Klassi�zierung von mathematischen Prob�

lemen liefern Charles und Lester �vgl� �Charles�Lester�� S� ��

�� Ubungsaufgaben

Reine �Ubungsaufgaben ��drill exercises�� sollen dazu dienen� die Anwendung

von Algorithmen und Grundrechenarten bei den Sch�ulern zu verinnerlichen�

Charles und Lester bezeichnen diese zwar als Probleme� nach dem zuvor

diskutierten Verst�andnis von Aufgaben und Problemen und unter Ber�uck�

sichtigung der bereits gemachten� individuellen Erfahrungen des jeweiligen

Probleml�osers werden diese in der Regel allerdings den Standard�Aufgaben

zugeordnet� Wird einem Sch�uler z�B� die schriftliche Multiplikation erkl�art�

so ist ihm dieses Verfahren bekannt� er mu es bei entsprechend gestellten

Aufgaben nur noch anwenden� �Ubungsaufgaben werden auch als�algorithmic

exercises� bezeichnet �vgl� �Butts�� S� ��


�� Translationsprobleme

Durch Translationsprobleme ��translation problems�� sollen die Sch�uler ler�

nen� beschriebene reale oder realistische Situationen in mathematische Aus�

dr�ucke zu �uberf�uhren� Diese Probleme f�ordern das Verstehen von mathemati�

schen Konzepten und helfen� rechnerische F�ahigkeiten zu erlangen� Einfache

und komplexe Translationsprobleme unterscheiden sich nur dadurch� da bei

einem komplexen Translationsproblem sowohl mehr als nur eine �Uberf�uhrung

als auch mehr als nur eine Rechenoperation erforderlich ist� In der Litera�

tur werden diese Problemtypen auch als Anwendungsprobleme ��application

problems� �Butts�� S� �� bezeichnet� da sie die Anwendung von Algo�

rithmen erfordern� oder einfach als gew�ohnliche Textaufgaben ��textbook

problems� �LeBlanc�� S� ��

�� Proze�probleme

Probleme� f�ur deren L�osung eigene Denkprozesse erforderlich sind� beispiels�

weise Planen� Raten oder Sch�atzen� geh�oren zur Gruppe der Proze probleme

��process problems�� Der Sch�uler mu zur Bearbeitung dieser Probleme eine

Vielzahl von Strategien und Prozessen zum Verstehen� Planen und L�osen der

Probleme selbst entwickeln�

�� Angewandte Probleme

Angewandte Probleme� ��applied problems�� sind sehr komplexe Probleme�

die reale� zumindest aber realistische Situationen des t�aglichen Lebens be�

schreiben� Zur L�osung solcher Probleme werden mathematische F�ahigkeiten�

Tatsachen� Konzepte und Prozeduren ben�otigt� Oft erfordern diese Probleme

viel mehr als nur die Anwendung von Mathematik� jedoch ist die Mathema�

tik stets ein Schl�ussel zur L�osungs�ndung� Durch solche Probleme k�onnen

die Sch�uler lernen� den Nutzen der Mathematik in Situationen des t�aglichen

Lebens zu erkennen�

�� Puzzle�Probleme

Eine letzte Gruppe von Problemen bilden die sogenannten Puzzle�Probleme

��puzzle problems�� Normalerweise k�onnen diese Probleme oft nur durch

�Diese Probleme werden h�au�g auch als Problem�Situationen bezeichnet� vergleichez�B� �Butts�� S� ��


gl�uckliches Raten� unsystematisches oder systematisches Versuch�und�Irr�

tums�Verhalten oder durch �Uberdenken des Problems auf ungew�ohnlichen

und verschiedenen Wegen gel�ost werden� Puzzle�Probleme unterscheiden sich

von den bisher klassi�zierten Problemen dadurch� da sie nicht notwendiger�

weise die Anwendung von Mathematik erfordern und da eine sorgf�altige

Analyse der gegebenen Daten oft nur wenig hilfreich ist zur Findung einer

L�osung� Vielmehr ist f�ur die L�osung ein gewisser Trick notwendig� Um ein

solches Problem anzugehen ist allerdings ein gro es Ma an Flexibilit�at er�

forderlich�

�� Modelle f�ur das L�osen mathematischer

Probleme

In diesem Abschnitt werden verschiedene Modelle zum L�osen mathematischer

Probleme diskutiert� die auf unterschiedlichen Ans�atzen beruhen� Diese Mo�

delle werden sp�ater eine Grundlage f�ur die Auswahl der bei der Bewertung im

Rahmen der empirischen Untersuchung angewendeten Skalen bilden� Bevor

die eigentlichen Modelle diskutiert werden� ist es notwendig aufzuzeigen� wel�

chen unterschiedlichen Anforderungen derartige Modelle �uberhaupt gen�ugen

sollen� Eine umfassende Aufstellung hierzu liefert Kieswetter�

a� Das Modell soll u�a� in der Lehrerausbildung verwendet werden�gegebenenfalls auch im Unterricht� Es soll deshalb m�oglichst ein�fach und �uberschaubar sein und ohne einen gro�en Apparat anFachbegri�en auskommen�

b� Die dann notwendigerweise grobe Modellierung mu� o�en seinf�ur Feinstrukturierung und f�ur Erg�anzungen �z�B� hinsichtlichindividueller Komponenten��

c� Die aus Berichten �uber und beim Beobachten von Probleml�ose�prozessen erkennbaren und wichtigen Ph�anomene sollen im Mo�dell erkl�arbar sein�

d� Die Modellierung soll Voraussagen �uber Probleml�oseverhaltenerm�oglichen� welche getestet werden k�onnen� Ein Teil der Erpro�bung soll auch ohne gro�e Forschungsmittel � etwa innerhalb vonUnterrichtsseminaren � m�oglich sein�

e� Die Modellierung soll gezielte und neue Anregungen und Hinwei�se f�ur die Gestaltung von Mathematikunterricht liefern� Verbes�serung von Probleml�osef�ahigkeiten� Unterrichtsmaterialien �Ver�anschaulichung und Superzeichenbildung�� Auswahl von geeig�neten Probleml�osesequenzen f�ur den problemorientierten Unter�richt usw�

�Kieswetter�� S� ��


Es sei hier noch einmal an den Abschnitt �� erinnert� in welchem der

Begri��Probleml�osen� diskutiert worden ist� Es hat sich gezeigt� da Prob�

leml�osungsprozesse aufgefa t werden k�onnen als eine spezielle Klasse aller

Denkprozesse� Kieswetters Anforderungen an ein Modell zur Beschreibung

von Probleml�oseprozessen sind sehr umfassend� Schon jetzt kann gesagt wer�

den� da nicht jedes derartige Modell allen oben gestellten Anforderungen

gleichzeitig gerecht werden kann und will� Generell k�onnen alle Modellbil�

dungen mathematischer Probleml�osungsprozesse hinsichtlich ihres Hauptan�

liegens grob in zwei unterschiedliche Kategorien unterteilt werden� Ein Teil

dieser Modelle dient dazu� diejenigen Prozesse theoretisch zu beschreiben�

die bei der L�osung eines Problems beim Probleml�osenden selbst ablaufen�

Da diese Modelle allerdings keine Grundlage f�ur eine vektorielle Skala bil�

den k�onnen� so wie sie im Rahmen der empirischen Untersuchung verwendet

wird� werden nachfolgend nur die beiden graphentheoretischen Modelle von

Kieswetter exemplarisch vorgestellt� auf die Diskussion anderer derartiger

Modelle wird bewu t verzichtet�

Bei dem anderen Teil der Modelle werden zwar auch die Probleml�osungs�

prozesse beschrieben� aber durch diese Beschreibung sollen sie eher als eine

Orientierung bzw� Hilfestellung f�ur den Probleml�osenden selbst dienen� da�

mit dieser Problemstellungen erfolgreich angehen und l�osen kann� Derartige

Modelle sind als Grundlage f�ur eine vektorielle Skala geeignet� die wohl wich�

tigsten Modelle werden in den nachfolgenden Unterabschnitten vorgestellt�

In der fachdidaktischen Literatur �ndet man dar�uber hinaus noch eine Viel�

zahl anderer solcher Modelle� Diese sind jedoch �uberwiegend hervorgegangen

aus den�Basismodellen� von Polya oder von Charles und Lester� indem die

Autoren diese Modelle ihren jeweiligen Untersuchungsgegenst�anden angepa t

haben� Diese Modelle unterscheiden sich von den oben genannten Modellen

mehr oder weniger �vgl� hierzu auch �Kieswetter�� Sell��

�� VierPhasenModelle

Als zwei f�ur die Mathematik�Didaktik sehr bedeutende Vier�Phasen�Modelle

k�onnen die Modelle von Polya und von Lester �bzw� von Charles und Lester�

angesehen werden� Diese werden in diesem Abschnitt n�aher erl�autert�

�� Das Modell von Polya

Eines der ersten Modelle f�ur das L�osen von mathematischen Problemen

stammt von Polya� er stellt es in seiner �� erschienenen Ver�o�entlichung


How To Solve It erstmalig vor �vgl� auch �Szetela�� Polya versteht sein

Buch als einen Leitfaden f�ur Lehrer� die Probleml�osen in den Mathematikun�

terricht integrieren wollen� Anf�anglich sind die Sch�uler mit dem Probleml�osen

noch nicht vertraut� Nach seiner Au�assung ist es daher eine der wichtigsten

Aufgaben eines Lehrers dem Sch�uler zu helfen� Diese Hilfestellung sollte ge�

geben werden durch das Stellen von festgelegten Fragen� welche auf die ein�

zelnen L�osungsschritte wieder und wieder hinweisen �vgl� �Polya�� S� �f��

Polya gliedert den Probleml�oseproze in vier einzelne Arbeitsphasen� Zu je�

der dieser Phasen nennt er Fragen� die dem Sch�uler eine Hilfestellung f�ur die

Bearbeitung bieten k�onnen� und er erl�autert diese Fragen anhand von Bei�

spielproblemen eingehend� Zusammenfassend l�a t sich sein Modell f�ur das

Probleml�osen wie folgt beschreiben��

�� Verstehen des Problems

Was ist unbekannt bzw� gesucht ! Welche Daten sind gegeben ! Wie

lautet die Bedingung

�� Entwicklung eines Plans

Hast Du das Problem schon einmal gesehen ! Kennst Du ein verwandtes

Problem ! Sieh Dir das Gesuchte an� Versuche Dich an ein vertrautes

Problem zu erinnern� bei welchem Gleiches oder �Ahnliches gesucht war� !

Kannst Du ein zu Deinem Problem verwandtes und bereits gel�ostes Prob�

lem anwenden ! Kannst Du das Problem neu �und besser� formulieren

! Wenn Du das gegebene Problem nicht l�osen kannst� versuche zuerst

ein verwandtes Problem zu l�osen� ! Hast Du alle Daten verwendet Hast

Du die ganze Bedingung angewendet

�� Ausf�uhrung des Plans�Uberpr�ufe jeden Schritt� !Kannst Du deutlich erkennen� da jeder Schritt

richtig ist ! Aber kannst Du beweisen� da jeder Schritt richtig ist

�� R�uckblick

Kannst Du das Ergebnis �uberpr�ufen ! Kannst Du die Folgerung �uber�

pr�ufen ! Kannst Du das Ergebnis auf verschiedenen Wegen erhalten !

Kannst Du dieses auf einen Blick erkennen ! Kannst Du das Ergebnis

oder die Methode f�ur ein anderes Problem verwenden

Eine vollst�andige Orientierung am Modell von Polya bei der L�osung von

Problemen kann in der Praxis zu Schwierigkeiten f�uhren� So ist es norma�

lerweise kaum m�oglich� einen Plan f�ur die L�osung zu entwickeln� wenn man

��Zu jeder der vier einzelnen Arbeitsphasen sind die f�ur diese Phase typischen Frage�stellungen von Polya angegeben�


nicht wei � wie man das Problem angehen mu � selbst wenn man das ei�

gentliche Problem vollst�andig verstanden hat� Vorteile k�onnen hier beispiels�

weise Modelle bieten� bei denen die Phasen�Entwicklung eines Plans� und

�Ausf�uhrung des Plans� zu einer Phase zusammengefa t werden��

�� Das Modell von Lester

Das im Jahre �� von Lester vorgestellte Modell unterscheidet sich nicht

wirklich wesentlich von dem Vier�Phasen�Modell von Polya� Auch Lester un�

terteilt den Probleml�osungsproze in diese vier einzelnen Phasen�

�� Verstehen des Problems und Analyse des Ziels

�� Entwicklung eines Plans

�� Umsetzung des Plans

�� Auswertung der L�osung

Dieses Modell greifen Charles und Lester vier Jahre sp�ater noch einmal

in Teaching Problem Solving� What� Why � How auf �vgl� beispielsweise

�Charles�Lester�� S� �� Diese Ver�o�entlichung richtet sich vor allem an

Lehrende und zeigt unter anderem M�oglichkeiten daf�ur auf� wie Probleml�osen

als ein wichtiger Bestandteil in den Mathematikunterricht integriert werden

kann� Die Hauptaufgabe eines Lehrers sollte es sein� den Sch�ulern grundlegen�

de �Probleml�ose��Strategien�� zu vermitteln� Es ist wichtig� da der Lehrer

die Anwendung dieser Strategien seitens der Sch�uler stets beobachtet resp�

�uberpr�uft� Grunds�atzlich gibt es zwei Arten von Strategien� Die allgemeinen

Strategien dienen im wesentlichen dazu� ein Problem anzugehen� die Haupt�

aufgabe der Hilfsstrategien ist es� die Verwendung einer allgemeinen Strategie

zu vereinfachen� So ist es nach Charles und Lester hilfreich� jeder dieser vier

L�osungsphasen � im Gegensatz zu Polya� der jeder Phase ja typische Fra�

gen zugewiesen hat � gewisse Strategien zuzuordnen� die eine Hilfestellung

f�ur den Probleml�osenden bieten k�onnen� Beispiele f�ur allgemeine Strategien

sind unter anderem das Suchen nach Mustern� das Raten und Pr�ufen� das

Zeichnen eines Bildes� das Erstellen einer geordneten Liste oder das Erstel�

len einer Tabelle� Zu den Hilfsstrategien z�ahlen beispielsweise das Erz�ahlen

des Problems mit eigenen Worten oder das �Uberpr�ufen� ob das gegebene

��Solche Modelle werden im Abschnitt �� dieses Kapitels diskutiert��Unter einer Strategie fassen Charles und Lester alle F�ahigkeiten und Prozesse zusam�

men� die in ein erfolgreiches Probleml�osen involviert sind�


Problem zu wenig� genug oder zu viele Informationen enth�alt� Dieses Modell

dient dar�uber hinaus als Basis f�ur das von Charles und Lester entwickelte

dreiphasige Modell f�ur das Probleml�osen�

�� DreiPhasenModelle

Die Problematik� die sich bei der Anwendung eines Vier�Phasen�Modells f�ur

einen Probleml�oser bei der Entwicklung eines Plans und seiner anschlie en�

den Ausf�uhrung ergeben kann� ist bereits im letzten Abschnitt dargelegt

worden� Wird beim Probleml�osen dagegen nach einem dreiphasigen Modell

vorgegangen� so treten diese Schwierigkeiten im allgemeinen nicht auf� Auch

kennen Sch�uler in der Regel Textaufgaben aus dem�normalen� Mathematik�

unterricht� F�ur deren L�osung ist ihnen der ebenfalls dreiphasige L�osungsweg

�Frage ! Rechnung ! Antwort� bereits bekannt�� Beide Gr�unde f�uhren

zu einer Favorisierung von Drei�Phasen�Modellen� Daher ist es notwendig� in

diesem Abschnitt die aktuellen Modelle von Charles und Lester sowie von

Mason noch einmal detailliert vorzustellen�

�� Das Modell von Charles und Lester

Von Charles und Lester ist das folgende Drei�Phasen�Modell entwickelt wor�

den� welches als eine Anleitung zum Probleml�osen verstanden werden soll

und das sp�ater als Basis der im Rahmen der empirischen Untersuchung be�

trachteten vektoriellen Bewertungsskalen dienen wird� Charles und Lester

bezeichnen ihr Modell selbst als einen�Problem�Solving Guide�� welchen je�

der Sch�uler w�ahrend des gesamten Schuljahres vorliegen haben sollte �vgl�

�Charles�Lester�� S� �� Jeder Phase sind dabei generelle Strategien zu�

geordnet��

�� Verstehen des Problems

Lies das Problem� ! Entscheide� was Du �nden kannst� ! Finde die

wichtigen Daten�

��Auch dieser Grund ist mit ausschlaggebend daf�ur� da� f�ur die Messung der Problem�l�oseleistungen im Rahmen der empirischen Untersuchung allein vektorielle Skalen auf derBasis von Drei�Phasen�Modellen diskutiert werden und Skalen auf der Basis von Vier�Phasen�Modellen nicht betrachtet werden�

��Diese generellen Strategien werden bei Polya auch als heuristische Strategien bezeich�net� vergleiche hierzu Abschnitt �� dieses Kapitels� Die nachfolgend zu jeder einzelnenL�osungsphase aufgef�uhrten generellen Strategien zeigen nur eine kleine Auswahl allerm�oglichen generellen Strategien�


�� L�osen des Problems

Suche nach Mustern� ! Zeichne ein Bild� ! Rate und pr�ufe� ! Erstelle

eine geordnete Liste� ! Schreibe Zahlenfolgen� ! Erstelle eine Tabelle�

! Verwende logisches Denken� ! Benutze Gegenst�ande oder probiere� !

Arbeite r�uckw�arts� ! Vereinfache das Problem�

�� Beantworten des Problems und Bewerten der Antwort

Sei Dir sicher� da Du alle wichtigen Informationen verwendet hast� !�Uberpr�ufe Deine Arbeit� ! Entscheide� ob die Antwort Sinn macht� !

Schreibe die Antwort als einen vollst�andigen Satz�

�� Das Modell von Mason

Als ein weiteres dreiphasiges Modell soll noch das Modell von Mason ausdem Jahre �� vorgestellt werden� welches ebenfalls eine konkrete Hilfe�stellung f�ur das Angehen von Problemstellungen geben m�ochte� Sein BuchHexeneinmaleins� kreativ mathematisch denken adressiert sich an

� alle� die glauben� da� Mathematik mehr ist als etwas aufpoliertesRechnen und genau wissen wollen� was�

�� alle� die ihre F�ahigkeiten entdecken und vertiefen wollen� mathe�matische Konzepte zu verstehen und anzuwenden�

� alle� die mathematische Denkweisen bei anderen f�ordern wollen�

�Mason�� Umschlagseite ��

Mason gliedert in seinem Modell die Arbeit an einem mathematischen Prob�

lem � genau wie auch Charles und Lester � grob in drei Phasen� wobei die�Uberg�ange zwischen den einzelnen Phasen allerdings nicht v�ollig starr sind�

Zu jeder dieser Phasen geh�oren einerseits bestimmte Denkvorg�ange� ande�

rerseits werden diesen Phasen nun Schl�usselw�orter als Hilfestellung f�ur die

L�osung des Problems zugeordnet�� Die folgende Aufstellung verdeutlicht die�

sen Zusammenhang �vgl� �Mason�� S� ��

��Es sei hier noch einmal an das Modell von Polya erinnert� bei diesem waren typischeFragen die Hilfestellung� und an das Modell von Charles und Lester� bei diesem warenStrategien die Hilfestellung�


Denkvorgang Phase Schl�usselw�orter

Spezialisieren Planung bekannt

Ziel

Hilfsmittel

Spezialisieren Durchf�uhrung Schwierigkeiten

Verallgemeinern AHA"

Verallgemeinern R�uckblick Test

Nachdenken

Verallgemeinern

Durch die Betrachtung von Spezialf�allen sollte der Probleml�oser zun�achst

feststellen� was bekannt ist� was das Ziel ist und welche Hilfsmittel zweckm�a i�

gerweise verwendet werden sollten� Hierdurch wird eine Grundlage f�ur die

sp�atere Verallgemeinerung gebildet� Wenn sich der Probleml�osende mit die�

sen Fragen eingehend auseinandergesetzt hat� beginnt die eigentliche Durch�

f�uhrung� Die notwendigen T�atigkeiten in dieser Phase sind� abh�angig von der

Problemstellung� sehr unterschiedlich� Die zentralen mathematischen Tech�

niken dieser Phase sind jedoch immer das Vermuten und das F�uhren von

Beweisen� Anhand von Spezialf�allen werden Vermutungen aufgestellt� die�

se Vermutungen werden anschlie end verallgemeinert und nachgewiesen� Die

Problembearbeitung endet mit einem R�uckblick auf die Probleml�osung�

Es sei an dieser Stelle noch einmal darauf hingewiesen� da man in der Li�

teratur viele unterschiedliche Drei�Phasen�Modelle �ndet� die sich allerdings

nicht wirklich wesentlich voneinander unterscheiden� Daher wird auf die Vor�

stellung weiterer derartiger Modelle im Rahmen dieser Arbeit verzichtet�

�� Ein graphentheoretischer Ansatz die Modelle

von Kieswetter

Einen v�ollig anderen Versuch zur Modellierung von Probleml�osungsprozessen

unternimmt Kieswetter im Jahre �� vgl� hierzu �Kieswetter�� S� ��

Im Gegensatz zu den bisher diskutierten Modellen wird durch sein Modell

allein der kreative Probleml�osungsproze beschrieben� es gibt dem Problem�

l�osenden keinerlei Hilfestellung f�ur das Angehen von Problemen� Die Modell�

bildung von Kieswetter beruht auf Begri�en aus der mathematischen Gra�

phentheorie�

�� Die Startsituation

Der Probleml�oser beginnt hochmotiviert mit dem Probleml�osungsproze �


Er hat� unter anderem abh�angig vom jeweiligen Problem und seinem

Wissen und K�onnen� eine gewisse Menge von Assoziationen� Der Prob�

leml�oser bildet um das Problem einen Supergraph�� aus Kenntnissen�

L�osungsmustern� S�atzen� Vorstellungen und gegenseitigen Beziehungen

und Abh�angigkeiten�

�� Superzeichenbildung zur Vereinfachung

Der unter den Startbedingungen aufgebaute Supergraph wird umfang�

reich und un�ubersichtlich sein� Der Probleml�oser wird diesen Supergraph

durch Superzeichenbildung �z�B� durch Bildung von Zwischenbegri�en

oder durch Veranschaulichung� strukturieren und vereinfachen�

�� Der pulsierende Supergraph

Der Probleml�osende wird jetzt versuchen� den Supergraph umzustruktu�

rieren� um aufgrund anderer Konstellationen zu einem L�osungsmuster zu

kommen� Hierzu kann ein mehrmaliger Umbau des Supergraphen notwen�

dig sein� Assoziationen zu weiter entfernten Dingen ersetzen ungeeignete

Routineelemente� Der Supergraph wird also ab� und anschlie end wieder

aufgebaut� er pulsiert�

�� Die letzte Phase des L�osungsprozesses

Nachdem ein �vermeintliches� L�osungsmuster gefunden worden ist� schlie t

sich noch die Phase der Veri�kation an� Diese spielt sich allein im Bewu t�

sein des Probleml�osenden ab�

Im Jahre �� stellt Kieswetter eine Modi�zierung seines Modells vor �vgl�

hierzu auch �Kieswetter�� S� �� Er f�uhrt jetzt die Begri�e�Material�

graph� und�L�osungsgraph� ein� beides sind Supergraphen nach dem bereits

dargelegten Verst�andnis� Der Probleml�osungsproze wird nun klar in drei

L�osungsphasen untergliedert�

�� Startphase

Die erste Phase des Probleml�osungsprozesses ist gepr�agt durch die Ausbil�

dung eines Materialgraphen im Arbeitsged�achtnis�� des Probleml�osenden�

S�amtliche Wissenselemente� und damit auch das mathematische Wissen�

��Kieswetter spricht bewu�t von einem Supergraph� da es sich mathematisch korrektnicht um einen Graph handelt� Dieser Supergraph hat verschiedene Sorten von Knoten�Begri�e� S�atze� Probleme�� zwischen welchen verschiedenartigste Sorten von Beziehungenn�otig sind� Es k�onnen auch mehrere �bewertete� gewichtete� Kanten zwischen Knotenexistieren� Der Begri�

�Supergraph� kann aufgefa�t werden als eine Verallgemeinerung

des Begri�es�Graph��

��Innerhalb von Probleml�osungsprozessen fungiert das Kurzzeitged�achtnis als Arbeits�ged�achtnis� Es dient ebenso zur Speicherung neuer Informationen wie auch zur Speicherungvon bereits vorhandenem Wissen aus dem Langzeitged�achtnis �vgl� �Kieswetter�� S� ��


sind in einem Supergraph im Langzeitged�achtnis des Probleml�osenden ge�

speichert� Durch die Auseinandersetzung mit der Problemstellung werden

die f�ur die L�osung relevanten Teile des Supergraphen als ein Materialgraph

im Arbeitsged�achtnis gespeichert� Externe Informationen erg�anzen diesen

Materialgraph� Da es sich um eine Problemstellung handelt� L�osungsrou�

tinen dem Bearbeiter also v�ollig unbekannt sind� kann dieser erste Mate�

rialgraph noch keinen L�osungsgraph enthalten�

�� Kreative Phase

Ziel dieser zweiten Phase des Probleml�osungsprozesses ist die Bildung ei�

nes L�osungsgraphen� Der Materialgraph mu so lange ver�andert werden�

bis sich darin eine L�osung des Problems zeigt� Die Anwendung heuristi�

scher Strategien�� bewirkt beispielsweise eine Ver�anderung des Material�

graphen� Im Verlauf dieses Umbauprozesses werden neue Informationen in

den Materialgraph eingebaut und solche� welche als ungeeignet angesehen

werden� wieder entfernt� die Vernetzungsdichte nimmt zu� Der Material�

graph pulsiert solange� bis ein L�osungsgraph darin erscheint�

�� Verwertung

In der letzten Phase des Probleml�osungsprozesses reichert der L�osungs�

graph in der Regel den das Wissen repr�asentierenden Supergraph im Lang�

zeitged�achtnis an� dieses dokumentiert einen Lernvorgang�

�� Heuristische Prinzipien und Strategien

Verfahren bzw� Programme f�ur geistige Abl�aufe� welche m�oglicherweise zur

L�osung eines Problems f�uhren k�onnen� werden als heuristische Prinzipien

bzw� Heurismen bezeichnet �vgl� �D�orner�� S� �� Die Anwendung heuri�

stischer Prinzipien garantiert nicht die L�osungs�ndung� denn dann w�urde es

sich gerade nicht mehr um ein Problem im Sinne der De�nition handeln� Dem

entgegen werden Strategien des Informationsgewinns� die in strukturell ver�

schiedenartigen Problemstellungen L�osungen oder L�osungsvorteile erm�ogli�

chen� als heuristische Strategien oder Heuristiken bezeichnet �vgl� �Klix��

S� �� In diesem Sinne ist auch die De�nition von Schoenfeld�

Heuristic will be used here to mean a general suggestion or strategy�independent of any particular topic or subject matter� that helps prob�lem solvers approach and understand a problem and e�ciently marshaltheir resources to solve it� �Schoenfeld�� S� ��

��Vergleiche hierzu Abschnitt �� dieses Kapitels�


Die wohl einfachste heuristische Strategie zur L�osung eines Problems ist ein

unsystematisches Versuch�und�Irrtums�Verhalten� aber beispielsweise auch

systematisches Ausprobieren oder Raten sind m�ogliche heuristische Strate�

gien� die zur L�osung eines Problems f�uhren k�onnen� In Bezug auf mathema�

tische Probleme gibt es eine Vielzahl von heuristischen Strategien� die bei

der Ann�aherung an ein Problem und bei der anschlie enden L�osungs�ndung

selbst hilfreich sein k�onnen� beispielsweise die Betrachtung von �ahnlichen

bzw� einfacheren Problemen oder das Zeichnen von Diagrammen und Figu�

ren� F�ur jede einzelne Phase des Probleml�osungsprozesses gibt es spezielle

Heuristiken�� Solche Strategien sollten den Sch�ulern im Rahmen des Mathe�

matikunterrichts vermittelt werden� damit sie beim Probleml�osen erfolgreich

sein k�onnen�

�In Polyas Buch How To Solve It �ndet man eine sehr umfassende Aufstellung vonheuristischen Strategien�

Kapitel �

Mathematikunterricht

und Probleml�osen

Ein zentrales Unterrichtsfach einer jeden Schule ist die Mathematik� Vor die�

sem Hintergrund werden im ersten Abschnitt dieses Kapitels unterschiedliche

Gr�unde daf�ur dargelegt� warum Mathematik als Unterrichtsfach in der Schu�

le gelehrt werden mu und welchen Nutzen die Mathematik f�ur die Sch�uler

bringt bzw� bringen kann� Darauf aufbauend werden im zweiten Abschnitt

dieses Kapitels zun�achst unterschiedliche Gr�unde daf�ur diskutiert� warum

herk�ommlicher Mathematikunterricht nicht mehr allen Forderungen� die an

ihn gestellt werden� ausreichend gerecht werden kann� Daran anschlie end

wird herausgearbeitet� warum es zwingend gewissen Ver�anderungen in der

Art der zu vermittelnden Inhalte im Mathematikunterricht bedarf� die Ver�

mittlung von reinem Wissen ist mehr aussreichend� notwendig ist vor allem

die Vermittlung von Probleml�osef�ahigkeiten� Die aufgef�uhrten Argumente

sind nicht als vollst�andig anzusehen� vielmehr wurde versucht� die am wich�

tigsten erscheinenden Gr�unde kurz darzustellen�

�� Aufgaben des UnterrichtsfachsMathema�

tik

Wie auch jedes andere Unterrichtsfach hat der Mathematikunterricht schwer�

punktm�a ig zu einer zeitgem�a en Allgemeinbildung der Sch�uler beizutragen�

Hierzu z�ahlen das Vermitteln von grundlegenden Kenntnissen� F�ahigkeiten

und Fertigkeiten ebenso wie die Vermittlung von fachspezi�schem Wissen�

��

KAPITEL �� MATHEMATIKUNTERRICHT UND PROBLEML �OSEN �

aber auch die Anleitung zu kritischem Denken und zum Arbeiten in �uber�

greifenden Zusammenh�angen �vgl� �MSWWF�� S� �� Dar�uber hinaus soll

das Fach Mathematik Hilfen und Anst�o e zur pers�onlichen Entfaltung der

Sch�uler in sozialer Verantwortlichkeit geben �vgl� �MSWWF�� S� �� Nach�

folgend werden die zentralen Aufgaben des Mathematikunterrichts noch ein�

mal eingehender betrachtet�

�� Vermittlung von BasisKenntnissen und F�ahig

keiten

Durch das Erlernen eines jeden Unterrichtsfachs sollten den Sch�ulern gewisse

Grundf�ahigkeiten und �fertigkeiten sowie Basiskenntnisse vermittelt werden�

welche sie f�ur das sp�atere Leben in unserer Gesellschaft zwingend ben�oti�

gen� Betrachtet man diese Forderung speziell mit Blick auf die Mathema�

tik� so zeigt sich� da �die sichere Handhabung elementarer mathematischer

Techniken und ihre Einbettung in ein Grundverst�andnis von Mathematik un�

verzichtbar ist� um die moderne Lebenswelt durchschauen und ihre Risiken

einsch�atzen zu k�onnen� �MSWWF�� S� �� Als Erwachsener ben�otigt man

die Mathematik im Leben t�aglich� Die Uhrzeit ablesen� Rechnungen �uber�

pr�ufen oder erstellen� Statistiken aus den Medien auswerten� das sind nur

einige der vielen Umst�ande� wo Mathematik n�utzlich oder gar notwendig ist�

diese Aufz�ahlung lie e sich beliebig erweitern� Einige Anwendungen� wie das

Ablesen der Uhrzeit� sind schon derart gew�ohnlich geworden� da man sie

gar nicht mehr als eine Anwendung der Mathematik ansieht�

�� Vermittlung von Wissen

Neben der Vermittlung von Basis�Kenntnissen und �F�ahigkeiten � dieses gilt

f�ur alle Schulformen � ist sicherlich die wichtigste Aufgabe des Mathematik�

unterrichts die Vermittlung von Wissen� Dieses gilt in besonderem Ma e f�ur

den Mathematikunterricht an Gymnasien�

Die gegenw�artige gesellschaftliche Entwicklung ist von zwei Tendenzengepr�agt� die in starker Spannung zueinander stehen� Einerseits wach�sen die technologischen Anspr�uche� andererseits nimmt die Skepsisgegen�uber dem Fortschrittsdenken zu� insbesondere angesichts �okolo�gischer Probleme� Die Spannung zwischen diesen Tendenzen l�a�t auchden allgemeinbildendenMathematikunterricht nicht unber�uhrt� Einer�seits wird in der Ausbildung f�ur immer mehr Berufe quali�ziertes ma�thematisches K�onnen gefordert� Mathematisches Wissen ist Hilfs� undBasiswissen f�ur viele Disziplinen geworden� Andererseits aber wachsendie Zweifel� ob die sich abzeichnenden globalen Probleme im Rahmen

KAPITEL �� MATHEMATIKUNTERRICHT UND PROBLEML �OSEN ��

des vorherrschenden mathematisch�naturwissenschaftlichen Weltbil�des l�osbar sind� seine Leitfunktion wird zunehmend kritisiert�

Das Gymnasium hat beiden Tendenzen Rechnung zu tragen� Die Sch�u�lerinnen und Sch�uler sollen sicheres mathematisches Fachwissen erwer�ben� und zugleich sollen sie lernen� mit diesem Wissen kritisch undverantwortlich umzugehen� �KMNRW�� S� �

In fast allen Bereichen unserer Gesellschaft wird heutzutage Mathematik

ben�otigt� in den Natur� und Ingenieurwissenschaften genauso wie in den

Wirtschafts� und Sozialwissenschaften��Die technische und wissenschaftli�

che Zivilisation moderner Gesellschaften beruht in hohem Ma e auf Mathe�

matik und ihren Anwendungen� �MSWWF�� S� �� Gerade im Rahmen

des weiterf�uhrenden Mathematikunterrichts ist daher eine Vermittlung von

grundlegenden Kompetenzen erforderlich� welche die Voraussetzung f�ur ein

Hochschulstudium oder eine anspruchsvolle Berufsausbildung in den unter�

schiedlichsten Bereichen bilden �vgl� �MSWWF�� S� ��

�� Entfaltung der Pers�onlichkeit und Bereicherung

des Lebens

Das Erlernen eines Unterrichtsfachs sollte schlie lich aber auch zur Entfal�

tung der Pers�onlichkeit und in irgendeiner Art und Weise ebenfalls zur Be�

reicherung des Lebens der Sch�uler beitragen� Zahlen und Formen sind Aus�

drucksm�oglichkeit f�ur Gedanken� Emp�ndungen� Probleme und L�osungen

und sie entsprechen o�enbar Bed�urfnissen und F�ahigkeiten� die im Men�

schen angelegt sind� Z�ahlen� Rechnen und Zeichnen geh�oren zu den Kul�

turtechniken� die einen hohen Wert f�ur die Allgemeinbildung haben��Beim

Treiben von Mathematik erfahren die Menschen etwas von der Kraft ih�

res eigenen Denkens� denn sie k�onnen mathematische Objekte scha�en und

erforschen� �Vollrath�� S� �� Der Mathematikunterricht kann insofern

zur Entfaltung der Pers�onlichkeit beitragen� indem er die Sch�uler in diese

Gedankenwelt einf�uhrt� Sie lernen zu denken und werden zugleich angeleitet�

ihr Denken kritisch zu re�ektieren� Dabei lernen sie auch etwas �uber das Den�

ken� Schlie lich k�onnen interessierte Sch�uler durch die Besch�aftigung mit der

Mathematik lohnende Erfahrungen machen� Durch das Erlernen von Mathe�

matik kann ein neuer Weg ge�o�net werden� die Umwelt aus einem anderen�

neuen Blickwinkel zu sehen� Gerade in der Verbindung mit Computern kann

die Mathematik das Leben eines Sch�ulers interessanter und reicher gestalten�


�� Probleml�osen als ein Teil des Mathema�

tikunterrichts

Es gibt verschiedene Gr�unde� die eine Vermittlung von Probleml�osef�ahig�

keiten im Rahmen des Mathematikunterrichts rechtfertigen k�onnen� gesell�

schaftliche und motivatorische Aspekte sind hier sicherlich an erster Stelle

zu nennen� Durch den�gew�ohnlichen� Mathematikunterricht wird die Ein�

stellung der Sch�uler gegen�uber der Mathematik nicht verbessert� Mathematik

geh�ort nach wie vor zu den eher unbeliebteren Unterrichtsf�achern� Der Grund

hierf�ur kann auch in der Unterrichtsgestaltung selbst liegen� Der Unterricht

besteht h�au�g aus der Ein�ubung unterschiedlicher Rechenverfahren� Sch�uler

werden so gut wie nie mit�Real�World��Anwendungen der Mathematik kon�

frontiert� Seitens der Lehrer oder seitens der Schulb�ucher fehlt es oft an

Versuchen� die Sch�uler f�ur echte Forschungen oder Probleml�osungen zu ge�

winnen� Durch den�gew�ohnlichen� Mathematikunterricht lernen Sch�uler in

der Regel nicht� wie sie die Mathematik zum L�osen von Problemen anwenden

k�onnen� Nachfolgend wird auf die einzelnen Gr�unde n�aher eingegangen�

�� Gesellschaftliche Gr�unde

Wir leben heute in einem Zeitalter der Hochtechnisierung� Zum einen sind

die Probleme� die sich f�ur uns im Alltag ergeben k�onnen� entsprechend kom�

pliziert und vielschichtig� Zur L�osung dieser komplexen Probleme reicht ein

einfaches� traditionelles Denken oft nicht mehr aus� Erforderlich ist vielmehr

ein komplexes Denken� ein Denken in verschiedenen Ebenen oder das Erken�

nen von schwierigen Zusammenh�angen aus verschiedenen �Fach��Bereichen�

Zum anderen unterliegt unsere heutige Gesellschaft einer stetigen Ver�ande�

rung� Dieser Wandel vollzieht sich in so schnellen Schritten� da jeder Teil

unseres Lebens davon ber�uhrt werden kann� Derart schnelle Ver�anderungen

machen eine individuelle Vorbereitung f�ur die Zukunft aus der heutigen Sicht

extrem schwierig� denn es gibt keine M�oglichkeit� zum jetzigen Zeitpunkt be�

reits pr�azise vorherzusagen� welche wissenschaftlichen und technologischen

Entdeckungen in der Zukunft gemacht werden� Gleichzeitig ist es unm�oglich

schon heute alles zu lernen� was wir in der Zukunft wissen m�ussen�

Hier sind auch die Schulen gefordert� Ihre Grundaufgabe sollte es sein� den

Sch�uler f�ur das sp�atere Leben vorzubereiten� Wenn eine Schule diese Aufga�

be gewissenhaft wahrnehmen m�ochte� mu einerseits bei der Vermittlung der

Curricula�Inhalte in den einzelnen Schulf�achern ein Umdenken statt�nden�

Andererseits m�ussen die Richtlinien und Lehrpl�ane als Konsequenz hieraus


selbst Wege aufzeigen� dem Sch�uler die F�ahigkeit zu vermitteln� eigenst�andig

Dinge zu erlernen� welche f�ur ihn bisher unbekannt waren� Diese Forderungen

sollen noch einmal speziell mit Blick auf das Unterrichtsfach Mathematik be�

trachtet werden� Die Hauptaufgabe des Mathematikunterrichts ist es� zu einer

zeitgem�a en Allgemeinbildung der Sch�uler beizutragen �vgl� �MSWWF��

S� �� Aus dieser Aufgabe resultieren verschiedene Forderungen an den Un�

terricht�

Unter dem Anspruch von Allgemeinbildung ist der Mathematikunter�richt dadurch gekennzeichnet� da�

� er die Sch�ulerinnen und Sch�uler auf mathematische Anforderun�gen des privaten� gesellschaftlichen und beru�ichen Lebens vor�bereitet ��

� die Sch�ulerinnen und Sch�uler entdecken� wie Mathematik zurBeschreibung von Situationen und Bew�altigung von Problemengenutzt werden kann

� die Sch�ulerinnen und Sch�uler erfahren� wie sich Mathematik als

Verst�arker� ihres Alltagsdenkens und als Mittel kritischen Ver�nunftsgebrauchs einsetzen l�asst� �MSWWF�� S� ��

Hieraus resultiert eine neue� abweichende Rolle f�ur den Mathematiklehrer�

Gew�ohnlich haben Lehrer ihre Bem�uhungen darauf konzentriert� ihren Sch�u�

lern rechnerische F�ahigkeiten oder abstraktes Wissen zu vermitteln� Tatsache

ist es aber� da komplizierte Berechnungen nicht l�anger pers�onlich durch�

gef�uhrt werden m�ussen� Computer k�onnen dieses besser und schneller als

der Mensch� Da es aber einen wachsenden Bedarf an Personen gibt� welche

Probleme analysieren und Wege zur L�osung �nden k�onnen� mu vielmehr die

Vermittlung von mathematischem Wissen und von mathematischen F�ahig�

keiten in einer solchen Form erfolgen��die ein sinnvolles Umgehen mit dem

Erlernten in der Realit�at erm�oglicht� �T�orner�Zielinski�� S� ��

Die Wirklichkeit in Deutschland sieht jedoch ganz anders aus� die�Drit�

te Internationale Mathematik� und Naturwissenschaftsstudie �TIMSS�III��

macht dieses besonders deutlich� Im Rahmen dieser Studie hat sich heraus�

gestellt� da

� die mathematisch�naturwissenschaftlichen Kompetenzen von deutschen

Jugendlichen und jungen Erwachsenen nur in einem breiten internatio�

nalen Mittelfeld liegen �vgl� �Baumert u�a�� S� ��

� die Mathematikleistungen der internationalen Spitzengruppe� die von

asiatischen L�andern gebildet wird� f�ur deutsche Sch�ulerinnen und Sch�u�

ler in unerreichbarer H�ohe liegen �vgl� �Baumert u�a�� S� ��


� die deutschen Sch�ulerinnen und Sch�uler im internationalen Vergleich

in bedenklicher Weise unterrepr�asentiert sind �vgl� �Baumert u�a��

S� ��

Die Gr�unde hierf�ur sind vielschichtig� Eine m�ogliche Ursache kann in der

Gestaltung des Unterrichts selbst liegen� So ist japanischer Mathematikun�

terricht Probleml�oseunterricht� er schult mathematisches Verst�andnis und

mathematisches Denken� In Deutschland hingegen ist Mathematikunterricht

eher Wissenserwerbsunterricht� der auf die Beherrschung von Verfahren zielt�

Mathematische Konzepte werden im Unterrichtsgespr�ach� das auf eine einzige

L�osung zielt� erarbeitet �vgl� �Baumert u�a�� S� �� Ein Curriculum� wel�

ches der Entwicklung von Probleml�osef�ahigkeiten der Sch�uler keine direkte�

ernsthafte Beachtung schenkt� ist daher nicht l�anger ausreichend�

�� Motivatorische Gr�unde

Sicherlich sind die gesellschaftlichen Gr�unde ausschlaggebend f�ur die Not�

wendigkeit der Vermittlung von Probleml�osef�ahigkeiten im Rahmen des Ma�

thematikunterrichts� Jedoch sollten auch die motivatorischen Gr�unde hierf�ur

nicht au er Acht gelassen werden� Bei der genaueren Betrachtung von Sch�u�

lergruppen kann man verschiedene Typen von Sch�ulern erkennen� Zum einen

gibt es kreative Sch�uler� die den Spa an der Mathematik verlieren k�onnen�

wenn der Unterricht �uberwiegend aus der Anwendung schematisch vorgegebe�

ner L�osungswege besteht� Andererseits gibt es Sch�uler� welche eine unbemerk�

te Veranlagung f�ur kreatives Denken besitzen� Bei ihnen wird diese Begabung

aber durch den herk�ommlichen Mathematikunterricht kaum oder gar nicht

gef�ordert und kann sogar g�anzlich verk�ummern� Mehr noch� diese Begabung

wird teilweise als�konkurrierende Denkweise bek�ampft� Dieses f�uhrt oft zu ei�

nem dumpfen Gleichtrott� der Originalit�at ausschlie t� �T�orner�Zielinski��

S� �� Konformit�atsdruck ist nach Hallman das Haupthindernis f�ur Krea�

tivit�at �vgl� �Hallman�� S� �� Probleml�oseunterricht k�onnte bei beiden

Sch�ulertypen positive E�ekte erbringen�

Schlie lich gibt es Sch�uler� deren Leistungen im herk�ommlichen Mathema�

tikunterricht eher unterdurchschnittlich sind� Problemorientierter Mathema�

tikunterricht k�onnte bei dieser Sch�ulergruppe eventuell zu mehr Interesse

an der Mathematik selbst und folglich zu einer gr�o eren Auseinanderset�

zung mit ihr f�uhren� Dieses k�onnte sich schlie lich positiv auf die Einstellung

dieser Sch�uler gegen�uber dem�normalen� Mathematikunterricht auswirken�

Bei meinen eigenen Untersuchungen habe ich durch Gespr�ache mit Sch�ulern


festgestellt� da sich gerade diese Sch�uler mit gro em Interesse mit den von

mir gestellten Problemen besch�aftigt haben und�gro e Lust h�atten� solche

Aufgaben �ofter zu bearbeiten� �Zitat eines Sch�ulers��

�� Sonstige Gr�unde

Neben den in den beiden vorangegangenen Unterabschnitten diskutierten

und wohl bedeutendsten Gr�unden f�ur die Notwendigkeit eines problemori�

entierten Mathematikunterrichts gibt es dar�uber hinaus noch zahlreiche an�

dere Gr�unde� welche diese Unterrichtsform rechtfertigen� So haben sich das

Bildungssystem und auch der Mathematikunterricht als ein Teil davon wei�

terentwickelt� Beispielsweise hat sich die Art der Unterrichtsgestaltung ge�

gen�uber fr�uher stark ge�andert� Heutzutage ist der Frontalunterricht nicht

mehr favorisiert� der Unterricht soll sich an subjektiven Sichtweisen der Sch�u�

ler orientieren��indem er Gelegenheit bietet f�ur Umwege� f�ur alternative Deu�

tungen und f�ur Ideenaustausch� f�ur spielerischen Umgang mit Mathematik

und f�ur eigenverantwortliches Tun� �MSWWF�� S� �� Zur Umsetzung

dieser Forderungen bedarf es einer Ver�anderung des Unterrichtsstils� So soll�

ten die Sch�uler aktiv in das Unterrichtsgeschehen involviert werden und sich

selbst mit Problemsituationen auseinandersetzen k�onnen�

Die Sch�ulerinnen und Sch�uler �sollen�

� nicht nur oder vorwiegend �uber die Lehrerinnen und Lehrer alsdie

mathematischen Experten�� sondern auch direkt miteinan�

der kommunizieren� gen�ugend Gelegenheit haben� in Partner� oder GruppenarbeitMathematik in o�enen Problemsituationen zu treiben und ge�meinsam nach L�osungen zu forschen

� �uber das� was sie mathematisch tun� reden und gemeinsam re��ektieren� �MSWWF�� S� ��

Gerade ein problemorientierter Mathematikunterricht kann diesen Forderun�

gen in besonders deutlicher Weise gerecht werden�

Dar�uber hinaus haben sich auch die Vorstellungen �uber das Wesen der Ma�

thematik ver�andert� Heutzutage wird die Mathematik angesehen als eine we�

sentliche Ressource unserer hochtechnisierten Gesellschaft� Viele Erfolge von

Wissenschaft und Technik basieren auf mathematischen Theorien und Mo�

dellen�� Wir k�onnen die Mathematik au�assen als eine Art�Toolbox�� die

�Speziell �uber den Zusammenhang zwischen Mathematik� Natur und Technik schreibtVollrath�

�Dass man mit der Mathematik die Natur beschreiben kann und dass sich die

gefundenen Gesetze mit Hilfe der Mathematik in der Technik nutzbar machen lassen� sollund kann im Unterricht als Erkenntis vermittelt werden� �Vollrath�� S� ��


uns zur L�osung von komplexen Problemen zur Verf�ugung steht� Ebenfalls

wandeln sich die Mathematik selbst und in diesem Zusammenhang auch das

�Bild von �Schul��Mathematik�� So ist aus einer

�isolierten� starren Wis�

senschaft� eine anwendungsorientierte und anwendungso�ene Wissenschaft

geworden� Als abschlie ender Grund sei noch genannt� da sich sicherlich

auch die Erwartungen und Einstellungen in der �O�entlichkeit gegen�uber dem

Probleml�osen positiv ge�andert haben�

�Vergleiche hierzu �Zimmermann�� S� ��f�� Zimmermann zeigt in dieser Ver�o�ent�lichung insgesamt elf unterschiedliche Aspekte auf� die ein neues Bild von �Schul��Mathematik aufzeigen� So ist heutzutage beispielsweise mathematischer Inhalt wichtigerals mathematischer Formalismus oder mathematische Denkprozesse sind mindestens sowichtig wie mathematische Ergebnisse oder das Entwickeln von Ideen ist wichtiger alsderen kritische Pr�ufung�

Kapitel �

Methoden zur

Leistungsmessung von

schriftlichen Probleml�osungen

Im ersten Abschnitt dieses Kapitels werden zun�achst unterschiedliche For�

men der Leistungsmessung voneinander abgegrenzt und die allgemeine Not�

wendigkeit der Messung schriftlicher� im Unterricht durch Sch�uler erbrachter

Leistungen � auch mit Blick auf die aktuellen Richtlinien und Lehrpl�ane des

Landes Nordrhein�Westfalen f�ur die Sekundarstufe I an Gymnasien bzw� f�ur

die Sekundarstufe I an Gesamtschulen sowie f�ur die Sekundarstufe II an Gym�

nasien und Gesamtschulen � diskutiert� Hieran anschlie end werden Forde�

rungen an Verfahren zur Leistungsmessung resp� �bewertung aufgestellt� die

in den Schulen Anwendung �nden sollen�

Im zweiten Abschnitt dieses Kapitels werden unterschiedliche Methoden spe�

ziell zur Leistungsmessung bei schriftlichen mathematischen Probleml�osun�

gen vorgestellt� Es wird deutlich� da nur derartige Bewertungsmethoden

geeignet sind� die komplexen Denk� und L�osungsprozesse von Problemstel�

lungen objektiv zu beurteilen� bei welchen der gesamte Bearbeitungsproze

mit in die Bewertung ein�ie t� Drei unterschiedliche Bewertungsmethoden�

die diese Anforderung erf�ullen� werden ausf�uhrlich dargestellt und ihre Vor�

und Nachteile herausgearbeitet� die analytische Bewertung� bei welcher der

Probleml�osungsproze in einzelne Phasen untergliedert und jede Phase an�

hand festgelegter Kriterien getrennt bewertet wird� die holistische Bewertung�

bei welcher die Arbeit als Ganzes ebenfalls anhand zuvor festgelegter Kri�

terien bewertet wird� und die Bewertung des Gesamteindrucks� hierbei wird

der Probleml�osung einen numerischer Wert ausschlie lich mit Hilfe des indi�

viduellen Gesamteindrucks des Beurteilenden zugewiesen�

�

KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG ��

�� Grundlegende Anforderungen

Im Unterricht �nden heute im allgemeinen zwei Arten von Leistungsmessun�

gen statt� externe und interne� Externe Leistungsmessungen werden durch�

gef�uhrt z�B� durch unabh�angige Forschungsinstitute oder durch staatliche

resp� vom Staat beauftragte Einrichtungen� Hauptzweck dieser Untersuchun�

gen ist entweder ein nationaler Leistungsvergleich von Sch�ulern innerhalb

einer Region bzw� eines Landes oder ein internationaler Leistungsvergleich

zwischen Sch�ulern verschiedener L�ander� Solche Leistungsmessungen werden

h�au�g mit Hilfe von Untersuchungsb�ogen auf der Basis von Multiple�Choice�

Fragen durchgef�uhrt� Sie sind gekennzeichnet durch eine gro e Anzahl von

Daten� die einfach und schnell und in der Regel auf elektronischem Weg aus�

gewertet werden m�ussen� Allein das Gesamtergebnis einer zuvor festgelegten

Testgruppe ist von Interesse� die n�ahere Untersuchung einzelner L�osungen

erfolgt normalerweise nicht� In diese Rubrik fallen sowohl die aktuelle PISA�

Studie� der OECD als auch die TIMSS�Studien�

Dem steht die interne Leistungsmessung gegen�uber� Diese wird allein durch

den zust�andigen Lehrer in seiner Klasse durchgef�uhrt� beispielsweise zum

Abschlu eines in der Klasse erarbeiteten Sto�gebiets oder in zeitlich re�

gelm�a igen Abst�anden� und hat eine ganz andere Zielsetzung� Mit Hilfe der

ermittelten Ergebnisse soll eine Grundlage f�ur die Unterrichtsgestaltung ge�

bildet werden k�onnen��F�ur die Lehrerinnen und Lehrer sind die Ergebnis�

se der Lernerfolgs�uberpr�ufungen Anla � die Zielsetzungen und die Metho�

den ihres Unterrichts zu �uberpr�ufen und ggf� zu modi�zieren� �KMNRW��

S� �� Der zweite Zweck einer internen Leistungsmessung dient der Beurtei�

lung eines Sch�ulers� Die Ergebnisse k�onnen als Basis oder Unterst�utzung f�ur

die Bildung der Note eines Sch�ulers dienen �vgl� hierzu �Krulik�Rudnick��

S� �� Schlie lich sollen sie f�ur die Sch�uler selbst eine Lernhilfe sein �vgl�

�KMNRW�� S� ��

Nun ist der Begri� einer Sch�ulerleistung breit gestreut� Nach dem Lehrplan

f�ur Mathematik in der Sekundarstufe I an Gesamtschulen in Nordrhein�

Westfalen z�ahlen hierzu die Klassenarbeiten� die sonstige Mitarbeit� Pro�

jektarbeiten sowie die Gruppenarbeit �vgl� �MSWWF�� S� �� Nach

dem entsprechenden Lehrplan f�ur Gymnasien werden f�ur die Leistungsbe�

wertung eines Sch�ulers seine Klassenarbeiten und seine Mitarbeit im Un�

�Die internationale PISA�Studie der OECD umfa�t unter anderem die Untersuchungvon mathematischen Kompetenzen �

�mathematical literacy�� bei Sch�ulern� Durch den

Begri��mathematical literacy� soll zum Ausdruck gebracht werden� da� im Rahmen dieses

Tests mathematisches Wissen gezielt daraufhin untersucht wird� ob es funktional� mitEinsicht und �exibel eingesetzt werden kann zur Bearbeitung textbezogener Probleme�Informationen zu den Inhalten dieser Studie �ndet man beispielsweise in �OECD��


terricht ! hierzu z�ahlen insbesondere�Beitr�age zum Unterrichtsgespr�ach

�� im Unterricht eingeforderte Leistungsnachweise� z�B� memorierte Inhal�

te� vorgetragene Hausaufgaben� selbst�andig vorbereitete� in abgeschlossener

Form eingebrachte Elemente zur Unterrichtsgestaltung� z�B� Protokoll� Refe�

rat u�a� m�� schriftliche �Ubungen� �KMNRW�� S� �� ! zugrunde gelegt�

Auch der Lehrplan f�ur die Oberstufe des Gymnasiums und der Gesamtschule

des Landes Nordrhein�Westfalen nennt im wesentlichen diese Punkte als die

Grundlage f�ur die Leistungsbewertung der Sch�uler��

Gemeinsam ist diesen Lehrpl�anen� da stets die in den Klassenarbeiten bzw�

Klausuren erbrachten Leistungen eines Sch�ulers mit in seine abschlie en�

de Bewertung ein�ie en m�ussen� Hieraus ergibt sich unmittelbar die Forde�

rung� diese schriftlichen Leistungen in einer angemessenen Form zu bewerten�

Unabh�angig davon� ob Klassenarbeiten resp� Klausuren aus Aufgaben oder

Problemstellungen bestehen� mu die Bewertung der hierbei erbrachten Lei�

stungen gewissen Grunds�atzen gen�ugen�� Die Bewertung sollte

�� ein objektives Ergebnis liefern� welches f�ur den Sch�uler � auch im Vergleich

mit den Mitsch�ulern � transparent ist�

�� Aufschlu �uber den Stand des Lernprozesses des Sch�ulers geben� d�h� die

St�arken und Schw�achen des Sch�ulers deutlich erkennbar machen�

�� eine Grundlage f�ur die weitere F�orderung des Sch�ulers bilden�

�� mit der Bewertung der entsprechenden L�osung eines anderen Sch�ulers

vergleichbar sein�

Generell lassen sich die Methoden zur Messung von in Klassenarbeiten er�

brachten Leistungen bzw� durch schriftlich bearbeitete Aufgaben oder Prob�

lemstellungen erbrachte Leistungen zun�achst grob in zwei Kategorien unter�

teilen� Auf der einen Seite gibt es Bewertungsmethoden� bei denen ausschlie �

lich das Endergebnis der L�osung betrachtet und bewertet wird� der eigentliche

L�osungsproze wird nicht ber�ucksichtigt� Dem stehen Bewertungsmethoden

gegen�uber� bei denen die Arbeit als Ganzes betrachtet wird und damit auch

der L�osungsproze selbst in die Bewertung mit ein�ie t� Im Gegensatz zum

L�osen von reinen Rechen� bzw� Routineaufgaben� bei welchen der Sch�uler

in der Regel nur die Aufgabenstellung ab� und ein Rechenergebnis dahinter

�In der Oberstufe wird jedoch nicht mehr von Klassenarbeiten� sondern von Klausurengesprochen� vergleiche hierzu �MSWWF��

�Die Grunds�atze in den einzelnen Richtlinien entsprechen einander im wesentlichen�die nachfolgende Aufstellung ist eine Zusammenfassung der wichtigsten Forderungen� ver�gleiche hierzu �KMNRW�� S� �� MSWWF�� S� �� MSWWF�� S� ��

KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG �

schreibt � was dann sehr einfach z�B� mit falsch oder richtig bewertet werden

kann �� werden beim L�osen von Problemstellungen im allgemeinen sehr kom�

plexe Denkprozesse ben�otigt� Hieraus ergibt sich die Forderung� da bei der

Bewertung von Probleml�osungen neben dem Endergebnis auch die einzelnen

L�osungsschritte zwingend mit in deren Beurteilung ein�ie en m�ussen�

It is not su�cient to evaluate just the thinking process or just the �nalproduct� A good evaluation of the problem requires considerations ofboth aspects� �Otis�O�erman�� S� ��

Speziell bei der Leistungsbewertung von Probleml�osungen werden Verfahren�

bei welchen ausschlie lich das Endergebnis einer Arbeit f�ur die Bewertung

ber�ucksichtigt wird� den Forderungen� die zuvor an eine angemessene Lei�

stungsmessung aufgestellt worden sind� nicht in einem ausreichenden Umfang

gerecht� Daher wird auf eine weitere Diskussion solcher Verfahren im Rahmen

dieser Arbeit bewu t verzichtet� Um der Forderung nach Objektivit�at gerecht

zu werden� sollte die Leistungsmessung anhand eines zuvor genau festgelegten

und f�ur alle L�osungen verbindlich anzuwendenden Schemas erfolgen� Damit

ein Vergleich unterschiedlicher Sch�ulerarbeiten m�oglich ist � dieses ist ja ge�

nau eine der Grundforderungen� welche an die Leistungsbewertung gestellt

wird �� ist eine numerische Bewertung� so wie sie f�ur weiterf�uhrende Schulen

auch vorgeschrieben ist� erforderlich� Auf antinumerische� beispielsweise rein

verbale Bewertungsmethoden� wird im Rahmen dieser Arbeit daher nicht ein�

gegangen� In den folgenden Abschnitten werden drei spezielle Methoden f�ur

die Bewertung schriftlicher Probleml�osearbeiten eingehend er�ortert� Wenn

nachfolgend von Leistungsmessung oder �beurteilung etc� gesprochen wird�

dann bezieht sich dieses immer auf schriftliche Bearbeitungen resp� L�osungen

von mathematischen Problemstellungen� anderenfalls wird dieses ausdr�uck�

lich angegeben�

�� Analytische Bewertung mittels vektoriel�

ler Skalen

Die Kernidee der analytischen Bewertung ist die getrennte Bewertung der

verschiedenen Phasen des Probleml�osungsprozesses� Jeder einzelnen Prob�

leml�osungsphase werden unterschiedliche Kriterien� die eine Arbeit aufweisen

kann� zugeordnet und jedem dieser Kriterien wird eine bestimmte Punktzahl

zugewiesen� Die Bewertung einer Arbeit besteht also aus verschiedenen Ein�

zelpunktzahlen� Falls es gew�unscht wird oder es erforderlich ist� so k�onnen


diese Einzelpunktzahlen anschlie end auch noch zu einer holistischen Ge�

samtpunktzahl addiert werden�

�� Zur Entwicklung einer vektoriellen Skala

Die Erstellung einer individuellen Punkteskala f�ur die analytische Bewertung

erfordert in der Regel drei Schritte�

�� Im ersten Schritt wird der Probleml�osungsproze in einzelne Phasen unter�

gliedert bzw� es werden diejenigen sich hieraus ergebenden �Bewertungs��

Kategorien festgelegt� welche schwerpunktm�a ig bewertet werden sollen�

Es ist durchaus m�oglich� neben den durch den Probleml�osungsproze ge�

gebenen Kategorien noch weitere Kategorien festzulegen� beispielsweise

neben�Verstehen��

�L�osen� und

�Beantworten� auch

�Kreativit�at� �vgl�

hierzu �Krulik�Rudnick�� S� �� Ein grunds�atzliches Problem� das hier�

bei auftreten kann� ist die Festlegung von�unabh�angigen�� sich nicht �uber�

schneidenden Kategorien� Je mehr Kategorien festgelegt werden sollen�

desto eher tritt diese Schwierigkeit auf� Kon�ikte k�onnen sich beispiels�

weise auch dann ergeben� wenn man den Probleml�osungsproze neu� also

nicht in Anlehnung an bereits entwickelte Probleml�osungsmodelle� in un�

terschiedliche Phasen unterteilen m�ochte�

�� Im zweiten Schritt wird festgelegt� wieviele Punkte in jeder einzelnen Be�

wertungskategorie maximal vergeben werden sollen�

�� Im letzten Schritt werden schlie lich f�ur jede der zuvor bestimmten Ka�

tegorien die einzelnen Leistungskriterien� die eine Arbeit aufweisen kann�

festgelegt und diesen dann die entsprechenden Punktzahlen � unter Be�

r�ucksichtigung der festgelegten Maximalpunktzahl der jeweiligen Katego�

rie � zugeordnet�

H�au�g werden die verschiedenen Bewertungskategorien gleichgewichtet� Es

kann manchmal aber auch n�utzlich sein� verschiedenen Kategorien unter�

schiedliche Gewichte zu geben� d�h� die einzelnen Kategorien erhalten un�

terschiedliche Maximalpunktzahlen� Wenn man der Bewertung das Problem�

l�osungsmodell�Verstehen � L�osen � Beantworten� � zugrunde legt und bei�

spielsweise untersuchen m�ochte� inwieweit Sch�uler Probleme erkennen und

�Dieses Modell ist von Charles und Lester entwickelt worden� vergleiche hierzu auch�Charles�Lester��


erforderliche Informationen aus der Problemstellung verwenden� dann k�onn�

te die Phase resp� Kategorie�Verstehen� st�arker gewichtet werden� Auch

L�osungsphasen� mit denen man sich im Unterricht intensiver besch�aftigt hat�

k�onnten bei der Bewertung st�arker gewichtet werden�

Ein Beispiel f�ur eine unterschiedlich gewichtete Skala �ndet man bei Krulik�

So werden die Kategorien�Verstehen��

�Erstellen eines Plans��

�Ausf�uhren

des Plans� und�Beantworten und R�uckblick�� die sich unmittelbar aus dem

�vierphasigen� Probleml�osungsproze ergeben� jeweils mit maximal drei Punk�

ten gleichgewichtet� in der Kategorie�Kreativit�at� hingegen wird nur h�och�

stens ein Punkt vergeben�� Die beiden im Anhang A aufgef�uhrten� unter�

schiedlichen vektoriellen Skalen beruhen auf dem Drei�Phasen�Modell zum

Probleml�osen von Charles und Lester��Verstehen des Problems��

�L�osen des

Problems� und�Beantworten des Problems und Bewerten der Antwort� �vgl�

hierzu �Charles�Lester�� Bei der Skala von Charles und Lester werden f�ur

jede der sich aus diesen drei L�osungsphasen ergebenden Kategorien jeweils

null� ein oder zwei Punkte vergeben � sie sind also gleichgewichtet �� die jeder

einzelnen Punktzahl zugeordneten Kriterien sind f�ur jede Kategorie explizit

aufgef�uhrt� Bei der modi�zierten Skala nach Charles und Lester werden die

zu den Phasen�Verstehen� und

�L�osen� geh�orenden Kategorien mit Hilfe

feinerer Kriterien di�erenzierter betrachtet und auch st�arker gewichtet� Die

Maximalpunktzahl f�ur die zu diesen beiden Phasen geh�orenden Bewertungs�

kategorien ist nun von zwei auf vier Punkte erh�oht worden�

Vorteilhaft f�ur die Leistungsmessung anhand einer vektoriellen Skala ist es�

wenn den Kategorien� nach denen eine vektorielle Skala konzipiert wird�

w�ahrend des Unterrichts vermehrte Aufmerksamkeit geschenkt wird� die Ska�

la sollte nach M�oglichkeit auf den Unterrichtsinhalt abgestimmt werden� Lei�

der wird dieses aber nur in wenigen F�allen zu realisieren sein�

�� Vorteile und Nachteile der analytischen Bewer

tung

Es gibt verschiedene Gr�unde� die f�ur und die gegen die Anwendung einer vek�

toriellen Bewertungsskala bei der Leistungsmessung sprechen� die wichtigsten

Aspekte sind nachfolgend aufgef�uhrt �vgl� hierzu auch �Charles u�a��

�Vergleiche hierzu �Krulik�Rudnick�� S� �� Da bei dieser analytischen Skala derProbleml�osungsproze� nach dem Modell von Polya in vier Phasen untergliedert wird�wurde diese Skala nicht f�ur eine Bewertung im Rahmen der empirischen Untersuchungin Betracht gezogen�


