Nichtlineare Funktionalanalysis - aam.uni-freiburg.de · 3 Die Theorie monotoner Operatoren 59 0.2...

Michael Ruzicka

NichtlineareFunktionalanalysis

Eine Einfuhrung

Inhaltsverzeichnis

Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

1 Fixpunktsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Gewohnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Die Fixpunktsatze von Brouwer und Schauder . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Der Satz von Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3 Der Satz von Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.4 Anwendung auf Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Integration und Differentiation in Banachraumen . . . . . . . . . 352.1 Bochner–Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.1 Lp–Raume mit Werten in Banachraumen . . . . . . . . . . . . 412.2 Differentiation von Funktionen mit Werten in Banachraumen 44

2.2.1 Satz uber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Die Theorie monotoner Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1 Monotone Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1.1 Der Satz von Browder und Minty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.2 Der Nemyckii–Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.3 Quasilineare elliptische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2 Pseudomonotone Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.1 Der Satz von Brezis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.2 Quasilineare elliptische Gleichungen II . . . . . . . . . . . . . . 823.2.3 Die stationaren Navier–Stokes–Gleichungen . . . . . . . . . . 853.2.4 Evolutionsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.2.5 Quasilineare parabolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 98

3.3 Maximal monotone Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.3.1 Subdifferentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.3.2 Der Satz von Browder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.3.3 Variationsungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

XII Inhaltsverzeichnis

4 Der Abbildungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.1 Der Abbildungsgrad von Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.1.1 Die Konstruktion des Abbildungsgrades von Brouwer . 1424.1.2 Technische Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.1.3 Erweiterung auf nichtregulare Punkte und stetige

Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.1.4 Eigenschaften des Abbildungsgrades von Brouwer . . . . 159

4.2 Der Abbildungsgrad von Leray–Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.2.1 Abbildungsgrad fur endlich–dimensionale Vektorraume 1644.2.2 Konstruktion des Abbildungsgrades von Leray–Schauder1664.2.3 Eigenschaften des Abbildungsgrades von Leray–

Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.2.4 Quasilineare elliptische Gleichungen III . . . . . . . . . . . . . . 171

A Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177A.1 Topologische Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177A.2 Metrische Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180A.3 Vektorraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182A.4 Banachraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183A.5 Hilbertraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184A.6 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185A.7 Dualitat in Banachraumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186A.8 Schwache Topologie und schwache Konvergenzen . . . . . . . . . . . 188A.9 Konvexitat und Glattheitseigenschaften der Norm . . . . . . . . . . 192A.10 Wichtige Satze aus der linearen Funktionalanalysis . . . . . . . . . 193A.11 Lebesgue–Maß und Lebesgue–Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196A.12 Funktionenraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

A.12.1 Raume stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204A.12.2 Lebesgue–Raume Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207A.12.3 Sobolev–Raume W k,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

3 Die Theorie monotoner Operatoren

In diesem Kapitel wollen wir folgendes elementare Resultat verallgemeinern:

Die Funktion F : R→ R erfulle folgende Bedingungen:

(a) F ist monoton wachsend,

(b) F ist stetig,

(c) F ist koerziv, d.h. F (u)→ ±∞ falls u→ ±∞.

Dann besitzt die Gleichung

F (u) = b

fur alle b ∈ R eine Losung u ∈ R.

Falls F strikt monoton ist, so ist die Losung u eindeutig bestimmt. Dieserklassische Existenzsatz folgt aus dem Mittelwertsatz fur stetige Funktionen.

Die Theorie monotoner Operatoren, die dieses Resultat auf Gleichungender Form

Au = b (0.1)

in einem reflexiven Banachraum X verallgemeinert, beruht auf einigen grund-legenden Prinzipien und Tricks, die wir kurz veranschaulichen wollen. Da mansich hierbei leicht in technischen Details verlieren kann, gehen wir vorerstnicht auf diese ein.

Angenommen

(a) der Operator A : X → X∗ ist monoton auf dem separablen, re-flexiblen Banachraum X, d.h. fur alle u, v ∈ X gilt:

〈Au−Av, u− v〉X ≥ 0 ,

(b) A ist hemistetig, d.h. die Abbildung

t→ 〈A(u+ tv), w〉X

ist stetig im Intervall [0, 1], fur alle u, v, w ∈ X,

58 3 Die Theorie monotoner Operatoren

(c) A ist koerziv, d.h.

lim‖u‖X→∞

〈Au, u〉X‖u‖X

=∞ ,

dann besagt der Hauptsatz uber monotone Operatoren, dass A surjek-tiv ist, d.h.

∀ b ∈ X∗ ∃ u ∈ X : Au = b .

Der Beweis dieses Resultats besteht im wesentlichen aus folgenden Schritten:

1. Galerkin–Approximation : Da X separabel ist, gibt es eine Basis (wi)i∈Nvon X, d.h. fur Xn := spanw1, . . . , wn gilt:

X =

∞⋃n=1

Xn .

Wir approximieren (0.1) durch Probleme in den endlich–dimensionalenRaumen Xn, auf welche der Satz von Brouwer anwendbar ist, der dieExistenz einer Losung un fur jedes dieser Probleme sichert.

2. Apriori Abschatzung : Wir zeigen dann, dass die Folge der Losungen (un)beschrankt ist. Dies geschieht auf Grundlage folgenden Arguments: WennA : X → X∗ koerziv ist, dann existiert ein R0 > 0, so dass fur alle u mit‖u‖X > R0 gilt:

〈Au, u〉X ≥ (1 + ‖b‖X∗)‖u‖X .

Daraus folgt

〈Au, u〉X − 〈b, u〉X ≥ (1 + ‖b‖X∗)‖u‖X − ‖b‖X∗‖u‖X≥ ‖u‖X ≥ R0 .

Wenn u ∈ X, mit ‖u‖X > R0, eine Losung von Au = b ist, dann giltaufgrund dieser Rechnung 0 ≥ R0 > 0. Dies ist aber ein Widerspruch.Daher erhalten wir, dass jede Losung u ∈ X von Au = b der aprioriAbschatzung

‖u‖X ≤ R0

genugt.

3. Schwache Konvergenz : Da X ein reflexiver Banachraum ist, folgt aus demSatz von Eberlein–Smuljan (cf. Satz A.8.15), dass aus der beschranktenFolge (un) eine schwach konvergente Teilfolge (unk) ausgewahlt werdenkann, d.h.

unk u in X (k →∞) .

4. Existenz einer Losung : Der so gefundene Grenzwert u ist eine Losung derGleichung Au = b. Diese Aussage beweisen wir mithilfe des Minty–Tricks.

3 Die Theorie monotoner Operatoren 59

0.2 Lemma (Minty 1962). Sei X ein reflexiver, reeller Banachraum undsei A : X → X∗ ein hemistetiger, monotoner Operator. Dann gilt:

(i) Der Operator A ist maximal monoton, d.h. seien u ∈ X, b ∈ X∗ gegeben,so dass fur alle v ∈ X

〈b−Av, u− v〉X ≥ 0 ,

dann folgt Au = b.

(ii) A genugt der Bedingung (M), d.h. aus

un u in X (n→∞) ,

Aun b in X∗ (n→∞) ,

〈Aun, un〉X → 〈b, u〉X (n→∞) ,

folgt Au = b.

(iii) Ausun u in X , Aun → b in X∗ (n→∞) ,

oder alternativ

un → u in X , Aun b in X∗ (n→∞)

folgt Au = b.

Beweis . ad (i): Seien u ∈ X und b ∈ X∗ gegeben, so dass die obige Annahmeerfullt ist. Fur beliebige w ∈ X setzen wir v = u − tw, t > 0, und erhaltenaufgrund der Voraussetzung folgende Implikation:

〈b−Av, u− v〉 ≥ 0 ⇒ 〈b−A(u− tw), w〉 ≥ 0 .

Da A hemistetig ist, folgt durch den Grenzubergang t → 0, dass fur allew ∈ X gilt:

〈b−Au,w〉 ≥ 0 .

Wir ersetzen w durch −w und erhalten die umgekehrte Ungleichung. Insge-samt gilt also 〈b−Au,w〉 = 0 fur alle w ∈ X, d.h. b = Au.

ad (ii): Da A monoton ist, folgt fur alle v ∈ X, n ∈ N

0 ≤ 〈Aun −Av, un − v〉 = 〈Aun, un〉 − 〈Av, un〉 − 〈Aun −Av, v〉 .

Aufgrund der Voraussetzungen erhalten wir nach dem Grenzubergang n→∞fur alle v ∈ X

0 ≤ 〈b, u〉 − 〈Av, u〉 − 〈b−Av, v〉 = 〈b−Av, u− v〉 .

Somit ist A maximal monoton und aufgrund von (i) folgt Au = b.


ad (iii): Die Behauptung ist eine Konsequenz von (ii), wenn wir wissen,dass aus

xn x in X , fn → f in X∗ (n→∞)

bzw.xn → x in X , fn f in X∗ (n→∞)

folgt, dass〈fn, xn〉 → 〈f, x〉 (n→∞) .

Unter unseren Voraussetzungen folgt dann 〈Aun, un〉 → 〈b, u〉 (n → ∞).Die Behauptungen (ii) und (iii) des folgenden Lemmas liefert aber diese Aus-sagen.

0.3 Lemma (Konvergenzprinzipien). Sei X ein Banachraum. Dann gilt:

(i) Wenn xn x schwach in X, (n → ∞), dann gibt es ein Konstante c,so dass ‖xn‖X ≤ c .

(ii) Wennxn x in X (n→∞) ,fn → f in X∗ (n→∞) ,

dann folgt〈fn, xn〉X → 〈f, x〉X (n→∞) .

(iii) Wennxn → x in X (n→∞) ,fn f in X∗ (n→∞) ,

dann folgt〈fn, xn〉X → 〈f, x〉X (n→∞) .

(iv) Sei X zusatzlich reflexiv. Die Folge (xn) sei beschrankt. Wenn alleschwach konvergenten Teilfolgen von (xn) gegen denselben Grenzwert xkonvergieren, dann konvergiert die gesamte Folge (xn) schwach gegen x.

Beweis . ad (i): Dies ist eine Konsequenz des Prinzips der gleichmaßigen Be-schranktheit. Fur alle f ∈ X∗ ist die Folge

(〈f, xn〉

)beschrankt, da aufgrund

der schwachen Konvergenz von (xn) die Folge reeller Zahlen 〈f, xn〉 gegen〈f, x〉 konvergiert. Somit haben wir

supn|〈f, xn〉| ≤ c(f) . (0.4)

Mithilfe der kanonische Isometrie J : X → X∗∗, die gegeben ist durch (cf.Abschnitt A.7)

〈Jx, f〉X∗∗ = 〈f, x〉X ,

folgt somit aus (0.4), dass die Folge (Jxn) ⊂ X∗∗ punktweise beschrankt ist.

3.1 Monotone Operatoren 61

Das Prinzip der gleichmaßigen Beschranktheit (cf. Satz A.10.7) liefert also

supn‖Jxn‖X∗∗ ≤ c ,

da aber ‖Jxn‖X∗∗ = ‖xn‖X gilt, ist die Behauptung bewiesen.

ad (ii): Es gilt:

|〈fn, xn〉 − 〈f, x〉| ≤ |〈fn, xn〉 − 〈f, xn〉|+ |〈f, xn − x〉|= |〈fn − f, xn〉|+ |〈f, xn − x〉|≤ ‖fn − f‖ ‖xn‖+ |〈f, xn − x〉| .

Nun haben wir aufgrund der Voraussetzungen ‖fn − f‖ → 0 (n → ∞),|〈f, xn−x〉| → 0 (n→∞), sowie ‖xn‖ ≤ c nach (i). Demzufolge erhalten wir|〈fn, xn〉 − 〈f, x〉| → 0 (n→∞).

ad (iii): Der Beweis verlauft analog zum Beweis von Behauptung (ii).

ad (iv): Beweis durch Widerspruch. Konvergiere (xn) nicht schwach gegenx, d.h.

∃ f ∈ X∗, ∃ ε > 0, ∃ (xnk) : |〈f, xnk〉 − 〈f, x〉| ≥ ε ∀k ∈ N .

Nach Voraussetzung ist die Teilfolge (xnk) beschrankt. Daher gibt es nachdem Satz von Eberlein–Smuljan (cf. Satz A.8.15) eine Teilfolge (xnk′ ), dieschwach konvergiert und zwar nach Voraussetzung gegen x. Dies ist ein Wi-derspruch. Also gilt die Behauptung.

3.1 Monotone Operatoren

1.1 Definition. Sei X ein reeller, reflexiver Banachraum und sei

A : X → X∗

ein Operator. Dann heißt A

(i) monoton genau dann, wenn fur alle u, v ∈ X gilt:

〈Au−Av, u− v〉X ≥ 0 .

(ii) strikt monoton genau dann, wenn fur alle u, v ∈ X,u 6= v gilt:

〈Au−Av, u− v〉X > 0 .


(iii) stark monoton genau dann, wenn es ein c > 0 gibt, so dass fur alleu, v ∈ X gilt:

〈Au−Av, u− v〉X ≥ c ‖u− v‖2X .

(iv) koerziv genau dann, wenn

lim‖u‖X→∞

〈Au, u〉X‖u‖X

=∞ .

Bemerkungen. (i) Offensichtlich gelten folgende Implikationen:

A ist stark monoton ⇒ A ist strikt monoton ⇒ A ist monoton.

(ii) Wenn A stark monoton ist, dann ist A auch koerziv. In der Tat gilt:

〈Au, u〉 = 〈Au−A(0), u〉+ 〈A(0), u〉≥ c ‖u‖2 − ‖A(0)‖X∗‖u‖ ,

also folgt

〈Au, u〉‖u‖

≥ c ‖u‖ − ‖A(0)‖X∗ →∞ fur ‖u‖ → ∞ .

Beispiele. 1. Gegeben sei eine Funktion f : R → R. Wir betrachten dieFunktion f als Operator von X nach X∗ mit X = R = X∗. In R ist dasDualitatsprodukt gerade die Multiplikation, d.h.

〈f(u)− f(v), u− v〉 =(f(u)− f(v)

)(u− v) .

Somit gelten folgende Aussagen:

(i) f : X → X∗ (strikt) monoton ⇔ f : R→ R (strikt) monoton.

(ii) f koerziv ⇔ limu→±∞

f(u) = ±∞.

2. Fur die Funktion g : R→ R

g(u) =

|u|p−2u fur u 6= 0 ,

0 fur u = 0 ,

kann man zeigen, dass gilt:

(i) Fur p > 1 ist g strikt monoton.

(ii) Fur p ≥ 2 gilt:〈g(u)− g(v), u− v〉 ≥ c |u− v|p .

(iii) Fur p = 2 ist g stark monoton.


1.2 Definition. Sei X ein reeller Banachraum und A : X → X∗ ein Opera-tor. Dann heißt A

(i) hemistetig genau dann, wenn fur alle u, v, w ∈ X die Funktion

t 7→ 〈A(u+ tv), w〉Xim Intervall [0, 1] stetig ist.

(ii) demistetig genau dann, wenn

un → u in X (n→∞) ⇒ Aun Au in X∗ (n→∞) .

(iii) stark stetig genau dann, wenn

un u in X (n→∞) ⇒ Aun → Au in X∗ (n→∞) .

(iv) beschrankt genau dann, wenn A beschrankte Mengen in X in be-schrankte Mengen in X∗ abbildet.

(v) lokal beschrankt genau dann, wenn es fur alle u ∈ X ein ε(u) > 0 undeine Konstante K(u) gibt, so dass fur alle v ∈ X mit ‖u− v‖X ≤ ε gilt‖Av‖X∗ ≤ K.

Bemerkung. Offensichtlich gelten folgende Implikationen:

A ist stark stetig ⇒ A ist stetig ⇒ A ist demistetig ⇒ A ist hemistetig.

Wir wollen nun weitere einfache Konsequenzen obiger Definitionen bewei-sen.

1.3 Lemma. Sei X ein reflexiver, reeller Banachraum und A : X → X∗ einOperator. Dann gilt:

(i) Falls A stark stetig ist, so ist A kompakt.

(ii) Falls A demistetig ist, so ist A lokal beschrankt.

(iii) Falls A monoton ist, so ist A lokal beschrankt.

(iv) Falls A monoton und hemistetig ist, so ist A demistetig.

Beweis . ad (i): Wir wollen zeigen, dass fur alle beschrankten TeilmengenM ⊆ X die Bildmenge A(M) relativ folgenkompakt ist. Sei also (Aun) einebeliebige Folge aus A(M). Da M beschrankt ist, ist somit auch (un) be-schrankt. Aufgrund der Reflexivitat des Raumes X existiert eine schwachkonvergente Teilfolge (unk), d.h. unk u ∈ X (k → ∞). Daraus folgtAunk → Au (k →∞), da A stark stetig ist. Also ist A(M) relativ folgenkom-pakt, was in Banachraumen aquivalent zur relativen Kompaktheit der MengeA(M) ist (cf. Satz A.2.1).

ad (ii): Beweis durch Widerspruch: Sei A nicht lokal beschrankt, d.h.es gibt ein u ∈ X und eine Folge (un) in X mit un → u (n → ∞), sodass ‖Aun‖X∗ → ∞ (n → ∞). Da A demistetig ist, folgt Aun Au inX∗ (n → ∞). Aufgrund von Lemma 0.3 (i) ist (Aun) beschrankt. Dies istaber ein Widerspruch. Also ist A lokal beschrankt.


ad (iii): Beweis durch Widerspruch: Sei A nicht lokal beschrankt, danngibt es ein u ∈ X und eine Folge (un) ⊂ X mit un → u (n → ∞), so dass‖Aun‖X∗ →∞ (n→∞). Wir setzen

an := (1 + ‖Aun‖ ‖un − u‖)−1 .

Die Monotonie von A liefert, dass fur alle v ∈ X gilt:

0 ≤⟨Aun −Av, un − v

⟩=⟨Aun −Av, (un − u) + (u− v)

⟩.

Mit obiger Bezeichnung ist dies aquivalent zu

an〈Aun, v − u〉 ≤ an(〈Aun, un − u〉 − 〈Av, un − v〉

)≤ an

(‖Aun‖X∗‖un − u‖+ ‖Av‖X∗

(‖un‖+ ‖v‖

))≤ 1 + c(v, u) ,

wobei wir an ≤ 1 benutzt haben und dass nach Voraussetzung ‖un−u‖ ≤ 1,n ≥ n0. Wenn wir in dieser Rechnung v durch 2u − v ersetzen, erhalten wirauch

−an〈Aun, v − u〉 ≤ 1 + c(v, u) .

Da v ∈ X beliebig ist, ist auch w := v − u ein beliebiger Punkt von X undwir erhalten fur alle w ∈ X

supn≥n0

|〈anAun, w〉| ≤ c(w, u) <∞ .

Die stetigen, linearen Abbildungen anAun : X → R sind nach obiger Rech-nung punktweise beschrankt. Das Prinzip der gleichmaßigen Beschranktheit(cf. Satz A.10.7) liefert also

supn≥n0

‖anAun‖X∗ ≤ c(u) .

Daraus und aus der Definition von an erhalten wir

‖Aun‖ ≤c(u)

an= c(u)

(1 + ‖Aun‖‖un − u‖

). (1.4)

Wegen ‖un − u‖ → 0 (n→∞) gibt es ein n1 ∈ N, so dass fur alle n ≥ n1, n0gilt c(u) ‖un − u‖ < 1

2 und wir erhalten aus (1.4)

‖Aun‖ ≤c(u)

1− c(u) ‖un − u‖≤ 2 c(u) .

Somit ist die Folge(‖Aun‖

)beschrankt, was ein Widerspruch zur Annahme

‖Aun‖X∗ →∞ (n→∞) ist. Also gilt die Behauptung.


ad (iv): Sei (un) eine Folge in X mit un → u (n→∞). Da A monoton ist,ist (Aun) nach (iii) lokal beschrankt. Aufgrund der Reflexivitat von X gibtes eine Teilfolge (unk) und ein Element b ∈ X∗, so dass Aunk b (k →∞).Nach Lemma 0.2 (iii) erhalten wir somit Au = b, d.h. Aunk Au (k →∞).Aber alle schwach konvergenten Teilfolgen von (Aun) konvergieren schwachgegen Au, denn sonst gabe es eine Teilfolge mit Aunl c 6= b, (l→∞). Lem-ma 0.2 (iii) impliziert wiederum Au = c, was ein Widerspruch zu Au = b ist.Somit liefert Lemma 0.3 (iv), dass die gesamte Folge (Aun) schwach gegenb = Au konvergiert, d.h. A ist demistetig.

3.1.1 Der Satz von Browder und Minty

Wir haben nun alle Hilfsmittel bereitgestellt, um den Hauptsatz der Theoriemonotoner Operatoren beweisen zu konnen.

1.5 Satz (Browder, Minty 1963). Sei X ein separabler, reflexiver, reellerBanachraum. Ferner sei A : X → X∗ ein monotoner, koerziver, hemistetigerOperator. Dann existiert fur alle b ∈ X∗ eine Losung u ∈ X von

Au = b . (1.6)

Die Losungsmenge ist abgeschlossen, beschrankt und konvex. Falls A striktmonoton ist, ist die Losung von (1.6) eindeutig.

Beweis . Wir beweisen den Satz mit Hilfe des Galerkin Verfahrens : Dazusetzen wir

Xn := spanw1, . . . , wn

und suchen approximative Losungen un ∈ Xn der Form

un =

n∑k=1

cknwk , (1.7)

die das Galerkin–System

〈Aun − b, wk〉 = 0 , k = 1, . . . , n , (1.8)

losen.

1. Losbarkeit von (1.8): Aufgrund von (1.7) konnen wir Elemente un ∈ Xn

mit Vektoren cn := (c1n, . . . , cnn)> ∈ Rn identifizieren. Insbesondere ist fur

c := (c1, . . . , cn)> durch |c| := ‖∑nk=1 c

kwk‖X auf Rn eine aquivalente Normgegeben, die wir im Weiterem benutzen werden. Somit kann man (1.8) als einnichtlineares System von Gleichungen fur die Vektoren cn ∈ Rn betrachten.Dieses konnen wir mithilfe der Abbildung gn := (g1n, . . . , g

nn)> : Rn → Rn

gegeben durch


gkn : Rn → R : c 7→ gkn(c) :=⟨A( n∑j=1

cjwj

)− b, wk

⟩, k = 1, . . . , n ,

umschreiben ingn(cn) = 0 .

Nach Lemma 1.3 (iv) ist A demistetig, da A monoton und hemistetig ist. Alsoist die Abbildung gn : Rn → Rn stetig, da aus cl → c (l→∞) bzgl. | · | in Rnfolgt, dass

∑nj=1 c

jlwj gegen

∑nj=1 c

jwj in X konvergiert. Daraus folgt sofort,dass gn(cl) gegen gn(c) in der Euklidischen Norm und somit auch bzgl. der| · |–Norm konvergiert. Weiter gilt fur c = (c1, . . . , cn)> und v :=

∑nj=1 c

jwj

n∑k=1

gkn(c) ck = 〈Av, v〉 − 〈b, v〉 . (1.9)

Da A koerziv ist, d.h. 〈Av,v〉‖v‖ → ∞ (‖v‖ → ∞), gibt es ein R0 > 0, so dass

fur alle ‖v‖ ≥ R0 gilt:

〈Av, v〉 ≥(1 + ‖b‖X∗

)‖v‖ > 0 .

Insbesondere gilt fur c mit |c| = ‖v‖ = R0

〈Av, v〉 ≥(1 + ‖b‖X∗

)‖v‖ ,

und somit folgt

n∑k=1

gkn(c) ck ≥(1 + ‖b‖X∗

)‖v‖ − ‖b‖X∗ ‖v‖ = ‖v‖ > 0 . (1.10)

Nach Lemma 1.2.24, einer Folgerung aus dem Satz von Brouwer, gibt es alsoeine Losung un des Galerkin–Systems (1.8) mit

‖un‖X ≤ R0 . (1.11)

Insbesondere ist die Konstante R0 unabhangig von n, d.h. (1.11) ist eineapriori Abschatzung.

