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  • Modellidentifikation fr geomechanische

    Fragestellungen Chancen und Grenzen

    Dipl.-Ing. J. Meier, Prof. Dr.-Ing. T. Schanz

    Kurzfassung

    Durch den Einsatz von numerischen Modellen fr ingenieurtechnische Problemstellungen,

    wie z.B. der FEM oder der FDM, knnen zunehmend komplexere Berechnungen in immer

    krzerer Zeit bewltigt werden. Gleichzeitig ergibt sich jedoch bei dem Einsatz dieser

    Werkzeuge der Bedarf an Werten fr die verschiedenen Modellparameter, von rein

    konstitutiven Kennwerten bis hin zu geometrischen Angaben, fr deren Bestimmung

    zunehmend inverse Verfahren Anwendung finden. Dieses Anwendungsgebiet der

    Optimierung erffnet neue Methoden und Wege, um Parameterstze fr Modelle zu

    bestimmen, die ein mglichst realistisches Verhalten aufzeigen.

    Im Rahmen dieses Artikels soll ausgehend von einer Einfhrung in den theoretischen Ansatz

    drei Fallbeispiele fr inverse Problemstellungen bzw. Optimierungsaufgaben aus dem Gebiet

    der Geomechanik vorgestellt werden. In einer abschlieenden Diskussion werden

    Mglichkeiten und Grenzen gegenber gestellt.

    Motivation

    Zur Gewinnung von Kennwerten fr Modellparameter stehen verschiedene Anstze zur Ver-

    fgung. Zum einen knnen diese durch Messungen aus Feld- und Laborversuchen gewonnen

    werden, was jedoch einen erheblichen finanziellen und zeitlichen Aufwand bedeutet. Zum

    zweiten kann auf ggf. vorhandene Erfahrungswerte und Werte aus der Literatur zurck-

    gegriffen werden, die jedoch oftmals als zu ungenau anzusehen sind. Als dritte Mglichkeit

    bietet sich die indirekte Ermittlung durch inverse Verfahren an. Diese Optimierungsverfahren

    versuchen, durch die iterative Anpassung von Modellparametern einer als Vorwrts-

    rechnung bezeichneten Simulation eine mglichst gute bereinstimmung der Berechnungs-

    ergebnisse mit Messwerten zu erlangen. Der sich ber Fachgebietsgrenzen immer weiter

    verbreitende Einsatz der inversen Methoden zur Bestimmung von Modellparametern spiegelt

    sich auch in der verfgbaren Fachliteratur wieder: es finden sich eine Vielzahl von Beitrgen

    beispielsweise fr die Themenbereiche Strukturanalyse (z. B. MATOU et al. 2000),

    Strmungsmechanik (z. B. JEONG 2003), Hydrogeologie (z. B. CARRERA et al. 2005),

    Maschinen- und Automobilbau (z. B. FLEISCHER & BROOS 2004, FLORES SANTIAGO

  • & BAUSINGER 1998), Geotechnik (z. B. SCHANZ et al. 2006, CUI & SHENG 2006) und

    viele weitere.

    Grundlagen der Optimierung und inversen Parameterbe stimmung

    Im Allgemeinen wird der dem Fachgebiet der angewandten Mathematik entstammende

    Prozess der iterativen Suche nach den gnstigsten Werten der Parameter einer Vorwrts-

    rechnung (Lsungsvektor) als Optimierung bezeichnet. Fr inverse Parameteridenti-

    fikationen werden diese Verfahren verwendet, um eine mglichst gute bereinstimmung

    zwischen Berechnungsergebnissen und Messwerten zu erhalten. Wie in Abbildung 1

    dargestellt, wird die Gte eines Parametersatzes i. d. R mit Hilfe einer Zielfunktion bestimmt,

    welche in Abhngigkeit von den Referenzdaten und den Ergebnissen der aktuellen Vorwrts-

    rechnung eine reelle Zahl, den Zielfunktionswert (auch: Gtewert), errechnet. Einem

    Parametervektor kann somit eindeutig ein zu optimierender Zielfunktionswert zugeordnet

    werden.

    Abbildung 1: Schema der Berechnung von Zielfunktionswerten fr inverse

    Parameteridentifikationen

    Durch den fr jeden der n Parameter der zu optimierenden Vorwrtsrechnung vorgegebenen

    Definitionsbereich wird ein n-dimensionaler Suchbereich aufgespannt. Die Suche nach dem

    Optimum kann somit als Extremwertsuche innerhalb dieses Gebietes umschrieben werden.

    Die Gesamtheit aller Zielfunktionswerte innerhalb des Suchbereichs wird als Zielfunktions-

    topologie bzw. Zielfunktionshyperflche bezeichnet. Abbildung 2 zeigt schematisch die Dar-

    Zielfunktionswert )(xf Zielfunktion

    Daten Vorwrtsrechnung

    Referenzdaten

    Realitt / Modell

    x

    x

    x

    =

    n

    i 1

    Vorwrtsrechnung Parametervektor x

    measp

    calcp

  • stellung der Zielfunktionshyperflche in Abhngigkeit zweier zu identifizierender Eingangs-

    gren (Parameter x1, Parameter x2).

    Aus mathematischer Sicht kann von einem lokalen Extremwert gesprochen werden, wenn fr

    den Lsungsvektor x* in der Umgebung U der Zielfunktion f : R Gleichung (1) bzw. (2)

    gilt. Entspricht der Suchbereich der Umgebung U, so handelt es sich bei x* um einen

    globalen Extremwert. Gleiches gilt, falls der Suchbereich x* enthlt und vollstndig in U

    liegt. (BOYD & VANDENBERGHE 2006, CONNOR 1976, PRESS et al. 1992)

    (1) ( ) )(* xfxf , Ux fr ein lokales Minimum von f in U (2) ( ) )(* xfxf , Ux fr ein lokales Maximum von f in U Hierbei kann jedoch eine Untermenge X* von U den gleichen Funktionswert f(x*) aufweisen.