�� Vorteile

Zun�achst liefert jede Bewertungsskala� also auch eine vektorielle Skala� ein

Mittel� um der Arbeit eines Sch�ulers einen numerischen Wert zuzuweisen�

Hierdurch wird die Vergleichbarkeit entsprechender Arbeiten unterschiedli�

cher Sch�uler gew�ahrleistet� Da die Bewertung mit Hilfe einer zuvor festge�

legten Skala erfolgt� die auf genau bestimmten Kriterien mit eindeutig zuge�

ordneten Punktzahlen beruht� ist ein �relativ� objektives Bewertungsergebnis

einer Sch�ulerarbeit zu erwarten�

Der gr�o te Vorteil der analytischen Bewertung liegt jedoch darin� da alle

Phasen des Probleml�osungsprozesses di�erenziert betrachtet und bewertet

werden� Da jeweils Einzelpunkte f�ur die verschiedenen Phasen des L�osungs�

prozesses bzw� f�ur Teilschritte vergeben werden� hilft eine vektorielle Skala

dem Lehrer� St�arken oder Schw�achen eines Sch�ulers in den verschiedenen

Phasen des Probleml�oseprozesses genauer festzulegen� Sie bildet somit eine

sehr di�erenzierte Grundlage f�ur die weitere F�orderung eines Sch�ulers� Wird

diese Bewertungsmethode �uber einen l�angeren Zeitraum angewendet� erh�alt

der Lehrer detaillierte Angaben �uber die Fortschritte� die ein Sch�uler in den

einzelnen Phasen des Probleml�osungsprozesses macht� Sie liefert so zu sagen

ein visuelles Pro�l seiner Entwicklung im Probleml�osen�

Anhand der bewerteten Sch�ulerl�osungen kann ein Lehrer ebenfalls spezi�sche

Informationen �uber die Wirksamkeit verschiedener Lehrmethoden erhalten�

Dar�uber hinaus k�onnen bei der analytischen Bewertung den einzelnen Ka�

tegorien verschiedene Gewichtungen gegeben werden� was eine einfache Mo�

di�zierung einer bereits festgelegten Skala erm�oglicht� Wird die Bewertung

anhand einer vektoriellen Skala durchgef�uhrt� so liefert das Aufsummieren

der Einzelpunktzahlen zu einer Gesamtpunktzahl ein Ergebnis einer holisti�

sche Bewertung� dieser Arbeit� Demnach erf�ullt eine analytische Bewertung

alle vier Forderungen� die im Abschnitt �� an eine Bewertung allgemein

gestellt worden sind�

Zusammenfassend seien noch einmal die wichtigsten Vorteile genannt�

� Einfache Vergleichbarkeit entsprechender L�osungen in den einzelnen

Phasen des Probleml�osungsprozesses�

� Objektivit�at der Bewertung durch festgelegte Kriterien�

� St�arken und Schw�achen eines Sch�ulers in den einzelnen Phasen des

Probleml�osungsprozesses werden erkennbar und � bei einer �uber einen

�Diese Bewertungsmethode wird im Abschnitt �� vorgestellt und diskutiert�


l�angeren Zeitraum durchgef�uhrten Bewertung � auch seine in den ein�

zelnen Phasen erzielten Fortschritte�

�� Nachteile

Diesen Vorteilen stehen auch verschiedene Nachteile gegen�uber� Zun�achst ist

der Zeitaufwand zu betrachten� Da bei dieser Bewertungsmethode bei jeder

einzelnen Sch�ulerl�osung alle Probleml�osungsphasen intensiv analysiert und

dann die entsprechenden Punkte zugeteilt werden m�ussen� ist diese Art der

Leistungsmessung relativ zeitintensiv� Dar�uber hinaus kann beispielsweise die

eigentliche Aufzeichnung eines Sch�ulers nicht gen�ugend Informationen �uber

seinen Denkproze im Verlauf der Probleml�osung liefern� Damit kann es f�ur

den Bewertenden schwierig sein� Punkte in einer oder mehreren Kategorien

zufriedenstellend und korrekt zu vergeben�

Eventuelle Vergleiche zwischen verschiedenen Sch�ulern hinsichtlich der Ge�

samtpunktzahl m�ussen mit gro er Vorsicht geschehen� Zwei verschiedene

Sch�uler k�onnen die gleiche Gesamtpunktzahl haben und doch das Problem

v�ollig verschieden verstanden und bearbeitet haben� Betrachtet man noch

einmal die Skala von Charles und Lester aus dem Anhang A� so w�urde bei�

spielsweise ein Sch�uler� der das Problem vollst�andig verstanden und einen

Plan entwickelt hat� der zu einer korrekten L�osung ohne arithmetische Fehler

f�uhren kann� der aber keine Antwort aufgeschrieben hat� in den einzelnen Ka�

tegorien die Punkte zwei!zwei!null und somit eine Gesamtpunktzahl von

vier Punkten erhalten� Genau diese Gesamtpunktzahl w�urde aber auch ein

anderer Sch�uler erhalten� der das Problem ebenfalls vollst�andig verstanden

hat� dann allerdings nur eine teilweise korrekte L�osungsprozedur angewen�

det und schlie lich daraus folgend eine falsche Antwort formuliert hat� Im

Gegensatz zum ersten Sch�uler w�urden seiner Arbeit nun die Punkte zwei!

eins!eins zugewiesen�

Als die wichtigsten Nachteile der analytischen Bewertung kann man demnach

festhalten�

� Hoher Zeitaufwand�

� Schwierigkeiten bei der Punktezuweisung� wenn aus der Arbeit der

Denkproze des Sch�ulers nicht erkennbar ist�

� ein eventueller Vergleich zwischen Sch�ulern mit gleicher Gesamtpunkt�

zahl mu stets mit Vorsicht geschehen�


�� Anwendungsm�oglichkeiten und voraussetzungen

Die Grundidee der analytischen Bewertung beruht auf der Forderung� da

die Bewertung von Probleml�osungen mehr umfassen sollte als nur die einfa�

che �Uberpr�ufung des Endergebnisses� Durch eine vektorielle Punkteskala ist

es � wie zuvor diskutiert � m�oglich� eine Sch�ulerleistung mit Blick auf vorab

festgelegte Phasen des Probleml�osungsprozesses zu messen� Man erh�alt die

M�oglichkeit� spezielle St�arken und Schw�achen eines Sch�ulers in den einzelnen

L�osungsphasen zu erkennen und die Wirksamkeit spezieller Unterrichtsakti�

vit�aten zu messen� Aus dieser Sicht bietet sich eine analytische Bewertung

von Probleml�osungen in folgenden Situationen an �vgl� �Charles u�a��

� Die Sch�uler sollen ein Feedback �uber ihre Leistungen in den Schl�ussel�

kategorien des Probleml�osens erhalten�

� Die individuellen St�arken und Schw�achen der Sch�uler im Probleml�o�

sungsproze sollen ermittelt werden�

� Es sollen spezi�sche Aspekte des Probleml�osens ergr�undet werden� wel�

chen im Unterricht zus�atzliche Zeit geschenkt werden mu �

� Es steht gen�ugend Zeit zur Verf�ugung� sich sorgsam mit jeder schriftli�

chen Arbeit eines Sch�ulers auseinanderzusetzen�

�� Holistische Bewertung mittels linearer

Skalen

Eine zweite Methode� welche den an die Leistungsmessung bei schriftlichen

Probleml�osungen gestellten Anforderungen gerecht wird� ist die holistische

Bewertung� Sie ist dadurch gekennzeichnet� da einer Arbeit eine einzige

Punktzahl zugewiesen wird� Die einzelnen Phasen des Probleml�osungspro�

zesses werden � im Gegensatz zur analytischen Bewertung � nun nicht mehr

getrennt betrachtet� einer solchen Bewertungsmethode liegt eine lineare bzw�

eindimensionale Skala zugrunde� Trotzdem wird aber der gesamte L�osungs�

proze einer Arbeit mit in die Bewertung einbezogen� da einer bestimmten

Punktzahl zuvor festgelegte� spezi�sche Kriterien zugewiesen werden� die sich

auf die beim Probleml�osen involvierten Denkprozesse beziehen und die eine

Arbeit zum Erreichen dieser Punktzahl aufweisen mu �


�� Zur Entwicklung einer linearen Skala

Die Konzeption einer linearen Skala f�ur die Bewertung schriftlicher Problem�

l�osungen verl�auft normalerweise in zwei Schritten�

�� Im ersten Schritt mu entschieden werden� welche Punktzahl maximal

vergeben werden soll resp� wieviele verschiedene �Wertungs��Kategorien

insgesamt festgelegt werden sollen�

�� Im zweiten Schritt werden jeder Kategorie bestimmte Kriterien zugewie�

sen� welche eine Arbeit zum Erreichen der zugeh�origen Punktzahl aufwei�

sen mu �

�Ahnlich wie bei der Entwicklung einer vektoriellen Skala sollte das mit den

eingeschlossenen Denkprozessen verbundene Verhalten betrachtet und dieses

Verhalten dann einer der zuvor festgelegten Kategorien zugewiesen werden�

Die Zuordnung der einzelnen Kriterien zu den jeweiligen Kategorien sollte

auch vom Schwerpunkt der Bewertung abh�angig sein� Da jeder Punktzahl

spezi�sche Kriterien zugeordnet werden m�ussen� sollten nicht zu viele unter�

schiedliche Kategorien festgelegt werden� Je mehr Kategorien man verwendet�

desto schwieriger kann es sein� wirklich verschiedene Kriterien festzulegen�

die Zuverl�assigkeit der Punktezuweisung k�onnte abnehmen� Durch die Be�

wertung weniger Musterarbeiten kann gegebenenfalls gepr�uft werden� ob die

den Kategorien zugeordneten Kriterien wirklich disjunkt sind�

Im Anhang B sind vier verschiedene lineare Skalen aufgef�uhrt� welche die

Grundlage f�ur die Konzipierung der linearen Skala gebildet haben� die im

Rahmen der empirischen Untersuchung verwendet worden ist� Die Skalen von

Charles und Lester� Woods und Malone unterscheiden jeweils zwischen f�unf

bzw� sechs Wertungskategorien� die Skala von Zielinski hingegen zwischen

zehn unterschiedlichen Kategorien� Die lineare Skala von Charles und Le�

ster ist aufgrund der charakteristischen L�osungsprozesse beim Probleml�osen

�ahnlich strukturiert wie die von ihnen entwickelte gleichgewichtete vektori�

elle Skala� Die Bewertungskriterien dieser linearen Skala sind von Lehrern

entwickelt worden� die �uber mehrere Monate hinweg Arbeiten von Sch�ulern

bewertet haben �vgl� hierzu �Charles u�a��


�� Vorteile und Nachteile der holistischen Bewer

tung

In Analogie zum Abschnitt �uber die analytische Bewertung werden nachfol�

gend die Vor� und Nachteile der Anwendung linearer Skalen bei der Bewer�

tung von schriftlichen Probleml�osungen diskutiert�

�� Vorteile

Bei den Vorteilen der holistischen Bewertung ist zun�achst der Zeitaufwand

zu nennen� Da einer bestimmten Punktzahl festgelegte Kriterien zugewie�

sen werden� die eine Arbeit zum Erreichen dieser Punktzahl aufweisen mu �

entf�allt f�ur den Bewertenden die intensive Analyse der einzelnen Problem�

l�osungsschritte in der Sch�ulerl�osung selbst� genau dieses bedingt ja den unter

Umst�anden recht gro en Zeitaufwand bei der analytischen Bewertung� Hier�

durch ist es m�oglich� die Arbeiten mit relativ geringem Zeitaufwand zu bewer�

ten� Trotzdem wird aber der gesamte L�osungsproze der Arbeit betrachtet

und bewertet und nicht nur das eigentliche Endergebnis�

Lineare Skalen liefern dem Bewertenden spezi�sche� zuvor eindeutig festge�

legte Kriterien zur Bewertung einer Arbeit� Daher sind die Bewertungsergeb�

nisse auch bei dieser Methode normalerweise relativ objektiv� Im Gegensatz

zur analytischen Bewertung� bei welcher einer Arbeit f�ur die einzelnen Pha�

sen des Probleml�osungsprozesses getrennte Punkte zugewiesen werden� lie�

fert die Bewertung anhand einer linearen Skalen nur eine einzige Punktzahl�

um die Leistung eines Sch�ulers numerisch zu messen� Ein Vergleich zwischen

verschiedenen Sch�ulerarbeiten ist daher einfacher m�oglich� Nat�urlich ist auch

die holistische Bewertung �uberhaupt ein Mittel� um einer Sch�ulerarbeit einen

numerischen Wert zuzuweisen�

Als die wichtigsten Vorteile der holistischen Bewertung haben sich herausge�

stellt�

� Geringer Zeitaufwand bei der Bewertung einer L�osung�

� Bewertung des gesamten L�osungsprozesses�

� Objektivit�at der Bewertung durch festgelegte Kriterien�

� einfache Vergleichbarkeit verschiedener Sch�ulerarbeiten�


�� Nachteile

Diesen Vorteilen stehen auch gewisse Nachteile gegen�uber� Am bedeutend�

sten ist es sicherlich� da es diese Methode nicht erlaubt� spezi�sche St�arken

und Schw�achen der Sch�uler hinsichtlich ihrer F�ahigkeiten im Probleml�osungs�

proze detailliert herauszustellen� bei dieser Bewertungsmethode werden ja

die einzelnen L�osungsphasen einer Sch�ulerarbeit nicht mehr getrennt analy�

siert� Bei der holistischen Bewertung einer Arbeit mittels einer linearen Ska�

la kann der Fall eintreten� da die Arbeit selbst nicht gen�ugend Aufschlu

�uber den Denkproze des Sch�ulers liefert� dann k�onnte die Punktevergabe

m�oglicherweise nicht wirklich korrekt durchgef�uhrt werden� Im Gegensatz zu

vektoriellen Bewertungsskalen� bei denen eine Gewichtung der f�ur den Leh�

rer wichtigen Probleml�osungsphasen m�oglich ist� fehlt diese M�oglichkeit hier

v�ollig� Alle beim Probleml�osen involvierten Denkprozesse sind stets gleich

gewichtet�

Die wichtigsten Nachteile dieser Methode sind demnach�

� St�arken und Schw�achen des Sch�ulers beim Probleml�osungsproze wer�

den in der Regel nicht wirklich deutlich herausgestellt�

� m�oglicherweise schwierige Zuweisung der Punkte� wenn die involvierten

Denkprozesse aus der Arbeit nicht deutlich hervorgehen�

� eine Gewichtung wichtiger Probleml�osungsphasen und somit der zu�

geh�origen Denkprozesse ist unm�oglich�


Es gibt verschiedene Situationen� in denen die Anwendung einer holistischen

Bewertung am vorteilhaftesten erscheint� So kann diese Methode zun�achst

immer dann angewendet werden� wenn man einer Arbeit �uberhaupt einen

numerischen Wert zuweisen m�ochte oder wenn man sich f�ur eine allgemeine

Bewertung der angewendeten Probleml�osungsprozesse interessiert�

Eine Leistungsmessung mit Hilfe einer linearen Skala bietet auch immer dann

Vorteile� wenn man viele Arbeiten in kurzer Zeit bewerten m�ochte� Dar�uber

hinaus sollte das Interesse dem gesamten Probleml�osungsproze dienen und

nicht den einzelnen L�osungsphasen� Ein Beispiel hierf�ur w�are die Messung

der Sch�ulerleistungen bezogen auf ein ganzes Sto�gebiet� In diesem Fall mu


eine gro e Anzahl von Arbeiten bewertet werden und der Bewertungsschwer�

punkt liegt auf dem gesamten Probleml�osungsproze � Die anfangs festgeleg�

ten spezi�schen Kriterien f�ur die Punktevergabe erleichtern die in sich stim�

mige Auswertung von schriftlichen Leistungen und f�uhren in der Regel zu

objektiven Ergebnissen� Daher kann die holistische Bewertung auch bei gro

angelegten� beispielsweise landesweiten Untersuchungen verwendet werden�

bei denen viele unterschiedliche Personen an der Bewertung beteiligt sind

und gleichzeitig die Zuverl�assigkeit der Punktevergabe selbst wichtig ist�

�� Bewertung des Gesamteindrucks

Eine dritte Methode� die bei der Bewertung von Probleml�osungen angewen�

det werden kann� ist die Bewertung des Gesamteindrucks� Bei dieser Methode

wird zun�achst die Sch�ulerl�osung zu einem Problem eingehend analysiert� An�

schlie end verl�a t sich der Bewertende dann allein auf seinen pers�onlichen

Gesamteindruck� um dieser Arbeit einen numerischen Wert zuzuweisen� Bei

diesem Verfahren wird zu Beginn der Bewertung lediglich entschieden� wie

hoch die zu vergebende Maximalpunktzahl sein soll� es werden aber �uber�

haupt keine Kriterien festgelegt�

Diese Methode ist sicherlich die einfachste aller Bewertungsmethoden� die

nicht nur das Endergebnis sondern den gesamten L�osungsproze beurteilen�

Denn im Gegensatz zu den beiden zuvor diskutierten Methoden werden hier�

bei weder Kriterien noch Bewertungsschemata erstellt oder verwendet� Der

Bewertende verwendet nicht�explizit festgelegte Kriterien� die allein auf sei�

ner subjektiven Sicht �uber die Komponenten des Probleml�osens und eventuell

auf der Erfahrung basieren� welche er bereits durch die Bewertung anderer

Probleml�osungen fr�uher erworben hat� Aus diesem Grund erscheint die Be�

wertung des Gesamteindrucks f�ur Personen� die wenig Erfahrung auf dem

Gebiet der Leistungsmessung beim Probleml�osen haben� eher als ungeeignet�

�� Vorteile und Nachteile der Bewertung des Ge

samteindrucks

In Analogie zu den beiden bisher vorgestellten Bewertungsverfahren sollen in

diesem Unterabschnitt die Vor� und Nachteile dieser letzten f�ur schriftliche

Probleml�osungen geeigneten Bewertungsmethode diskutiert werden�


�� Vorteile

Ein entscheidender Vorteil dieser Methode beruht auf ihrem geringen Arbeits�

aufwand� Von den drei in diesem Kapitel vorgestellten Bewertungsmethoden

ben�otigt die Bewertung des Gesamteindrucks mit Abstand den geringsten

Arbeitsaufwand� Es m�ussen vor der eigentlichen Bewertung keinerlei Punk�

teschemata mit Bewertungskriterien entwickelt und eventuell noch getestet

werden� Ein weiterer Vorteil ist sicherlich der sehr geringe Zeitaufwand� Die�

se Bewertungsmethode gew�ahrleistet eine sehr schnelle Bewertung einer ein�

zelnen Probleml�osung� ohne Details der Arbeit analysieren zu m�ussen� Sie

erlaubt eine intuitive Betrachtung von L�osungsdetails in Verbindung mit der

richtigen oder der falschen Antwort�

Diese Bewertungsmethode bietet demnach zwei entscheidende Vorteile�

� Geringer Arbeitsaufwand� da Vorarbeiten entfallen�

� geringer Zeitaufwand bei der eigentlichen Bewertung�

�� Nachteile

Eine der Grundforderungen an eine Methode zur Leistungsmessung ist nach

Abschnitt �� die Objektivit�at der Bewertungsergebnisse� Die Bewertungs�

ergebnisse sollen f�ur den Sch�uler transparent sein� auch im Vergleich zu sei�

nen Mitsch�ulern� Dieser Forderung wird die Methode der Bewertung des

Gesamteindrucks nur sehr eingeschr�ankt gerecht� Sie verwendet im allgemei�

nen nicht�schriftlich basierte Kriterien� die nicht auf der genauen Analyse

des Probleml�osungsprozesses beruhen m�ussen� Eine Entscheidung zur Ver�

gabe der Punkte erfolgt somit allein subjektiv und k�onnte beispielsweise auf

nur einigen Aspekten der L�osung beruhen� Bei der Bewertung k�onnte die

Punktevergabe aber auch zu schnell erfolgen� ohne die Sch�ulerl�osung wirklich

sorgsam analysiert zu haben� Auch ist eine Vergleichbarkeit entsprechender

L�osungen f�ur die Sch�uler selbst aufgrund der impliziten Bewertungskriterien

fast nicht m�oglich�

An eine geeignete Methode zur Leistungsmessung wurden ferner die Forde�

rungen gestellt� da der Stand des Lernprozesses eines Sch�ulers sowie sei�

ne St�arken und Schw�achen durch die Bewertung deutlich erkennbar wer�

den sollen und da die Bewertung ein Mittel f�ur die weitere F�orderung des

Sch�ulers sein soll� Hier versagt die Methode der Bewertung des Gesamtein�

drucks vollends� Sie liefert einen numerischen Wert� aus dem ein Sch�uler


weder ein Feedback �uber spezielle Aspekte beim Probleml�osen erh�alt� noch

ist dieser Wert ein Mittel f�ur Aussagen �uber Notwendigkeiten seiner weiteren

F�orderung�

Zum Abschlu dieses Abschnitts seien noch einmal die gravierenden Nach�

teile dieser Methode � speziell im Hinblick auf ihren Einsatz in der Schule �

festgehalten�

� Die Objektivit�at der Bewertung ist durch implizite Kriterien in Frage

gestellt�

� ein Vergleich entsprechender Arbeiten ist nur sehr eingeschr�ankt m�og�

lich�

� St�arken und Schw�achen eines Sch�ulers im Probleml�osungsproze wer�

den nicht deutlich�

� sie ist kein Mittel zur weiteren F�orderung eines Sch�ulers�


Trotz der zahlreichen Nachteile� die diese Methode aufweist� gibt es doch Si�

tuationen� in welchen ihr Einsatz hilfreich sein kann� Eine Anwendung in der

Schule ist beispielsweise immer dann sinnvoll� wenn den Sch�ulern ein Feed�

back �uber ihre Probleml�osesituation als solche gegeben werden soll� aber

nicht viel Zeit f�ur die Bewertung vorhanden ist� Auch f�ur kurze Bewertungen

von Tests �uber einzelne Unterrichtskapitel oder Teile hieraus bietet sich diese

Methode an� E�zient ist die Bewertung des Gesamteindrucks sicherlich in

Situationen� in welchen eine numerische Bewertung einer Arbeit gew�unscht

wird� aber Informationen� die zur Verbesserung der Probleml�osef�ahigkeiten

der Sch�uler dienen sollen� nicht von Interesse sind� Auch bei einer Vielzahl

von zu bewertenden L�osungen� wie bei standardisierten Tests oder Wettbe�

werben� kann diese Methode vorteilhaft sein�

Allerdings sollte die Bewertung des Gesamteindrucks haupts�achlich von sol�

chen Personen durchgef�uhrt werden� die bereits �uber gewisse Erfahrungen

auf dem Gebiet der Leistungsmessung beim Probleml�osen verf�ugen�

Kapitel �

Forschungsfragen

Unterschiedliche Gr�unde f�ur die Notwendigkeit eines problemorientierten Ma�

thematikunterrichts sind im Kapitel � bereits diskutiert worden� Es wurde

deutlich� da zu diesen vor allem gesellschaftliche und motivatorische Aspekte

z�ahlen und da ein zeitgem�a er Mathematikunterricht auf die Komponente

�Probleml�osen� nicht mehr vollends verzichten kann� Hieraus ergibt sich un�

mittelbar die Notwendigkeit� die Leistungen von Sch�ulern� welche im Rahmen

des Probleml�osens erbracht worden sind� in einer ad�aquaten Art zu messen�

Im Kapitel � ist herausgearbeitet worden� da Verfahren zur Leistungsmes�

sung von schriftlichen Probleml�osungen zun�achst s�amtlichen Forderungen�

welche f�ur die Leistungsbewertung von schriftlichen L�osungen gew�ohnlicher

Standardaufgaben gelten� ebenfalls gerecht werden m�ussen� So mu die Be�

wertung einer L�osung ein objektives Ergebnis liefern� welches auch der Sch�uler

selbst verstehen kann� Sie mu Aufschlu �uber den Stand des Lernprozesses

des Sch�ulers geben� d�h� seine St�arken und Schw�achen deutlich erkennbar

machen� und sie mu eine Grundlage f�ur die weitere F�orderung des Sch�ulers

bilden� Schlie lich m�ussen die Bewertungen entsprechender L�osungen mit�

einander vergleichbar sein�

Bedingt durch diese Forderungen ergibt sich zun�achst die Notwendigkeit der

Anwendung von solchen Bewertungsverfahren� bei denen eine zuvor festge�

legte Wertungsskala mit verbindlichen Wertungskriterien verwendet wird��

Nur derartige Verfahren gew�ahrleisten � wenn �uberhaupt � eine �relativ� ob�

jektive Bewertung einer schriftlichen Probleml�osung eines Sch�ulers�� Dar�uber

�Diese Feststellung sei an dieser Stelle bereits vorweggenommen� Die genauen �Uber�legungen� welche zu dieser Notwendigkeit f�uhrten� sind im Abschnitt �� dargelegt�

�Inwieweit zus�atzliche Ein��usse einer objektiven Leistungsbewertung entgegenstehen�wird im Rahmen dieser Arbeit nicht untersucht� da dieses ein von dem eigentlichen For�schungsthema unabh�angiges Problem darstellt�

�

KAPITEL �� FORSCHUNGSFRAGEN �

hinaus ist es speziell bei der Bewertung von Probleml�osungen erforderlich�

den gesamten L�osungsproze zu analysieren und in die Bewertung mit einzu�

beziehen und nicht nur ausschlie lich das Endergebnis� Diese beiden Aspekte

f�uhren zum zentralen Thema dieser Arbeit�

Es wird untersucht� inwieweit die analytische Bewertung anhand

einer vektoriellen Skala bzw� die holistische Bewertung anhand

einer linearen Skala in der Praxis f�ur die Leistungsmessung von

schriftlichen mathematischen Probleml�osungen von Sch�ulern

Anwendung �nden k�onnen bzw� welche Schwierigkeiten bei der

praktischen Anwendung dieser Methoden � in Abh�angigkeit von

der Problemstellung � gegebenenfalls auftreten k�onnen�

Im vorangegangenen Kapitel ist herausgearbeitet worden� da diese beiden

Bewertungsverfahren zwei von drei theoretisch m�oglichen Methoden sind�

die zur Leistungsmessung von Probleml�osungen verwendet werden k�onnen�

Vor diesem Hintergrund und mit Blick auf das zentrale Thema dieser Arbeit

erfolgt im Rahmen dieser Arbeit eine Auseinandersetzung speziell mit den

beiden folgenden Forschungsfragen�

Forschungsfrage �

Inwieweit ist das Bewertungsergebnis von schriftlichen mathe�

matischen Probleml�osungen� welches sich bei der Bewertung der

Sch�ulerarbeiten mittels einer linearen Skala bzw� mittels einer

vektoriellen Skala ergeben hat� zuverl�assig und vom Bewerter

unabh�angig

Forschungsfrage �

Welche Aussagen lassen sich �uber die Konsistenz der vektoriellen

Skala und der linearen Skala in Abh�angigkeit von der Problem�

stellung machen

Mit Hilfe einer empirischen Untersuchung wird versucht� Antworten auf diese

Forschungsfragen zu �nden� Als Basis hierf�ur dienen Sch�ulerl�osungen zu sechs

unterschiedlichen mathematischen Problemstellungen� Diese Sch�ulerl�osungen

KAPITEL �� FORSCHUNGSFRAGEN �

werden von zwei verschiedenen Personen zum einen mittels einer speziellen

vektoriellen Skala und zum anderen mittels einer speziellen linearen Ska�

la bewertet�� Die Bewertungsergebnisse werden � getrennt nach den unter�

schiedlichen Problemstellungen � eingehend klassen�ubergreifend ausgewertet�

Hierbei werden auch m�ogliche Gr�unde f�ur festgestellte �Ubereinstimmungen

und Abweichungen zwischen den zugewiesenen Punktzahlen diskutiert� und

zwar erstens zwischen den beiden analytischen Bewertungen� zweitens zwi�

schen den beiden holistischen Bewertungen und drittens zwischen den beiden

unterschiedlichen Bewertungsverfahren�

Im Zusammenhang mit der ersten Forschungsfrage ergeben sich Aspekte� die

einerseits hinsichtlich der vektoriellen Skala und andererseits hinsichtlich der

linearen Skala getrennt zu untersuchen sind� So ist z�B� zu pr�ufen� ob sich bei

einer Problemstellung hohe Di�erenzen in der Punktevergabe im Vergleich

zwischen den beiden Bewertern ergeben� Sollte dieses der Fall sein� so mu

festgestellt werden� ob diese Di�erenzen dann abh�angig sind von der Art der

Problemstellung oder ob sie eventuell auf Fehlern in der Skala oder auf sub�

jektiven Fehlern eines Bewerters beruhen oder ob sich sonstige Gr�unde daf�ur

ausmachen lassen� Im Rahmen der Untersuchungen zur Kl�arung der zwei�

ten Forschungsfrage erfolgt ein Vergleich zwischen den beiden unterschied�

lichen Skalentypen� Als Basis hierf�ur werden jeweils gemittelte Ergebnisse

aus beiden analytischen bzw� aus beiden holistischen Bewertungen dienen�

um eventuelle Fehler in den Bewertungen selbst zu minimieren und so objek�

tivere Auswertungsergebnisse zu erhalten� Damit Antworten auf die zweite

Forschungsfrage gefunden werden k�onnen� mu gepr�uft werden� ob eine vek�

torielle Skala und eine lineare Skala ann�ahernd identische Bewertungsergeb�

nisse in Abh�angigkeit von der Problemstellung liefern und ob eventuell eine

der beiden Skalen zur Vergabe von h�oheren Punkten tendiert�

�Die �Uberlegungen� welche zur Auswahl der im Rahmen der empirischen Untersuchungverwendeten Skalen gef�uhrt haben� sind im Kapitel ausf�uhrlich dargelegt�

Kapitel �

Die Grundlagen der

empirischen Untersuchung

Zur eingehenden Untersuchung der Forschungsfragen� die im Kapitel � for�

muliert und begr�undet werden� war es notwendig� im Rahmen dieser Arbeit

eine empirische Untersuchung durchzuf�uhren� Diese Untersuchung gliederte

sich in zwei Phasen� In einem ersten Schritt erfolgte zun�achst die Konzep�

tion unterschiedlicher Problemstellungen� sowie deren Zusammenfassung zu

Arbeitsb�ogen und anschlie end die Entwicklung geeigneter Bewertungsska�

len� In einem zweiten Schritt wurden die Arbeitsb�ogen durch Sch�uler aus

den Klassenstufen f�unf und sechs unterschiedlicher Gymnasien bearbeitet

und diese L�osungen danach sowohl anhand einer vektoriellen Skala als auch

anhand einer linearen Skala durch zwei verschiedene Personen unabh�angig

voneinander bewertet� In diesem Kapitel werden alle Grundlagen und Vor�

aussetzungen der empirischen Untersuchung � also deren erster Schritt �

ausf�uhrlich erl�autert�

�� Die Problemstellungen und die Arbeits�

b�ogen

In diesem Abschnitt werden zun�achst allgemeine �Uberlegungen zur Konzep�

tion der Problemstellungen und zur Erstellung der Arbeitsb�ogen dargelegt�

�Im folgenden spreche ich bewu�t auch von Probleml�oseaufgaben� Durch den Wortteil

�Aufgaben� soll zum Ausdruck gebracht werden� da� der Wunsch� das Problem zu l�osen�bei den Sch�ulern unter Umst�anden gefehlt haben kann�

�

KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN �

Danach erfolgt eine detaillierte Vorstellung aller sechs im Rahmen der empi�

rischen Untersuchung verwendeten Probleme��

�� Allgemeine Grundlagen

F�ur die Untersuchung der Forschungsgegenst�ande war es notwendig� zun�achst

eine Vielzahl von unterschiedlichen Sch�ulerl�osungen zu verschiedenen ma�

thematischen Problemstellungen zu erhalten� So war es zu Beginn der Un�

tersuchung erforderlich� unterschiedliche Probleml�oseaufgaben zu entwickeln�

welche f�ur eine Bearbeitung durch Sch�uler der Klassenstufen f�unf und sechs

geeignet waren� Es durften folglich nur thematische Inhalte gefordert wer�

den� die in der f�unften Klasse bereits bekannt waren� Andererseits mu ten die

Probleme aber auch so gew�ahlt werden� da ebenfalls die Sch�uler der sechsten

Klasse noch eine Anstrengung unternehmen mu ten� um die Probleme anzu�

gehen� Anderenfalls w�are es m�oglich gewesen� da sich die Sch�uler nicht wirk�

lich ernsthaft mit den Problemstellungen auseinandergesetzt h�atten� dieses

h�atte sp�ater zu einer Verf�alschung der Auswertungsergebnisse f�uhren k�onnen�

Insgesamt wurden sechs verschiedene mathematische Problemstellungen aus

unterschiedlichen Gebieten der Mathematik �Kombinatorik� Algebra und Geo�

metrie� konzipiert und sch�ulergerecht formuliert� Eine Beschr�ankung auf Pro�

ze probleme war deswegen erforderlich� weil �Ubungsaufgaben nach der in

dieser Arbeit verwendeten De�nition keine Probleme darstellen� Translati�

onsprobleme� d�h� Textaufgaben� den Sch�ulern in der Regel sehr gel�au�g sind

und somit f�ur sie m�oglicherweise kein Problem mehr darstellen� angewandte

Probleme derart komplex sind� da eine Bearbeitung innerhalb einer Schul�

stunde normalerweise nicht m�oglich ist� Puzzle�Probleme �uberwiegend durch

Raten gel�ost werden k�onnen und die Anwendung von Mathematik nicht zwin�

gend notwendig ist�� F�unf der f�ur die empirische Untersuchung konzipierten

Probleme sind einstu�g� nur eine einzige Problemstellung ist zweistu�g� Die�

se Problemstellung ist dadurch gekennzeichnet� da die gleiche Fragestellung

f�ur zwei unterschiedliche Abstraktionsgrade gestellt wird und bearbeitet wer�

den soll� Vier Problemstellungen sind konvergent� aus der Formulierung des

Problems geht deutlich hervor� was gesucht bzw� was zu berechnen ist� Zwei

Problemstellungen sind divergent� Diese Probleme sind dadurch gekennzeich�

net� da entweder die L�osung nicht eindeutig ist oder da die Formulierung

des Problems keinen Aufschlu dar�uber gibt� ob es �uberhaupt eine L�osung

gibt�

�Vergleiche hierzu auch die �Ubersichten im Anhang E und im Anhang F��Eine M�oglichkeit zur Klassi�zierung von mathematischen Problemen �ndet man im

Kapitel � Alle zuvor genannten Problemtypen werden hier erl�autert�

KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN

Um den Sch�ulern eine Auswahl von Problemen aus unterschiedlichen Berei�

chen der Mathematik anbieten zu k�onnen� wurden jeweils drei bzw� vier der

sechs f�ur die empirische Untersuchung zur Verf�ugung stehenden Probleme als

eine Geschichte �uber einen Kindergeburtstag zu einem Arbeitsbogen zusam�

mengefa t�� Durch die Formulierung als Geschichte sollten sich die Sch�uler

besser in die in den Problemen beschriebenen Situationen versetzen k�onnen�

dar�uber hinaus sollte ihr Interesse an den Problemstellungen geweckt und

ihre Motivation zu deren Bearbeitung so erh�oht werden�

�� Der Arbeitsbogen

Bei der Erstellung des Arbeitsbogens wurde bewu t auf ein gesondertes Deck�

blatt mit konkreten Arbeitsanweisungen verzichtet� da man in der Praxis

auch nur selten Probleml�osungen von Sch�ulern erhalten wird� die nach einem

vorgegebenen Schema bearbeitet worden sind� Vielmehr m�ussen schwer nach�

vollziehbare Gedanken und Bearbeitungsschritte beurteilt werden� Anstelle

dessen wurden Tips zur Vorgehensweise � als Folie an die Wand projiziert� die

den Sch�ulern� insbesondere denjenigen� welche bisher noch keine Erfahrungen

mit dem Probleml�osen hatten� bei der Bearbeitung helfen sollten�

Am Anfang des Arbeitsbogens befanden sich vier o�ene Felder f�ur pers�onli�

che Angaben� Vorname �mit Geschlecht� sofern dieses aus dem Vornamen

nicht eindeutig hervorgeht�� Schule� Datum und Klasse� diese Felder sollten

von den Sch�ulern direkt nach dem Erhalt des Bogens ausgef�ullt werden� Vor

den eigentlichen Problemstellungen wurde zun�achst eine kurze� allgemeine

Einleitung in die Situation gegeben��Sascha hat Geburtstag Zu der Ge�

burtstagsfeier sind Tim� Eike� Andrea und Manu eingeladen Hieran schlos�

sen sich drei bzw� vier unterschiedliche Probleml�oseaufgaben an� Es wurde

viel Wert auf eine ansprechende Gestaltung des Arbeitsbogens gelegt� hierzu

z�ahlten insbesondere leicht verst�andliche� freundliche und einladende For�

mulierungen sowie das Integrieren motivierender Bilder und Zeichnungen in

einige Problemstellungen�

�Eine Beschr�ankung auf drei bzw� vier Probleme pro Arbeitsbogen ist deswegen vorge�nommen worden� da ein Teil der Sch�uler bei einem Arbeitsbogen� der alle sechs Problemeumfa�t� m�oglicherweise versucht h�atte� alle diese Problemstellungen zu l�osen� Somit w�areeventuell nicht ausreichend Zeit f�ur eine intensive Auseinandersetzung mit jedem einzelnenProblem vorhanden gewesen und die Bearbeitungsqualit�at h�atte darunter leiden k�onnenoder der f�ur eine Unterrichtsstunde sehr umfangreich erscheinende Arbeitsumfang h�attedirekt zu einer Bearbeitungsunlust bei den Sch�ulern f�uhren k�onnen�

�Durch diese Formulierung habe ich versucht� die Bearbeitung der Probleme des Ar�beitsbogens von Klassenarbeiten abzugrenzen� zur Folie selbst vergleiche Anhang D�

�Das genaue Lesen und das Verstehen dieser Einleitung war f�ur die Bearbeitung ver�schiedener Probleme des Arbeitsbogens notwendig�


�� Die Problemstellungen

Die nachfolgend vorgestellten Problemstellungen entstanden im wesentlichen

durch Anregungen aus den B�uchern Hexeneinmaleins� kreativ mathematisch

denken von Mason �vgl� �Mason�� und How to evaluate progress in problem

solving von Charles� Lester und O�Da�er �vgl� �Charles u�a�� sowie aus der

Dissertation von Zielinski �vgl� �Zielinski�� Alle Problemstellungen sowie

ihre wichtigsten Charakteristiken sind auch noch einmal im Anhang E bzw�

im Anhang F dargestellt�

�� Das Hallo�Problem

Ausgehend von der Vermutung� da die meisten Sch�uler die Probleme der

Reihe nach l�osen w�urden� obwohl dieses gerade ausdr�ucklich nicht gefordert

war� sollte die erste und auf allen Arbeitsb�ogen aufgef�uhrte Problemstellung

den Sch�ulern eventuelle Ber�uhrungs�angste mit unbekannten Aufgabenstel�

lungen nehmen� erste Anfangsschwierigkeiten bei der Bearbeitung des Ar�

beitsbogens abbauen sowie ihr Interesse f�ur die weitere Bearbeitung der ande�

ren Probleme wecken� Wichtig war daher auch ein relativ geringer Schwierig�

keitsgrad� Ausgew�ahlt wurde das folgende kombinatorische Proze problem�

Saschas G�aste kommen zusammen an Jeder begr�u�t jeden mit einem lauten

HALLO Wieviele HALLOs waren insgesamt zu h�oren�

HALLO

HALLO

Vor der Bearbeitung dieses ersten Problems war es erforderlich� die kurze

Einleitung in die Situation am Anfang des Arbeitsbogens zu lesen und zu

verstehen �vgl� hierzu Abschnitt �� Mit Hilfe dieses Problems konnte

festgestellt werden� inwieweit dieses wirklich geschehen war� Um diese erste

Problemstellung interessant zu gestalten� sind unter dem Text zwei gro e

Sprechblasen mit dem Inhalt HALLO � platziert worden� Es handelt sich

bei diesem Problem um eine konvergente und geschlossene Problemstellung�

�Das Wort HALLO wirkt einladend und regt zu einer ersten Aktivit�at� z�B� dem Aus�malen der Sprechblasen oder dem Malen weiterer Sprechblasen� an und damit zu einerAuseinandersetzung mit dem gesamten Problem�


Das Ziel� n�amlich die Anzahl der HALLOs zu bestimmen� wird durch die

ausformulierte Fragestellung klar vorgegeben� Dieses Problem hat nur eine

einzige L�osung� zwanzig HALLOs� Zur L�osungs�ndung bieten sich neben

den herk�ommlichen algebraischen Methoden auch kombinatorische Methoden

an� Vor allem das Zeichnen eines Graphen und das Erstellen einer Tabelle

bzw� einer geordneten Liste sind Strategien� die zur L�osungs�ndung beitragen

k�onnen� Das Schach�Club�Problem von Charles und Lester lieferte die Idee

zur Entwicklung des Hallo�Problems �vgl� hierzu �Charles�Lester�� S� ��

�� Das Bonbon�Problem

Die Kinder haben�Schi�e versenken gespielt Anschlie�end kommt die Mut�

ter von Sascha mit � Bonbons und verteilt diese an die f�unf Kinder als Preise

f�ur das Spiel

Der Verlierer bekommt zum Trost als F�unfter nur wenige Bonbons

Der Vierte bekommt schon � Bonbons mehr als der F�unfte Der Dritte be�

kommt � Bonbons mehr als der Vierte Der Zweite bekommt � Bonbons mehr

als der Dritte und der Erste noch � Bonbons mehr als der Zweite

Wieviele Bonbons hat der Verlierer zum Trost bekommen�

Das Bonbon�Problem geh�ort in die Klasse der algebraischen Proze proble�

me� Genau wie das Hallo�Problem ist das Bonbon�Problem ein konvergentes

Problem� welches im allgemeinen algorithmisch gel�ost werden kann� sowie ein

geschlossenes Problem� Durch die Problemstellung selbst sind alle zur L�osung

erforderlichen Daten gegeben und die Fragestellung ist klar formuliert� Die

Schwierigkeit besteht nicht in der Suche nach dem Unbekannten� Vielmehr

liefert die Problemstellung eine Vielzahl von Daten �� Bonbons� f�unf Kinder�

jeweils zwei Bonbons mehr�� welche erkannt und verstanden werden m�ussen�

Erst nach diesem Schritt kann das Problem mittels unterschiedlicher Ans�atze

erfolgreich gel�ost werden� Zu den m�oglichen L�osungsmethoden z�ahlt hier ins�

besondere das systematische Probieren� Man beginnt mit einer vermuteten

Anzahl von Bonbons f�ur den F�unften und addiert f�ur den Vierten� Dritten�

Zweiten und Ersten jeweils zwei Bonbons zum Wert des Vorg�angers� Wenn

diese Folge f�unf Glieder hat� wird die Summe berechnet� Ist die Summe un�

gleich �� so mu der Anfangswert entsprechend nach oben oder nach unten

korrigiert werden� Hierdurch �ndet man schlie lich das korrekte Ergebnis

von drei Bonbons f�ur den Verlierer� Zur L�osung dieses Problems eignen sich

dar�uber hinaus noch als algebraische Methoden das Ausgleichsverfahren und

KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN

das Separationsverfahren�� Beim Ausgleichsverfahren wird� unbeachtet des

Zuwachses� ein Mittelwert durch �� f�ur den Dritten berechnet und

hiervon ausgehend werden die Bonbonmengen f�ur die anderen vier Pl�atze

durch Addition bzw� Subtraktion von jeweils zwei Bonbons ermittelt�

Das Bonbon�Problem ist in Anlehnung an das Fisch�Problem von Zielinski

entwickelt worden �vgl� �Zielinski�� S� �� Dieses Problem ist nicht auf

allen Arbeitsb�ogen gestellt worden� auf einem Teil der Arbeitsb�ogen ist es

durch das M�uhle�Problem ersetzt worden�

�� Das M�uhle�Problem

Im Gegensatz zu den beiden bisher vorgestellten Problemen ist das M�uhle�

Problem nun ein divergentes� kombinatorisches Proze problem� zu dessen

L�osung kreatives Denken erforderlich ist� Dieses Problem hat eine Vielzahl

von unterschiedlichen L�osungen� Wie alle im Rahmen der empirischen Unter�

suchung verwendeten Problemstellungen ist es aufgrund der ausformulierten

Frage geschlossen�

Sascha m�ochte mit den Kindern M�uhle spielen Dazu legt er seine � M�uhlebret�

ter auf den Tisch Jeder soll einmal mit jedem anderen spielen

Manu m�ochte� da� alle diese Spiele so schnell wie m�oglich gespielt werden

Die Kinder stellen dazu gemeinsam einen Plan auf� auf dem steht� wer gegen

wen spielt und welche Spiele gleichzeitig statt�nden k�onnen

Wie w�urde dein Plan aussehen�

Bei der Bearbeitung dieses Problems kann ein R�uckblick auf das Hallo�

Problem helfen� So konnten die Sch�uler hierdurch erkennen� da den beiden

�Hallos� zweier Kinder bei diesem Problem genau eine Spielpaarung ent�

spricht� Zum Verstehen des Problems geh�ort es auch zu erkennen� da an

genau zwei M�uhlebrettern gleichzeitig gespielt werden kann und mu � Wenn

das Problem selbst verstanden worden ist� besteht � neben der eventuellen

Ermittlung aller zehn m�oglichen Spielpaarungen � die haupts�achliche Schwie�

rigkeit darin� die zehn Spielpaarungen so anzuordnen� da ein und dieselbe

Person nicht an zwei verschiedenen M�uhlebrettern gleichzeitig spielt� F�ur

diese Anordnung gibt es unterschiedliche M�oglichkeiten� systematisches Pro�

bieren anhand einer Liste mit allen zehn Spielpaarungen ist ein Weg zur

L�osungs�ndung� Bewu t wurde die Formulierung� M�uhlebretter� gew�ahlt�

�Bei Zielinski werden diese L�osungsans�atze anhand des sogenannten�Fisch�Problems�

detailliert erl�autert� vgl� �Zielinski�� S� ��

KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN ��

obwohl dieses mehr Bretter sind� als es �uberhaupt Kinder auf der Geburts�

tagsfeier gibt� Hierdurch wurde vermieden� auf die f�ur die korrekte Verteilung

der einzelnen Spiele notwendigen zwei M�uhlebretter hinzuweisen� weil diese

Erkenntnis bereits einen entscheidenden Schritt zur L�osung des Problems

darstellt�

Die Idee zu dieser Probleml�oseaufgabe lieferte ebenfalls das Schach�Club�

Problem von Charles und Lester �vgl� hierzu �Charles�Lester�� S� �f�� Da

f�ur die Bearbeitung des M�uhle�Problems neben komplexen Denkstrukturen

in der Regel auch ein gr�o erer Zeitaufwand erforderlich ist� wurde dieses

Problem ausschlie lich in der sechsten Jahrgangsstufe gestellt�

�� Das W�urfel�Problem

Als Ausgangspunkt f�ur das W�urfel�Problem diente kein vergleichbares Prob�

lem aus der Literatur� es ist speziell f�ur die empirische Untersuchung ent�

wickelt worden�

Die Kinder spielen nun ein W�urfelspiel Jeder darf mit � gleichen W�urfeln

gleichzeitig w�urfeln Weil Sascha den �� Geburtstag feiert� bekommt derje�

nige� der eine Augensumme von �� w�urfelt� einen Punkt

Eike beginnt Andrea ruft��Deine Augensumme ist �� Du bekommst einen

Punkt�

K�onnten auch andere Augen als dreimal die Vier bei einer Augensumme von

�� oben gewesen sein� Wenn ja� welche�

Das W�urfel�Problem ist ein divergentes� kombinatorisches Problem� bei des�

sen L�osung ein gewisses Ma an Kreativit�at vom Probleml�oser gefordert wird�

Zwar ist die L�osungsmenge durch die Problemstellung eindeutig festgelegt�


somit liegt wieder ein geschlossenes Problem vor� aber aus der Formulie�

rung geht nicht hervor� ob diese Menge au er dem Beispielwurf �� noch

andere Elemente enth�alt� Bei der n�aheren Betrachtung des Problems stellt

man fest� da insgesamt noch f�unf andere W�urfe mit einer Augensumme von

zw�olf m�oglich sind� �� und �� Um den Sch�ulern

verst�andlich zu machen� da die Reihenfolge� in welcher die W�urfel liegen�

ohne Bedeutung ist� wurde die Formulierung�mit � gleichen W�urfeln gleich�

zeitig� gew�ahlt� Dieses Problem kann z�B� graphisch durch das Zeichnen der

m�oglichen W�urfe oder algebraisch gel�ost werden� indem alle Zerlegungen der

Zahl �� in eine Summe aus drei Summanden gesucht werden�

�� Das Tier�Problem

Auf den Arbeitsb�ogen� welche nicht das W�urfel�Problem beinhalteten� war

an dieser Stelle das Tier�Problem formuliert� Als Grundlage f�ur die Ent�

wicklung des Tier�Problems diente ein entsprechendes Problem von Charles�

Lester und O�Da�er �vgl� �Charles u�a�� S� �� Das Tier�Problem als kon�

vergentes� algebraisches Proze problem ist dadurch gekennzeichnet� da zwei

unterschiedliche� notwendige Daten in der Problemstellung aufgef�uhrt sind

�� Tiere� � Beine� und da ebenfalls zwei Werte als L�osung gesucht werden

�Anzahl der M�ause� Anzahl der Wellensittiche��

Sascha m�ochte den anderen Kindern die Haustiere der Familie zeigen� wei�e

M�ause und Wellensittiche

Eike fragt��Wieviele Tiere hast du denn� Sascha antwortet�

�Ich habe ��

Tiere und zusammen haben sie �� Beine� Manu ruft��Ich wei�� wieviele

M�ause und Wellensittiche du hast�

Kannst du das auch ausrechnen�

Die L�osung kann beispielsweise durch systematisches Probieren erfolgen� So

kann man elf Tiere willk�urlich in M�ause und Wellensittiche aufteilen und die

Anzahl der Beine ermitteln� Ergeben sich nicht � Beine als Summe� so mu

die Aufteilung ge�andert werden� Dieses liefert schlie lich als Ergebnis sieben

M�ause und vier Wellensittiche�� Eine L�osung k�onnte selbstverst�andlich auch

algebraisch durch die L�osung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Un�

bekannten erfolgen� diese Methode ist den Sch�ulern der f�unften und sechsten

Klassen in der Regel allerdings noch nicht bekannt�

�Untersuchungen zu verschiedenen L�osungsmethoden dieses Problemtyps werden bei�spielsweise bei Zielinski anhand des Obstschalen�Problems aufgezeigt� vergleiche hierzu�Zielinski�� S� ��


�� Das Quadrate�Problem

Das folgende geometrische Quadrate�Problem ist durch Anregungen aus dem

Buch Hexeneinmaleins� kreativ mathematisch denken von Mason entstanden

�vgl� �Mason�� S� �� Es handelt sich hierbei wieder um ein geschlossenes�

konvergentes Proze problem� Allerdings ist dieses � im Gegensatz zu allen

anderen f�ur die empirische Untersuchung entwickelten Problemstellungen �

nun zweistu�g�

Andrea hat mit Holzst�aben die folgenden Figuren gelegt�

1. Figur: 1 Quadrat

2. Figur: 2 Quadrate


Sie fragt die anderen Kinder� wieviele St�abe sie wohl f�ur �� Quadrate ben�oti�

gen wird Was meinst du dazu�

Und wieviele Holzst�abe w�urde Andrea f�ur �� Quadrate ben�otigen� Begr�unde

deine Antwort ausf�uhrlich�

Das Quadrate�Problem wurde unter den folgenden Aspekten ausgew�ahlt� er�

neutes Wecken von Interesse und Motivationserh�ohung� Die gro en gezeich�

neten Quadrate sowie der dar�uberstehende Text sind zumindest zur Bearbei�

tung der ersten Fragestellung notwendig�� die Berechnung der Anzahl der

Holzst�abe f�ur zehn Quadrate� F�ur die Bearbeitung dieses ersten Teils ist si�

cherlich zun�achst eine graphische L�osung naheliegend� also das Zeichnen von

zehn Quadraten und das anschlie ende Abz�ahlen der St�abe� Dieses liefert die

korrekte Antwort von �� Holzst�aben� F�ur die weitere Bearbeitung der zwei�

ten Frage w�are es an dieser Stelle schon sinnvoll� die Anzahl auch mittels

algorithmischer Methoden zu ermitteln�

�Wenn bei diesem ersten Problemteil die Anzahl der H�olzer bereits �auch� rechnerischermittelt worden ist� dann ist f�ur die Berechnung der Anzahl der ben�otigten H�olzer f�ur Quadrate eine �Ubertragung der gefundenen Berechnungsmethode ausreichend� dieZeichnung und der zugeh�orige Text werden in diesem Fall nicht mehr zwingend ben�otigt�


F�ur die Beantwortung der zweiten Fragestellung ist ein gewisses Ma an Ab�

straktion notwendig� da sich �� Quadrate nur schwerlich zeichnen und dann

abz�ahlen lassen�� Das Erstellen einer geordneten Liste mit Eintr�agen f�ur die

Anzahl der Quadrate und die Anzahl der hierf�ur ben�otigten Holzst�abe kann

die L�osungs�ndung unterst�utzen� Man w�urde so erkennen� da f�ur das erste

Quadrat vier H�olzer und f�ur jedes weitere Quadrat noch jeweils drei H�olzer

ben�otigt w�urden� Dieses f�uhrt zu der korrekten L�osung von �� Holzst�aben

f�ur �� Quadrate� Die Arbeitsb�ogen von sechs aller dreizehn Klassen� die

an der empirischen Untersuchung teilgenommen haben� beinhalteten das

Quadrate�Problem�

�� Die Bewertungsverfahren

Die Ausf�uhrungen im Kapitel � haben gezeigt� da man in der Literatur

unterschiedliche Methoden �ndet� die zur Leistungsmessung von Sch�ulerar�

beiten im Rahmen des mathematischen Probleml�osens angewendet werden

k�onnen� Vor diesem Hintergrund werden in diesem Abschnitt zun�achst ver�

schiedene Gr�unde daf�ur diskutiert� inwieweit diese Methoden bei der Bewer�

tung der Probleml�osungen bei dieser empirischen Untersuchung Anwendung

�nden k�onnen� Hieran anschlie end werden Vor� und Nachteile spezieller Ska�

len infrage kommender Verfahren diskutiert und abschlie end werden die

Methoden und ihre zugeh�origen Skalen vorgestellt� die bei der empirischen

Untersuchung letztendlich verwendet worden sind�

�� Allgemeine �Uberlegungen

Der Kern dieser Arbeit liegt in der Untersuchung solcher Verfahren� mit de�

nen die Leistung eines Sch�ulers� die er bei der L�osung eines einzelnen mathe�

matischen Problems erbracht hat� gemessen werden soll� Aus diesem Grund

werden Verfahren� welche die globalen Probleml�osef�ahigkeiten eines Sch�ulers

ermitteln sollen� in dieser Arbeit nicht diskutiert�� Verfahren� die f�ur die

Messung einzelner Sch�ulerleistungen verwendet werden k�onnen� sind im Ka�

pitel � vorgestellt worden� Speziell waren dieses die analytische Bewertung�

die holistische Bewertung und die Bewertung des Gesamteindrucks�

��Es mu� allerdings herausgestellt werden� da� auch dieses Vorgehen eine korrekteL�osung dieses Problemteils darstellen w�urde�

��Derartige Tests �ndet man beispielsweise bei �Wearne�� oder bei�Schoen�Oehmke��


Wie schon im Kapitel � aufgezeigt wurde� weist die Methode der Bewer�

tung des Gesamteindrucks bei einer Verwendung in der Schule in der Re�

gel erhebliche Nachteile auf� Hierzu z�ahlt zun�achst die Infragestellung der

Objektivit�at� da ausschlie lich implizite Kriterien f�ur die Bewertung einer

Sch�ulerleistung verwendet werden� Weiterhin ist ein Vergleich entsprechen�

der Sch�ulerl�osungen aufgrund der nicht o�ensichtlichen Kriterien in der Regel

nur sehr eingeschr�ankt m�oglich� Schlie lich werden die individuellen St�arken

und Schw�achen eines Sch�ulers durch diese Bewertung nicht deutlich hervor�

gehoben� Hieraus folgt� da die Bewertung einer Arbeit keine Grundlage f�ur

die weitere F�orderung des Sch�ulers bilden kann� Aber genau diese Forderun�

gen sind f�ur eine angemessene Leistungsmessung unverzichtbar�� Aus diesem

Grund wird auf die Anwendung der Bewertung des Gesamteindrucks bei der

empirischen Untersuchung im Rahmen dieser Arbeit bewu t verzichtet�

Somit ergibt sich bei der Auswahl geeigneter Methoden eine Beschr�ankung

auf die analytische bzw� auf die holistische Bewertung� Bei der �Uberlegung�

welche Wertungsskalen nun genau bei der empirischen Untersuchung An�

wendung �nden sollten� standen die im Anhang aufgef�uhrten vektoriellen

und linearen Skalen zur Diskussion� In der Literatur �ndet man dar�uber

hinaus noch weitere Bewertungsskalen� welche mit Blick auf den jeweiligen

Forschungsschwerpunkt entwickelt worden sind und die sich von den oben ge�

nannten Skalen mehr oder weniger unterscheiden� Im Rahmen dieser Arbeit

erfolgt jedoch eine Beschr�ankung auf die im Anhang aufgef�uhrten Modelle�

weil es sich bei diesen gewisserma en um die�Basismodelle� bzw� Erweite�

rungen hiervon handelt�

�� Uberlegungen zu vektoriellen Skalen

Vektorielle Skalen� welche auf einem Vier�Phasen�Modell zum Probleml�osen�

z�B� dem Modell von Polya basieren� scheinen f�ur die Bewertung von Prob�

leml�osungen in der Regel ungeeignet �vgl� hierzu Kapitel �� Abschnitt ��

Das Verstehen eines Problems beein�u t die Planung einer L�osungsstrategie�

diese Planung beein�u t ihrerseits sowohl das L�osen des Problems selbst als

auch dessen Beantwortung� Es ist kaum m�oglich� die Punkte f�ur die Kate�

gorien�Verstehen� und

�Planen� unabh�angig voneinander zu vergeben� In

der Praxis w�urden diese fast immer identisch sein� da der Grad des Verste�

hens normalerweise ausgedr�uckt wird durch die Qualit�at der Planung� Aus

diesem Grund erfolgt eine Beschr�ankung auf Skalen� welche sich an dem Drei�

��Vergleiche hierzu die am Anfang des Kapitels � an eine angemessene Leistungsmessungaufgestellten Forderungen�


Phasen�Modell zum Probleml�osen von Charles und Lester orientieren �vgl�

hierzu Kapitel �� Abschnitt �� Auch bei solchen Skalen kann die eindeu�

tige Zuweisung der Punkte allerdings nicht immer einfach sein� Da die Ka�

tegorien�Verstehen� und

�L�osen� mehr oder weniger voneinander abh�angig

sind� kann sich eine Zuweisung der Punkte zu diesen beiden Kategorien als

schwierig erweisen� Zwei unterschiedliche vektorielle Skalen standen f�ur die

empirische Untersuchung zun�achst zur Diskussion�

Die erste vektorielle Skala wurde von Charles und Lester im Jahre ��

entwickelt �vgl� Anhang A� Abschnitt A�� Die Hauptidee dieser Skala ist

die Unterteilung des Probleml�osungsprozesses in die Phasen resp� Kategori�

en�Verstehen��

�L�osen� und

�Beantworten�� Jeder dieser Kategorien sind

jeweils drei unterschiedliche Kriterien zugeordnet� welche eine Arbeit aufwei�

sen kann und anhand der eine Arbeit in jeder dieser drei Kategorien getrennt

bewertet wird� Dar�uber hinaus sind bei dieser Skala alle Kategorien gleich�

gewichtet� es k�onnen � je nach L�osung � jeweils pro Kategorie null� ein oder

zwei Punkte vergeben werden� Wird neben der analytischen Bewertung eine

holistische Bewertung gew�unscht� so k�onnen die einzelnen Teilpunkte einer

Arbeit zu einer Gesamtpunktzahl addiert werden� diese liegt dann zwischen

null und sechs Punkten�

Die zweite vektorielle Skala ist eine Modi�kation der Skala von Charles und

Lester �vgl� Anhang A� Abschnitt A�� Sie gew�ahrleistet eine wesentlich

feinere Vergabe der Punkte� Die Kategorien�Verstehen� und

�L�osen� �

sie bilden bekanntlich die Kernphasen des Probleml�oseprozesses � werden

di�erenzierter betrachtet� Einer Probleml�osung kann nun in diesen beiden

Schl�usselkategorien jeweils mit Hilfe von f�unf unterschiedlichen Kriterien ei�

ne Punktzahl zwischen null und vier zugewiesen werden� Die dritte Kategorie

�Beantworten� ist nicht verfeinert worden� Hier bleibt es bei drei unterschied�

lichen Kriterien� woraus sich eine zu vergebende H�ochstpunktzahl von zwei

Punkten ergibt� Der Vorteil dieser modi�zierten Skala gegen�uber der Basis�

skala besteht darin� da die beiden entscheidenden L�osungsphasen st�arker

gewichtet sind� Nachdem ein Problem verstanden und gel�ost worden ist� ist

die Formulierung der eigentlichen Antwort keine gro e Leistung mehr� Durch

diese Modi�kation kann eine Probleml�osung nun eine holistische Gesamt�

punktzahl zwischen null und zehn Punkten erhalten�

Aufgrund dieser �Uberlegungen ist die modi�zierte Skala nach Charles und

Lester f�ur eine Probebewertung f�ur die Arbeiten von �� Sch�ulern zweier sech�

��Diese Skala ist von Zielinski im Rahmen der Untersuchungen zu seiner Dissertationentwickelt� aber anschlie�end nicht verwendet worden� Er hat seine Bewertungen schlie�lichauf der Basis einer linearen Skala durchgef�uhrt�


ster Klassen im Rahmen der Voruntersuchung ausgew�ahlt worden� Bedingt

durch die bei dieser Bewertung aufgetretenen Schwierigkeiten ist diese Skala

dann f�ur die eigentliche Hauptuntersuchung in dieser Form nicht verwendet

worden��

�� Uberlegungen zu linearen Skalen

Im Gegensatz zu den vektoriellen Skalen� bei denen der Probleml�osungspro�

ze in verschiedene Phasen unterteilt wird und die mit diesen Phasen ver�

bundenen Denkprozesse getrennt numerisch bewertet werden� bildet bei der

Leistungsmessung mittels linearer Skalen der Grad des Mathematisierungs�

prozesses� den eine Arbeit aufweist� die Grundlage f�ur den einen einzigen

numerischen Wert� der einer Arbeit nun zugewiesen wird� F�ur die empirische

Untersuchung standen vier verschiedene Modelle zur Diskussion �vgl� hierzu

Anhang B��

Im Jahre �� hat Malone ein lineares Bewertungsmodell entwickelt� bei wel�

chem eine Arbeit nach dem Grad des Mathematisierungsprozesses in Rich�

tung der L�osung beurteilt wird� Der Mathematisierungsproze ist in f�unf

Kategorien resp� Grade unterteilt� Kein Anfang ! Ann�aherung ! Wesentli�

ches ! Ergebnis ! Vollendung� Diesen Kategorien sind in dieser Reihenfolge

die Punkte von null bis vier zugeordnet� Die Verwendung dieser Skala gestal�

tet sich als schwierig� da der Mathematisierungsproze recht grob unterteilt

ist und die den einzelnen Kategorien zugeordneten Kriterien wenig ausf�uhr�

lich angegeben sind� Gerade f�ur Personen� die sich nicht mit der Problematik

der Bewertung von Probleml�osungen eingehend auseinandergesetzt haben�

ist diese Skala eher ungeeignet�

Die Skala von Woods ist der Skala von Malone sehr �ahnlich� auch sie beruht

auf der Beurteilung des L�osungsstadiums der Arbeit� Diese Skala hat sechs

Stufen� Die Punktzahl� die einer Arbeit zugewiesen werden kann� betr�agt

hierbei allerdings zwischen null und zehn� da zwischen den einzelnen Stufen

eine Di�erenz von jeweils zwei Punkten liegt� Auch mit dieser Skala ist es

nicht m�oglich� Nuancen im Mathematisierungsproze herauszustellen� Diese�Uberlegungen f�uhrten Zielinski auf die Entwicklung seiner Skala� welche eine

Verfeinerung der Skala von Woods darstellt� Den bei Woods nicht vergebe�

nen Punktzahlen wurden weitere Kriterien des Mathematisierungsprozesses

zugeordnet�

��Die genauen �Uberlegungen� die zu einer Verwerfung bzw� zu einer Modi�zierung dieserSkala gef�uhrt haben� sind im n�achsten Kapitel aufgef�uhrt�


Als vierte und letzte Skala stand noch die lineare Skala von Charles und

Lester zur Diskussion� Da diese den Mathematisierungsproze aber auch nur

sehr grob untergliedert � genau wie bei der Skala von Malone erfolgt hier

eine Einteilung in f�unf Stufen � erschien diese Methode anfangs ebenfalls f�ur

die empirische Untersuchung als unpassend� Jeder einzelnen Kategorie sind

jeweils sehr viele unterschiedliche Kriterien zugeordnet� von denen die Arbeit

aber jeweils zum Erreichen der zugeh�origen Punktzahl nur eines erf�ullen mu �

Hieraus kann eine gewisse Un�ubersichtlichkeit bei der Bewertung und m�ogli�

cherweise das Zuweisen einer falschen Punktzahl resultieren� Ein weiterer

Aspekt� der gegen die Anwendung dieser Skala sprach� war die Tatsache� da

bei dieser Skala auch dann vier Punkte vergeben werden� wenn das Ender�

gebnis bei einer richtigen L�osungsstrategie bedingt durch Rechenfehler falsch

ist� Unstimmigkeiten mit der anfangs ausgew�ahlten vektoriellen Skala w�aren

unabdingbar�

Alle diese Argumente f�uhrten zun�achst zu einer Favorisierung der Skala von

Zielinski� Anhand einer Voruntersuchung resp� einer Bewertung der L�osun�

gen von �� Sch�ulern zweier sechster Klassen hat sich jedoch gezeigt� da sich

bei der Bewertung anhand dieser Skala gewisse Unstimmigkeiten ergeben

k�onnen� Aus diesem Grund ist auf der Basis der linearen Skala von Charles

und Lester und unter Ber�ucksichtigung der Skala von Zielinski eine neunstu�

�ge lineare Skala neu entwickelt worden� welche im Rahmen der empirischen

Untersuchung verwendet worden ist��

�� Die Skalen der empirischen Untersuchung

In diesem Abschnitt werden diejenigen Skalen� die bei der empirischen Un�

tersuchung letztendlich verwendet worden sind� noch einmal ausf�uhrlich dar�

gestellt� Die Skalen selbst sind im Anhang C aufgef�uhrt�

�� Die vektorielle Skala

Die im Rahmen der empirischen Untersuchung zur Bewertung der Sch�uler�

arbeiten verwendete vektorielle Skala ist auf der Basis der linearen Skala von

Charles und Lester entwickelt worden� Hierdurch sind zun�achst die Phasen

��A� Verstehen des Problems��

��B� L�osen des Problems� und

��C� Beant�

worten des Problems� festgelegt worden�� Bei der Skala von Charles und

��Im n�achsten Kapitel wird hierauf noch einmal detailliert eingegangen��Auf zus�atzliche Kategorien� die sich nicht direkt aus dem Probleml�osungsproze� erge�

ben� wurde im Hinblick auf den erforderlichen Vergleich der beiden Skalentypen verzichtet�


Lester waren alle drei Kategorien mit Punkten jeweils zwischen null und

zwei gleichgewichtet� Da jedoch das Verstehen eines Problems und das L�osen

eines Problems zu den Schl�usselphasen des Probleml�oseprozesses geh�oren� ist

die Maximalpunktzahl in diesen beiden Kategorien jeweils auf drei Punkte

erh�oht worden� Bei der Kategorie�Beantworten� ist eine Maximalpunktzahl

von zwei Punkten beibehalten worden� da die abschlie ende Formulierung

einer Antwort gegen�uber dem Verstehen und dem L�osen eines Problems ei�

ner deutlich geringeren Leistung entspricht� Den einzelnen Punktzahlen aller

Kategorien sind anschlie end die Kriterien in Anlehnung an die Skala von

Charles und Lester und mit Blick auf die modi�zierte Skala nach Charles

und Lester zugeordnet worden� Zus�atzlich sind diese bei allen drei Kategori�

en noch verfeinert worden�

�� Die lineare Skala

Die im Rahmen der empirischen Untersuchung bei der Bewertung der Sch�uler�

arbeiten verwendete lineare Skala ist auf der Basis der linearen Skala von

Charles und Lester und unter Miteinbeziehung der Skala von Zielinski ent�

wickelt worden� Als neunstu�ge Skala kann einer Arbeit bei ihrer Verwendung

somit ein Wert zwischen null und acht Punkten zugewiesen werden� Bei dieser

Skala bestimmt der Fortschritt im Mathematisierungsproze � den eine Arbeit

aufweist� die Zuordnung dieser Arbeit zu der entsprechenden Kategorie bzw�

die Zuweisung der sich hierdurch ergebenden Punktzahl�

Die neun Kategorien selbst lassen sich noch einmal mit Blick auf den Fort�

schritt im Mathematisierungsproze drei verschiedenen Dachkategorien zu�

ordnen� Arbeiten� die der unteren Dachkategorie I �null bis zwei Punkte�

zugewiesen werden� zeigen � wenn �uberhaupt � h�ochstens einen unklaren

L�osungsversuch� aber noch kein echtes Verst�andnis f�ur das Problem� Arbei�

ten� die der mittleren Dachkategorie II �drei bis f�unf Punkte� zugewiesen

werden� zeigen bereits ein gewisses oder ein deutliches Verst�andnis f�ur das

Problem� aber entweder ist das L�osungsverfahren nur teilweise f�ur die L�osung

des Problems geeignet oder trotz eines geeigneten L�osungsverfahrens kommt

es zu einer falschen Weiterentwicklung oder zu einem Abbruch bei der Bear�

beitung� Bei allen Arbeiten� die der oberen Dachkategorie III �sechs bis acht

Punkte� zugewiesen werden� wird stets ein geeignetes L�osungsverfahren ver�

wendet� Sofern diese Arbeiten nicht eine absolut fehlerfreie L�osung sowie eine

korrekte und vollst�andige Antwort zeigen� haben sie h�ochstens kleine Fehler�

wie �Ubertragungsfehler oder Rechenfehler� oder die Formulierung der Ant�

wort ist � bedingt durch diese Fehler oder aus nicht ersichtlichen Gr�unden �

falsch� nicht vollst�andig oder fehlt g�anzlich�

Kapitel �

Die Rahmenbedingungen der

empirischen Untersuchung und

deren praktische Umsetzung

Im vorangegangenen Kapitel sind s�amtliche Grundlagen der empirischen Un�

tersuchung vorgestellt worden� Speziell geh�orten dazu die Konzipierung der

Problemstellungen und das Erstellen der Arbeitsb�ogen sowie die Auswahl

und die Entwicklung geeigneter Bewertungsskalen� Im ersten Abschnitt die�

ses Kapitels werden nun die Rahmenbedingungen der empirischen Untersu�

chung f�ur den Erhalt der Probleml�osungen dargelegt� Im einzelnen sind dieses

die Auswahl der Schulen und Klassen sowie die theoretische Situation in den

Klassen w�ahrend der Bearbeitung der Problemstellungen� Die Rahmenbe�

dingungen f�ur die Bewertung der erhaltenen L�osungen werden im zweiten

Abschnitt dieses Kapitels vorgestellt� Zum Abschlu erfolgt eine kurze Be�

schreibung der praktischen Umsetzung der empirischen Untersuchung�

�� Die Probleml�osungen� Rahmenbedingun�

gen

Zu Beginn dieses Abschnitts wird dargelegt� unter welchen Voraussetzungen

die Schulklassen ausgew�ahlt worden sind� Hierbei wird speziell eingegangen

auf die Art der Schule� die Ans�assigkeit der Schule sowie auf die ausgew�ahlten

Klassenstufen� Hieran anschlie end werden die Bedingungen in den Klassen

selbst vorgestellt� unter denen die Untersuchung durchgef�uhrt worden ist�

�

KAPITEL � RAHMENBEDINGUNGEN UND UMSETZUNG ��

�� Die Auswahl geeigneter Schulklassen

Das grundlegende Ziel war es zun�achst� eine m�oglichst gro e Anzahl ver�

schiedener Sch�ulerl�osungen zu den einzelnen Problemen zu erhalten� Nur so

w�urden die ermittelten Auswertungsergebnisse sp�ater allgemein verwendbare

Resultate liefern� Es erfolgte eine Beschr�ankung auf vier Gymnasien aus der

Rhein�Ruhr�Region� weil man von den Sch�ulern dieser Schulform in der Re�

gel h�ohere Leistungen in der Mathematik bzw� generell ein gr�o eres Interesse

f�ur die Mathematik und deren komplexe Zusammenh�ange erwarten darf als

beispielsweise von Haupt� oder Realsch�ulern�

Es handelte sich hierbei zun�achst um eine pers�onliche Einsch�atzung� die nicht

auf einer speziellen wissenschaftlichen Arbeit basiert� Im Prinzip wird diese

pers�onliche Einsch�atzung bez�uglich der f�unften und sechsten Klassen aber

durch die Untersuchungen von Baumert u�a� im Rahmen der�Dritten In�

ternationalen Mathematik� und Naturwissenschaftsstudie �TIMSS�� bei den

siebten und achten Jahrgangsstufen bekr�aftigt �vgl� hierzu Abschnitt � in

�Baumert u�a�� S� �� Sowohl bei der Untersuchung der kognitiven

Grundf�ahigkeiten am Ende der siebten Jahrgangsstufe �vgl� �Baumert u�a��

S� �� als auch bei der Untersuchung der Mathematikleistungen am

Ende der achten Jahrgangsstufe �vgl� �Baumert u�a�� S� �� hat sich

gezeigt� da die kognitiven Grundf�ahigkeiten bzw� die Mathematikleistungen

von Hauptsch�ulern in der Regel unter denen der Realsch�uler lagen und diese

ihrerseits unter denen der Gymnasiasten� Inwieweit sich diese Untersuchungs�

ergebnisse auf die f�unften und sechsten Jahrgangsstufen �ubertragen lassen�

kann nicht konkret gesagt werden� Bez�uglich der Leistungsdi�erenzen von

Hauptsch�ulern� Realsch�ulern und Gymnasiasten allgemein schreibt Baumert

jedoch��Denn generell gilt� Leistungsdi�erenzen zwischen den Schulformen

nehmen im Laufe der Schulzeit in von Fach zu Fach unterschiedlichem Aus�

ma zu� niemals jedoch ab� �Baumert u�a�� S� �� Eine Beschr�ankung

der Untersuchung allein auf Gymnasien sollte somit dazu dienen� den Erhalt

von vielen unbearbeiteten � und somit f�ur die Bewertung mehr oder weniger

unbrauchbaren � Probleml�osungen zu vermeiden�

Eine Auswahl mehrerer Schulen war aus zwei Gesichtspunkten notwendig�

Zun�achst ist das mathematische Vorwissen von Sch�ulern verschiedener Schu�

len zu einem bestimmten Zeitpunkt normalerweise unterschiedlich und auch

nicht eindeutig festzulegen� da der Unterrichtssto� � abh�angig von der jeweili�

gen Schule � einerseits verschiedenartig� andererseits aber auch in einer unter�

schiedlichen Reihenfolge vermittelt werden kann� Zum zweiten haben sich die

Untersuchungen in den Schulen �uber unterschiedlich lange Zeitr�aume hinge�

zogen und somit kann es zu einem Informationsaustausch zwischen Sch�ulern


verschiedener Klassen einer Schule gekommen sein� Es l�a t sich daher ver�

muten� da einzelnen Sch�ulern die Problemstellungen durch Gespr�ache mit

Mitsch�ulern aus Parallelklassen bereits im Vorhinein bekannt gewesen sind�

Ein weiteres Kriterium war die Wahl der Klassenstufen� Die Entwicklung

der Problemstellungen ist den Unterrichtsinhalten der f�unften und sechsten

Klassen angepa t worden� Als Konsequenz hieraus konnten auch nur diese

beiden Klassenstufen f�ur die empirische Untersuchung in Betracht kommen�

Die Klassen selbst sind nach keinem festgelegten Schema ausgew�ahlt worden�

die Notwendigkeit� eine Vielzahl verschiedener Probleml�osungen zu erhalten�

stand stets im Vordergrund� S�amtliche Unterrichtsstunden� die mir von Seiten

der Schulen f�ur die Untersuchung zur Verf�ugung gestellt worden sind� wurden

f�ur die Bearbeitung der Arbeitsb�ogen durch Sch�uler genutzt�

�� Die Situation bei der L�osung der Probleme

In den einzelnen Schulen haben sich unterschiedliche Situationen bei der

L�osung der Problemstellungen ergeben� Im Gymnasium LF sind die Ar�

beitsb�ogen im Rahmen von Vertretungsstunden bearbeitet worden� hierbei

sind die Sch�uler allein durch mich beaufsichtigt worden� Im Gymnasium RD

�el die Bearbeitung auch in Vertretungsstunden� allerdings war hier allein

der zust�andige Vertretungslehrer in den Klassen anwesend� In den Gymnasi�

en MG und SB sind die Arbeitsb�ogen im Rahmen des normalen Mathema�

tikunterrichts ausgeteilt und von den Sch�ulern bearbeitet worden� In diesem

Fall waren sowohl der zust�andige Fachlehrer als auch ich w�ahrend der gesam�

ten Bearbeitungszeit anwesend� In diesem Zusammenhang ist festzuhalten�

da die Motivation der Sch�uler zur Bearbeitung der Probleme in den Ver�

tretungsstunden in der Regel sehr viel geringer war als bei der Bearbeitung

w�ahrend des Mathematikunterrichts��

Zu Beginn der Unterrichtsstunde ist die Folie Tips zur Vorgehensweise � an

die Wand projiziert und einmal laut vorgelesen worden� w�ahrend der gesam�

ten Bearbeitungszeit blieb sie dar�uber hinaus an die Wand projiziert und

somit f�ur die Sch�uler lesbar� Im Anschlu hieran� d�h� unmittelbar vor der

eigentlichen Bearbeitung� haben die Sch�uler die Arbeitsb�ogen erhalten� Auch

den Lehrern waren die Problemstellungen bis zu diesem Zeitpunkt in der Re�

gel nicht bekannt� F�ur die Bearbeitung des Arbeitsbogens stand der Rest der

�Hierzu ein Zitat eines Sch�ulers��Wir d�urfen in den Vertretungsstunden immer unsere

Hausaufgaben machen und m�ussen nicht so etwas machen��Die Folie ist im Anhang D aufgef�uhrt�


Unterrichtsstunde zur Verf�ugung� Eine vollst�andige Bearbeitung aller Prob�

lemstellungen war nicht gefordert� Jeder Sch�uler sollte das bearbeiten� was

ihm am interessantesten bzw� am einfachsten erschien� R�uckfragen an die

Beaufsichtigungspersonen sollten nach M�oglichkeit vermieden werden� eben�

so Gespr�ache mit Platznachbarn��

Zur Vermeidung von Leistungsdruck und als klare Abgrenzung zu einer Klas�

senarbeit wurden die Sch�uler gebeten� auf den Arbeitsb�ogen nur ihren Vorna�

men �gegebenenfalls mit Geschlecht�� die Klasse und die Schule zu vermerken�

�� Die Bewertung� Rahmenbedingungen

F�ur eine repr�asentative Untersuchung ist die Bewertung der Sch�ulerl�osun�

gen durch eine einzige Person nicht ausreichend� Vielmehr ist es erforderlich�

da alle L�osungen durch mindestens zwei voneinander unabh�angige Personen

bewertet werden� welche nach M�oglichkeit noch �uber keine gro en Erfahrun�

gen bei der Bewertung von Probleml�osungen verf�ugen bzw� welche mit den

hierbei m�oglicherweise auftretenden Schwierigkeiten noch nicht sehr vertraut

sind� Nur so kann man davon ausgehen� da die Bewertungsergebnisse re�

pr�asentativen Charakter aufweisen� Zur Vermeidung von Verf�alschungen der

Bewertungsergebnisse sollten sich die Bewertenden nach M�oglichkeit nicht

untereinander �uber eventuell auftretende Schwierigkeiten bei der Bewertung

der Probleml�osungen austauschen�

�� Die Umsetzung

Zum Ende dieses Kapitels wird in diesem Abschnitt noch dargelegt� wie die

praktische Umsetzung der empirischen Untersuchung in den Schulen sowie

bei der Bewertung erfolgt ist� Zus�atzlich werden die Erkenntnisse der Vor�

untersuchung aufgezeigt� die zur Notwendigkeit der Verwendung selbst ent�

wickelter Bewertungsskalen gef�uhrt haben�

�Gerade diese Forderung hat sich in verschiedenen f�unften Klassen als sehr schwierigerwiesen� Im Rahmen der Freiarbeit werden die Sch�uler zu Diskussionen mit Mitsch�ulernangeregt� und o�ensichtlich wurde die Bearbeitung der Problemstellungen von verschiede�nen Sch�ulern wie Freiarbeit angesehen�


�� Die Umsetzung in den Schulen

�Uber einen Zeitraum von etwa f�unf Monaten sind die Arbeitsb�ogen von

Sch�ulern der Klassenstufen f�unf und sechs aus vier unterschiedlichen Gym�

nasien der Rhein�Ruhr�Region unter unterschiedlichen Rahmenbedingungen�

bearbeitet worden� Insgesamt ergab sich hieraus eine Anzahl von �� bear�

beiteten Arbeitsb�ogen� In der Tabelle �� sind f�ur jede Klasse� die an der

Untersuchung teilgenommen hat� neben der gesamten Klassenst�arke auch

die Anteile der weiblichen und m�annlichen Sch�uler aufgef�uhrt�

Gymnasium Klasse Sch�uler Sch�uler Sch�uler

gesamt weiblich m�annlich

LF � A ��

LF A ��

MG A ��

MG B � ��

RD � A ��

RD � B ��

RD � C ��

RD A � ��

RD B � � ��

RD C ��

SB A � ��

SB C ��

SB D ��

gesamt ��

Tabelle �� Die Zusammensetzung der Schulklassen� diean der empirischen Untersuchung teilgenommen haben

Wie bereits im Abschnitt �� dargelegt worden ist� gab es bez�uglich der Be�

arbeitungssituationen zwischen den vier Gymnasien deutliche Unterschiede�

Da im Gymnasium LF die Problemstellungen ausschlie lich in Vertretungs�

stunden bearbeitet wurden� war die Motivation der Sch�uler zur Mitarbeit

entsprechend geringer� In den anderen drei Schulen sind die Arbeitsb�ogen

unter Mitaufsicht bzw� alleiniger Aufsicht eines Lehrers bearbeitet worden�

hier waren Motivation und Disziplin der Sch�uler deutlich h�oher� In den Gym�

nasien LF� MG und SB habe ich nach einer kurzen Vorstellung meiner Person

� Vergleiche hierzu auch Abschnitt ��


und der Darstellung meines Anliegens die Folie mit den Tips zur Vorgehens�

weise aufgelegt und diese den Sch�ulern einmal laut vorgelesen� Mit der Bitte�

zun�achst den Vornamen� die Klasse und die Schule auf dem Arbeitsbogen zu

vermerken und dann mit der Bearbeitung zu beginnen� sind die Arbeitsb�ogen

sowie zus�atzliches kariertes Papier an alle Sch�uler ausgeteilt worden� F�ur die

Bearbeitung standen jeweils zwischen �� und �� Minuten� d�h� der Rest der

noch verbleibenden Unterrichtsstunde� zur Verf�ugung� Fragen zum Verst�and�

nis der Probleme� �uber m�ogliche L�osungswege etc� sind nicht beantwortet

worden� �Uber die Umsetzung der Untersuchung im Gymnasium RD k�onnen

diesbez�uglich keine Angaben gemacht werden� da die Bearbeitung der Ar�

beitsb�ogen ohne meine Anwesenheit erfolgt ist� Einem Lehrer dieses Gym�

nasiums� welcher die Durchf�uhrung der Untersuchung dort organisiert und

gew�ahrleistet hat� hatte ich jedoch zuvor um Einhaltung dieser Gegebenhei�

ten gebeten�

�� Die Voruntersuchung zwei Probebewertungen

Zun�achst erfolgte eine Sortierung aller Probleml�osungen nach Schulen� Klas�

sen und Geschlecht� Im Anschlu daran sind als Voruntersuchung anhand der

modi�zierten Skala nach Charles und Lester sowie anhand der Skala von Zie�

linski zwei Probebewertungen an den L�osungen der Sch�uler aus den Klassen

MG�A und MG�B durchgef�uhrt worden� Die genauen Bewertungsergebnis�

se sind im Anhang aufgef�uhrt�

Bei der Bewertung mittels der modi�zierten� vektoriellen Skala nach Charles

und Lester sind speziell die folgenden Schwierigkeiten aufgetreten�

� Eine Unterscheidung zwischen den Kriterien�Alle wesentlichen Anga�

ben sind verstanden� �� und�Das Problem ist in allen Einzelheiten

verstanden� �� war in der Praxis nicht m�oglich�

� Der Fall� da eine Arbeit bis auf das richtige Ergebnis keine weitere

Bearbeitung aufweist� konnte nicht zufriedenstellend bewertet werden�

da bei diesem Fall nicht entschieden werden konnte� ob der Sch�uler das

Problem verstanden hat oder ob er das Ergebnis eventuell nur geraten

oder von einem anderen Mitsch�uler abgeschrieben hat�

� Bei dieser Skala wird der Fall einer v�ollig korrekten L�osung bei den

Kriterien f�ur die Phase�L�osen� nicht ber�ucksichtigt�


� Bei den Kriterien f�ur die Phase�L�osen� wird sowohl von L�osung als

auch von L�osungsverfahren gesprochen� Dieses kann zu Unstimmigkei�

ten bei der Bewertung f�uhren�

Daher schien diese Skala f�ur die endg�ultige Bewertung in dieser Form als un�

geeignet� Ausgehend von der vektoriellen Skala von Charles und Lester und

unter Miteinbeziehung der Kriterien dieser modi�zierten Skala wurde schlie �

lich eine neue vektorielle Skala mit den Kategorien�Verstehen��

�L�osen� und

�Beantworten� entwickelt� welche letztendlich f�ur die Bewertung der Sch�uler�

arbeiten angewendet worden ist�

Auch bei der Bewertung der Sch�ulerarbeiten mittels der linearen Skala von

Zielinski haben sich unterschiedliche Probleme ergeben� Unter anderem z�ahl�

ten hierzu�

� F�ur das Kriterium�keine sinnvolle Bearbeitung� werden null Punkte

vergeben� Der Fall� da eine Sch�ulerarbeit aber �uberhaupt keine Be�

arbeitung aufweist� wird gar nicht ber�ucksichtigt� Hierf�ur m�u ten auf

jeden Fall weniger Punkte vergeben werden als f�ur eine sinnlose Bear�

beitung�

� Dem Fall� da die Arbeit eine korrekte L�osung ohne Bearbeitung auf�

weist� kann nicht eindeutig eine bestimmte Punktzahl zugewiesen wer�

den�

� In dieser Skala wird von L�osungsversuchen� L�osungsverfahren und L�o�

sungsalgorithmen gesprochen� Eine gleichzeitige Verwendung aller die�

ser drei Begri�e kann zu Schwierigkeiten bei der Bewertung f�uhren�

Aufgrund dieser Fakten erschien es sinnvoll� vor der eigentlichen Bewertung

aller Sch�ulerarbeiten eine neue lineare Skala zu entwickeln� bei welcher die�

se Probleme wahrscheinlich nicht auftreten w�urden� Diese Skala ist auf der

Grundlage der linearen Skala von Charles und Lester entwickelt worden� wo�

bei den einzelnen Kategorien im ersten Schritt doppelt so viele Punkte zuge�

wiesen worden sind� d�h� am Anfang gab es f�unf Kategorien mit den Punkten

null� zwei� vier� sechs und acht� Im zweiten Schritt wurden die Kategorien zu

den Punktzahlen eins� drei� f�unf und sieben zus�atzlich festgelegt und diesen

nachfolgend entsprechende Kriterien zugewiesen� Diese Kriterien sind neu

entwickelt oder aus der davor oder dahinter liegenden Kategorie in diese Ka�

tegorie verschoben worden�

KAPITEL � RAHMENBEDINGUNGEN UND UMSETZUNG �

�� Die Umsetzung der Bewertung

Die Grundlage f�ur die Bewertung bildete einerseits die aus der vektoriellen

Skala von Charles und Lester hervorgegangene vektorielle Skala� andererseits

die aus der linearen Skala von Charles und Lester neu entwickelte lineare

Skala� Neben mir ist die Bewertung noch von einer Studentin durchgef�uhrt

worden� Diese Studentin studierte im sechsten Semester Mathematik f�ur das

Diplom II sowie Mathematik und Physik f�ur das Lehramt in der Sekun�

darstufe II� Ein Erfahrungsaustausch zwischen den beiden Bewertenden hat

w�ahrend der Bewertungsphase nicht stattgefunden�

Kapitel

Die Auswertung der

Untersuchungsdaten

Ein �Uberblick

Im Rahmen der empirischen Untersuchung haben Sch�uler aus dreizehn Klas�

sen von verschiedenen Gymnasien der Rhein�Ruhr�Region Arbeitsb�ogen mit

jeweils drei bzw� vier unterschiedlichen Probleml�oseaufgaben bearbeitet� Im

Anschlu daran sind diese L�osungen durch den Verfasser selbst sowie durch

eine Studentin jeweils mittels zweier unterschiedlicher Bewertungsverfahren

bewertet worden�� In den folgenden Kapiteln werden nun die Ergebnisse die�

ser Bewertungen dargestellt� Da jede der sechs Problemstellungen eigene�

problemspezi�sche Charakteristiken aufweist� ist es notwendig� vor einer all�

gemeinen Theoriebildung die Ergebnisse der einzelnen Bewertungen zun�achst

nach Problemen getrennt auszuwerten� In der Tabelle �� ist noch einmal zu�

sammenfassend dargestellt� wie sich die Arbeitsb�ogen der einzelnen Klassen

zusammengesetzt haben� d�h� in welcher Klasse welche Probleme gestellt wor�

den sind�

Um Antworten auf die im Kapitel � gestellten Forschungsfragen zu �nden�

werden in den sich anschlie enden sechs Kapiteln f�ur jedes Problem speziell

die folgenden klassen�ubergreifenden Vergleiche durchgef�uhrt�

� Ein Vergleich zwischen den holistischen Bewertungsergebnissen des Au�

tors und den entsprechenden Bewertungsergebnissen der Studentin�

�Mit Bewerter A bzw� Bewertung A resp� A�Bewertung seien stets der Autor bzw� seineErgebnisse gemeint� mit Bewerter B bzw� Bewertung B resp� B�Bewertung entsprechendimmer die Studentin bzw� ihre Bewertungsergebnisse�

��

KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DER DATEN �UBERBLICK ��

Klasse Probleme des Arbeitsbogens

Hallo Bonbon M�uhle W�urfel Tier Quadrate

LF��A � � � �

LF�A � � � �

MG�A � � �

MG�B � � �

RD��A � � � �

RD��B � � � �

RD��C � � � �

RD�A � � �

RD�B � � �

RD�C � � �

SB�A � � � �

SB�B � � �

SB�D � � �

Tabelle �� Die klassenspezi�sche Zusammensetzung derArbeitsb�ogen

� Ein Vergleich zwischen den analytischen Bewertungsergebnissen des

Autors und den entsprechenden Bewertungsergebnissen der Studentin�

� Ein Vergleich zwischen den beiden Bewertungsverfahren� Hierzu wer�

den einerseits die gemittelten� holistischen sowie die gemittelten und zu

einer Gesamtpunktzahl aufsummierten analytischen Bewertungsergeb�

nisse einander gegen�ubergestellt� andererseits werden Aussagen �uber

die bei beiden Verfahren �durchschnittlich� erreichten Punktzahlen ge�

tro�en�

Als Basis f�ur diese Vergleiche dienen jeweils die prozentualen Werte der Ar�

beiten� die den einzelnen Punktzahlen zugeordnet worden sind�� Die Aus�

wertung der Bewertungsergebnisse eines jeden Problems beginnt stets mit

der Zusammenfassung seiner wichtigsten Eigenschaften und einer �Ubersicht�

wieviele Sch�uler aus jeder Klasse dieses Problem bearbeitet haben� Hieran

schlie t sich der Vergleich der beiden holistischen Bewertungsergebnisse an�

�Es wird jeweils f�ur jede einzelne Arbeit eine mittlere Punktzahl aus den Ergebnis�sen der Bewertung des Autors und aus den Ergebnissen der Bewertung der Studentinberechnet�

�Wenn in den folgenden Kapiteln von Di�erenzen� Abweichungen� Unterschieden etc�zwischen den Werten gesprochen wird� so sind stets die absoluten Di�erenzen zwischenzwei prozentualen Werten gemeint� Sollte dieses einmal nicht der Fall sein� so wird daraufausdr�ucklich hingewiesen�

KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DER DATEN �UBERBLICK �

Hierzu werden einerseits die klassen�ubergreifenden Gesamtzahlen der Arbei�

ten in den drei Dachkategorien� miteinander verglichen� andererseits werden

Unterschiede zwischen den entsprechenden Gesamtzahlen der Arbeiten in

den Kategorien null bis acht aufgezeigt und m�ogliche Gr�unde f�ur eventuell

festgestellte Abweichungen diskutiert�� Der Vergleich der beiden holistischen

Bewertungsergebnisse endet jeweils mit einer Betrachtung der klassen�uber�

greifenden Mittelwerte und Standardabweichungen��

Die Auswertung der analytischen Bewertungsergebnisse erfolgt aufgrund des

der Wertungsskala zugrunde liegenden dreiphasigen Probleml�osungsmodells

getrennt nach den Kategorien resp� Phasen�Verstehen��

�L�osen� und

�Be�

antworten�� Es werden f�ur jede dieser drei Kategorien jeweils die klassen�uber�

greifenden Werte der den einzelnen Punktzahlen zugewiesenen Arbeiten bei�

der Bewertungen miteinander verglichen und m�ogliche Gr�unde f�ur festgestell�

te Di�erenzen zwischen den sich entsprechenden Werten dargelegt�� Zu jeder

Phase werden ebenfalls die Mittelwerte und die Standardabweichungen bei�

der Bewertungen angegeben� Besonderheiten bez�uglich �Ubereinstimmungen

bzw� Abweichungen werden gegebenenfalls herausgestellt� Bei allen Arbeiten

k�onnten die f�ur die drei einzelnen Phasen erreichten analytischen Punktzah�

len zu einer holistischen Gesamtsumme addiert werden� Anschlie end k�onn�

ten die so erhaltenen nun ebenfalls holistischen Ergebnisse der Bewertung A

mit denen der Bewertung B verglichen werden� Hierauf wird allerdings im

Abschnitt der Auswertung der analytischen Bewertungsergebnisse bewu t

verzichtet� da dieses Vorgehen bei einem Vergleich zwischen ausschlie lich

analytischen Bewertungsergebnissen weder notwendig noch � aufgrund der

Hauptidee der analytischen Bewertung � sinnvoll erscheint�

Hilfreich � und daher wird es auch praktiziert � ist ein entsprechendes Vorge�

�Im Abschnitt �� ist dargelegt� was eine grobe Unterteilung der Skala in drei Dachka�tegorien rechtfertigt� Die untere Dachkategorie I umfa�t die Kategorien von null bis zweiPunkten� die mittlere Dachkategorie II die Kategorien von drei bis f�unf Punkten und dieobere Dachkategorie III die Kategorien von sechs bis acht Punkten�

�Bei allen Auswertungen holistischer Bewertungsergebnisse wird davon ausgegangen�da� Abweichungen zwischen den entsprechenden Gesamtzahlen beider Bewertungen biszu etwa � � in der Regel durch Bewertungsungenauigkeiten bzw� �fehler bedingt sind�derartige Di�erenzen werden daher im Rahmen dieser Arbeit nicht n�aher analysiert�

�Auf eine ausf�uhrliche Diskussion der Mittelwerte und speziell der Standardabweichun�gen wird im Rahmen dieser Arbeit allerdings verzichtet� besondere �Ubereinstimmungenoder Abweichungen werden aber herausgestellt� Diese Vorgehensweise ist sinnvoll� da beider holistischen Bewertung maximal neun und in jeder einzelnen Phase der analytischenBewertung maximal drei bzw� vier unterschiedliche Punktzahlen vergeben werden k�onnenund daher die genauen Verteilungen der Punkte aller Arbeiten von beiden Bewertungenin den jeweiligen Tabellen klar erkennbar sind�

�Da bei dieser Auswertung die Zuweisung zu nur drei bzw� vier unterschiedlichen Punkt�zahlen untersucht wird� wird davon ausgegangen� da� Di�erenzen zwischen den sich ent�sprechenden Gesamtzahlen der Arbeiten bis zu etwa � auf Bewertungsungenauigkeitenberuhen�

KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DER DATEN �UBERBLICK �

hen bei der letzten Auswertung� die bei jedem Problem durchgef�uhrt wird� ein

Vergleich der beiden Bewertungsverfahren� Dieser Abschnitt beginnt stets mit

einer Gegen�uberstellung der holistischen und der analytischen Bewertungser�

gebnisse� Hierzu wird f�ur jede Arbeit aus den analytischen Teilpunkten� wie

zuvor erl�autert� eine einzige holistische Gesamtpunktzahl gebildet� die nun

mit den holistischen Bewertungsergebnissen verglichen werden kann� Dar�uber

hinaus wird einerseits f�ur jede der drei Probleml�osungsphasen eine Korrela�

tion zwischen allen f�ur die jeweils betrachtete Phase bei der analytischen

Bewertung erreichten Punktzahlen und allen bei der holistischen Bewertung

erreichten Punktzahlen untersucht� Andererseits werden Abh�angigkeiten zwi�

schen den f�ur die einzelnen Phasen bei der analytischen Bewertung erreichten

Punktzahlen und der durchschnittlich erreichten Punktzahl bei der holisti�

schen Bewertung analysiert� Hierdurch soll gepr�uft werden� inwieweit Bezie�

hungen zwischen den analytischen und den holistischen Punkten existieren�

Damit dieser Vergleich m�oglichst objektive Ergebnisse bringt� ist es notwen�

dig� eventuelle Fehler in beiden Bewertungen weitgehendst zu minimieren��

Daher sind f�ur jede einzelne Arbeit eines Sch�ulers sowohl gemittelte holisti�

sche als auch gemittelte analytische Bewertungsergebnisse gebildet worden�

diese dienen als Grundlage f�ur den Vergleich der beiden Bewertungsverfahren�

Die mittlere Punktzahl einer Arbeit ergibt sich f�ur die holistische Bewertung

als der Mittelwert aus dem Wert� welchen diese Arbeit bei der Bewertung

A erhalten hat� und aus dem entsprechenden Wert bei der Bewertung B�

F�ur die mittlere Punktzahl� die eine Arbeit bei der analytischen Bewertung

erh�alt� wird der Mittelwert f�ur jede einzelne L�osungsphase auf dem zuvor

erkl�arten Weg berechnet� Die f�ur den Vergleich der beiden Bewertungsme�

thoden ben�otigte holistische Gesamtpunktzahl der analytischen Bewertung

ergibt sich als die Summe der gemittelten Punkte f�ur die drei L�osungspha�

sen� Alle gemittelten Punktzahlen werden auf glatte Einerstellen gerundet�

da Punktevergaben mit Nachkommastellen in beiden Wertungsskalen nicht

vorkommen�

Die Auswertung der Bewertungsergebnisse eines jeden Problems endet schlie �

lich mit einer kurzen Zusammenfassung der wichtigsten festgestellten Ergeb�

nisse�

�Es sei an dieser Stelle vorweggenommen� da� sich bei den Vergleichen der beidenholistischen bzw� analytischen Bewertungsergebnisse Unterschiede zeigen werden� f�ur diesich au�er Bewertungsungenauigkeiten bzw� �fehlern keine anderen Ursachen �nden lassen�

Kapitel �

Die Auswertung des

HalloProblems

Zu Beginn dieses Kapitels seien noch einmal die wichtigsten Eigenschaften

dieses Problems zusammenfassend dargestellt� Das Hallo�Problem ist ein

� einstu�ges� kombinatorisches Proze problem�

� geschlossenes Problem� da alle zur L�osung erforderlichen Angaben sowie

das gesuchte Ergebnis durch die Problemstellung klar formuliert sind�

� konvergentes Problem� da zu dessen L�osung im allgemeinen konvergen�

tes Denken ausreicht�

Das Hallo�Problem� welches aufgrund seines relativ geringen Schwierigkeits�

grads und der durch die beiden Sprechblasen interessant gestalteten Dar�

stellung die Aufmerksamkeit der Sch�uler wecken und den Zugang zur Be�

arbeitung des Arbeitsbogens erleichtern sollte� ist als erstes Problem auf

den Arbeitsb�ogen aller dreizehn Klassen gestellt worden� In der Tabelle ��

sind die genauen Zahlen der Sch�uler� welche das Problem bearbeitet haben�

nach Schulen und Klassen sortiert zusammengefa t� Die Vermutung� da der

gr�o te Teil der Sch�uler mit diesem Problem beginnen bzw� dieses bearbeiten

w�urde� hat sich bewahrheitet� Von den �� Sch�ulern� die an der empirischen

Untersuchung insgesamt teilgenommen haben� haben �� dieses Problem be�

arbeitet� das entspricht einem Anteil von �� #� Im Vergleich zu den an�

deren f�unf Problemstellungen der empirischen Untersuchung ist dieses die

h�ochste Bearbeitungsquote�

�

KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS �

Schule Klasse Sch�uler bearbeitet davon davon

gesamt von weiblich m�annlich

LF � A ��

LF A ��

MG A ��

MG B � � ��

RD � A ��

RD � B ��

RD � C ��

RD A � � ��

RD B � � � ��

RD C ��

SB A � � ��

SB C ��

SB D ��

gesamt ��

Tabelle �� Die klassenspezi�schen Bearbeitungszahlendes Hallo�Problems

�� Ein Vergleich der beiden holistischen Be�

wertungen

In der Tabelle �� ist dargestellt� wieviele Arbeiten den einzelnen neun Ka�

tegorien durch welche Bewertung genau zugewiesen worden sind� Bei einem

ersten Vergleich der Gesamtzahlen der den drei Dachkategorien zugewiese�

nen Arbeiten zeigen sich die Di�erenzen zwischen den beiden Bewertungen

haupts�achlich in der unteren und in der mittleren Dachkategorie� So wird

�� # aller Arbeiten bei der Bewertung A ein Wert zwischen null und

zwei Punkten zugewiesen� bei der Vergleichsbewertung B hingegen sind es

nur �� #� Dieses entspricht ungef�ahr einem Drittel weniger� In der mitt�

leren Dachkategorie zwischen drei und f�unf Punkten steht einem Anteil von

�� # aller Arbeiten bei der Bewertung A ein Anteil von �� # bei

der Bewertung B entgegen� das ist etwa das Anderthalbfache� Mit Anteilen

von �� # gegen�uber �� # sind die Werte in der oberen Dachkategorie

nahezu identisch�

Die Di�erenzen in der unteren und in der mittleren Dachkategorie erfordern

eine detaillierte Betrachtung der Anteile der den einzelnen Punktzahlen zu�


Bewertung A Bewertung B

des Autors der Studentin

Punktzahl � Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten

Kategorie absolut prozentual absolut prozentual

Punktzahl � � ��



Dachkategorie I � ��

Punktzahl � ��



Dachkategorie II � ��

Punktzahl ��



Dachkategorie III ��

gesamt ��

Mittelwert

der Punktverteilung ��

Standardabweichung


Tabelle �� Die Verteilung der Punkte bei beiden holi�stischen Bewertungen

geordneten Arbeiten� Mit �� # gegen�uber �� # stimmen die Anteile

der Arbeiten� die der Punktzahl null zugewiesen worden sind� fast �uberein�

In der Kategorie eins hingegen zeigen sich deutliche Unterschiede� Bei der

Bewertung A erhielten �� # der Arbeiten einen Punkt� Dem steht ein

Anteil von nur �� # aller Arbeiten bei der Bewertung B entgegen� Die An�

teile der Arbeiten� die den Kategorien zwei� drei und f�unf zugewiesen worden

sind� liegen mit �� #� �� # und �� # gegen�uber �� #� �� # und

�� # relativ nah beieinander� alle Di�erenzen zwischen den zusammen�

geh�orenden Anteilen liegen jeweils unter � #� In der Kategorie vier zeigen

sich dagegen wieder erhebliche Unterschiede zwischen den beiden Bewertun�

gen� Hier steht einem Anteil von �� # der Arbeiten durch die Bewertung

A ein Anteil von �� # der Arbeiten durch die Bewertung B gegen�uber�

das ist mehr als das Vierfache� Ein Vergleich der beiden Mittelwerte zeigt


eine Di�erenz von �� Punkten� Aufgrund des Mathematisierungsprozes�

ses� welcher den drei Dachkategorien zugrunde liegt� w�are es m�oglich� da

eine Arbeit bei zwei getrennten Bewertungen zwei unterschiedlichen Kate�

gorien derselben Dachkategorie zugeordnet w�urde und somit eine Di�erenz

von einem oder von maximal zwei Punkten aufweisen w�urde� Aber der Fall�

da eine Arbeit zwei unterschiedlichen Dachkategorien zugeordnet wird� kann

theoretisch nicht eintreten� Nun haben viele Sch�uler zur L�osung dieses Prob�

lems Zeichnungen oder Listen mit Namen von Kindern angefertigt� welche

sich gegenseitig�Hallo� sagen� Teilweise zeigten derartige Arbeiten dabei

allein einige unsystematisch aufgeschriebene Namen� Die Leistung solcher

Arbeiten ist bei den beiden Bewertungen unterschiedlich aufgefa t worden�

Bei der Bewertung A ist davon ausgegangen worden� da derartige Arbeiten

nur eine gewisse Bearbeitung� aber kein echtes Verst�andnis f�ur das Problem

zeigen� bei der Bewertung B hingegen ist davon ausgegangen worden� da

bei derartigen Arbeiten schon gro e Teile des Problems verstanden worden

sind� aber das L�osungsverfahren teilweise nicht geeignet ist�

Eine Betrachtung der beiden Mittelwerte zeigt� da diese � im Vergleich

mit den Mittelwerten der �ubrigen f�unf Probleme � bei ihren Bewertungen

jeweils die zweith�ochsten sind� Die Di�erenz von �� Punkten zwischen

den beiden Mittelwerten entspricht� bezogen auf die Maximalpunktzahl acht�

�� # und liegt damit im Bereich der meisten �ubrigen Probleme� Die

Standardabweichungen von etwas �uber bzw� leicht unter drei Punkten lie�

gen� auch im Vergleich mit denen der anderen Probleme� jeweils im mittleren

Bereich� die Di�erenz zwischen diesen beiden Werten ist mit �� Punkten

jedoch die zweith�ochste� Wie bei den meisten holistischen Bewertungsergeb�

nissen der untersuchten Problemstellungen gibt es bei beiden Bewertungen

sowohl viele Arbeiten mit wenig Punkten als auch viele Arbeiten mit vielen

Punkten� mit mittleren Punktzahlen dagegen sind es eher weniger Arbeiten�

Dieses l�a t sich dadurch erkl�aren� da vielen Sch�ulern o�enbar die Vorg�ange

des Probleml�osens noch nicht gel�au�g waren� d�h� entweder konnten sie das

Problem angehen� dann erhielten sie viele Punkte� oder sie konnten keinen

Zugang zu der Problemstellung �nden� dann wurde ihre Arbeit entsprechend

mit wenigen Punkten bewertet�


�� Ein Vergleich der beiden analytischen Be�

wertungen

In diesem Abschnitt werden die analytischen Bewertungsergebnisse des Au�

tors den entsprechenden Bewertungsergebnissen der Studentin � nach den

drei Phasen des Probleml�oseprozesses getrennt � gegen�ubergestellt�

�� Die Phase Verstehen

F�ur die Bearbeitung der L�osungsphase�Verstehen� konnten einer Arbeit bei

der analytischen Bewertung zwischen null und drei Punkte zugewiesen wer�

den� Die Tabelle �� zeigt die Verteilungen der Punkte beider Bewertungen

f�ur alle �� Arbeiten�


Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten

absolut prozentual absolut prozentual



Punktzahl � � � ��


gesamt ��

Mittelwert

der Phase Verstehen� ��

Standardabweichung


Tabelle �� Die Verteilungen der Punkte bei beiden ana�lytischen Bewertungen f�ur die Phase

�Verstehen� des

Hallo�Problems

Es zeigt sich� da bei beiden Bewertungen die Anteile der Arbeiten� die null

bzw� drei Punkte aufweisen� im Prinzip �ahnlich sind� Hier stehen sich �� #

bzw� �� # der Arbeiten bei der Bewertung des Autors und �� # bzw�

�� # der Arbeiten bei der Bewertung der Studentin gegen�uber� Deutliche

Unterschiede zeigen sich in den Werten der Arbeiten mit einem Punkt bzw�

mit zwei Punkten� So haben bei der A�Bewertung �� # aller Arbeiten

KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS

einen Punkt erhalten und �� # aller Arbeiten zwei Punkte� bei der B�

Bewertung hingegen sind es �� # bzw� �� # aller Arbeiten� Es ergeben

sich hieraus absolute Di�erenzen zwischen den Werten von �� # bzw� von

�� #� Diese Unterschiede zeigen� da die Arbeiten h�au�g nicht gen�ugend

Informationen dar�uber geben� ob ein Sch�uler das Problem nur unwesent�

lich oder doch schon teilweise verstanden hat� Der aufgetretene Unterschied

bei drei Punkten l�a t sogar vermuten� da bei einigen Arbeiten auch eine

Abgrenzung zum v�olligen Verst�andnis des Problems nicht m�oglich war� Die

Di�erenz zwischen den beiden Mittelwerten von �� Punkten� das ent�

spricht � bezogen auf die Maximalpunktzahl drei � �� #� ist relativ hoch

und im Vergleich zu denen der anderen Probleme die zweith�ochste�

�� Die Phase L�osen








gesamt ��

Mittelwert

der Phase L�osen� ��

Standardabweichung



�L�osen� des Hallo�

Problems

Bei einer Analyse der Daten der Tabelle �� wird sofort ersichtlich� da die

Ergebnisse der beiden Bewertungen bei dieser Phase so gut wie keine Un�

terschiede aufweisen� Die jeweiligen Anteile der den Punkten null bis drei

zugewiesenen Arbeiten weichen nur maximal �� # voneinander ab� auch

die Mittelwerte mit �� Punkten bei der Bewertung A und mit ��

Punkten bei der Bewertung B zeigen dieses� Es ergibt sich somit eine Di�e�

renz von gerade einmal �� Punkten bzw� � bezogen auf maximal drei f�ur


diese Phase zu erreichende Punkte � von �� #� Die Di�erenz zwischen

den beiden Standardabweichungen betr�agt �� Punkte� bis auf das M�uhle�

und das W�urfel�Problem zeigen s�amtliche Probleme ungef�ahr diese Di�erenz

bei den Auswertungen dieser Phase�

�� Die Phase Beantworten







gesamt ��

Mittelwert

der Phase Beantworten� ��

Standardabweichung



�Beantworten� des

Hallo�Problems

Die klassen�ubergreifenden Gesamtzahlen der den Punkten null bis zwei zuge�

ordneten Arbeiten beider Bewertungen werden in der Tabelle �� dargestellt�

Auch f�ur die Phase�Beantworten� ist die Zuweisung der Punkte zu den ein�

zelnen Arbeiten bei beiden Bewertungen fast gleich erfolgt� Bei null Punkten

gibt es einen vernachl�assigbaren Unterschied von nur einer Arbeit� Bei einem

Punkt ergibt sich bei der Bewertung A ein Anteil von �� # aller Arbeiten�

bei der Bewertung B hingegen ein etwas h�oherer Anteil von �� #� Umge�

kehrt ist dieses bei zwei Punkten� hier steht einem A�Anteil von �� # aller

Arbeiten ein B�Anteil von �� # entgegen� Die Di�erenz bei der Punktzahl

zwei f�ur die Phase�Beantworten� kann theoretisch nur durch Bewertungs�

ungenauigkeiten bzw� �fehler begr�undet sein� da zwei Punkte allein dann

vergeben werden k�onnen� wenn die Antwort v�ollig richtig ist� Fehlt dagegen

die Antwort oder ist sie g�anzlich falsch� so erh�alt diese Arbeit nur null Punk�

te oder maximal einen Punkt� Praktisch k�onnen allerdings bei verschiedenen

Bewertern auch unterschiedliche Au�assungen dar�uber existieren� was genau


unter einer Antwort verstanden wird�� Die gerade beschriebenen Verteilun�

gen der Punkte dr�ucken sich auch in den beiden Mittelwerten aus� Mit ��

Punkten gegen�uber �� Punkten sind diese praktisch identisch� Die Dif�

ferenz von �� Punkten bzw� �� # �bezogen auf die H�ochstpunkzahl

zwei� ist im Vergleich mit den anderen Problemen in der Phase�Beantwor�

ten� am geringsten� Entsprechendes gilt auch f�ur die Di�erenz von ��

Punkten zwischen beiden Standardabweichungen�

�� Ein Vergleich der beiden Bewertungsver�

fahren

Im letzten Auswertungsabschnitt dieses Kapitels werden die beiden Bewer�

tungsverfahren miteinander verglichen� Diesem Vergleich liegen jeweils ge�

mittelte Werte der Ergebnisse der Bewertung A resp� der Bewertung B zu�

grunde��

�� Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergeb

nisse

In der Tabelle �� sind die holistischen Gesamtpunktzahlen der beiden Be�

wertungsmethoden dargestellt� F�ur die holistische Bewertung entsprechen�

den diese Gesamtpunktzahlen den eigentlichen �gemittelten� Bewertungser�

gebnissen� f�ur die analytischen Bewertung dagegen sind sie gebildet worden

als die Summe aus den einzelnen �gemittelten� Bewertungsergebnissen einer

jeden Arbeit f�ur jede der drei L�osungsphasen�

Es zeigt sich sofort� da man im Prinzip von einer gleichen Vergabe der Ge�

samtpunkte bei beiden Bewertungsmethoden sprechen kann� Es treten zwar

bei den einzelnen Punktzahlen gewisse Di�erenzen auf� diese sind aber im

Vergleich zu den im Abschnitt �� festgestellten Di�erenzen zwischen den

Ergebnissen der beiden holistischen Bewertungen sehr gering und beruhen

wahrscheinlich auf Bewertungsungenauigkeiten� Die gr�o te Di�erenz zeigt

sich bei der Punktzahl sechs mit �� #� danach folgt die Punktzahl eins

mit einer Di�erenz von �� #� Die Punktzahl sieben weist mit �� # schon

eine Di�erenz von unter � # auf� bei den �ubrigen Punktzahlen liegen die

�Im Kapitel � wird hierauf noch einmal detailliert eingegangen��Im Kapitel � wurde dargelegt� wie diese Werte berechnet worden sind�

KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS

Bewertungsmethode

holistisch analytisch









Punktzahl ��



gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung


Tabelle �� Die Verteilungen der holistischen Gesamt�punktzahlen bei beiden Bewertungsmethoden

Di�erenzen jeweils sogar unter �� #� Im Abschnitt �� wird auf diese Ab�

weichungen noch einmal eingegangen� Diese Feststellung bekr�aftigen auch

die beiden Mittelwerte und Standardabweichungen� Die Di�erenz zwischen

den beiden Mittelwerten betr�agt nur �� Punkte� d�h� � bezogen auf die

Maximalpunktzahl von acht Punkten � nur �� #� Die Di�erenz zwischen

den beiden Standardabweichungen betr�agt nur �� Punkte�

�� Beziehungen und Korrelationskoe�zienten�

In diesem Unterabschnitt soll abschlie end analysiert werden� ob Beziehun�

gen zwischen den in den einzelnen Phasen der analytischen Bewertung er�

reichten Punktzahlen und der bei der holistischen Bewertung erreichten Ge�

�Mit Korrelationskoe�zient ist in der gesamten Arbeit stets der Korrelationskoe�zientvon Bravais�Pearson gemeint�

KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS ��

samtpunktzahl existieren�� Die hierf�ur ben�otigten Daten sind in der Tabelle

�� dargestellt� Ein erster Blick auf die Korrelationskoe�zienten l�a t vermu�

ten� da zwischen den f�ur die einzelnen Phasen bei der analytischen Bewer�

tung erreichten Punkten und der Punktzahl� die bei der holistischen Bewer�

tung erreicht worden ist� eine deutliche Beziehung existiert�

Erreichte Punktzahl Durchschnittlich erreichte Punktzahl

bei der analytischen bei der holistischen Bewertung

Bewertung

f�ur die Phase �� Verstehen� ��

L�osen� ��

Beantworten�

� Punkte �� Pkte �� Pkte �� Pkte

� Punkt �� Pkte �� Pkte �� Pkte


� Punkte �� Pkte �� Pkte

Korrelationskoe�zient� ��

Tabelle �� Der Zusammenhang zwischen den bei denbeiden Bewertungsmethoden �durchschnittlich� erreich�ten Punktzahlen

Eine Arbeit� die in der Phase�Verstehen� null Punkte bei der analytischen

Bewertung erhalten hat� d�h� bei der das Problem v�ollig mi verstanden wor�

den ist� hat durchschnittlich nur �� Punkte bei der holistischen Bewertung

erhalten� Eine Arbeit mit einem analytischen Punkt f�ur die Phase�Verste�

hen�� diese Arbeit l�a t nur ein unwesentliches Verst�andnis f�ur das Problem

erkennen � hat schon durchschnittlich �� holistische Punkte erhalten� Ei�

ne Arbeit mit zwei analytischen Punkten� diese Arbeit zeigt ein deutliches

Verst�andnis f�ur das Problem� hat bereits im Durchschnitt �� holistische

Punkte erhalten und eine Arbeit mit drei analytischen Punkten � diese Ar�

beit zeigt ein v�olliges Verst�andnis f�ur das Problem � hat mit durchschnittlich

�� holistischen Punkten fast die Maximalpunktzahl von acht m�oglichen ho�

listischen Punkten erreicht� Im Vergleich mit den �ubrigen f�unf Problemen ist

�Der Einfachheit halber werden Punkte� die bei der analytischen Bewertung vergebenbzw� erreicht worden sind� auch als analytische Punkte bezeichnet� und Punkte� die beider holistischen Bewertung vergeben bzw� erreicht worden sind� als holistische Punkte�

�Der erste Korrelationskoe�zient ist berechnet worden von den Punktzahlen aller Ar�beiten f�ur die Phase

�Verstehen� bei der analytischen Bewertung und von den Punktzahlen

aller Arbeiten bei der holistischen Bewertung� Der zweite Korrelationskoe�zient ist ent�sprechend von den Punktzahlen aller Arbeiten f�ur die Phase

�L�osen� und den Punktzahlen

aller Arbeiten bei der holistischen Bewertung berechnet worden� Der dritte Korrelationsko�e�zient schlie�lich ergibt sich aus den Punkten aller Arbeiten f�ur die Phase