2. Beschranktheit von (Aun): Da A monoton ist, folgt aus Lemma 1.3(iii), dass A lokal beschrankt ist. Insbesondere gibt es Konstanten r,M > 0,so dass die Implikation

‖v‖ ≤ r ⇒ ‖Av‖X∗ ≤M (1.12)

gilt. Da un das System (1.8) lost, d.h. es gilt insbesondere 〈Aun, un〉 = 〈b, un〉,erhalten wir mithilfe von (1.11) fur alle n ∈ N

|〈Aun, un〉| ≤ ‖b‖X∗ ‖un‖ ≤ ‖b‖X∗ R0 . (1.13)


Aufgrund der Monotonie von A gilt fur alle v ∈ X:

〈Aun −Av, un − v〉 ≥ 0 . (1.14)

Eine Variante der Definition der Norm in X∗ liefert zusammen mit (1.14),(1.12), (1.13) und (1.11)

‖Aun‖X∗ = supv∈X‖v‖=r

1r 〈Aun, v〉

≤ supv∈X‖v‖=r

1r

(〈Av, v〉+ 〈Aun, un〉 − 〈Av, un〉

)≤ 1

r (M r + ‖b‖X∗R0 +M R0) <∞ .

(1.15)

Also ist die Folge (Aun) ⊂ X∗ beschrankt.

3. Konvergenz des Galerkin–Verfahrens: Da X und X∗ reflexiv sind unddie Folgen (un) und (Aun) beschrankt sind, wie in (1.11) und (1.15) gezeigtwurde, gibt es eine Teilfolge (unk) mit

unk u in X

Aunk c in X∗(k →∞) . (1.16)

Andererseits gibt es fur alle w ∈∞⋃l=1

Xl ein n0 mit w ∈ Xn0 . Da un eine

Losung von (1.8) ist, erhalten wir fur alle n ≥ n0

〈Aun, w〉 = 〈b, w〉 ,

woraus folgt

limn→∞

〈Aun, w〉 = 〈b, w〉 ∀w ∈∞⋃l=1

Xl . (1.17)

Aus (1.16) und (1.17) folgt, dass fur alle w ∈⋃∞l=1Xl gilt 〈c− b, w〉 = 0. Da⋃∞

l=1Xl dicht in X liegt, liefert Lemma A.7.2 (iii), dass b = c gilt, und somit

Aunk b in X∗ (n→∞) .

Fur die Losung unk von (1.8) gilt insbesondere 〈Aunk , unk〉 = 〈b, unk〉, worausfolgt:

limk→∞

〈Aunk , unk〉 = limk→∞

〈b, unk〉 = 〈b, u〉 .

Die Voraussetzungen des Minty–Tricks, Lemma 0.2 (ii), sind demnach erfullt,und wir erhalten Au = b, d.h. u ist eine Losung der ursprunglichen Opera-torgleichung (1.6).

4. Eigenschaften der Losungsmenge: Fur gegebenes b ∈ X∗ setzen wirS = u ∈ X

∣∣Au = b. Dann hat S folgende Eigenschaften:


(a) S 6= ∅: Das wurde gerade bewiesen.

(b) S ist beschrankt: Dies folgt aus der Koerzivitat von A. Falls S nichtbeschrankt ware, dann gabe es fur alle R > 0 ein u ∈ S mit ‖u‖ ≥ R > 0.Aber analog zu 2. haben wir (cf. (1.9), (1.10))

0 = 〈Au, u〉 − 〈b, u〉 ≥ ‖u‖ > 0 .

Dies ist aber ein Widerspruch, und somit gibt es ein R0 > 0, so dass furalle u ∈ S gilt ‖u‖ ≤ R0.

(c) S ist konvex: Seien u1, u2 ∈ S, d.h. Aui = b fur i = 1, 2. Fur die Kon-vexkombination w = tu1 + (1 − t)u2, 0 ≤ t ≤ 1, und beliebige v ∈ Xgilt:

〈b−Av,w − v〉 = 〈b−Av, tu1 + (1− t)u2 − (t+ 1− t)v〉= 〈b−Av, t(u1 − v)〉+ 〈b−Av, (1− t)(u2 − v)〉= t〈Au1 −Av, u1 − v〉+ (1− t)〈Au2 −Av, u2 − v〉≥ 0 ,

aufgrund der Monotonie von A. Anwendung von Lemma 0.2 (i) liefertAw = b, d.h. w ∈ S. Also ist S konvex.

(d) S ist abgeschlossen: Fur eine Folge (un) ⊆ S, d.h. Aun = b, mit un → u(n→∞), und fur alle v ∈ X haben wir:

〈b−Av, u− v〉 = limn→∞

〈b−Av, un − v〉

= limn→∞

〈Aun −Av, un − v〉 ≥ 0 ,

aufgrund der Monotonie von A. Aus Lemma 0.2 (i) folgt Au = b, d.h.u ∈ S.

5. Eindeutigkeit: Sei A strikt monoton. Falls es zwei Losungen u 6= v von(1.6) gibt, dann haben wir einerseits Au = b = Av und andererseits folgt ausder strikten Monotonie von A

0 < 〈Au−Av, u− v〉 = 〈b− b, u− v〉 = 0 .

Dies ist ein Widerspruch. Also kann die Gleichung hochstens eine Losunghaben.

Bemerkung. Die Behauptungen des Satzes 1.5 bleiben auch in nicht sepa-rablen Raumen richtig (cf. [23, S. 560–561]).

1.18 Folgerung. Sei X ein separabler, reflexiver, reeller Banachraum undsei A : X → X∗ ein strikt monotoner, koerziver, hemistetiger Operator. Dannexistiert der Operator A−1 : X∗ → X und ist strikt monoton und demistetig.

Beweis . Der Beweis dieser einfachen Aussage bleibt dem Leser uberlassen.


3.1.2 Der Nemyckii–Operator

Um den Satz 1.5 von Browder und Minty auf Differentialgleichungen anwen-den zu konnen, benotigen wir den so genannten Nemyckii–Operator

(Fu)(x) := f(x,u(x)) , (1.19)

wobei u = (u1, . . . , un)>, u : G ⊆ RN → Rn, mit einem Gebiet G ⊆ RN .Bezuglich f : G× Rn → R machen wir folgende Annahmen:

(i) Caratheodory–Bedingung :

f(·,η) : x 7→ f(x,η) ist messbar auf G fur alle η ∈ Rn,f(x, ·) : η 7→ f(x,η) ist stetig auf Rn fur fast alle x ∈ G.

(ii) Wachstumsbedingung :

|f(x,η)| ≤ |a(x)|+ b

n∑i=1

|ηi|pi/q ,

wobei b > 0 eine Konstante ist und a ∈ Lq(G) , 1 ≤ pi, q < ∞, i =1, . . . , n.

1.20 Lemma. Unter den obigen Annahmen an die Funktion f und die Men-ge G, ist der in (1.19) definierte Nemyckii–Operator

F :

n∏i=1

Lpi(G)→ Lq(G)

stetig und beschrankt. Es gilt fur alle u ∈∏ni=1 L

pi(G) die Abschatzung

‖Fu‖Lq(G) ≤ c(‖a‖Lq(G) +

n∑i=1

‖ui‖pi/qLpi (G)

). (1.21)

Beweis . Wir betrachten nur den Fall n = 1, u = u1, p = p1. Der allgemeineFall folgt analog.

1. Messbarkeit von Fu: Da u ∈ Lp(G), ist die Funktion x 7→ u(x)Lebesgue–messbar auf G. Also gibt es eine Folge (un) von Treppenfunktionenmit

un → u fast uberall in G (n→∞) .


Daher gilt fur fast alle x ∈ G

(Fu)(x) = f(x, u(x)) = limn→∞

f(x, un(x)) ,

da f , aufgrund der Caratheodory–Bedingung (i), stetig in der zweiten Varia-blen ist. Da (un) Treppenfunktionen sind, haben wir

f(x, un(x)) = f(x,

M(n)∑j=0

cnj χGnj (x))

=

M(n)∑j=0

f(x, cnj )χGnj (x) ,

mit cn0 = 0 und Gn0 = G \⋃M(n)i=1 Gni . Somit ist f(x, un(x)) messbar, da so-

wohl die Funktionen f(x, cnj ) als auch die charakteristischen Funktionen χGnjmessbar sind. Weiterhin ist der Grenzwert messbarer Funktionen messbarund demnach auch Fu.

2. Beschranktheit von F : Es gilt fur alle u ∈ Lp(G):

‖Fu‖qLq =

∫G

∣∣f(x, u(x))∣∣q dx

≤∫G

(|a(x)|+ b|u(x)|p/q

)qdx

≤ C∫G

|a(x)|q + bq|u(x)|p dx

≤ C(‖a‖qLq + ‖u‖pLp

),

wobei die Wachstumsbedingung (ii) und die folgende Aquivalenz von Normenim RM

c

(M∑i=1

|ξi|r) 1r

≤M∑i=1

|ξi| ≤ C

(M∑i=1

|ξi|r) 1r

. (1.22)

benutzt wurden. Also ist F beschrankt und erfullt die Abschatzung (1.21).

3. Stetigkeit von F : Lp(G) → Lq(G): Sei (un) eine Folge mit un → uin Lp(G) (n → ∞). Demzufolge gibt es eine Teilfolge (unk) mit unk → u(k →∞), fast uberall in G (cf. Satz A.11.12) und es gilt:

|f(x, unk(x))− f(x, u(x))|q ≤ C(|f(x, unk(x))|q + |f(x, u(x))|q

)≤ C

(|a(x)|q + bq|unk(x)|p + |f(x, u(x))|q

)=: hnk(x) ,

wobei die Wachstumsbedingung (ii) benutzt wurde. Nach Integration uber Gerhalten wir

‖Funk − Fu‖qLq ≤

∫G

hnk dx .


Auf der rechten Seite der Ungleichung stehen als Integranden eine Folge vonFunktionen hnk aus L1(G) mit

hnk(x)→ h(x) fast uberall in G (k →∞) ,∫G

hnk(x) dx→∫G

h(x) dx (k →∞) ,

da un → u in Lp(G) (n → ∞), also ‖un‖Lp → ‖u‖Lp (n → ∞). Außerdemgilt (Funk)(x) → (Fu)(x) (k → ∞) fur fast alle x ∈ G, da aufgrund derCaratheodory–Bedingung (i) f stetig in der zweiten Variablen ist. Daher istder verallgemeinerte Satz von der majorisierten Konvergenz (cf. Satz A.11.11)anwendbar, und demzufolge gilt:

‖Funk − Fu‖qLq → 0 (k →∞) .

Das Konvergenzprinzip Lemma 0.3 (iv) liefert nun Fun → Fu in Lq(G)(n→∞), da die Argumentation fur jede beliebige konvergente Teilfolge gilt.

3.1.3 Quasilineare elliptische Gleichungen

Als Anwendung des Satzes von Browder und Minty und des Nemyckii–Operators betrachten wir folgendes Randwertproblem fur eine quasilineareelliptische Gleichung:

−div(|∇u|p−2∇u) + s u = f in Ω ,

u = 0 auf ∂Ω .(1.23)

Dabei sei 1 < p < ∞ , Ω ein beschranktes Gebiet im Rd mit ∂Ω ∈ C0,1 unds ≥ 0. Wenn man (1.23) formal mit u multipliziert, uber Ω integriert undpartiell integriert erhlalt man folgende apriori Abschatzung∫

Ω

|∇u|p + s|u|2 dx ≤ c(f) .

Hieraus sieht man, dass fur alle s ≥ 0 der kanonische Sobolevraum fur die Un-tersuchung von (1.23) der W 1,p

0 (Ω) ist. Man beachte allerdings, dass fur s > 0auch der Raum W 1,p

0 (Ω)∩L2(Ω) eine naturliche Wahl darstellt (vgl. Bemer-kungen nach Lemma 1.27 und nach Satz 1.32).

Die schwache Formulierung von Problem (1.23) lautet: Fur gegebenesf ∈ (Lp(Ω))∗ suchen wir u ∈ X = W 1,p

0 (Ω), so dass fur alle ϕ ∈ X∫Ω

|∇u|p−2∇u · ∇ϕ+ s uϕ dx =

∫Ω

fϕ dx . (1.24)

Deshalb definieren wir einen Operator A durch


〈Au,ϕ〉 :=

∫Ω

|∇u|p−2∇u · ∇ϕ+ s uϕ dx , ∀ u, ϕ ∈ X , (1.25)

und ein Funktional b durch

〈b, ϕ〉 :=

∫Ω

fϕ dx , ∀ ϕ ∈ X . (1.26)

Hierbei steht 〈·, ·〉 fur das Dualitatsprodukt in X.

1.27 Lemma. Sei Ω ein beschranktes Gebiet des Rd mit Lipschitz–stetigemRand ∂Ω. Ferner sei f ∈ Lp

′(Ω), p′ = p

p−1 , p ∈ (1,∞) und s ≥ 0. Fur

p ≥ 2dd+2 bildet der in (1.25) definierte Operator A den Raum X = W 1,p

0 (Ω)in seinen Dualraum ab, d.h. A : X → X∗, und ist beschrankt. Das in (1.26)definierte Funktional b ist ein Element von X∗. Ferner ist die schwache For-mulierung (1.24) aquivalent zur Operatorgleichung in X∗

Au = b . (1.28)

Beweis . Wir setzen X := W 1,p0 (Ω) und ‖u‖X := ‖∇u‖Lp . Aufgrund der

”Nullrandbedingungen“ ist diese Norm aquivalent zur ublichen W 1,p

0 (Ω)–

Norm ‖u‖W 1,p0

=( ∫

Ω|u|p + |∇u|pdx

) 1p (cf. (A.12.27)).

1. A : X → X∗: Es gilt fur u, ϕ ∈ X

|〈Au,ϕ〉| ≤∫Ω

|∇u|p−1|∇ϕ| dx+ s

∫Ω

|uϕ| dx

≤(∫Ω

|∇u|(p−1)p′dx) 1p′(∫Ω

|∇ϕ|p dx) 1p

+ s(∫Ω

|u|2 dx) 1

2(∫Ω

|ϕ|2 dx) 1

2

= ‖∇u‖p−1Lp ‖∇ϕ‖Lp + s ‖u‖L2‖ϕ‖L2 ,

wobei wir die Holder–Ungleichung und p′ = pp−1 benutzt haben. Fur 1 ≤ p < d

haben wir die Einbettung X = W 1,p0 (Ω) → Lq(Ω) mit q ≤ dp

d−p (cf. Satz

A.12.24 (i)). Insbesondere gilt also X → L2(Ω), falls 2 ≤ dpd−p ⇔ p ≥ 2d

d+2 .

Falls p ≥ d ist, verwenden wir die Einbettungen X →W 1,d(Ω) → Lq(Ω), diefur alle q <∞ gilt (cf. Satz A.12.24 (ii)). Also erhalten wir, dass fur p ≥ 2d

d+2und alle ϕ ∈ X gilt:

‖ϕ‖L2 ≤ c1 ‖ϕ‖X = c1 ‖∇ϕ‖Lp .

Insgesamt ergibt sich daher


|〈Au,ϕ〉| ≤ ‖∇u‖p−1Lp ‖∇ϕ‖Lp + s‖u‖L2‖ϕ‖L2

≤ c (‖∇u‖p−1Lp + s‖∇u‖Lp)‖∇ϕ‖Lp .

Aufgrund der Definition der Norm von Au in X∗ haben wir

‖Au‖X∗ = supϕ∈X‖ϕ‖≤1

|〈Au,ϕ〉| ≤ c(‖∇u‖p−1Lp + s‖∇u‖Lp

), (1.29)

und somit ist Au ∈ X∗ sowie A : X → X∗, sofern p ≥ 2dd+2 . Aus der letzten

Ungleichung sehen wir sofort, dass der Operator A beschrankt ist.2. Mithilfe der Holder–Ungleichung und der Definition der dualen Norm

ergibt sich

‖b‖X∗ = supϕ∈X‖ϕ‖≤1

|〈b, ϕ〉| ≤ supϕ∈X‖ϕ‖≤1

‖f‖Lp′‖ϕ‖Lp

≤ c ‖f‖Lp′ ,

fur p ≥ 1, da X = W 1,p0 (Ω) → Lp(Ω), d.h. ‖ϕ‖Lp ≤ C ‖ϕ‖X .

3. Aus den Schritten 1 und 2, sowie den Definitionen von A und b folgt,dass die schwache Formulierung (1.24) von (1.23) gerade

〈Au,ϕ〉 = 〈b, ϕ〉 ∀ϕ ∈ X

ist. Dies ist aber die Operatorgleichung Au = b in X∗.

Bemerkung. Im Falle s = 0 ist im vorherigen Lemma die Einschrankungp ≥ 2d

d+2 nicht notig. Falls man fur s > 0 mit X = W 1,p0 (Ω)∩L2(Ω) versehen

mit der Norm ‖u‖X := ‖∇u‖Lp + ‖u‖L2 arbeitet, fallt die Einschrankungp ≥ 2d

d+2 ebenfalls weg.

1.30 Lemma. Unter den Voraussetzungen von Lemma 1.27 ist der durch(1.25) gegebene Operator A : X → X∗ strikt monoton, koerziv und stetig.Insbesondere sind also die Voraussetzungen von Satz 1.5 erfullt.

Beweis . 1. A ist strikt monoton: Der Operator A wird durch die Funktion

g = (g1, . . . , gd)> : Rd → Rd : ζ 7→ |ζ|p−2ζ (1.31)

generiert, wobei wir g(0) = 0 setzen. Fur i, j = 1, . . . , d und ζ 6= 0 haben wir

∂jgi(ζ) = |ζ|p−2δij + (p− 2) |ζ|p−4ζiζj

und somit gilt fur alle ζ ∈ Rd \ 0, η ∈ Rd, 1 < p <∞,

d∑i,j=1

∂jgi(ζ)ηiηj = |ζ|p−2

(|η|2 + (p− 2)

(ζ · η)2

|ζ|2)

≥ min(1, p− 1) |ζ|p−2|η|2.


Fur beliebige u 6= v ∈ X haben wir also

〈Au−Av, u− v〉

=

∫Ω

d∑i=1

(gi(∇u)− gi(∇v)

)(∂iu− ∂iv) dx + s

∫Ω

|u− v|2 dx

≥∫Ω

d∑i=1

1∫0

d

dτgi(∇v + τ(∇u−∇v)

)dτ (∂iu− ∂iv) dx ,

da s ≥ 0. Den Integranden auf der rechten Seite kann man schreiben als

1∫0

d∑i,j=1

∂jgi(∇v + τ(∇u−∇v)

)(∂ju− ∂jv)(∂iu− ∂iv) dτ

≥ c |∇u−∇v|21∫

0

|∇v + τ(∇u−∇v)|p−2 dτ

> 0 ,

da1 mit Ausnahme moglicherweise eines Punktes τ0, der von x ∈ Ω abhangt,gilt: |∇v + τ(∇u−∇v)|p−2 > 0. Insgesamt erhalten wir also

〈Au−Av, u− v〉 > 0 ,

d.h. A ist strikt monoton.

2. A ist koerziv: Wir haben fur u ∈ X

〈Au, u〉 =

∫Ω

|∇u|p + s |u|2 dx = ‖∇u‖pLp + s‖u‖2L2 ≥ ‖∇u‖pLp ,

also folgt

〈Au, u〉‖u‖X

≥ ‖∇u‖p−1Lp →∞ (‖u‖X →∞) ,

falls p > 1.

3. A ist stetig: Sei (un) ⊆ X eine Folge mit un → u in X (n → ∞), d.h.insbesondere ∇un → ∇u in Lp(Ω) (n→∞). Wir setzen

F(∇u)(x) := g(∇u(x)) ,

wobei g in (1.31) definiert ist. Da g komponentenweise die Abschatzung

1 Man beachte, dass das Integral1∫0

|∇v+ τ(∇u−∇v)|p−2dτ endlich ist fur p > 1.


|gi(ζ)| ≤ c |ζ|p−1 = c |ζ|pq , i = 1, . . . , d ,

mit q = pp−1 erfullt, ist F ein vektorwertiger Nemyckii–Operator. Aus Lemma

1.20 folgt daher, dass F : (Lp(Ω))d → (Lp′(Ω))d stetig ist, d.h. fur unsere

Folge (un) gilt:

F(∇un)→ F(∇u) in(Lp′(Ω)

)d(n→∞) .

Somit erhalten wir

〈Aun −Au,ϕ〉 =

∫Ω

(F(∇un)− F(∇u)

)· ∇ϕdx+ s

∫Ω

(un − u)ϕdx

≤ ‖F(∇un)− F(∇u)‖Lp′‖∇ϕ‖Lp + s‖un − u‖L2‖ϕ‖L2

≤ c(‖F(∇un)− F(∇u)‖Lp′ + ‖un − u‖X

)‖ϕ‖X ,

da X = W 1,p0 (Ω) → L2(Ω) fur p ≥ 2d

d+2 . Aufgrund der Definition der Normim Dualraum gilt dann:

‖Aun −Au‖X∗ = supϕ∈X‖ϕ‖≤1

|〈Aun −Au,ϕ〉|

≤ c (‖F(∇un)− F(∇u)‖Lp′ + ‖un − u‖X) .

Fur n→∞ konvergiert die rechte Seite gegen 0, da un → u in X (n→∞),und F(∇un)→ F(∇u) in (Lp

′(Ω))d (n→∞). Also ist der Operator A stetig

und damit insbesondere hemistetig.

4. X = W 1,p0 (Ω) ist ein separabler und reflexiver Banachraum (cf. Ab-

schnitt A.12.3).

1.32 Satz. Sei Ω ein beschranktes Gebiet des Rd mit Lipschitz–stetigemRand ∂Ω und sei s ≥ 0. Fur p ≥ 2d

d+2 , p ∈ (1,∞) und alle f ∈ Lp′(Ω),

p′ = pp−1 , existiert genau eine schwache Losung u des Randwertproblems

(1.23), d.h. (1.24) bzw. (1.28) gelten.

Beweis . Aus den Lemmata 1.27 und 1.30 folgt, dass wir Satz 1.5 anwendenkonnen, der sofort die Behauptung liefert.

Bemerkungen. (i) Die Einschrankung p ≥ 2dd+2 ist nicht notig. Fur s = 0

tritt sie nicht auf (vgl. Bemerkung nach Lemma 1.27) und fur s > 0 arbeitetman mit dem Raum X = W 1,p

0 (Ω)∩L2(Ω). Man kann zeigen, dass sowohl Xals auch der Operator A : X → X∗ die Voraussetzungen von Satz 1.5 erfullen.

(ii) Satz 1.32 kann man auf die Gleichung

−div(A(x,∇u)) = f in Ω ,

u = 0 auf ∂Ω ,

verallgemeinern, falls A : Ω × Rd → Rd folgende Bedingungen erfullt:


(α) A ist eine Caratheodory–Funktion,

(β) |A(x,η)| ≤ C(g(x) + |η|p−1

), g ∈ Lp′(Ω) (Wachstumsbedingung),

(γ)(A(x,η)−A(x, ζ)

)· (η − ζ)) > 0, fur fast alle x (strikte Monotonie),

(δ) A(x,η) · η ≥ c |η|p − h(x), h ∈ L1(Ω) (Koerzivitat).

