Modellieren und offene Aufgaben Eine lohnende (aber schwierige) Öffnung für den...

Modellieren und offene Aufgaben

Eine lohnende (aber schwierige) Öffnung für den Mathematikunterricht

Matthias LudwigPH Weingarten

17.11.2008Waldfischbach

Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

PH Weingarten

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Struktur

• Kurze theoretische Einführung

• Fermiaufgaben

• Kleine Modellierungsaufgaben

• Forschung zu den Modellierungsaufgaben

• Weitere Vorschläge

• Zusammenfassung


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• „Unsere mathematischen Begriffe, Strukturen und Vorstellungen sind erfunden worden als Werkzeuge, um die Phänomene der natürlichen, sozialen und geistigen Welt zu ordnen.“ (Freudenthal 1983)

• Erzeugen einer a-didaktischen Situation (Brousseau1997)


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• Mathematische Begriffe sind Werkzeuge zur Erschließung der „Welt“.

• Ziele mathematischer Grundbildung sind begriffliches Verstehen und funktionales Verwenden von Mathematik, nicht nur „technische“ Fertigkeiten und Kenntnisse.

• Zur Lösung einer typischen (hochbepunkteten) PISA-Aufgabe gehört vor allem das Modellieren außer- und innermathematischer Problemsituationen.

Grundbildung nach PISA


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Mathematisches Modellieren im Sinne von:

• Beschreibung realer funktionaler Zusammenhänge (Flugbahn)

• Nachbauen, bzw. Nachbilden

• Finden einer Erklärung

• Vorhersagen treffen (Wetter/ Fußballergebnisse, Sonnenfinsternisse)

• Vorschreiben (Tarife)


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Modellieren aus dem Blickwinkel von Lehrenden und Lernenden:

• Rechnen mit dem was man weiß und kann.

• Sich irgendwie durchschlängeln.

• Ob´s richtig ist ,weiß der Lehrer ja auch nicht immer.

• Das ist alles so diffus.


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Fermiaufgaben

• Klavierstimmer

• Tankstellen

• Friseure

• Todesfälle pro Tag (Anzahl der Bestatter)

• Infos: www.welt-in-zahlen.de


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Der Elfmeter

Kann man mathematisch die Verwandlungshäufigkeit abschätzen?


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Der Elfmeter

• Mathematische Modellbildung für Verwandlungshäufigkeit

• Genial einfache Idee: – Das Tor hat vier Ecken (und eine Mitte)


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Der Elfmeter

• Die Flächenidee– Tor 8Yard x 8Fuß= 7,32m x 2,44m =ca. 18m2

– Torwart 1,6m x1,9m+ 0.5x 0.95m2 x =4,45m2

– 75% der Torfläche sind nicht abgedeckt .


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Elfmeter

• Bayern München 190:245 =>77,5%

• Frankfurt 143:196 =>73%


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Der Elfmeter


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Theoriebasis

• Basis ist der klassische idealisierte Modellierungskreislauf (z.B. Blum et al.)

RS SM

RM MM

MERE

Verstehen

Vereinfachen Strukturieren

Mathematisieren

Rechnen

Interpretieren

Validieren

Vermitteln/Erklären

Stufe 0

Stufe 1 Stufe 2

Stufe 3

Stufe 4

Stufe 5


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Gedanken zum Ball:Wie lange braucht man um einen

Fußball zu nähen?

Wie viele Stiche braucht man für einen Fußball?


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90 Kanten10 Stiche für jede Kante.

10 Sekunden für jeden Stich.9000 Sekunden

2,5 Stunden


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Stufe 0: Die Realsituation wurde nicht erfasst. Es fällt schwer die

Aufgabenzeichnungen der SchülerInnen mit der Aufgabenstellung in Verbindung zu bringen. Die SchülerInnen haben also nicht den Einstieg in den Modellierungskreislauf gefunden.

Bsp: • Die SchülerInnen haben einfach nur geschätzt, wie lange

es dauert um einen Fußball zu nähen, ohne genauere Angaben zu machen, wie sie zu dieser Schätzung gekommen sind.

• Sie schreiben Zusammenhangloses auf ihr Arbeitsblatt.• Sie geben ein unbeschriftetes Arbeitsblatt ab.


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Stufe 1: Die SchülerInnen haben die reale Situation erkannt und versuchen diese zu strukturieren um ein mathematisches Modell zu finden, letztendlich mündet dies aber in keiner weiterführenden Idee.