�Beantworten�

bei der analytischen Bewertung und den Punkten aller Arbeiten bei der holistischen Be�wertung� Dieses gilt v�ollig entsprechend auch f�ur alle Korrelationskoe�zienten der anderenf�unf Problemstellungen�


dieses die h�ochste holistische Durchschnittspunktzahl f�ur Arbeiten� die bei

der analytischen Bewertung f�ur die Phase�Verstehen� drei Punkte erhalten

haben� Die starke lineare Abh�angigkeit zwischen der bei der analytischen

Bewertung f�ur die Phase�Verstehen� vergebenen Punktzahl und der bei

der holistischen Bewertung erreichten Punktzahl wird durch den Korrelati�

onskoe�zienten rHV mit rHV � �� ebenfalls bekr�aftigt� Aufgrund des

Bestimmtheitsma es rHV� mit rHV

� � �� kann man sagen� da �� #

aller Punktpaare in die gleiche Richtung korrelieren�

F�ur die Phase�L�osen� zeigt sich ein im Prinzip entsprechendes Bild� aller�

dings liegen die durchschnittlichen holistischen Punkte hier noch etwas h�oher�

So stehen null analytischen Punkten durchschnittlich �� holistische Punk�

te entgegen� Im Vergleich mit den anderen Problemen ist dieses die h�ochste

holistische Durchschnittspunktzahl� die Arbeiten mit null analytischen Punk�

ten f�ur die Phase�L�osen� erhalten haben� Arbeiten mit einem analytischen

Punkt wurden schon durchschnittlich �� holistische Punkte zugewiesen� Der

Zusammenhang zwischen den bei den beiden Verfahren erreichten Punktzah�

len wird bei zwei und drei analytischen Punkten noch deutlicher� So haben

Arbeiten� die zwei analytische Punkte erhalten haben und damit nur kleine

Fehler oder eine Unvollst�andigkeit trotz eines richtigen L�osungsverfahrens ge�

zeigt hatten� durchschnittlich �� holistische Punkte erreicht� Arbeiten� die

drei analytische Punkte erhalten haben und somit eine v�ollig richtige L�osung

gezeigt hatten� haben durchschnittlich �� holistische Punkte erreicht� Im

Vergleich mit den anderen Problemen ist die holistische Durchschnittspunkt�

zahl von �� Punkten die h�ochste� die Arbeiten mit drei analytischen Punk�

ten f�ur die Phase�L�osen� erreicht haben� Der Korrelationskoe�zient rHL

mit rHL � �� ist noch etwas gr�o er als der Koe�zient rHV und somit ist

auch die lineare Abh�angigkeit zwischen allen f�ur die Phase�L�osen� vergebe�

nen analytischen Punkten und allen vergebenen holistischen Punkten noch

etwas h�oher� Bei dieser Phase korrelieren sogar �� # aller Punktpaare in

die gleiche Richtung�

Dagegen zeigen alle f�ur die Phase�Beantworten� vergebenen analytischen

Punkte und alle holistischen Punkte eine geringere lineare Abh�angigkeit�

Aus dem Korrelationskoe�zient rHB mit rHB � �� ergibt sich ein Be�

stimmtheitsma rHB� mit rHB

� � �� d�h� nur �� # aller Punktpaare

korrelieren in die gleiche Richtung� Vergleicht man alle sechs Korrelationsko�

e�zienten f�ur die Phase�Beantworten�� so stellt man fest� da dieser beim

Hallo�Problem am niedrigsten ist� Die geringere gegenseitige Abh�angigkeit

zeigt auch ein Vergleich zwischen den Daten in der ersten Spalte und den

Daten in der vierten Spalte der Tabelle �� So haben Arbeiten mit einem

analytischen Punkt durchschnittlich �� holistische Punkte erhalten� die�


se Arbeiten zeigten keine oder eine falsche Antwort oder eine falsche Ant�

wort aufgrund eines ungeeigneten L�osungsverfahrens� Vergleicht man diese

durchschnittliche holistische Punktzahl mit den entsprechenden Punktzahlen

der anderen f�unf Probleme� so zeigt sich allerdings� da dieses wiederum die

h�ochste von allen ist� F�ur das Erreichen von einem oder von zwei Punkten

m�ussen die Arbeiten ein angemessenes L�osungsverfahren zeigen� Arbeiten

mit einem analytischen Punkt� d�h� sie zeigen eine falsche Antwort trotz

eines angemessenen L�osungsverfahrens� erhielten durchschnittlich �� holi�

stische Punkte� Au��allig ist� da Arbeiten mit zwei analytischen Punkten�

d�h� die Antwort ist korrekt aufgrund eines angemessenen L�osungsverfahrens�

nur durchschnittlich �� holistische Punkte erhalten haben�

�� Eine Zusammenfassung der wichtigsten

Auswertungsergebnisse

�� Der Vergleich der holistischen Bewertungen

� Die beiden Werte der Dachkategorie I bzw� der Dachkategorie II unter�

scheiden sich jeweils um fast �� #�

� Die gr�o ten Di�erenzen zeigen sich bei der Punktzahl eins mit �� #

und bei der Punktzahl vier mit �� #� Ein m�oglicher Grund hierf�ur

kann darin bestehen� da Arbeiten� die unsystematische Zeichnungen

oder Listen mit Namen von sich�Hallo� sagenden Kindern zeigten� bei

den beiden Bewertungen unterschiedlich aufgefa t worden sind�

�� Der Vergleich der analytischen Bewertungen

� Bei der Phase�Verstehen� zeigen sich deutliche Di�erenzen von bis

�uber �� # bei den Punktzahlen eins und zwei� Als eine Ursache hierf�ur

wurde festgestellt� da beim Hallo�Problem eine Unterscheidung zwi�

schen einem unwesentlichen Verst�andnis des Problems und einem Ver�

st�andnis von �wichtigen� Teilen nicht m�oglich war�

� Bei der Phase�L�osen� zeigen sich bei allen vier Punktzahlen nur sehr

geringe Di�erenzen von maximal �� #�

� Bei der Phase�Beantworten� zeigen sich bei allen drei Punktzahlen

nur sehr geringe Di�erenzen von maximal �� #� Diese Abweichungen


k�onnen bedingt sein durch Bewertungsungenauigkeiten bzw� �fehler�

aber auch durch unterschiedliche Au�assungen der beiden Bewerter

dar�uber� wie sie den Umfang und das Aussehen einer vollst�andigen�

korrekten Antwort genau verstehen�

�� Der Vergleich der beiden Bewertungsverfahren

� Im Prinzip ist die Zuweisung der Punkte bei beiden Verfahren identisch

erfolgt�

� Die gr�o te Di�erenz zeigt sich bei der Punktzahl sechs mit �� #�

� Fast � # aller Punktpaare korrelieren in den Phasen�Verstehen� und

�L�osen� in eine Richtung� in der Phase

�Beantworten� dagegen nur gut

� # aller Punktpaare�

� Der Korrelationskoe�zient rHB f�ur die Phase�Beantworten� mit rHB �

�� ist im Vergleich mit den anderen untersuchten Problemen der

kleinste f�ur diese Phase berechnete Wert�

Kapitel �

Die Auswertung des

BonbonProblems

Vor der Auswertung der Bewertungsergebnisse des Bonbon�Problems sei noch

einmal an die wichtigsten Aspekte erinnert� unter welchen dieses Problem f�ur

die empirische Untersuchung entwickelt und ausgew�ahlt worden ist� Es l�a t

sich charakterisieren als

� einstu�ges� algebraisches Proze problem�

� geschlossenes Problem�

� konvergentes Problem�

Die haupts�achlichen Schwierigkeiten� die bei der Bearbeitung des Bonbon�

Problems auftreten konnten� bestanden im Erkennen und im Verstehen einer

Vielzahl von unterschiedlichen Daten� die f�ur die L�osung zwingend ben�otigt

wurden� Nur ein Teil der Arbeitsb�ogen umfa te dieses Problem� bei dem

anderen Teil der Arbeitsb�ogen ist an Stelle dessen das M�uhle�Problem gestellt

worden� Die Tabelle �� enth�alt eine exakte Aufstellung derjenigen Klassen�

in welchen die Arbeitsb�ogen das Bonbon�Problem enthalten haben� Dieses

Problem ist von �� Sch�ulern bearbeitet worden� das entspricht bei einer

Gesamtzahl von � Sch�ulern� denen dieses Problem zur Bearbeitung vorlag�

einem Anteil von �� #�

��

KAPITEL � DIE AUSWERTUNG DES BONBONPROBLEMS ��



LF � A ��

LF A ��

RD � A ��

RD � B ��

RD � C ��

SB A � ��

SB C ��

SB D ��

gesamt � ��

Tabelle �� Die klassenspezi�schen Bearbeitungszahlendes Bonbon�Problems


wertungen

Auch die Auswertung des Bonbon�Problems beginnt mit einer Gegen�uber�

stellung der klassen�ubergreifenden Ergebnisse der holistischen Bewertung des

Autors und denen der holistischen Bewertung der Studentin� Die Tabelle

�� zeigt� wie oft die einzelnen Punktzahlen bei der Bewertung s�amtlicher

Sch�ulerarbeiten durch die beiden Bewerter jeweils vergeben worden sind�

Wenn man zuerst die entsprechenden Anteile der Arbeiten in den drei Dach�

kategorien miteinander vergleicht� so stellt man � im Gegensatz zum Hallo�

Problem � keine erheblichen Unterschiede zwischen den beiden Bewertungen

fest� Sowohl bei der Bewertung A als auch bei der Bewertung B liegen �� #

aller Arbeiten in den Kategorien null bis zwei� In den Kategorien drei bis f�unf

steht einem Anteil von �� # der Arbeiten bei der Bewertung A ein An�

teil von �� # der Arbeiten bei der Bewertung B gegen�uber und in den

Kategorien sechs bis acht sind es �� # gegen�uber �� #� Die drei sich

aus den entsprechenden Werten der Dachkategorien ergebenden Di�erenzen

liegen damit jeweils unter �� #�

Geringe Unterschiede in der unteren Dachkategorie zeigen sich allein bei der

Vergabe von null Punkten bzw� bei der Vergabe von einem Punkt� Hier ste�

hen Anteilen von �� # an Arbeiten mit null Punkten und �� # an

Arbeiten mit einem Punkt bei der A�Bewertung Anteile von �� # bzw�













Dachkategorie II ��




Dachkategorie III � ��

gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



�� # bei der B�Bewertung gegen�uber� In beiden F�allen ergibt sich damit

eine Di�erenz von �uber � #� Ein m�oglicher Grund hierf�ur kann darin beste�

hen� da eine Unterscheidung zwischen einem Abschreiben von Daten aus

der Problemstellung und einer gewissen �bedeutungslosen� Bearbeitung bei

diesem Problem schwierig gewesen sein kann� Die Di�erenzen in der mittle�

ren Dachkategorie � sie liegen alle unter �� # � resultieren haupts�achlich

aus den unterschiedlichen Werten der Kategorien vier �� # zu �� #�

und f�unf �� # zu �� #�� Addiert man diese Werte jedoch� so ist die

Di�erenz zwischen der Summe� die sich bei der Bewertung A ergibt� und der

Summe� die man bei der Bewertung B erh�alt� sehr gering� Entsprechendes

gilt f�ur die obere Dachkategorie� auch hier relativieren sich die Di�erenzen

als Summe der Anteile der Kategorien sechs und sieben� Bei der Punktzahl

sieben ergeben sich allerdings Anteile von �� # gegen�uber �� #� d�h�


hieraus resultiert eine Di�erenz von �� #� In der Kategorie acht gibt es

�uberhaupt keine Unterschiede� bei beiden Bewertungen haben �� # aller

Arbeiten acht Punkte erhalten� Die einzelnen Werte in dieser Dachkategorie

zeigen� da subjektive Au�assungen eines Bewertenden dar�uber� was genau

unter der Antwort zu verstehen ist� das Bewertungsergebnis mit beein�ussen

k�onnen�

F�ur die Auswertung des Bonbon�Problems standen �� L�osungen zur Verf�u�

gung� Es ergibt sich bei der Bewertung A ein Mittelwert von �� Punkten

und bei der Bewertung B ein Mittelwert von �� Punkten und somit eine

Di�erenz von �� Punkten� Ausgehend von maximal acht Punkten ent�

spricht dieses �� #� Diese Abweichung ist� mit Blick auf die �ubrigen f�unf

Probleme� die geringste� die bei dem Vergleich der holistischen Bewertun�

gen berechnet worden ist� Auch die Di�erenz von �� Punkten zwischen

den beiden Standardabweichungen ist die zweitkleinste� bezogen auf alle im

Rahmen dieses Teils der empirischen Untersuchung ermittelten Standardab�

weichungen�

�� Ein Vergleich der beiden analytischen Be�

wertungen

In diesem Abschnitt werden die beiden analytischen Bewertungsergebnis�

se des Bonbon�Problems miteinander verglichen� Hierzu werden die klas�

sen�ubergreifenden Gesamtzahlen der den Kategorien�Verstehen��

�L�osen�

und�Beantworten� zugewiesenen Arbeiten betrachtet und m�ogliche Gr�unde

f�ur auftretende Abweichungen gesucht�


Beim Bonbon�Problem zeigt sich� da bei beiden Bewertungen fast identisch

viele Arbeiten jeweils null� einen� zwei oder drei Punkte erhalten haben �vgl�

hierzu Tabelle �� Die h�ochste aufgetretene Abweichung mit nur �� #�

was lediglich zwei Arbeiten entspricht� zeigt sich bei den Arbeiten mit drei

Punkten� Dieses wird auch durch die Mittelwerte von �� Punkten bei der

Bewertung A und von �� Punkten bei der Bewertung B bekr�aftigt� Die

Di�erenz zwischen diesen Werten betr�agt nur �� Punkte bzw� �� #�

wenn die H�ochstpunktzahl drei zugrunde gelegt wird� Der Unterschied zwi�

schen den beiden Standardabweichungen betr�agt gerade einmal �� Punk�









gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



�Verstehen� des

Bonbon�Problems

te� Damit sind beide Di�erenzen die geringsten Abweichungen im Vergleich

mit allen anderen Problemen in der Phase�Verstehen��


Die Daten in der Tabelle �� zeigen� da es bei dieser Phase deutliche Un�

terschiede in der Verteilung der Punkte zwischen den beiden Bewertungen

gibt� die n�aher untersucht werden m�ussen� Bei allen vier Punktzahlen unter�

scheiden sich die Werte der Bewertung A und die entsprechenden Werte der

Bewertung B um jeweils zwischen � # und � # voneinander� Au��allig ist�

da bei einer Aufsummierung der Anteile der den Punktzahlen null und eins

zugewiesenen Arbeiten gar keine Di�erenzen zwischen beiden Bewertungen

mehr auftreten� bei beiden Bewertungen haben �� # aller Arbeiten null

Punkte oder einen Punkt in der Kategorie�L�osen� erhalten� Entsprechendes

gilt f�ur die beiden anderen Punktzahlen� So haben �� # aller Arbeiten bei

beiden Bewertungen zwei oder drei Punkte f�ur die Phase�L�osen� erhalten�

Bei den beiden Mittelwerten ergibt sich eine Di�erenz von �� Punkten�

was einem Unterschied von �� # entspricht bei einer maximal zu verge�

benden Punktzahl von drei Punkten� die der beiden Standardabweichungen

bel�auft sich auf �� Punkte�

Eine Ursache f�ur die Unterschiede im Bereich von null Punkten bzw� von ei�









gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung


Tabelle �� Die Verteilungen der Punkte bei beidenanalytischen Bewertungen f�ur die Phase

�L�osen� des

Bonbon�Problems

nem Punkt kann darin bestehen� da es sicher nicht bei jeder Arbeit eindeu�

tig festzulegen war� ob der Sch�uler beispielsweise ein v�ollig ungeeignetes oder

ein teilweise ungeeignetes L�osungsverfahren angewendet hat� Als Ursache f�ur

die Di�erenzen bei zwei und drei Punkten sind Bewertungsungenauigkeiten

am wahrscheinlichsten� da die Kriterien dieser Punktzahlen theoretisch kei�

ne �Uberschneidungen aufweisen und algebraische L�osungen im allgemeinen

relativ gut verst�andlich sind�


Als letztes werden in diesem Abschnitt die Verteilungen der Punkte beider

Bewertungen in der Kategorie�Beantworten� miteinander verglichen� Die f�ur

diese Auswertung ben�otigten Angaben enth�alt die Tabelle ��

Ein erster Vergleich zwischen den Werten bei der Bewertung A und den Wer�

ten bei der Bewertung B zeigt� da auch f�ur die Phase�Beantworten� bei

den einzelnen Punktzahlen gewisse Unterschiede bis zu etwa # aufgetreten

sind� So haben bei der Bewertung A weniger Arbeiten null Punkte erhalten

als bei der Bewertung B �� # gegen�uber �� #�� bei zwei Punkten ist

dieses genau entgegengesetzt �� # gegen�uber �� #�� Mit einer Di�e�

renz von �� # ist der Unterschied bei der Punktzahl eins am geringsten�








gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung




Bonbon�Problems

Es soll an dieser Stelle generell einmal herausgestellt werden� da die Ver�

gabe der Punkte f�ur die Phase�Beantworten� nicht immer unabh�angig von

der f�ur die Phase�L�osen� vergebenen Punktzahl erfolgen kann� denn bei

der Bewertung der Leistung f�ur die Phase�L�osen� wird entschieden� ob das

angewendete Verfahren angemessen oder nicht angemessen ist� Bei Arbeiten

mit einem falschen Ergebnis hat dieses eine direkte Auswirkung auf die zu�

geordnete Punktzahl f�ur die Phase�Beantworten�� Die zuvor festgestellten

Di�erenzen k�onnen daher entweder durch diesen Zusammenhang oder durch

Bewertungsungenauigkeiten bedingt sein� Die beiden Mittelwerte weisen eine

Di�erenz von �� Punkten �� # bezogen auf zwei Punkte maximal�

auf� bei den beiden Standardabweichungen betr�agt sie �� Punkte� Da�

mit sind beide Abweichungen im Vergleich zu den anderen f�ur diese Phase

ermittelten Werten der weiteren Probleme noch sehr gering�

�� Ein Vergleich der beiden Bewertungsver�

fahren

In diesem Abschnitt werden die beiden Bewertungsverfahren anhand der je�

weils gemittelten holistischen und analytischen Bewertungsergebnisse mit�

einander verglichen�



nisse

Bewertungsmethode













gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



Die f�ur diese Auswertung ben�otigten holistischen Gesamtpunktzahlen der

beiden Bewertungsmethoden sind in der Tabelle � dargestellt� Eine fast

gleiche Zuweisung der Punkte bei beiden Verfahren� so wie sie bereits beim

Hallo�Problem festgestellt worden ist� tritt auch beim Bonbon�Problem auf�

Bei diesem Problem sind die Abweichungen voneinander sogar noch etwas

geringer� Die gr�o te Di�erenz zeigt sich bei der Punktzahl eins mit �� #�

danach folgen die Di�erenzen bei der Punktzahl vier mit �� # und bei der

Punktzahl sechs mit �� #� Die Unterschiede bei den noch verbleibenden

Punktzahlen liegen s�amtlich unter �� #� Auch die Di�erenz zwischen den

beiden Mittelwerten von �� Punkten bzw� �� # �bei der H�ochst�

punktzahl acht� und die Di�erenz zwischen den beiden Standardabweichun�

gen von �� Punkten bekr�aftigen ebenfalls die fast gleiche Verteilung der

Punkte bei beiden Bewertungsverfahren�


�� Beziehungen und Korrelationskoe�zienten

Als letzter Vergleich zwischen den beiden unterschiedlichen Bewertungsme�

thoden werden in diesem Unterabschnitt eventuell existierende Beziehun�

gen zwischen den in den einzelnen Phasen bei der analytischen Bewertung

erreichten Punktzahlen und den bei der holistischen Bewertung erreichten

Punktzahlen herausgearbeitet�



Bewertung


L�osen� ��

Beantworten�





Korrelationskoe�zient ��


Eine Betrachtung der Daten in der Tabelle �� zeigt� da zwischen den er�

reichten analytischen Punkten f�ur jede Phase und der durchschnittlich er�

reichten holistischen Punktzahl auch bei diesem Problem deutliche Beziehun�

gen existieren� Betrachtet man zun�achst den Korrelationskoe�zient rBV f�ur

die Phase�Verstehen� mit rBV � �� woraus sich ein Bestimmtheitsgrad

von rBV� � �� ergibt� so dr�uckt dieser eine sehr starke Abh�angigkeit zwi�

schen allen f�ur die Phase�Verstehen� erreichten analytischen Punkten und

allen bei der holistischen Bewertung erreichten Punktzahlen aus� Herausge�

stellt werden mu die mittlere holistische Punktzahl von nur �� Punkten�

die Arbeiten mit der analytischen Punktzahl null erreicht haben� Im Vergleich

mit allen anderen Problemen ist diese beim Bonbon�Problem am niedrigsten�

Das Verh�altnis zwischen den anderen Punktzahlen der analytischen Bewer�

tung und den durchschnittlich erreichten holistischen Punktzahlen soll nicht

weiter diskutiert werden � entsprechend gilt dieses auch f�ur die anderen Pha�

sen dieses Problems �� da die Tabelle �� alle hierf�ur notwendigen Daten

direkt aufzeigt und die Beziehungen unmittelbar zu erkennen sind��

�Dieses gilt auch f�ur die entsprechenden Auswertungen der restlichen vier Probleme


Gegenseitige Abh�angigkeiten in der Phase�L�osen� best�atigt auch der Korre�

lationskoe�zient rBL mit rBL � �� dieses ist zugleich der h�ochste Kor�

relationskoe�zient� der f�ur die Phase�L�osen� berechnet worden ist� Durch

den sich hieraus ergebenden Bestimmtheitsgrad kann man sagen� da in der

Phase�L�osen� �� # aller Punktpaare in die gleiche Richtung korrelieren�

die lineare Abh�angigkeit zwischen den f�ur die Phase�L�osen� vergebenen

Punkten und den bei der holistischen Bewertung vergebenen Punktzahlen

ist sehr stark� Die Abh�angigkeit zwischen den analytischen Punkten� die den

Arbeiten f�ur die Phase�Beantworten� zugewiesen worden sind� und den ho�

listischen Punkten ist im Vergleich zu den beiden anderen Phasen geringer�

Es ergibt sich ein Korrelationskoe�zient rBB mit rBB � �� d�h� nur

�� aller Punktpaare korrelieren in die gleiche Richtung�




� Leichte Di�erenzen von �� # bzw� von �� # weisen die zusammen�

geh�orenden Werte der Kategorien null� eins und sieben auf� Speziell die

Unterschiede bei den Punktzahlen null und eins deuten auf Schwierig�

keiten bei der Unterscheidung zwischen dem Abschreiben von Daten

aus der Problemstellung und einer bedeutungslosen Bearbeitung hin�


� Bei der Phase�Verstehen� sind die Werte bei allen vier Punktzahlen im

Vergleich zwischen den beiden Bewertungen jeweils praktisch identisch�

� Bei der Phase�L�osen� zeigen sich bei den Punktzahlen null und eins

jeweils Di�erenzen von �� # und bei den Punktzahlen zwei und drei

jeweils von �� #� O�enbar geben nicht alle Arbeiten � dieses gilt ins�

besondere f�ur schlechtere � ausreichend Aufschlu dar�uber� inwieweit

angewendete Verfahren zur L�osung des Problems geeignet sind�

� Bei der Phase�Beantworten� zeigen sich bei den Punktzahlen null�

eins und zwei Di�erenzen von etwa �� #� �� # bzw� �� #� Eine

in den nachfolgenden Kapiteln� Auf diese Werte wird im folgenden nur noch detaillierteingegangen� wenn ein Wert besonders au��allig ist�


konkrete Ursache hierf�ur l�a t sich nicht angeben� Beachtet werden mu

allerdings� da die einer Arbeit f�ur die Phase�Beantworten� zugewiese�

nen Punkte auch davon abh�angig sind� welche Punktzahl diese Arbeit

f�ur die Phase�L�osen� erhalten hat�


� Die Verteilung der �Gesamt��Punkte ist bei beiden Bewertungsverfah�

ren praktisch gleich erfolgt�

� Mit einem Unterschied von �� # weisen die Anteile der Punktzahl

eins die gr�o te Di�erenz auf�

� �Uber � # alle Punktpaare korrelieren in den Phasen�Verstehen� und


�Beantworten� dagegen sind es

nur gut � # aller Punktpaare�

� Der Korrelationskoe�zient rBL f�ur die Phase�L�osen� mit rBL � ��

ist im Vergleich mit den anderen untersuchten Problemen der gr�o te

f�ur diese Phase berechnete Wert�

Kapitel ��

Die Auswertung des

M�uhleProblems

In diesem Kapitel werden die Bewertungsergebnisse des M�uhle�Problems aus�

gewertet� Es sei daher noch einmal an seine wichtigsten Merkmale erinnert�

Das M�uhle�Problem ist ein



� divergentes Problem� denn es erfordert vom Probleml�osenden eine krea�

tive Auseinandersetzung mit der Problemstellung� die Art des L�osungs�

wegs ist o�en und der Umfang der L�osung ist nicht genau vorgegeben�

Das M�uhle�Problem z�ahlt mit zu den schwierigsten Problemen� die im Rah�

men der empirischen Untersuchung von den Sch�ulern bearbeitet worden sind�

F�ur die L�osung mu ten zun�achst die Anzahl der Spiele und alle m�oglichen

Spielpaarungen ermittelt werden � eine R�uckblick auf das Hallo�Problem

konnte hierf�ur hilfreich sein �� danach mu ten die zehn Spielpaarungen so

auf zwei M�uhlebretter aufgeteilt werden� da nicht eine Person an beiden

Brettern gleichzeitig spielt� Aufgrund dieser komplexen Problemsituation ist

das M�uhle�Problem auch nur in Klassen der sechsten Jahrgangsstufe gestellt

worden� Eine Aufstellung dieser Klassen sowie die zugeh�origen Sch�uler� und

Bearbeitungszahlen enth�alt die Tabelle �� Mit �� # weist das M�uhle�

Problem die geringste Bearbeitungsquote von allen sechs untersuchten Prob�

leml�oseaufgaben auf� M�oglicherweise wirkte die Komplexit�at der Problem�

stellung entmutigend auf viele Sch�uler� so da diese von vornherein gar keinen

Versuch zur L�osung unternommen haben�

��

KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES M�UHLEPROBLEMS ��



MG A ��

MG B � ��

RD A � ��

RD B � � ��

RD C ��

gesamt ��

Tabelle �� Die klassenspezi�schen Bearbeitungszahlendes M�uhle�Problems


wertungen

In Analogie zu den bisher bereits ausgewerteten Problemen werden in diesem

ersten Abschnitt die klassen�ubergreifenden Verteilungen der Punkte null bis

acht der beiden holistischen Bewertungen miteinander verglichen� Die hierf�ur

notwendigen Daten sind in der Tabelle �� zusammengefa t� Betrachtet man

zun�achst die Anteile der den drei Dachkategorien zugewiesenen Arbeiten�

so zeigen die Dachkategorie I mit �� # bei der A�Bewertung gegen�uber

�� # bei der B�Bewertung sowie die Dachkategorie III mit �� # ge�

gen�uber �� # die gr�o ten Abweichungen voneinander� Es ergeben sich

hieraus Di�erenzen von �� # bzw� von �� #� Die Anteile in der Dachka�

tegorie II �� # bei der Bewertung A und �� # bei der Bewertung B�

unterscheiden sich dagegen nur geringf�ugig um �� # voneinander�

Bei einer detaillierten Analyse der zur Dachkategorie I geh�orenden drei Punkt�

kategorien stellt man fest� da die haupts�achliche Ursache f�ur die starke Ab�

weichung durch die Kategorie eins begr�undet ist� So erhielten bei der Bewer�

tung durch den Autor �� # aller Sch�uler f�ur ihre Arbeit einen Punkt� bei

der Vergleichsbewertung B hingegen waren es nur �� # der Sch�uler� Die

Di�erenz zwischen diesen Werten betr�agt �� #� Die Werte der Kategorien

null und zwei weichen � jeweils mit einer absoluten Di�erenz von �� # � da�

gegen nur geringf�ugig voneinander ab� Die beiden Werte der Dachkategorie II

liegen nah beieinander� eine detaillierte Betrachtung der Werte der einzelnen

Kategorien zeigt jedoch deutliche Unterschiede in der Punktevergabe� Die

gr�o te Abweichung weist die Kategorie drei auf� Bei der Bewertung A haben

�� # aller Arbeiten einen Wert von drei Punkten erhalten� bei der Bewer�









Dachkategorie I ��





Punktzahl ��




gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



tung B hingegen waren es �� #� Bei der Kategorie f�unf steht einem Anteil

von �� # der Arbeiten bei der Bewertung A ein Anteil von nur �� #

bei der Bewertung B gegen�uber� Dieses f�uhrt zu Di�erenzen von �� #

bzw� von �� #� Die Unterschiede in der Dachkategorie III resultieren vor�

nehmlich aus der Kategorie acht� Nach der Bewertung A hatten �� # der

Sch�uler das Problem korrekt und vollst�andig gel�ost� nach der Bewertung B

hingegen waren es �� # der Sch�uler�

Gr�unde f�ur die Abweichungen bei den Punktzahlen eins und drei sind nicht

direkt o�ensichtlich� da sich die Kriterien dieser Kategorien doch erheblich

voneinander unterscheiden� Wenn man allerdings alle Arbeiten mit Punk�

ten zwischen null und drei in der Summe betrachtet� so sind dieses bei der

A�Bewertung � Arbeiten �� #� und bei der B�Bewertung �� Arbeiten

�� #� und damit also fast gleich viele� Dieses legt die Vermutung nahe�


da bei beiden Bewertern bei diesem kombinatorischen Problem unterschied�

liche Au�assungen dar�uber vorlagen� wann es sich nur um eine bedeutungs�

lose Bearbeitung gehandelt hat bzw� wann die Arbeit bereits ein gewisses

Verst�andnis f�ur das Problem gezeigt hat und die Probleml�osung in Angri�

genommen worden ist� Auf diese Problematik wird im Abschnitt �� noch

einmal n�aher eingegangen� Wenn man entsprechend auch die Arbeiten mit

Punkten zwischen vier und acht in der Summe betrachtet� so erh�alt man

bei der A�Bewertung �� Arbeiten �� #� und bei der B�Bewertung ��

Arbeiten �� #�� d�h� der Unterschied ist wiederum minimal� Es existiert

theoretisch weder ein Zusammenhang zwischen den Kriterien f�ur die Punkt�

zahlen drei und f�unf noch zwischen den Kriterien f�ur die Punktzahlen f�unf

und acht� Die Abweichung von �� # bei acht Punkten l�a t sich im Prinzip

nur als Ursache von Bewertungsungenauigkeiten erkl�aren��

Die Di�erenz von �� Punkten bzw� von �� # �bezogen auf acht als

Maximalpunktzahl� zwischen den beiden Mittelwerten ist der zweitniedrigste

berechnete Wert von allen Problemen bei diesem Untersuchungsteil� die Ab�

weichung von �� Punkten zwischen den beiden Standardabweichungen

liegt dagegen im Mittelfeld�

�� Ein Vergleich der beiden analytischen

Bewertungen

Dieser Abschnitt dient dem Vergleich der beiden analytischen Bewertungser�

gebnisse des M�uhle�Problems anhand der sich entsprechenden Gesamtzahlen

der Arbeiten in den Kategorien�Verstehen��

�L�osen� und

�Beantworten�

beider Bewertungen�


Die Daten zur Auswertung der ersten Phase des Probleml�osungsprozesses

des M�uhle�Problems liefert die Tabelle �� Bei allen vier Punktzahlen zei�

gen sich gewisse Di�erenzen in den Werten� Bei den Punktzahlen null und

eins sind diese Di�erenzen mit einem Unterschied von einer Arbeit bzw� von

�W�aren einem Teil der Arbeiten sieben Punkte und einem anderen Teil der Arbeitenacht Punkte zugewiesen worden� und w�aren die Summen dieser beiden Anteile bei derBewertung A und bei der Bewertung B fast gleich� dann w�urde dieses darauf hindeuten� da�f�ur die Beantwortung des Problems unterschiedliche Ma�st�abe angesetzt worden w�aren�Diese M�oglichkeit scheidet hier jedoch aus�









gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



�Verstehen� des

M�uhle�Problems

zwei Arbeiten am geringsten und m�ussen nicht weiter beachtet werden� Bei

einer Summation der diesen beiden Punktzahlen zugewiesenen Arbeiten ste�

hen sich �� # aller Arbeiten �Bewertung A� und �� # aller Arbeiten

�Bewertung B� gegen�uber� die Di�erenzen heben sich somit praktisch auf�

Sehr starke Unterschiede zeigen sich bei den beiden �ubrigen Punktzahlen�

Bei der Bewertung A haben �� # der Arbeiten zwei Punkte und �� #

der Arbeiten drei Punkte erhalten� bei der Bewertung B sind es entsprechend

�� # bzw� �� # der Arbeiten� Es ergeben sich damit Di�erenzen von

jeweils �uber �� #� Betrachtet man die Anteile der Arbeiten mit zwei und drei

Punkten als Summe� so steht nun einem A�Anteil von �� # ein B�Anteil

von �� # entgegen� Die Di�erenz zwischen diesen beiden Anteilen ist sehr

gering� Dieses deutet darauf� da bei der Bewertung der Phase�Verstehen�

des M�uhle�Problems die entscheidenden Schwierigkeiten o�enbar darin la�

gen� zu entscheiden� ob das Problem gr�o tenteils oder vollst�andig verstanden

worden ist�

Die Abweichungen zwischen den beiden Mittelwerten �� Punkte bzw�

� unter Beachtung der H�ochstpunktzahl drei � �� #� resp� zwischen den

beiden Standardabweichungen �� Punkte� liegen jeweils im Vergleich zu

denen der anderen Probleme im mittleren Bereich�










gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



�L�osen� des M�uhle�

Problems

Die Werte in der Tabelle �� zeigen bei allen Punktzahlen starke bis sehr

starke Abweichungen voneinander� Die beiden Verteilungen der Punkte zei�

gen eine gewisse �Ahnlichkeit mit den Verteilungen der Punkte f�ur die Pha�

se�L�osen� beim Bonbon�Problem �vgl� hierzu auch Tabelle �� Bei der

Bewertung A erhalten mehr Arbeiten null Punkte �� #� und weniger

Arbeiten einen Punkt �� #� als bei der Bewertung B �� # bzw�

�� #�� Summiert man dagegen die Anzahl der Arbeiten mit null Punkten

und die Anzahl der Arbeiten mit einem Punkt jeweils auf� so relativieren

sich die hieraus ergebenden Di�erenzen mit �� # aller Arbeiten bei der

A�Bewertung gegen�uber �� # bei der B�Bewertung� Entsprechendes gilt

auch f�ur die Punktzahlen zwei und drei� Bei der Bewertung A erhalten mehr

Arbeiten zwei Punkte �� #� und weniger Arbeiten drei Punkte �� #�

als bei der Bewertung B �� # bzw� �� #�� Bei der Betrachtung der

Summe der jeweils den Punktzahlen zwei und drei zugewiesenen Arbeiten

ergeben sich mit �� # bei der Bewertung A gegen�uber �� # bei der

Bewertung B kaum noch Unterschiede�

Aufgrund der Komplexit�at dieser Problemstellung k�onnen die Ursachen f�ur

diese Di�erenzen vielf�altig sein� Bei den Punktzahlen null und eins ist es am

wahrscheinlichsten� da es bei vielen Arbeiten nicht zu entscheiden war� ob

das L�osungsverfahren v�ollig ungeeignet oder nur teilweise geeignet war� viel�


fach war eine L�osung m�oglicherweise auch gar nicht zu verstehen� Da sich

die Kriterien f�ur zwei und f�ur drei Punkte nicht �uberschneiden� sind hier

wohl Ungenauigkeiten in der Bewertung der naheliegendste Grund� Die Mit�

telwerte von �� Punkten bei der Bewertung A und von �� Punkten

bei der Bewertung B ergeben mit �� Punkten oder mit �� # �mit

drei als maximal erreichbarer Punktzahl� die h�ochste Di�erenz� welche bei

einem Problem f�ur die Phase�L�osen� �uberhaupt ermittelt worden ist� Bei

den Standardabweichungen ergibt sich mit �� Punkten die zweith�ochste

festgestellte Abweichung�


Auch f�ur die Phase�Beantworten� zeigen sich zwischen den entsprechen�

den Anteilen der Arbeiten bei allen Punktzahlen gewisse Unterschiede �vgl�

Tabelle �� Mit �� # ist die Di�erenz bei der Punktzahl null am gering�

sten� mit �� # liegt sie bei der Punktzahl eins im mittleren Bereich und mit

�� # ist sie bei der Punktzahl zwei am gr�o ten� Die Di�erenz zwischen den

beiden Mittelwerten liegt im Mittelfeld� die Abweichung zwischen den beiden

Standardabweichungen ist mit �� Punkten die zweitgr�o te im Vergleich

mit allen bei den anderen Problemen f�ur diese Phase berechneten Werten�







gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung




M�uhle�Problems

Aufgrund der geringen Bearbeitungsanzahl von nur Sch�ulern wirken sich

Ungenauigkeiten in der Bewertung relativ stark auf das Gesamtergebnis aus�


Der Unterschied bei der Punktzahl eins kann eine Folge der f�ur die Phase

�L�osen� vergebenen Punktzahlen sein� Der Unterschied bei der Punktzahl

zwei zwischen �� # der Arbeiten bei der Bewertung A und �� # der

Arbeiten bei der Bewertung B kann entweder auf Fehlern in der Zuweisung

der Punkte seitens der Bewertenden basieren oder auf unterschiedliche Auf�

fassungen �uber die Art oder den Umfang der erwarteten Antwort�

�� Ein Vergleich der beiden Bewertungs�

verfahren

F�ur den Vergleich der beiden Bewertungsverfahren werden im ersten Unter�

abschnitt die beiden gemittelten holistischen Gesamtpunktzahlen einander

gegen�ubergestellt� im zweiten Unterabschnitt werden Beziehungen zwischen

den bei den beiden Verfahren erreichten Punktzahlen aufgezeigt und die Wer�

te der Korrelationskoe�zienten f�ur alle drei Phasen des Probleml�osungspro�

zesses ausgewertet�


nisse

Die f�ur diese Auswertung ben�otigten holistischen Gesamtpunktzahlen der

beiden Bewertungsmethoden sind in der Tabelle �� dargestellt� Im Gegen�

satz zu den beiden bisher betrachteten Problemen zeigen sich beim M�uhle�

Problem deutliche Unterschiede in der Vergabe der Punkte zwischen den

beiden Bewertungsverfahren� Die gr�o ten Di�erenzen ergeben sich bei den

Punktzahlen sechs bis acht� So haben bei der holistischen Bewertung �� #

aller Arbeiten sechs Punkte erhalten� bei der analytischen Bewertung dage�

gen �� # aller Arbeiten� Dieses ergibt einen noch verh�altnism�a ig geringen

Unterschied von �� #� Etwas gr�o er ist mit �� # die Di�erenz bei der

Punktzahl sieben� Hier stehen �� # der Arbeiten bei der holistischen Be�

wertung nur �� # der Arbeiten bei der analytischen Bewertung gegen�uber�

Die gr�o te Di�erenz bei der Zuweisung der Punkte zeigt sich beim M�uhle�

Problem bei der h�ochsten Punktzahl� Bei der holistischen Bewertung haben

�� # aller Arbeiten acht Punkte erhalten� bei der analytischen Bewertung

dagegen �� # der Arbeiten� Hieraus resultiert eine Di�erenz von �� #�

Die Abweichungen bei den �ubrigen sechs Punktzahlen liegen jeweils unter

�� # und werden daher bei dieser Untersuchung au er Acht gelassen�


Ursachen f�ur die zuvor aufgezeigten Unterschiede zwischen den Anteilen

k�onnen nicht direkt erkannt werden� im Kapitel �� wird hierauf aber noch

einmal im Vergleich mit den anderen Problemen eingegangen� Festzuhalten

ist� da sich einerseits bei der Gegen�uberstellung der beiden holistischen Be�

wertungsergebnisse im ersten Abschnitt dieses Kapitels auch Unterschiede

bei den Punktzahlen eins und acht gezeigt hatten und da andererseits bei

dem Vergleich der analytischen Bewertungsergebnisse deutliche Di�erenzen

bei allen Punktzahlen der Phase�L�osen� und bei den Punktzahlen eins und

zwei der Phase�Beantworten� aufgetreten sind�

Bewertungsmethode










Punktzahl ��



gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



Eine Betrachtung der beiden Mittelwerte zeigt� da die durchschnittlich er�

reichte Punktzahl bei der analytischen Bewertung um fast einen drittel Punkt

oder� mit acht als Maximalpunktzahl� um �� # h�oher liegt als die bei

der holistischen Bewertung� Auch die Di�erenz zwischen den beiden Stan�

dardabweichungen von �� Punkten ist im Vergleich zu den beiden bisher

betrachteten Problemstellungen recht gro �



Nachdem im letzten Unterabschnitt die beiden holistischen Ergebnisse ein�

ander gegen�ubergestellt worden sind� werden nun speziell die Abh�angigkeiten

zwischen den in den einzelnen Phasen der analytischen Bewertung erreich�

ten Punktzahlen und den bei der holistischen Bewertung erreichten Punkten

miteinander verglichen�



Bewertung


L�osen� ��

Beantworten�







Bei den Werten der Phase�Verstehen� zeigen sich beim M�uhle�Problem im

Vergleich zu den anderen f�unf Problemen keine Besonderheiten� vergleiche

hierzu die Spalten eins und zwei der Tabelle �� Es bestehen wieder die

bereits festgestellten Beziehungen zwischen den jeweils erreichten analyti�

schen und durchschnittlichen holistischen Punktzahlen� Ein hoher Korrelati�

onskoe�zient rMV mit rMV � �� l�a t die Aussage zu� da in der Phase

�Verstehen� des M�uhle�Problems �� # aller Punktpaare in die gleiche

Richtung korrelieren�

Die Phase�L�osen� mu dagegen n�aher untersucht werden� da sich hier gewis�

se Besonderheiten im Vergleich zu den anderen Problemen der empirischen

Untersuchung zeigen� Arbeiten� die f�ur die Phase�L�osen� null analytische

Punkte erhalten haben� erreichten durchschnittlich �� holistische Punkte�

dieses ist der niedrigste Wert im Vergleich mit den restlichen Problemen�

Gleiches gilt f�ur die Punktzahl eins� So haben Arbeiten mit einem analyti�

schen Punkt durchschnittlich nur �� holistische Punkte erhalten� Die durch�

schnittliche holistische Punktzahl von �� Punkten f�ur Arbeiten mit zwei

analytischen Punkten liegt im Mittelfeld� Dagegen gilt f�ur Arbeiten mit drei


analytischen Punkten wieder� da die durchschnittliche holistische Punkt�

zahl von �� Punkten die geringste im Vergleich zu den anderen Problem�

stellungen ist� Trotzdem hat sich ein hoher Korrelationskoe�zient rML mit

rML � �� ergeben� der eine existierende sehr starke lineare Abh�angigkeit

zwischen den f�ur die Phase�L�osen� vergebenen analytischen Punkten und

den vergebenen holistischen Punkten verdeutlicht�

Wie bei den bereits zuvor ausgewerteten Problemen ist der Korrelationskoef�

�zient rMB f�ur die Phase�Beantworten� mit rMB � �� deutlich geringer

als die Korrelationskoe�zienten der anderen beiden L�osungsphasen� Es er�

gibt sich jetzt ein Bestimmtheitsma rMB� mit rMB

� � �� d�h� in der

Phase�Beantworten� korrelieren nur �� # aller Punktpaare in die gleiche

Richtung�




� Die beiden Werte der Dachkategorie I unterscheiden sich um mehr als

�� # voneinander� die der Dachkategorie III um �� #�

� Es zeigen sich erhebliche Di�erenzen bei den sich entsprechenden Wer�

ten der Kategorien eins �� #�� drei �� #� und f�unf �� #��

Die Unterschiede bei den Punktzahlen eins und drei sind wahrschein�

lich bedingt durch unterschiedliche Au�assungen dar�uber� wann eine

Arbeit nur eine bedeutungslose Bearbeitung zeigt und wann bereits

ein gewisses Verst�andnis f�ur das Problem vorhanden ist�

� In der Kategorie acht ergibt sich ebenfalls eine deutliche Di�erenz von

�� #�


� In der Phase�Verstehen� weisen die Anteile der Arbeiten mit zwei bzw�

mit drei Punkten jeweils eine Di�erenz von �uber �� # auf� Dieses zeigt�

da nicht bei allen Arbeiten eindeutig entschieden werden konnte� ob

das Problem teilweise oder v�ollig verstanden worden ist�


� In der Phase�L�osen� zeigen sich bei allen vier Punktzahlen starke bis

sehr starke Unterschiede zwischen den sich entsprechenden Gesamtzah�

len zwischen � # �Punktzahl drei� und �� # �Punktzahl eins�� Dieses

deutet darauf hin� da es schwierig war zu entscheiden� inwieweit das

angewendete L�osungsverfahren als geeignet angesehen werden konnte�

� In der Phase�Beantworten� sind bei allen Punktzahlen Di�erenzen

zwischen �� # �Punktzahl null� und �� # �Punktzahl zwei� festge�

stellt worden�


� Bei den Punktzahlen sechs� sieben und acht zeigen sich Di�erenzen von

�� #� von �� # und von �� #�

� Die Di�erenz zwischen den beiden Mittelwerten ist mit �� Punkten

verh�altnism�a ig gro �

� Gut �� # bzw� gut �� # aller Punktpaare korrelieren in den Phasen

�Verstehen� und


�Beantworten�

dagegen sind es nur gut �� # aller Punktpaare�

Kapitel ��

Die Auswertung des

W�urfelProblems

Am Anfang dieses Kapitels sollen noch einmal die wichtigsten Eigenschaften

dieser Problemstellung zusammengefa t werden� Das W�urfel�Problem ist ein



� divergentes Problem� zwar ist die gesuchte L�osungsmenge durch die

Problemstellung eindeutig festgelegt� aber aus seiner Formulierung geht

nicht hervor� ob es neben dem als Beispiel angegebenen Wurf noch

andere M�oglichkeiten f�ur W�urfe mit einer Augensumme von zw�olf gibt�

Das W�urfel�Problem ist durch die integrierte Zeichnung freundlich und ein�

ladend gestaltet worden� haupts�achlich sollte dadurch das Interesse f�ur die

Bearbeitung erh�oht werden� Nur ein Teil der Arbeitsb�ogen umfa te diese

Problemstellung� der andere Teil enthielt an seiner Stelle das Tier�Problem

sowie das Quadrate�Problem� Die Tabelle �� gibt einen genauen Aufschlu

�uber die Klassen� in denen das Problem gestellt worden ist� sowie �uber die zu�

geh�origen Klassenst�arken� Das W�urfel�Problem haben �� von �� Sch�ulern

bearbeitet� das entspricht einem Anteil von �� #� Damit ist das W�urfel�

Problem das am zweith�au�gsten bearbeitete Problem� Gr�unde hierf�ur k�onnen

in der durch die Zeichnung ansprechenden Optik der Problemstellung oder

in der praxisnahen und damit leicht vorstellbaren Problemsituation liegen�

jedes Kind hat bestimmt schon einmal gew�urfelt�

��

KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES W�URFELPROBLEMS ��



MG A ��

MG B � ��

RD A � � ��

RD B � � � ��

RD C ��

SB C ��

SB D ��

gesamt ��

Tabelle �� Die klassenspezi�schen Bearbeitungszahlendes W�urfel�Problems


wertungen

Die klassen�ubergreifenden Verteilungen der Punktzahlen null bis acht � ei�

nerseits bei der Bewertung A und andererseits bei der Bewertung B � sind

in der Tabelle �� dargestellt� Ein erster Vergleich der jeweiligen Werte der

unteren� der mittleren und der oberen Dachkategorie zeigt� da beim W�urfel�

Problem die Vergabe der Punkte sehr unterschiedlich erfolgt ist� Die Anteile

der diesen drei Kategorien zugewiesenen Arbeiten unterscheiden sich mit

�� #� �� # und �� # bei der Bewertung A deutlich von denen der

Bewertung B mit �� #� �� # und �� #� Hierdurch ergeben sich

speziell Di�erenzen in der Dachkategorie II von �� # und in der Dachka�

tegorie III von �� #� Ein detaillierter Vergleich der Werte der Kategorien

null bis acht zwischen beiden Bewertungen ist erforderlich�

Die Di�erenzen zwischen den entsprechenden Werten der Kategorien null bis

zwei liegen jeweils unter �� # und werden daher nicht weiter diskutiert�

Die deutlichsten Unterschiede zwischen beiden Bewertungen zeigen sich in

den Kategorien vier� f�unf und sechs� Bei der Bewertung A haben �� #

aller Arbeiten vier Punkte erhalten� dem stehen allerdings nur �� # der

Arbeiten bei der Bewertung B gegen�uber� woraus sich eine Di�erenz von

�� # ergibt� Bei f�unf Punkten steht einer Anzahl von �� # bei der

Bewertung A eine Anzahl von �� # bei der Bewertung B entgegen� und

bei sechs Punkten sind es �� # der Arbeiten �Bewertung A� gegen�uber

�� # der Arbeiten �Bewertung B�� Dieses f�uhrt zu sehr gro en Di�erenzen


















gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



von �� # bzw� von �� #� Die Di�erenz in der Kategorie sieben liegt

unter � # und ist damit wieder recht gering� Die Anteile der Kategorie acht

mit �� # der Arbeiten �Bewertung A� gegen�uber �� # der Arbeiten

�Bewertung B� unterscheiden sich schlie lich praktisch gar nicht�

Bei einer Vielzahl der L�osungen sind zwar andere m�ogliche W�urfelkombi�

nationen f�ur die Augensumme zw�olf aufgeschrieben oder aufgemalt worden�

aber eine Begr�undung� ob dieses alle M�oglichkeiten sind� fehlte� Auch lie

die Reihenfolge der anderen Kombinationen nicht auf eine systematische Er�

mittlung aller m�oglichen Kombinationen schlie en� Bei solchen Arbeiten ist

es z�B� nicht einfach zu entscheiden� ob der Sch�uler das Problem gr�o ten�

teils oder vollst�andig verstanden hat oder ob die L�osung falsch oder nicht

vollst�andig ist beispielsweise aufgrund von Mi verst�andnissen� falschen Wei�

terentwicklungen oder �Ubertragungs� bzw� Rechenfehlern� Im Kapitel �� wird


hierauf im Rahmen der Theoriebildung noch einmal genauer eingegangen�

Das W�urfel�Problem weist im Vergleich zu den anderen f�unf Problemen

der empirischen Untersuchung mit �� Punkten �Bewertung A� bzw� mit

�� Punkten �Bewertung B� die beiden h�ochsten Mittelwerte aller Prob�

lemstellungen � bezogen auf ihre jeweiligen Bewertungen � auf� Es ergibt sich

hieraus ein Unterschied von �� Punkten oder von �� # �bei einer

H�ochstpunktzahl von acht�� Die Standardabweichungen von �� Punkten

bzw� von �� Punkten ergeben eine Di�erenz von �� Punkten� welche

die h�ochste im Vergleich zu allen untersuchten Problemstellungen ist�


Bewertungen

Nachdem im letzten Abschnitt Unterschiede und �Ubereinstimmungen zwi�

schen den Ergebnissen der beiden holistischen Bewertungen sowie m�ogliche

Ursachen f�ur aufgetretene Abweichungen herausgearbeitet worden sind� wer�

den in diesem Abschnitt die Ergebnisse der beiden analytischen Bewertungen

untersucht�


Die zur Auswertung der Bewertungsergebnisse erforderlichen Daten sind in

der Tabelle �� dargestellt� Wenn man mit einem Vergleich der Mittelwerte

und der Standardabweichungen beginnt� so stellt man fest� da � im Ver�

gleich zu allen anderen untersuchten Problemen � hier die mittleren vergebe�

nen Punktzahlen mit �� Punkten bei der Bewertung A bzw� mit ��

Punkten bei der Bewertung B jeweils am h�ochsten sind� Aus diesen beiden

Werten ergibt sich eine Di�erenz von �� Punkten� was bei einer maximal

zu vergebenden Punktzahl von drei einem Anteil von �� # entspricht�

Weiter stellt man fest� da die entsprechenden Standardabweichungen jeweils

am geringsten sind� Bei den Werten der den einzelnen Punktzahlen zugewie�

senen Arbeiten zeigen sich jeweils leichte Unterschiede� Die beiden Werte bei

der Punktzahl drei weisen mit �� # schon die gr�o te Di�erenz auf� Im

Prinzip kann man also sagen� da die Zuweisung der Punkte vergleichbar er�

folgt ist� Dieses zeigt� da die Sch�ulerarbeiten in der Regel guten Aufschlu

dar�uber gegeben haben� inwieweit das W�urfel�Problem verstanden wurde�









gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



�Verstehen� des

W�urfel�Problems


Bei dieser Phase zeigen sich nun gro e Unterschiede zwischen beiden Be�

wertungen� speziell bei der Vergabe der beiden mittleren Punktzahlen �vgl�

hierzu Tabelle �� Bei null und bei drei Punkten sind die Unterschiede

mit �� # der Arbeiten bei der Bewertung A gegen�uber �� # der Ar�

beiten bei der Bewertung B bzw� mit �� # gegen�uber �� # relativ

gering� Da diese Di�erenzen wohl durch Ungenauigkeiten in der Zuweisung

der Punkte bedingt sind� wird hierauf nicht weiter eingegangen� Sehr gro e

Unterschiede zeigen sich dagegen bei einem Punkt und bei zwei Punkten�

Bei der Bewertung A haben �� # der Sch�uler die Punktzahl eins erreicht�

bei der Bewertung B dagegen sind es �� # aller Sch�uler� �Ahnlich sieht

es bei der Punktzahl zwei aus� Hier betr�agt die Anzahl der Arbeiten bei der

A�Bewertung �� # und die bei der B�Bewertung �� #� Es ergeben sich

Di�erenzen von �� # bzw� von �� #�

Grunds�atzlich unterscheiden sich die Kriterien f�ur einen Punkt und f�ur zwei

Punkte darin� da f�ur die Vergabe von einem Punkt das L�osungsverfahren

nur teilweise geeignet sein mu oder da es bei der Anwendung eines richti�

gen L�osungsverfahrens zu schweren Fehlern kommt� F�ur die Vergabe von zwei

Punkten mu das L�osungsverfahren geeignet sein� es kommt nur zu kleinen

Fehlern oder zu einer nicht vollst�andigen L�osung� O�ensichtlich �uberschnei�

den sich die Kriterien dieser beiden Kategorien theoretisch nicht� Eine Ursa�









gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



�L�osen� des W�urfel�

Problems

che f�ur die unterschiedliche Zuweisung der Punkte f�ur die Phase�L�osen� des

W�urfel�Problems kann allerdings darauf beruhen� da bei vielen Arbeiten die

Anwendung eines L�osungsverfahrens im eigentlichen Sinne nicht festgestellt

werden konnte� Schwierigkeiten bei der Zuweisung einer Punktzahl ergeben

sich speziell bei solchen Arbeiten� bei denen unsystematisch und ohne irgend�

welche Begr�undungen andere m�ogliche W�urfelkombinationen aufgeschrieben

worden sind� Bei derartigen Arbeiten konnte nicht immer eindeutig entschie�

den werden� ob ein Sch�uler durch diese Vorgehensweise ein teilweise richtiges

Verfahren oder ein wirklich geeignetes Verfahren verwendet hat� Insbesondere

gilt dieses f�ur nicht fehlerfreie Arbeiten�

Was sich bereits bei der Auswertung der Phase�Verstehen� bez�uglich der

beiden Mittelwerte gezeigt hat� gilt auch f�ur diese Phase� Mit �� Punkten

bzw� mit �� Punkten sind dieses jeweils die h�ochsten Mittelwerte der

beiden Bewertungen f�ur die Phase�L�osen�� Man erh�alt hieraus eine Di�erenz

von �� # �bei drei als h�ochster Punktzahl� oder von �� Punkten�

Im Vergleich mit den anderen Problemen sind allerdings sowohl die Di�erenz

zwischen den beiden Mittelwerten als auch die Di�erenz zwischen den beiden

Standardabweichungen jeweils recht hoch�









gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung




W�urfel�Problems

Abschlie end wird in diesem Unterabschnitt die Verteilung der Punkte f�ur

die Phase�Beantworten� bei der Bewertung A mit der bei der Bewertung B

verglichen� Bei zwei Punkten stehen sich �� # bzw� �� # der Arbeiten

entgegen� Der Unterschied zwischen diesen Werten ist sehr gering und kann

als eine Konsequenz von Bewertungsungenauigkeiten angesehen werden� Da�

gegen ist die Zuweisung der Punkte null und eins recht unterschiedlich erfolgt�

So haben bei der Bewertung des Autors �� # der Arbeiten null Punkte und

�� # der Arbeiten einen Punkt erhalten� bei der Bewertung der Studentin

hingegen waren es �� # bzw� �� # der Arbeiten� Die Kriterien f�ur die�

se beiden Punktzahlen weisen keine �Uberschneidungen auf� F�ur die Vergabe

von null Punkten mu die Antwort g�anzlich fehlen oder sie mu aufgrund

eines ungeeigneten L�osungsverfahrens falsch sein� f�ur die Vergabe von einem

Punkt hingegen mu die Antwort trotz eines angemessenen L�osungsverfah�

rens falsch sein� Dieses zeigt� da sich die bei der Untersuchung der Phase

�L�osen� ge�au erte Vermutung bewahrheitet hat� Eine Entscheidung� ob ein

Verfahren zur L�osung nur teilweise oder ganz geeignet war� war nicht immer

eindeutig m�oglich� Diese Festsetzung hat also einen direkten Ein�u auf die

Vergabe der Punkte f�ur die Phase�Beantworten��

Auch bei dieser L�osungsphase sind die beiden Mittelwerte des W�urfel�Prob�

lems in ihren Bewertungen� im Vergleich mit denen der restlichen f�unf Proble�

me� jeweils die h�ochsten� beide Standardabweichungen liegen dagegen im un�


teren Bereich� Die Di�erenz zwischen den beiden Mittelwerten ist mit ��

Punkten oder mit �� # �bei einer Maximalpunktzahl von zwei� sehr ge�

ring� Die Di�erenz zwischen den beiden Standardabweichungen ist mit ��

Punkten dagegen die h�ochste �uberhaupt ermittelte Abweichung�


verfahren

Nachdem in den beiden ersten Abschnitten dieses Kapitels die Ergebnisse

der beiden holistischen bzw� analytischen Bewertungen diskutiert worden

sind� erfolgt in diesem Abschnitt ein Vergleich der beiden unterschiedlichen

Bewertungsverfahren�


nisse

Die f�ur diesen Vergleich ben�otigten Daten sind in der Tabelle �� darge�

stellt� Wenn man die Anteile der Arbeiten bei allen neun Punktzahlen bei

beiden Bewertungen betrachtet� so lassen sich gewisse �Ahnlichkeiten mit den

Verteilungen der Punktzahlen beim M�uhle�Problem erkennen� Beide Proble�

me zeigen Di�erenzen bei den drei h�ochsten Punktzahlen� So haben bei der

holistischen Bewertung �� # aller Arbeiten sechs Punkte erhalten� �� #

aller Arbeiten sieben Punkte und �� # aller Arbeiten acht Punkte� Dem

stehen bei der analytischen Bewertung Anteile von �� #� �� # und

�� # entgegen� Es ergeben sich somit Abweichungen von �� #� �� #

und �� #� Die Di�erenzen bei den anderen Punktzahlen liegen s�amtlich

unter �� #� M�ogliche Gr�unde hierf�ur werden im Kapitel �� dargelegt� Die�

se doch verschiedenen Verteilungen der Punkte bei beiden Bewertungsme�

thoden dr�ucken sich auch durch die beiden Mittelwerte aus� Es ergibt sich

zwischen diesen eine Di�erenz von �� Punkten� bei der H�ochstpunkt�

zahl acht entspricht dieses �� #� Dagegen ist die Di�erenz zwischen den

beiden Standardabweichungen mit �� Punkten sehr klein�


In diesem Abschnitt werden die f�ur die einzelnen Phasen des Probleml�osungs�

prozesses erreichten analytischen Punkte mit den durchschnittlich erreichten


Bewertungsmethode










Punktzahl ��



gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



holistischen Punktzahlen verglichen�

Als erstes wird die Phase�Verstehen� untersucht� Die hierf�ur ben�otigten

Daten stehen in den Spalten eins und zwei der Tabelle �� Arbeiten� die

null analytische Punkte erhalten haben� haben durchschnittlich �� holi�

stische Punkte erreicht� Im Vergleich zu allen anderen Problemen ist dieses

die h�ochste durchschnittliche Punktzahl� die Arbeiten mit null analytischen

Punkten in der Phase�Verstehen� aufweisen� Die durchschnittlichen holi�

stischen Punktzahlen f�ur die analytischen Punktzahlen eins� zwei und drei

liegen dagegen mit �� Punkten� mit �� Punkten und mit �� Punkten im

Vergleich mit den anderen Problemen im mittleren Bereich� F�ur die Phase

�Verstehen� ergibt sich ein Korrelationskoe�zient rWV mit rWV � ��

Dieses ist der niedrigste Korrelationskoe�zient� der f�ur die Phase�Verstehen�

berechnet worden ist� Allerdings besagt dieser� da immerhin noch �� #

aller Punktpaare in die gleiche Richtung korrelieren�

Die Daten f�ur die Phase�L�osen� stehen in den Spalten eins und drei der

Tabelle �� Bei den durchschnittlichen holistischen Punktzahlen ist nur die




Bewertung


L�osen� ��

Beantworten�







f�ur die analytische Punktzahl zwei herauszustellen� Sie betr�agt �� Punkte

und ist damit die h�ochste holistische Durchschnittspunktzahl� die Arbeiten

mit zwei analytischen Punkten in der Phase�L�osen� aufweisen� Im Vergleich

zur Phase�Verstehen� ergeben sich jetzt auch wieder mit rWL � �� ein

deutlich h�oherer Korrelationskoe�zient und mit rWL� � �� ein deutlich

h�oheres Bestimmtheitsma �

S�amtliche durchschnittlich erreichten holistischen Punktzahlen sowie der Kor�

relationskoe�zient f�ur die Phase�Beantworten� geh�oren � im Vergleich mit

den Werten der anderen f�unf Probleme in dieser Phase � zu den niedrigsten

bzw� h�ochsten Werten in dieser Phase� Arbeiten� die null analytische Punk�

te f�ur die Phase�Beantworten� erhalten haben� erreichten durchschnittlich

�� Punkte bei der holistischen Bewertung� dieses ist der niedrigste durch�

schnittliche Wert bei null analytischen Punkten� Dagegen sind die holisti�

schen Punktzahlen� die Arbeiten mit einem analytischen Punkt bzw� mit

zwei analytischen Punkten durchschnittlich erreicht haben� mit �� bzw�

�� Punkten die h�ochsten� die in dieser Phase erreicht worden sind� Auch

der Korrelationskoe�zient rWB mit rWB � �� ist der gr�o te Korrela�

tionskoe�zient� der f�ur die Phase�Beantworten� berechnet worden ist� Er

besagt� da �� # aller Punktpaare in die gleiche Richtung korrelieren�





� In der Dachkategorie I weisen die entsprechenden Werte der beiden

Bewertungen Di�erenzen von �� # auf� in den Dachkategorien II und

III von knapp unter �� # bzw� etwas �uber � #�

� Die gr�o ten Unterschiede in der Punktzuweisung zeigen sich in den

Kategorien vier �� #�� f�unf �� #� und sechs �� #�� Eine

Ursache hierf�ur liegt m�oglicherweise in der Schwierigkeit� unsystema�

tisch aufgeschriebene W�urfelkombinationen zu beurteilen�


� In der Phase�Verstehen� zeigen sich bei den entsprechenden Anteilen

der den Punktzahlen null bis drei zugewiesenen Arbeiten nur geringe

Di�erenzen bis zu �� #�

� In der Phase�L�osen� gibt es bei den Punktzahlen eins und zwei sehr

gro e Di�erenzen zwischen den jeweiligen Werten von �uber �� # bzw�

von �uber �� #� Die Schwierigkeit der Zuweisung einer bestimmten

Punktzahl zu Arbeiten mit unsystematisch aufgeschriebenen W�urfel�

kombinationen ist ein m�oglicher Grund f�ur diese Abweichungen�

� In der Phase�Beantworten� weisen die Anteile f�ur null Punkte und f�ur

einen Punkt Di�erenzen von etwa �� # bzw� von fast �� # auf� Diese

ergeben sich h�ochstwahrscheinlich als Ursache aus den unterschiedli�

chen Zuweisungen der Punkte f�ur die Phase�L�osen��


� Bei den Punktzahlen sechs bis acht zeigen die Werte Di�erenzen zwi�

schen �� # und ��#�

� Die Di�erenz von �� Punkten zwischen den beiden Mittelwerten

ist im Verh�altnis recht hoch�


� In den Phasen�Verstehen��

�L�osen� und

�Beantworten� korrelieren

jeweils gut � #� fast � # bzw� fast � # aller Punktpaare in die

gleiche Richtung�

� Der Korrelationskoe�zient rWV f�ur die Phase�Verstehen� mit rWV �

�� ist im Vergleich mit denen der anderen untersuchten Probleme

der kleinste f�ur diese Phase berechnete Wert�

� Dagegen ist der Korrelationskoe�zient rWB f�ur die Phase�Beantwor�

ten� mit rWB � �� im Vergleich zu den anderen untersuchten

Problemen der gr�o te f�ur diese Phase berechnete Wert�

Kapitel ��

Die Auswertung des

TierProblems

Nicht alle Arbeitsb�ogen beinhalteten das Tier�Problem� Entweder sind auf

den Arbeitsb�ogen das M�uhle�Problem oder gleichzeitig das W�urfel�Problem

und das Tier�Problem gestellt worden� Als die wichtigsten Eigenschaften die�

ses Problems lassen sich nennen�

� einstu�ges� algebraisches Proze problem�


� konvergentes Problem� die L�osung dieses Problems ist in der Regel auf

algorithmischem Wege m�oglich�

Die Schwierigkeit des Tier�Problems bestand darin� da zwei unterschiedliche

Daten f�ur die L�osung erkannt und verwendet werden mu ten und da � im

Gegensatz zum ebenfalls algebraischen Bonbon�Problem � auch zwei Werte

als L�osung gesucht waren� n�amlich die Anzahl der M�ause und die Anzahl der

Wellensittiche� Dieses Problem ist auf den Arbeitsb�ogen von �� Sch�ulern

gestellt worden� �� Sch�uler davon haben es bearbeitet �vgl� hierzu auch

Tabelle �� Damit liegt die Bearbeitungsquote von �� # nur knapp

hinter der des �algebraischen� Bonbon�Problems�

��

KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES TIERPROBLEMS ��



LF � A ��

LF A ��

RD � A ��

RD � B ��

RD � C ��

SB A � ��

gesamt ��

Tabelle �� Die klassenspezi�schen Bearbeitungszahlendes Tier�Problems


wertungen

In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der beiden holistischen Bewertun�

gen des Tier�Problems analysiert� die hierf�ur ben�otigten Daten liefert die Ta�

belle �� Ein erster Vergleich der zusammenpassenden Werte in den Dach�

kategorien I bis III zeigt zun�achst keine gravierenden Unterschiede in den

Punktzuweisungen zwischen dem Autor und der Studentin� Die maximale

Di�erenz betr�agt �� #� Trotzdem ist es notwendig� die einzelnen Kategori�

en der Dachkategorien I und II noch einmal detailliert zu betrachten� F�ur die

Dachkategorie III ist dieses nicht erforderlich� da hier einerseits die Anteile

der Arbeiten mit �� # bei der Bewertung A gegen�uber �� # bei der Be�

wertung B fast �ubereinstimmen und andererseits die entsprechenden Werte

der Kategorien sechs bis acht jeweils eng beieinander liegen� Die Zuweisung

der Punkte bei guten bis sehr guten Arbeiten erwies sich o�ensichtlich f�ur

beide Bewerter als einfach und eindeutig�

Der Dachkategorie I� in welcher die Arbeiten keinen oder einen unklaren

L�osungsversuch bzw� nur unbedeutende Bearbeitungen zeigen� sind durch

den Autor �� # der Arbeiten zugewiesen worden und durch die Vergleichs�

bewertung �� # der Arbeiten� Au��allig bei dieser Dachkategorie sind die

Unterschiede der Werte in den Kategorien null und eins� So zeigen bei der

A�Bewertung �� # aller Arbeiten ein Kriterium der Kategorie null und

�� # aller Arbeiten ein Kriterium der Kategorie eins� bei der B�Bewertung

sind es dagegen �� # bzw� �� #� Dieses f�uhrt zu Di�erenzen von �� #

bzw� von �� #� Es ist allerdings beim Bonbon�Problem schon festgestellt









Dachkategorie I ��









gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



worden� da eine Unterscheidung zwischen den Kriterien der Kategorie null

und den Kriterien der Kategorie eins unter Umst�anden schwierig sein kann�

In der Dachkategorie II zeigen sich nicht zu erkl�arende Abweichungen� Jeweils

�� # der Arbeiten sind drei Punkte zugewiesen worden� Dagegen steht bei

vier Punkten einem Anteil von �� # bei der Bewertung A ein Anteil von

nur �� # bei der Bewertung B gegen�uber� Die Anteile in der Kategorie f�unf

sind mit einer Arbeit gegen�uber null Arbeiten wieder praktisch identisch�

Der Unterschied zwischen den beiden Mittelwerten ist mit �� Punkten�

das entspricht bei einer gr�o tm�oglichen Punktzahl von acht Punkten einem

Anteil von �� #� im Vergleich mit den anderen f�unf Problemstellungen

der h�ochste� Die Di�erenz zwischen den beiden Standardabweichungen liegt

im Mittelfeld�



Bewertungen

In diesem Abschnitt werden die beiden analytischen Bewertungen miteinan�

der verglichen� Hierzu werden wieder die Anteile der den einzelnen Punkt�

zahlen zugewiesenen Arbeiten getrennt nach den drei Phasen�Verstehen��

�L�osen� und

�Beantworten� des Probleml�osungsprozesses ausgewertet�


Die Daten in der Tabelle �� zeigen sofort� da f�ur die Phase�Verstehen�

die Punkte durch beide Bewertungen sehr �ahnlich vergeben worden sind�








gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



�Verstehen� des

Tier�Problems

Die gr�o ten Di�erenzen zeigen sich bei null Punkten und bei einem Punkt mit

jeweils ungef�ahr � #� Diese Di�erenzen heben sich allerdings praktisch fast

auf� wenn man bei jeder Bewertung jeweils die Anteile der Arbeiten mit null

Punkten und mit einem Punkt aufsummiert und diese einander gegen�uber�

stellt� Bei zwei Punkten gibt es eine Di�erenz von gerade einmal einer Arbeit

und bei drei Punkten treten mit jeweils �� Arbeiten �uberhaupt keine Unter�

schiede zwischen den Anteilen auf� Fast das gleiche Ergebnis hat auch die

Auswertung der Phase�Verstehen� des Bonbon�Problems gezeigt� welches�


genau wie das Tier�Problem� ein geschlossenes� algebraisches Proze problem

ist �vgl� hierzu auch Unterabschnitt �� Diese Zuweisungen der Punkte

zeigen� da auch bei diesem Problem die Sch�ulerarbeiten in der Regel einen

guten Aufschlu dar�uber gegeben haben� inwieweit das Problem verstanden

worden ist� Sowohl die Di�erenz zwischen den beiden Mittelwerten von nur

�� # mit der H�ochstpunktzahl drei als Basis als auch die Di�erenz zwi�

schen den beiden Standardabweichungen sind jeweils die zweitkleinsten aller

Probleme f�ur die Phase�Verstehen��









gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



�L�osen� des Tier�

Problems

Wie die Tabelle �� zeigt� sind auch f�ur die Phase�L�osen� die Punkte bei

beiden Bewertungen sehr �ahnlich vergeben worden� von klaren Unterschie�

den kann man in diesem Fall nicht sprechen� So haben �� # aller Arbeiten

bei der Bewertung A bzw� �� # aller Arbeiten bei der Bewertung B null

Punkte erhalten und jeweils ��# aller Arbeiten einen Punkt� Die gr�o te

Di�erenz tritt bei zwei Punkten mit Anteilen von �� # gegen�uber �� #

auf� Die Werte f�ur drei Punkte unterscheiden sich nur durch eine einzige

Arbeit� Die Di�erenz zwischen den beiden Mittelwerten ist mit �� #

�bezogen auf drei maximal erreichbare Punkte� die zweitkleinste� die Di�e�

renz zwischen den beiden Standardabweichungen ist die kleinste im Vergleich

mit denen der anderen f�unf Probleme�



Im Gegensatz zu den beiden ersten Phasen zeigen sich nun zwischen den bei�

den Zuweisungen der Punkte gewisse Unterschiede� auch wenn die Tendenz

zur Verteilung der Punkte bei beiden Bewertungen gleich ist �vgl� hierzu auch

Tabelle ��







gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung




Tier�Problems

So ergibt sich bei der Zuweisung der Punktzahl null eine Di�erenz von �� #

zwischen den Werten der beiden Bewertungen und bei der Punktzahl eins ei�

ne Di�erenz von �� #� Bei zwei Punkten unterscheiden sich die beiden

Gesamtzahlen um genau eine Arbeit� d�h� um nur �� #� Eine �ahnliche

Verteilung der Punkte f�ur die Phase�Beantworten� hatte sich auch beim

W�urfel�Problem gezeigt� Im Gegensatz zum jetzt untersuchten Problem sind

aber beim W�urfel�Problem ebenfalls gro e Di�erenzen in der Phase�L�osen�

festgestellt worden� Diese wurden als die Hauptursache f�ur die Abweichun�

gen bei den Punktzahlen null und eins bei der Phase�Beantworten� aus�

gemacht� Auch unterschiedliche Au�assungen �uber die Art bzw� �uber den

Umfang einer L�osung sind hier keine wahrscheinlich erscheinenden Gr�unde�

da algebraische Proze probleme normalen Textaufgaben doch recht �ahnlich

sind und daher das von Textaufgaben bekannte L�osungsschema�Frage !