(iii) Satz 1.32 gilt auch fur beliebige f ∈ (W 1,p0 (Ω))∗. Man kann zeigen,

dass solche f eine Darstellung der Form

f =

d∑i=1

∂ifi + f0 ,

mit fi ∈ Lp′(Ω), i = 0, . . . , d, besitzen (cf. Abschnitt A.12.3).

uberlegen ob mannur mit BedingungM arbeitet. originaleansehen 3.2 Pseudomonotone Operatoren

3.2.1 Der Satz von Brezis

Ziel dieses Abschnittes ist es, eine Theorie zu entwickeln, die es ermoglicht,auch solche quasilinearen elliptischen Gleichungen zu losen, die einen Termvon niederer Ordnung enthalten, der nicht monoton ist. Zum Beispiel kanndie Gleichung

−div(|∇u|p−2∇u) + s u = f in Ω ,

u = 0 auf ∂Ω ,(2.1)

nicht mit Hilfe der Theorie monotoner Operatoren gelost werden, falls s < 0.Eine Inspektion des Beweises von Satz 1.5 zeigt aber, dass die Argumen-te fur allgemeinere Operatoren, namlich pseudomonotone Operatoren, adap-tiert werden konnen. Typische Beispiele fur pseudomonotone Operatoren sindOperatoren der Form

A = A1 +A2,

wobei A1 : X → X∗ ein monotoner, hemistetiger Operator und A2 : X → X∗

ein stark stetiger, also kompakter, Operator ist (cf. Lemma 1.3 (i)), d.h. dieTheorie pseudomonotoner Operatoren vereinigt Monotonie und Kompaktheit.Im Folgenden werden wir zuerst eine allgemeine Theorie entwickeln und diesedann auf Gleichungen vom Typ (2.13) anwenden.

2.2 Definition. Sei X ein reflexiver, reeller Banachraum und A : X → X∗

ein Operator. Wir sagen, A genugt der Bedingung (M), falls aus


Aun b in X∗ (n→∞) ,

lim supn→∞

〈Aun, un〉X ≤ 〈b, u〉X(2.3)

folgt, dass Au = b gilt.

3.2 Pseudomonotone Operatoren 77

Diese Bedingung ist wichtig, weil sie invariant unter stark stetigen Storun-gen ist. Außerdem erfullen monotone Operatoren diese Bedingung. Genauergilt:

2.4 Lemma. Sei X ein reflexiver, reeller Banachraum und A : X → X∗,B : X → X∗ seien Operatoren. Dann gilt:

(i) Ist A monoton und hemistetig, dann genugt A der Bedingung (M).

(ii) Wenn A der Bedingung (M) genugt und B stark stetig ist, dann genugtA+B der Bedingung (M).

Beweis . ad (i): Dies ist nichts anderes als eine Variante des Minty–Tricksaus Lemma 0.2 (ii). Sei (un) eine Folge, die (2.3) erfullt. Da A monoton ist,folgt fur alle v ∈ X, n ∈ N

0 ≤ 〈Aun −Av, un − v〉 = 〈Aun, un〉 − 〈Av, un〉 − 〈Aun −Av, v〉 .

Durch Anwendung von lim supn→∞ auf diese Ungleichung ergibt sich, auf-grund von (2.3), fur alle v ∈ X

0 ≤ 〈b, u〉 − 〈Av, u〉 − 〈b−Av, v〉 = 〈b−Av, u− v〉 .

Da aber A aufgrund von Lemma 0.2 (i) maximal monoton ist, folgt daherAu = b, d.h. A genugt der Bedingung (M).

ad (ii): Gegeben sei eine Folge (un) ⊆ X mit


Aun +Bun b in X∗ (n→∞) ,

lim supn→∞

〈Aun +Bun, un〉 ≤ 〈b, u〉 .

Da B stark stetig ist, folgt Bun → Bu in X∗ (n→∞), und somit

lim supn→∞

〈Aun, un〉 ≤ 〈b−Bu, u〉 ,

Aun b−Bu in X∗ (n→∞) .

Da A der Bedingung (M) genugt, folgt Au = b−Bu, d.h. Au+Bu = b.

Fur Operatoren A : X → X∗, B : X → X∗, die die Bedingung (M)erfullen, erfullt A + B nicht notwendig die Bedingung (M). Deshalb fuhrenwir den stabileren Begriff des pseudomonotonen Operators ein.

2.5 Definition. Sei A : X → X∗ ein Operator auf dem reflexiven, reellenBanachraum X. Dann heißt A pseudomonoton, falls aus


lim supn→∞

〈Aun, un − u〉X ≤ 0

folgt, dass fur alle w ∈ X gilt:

〈Au, u− w〉X ≤ lim infn→∞

〈Aun, un − w〉X .


Das folgende Lemma gibt typische Beispiele fur pseudomonotone Opera-toren an.

2.6 Lemma. Sei X ein reeller, reflexiver Banachraum, und A,B : X → X∗

seien Operatoren. Dann gilt:

(i) Wenn A monoton und hemistetig ist, dann ist A pseudomonoton.

(ii) Wenn A stark stetig ist, dann ist A pseudomonoton.

(iii) Wenn A und B pseudomonoton sind, dann ist A+B pseudomonoton.

(iv) Wenn A pseudomonoton ist, dann genugt A der Bedingung (M).

(v) Wenn A pseudomonoton und lokal beschrankt ist, dann ist A demistetig.

Beweis . ad (i): Gegeben sei eine Folge (un) ⊆ X mit un u (n→∞) und

lim supn→∞

〈Aun, un − u〉 ≤ 0 .

Da A monoton ist, gilt:

〈Aun −Au, un − u〉 ≥ 0 ,

woraus folgt

lim infn→∞

〈Aun, un − u〉 ≥ lim infn→∞

〈Au, un − u〉 = 0 .

Zusammen erhalten wir also

limn→∞

〈Aun, un − u〉 = 0 . (2.7)

Fur beliebige w ∈ X und t > 0 setzen wir zt := (1− t)u+ tw. Die Monotonievon A impliziert

〈Aun −Azt, un − (1− t)u− tw〉 ≥ 0 ,

was aquivalent zu

t〈Aun, un − w〉 ≥ −(1− t)〈Aun, un − u〉+ (1− t)〈Azt, un − u〉+ t〈Azt, un − w〉

ist. Somit erhalten wir fur alle w ∈ X und t > 0:

lim infn→∞

〈Aun, un − w〉 ≥ 〈Azt, u− w〉 ,

wobei wir (2.7) und un u (n→∞), sowie t > 0 benutzt haben. Da wir ztauch schreiben konnen als zt = u+ t(w − u) und der Operator A hemistetigist, erhalten wir Azt Au fur t→ 0+. Also gilt fur alle w ∈ X:

lim infn→∞

〈Aun, un − w〉 ≥ 〈Au, u− w〉 ,

d.h. A ist pseudomonoton.


ad (ii): Sei (un) ⊆ X eine Folge mit un u (n → ∞). Dann giltAun → Au (n → ∞), aufgrund der starken Stetigkeit von A. Mithilfe vonLemma 0.3 (ii) erhalten wir somit fur alle w ∈ X

〈Au, u− w〉 = limn→∞

〈Aun, un − w〉 ,

d.h. A ist pseudomonoton.

ad (iii): Wir wahlen eine Folge (un) ⊆ X mit un u (n→∞) und

lim supn→∞

〈Aun +Bun, un − u〉 ≤ 0 . (2.8)

Daraus folgt

lim supn→∞

〈Aun, un − u〉 ≤ 0 ,

lim supn→∞

〈Bun, un − u〉 ≤ 0 ,(2.9)

was wir durch Widerspruch beweisen. Gelte also

lim supn→∞

〈Aun, un − u〉 = a > 0 .

Insbesondere gibt es eine Teilfolge (unk) mit

limk→∞

〈Aunk , unk − u〉 = a ,

und somit erhalten wir

lim supk→∞

〈Bunk , unk − u〉

= lim supk→∞

〈(A+B)unk −Aunk , unk − u〉

≤ lim supk→∞

〈(A+B)unk , unk − u〉+ lim supk→∞

〈−Aunk , unk − u〉

= lim supk→∞

〈(A+B)unk , unk − u〉 − limk→∞

〈Aunk , unk − u〉

≤ −a .

Da B pseudomonoton ist, gilt fur alle w ∈ X

〈Bu, u− w〉 ≤ lim infk→∞

〈Bunk , unk − w〉 .

Fur w = u erhalten wir daher

0 ≤ lim infk→∞

〈Bunk , unk − u〉 ≤ lim supk→∞

〈Bunk , unk − u〉 ≤ −a < 0 ,

was ein Widerspruch ist.


Also gilt (2.9) und liefert mit der Pseudomonotonie von A und B

〈Au, u− w〉 ≤ lim infn→∞

〈Aun, un − w〉 ,

〈Bu, u− w〉 ≤ lim infn→∞

〈Bun, un − w〉 .

Addieren wir beide Ungleichungen, ergibt sich fur alle w ∈ X

〈Au+Bu, u− w〉 ≤ lim infn→∞

〈Aun +Bun, un − w〉 ,

d.h. A+B ist pseudomonoton.

ad (iv): Gegeben sei eine Folge (un) ⊆ X, die (2.3) erfullt. Dies impliziertinsbesondere

lim supn→∞

〈Aun, un − u〉 ≤ 0 .

Aufgrund der Pseudomonotonie von A erhalten wir somit fur alle w ∈ X

〈Au, u− w〉 ≤ lim infn→∞

〈Aun, un − w〉

≤ 〈b, u〉 − 〈b, w〉 = 〈b, u− w〉 .

Wenn wir w durch 2u− w ersetzen, ergibt sich fur alle w ∈ X:

〈Au, u− w〉 = 〈b, u− w〉 ,

d.h. Au = b.

ad (v): Sei (un) ⊆ X sei eine Folge mit un → u (n → ∞). Da A lokalbeschrankt ist, ist auch die Folge (Aun) beschrankt. Der Raum X ist reflexivund daher gibt es eine Teilfolge (Aunk) mit Aunk b (k →∞), so dass wirlimk→∞

〈Aunk , unk − u〉 = 0 erhalten. Die Pseudomonotonie von A zusammen

mit den obigen Konvergenzen impliziert fur alle w ∈ X:

〈Au, u− w〉 ≤ lim infk→∞

〈Aunk , unk − w〉

= 〈b, u− w〉 .

Damit folgt wie in (iv) Au = b, d.h. Aunk Au (k → ∞). Das Konver-genzprinzip Lemma 0.3 (iv) liefert, da obige Argumentation fur beliebigekonvergente Teilfolgen gilt,

Aun b = Au (n→∞) ,

d.h. A ist demistetig.

2.10 Satz (Brezis 1968). Sei A : X → X∗ ein pseudomonotoner, be-schrankter, koerziver Operator, wobei X ein separabler, reflexiver, reellerBanachraum ist. Dann existiert fur alle b ∈ X∗ eine Losung u ∈ X von

Au = b . (2.11)


Beweis . Aufgrund von Lemma 2.6 (v) ist A demistetig, da A pseudomonotonund beschrankt ist. Nach Lemma 2.6 (iv) genugt A auch der Bedingung (M),da A pseudomonoton ist. Wir gehen nun analog zum Beweis des Satzes vonBrowder–Minty (Satz 1.5) vor. Dazu wahlen wir eine Basis (wi)i∈N von X.Mithilfe des Galerkin–Verfahrens suchen wir approximative Losungen

un =

n∑k=1

cknwk ,

die das Galerkin–System (cf. Beweis von Satz 1.5)

gkn(cn) = gkn(un) := 〈Aun − b, wk〉 = 0 , k = 1, . . . , n , (2.12)

losen. Die Losbarkeit dieses Gleichungssystems folgt wie im Beweis des Satzes1.5, da A demistetig und koerziv ist. Die Demistetigkeit von A impliziertnamlich, dass die Funktionen gkn, k = 1, . . . , n , stetig sind, und die Koerzivitatvon A, dass es ein R0 > 0 gibt, so dass

∑nk=1 g

kn(cn) ckn > 0 fur alle ‖un‖ = R0

gilt (cf. (1.10)). Außerdem erhalten wir aus der Koerzivitat auch eine aprioriAbschatzung (cf. (1.11)), d.h.

‖un‖X ≤ R0 ∀n ∈ N .

Also gibt es eine konvergente Teilfolge (unk) mit unk u (k → ∞). Wirwollen nun zeigen, dass u (2.11) lost. Aus dem Galerkin–System (2.12) folgt,dass

limk→∞

〈Aunk , v〉 = 〈b, v〉 ∀v ∈⋃n∈N

spanw1, . . . , wn .

Die Beschranktheit des Operators A liefert, dass die Folge (Aunk) beschranktist, da die schwach konvergente Folge (unk) beschrankt ist. Aufgrund derReflexivitat von X∗ (cf. Lemma A.7.4 (iii)) besitzt eine Teilfolge von (Aunk),die wir wieder mit (Aunk) bezeichnen, einen schwachen Grenzwert, d.h.

Aunk c in X∗ (k →∞) .

Es gilt aber c = b mit denselben Argumenten wie im Beweisteil 3. von Satz1.5. Aus dem Galerkin–System (2.12) und der schwachen Konvergenz der(unk) erhalten wir

〈Aunk , unk〉 = 〈b, unk〉 → 〈b, u〉 (k →∞) .

Daher erfullt die Folge (unk) die Voraussetzung der Bedingung (M) und esfolgt

Au = b ,

d.h. u ist die gesuchte Losung von (2.11).


3.2.2 Quasilineare elliptische Gleichungen II

Wir betrachten nun das Problem

−div(|∇u|p−2∇u) + g(u) = f in Ω ,

u = 0 auf ∂Ω ,(2.13)

wobei Ω ⊂ Rd ein beschranktes Gebiet mit Lipschitz–stetigem Rand ∂Ωist, f : Ω → R sowie g : R → R gegebene Funktionen sind, und u : Ω →R die gesuchte Funktion ist. Dies ist eine Verallgemeinerung der Probleme(1.23) und (2.1) und kann, wie am Beginn von Abschnitt 3.2.1 erlautertwurde, im Allgemeinen nicht mit der Theorie monotoner Operatoren gelostwerden. Um die Darstellung nicht durch zusatzliche Fallunterscheidungenaufgrund unterschiedlicher Einbettungen (cf. Satz A.12.24 ) unubersichtlicherzu machen, beschranken wir uns im Folgenden auf den Fall p < d. Allerdingsgelten alle Resultate auch fur den Fall p ≥ d.

Wir wollen die Theorie pseudomonotoner Operatoren benutzen. Dazu set-zen wir X = W 1,p

0 (Ω) und definieren folgende Abbildungen:

〈A1u, ϕ〉 :=

∫Ω

|∇u|p−2∇u · ∇ϕdx , (2.14)

〈A2u, ϕ〉 :=

∫Ω

g(u)ϕdx , (2.15)

〈b, ϕ〉 :=

∫Ω

f ϕ dx . (2.16)

Wir gehen analog zum Abschnitt 3.1.3 vor. Dort wurden bereits der OperatorA1 (cf. Lemmata 1.27, 1.30 mit s = 0) und das Funktional b (cf. Lemma 1.27)behandelt. Fur den Operator A2 gilt:

2.17 Lemma. Sei Ω ein beschranktes Gebiet des Rd mit Lipschitz–stetigemRand ∂Ω. An die stetige Funktion g : R → R stellen wir folgende Wachs-tumsbedingung:

|g(t)| ≤ c (1 + |t|r−1) , (2.18)

wobei 1 ≤ r <∞. Fur 1 ≤ p < d und r ≤ dpd−p bildet der in (2.15) definierte

Operator A2 den Raum X = W 1,p0 (Ω) in seinen Dualraum X∗ ab und ist

beschrankt. Fur r < dpd−p ist A2 stark stetig.

Beweis . 1. Aus der Definition von A2 und (2.18) erhalten wir fur q = dpd−p

und u, ϕ ∈ X


|〈A2u, ϕ〉| ≤∫Ω

c(1 + |u|r−1

)|ϕ| dx

≤ c∫Ω

|ϕ| dx+ c(∫Ω

|u|(r−1)q′dx) 1q′(∫Ω

|ϕ|q dx) 1q

≤ c(1 + ‖u‖r−1

L(r−1)q′

)‖ϕ‖X ,

wobei wir die Einbettung X = W 1,p0 (Ω) → Lα(Ω), α ≤ q, (cf. Satz A.12.24)

benutzt haben. Somit erhalten wir

|〈A2u, ϕ〉| ≤ c(1 + ‖u‖r−1X

)‖ϕ‖X , (2.19)

sofern (r− 1)q′ ≤ q, wobei wiederum die obige Einbettung verwendet wurde.Die Forderung (r − 1)q′ ≤ q ist aufgrund der Definition von q aquivalent zur ≤ dp

d−p . Aus der Definition der Operatornorm folgt

‖A2u‖X∗ = supϕ∈X‖ϕ‖≤1

|〈A2u, ϕ〉| ≤ c(1 + ‖u‖r−1X

)und demzufolge A2u ∈ X∗, d.h. A2 : X → X∗. Aus dieser Abschatzung folgtauch, dass A2 beschrankt ist.

2. Sei (un) ⊂ X eine schwach konvergente Folge. Aufgrund der kompaktenEinbettung X →→ Lr(Ω), fur r < dp

d−p (cf. Satz A.12.25), gilt also fur eineTeilfolge

unk → u in Lr(Ω) (k →∞) . (2.20)

Wir setzen(Fv)(x) = g(v(x))

und erhalten mit Hilfe der Wachstumsbedingung (2.18) und der Stetigkeitvon g, dass der Nemyckii–Operator F die Voraussetzungen von Lemma 1.20erfullt. Mit r − 1 = r

r′ ist also F : Lr(Ω)→ Lr′(Ω) stetig, d.h. fur die Folge

in (2.20) gilt:

‖F (unk)− F (u)‖Lr′ → 0 (k →∞) . (2.21)

Daraus erhalten wir

supϕ∈X‖ϕ‖≤1

|〈A2unk −A2u, ϕ〉| ≤ supϕ∈X‖ϕ‖≤1

∫Ω

|g(unk)− g(u)||ϕ| dx

≤ supϕ∈X‖ϕ‖≤1

‖F (unk)− F (u)‖Lr′‖ϕ‖Lr

≤ c ‖F (unk)− F (u)‖Lr′ ,

aufgrund der Einbettung X → Lr(Ω). Mithilfe der Konvergenz in (2.21)folgt also A2unk → A2u in X∗ (k → ∞). Da diese Argumentation fur alle


Teilfolgen, die (2.20) erfullen, gilt, liefert das Konvergenzprinzip Lemma 0.3(iv), dass A2 stark stetig ist, d.h. A2un → A2u in X∗ (n→∞).

Um Satz 2.10 anwenden zu konnen benotigen wir noch folgendes Lemma.

2.22 Lemma. Zusatzlich zu den Voraussetzungen von Lemma 2.17 erfulle gdie Koerzivitatsbedingung

inft∈R

g(t) t > −∞ (2.23)

und es sei p > 1. Dann ist der Operator A1 +A2 : X → X∗ koerziv.

Beweis . Wir haben (cf. Beweis von Lemma 1.30)

〈A1u, u〉 = ‖∇u‖pLp , (2.24)

und aufgrund von (2.23) gilt fur eine Konstante c0 > 0

〈A2u, u〉 =

∫Ω

g(u)u dx > −c0 . (2.25)

Damit erhalten wir

〈A1u+A2u, u〉‖u‖X

≥ 〈A1u, u〉‖∇u‖Lp

− c0‖∇u‖Lp

≥ ‖∇u‖p−1Lp −c0

‖∇u‖Lp→∞

(‖∇u‖Lp →∞

),

falls p > 1. Also ist der Operator A1 +A2 koerziv.

2.26 Satz. Sei Ω ⊂ Rd ein beschranktes Gebiet mit Rand ∂Ω ∈ C0,1. Sei1 < p < d und die stetige Funktion g : R → R erfulle die Voraussetzungen(2.18) und (2.23) mit 1 ≤ r < dp

d−p . Dann existiert fur alle f ∈ Lp′(Ω) eine

verallgemeinerte Losung von (2.13), d.h. es gibt ein u ∈ X = W 1,p0 (Ω), so

dass(A1 +A2)u = b .

Beweis . Wir wollen den Satz von Brezis (Satz 2.10) anwenden. Der RaumX = W 1,p

0 (Ω) ist ein reflexiver, separabler Banachraum. Aus den Lemmata1.27 und 1.30 wissen wir, dass A1 : X → X∗ ein strikt monotoner, stetiger,beschrankter Operator ist. Also ist A1 nach Lemma 2.6 (i) pseudomonoton.Aufgrund von Lemma 2.17 ist A2 ein stark stetiger, beschrankter Operator.Lemma 2.6 (ii) besagt, dass somit A2 pseudomonoton ist. Insgesamt ist al-so A1 + A2 ein beschrankter pseudomonotoner Operator, der aufgrund vonLemma 2.22 auch koerziv ist. Lemma 1.27 liefert b ∈ X∗. Die Behauptungfolgt nun sofort aus Satz 2.10.

Bemerkungen. (i) Der Fall p ≥ d kann analog behandelt werden. In diesemFall fallt die obere Schranke fur r weg, d.h. alle r ∈ [1,∞) sind zulassig. Aller-dings muß man bei den Einbettungssatzen Fallunterscheidungen durchfuhren,die die obigen Rechnungen weiter verkompliziert hatten.


(ii) Die Funktion g(t) = −s t, s > 0, wird von vorherigen Satz nichtabgedeckt, da g nicht die Bedingung (2.23) erfullt. Fur p ≥ 2d

d+2 gilt die

Einbettung W 1,p0 (Ω) → L2(Ω) und somit kann man die Koerzivitat von

A1 +A2 wie folgt nachweisen:

〈A1u+A2u, u〉‖u‖X

= ‖∇u‖p−1Lp − s‖u‖2L2

‖∇u‖Lp≥ ‖∇u‖p−1Lp − s c0‖∇u‖Lp ,

wobei c0 die Einbettungskonstante von W 1,p0 (Ω) → L2(Ω) ist. Die rechte Sei-

te strebt gegen Unendlich falls entweder p > 2 oder p = 2 und s c0 < 1. Somitist A1 +A2 koerziv und man kann wie im Beweis von Satz 2.26 vorgehen.

3.2.3 Die stationaren Navier–Stokes–Gleichungen

Die stationaren Navier–Stokes Gleichungen lauten2

−∆u + [∇u]u +∇p = f in Ω ,

div u = 0 in Ω ,

u = 0 auf ∂Ω ,

(2.27)

wobei Ω ⊂ R3 ein beschranktes Gebiet mit Lipschitz–stetigem Rand ∂Ωist. Diese Gleichungen beschreiben die stationare Stromung einer viskosen,inkompressiblen Flussigkeit. Es ist u = (u1, u2, u3)> : Ω → R3 die Geschwin-digkeit, p : Ω → R der Druck und f : Ω → R3 eine außere Kraft. Der Term[∇u]u wird oft Wirbelterm genannt. Der Druck kann aus der Gleichungen(2.27) nur bis auf eine Konstante bestimmt werden. Deshalb ist es moglicheine weitere Bedingung an p zu stellen, wobei wir uns der Einfachheit halberfur

∫Ωp dx = 0 entscheiden. Wir setzen

X := ϕ ∈(W 1,2

0 (Ω))3 ∣∣ divϕ = 0 . (2.28)

Dies ist offensichtlich ein linearer Teilraum von(W 1,2

0 (Ω))3

, den wir mit derNorm

‖u‖X := ‖∇u‖(L2(Ω))3×3 (2.29)

versehen. Wir definieren fur alle u,ϕ ∈ X und p ∈ L2(Ω) mit∫Ωp dx = 0

2 Wir benutzen die Notation [∇u]u :=( 3∑j=1

uj (∂jui))i=1,2,3


〈A1u,ϕ〉 :=

∫Ω

∇u · ∇ϕ dx ,

〈A2u,ϕ〉 :=

∫Ω

[∇u]u ·ϕ dx ,

〈P,ϕ〉 := 〈∇p,ϕ〉 := −∫Ω

p divϕ dx = 0 ,

〈b,ϕ〉 :=

∫Ω

f ·ϕ dx .

(2.30)

Offensichtlich ist die Operatorgleichung A1u+A2u = b aquivalent zur schwa-chen Formulierung von Problem (2.27), d.h. fur alle ϕ ∈ X gilt∫

Ω

∇u · ∇ϕ dx+

∫Ω

[∇u]u ·ϕ dx =

∫Ω

f ·ϕ dx . (2.31)

Wir uberprufen nun, dass die Operatoren A1, A2, und b wohldefiniert sind,und dass der Operator A1 +A2 die Voraussetzungen von Satz 2.10 erfullt.