    Somit liegt fr alle f(x) = f(x*) keine eindeutige Lsung vor. Von einem eindeutigen

    Extremwert kann nur gesprochen werden, wenn der Funktionswert f(x*) ausschlielich fr den

    Lsungsvektor x* zu finden ist.

    Allgemein ist die Existenz eines Optimums oder einer optimalen Lsungsmenge dann

    gesichert, wenn endlich oder f(x) stetig und ein kompakter topologischer Raum ist

    (Analysis: Satz von HEINE-BOREL). Von einem endlichen kann beispielsweise dann ausge-

    gangen werden, wenn alle zu bestimmenden Parameter ganzzahlig oder boolesch sind. Da fr

    die meisten in der Praxis vorkommenden Optimierungsaufgaben weder die Endlichkeit von

    noch die Stetigkeit von f(x) vorauszusetzen ist, kann nicht von einer grundstzlichen Existenz

    eines Optimums ausgegangen werden. In der Praxis kann jedoch oft von bereits gelsten

    Aufgabenstellungen auf aktuelle Probleme geschlossen werden und dieses Wissen durch

    numerische Experimente abgesichert werden.

    Erschwerend fr eine Optimierung kann eine Zielfunktion durch Rauhigkeiten berlagert

    werden. Quellen fr solche Strgren knnen beispielsweise numerischen Ungenauigkeiten

    der Vorwrtsrechnung, Rundungsfehler bei der bergabe der Werte zwischen Simulation und

    Optimierungsalgorithmus als auch die Zielfunktion selbst sein. Suchalgorithmen wie auch

    Zielfunktionen, die ohne ein Rauschen hervorragende Ergebnisse liefern, knnen durch diesen

    Effekt vollstndig unbrauchbar werden. Scheinbare lokale Extremwerte und fehlerhafte Sensi-

    tivitten bzw. Gradienten sind hufige Folgeerscheinungen. (BUI et al. 2005, MILLER 1997,

    POLHEIM 1999)

    Das grundlegende Ablaufschema der Optimierungsalgorithmen kann Abbildung 3 ent-

    nommen werden. Nach der Vorgabe von Startparametern ruft der Optimierungsalgorithmus

    die Vorwrtsrechnung ein oder mehrere Male auf und extrahiert die relevanten Daten nach-

    folgend. Durch den Vergleich mit vorgegebenen Soll- bzw. Referenzwerten durch die Ziel-

  • funktion wird der zugehrige Zielfunktionswert errechnet. Auf der Basis dieses Gtewertes

    wird durch den Algorithmus ein neuer Satz von Berechnungsparametern festgelegt und ein

    weiterer Optimierungszyklus begonnen. Alternativ kann bei der Erfllung eines Abbruch-

    kriteriums die Schleife verlassen werden.

    Aufruf der Vorwrtsrechnung

    Berechnung der Abweichung der Kennwerte von der Messung

    Optimierungs-algorithmus: Setzen der Parameter

    Extraktion der relevanten

    berechneten Kennwerte

    Start: Vorgabe von Parametern

    Ende: Abbruchkriterium erfllt

    Abbildung 2: Schema der Darstellung einer Zielfunktionstopologie fr eine zweidimensionale Aufgaben-stellung

    Abbildung 3: grundlegendes Ablaufschema der Optimierung

    Die verschiedenen aus der angewandten Mathematik bekannten Optimierungsalgorithmen

    lassen sich in folgende Gruppen einteilen:

    Stochastische Verfahren: Zu den stochastischen Methoden zhlen Verfahren, die zur

    Findung des gesuchten Extremwertes die bisher bestimmten Lsungen der Abweichungs-

    funktion i. d. R. nicht einbeziehen. Beispiele sind die Rasterverfahren, das Monte-Carlo-

    Verfahren und das Latin-Hypercube-Verfahren (MCKAY et al. 1979, KOLLIG &

    KELLER 2002). Bei diesen Verfahren wird fr eine vorher bestimmte Anzahl von

    Parameterkombinationen die Abweichung bestimmt und die beste Kombination als

    Ergebnis geliefert. Diese Methoden eignen sich nur bei einer geringen Anzahl von

    Parametern.

    Gradientenbasierende Verfahren: Bei den Gradientenmethoden wird versucht, fr die

    aktuelle Parameterkombination den nderungsvektor zu finden, der zu einer mglichst

    guten, d. h. geringen Abweichung in der nheren Umgebung fhrt. Diese Methoden

    zeichnen sich besonders bei einer groen Anzahl von Parametern (in der Nhe der glo-

    balen Lsung) durch eine geringere Anzahl von Aufrufen aus, zudem nahezu jeder Aufruf

    zu einer Verbesserung der aktuellen Position fhrt. Nachteile zeigen diese Verfahren

    bei rauen Zielfunktionen, da sie ggf. in lokalen Senken hngen bleiben knnen.

    x1x2

    Ziel-funktions-

    wert

    Zielfunktions-hyperflche

  • Simplex- und komplexbasierende Verfahren: Um die Nachteile der wiederholten

    Bestimmung des Gradienten an verschiedenen Stellen der Zielfunktionstopologie zu

    vermeiden, tasten simplex- und komplexbasierende Verfahren mittels einer als Simplex

    aufgefassten Punktmenge den Suchbereich ab. In gewissen Grenzen knnen mit dieser

    Verfahrensklasse auch lokale Optima berwunden werden, da der pro Zyklus durchsuchte

    Bereich im Gegensatz zu den Abstiegsverfahren nicht punktuell ist. Nicht