Rechnung ! Antwort� auch bei dieser Problemart fast immer angewendet

worden ist� Die Di�erenz von �� Punkten zwischen beiden Mittelwerten�

dieses sind �� # bei einer maximal zu erreichenden Punktzahl von zwei�

ist die relativ niedrig f�ur die Phase�Beantworten��



verfahren

Nachfolgend werden die beiden unterschiedlichen Bewertungsverfahren mit�

einander verglichen� Unterschiede und �Ubereinstimmungen zwischen den Er�

gebnissen der beiden Methoden werden herausgestellt�


nisse

Die Daten in der Tabelle �� zeigen� da die Verteilung der Punkte bei beiden

Bewertungsverfahren �ahnlich erfolgt ist� Allerdings werden auch Unterschiede

bei den Punktzahlen null und eins bzw� vier und f�unf von mehr als �� #

sichtbar� Die Abweichungen bei den anderen Punktzahlen betragen weniger

als � # und m�ussen somit nicht mehr gesondert betrachtet werden�

Bei der holistischen Bewertung haben �� # aller Arbeiten null Punkte und

�� # aller Arbeiten einen Punkt erhalten� bei der analytischen Bewertung

sind es �� # und �� #� Es ergeben sich Unterschiede zwischen diesen

Anteilen von �� # bzw� von �� #� Betrachtet man allerdings die Anteile

der Arbeiten mit null Punkten und mit einem Punkt jeweils in der Summe�

so ergeben sich �� Arbeiten �holistische Bewertung� und �� Arbeiten �ana�

lytische Bewertung�� diese Anteile sind praktisch gleich� Entsprechendes gilt

auch f�ur die Punktzahlen vier und f�unf� Bei der holistischen Bewertung ha�

ben �� # aller Arbeiten vier Punkte und �� # aller Arbeiten f�unf Punkte

erhalten� bei der analytischen Bewertung sind es �� # und �� #� Betrach�

tet man nun jeweils wieder die Anteile der Arbeiten mit vier und mit f�unf

Punkten in der Summe� so stehen auf der einen Seite zehn Arbeiten und auf

der anderen Seite neun Arbeiten� woraus sich wiederum ein Unterschied von

nur genau einer Arbeit ergibt� Im Kapitel �� werden die soeben festgestell�

ten Unterschiede noch einmal im Zusammenhang mit den unterschiedlichen

Problemcharakteristiken aufgegri�en�

Die gro e �Ahnlichkeit zwischen den beiden Bewertungsmethoden zeigen auch

die Mittelwerte� Es ergibt sich zwischen diesen beiden eine Di�erenz von nur

�� Punkten� also ein prozentualer Anteil von �� # bei der Maximal�

punktzahl acht� Auch die Di�erenz zwischen den beiden Standardabweichun�

gen ist mit �� Punkten sehr klein�


Bewertungsmethode













gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung




S�amtliche Daten� die f�ur die Auswertungen in diesem Unterabschnitt ben�otigt

werden� sind in der Tabelle �� dargestellt� Betrachtet man die Werte f�ur

die Phase�Verstehen� in den Spalten eins und zwei dieser Tabelle� so stellt

man fest� da die zu den analytischen Punktzahlen eins und zwei geh�oren�

den durchschnittlich erreichten holistischen Punktzahlen mit �� Punkten

und mit �� Punkten jeweils die h�ochsten Punktzahlen sind� die bei die�

ser Untersuchung im Vergleich mit allen sechs Problemen bei dieser Phase

erreicht worden sind� Auch die zur analytischen Punktzahl drei geh�orende

holistische Durchschnittspunktzahl von �� Punkten ist immerhin noch die

zweith�ochste Punktzahl f�ur diese Phase� Dieses dr�uckt auch der Korrelati�

onskoe�zient rTV mit rTV � �� aus� Man kann hieraus schlie en� da

�� # aller Punktpaare in die gleiche Richtung korrelieren� Dieses ist die

h�ochste berechnete Korrelationsquote von allen sechs Problemen f�ur die Pha�

se�Verstehen��




Bewertung


L�osen� ��

Beantworten�







Bei der Phase�L�osen� weist das Tier�Problem keine Besonderheiten auf� Der

Korrelationskoe�zient rTL mit rTL � �� ist in dieser Phase zwar etwas

geringer� aber er deutet noch immer auf eine sehr starke Abh�angigkeit zwi�

schen den in der Phase�L�osen� erreichten analytischen Punkten einer Arbeit

und den durchschnittlich erreichten holistischen Punkten hin� F�ur die Phase

�Beantworten� ist herauszustellen� da bei diesem Problem Arbeiten� denen

zwei analytische Punkte zugewiesen wurden� durchschnittlich nur �� Punk�

te bei der holistischen Bewertung erhalten haben� dieses ist im Vergleich zu

den anderen Problemen die kleinste durchschnittliche Punktzahl� Als Kor�

relationskoe�zient f�ur die Phase�Beantworten� des Tier�Problems hat sich

der Wert rTB � �� ergeben� d�h� �� # aller Werte korrelieren in die

gleiche Richtung�




� Die Di�erenzen zwischen den entsprechenden Werten der Dachkatego�

rien I bzw� II belaufen sich auf �� # bzw� auf �� #�

� Es zeigt sich jeweils eine deutliche Di�erenz zwischen beiden Werten

der Kategorie null �� #� bzw� der Kategorie eins �� #�� Es wird


hierdurch wieder bekr�aftigt� da eine genaue Unterscheidung zwischen

den Kriterien f�ur null Punkte bzw� f�ur einen Punkt schwierig sein kann�

� In der Kategorie vier betr�agt die Di�erenz �� # und ist damit verh�alt�

nism�a ig gro � Eine Ursache hierf�ur konnte nicht ermittelt werden�


� In der Phase�Verstehen� liegen die Di�erenzen bei den Punktzahlen

null und eins zwischen �� # und #�

� In der Phase�L�osen� liegen alle Abweichungen zwischen den Werten

der sich entsprechenden Punktzahlen jeweils unter �� #�

� In der Phase�Beantworten� gibt es Di�erenzen bei den Punktzahlen

null und eins von jeweils �uber � #� Sofern die Unterschiede nicht durch

die Phase�L�osen� oder durch unterschiedliche Au�assungen �uber das

Aussehen der L�osung bedingt sind� lassen sich keine Gr�unde daf�ur an�

geben�


� Es zeigen sich bei den Punktzahlen null und eins Di�erenzen von �� #

bzw� von �� #� Bei einer summenm�a igen Betrachtung heben sich

diese Unterschiede allerdings fast auf�

� Die Di�erenzen bei den Punktzahlen vier und f�unf belaufen sich auf

�� # bzw� auf �� #� Bei einer summenm�a igen Betrachtung heben

sich diese Unterschiede ebenfalls fast auf�

� Bei den Phasen�Verstehen��

�L�osen� und


jeweils fast � #� fast �� # bzw� fast � # aller Punktpaare in die

gleiche Richtung�

� Der Korrelationskoe�zient rTV f�ur die Phase�Verstehen� mit rTV �

�� ist im Vergleich mit den anderen untersuchten Problemen der

gr�o te f�ur diese Phase berechnete Wert�

Kapitel ��

Die Auswertung des

QuadrateProblems

Das sechste und damit letzte Problem der empirischen Untersuchung ist das

Quadrate�Problem� Es ist gekennzeichnet als

� geometrisches Proze problem�


� konvergentes Problem� das in der Regel anhand konvergenter Arbeits�

weisen gel�ost werden kann�

� zweistu�ges Problem� denn im Gegensatz zu allen anderen Problemen

der empirischen Untersuchung wird jetzt zum einen nach der Anzahl

der erforderlichen H�olzer f�ur zehn Quadrate und zum anderen nach der

Anzahl der erforderlichen H�olzer f�ur einhundert Quadrate gefragt�

Ein f�ur das Verstehen und L�osen dieses Problems zwingend notwendiger Teil

war die in die Problemstellung integrierte Zeichnung mit dem dar�uberstehen�

den Text� Die Antwort auf die Frage nach der Anzahl der ben�otigten H�olzer

f�ur zehn Quadrate wurde �uberwiegend auf graphischem Weg gefunden� die

gesuchte Anzahl f�ur einhundert Quadrate ist ausschlie lich rechnerisch er�

mittelt worden� Hierzu war ein gewisser Abstraktionsschritt erforderlich� Die

Tabelle �� zeigt� in welchen Klassen das Quadrate�Problem gestellt worden

ist und wieviele Sch�uler einer Klasse dieses jeweils bearbeitet haben� Nach

dem Hallo�Problem und demW�urfel�Problem zeigt dieses Problem mit einem

Anteil von �� # die dritth�ochste Bearbeitungsquote��

�Wenn man die Bearbeitungsquoten von allen sechs Problemen vergleicht� zeigt sich�da� Probleme mit integrierter Zeichnung � unabh�angig vom Schwierigkeitsgrad des Prob�

��

KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES QUADRATEPROBLEMS ��



LF � A ��

LF A ��

RD � A ��

RD � B ��

RD � C ��

SB A � ��

gesamt ��

Tabelle �� Die klassenspezi�schen Bearbeitungszahlendes Quadrate�Problems


wertungen

Die Daten f�ur die Analyse der Ergebnisse der beiden holistischen Bewertun�

gen sind in der Tabelle �� dargestellt� In der unteren und in der mittleren

Dachkategorie zeigen sich mit Di�erenzen von �� # bzw� von �� # sehr

starke Unterschiede zwischen den Anteilen der beiden Bewertungen� So steht

in der Dachkategorie I einem Anteil von �� # bei der Bewertung A ein

Anteil von �� # bei der Bewertung B gegen�uber� in der Dachkategorie II

ist es ein Anteil von �� # gegen�uber einem Anteil von �� #� Dagegen

ist der Unterschied in der Dachkategorie III mit einem Anteil von �� # bei

der A�Bewertung und einem Anteil von �� # bei der B�Bewertung extrem

gering�

Im Wertungsbereich von null bis zwei Punkten weisen die Kategorien null

und eins deutliche Unterschiede auf� Durch den Autor sind �� # der Ar�

beiten mit null Punkten und �� # der Arbeiten mit einem Punkt bewertet

worden� durch die Studentin waren es �� # bzw� �� #� Auch die Anteile

der Kategorien drei und vier weichen klar voneinander ab� Bei der Kategorie

drei ergibt sich mit �� # gegen�uber �� # eine geringe Di�erenz� bei der

Kategorie vier ist diese mit �� # gegen�uber �� # allerdings sehr stark�

Schwierigkeiten in der Zuweisung von null Punkten oder von einem Punkt

wurden auch bereits bei anderen Problemen festgestellt�

lems � sehr viel �ofter angegangen worden sind als solche ohne Zeichnung� Dieses legt dieVermutung nahe� da� auch die optische Gestaltung der Probleme die Bereitschaft derSch�uler zu einer Auseinandersetzung mit der Problemstellung beein�ussen kann�


Punktzahl Bewertung A Bewertung B










Dachkategorie II � ��





gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



Es ist anzunehmen� da beim Quadrate�Problem ein Abschreiben von Anga�

ben� was bei dieser Art der Problemstellung wohl eher dem Abzeichnen der

Quadrate entspricht� einerseits als bedeutungslose Bearbeitung� andererseits

aber schon als geeignetes L�osungsverfahren verstanden worden ist� In diesem

Zusammenhang war o�enbar eine Entscheidung dar�uber schwierig� inwieweit

das angewendete Verfahren f�ur die L�osung geeignet ist� wenn das Endergebnis

der Arbeit selbst falsch ist� Auch die Zweistu�gkeit dieser Problemstellung

darf nicht au er Acht gelassen werden� Im Kapitel �� werden diese Aspekte

noch einmal aufgegri�en�

Die Mittelwerte sind mit �� Punkten �Bewertung A� und mit ��

Punkten �Bewertung B� im Vergleich zu den holistischen Bewertungen der

anderen Probleme die niedrigsten� Ihre Di�erenz ist mit �� Punkten bzw�

mit �� # am zweitgr�o ten� Dagegen ist die Di�erenz der beiden Stan�

dardabweichungen mit �� Punkten am kleinsten�



Bewertungen

Nachdem im letzten Abschnitt die Ergebnisse der beiden holistischen Be�

wertungen des Quadrate�Problems ausgewertet worden sind� werden nun die

Ergebnisse der beiden analytischen Bewertungen� nach den Phasen�Verste�

hen��L�osen� und

�Beantworten� getrennt� miteinander verglichen�









gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



�Verstehen� des

Quadrate�Problems

Die f�ur diese Auswertung ben�otigten Daten sind in der Tabelle �� darge�

stellt� Ein erster Unterschied zeigt sich bei der Punktzahl null� So erhielten bei

der A�Bewertung �� # aller Arbeiten null Punkte� bei der B�Bewertung

waren es hingegen nur �� #� Deutlich gr�o er sind die Unterschiede bei den

�ubrigen drei Punktzahlen� So haben bei der A�Bewertung �� # aller Arbei�

ten einen Punkt erhalten� bei der B�Bewertung aber �� # aller Arbeiten�

Bei zwei Punkten stehen sich Anteile von �� # der Arbeiten �Bewertung A�

und von �� # der Arbeiten �Bewertung B� gegen�uber� bei drei Punkten

sind es schlie lich Anteile von �� # bzw� von �� #� Eine Ursache hierf�ur

zu sehen ist schwierig� M�oglicherweise beruhen die Unterschiede darauf� da


es sich beim Quadrate�Problem um ein zweistu�ges Problem handelt� Bei der

Bewertung A ist die volle Punktzahl von drei Punkten bereits dann verge�

ben worden� wenn mindestens die Anzahl der notwendigen H�olzer f�ur zehn

Quadrate richtig berechnet worden ist� bei der Bewertung B hingegen nur

dann� wenn beide gesuchten Werte korrekt angegeben worden sind�� Diese

Problematik wird im Kapitel �� noch einmal diskutiert�

Ein Vergleich der beiden Mittelwerte zeigt sofort� da sich diese um ��

Punkte� was � bezogen auf die maximal erreichbare Punktzahl drei � einem

Anteil von �� # entspricht� unterscheiden� Das ist die gr�o te f�ur die Phase

�Verstehen� berechnete Di�erenz� Auch ist der Unterschied zwischen den

beiden Standardabweichungen mit �� Punkten der gr�o te f�ur diese Phase

berechnete Wert�









gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



�L�osen� des

Quadrate�Problems

Bei der Phase�Verstehen� hatten sich zwischen den beiden Verteilungen

deutliche Unterschiede gezeigt� Bei der Phase�L�osen� dagegen stimmen die

Verteilungen der Punkte durch die beiden Bewertungen praktisch v�ollig �uber�

�Bei keiner Sch�ulerarbeit ist ausschlie�lich die gesuchte Anzahl f�ur H�olzer berechnetworden� stets wurde mit der gesuchten Anzahl f�ur H�olzer begonnen�


ein� Es gibt nun bei den ersten beiden Punktzahlen �uberhaupt keine Abwei�

chungen mehr� jeweils �� # der Arbeiten haben null Punkte und jeweils

�� # der Arbeiten haben einen Punkt erhalten� Bei den anderen beiden

Punktzahlen liegt jeweils eine Di�erenz von genau einer Arbeit resp� von

�� # zwischen den Anteilen der beiden Bewertungen vor� Beide Mittelwer�

te sind bei ihren Bewertungen jeweils die niedrigsten f�ur die Phase�L�osen�

ermittelten Werte� Auch die hieraus resultierende Di�erenz von �� Punk�

ten bzw� von nur �� # ist die geringste berechnete Abweichung bei dieser

L�osungsphase� Sowohl die beiden Standardabweichungen als auch ihre Di�e�

renz liegen im Vergleich zu den anderen Problemen in der unteren H�alfte�


In der Phase�Beantworten� zeigen sich wieder klare Unterschiede zwischen

den Anteilen der Arbeiten� die den einzelnen Punkten durch die beiden Be�

wertungen zugewiesenen worden sind� Die genauen Angaben sind in der Ta�

belle �� dargestellt�







gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung




Quadrate�Problems

Bei der Punktzahl null stehen sich Anteile von �� # �Bewertung A� und

von �� # �Bewertung B� gegen�uber� bei der Punktzahl eins sind es Anteile

von �� # und von �� #� Es ergeben sich bei diesen beiden Punktzah�

len Di�erenzen von �� # bzw� von �� #� Mit Anteilen von �� #


gegen�uber �� # bei der Punktzahl zwei braucht der sich hieraus ergeben�

de Unterschied nicht weiter ber�ucksichtigt zu werden� Aufgrund der beiden

Mittelwerte kann man sagen� da die Bewertung A zur Vergabe leicht h�oher�

er Punkte tendiert� Die Di�erenz zwischen diesen Werten liegt � bezogen

auf die maximal f�ur diese Phase erreichbare Punktzahl � bei �� # und ist

damit am h�ochsten�

Auch f�ur die bei dieser Phase aufgetretenen Unterschiede in den Verteilun�

gen der Punkte sind keine Gr�unde o�ensichtlich� Zun�achst l�a t sich sagen�

da die Kriterien der Bewertungsskala f�ur die Phase�Beantworten� theore�

tisch keinerlei �Uberschneidungen zeigen� Sie beruhen im wesentlichen auf der

Anwendung eines nicht geeigneten bzw� eines geeigneten L�osungsverfahrens

�in der Phase�L�osen�� Ob in einer Arbeit aber ein ungeeignetes bzw� ein

geeignetes L�osungsverfahren angewendet worden ist� das ist bereits bei der

Bewertung der Phase�L�osen� selbst � und zwar durch beide Bewerter prak�

tisch identisch � entschieden worden� Eine M�oglichkeit f�ur die festgestellten

Unterschiede kann� wie auch zuvor schon herausgestellt� die unterschiedliche

Interpretation des Vorhandenseins einer Antwort sein�


verfahren

In diesem Abschnitt werden abschlie end die Ergebnisse der beiden verschie�

denen Bewertungsmethoden ausgewertet� Hierzu werden einerseits die Ge�

samtzahlen der den Punktzahlen null bis acht zugewiesenen Arbeiten mit�

einander verglichen� andererseits werden Beziehungen zwischen den bei den

beiden Bewertungsmethoden erreichten Punkten untersucht�


nisse

Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur das Quadrate�Problem sind in der

Tabelle �� zusammenfa t� Es wird hieraus sofort ersichtlich� da sich die�

se deutlich von denen der bisher betrachteten Probleme unterscheiden� Bis

auf die Punktzahlen vier und f�unf ist die Zuweisung der Punkte bei bei�

den Bewertungsverfahren vergleichbar erfolgt� es ergeben sich geringe Unter�

schiede in einer Gr�o enordnung von bis zu maximal �� #� Speziell bei den

Punktzahlen vier und f�unf zeigen sich allerdings sehr gro e Unterschiede in


Bewertungsmethode













gesamt ��

Mittelwert


Standardabweichung



den Werten� So haben bei der holistischen Bewertung �� # aller Arbei�

ten vier Punkte und nur ��# aller Arbeiten f�unf Punkte erhalten� bei der

analytischen Bewertung ist die Vergabe mit �� # bzw� �� # praktisch

entgegengesetzt erfolgt� Es ergeben sich Di�erenzen von �� # bzw� von

�� # zwischen den entsprechenden Anteilen� Zu beachten ist auch� da

bei beiden Bewertungsmethoden jeweils �� # aller Arbeiten sieben Punkte

und �� # aller Arbeiten acht Punkte erhalten haben� �Ubereinstimmende

Werte bei zwei Punktzahlen hatten sich bei noch keinem anderen Problem

gezeigt� M�ogliche Ursachen f�ur die Unterschiede zwischen den Ergebnissen

der beiden Bewertungsverfahren werden im Kapitel �� herausgearbeitet�

Diese Zuweisungen der Punkte dr�ucken sich auch in den Mittelwerten aus�

So liegt der Mittelwert der analytischen Bewertung um �� Punkte bzw�

auf der Basis der Maximalpunktzahl acht um �� # �uber dem der ho�

listischen Bewertung� Die Standardabweichung der analytischen Bewertung

�� Pkte� liegt bei einem Unterschied von �� Punkten ebenfalls deut�

lich �uber der Standardabweichung der holistischen Bewertung �� Pkte��



Im vorangegangenen Unterabschnitt ist untersucht worden� inwieweit sich die

holistischen Ergebnisse der analytischen Bewertung� jeweils gebildet durch

Summation der drei einzelnen Punkte� und die Ergebnisse der holistischen

Bewertung beim Quadrate�Problem voneinander unterscheiden� In diesem

Abschnitt werden Aussagen dazu getro�en� inwiefern die in den einzelnen

Phasen erreichten Teilpunkte der analytischen Bewertung mit der bei der

holistischen Bewertung erreichten Punktzahl in Verbindung stehen� Alle hier�

f�ur notwendigen Daten beinhaltet die Tabelle ��



Bewertung


L�osen� ��

Beantworten�







Zun�achst wird die Phase�Verstehen� untersucht� So haben Arbeiten� die f�ur

die Phase�Verstehen� null Punkte erhalten haben� durchschnittlich eine ho�

listische Punktzahl von �� Punkten erreicht� Arbeiten� denen ein� zwei oder

drei Punkte bei der analytischen Bewertung zugewiesen worden sind� haben

im Durchschnitt �� Punkte� �� Punkte bzw� �� Punkte bei der holisti�

schen Bewertung erhalten� Diese drei Werte sind s�amtlich die geringsten ho�

listischen Durchschnittspunktzahlen� die von Arbeiten mit einem� zwei bzw�

drei analytischen Punkten bei der Phase�Verstehen� erreicht worden sind�

Betrachtet man den Korrelationskoe�zient rQV f�ur die Phase�Verstehen�

des Quadrate�Problems� so zeigt sich� da dieser Wert mit rQV � ��

gar nicht so klein wie eventuell zuvor angenommen ist� Immerhin ergibt sich

hieraus ein Bestimmtheitsma von rQV� � ��

Auch die Phase�L�osen� weist im Vergleich mit den anderen f�unf Problemen

Besonderheiten auf� und zwar speziell bei den analytischen Punktzahlen eins


und zwei� So haben Arbeiten mit einem analytischen Punkt durchschnitt�

lich �� holistische Punkte erhalten � dieses ist im Vergleich die h�ochste

durchschnittliche Punktzahl� die Arbeiten mit einem analytischen Punkt f�ur

die Phase�L�osen� aufweisen � und Arbeiten mit zwei analytischen Punkten

durchschnittlich �� holistische Punkte� Dieses ist allerdings im Vergleich

zwischen allen sechs Problemen der empirischen Untersuchung die kleinste

Punktzahl� die Arbeiten mit zwei Punkten f�ur die Phase�L�osen� durch die

holistischen Bewertung durchschnittlich erhalten haben� Au��allig ist auch�

da bei keinem anderen Problem bei der Phase�L�osen� weniger Punktpaa�

re korrelieren als beim Quadrate�Problem� Mit rQL � �� ist dieses der

kleinste Korrelationskoe�zient� der f�ur diese Phase berechnet worden ist�

Die letzte zu untersuchende Phase ist�Beantworten�� Es ergibt sich hierf�ur

ein Korrelationskoe�zient rQB mit rQB � �� der auf eine deutliche

Abh�angigkeit zwischen den vergebenen analytischen Punkten einer Arbeit

und den holistischen Punkten f�ur diese Arbeit deutet� Die durchschnittlich

vergebene holistische Punktzahl f�ur Arbeiten� die bei der analytischen Bewer�

tung einen Punkt erhalten haben� ist mit �� Punkten im Vergleich zu den

restlichen Problemstellungen die geringste mittlere Punktzahl f�ur derartige

Arbeiten�




� Bei den entsprechenden Werten in den Dachkategorien I und II zeigen

sich jeweils sehr starke Unterschiede von �� # bzw� von �� #�

� Die gr�o ten Unterschiede bei den einzelnen Kategorien zeigen sich bei

null Punkten �� #�� bei einem Punkt �� #�� bei drei Punkten

�� #� und bei vier Punkten �� #�� Diese Unterschiede k�onnen be�

dingt sein durch die Schwierigkeit der Festlegung� inwieweit die gezeig�

te Bearbeitung schon als geeignetes L�osungsverfahren aufgefa t werden

kann� oder durch die Zweistu�gkeit der Problemstellung�


� In der Phase�Verstehen� zeigen sich jeweils sehr starke Abweichungen

bei den Punktzahlen eins� zwei und drei mit Di�erenzen von �� #�


�� # bzw� �� #� Diese k�onnen durch die Zweistu�gkeit der Prob�

lemstellung hervorgerufen worden sein�

� In der Phase�L�osen� zeigen sich allein bei den Punkten zwei und drei

Unterschiede von jeweils gerade einmal �� #�

� In der Phase�Beantworten� zeigen sich bei den Punktzahlen null und

eins jeweils sehr gro e Di�erenzen von �� # bzw� von �� #� Even�

tuell ergeben sich diese Abweichungen durch unterschiedliche Interpre�

tationen des Vorhandenseins einer Antwort�

�� Der Vergleich der beiden Bewertungsmethoden

� Bei den Punktzahlen vier und f�unf zeigen sich mit Di�erenzen von

�� # bzw� von �� # sehr starke Unterschiede�

� Der Mittelwert der analytischen Bewertung liegt �� Punkte �uber

dem der holistischen Bewertung�

� In den Phasen�Verstehen��

�L�osen� und


jeweils gut �� #� fast �� # bzw� gut �� # aller Punktpaare in die

gleiche Richtung�

� Der Korrelationskoe�zient rQL f�ur die Phase�L�osen� mit rQL � ��

ist im Vergleich zu den anderen untersuchten Problemen der kleinste

f�ur diese Phase berechnete Wert�

Kapitel ��

Die Zusammenfassung der


Eine Theoriebildung

In den vorangegangenen Kapiteln sind die Ergebnisse der Bewertungen� wel�

che die eigentliche Basis f�ur die empirische Untersuchung gebildet haben�

im Hinblick auf die im Kapitel � gestellten Forschungsfragen f�ur jedes der

sechs Probleme getrennt ausgewertet worden� und � sofern es m�oglich war

� sind im Rahmen dieser Auswertungen bereits potentielle Gr�unde f�ur die

festgestellten Unterschiede herausgearbeitet worden� Speziell umfa ten die

Auswertungen eines jeden Problems die folgenden drei Vergleiche�

� Ein Vergleich zwischen den Ergebnissen der holistischen Bewertung des

Autors und den Ergebnissen der holistischen Vergleichsbewertung der

Studentin�

� Ein Vergleich zwischen den Ergebnissen der beiden entsprechenden ana�

lytischen Bewertungen�

� Ein Vergleich zwischen den aus den beiden holistischen Bewertungen

gemittelten Ergebnissen und den aus den beiden analytischen Bewer�

tungen gemittelten Ergebnissen einschlie lich einer Betrachtung etwai�

ger Beziehungen zwischen den in den einzelnen Phasen bei der analyti�

schen Bewertung erreichten Punktzahlen und den zugeh�origen durch�

schnittlich erreichten Punktzahlen bei der holistischen Bewertung sowie

einer Analyse der zugeh�origen Korrelationskoe�zienten�

��

KAPITEL �� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��

In diesem Kapitel werden nun die Ergebnisse� welche die Auswertungen

der Probleme erbracht haben� im Hinblick auf unterschiedliche Problem�

charakteristiken zusammengefa t und es wird versucht� hieraus eventuelle

Gesetzm�a igkeiten abzuleiten� um so Antworten auf die im Kapitel � gestell�

ten Forschungsfragen geben zu k�onnen� Speziell werden die Probleme dabei

hinsichtlich ihrer wichtigsten Eigenschaften ausgewertet �vgl� hierzu auch An�

hang F�� Im einzelnen sind dieses das mathematische Gebiet� dem ein Prob�

lem zugeordnet werden kann� sowie die Art des Denkens� die zur L�osung des

Problems ben�otigt wird� Auch auf den Umfang der geforderten L�osung� d�h�

ob eine einstu�ge oder eine mehrstu�ge L�osung gesucht war� wird an einigen

Stellen in dieser Zusammenfassung � allerdings nicht in gesonderten Unterab�

schnitten � eingegangen� obwohl einerseits die Kriterien der verwendeten Ska�

len im Prinzip auch Arbeiten zu mehrstu�gen Problemen ber�ucksichtigen und

obwohl andererseits von allen Problemen der empirischen Untersuchung nur

das Quadrate�Problem ein mehrstu�ges� genauer ein zweistu�ges Problem

ist� Bewertungsergebnisse eines vergleichbaren Problems liegen somit nicht

vor� Folglich ist eine Feststellung von Gesetzm�a igkeiten im Auftreten der

herausgearbeiteten Unterschiede zwischen den Bewertungsergebnissen nicht

m�oglich� Weil dar�uber hinaus alle sechs Probleme der empirischen Untersu�

chung geschlossen waren� es war also stets aus der Problemstellung zu erken�

nen� was gesucht war� ist eine Zusammenfassung hinsichtlich der O�en� bzw�

Geschlossenheit der Problemstellung nicht sinnvoll� Es wird hierauf daher

wissentlich verzichtet�

�� Die Zusammenfassung der Ergebnisse

der beiden holistischen Bewertungen

In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der Vergleiche zwischen den bei�

den holistischen Bewertungen von allen sechs Problemen zusammengefa t�

und zwar sowohl hinsichtlich der mathematischen Gebiete der Probleme als

auch hinsichtlich der zur L�osung der Probleme ben�otigten Denkprozesse� Da

es bei den Bewertungen von Probleml�osungen durch zwei unterschiedliche

Personen nie zu einer v�olligen �Ubereinstimmung kommen wird� ist davon

ausgegangen worden� da absolute Di�erenzen zwischen den entsprechenden

Anteilen in den Dachkategorien bzw� bei den einzelnen Punktzahlen bis zu

ungef�ahr � # durch Bewertungsungenauigkeiten bedingt sind�� Daher wer�

�Dieser Wert ist nur als Richtwert zu verstehen� In Abh�angigkeit von der Zuweisungder Punkte zu allen Arbeiten eines Problems kann dieser Wert gegebenenfalls auch etwash�oher oder etwas niedriger liegen�


den bei dieser Zusammenfassung die Di�erenzen bis zu diesem Wert nicht

mehr speziell ber�ucksichtigt� Im Abschnitt G�� des Anhangs sind f�ur alle

sechs Probleme die prozentualen Anteile der Arbeiten in den drei Dachkate�

gorien sowie die prozentualen Anteile der Arbeiten in den Kategorien null bis

acht von beiden holistischen Bewertungen angegeben� bei denen die absolute

Di�erenz �uber � # liegt� Diese Tabelle dient als Basis f�ur die Theoriebildung�

�� Das mathematische Gebiet

Aus der im Anhang F aufgef�uhrten Tabelle geht noch einmal hervor� da die

Probleme der empirischen Untersuchung aus drei unterschiedlichen Gebieten

der Mathematik stammen� Das Hallo�Problem�� das M�uhle�Problem und das

W�urfel�Problem k�onnen der Kombinatorik zugeordnet werden� das Bonbon�

Problem und das Tier�Problem der Algebra und das Quadrate�Problem der

Geometrie�

Die Mittelwerte

Betrachtet man zuerst die Mittelwerte der kombinatorischen Probleme� so

zeigt sich� da diese bei den einzelnen Problemen sehr unterschiedlich hoch

sind� alle Di�erenzen zwischen den Mittelwerten der beiden Bewertungen

liegen allerdings jeweils zwischen �� und �� Punkten� Mit �� bzw�

�� Punkten weist das W�urfel�Problem bei beiden Bewertungen jeweils die

h�ochste Durchschnittspunktzahl auf� gefolgt vom Hallo�Problem mit ��

bzw� �� Punkten� Das M�uhle�Problem zeigt mit �� bzw� �� Punkten

bei beiden Bewertungen jeweils die geringste durchschnittliche Punktzahl�

Diese unterschiedlich hohen Mittelwerte der einzelnen Probleme sind im all�

gemeinen begr�undet durch die Problemstellung selbst in Verbindung mit den

bereits von den Sch�ulern erworbenen allgemeinen Probleml�osef�ahigkeiten und

mit ihren bereits gemachten Erfahrungen beim L�osen von Problemen� die mit

dem vorgegebenen Problem in irgendeiner Verbindung stehen� Allein aus der

H�ohe des Mittelwertes k�onnen keine Schl�usse auf die allgemeine Verwendbar�

keit einer Bewertungsskala gezogen werden� Zweimal ist der Mittelwert bei

der Bewertung B h�oher �H�P� M�P� und einmal der Mittelwert bei der Be�

wertung A �W�P�� Betrachtet man die Mittelwerte der beiden algebraischen

Probleme� so zeigt sich� da diese Werte beim Bonbon�Problem mit �� bzw�

�� Punkten praktisch identisch sind� die sich hieraus ergebende Di�erenz

betr�agt in diesem Fall nur �� Punkte� Beim Tier�Problem hingegen liegen

die Mittelwerte der beiden Bewertungen bei �� bzw� �� Punkten� woraus

�Zur besseren �Ubersicht werden nachfolgend die Probleme auch wie folgt abgek�urzt�H�P f�ur Hallo�Problem� B�P f�ur Bonbon�Problem etc�


sich eine Di�erenz von �� Punkten ergibt� Bei den algebraischen Problemen

liegt also genau einmal der Mittelwert bei der Bewertung A h�oher und genau

einmal der Mittelwert bei der Bewertung B� Das Quadrate�Problem ist das

einzige geometrische Problem� Mit �� bzw� �� Punkten sind dieses bei ih�

ren Bewertungen jeweils die geringsten �uberhaupt aufgetretenen Mittelwerte�

es ergibt sich eine Di�erenz von �� Punkten�

Insgesamt kann festgehalten werden� da keine der beiden Bewertungen hin�

sichtlich des mathematischen Gebiets des Problems tendenziell durchschnitt�

lich h�ohere Punkte vergibt als die andere�

Die Dachkategorien

Um zu pr�ufen� inwieweit die Unterschiede zwischen den Zuweisungen der

Punkte zu den Arbeiten vommathematischen Gebiet des Problems abh�angen�

werden zun�achst die entsprechenden Anteile der Arbeiten in den einzelnen

Dachkategorien von beiden Bewertungen und sp�ater die entsprechenden An�

teile der Arbeiten mit den Punktzahlen von null bis acht von beiden Be�

wertungen zusammengefa t und dabei miteinander verglichen� Beginnt man

mit dem Vergleich zwischen den Anteilen der Arbeiten in den Dachkatego�

rien I bis III bei den drei kombinatorischen Problemen� so lassen sich keine

Gesetzm�a igkeiten �uber das Auftreten der Unterschiede ausmachen� Beim

Hallo�Problem zeigen sich Di�erenzen allein in den Dachkategorien I und II

von �� # und von �� #� bei den anderen beiden Problemen dagegen

sind Abweichungen zwischen den Werten aller drei Dachkategorien festge�

stellt worden� Es ergeben sich beim M�uhle�Problem Di�erenzen von �� #

�DI�� # �DII� und �� # �DIII�� beim W�urfel�Problem liegen die Ab�

weichungen bei �� # �DI�� # �DII� und �� # �DIII�� Auch bei den

beiden algebraischen Problemen sind die Unterschiede in den Dachkategorien

zwischen den beiden Bewertungen v�ollig unterschiedlich� So kann man sagen�

da beim Bonbon�Problem die Punkte bei beiden Bewertungen im Hinblick

auf die drei Dachkategorien praktisch gleich vergeben worden sind� die drei

Di�erenzen liegen jeweils unter � #� Beim Tier�Problem dagegen zeigen sich

geringe Unterschiede von �� # bzw� von �� # in den Dachkategorien

I und II� Beim Quadrate�Problem als dem einzigen geometrischen Problem

haben sich Unterschiede bei der Vergabe der Punkte in den Dachkategorien

I und II von �� # bzw� von �� # ergeben�

Man kann also sagen� da hinsichtlich des mathematischen Gebiets des Prob�

lems keine Gesetzm�a igkeiten �uber das Auftreten von Abweichungen zwi�

schen den Anteilen der Arbeiten in den drei Dachkategorien bei beiden Be�

wertungen manifestiert werden k�onnen�


Die einzelnen Punktzahlen

Wenn man mit einer Auswertung der Di�erenzen� die sich zwischen den ent�

sprechenden Anteilen der Arbeiten bei den einzelnen Punktzahlen von beiden

Bewertungen ergeben haben� bei den kombinatorischen Problemen beginnt�

so wird deutlich� da diese Abweichungen bei allen drei Problemen bei un�

terschiedlichen Punktzahlen aufgetreten sind� Beim Hallo�Problem ergeben

sich Di�erenzen zwischen den beiden Bewertungen bei den Punktzahlen eins

�� #� und vier �� #�� Dagegen liegen die Unterschiede beim M�uhle�

Problem bei den Punktzahlen eins �� #�� drei �� #�� f�unf �� #�

und acht �� #�� Beim W�urfel�Problem schlie lich treten Abweichungen

bei den Punktzahlen vier �� #�� f�unf �� #� und sechs �� #�

auf� Bei der Auswertung des Hallo�Problems hatte sich bereits gezeigt� da

es bei diesem Problem schwierig war zu entscheiden� in welchen F�allen Li�

sten oder Zeichnungen nur bedeutungslose Versuche zur L�osung waren bzw�

wann sie bereits auf ein deutliches Verst�andnis f�ur das Problem hinwiesen

und schon ein teilweise geeignetes L�osungsverfahren darstellten �vgl� hierzu

Abschnitt �� Die Di�erenzen beim M�uhle�Problem konnten nicht wirk�

lich begr�undet werden� Lediglich konnte festgestellt werden� da es einerseits

bei schlechten Arbeiten o�enbar kompliziert war festzulegen� inwieweit die

Bearbeitung bereits sinnvoll war oder inwieweit schon von einem gewissen

Verst�andnis f�ur das Problem ausgegangen werden konnte und da anderer�

seits die Di�erenzen bei der Punktzahl acht theoretisch nur aufgrund von Be�

wertungsungenauigkeiten zustande gekommen sein k�onnen �vgl� hierzu Ab�

schnitt �� Auch bei der Auswertung des W�urfel�Problems sind bereits

m�ogliche Ursachen f�ur die aufgetretenen Di�erenzen diskutiert worden �vgl�

hierzu Abschnitt �� So wurde deutlich� da Arbeiten� bei denen andere

� aber m�oglicherweise nicht alle � W�urfel�Kombinationen f�ur die Summe von

zw�olf Augen unsystematisch aufgeschrieben worden sind� nicht eindeutig eine

bestimmte Punktzahl zugewiesen werden konnte�

Nachfolgend werden nun Aussagen �uber die Anteile der Arbeiten mit den

Punktzahlen null bis acht f�ur die beiden algebraischen Probleme getro�en�

Zun�achst wird ersichtlich� da bei beiden Problemstellungen Di�erenzen zwi�

schen den Werten der beiden Bewertungen bei den Punktzahlen null �B�P�

�� #� T�P� �� #� und eins �B�P� �� #� T�P� �� #� aufgetreten sind�

Bei den Auswertungen der Ergebnisse der holistischen Bewertungen dieser

Probleme ist bereits festgestellt worden� da es o�enbar zu Schwierigkeiten

bei der Unterscheidung zwischen einem einfachen Abschreiben der Daten aus

der Problemstellung und einer bedeutungslosen Bearbeitung gekommen ist�

Dar�uber hinaus zeigen sich beim Bonbon�Problem noch Unterschiede zwi�

schen den Werten bei den Punktzahlen f�unf �� #� und sieben �� #�


und beim Tier�Problem noch zwischen den Werten bei der Punktzahl vier

�� #�� Da diese Abweichungen beim Bonbon�Problem recht gering sind�

wird darauf im folgenden nicht weiter eingegangen� F�ur die unterschiedlichen

Anteile der Arbeiten bei der Punktzahl vier des Tier�Problems konnten kei�

ne Ursachen gefunden werden� Betrachtet man abschlie end noch das einzige

geometrische Problem� so zeigen sich auch hier Di�erenzen bei den Punkt�

zahlen null �� #� und eins �� #�� in beiden F�allen ist der Anteil der

Arbeiten bei der Bewertung B h�oher als der Anteil bei der Bewertung A� Als

Ursachen hierf�ur k�onnen die zuvor erl�auterten Gr�unde angesehen werden�

Au erdem zeigen sich voneinander abweichende Anteile bei den Punktzah�

len drei �� #� und vier �� #�� nun liegen jeweils die Anteile bei der

Bewertung A �uber denen bei der Bewertung B�

Zusammenfassend l�a t sich festhalten� da bei einigen der untersuchten Prob�

leme Di�erenzen zwischen den Anteilen bei den Punktzahlen null und eins

aufgetreten sind� und zwar unabh�angig vom Gebiet der Mathematik� dem

das Problem zugeordnet werden kann� Dieses deutet darauf hin� da m�ogli�

cherweise eine Unterscheidung zwischen den Kriterien f�ur null Punkte und

denen f�ur einen Punkt schwierig sein kann� Speziell bei den kombinatori�

schen Problemen wurde deutlich� da es einerseits nicht einfach sein kann

zu entscheiden� inwieweit das gezeigte L�osungsverfahren wirklich geeignet ist

und da andererseits bei L�osungen� die keine gewisse Systematik erkennen

lassen� Schwierigkeiten bei der eindeutigen Zuweisung einer Punktzahl auf�

treten k�onnen�

�� Die ben�otigten Denkprozesse�

Die sechs Probleme der empirischen Untersuchung lassen sich unterteilen in

vier konvergente Probleme �Hallo�Problem� Bonbon�Problem� Tier�Problem�

Quadrate�Problem� und zwei divergente Probleme �M�uhle�Problem� W�urfel�

Problem�� In Analogie zum letzten Abschnitt wird auch jetzt mit einer Zu�

sammenfassung der Aussagen �uber die Mittelwerte begonnen� Hiernach fol�

gen die Zusammenfassungen der Aussagen �uber die Anteile der Dachkatego�

rien und �uber die Anteile der einzelnen Punktkategorien�

�Da alle Werte� die f�ur die Auswertungen in diesem Unterabschnitt ben�otigt werden�im Anhang im Abschnitt G� tabellarisch dargestellt sind und diese Werte auch im vor�angegangenen Unterabschnitt schon ausf�uhrlich diskutiert worden sind� wird darauf indiesem Unterabschnitt bewu�t verzichtet� Es werden haupts�achlich die mit Blick auf dief�ur die L�osung ben�otigten Denkprozesse festgestellten �Ubereinstimmungen zwischen denaufgetretenen Unterschieden verdeutlicht sowie m�ogliche Gr�unde daf�ur dargelegt�

KAPITEL �� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG �

Die Mittelwerte

Eine Gegen�uberstellung der Di�erenzen � jeweils aus den Mittelwerten der

beiden Bewertungen gebildet � zeigt bei den konvergenten Problemen Ab�

weichungen zwischen �� und �� Punkten� Einmal liegt der Mittelwert

der Bewertung B �uber dem Wert der Bewertung A� zweimal ist es genau

umgekehrt und einmal sind die beiden Mittelwerte praktisch gleich� Bei den

beiden divergenten Problemen liegen die Di�erenzen bei �� bzw� �� Punk�

ten� einmal ist der Mittelwert der Bewertung A der h�ohere und einmal der der

Bewertung B� Generell tendiert also wiederum keine der beiden Bewertun�

gen zur Vergabe h�oherer Punkte hinsichtlich der f�ur die L�osung des Problems

ben�otigten Denkprozesse�

Die Dachkategorien

Betrachtet man nun die Anteile der Arbeiten in den Dachkategorien I bis III

der vier konvergenten Probleme� so erkennt man zun�achst� da bei keinem

Problem in der Dachkategorie III Di�erenzen von mehr als � # aufgetreten

sind� Bis auf das Bonbon�Problem� das in keiner Dachkategorie Abweichun�

gen zwischen den beiden zusammengeh�orenden Anteilen von mehr als � #

aufweist� zeigen die drei �ubrigen konvergenten Probleme allerdings Di�eren�

zen in den Dachkategorien I und II in einer Gr�o enordnung zwischen �� #

und �� #� Die beiden divergenten Probleme weisen dagegen in allen drei

Dachkategorien jeweils unterschiedlich hohe Di�erenzen zwischen den zusam�

mengeh�orenden Anteilen bis zu maximal �� # auf�


Zun�achst zeigen alle konvergenten Probleme Unterschiede zwischen den bei�

den Bewertungen bei den Anteilen der Arbeiten mit einem Punkt� Bis auf das

Hallo�Problem zeigen sich bei diesen Problemen auch jeweils Unterschiede

zwischen den beiden Anteilen bei null Punkten� Im letzten Abschnitt wurde

bereits dargelegt� da die Ursache hierf�ur wahrscheinlich in den zu fein un�

terschiedenen Kriterien der Wertungsskala liegt� Dar�uber hinaus treten bei

drei konvergenten Problemen �H�P� T�P� Q�P� Abweichungen bei der Punkt�

zahl vier auf und beim Quadrate�Problem ergibt sich zus�atzlich noch eine

Abweichung bei der Punktzahl drei� Mit Ausnahme des Bonbon�Problems�

welches noch sehr geringe Di�erenzen bei den Punktzahlen f�unf und sieben

zeigt� die im folgenden daher au er Acht gelassen werden� haben sich bei den

konvergenten Problemen �uberhaupt keine Abweichungen in einer Gr�o enord�

nung von mehr als � # bei den Punktzahlen f�unf bis acht ergeben� Bei allen

Arbeiten� bei denen das Problem mittels eines geeigneten L�osungsverfahrens

bearbeitet und gel�ost worden ist� sind bei der Zuweisung der Punkte im


Prinzip keine Schwierigkeiten aufgetreten� Vergleicht man noch die zusam�

mengeh�orenden Anteile der Arbeiten bei den einzelnen Punktzahlen speziell

bei den beiden divergenten Problemen� so lassen sich keine Gesetzm�a igkei�

ten �uber das Auftreten der Di�erenzen zwischen dem M�uhle�Problem und

dem W�urfel�Problem erkennen�

Es l�a t sich also festhalten� da bei konvergenten Problemen im allgemeinen

keine wesentlichen Schwierigkeiten bei der Zuweisung der Punkte zu einer

Arbeit aufgetreten sind� Je besser die Arbeit war� desto einfacher war dieses�

Dagegen m�ussen L�osungen von divergenten Problemen sehr genau analy�

siert werden und selbst dann ist eine eindeutige Zuweisung der Punkte noch

schwierig�

�� Fazit

In den beiden vorangegangenen Abschnitten sind die Ergebnisse der beiden

holistischen Bewertungen aller sechs Probleme zusammengefa t und noch

einmal miteinander verglichen worden� und zwar einerseits hinsichtlich des

Bereichs der Mathematik� dem das jeweilige Problem zugeordnet werden

kann� und andererseits hinsichtlich der bei der L�osung des jeweiligen Prob�

lems involvierten Denkprozesse� Auf der Basis dieser Zusammenfassungen

wird nun versucht� eine Antwort auf den ersten Teil der ersten Forschungsfra�

ge resp� darauf zu �nden� inwieweit das Bewertungsergebnis von schriftlichen

mathematischen Probleml�osungen� das sich bei der Bewertung der Sch�uler�

arbeiten mittels der verwendeten linearen Skala ergeben hat� als zuverl�assig

und vom Bewerter unabh�angig angesehen werden kann�

Es wurde deutlich� da sowohl hinsichtlich des mathematischen Gebiets� dem

das Problem zugeordnet werden kann� als auch hinsichtlich der zur L�osung

des Problems notwendigen Denkprozesse� keine der beiden Bewertungen ten�

denziell durchschnittlich h�ohere Punkte vergeben hat als die andere� Weiter

ist festgestellt worden� da es bei sehr schlechten Arbeiten allgemein schwierig

ist zu entscheiden� ob nur Angaben aus der Problemstellung abgeschrieben

worden sind oder ob es sich doch schon um eine bedeutungslose Bearbei�

tung handelt� Speziell bei kombinatorischen Problemen ist es o�enbar nicht

einfach zu entscheiden� inwieweit das angewendete L�osungsverfahren wirk�

lich geeignet ist� und bei L�osungen� die keine gewisse Systematik erkennen

lassen� k�onnen Schwierigkeiten bei der eindeutigen Zuweisung einer Punkt�

zahl auftreten� Schlie lich hat sich herausgestellt� da die Bewertung der

L�osungen von divergenten Problemstellungen schwieriger ist als die Bewer�

tung der L�osungen von konvergenten Problemen� da ersteren im allgemeinen


komplexere Denk� und L�osungsstrukturen zugrunde liegen� Selbst nach ei�

ner intensiven Analyse einer solchen Arbeit ist eine eindeutige Zuweisung

einer bestimmten Punktzahl noch schwierig� Im Hinblick auf diese Resultate

m�ochte ich den ersten Teil der ersten Forschungsfrage nun wie folgt beant�

worten�

Das Bewertungsergebnis� welches die lineare Skala bei der

Bewertung von schriftlichen mathematischen Probleml�osungen

liefert� ist in der Regel sowohl zuverl�assig als auch vom Bewerter

weitgehendst unabh�angig�

F�ur die Praxis bedeutet dieses� Wenn also in der Schule beispielsweise viele

Arbeiten in relativ kurzer Zeit bewertet werden sollen oder wenn die Sch�uler

nur ein Feedback �uber ihre Probleml�osef�ahigkeiten als Ganzes und kein Feed�

back �uber ihre F�ahigkeiten in den einzelnen Phasen des Probleml�osungspro�

zesses erhalten sollen� so ist eine Bewertung der Arbeiten anhand der in die�

ser Arbeit verwendeten linearen Skala im Prinzip m�oglich� Sollen L�osungen

von divergenten Problemstellungen bewertet werden� so m�ussen diese vor der

Zuweisung einer Punktzahl mit gro er Genauigkeit analysiert werden� Ent�

sprechendes gilt unter Umst�anden auch f�ur L�osungen von kombinatorischen

Problemen� Vor einer allgemeinen Anwendung dieser Skala w�are allerdings

eine Zusammenfassung der Kategorien null und eins zu einer einzigen Kate�

gorie sinnvoll� da die zugeh�origen Kriterien f�ur eine allgemeine Verwendung

in der Praxis o�enbar zu eng beieinander liegen�

�� Die Zusammenfassung der Ergebnisse

der beiden analytischen Bewertungen

In Analogie zum Abschnitt �� werden nun die Ergebnisse des Vergleichs

der beiden analytischen Bewertungen eines jeden Problems zusammengefa t�

Wie bereits dargelegt wurde� wird es bei einer Bewertung von Probleml�osun�

gen durch zwei unterschiedliche Personen nie zu einer v�olligen �Ubereinstim�

mung kommen� Daher wird auch jetzt wieder davon ausgegangen� da Dif�

ferenzen zwischen den beiden Anteilen der Arbeiten bei allen neun Punkt�

zahlen bis zu ungef�ahr � # durch Bewertungsungenauigkeiten bedingt sind�

KAPITEL �� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG �

Auf eine Ber�ucksichtigung derartiger Di�erenzen wird bei der nachfolgenden

Auswertung verzichtet�� Alle Daten� die dieser Zusammenfassung zugrunde

liegen� sind im Abschnitt G�� des Anhangs tabellarisch dargestellt�


Die Zusammenfassung der Ergebnisse der beiden analytischen Bewertungen

hinsichtlich des mathematischen Gebiets� dem ein Problem zugeordnet wer�

den kann� erfolgt getrennt nach den drei Phasen�Verstehen��

�L�osen� und

�Beantworten� des Probleml�osungsprozesses� da bei dieser Bewertungsme�

thode f�ur jede einzelne L�osungsphase im Prinzip eine eigenst�andige Bewer�

tung durchgef�uhrt wird�



Zun�achst werden die drei kombinatorischen Probleme betrachtet� Ein erster

Vergleich zwischen den Anteilen der den vier einzelnen Punktzahlen zuge�

ordneten Arbeiten zeigt sofort� da es einerseits bei der Punktzahl null gar

keine Di�erenzen mit mehr als � # Abweichung zwischen den beiden Bewer�

tungen gegeben hat� andererseits aber auch� da bei allen drei Problemen

unterschiedlich hohe Di�erenzen bei der Punktzahl drei aufgetreten sind�

Mit �� # beim Hallo�Problem und mit �� # beim W�urfel�Problem sind

diese vergleichsweise gering� dagegen ist der Unterschied von �� # beim

M�uhle�Problem schon recht gro � Desweiteren zeigen sich noch unterschied�

lich auftretende Di�erenzen bei den Punktzahlen eins und zwei� So hat sich

beim Hallo�Problem bei der Punktzahl eins eine Abweichung von �� #

ergeben und bei der Punktzahl zwei eine Abweichung von �� #� Wie be�

reits im Abschnitt �� dargelegt wurde� ging aus einigen Arbeiten o�enbar

nicht eindeutig hervor� ob das Problem weniger oder schon mehr verstanden

worden ist� Beim M�uhle�Problem ist neben der Di�erenz bei der Punktzahl

drei nur noch eine Di�erenz von �� # bei der Punktzahl zwei aufgetreten�

Bei L�osungen zu diesem Problem konnte anscheinend nicht immer eindeutig

entschieden werden� ob das Problem nur teilweise oder doch vollst�andig ver�

standen worden ist� Beim W�urfel�Problem ist schlie lich noch eine Di�erenz

von �� # bei der Punktzahl eins aufgetreten� Diese ist genau wie die bei

�Dieser Wert dient auch in diesem Abschnitt nur als ein Richtwert� In Abh�angigkeitvon der Zuweisung der Punkte zu allen Arbeiten eines Problems kann dieser Wert beieinzelnen Problemen gegebenenfalls auch etwas h�oher oder etwas niedriger liegen�


der Punktzahl drei vergleichsweise gering und wird im folgenden nicht weiter

ber�ucksichtigt�

Eine Gegen�uberstellung der jeweiligen Werte der beiden algebraischen Prob�

leme verdeutlicht� da beim Bonbon�Problem bei allen vier Punktzahlen je�

weils die Di�erenzen zwischen den zusammengeh�orenden Anteilen der beiden

Bewertungen unter � # liegen� beim Tier�Problem gibt es allein Unterschie�

de von �� # bei der Punktzahl null und von �� # bei der Punktzahl

eins� Im Prinzip kann man sagen� da es bei algebraischen Problemen prak�

tisch eindeutig festzulegen war� inwieweit ein Sch�uler das zu bearbeitende

Problem verstanden hatte� Als einziges geometrisches Problem unterscheidet

sich das Quadrate�Problem deutlich von den anderen f�unf Problemen� Bei

jeder der vier Punktzahlen treten Di�erenzen zwischen den beiden Werten

auf ��P� �� #� �P� �� #� �P� �� #� �P� �� #�� Wie allerdings

bereits im Abschnitt �� vermutet worden ist� beruhen diese Di�erenzen

wohl nicht auf dem mathematischen Gebiet des Problems sondern eher auf

dem Umfang der gesuchten L�osung�

Man kann zusammenfassend sagen� da es immer schwierig sein kann zu

entscheiden� ob das Problem v�ollig mi verstanden worden ist oder ob nur

unwesentliche Teile des Problems verstanden wurden� Bei kombinatorischen

Problemen ist es m�oglicherweise �uberhaupt kompliziert festzulegen� inwieweit

das Problem letztendlich verstanden worden ist�

Die Mittelwerte

Wenn man abschlie end noch die Di�erenzen zwischen den beiden zu jedem

Problem berechneten Mittelwerten aller Problemstellungen miteinander ver�

gleicht� so zeigt sich� da die hierbei aufgetretenen Unterschiede bei den bei�

den Bewertungen � mit Ausnahme des Quadrate�Problems � zwischen ��

und �� Punkten liegen und damit recht gering sind� Bei dem einzigen geo�

metrischen Problem� also dem Quadrate�Problem� betr�agt die Di�erenz zwi�

schen den beiden Mittelwerten dagegen �� Punkte� Bei den drei kombinato�

rischen Problemen liegt der Mittelwert der Bewertung B beim Hallo�Problem

�uber dem der Bewertung A� beim M�uhle�Problem und beim W�urfel�Problem

ist es genau umgekehrt� Bei den beiden algebraischen Problemen ist je einmal

der Mittelwert der Bewertung A und je einmal der Mittelwert der Bewertung

B der h�ohere�

Es kann also festgehalten werden� da keine der beiden Bewertungen hinsicht�

lich des mathematischen Gebiets des Problems tendenziell h�ohere Punkte

vergibt�




Das Hallo�Problem als eines der drei kombinatorischen Probleme zeigt bei

keiner Punktzahl Abweichungen zwischen den Werten der beiden Bewertun�

gen von mehr als � #� Beim W�urfel�Problem dagegen sind Abweichungen bei

den Punktzahlen null �� #�� eins �� #� und zwei �� #� aufgetre�

ten und beim M�uhle�Problem sogar bei allen vier Punktzahlen ��P� �� #�

�P� �� #� �P� �� #� �P� �� #�� M�ogliche Gr�unde f�ur die festge�

stellen Di�erenzen beim W�urfel�Problem sind bereits im Abschnitt ��

diskutiert worden� Als bei der Bewertung problematisch erwiesen haben sich

solche Arbeiten� die keine gewisse Systematik in der Aufzeichnung der ande�

ren W�urfelkombinationen erkennen lie en� Dagegen konnten f�ur die Abwei�

chungen zwischen den entsprechenden Anteilen beim M�uhle�Problem kon�

kret keine Ursachen angegeben werden �vgl� hierzu Abschnitt �� Bei

den beiden algebraischen Problemen zeigen sich vollkommen unterschiedlich

auftretende Abweichungen zwischen den beiden Werten bei den vier einzel�

nen Punktzahlen� Beim Bonbon�Problem liegen bei allen vier Punktzahlen

Unterschiede zwischen den jeweiligen Anteilen der beiden Bewertungen vor

��P� �� #� �P� �� #� �P� �� #� �P� �� #�� beim Tier�Problem tritt al�

lein ein sehr geringer Unterschied von �� # bei der Punktzahl zwei auf� der

nachfolgend auch nicht weiter ber�ucksichtigt wird� Das einzige geometrische

Problem schlie lich zeigt gar keine Unterschiede zwischen den zusammenge�

h�orenden Anteilen von mehr als � #�

F�ur die festgestellten Di�erenzen bei der Phase�L�osen� l�a t sich festhalten�

da man direkt keine Gesetzm�a igkeiten f�ur deren Auftreten hinsichtlich des

mathematischen Gebiets des Problems feststellen kann�

Die Mittelwerte

Auch die einzelnen Mittelwerte zeigen� da keine der beiden Bewertungen bei

einer speziellen Problemklasse der Tendenz nach h�ohere Punkte vergibt als

die andere� Alle Di�erenzen zwischen den beiden f�ur diese Phase berechne�

ten Mittelwerten eines jeden Problems liegen jeweils zwischen �� und ��

Punkten� Bei den kombinatorischen Problemen ist der Mittelwert der Be�

wertung A beim W�urfel�Problem h�oher als der der Bewertung B und beim

Hallo�Problem sowie beim M�uhle�Problem ist dieser jeweils der niedrigere�

Bei den algebraischen Problemen ist jeweils einmal der Mittelwert jeder der

beiden Bewertungen der h�ohere� Beim geometrischen Problem sind die beiden

Mittelwerte mit einer Di�erenz von nur �� Punkten im Prinzip identisch�



Grunds�atzlich m�ussen zwei Aspekte bei der Vergabe der Punkte f�ur diese

Phase ber�ucksichtigt werden� die zu Di�erenzen zwischen den entsprechen�

den Anteilen der beiden Bewertungen f�uhren k�onnen� So ist zum einen die

Punktzahl� die einer Arbeit mit einer falschen Antwort f�ur die Phase�Be�

antworten� zugewiesen wird� auch davon abh�angig� wie diese Arbeit f�ur die

Phase�L�osen� bewertet worden ist� Arbeiten mit einer falschen Antwort� bei

denen festgestellt worden ist� da das angewendete L�osungsverfahren v�ollig

ungeeignet oder nur teilweise richtig ist � sie haben also f�ur die Phase�L�osen�

null Punkte oder einen Punkt erhalten � k�onnen f�ur die Phase�Beantwor�

ten� nur null Punkte erhalten� Dagegen erhalten Arbeiten� die ein geeignetes

L�osungsverfahren gezeigt haben � sie haben somit zwei oder drei Punkte f�ur

die Phase�L�osen� erhalten � bei einer falschen Antwort einen Punkt� Un�

terschiedliche Au�assungen �uber die Richtigkeit des L�osungsverfahrens bei

verschiedenen Bewertungen bewirken also gegebenenfalls auch unterschiedli�

che Punktzahlen in der Phase�Beantworten��

Auf der anderen Seite k�onnen aber auch subjektive Au�assungen eines Be�

wertenden �uber das geforderte Aussehen bzw� �uber den geforderten Umfang

der L�osung die Vergabe der Punkte f�ur die Phase�Beantworten� beein�us�

sen� Wird bei einer L�osung eines z�B� nicht sehr komplexen� algebraischen

Problems der gesuchte Wert auf algorithmischem Weg berechnet� das gefun�

dene Ergebnis dann unterstrichen und kein zus�atzlicher Antwortsatz mehr

formuliert� so kann dieses bei einer Bewertung m�oglicherweise schon als aus�

reichende Antwort aufgefa t werden� Bei einer anderen Bewertung dagegen

k�onnte dieses aber auch als ein Fehlen der Antwort interpretiert werden� weil

die Arbeit ja konkret keine explizit formulierte Antwort aufweist�


Betrachtet man zuerst wieder die drei kombinatorischen Probleme� so f�allt

auf� da beim Hallo�Problem � genau wie auch schon in der Phase�L�osen� �

keine Di�erenzen von mehr als � # aufgetreten sind� Beim W�urfel�Problem

zeigen sich dagegen Unterschiede bei den Punktzahlen null �� #� und

eins �� #� und beim M�uhle�Problem sogar bei allen drei Punktzahlen

��P� �� #� �P� �� #� �P� �� #�� Auch bei den beiden algebraischen

Problemen sind die festgestellten Unterschiede zwischen den Anteilen ver�

schieden aufgetreten� So weist das Bonbon�Problem� welches in der Phase

�Verstehen� keine Di�erenzen �uber � # gezeigt hatte� in dieser Phase Unter�

schiede bei den Punktzahlen null �� #� und zwei �� #� auf� das Tier�

Problem dagegen bei den Punktzahlen null �� #� und eins �� #�� Das


Quadrate�Problem� also das einzige geometrische Problem der empirischen

Untersuchung� mu bei dieser Zusammenfassung klar hervorgehoben werden�

Es zeigen sich bei den Punktzahlen null und eins Di�erenzen von �� #

bzw� von �� #� die damit deutlich �uber allen festgestellten Di�erenzen der

anderen f�unf Probleme liegen� Es mu an dieser Stelle noch einmal darauf

hingewiesen werden� da bei der Phase�L�osen� des Quadrate�Problems gar

keine Di�erenzen �uber � # aufgetreten sind� d�h� bei beiden Bewertungen ist

die Beurteilung �uber das angewendete L�osungsverfahren bei allen Arbeiten

praktisch gleich erfolgt� Diese Unterschiede sind aber vermutlich nicht be�

dingt durch das mathematische Gebiet dieses Problems� Vielmehr beruhen

sie wohl auf der geforderten zweiteiligen Antwort und den unterschiedlichen

Au�assungen der beiden Bewerter �uber deren Vollst�andigkeit bzw� Richtig�

keit�

Auch in dieser Phase lassen sich keine Regelm�a igkeiten bei den aufgetrete�

nen Di�erenzen in Bezug auf das mathematische Gebiet des Problems erken�

nen�

Die Mittelwerte

Wenn man abschlie end noch die Abweichungen zwischen den Mittelwerten

der beiden Bewertungen f�ur jedes Problem miteinander vergleicht� so zeigen

sich bei den drei kombinatorischen Problemen Unterschiede zwischen ��

und �� Punkten und bei den beiden algebraischen Problemen von �� bzw�

von �� Punkten� Bei beiden Problemtypen liegt nicht stets der Mittelwert

der einen Bewertung �uber dem der anderen� Bei dem einzigen geometrischen

Problem liegt ein Unterschied von �� Punkten vor� Im Prinzip vergibt also

wieder keine der beiden Bewertungen generell wirklich h�ohere Punkte�

�� Die ben�otigten Denkprozesse

In diesem Unterabschnitt werden die bei den Phasen�Verstehen��

�L�osen�

und�Beantworten� festgestellten Di�erenzen noch einmal hinsichtlich der zur

L�osung des Problems ben�otigten Denkprozesse zusammengefa t und Unter�

schiede oder �Ubereinstimmungen in ihrem Auftreten f�ur die Theoriebildung

des n�achsten Abschnitts herausgearbeitet�

�Wie bereits im letzten Abschnitt erl�autert wurde� wird auch jetzt auf eine erneuteDiskussion der Werte verzichtet� Es werden nur die beobachteten �Ubereinstimmungenund Abweichungen im Auftreten zwischen den Unterschieden sowie m�ogliche Gr�unde daf�urdargelegt�




Im Prinzip zeigen die Unterschiede zwischen den Anteilen bei den Punktzah�

len null bis drei weder bei den konvergenten Problemen �H�P� B�P� T�P� Q�P�

noch bei den divergenten Problemen �M�P� W�P� eine gewisse Regelm�a igkeit

hinsichtlich ihres Auftretens�

Die Mittelwerte

Die Di�erenzen zwischen den beiden Mittelwerten eines jeden Problems lie�

gen bei den vier konvergenten Problemen zwischen �� Punkten �Bonbon�

Problem� und �� Punkten �Quadrate�Problem�� Zweimal ist der Mittelwert

der Bewertung A der h�ohere und zweimal ist es genau umgekehrt� Bei den

divergenten Problemen liegen die Di�erenzen bei �� bzw� �� Punkten�

in beiden F�allen liegt der Mittelwert der Bewertung A etwas h�oher� Dieses

ist allerdings aufgrund der vergleichsweise geringen Abweichungen in diesem

Fall nicht wirklich entscheidend�



Die tabellarische Darstellung der aufgetretenen Di�erenzen bei den einzel�

nen Punktzahlen im Abschnitt G�� des Anhangs verdeutlicht die vorhande�

nen Unterschiede zwischen den vier konvergenten und den zwei divergenten

Problemen� Bei zwei konvergenten Problemen� n�amlich dem Hallo�Problem

und dem Quadrate�Problem� zeigen sich gar keine Di�erenzen von �uber � #

f�ur die Phase�L�osen�� Das Tier�Problem weist allein bei der Punktzahl zwei

einen nur minimalen Unterschied von �� # auf� Eine Ausnahme bildet das

Bonbon�Problem� Allerdings sind die aufgetretenen Unterschiede nicht sehr

hoch und sie heben sich� wie bereits im Abschnitt �� erl�autert� jeweils

auf� wenn man einerseits die Anteile der Arbeiten mit den Punktzahlen null

und eins in der Summe berachtet und andererseits die Anteile der Arbeiten

mit den Punktzahlen zwei und drei� Die aufgetretenen Unterschiede bei der

Punktzahl drei k�onnen dabei theoretisch allein auf Fehlern in den Bewertun�

gen beruhen� Dagegen zeigen sich bei beiden divergenten Problemen deutliche

Unterschiede zwischen den beiden Bewertungen� Die Di�erenzen liegen beim

W�urfel�Problem in einer Gr�o enordnung zwischen �� # und �� # bei

den Punktzahlen null� eins und zwei� dagegen beim M�uhle�Problem sogar bei

allen vier Punktzahlen in einer Gr�o enordnung zwischen �� # und �� #�


Insgesamt legt dieses die Vermutung nahe� da bei divergenten Problemstel�

lungen die Bewertung einer Arbeit f�ur die Phase�L�osen� kompliziert sein

kann und da die Vergabe einer entsprechenden Punktzahl unter Umst�anden

nicht eindeutig m�oglich ist� Dieses gilt insbesondere f�ur solche Arbeiten� die

kein richtiges L�osungsverfahren im eigentlichen Sinne zeigen oder bei denen

das angewendete L�osungsverfahren nicht wirklich zu verstehen ist� Bei kon�

vergenten Problemen tritt diese Schwierigkeit dagegen im allgemeinen nicht

auf�

Die Mittelwerte

Die Feststellungen des vorangegangenen Unterabschnitts hinsichtlich der Dif�

ferenzen zwischen den zusammengeh�orenden Mittelwerten der beiden Bewer�

tungen gelten entsprechend im Prinzip auch hier� Keine der beiden Bewer�

tungen vergibt tendenziell wirklich h�ohere Punkte f�ur die Phase�L�osen� im

Hinblick auf die zur L�osung ben�otigten Denkprozesse�



Zum Abschlu der Zusammenfassung der Ergebnisse der beiden analytischen

Bewertungen hinsichtlich der zur L�osung des Problems notwendigen Denk�

prozesse l�a t sich f�ur die Phase�Beantworten� festhalten� da die Di�eren�

zen zwischen den entsprechenden Anteilen der Arbeiten bei den Punktzahlen

null� eins und zwei weder bei den konvergenten Problemen noch bei den diver�

genten Problemen eine Regelm�a igkeit in ihrem Auftreten erkennen lassen�

Herauszustellen ist an dieser Stelle allerdings wieder das Quadrate�Problem�

Obwohl die Arbeiten f�ur die Phase�L�osen� bei beiden Bewertungen prak�

tisch gleich bewertet worden sind� treten bei dieser Phase sehr gro e Di�e�

renzen zwischen den Anteilen der beiden Bewertungen bei den Punktzahlen

null und eins auf� die weder die �ubrigen drei konvergenten noch die beiden

divergenten Probleme zeigen� Ein m�oglicher Grund hierf�ur kann in der un�

terschiedlichen Interpretation des Vorhandenseins einer Antwort liegen �vgl�

hierzu Abschnitt ��

Die Mittelwerte

Einerseits die Betrachtung aller Mittelwerte der konvergenten und der di�

vergenten Probleme und andererseits die Betrachtung aller sich aus den bei�

den Mittelwerten eines Problems ergebenden Di�erenzen deuten darauf� da

wiederum keine der beiden Bewertungen stets den Arbeiten durchschnittlich

h�ohere Punkte zuweist�


�� Fazit

Die Zusammenfassungen der Ergebnisse der beiden analytischen Bewertun�

gen in den zwei vorangegangenen Unterabschnitten dienen nun als Grundla�

ge f�ur die Theoriebildung� Es wird in diesem Abschnitt versucht� eine Ant�

wort auf den zweiten Teil der ersten Forschungsfrage resp� darauf zu �nden�

inwieweit das Bewertungsergebnis von schriftlichen mathematischen Prob�

leml�osungen� welches sich bei der Bewertung der Sch�ulerarbeiten mittels der

verwendeten vektoriellen Skala ergeben hat� als zuverl�assig und vom Bewerter

unabh�angig angesehen werden kann�

S�amtliche Ausf�uhrungen dieses Abschnitts haben gezeigt� da weder hin�

sichtlich des mathematischen Gebiets� dem ein Problem zugeordnet werden

kann� noch hinsichtlich der zur L�osung des Problems notwendigen Denk�

prozesse eine der beiden Bewertungen in einer der drei einzelnen Phasen

tendenziell h�ohere Punkte vergibt als die andere� Bei der Phase�Verstehen�

konnten weder mit Blick auf das mathematische Gebiet noch mit Blick auf

die ben�otigten Denkprozesse wirkliche Gesetzm�a igkeiten f�ur das Auftreten

der Di�erenzen festgestellt werden� Allerdings wurde deutlich� da die Ar�

beiten nicht immer ausreichend Informationen dar�uber geben� inwieweit das

Problem letztendlich wirklich verstanden worden ist� dieses gilt jedoch f�ur

algebraische Probleme in der Regel weniger� Eine Unterscheidung zwischen

einem v�olligen Mi verst�andnis und einem teilweisen Verst�andnis des Prob�

lems war ebenfalls kaum m�oglich� Hierdurch kann eine eindeutige Zuweisung

der Punkte f�ur die Phase�Verstehen� schwierig sein� verschiedene Bewerter

k�onnten zu unterschiedlichen Entscheidungen diesbez�uglich gelangen�

Die bei der Phase�L�osen� aufgetretenen Di�erenzen waren nicht vom mathe�

matischen Gebiet des betrachteten Problems abh�angig� Dagegen haben sich

zwischen konvergenten und divergenten Problemen deutliche Unterschiede

gezeigt� Im Prinzip konnte bei konvergenten Problemen� die im allgemeinen

algorithmisch gel�ost werden k�onnen� eindeutig festgelegt werden� inwieweit

das gew�ahlte L�osungsverfahren geeignet und die L�osung selbst korrekt war�

Bei divergenten Problemen war dieses allerdings deutlich komplizierter� Eine

eindeutige Zuweisung einer bestimmten Punktzahl zu einer Arbeit war be�

sonders dann nicht m�oglich� wenn aus der Arbeit das angewendete L�osungs�

verfahren nicht eindeutig zu erkennen oder zu verstehen war� Die Di�erenzen�

die bei der Phase�Beantworten� festgestellt wurden� sind weniger bedingt

durch das mathematische Gebiet des Problems oder durch die zur L�osung

ben�otigten Denkprozesse� Vielmehr sind diese o�enbar begr�undet durch die

schon f�ur die Phase�L�osen� vergebenen Punkte �dieses gilt insbesondere f�ur

Arbeiten mit einer falschen Antwort� oder durch individuelle Au�assungen


der Bewertenden dar�uber� wie sie das geforderte Aussehen und den geforder�

ten Umfang einer Antwort festlegen �dieses gilt insbesondere f�ur mehrstu�ge

Probleme��

Vor diesem Hintergrund l�a t sich eine Antwort auf den zweiten Teil der ersten

Forschungsfrage wie folgt formulieren�

Die Zuverl�assigkeit des Bewertungsergebnisses� welches die analy�

tische Skala bei der Bewertung von schriftlichen mathematischen

Probleml�osungen liefert� h�angt einerseits ab von der Art der zur

L�osung des Problems ben�otigten Denkprozesse� andererseits auch

von der Qualit�at der zu bewertenden Arbeit selbst� Aber auch

der Umfang der gesuchten L�osung kann die Zuverl�assigkeit des

Bewertungsergebnisses beein�ussen� Je weniger Aufschlu eine

Arbeit �uber das Verstehen der Problemstellung gibt und je un�

verst�andlicher � aber auch komplexer � der gew�ahlte L�osungsweg

ist� desto mehr k�onnen subjektive Ansichten des Bewertenden

das Bewertungsergebnis beein�ussen�

Hieraus k�onnen sich Folgerungen f�ur den Schulunterricht ergeben� Sollen im

Rahmen der Leistungsmessung beim Probleml�osen der Stand des Lernpro�

zesses eines jeden Sch�ulers in den drei einzelnen L�osungsphasen sowie seine

individuellen St�arken und Schw�achen diesbez�uglich deutlich gemacht werden�

so ist eine Bewertung der Probleml�osungen anhand der verwendeten analyti�

schen Skala im Prinzip m�oglich� Hierzu ist in der Regel allerdings ein gro er

Zeitaufwand erforderlich� eine intensive Analyse jeder Arbeit in Bezug auf

die drei L�osungsphasen ist f�ur ein zuverl�assiges Bewertungsergebnis zwin�

gend notwendig� Dieses gilt insbesondere f�ur divergente Problemstellungen�

die im allgemeinen nicht algorithmisch gel�ost werden k�onnen� Vielmehr gibt

es f�ur die L�osung solcher Probleme normalerweise verschiedene M�oglichkei�

ten� von denen einige L�osungswege dem Bewertenden sehr unverst�andlich er�

scheinen k�onnen� Und dieses gilt ebenfalls f�ur mehrstu�ge Probleme� Obwohl

die analytische Skala theoretisch auch bei diesen Problemtypen angewendet

werden kann� sind doch Schwierigkeiten bei der Zuweisung einer eindeutigen

Punktzahl bei den Phasen�Verstehen� und

�Beantworten� aufgetreten� Im

Verlauf der empirischen Untersuchung hat sich herausgestellt� da eine Un�

terscheidung zwischen einem v�olligen Mi verst�andnis des Problems und dem


Verstehen von unwesentlichen Teilen bei Problemstellungen� wie sie im Un�

terricht im Rahmen einer Schulstunde gestellt werden k�onnen� kaum m�oglich

ist� Aus diesem Grund w�are eine Zusammenfassung der Punktkategorien null

und eins der Phase�Verstehen� zu einer einzigen Kategorie einschlie lich ei�

ner geringen Modi�zierung der zugeh�origen Kriterien vor einer praktischen

Verwendung dieser Skala sinnvoll�

�� Die Zusammenfassung der gemittelten

Ergebnisse der beiden Bewertungsme�

thoden

Im letzten Abschnitt dieses Kapitels werden die gemittelten Ergebnisse der

holistischen Bewertung und die gemittelten Ergebnisse der analytischen Be�

wertung sowie die bei jedem Problem gewonnenen Erkenntnisse �uber beste�

hende Zusammenh�ange zwischen den durch die beiden Bewertungsmethoden

vergebenen Punkte zusammengefa t� um so zu einer Theoriebildung hin�

sichtlich der zweiten Forschungsfrage zu gelangen� Im Gegensatz zu den Zu�

sammenfassungen der holistischen bzw� der analytischen Bewertungsergeb�

nisse ist es bei dieser Auswertung nicht m�oglich� bei Punktzahlen� deren Ge�

samtzahlen Di�erenzen aufweisen� zugeh�orige Bewertungskriterien direkt zu

diskutieren� Zwar liegen den gemittelten holistischen Bewertungsergebnissen

Kriterien f�ur jede einzelne Punktzahl durch die holistische Skala zugrunde�

aber die �Gesamt��Punktzahlen der gemittelten analytischen Bewertungser�

gebnisse haben sich jeweils durch Summation der in den drei einzelnen Phasen

erreichten gemittelten Punktzahlen ergeben��

Die Ergebnisse der beiden Bewertungsmethoden werden zun�achst unabh�angig

von den spezi�schen Charakteristiken der Probleme zusammengefa t� Es wer�

den hierbei die festgestellten Ursachen f�ur die bei den einzelnen Punktzahlen

aufgetretenen Di�erenzen� die schon bei den Auswertungen der einzelnen

Probleme angegeben worden sind� noch einmal res�umiert und weitere m�ogli�

che Gr�unde hierf�ur diskutiert� Desweiteren werden die gefundenen Ergebnisse

hinsichtlich der Mittelwerte und hinsichtlich der Korrelationskoe�zienten zu�

sammengefa t� Hieran anschlie end wird untersucht� ob sich Aussagen �uber

eine Gesetzm�a igkeit bez�uglich des Auftretens der festgestellten Di�erenzen

�Jede Gesamtpunktzahl beruht somit auf jeweils drei verschiedenen analytischen Krite�rien� Diese Kriterien k�onnen bei den Auswertungen nicht in jedem Fall diskutiert werden�da Arbeiten mit gleicher Gesamtpunktzahl f�ur die einzelnen Phasen v�ollig unterschiedlicheTeilpunkte erreichten haben k�onnen und daher gleiche Gesamtpunktzahlen auch auf v�olligunterschiedlichen Kriterien beruhen k�onnen�


im Hinblick auf das mathematische Gebiet des Problems oder im Hinblick

auf die zur L�osung des Problems ben�otigten Denkprozesse tre�en lassen� Alle

Daten� die im Rahmen dieser Zusammenfassung diskutiert werden� sind im

Abschnitt G�� des Anhangs tabellarisch dargestellt� Die zweite hier aufgef�uhr�

te Tabelle enth�alt dabei nur diejenigen Werte� bei denen die Abweichungen

zwischen den entsprechenden Werten der beiden Bewertungsmethoden gr�o er

oder gleich einem Richtwert von �� # sind�

�� Eine Zusammenfassung ohne Ber�ucksichtigung

der spezi�schen Problemcharakteristiken

In diesem Unterabschnitt werden die Ergebnisse der beiden Bewertungsme�

thoden unabh�angig von den individuellen Eigenschaften der Probleme zu�

sammengefa t� Die festgestellten Unterschiede zwischen den beiden Bewer�

tungsergebnissen werden diskutiert und alle bereits berechneten Korrelati�

onskoe�zienten noch einmal im Zusammenhang miteinander verglichen� Die

hierf�ur ben�otigten Daten sind im Abschnitt G�� des Anhangs dargestellt�

�� Die Bewertungsergebnisse

Bei einer ersten globalen Betrachtung der Daten im Abschnitt G�� des An�

hangs f�allt auf� da sich bei allen Problemen nur bei relativ wenigen Punkt�

zahlen deutliche Di�erenzen zwischen den durch die beiden Bewertungsme�

thoden vergebenen Punktzahlen ergeben haben� im allgemeinen sind die auf�

getretenen Abweichungen � bis auf die beiden Ausnahmen beim Quadrate�

Problem mit zweimal je �uber �� # � nicht sehr hoch� Dar�uber hinaus lassen

sie eine gewisse Regelm�a igkeit in ihrem Auftreten erkennen�� Diese Unter�

schiede werden im folgenden genauer untersucht�

Die Punktzahlen null und eins

Bei allen sechs Problemen liegt der Anteil der Arbeiten mit null Punkten

bei der analytischen Bewertung �uber dem der holistischen Bewertung� Bei

der Punktzahl eins ist dieses dagegen genau umgekehrt� Diese Unterschiede

k�onnen direkt durch die Kriterien der beiden Wertungsskalen begr�undet wer�

den Bei der holistischen Bewertung erhalten Arbeiten nur dann null Punkte�

wenn sie gar keine Bearbeitung oder nur aus der Problemstellung abgeschrie�

bene Daten zeigen oder wenn sie nur eine falsche Anwort und keine weitere

�Dieses gilt vor allem f�ur die Punktzahlen� bei denen sich Di�erenzen in einer Gr�o�en�ordnung von �� und mehr ergeben haben�


Bearbeitung aufweisen� Dagegen wird einer Arbeit schon f�ur eine bedeutungs�

lose Bearbeitung ein Punkt bei dieser Bewertungsmethode zugewiesen� Wird

nun eine Arbeit� die eine solche bedeutungslose Bearbeitung zeigt� mittels der

analytischen Methode bewertet� so erh�alt diese im allgemeinen die Punkte

�!�!� �Phase�Verstehen�� Das Problem wurde v�ollig mi verstanden bzw�

es ist nicht zu erkennen� ob das Problem verstanden worden ist� ! Phase

�L�osen�� Die L�osung fehlt oder ist v�ollig falsch� ! Phase

�Beantworten�� Die

Antwort fehlt�� woraus sich eine Gesamtsumme von null Punkten ergibt� Es

sei noch einmal an die Ergebnisse des Abschnitts �� erinnert� Hier wurde

dargelegt� warum es bei dieser holistischen Skala sinnvoll ist� aus den Kate�

gorien null und eins vor einer allgemeinen Verwendung eine einzige Kategorie

zu bilden� Insgesamt kann man also sagen� da die bei den Punktzahlen null

und eins aufgetretenen Unterschiede wohl durch die Eigenschaften der Wer�

tungsskalen bedingt sind und nicht durch bestimmte Charakteristiken der

Probleme�

Die Punktzahlen zwei und drei

Die Abweichungen� die sich bei den Punktzahlen zwei und drei ergeben ha�

ben� sind sehr gering� Mit �� # weist die Punktzahl zwei des Quadrate�

Problems bereits die h�ochste Di�erenz auf� die �ubrigen Unterschiede liegen

bei einer Gr�o enordnung von etwas �uber � # bzw� um � #� Im Prinzip

kann man sagen� da in diesem Bereich die Punkte durch die beiden Be�

wertungsmethoden fast gleich vergeben worden sind� Es l�a t sich auch nicht

de�nitiv sagen� da eine Bewertung immer zur Vergabe der niedrigeren oder

der h�oheren Punktzahl neigt� Festzuhalten bleibt allerdings� da bei f�unf der

sechs Probleme der Anteil der Arbeiten mit drei Punkten bei der holisti�

schen Bewertung h�oher ist als der bei der analytischen Bewertung� nur beim

Bonbon�Problem ist dieses umgekehrt�

Die Punktzahlen vier und f�unf

Bei den Punktzahlen vier und f�unf zeigen sich beim Quadrate�Problem und

beim Tier�Problem Di�erenzen zwischen den Anteilen� Mit �� # bei der

Punktzahl vier und mit �� # bei der Punktzahl f�unf �jeweils beim Qua�

drate�Problem� sind dieses die gr�o ten bei diesem Vergleich aufgetretenen

Di�erenzen �uberhaupt�

Nachfolgend werden die Abweichungen des Quadrate�Problems n�aher analy�

siert �vgl� auch Tabelle �� Bei der holistischen Bewertung haben � Ar�

beiten vier Punkte und zwei Arbeiten f�unf Punkte erhalten� dagegen waren

es bei der analytischen Bewertung sechs Arbeiten mit vier Punkten und ��

Arbeiten mit f�unf Punkten� Von den � Arbeiten mit vier holistischen Punk�


Quadrate�Problem

Holistische Bewertung Analytische Bewertung

� Arbeiten mit � Punkten Arbeiten mit � Punkten

� Arbeiten mit � Punkten �� Arbeiten mit � Punkten

� holistische Punkte �� Arbeiten�

� Arbeiten erhielten � analytische Punkte


�� Arbeiten erhielten � analytische Punkte

� Arbeit erhielt analytische Punkte

holistische Punkte �� Arbeiten�

� Arbeiten erhielten analytische Punkte

Tabelle �� Die Anteile der Arbeiten mit vier und f�unf�Gesamt��Punkten beim Quadrate�Problem

ten haben drei Arbeiten drei analytische Punkte erhalten� zwei Arbeiten vier

analytische Punkte� �� Arbeiten f�unf analytische Punkte und eine Arbeit

sechs analytische Punkte� Die zwei Arbeiten mit f�unf holistischen Punkten

haben beide bei der analytischen Bewertung sechs Punkte erhalten� Eine de�

taillierte Betrachtung der drei einzelnen analytischen Punkte� aus denen die

analytische Gesamtsumme gebildet worden ist� bei speziellen Arbeiten zeigt

den Grund f�ur diese Abweichungen� Von den �� Arbeiten mit f�unf analy�

tischen Punkten hatte eine Arbeit die Einzelpunktzahlen �!�!� und �

Arbeiten hatten die Einzelpunktzahlen �!�!�� Alle �� Arbeiten haben bei

der holistischen Bewertung nur vier Punkte erhalten� Bei allen Arbeiten mit

den analytischen Punktzahlen �!�!� ist die gesuchte Anzahl der Holzst�abe

f�ur zehn Quadrate korrekt ermittelt und angegeben worden� aber bei der Be�

rechnung der ben�otigten H�olzer f�ur �� Quadrate sind Fehler aufgetreten

und infolge dessen war der hierzu geh�orende Teil der Antwort falsch� Das

Problem wurde also v�ollig verstanden ��P�� das angewendete L�osungsverfah�

ren ist geeignet� aber im Verlauf kommt es zu schweren Fehlern ��P�� die

Antwort ist falsch bzw� unvollst�andig trotz eines angemessenen L�osungsver�

fahrens ��P�� Betrachtet man nun eine derartige Arbeit im Hinblick auf die

lineare Skala� so erf�ullt diese genau die Kriterien f�ur die Punktzahl vier� Ein

Teilziel wird erfolgreich erreicht� dann erfolgt ein Abbruch bzw� eine falsche

Weiterentwicklung� Es l�a t sich daher sagen� da die beim Quadrate�Problem

aufgetretenen Unterschiede dadurch bedingt sind� da� sich die f�ur teilweise

korrekt gel�oste� mehrstu�ge Probleme vergebenen Punkte der beiden Bewer�

tungsmethoden unterscheiden F�ur sich allein betrachtet sind die Kriterien

jeder einzelnen Wertungsskala f�ur derartige Arbeiten in sich jedoch schl�ussig�


Tier�Problem


Arbeiten mit � Punkten � Arbeiten mit � Punkten

� Arbeiten mit � Punkten Arbeiten mit � Punkten


Arbeiten erhielten � analytische Punkte

holistische Punkte �� Arbeiten�



Tabelle �� Die Anteile der Arbeiten mit vier und f�unf�Gesamt��Punkten beim Tier�Problem

Auch beim Tier�Problem treten mit �� # ��P� und �� # ��P� bei diesen

beiden Punktzahlen Unterschiede auf� die n�aher untersucht werden m�ussen

�vgl� hierzu Tabelle �� So haben bei der holistischen Bewertung sechs

Arbeiten vier Punkte und vier Arbeiten f�unf Punkte erhalten� Dem stehen

null Arbeiten mit vier Punkten und neun Arbeiten mit f�unf Punkten bei der

analytischen Bewertung gegen�uber� Die sechs Arbeiten� die vier holistische

Punkte erhalten haben� haben s�amtlich f�unf analytische Punkte bekommen�

Von den vier Arbeiten� die f�unf holistische Punkte erhalten haben� haben

drei ebenfalls f�unf analytische Punkte erhalten� eine Arbeit sogar sechs� Die

aufgetretenen Unterschiede sind bedingt durch die Arbeiten mit f�unf analy�

tischen Gesamtpunkten� welche die Einzelpunktzahlen �!�!� haben� Von

diesen sieben Arbeiten hat nur eine Arbeit ebenfalls f�unf holistische Punkte

erreicht�� die �ubrigen sechs Arbeiten entsprechen genau den sechs Arbeiten

mit vier holistischen Punkten� Diese Arbeiten zeigen alle eine Gemeinsam�

keit� Es ist erkannt worden� da eine Anzahl von M�ausen mit vier Beinen und

eine Anzahl von Wellensittichen mit zwei Beinen gesucht waren� Rechnerisch

oder mit Hilfe von Listen sind nun diese beiden Werte so ermittelt worden�

da es insgesamt � Tierbeine� d�h� also die in der Problemstellung vorge�

gebene Anzahl� waren� Allerdings ist bei allen Arbeiten nicht mehr ber�uck�

sichtigt worden� da es insgesamt elf Tiere sein mu ten� Als Antworten sind

bei diesen Arbeiten vorgekommen��zwei Wellensittiche und acht M�ause�

oder�sechs Wellensittiche und sechs M�ause�� Bei der analytischen Bewer�

tung wurden solche Arbeiten wie folgt interpretiert� Das Problem ist teilwei�

se verstanden worden� was eine deutliche Ann�aherung an das Ziel erm�oglicht

�Dieses ist allerdings ein Fehler in der Zuweisung der holistischen Punktzahl� da dieseArbeit genau die gleichen Merkmale � wie die anderen sechs Arbeiten auch � aufweist�


hat ��P�� das angewendete L�osungsverfahren war geeignet� aber im Verlauf

ist es zu schweren Fehlern gekommen ��P�� die Antwort war falsch trotz ei�

nes angemessenen L�osungsverfahrens ��P�� Bei der holistischen Bewertung

sind f�ur diese Arbeiten vier Punkte vergeben worden� weil gro e Teile des

Problems verstanden worden sind� es aber aufgrund von Mi verst�andnissen

zu einer teilweise falschen L�osung gekommen ist� Man kann davon ausgehen�

da diese Unterschiede weder durch eine spezielle Eigenschaft dieses Prob�

lems begr�undet werden k�onnen noch generell durch die Charakteristiken der

Wertungsskalen Bei dieser einen Problemstellung hat es sich einmal ergeben�

da nur diese speziellen L�osungen unterschiedlich bewertet worden sind�

Eine Abweichung von mehr als �� # zwischen den Anteilen der beiden Be�

wertungsmethoden bei den Punktzahlen vier und f�unf zeigt sich mit �� #

sonst nur noch beim Bonbon�Problem bei vier Punkten� Bei der Punktzahl

f�unf liegt diese sogar nur bei �� #� Aufgrund dieser geringen H�ohen wird

auf eine detaillierte Betrachtung verzichtet�

Die Punktzahlen sechs bis acht

Auch bei den Punktzahlen sechs bis acht zeigen sich bei drei Problemen

Di�erenzen� die allerdings alle unter �� # liegen� Trotzdem soll in diesem

Abschnitt noch gepr�uft� inwieweit sich auch hierf�ur m�ogliche Ursachen fest�

stellen lassen� Zun�achst wird das Hallo�Problem betrachtet �vgl� hierzu auch

Tabelle ��

Hallo�Problem


�� Arbeiten mit Punkten �� Arbeiten mit Punkten

�� Arbeiten mit � Punkten � Arbeiten mit � Punkten


�� Arbeiten erhielten analytische Punkte


Arbeiten erhielten analytische Punkte



Tabelle �� Die Anteile der Arbeiten mit sechs� siebenund acht �Gesamt��Punkten beim Hallo�Problem

Es zeigen sich Unterschiede von �� # bzw� von �� # bei den Punktzahlen

sechs und sieben� Bei der holistischen Bewertung haben �� Arbeiten sechs


Punkte und zw�olf Arbeiten sieben Punkte erhalten� dem stehen �� Arbei�

ten mit sechs Gesamtpunkten und drei Arbeiten mit sieben Gesamtpunkten

bei der analytischen Bewertung entgegen� Wenn man die Bewertungen aller

einzelnen Arbeiten vergleicht� so zeigt sich� da alle �� Arbeiten mit sechs ho�

listischen Punkten auch sechs analytische Punkte erhalten haben� Von den

zw�olf Arbeiten mit sieben holistischen Punkten haben sechs Arbeiten nur

sechs analytische Punkte erhalten� drei Arbeiten haben ebenfalls sieben ana�

lytische Punkte erhalten und drei Arbeiten sogar acht analytische Punkte�

Von den noch verbleibenden acht Arbeiten mit sechs analytischen Punkten

haben sieben Arbeiten f�unf holistische Punkte erhalten und eine Arbeit hat

vier holistische Punkte erreicht�

�Ahnlich sieht es auch beim M�uhle�Problem und beim W�urfel�Problem aus�

Bei beiden Problemen haben sich Unterschiede zwischen den Werten der

Punkte sechs� sieben und acht ergeben� Bei der holistischen Bewertung des

M�uhle�Problems gibt es neun Arbeiten mit sechs Punkten� acht Arbeiten

mit sieben Punkten und wiederum neun Arbeiten mit acht Punkten� Bei

der analytischen Bewertung haben sich Anteile von �� Arbeiten �P�� zwei

Arbeiten ��P� und �� Arbeiten ��P� ergeben �vgl� hierzu Tabelle ��

M�uhle�Problem


Arbeiten mit Punkten �� Arbeiten mit Punkten

� Arbeiten mit � Punkten � Arbeiten mit � Punkten

Arbeiten mit � Punkten �� Arbeiten mit � Punkten



Arbeiten erhielten analytische Punkte

� Arbeit erhielt � analytische Punkte




Arbeiten erhielten � analytische Punkte

Tabelle �� Die Anteile der Arbeiten mit sechs� siebenund acht �Gesamt��Punkten beim M�uhle�Problem

Von den neun Arbeiten mit sechs holistischen Punkten haben sechs Arbei�

ten bei der analytischen Bewertung ebenfalls sechs Punkte erhalten� zwei

Arbeiten haben nur f�unf analytische Punkte erhalten und eine Arbeit so�


gar sieben analytische Punkte� Alle acht Arbeiten mit sieben holistischen

Punkten haben acht analytische Punkte erhalten� ebenso alle neun Arbeiten

mit acht holistischen Punkten� Es verbleiben bei der analytischen Bewertung

noch sieben Arbeiten mit sechs Punkten und eine Arbeit mit sieben Punkten�

Diese Arbeiten haben s�amtlich bei der holistischen Bewertung f�unf Punkte

erhalten�

Beim W�urfel�Problem haben durch die holistische Bewertung �� Arbeiten

sechs Punkte� neun Arbeiten sieben Punkte und � Arbeiten acht Punkte

erhalten� bei der analytischen Bewertung waren es �� Arbeiten mit sechs

Punkten� zwei Arbeiten mit sieben Punkten und �� Arbeiten mit acht Punk�

ten �vgl� hierzu Tabelle ��

W�urfel�Problem


�� Arbeiten mit Punkten �� Arbeiten mit Punkten

Arbeiten mit � Punkten � Arbeiten mit � Punkten

� Arbeiten mit � Punkten �� Arbeiten mit � Punkten


� Arbeiten erhielten analytische Punkte

� Arbeiten erhielt � analytische Punkte




� Arbeit erhielt � analytische Punkte




Tabelle �� Die Anteile der Arbeiten mit sechs� siebenund acht �Gesamt��Punkten beim W�urfel�Problem

Wenn man auch bei diesem Problem noch einmal beide Bewertungen dieser

Arbeiten einander gegen�uberstellt� wird deutlich� da auch jetzt die Punkte

durch beide Bewertungen weitgehendst gleich vergeben worden sind� Von

den �� Arbeiten mit sechs holistischen Punkten haben � ebenfalls sechs

analytische Punkte erhalten� eine Arbeit hat sieben Punkte bekommen und

vier Arbeiten acht Punkte� Von den neun Arbeiten mit sieben holistischen

Punkten hat nur eine Arbeit ebenfalls sieben analytische Punkte erhalten�

sieben Arbeiten wurden acht analytische Punkte zugewiesen und einer Arbeit


nur sechs Punkte� Alle � Arbeiten mit acht holistischen Punkten haben auch

acht analytische Punkte erreicht� Es ergibt sich nun allein eine Di�erenz

bei der Punktzahl sechs der analytischen Bewertung von �� Arbeiten� Diese

Arbeiten haben bei der holistischen Bewertung s�amtlich f�unf Punkte erreicht�

Ein m�oglicher Grund f�ur die aufgetretenen Di�erenzen bei den Punktzah�

len sechs und sieben wird erkennbar� wenn man noch einmal die f�ur die drei

Phasen bei der analytischen Bewertung erreichten Punktzahlen von einzelnen

Arbeiten und die zugeh�origen holistischen Punktzahlen dieser Arbeiten genau

untersucht� Beim Hallo�Problem haben von den �� Arbeiten mit sechs analy�

tischen Gesamtpunkten � Arbeiten die Punktzahlen �!�!� �die holistische

Bewertung dieser Arbeiten� �� mal sechs Punkte� einmal f�unf Punkte�� je eine

Arbeit hat die Punktzahlen �!�!� �bewertet mit vier holistischen Punkten�

bzw� �!�!� �bewertet mit f�unf holistischen Punkten�� zehn Arbeiten haben

die Punktzahlen �!�!� �die holistische Bewertung dieser Arbeiten� f�unf mal

f�unf Punkte� f�unf mal sechs Punkte� und sechs Arbeiten haben die Punktzah�

len �!�!� �bewertet jeweils mit sieben holistischen Punkten�� Ganz anders

sieht es dagegen beim M�uhle�Problem und beim W�urfel�Problem aus� Beim

M�uhle�Problem haben �� Arbeiten sechs analytische Gesamtpunkte erhalten�

diese haben alle die Einzelpunktzahlen �!�!�� Von diesen Arbeiten haben

sechs die holistische Punktzahl sechs und sieben die holistische Punktzahl

f�unf erhalten� Entsprechendes gilt f�ur das W�urfel�Problem� Alle �� Arbei�

ten mit analytischen Gesamtpunkten haben ebenfalls die Einzelpunktzah�

len �!�!�� Von diesen �� Arbeiten haben zw�olf Arbeiten f�unf holistische

Punkte erhalten� � Arbeiten sechs holistische Punkte und eine Arbeit sieben

holistische Punkte�

Die Werte des Hallo�Problems verdeutlichen� da die Unterschiede bei den

Punktzahlen sechs und sieben� sofern sie auftreten� auch durch die Eigenhei�

ten der Wertungsskalen selbst hervorgerufen werden k�onnen Arbeiten� bei

denen das Problem v�ollig verstanden wurde und bei denen ein geeignetes

L�osungsverfahren korrekt angewendet worden ist� bei denen aber allein die

Antwort fehlt� erhalten bei der analytischen Bewertung die Punkte �!�!��

es ergibt sich also eine Gesamtpunktzahl von sechs Punkten� Dagegen erhal�

ten diese Arbeiten aber bei der holistischen Bewertung sieben Punkte� weil

die zuvor beschriebenen Merkmale der Arbeit � mit Ausnahme des Verste�

hens des Problems � genau die Kriterien f�ur die Vergabe von sieben holisti�

schen Punkten sind�

Aus den Werten des M�uhle�Problems und des W�urfel�Problems dagegen geht

hervor� da fast alle Arbeiten mit sieben holistischen Punkten acht analyti�

sche Gesamtpunkte und somit die Einzelpunktzahlen �!�!� erhalten ha�


ben� Das Kriterium f�ur sieben holistische Punkte ist eindeutig��Das Prob�

lem ist mittels eines geeigneten L�osungsverfahrens korrekt gel�ost worden�

Allerdings ist die Antwort aus nicht ersichtlichen Gr�unden falsch oder fehlt

g�anzlich�� Bei der analytischen Bewertung dieser Arbeiten sind f�ur die Pha�

se�Beantworten� allerdings zwei Punkte vergeben worden� d�h� die Antwort

wurde als vorhanden und v�ollig richtig angesehen� F�ur diese Unterschiede

lassen sich � bis auf Bewertungsfehler � keine triftigen Ursachen angeben�

�� Die Mittelwerte

Ein Vergleich der beiden zu jedem Problem geh�orenden Mittelwerte zeigt

zun�achst� da bei f�unf Problemen der Mittelwert der analytischen Bewer�

tung etwas h�oher ist als der Wert der holistischen Bewertung� Allein beim

Tier�Problem� bei welchem sich allerdings die kleinste Abweichung �uberhaupt

ergeben hat� ist dieses genau umgekehrt� Beim Hallo�Problem� beim Bonbon�

Problem und beim Tier�Problem liegen die ermittelten Di�erenzen zwischen

�� # und �� #� d�h� der Unterschied liegt maximal bei �� # �be�

zogen auf die Maximalpunktzahl acht� und ist damit wirklich verschwin�

dend gering� Dagegen liegen die Abweichungen zwischen den Mittelwerten

beim M�uhle�Problem� beim W�urfel�Problem und beim Quadrate�Problem

mit Werten bis zu �� #� was im Hinblick auf die maximal erreichbare

Punktzahl acht einem Anteil von �� # entspricht� erheblich h�oher�

�� Die Korrelationskoe�zienten

Der Vergleich zwischen den bei der holistischen Bewertung vergebenen Punk�

ten und den bei der analytischen Bewertung vergebenen Gesamtpunkten hat

gezeigt� da � mit Ausnahme des Quadrate�Problems � zwischen den Ergeb�

nissen der beiden Bewertungsmethoden keine wirklich gravierenden Unter�

schiede hinsichtlich der erreichten Punktzahlen aufgetreten sind� Die enge

lineare Abh�angigkeit zwischen den durch die beiden Bewertungsverfahren

einer Arbeit zugewiesenen Punktzahlen zeigen auch die f�ur jedes Problem

ermittelten drei Korrelationskoe�zienten� In den Tabellen im Abschnitt G��

des Anhangs sind diese Werte noch einmal festgehalten�

Die Werte der Korrelationskoe�zienten aus den f�ur die Phase�Verstehen�

bei der analytischen Bewertung erreichten Punkten aller Arbeiten und aus

den bei der holistischen Bewertung erreichten Punktzahlen dieser Arbei�

ten liegen zwischen rWV � �� W�urfel�Problem� und rTV � ��

�Tier�Problem�� Die Werte der entsprechenden Korrelationskoe�zienten f�ur


die Phase�L�osen� liegen zwischen rQL � �� Quadrate�Problem� und

rBL � �� Bonbon�Problem�� F�ur beide Phasen sind die ermittelten

Werte jeweils sehr hoch� Zwischen enorm vielen Punktpaaren �pa� ph� mit paals der Punktzahl� die eine Arbeit f�ur die untersuchte Phase der analytischen

Bewertung erreicht hat� und ph als der Punktzahl� die diese Arbeit bei der ho�

listischen Bewertung erreicht hat� besteht ein linearer Zusammenhang� Etwas

geringer� aber immer noch vergleichsweise hoch� sind die Korrelationskoef�

�zienten f�ur die Phase�Beantworten�� Diese liegen zwischen rHB � ��

�Hallo�Problem� und rWB � �� W�urfel�Problem�� Bei allen sechs Prob�

lemen liegt jeweils der Korrelationskoe�zient f�ur die Phase�Verstehen� unter

dem Koe�zient f�ur die Phase�L�osen��

�� Eine Zusammenfassung mit Ber�ucksichtigung

der spezi�schen Problemcharakteristiken

Im vorangegangenen Unterabschnitt sind die Di�erenzen zwischen den An�

teilen der Arbeiten bei den einzelnen Punktzahlen von beiden Bewertungs�

methoden� die gr�o er oder gleich �� # waren� ausf�uhrlich dargelegt und

m�ogliche Ursachen f�ur deren Auftreten diskutiert worden� Es soll jetzt noch

einmal kurz darauf eingegangen werden� inwieweit sich f�ur das Auftreten der

festgestellten Abweichungen hinsichtlich des mathematischen Gebiets� dem

das Problem zugeordnet werden kann� oder hinsichtlich der zur L�osung des

Problems ben�otigten Denkprozesse oder hinsichtlich des gesuchten Umfangs

der L�osung Gesetzm�a igkeiten erkennen lassen� Auf eine erneute Diskussion

der genauen Werte wird dabei allerdings verzichtet� Da weiter bereits fest�

gestellt worden ist� da die Di�erenzen bei den Punktzahlen null und eins

von den beiden Bewertungsmethoden resp� von den Kriterien der zugrunde

liegenden Skalen abh�angig sind� werden diese hier nicht mehr ber�ucksichtigt�


Die drei kombinatorischen Probleme zeigen allesamt Abweichungen bei den

Punktzahlen sechs und sieben� zwei davon zus�atzlich noch bei der Punktzahl

acht� Aufgrund der im letzten Unterabschnitt gefundenen Ursachen l�a t sich

sagen� da die Di�erenzen bei den Punktzahlen sechs bis acht nicht unbedingt

durch das mathematische Gebiet des Problems begr�undet sind� Beide alge�

braischen Probleme weisen Abweichungen bei der Punktzahl vier auf� das

Tier�Problem zeigt zus�atzlich noch eine Di�erenz bei der Punktzahl f�unf�


Auch diese Unterschiede beruhen wahrscheinlich nicht auf dem mathemati�

schen Gebiet des Problems� Gleiches gilt auch f�ur das geometrische Problem

bei den Punktzahlen vier und f�unf� Sowohl jeweils die beiden Mittelwerte

eines jeden Problems als auch die Di�erenzen zwischen diesen beiden Werten

lassen in diesem Fall keine allgemeing�ultigen Aussagen zu�

�� Die ben�otigten Denkprozesse

Wenn dagegen die zur L�osung ben�otigten Denkprozesse als Charakterisie�

rungsmerkmal dienen� so l�a t sich aufgrund der bei den beiden divergenten

Problemen festgestellten Unterschiede bei den Punktzahlen sechs bis acht sa�

gen� da die beiden Bewertungsverfahren f�ur gute bis sehr gute L�osungen von

divergenten Problemstellungen etwas unterschiedliche Gesamtpunkte verge�

ben� Bei konvergenten Problemen lassen sich keine Gesetzm�a igkeiten hin�

sichtlich des Auftretens der Unterschiede erkennen� Es zeigt sich ferner� da

einerseits die Di�erenz zwischen den beiden Mittelwerten bei divergenten

Problemen im allgemeinen h�oher ist als die bei konvergenten Problemen und

da andererseits bei divergenten Problemen die Mittelwerte der analytischen

Bewertung in der Regel etwas h�oher liegen als die der holistischen Bewertung�

�� Der gesuchte Umfang der L�osung

Die Di�erenzen bei den Punktzahlen vier und f�unf des Quadrate�Problems

beruhen o�enbar auf dem Umfang der gesuchten L�osung� Zweistu�ge Prob�

leme� bei denen nur einer der beiden geforderten Teile des Problems richtig

gel�ost worden ist� der zweite aber nicht� erhalten durch die beiden Bewer�

tungsmethoden im allgemeinen Gesamtpunkte mit einem Punkt Di�erenz�

Hierdurch bedingt tendiert die analytische Bewertung bei zweistu�gen Prob�

lemen zur Vergabe etwas h�oherer Punkte�

�� Fazit

Auf der Grundlage der Zusammenfassungen der festgestellten Ursachen f�ur

die aufgetretenen Unterschiede zwischen den Anteilen der Arbeiten bei den

einzelnen Punktzahlen von den beiden unterschiedlichen Bewertungsmetho�

den wird in diesem Abschnitt versucht� eine Antwort auf die zweite For�

schungsfrage resp� darauf zu geben� welche Aussagen sich �uber die Konsi�

stenz der vektoriellen Skala und der linearen Skala in Abh�angigkeit von der

Problemstellung machen lassen�


Zun�achst wurde deutlich� da sich nur bei relativ wenigen Punktzahlen der

einzelnen Probleme �uberhaupt Di�erenzen zwischen den durch die beiden Be�

wertungsmethoden vergebenen Gesamtpunktzahlen ergeben haben� Dar�uber

hinaus waren diese Di�erenzen� bis auf zwei Ausnahmen beim Quadrate�

Problem mit einem Unterschied von jeweils mehr als �� #� auch nicht sehr

hoch� Es ist speziell herausgearbeitet worden� da die aufgetretenen Di�e�

renzen bei den Punktzahlen null und eins � unabh�angig von den Charakte�

ristiken des jeweiligen Problems � allein auf den spezi�schen Kriterien der

beiden Wertungsskalen beruhen� Zu den Di�erenzen bei den Punktzahlen

sechs und sieben ist festgestellt worden� da diese bei solchen Arbeiten� bei

denen ein geeignetes L�osungsverfahren korrekt angewendet� aber keine Ant�

wort formuliert worden ist� ebenfalls im allgemeinen durch die Kriterien der

Wertungsskalen selbst bedingt sind�

Zu den bei den Punktzahlen vier und f�unf aufgetretenen Abweichungen konn�

te allein festgestellt werden� da diese beim zweistu�gen Quadrate�Problem

bei solchen Arbeiten durch die Kriterien der beiden Wertungsskalen be�

gr�undet werden k�onnen� bei denen der erste Teil der Problemstellung korrekt

gel�ost worden ist und der zweite nicht� Bei einstu�gen Problemen konnte kei�

ne Aussage diesbez�uglich getro�en werden� Abschlie end wurde ersichtlich�

da bei divergenten Problemstellungen vermehrt Di�erenzen bei den Punk�

ten sechs bis acht aufgetreten sind� wobei die analytische Bewertung speziell

bei den Punktzahlen sieben und acht tendenziell eher die h�ohere dieser bei�

den Punktzahlen vergibt� Arbeiten mit sieben holistischen Punkten haben

fast immer acht Punkte bei der analytischen Bewertung erhalten� Gr�unde�

mit Ausnahme von Bewertungsfehlern� konnten hierf�ur allerdings nicht an�

gegeben werden�

Die beiden zu jedem der sechs Probleme berechneten Mittelwerte haben ge�

zeigt� da � wenn �uberhaupt � bei der analytischen Bewertung wenig h�ohere

durchschnittliche Gesamtpunktzahlen vergeben werden� Dieses gilt insbeson�

dere f�ur divergente Problemstellungen� Durch die f�ur die drei L�osungsphasen

�Verstehen��

�L�osen� und

�Beantworten� eines jeden Problems berechneten

drei Korrelationskoe�zienten wurde deutlich� da bei jedem Problem zwi�

schen allen bei der analytischen Bewertung f�ur die jeweilige Phase erreichten

Punkten und allen bei der holistischen Bewertung erreichten Punktzahlen ei�

ne sehr hohe lineare Abh�angigkeit besteht� Vor diesem Hintergrund l�a t sich

eine Antwort auf die zweite Forschungsfrage wie folgt formulieren�


Die einer Probleml�osung bei der analytischen Bewertung zu�

gewiesenen drei Einzelpunktzahlen und die dieser L�osung bei

der holistischen Bewertung zugewiesene Punktzahl stehen im

allgemeinen jeweils in einem sehr engen linearen Zusammenhang�

Dieses gilt unabh�angig vom mathematischen Gebiet� dem das

Problem zugeordnet werden kann� unabh�angig von den zur

L�osung ben�otigten Denkprozessen und unabh�angig vom Umfang

der gesuchten L�osung� Bei beiden Bewertungsmethoden werden

den einzelnen Arbeiten unabh�angig von den spezi�schen Cha�

rakterisierungsmerkmalen des Problems fast immer die gleichen�

zumindest aber sehr �ahnliche �Gesamt��Punktzahlen zugewiesen�

Dieses zeigt insgesamt die hohe Konsistenz der vektoriellen Skala

und der linearen Skala� unabh�angig von der Art der Problemstel�

lung�

Es mu an dieser Stelle noch einmal herausgestellt werden� da hinter die�

sen beiden Bewertungsmethoden ganz verschiedene Zielsetzungen stehen� Die

Notwendigkeit eines Vergleichs zwischen der durch die analytische Bewer�

tung erreichten Gesamtpunktzahl und der durch die holistische Bewertung

erreichten Punktzahl wird in der Praxis nicht auftreten� Infolge dessen ist

es auch nicht wirklich von gro er Bedeutung� ob eine Bewertungsmethode�

in der Summe betrachtet� einer Arbeit einen Punkt mehr oder weniger zu�

weist� Entscheidend ist vielmehr� da eine Skala in sich schl�ussig ist� da ja

alle Arbeiten� beispielsweise einer Klasse� mit ein und derselben Skala bewer�

tet werden und allein dieses Bewertungsergebnis in sich widerspruchsfrei sein

mu � Im Hinblick auf die gefundene Antwort auf die zweite Forschungsfrage

kann man daher f�ur die Praxis sagen� da es f�ur das Bewertungsergebnis als

solches im Prinzip keinen Unterschied macht� welche Skala man bei der Be�

wertung von Sch�ulerarbeiten ausw�ahlt� Die Entscheidung� welche Skala die

Basis f�ur die Leistungsmessung bilden wird� sollte grunds�atzlich zun�achst auf

dem gew�unschten Zweck bzw� auf dem angestrebten Ziel der Bewertung be�

ruhen� gegebenenfalls dann noch darauf� wieviel Zeit f�ur die Bewertung zur

Verf�ugung steht�

Kapitel ��

Nachwort und Ausblick

Im Rahmen dieser Arbeit ist untersucht worden� inwieweit die analytische

Bewertung anhand einer vektoriellen Skala und die holistische Bewertung

anhand einer linearen Skala f�ur die Leistungsmessung bei schriftlichen ma�

thematischen Probleml�osungen von Sch�ulern angewendet werden k�onnen und

welche Schwierigkeiten bei der praktischen Anwendung dieser Methoden in

Abh�angigkeit von speziellen Eigenschaften der Problemstellung gegebenen�

falls auftreten k�onnen� Es hat sich herausgestellt� da zwischen den vergebe�

nen Punkten der beiden Bewertungsmethoden enge Zusammenh�ange existie�

ren� und zwar sowohl zwischen den f�ur die einzelnen Phasen bei der analyti�

schen Bewertung erreichten Einzelpunktzahlen und der bei der holistischen

Bewertung erreichten Punktzahl� als auch zwischen der aus den drei Einzel�

punktzahlen der analytischen Bewertung gebildeten Gesamtpunktzahl und

der Punktzahl bei der holistischen Bewertung� Es wurde deutlich� da f�ur

eine angemessene Leistungsmessung von schriftlichen mathematischen Prob�

leml�osungen von Sch�ulern prinzipiell beide Methoden gleicherma en verwen�

det werden k�onnen� F�ur die Wahl der Bewertungsmethode sollte vor allem

der Zweck� dem die Leistungsmessung dienen soll� ausschlaggebend sein�

Es wurde aber ebenso ersichtlich� da die Zuverl�assigkeit der Vergabe der

Punkte bei beiden Bewertungsmethoden auch von den spezi�schen Eigen�

schaften des jeweiligen Problems beein�u t werden kann� So erfordert die

Bewertung einer L�osung eines divergenten Problems vor der Zuweisung der

Punktzahl eine �au erst genaue und m�oglicherweise zeitintensive Auseinan�

dersetzung mit der kompletten Arbeit� bei konvergenten Problemstellungen

geht diese Analyse im allgemeinen einfacher und schneller� Auch erfordern

die Bewertung von L�osungen zu kombinatorischen Problemen und die Bewer�

tung von L�osungen zu mehrstu�gen Problemen m�oglicherweise eine erh�ohte

Aufmerksamkeit des Bewertenden�

��

KAPITEL �� NACHWORT UND AUSBLICK ��

Die Diskussionen in dieser Arbeit haben gezeigt� da ein zeitgem�a er Mathe�

matikunterricht auf Probleml�osen als einen festen Bestandteil nicht mehr

vollends verzichten kann� Diese Forderung wurde in erster Linie gest�utzt

durch gesellschaftliche und motivatorische Gr�unde� aber auch durch weitere

Argumente� wie die Weiterentwicklung des Bildungssystems und des Mathe�

matikunterrichts als ein Teil davon oder wie die Ver�anderung der Vorstellun�

gen �uber die Mathematik und �uber das Bild der �Schul��Mathematik� Die

Hauptaufgabe einer Schule ist unver�andert� Sie mu einen Sch�uler auf das

sp�atere Leben in unserer Gesellschaft vorbereiten� Daher mu eine Schule

einem Sch�uler die F�ahigkeit vermitteln� Dinge eigenst�andig zu erlernen� die

f�ur ihn bisher unbekannt waren� Es wurde o�enkundig� da hierzu allerdings

die Vermittlung von reinem Wissen im Unterricht nicht mehr ausreicht� die

hierf�ur notwendigen Wissensstrukturen m�ussen umfassender und komplexer

sein�

Nach den im Rahmen dieser Arbeit zitierten Richtlinien und Lehrpl�anen f�ur

den Mathematikunterricht an Gesamtschulen und Gymnasien in Nordrhein�

Westfalen in der Sekundarstufe I bzw� in der Sekundarstufe II sollte Prob�

leml�osen bereits heute ein fester Bestandteil des Unterrichts sein� Daher ist

es f�ur jeden Lehrenden zwingend notwendig� sich mit geeigneten Methoden

zur Messung von schriftlichen Leistungen� die im Rahmen des Probleml�osens

erbracht werden� auseinanderzusetzen� Zu diesen z�ahlen insbesondere auch

die in dieser Arbeit vorgestellten Methoden� O�en bleibt allerdings die Frage�

ob zur Messung der schriftlich erbrachten Leistungen beim Probleml�osen

�uberhaupt die aufgezeigten Methoden angewendet werden m�ussen oder ob

es noch andere Bewertungsm�oglichkeiten gibt� welche einerseits die an eine

angemessene Leistungsmessung gestellten allgemeinen Forderungen erf�ullen�

welche andererseits aber auch den an eine angemessene Leistungsmessung

speziell beim Probleml�osen gestellten Forderungen v�ollig gerecht werden�

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�� The National Council of Teachers of Mathema�

tics� Inc�� Virginia� ��

�Kieswetter�� Kieswetter� Karl� Kreativit�at in der Mathematik und

im Mathematikunterricht� In Martin Glatfeld �Hrsg��

Mathematik Lernen� Probleme und M�oglichkeiten

Vieweg� Braunschweig� ��

�Kieswetter�� Kieswetter� Karl� Modellierung von Probleml�ose�

prozessen� In� Mathematikunterricht� ��

S� ��

�Klix�� Klix� Friedhard� Information und Verhalten VEB�

Deutscher Verlag f�ur Wissenschaften� Berlin �DDR��

�� Auflage� Bern� ��

�Krems�� Krems� J�� Denken� produktives� In� Gerhard Stru�

be �Hrsg�� W�orterbuch der Kognitionswissenschaft

Klett�Cotta� Stuttgart� ��


�Krulik�Rudnick�� Krulik� Stephen� Rudnick� Jesse A�� Helping teachers

become teachers of problem solving� In� Hugh Burk�

hardt� Susie Groves� Alan Schoenfeld� Kaye Stacey

�Hrsg�� Problem solving � a world view Proceedings

of Problem Solving Theme Group� Fifth Internatio�

nal Congress on Mathematical Education� Adelaide

�� ICME �� The Shell Centre for Mathematical

Education� University of Nottingham� ��

�Krulik�Rudnick�� Krulik� Stephen� Rudnick� Jesse A�� Assessing reaso�

ning and problem solving� a sourcebook for elementa�

ry school teachers Allyn & Bacon� Meedham Heights�

MA ��

�KMNRW�� Kultusministerium des Landes Nordrhein�Westfalen

�Hrsg�� Richtlinien und Lehrpl�ane f�ur das Gymnasi�

um � Sekundarstufe I � in Nordrhein�Westfalen Ver�

lagsgesellschaft Ritterbach mbH� Frechen� ��

�LeBlanc�� LeBlanc� John F�� A Model for Elementary Teacher

Training in Problem Solving� In� Frank K� Lester� Joe

Garofalo �Hrsg�� Mathematical Problem Solving� Is�

sues In Research The Franklin Institute Press� Phil�

adelphia� ��

�Lester�� Lester� Frank K�� Mathematical problem solving in

the elementary school� Some educational and psy�

chological considerations� In� L� L� Hat�eld� D� A�

Bradbard �Hrsg�� Mathematical problem solving� Pa�

pers from a research workshop Columbus� Ohio�

ERIC�SMEAC� ��

�Linneweh�� Linneweh� Klaus� Kreatives Denken� Techniken und

Organisation produktiver Kreativit�at Verlag Dieter

Gitzel� Rheinzabern� ��


�Malone u�a�� Malone� John A�� Douglas� Graham A�� Kissa�

ne� Barry V�� Mortlock� Roland S�� Measuring

Problem�solving Ability� In� Stephen Krulik� Ro�

bert E� Reys� Problem Solving in School Mathema�

tics NCTM Yearbook �� The National Council of

Teachers of Mathematics� Inc�� Virginia� ��

�Mandl�Friedrich�� Mandl� Heinz� Friedrich� Helmut F�� Lern� und

Denkstrategien � ein Problemaufri � In� Heinz Mandl�

Helmut F� Friedrich �Hrsg�� Lern� und Denkstrate�

gien Verlag f�ur Psychologie� G�ottingen� ��

�Mason�� Mason� John� Hexeneinmaleins � kreativ mathema�

tisch denken R� Oldenbourg Verlag� M�unchen� ��

�Originaltitel� Thinking Mathematically� Addison�

Wesley Publishing Co��

�Mayer�� Mayer� Richard E�� Thinking and Problem Solving�

An Introduction to Human Cognition and Learning

Scott� Foresmann and Company� Glenview� Illinois�

��

�Mayer�� Mayer� Richard E�� Thinking� Problem Solving� Cogni�

tion W� H� Freeman and Company� New York� ��

�MSWWF�� Ministerium f�ur Schule und Weiterbildung� Wis�

senschaft und Forschung des Landes Nordrhein�

Westfalen �Hrsg�� Richtlinien und Lehrpl�ane f�ur

die Sekundarstufe I � Gesamtschule in Nordrhein�

Westfalen vgr Verlagsgesellschaft Ritterbach mbH�

Frechen� ��

�MSWWF�� Ministerium f�ur Schule und Weiterbildung� Wis�

senschaft und Forschung des Landes Nordrhein�

Westfalen �Hrsg�� Richtlinien und Lehrpl�ane f�ur

die Sekundarstufe II � Gymnasium�Gesamtschule in

Nordrhein�Westfalen Ritterbach Verlag GmbH� Fre�

chen� ��

LITERATURVERZEICHNIS �

�Neuhaus�� Neuhaus� Kornelia� Die Grundlagen der Kreativit�ats�

untersuchungen bei Dewey und Wallas� In� Beitr�age

zum Mathematikunterricht� �� S� ��

�Neuhaus�� Neuhaus� Kornelia� Die Rolle des Kreativit�atsprob�

lems in der Mathematik Dissertation an der Gerhard�

Mercator�Universit�at Duisburg� ��

�Newell�Simon�� Newell� Allen� Simon� Herbert A�� Human Problem

Solving Prentice Hall� Inc�� Englewood Cli�s� New

Jersey� ��

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lopment �OECD�� Measuring Student Knowledge and