2.32 Lemma. Unter den obigen Voraussetzungen an Ω ist der in (2.28)definierte Raum X, versehen mit der Norm (2.29), ein reflexiver, separablerBanachraum.

Beweis . Zuerst zeigen wir, dass der Raum X, definiert in (2.28), ein ab-

geschlossener Teilraum von(W 1,2

0 (Ω))3

ist. Sei (un) ⊆ X eine Folge mit

un → u in(W 1,2

0 (Ω))3

(n→∞). Daraus folgt insbesondere, dass∇un → ∇u

in(L2(Ω)

)3×3(n → ∞). Daher gibt es eine Teilfolge mit ∇unk → ∇u fast

uberall (k →∞). Wir erhalten also fur fast alle x ∈ Ω

div u(x) = tr∇u(x) = limk→∞

tr∇unk(x) = 0 ,

d.h. u ∈ X. Da ein abgeschlossener Teilraum eines Banachraumes wiederein Banachraum ist, haben wir also bewiesen, dass X ein Banachraum ist.Außerdem ist ein abgeschlossener Teilraum eines reflexiven Banachraumes

wieder reflexiv (cf. Lemma A.7.4 (i)). Da(W 1,2

0 (Ω))3

separabel ist, ist auch

der Teilraum X ⊂(W 1,2

0 (Ω))3

separabel (cf. Satz A.7.4 (vi)).

2.33 Lemma. Unter den obigen Voraussetzungen an Ω und mit X, definiertin (2.28), ist der Operator A1 : X → X∗ linear, stetig, koerziv, strikt monotonund beschrankt.

Beweis . Offensichtlich ist A1 linear. Der Operator A1 : X → X∗ ist einevektorwertige Variante des Operators A : W 1,2

0 (Ω)→ (W 1,20 (Ω))∗ in Lemma

1.27 mit p = 2 und s = 0. Da X ein abgeschlossener Teilraum von(W 1,2

0 (Ω))3

ist folgt sofort


A1 : X ⊆(W 1,2,

0 (Ω))3 → ((

W 1,20 (Ω)

)3)∗ ⊆ X∗ ,da die Restriktion eines Funktionals, das auf

(W 1,2,

0 (Ω))3

definiert ist, auf denTeilraum X naturlich ein Funktional auf X ist. Die fehlenden Behauptungenfolgen somit sofort aus Lemma 1.27 und Lemma 1.30.

2.34 Lemma. Der Operator A2 definiert in (2.30) ist ein stark stetiger,beschrankter Operator von X nach X∗.

Beweis . 1. Fur alle u,ϕ ∈ X gilt:

|〈A2u,ϕ〉| ≤∫Ω

|u||∇u||ϕ| dx

≤(∫Ω

|u|4 dx) 1

4(∫Ω

|ϕ|4 dx) 1

4(∫Ω

|∇u|2 dx) 1

2

≤ c ‖∇u‖2L2‖ϕ‖X ,

denn X →(L4(Ω)

)3(cf. Satz A.12.24). Aus der Abschatzung folgt sowohl

A2u ∈ X∗ und damit A2 : X → X∗, als auch die Beschranktheit von A2.2. A2 ist stark stetig: Sei (un) ⊆ X eine Folge mit un u (n→∞). Aus

der kompakten Einbettung X →→(L4(Ω)

)3, erhalten wir fur eine Teilfolge

unk → u in(L4(Ω)

)3(k → ∞). Da die weitere Argumentation wieder fur

alle konvergenten Teilfolgen gilt, bezeichnen wir obige Teilfolge wiederum mit(un). Wir werden zeigen, dass gilt:

‖A2un −A2u‖X∗ = supϕ∈X‖ϕ‖≤1

|〈A2un −A2u,ϕ〉| → 0 (n→∞).

Nehmen wir an, dies gelte nicht. Also existiert ein ε0 > 0 und Elementeϕn ∈ X, ‖ϕn‖ ≤ 1, so dass fur alle n ∈ N gilt:

|〈A2un −A2u,ϕn〉| ≥ ε0 .

Da die Folge (ϕn) beschrankt ist, gibt es eine Teilfolge (ϕnk) mit ϕnk ϕin X (k → ∞), und ϕnk → ϕ in L4(Ω) (k → ∞). Fur diese Teilfolge, imFolgenden mit (ϕn) bezeichnet, gilt:

|〈A2un −A2u,ϕn〉| =∣∣∣ ∫Ω

[∇un]un ·ϕn − [∇u]u ·ϕn dx∣∣∣

=∣∣∣ ∫Ω

[∇un](un − u) ·ϕn + [∇(un − u)]u · (ϕn −ϕ)

+ [∇(un − u)]u ·ϕ dx∣∣∣


Somit erhalten wir

|〈A2un −A2u,ϕn〉| ≤ ‖un − u‖L4‖∇un‖L2‖ϕn‖L4

+ ‖u‖L4‖∇(un − u)‖L2‖ϕn −ϕ‖L4

+∣∣∣ ∫Ω

[∇(un − u)]u ·ϕ dx∣∣∣

≤ C ‖un − u‖L4 + C ‖ϕn −ϕ‖L4

+∣∣∣ ∫Ω

[∇(un − u)]u ·ϕ dx∣∣∣→ 0 (n→∞) ,

da die Folge ‖∇un‖L2 beschrankt ist (cf. Lemma 0.3 (i)), un → u in(L4(Ω)

)3(n → ∞), ∇un ∇u in

(L2(Ω)

)3×3(n → ∞) und ϕn → ϕ

in(L4(Ω)

)3×3(n→∞). Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme. Damit

folgt A2un → A2u (n→∞), d.h. A2 ist stark stetig auf X.

2.35 Satz. Sei Ω ⊂ R3 ein beschranktes Gebiet mit Lipschitz–stetigem Rand∂Ω. Dann gibt es zu jedem f ∈ (L2(Ω))3 ein u ∈ X, wobei X in (2.28)definiert ist, so dass u die Navier–Stokes–Gleichungen (2.27) im schwachenSinne lost, d.h. (2.31) gilt.

Beweis . Der RaumX ist aufgrund von Lemma 2.32 ein separabler und refle-xiver Banachraum. Aufgrund der Lemmata 2.33, 2.34 und 2.6 ist der OperatorA1 +A2 : X → X∗ beschrankt und pseudomonoton. Es bleibt zu zeigen, dassA1 +A2 auch koerziv ist. Fur alle u ∈ X haben wir:

〈A2u,u〉 =

∫Ω

3∑i,j=1

uj∂ui

∂xjui dx =

∫Ω

3∑j=1

uj∂

∂xj

(|u|2

2

)dx

= −∫Ω

div u|u|2

2dx = 0 ,

da fur u ∈ X gilt div u = 0. Da A1 koerziv ist (cf. Lemma 2.33), ist alsoinsgesamt A1+A2 koerziv auf X 3. Mit denselben Argumenten wie in Lemma

1.27 erhalt man b ∈((W 1,2

0 (Ω))3)∗ ⊆ X∗, sofern f ∈ (L2(Ω))3. Satz 2.10

liefert die Behauptung des Satzes.

Bisher haben wir die Existenz einer Geschwindigkeit u gezeigt, die (2.31)erfullt. Um auch einen Druck p zu finden, so dass fur alle ϕ ∈ (W 1,2

0 (Ω))3

gilt:

3 Die Koerzivitat ist die einzige Eigenschaft, die nur auf X und nicht auf(W 1,2

0 (Ω))3

gilt. Zum Beweis der anderen Eigenschaften benotigen wir die Be-dingung divu = 0 nicht.

3.2 Pseudomonotone Operatoren 89∫Ω

∇u · ∇ϕ dx+

∫Ω

[∇u]u ·ϕ dx+

∫Ω

p divϕ dx =

∫Ω

f ·ϕ dx , (2.36)

muss man den Satz von De Rham auf F ∈((W 1,2

0 (Ω))3)∗

definiert durch

〈F,ϕ〉 :=

∫Ω

∇u · ∇ϕ dx+

∫Ω

[∇u]u ·ϕ dx−∫Ω

f ·ϕ dx

anwenden.

2.37 Satz (De Rham 1960). Sei F ∈((W 1,2

0 (Ω))3)∗

ein Funktional. Fallsfur alle ϕ ∈ X gilt:

〈F,ϕ〉 = 0 ,

dann existiert eine Funktion p ∈ L2(Ω) mit∫Ωp dx = 0, so dass fur alle

ϕ ∈ (W 1,20 (Ω))3 gilt:

〈F,ϕ〉 =

∫Ω

p divϕ dx .

Beweis . cf. [14].

3.2.4 Evolutionsprobleme

Bevor wir uns mit den instationaren Versionen der Gleichungen (2.1) und(2.13) beschaftigen, wollen wir auf einige Besonderheiten bei der Behandlungzeitabhangiger Probleme eingehen.

Die erste Besonderheit besteht darin, dass bei der Untersuchung vonparabolischen Differentialgleichungen und Evolutionsgleichungen die Ort–und Zeitvariablen unterschiedlich behandelt werden. Was bedeutet das? InGleichungen dieser Art ist die Unbekannte eine Funktion u ∈ X, wobeiX ein Funktionenraum ist, dessen Elemente auf dem Raum–ZeitzylinderI×Ω definiert sind, wobei Ω ein beschranktes Gebiet im Rd ist und I = (0, T )ein gegebenes Zeitintervall. Nun kann man jedem u : I × Ω → R durch dieVorschrift

[u(t)](x) := u(t, x)

eine Abbildung u : I → Y zuordnen, wobei Y ein Funktionenraum ist, dessenElemente nur auf Ω definiert sind. Somit konnen wir also fur alle t ∈ I dieFunktion u(t) : Ω → R : x 7→ u(t, x) als ein Element dieses Funktionenraumesinterpretieren. Damit haben wir zwei Sichtweisen fur u: Einerseits kann manu als Funktion in Ort und Zeit betrachten, andererseits als Funktion in derZeit mit Werten in einem Funktionenraum. Im Weiteren werden wir die zweiteSichtweise benutzen.


Eine weitere Besonderheit bei der Behandlung parabolischer Differen-tialgleichungen besteht darin, dass in naturlicher Weise mehrere Funktio-nenraume auftreten. Wir wollen dies am Beispiel der Warmeleitungsgleichung

∂tu−∆u = f in I ×Ω ,

u = 0 auf I × ∂Ω ,

u(0) = u0 in Ω ,

(2.38)

illustrieren. Sei u eine glatte Losung von (2.38), die dann naturlich auch dieschwache Formulierung von (2.38) erfullt, d.h. fur alle ϕ ∈ L2(I;W 1,2

0 (Ω))gilt: ∫

I

∫Ω

∂tuϕdx dt+

∫I

∫Ω

∇u · ∇ϕdx dt =

∫I

∫Ω

fϕ dx dt . (2.39)

Wenn wir nun ϕ = u wahlen, erhalten wir, mithilfe partieller Integration undder Young–Ungleichung, die apriori Abschatzung (cf. die Rechnung, die zu(1.2.62) fuhrt und (2.54))

‖u‖2L∞(I;L2(Ω)) + ‖u‖2L2(I;W 1,2

0 (Ω))≤ c

(‖u0‖2L2(Ω) + ‖f‖2L2(I;L2(Ω))

). (2.40)

Mithilfe dieser Abschatzung erhalt man, wenn man (2.39) als Gleichung furdie Zeitableitung ∂tu auffasst, die Abschatzung∥∥∂tu∥∥2L2(I;(W 1,2

0 (Ω))∗)≤ c

(‖u0‖2L2(Ω), ‖f‖

2L2(I;L2(Ω))

). (2.41)

Also benotigt man zur Behandlung der Warmeleitungsgleichung in naturli-cher Weise die Raume L2(Ω), W 1,2

0 (Ω) und W−1,2(Ω) := (W 1,20 (Ω))∗.

Wir wollen nun einen Spezialfall der Theorie verallgemeinerter Zeitab-leitungen entwickeln. Eine ausfuhrliche Darstellung kann man z.B. in [10,Kapitel 4] oder [22] finden.

Sei V ein Banachraum, der stetig in den Hilbertraum H einbettet, d.h.V ⊆ H und fur alle x ∈ V gilt: ‖x‖H ≤ c ‖x‖V (cf. Abschnitt A.12.1).

Außerdem sei V dicht in H, d.h. V‖.‖H

= H. Da die Einschrankung jedesstetigen, linearen Funktionals f ∈ H∗ auf V ein stetiges, lineares Funktionalauf V definiert, d.h. H∗ ⊆ V ∗, und fur alle x ∈ V und f ∈ H∗ gilt:

〈f, x〉V = 〈f, x〉H ≤ ‖f‖H∗ ‖x‖H≤ c ‖f‖H∗ ‖x‖V ,

erhalten wir, dass H∗ stetig in V ∗ einbettet, d.h. H∗ ⊆ V ∗ und fur allef ∈ H∗ gilt ‖f‖V ∗ ≤ c ‖f‖H∗ . Aufgrund des Rieszschen Darstellungsatzes(cf. Satz A.10.3) konnen wir H mit H∗ identifizieren und erhalten insgesamt


V → H ∼= H∗ → V ∗ .

Ein solches Tripel (V,H, V ∗) heißt Gelfand–Tripel. Ein typisches Bei-spiel fur ein Gelfand–Tripel ist (W 1,2

0 (Ω), L2(Ω),W−1,2(Ω)), also genau dieRaume, die in naturlicher Weise bei der Behandlung der Warmeleitungsglei-chung auftreten.

Sei (V,H, V ∗) ein Gelfand–Tripel. Dann wird fur alle h ∈ H durch

〈h, v〉V := (h, v)H , v ∈ V ,

ein stetiges, lineares Funktional h ∈ V ∗ definiert. Die Zuordnung h 7→ h,aufgefasst als Abbildung von H nach V ∗, ist linear, stetig und injektiv. Daherkann man h mit h identifizieren. In diesem Sinne haben wir also H → V ∗

und fur alle h ∈ H und alle v ∈ V gilt:

〈h, v〉V = (h, v)H .

Dies, zusammen mit der Symmetrie des Skalarproduktes in H, liefert fur allev, w ∈ V

〈v, w〉V = (v, w)H = (w, v)H = 〈w, v〉V . (2.42)

2.43 Definition. Sei u ∈ Lp(I;V ) , 1 < p < ∞ und (V,H, V ∗) sei einGelfand–Tripel. Dann definieren wir die verallgemeinerte Zeitableitungdudt als ein Element des Raumes Lp

′(I;V ∗), 1

p′ + 1p = 1, fur das gilt:

T∫0

⟨dudt

(t), v⟩Vϕ(t) dt = −

T∫0

(u(t), v)H ϕ′(t) dt ∀v ∈ V , ∀ϕ ∈ C∞0 (I;R) .

Bemerkung. Im Allgemeinen ist die verallgemeinerte Zeitableitung dudt nicht

mit der schwachen Zeitableitung ∂tu identisch. Die schwache Ableitung ∂tuauf I ×Ω ist namlich definiert durch:

T∫0

∫Ω

∂tuϕdx dt = −T∫

0

∫Ω

u ∂tϕdx dt ∀ϕ ∈ C∞0 (I ×Ω) .

Beide Ableitungen stimmen jedoch uberein, falls C∞0 (Ω) dicht in V liegt.


Im Folgenden bezeichnen wir fur I = (0, T )

W :=u ∈ Lp(I;V )

∣∣ dudt∈ Lp

′(I;V ∗)

,

‖u‖W := ‖u‖Lp(I;V ) +

∥∥∥∥dudt∥∥∥∥Lp′ (I;V ∗)

,

(2.44)

wobei 1p + 1

p′ = 1. Der Raum (W, ‖ · ‖W ) ist ein Banachraum.

2.45 Lemma. Sei V ein reflexiver, separabler Banachraum und sei (V,H, V ∗)ein Gelfand–Tripel und sei W wie in (2.44) definiert. Dann gilt die stetigeEinbettung

W → C(I;H) ,

und fur alle u, v ∈W und alle s, t ∈ I gilt:

t∫s

⟨dudt

(τ) , v(τ)⟩V

+⟨dvdt

(τ) , u(τ)⟩Vdτ

=(u(t), v(t)

)H−(u(s), v(s)

)H.

(2.46)

Beweis . Der Beweis ist technisch und benutzt viele Approximationsargu-mente. Er findet sich z.B. in [10, Satz IV.1.17] oder in [22, Satz 23.23].

Bemerkungen. (i) Formel (2.46) ist das Analogon zu folgender partiellenIntegrationsformel fur reellwertige Funktionen u, v : I → R:

t∫s

u′(t) v(t) + u(t) v′(t) dt = u(t) v(t)− u(s) v(s) .

(ii) Im Spezialfall u = v ∈W erhalten wir

t∫s

⟨dudt

(τ) , u(τ)⟩Vdτ =

1

2‖u(t)‖2H −

1

2‖u(s)‖2H . (2.47)

Wir betrachten nun das Anfangswertproblem

du

dt+Au = b ,

u(0) = u0 ,(2.48)

und wollen eine instationare Variante des Satzes 2.10 beweisen. Wir be-schranken uns im Folgenden auf den Fall, dass A : V → V ∗ ein gegebenerOperator auf einem reflexiven, separablen Banachraum V ist. Fur Elementeu ∈ Lp(I;V ), 1 < p <∞ , I = (0, T ) mit T <∞, kann man durch


(Au)(t) := A(u(t)

), t ∈ I , (2.49)

einen Operator A auf Lp(I;V ) definieren. Unter gewissen Bedingungen an A

(cf. Lemma 2.61) kann man zeigen, dass fur den induzierten Operator A gilt:

A : Lp(I;V )→ Lp′(I;V ∗) .

Im Folgenden werden wir in der Regel nicht zwischen dem OperatorA :V → V ∗

und dem induzierten Operator A : Lp(I;V )→ Lp′(I;V ∗) unterscheiden.

2.50 Satz. Sei V ein separabler, reflexiver Banachraum und (V,H, V ∗) einGelfand–Tripel. Wir setzen X := Lp(I;V ), 1 < p < ∞, wobei I = (0, T )mit T <∞. Sei A : V → V ∗ ein Operator, so dass der induzierte OperatorA : X → X∗ pseudomonoton und beschrankt ist, sowie der Koerzivitatsbedin-gung

〈Au, u〉X ≥ c0 ‖u‖pX , u ∈ X , c0 > 0 , (2.51)

genugt. Dann existiert fur alle u0 ∈ H und b ∈ X∗ eine Losung u ∈ W desProblems (2.48).

Bemerkung. Aufgrund der Einbettung W → C(I;H) aus Lemma 2.45 istdie Losung u ∈ W eine stetige Funktion mit Werten in H, und somit machtdie Anfangsbedingung u(0) = u0 Sinn.

Beweis (Satz 2.50). Wir beweisen den Satz mit Hilfe des Galerkin Ver-fahrens. Da V separabel ist, uberlegt man sich leicht, dass es eine Fol-ge (wi)i∈N gibt, so dass fur alle n ∈ N die Elemente wii=1...n linearunabhangig sind und

⋃∞k=1 span w1, . . . , wk dicht in V ist. Wir setzen

Vn := span w1, . . . , wn und suchen approximative Losungen un ∈ Vn derForm ueber Norm auf Rn

reden

un(t) =

n∑k=1

ckn(t)wk ,

die fur alle t ∈ I das Galerkin–System⟨dun(t)

dt, wk

⟩+⟨Aun(t), wk

⟩= 〈bn(t), wk〉 , k = 1, . . . , n ,

un(0) = un0 ,(2.52)

losen. Hierbei ist bn ∈ C(I;V ∗) eine Folge, die stark in X∗ = Lp′(I;V ∗)

gegen b ∈ X∗ konvergiert (cf. Lemma 2.1.24 (ii)) und un0 =∑ni=1 c

0in wi ∈ Vn

eine Folge, die stark in H gegen u0 ∈ H konvergiert.

1. Losbarkeit von (2.52): Da w1, . . . , wn linear unabhangig sind, ist dieMatrix D = (dij) :=

((wi, wj)H

)i,j=1,...,n

invertierbar. Also kann man das


Galerkin–System (2.52) als folgendes System gewohnlicher Differentialglei-chungen fur die Funktionen t 7→ cn(t) = (c1n(t), . . . , cnn(t))> ∈ Rn schreiben:

dcn(t)

dt= fn(t, cn(t)) ,

cn(0) = c0n ,

(2.53)

wobei fnJj(t, c) :=∑nk=1 d

−1jk

(〈bn(t), wk〉V −

⟨A(∑n

l=1 cl wl), wk

⟩V

), j =

1, . . . , n, und c0n = (c01n , . . . , c0nn ). Der Operator A ist aufgrund von Lemma 2.6

demistetig, da A pseudomonoton und beschrankt ist. Dies und bn ∈ C(I;V ∗)impliziert, dass fn : I × Rn → Rn stetig ist. Um die globale Losbarkeit von(2.52) bzw. (2.53) zu zeigen, benotigen wir folgende apriori Abschatzungen

‖un‖2C(I;H)+ ‖un‖pX ≤ c (b, u0) ,

‖Aun‖X∗ ≤ c (b, u0) ,(2.54)

mit einer von n unabhangigen Konstanten c(b, u0). Sei un ∈ C1(I;Vn) ⊂Weine Losung von (2.52). Wenn wir die k–te Gleichung in (2.52) mit ckn(t)multiplizieren, die Gleichungen dann addieren und das Resultat uber (0, t),0 < t ≤ T integrieren, erhalten wir mithilfe von (2.47), (2.51) und der Young–Ungleichung

1

2‖un(t)‖2H +

t∫0

⟨Aun(s), un(s)

⟩Vds

≤ 1

2‖un0‖2H +

t∫0

‖bn(s)‖V ∗‖un(s)‖V ds

≤ 1

2‖un0‖2H + c(c0, p)

T∫0

‖bn(s)‖p′

V ∗ ds+c02

T∫0

‖un(s)‖pV ds .

(2.55)

Da die rechte Seite nicht von t ∈ I abhangt, ist sie auch eine obere Schrankevon

supt∈I

1

2‖un(t)‖2H +

T∫0

⟨Aun(s), un(s)

⟩Vds

≥ supt∈I

1

2‖un(t)‖2H + c0

T∫0

‖un(s)‖pV ds ,

wobei wir (2.51) benutzt haben. Den letzten Term auf der rechten Seite von(2.55) absorbieren wir im letzten Term der vorherigen Ungleichung, benutzen,


dass un0 → u0 in H (n → ∞) und bn → b in X∗ (n → ∞) gilt und erhalten(2.54)1 . Da A : X → X∗ ein beschrankter Operator ist folgt daraus sofort(2.54)2 . Aus (2.54)1 folgt insbesondere die Existenz einer Konstanten K1 =K1(b, u0, n) mit

|cn(t)| ≤ K1 , fur alle t ∈ I .

Wenn wir K := supI×B2K1

(0)|fn| setzen, erhalten wir aus der Bemerkung

nach dem Satz von Peano (cf. Satz 1.2.53), dass das System gewohnlicherDifferentialgleichungen (2.53) auf dem Intervall [0,min(T, 2K1

K )] losbar ist.Da fur festes n die Lange des Existenzintervalls nur von den Daten u0, bund dem Operator A abhangt, kann man fur jedes n die Losung cn(·) inendlich vielen Schritten auf das gesamte Intervall I fortsetzen. Somit ist dasGalerkin–System (2.52) fur alle n ∈ N auf dem Intervall I losbar und dieLosungen un ∈W erfullen die apriori Abschatzungen (2.54).

2. Konvergenz des Galerkin–Verfahrens: Aus der apriori Abschatzung(2.54) folgt, dass es eine Teilfolge von (un) gibt, die wir wieder mit (un)bezeichnen, mit


Aun ξ in X∗ (n→∞) ,

un(T ) u∗ in H (n→∞) .