Bsp: • Sie versuchen, die einzelnen Panels zu zählen,

erkennen aber nicht, dass der Ball aus 5- und 6-Ecken besteht.

• Sie versuchen einen Fußball aufzuzeichnen.


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Stufe 2: Die SchülerInnen äußern eine sinnvolle Vermutung und sind in der Lage ein mathematisches Modell vorzuschlagen, aber dieses Modell wurde nicht konsequent mathematisiert.

Bsp: • Sie zählen die 5- und 6-Ecke des Balls.

Anschließend versuchen sie die Anzahl der Kanten herauszubekommen, erkennen aber nicht, dass eine Nahtstelle aus zwei Kanten besteht.


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ErgebnisseFußballaufgabe

0

0,5

1

1,5

2

2,5

5.Klasse 6.Klasse 7.Klasse 8.Klasse

Niv

eau

stu

fen

Signifikante Unterschiede zwischen den Jahrgangstufen 5, 6/7 und 8


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ErgebnisseFußballaufgabe

0,0%

5,0%

10,0%

15,0%

20,0%

25,0%

30,0%

35,0%

level 0 level 1 level 2 level 3 Level4 level5

girls

boys

Keine signifikanten Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen.


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ErgebnisseFußballaufgabe -Jungs

0%5%

10%15%20%25%30%35%40%45%

Level 0 Level 1 Level 2 Level 3 Level4 Level 5

deutsch

ndeutsch

Fußballaufgabe-Mädchen

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

Level 0 Level 1 Level 2 Level 3 Level4 Level 5

deutsch

ndeutsch


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Die Ananasaufgabe


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Film

Film


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Eine Lösungsmöglichkeit


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Stoff der Klasse 9


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Konsekutive Stufen

• Durchlauf nicht immer konsekutiv .(Boromeo Ferri)

• Jede Stufe stellt aber eine kognitive Hürde dar (Blum/ Leiß).

• Je weiter im Kreislauf desto mehr Stufen musste man (kognitiv) überwinden.


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Forschungsfragen

• Ergeben sich bei der Lösung der Modellierungsaufgabe Unterschiede bzgl. der Jahrgangstufe, der Kulturen und des Geschlechts?

• Welches Niveau wird erreicht?

• Welche Hürden bilden besondere Schwierigkeiten?


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Stufe 0


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Stufe 4


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Stufe 5Stufe 5


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Ergebnisse• Insgesamt geringes Niveau.• Kaum Unterschiede zwischen den

Kulturen in der Gesamtperformance.• Unterschiede zwischen Jungs und

Mädchen (Performance & Level) .• Nach jeder Jahrgangstufe (hoch-)

signifikante Leistungsunterschiede.• Verschiedene Barrierestufen.


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Ergebnisse

Kl. 9 Kl. 10 Kl. 11

N SD N SD N SD

C (676) 206 1,41 1,25 249 1,67 1,12 221 2,18 1,40

D (428). 145 1,59 1,41 147 1,67 1,43 136 2,16 1,38


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„Entwicklung“ der Jungs und Mädchen

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

grade 9 grade 10 grade 11

chinese girls chinese boys german girls german boys


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Deutsche Jungs. hochsignifikante Zuwächse 11 gegen 10 und 9 (p<.005) Effektstärke (0,49)

Deutsche Mädchen: keine signifikanten Unterschiede zwischen den Jahrgangsstufen

Keine statistisch signifikanten Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen in Klasse11.

In den Kl. 9 und 10 sind diese Unterschiede größer aber auch nicht signifikant.

Differentielle Analyse


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UnterschiedeAll german students

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

level 0 level 1 level 2 level 3 Level4 level5

girls

boys

Auffallend: Level 5 wird nur von Jungs erreicht.

Level 4 scheint für Mädchen eine Barriere zu sein.


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Probleme beim Modellieren(Blum et al.)

• Alle Schritte des Kreislaufes sind potentielle kognitive Hürden

• Schüler benutzen keine bewussten Lösungsstrategien

• Schüler dürfen nicht alleine arbeiten

• Lehrende geben zu viele Inhaltliche Hilfen.


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Ideales Stundenskript

• Vorstellung der Aufgabe im Plenum• Zunächst Einzelarbeit• Gruppenarbeit• Individuelles Aufschreiben der

Lösungen• Präsentation von Lösungen im Plenum• Vergleich der Lösungen und

reflektierender Rückblick


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Weitere Beispiele

• Das Schullotto– Entwerft ein geeignetes Lotto für ein

Schulfest.

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