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matical and Scienti�c Literacy OECD Publications�

Paris� ��

�Oerter�� Oerter� Rolf� Psychologie des Denkens Verlag Ludwig

Auer� Donauw�orth� ��

�Opwis�� Opwis� K�� Problemraum� In� Gerhard Strube�

W�orterbuch der Kognitionswissenschaft Klett�Cotta�

Stuttgart� ��

�Otis�O�erman�� Otis� Marlys J�� O�erman� Therasa R�� How Do You

Evaluate Problem Solving In� Arithmetic Teacher� ��

�� S� � � ��

�Pavlov�� Pavlov� Iwan P�� Conditioned Re�exes Oxford Uni�

versity Press� Oxford� ��

�Pavlov�� Pavlov� Iwan P�� Die bedingten Re�exe Kindler Ver�

lag� M�unchen� ��

�Pehkonen�� Pehkonen� Erkki� Forstering of Mathematical Crea�

tivity� In� Zentralblatt f�ur Didaktik der Mathematik�

�� S� � � ��


�Pl�otzner�� Pl�otzner� R�� Lernen� In� Gerhard Strube �Hrsg��


Stuttgart� ��

�Polya�� Polya� George� How To Solve It � A New Aspect of

Mathematical Method Doubleday Anchor Book� Gar�

den City � New York� �� Zweite Auflage� Erste

Auflage �� bei Princeton University Press��

�Polya�� Polya� George� On Solving Mathematical Problems in

High School� �Reprint von �� In� Stephen Krulik�

Robert E� Reys� Problem Solving in School Mathema�

tics NCTM Yearbook �� The National Council of

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�Putz�Osterloh�� Putz�Osterloh� Wiebke� Wissen und Probleml�osen�

In� Heinz Mandl� Hans Spada �Hrsg�� Wissens�

psychologie Psychologie Verlags Union� M�unchen �

Weinheim� ��

�Reitmann�� Reitmann� W� R�� Cognition and thought� An infor�

mation processing approach Wiley� New York� ��

�Schoen�Oehmke�� Schoen� Harold L�� Oehmke� Theresa� A New Ap�

proach to the Measurement of Problem�solving Skills�

In� Stephen Krulik� Robert E� Reys� Problem Solving

in School Mathematics NCTM Yearbook �� The

National Council of Teachers of Mathematics� Inc��

Virginia� ��

�Schoenfeld�� Schoenfeld� Alan H�� Heuristics in the Classroom� In�

Stephen Krulik� Robert E� Reys� Problem Solving in

School Mathematics NCTM Yearbook �� The Na�


ginia� ��

�Schoenfeld�� Schoenfeld� Alan H�� Explorations of Student�s

Mathematical Beliefs and Behavior� In� Journal

of Research in Mathematical Education� ��

S� ��


�Sell�� Sell� Robert� Angewandtes Probleml�osungsverhal�

ten Denken und Handeln in komplexen Zusam�

menh�angen Springer� Berlin � Heidelberg � New York�

��

�Selz�� Selz� Otto� Die Gesetze der produktiven und repro�

duktiven Geistest�atigkeit � kurzgefa te Darstellung�

�Neuauflage des Originals aus dem Jahre �� In�

Karl Josef Gro�mann �Hrsg�� Leben und Werk von

Otto Selz �� Zum �� Geburtstag des

Philosophen und Psychologen Otto Selz Institut der

Universit�at Mannheim� ��

�S�ullwold�� S�ullwold� F�� Bedingungen und Gesetzm�a igkeiten des

Probleml�osungsverhaltens� In� Hans Thomae �Hrsg��

Deutsche Gesellschaft f�ur Psychologie� Bericht vom

�� Kongre� in Heidelberg �� Hogrefe� G�ottingen�

��

�S�u �� S�u � H� M�� Kreativit�at� In� Gerhard Strube �Hrsg��


Stuttgart� ��

�Sydow�� Sydow� H�� Zur metrischen Erfassung von subjektiven

Problemzust�anden und zu deren Ver�anderungen im

Denkproze � In� Zeitschrift f�ur Psychologie� ��

S� ��

�Szetela�� Szetela� Walter� The Problem of Evaluation in

Problem�Solving� Can We Find Solutions In� Arith�

metic Teacher� �� S� � � ��

�Titze�� Titze� Michael� Denken� In� Reinhard Brunner� Mi�

chael Titze �Hrsg��W�orterbuch der Individualpsycho�

logie Ernst Reinhardt Verlag� M�unchen� ��

�T�orner�Zielinski�� T�orner� G�unter� Zielinski� Udo� Probleml�osen als

integrativer Bestandteil des Mathematikunter�

richts � Einblicke und Konsequenzen� Journal f�ur

Mathematik�Didaktik� �� S� ��


�Torrance�� Torrance� E� Paul� Rationale of the Torrance Test of

Creative Thinking Ability� In� E� Paul Torrance� Wil�

liam F� White� Issues and Advances in Educational

Psychologie F� E� Peacock Publishers� Inc�� Itasca�

Illinois� ��

�Vollrath�� Vollrath� Hans�Joachim� Grundlagen des Mathema�

tikunterrichts in der Sekundarstufe Spektrum Aka�

demischer Verlag GmbH� Heidelberg � Berlin� ��

�Wake�eld�� Wake�eld� John F�� Creative Thinking� Problem�

Solving Skills and the Arts Orientation Ablex Pub�

lishing Corporation� Norwood� New Jersey� ��

�Wearne�� Wearne� Diane C�� Development of a Test of Mathe�

matical Problem Solving Which Yields a Comprehen�

sion� Application� and a Problem Solving Score Tech�

nical Report No� �� Wisconsin Research and De�

velopment Center for Cognitive Learning� Madison�

Wis��

�Wertheimer�� Wertheimer� Max� Produktives Denken Kramer�

Frankfurt� ��

�Weth�� Weth� Thomas� Kreativit�at im Mathematikunterricht�

Begri�sbildung als kreatives Tun Verlag Franzbecker�

Hildesheim� ��

�Zielinski�� Zielinski� Udo� Die Abh�angigkeit des Probleml�osever�

haltens vom Darstellungsmodus Dissertation an der

Universit�at � Gesamthochschule � Duisburg� ��

�Zimmermann�� Zimmermann� Bernd� Ziele� Beispiele und Rahmen�

bedingungen problemorientierten Mathematikunter�

richtes� In� Bernd Zimmermann� Problemorientierter

Mathematikunterricht Franzbecker� Bad Salzdeth�

furth� ��

Anhang A

Vektorielle Bewertungsskalen

��

ANHANG A� VEKTORIELLE BEWERTUNGSSKALEN ��

A�� Skala von Charles und Lester�

Phase Points Criteria

Understanding � Completely misinterprets the problem

the problem � Misinterprets part of the problem

� Complete understanding of the problem

Solving � No attempt or a totally inappropriate plan

the problem � Partly correct procedure based on part of the

problem interpreted correctly

� A plan that could lead to a correct solution

with no arithmetic errors

Answering

the problem

� No answer or wrong answer based on an in�

appropriate plan

� Copying error� computational error� partial

answer for a problem with multiple answers�

answer labeled incorrectly

� Correct solution

�Vergleiche hierzu �Charles�Lester�� und �Charles u�a��

ANHANG A� VEKTORIELLE BEWERTUNGSSKALEN ��

A�� Modi�zierte Skala nach Charles und

Lester�

Phase Punkte Kriterien

Verstehen � Das Problem wurde v�ollig mi verstanden�

des Problems � Ein unerheblicher Anteil der Angaben �bzw�

Bedingungen� wurde verstanden� wobei das

Ziel g�anzlich unklar bleibt�

� Ein wichtiger Anteil der Angaben wurde ver�

standen� was eine deutliche Ann�aherung an

das Ziel erm�oglicht�

� Alle wesentlichen Angaben� die zum Errei�

chen des Ziels n�otig sind� wurden verstanden�

� Das Problem wurde in allen Einzelheiten ver�

standen� das Ziel ist deutlich vor Augen�

L�osen

des Problems

� Die L�osung fehlt oder ist v�ollig unangemes�

sen�

� Teile einer richtigen L�osung sind erkennbar�

aber ein L�osungsverfahren fehlt oder es ist

falsch�

� Ein teilweise richtiges L�osungsverfahren l�a t

ein Verst�andnis f�ur ein wichtiges Teilproblem

erkennen�

� Das L�osungsverfahren ist im wesentlichen

richtig� aber es treten periphere Fehler auf

�z�B� nicht erf�ullte Randbedingungen oder

arithmetische Fehler��

� Die L�osung ist bis auf banale Rechen�� Lese�

bzw� Abschreibfehler v�ollig richtig�

Beantworten

des Problems

� Die Antwort fehlt oder ist falsch� weil sie auf

einem unzureichenden �unangemessenen� un�

vollst�andigen� L�osungsverfahren basiert�

� Die Antwort ist trotz eines angemessenen

L�osungsverfahrens falsch bzw� unvollst�andig�

� Die Antwort ist v�ollig richtig�

�Vergleiche hierzu �Charles�Lester��

Anhang B

Lineare Bewertungsskalen

��

ANHANG B� LINEARE BEWERTUNGSSKALEN ��

B�� Skala von Malone�

Points Criteria which the papers have to show

� Noncommencement

The student is unable to begin the problem or hands in

work that is meaningless�

� Approach

The student approaches the problem with meaningful

work� indicating some understanding of the problem� but

an early impasse is reached�

� Substance

Su�cient detail demonstrates that the student has pro�

ceeded toward a rational solution� but major errors or mis�

interpretations obstruct the correct solution process�

� Result

The problem is very nearly solved� minor errors produce

an invalid �nal solution�

� Completion

An appropriate method is applied to yield a valid solution�

�Vergleiche hierzu �Malone u�a��


B�� Skala von Woods�

Points Criteria which the paper have to show

� No work shown

� Pertinent facts shown but no procedure

� Pertinent facts shown with inappropriate procedure

Appropriate plan introduced

Some progress� but wrong turn taken

Failure to complete good plan

� Clear an appropriate plan developed

Error in calculation or transcription

Answer incomplete

�� Correct answer

Awareness that answer is reasonable

�Vergleiche hierzu �Szetela��


B�� Skala von Zielinski�

Punkte Beschreibung des Mathematisierungsprozesses

� keine sinnvolle Bearbeitung

� ein unerheblicher Anteil der Angaben ist verstanden� wobei

keine richtigen Teill�osungen erkennbar sind

� unklarer L�osungsversuch ersichtlich� bewu tes Ansprechen

der Aufgabendaten� aber kein erfolgversprechendes Verfah�

ren absehbar

� ein wichtiger Anteil ist verstanden� aber ein L�osungsver�

fahren fehlt oder ist v�ollig unsachgem�a

� ausbauf�ahiger L�osungsversuch erkennbar� jedoch kein

ad�aquates Arbeiten mit den Vorgaben

� wesentliche Teile des Problems sind verstanden� die Prob�

leml�osung ist in Angri� genommen� aber das L�osungsver�

fahren ist teilweise dysfunktional oder nicht sachbezogen

angemessenes L�osungsverfahren ersichtlich� Fortschritte

bei der L�osung� aber falsche Weiterentwicklung oder Ab�

bruch

� das Problem ist in allen Einzelheiten verstanden� das Ver�

fahren ist im wesentlichen richtig� das Ergebnis jedoch ist

nicht zutre�end� da im L�osungsgang grundlegende Fehler

auftreten

� klarer und angemessener L�osungsalgorithmus wird deut�

lich gemacht� aber Rechen� oder �Ubertragungsfehler und

unvollst�andige oder nicht sinnvolle Antwort

das Problem ist bis auf periphere Fehler vollst�andig gel�ost�

eine sinnvolle Antwort ist ersichtlich

�� korrekte L�osung mit richtiger Antwort

�Diese Skala entstand durch Verfeinerung der Skala vonWoods� vgl� �Zielinski�� S� ��


B�� Skala von Charles und Lester�

Points Characteristics which the papers have to show�

� They are blank�

The data in the problem may be simply recopied� but

nothing is done with the data or there is work but no ap�

parent understanding of the problem�

There is an incorrect answer and no other work is shown�

� There is a start toward �nding the solution beyond just

copying data that re�ects some understanding� but the ap�

proach used would not have led to a correct solution�

An inappropriate strategy is started but not carried out�

and there is no evidence that the student turned to another

strategy� It appears that the student tried one approach

that did not work and then gave up�

The student tried to reach a subgoal but never did�

� The student used an inappropriate strategy and got an

incorrect answer� but the work showed some understanding

of the problem�

An appropriate strategy was used� but !

a� it was not carried out far enough to reach a solution

�e�g�� there were only � entries in an organized list��

b� it was implemented incorrectly and thus led to no

answer or an incorrect answer�

The student successfully reached a subgoal� but went no

further�

The correct answer ist shown� but !

a� the work is not understandable�

b� no work is shown�

Fortsetzung auf der n�achsten Seite

�Vergleiche hierzu �Charles u�a�� S� ��


Fortsetzung der vorherigen Seite

�� The student has implemented a solution strategy that

could have led to the correct solution� but he or she mis�

understood part of the problem or ignored a condition in

the problem�

Appropriate solution strategies were properly applied�

but !

a� the student answered the problem incorrectly for no

apparent reason�

b� the correct numerical part of the answer was given

and the answer was not labeled or was labeled incor�

reclty�

c� no answer is given�

The correct answer is given� and there is some evidence that

appropriate solution strategies were selected� However� the

implementation of the strategies is not completely clear�

�� The student made an error in carrying out an appropria�

te solution strategy� However� this error does not re�ect

misunderstanding of either the problem or how to imple�

ment the strategy� but rather it seems to be a copying or

computational error�

Appropriate strategies were selected and implemented� The

correct answer was given in terms of the data in the prob�

lem�

�Zum Erreichen einer Punktzahl mu� die Arbeit eines der hierzu angegebenen Kriterienerf�ullen�

Anhang C

Die Skalen der empirischen

Untersuchung

��

ANHANG C� DIE SKALEN DER UNTERSUCHUNG ��

C�� Die vektorielle Skala

Phase bzw� Punkte Kriterien�

Kategorie welche die Arbeit aufweisen mu��

�A� Verstehen

des Problems

� Das Problem wurde v�ollig mi verstan�

den�

Es ist nicht zu erkennen� ob das Prob�

lem verstanden wurde� weil es lediglich

eine falsche Antwort gibt�

� Nur unwesentliche Teile des Problems

wurden verstanden� das Ziel bleibt un�

klar�

Es ist nicht zu erkennen� ob das Prob�

lem verstanden wurde �z�B� v�ollig un�

verst�andliche L�osung oder nur eine

richtige Antwort ohne eine Bearbei�

tung��

� �Wichtige� Teile des Problems wurden

verstanden oder richtig interpretiert� ei�

ne deutliche Ann�aherung an das Ziel ist

m�oglich�

� Das Problem wurde v�ollig verstanden�


�Sind einer Punktzahl verschiedene Kriterien zugeordnet� so mu� die Arbeit zum Er�reichen dieser Punktzahl selbstverst�andlich nur eines dieser Kriterien aufweisen�



�B� L�osen � Die L�osung fehlt�

des Problems Die L�osung ist v�ollig falsch�

Das verwendete L�osungsverfahren ist

v�ollig ungeeignet�

� Ein teilweise richtiges L�osungsverfah�

ren ist angewendet worden �z�B� weil

nur Teile des Problems richtig verstan�

den worden sind��

Das angewendete L�osungsverfahren ist

im Prinzip geeignet� aber im Verlauf

der L�osung kommt es zu schweren Feh�

lern�

Die L�osung ist nicht zu verstehen�

� Trotz eines geeigneten L�osungsverfah�

rens hat die L�osung kleine Fehler

�z�B� arithmetische Fehler oder �Uber�

tragungsfehler��

Trotz eines geeigneten L�osungsverfah�

rens ist die L�osung nicht vollst�andig

�z�B� bei mehrstu�gen Problemen��

Trotz eines geeigneten L�osungsverfah�

rens kommt es zum Abbruch�

� Das angewendete L�osungsverfahren ist

geeignet� die L�osung ist v�ollig richtig�

�C� Beant� � Die Antwort fehlt�

worten

des Problems

Es gibt ausschlie lich eine falsche Ant�

wort�

Die Antwort ist falsch bzw� unvoll�

st�andig� da sie auf einem �teilweise� un�

geeigneten L�osungsverfahren beruht�

� Die Antwort ist trotz eines angemesse�

nen L�osungsverfahrens falsch oder un�

vollst�andig �z�B� durch Rechen� oder�Ubertragungsfehler��

� Die Antwort ist v�ollig richtig�


C�� Die lineare Skala

Dach� Punkte � Kriterien�

kategorie Kategorie welche die Arbeit aufweisen mu��

I � Das Problem wurde nicht bearbeitet�

Es sind lediglich Angaben aus der Prob�

lemstellung abgeschrieben worden� jedoch

wurde hiermit keine sinnvolle Bearbeitung

durchgef�uhrt�

Es gibt lediglich eine falsche Antwort und

sonst keinerlei Bearbeitungen�

� Es gibt eine gewisse �bedeutungslose�

Bearbeitung� aber es ist kein echtes

Verst�andnis f�ur das Problem zu erkennen�

� Es gibt einen unklaren L�osungsver�

such durch bewu tes Ansprechen �z�B��Ubertragung� der Angaben� welcher auf

ein gewisses Verst�andnis hindeutet� Ein

L�osungsverfahren wird nicht angewendet�

Es wird erfolglos versucht� ein Teilziel zu

erreichen�

Es gibt lediglich eine korrekte Antwort f�ur

ein Teilproblem oder eine im Prinzip rich�

tige� aber nicht vollst�andige Antwort �z�B�

bei mehrstu�gen Problemen��

II � Die Arbeit zeigt ein gewisses Verst�andnis

f�ur das Problem�

� die Anwendung eines �teilweise�

falschen L�osungsverfahrens f�uhrt zu

einem falschen Ergebnis oder

� die L�osung des Problems wird in

Angri� genommen� aber im Verlauf

kommt es zu schweren Fehlern�

Es gibt bis auf eine korrekte Antwort keine

weitere Bearbeitung�


�Sind einer Punktzahl verschiedene Kriterien zugeordnet� so mu� die Arbeit zum Er�reichen dieser Punktzahl selbstverst�andlich nur eines dieser Kriterien aufweisen�



� Gro e Teile des Problems wurden ver�

standen� Die L�osung des Problems ist

in Angri� genommen worden� Aber das

L�osungsverfahren ist teilweise nicht geeig�

net bzw� aufgrund von Mi verst�andnis�

sen kommt es zu einer teilweise falschen

L�osung�

Ein Teilziel wird erfolgreich erreicht� aber

dann erfolgt ein Abbruch bzw� eine falsche

Weiterentwicklung�

Die Antwort ist korrekt� aber die Bearbei�

tung ist nicht zu verstehen�

� Das angewendete L�osungsverfahren ist an�

gemessen und deutet auf ein Verst�andnis

des Problems� Im Verlauf der Bearbeitung

� erfolgt ein Abbruch oder

� kommt es zu einer falschen Weiter�

entwicklung und infolge dessen zu

einer falschen oder keiner Antwort

oder

� kommt es zu einer falschen Weiter�

entwicklung� aber trotzdem ist die

Antwort korrekt�

III Das gew�ahlte L�osungsverfahren ist geeig�

net� Kleine Fehler �z�B� �Ubertragungs�

oder Rechenfehler� f�uhren zu einer

falschen oder unvollst�andigen Antwort�

Trotz kleiner Fehler in der L�osung ist die

Antwort richtig�

� Das Problem ist mittels eines geeig�

neten L�osungsverfahrens korrekt gel�ost

worden� Allerdings ist die Antwort aus

nicht erkennbaren Gr�unden falsch� nicht

vollst�andig oder fehlt g�anzlich�

� Das Problem ist mittels eines geeigneten

L�osungsverfahrens korrekt gel�ost worden�

die Antwort ist richtig und vollst�andig�

Anhang D

Folie mit den Tips zur

Vorgehensweise

��

ANHANG D� FOLIE MIT DEN TIPS ZUR VORGEHENSWEISE ��

Tips zur Vorgehensweise

�� Schreibe als erstes deinen Vornamen auf den Arbeitsbogen

und auf das Karopapier�

�� Lies dir dann zun�achst einmal alle Aufgaben durch�

�� Uberlege nun� welche der Aufgaben dir am meisten Spa

bringt und kreuze diese an�

�� Versuche jetzt diese Aufgabe zu l�osen�

�� Versuche danach auch die �ubrigen Aufgaben zu l�osen� Die

Reihenfolge ist dabei egal�

� Schreibe auf jeden Fall bei der L�osung einer Aufgabe alle

� Ideen�

� �Uberlegungen�

� Nebenrechnungen�

� Begr�undungen usw�

mit auf das Karopapier� auch wenn sie dir vielleicht unwich�

tig erscheinen�

Viel Spa� ��

Anhang E

Die Probleme der empirischen

Untersuchung

��

ANHANG E� DIE PROBLEMSTELLUNGEN ��

E�� Die Einleitung in die Situation

Sascha hat Geburtstag� Zu der Geburtstagsfeier sind Tim� Eike� Andrea und

Manu eingeladen�

E�� Das Hallo�Problem

Saschas G�aste kommen zusammen an� Jeder begr�u t jeden mit einem lauten

HALLO� Wieviele HALLOs waren insgesamt zu h�oren

HALLO

HALLO

E�� Das Bonbon�Problem

Die Kinder haben�Schi�e versenken� gespielt� Anschlie end kommt die Mut�

ter von Sascha mit �� Bonbons und verteilt diese an die f�unf Kinder als Preise

f�ur das Spiel�

Der Verlierer bekommt zum Trost als F�unfter nur wenige Bonbons�

Der Vierte bekommt schon � Bonbons mehr als der F�unfte� Der Dritte be�

kommt � Bonbons mehr als der Vierte� Der Zweite bekommt � Bonbons mehr

als der Dritte und der Erste noch � Bonbons mehr als der Zweite�

Wieviele Bonbons hat der Verlierer zum Trost bekommen

E�� Das M�uhle�Problem

Sascha m�ochte mit den Kindern M�uhle spielen� Dazu legt er seine M�uhlebret�

ter auf den Tisch� Jeder soll einmal mit jedem anderen spielen�

Manu m�ochte� da alle diese Spiele so schnell wie m�oglich gespielt werden�

Die Kinder stellen dazu gemeinsam einen Plan auf� auf dem steht� wer gegen

wen spielt und welche Spiele gleichzeitig statt�nden k�onnen�

Wie w�urde dein Plan aussehen


E� Das W�urfel�Problem

Die Kinder spielen nun ein W�urfelspiel� Jeder darf mit � gleichen W�urfeln

gleichzeitig w�urfeln� Weil Sascha den �� Geburtstag feiert� bekommt derje�

nige� der eine Augensumme von �� w�urfelt� einen Punkt�

Eike beginnt� Andrea ruft��Deine Augensumme ist �� Du bekommst einen

Punkt"�

K�onnten auch andere Augen als dreimal die Vier bei einer Augensumme von

�� oben gewesen sein Wenn ja� welche

E� Das Tier�Problem

Sascha m�ochte den anderen Kindern die Haustiere der Familie zeigen� wei e

M�ause und Wellensittiche�

Eike fragt��Wieviele Tiere hast du denn � Sascha antwortet�

�Ich habe ��

Tiere und zusammen haben sie � Beine"� Manu ruft��Ich wei � wieviele

M�ause und Wellensittiche du hast"�

Kannst du das auch ausrechnen


E�� Das Quadrate�Problem

Andrea hat mit Holzst�aben die folgenden Figuren gelegt�

1. Figur: 1 Quadrat



Sie fragt die anderen Kinder� wieviele St�abe sie wohl f�ur �� Quadrate ben�oti�

gen wird� Was meinst du dazu

Und wieviele Holzst�abe w�urde Andrea f�ur �� Quadrate ben�otigen Begr�unde

deine Antwort ausf�uhrlich"

Anhang F

Die Charakteristiken der

Probleme der empirischen

Untersuchung

��

ANHANG F� DIE CHARAKTERISTIKEN DER PROBLEME ��

Klassi�zierung Problemstellungen

der Probleme des Arbeitsbogens

hinsichtlich �� H�P B�P M�P W�P T�P Q�P

�� des Gebiets der Mathematik

Kombinatorik � � �

Algebra � �

Geometrie �

�� der zur L�osung ben�otigten Denkprozesse

konvergent � � � �

divergent � �

�� der Geschlossenheit

o�en

geschlossen � � � � � �

�� des Umfangs der gesuchten L�osung

einstu�g � � � � �

zweistu�g �

Anhang G

Die Bewertungsergebnisse in

der �Ubersicht

��

ANHANG G� BEWERTUNGSERGEBNISSE� �UBERSICHT ��

G�� Die Ergebnisse der beiden holistischen

Bewertungen

Proz� Anteile mit Di�erenzen � � absolut zwischen beiden Bewertungen�

Dachk� � Bew� Problemstellungen

Punkte � A�B des Arbeitsbogens

Mittelw� H�P B�P M�P W�P T�P Q�P

DI A �� ! ��

B �� ! ��

DII A �� ! ��

B �� ! ��

DIII A ! ! �� ! !

B ! ! �� ! !

� Punkte A ! �� ! ! ��

B ! �� ! ! ��

� Punkt A �� ! ��

B �� ! ��

� Punkte A ! ! ! ! ! !

B ! ! ! ! ! !

� Punkte A ! ! �� ! ! ��

B ! ! �� ! ! ��

� Punkte A �� ! ! ��

B �� ! ! ��

� Punkte A ! �� ! !

B ! �� ! !

Punkte A ! ! ! �� ! !

B ! ! ! �� ! !

� Punkte A ! �� ! ! ! !

B ! �� ! ! ! !

� Punkte A ! ! �� ! ! !

B ! ! �� ! ! !

MA A ��

MB B ��

jMA �MBj ��

�Die Tabelle enth�alt nachfolgend die prozentualen Anteile der Arbeiten in den Dach�kategorien I bis III bzw� in den Punktkategorien null bis acht� bei denen sich Di�erenzenzwischen der Bewertung A und der Bewertung B von mehr als � � ergeben haben�


G�� Die Ergebnisse der beiden analytischen

Bewertungen

Proz� Anteile mit Di�erenzen � � absolut zwischen beiden Bewertungen�

Punkte � Bew� Problemstellungen

Mittelw� A�B des Arbeitsbogens

H�P B�P M�P W�P T�P Q�P

Die Phase�Verstehen�

� Punkte A ! ! ! ! ��

B ! ! ! ! ��

� Punkt A �� ! ! ��

B �� ! ! ��

� Punkte A �� ! �� ! ! ��

B �� ! �� ! ! ��

� Punkte A �� ! �� ! ��

B �� ! �� ! ��

MA A ��

MB B ��

jMA �MBj ��

Die Phase�L�osen�

� Punkte A ! �� ! !

B ! �� ! !

� Punkt A ! �� ! !

B ! �� ! !

� Punkte A ! �� !

B ! �� !

� Punkte A ! �� ! ! !

B ! �� ! ! !

MA A ��

MB B ��

jMA �MBj ��




Die Phase�Beantworten�

� Punkte A ! ��

B ! ��

� Punkt A ! ! ��

B ! ! ��

� Punkte A ! �� ! ! !

B ! �� ! ! !

MA A ��

MB B ��

jMA �MBj ��

�Die Tabelle enth�alt nachfolgend die prozentualen Anteile der Arbeiten mit den Punkt�zahlen null bis drei bzw� null bis zwei der Phasen

�Verstehen��

�L�osen� und

�Beantworten��

bei denen sich Di�erenzen zwischen der Bewertung A und der Bewertung B von mehr als� � ergeben haben�


G�� Die gemittelten Ergebnisse der beiden

Bewertungsmethoden

Alle prozentualen Anteile der beiden Bewertungsmethoden

Punkte Bew�� Problemstellungen

Mittelw� h � a des Arbeitsbogens

Korrelat�� H�P B�P M�P W�P T�P Q�P

� Punkte h ��

a ��

jh� aj ��

� Punkt h ��

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� Punkte h ��

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� Punkte h ��

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Ma a ��

jMh �Maj ��

rV ��

rL ��

rB ��

�Wie bereits in den Auswertungskapiteln der einzelnen Probleme erl�autert wurde� er�gibt sich der Wert der Korrelation rV aus den von allen Arbeiten erreichten� gemitteltenPunkten f�ur die Phase

�Verstehen� bei der analytischen Bewertung und aus den von allen

Arbeiten erreichten� gemittelten Punkten bei der holistischen Bewertung� Entsprechendergeben sich die Werte der Korrelationen rL und rB f�ur die Phasen

�L�osen� und

�Beant�

worten��h bezeichne die holistische Bewertung� a die analytische Bewertung�


Proz� Anzahlen mit Di�erenzen ab �� zwischen beiden Bewertungen�

Punkte Bew� Problemstellungen

Mittelw� h � a des Arbeitsbogens

Korrelat� H�P B�P M�P W�P T�P Q�P

� Punkte h ! ! ! ! ��

a ! ! ! ! ��

� Punkt h �� ! �� !

a �� ! �� !

� Punkte h ! ! ! ! ! ��

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� Punkte h ! ! �� ! !

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Ma a ��

jMh �Maj ��

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rB ��

�Die Tabelle enth�alt nachfolgend die prozentualen Anteile der Arbeiten in den Punkt�kategorien null bis acht� bei welchen sich Di�erenzen zwischen den gemittelten Ergebnissender beiden holistischen Bewertungen und den gemittelten Ergebnissen der beiden analy�tischen Bewertungen von �� und mehr ergeben haben�

Anhang H

Die Ergebnisse der

Voruntersuchung

��

ANHANG H� ERGEBNISSE VORUNTERSUCHUNG ��

Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium MG, 03.05.1999)(bei Anwendung der linearen Skala)

Nr. Name G

Hallo Mühle Würfel

1 Arijane w 9

2 Christina w 10 8

3 Janine w 10 5

4 Karina w 9

5 Naima w 1 8

6 Nora w 10 0

7 Romy w 10 0

8 Sarah2 w 10

9 Sarah1 w 5 8

10 Svenja w 10 8

11 Lehna w 10 7 8

12 Adrian m 10 8

13 Daniel1 m 10 8

14 Daniel2 m 10 3 10

15 Dominik2 m 10 2 10

16 Dominik1 m 10 2 10

17 Elif m 10 8

18 Emanuel m 5 2

19 Farkad m 10 6

20 Hüseyin m 2

21 Lawrence m 10 8

22 Leander m 10 10

23 Matthias2 m 9 0 10


25 Oliver m 10

26 Osman m 10 8

27 Simon m 10 628 Sebastian m 10 0 10

Mittelwert: 8,6786 2,0000 8,0000Standardabweichung: 2,7087 2,2608 1,8638

Voruntersuchung

Problemstellung


Ergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium MG, 03.05.1999)(bei Anwendung der linearen Skala)

Nr. Name G


1 Cathrin w 10 7 6

2 Denise w 6 10

3 Diana w 10 8

4 Esra w 9 7 10

5 Gülhan w 10 7

6 Hanna w 10 10 8

7 Inga w 10 7 10

8 Jessica w 5 7 10

9 Miriam w 10 10

10 Ouafaa w 10 7 10

11 Sarah w 10 0 6

12 Stefanie w 10 5

13 Tessa w 10 10 10

14 Carsten m 4 1 6

15 Daniel m 4 0 6

16 David m 0

17 Dominik m 0 0 6

18 Engin m 0 8

19 Jan m 10 7 7

20 Marco m 10 3 8

21 Martin m 10 10 8

22 Mathias m 10 7 1

23 Max m 10 3

24 Merih m 10 10 6

25 Mumin m 0 0 10

26 Peter m 10 1 6

27 Sebastian1 m 9 1

28 Sebastian2 m 2 1 1029 Thorsten m 4 1 8


Voruntersuchung

Problemstellung


Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium MG, 03.05.1999)

(bei Anwendung der vektoriellen Skala)

Nr. Name G

1 Arijane w 4 4 1 9

2 Christina w 4 4 2 10 4 3 1 8

3 Janine w 4 2 2 8 4 1 0 5

4 Karina w 4 4 1 9

5 Naima w 1 0 0 1 4 3 1 8

6 Nora w 4 4 2 10 0 0 0 0

7 Romy w 4 4 2 10 0 0 0 0

8 Sarah2 w 4 4 2 10

9 Sarah1 w 2 2 1 5 4 3 1 8

10 Svenja w 4 4 2 10 4 3 1 8

11 Lehna w 4 4 2 10 4 2 1 7 4 3 1 8

12 Adrian m 4 4 2 10 4 3 1 8

13 Daniel1 m 4 4 2 10 4 3 1 8

14 Daniel2 m 4 4 2 10 1 0 0 1 4 4 2 10

15 Dominik2 m 4 4 2 10 1 0 0 1 4 4 2 10

16 Dominik1 m 4 4 2 10 1 0 0 1 4 4 2 10

17 Elif m 4 4 2 10 4 3 1 8

18 Emanuel m 4 0 2 6 1 0 0 1

19 Farkad m 4 4 2 10 3 3 1 7

20 Hüseyin m 1 0 0 1

21 Lawrence m 4 4 2 10 4 3 1 8

22 Leander m 4 4 2 10 4 4 2 10

23 Matthias2 m 4 4 1 9 0 0 0 0 4 4 2 10

24 Matthias1 m 4 0 2 6 2 2 0 4 2 0 0 2

25 Oliver m 4 4 2 10

26 Osman m 4 4 2 10 4 3 1 8

27 Simon m 4 4 2 10 3 3 1 728 Sebastian m 4 4 2 10 0 0 0 0 4 4 2 10

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.: 0,8545 1,2472 0,52318,7143 1,5000 8,0500

0,5998 0,3162 0,61561,7143 0,1000 1,2000

1,4620 0,8433 0,99873,2857 0,4000 3,0500

2,6165 2,3452 1,92858,6667 1,6667 7,9474


Voruntersuchung

Problemstellung


Ergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium MG, 03.05.2001)

(bei Anwendung der vektoriellen Skala)

Nr. Name G

1 Cathrin w 4 4 2 10 4 3 1 8 3 3 1 7

2 Denise w 3 3 1 7 4 4 2 10

3 Diana w 4 4 2 10 4 3 1 8

4 Esra w 4 4 2 10 4 3 1 8 4 4 2 10

5 Gülhan w 4 4 2 10 4 3 1 8

6 Hanna w 4 4 2 10 4 4 2 10 4 3 1 8

7 Inga w 4 4 2 10 4 3 1 8 4 4 2 10

8 Jessica w 2 3 0 5 4 3 1 8 4 4 2 10

9 Miriam w 4 4 2 10 4 4 2 10

10 Ouafaa w 4 4 2 10 4 3 1 8 4 4 2 10

11 Sarah w 4 4 2 10 0 0 0 0 2 3 1 6

12 Stefanie w 4 4 2 10 3 2 0 5

13 Tessa w 4 4 2 10 4 4 2 10 4 4 2 10

14 Carsten m 4 0 2 6 0 0 0 0 3 3 1 7

15 Daniel m 4 0 2 6 0 0 0 0 3 3 1 7

16 David m 0 0 0 0

17 Dominik m 0 0 0 0 0 1 0 1 3 3 1 7

18 Engin m 0 0 0 0 4 3 1 8

19 Jan m 4 4 2 10 4 3 1 8 4 3 1 8

20 Marco m 4 4 2 10 0 2 0 2 4 3 1 8

21 Martin m 4 4 2 10 4 4 2 10 4 3 1 8

22 Mathias m 4 4 2 10 4 3 1 8 0 0 0 0

23 Max m 4 4 2 10 4 0 0 4

24 Merih m 4 4 2 10 4 4 2 10 2 3 1 6

25 Mumin m 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 2 10

26 Peter m 4 4 2 10 1 0 0 1 3 3 1 7

27 Sebastian1 m 4 4 1 9 0 0 0 0

28 Sebastian2 m 1 0 0 1 0 0 0 0 4 4 2 1029 Thorsten m 4 0 2 6 0 0 0 0 4 3 1 8

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

gemittelte Bewertung

Problemstellung


3,2414 2,3043 3,44001,4797 1,9871 0,9609

2,8276 1,8696 3,20001,7942 1,6598 0,8660

1,5172 0,6957 1,2800

0,8290 0,7648 0,6137

7,5862 4,8696 7,92003,7957 4,2447 2,2933

Anhang I

Die Ergebnisse der beiden

holistischen Bewertungen

��

ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ��

Bewertungsergebnisse der Klasse 5 a (Gymnasium LF, 21.05.1999)

Nr. Name G

Hallo Bonbon Tier Quadrate Hallo Bonbon Tier Quadrate

1 Alexandra1 w 8 6 4 0 8 0 0 0

2 Alexandra2 w 8 1 3 1 8 1 0 1

3 Alicia w 8 7 0 1 8 7 0 1

4 Ann-Catrin w 7 1 3 1 7 3 0 1

5 Carina w 8 1 3 1 8 3 0 0

6 Christina w 1 8 4 1 3 0

7 Hannah w 3 7 3 1 7 8 0 1

8 Jennifer w 8 3 3 1 3 7 0 1

9 Julia w 1 8 8 4 1 3 8 4

10 Marah w 1 1 1 2 4 1 0 1

11 Sarah1 w 1 1 8 0 1 0 7 2

12 Sarah2 w 0 3 0 0 0 3 0 2

13 Silke w 8 8 4 7 8 8 3 7

14 Uta w 1 1 1 1 0 1

15 Alexander m 1 5 8 7 1 3 8 8

16 Björn m 0 4 0 3

17 Christian m 3 0 3 0

18 DanielK m 8 0 8 0

19 DanielR m 3 0 0 3 3 0 0 3

20 Dennis m 6 0

21 Frank m 8 0 3 3 0 3

22 Hannes m 1 8 4 3 1 8 3 0

23 Julian m 3 0 0 0

24 Leonhard m 4 4 5 4

25 Marius m 0 2 5 0

26 Mathias m 7 2 0 0 7 0 0 3

27 Peter m 1 4 5 4

28 Philip m 7 0 7 1

29 Raphael m 0 5 8 4 0 1 8 430 Stefan m

Mittelwert: 3,9655 3,5263 3,2857 2,3200 3,8966 2,9474 1,9048 2,2000Standardabweichung: 3,2676 3,0435 3,0683 2,0559 3,1207 3,0997 3,0968 2,1213

Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin

Problemstellung Problemstellung



Nr. Name G


1 Kristina w 3 8 4 1 1 8 3 1

2 Marie-Chrisw 4 3 3 0 8 7 8 0

3 Andreas m 0 3 0 3

4 JanA m 1 1 8 3 4 1 8 1

5 Jan m 3 8 4 7 8 8 3 6

6 Jonas m 3 8 1 8 8 1

7 Muji m 1 0 0 5 0 0

8 Pedro m 3 8 8 4 3 8 8 4

9 Simon m 0 8 7 8 5 7 7 8

10 Stehen m 1 8 1 4 8 011 Tim m 8 4 0 8 8 4 3 8





Bewertungsergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium MG, 03.05.1999)

Nr. Name G

Hallo Mühle Würfel Hallo Mühle Würfel

1 Arijane w 6 6

2 Christina w 8 5 8 2

3 Janine w 8 3 8 3

4 Karina w 6 6

5 Naima w 0 6 1 5

6 Nora w 8 1 8 0

7 Romy w 8 1 8 1

8 Sarah2 w 8 8

9 Sarah1 w 3 6 3 1

10 Svenja w 8 6 8 2

11 Lehna w 8 5 6 8 6 2

12 Adrian m 8 8 8 5

13 Daniel1 m 8 6 8 2

14 Daniel2 m 8 2 4 8 2 6

15 Dominik2 m 8 1 8 8 3 8

16 Dominik1 m 8 6 8 8 8 8

17 Elif m 8 6 8 2

18 Emanuel m 3 1 3 1

19 Farkad m 3 6 8 5

20 Hüseyin m 1 1

21 Lawrence m 8 6 8 5

22 Leander m 8 5 8 5

23 Matthias2 m 8 2 8 5 1 8

24 Matthias1 m 3 6 2 3 6 1

25 Oliver m 8 8

26 Osman m 8 6 8 5

27 Simon m 8 4 8 528 Sebastian m 8 2 8 8 1 8

Mittelwert: 6,6071 2,7000 5,8500 6,7143 2,9000 4,4000Standardabweichung: 2,4846 2,1108 1,6944 2,3071 2,7669 2,4149

Problemstellung


Problemstellung


Bewertungsergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium MG, 03.05.1999)

Nr. Name G


1 Cathrin w 8 6 4 8 6 5

2 Denise w 4 8 5 8

3 Diana w 8 6 8 5

4 Esra w 8 6 8 8 4 8

5 Gülhan w 8 6 8 4

6 Hanna w 8 8 6 8 8 5

7 Inga w 8 6 8 8 6 8

8 Jessica w 3 6 8 5 4 8

9 Miriam w 8 8 8 8

10 Ouafaa w 8 6 8 8 2 8

11 Sarah w 8 2 3 8 1 6

12 Stefanie w 8 6 8 5

13 Tessa w 8 8 8 8 8 8

14 Carsten m 3 1 4 4 1 1

15 Daniel m 3 1 4 4 1 3

16 David m 0 0

17 Dominik m 2 2 4 3 1 8

18 Engin m 0 6 3 5

19 Jan m 8 6 8 8 1 8

20 Marco m 8 4 8 8 1 8

21 Martin m 8 8 6 8 8 5

22 Mathias m 8 6 0 8 8 0

23 Max m 8 2 8 2

24 Merih m 8 8 6 8 8 4

25 Mumin m 0 3 8 0 3 8

26 Peter m 8 2 4 8 2 6

27 Sebastian1 m 8 4 8 0

28 Sebastian2 m 0 4 8 1 4 829 Thorsten m 8 4 6 8 1 2





Bewertungsergebnisse der Klasse 5 a (Gymnasium RD, 01.10.1999)

Nr. Name G


1 Abigail w 1 0 0 1 0 0

2 Edith w 7 1 3 1 7 3 3 1

3 Ines w 1 0 1 0 1 0 0 0

4 Jessica w 1 1 1 4 1 0

5 Lisa1 w 8 1 1 1 8 1 1 1

6 Lisa2 w 1 1 7 1 4 1 7 1

7 MarieC w 8 4 8 0

8 Ronja1 w 1 1 4 1 4 1 5 1

9 Ronja2 w 8 1 2 8 1 0

10 Sarah w 1 3 1 1 4 8 1 1

11 Stefanie w 0 0 0 4 0 0 0 3

12 Adnan m 1 0 0 5 4 0 0 2

13 André m 0 0

14 Andrei m 0 0 3 3 3 0 3 3

15 Dominik m 1 1 1 4 1 1

16 Felix m 0 3 3 4 0 3 3 4

17 Fritz m 8 3 0 8 3 0

18 Heiko m 7 7 3 4 7 7 3 4

19 JanA m 1 1 1 1

20 JanB m 0 3 3 0 0 3 3 0

21 Marcel m 1 1 3 4 3 1

22 Sebastian m 1 3 5 1

23 Sören m 1 3 3 4 4 3 3 424 Stephan m 1 3 0 4 4 0 1 4





Bewertungsergebnisse der Klasse 5 b (Gymnasium RD, 01.10.1999)

Nr. Name G


1 Alexandra w 3 3 1 3 7 1

2 Anna w 0 7 0 4 0 7 0 2

3 Catrin w 0 1 0 0 0 0 0 1

4 Hanna w 3 1 3 1

5 Katharina w 8 0 8 4 8 2 8 4

6 Mandy w 8 0 2 4 8 0 0 4

7 Manuela w 3 5 4 3 1 2

8 Maria w 0 0 0 2 0 0

9 Nora w 3 0 0 4 3 0 0 4

10 Rebekka w 3 0 3 4 8 2 3 4

11 Yvonne w 0 0 0 0 0 0 0 0

12 Nicole w 0 3 0 0 0 3 0 0

13 Sandra w 0 0 0 0 0 0 0 0

14 Abdul m 3 0 0 0 3 0 0 0

15 Andre m 0 0 0 0

16 Andreas m 3 3 3 0 3 3 3 0

17 David m 8 0 3 0 3 0 3 0

18 Isabd m 3 0 3 3 3 0 3 1

19 Jakob m 3 8 4 3 8 4

20 Jan m 3 0 0 4 3 0 0 1

21 Kevin m 3 0 0 4 3 0 0 1

22 KevinV m 6 0 0 4 8 0 0 0

23 Marcel m 8 5 3 0 3 2 3 0

24 Markus m 7 8 8 6 7 7 8 2

25 Patrick m 0 3 0 0 0 3 0 0

26 Sebastian m 3 1 8 4 8 0 3 4

27 Thomas m 0 0 0 0 0 028 ThomasS m 8 8 1 3 8 0


Bewertung A des Autors Bewertung B der StudentinProblemstellung Problemstellung


Bewertungsergebnisse der Klasse 5 c (Gymnasium RD, 30.09.1999)

Nr. Name G


1 Alice w 3 0 8 8 0 8

2 Alina w 8 8 3 0 8 8 3 1

3 Heike w 2 8 8 2 0 8 8 0

4 Jennifer w 0 8 1 1 8 0

5 Kerstin w 1 8 8 3 0 8 8 0

6 Lena w 3 0 3 4 8 0 3 4

7 Nele w 4 8 4 4 8 8 4 4

8 Pia w 8 3 3 1 8 6 6 1

9 Rebecca w 8 3 0 1 8 6 0 1

10 Sara w 8 8 3 0 8 8 6 1

11 Sarah w 8 8 3 1 8 8 3 3

12 Simone w 8 8 4 1 8 8 3 3

13 Sonja w 8 8 3 4 8 8 3 4

14 Viktoria w 8 8 8 3 8 8 8 1

15 Alexander m 8 3 8 1 8 3 8 2

16 Andreas m 0 3 3 4 0 0 3 4

17 AndreasR m 5 2 2 0

18 Benedikt m 8 8 6 3 8 8 6 1

19 Christoph m 1 0 1 0 0 0

20 Daniel m 1 0 1 3 0 0 0 1

21 Fabian m 8 8 8 4 8 8 8 4

22 Jan m 1 1 0 0

23 Merve m 1 0 0 1 0 0 0 0

24 Simon m 6 8 7 8

25 Thomas m 8 8 8 4 8 8 8 4

26 Tugba m 1 1 1 127 Volker m 0 0 3 4 0 0 3 1





Nr. Name G


1 Andrea w 8 1 4 8 1 5

2 AnnC w 1 0 6 0 0 5

3 Denise w 0 1 1 0 3 0

4 Elisabeth w 1 0 6 5 4 5

5 Eva w 8 4 8 5

6 Hannah w 3 0 6 3 0 5

7 Janett w 8 5 6 8 5 5

8 Jennifer w 3 1 6 3 3 5

9 Julia1 w 8 0 6 8 4 1

10 Julia2 w 8 1 6 8 1 8

11 Lena w 0 8 0 8

12 Lisa w 3 1 6 3 3 0

13 Sarah1 w 8 6 8 5

14 Sarah2 w 8 3 6 8 8 5

15 Stefanie w 3 1 5 3 1 5

16 Bernd m 1 0 0 4 0 0

17 Christian m 0 5 6 5 6 5

18 Christoph1 m 3 8 6 3 3 4

19 Christoph2 m 0 1 4 0 4 5

20 Dennis m 4 1 0 8 3 0

21 Fritzof m 1 5 8 4 5 8

22 Jonas m 1 5 8 4 5 8

23 Julian m 0 1 1 0 3 0

24 Marcel m 0 8 0 8

25 Markus m 8 5 6 8 6 3

26 Martin m 1 1 6 4 3 3

27 Simon m 8 5 6 8 3 5

28 Tim m 8 5 8 8 1 829 Ulrich m 8 5 4 8 5 5





Nr. Name G


1 Britta w 3 4 3 5

2 Dania w 3 0 8 3 0 5

3 Janina w 8 1 8 8 3 8

4 Jasmin w 3 4 8 3 4 8

5 Johanna w 3 4 3 5

6 JuliaM w 8 0 4 8 0 8

7 JuliaG w 3 8 3 8

8 Juliane w 3 8 3 8

9 Lisa w 3 6 3 5

10 LisaB w 8 1 8 8 3 8

11 Miriam w 8 1 8 8 2 8

12 Nathalie w 3 1 8 3 1 8

13 Sarah w 3 4 8 3 6 8

14 Simone w 3 5 6 3 8 5

15 Sophia w 8 5 8 8 0 8

16 Verena w 8 4 8 8 5 8

17 Bernd m 3 8 3 8

18 Christian m 1 0 6 4 0 8

19 Christopher m 7 8 7 8

20 David m 3 5 8 3 8 8

21 Hamed m 6 8 8 8

22 Hendrik m 3 0 8 3 0 8

23 Jens m 0 1 4 0 0 1

24 Marco m 1 0 1 4 0 0

25 Sebastian m 1 4 4 526 Volker m 8 8 8 8





Nr. Name G


1 Anke w 8 8 8 8

2 Anne w 5 1 6 4 3 5

3 AnneP w 8 1 6 8 4 5

4 Hanna w 8 5 8 8 8 8

5 JaninaM w 8 3 4 8 3 1

6 JaninaR w 8 8 8 8

7 Kathrin w 8 5 8 8 8 8

8 Maiken w 1 8 4 8

9 Margot w 8 3 8 8 3 8

10 Nadine w 5 1 8 3 5 8

11 Nina w 8 6 8 5

12 Pia w 8 6 8 4

13 Rebecca w 8 4 8 8 4 8

14 Stefanie w 8 5 4 5 3 5

15 Axel m 8 8 8 8

16 Benjamin m 8 1 6 8 1 5

17 Christian m 0 8 8 0 8 8

18 Daniel m 1 8 8 4 8 8

19 David m 3 5 8 3 8 8

20 Michael m 8 8 8 8 8 8

21 Moritz1 m 1 8 8 4 8 8

22 Moritz2 m 1 8 4 8

23 Philipp m 8 8 8 3 8 8

24 Rolf m 8 5 6 8 8 5

25 Sebastian m 8 1 8 8 5 8

26 Simon m 4 5 6 6 5 5

27 Sinan m 1 1 4 4 1 5

28 Stefan m 1 4 4 5

29 Sven m 1 1 4 4 3 530 Thorulf m 3 5 8 3 6 8




Bewertungsergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium SB, 21.05.1999)

Nr. Name G


1 Annika w 8 8 8 8

2 Carina w 8 4 8 4

3 Jennifer w 8 4 8 4

4 Janine w 8 2 8 3

5 Janina w 8 4 8 4

6 Jaqueline w 7 2 8 4 8 1 8 4

7 Linda w 0 7 2 1 7 1

8 Nesrin w 8 4 8 4

9 Viola w 8 4 8 4

10 André m 8 4 8 4

11 Benjamin m 8 1 8 1

12 Daniel1 m 8 7 8 3 8 7 8 0

13 Daniel2 m 8 8 4 8 8 3

14 Dennis m 1 8 4 1 8 4

15 Erdogan m 8 8 8 1 8 8 8 1

16 Hannes m 8 8 7 3 8 8 8 4

17 Henning m 1 8 3 8 3 8 7 8

18 Marc m 0 0

19 Michael m 8 8 8 4 8 8 8 1

20 Philip m 8 8 7 8

21 Philipp m 6 8 8 6 8 8

22 Shaum m 6 2

23 Sören m 8 4 7 4

24 Thilo m 8 8 8 4 8 8 8 6

25 Tobias m 8 8 8 4 8 8 8 626 Yannik m 6 8 3 8




Bewetungsergebnisse der Klasse 6 c (Gymnasium SB, 10.05.1999)

Nr. Name G

Hallo BV Würfel Hallo BV Würfel

1 Anne-Kati w 8 1 8 8 1 8

2 Ergi w 8 8 8 8 8 8

3 Mara w 1 6 1 6

4 Miriam w 1 6 2 6

5 Nina w 8 0 8 8 0 7

6 Sarah2 w 3 0 8 3 0 8

7 Sarah1 w 8 6 8 8 7 8

8 Selma w 8 8 8 8

9 Sibel w 8 8 8 8 8 8

10 Yvonne w 8 6 6 8 7 7

11 Alexander m 8 8 8 8 8 8

12 Christian m 8 8 8 8 8 8

13 Dennis m 6 8 8 3 8 8

14 Dustin m 8 8 8 8 8 8

15 Jan m 8 5 4 8 5 8

16 Kail m 8 8 6 8 8 8

17 Maik m 5 6 4 3

18 Marcel m 8 8 8 7 8 8

19 Michael m 0 6 1 6

20 Niclas m 8 8 6 8 8 8

21 Roman m 8 8 8 8 8 7

22 Sebastian m 8 8 6 8 8 523 Tobias m 1 1 4 1 3 8




Bewertungsergebnisse der Klasse 6 d (Gymnasium SB, 20.05.1999)

Nr. Name G

Hallo BV Würfel Hallo BV Würfel

1 Bettina w 6 4 4 5

2 Daniela w 8 6 8 5

3 Jessica w 8 8

4 Johanna w 8 8 8 8

5 Julia w 8 5 8 8 4 8

6 Julyana w 8 8

7 Liba w 8 4 8 8 8 7

8 Lena w 7 1 6 8 3 5

9 Linda w 3 3 4 5

10 Mirella w 8 6 8 5

11 Nicole w 8 8

12 Patricia w 8 8 8 8 7 8

13 Sanja w 8 7 6 8 8 5

14 Susanne w 8 8 8 8

15 DanielM m 3 3 6 4 4 5

16 Felix m 8 3 8 8 3 8

17 Jannik m 8 8 8 8

18 Jens m 0 8 8 1 8 8

19 Malte m 8 8 8 8

20 Marian m 8 0 8 8 1 8

21 Marwin m 6 8 4 8

22 Merih m 8 4 8 4

23 Nico m 8 3 8 8 3 5

24 Nils m 6 8 6 5 8 5

25 Norman m 8 8 8 8 8 8

26 Samy m 8 6 7 5

27 Sebastian m 1 8 6 5 8 7

28 Sven m 3 4 6 1 4 5

29 Tim m 8 8 6 8 8 530 Yassin m 8 3 6 8 3 5



Anhang J

Die Ergebnisse der beiden

analytischen Bewertungen

��

ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ��


Nr. Name G

1 Alexandra1 w 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5 0 0 0 0 3 3 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 Alexandra2 w 3 3 2 8 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1 3 3 2 8 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

3 Alicia w 3 3 2 8 3 2 2 7 0 0 0 0 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 1 7 0 0 0 0 1 0 0 1

4 Ann-Catrin w 3 3 0 6 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1 3 3 0 6 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 0 1

5 Carina w 3 3 2 8 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0

6 Christina w 1 1 0 2 3 3 2 8 3 1 1 5 1 1 0 2 1 0 2 3 0 0 0 0

7 Hannah w 1 0 2 3 3 2 2 7 1 1 0 2 1 0 0 1 3 3 0 6 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 0 1

8 Jennifer w 3 3 2 8 1 0 2 3 1 1 0 2 1 0 0 1 2 1 0 3 3 3 0 6 0 0 0 0 1 0 0 1

9 Julia w 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 1 1 0 2 1 0 2 3 3 3 2 8 2 1 0 3

10 Marah w 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 2 2 1 0 3 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

11 Sarah1 w 1 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 8 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 3 3 0 6 1 1 0 2

12 Sarah2 w 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 1 1 0 2

13 Silke w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 1 7 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 0 6

14 Uta w 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1

15 Alexander m 1 0 0 1 2 2 1 5 3 3 2 8 3 3 1 7 1 0 0 1 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8

16 Björn m 0 0 0 0 3 1 1 5 0 0 0 0 2 1 0 3

17 Christian m 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0

18 DanielK m 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 0 0 0 0

19 DanielR m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3

20 Dennis m 3 2 1 6 0 0 0 0

21 Frank m 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3

22 Hannes m 1 0 0 1 3 3 2 8 2 2 1 5 2 0 0 2 1 0 0 1 3 3 2 8 2 1 0 3 0 0 0 0

23 Julian m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

24 Leonhard m 2 2 1 5 3 1 1 5 3 2 1 6 2 1 0 3

25 Marius m 0 0 0 0 3 0 0 3 3 2 1 6 0 0 0 0

26 Mathias m 3 3 0 6 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 3 3 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3

27 Peter m 1 1 0 2 3 1 1 5 3 2 1 6 2 1 0 3

28 Philip m 3 3 0 6 0 0 0 0 3 3 0 6 1 0 0 1

29 Raphael m 0 0 0 0 2 2 1 5 3 3 2 8 3 1 1 5 0 0 0 0 1 0 0 1 3 3 2 8 2 1 0 330 Stefan m

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

0,9366 0,8646

1,1618 1,2188

1,05261,2236

1,2857

1,2381

0,6190

1,60001,1547

1,2209

1,1892

0,5200

0,4800

0,8718

1,7241

1,4138

0,8966 0,8947

1,3763

1,4737

0,6532

2,25464,03453,0762 3,1502 3,2293

3,4211 2,60003,1429

0,9763

1,7931 1,2632 0,8095 1,16001,2065 1,1945 1,2498 0,8505

1,4483 0,8421 0,6667 0,52001,2980 1,3443 1,1972 0,8718

0,7241 0,7895 0,3810 0,32000,9218 0,9763 0,8047 0,7483

3,9655 2,8947 1,8571 2,00002,9457 3,0349 3,0214 1,9149






Nr. Name G

1 Kristina w 2 1 0 3 3 3 2 8 2 2 1 5 0 0 0 0 1 0 0 1 3 3 2 8 2 1 0 3 1 0 0 1

2 Marie-Chrisw 1 1 2 4 1 0 2 3 3 0 2 5 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8 0 0 0 0

3 Andreas m 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3

4 JanA m 1 1 0 2 0 0 0 0 3 3 2 8 2 0 0 2 2 1 0 3 1 0 0 1 3 3 2 8 1 0 0 1

5 Jan m 1 0 2 3 3 3 2 8 2 2 1 5 3 2 2 7 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 2 2 7

6 Jonas m 1 0 2 3 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1

7 Muji m 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0

8 Pedro m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3

9 Simon m 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 0 6 3 3 0 6 3 3 2 8

10 Stehen m 1 1 0 2 3 3 2 8 1 0 0 1 2 1 0 3 3 3 2 8 0 0 0 011 Tim m 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 2 1 0 3 3 3 2 8

Mittelwert Phase 1:Standardabw. Ph.1:


Mittelwert Phase 3:Standardabw. Ph.3

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

Hallo Bonbon Tier QuadrateHallo Bonbon Tier Quadrate



3,0151 2,7516 2,9907 3,2390

1,0909 1,1429

4,9091 5,7143

0,9439 1,0690

1,2863 1,4639 1,1972 1,2505

2,1818 2,4286

1,6364 2,1429

1,0787 0,9759

2,90915,5000

0,72731,00001,0541 1,0090

0,81822,1000

1,36362,40000,9661 1,20601,2910 1,2293 1,2933

1,7143 1,9000 0,81821,6036 1,3703 1,2505

3,1818

0,7559 0,9189 0,98161,7143 1,2000 0,8182

3,25022,72732,1490 3,3594 3,0930

5,4286 5,3000

0,90911,0445

0,7273

0,8312

0,9045

2,0000 2,2000 1,54551,0909


Bewertungsergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium MG, 03.05.1999)

Nr. Name G

1 Arijane w 3 2 1 6 3 2 1 6

2 Christina w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 1 1 0 2

3 Janine w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 1 1 1 3

4 Karina w 3 2 1 6 3 2 1 6

5 Naima w 1 0 0 1 3 2 1 6 1 0 0 1 2 2 1 5

6 Nora w 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 0 0 0 0

7 Romy w 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 0 1

8 Sarah2 w 3 3 2 8 3 3 2 8

9 Sarah1 w 1 1 0 2 3 2 1 6 1 0 0 1 1 0 0 1

10 Svenja w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 1 2 0 3

11 Lehna w 3 3 2 8 3 1 0 4 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6 1 2 0 3

12 Adrian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5

13 Daniel1 m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 1 2 0 3

14 Daniel2 m 3 3 2 8 1 0 0 1 2 2 1 5 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 1 6

15 Dominik2 m 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 2 1 4 3 3 2 8

16 Dominik1 m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

17 Elif m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 1 0 1 2

18 Emanuel m 1 0 2 3 1 0 0 1 1 0 2 3 1 0 0 1

19 Farkad m 1 0 2 3 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6

20 Hüseyin m 1 0 0 1 1 0 0 1

21 Lawrence m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 1 4

22 Leander m 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 2 8 2 2 1 5

23 Matthias2 m 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 3 1 1 5 1 0 0 1 3 3 2 8

24 Matthias1 m 1 0 2 3 3 2 1 6 1 0 1 2 1 0 2 3 2 2 1 5 1 0 0 1

25 Oliver m 3 3 2 8 3 3 2 8

26 Osman m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 1 4

27 Simon m 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 2 8 2 2 1 528 Sebastian m 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

2,5714

0,83576,6071

0,8357

2,32141,1880

0,65871,7143

1,4000 2,6500

2,3000 5,9500

1,1738 0,6708

0,7000 2,10000,8233 0,7182

0,2000 1,2000

1,1738 0,6708

0,4216 0,5231

2,6429 1,4000 1,90000,7800 0,9661 0,8522

2,3214 0,9000 1,70001,1880 1,1972 0,9787

1,6786 0,5000 0,90000,6696 0,7071 0,7182

6,6429 2,8000 4,50000,7800 0,9661 0,8522


Probemstellung Problemstellung

Mühle WürfelHallo Mühle Würfel Hallo


Bewertungsergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium MG, 03.05.2001)

Nr. Name G

1 Cathrin w 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5 3 3 2 8 3 2 2 7 2 2 1 5

2 Denise w 2 2 1 5 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8

3 Diana w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 2 2 1 5

4 Esra w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 1 4 3 3 2 8

5 Gülhan w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 1 4

6 Hanna w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5

7 Inga w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8

8 Jessica w 2 1 0 3 3 2 1 6 3 3 2 8 2 2 1 5 2 1 1 4 3 3 2 8

9 Miriam w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

10 Ouafaa w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 1 3 3 3 2 8

11 Sarah w 3 3 2 8 1 1 0 2 1 1 0 2 3 3 2 8 0 1 0 1 3 2 2 7

12 Stefanie w 3 3 2 8 2 2 2 6 3 3 2 8 3 1 1 5

13 Tessa w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

14 Carsten m 1 0 2 3 1 0 0 1 2 2 1 5 3 0 2 5 0 1 0 1 0 1 0 1

15 Daniel m 1 0 2 3 0 0 0 0 2 2 1 5 3 0 2 5 1 1 0 2 2 2 1 5

16 David m 0 0 0 0 0 0 0 0

17 Dominik m 1 1 0 2 1 1 0 2 2 2 1 5 1 1 0 2 0 1 0 1 3 3 2 8

18 Engin m 0 0 0 0 3 2 1 6 1 1 0 2 3 2 1 6

19 Jan m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8

20 Marco m 3 3 2 8 2 2 0 4 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8

21 Martin m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6

22 Mathias m 3 3 2 8 3 2 1 6 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0

23 Max m 3 3 2 8 2 0 0 2 3 3 2 8 1 1 0 2

24 Merih m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 1 3

25 Mumin m 0 0 0 0 1 2 1 4 3 3 2 8 0 0 0 0 1 2 1 4 3 3 2 8

26 Peter m 3 3 2 8 1 1 0 2 2 2 1 5 3 3 2 8 1 1 0 2 3 2 1 6

27 Sebastian1 m 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8 0 0 0 0

28 Sebastian2 m 1 0 0 1 2 1 0 3 3 3 2 8 1 0 0 1 2 1 1 4 3 3 2 829 Thorsten m 3 3 2 8 2 1 0 3 3 2 1 6 3 3 2 8 0 1 0 1 1 1 1 3

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

2,3448

3,06096,1034

1,0782

2,20691,2643

0,8275

1,5517

2,2174 2,5600

4,6957 6,2800

0,9514 0,7681

1,6957 2,32000,9740 0,7483

0,7826 1,4000

2,5736 2,0572

0,7952 0,6455

2,5517 1,5652 2,48000,9482 1,1610 0,9626

2,2414 1,5217 2,20001,2146 0,8980 0,9129

1,5862 0,8261 1,4400

0,7800 0,8341 0,6506

6,3793 3,9130 6,12002,7629 2,7243 2,3896






Nr. Name G

1 Abigail w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

2 Edith w 3 3 1 7 1 0 0 1 2 1 0 3 0 0 0 0 3 3 0 6 1 1 0 2 1 1 0 2 1 0 0 1

3 Ines w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 Jessica w 1 1 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 3 1 0 0 1 0 0 0 0

5 Lisa1 w 3 3 2 8 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

6 Lisa2 w 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3 1 6 0 0 0 0 2 1 0 3 1 0 0 1 2 3 0 5 1 0 0 1

7 MarieC w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 0 0 0 0

8 Ronja1 w 1 1 0 2 1 0 0 1 2 2 1 5 0 0 0 0 2 1 0 3 1 0 0 1 2 2 0 4 1 0 0 1

9 Ronja2 w 3 3 2 8 1 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 0 1 0 0 0 0

10 Sarah w 1 1 0 2 2 1 0 3 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 3 3 3 2 8 1 0 0 1 1 0 0 1

11 Stefanie w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3

12 Adnan m 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 2 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2

13 André m 0 0 0 0 0 0 0 0

14 Andrei m 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 2 1 0 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3

15 Dominik m 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 3 0 0 0 0 1 0 0 1

16 Felix m 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 3 3 1 7 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 2 1 1 4

17 Fritz m 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0

18 Heiko m 3 3 0 6 3 0 2 5 1 0 2 3 3 1 1 5 3 3 0 6 3 3 0 6 1 0 2 3 2 1 0 3

19 JanA m 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

20 JanB m 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0

21 Marcel m 1 1 0 2 1 0 0 1 2 0 0 2 2 1 0 3 2 1 0 3 1 0 0 1

22 Sebastian m 1 1 0 2 2 0 0 2 3 2 1 6 1 0 0 1

23 Sören m 1 1 0 2 1 0 2 3 1 0 2 3 3 1 1 5 2 1 0 3 1 0 2 3 1 0 2 3 2 1 1 424 Stephan m 1 1 0 2 1 0 2 3 0 0 0 0 3 1 1 5 2 1 0 3 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 1 4

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:




2,7184 2,1467 1,6494 1,43593,4583 1,9474 1,7059 1,4762

0,7697 0,9048 0,9393 0,65830,3750 0,5263 0,5882 0,3333

1,1516 0,9612 0,8618 0,43641,2500 0,4211 0,3529 0,2381

1,0495 0,8819 0,6642 0,70031,8333 1,0000 0,7647 0,9048

0,9551 0,9196 0,5774

0,9474 0,7647 1,28570,7050 0,7524 1,3836

0,73030,2294

0,3750 0,6316 0,7059 0,3333

1,2500

2,89932,8333

1,1132

1,20831,1413

0,7697

0,3333

2,29081,9524

0,0526 0,35290,8618

1,4225 1,94411,6316 1,8235



Nr. Name G

1 Alexandra w 1 0 2 3 1 0 2 3 1 0 0 1 1 0 2 3 3 3 0 6 1 0 0 1

2 Anna w 0 0 0 0 3 3 0 6 0 0 0 0 2 1 0 3 0 0 0 0 3 3 0 6 0 0 0 0 1 1 0 2

3 Catrin w 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

4 Hanna w 1 0 2 3 1 0 0 1 1 0 2 3 1 0 0 1

5 Katharina w 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 2 1 0 3

6 Mandy w 3 3 2 8 0 0 0 0 1 1 0 2 3 1 1 5 3 3 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 3

7 Manuela w 1 0 2 3 2 2 0 4 1 1 0 2 1 0 2 3 1 0 0 1 1 1 0 2

8 Maria w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0

9 Nora w 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 5 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 4

10 Rebekka w 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 3 1 1 5 3 3 2 8 1 1 0 2 1 0 2 3 2 1 1 4

11 Yvonne w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

12 Nicole w 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0

13 Sandra w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

14 Abdul m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

15 Andre m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

16 Andreas m 1 0 2 3 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0

17 David m 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0

18 Isabd m 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 1 1 3 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 0 1

19 Jakob m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 1 1 5 1 0 2 3 3 3 2 8 2 1 0 3

20 Jan m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 4 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

21 Kevin m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 4 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

22 KevinV m 3 2 2 7 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 5 3 3 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

23 Marcel m 3 3 2 8 2 2 1 5 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 1 0 2 1 0 2 3 0 0 0 0

24 Markus m 3 3 0 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 0 6 3 3 0 6 3 3 2 8 1 1 0 2

25 Patrick m 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0

26 Sebastian m 1 0 2 3 1 0 0 1 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 2 3 2 1 1 4

27 Thomas m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 028 ThomasS m 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 2 3 3 3 2 8 0 0 0 0

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:




2,7503 2,4013 2,7216 1,46133,2222 1,6154 1,9565 1,1538

0,9608 0,7359 0,9980 0,32581,3333 0,3077 0,7826 0,1154

1,2654 1,1017 1,0369 0,47070,7037 0,5769 0,4348 0,3077

1,0755 1,0792 1,0098 0,82741,1852 0,7308 0,7391 0,7308

2,37812,1538

1,4358

0,42310,5778

0,4231

2,90643,2963

1,1547

0,7407

0,9980

0,5000 0,6087

1,2222

1,3333 0,5000 0,7826

1,06771,2888 1,1575

0,7308 0,8696 1,30771,0414 1,0998

0,5038

2,5699 2,95751,7308 2,2609

0,9608 0,8602



Nr. Name G

1 Alice w 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8

2 Alina w 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 1 0 0 1

3 Heike w 2 0 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0

4 Jennifer w 1 0 0 1 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 0 1 3 3 2 8 0 0 0 0

5 Kerstin w 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 0 2 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0

6 Lena w 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 1 2 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 2 3 2 1 0 3

7 Nele w 1 1 2 4 3 3 2 8 2 2 1 5 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5 2 1 1 4

8 Pia w 3 3 2 8 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 3 2 2 7 3 2 2 7 1 0 0 1

9 Rebecca w 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 2 8 3 2 2 7 0 0 0 0 1 0 0 1

10 Sara w 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 2 7 1 0 0 1

11 Sarah w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 0 2 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 2 1 0 3

12 Simone w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 2 1 0 3

13 Sonja w 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 2 1 0 3

14 Viktoria w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1

15 Alexander m 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 1 1 0 2

16 Andreas m 0 0 0 0 2 1 0 3 1 0 2 3 3 1 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 2 1 0 3

17 AndreasR m 2 2 1 5 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1

18 Benedikt m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 2 7 2 0 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 2 7 1 0 0 1

19 Christoph m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

20 Daniel m 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

21 Fabian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 1 4

22 Jan m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

23 Merve m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

24 Simon m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8

25 Thomas m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 1 4

26 Tugba m 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 127 Volker m 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 0 1

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:




3,8032 3,7693 3,0760 1,91434,8148 4,8519 4,5238 2,0455

1,0127 0,9842 0,9207 0,52841,1111 1,2593 1,3810 0,2273

1,4686 1,4627 1,3166 0,73851,8148 1,7037 1,3333 0,5455

1,3960 1,3960 1,2091 0,82701,8889 1,8889 1,8095 1,27271,7778

3,54504,4815

1,3107

1,5185

1,1852

3,01034,6296 4,1905

1,2868

0,36361,5926 1,14290,7267

1,2593 1,4286 0,3636

1,50021,4510 1,3887

1,7778 1,6190 1,31821,3681 1,1609

0,58110,9623 0,9842 0,8701

2,38002,0455

3,6914



Nr. Name G

1 Andrea w 3 3 2 8 1 0 0 1 2 2 1 5 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 0 5

2 AnnC w 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 6

3 Denise w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0

4 Elisabeth w 1 1 0 2 0 0 0 0 3 2 1 6 3 2 1 6 2 2 1 5 3 2 1 6

5 Eva w 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 2 8 3 2 0 5

6 Hannah w 1 0 2 3 0 0 0 0 3 2 1 6 1 0 2 3 0 0 0 0 3 1 1 5

7 Janett w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 0 5 3 1 1 5

8 Jennifer w 1 0 2 3 1 0 0 1 3 2 1 6 1 0 2 3 1 1 0 2 3 1 1 5

9 Julia1 w 3 3 2 8 0 0 0 0 3 2 1 6 3 3 2 8 2 2 1 5 2 0 0 2

10 Julia2 w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 1 6 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8

11 Lena w 0 0 0 0 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8

12 Lisa w 1 0 2 3 1 0 0 1 3 2 1 6 1 0 2 3 2 1 0 3 0 0 0 0

13 Sarah1 w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 1 1 5

14 Sarah2 w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6

15 Stefanie w 1 0 2 3 1 0 0 1 3 2 1 6 1 0 2 3 1 0 0 1 3 2 1 6

16 Bernd m 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0

17 Christian m 0 0 0 0 3 2 1 6 3 2 1 6 3 2 1 6 3 2 1 6 3 2 1 6

18 Christoph1 m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 2 1 6 1 0 2 3 1 1 0 2 2 1 0 3

19 Christoph2 m 0 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 5 0 0 0 0 2 1 0 3 2 2 1 5

20 Dennis m 1 1 2 4 1 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 8 2 1 0 3 0 0 0 0

21 Fritzof m 1 1 0 2 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 0 3 3 2 1 6 3 3 2 8

22 Jonas m 1 1 0 2 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 0 3 3 2 1 6 3 3 2 8

23 Julian m 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0

24 Marcel m 0 0 0 0 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8

25 Markus m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6 2 1 0 3

26 Martin m 1 1 0 2 1 0 0 1 3 2 1 6 2 1 0 3 1 1 0 2 2 1 0 3

27 Simon m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 1 1 0 2 3 1 1 5

28 Tim m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 829 Ulrich m 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:




4,6552 3,1200 4,62073,2324 2,3331 2,6781

1,2414 0,3600 0,82760,9508 0,5686 0,7592

1,5172 1,1200 1,51721,3789 0,8813 1,0563

1,8966 1,6400 2,27591,2348 1,0360 1,1306

2,7797 2,2916

0,8000 1,89661,0408 0,8596

1,4800 2,4828

2,6800 5,4138

1,2288 0,9864

0,4000 1,03450,5774 0,5659

1,5172

3,34334,0345

1,2427

1,34481,3700

1,17241,0025



Nr. Name G

1 Britta w 1 0 2 3 2 2 1 5 1 0 2 3 2 2 1 5

2 Dania w 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 2 2 1 5

3 Janina w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8

4 Jasmin w 1 0 2 3 3 0 0 3 3 3 2 8 1 0 2 3 2 1 0 3 3 3 2 8

5 Johanna w 1 0 2 3 2 2 1 5 1 0 2 3 2 2 1 5

6 JuliaM w 3 3 2 8 0 0 0 0 2 2 1 5 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8

7 JuliaG w 1 0 2 3 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8

8 Juliane w 1 0 2 3 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8

9 Lisa w 1 0 2 3 3 2 1 6 1 0 2 3 3 2 1 6

10 LisaB w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8

11 Miriam w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8

12 Nathalie w 1 0 2 3 1 0 0 1 3 3 2 8 1 0 2 3 1 0 0 1 3 3 2 8

13 Sarah w 1 0 2 3 3 0 0 3 3 3 2 8 1 0 2 3 3 2 1 6 3 3 2 8

14 Simone w 1 0 2 3 3 2 1 6 3 2 1 6 1 0 2 3 3 3 2 8 3 2 1 6

15 Sophia w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8

16 Verena w 3 3 2 8 3 0 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 2 8

17 Bernd m 1 0 2 3 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8

18 Christian m 1 1 0 2 0 0 0 0 3 2 1 6 2 1 0 3 0 0 0 0 3 3 2 8

19 Christopher m 3 3 0 6 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8

20 David m 1 0 2 3 3 2 1 6 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8

21 Hamed m 2 2 2 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

22 Hendrik m 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8

23 Jens m 0 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

24 Marco m 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0

25 Sebastian m 1 0 0 1 2 2 1 5 2 1 0 3 3 2 1 626 Volker m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

1,4375 2,73081,3150 0,5335

2,2509 1,74182,0000 6,9231

0,4031 0,5711

0,3750 2,5769

0,1875 1,6154

0,8062 0,7027

1,6154

2,55764,3077

0,9829

1,0769

0,80381,6154

1,3834

1,7692 1,0625 2,69230,9923 1,1815 0,7359

1,1538 0,8750 2,53851,4055 1,0878 0,8593

1,6154 0,3750 1,61540,8038 0,7188 0,6373

4,5385 2,3125 6,84622,5017 2,8918 2,1669






Nr. Name G

1 Anke w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

2 Anne w 3 2 0 5 1 0 0 1 3 2 1 6 3 1 0 4 2 1 0 3 3 1 1 5

3 AnneP w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 0 3 3 1 1 5

4 Hanna w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

5 JaninaM w 3 3 2 8 1 1 0 2 2 2 1 5 3 3 2 8 1 1 0 2 1 0 0 1

6 JaninaR w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

7 Kathrin w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

8 Maiken w 1 1 0 2 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8

9 Margot w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8

10 Nadine w 3 2 0 5 1 0 0 1 3 3 2 8 1 0 2 3 2 1 1 4 3 3 2 8

11 Nina w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 1 1 5

12 Pia w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 0 3

13 Rebecca w 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8

14 Stefanie w 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5 3 2 1 6 1 1 0 2 2 2 1 5

15 Axel m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

16 Benjamin m 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 1 6 3 3 2 8 1 0 1 2 3 2 1 6

17 Christian m 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8

18 Daniel m 1 1 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8

19 David m 1 0 2 3 3 2 1 6 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8

20 Michael m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

21 Moritz1 m 1 1 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8

22 Moritz2 m 1 1 0 2 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8

23 Philipp m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8

24 Rolf m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5

25 Sebastian m 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8

26 Simon m 1 1 2 4 3 2 1 6 3 2 1 6 3 2 2 7 3 2 1 6 3 1 1 5

27 Sinan m 1 1 0 2 1 0 0 1 2 2 1 5 2 1 0 3 1 0 0 1 2 1 1 4

28 Stefan m 1 1 0 2 2 2 1 5 2 1 0 3 2 2 1 5

29 Sven m 1 1 0 2 1 0 0 1 2 2 1 5 2 1 0 3 1 1 0 2 2 1 1 430 Thorulf m 1 0 2 3 3 2 1 6 3 3 2 8 1 0 2 3 3 2 0 5 3 3 2 8

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:




5,6667 5,1364 6,56672,6042 2,7307 1,9597

1,3667 1,0000 1,53330,9279 0,9258 0,6288

1,9000 1,8636 2,26671,2134 1,0821 0,9803

2,4000 2,2727 2,76670,8550 0,8827 0,5040

2,9039 1,2452

1,4545 2,60001,1843 0,4983

2,1364 2,8333

4,3636 7,0333

0,9902 0,3790

0,7727 1,60000,8125 0,4983

2,2333

2,85675,6667

1,0400

2,10001,1250

1,33330,9589


Bewertungsergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium SB, 21.05.2001)

Nr. Name G

1 Annika w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

2 Carina w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 2 1 1 4

3 Jennifer w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 2 1 1 4

4 Janine w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 1 1 0 2

5 Janina w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 2 1 1 4

6 Jaqueline w 3 2 2 7 1 1 0 2 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 2 1 1 4

7 Linda w 1 0 0 1 3 3 0 6 2 0 0 2 1 0 0 1 3 3 1 7 1 0 0 1

8 Nesrin w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 2 1 1 4

9 Viola w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 2 1 1 4

10 André m 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 2 0 0 2

11 Benjamin m 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 0 1

12 Daniel1 m 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8 2 0 0 2 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8 0 0 0 0

13 Daniel2 m 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 2 4 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 0 2

14 Dennis m 1 0 0 1 3 3 2 8 3 1 1 5 1 1 0 2 3 3 2 8 2 0 0 2

15 Erdogan m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1

16 Hannes m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 2 6 3 0 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3

17 Henning m 1 0 0 1 3 3 2 8 3 0 0 3 3 3 2 8 2 2 0 4 3 3 2 8 3 3 1 7 3 3 2 8

18 Marc m 0 0 0 0 0 0 0 0

19 Michael m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1

20 Philip m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 1 7 3 3 2 8

21 Philipp m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8

22 Shaum m 3 2 1 6 1 3 0 4

23 Sören m 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 1 7 2 1 1 4

24 Thilo m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6

25 Tobias m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 626 Yannik m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 1 0 4 3 3 2 8

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:




2,4695 2,8058 1,6602 2,41926,5385 6,5455 7,3846 3,8000

0,8566 0,9342 0,6304 0,71641,4231 1,4545 1,6923 0,7500

0,9899 1,2136 0,5547 1,05012,5000 2,4545 2,8462 1,0500

0,8521 0,8090 0,5547 0,79472,6154 2,6364 2,8462 2,0000

2,5455 2,4615

1,4545 1,5385

2,5455 2,84621,0357 0,5547

1,0357 1,0500

1,97024,7500

2,8413 2,07556,5455 6,8462

0,9342 0,8771

2,70000,7327

0,9445

0,6489

1,0500

1,0000

2,6538

2,63936,6154

0,8458

2,38461,0983

1,57690,7575


Bewertungsergebnisse der Klasse 6 c (Gymnasium SB, 10.05.1999)

Nr. Name G

1 Anne-Kati w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8

2 Ergi w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

3 Mara w 1 0 0 1 3 2 1 6 1 0 0 1 3 2 1 6

4 Miriam w 1 0 0 1 3 2 1 6 1 1 0 2 3 2 1 6

5 Nina w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 1 7

6 Sarah2 w 1 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 8 2 1 0 3 0 0 0 0 3 3 2 8

7 Sarah1 w 3 3 2 8 3 2 2 7 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 1 7 3 3 2 8

8 Selma w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

9 Sibel w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

10 Yvonne w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 1 7 3 2 1 6

11 Alexander m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

12 Christian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

13 Dennis m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8

14 Dustin m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

15 Jan m 3 3 2 8 3 2 0 5 2 2 1 5 3 3 2 8 2 3 0 5 3 3 2 8

16 Kail m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

17 Maik m 3 1 2 6 3 2 1 6 2 0 2 4 2 1 0 3

18 Marcel m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 1 7 3 3 2 8 3 3 2 8

19 Michael m 1 0 0 1 3 2 1 6 1 0 0 1 3 2 1 6

20 Niclas m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

21 Roman m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 1 7

22 Sebastian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 623 Tobias m 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 5 1 0 0 1 2 1 0 3 3 3 2 8

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1.

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

2,5217

3,00336,2609

0,9472

2,21741,2777

1,15476,1053 7,0000

1,5217 1,4211 1,5455

3,0893

1,0733 0,2942

1,2283

0,8458 0,9016 0,5096

2,2105 2,54550,5096

2,95450,2132

2,4737 2,9091 2,5217 2,47370,7903 1,0203

1,59090,5903

2,2174 2,42111,2416 1,1698

2,68180,5679

1,4348 1,36840,8958 0,8951

6,1739 6,26322,8067 2,9409

7,22731,2699



Bonbon WürfelHallo Bonbon Würfel Hallo


Bewertungsergebnisse der Klasse 6 d (Gymnasium SB, 20.05.2001)

Nr. Name G

1 Bettina w 3 2 1 6 2 2 1 5 3 1 0 4 3 2 1 6

2 Daniela w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6

3 Jessica w 3 3 2 8 3 3 2 8

4 Johanna w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

5 Julia w 3 3 2 8 3 2 0 5 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8

6 Julyana w 3 3 2 8 3 3 2 8

7 Liba w 3 3 2 8 3 0 2 5 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 1 7

8 Lena w 3 3 1 7 0 0 0 0 3 2 1 6 3 3 2 8 1 1 0 2 3 2 1 6

9 Linda w 1 1 0 2 1 1 0 2 2 1 0 3 3 2 1 6

10 Mirella w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 1 1 5

11 Nicole w 3 3 2 8 3 3 2 8

12 Patricia w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8

13 Sanja w 3 3 2 8 3 3 1 7 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6

14 Susanne w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

15 DanielM m 1 1 0 2 1 0 2 3 3 2 1 6 2 1 0 3 3 1 2 6 3 2 1 6

16 Felix m 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8

17 Jannik m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

18 Jens m 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8

19 Malte m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

20 Marian m 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8

21 Marwin m 3 2 0 5 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8

22 Merih m 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8 2 1 0 3

23 Nico m 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 2 2 1 5

24 Nils m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6

25 Norman m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

26 Samy m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 1 7 3 2 1 6

27 Sebastian m 1 1 0 2 3 3 2 8 2 3 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 1 7

28 Sven m 2 1 0 3 2 1 0 3 3 2 1 6 1 0 0 1 2 1 0 3 3 2 1 6

29 Tim m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 630 Yassin m 3 3 2 8 2 0 0 2 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 0 3 3 1 1 5

Mittelwert Phase 1:

Standardabw.Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittel wert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

Bonbon WürfelHallo Bonbon Würfel Hallo



6,8214 5,4762 6,70832,2287 2,7316 1,1221

1,5357 1,2381 1,37500,7927 0,9952 0,4945

2,5000 1,9048 2,37500,9623 1,2209 0,6469

2,7857 2,3333 2,95830,5681 0,9129 0,2041

2,2857 2,83331,0556 0,4815

1,3836

0,7927 0,9562 0,5836

1,45905,2857 6,7083

1,5357 1,2857 1,4167

1,7143 2,4583

2,6786

2,33536,7500

0,7228

2,53570,8812 0,5882

2,8486

Anhang K

Die gemittelten Ergebnisse der

beiden holistischen

Bewertungen

��

ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE �

Ergebnisse der Klasse 5 a (Gymnasium LF, 21.05.1999)

Nr. Name G

Hallo Bonbon Tier Quadrate

1 Alexandra1 w 8 3 2 0

2 Alexandra2 w 8 1 2 1

3 Alicia w 8 7 0 1

4 Ann-Catrin w 7 2 2 1

5 Carina w 8 2 2 1

6 Christina w 1 6 2

7 Hannah w 5 8 2 1

8 Jennifer w 6 5 2 1

9 Julia w 1 6 8 4

10 Marah w 3 1 1 2

11 Sarah1 w 1 1 8 1

12 Sarah2 w 0 3 0 1

13 Silke w 8 8 4 7

14 Uta w 1 1 1

15 Alexander m 1 4 8 8

16 Björn m 0 4

17 Christian m 3 0

18 DanielK m 8 0

19 DanielR m 3 0 0 3

20 Dennis m 3

21 Frank m 6 0 3

22 Hannes m 1 8 4 2

23 Julian m 2 0

24 Leonhard m 5 4

25 Marius m 3 1

26 Mathias m 7 1 0 2

27 Peter m 3 4

28 Philip m 7 1

29 Raphael m 0 3 8 430 Stefan m

Mittelwert: 4,0345 3,3158 2,8571 2,4000Standardabweichung: 2,9578 2,8685 2,9881 1,9791


Problemstellung

ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE ��


Nr. Name G


1 Kristina w 2 8 4 1

2 Marie-Chrisw 6 5 6 0

3 Andreas m 0 3

4 JanA m 3 1 8 2

5 Jan m 6 8 4 7

6 Jonas m 6 8 1

7 Muji m 3 0 0

8 Pedro m 3 8 8 4

9 Simon m 3 8 7 8

10 Stehen m 3 8 111 Tim m 8 4 2 8



Problemstellung



Nr. Name G


1 Arijane w 6

2 Christina w 8 4

3 Janine w 8 3

4 Karina w 6

5 Naima w 1 6

6 Nora w 8 1

7 Romy w 8 1

8 Sarah2 w 8

9 Sarah1 w 3 4

10 Svenja w 8 4

11 Lehna w 8 6 4

12 Adrian m 8 7

13 Daniel1 m 8 4

14 Daniel2 m 8 2 5

15 Dominik2 m 8 2 8

16 Dominik1 m 8 7 8

17 Elif m 8 4

18 Emanuel m 3 1

19 Farkad m 6 6

20 Hüseyin m 1

21 Lawrence m 8 6

22 Leander m 8 5



25 Oliver m 8

26 Osman m 8 6

27 Simon m 8 528 Sebastian m 8 2 8



Problemstellung

ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE �


Nr. Name G


1 Cathrin w 8 6 5

2 Denise w 5 8

3 Diana w 8 6

4 Esra w 8 5 8

5 Gülhan w 8 5

6 Hanna w 8 8 6

7 Inga w 8 6 8

8 Jessica w 4 5 8

9 Miriam w 8 8

10 Ouafaa w 8 4 8

11 Sarah w 8 2 5

12 Stefanie w 8 6

13 Tessa w 8 8 8

14 Carsten m 4 1 3

15 Daniel m 4 1 4

16 David m 0

17 Dominik m 3 2 6

18 Engin m 2 6

19 Jan m 8 4 8

20 Marco m 8 3 8

21 Martin m 8 8 6

22 Mathias m 8 7 0

23 Max m 8 2

24 Merih m 8 8 5

25 Mumin m 0 3 8

26 Peter m 8 2 5

27 Sebastian1 m 8 2

28 Sebastian2 m 1 4 829 Thorsten m 8 3 4



Problemstellung


Ergebnisse der Klasse 5 a (Gymnasium RD, 01.10.1999)

Nr. Name G


1 Abigail w 1 0 0

2 Edith w 7 2 3 1

3 Ines w 1 0 1 0

4 Jessica w 3 1 1

5 Lisa1 w 8 1 1 1

6 Lisa2 w 3 1 7 1

7 MarieC w 8 2

8 Ronja1 w 3 1 5 1

9 Ronja2 w 8 1 1

10 Sarah w 3 6 1 1

11 Stefanie w 0 0 0 4

12 Adnan m 3 0 0 4

13 André m 0

14 Andrei m 2 0 3 3

15 Dominik m 3 1 1

16 Felix m 0 3 3 4

17 Fritz m 8 3 0

18 Heiko m 7 7 3 4

19 JanA m 1 1

20 JanB m 0 3 3 0

21 Marcel m 3 2 2

22 Sebastian m 3 2

23 Sören m 3 3 3 424 Stephan m 3 2 1 4



Problemstellung


Ergebnisse der Klasse 5 b (Gymnasium RD, 01.10.1999)

Nr. Name G


1 Alexandra w 3 5 1

2 Anna w 0 7 0 3

3 Catrin w 0 1 0 1

4 Hanna w 3 1

5 Katharina w 8 1 8 4

6 Mandy w 8 0 1 4

7 Manuela w 3 3 3

8 Maria w 1 0 0

9 Nora w 3 0 0 4

10 Rebekka w 6 1 3 4

11 Yvonne w 0 0 0 0

12 Nicole w 0 3 0 0

13 Sandra w 0 0 0 0

14 Abdul m 3 0 0 0

15 Andre m 0 0

16 Andreas m 3 3 3 0

17 David m 6 0 3 0

18 Isabd m 3 0 3 2

19 Jakob m 3 8 4

20 Jan m 3 0 0 3

21 Kevin m 3 0 0 3

22 KevinV m 7 0 0 2

23 Marcel m 6 4 3 0

24 Markus m 7 8 8 4

25 Patrick m 0 3 0 0

26 Sebastian m 6 1 6 4

27 Thomas m 0 0 028 ThomasS m 6 8 1


gemittelte BewertungProblemstellung


Ergebnisse der Klasse 5 c (Gymnasium RD, 30.09.1999)

Nr. Name G


1 Alice w 6 0 8

2 Alina w 8 8 3 1

3 Heike w 1 8 8 1

4 Jennifer w 1 8 1

5 Kerstin w 1 8 8 2

6 Lena w 6 0 3 4

7 Nele w 6 8 4 4

8 Pia w 8 5 5 1

9 Rebecca w 8 5 0 1

10 Sara w 8 8 5 1

11 Sarah w 8 8 3 2

12 Simone w 8 8 4 2

13 Sonja w 8 8 3 4

14 Viktoria w 8 8 8 2

15 Alexander m 8 3 8 2

16 Andreas m 0 2 3 4

17 AndreasR m 4 1

18 Benedikt m 8 8 6 2

19 Christoph m 1 0 1

20 Daniel m 1 0 1 2

21 Fabian m 8 8 8 4

22 Jan m 1 1

23 Merve m 1 0 0 1

24 Simon m 7 8

25 Thomas m 8 8 8 4

26 Tugba m 1 127 Volker m 0 0 3 3





Nr. Name G


1 Andrea w 8 1 5

2 AnnC w 1 0 6

3 Denise w 0 2 1

4 Elisabeth w 3 2 6

5 Eva w 8 5

6 Hannah w 3 0 6

7 Janett w 8 5 6

8 Jennifer w 3 2 6

9 Julia1 w 8 2 4

10 Julia2 w 8 1 7

11 Lena w 0 8

12 Lisa w 3 2 3

13 Sarah1 w 8 6

14 Sarah2 w 8 6 6

15 Stefanie w 3 1 5

16 Bernd m 3 0 0

17 Christian m 3 6 6

18 Christoph1 m 3 6 5

19 Christoph2 m 0 3 5

20 Dennis m 6 2 0

21 Fritzof m 3 5 8

22 Jonas m 3 5 8

23 Julian m 0 2 1

24 Marcel m 0 8

25 Markus m 8 6 5

26 Martin m 3 2 5

27 Simon m 8 4 6

28 Tim m 8 3 829 Ulrich m 8 5 5





Nr. Name G


1 Britta w 3 5

2 Dania w 3 0 7

3 Janina w 8 2 8

4 Jasmin w 3 4 8

5 Johanna w 3 5

6 JuliaM w 8 0 6

7 JuliaG w 3 8

8 Juliane w 3 8

9 Lisa w 3 6

10 LisaB w 8 2 8

11 Miriam w 8 2 8

12 Nathalie w 3 1 8

13 Sarah w 3 5 8

14 Simone w 3 7 6

15 Sophia w 8 3 8

16 Verena w 8 5 8

17 Bernd m 3 8


19 Christopher m 7 8

20 David m 3 7 8

21 Hamed m 7 8

22 Hendrik m 3 0 8

23 Jens m 0 1 3

24 Marco m 3 0 1

25 Sebastian m 3 526 Volker m 8 8





Nr. Name G


1 Anke w 8 8

2 Anne w 5 2 6

3 AnneP w 8 3 6

4 Hanna w 8 7 8

5 JaninaM w 8 3 3

6 JaninaR w 8 8

7 Kathrin w 8 7 8

8 Maiken w 3 8

9 Margot w 8 3 8

10 Nadine w 4 3 8

11 Nina w 8 6

12 Pia w 8 5

13 Rebecca w 8 4 8

14 Stefanie w 7 4 5

15 Axel m 8 8

16 Benjamin m 8 1 6


18 Daniel m 3 8 8

19 David m 3 7 8

20 Michael m 8 8 8

21 Moritz1 m 3 8 8

22 Moritz2 m 3 8

23 Philipp m 6 8 8

24 Rolf m 8 7 6

25 Sebastian m 8 3 8

26 Simon m 5 5 6

27 Sinan m 3 1 5

28 Stefan m 3 5

29 Sven m 3 2 530 Thorulf m 3 6 8




Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium SB, 21.05.1999)

Nr. Name G


1 Annika w 8 8

2 Carina w 8 4

3 Jennifer w 8 4

4 Janine w 8 3

5 Janina w 8 4

6 Jaqueline w 8 2 8 4

7 Linda w 1 7 2

8 Nesrin w 8 4

9 Viola w 8 4

10 André m 8 4

11 Benjamin m 8 1

12 Daniel1 m 8 7 8 2

13 Daniel2 m 8 8 4

14 Dennis m 1 8 4

15 Erdogan m 8 8 8 1

16 Hannes m 8 8 8 4

17 Henning m 2 8 5 8

18 Marc m 0

19 Michael m 8 8 8 3

20 Philip m 8 8

21 Philipp m 6 8 8

22 Shaum m 4

23 Sören m 8 4

24 Thilo m 8 8 8 5

25 Tobias m 8 8 8 526 Yannik m 5 8




Ergebnisse der Klasse 6 c (Gymnasium SB, 10.05.1999)

Nr. Name G

Hallo Bonbon Würfel

1 Anne-Kati w 8 1 8

2 Ergi w 8 8 8

3 Mara w 1 6

4 Miriam w 2 6

5 Nina w 8 0 8

6 Sarah2 w 3 0 8

7 Sarah1 w 8 7 8

8 Selma w 8 8

9 Sibel w 8 8 8

10 Yvonne w 8 7 7

11 Alexander m 8 8 8


13 Dennis m 5 8 8

14 Dustin m 8 8 8

15 Jan m 8 5 6

16 Kail m 8 8 7

17 Maik m 5 5

18 Marcel m 8 8 8

19 Michael m 1 6

20 Niclas m 8 8 7

21 Roman m 8 8 8

22 Sebastian m 8 8 623 Tobias m 1 2 6




Ergebnisse der Klasse 6 d (Gymnasium SB, 20.05.1999)

Nr. Name G

Hallo BV Würfel

1 Bettina w 5 5

2 Daniela w 8 6

3 Jessica w 8

4 Johanna w 8 8

5 Julia w 8 5 8

6 Julyana w 8

7 Liba w 8 6 8

8 Lena w 8 2 6

9 Linda w 4 4

10 Mirella w 8 6

11 Nicole w 8

12 Patricia w 8 8 8

13 Sanja w 8 8 6

14 Susanne w 8 8

15 DanielM m 4 4 6

16 Felix m 8 3 8

17 Jannik m 8 8

18 Jens m 1 8 8

19 Malte m 8 8

20 Marian m 8 1 8

21 Marwin m 5 8

22 Merih m 8 4

23 Nico m 8 3 7

24 Nils m 6 8 6

25 Norman m 8 8 8

26 Samy m 8 6

27 Sebastian m 3 8 7

28 Sven m 2 4 6

29 Tim m 8 8 630 Yassin m 8 3 6



Anhang L

Die gemittelten Ergebnisse der

beiden analytischen

Bewertungen

��

ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ��


Nr. Name G

1 Alexandra1 w 3 3 2 8 2 1 1 4 1 1 1 3 0 0 0 0

2 Alexandra2 w 3 3 2 8 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1

3 Alicia w 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 0 1

4 Ann-Catrin w 3 3 0 6 1 0 1 2 1 1 0 2 1 0 0 1

5 Carina w 3 3 2 8 1 0 1 2 1 1 0 2 1 0 0 1

6 Christina w 1 1 0 2 2 2 2 6 2 1 1 4

7 Hannah w 2 2 1 5 3 3 2 8 1 1 0 2 1 0 0 1

8 Jennifer w 3 2 1 6 2 2 1 5 1 1 0 2 1 0 0 1

9 Julia w 1 1 0 2 2 2 2 6 3 3 2 8 3 1 1 5

10 Marah w 2 1 0 3 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 2

11 Sarah1 w 1 1 0 2 0 0 0 0 3 3 1 7 1 1 0 2

12 Sarah2 w 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 1 1 0 2

13 Silke w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 1 7

14 Uta w 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1

15 Alexander m 1 0 0 1 2 2 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8

16 Björn m 0 0 0 0 3 1 1 5

17 Christian m 1 0 2 3 0 0 0 0

18 DanielK m 3 3 2 8 0 0 0 0

19 DanielR m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3

20 Dennis m 2 1 1 4

21 Frank m 2 2 2 6 0 0 0 0 1 0 2 3

22 Hannes m 1 0 0 1 3 3 2 8 2 2 1 5 1 0 0 1

23 Julian m 1 0 1 2 0 0 0 0

24 Leonhard m 3 2 1 6 3 1 1 5

25 Marius m 2 1 1 4 2 0 0 2

26 Mathias m 3 3 0 6 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 1 2

27 Peter m 2 2 1 5 3 1 1 5

28 Philip m 3 3 0 6 1 0 0 1

29 Raphael m 0 0 0 0 2 1 1 4 3 3 2 8 3 1 1 530 Stefan m

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

1,1233 0,95741,1905 1,6000

1,1526 0,86601,5172 1,1053 1,1429 0,6000

0,8106 0,71180,8621 0,9474 0,5714 0,5600

2,9984 2,14634,2414 3,5263 2,9048 2,7600

1,8621 1,4737

2,7341 2,9883

0,8752 0,8481

1,2136 1,2425

1,0598 1,0733


Problemstellung




Nr. Name G

1 Kristina w 2 1 0 3 3 3 2 8 2 2 1 5 1 0 0 1

2 Marie-Chrisw 2 2 2 6 2 2 1 5 3 2 2 7 0 0 0 0

3 Andreas m 0 0 0 0 1 0 2 3

4 JanA m 2 1 0 3 1 0 0 1 3 3 2 8 2 0 0 2

5 Jan m 2 2 2 6 3 3 2 8 2 2 1 5 3 2 2 7

6 Jonas m 2 2 2 6 3 3 2 8 1 0 0 1

7 Muji m 2 2 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0

8 Pedro m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5

9 Simon m 2 1 1 4 3 3 1 7 3 3 0 6 3 3 2 8

10 Stehen m 2 1 0 3 3 3 2 8 1 0 0 111 Tim m 3 3 2 8 1 0 2 3 1 1 0 2 3 3 2 8



Mittelwert Phase 3:Standardabw. Ph.3

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.: 3,16523,2727

0,98160,8182

1,25050,8182

1,20601,6364

Problemstellung


4,2727 5,71432,1950 2,8115

0,9244 1,4142

5,70002,7909

1,0909 1,42860,9439 0,7868

1,20000,9189

2,20001,0328

1,8182 2,28570,7508 0,9512

2,30001,0593

1,3636 2,0000




Nr. Name G

1 Arijane w 3 2 1 6

2 Christina w 3 3 2 8 2 2 1 5

3 Janine w 3 3 2 8 1 1 1 3

4 Karina w 3 2 1 6

5 Naima w 1 0 0 1 3 2 1 6

6 Nora w 3 3 2 8 0 0 0 0

7 Romy w 3 3 2 8 1 0 0 1

8 Sarah2 w 3 3 2 8

9 Sarah1 w 1 1 0 2 2 1 1 4

10 Svenja w 3 3 2 8 2 2 1 5

11 Lehna w 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5

12 Adrian m 3 3 2 8 3 3 2 8

13 Daniel1 m 3 3 2 8 2 2 1 5

14 Daniel2 m 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 1 6

15 Dominik2 m 3 3 2 8 1 1 1 3 3 3 2 8

16 Dominik1 m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

17 Elif m 3 3 2 8 2 1 1 4

18 Emanuel m 1 0 2 3 1 0 0 1

19 Farkad m 2 2 2 6 3 2 1 6

20 Hüseyin m 1 0 0 1

21 Lawrence m 3 3 2 8 3 2 1 6

22 Leander m 3 3 2 8 2 2 1 5

23 Matthias2 m 3 2 2 7 1 1 0 2 3 3 2 8

24 Matthias1 m 1 0 2 3 3 2 1 6 1 0 1 2

25 Oliver m 3 3 2 8

26 Osman m 3 3 2 8 3 2 1 6

27 Simon m 3 3 2 8 2 2 1 528 Sebastian m 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.: 0,7860 1,0801 0,68066,6786 3,0000 5,6500

0,6587 0,7071 0,44431,7143 0,5000 1,2500

1,0959 1,0541 0,79472,3571 1,0000 2,0000

0,7860 1,0801 0,68062,6071 1,5000 2,4000



Problemstellung



Nr. Name G

1 Cathrin w 3 3 2 8 3 2 2 7 2 2 1 5

2 Denise w 3 2 1 6 3 3 2 8

3 Diana w 3 3 2 8 3 2 1 6

4 Esra w 3 3 2 8 3 2 2 7 3 3 2 8

5 Gülhan w 3 3 2 8 3 2 1 6

6 Hanna w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6

7 Inga w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8

8 Jessica w 2 2 1 5 3 2 1 6 3 3 2 8

9 Miriam w 3 3 2 8 3 3 2 8

10 Ouafaa w 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 2 8

11 Sarah w 3 3 2 8 1 1 0 2 2 2 1 5

12 Stefanie w 3 3 2 8 3 2 2 7

13 Tessa w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

14 Carsten m 2 0 2 4 1 1 0 2 1 2 1 4

15 Daniel m 2 0 2 4 1 1 0 2 2 2 1 5

16 David m 0 0 0 0

17 Dominik m 1 1 0 2 1 1 0 2 3 3 2 8

18 Engin m 1 1 0 2 3 2 1 6

19 Jan m 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 2 8

20 Marco m 3 3 2 8 2 2 0 4 3 3 2 8

21 Martin m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6

22 Mathias m 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0

23 Max m 3 3 2 8 2 1 0 3

24 Merih m 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5

25 Mumin m 0 0 0 0 1 2 1 4 3 3 2 8

26 Peter m 3 3 2 8 1 1 0 2 3 2 1 6

27 Sebastian1 m 3 3 2 8 1 1 0 2

28 Sebastian2 m 1 0 0 1 2 1 1 4 3 3 2 829 Thorsten m 3 3 2 8 1 1 0 2 2 2 1 5

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:


Problemstellung


2,4828 2,0870 2,60000,9495 0,9002 0,7638

2,2759 1,8261 2,40001,1921 0,7777 0,7071

1,5862 0,9130 1,4800

0,7800 0,8482 0,5859

6,3448 4,8261 6,48002,8002 2,3941 1,9332



Nr. Name G

1 Abigail w 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

2 Edith w 3 3 1 7 1 1 0 2 2 1 0 3 1 0 0 1

3 Ines w 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 Jessica w 2 1 0 3 1 0 0 1 0 0 0 0

5 Lisa1 w 3 3 2 8 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

6 Lisa2 w 2 1 0 3 1 0 0 1 2 3 1 6 1 0 0 1

7 MarieC w 3 3 2 8 2 1 1 4

8 Ronja1 w 2 1 0 3 1 0 0 1 2 2 1 5 1 0 0 1

9 Ronja2 w 3 3 2 8 1 0 0 1 0 0 0 0

10 Sarah w 2 1 0 3 3 2 1 6 1 0 0 1 1 0 0 1

11 Stefanie w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 3

12 Adnan m 2 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 3

13 André m 0 0 0 0

14 Andrei m 2 1 0 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3

15 Dominik m 2 1 0 3 0 0 0 0 1 0 0 1

16 Felix m 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 3 2 1 6

17 Fritz m 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0

18 Heiko m 3 3 0 6 3 2 1 6 1 0 2 3 3 1 1 5

19 JanA m 1 0 0 1 1 0 0 1

20 JanB m 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0

21 Marcel m 2 1 0 3 2 1 0 3 2 0 0 2

22 Sebastian m 2 2 1 5 2 0 0 2

23 Sören m 2 1 0 3 1 0 2 3 1 0 2 3 3 1 1 524 Stephan m 2 1 0 3 1 0 1 2 1 0 0 1 3 1 1 5

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:


Problemstellung


1,7917 1,0526

2,7343 1,8097

0,7755 0,8377

1,1516 0,6710

1,9001 1,94693,4583 1,9474 1,8824 2,0952

0,9196 0,58960,4167 0,5789 0,7059 0,3810

0,8618 0,57740,3529 0,3333

1,0206 0,8481 0,7276 1,07130,8235 1,3810

1,2500 0,3158



Nr. Name G

1 Alexandra w 1 0 2 3 2 2 1 5 1 0 0 1

2 Anna w 0 0 0 0 3 3 0 6 0 0 0 0 2 1 0 3

3 Catrin w 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

4 Hanna w 1 0 2 3 1 0 0 1

5 Katharina w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 3 1 1 5

6 Mandy w 3 3 2 8 0 0 0 0 1 1 0 2 3 1 1 5

7 Manuela w 1 0 2 3 2 1 0 3 1 1 0 2

8 Maria w 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0

9 Nora w 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 5

10 Rebekka w 2 2 2 6 1 1 0 2 1 0 2 3 3 1 1 5

11 Yvonne w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

12 Nicole w 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0

13 Sandra w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

14 Abdul m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

15 Andre m 0 0 0 0 0 0 0 0

16 Andreas m 1 0 2 3 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0

17 David m 2 2 2 6 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0

18 Isabd m 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 1 1 3

19 Jakob m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 1 1 5

20 Jan m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 3

21 Kevin m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 3

22 KevinV m 3 3 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 4

23 Marcel m 2 2 2 6 2 2 1 5 1 0 2 3 0 0 0 0

24 Markus m 3 3 0 6 3 3 1 7 3 3 2 8 2 2 1 5

25 Patrick m 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0

26 Sebastian m 2 2 2 6 1 0 0 1 2 2 2 6 3 1 1 5

27 Thomas m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 028 ThomasS m 2 2 2 6 3 3 2 8 0 0 0 0

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

Hallo Bonbon Tier


Problemstellung

Quadrate

1,2222 0,8462 0,8261 1,19231,0127 1,0466 1,0292 1,2655

0,8519 0,6154 0,5652 0,42311,1995 1,0612 1,0798 0,5778

1,3333 0,4231 0,7826 0,42310,9608 0,7575 0,9980 0,5038

3,4074 1,8846 2,1739 2,03852,6927 2,4711 2,8067 2,1997



Nr. Name G

1 Alice w 2 2 2 6 0 0 0 0 3 3 2 8

2 Alina w 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 1 0 0 1

3 Heike w 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1

4 Jennifer w 1 0 0 1 3 3 2 8 0 0 0 0

5 Kerstin w 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1

6 Lena w 2 2 2 6 0 0 0 0 1 0 2 3 2 1 1 4

7 Nele w 2 2 2 6 3 3 2 8 2 2 1 5 3 1 1 5

8 Pia w 3 3 2 8 2 1 2 5 2 1 2 5 1 0 0 1

9 Rebecca w 3 3 2 8 2 1 2 5 0 0 0 0 1 0 0 1

10 Sara w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 2 5 1 0 0 1

11 Sarah w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 1 1 0 2

12 Simone w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5 1 1 0 2

13 Sonja w 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 3 1 1 5

14 Viktoria w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 0 2

15 Alexander m 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 1 1 0 2

16 Andreas m 0 0 0 0 1 1 0 2 1 0 2 3 3 1 1 5

17 AndreasR m 2 2 1 5 1 0 0 1

18 Benedikt m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 2 7 2 0 0 2

19 Christoph m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

20 Daniel m 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2

21 Fabian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5

22 Jan m 0 0 0 0 0 0 0 0

23 Merve m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

24 Simon m 3 3 1 7 3 3 2 8

25 Thomas m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5

26 Tugba m 1 0 0 1 1 0 0 127 Volker m 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 0 1

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.: 3,5522 3,6409 2,9592 2,10964,8148 4,7778 4,4286 2,5455

0,9623 0,9842 0,8701 0,58111,1852 1,2593 1,4286 0,3636

1,4031 1,4412 1,3093 0,73851,7407 1,6667 1,2857 0,5455

1,2506 1,3215 1,1464 1,00221,8889 1,8519 1,7143 1,6364



Problemstellung



Nr. Name G

1 Andrea w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 1 6

2 AnnC w 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 6

3 Denise w 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0

4 Elisabeth w 2 2 1 5 1 1 1 3 3 2 1 6

5 Eva w 3 3 2 8 3 2 1 6

6 Hannah w 1 0 2 3 0 0 0 0 3 2 1 6

7 Janett w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6

8 Jennifer w 1 0 2 3 1 1 0 2 3 2 1 6

9 Julia1 w 3 3 2 8 1 1 1 3 3 1 1 5

10 Julia2 w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8

11 Lena w 0 0 0 0 3 3 2 8

12 Lisa w 1 0 2 3 2 1 0 3 2 1 1 4

13 Sarah1 w 3 3 2 8 3 2 1 6

14 Sarah2 w 3 3 2 8 2 2 1 5 3 2 1 6

15 Stefanie w 1 0 2 3 1 0 0 1 3 2 1 6

16 Bernd m 2 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0

17 Christian m 2 1 1 4 3 2 1 6 3 2 1 6

18 Christoph1 m 1 0 2 3 2 2 1 5 3 2 1 6

19 Christoph2 m 0 0 0 0 2 1 0 3 2 2 1 5

20 Dennis m 2 2 2 6 2 1 0 3 0 0 0 0

21 Fritzof m 2 1 0 3 3 2 1 6 3 3 2 8

22 Jonas m 2 1 0 3 3 2 1 6 3 3 2 8

23 Julian m 0 0 0 0 1 1 0 2 1 0 0 1

24 Marcel m 0 0 0 0 3 3 2 8

25 Markus m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6

26 Martin m 2 1 0 3 1 1 0 2 3 2 1 6

27 Simon m 3 3 2 8 2 2 1 5 3 2 1 6

28 Tim m 3 3 2 8 2 1 1 4 3 3 2 829 Ulrich m 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

4,4828 3,2400 5,44833,1580 2,1268 2,3541

1,2414 0,4800 1,06900,9508 0,5099 0,5935

1,4483 1,1200 1,86211,3519 0,7810 0,9151

1,7931 1,6400 2,51721,1765 0,9950 0,9864


Problemstellung




Nr. Name G

1 Britta w 1 0 2 3 2 2 1 5

2 Dania w 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8

3 Janina w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8

4 Jasmin w 1 0 2 3 3 1 0 4 3 3 2 8

5 Johanna w 1 0 2 3 2 2 1 5

6 JuliaM w 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8

7 JuliaG w 1 0 2 3 3 3 2 8

8 Juliane w 1 0 2 3 3 3 2 8

9 Lisa w 1 0 2 3 3 2 1 6

10 LisaB w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8

11 Miriam w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8

12 Nathalie w 1 0 2 3 1 0 0 1 3 3 2 8

13 Sarah w 1 0 2 3 3 1 1 5 3 3 2 8

14 Simone w 1 0 2 3 3 3 2 8 3 2 1 6

15 Sophia w 3 3 2 8 2 1 1 4 3 3 2 8

16 Verena w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8

17 Bernd m 1 0 2 3 3 3 2 8

18 Christian m 2 1 0 3 0 0 0 0 3 3 2 8

19 Christopher m 3 3 0 6 3 3 2 8

20 David m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8

21 Hamed m 3 3 2 8 3 3 2 8

22 Hendrik m 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8

23 Jens m 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 1 4

24 Marco m 2 1 0 3 0 0 0 0 1 0 0 1

25 Sebastian m 2 1 0 3 3 2 1 626 Volker m 3 3 2 8 3 3 2 8

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

1,1538 0,8125 2,6154

1,2583 0,4915

1,6923

1,4055 0,9811 0,7524

1,6154 0,4375

2,6250 7,1154

0,8038 0,7274 0,5491

4,53852,5017 2,7538 1,7280

1,7692 1,3750 2,80770,9923


Problemstellung




Nr. Name G

1 Anke w 3 3 2 8 3 3 2 8

2 Anne w 3 2 0 5 2 1 0 3 3 2 1 6

3 AnneP w 3 3 2 8 2 1 0 3 3 2 1 6

4 Hanna w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

5 JaninaM w 3 3 2 8 1 1 0 2 2 1 1 4

6 JaninaR w 3 3 2 8 3 3 2 8

7 Kathrin w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

8 Maiken w 2 1 0 3 3 3 2 8

9 Margot w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8

10 Nadine w 2 1 1 4 2 1 1 4 3 3 2 8

11 Nina w 3 3 2 8 3 2 1 6

12 Pia w 3 3 2 8 3 2 1 6

13 Rebecca w 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8

14 Stefanie w 3 3 2 8 2 2 1 5 2 2 1 5

15 Axel m 3 3 2 8 3 3 2 8

16 Benjamin m 3 3 2 8 1 0 1 2 3 2 1 6

17 Christian m 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8

18 Daniel m 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8

19 David m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8

20 Michael m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

21 Moritz1 m 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8

22 Moritz2 m 2 1 0 3 3 3 2 8

23 Philipp m 2 2 2 6 3 3 2 8 3 3 2 8

24 Rolf m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6

25 Sebastian m 3 3 2 8 2 1 1 4 3 3 2 8

26 Simon m 2 2 2 6 3 2 1 6 3 2 1 6

27 Sinan m 2 1 0 3 1 0 0 1 2 2 1 5

28 Stefan m 2 1 0 3 2 2 1 5

29 Sven m 2 1 0 3 1 1 0 2 2 2 1 530 Thorulf m 1 0 2 3 3 2 1 6 3 3 2 8

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

0,9279 0,8679

5,8667 5,22732,5289 2,6535

7,00001,3131

1,60000,4983

2,0667 1,86361,1121 1,0821

2,56670,5683

1,3667 1,0909

2,83330,3790

Hallo Mühle

2,4333 2,27270,7739 0,8270


Problemstellung

Würfel


Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium SB, 21.05.2001)

Nr. Name G

1 Annika w 3 3 2 8 3 3 2 8

2 Carina w 3 3 2 8 3 1 1 5

3 Jennifer w 3 3 2 8 3 1 1 5

4 Janine w 3 3 2 8 1 1 0 2

5 Janina w 3 3 2 8 3 1 1 5

6 Jaqueline w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 3 1 1 5

7 Linda w 1 0 0 1 3 3 1 7 2 0 0 2

8 Nesrin w 3 3 2 8 3 1 1 5

9 Viola w 3 3 2 8 3 1 1 5

10 André m 3 3 2 8 3 1 1 5

11 Benjamin m 3 3 2 8 1 0 0 1

12 Daniel1 m 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8 1 0 0 1

13 Daniel2 m 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 1 3

14 Dennis m 1 1 0 2 3 3 2 8 3 1 1 5

15 Erdogan m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1

16 Hannes m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 2 7 3 1 0 4

17 Henning m 2 1 0 3 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8

18 Marc m 0 0 0 0

19 Michael m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 1 4

20 Philip m 3 3 2 8 3 3 2 8

21 Philipp m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8

22 Shaum m 2 3 1 6

23 Sören m 3 3 2 8 3 1 1 5

24 Thilo m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6

25 Tobias m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 626 Yannik m 3 2 1 6 3 3 2 8

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

2,8462 2,65000,7971 0,8090 0,5547 0,6708

0,6304 0,95152,5385 2,5455 2,6923 1,2000

0,6304 0,60481,5769 1,4545 1,6923 0,9500

1,6909 1,98946,7692 6,6364 7,2308 4,8000

2,6538 2,6364

2,4217 2,6181

0,7575 0,9342

0,9479 1,0357


Problemstellung



Ergebnisse der Klasse 6 c (Gymnasium SB, 10.05.1999)

Nr. Name G

1 Anne-Kati w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8

2 Ergi w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

3 Mara w 1 0 0 1 3 2 1 6

4 Miriam w 1 1 0 2 3 2 1 6

5 Nina w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8

6 Sarah2 w 2 1 0 3 0 0 0 0 3 3 2 8

7 Sarah1 w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

8 Selma w 3 3 2 8 3 3 2 8

9 Sibel w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

10 Yvonne w 3 3 2 8 3 3 1 7 3 2 1 6

11 Alexander m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

12 Christian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

13 Dennis m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8

14 Dustin m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

15 Jan m 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8

16 Kail m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

17 Maik m 3 1 2 6 3 2 1 6

18 Marcel m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

19 Michael m 1 0 0 1 3 2 1 6

20 Niclas m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

21 Roman m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

22 Sebastian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 623 Tobias m 1 0 0 1 1 1 0 2 3 3 2 8

Mittelwert Phase 1:

Standardabw. Ph.1.

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittelwert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:

Hallo BV Würfel


Problemstellung

0,7827 0,9643 0,00002,6087 2,5263 3,0000

1,1455 1,1698 0,45582,3043 2,4211 2,7273

0,8458 0,9016 0,45581,5217 1,4211 1,7273

2,6939 2,9100 0,91176,4348 6,3684 7,4545


Ergebnisse der Klasse 6 d (Gymnasium SB, 20.05.2001)

Nr. Name G

1 Bettina w 3 2 1 6 3 2 1 6

2 Daniela w 3 3 2 8 3 2 1 6

3 Jessica w 3 3 2 8

4 Johanna w 3 3 2 8 3 3 2 8

5 Julia w 3 3 2 8 3 2 0 5 3 3 2 8

6 Julyana w 3 3 2 8

7 Liba w 3 3 2 8 3 2 2 7 3 3 2 8

8 Lena w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 2 1 6

9 Linda w 2 1 0 3 2 2 1 5

10 Mirella w 3 3 2 8 3 2 1 6

11 Nicole w 3 3 2 8

12 Patricia w 3 3 2 8 3 3 1 7 3 3 2 8

13 Sanja w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6

14 Susanne w 3 3 2 8 3 3 2 8

15 DanielM m 2 1 0 3 2 1 2 5 3 2 1 6

16 Felix m 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8

17 Jannik m 3 3 2 8 3 3 2 8

18 Jens m 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8

19 Malte m 3 3 2 8 3 3 2 8

20 Marian m 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8

21 Marwin m 3 2 0 5 3 3 2 8

22 Merih m 3 3 2 8 2 1 0 3

23 Nico m 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8

24 Nils m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6

25 Norman m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8

26 Samy m 3 3 2 8 3 2 1 6

27 Sebastian m 2 2 1 5 3 3 2 8 3 3 1 7

28 Sven m 2 1 0 3 2 1 0 3 3 2 1 6

29 Tim m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 630 Yassin m 3 3 2 8 2 1 0 3 3 2 1 6

Mittelwert Phase 1:

Standardabw.Ph.1:

Mittelwert Phase 2:

Standardabw. Ph.2:

Mittel wert Phase 3:

Standardabw. Ph.3:

Mittelwert Summe:

Standardabw. Sum.:


Problemstellung

Würfel

2,95830,2041

Hallo BV

2,7857 2,38100,4987 0,9207

1,45830,5090

2,5714 1,95240,8357 1,1609

2,50000,5108

1,6071 1,28570,7373 0,9562

6,9643 5,61902,0273 2,5976

6,91671,0598

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