(2.56)

Fur alle w ∈⋃∞k=1 Vk gibt es ein n0 mit w ∈ Vn0

. Da un eine Losung von(2.52) ist, erhalten wir fur alle n ≥ n0⟨dun(t)

dt, w⟩

+⟨Aun(t), w

⟩= 〈bn(t), w〉 .

Wir multiplizieren nun diese Gleichung mit ϕ ∈ C1(I), integrieren bezuglichder Zeit uber I und erhalten mithilfe von (2.46) (setze u = un, v(t) = ϕ(t)w)und (2.42)

−T∫

0

(un(t), w)Hϕ′(t) dt+

T∫0

⟨Aun(t), w

⟩Vϕ(t) dt

=

T∫0

〈bn(t), w〉V ϕ(t) dt− (un(T ), w)Hϕ(T ) + (un0 , w)Hϕ(0) .

Unter Beachtung von (un(t), w)H = 〈w, un(t)〉V (vgl. (2.42)), ϕ(·)w ∈ X,ϕ′(·)w ∈ X∗ sowie w ∈ H∗ liefert der Grenzubergang (n→∞) aufgrund von(2.56), sowie bn → b in X∗ (n→∞) und un0 → u0 in H (n→∞)


−T∫

0

(u(t), w)Hϕ′(t) dt+

T∫0

⟨ξ, w

⟩Vϕ(t) dt

=

T∫0

〈b(t), w〉V ϕ(t) dt− (u∗, w)Hϕ(T ) + (u0, w)Hϕ(0) .

(2.57)

Da⋃∞k=1 Vk dicht in V liegt, gilt (2.57) fur alle w ∈ V und alle ϕ ∈ C1(I).

Wenn wir nun ϕ ∈ C∞0 (I) in (2.57) wahlen, erhalten wir aufgrund von Defi-nition 2.43 dass gilt:

du

dt= b− ξ ∈ X∗ , (2.58)

und somit auch u ∈W . Aus (2.58) und (2.46) (setze v(t) = ϕ(t)w) folgt

T∫0

(u(t), w)Hϕ′(t) +

⟨b− ξ, w

⟩Vϕ(t) dt = (u(T ), w)Hϕ(T )− (u(0), w)Hϕ(0) ,

was zusammen mit (2.57)

(u(T ), w)Hϕ(T )− (u(0), w)Hϕ(0) = (u∗, w)Hϕ(T )− (u0, w)Hϕ(0)

liefert. Wenn wir nun ϕ so wahlen, dass ϕ(T ) = 1 und ϕ(0) = 0, bzw.ϕ(T ) = 0 und ϕ(0) = 1 gilt, erhalten wir

u(T ) = u∗ , u(0) = u0 . (2.59)

Wir mussen noch Au = ξ zeigen, wobei wir die Pseudomonotonie von Abenutzen. Wenn wir die k–te Gleichung in (2.52) mit ckn(t) multiplizieren, dieGleichungen dann addieren und das Resultat uber I integrieren, erhalten wirmithilfe von (2.47)

T∫0

⟨Aun, un

⟩dt =

T∫0

〈bn, un〉 dt−1

2‖un(T )‖2H +

1

2‖un0‖2H .

Hieraus folgern wir mithilfe von bn → b in X∗ (n→∞), (2.56), (2.59)1, sowieder Unterhalbstetigkeit der Norm (cf. Lemma A.8.6 (iii)) dass gilt:

lim supn→∞

T∫0

⟨Aun, un

⟩dt ≤

T∫0

〈b, u〉 dt− 1

2‖u(T )‖2H +

1

2‖u(0)‖2H . (2.60)

Andererseits gilt aufgrund von (2.47) und (2.58)


−1

2‖u(T )‖2H +

1

2‖u(0)‖2H = −

T∫0

⟨dudt, u⟩dt =

T∫0

⟨ξ − b, u

⟩dt ,


lim supn→∞

T∫0

⟨Aun, un

⟩dt ≤

T∫0

〈ξ, u〉 dt

ergibt. Da der Operator A pseudomonoton ist, erfullt er aufgrund von Lemma2.6 (iv) auch die Bedingung (M), und somit gilt: Au = ξ . Dies zusammenmit (2.58) und (2.59)2 impliziert, dass u ∈W eine Losung von (2.48) ist. DerBeweis des Satzes ist vollstandig.

Bevor wir Satz 2.50 anwenden, wollen wir eine Bedingung angeben, diesichert, dass der induzierte Operator eines Operators A : V → V ∗ den RaumLp(I;V ) in den Dualraum Lp

′(I;V ∗) abbildet.

2.61 Lemma. Sei V ein separabler Banachraum und sei A : V → V ∗ eindemistetiger Operator, der der Wachstumsbedingung

‖Au‖V ∗ ≤ c(‖u‖p−1V + 1

), (2.62)

mit p > 1, genugt. Dann bildet der induzierte Operator A, definiert in (2.49),den Raum Lp(I;V ) in den Dualraum Lp

′(I;V ∗), 1

p + 1p′ = 1, ab und ist

beschrankt und demistetig.

Beweis . 1. t 7→ Au(t) : I → V ∗ ist Bochner–messbar: Sei u ∈ Lp(I;V ) gege-ben. Dann ist u insbesondere Bochner–messbar und es existiert eine Folge vonTreppenfunktionen un : I → V , so dass fur fast alle t ∈ I gilt un(t) → u(t)

in V (n→∞). Offensichtlich sind dann auch Aun : I → V ∗ Treppenfunktio-nen, die, aufgrund der Demistetigkeit von A : V → V ∗, fast uberall schwachin V ∗ gegen Au konvergieren. Folgerung 2.1.10 liefert nun, dass die Abbil-dung t 7→ Au(t) : I → V ∗ Bochner–messbar ist.

2. A : Lp(I;V ) → Lp′(I;V ∗) ist beschrankt: Sei u ∈ Lp(I;V ) gegeben.

Aus 1. und Lemma 2.1.7 folgt, dass die reellwertige Funktion t 7→ ‖Au(t)‖V ∗Lebesgue–messbar ist. Aufgrund der Wachstumsbedingung (2.62) haben wirfur fast alle t ∈ I

‖Au(t)‖p′

V ∗ ≤ c(‖u(t)‖pV + 1

), (2.63)

was zusammen mit u ∈ Lp(I;V ) liefert, dass die Funktion t 7→ ‖Au(t)‖V ∗Lebesgue–integrierbar ist. Integration von (2.63) uber I liefert

‖Au‖Lp′ (I;V ∗) ≤ c(‖u‖p−1Lp(I;V ) + 1

),

d.h. A : Lp(I;V )→ Lp′(I;V ∗) ist beschrankt.


3. A : Lp(I;V )→ Lp′(I;V ∗) ist demistetig: Sei (un) ⊂ Lp(I;V ) eine Folge

mit ∫I

‖un − u‖pV dt→ 0 , (n→∞) .

Aus Satz A.11.12 folgt, dass es eine Teilfolge (unk) gibt mit unk(t) → u(t)in V (k → ∞) fur fast alle t ∈ I. Da A : V → V ∗ demistetig ist, folgern wir

dass fur fast alle t ∈ I gilt: Aunk(t) Au(t) in V ∗ (k → ∞). Insbesondereerhalten wir also fur alle ϕ ∈ Lp(I;V ) und fast alle t ∈ I:⟨

Aunk(t), ϕ(t)⟩V→⟨Au(t), ϕ(t)

⟩V

(k →∞) .

Mithilfe der Wachstumsbedingung (2.62) und der Young–Ungleichung folgt∣∣〈Aunk(t), ϕ(t)〉V∣∣ ≤ c (‖unk(t)‖pV + ‖ϕ(t)‖pV + 1

).

Die rechte Seite konvergiert sowohl punktweise fast uberall in I als auch inL1(I) gegen c

(‖u(·)‖pV + ‖ϕ(·)‖pV + 1

). Satz A.11.11 lierfert also

Aunk Au in Lp′(I;V ∗) (k →∞) .

Da die gesamte Argumentation fur alle konvergenten Teilfolgen gilt, liefertdas Konvergenzprinzip Lemma 0.3 (iv) dass der Operator A demistetig ist.

3.2.5 Quasilineare parabolische Gleichungen

Als Anwendung des Satzes 2.50 betrachten wir folgende quasilineare parabo-lische Gleichung:

∂tu− div(|∇u|p−2∇u

)+ s u = f in I ×Ω ,

u = 0 auf I × ∂Ω ,

u(0) = u0 in Ω .

(2.64)

Dabei sei 1 < p < ∞ , Ω ein beschranktes Gebiet im Rd mit ∂Ω ∈ C0,1,s ≥ 0 und I = (0, T ) ein endliches Zeitintervall. Die rechte Seite f undder Anfangswert u0 seien gegeben. Wir setzen V := W 1,p

0 (Ω), H := L2(Ω)und X := Lp(I;W 1,p

0 (Ω)), wobei wir V mit der aquivalenten Norm ‖∇u‖pversehen (cf. (A.12.27)). Fur p ≥ 2d

d+2 ist (V,H, V ∗) ein Gelfand–Tripel. DieGleichung (2.64) in die instationare Version der quasilinearen elliptischenGleichung (1.23). Fur deren Behandlung haben wir den Operator (cf. (1.25))

〈Au, v〉V :=

∫Ω

|∇u|p−2∇u · ∇v + s u v dx , u, v ∈ V , (2.65)

benutzt. In den Lemmata 1.27 und 1.30 haben wir gezeigt, dass der Ope-rator A : V → V ∗ fur p ≥ 2d

d+2 beschrankt, koerziv, stetig und strikt mo-noton ist. Diese Eigenschaften ubertragen sich auf den induzierten OperatorA : Lp(I;V )→ Lp

′(I;V ∗).


2.66 Lemma. Sei p ≥ 2dd+2 , s ≥ 0 und sei A : V → V ∗ in (2.65) defi-

niert. Dann bildet der induzierte Operator den Raum X = Lp(I;V ) in sei-nen Dualraum X∗ = Lp

′(I;V ∗), 1

p + 1p′ = 1, ab. Weiterhin ist der Operator

A : X → X∗ beschrankt, stetig, strikt monoton und genugt der Koerzivitats-bedingung

〈Au, u〉X ≥ c0 ‖u‖pX , u ∈ X , c0 > 0 . (2.67)

Beweis . Im Beweis von Lemma 1.27 (cf. (1.29)) haben wir gezeigt, dass derOperator A : V → V ∗ die Wachstumsbedingung (2.62) erfullt und in Lemma1.30 haben wir bewiesen, dass A : V → V ∗ stetig ist. Somit impliziert Lemma2.61 dass der induzierte Operator A : X → X∗ beschrankt ist. Genau wie imBeispiel im Abschnitt 2.1.1 zeigt man, dass u ∈ X genau dann gilt, wennu,∇u ∈ Lp(I × Ω). Somit kann man die fehlenden Behauptungen volliganalog zum Beweis von Lemma 1.30 zeigen, allerdings muss man anstatt mitΩ mit I ×Ω arbeiten.

2.68 Satz. Sei Ω ⊂ Rd ein beschranktes Gebiet mit Rand ∂Ω ∈ C0,1 und seiI = (0, T ) ein endliches Zeitintervall. Sei ferner p ≥ 2d

d+2 und s ≥ 0. Dann

gibt es fur alle u0 ∈ H und alle f ∈ Lp′(I × Ω), 1p + 1

p′ = 1, eine Losung

u ∈W des Problems (2.64), wobei W in (2.44) definiert ist.

Beweis . Offensichtlich ist (V,H, V ∗) fur p ≥ 2dd+2 ein Gelfand–Tripel und

V ein separabler, reflexiver Banachraum. Sei A : V → V ∗ der in (2.65) de-finierte Operator. Aufgrund von Lemma 2.66 ist der induzierte OperatorA : X → X∗ beschrankt, stetig, strikt monoton und genugt der Koerzivitats-bedingung (2.67). Lemma 2.6 (i) impliziert somit, dass A : X → X∗ auchpseudomonoton ist. Analog zum Schritt 2 im Beweis von Lemma 1.27 zeigtman, dass durch

〈b, v〉X :=

∫I

∫Ω

f v dx dt

ein Funktional b ∈ X∗ definiert wird. Satz 2.50 liefert somit die Existenzeiner Losung u ∈W des Problems (2.64).

s > 0 Modifikationvon wachstum, koer-zivitaet als Bemer-kung

Bei der Behandlung des Problems (2.64), das die instationare Version vonGleichung 1.23 ist, haben wir nicht das ganze Potential des Satzes 2.50 aus-genutzt, da der zugehorige Operator A : X → X∗ nicht nur pseudomonotonist, sondern sogar strikt monoton. Aus Abschnitt 3.2.2 wissen wir, dass diezur Gleichung (2.13) gehorigen Operatoren im Allgemeinen nur pseudomo-noton sind. Deshalb wollen wir nun die instationare Version dieser Gleichungbetrachten:

∂tu− div(|∇u|p−2∇u

)+ g(u) = f in I ×Ω ,

u = 0 auf I × ∂Ω ,

u(0) = u0 in Ω ,

(2.69)


wobei f eine gegebene rechte Seite ist, u0 ein gegebener Anfangswert unddie Funktion g die Bedingungen (2.18) und (2.23) erfullt. Sei I = (0, T ) einendliches Zeitintervall und sei Ω ein beschranktes Gebiet des Rd. Wir setzenwiederum V := W 1,p

0 (Ω), H := L2(Ω) und X := Lp(I;W 1,p0 (Ω)), wobei wir

V mit der aquivalenten Norm ‖∇u‖p versehen (cf. (A.12.27)). Genau wiebeim Problem (2.13) beschranken wir uns auf den Fall p < d, um die Darstel-lung einfacher zu halten. In Analogie zur quasilinearen elliptischen Gleichung(2.13) definieren wir fur alle u, v ∈ X:

〈A1u, v〉X :=

∫I

∫Ω

|∇u|p−2∇u · ∇v dx dt ,

〈A2u, v〉X :=

∫I

∫Ω

g(u) v dx dt .

(2.70)

Aus den obigen Betrachtungen wissen wir, dass der Operator A1 der indu-zierte Operator zum Operator A aus (2.65) (s = 0) ist. In Lemma 2.66 habenwir gezeigt, dass sich alle Eigenschaften des Operators A : V → V ∗ aus (2.65)(cf. Lemmata 1.27, 1.30) auf den Operator A1 : X → X∗ ubertragen. Insbe-sondere ist der Operator A1 : X → X∗ beschrankt, stetig, strikt monotonund genugt der Koerzivitatsbedingung (2.67). Analog ist der Operator A2

in (2.70)2 der induzierte Operator zum Operator A2 : V → V ∗ aus (2.15).Wir wissen aus Lemma 2.17, dass der Operator A2 : V → V ∗ beschranktund stark stetig ist, falls r < dp

d−p . Die Frage ist nun, ob sich auch diese Ei-genschaften auf den induzierten Operator ubertragen, d.h. ob der OperatorA2 definiert in (2.70)2 den Raum X = Lp(I;W 1,p

0 (Ω)) in seinen Dualraum

X∗ = (Lp(I;W 1,p0 (Ω)))∗ = Lp

′(I; (W 1,p

0 (Ω))∗), mit 1p + 1

p′ = 1 abbildet, unddort beschrankt und stark stetig ist.

Im Beweis von Lemma 2.17 wurde fur den Nachweis der starken Stetigkeitvon A2 die kompakte Einbettung W 1,p

0 (Ω) →→ Lq(Ω), q < dpd−p , benutzt

(cf. Satz A.12.25). Im Allgemeinen gilt allerdings nicht, dass die Einbettung

X = Lp(I;W 1,p0 (Ω)) → Lp(I;Lq(Ω)) ,

mit q < dpd−p , kompakt ist. Dies sieht man sofort, wenn man eine Folge

fn : I → R betrachtet, die schwach in Lp(I) gegen ein f ∈ Lp(I) konvergiert,fur die aber nicht fn → f stark in Lp(I) (n → ∞) gilt. Fur ein beliebiges,aber festes, v ∈W 1,p

0 (Ω) kann dann die Folge

un(t, x) = fn(t)v(x) ∈ Lp(I;W 1,p0 (Ω))

nicht stark in Lp(I;Lq(Ω)) konvergieren. In der Tat gilt

‖un − u‖pLp(I;Lq(Ω)) =

T∫0

(∫Ω

|fn(t)− f(t)|q |v(x)|q dx) pq

dt

= ‖v‖pLq(Ω) ‖fn − f‖pLp(I)


und somit konvergiert un → u in Lp(I;Lq(Ω)) (n → ∞) genau dann, wennfn → f in Lp(I) (n→∞).

Also kann man Satz 2.50 nicht auf die Gleichung (2.69) anwenden, daA2 : X → X∗ nicht stark stetig sein kann und somit A1 + A2 : X → X∗

nicht pseudomonoton ist. Wenn man allerdings noch zusatzliche Informatio-nen uber die verallgemeinerte Zeitableitung einer Funktion u ∈ X hat, kannman zeigen, dass die Einbettung nach Lp(I;Lq(Ω)) fur q < dp

d−p kompakt ist

(cf. Folgerung 2.85). Desweiteren werden wir fur den Raum

W =u ∈ Lp(I;W 1,p

0 (Ω))∣∣ dudt∈ Lp

′(I; (W 1,p

0 (Ω))∗)

(2.71)

eine kompakte Einbettung nach Lq(I×Ω) mit geeignetem q beweisen (cf. Fol-gerung 2.94). Mithilfe dieser Einbettung kann man dann zeigen, dass derOperator A2 eingeschrankt auf den Raum W stark stetig ist und somitA1+A2 : W →W ∗ pseudomonoton ist. Allerdings konnen wir auch aufgrunddieser neuen Informationen Satz 2.50 nicht anwenden, da wir im UnterraumW von X, versehen mit einer anderen Topologie, arbeiten mussten, und dieseSituation in Satz 2.50 nicht behandelt wird. Es wird sich aber zeigen, dasswir die Beweisideen von Satz 2.50 entsprechend adaptieren konnen.

Um die obige Einbettung zu beweisen, betrachten wir zunachst folgendeallgemeine Situation: Seien B,B0, B1 Banachraume, wobei B0 und B1 reflexivsind und folgende Einbettungen gelten:

B0 →→ B → B1 , (2.72)

d.h. insbesondere bettet B0 kompakt in B ein. Wir bezeichnen

W0 :=u ∈ Lp0(I;B0)

∣∣ dudt∈ Lp1(I;B1)

,

mit 1 < p0, p1 <∞, und versehen W0 mit der Norm

‖u‖W0:= ‖u‖Lp0 (I;B0) +

∥∥∥dudt

∥∥∥Lp1 (I;B1)

.

Offensichtlich ist W0 ein reflexiver Banachraum und es gilt:

W0 → Lp0(I;B) . (2.73)

Allerdings kann man folgende starkere Einbettung beweisen:

2.74 Lemma (Aubin 1963, Lions 1969). Unter den Voraussetzungen(2.72) und 1 < p0, p1 <∞ ist die Einbettung (2.73) kompakt, d.h.

W0 →→ Lp0(I;B) .

Bevor wir dies beweisen, benotigen wir noch folgendes Resultat:


2.75 Lemma. Unter den Voraussetzungen (2.72) gibt es fur alle η > 0 eineKonstante d(η), so dass fur alle v ∈ B0 gilt:

‖v‖B ≤ η‖v‖B0+ d(η)‖v‖B1

. (2.76)

Beweis . Falls (2.76) nicht gilt, gibt es ein η > 0 und Folgen (vn) ⊂ B0 und(dn) ⊂ R+, dn →∞ (n→∞) , so dass

‖vn‖B > η‖vn‖B0 + dn‖vn‖B1 .

Wir setzen wn = vn/‖vn‖B0 und erhalten

‖wn‖B > η + dn‖wn‖B1. (2.77)


Aufgrund der Einbettung (2.72) und der Definition von wn gilt:

‖wn‖B ≤ c ‖wn‖B0= c ,

und somit folgt aus (2.77) und dn →∞ (n→∞), dass

‖wn‖B1→ 0 (n→∞) . (2.78)

Allerdings gilt nach Konstruktion: ‖wn‖B0= 1 . Somit folgt aus der kompak-

ten Einbettung B0 →→ B, dass es eine Teilfolge (wnk) gibt, so dass

wnk → w in B (k →∞) .

Aus der Einbettung B → B1 ergibt sich sofort

wnk → w in B1 (k →∞) ,

was zusammen mit (2.78) w = 0 liefert. Insgesamt haben wir also gezeigt,dass gilt:

‖wnk‖B → 0 (k →∞) ,

was ein Widerspruch zu (2.77) ist, da η > 0.

Beweis (Lemma 2.74). Sei (vn) eine beschrankte Folge in W0. Da W0 reflexivist, gibt es eine Teilfolge (vnk), fur die gilt:

vnk v in W0 (k →∞) .

Wenn wir zur Folge uk = vnk − v ubergehen, erhalten wir also

un 0 in W0 (n→∞) ,

‖un‖W0 ≤ c ∀n ∈ N .(2.79)

Aufgrund von Lemma 2.75 gibt es fur alle η > 0 ein d(η) mit

‖un‖Lp0 (I;B) ≤ η‖un‖Lp0 (I;B0) + d(η)‖un‖Lp0 (I;B1) .

Sei nun ε > 0 beliebig. Aus dieser Ungleichung mit η = ε2c und (2.79)2

erhalten wir‖un‖Lp0 (I;B) ≤

ε

2+ d(ε)‖un‖Lp0 (I;B1) .

Um den Satz zu beweisen, reicht es also zu zeigen, dass

un → 0 in Lp0(I;B1) (n→∞) . (2.80)

Fur p := min(p0, p1) folgt aus der Definition von W0 und der EinbettungW 1,p(I) → C(I) (cf. Satz A.12.24, Satz A.12.6) sofort

W0 →W 1,p(I;B1) → C(I;B1) .


Aus dieser Einbettung und (2.79)2 erhalten wir weiter, dass fur alle t ∈ Igilt:

‖un(t)‖B1≤ c . (2.81)

Wir definieren fur 0 < λ < 1 fest, aber beliebig,

wn(t) := un(λt)

und erhalten unter Benutzung von (2.79)2

wn(0) = un(0) ,

‖wn‖Lp0 (I;B0) =1

λ1p0

‖un‖Lp0 (0,λT ;B0) ≤ c λ− 1p0 ,∥∥∥ d

dtwn

∥∥∥Lp1 (I;B1)

=λ

λ1p1

∥∥∥ ddtun

∥∥∥Lp1 (0,λT ;B1)

≤ c λ1−1p1 .

(2.82)

Sei ϕ ∈ C1(I) derart, dass ϕ(T ) = 0 , ϕ(0) = −1. Dann gilt:

wn(0) =

T∫0

d

dt

(wn(t)ϕ(t)

)dt =

T∫0

ϕ(t)dwn(t)

dtdt+

T∫0

dϕ(t)

dtwn(t) dt ,

was zusammen mit (2.82)3 liefert

‖wn(0)‖B1≤ c(ϕ)

∥∥∥dwndt

∥∥∥Lp1 (I;B1)

+

∥∥∥∥T∫

0

dϕ

dtwn dt

∥∥∥∥B1

≤ c λ1−1p1 +

∥∥∥∥T∫

0

dϕ

dtwn dt

∥∥∥∥B1

.

(2.83)

Da p1 > 1 ist, konnen wir λ ∈ (0, 1) derart wahlen, dass

c λ1−1p1 ≤ ε

2(2.84)

gilt. Aufgrund von (2.82)2 haben wir wn ∈ Lp0(I;B0) → L1(I;B0), underhalten somit mithilfe von (2.1.17), dass fur alle g ∈ B∗0 gilt:

⟨g,

T∫0

wndϕ

dtdt

⟩B0

=

T∫0

⟨g, wn

⟩B0

dϕ

dtdt

=

λT∫0

⟨gdϕ

ds

( sλ

), un(s)

⟩B0

ds→ 0 (n→∞) ,


da dϕds g ∈ L

p′0(0, λT ;B∗0) und un 0 in Lp0(0, λT ;B0) (n → ∞), aufgrundvon (2.79). Also haben wir gezeigt, dass

T∫0

wndϕ

dtdt 0 in B0 (n→∞) ,

was aufgrund der kompakten Einbettung B0 →→ B impliziert

T∫0

wndϕ

dtdt→ 0 in B (n→∞) .

Dies zusammen mit (2.83), (2.84) und B → B1 ergibt, da ε beliebig war,

un(0) = wn(0)→ 0 in B1 (n→∞) .

Sei nun s ∈ I beliebig. Ein vollig analoges Vorgehen mit wn ersetzt durch

wn(t) = un(s+ λt) ,

liefert sofort fur alle s ∈ I

un(s)→ 0 in B1 (n→∞) .

Dies zusammen mit (2.81) und dem Satz uber majorisierte Konvergenz (cf.Satz A.11.10), angewendet auf die reelle Funktionenfolge

(‖un(·)‖p0B1

), liefert

(2.80) und der Satz ist bewiesen.

Wenn man Lemma 2.74 auf die Situation von Problem (2.69) anwendeterhalt man folgende

2.85 Folgerung. Sei 1 ≤ p < d, sei Ω ⊂ Rd , d ≥ 2, ein beschranktes Gebietmit Rand ∂Ω ∈ C0,1 und sei B1 ein reflexiver Banachraum mit L2(Ω) → B1.Dann bettet der Raum

W0 :=u ∈ Lp(I;W 1,p

0 (Ω))∣∣ dudt∈ Lp1(I;B1)

,

mit 1 < p1 <∞, kompakt nach Lp(I;Lq(Ω)) ein, falls

1 ≤ q < pd

d− p,

d.h.W0 →→ Lp(I;Lq(Ω)) .

Beweis . Aufgrund von Satz A.12.24 ist die Einbettung W 1,p0 (Ω) →→ Lq(Ω)

fur 1 ≤ q < pdd−p kompakt und somit folgt die Behauptung sofort aus Lemma

2.74.

Um eine”optimale“ kompakte Einbettung fur den Raum W , definiert in

(2.71), zu erhalten, benotigen wir ein”parabolisches“ Interpolationsresultat.


2.86 Lemma. Sei 1 ≤ p < d, q > 2 und Ω ⊂ Rd , d ≥ 2, ein beschrank-tes Gebiet mit Rand ∂Ω ∈ C0,1. Fur alle Funktionen u ∈ Lp(I;Lq(Ω)) ∩L∞(I;L2(Ω)) gilt:∫

I

‖u(t)‖αLβ dt ≤(

ess supt∈I

‖u(t)‖2L2

)α−p2∫I

‖u(t)‖pLq dt , (2.87)

wobei β ∈ (2, q) und α ∈ (p,∞) der Bedingung

q

β+p

α

(q2− 1)

=q

2(2.88)

genugen.

Beweis . Mithilfe des Interpolationssatzes A.12.12 erhalten wir

‖u‖Lβ ≤ ‖u‖λLq‖u‖1−λL2 , (2.89)

mit 1β = λ

q + 1−λ2 . Die Forderung

αλ = p

liefert nach Integration von (2.89) zur Potenz α uber das Zeitintervall I sofort(2.87) und (2.88).

Bemerkungen. (i) Aufgrund der Einbettung W 1,p0 (Ω) → Lq(Ω), q = pd

d−perhalt man aus Lemma 2.86 im Falle α = β∫

I

‖u(t)‖αLα dt ≤ c(

ess supt∈I

‖u(t)‖2L2

) pd

∫I

‖∇u(t)‖pLp dt , (2.90)

und

α =d+ 2

dp . (2.91)

(ii) In Lemma 2.45 haben wir die Einbettung W → C(I;H) bewiesen,d.h. es gilt:

supt∈I‖u(t)‖H ≤ c ‖u‖W . (2.92)

Demzufolge gilt (2.90) fur alle u aus dem Raum W , der in (2.71) mithilfe desGelfand–Tripels

(W 1,p

0 (Ω), L2(Ω), (W 1,p0 (Ω))∗

)definiert wurde. Insbesonde-

re kann man (2.90) fur alle u ∈W schreiben als

‖u‖Lq(I×Ω) ≤ c ‖u‖W , q = pd+ 2

d. (2.93)


2.94 Folgerung. Sei 2dd+2 < p < d und Ω ⊂ Rd , d ≥ 2, ein beschranktes

Gebiet mit Rand ∂Ω ∈ C0,1 und sei der Raum W in (2.71) mithilfe desGelfand–Tripels

(W 1,p

0 (Ω), L2(Ω), (W 1,p0 (Ω))∗

)definiert. Dann ist die Ein-

bettungW →→ Lq(I ×Ω)

kompakt falls

1 ≤ q < pd+ 2

d.

Beweis . Das Gelfand–Tripel(W 1,p

0 (Ω), L2(Ω), (W 1,p0 (Ω))∗

)erfullt die Vor-

aussetzungen von Folgerung 2.85, die

W →→ Lp(I;Ls(Ω)) , (2.95)

mit 1 ≤ s < dpd−p , liefert. Sei nun O.B.d.A. (un) ⊆ W eine beschrankte,

schwach konvergente Folge. Aufgrund von (2.95) gibt es eine Teilfolge (unk)mit

unk → u in Lp(I;Ls(Ω)) (k →∞) . (2.96)

Aus (2.90), (2.92), (2.96) und der Beschrankheit von (un) in W folgt also∫I

‖unk(t)− u(t)‖qLq dt ≤ c ‖unk − u‖pd

W

∫I

‖unk(t)− u(t)‖pLs dt

≤ c∫I

‖unk(t)− u(t)‖pLs dt → 0 (k →∞) ,

d.h. unk → u in Lq(I ×Ω) (k →∞), falls q < p d+2d .

Nun haben wir alle Hilfsmittel zusammen, um den Operator A2 zu be-trachten (cf. Lemma 2.17).

2.97 Lemma. Sei 2dd+2 < p < d, X = Lp(I;W 1,p

0 (Ω)) und genuge die stetigeFunktion g der Bedingung (2.18), d.h. g besitzt (r − 1)–Wachstum.

(i) Wenn 1 ≤ r ≤ p d+2d gilt, dann bildet der Operator A2, definiert in

(2.70)2, den Raum X ∩ L∞(I;L2(Ω)) nach X∗ ab und ist beschrankt.

(ii) Fur 1 ≤ r < p d+2d ist A2 : W → W ∗ beschrankt und stark stetig, wobei

der Raum W in (2.71) definiert ist.

(iii) Fur 1 ≤ r <∞ ist A2 : Lr(I ×Ω)→ Lr′(I ×Ω) stetig.

Beweis . ad (i): Setze r0 := p d+2d . Aufgrund der Wachstumsbedingung

(2.18) und r ≤ r0 gilt fur alle u ∈ X ∩ L∞(I;L2(Ω)), v ∈ X


|〈A2u, v〉| ≤ c∫I

∫Ω

(1 + |u|)r0−1|v| dx dt

≤ c∫I

(1 + ‖u(t)‖r0−1

L(r0−1)pdd(p−1)+p

)‖∇v(t)‖Lp dt

≤ c(

1 +

∫I

‖u(t)‖(r0−1)p′

L(r0−1)pdd(p−1)+p

dt) 1p′(∫I

‖∇v(t)‖pLp dt) 1p

≤ c(1 + ‖u‖r0−1

L(r0−1)p′ (I;L(r0−1)pdd(p−1)+p (Ω))

)‖v‖X ,

wobei wir die Holder–Ungleichung mit dpd(p−1)+p ,

dpd−p und die Einbettung

W 1,p0 (Ω) → L

dpd−p (Ω) fur v benutzt haben. Man rechnet leicht nach, dass

α = (r0 − 1) p′ und β = (r0−1)pdd(p−1)+p die Bedingung (2.88) fur q = dp

d−p erfullen.

Somit erhalten wir aufgrund von (2.87) und W 1,p0 (Ω) → L

dpd−p (Ω), dass

A2 : X ∩ L∞(I;L2(Ω))→ X∗ beschrankt ist.

ad (ii): In Lemma 2.45 haben wir die Einbettung W → C(I;L2(Ω)) be-wiesen. Somit folgt aus (i) und X∗ →W ∗, dass A2 : W →W ∗ beschrankt ist.Um zu zeigen, dass A2 stark stetig ist, sei (un) ⊆W eine schwach konvergenteFolge. Aufgrund von Folgerung 2.94 gibt es eine Teilfolge mit

unk → u in Lq(I ×Ω) (k →∞) ,

wobei q < p d+2d . Wir setzen (cf. Beweis von Lemma 2.17, Teil 2)

F (u) = g(u)

und erhalten aus Lemma 1.20, dass der Nemyckii–Operator

F : Lq(I ×Ω)→ Lq′(I ×Ω)

stetig ist, d.h.

‖F (unk)− F (u)‖Lq′ (I×Ω) → 0 (k →∞) .

Daraus, aus der Einbettung W → Lq(I×Ω) und aus der Definition der Normin W ∗ erhalten wir sofort

supϕ∈W‖ϕ‖≤1

|〈A2unk −A2u, ϕ〉| ≤ supϕ∈W‖ϕ‖≤1

∫I

∫Ω

|g(unk)− g(u)||ϕ| dx dt

≤ supϕ∈W‖ϕ‖≤1

‖F (unk)− F (u)‖Lq′ (I×Ω)‖ϕ‖Lq(I×Ω)

≤ c ‖F (unk)− F (u)‖Lq′ → 0 (k →∞) ,


d.h.A2unk → A2u in W ∗ (k →∞) .

Das Konvergenzprinzip Lemma 0.3 (iv) liefert, dass A2 : W → W ∗ starkstetig ist.

ad (iii): Sei (un) eine Folge mit un → u in Lr(I×Ω) (n→∞). Genau wiein (ii) folgt, dass der Nemyckii–Operator F : Lr(I ×Ω)→ Lr

′(I ×Ω) stetig

ist. Wiederum genau wie in (ii) folgt nun, dass A2un → A2u in Lr′(I×Ω).

Nun haben wir alle Hilfsmittel zusammen, um Problem (2.69) zu behan-deln.

2.98 Satz. Sei Ω ⊂ Rd ein beschranktes Gebiet mit Rand ∂Ω ∈ C0,1, seiI = [0, T ] ein endliches Zeitintervall und sei der Raum W in (2.71) mit-hilfe des Gelfand–Tripels

(W 1,p

0 (Ω), L2(Ω), (W 1,p0 (Ω))∗

)definiert. Sei fer-

ner 2dd+2 < p < d und die stetige Funktion g : R → R erfulle die Be-

dingungen (2.18) und (2.23) mit 1 ≤ r < r0 := p d+2d . Dann gibt es fur alle

f ∈ Lp′(I × Ω), 1p + 1

p′ = 1, eine Losung u ∈ W des Problems (2.69), d.h.

fur alle ϕ ∈ C∞0 (I ×Ω) gilt:∫I

⟨du(t)

dt, ϕ(t)

⟩W 1,p

0

dt+

∫I

∫Ω

|∇u(t)|p−2∇u(t) · ∇ϕ(t) dx dt

+

∫I

∫Ω

g(u(t))ϕ(t) dx dt =

∫I

∫Ω

f(t)ϕ(t) dx dt .

Beweis . Der Beweis des Satzes folgt im Wesentlichen dem Beweis von Satz2.50, wobei wir allerdings einige Argumente modifizieren mussen um denOperator A2 zu behandeln. Wir wollen wiederum das Galerkin Verfahrenbenutzen. Allerdings benotigen wir eine spezielle Basis des Raumes W 1,p

0 (Ω).

1. Spezielle Basis: Wir wahlen s ∈ N so, dass W s,20 (Ω) → W 1,d

0 (Ω) gilt,d.h. s ≥ d

2 (cf. Satz A.12.24 (i)), und betrachten den Operator B : W s,20 (Ω)→

(W s,20 (Ω))∗ definiert durch

〈Bu,ϕ〉W s,20 (Ω) :=

∑|α|≤s

∫Ω

∂αu ∂αϕdx , ∀u, ϕ ∈W s,20 (Ω) .

Man beachte, dass die rechte Seite in dieser Definition auch das Skalarpro-dukt von u und ϕ in W s,2(Ω) ist, welches wir mit (u, ϕ)W s,2 bezeichnen.Die Eigenvektoren des Operators B werden die gesuchte Basis bilden. Dieseerhalten wir mithilfe des Satzes A.10.4. Aus dem Lemma von Lax–Milgram(cf. Lemma A.10.5) folgt, wie im Falle des Dirichlet Problems fur die LaplaceGleichung (cf. Beweis von Satz 1.2.56), dass fur alle f ∈ L2(Ω) genau eineschwache Losung u ∈W s,2

0 (Ω) des Problems Bu = f existiert, d.h.

110 3 Die Theorie monotoner Operatoren∑|α|≤s

∫Ω

∂αu ∂αϕdx =

∫Ω

f ϕ dx . (2.99)

Demzufolge konnen wir den inversen Operator

B−1 : L2(Ω)→W s,20 (Ω) : f 7→ u (2.100)

definieren. Aufgrund der kompakten Einbettung W s,20 (Ω) →→ L2(Ω) (cf.

Satz A.12.25) ist dieser Operator aufgefasst als B−1 : L2(Ω) → L2(Ω) kom-pakt. Sei g ∈ L2(Ω) und sei v ∈ W s,2

0 (Ω) eine schwache Losung des Pro-blems Bv = g. Wenn man nun ϕ = B−1g in (2.99) wahlt und benutzt dassB−1f = u ist, erhalt man aufgrund der Symmetrie der linken Seite in (2.99)und entsprechender Argumente fur die Gleichung fur Bv = g∫

Ω

f B−1g dx =∑|α|≤s

∫Ω

∂αB−1f ∂αB−1g dx

=∑|α|≤s

∫Ω

∂αB−1g ∂αB−1f dx

=

∫Ω

g B−1f dx =

∫Ω

B−1f g dx ,

d.h. der Operator B−1 ist selbstadjungiert. Weiterhin ist der Operator B−1

injektiv, da aus B−1f = 0 folgt, dass∫Ω

f ϕ dx = 0 ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω)

gilt und demzufolge f = 0, d.h. Ker(B−1) = 0 und positiv semidefinit, da(wahle in (2.99) ϕ = B−1f)∫

Ω

f B−1f dx =∑|α|≤s

∫Ω

∂αB−1f ∂αB−1f dx = ‖B−1f‖2W s,2

0 (Ω)≥ 0 .

Satz A.10.4 liefert nun, dass es eine Orthonormalbasis wk∣∣ k ∈ N von L2(Ω)

bestehend aus Eigenvektoren von B−1 gibt, d.h.

B−1wk = λkwk , k ∈ N . (2.101)

Insbesondere gilt fur die Eigenwerte λk ∈(0, ‖B−1‖L(L2(Ω)),L2(Ω))

], dass

λk → 0 (k → ∞) und aufgrund von (2.100) erhalten wir (wk) ⊂ W s,20 (Ω).

Aus (2.101) folgt sofort, dass (wk) auch Eigenvektoren des Operators B sind,d.h.

Bwk = µkwk , k ∈ N , (2.102)


wobei fur die zugehorigen Eigenwerte 0 < µk := λ−1k gilt µk →∞ (k →∞).

Die Eigenvektoren (wk) bilden auch eine Basis von W s,20 (Ω). In der Tat,

falls X := span(wk∣∣ k ∈ N)

W s,20 (Ω)

6= W s,20 (Ω) ist, dann existiert ein Element

ψ ∈W s,20 (Ω) \X mit ‖ψ‖W s,2

0 (Ω) = 1 und

0 = 〈wk, ψ〉W s,20 (Ω) =

∑|α|≤s

∫Ω

∂αwk ∂αψ dx = µk

∫Ω

wk ψ dx , ∀k ∈ N .

Da (wk) eine Orthonormalbasis von L2(Ω) ist folgt daraus ψ = 0, was ein Wi-derspruch ist. Somit bilden (wk) eine Orthogonalbasis des W s,2

0 (Ω), d.h. furalle k, j ∈ N gilt:

(wk, wj)W s,2 = δkj√µk√µj , (keine Summation uber k, j) . (2.103)

2. Projektion Pn: Wir setzen Hn := span w1, . . . , wn und definieren dieOrthogonalprojektionen Pn : L2(Ω)→ Hn, n ∈ N, durch

Pn(v) :=

n∑k=1

(v, wk)L2wk .

Fur v ∈W s,20 (Ω) erhalten wir aufgrund der Eigenschaften von (wk) (cf. (2.102),

(2.103))

‖Pn(v)‖2W s,2 =

n∑k=1

(v, wk)2L2(wk, wk)W s,2

=

n∑k=1

(v, wk)2W s,2

µ2k

(wk, wk)W s,2

=

n∑k=1

(v,

wk√µk

)2W s,2

( wk√µk,wk√µk

)W s,2

≤ ‖v‖2W s,2 ,

(2.104)

und fur v ∈ L2(Ω) gilt

‖Pn(v)‖2L2 =

n∑k=1

(v, wk)2L2(wk, wk)L2 ≤ ‖v‖2L2 , (2.105)

aufgrund der Orthonormalitat von (wk) in L2(Ω). Somit sind die Projektio-nen Pn sowohl als Operatoren aus L(L2(Ω), L2(Ω)) als auch als Operatorenaus L(W s,2

0 (Ω),W s,20 (Ω)) gleichmaßig durch 1 beschrankt.

3. Galerkin–Approximation und apriori Abschatzungen: Zuerst soll an dieBezeichnungen V = W 1,p

0 (Ω), H = L2(Ω), X = Lp(I;V ) sowie


〈A1u, v〉X =

∫I

∫Ω

|∇u|p−2∇u · ∇v dx dt ,

〈A2u, v〉X =

∫I

∫Ω

g(u) v dx dt ,

〈b, v〉X =

∫I

∫Ω

f v dx dt

erinnert werden. Wir suchen approximative Losungen un des Problems (2.69)in der Form

un(t) =

n∑k=1

cnk (t)wk ,

die fur alle t ∈ I das Galerkin–System⟨dun(t)

dt, wk

⟩V

+⟨A1un(t) +A2un(t), wk

⟩V

= 〈bn(t), wk〉V , k = 1, . . . , n ,

un(0) = un0 (2.106)

losen. Hierbei ist bn ∈ C(I;V ∗) eine Folge, die stark in X∗ = Lp′(I;V ∗)

gegen b ∈ X∗ konvergiert (cf. Lemma 2.1.24 (ii)) und un0 =∑ni=1 c

n0iwi ∈ Hn

eine Folge, die stark in H gegen u0 ∈ H konvergiert. Die Losbarkeit von(2.106) zeigt man genau wie die Losbarkeit von (2.52). Dazu schreibt mandas Galerkin–System (2.106) als System gewohnlicher Differentialgleichungenfur Funktionen t 7→ cn(t) = (cn1 (t), . . . , cnn(t)) ∈ Rn:

dcn(t)

dt= fn(t, cn(t)) ,

cn(0) = cn0 ,(2.107)

mit fnk (t, c) := 〈bn(t), wk〉 −⟨A1

(∑nl=1 cl wl

), wk

⟩− 〈A2

(∑nl=1 cl wl

), wk

⟩,

k = 1, . . . , n, und cn0 = (cn01, . . . , cn0n). Die Operatoren A1, A2 : V → V ∗ sind

aufgrund von der Lemmata 1.27, 1.30 und 2.17 demistetig, da fur p ≥ 2dd+2 gilt

pd+2d ≤

dpd−p . Dies und bn ∈ C(I;V ∗) impliziert, dass fn : I ×Rn → Rn stetig

ist, da in endlich–dimensionalen Raumen starke und schwache Konvergenzubereinstimmen (cf. Lemma A.8.8). Um die globale Losbarkeit von (2.106)bzw. (2.107) fur t ∈ I zu zeigen, benotigen wir folgende apriori Abschatzungen

‖un‖2C(I;H)+ ‖un‖pX ≤ c (b, u0, T ) ,

‖A1un‖X∗ + ‖A2un‖X∗ ≤ c (b, u0, T ) ,(2.108)

mit einer von n unabhangigen Konstanten c(b, u0). Sei un ∈ C1(I;Hn) ⊂Weine Losung von (2.106). Wenn wir die k–te Gleichung in (2.106) mit cnk (t)


multiplizieren, die Gleichungen dann addieren und das Resultat uber (0, t),0 < t ≤ T integrieren, erhalten wir mithilfe von (2.47), sowie (2.24), (2.25)(cf. (2.55))

1

2‖un(t)‖2H +

1

2

t∫0

‖un(s)‖pV ds ≤1

2‖un0‖2H +

1

2

T∫0

‖bn(s)‖p′

V ∗ ds+ c0 T .

Aus un0 → u0 in H (n→∞) und bn → b in X∗ (n→∞) folgt nun (2.108)1 .Da aufgrund der Lemmata 2.66 und 2.97 die Operatoren A1 : X → X∗

und A2 : X ∩ L∞(I;H) → X∗ beschrankt sind, folgt aus (2.108)1 sofort(2.108)2 . Mit denselben Argumenten wie in Beweis von Satz 2.50 kann mannun schließen, dass das Galerkin–System (2.106) fur alle n ∈ N auf demIntervall I losbar ist und die Losungen un ∈ W die apriori Abschatzungen(2.108) erfullen. Zur Behandlung des Operators A2 benotigen wir noch fol-gende apriori Abschatzung fur die Zeitableitungen∥∥∥∥dundt

∥∥∥∥Lq(I;(W s,2

0 (Ω))∗)

≤ c (b, u0, T ) , (2.109)

mit q := pr0−1 . Aufgrund der Eigenschaften der Orthogonalprojektionen Pn,

insbesondere Pn Pn = Pn und(Pn(u), ϕ

)H

=(u, Pn(ϕ)

)H

, u, ϕ ∈ H, sowie

un = Pn(un) erhalten wir fur alle ϕ ∈W s,20 (Ω)∫

Ω

dundt

ϕ dx =

∫Ω

dundt

Pn(ϕ) dx

=

∫Ω

bn Pn(ϕ)−A1un Pn(ϕ)−A2un Pn(ϕ) dx ,

wobei wir die Galerkin–Gleichungen (2.106) benutzt haben. Die rechte Seitedieser Identitat kann aufgrund der Eigenschaften von bn, der OperatorenA1, A2 (cf. Lemmata 1.27, 2.17), sowie der Einbettung W s,2

0 (Ω) →W 1,p0 (Ω)

abgeschatzt werden durch(‖bn‖V ∗ + ‖A1un‖V ∗ + ‖A2un‖V ∗

)‖Pn(ϕ)‖V

≤ c(1 + ‖b‖V ∗ + ‖un‖p−1V + ‖un‖r0−1V

)‖Pn(ϕ)‖W s,2 .

Somit erhalten wir mithilfe der Eigenschaften der OrthogonalprojektionenPn (cf. (2.104)), der Definition von q, p ≤ r0 und der Definition der Norm imDualraum


∥∥∥∥dundt∥∥∥∥Lq(I;(W s,2

0 (Ω))∗)

= supϕ∈Lq

′(I;W s,2

0 (Ω))‖ϕ‖

Lq′(I;W

s,20 (Ω))

≤1

∣∣∣ T∫0

∫Ω

dundt

ϕ dx dt∣∣∣

≤ cT∫

0

(1 + ‖b‖V ∗ + ‖un‖r0−1V

)‖Pn(ϕ)‖W s,2 dt

≤ c(1 + ‖b‖Lp′ (I;V ∗) + ‖un‖r0−1Lp(I;V )

)‖ϕ‖Lq′ (I;W s,2

0 (Ω))

≤ c(b, u0, T ) ,

wobei wir (2.108)1 benutzt haben.

4. Konvergenz des Galerkin–Verfahrens: Aus den apriori Abschatzungen(2.108), (2.109) und Folgerung 2.85 mit p1 = p

r0−1 , B1 = (W s,20 (Ω))∗ folgt,

dass es eine Teilfolge von (un) gibt, die wir wieder mit (un) bezeichnen, mit


un → u in Lp(I;Ls(Ω)) (n→∞) ,

A1un ξ in X∗ (n→∞) ,

un(T ) u∗ in H (n→∞) ,

(2.110)

wobei 1 ≤ s < pdd−p . Aus (2.108)1, (2.110)2 und Lemma 2.86 mit q = s, α = β

folgt nun fur 1 ≤ s < pd+2d

un → u in Ls(I ×Ω) (n→∞) ,

A2un → A2u in Ls′(I ×Ω) (n→∞) ,

(2.111)

wobei wir fur die zweite Behauptung Lemma 2.97 (iii) benutzt haben. Nunkonnen wir wieder im Wesentlichen wie im Beweis von Satz 2.50 vorgehen.Fur alle w ∈

⋃∞k=1Hk gibt es ein n0 mit w ∈ Hn0

. Da un eine Losung von(2.106) ist, erhalten wir fur alle n ≥ n0⟨dun(t)

dt, w⟩

+⟨A1un(t) +A2un(t), w

⟩= 〈bn(t), w〉 .

Wir multiplizieren nun diese Gleichung mit ϕ ∈ C1(I), integrieren bezuglichder Zeit uber I und erhalten mithilfe von (2.46) und (2.42)

−∫I

(un(t), w)Hϕ′(t) dt+

∫I

⟨A1un(t) +A2un(t), w

⟩Vϕ(t) dt

=

∫I

〈bn(t), w〉V ϕ(t) dt− (un(T ), w)Hϕ(T ) + (un0 , w)Hϕ(0) .


Der Grenzubergang (n → ∞) liefert aufgrund von (2.110), (2.111), sowiebn → b in X∗ (n→∞) und un0 → u0 in H (n→∞)

−∫I

(u(t), w)Hϕ′(t) dt+

∫I

⟨ξ +A2u,w

⟩Vϕ(t) dt

=

∫I

〈b(t), w〉V ϕ(t) dt− (u∗, w)Hϕ(T ) + (u0, w)Hϕ(0) .

(2.112)

Da⋃∞k=1Hk dicht in W s,2

0 (Ω) liegt und dies wiederum dicht in V = W 1,p0 (Ω)

ist, gilt (2.57) fur alle w ∈ V und alle ϕ ∈ C1(I). Wenn wir nun ϕ ∈ C∞0 (I)in (2.112) wahlen, erhalten wir aufgrund von Definition 2.43 dass gilt:

du

dt= b− ξ −A2u . (2.113)

Aufgrund der Voraussetzungen, (2.110), Lemma 2.97 (i) liegt die rechte Seitevon (2.113) im Raum X∗ und somit ist auch u ∈W . Aus (2.113) und (2.46)(setze v(t) = ϕ(t)w) folgt∫

I

(u(t), w)Hϕ′(t) +

⟨b− ξ −A2u,w

⟩Vϕ(t) dt

= (u(T ), w)Hϕ(T ) + (u(0), w)Hϕ(0) ,


(u(T ), w)Hϕ(T ) + (u(0), w)Hϕ(0) = (u∗, w)Hϕ(T )− (u0, w)Hϕ(0)

liefert. Wenn wir nun ϕ so wahlen, dass ϕ(T ) = 1 und ϕ(0) = 0, bzw.ϕ(T ) = 0 und ϕ(0) = 1 gilt, erhalten wir

u(T ) = u∗ , u(0) = u0 . (2.114)

Um A1u = ξ zu zeigen, benutzen wir die Pseudomonotonie von A1, die ausden Lemmata 2.66 und 2.6 (i) folgt. Wenn wir die k–te Gleichung in (2.106)mit cnk (t) multiplizieren, die Gleichungen dann addieren und das Resultatuber I integrieren, erhalten wir mithilfe von (2.47)

T∫0

⟨A1un +A2un, un

⟩dt =

T∫0

〈bn, un〉 dt−1

2‖un(T )‖2H +

1

2‖un0‖2H .

Hieraus folgern wir mithilfe von bn → b in X∗ (n → ∞), (2.110), (2.111),(2.114)1, sowie der Unterhalbstetigkeit der Norm (cf. Lemma A.8.6 (iii)) dassgilt:


lim supn→∞

T∫0

⟨A1un, un

⟩dt ≤

T∫0

〈b−A2u, u〉 dt−1

2‖u(T )‖2H +

1

2‖u(0)‖2H .

(2.115)

Andererseits gilt aufgrund von (2.47) und (2.113)

−1

2‖u(T )‖2H +

1

2‖u(0)‖2H = −

T∫0

⟨dudt, u⟩dt =

T∫0

⟨ξ +A2u− b, u

⟩dt ,


lim supn→∞

T∫0

⟨A1un, un

⟩dt ≤

T∫0

〈ξ, u〉 dt

ergibt. Da der Operator A1 pseudomonoton und beschrankt ist, erfullt er auf-grund von Lemma 2.6 (iv) auch die Bedingung (M), und somit gilt: A1u = ξ .Dies zusammen mit (2.113) und (2.114)2 impliziert, dass u ∈W eine Losungvon (2.69) ist. Der Beweis des Satzes ist vollstandig.

3.3 Maximal monotone Operatoren

Die Theorie maximal monotoner Operatoren bringt die Grundideen der Theo-rie monotoner Operatoren zur vollen Entfaltung und ist sehr allgemein. In-tuitiv kann man sich unter einem maximal monotonen Operator einen mo-notonen Operator vorstellen, der keine echte monotone Erweiterung besitzt.

Beispiele. 1. f : R→ R sei stetig und monoton wachsend, z.B. sei

f(x) =

−x2 fur x < 0 ,x2 fur x ≥ 0 .

Dann ist diese Funktion f maximal monoton.

2. f : R→ R sei monoton wachsend, aber unstetig, z.B. sei

f(x) =

−x2 fur x < 0 ,

x2 + 2 fur x ≥ 0 .

Diese Funktion f ist monoton, aber nicht maximal monoton. Es gibtnamlich eine monotone Erweiterung, z.B.

f(x) =

−x2 fur x < 0 ,[0, 2] fur x = 0 ,

x2 + 2 fur x > 0 .

3.3 Maximal monotone Operatoren 117

Allerdings mussen wir fur die maximale Monotonie”bezahlen“, denn wir

mussen”mehrdeutige Funktionen“ oder genauer Abbildungen zulassen. Im

Folgenden bezeichnen wir mit 2Y die Potenzmenge einer Menge Y .

3.1 Definition. Seien M,Y Mengen und sei A : M → 2Y eine Abbildung,d.h. A ordnet allen u ∈ M eine Teilmenge Au ⊆ Y zu, d.h. Au ∈ 2Y . Dannist

D(A) := u ∈M∣∣ Au 6= ∅

der effektive Definitionsbereich, ferner ist

R(A) :=⋃

u∈D(A)

Au

der Wertebereich und

G(A) = (u, v) ∈M × Y∣∣u ∈ D(A), v ∈ Au

der Graph von A. Wir schreiben fur (u, v) ∈ G(A) einfacher (u, v) ∈ A.

Bemerkungen. (i) Die inverse Abbildung A−1 : Y → 2M existiert immerund ist definiert durch

A−1(v) = u ∈M∣∣ v ∈ Au .

Offensichtlich haben wir D(A−1) = R(A), R(A−1) = D(A) und (u, v) ∈ Agenau dann, wenn (v, u) ∈ A−1.

(ii) Seien X,Y Vektorraume uber K und sei M ⊆ X. Fur gegebene Ab-bildungen A,B : M → 2Y und fur feste α, β ∈ K definieren wir die Linear-kombination

(αA+ βB)(u) =

αAu+ βBu fur u ∈ D(A) ∩D(B) ,∅ sonst .

(iii) Jede eindeutige Abbildung A : D(A) ⊆ M → Y kann mit einer mehr-deutigen Abbildung A : M → 2Y identifiziert werden, indem wir

Au =

Au fur u ∈ D(A) ,

∅ sonst

setzen. Dann gilt

D(A) = D(A) und R(A) = R(A) .

Im Folgenden verwenden wir immer diese Identifizierung und schreiben kurzerA statt A.


3.2 Definition. Sei X ein reflexiver, reeller Banachraum und M ⊆ X eineTeilmenge. Die Abbildung A : M → 2X

∗heißt

(i) monoton genau dann, wenn fur alle (u, u∗), (v, v∗) ∈ A gilt:

〈u∗ − v∗, u− v〉X ≥ 0 ,

(ii) maximal monoton genau dann, wenn A monoton ist, und aus (u, u∗) ∈M ×X∗ sowie

〈u∗ − v∗, u− v〉X ≥ 0 ∀(v, v∗) ∈ A

folgt, dass (u, u∗) ∈ A.

Bemerkungen. (i) Ein Operator A : D(A) ⊆ X → X∗ kann mit obigerIdentifizierung als mehrdeutige Abbildung A : X → 2X

∗aufgefasst werden.

Die Definition 1.1 der Monotonie des Operators A ist mit der Definition 3.2der Monotonie der mehrdeutigen Abbildung A identisch.

(ii) Ein Operator A : D(A) ⊆ X → X∗ heißt maximal monoton genaudann, wenn A monoton ist, und aus (u, u∗) ∈ X ×X∗ sowie

〈u∗ −Av, u− v〉X ≥ 0 ∀v ∈ D(A)

folgt, dass u ∈ D(A) und u∗ = Au gelten.

Die einfachsten Beispiele maximal monotoner Operatoren erhalt man mit-hilfe reeller Funktionen. Jede monoton wachsende und moglicherweise unste-tige Funktion erzeugt offensichtlich einen monotonen Operator. Ferner gilt

3.3 Lemma. Sei f : R→ R eine monoton wachsende und stetige Funktion.Dann ist f maximal monoton.

Beweis . Sei (u, u∗) ∈ R× R und es gelte fur alle v ∈ R(u∗ − f(v)

)(u− v) ≥ 0 .

Es ist zu zeigen, dass u∗ = f(u) gilt, denn u ∈ R = D(f) wurde ja vorausge-setzt. Fur u > v erhalten wir u∗ − f(v) ≥ 0, d.h. u∗ ≥ f(v). Wir wahlen nunv = un, mit einer Folge (un), fur die gilt: un u (n → ∞). Die Stetigkeitvon f impliziert u∗ ≥ f(u). Fur u < v folgt u∗ ≤ f(v). Wir wahlen nunv = un, wobei (un) eine Folge ist mit un u (n → ∞). Die Stetigkeit vonf liefert u∗ ≤ f(u). Somit gilt sowohl u∗ ≥ f(u) als auch u∗ ≤ f(u), d.h.u∗ = f(u).

Das zweite Beispiel vor Definition 3.1 zeigt, dass unstetige monoton wach-sende Funktionen nicht maximal monoton sein mussen. Eine zu Lemma 3.3analoge Aussage erhalten wir auch fur monotone Operatoren.


3.4 Lemma. Sei X ein reflexiver, reeller Banachraum und A : X → X∗ einmonotoner, hemistetiger Operator. Dann ist A maximal monoton.

Beweis . Sei (u, u∗) ∈ X ×X∗ und es gelte fur alle v ∈ X

〈u∗ −Av, u− v〉 ≥ 0 .

Wir setzen v = u± tw mit w ∈ X und t > 0. Dann folgt fur alle w ∈ X

∓t〈u∗ −A(u± tw), w〉 ≥ 0 ,

und demzufolge

〈u∗ −A(u+ tw), w〉 ≤ 0 ,

〈u∗ −A(u− tw), w〉 ≥ 0 .

Da A hemistetig ist, folgt im Grenzubergang t → 0+, dass fur alle w ∈ Xgilt:

〈u∗ −Au,w〉 = 0 ,

d.h. u∗ = Au.

Bemerkung. Die inverse Abbildung A−1 : X∗ → 2X einer maximal mono-tonen Abbildung A : X → 2X

∗auf einem reflexiven Banachraum X ist wieder

maximal monoton. In der Tat, da X reflexiv ist, haben wir die IdentifizierungX ∼= X∗∗ und somit kann man A−1 auch als Abbildung A−1 : X∗ → 2X

∗∗

auffassen. Weiterhin gilt 〈u∗, u〉X = 〈u, u∗〉X∗ fur alle (u, u∗) ∈ X ×X∗ undsomit folgt die Behauptung mithilfe der Definition der inversen Abbildung

G(A−1) = (u∗, u) ∈ X∗ ×X∣∣ (u, u∗) ∈ G(A) .

3.3.1 Subdifferentiale

Ein weiteres Beispiel maximal monotoner Operatoren sind Subdifferentiale,die den klassischen Begriff der Ableitung fur konvexe Funktionen verallge-meinern.

3.5 Definition. Sei X ein reeller Banachraum und f : X → [−∞,∞] einFunktional auf X. Ein Element u∗ ∈ X∗ heißt Subgradient von f an derStelle u ∈ X genau dann, wenn f(u) 6= ±∞ und

f(v) ≥ f(u) + 〈u∗, v − u〉X ∀ v ∈ X .

Die Menge aller Subgradienten von f in u heißt Subdifferential ∂f(u). Fallsan der Stelle u kein Subgradient existiert, setzen wir ∂f(u) = ∅.


Beispiele. Sei f : R → R eine Funktion. Dann ist ∂f(u) die Menge allerAnstiege von Geraden, die durch (u, f(u)) gehen und vollstandig unter demGraphen von f liegen.

(i) Die Funktion f : R→ R sei definiert durch

f(x) =

−b x fur x ≤ 0 ,

a x fur x > 0 ,

wobei a, b ∈ R+. Dann ist ∂f(0) = [−b, a]. In der Tat, wenn wir die Un-gleichung f(v) ≥ u∗v betrachten, so bemerken wir, dass fur v > 0 die Un-gleichung av ≥ u∗v impliziert, dass a ≥ u∗ gilt, und fur v < 0 aus derUngleichung −bv ≥ u∗v folgt, dass −b ≤ u∗ gilt. Also kann f(v) ≥ u∗ fur allev ∈ R nur gelten, wenn u∗ ∈ [−b, a].

(ii) Es gibt differenzierbare Funktionen f : R → R, deren Subdifferentialdie leere Menge ist. Ein Beispiel dafur ist die Funktion sin(x), fur derenSubdifferential gilt: ∂ sin(x) = ∅, falls x 6= 3

2π + 2k π, k ∈ Z, ∂ sin(x) = 0,falls x = 3

2π + 2k π, k ∈ Z .

Falls eine differenzierbare Funktion f : R → R in x0 ein Minimum hat,dann gilt f ′(x0) = 0. Mithilfe des Subdifferentials erhalt man folgende Ver-allgemeinerung.

3.6 Lemma. Sei f : X → (−∞,∞] ein Funktional auf einem reellen Ba-nachraum X mit f 6≡ ∞. Dann ist u eine Losung des Minimierungsproblems

f(u) = minv∈X

f(v) , u ∈ X ,

genau dann, wenn0 ∈ ∂f(u) .

Beweis . 1. Sei 0 ∈ ∂f(u). Nach Definition des Subgradienten gilt fur allev ∈ X und u∗ ∈ ∂f(u)

f(v)− f(u) ≥ 〈u∗, v − u〉 .

Wenn wir u∗ = 0 einsetzen erhalten wir, dass fur alle v ∈ X gilt: f(u) ≤ f(v).

2. Es gelte f(u) ≤ f(v) fur alle v ∈ X. Somit ist insbesondere f(u) 6=∞und wir erhalten fur alle v ∈ X

f(v)− f(u) ≥ 0 = 〈0, v − u〉 ,

d.h. 0 ∈ ∂f(u).

Das folgende Lemma stellt die Losbarkeit des Minimierungsproblems si-cher.


3.7 Lemma. Sei C eine abgeschlossene, konvexe Menge eines reflexiven Ba-nachraumes X. Das Funktional f : C → R sei konvex, unterhalbstetig undkoerziv, d.h. f(u) → ∞ fur ‖u‖ → ∞, u ∈ C. Dann besitzt f auf C einMinimum.

Beweis . O.B.d.A. konnen wir annehmen, dass f nichttrivial ist, d.h. f 6≡ ∞.Sei (un) ⊂ C eine Minimalfolge von f , d.h.

f(un)→ infv∈C

f(v) (n→∞) .

Aufgrund der Koerzivitat von f muss die Folge (un) beschrankt sein. Alsogibt es aufgrund von Satz A.8.15 eine schwach konvergente Teilfolge (unk)mit unk u0 (k → ∞), und Satz A.8.9 liefert u0 ∈ C. Sei nun ε > 0 fest,aber beliebig, und sei k0 derart, dass fur alle k ≥ k0 gilt:

f(unk) ≤ infv∈C

f(v) + ε . (3.8)

Ferner gibt es, aufgrund von Folgerung A.8.10, eine Folge (vj) ⊂ C von konve-

xen Linearkombinationen der unk , nk ≥ k0, d.h. vj =∑Njk=1 c

jkunk , nk ≥ k0,

0 ≤ cjk ≤ 1 ,∑Njk=1 c

jk = 1, die stark gegen u0 konvergiert. Wegen der Konve-

xitat des Funktionals f und (3.8) folgt

f(vj) ≤Nj∑k=1

cjk f(unk) ≤Nj∑k=1

cjk(

infv∈C

f(v) + ε)

= infv∈C

f(v) + ε . (3.9)

Da in Banachraumen die Unterhalbstetigkeit aquivalent zur Bedingung (cf.[7, Kapitel 1])

f(x0) ≤ lim infxn→x0

f(xn)

ist, erhalten wir aus (3.9)

f(u0) ≤ lim infj→∞

f(vj) ≤ infv∈C

f(v) + ε .

Da ε > 0 beliebig war, ergibt sich f(u0) = infCf , d.h. das Minimum wird

angenommen.

Falls die Ableitung f ′(u) und das Subdifferential ∂f(u) existieren, d.h.∂f(u) 6= ∅, so ist ∂f(u) = f ′(u). Dies gilt nicht nur fur Funktionen vonR nach R, sondern auch fur reellwertige Funktionen auf Banachraumen. ImZusammenhang mit monotonen Operatoren und Subdifferentialen ist es be-sonders fruchtbar, konvexe Funktionen zu betrachten. Denn aus der reellenAnalysis wissen wir, dass f ′ monoton wachsend ist, sofern f : R→ R konvexund stetig differenzierbar ist.


3.10 Lemma. Sei X ein reeller Banachraum und f : X → R ein Funktional.Dann gilt:

(i) Falls f konvex ist und eine Gateaux–Ableitung Df(u) im Punkt u besitzt,dann gilt:

∂f(u) = Df(u) . (3.11)

(ii) Umgekehrt, falls ∂f : X → X∗ hemistetig und eindeutig ist, d.h. fur alleu ∈ X existiert ein u∗ ∈ X∗ mit ∂f(u) = u∗, dann ist f Gateaux–differenzierbar und (3.11) gilt fur alle u ∈ X.

Beweis . ad (i): Sei h ∈ X beliebig. Wir setzen ϕ(t) = f(u + th). Dann istϕ : R→ R eine konvexe Funktion, denn aufgrund der Konvexitat von f gilt,fur alle τ ∈ [0, 1]:

ϕ((1− τ)t+ τs

)= f

(((1− τ) + τ)u+ (1− τ)th+ τsh

)≤ (1− τ)f(u+ th) + τf(u+ sh)

= (1− τ)ϕ(t) + τϕ(s) .

Da f Gateaux–differenzierbar ist, existiert ϕ′(0). Dies und die Konvexitatvon ϕ liefern insbesondere

ϕ′(0) = limt→0+

ϕ(t)− ϕ(0)

t

≤ limt→0+

tϕ(1) + (1− t)ϕ(0)− ϕ(0)

t

= ϕ(1)− ϕ(0) .

Setzen wir die Definition von ϕ und der Gateaux–Differenzierbarkeit ein,ergibt sich daraus fur alle h ∈ X

f(u+ h)− f(u) ≥ 〈Df(u), h〉 ,

d.h. nach der Definition des Subgradienten gilt Df(u) ∈ ∂f(u). Sei nunu∗ ∈ ∂f(u). Dann gilt fur alle h ∈ X und t > 0

f(u+ th)− f(u) ≥ 〈u∗, th〉 ,

was man umschreiben kann als

f(u+ th)− f(u)

t≥ 〈u∗, h〉 , ∀h ∈ X .

Im Grenzubergang t→ 0+ folgt

〈Df(u), h〉 ≥ 〈u∗, h〉 , ∀h ∈ X ,

da f Gateaux–differenzierbar ist. Wir ersetzen h durch −h, und erhalten


〈Df(u), h〉 = 〈u∗, h〉 , ∀h ∈ X ,

d.h. wir haben gezeigt u∗ = Df(u). Zusammen mit dem vorher Gezeigtenfolgt daher ∂f(u) = Df(u).

ad (ii): Fur t > 0 und h ∈ X gilt:

f(u+ th)− f(u) ≥ 〈∂f(u), th〉 ,f(u)− f(u+ th) ≥ −〈∂f(u+ th), th〉 ,

und demzufolge haben wir

〈∂f(u), h〉 ≤ lim inft→0+

f(u+ th)− f(u)

t

≤ lim supt→0+

f(u+ th)− f(u)

t

≤ lim supt→0+

〈∂f(u+ th), h〉

= 〈∂f(u), h〉 ,

da ∂f(u) hemistetig ist. Also sind alle Ungleichheitszeichen Gleichheitszei-chen. Daher existiert Df(u) und (3.11) gilt.

Die meisten Eigenschaften konvexer, unterhalbstetiger Funktionale aufeinem Banachraum X werden mithilfe von Trennungssatzen konvexer Men-gen bewiesen, die auf der geometrischen Form des Satzes von Hahn–Banachberuhen (cf. Satz A.10.12).

3.12 Lemma. Sei f : X → (−∞,∞] ein konvexes, unterhalbstetiges Funk-tional auf einem reellen Banachraum X und seien gi : X → (−∞,∞],i = 1, . . . , n, n ≥ 2, konvexe Funktionale. Dann gilt:

(i) Falls f 6≡ ∞ gilt, existieren a ∈ R und u∗ ∈ X∗ so, dass fur alle u ∈ Xgilt:

f(u) ≥ a+ 〈u∗, u〉 .

(ii) Sei M ⊆ X eine konvexe, abgeschlossene Menge, so dass f : M → R.Dann ist f stetig auf dem Inneren int(M) der Menge M .

(iii) Falls f(u) < ∞ und f stetig in u ist, dann ist ∂f(u) eine nichtleerekonvexe Menge.

(iv) Sei f 6≡ ∞ und sei dom (f) := u ∈ X∣∣ f(u) <∞. Dann ist die Menge

der Punkte u, in denen ∂f(u) 6= ∅ gilt, dicht in dom (f).

(v) Falls ein Punkt u0 ∈ X existiert, so dass alle Funktionale gi, i =1, . . . , n, endlich sind und die Funktionale gj, j = 1, . . . , n − 1, stetigin u0 sind, dann gilt die Summenformel fur Subdifferentiale:

∂(g1 + . . .+ gn

)(u0) = ∂g1(u0) + . . .+ ∂gn(u0) .


Beweis . Der Beweis dieser Behauptungen erfordert einen Aufwand, der denRahmen des Buches sprengen wurde. Die Beweise konnen in [19, Kapitel 47]oder in [7, Kapitel 1] gefunden werden.

Sei X ein reeller Banachraum und C ⊆ X eine nichtleere, abgeschlossene,konvexe Teilmenge, deren Indikatorfunktion χ durch

χ(u) :=

0 furu ∈ C ,∞ furu ∈ X \ C ,

definiert ist. Unter einem Tragerfunktional von C im Punkt u ∈ X verste-hen wir ein Funktional u∗ ∈ X∗, so dass fur alle v ∈ C gilt:

〈u∗, u− v〉 ≥ 0 . (3.13)

Fur ein gegebenes Paar (u, u∗) ∈ X ×X∗ beschreibt die Gleichung

〈u∗, u− v〉 = 0 (3.14)

eine abgeschlossene Hyperebene H in X durch den Punkt u, d.h. obige Be-dingung besagt, dass die Menge C auf einer Seite der Hyperebene H liegt.

Zwischen der Indikatorfunktion und dem Tragerfunktional gibt es folgendeBeziehung:

∂χ(u) =

Menge aller Tragerfunktionale furu ∈ C ,∅ furu ∈ X \ C . (3.15)

In der Tat, nach der Definition des Subgradienten ist u∗ ∈ ∂χ(u), falls furalle v ∈ X gilt:

χ(v) ≥ χ(u) + 〈u∗, v − u〉 . (3.16)

Sei u ∈ C. Falls wir auch v ∈ C haben, ist diese Ungleichung nichts anderesals (3.13), d.h. insbesondere, dass u∗ ein Tragerfunktional von C im Punktu ∈ C ist. Umgekehrt sei u∗ ein Tragerfunktional von C im Punkt u ∈ C.Aus der Definition der Indikatorfunktion und (3.13) erhalten wir sofort (3.16),d.h. u∗ ∈ ∂χ(u). Falls dagegen u ∈ X \ C, dann ist χ(u) = ∞ und damit∂f(u) = ∅ nach Definition 3.5.

Insbesondere ist der Graph des Subdifferentials der Indikatorfunktion χnicht leer und es gelten folgende Implikationen:

u ∈ C ⇒ 0 ∈ ∂χ(u) ,

u ∈ intC ⇒ ∂χ(u) = 0 .(3.17)

In der Tat ist fur u ∈ C die Ungleichung 0 ≤ 〈u∗, u− v〉 sogar fur alle v ∈ Xerfullt, wenn man u∗ = 0 setzt. Falls u ∈ intC, dann folgt aus u∗ ∈ ∂χ(u),dass u∗ = 0. Denn zu u ∈ intC gibt es ein r ∈ R+ mit Br(u) ⊆ C. Wir haben


also fur alle w ∈ X mit ‖w‖ = 1, dass v := u + r2 w ∈ C. Aus (3.13) folgt

dann0 ≤

⟨u∗, u− (u+ r

2 w)⟩

= − r2 〈u∗, w〉 .

Wir ersetzen w durch −w und erhalten 0 ≤ r2 〈u∗, w〉. Insgesamt folgt daher

0 = 〈u∗, w〉 fur alle w ∈ X mit ‖w‖ = 1 und also u∗ = 0.

3.18 Lemma. Sei C eine nichtleere, abgeschlossene, konvexe Teilmenge ei-nes reellen Banachraumes X. Dann ist ∂χ : C → 2X

∗maximal monoton.

Beweis . 1. ∂χ : C → 2X∗

ist monoton: Seien (u, u∗), (v, v∗) ∈ ∂χ, d.h.u, v ∈ D(∂χ) = C, u∗ ∈ ∂χ(u), v∗ ∈ ∂χ(v), dann gilt nach (3.13) und (3.15)fur alle w ∈ C:

〈u∗, u− w〉 ≥ 0 ,

〈v∗, v − w〉 ≥ 0 ,

und somit

〈u∗ − v∗, u− v〉 = 〈u∗, u− v〉+ 〈v∗, v − u〉 ≥ 0 ,

d.h. ∂χ ist monoton.

2. ∂χ : C → 2X∗

ist maximal monoton: Sei (u, u∗) ∈ C×X∗, und es geltefur alle (v, v∗) ∈ ∂χ

〈u∗ − v∗, u− v〉 ≥ 0 .

Nun ist aber nach (3.17)1 0 ∈ ∂χ(v) und wir erhalten

〈u∗, u− v〉 ≥ 0 ,

d.h. u∗ ∈ ∂χ(u).

Es stellt sich nun die Frage, ob ∂χ : X → 2X∗

ebenfalls maximal mono-ton ist. Zur Beantwortung dieser Frage mussen wir einen kurzen Ausflug indie Theorie der Konvexitats- und Glattheitseigenschaften von Banachraumenmachen (cf. Abschnitt A.9).

3.19 Definition. Sei X ein reeller Banachraum und ϕ(u) := 12‖u‖

2X . Dann

wird die Dualitatsabbildung J : X → 2X∗

definiert durch

J(u) := ∂ϕ(u) .

3.20 Lemma. Sei H ein reeller Hilbertraum und J die DualitatsabbildungJ : H → 2H

∗. Dann bildet J auf einelementige Mengen ab und kann daher

als Operator J : H → H∗ aufgefasst werden. Fur diesen Operator gilt:

〈J(u), v〉H = (u, v)H .


Beweis . Nach Lemma 3.10 ist ∂ϕ(u) einelementig, falls ϕ konvex ist und ei-ne Gateaux–Ableitung Dϕ(u) besitzt. In diesem Fall gilt ∂ϕ(u) = Dϕ(u).

1. ϕ ist konvex: Sei t ∈ [0, 1]. Dann gilt fur u, v ∈ H:

ϕ(tu+ (1− t)v

)=

1

2‖tu+ (1− t)v‖2

≤ 1

2

(t‖u‖+ (1− t)‖v‖

)2≤ 1

2

(t2‖u‖2 + (1− t)2‖v‖2 + t(1− t)

(‖u‖2 + ‖v‖2

))=

1

2

(t‖u‖2 + (1− t)‖v‖2

)= tϕ(u) + (1− t)ϕ(v) ,

da 2ab ≤ a2 + b2.

2. ϕ besitzt eine Gateaux–Ableitung: Fur t ∈ R und v ∈ H gilt:

d

dtϕ(u+ tv) =

d

dt

(1

2‖u+ tv‖2

)=

d

dt

(1

2(u, u) + t(u, v) +

1

2t2(v, v)

)= (u, v) + t(v, v) .

Daraus folgt, dass die Gateaux–Ableitung existiert und dass gilt:

〈Dϕ(u), v〉 =d

dtϕ(u+ tv)

∣∣∣t=0

= (u, v) .

Die obige Formel fur J folgt aus der Gleichungskette

〈J(u), v〉 = 〈∂ϕ(u), v〉 = 〈Dϕ(u), v〉 = (u, v) ,

wobei wir (3.11) benutzt haben.

Im Falle von Banachraumen haben wir:

3.21 Satz. Sei X ein reflexiver, reeller Banachraum. Dann gilt:

(i) Falls der Dualraum X∗ strikt konvex ist, dann bildet die Dualitatsabbil-dung J auf einelementige Mengen ab und kann daher als OperatorJ : X → X∗ aufgefasst werden. Dieser Operator ist demistetig, koer-ziv, beschrankt, surjektiv und maximal monoton. Weiterhin haben wirfur alle u ∈ X

Ju = Dϕ(u) ,

wobei Dϕ die Gateaux–Ableitung von ϕ = 12‖u‖

2X ist.

(ii) Falls zusatzlich X strikt konvex ist, dann ist J strikt monoton.


(iii) Falls der Dualraum X∗ lokal gleichmaßig konvex ist, dann ist der Ope-rator J zusatzlich zu den Behauptungen in (i) stetig und insbesondereist ϕ Frechet–differenzierbar.

Beweis . Der Beweis dieses Satzes kann in [19, Chapter 47] gefunden werden.??

Bemerkungen. (i) Aus der Kettenregel (cf. Satz 2.2.7 und Bemerkun-gen danach) und den Behauptungen des Satzes folgt, mithilfe der Formel

‖u‖ =(2ϕ(u)

)1/2, dass die Norm u 7→ ‖u‖ auf X \ 0 Gateaux– bzw.

Frechet–differenzierbar ist, falls der Dualraum X∗ strikt konvex bzw. lokalgleichmaßig konvex ist.

(ii) Die Behauptung aus Bemerkung (i) ist im Allgemeinen, ohne diezusatzlichen Annahmen, falsch. Davon uberzeugt man sich leicht am Beispieldes R2, versehen mit der Maximumsnorm. Aus der Darstellung

‖z‖∞ = max(|x|, |y|) =1

2

(|x|+ |y|+

∣∣|y| − |x|∣∣)fur z = (x, y) ∈ R2 berechnet sich der Gradient der Funktion z 7→ ‖z‖∞formal als

1

2

(x

|x|

(1− |y| − |x|∣∣|y| − |x|∣∣), y|y|(1 +

|y| − |x|∣∣|y| − |x|∣∣))

und ist somit in den Punkten (x,±x), x ∈ R nicht definiert. In der Tat ist(R2, ‖·‖∞) nicht strikt konvex, da die Oberflache der

”Einheitskugel“ ∂B1(0)

Geradenstucke enthalt.

Der folgende Satz ist der Schlussel zur Beantwortung unserer Frage nachder maximalen Monotonie von ∂χ : X → 2X

∗. Das Herzstuck des Satzes 3.23

ist in folgenden Lemma enthalten. Es benutzt tiefe Zusammenhange zwischenKonvexitatseigenschaften vonX und Glattheitseigenschaften der Norm aufX.

3.22 Lemma. Sei f : X → (−∞,∞] konvex und unterhalbstetig auf demreflexiven, reellen Banachraum X und sei f 6≡ +∞. Dann existiert ein striktmonotoner Operator A : X → X∗ mit R(A+ ∂f) = X∗.

Beweis . Der Beweis kann in [19, S. 397] gefunden werden.

3.23 Satz (Rockafellar 1966). Sei f : X → (−∞,∞] konvex und unter-halbstetig auf dem reflexiven, reellen Banachraum X und sei f 6≡ +∞. Dannist ∂f : X → 2X

∗maximal monoton.

Beweis . 1. ∂f : X → 2X∗

ist monoton. Aufgrund von Lemma 3.12 (iv) ist∂f nicht trivial. Seien (u, u∗), (v, v∗) ∈ ∂f , d.h. u, v ∈ D(∂f), u∗ ∈ ∂f(u) ,v∗ ∈ ∂f(v). Dann gilt nach Definition des Subdifferentials

f(v)− f(u) ≥ 〈u∗, v − u〉 ∀v ∈ X ,

f(u)− f(v) ≥ 〈v∗, u− v〉 ∀u ∈ X .


Eine Addition beider Ungleichungen ergibt

0 ≥ 〈u∗ − v∗, v − u〉 ⇔ 0 ≤ 〈u∗ − v∗, u− v〉 ,

d.h. ∂f ist monoton.

2. ∂f : X → 2X∗

ist maximal monoton: Sei (u0, u∗0) ∈ X×X∗ so, dass fur

alle (u, u∗) ∈ ∂f gelte〈u∗0 − u∗, u0 − u〉 ≥ 0 . (3.24)

Zu zeigen ist jetzt, dass daraus u∗0 ∈ ∂f(u0) folgt, denn dann ist ∂f maximalmonoton. Dazu benutzen wir den Operator A aus Lemma 3.22. Da A(u0) +u∗0 ∈ X∗ und R(A + ∂f) = X∗ gilt, erhalten wir, dass (u, u∗) ∈ ∂f existiertmit

A(u) + u∗ = A(u0) + u∗0 ⇐⇒ u∗0 − u∗ = A(u)−A(u0) . (3.25)

Die Ungleichung (3.24) liefert

0 ≤ 〈u∗0 − u∗, u0 − u〉 = 〈A(u)−A(u0), u0 − u〉 ,

d.h. 〈A(u0)−A(u), u0−u〉 ≤ 0. Der Operator A ist aber strikt monoton undsomit erhalten wir u = u0. Aus (3.25) folgern wir

u∗ = u∗0 ∈ ∂f(u) = ∂f(u0) ,

d.h. ∂f ist maximal monoton.

Hieraus folgt die folgende Verscharfung von Satz 3.21.

3.26 Folgerung. Sei X ein reflexiver, reeller Banachraum. Dann ist dieDualitatsabbildung J : X → 2X

∗maximal monoton.

Beweis . Sei ϕ durch ϕ(u) := 12‖u‖

2X definiert. Dann ist offensichtlich

ϕ : X → (−∞,∞) ⊆ (−∞,∞] ein konvexes (cf. Beweis von Lemma 3.20),unterhalbstetiges Funktional (ϕ ist sogar stetig). Nach Satz 3.23 ist J = ∂ϕmaximal monoton.

Satz 3.23 liefert auch die Antwort auf unsere Frage nach der maximalenMonotonie von ∂χ : X → 2X

∗.

3.27 Folgerung. Sei C eine nichtleere, abgeschlossene, konvexe Teilmen-ge eines reflexiven, reellen Banachraumes X und χ : X → (−∞,∞] seineIndikatorfunktion. Dann ist ∂χ : X → 2X

∗maximal monoton.

Beweis . Wir uberprufen, dass χ die Voraussetzungen von Satz 3.23 erfullt.

1. Nach Definition der Indikatorfunktion nimmt χ nur die Werte 0 und∞an, d.h. χ : X → (−∞,∞]. Da die Menge C nicht leer ist, ist offensichtlichχ 6≡ ∞.

2. χ ist konvex: Da C konvex ist, gilt fur alle u, v ∈ C:


χ((1− t)u+ tv

)= 0 = 0 + 0 = (1− t)χ(u) + tχ(v) .

Falls u 6∈ C und/oder v 6∈ C, gilt offensichtlich

χ((1− t)u+ tv

)≤ ∞ = (1− t)χ(u) + tχ(v) .

3. χ ist unterhalbstetig: Wir mussen uberprufen, ob fur alle r ∈ R dasUrbild χ−1((−∞, r]) abgeschlossen ist. Es gilt aber:

χ−1((−∞, r]) = u∣∣χ(u) ≤ r =

∅ , falls r < 0 ,

C , falls r ≥ 0 .

Die leere Menge ∅ ist abgeschlossen und C ebenfalls nach Voraussetzung; alsoist χ unterhalbstetig.

Satz 3.23 liefert nun, dass ∂χ : X → 2X∗

maximal monoton ist.

3.3.2 Der Satz von Browder

Ahnlich wie in den vorangegangenen Abschnitten wollen wir die Losbarkeitvon

b ∈ Au+Bu , u ∈ C , (3.28)

untersuchen, wobei A : C ⊆ X → 2X∗

ein maximal monotoner Operatorund B : C → X∗ ein pseudomonotoner Operator ist. Die Beziehung (3.28)bedeutet, wenn A eine mehrdeutige Abbildung ist, dass wir fur ein gegebenesb ∈ X∗ ein Element u ∈ C suchen, so dass gilt:

b = v +Bu , mit v ∈ Au .

Wenn A und B Operatoren sind, dann ist (3.28) aquivalent zu

b = Au+Bu , u ∈ C .

3.29 Satz (Browder 1968). Sei C ⊆ X eine nichtleere, abgeschlossene,konvexe Menge eines reflexiven, reellen Banachraumes X und sei b ∈ X∗.Ferner sei A : C → 2X

∗ein maximal monotoner Operator und B : C → X∗

ein pseudomonotoner, beschrankter, demistetiger Operator. Falls C unbe-schrankt ist, sei der Operator B koerziv bzgl. des Operators A und des Ele-ments b ∈ X∗, d.h. es existiert ein Element u0 ∈ C ∩D(A), und eine Zahlr > 0, so dass fur alle u ∈ C mit ‖u‖ > r gilt:

〈Bu, u− u0〉 > 〈b, u− u0〉 .

Dann existiert eine Losung u ∈ C ∩D(A) des Problems (3.28).


Beweis . Die Strategie, die diesem Beweis zugrunde liegt, ist folgende:

• Galerkin–Approximation; aber dieses Mal fuhren wir sie nicht mit Glei-chungen sondern mit Ungleichungen durch.

• Losbarkeit der Galerkin–Ungleichungen; hierzu verwenden wir ein Ab-schneide–Argument.

• Apriori Abschatzungen fur die Losung der Galerkin–Ungleichungen; diesefolgen aus der Koerzivitat von B.

• Konvergenz der Galerkin–Methode; diese basiert auf der Pseudomonotonievon B.

Da A : C → 2X∗

maximal monoton ist und C nichtleer, ist auch der Graphvon A nicht leer. In der Tat, angenommen er sei leer, dann ist die Bedingung

〈u∗ − v∗, u− v〉 ≥ 0 ∀ (v, v∗) ∈ A

fur ein beliebiges Paar (u, u∗) ∈ C ×X∗ erfullt, da der Graph von A leer ist.Daraus folgt, dass (u, u∗) ∈ A gilt, da A maximal monoton ist. Dies ist aberein Widerspruch zur Annahme. Also existiert (u0, u

∗0) ∈ A.

Man sieht sofort, dass fur beschrankte Mengen C der Operator B koerzivbzgl. des Operators A und jedes Elements b ∈ X∗ ist, da fur genugend großesr gilt: C ∩

(X \Br(0)

)= ∅.

Da der Graph von A nicht leer ist, konnen wir o.B.d.A. annehmen, dass(0, 0) ∈ A. Ansonsten gehen wir von dem Problem

b ∈ Au+Bu , u ∈ C ,

uber zub− u∗0 ∈ Av + Bv , v ∈ C − u0 ,

wobei Av := A(v + u0) und Bv := B(v + u0)− u∗0. Aufgrund der Definitionvon A erhalten wir, dass (v, v∗) ∈ A ⇔ (v + u0, v

∗) ∈ A gilt. Sei nun(u, u∗) ∈ (C − u0)×X∗ derart, dass fur alle (v, v∗) ∈ A gilt:

0 ≤ 〈u∗ − v∗, u− v〉 = 〈u∗ − v∗, u+ u0 − (v + u0)〉 .

Dies zusammen mit der maximalen Monotonie von A : C → 2X∗

impliziert,dass auch A : C − u0 → 2X

∗maximal monoton ist. Da auch B nur eine

Verschiebung von B ist, sieht man sofort, dass B : C − u0 → X∗ demistetigund beschrankt ist. Um die Pseudomonotonie von B zu zeigen, wahlen wireine Folge (un) ⊂ C − u0 mit un u (n→∞) und

0 ≥ lim supn→∞

〈Bun, un − u〉 = lim supn→∞

〈B(un + u0)− u∗0, un + u0 − (u+ u0)〉 .

Aufgrund der Pseudomonotonie von B erhalten wir fur alle w ∈ X

〈B(u+ u0)− u∗0, u+ u0 − w〉 ≤ lim infn→∞

〈B(un + u0)− u∗0, un + u0 − w〉 ,


was mit der Bezeichnung w = w − u0 die Ungleichung

〈Bu, u− w〉 ≤ lim infn→∞

〈Bun, un − w〉

impliziert, d.h. B ist pseudomonoton. Aus der Koerzivitat von B bezuglichA und b folgt fur v = u− u0 ∈ C − u0, mit ‖v‖ > r − ‖u0‖,

〈Bv, v〉 = 〈B(v + u0)− u∗0, v〉 = 〈Bu− u∗0, u− u0〉> 〈b− u∗0, u− u0〉 = 〈b− u∗0, v〉 ,

d.h. B ist koerziv bezuglich A und b − u∗0. Also erfullt auch B die Voraus-setzungen des Satzes.

1. Aquivalente Variationsungleichung: Wir suchen ein u ∈ C mit:

〈b−Bu− v∗, u− v〉 ≥ 0 ∀(v, v∗) ∈ A . (3.30)

Dieses Problem ist aquivalent zu unserem ursprunglichen Problem (3.28).Wenn namlich u ∈ C die Ungleichung (3.30) lost, dann folgt aus der maxima-len Monotonie von A, dass (u, b−Bu) ∈ A, d.h. insbesondere b ∈ Au+Bu undu ∈ D(A). Falls umgekehrt u eine Losung von (3.28) ist, dann ist b−Bu ∈ Auund die Ungleichung gilt aufgrund der Monotonie von A.

2. Apriori Abschatzung: Sei u ∈ C eine Losung von (3.30). Da (0, 0) ∈ A,gilt

〈b−Bu, u〉 ≥ 0 ⇔ 〈Bu− b, u〉 ≤ 0 .

Andererseits ist B koerziv bezuglich A und b mit u0 = 0. Daher gibt es einr > 0 mit 〈Bu− b, u〉 > 0 fur alle ‖u‖ > r. Diese und die obige Ungleichungliefern die apriori Abschatzung

‖u‖ ≤ r , (3.31)

falls u ∈ C eine Losung von (3.30) ist.

3. Galerkin–Ungleichung: Wir bezeichnen mit L die Menge aller endlich–dimensionalen linearen Unterraume Y von X. Wir wahlen ein festes Y ∈ L.Anstelle von (3.30) betrachten wir das approximative Problem: Wir suchenuY ∈ C ∩ Y , das die Ungleichung

〈b−BuY − v∗, uY − v〉Y ≥ 0 ∀(v, v∗) ∈ A mit v ∈ C ∩ Y (3.32)

lost. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass aus Y ⊆ X die RelationX∗ ⊆ Y ∗ folgt. Dies ist so zu verstehen, dass fur v∗ ∈ X∗ die Einschrankungauf Y ⊆ X sofort ein Element aus Y ∗ liefert, d.h. die Dualitatsprodukte aufbeiden Raumen werden miteinander identifiziert, und es gilt fur alle v ∈ Y :

〈v∗, v〉Y := 〈v∗, v〉X .


4. Losung von (3.32): Wir mussen eine weitere Approximation des Pro-blems (3.32) durchfuhren. Dazu setzen wir fur R > 0

KR := v ∈ C ∩ Y∣∣ ‖v‖X ≤ R ,

GR := (v, v∗) ∈ A∣∣ v ∈ KR .

Man beachte, dass beide Mengen nichtleer sind, da (0, 0) ∈ A. Wir approxi-mieren (3.32) durch das abgeschnittene Problem: Suche uR ∈ KR:

〈b−BuR − v∗, uR − v〉Y ≥ 0 ∀(v, v∗) ∈ GR . (3.33)

(a) Losung des abgeschnittenen Problems: Auf das Problem (3.33) wollenwir Lemma 1.2.25 anwenden. Dazu setzen wir:(α) K = KR. Die Menge K ⊂ Y ist konvex aufgrund der Definiti-

on und kompakt, da sie eine abgeschlossene Teilmenge des endlich–dimensionalen Raumes Y ist.

(β) M = GR. Die Menge M ist monoton, da der Operator A insbeson-dere monoton ist.

(γ) T : K → X∗ : u 7→ b−Bu. Der Operator T ist stetig, da B demistetigist, d.h. aus un → u (n → ∞), folgt Bun Bu (n → ∞). Wir be-trachten aber B eingeschrankt auf Y , d.h. B : C ∩ Y → X∗ ⊆ Y ∗ mitdimY ∗ <∞. In endlich–dimensionalen Raumen impliziert schwacheKonvergenz aber starke Konvergenz (cf. Lemma A.8.8). Also erhaltenwir Bun → Bu (n→∞), d.h. T ist stetig.

Nach Lemma 1.2.25 hat das abgeschnittene Problem (3.33) demnach eineLosung uR ∈ KR.

(b) Losung der Galerkin–Ungleichung (3.32): Wir setzen

SR :=uR ∈ KR

∣∣uR ist eine Losung von (3.33),

d.h. SR ⊆ KR fur alle R > 0. Aus der Koerzivitat von B bezuglich Aund b (cf. Schritt 2) folgt:

‖uR‖ ≤ r, (3.34)

wobei r unabhangig von R und Y ∈ L ist. Die Menge SR hat folgendeEigenschaften:(α) SR ist abgeschlossen: Sei (un) ⊂ SR, mit un → u (n → ∞). Da B

demistetig ist folgt also Bun Bu (n → ∞). Somit bleibt die Un-gleichung (3.33) beim Grenzubergang n→∞ erhalten, d.h. u ∈ SR.

(β) SR ist kompakt: Die Menge SR ist eine abgeschlossene Teilmengevon KR, und KR, als abgeschlossene und beschrankte Teilmenge desendlich–dimensionalen Raumes Y , ist selbst kompakt.

(γ) SR′ ⊆ SR fur alle R′, R mit R′ ≥ R ≥ r: Fur R′ ≥ R ≥ r giltaufgrund der Konstruktion: GR ⊆ GR′ .


Fur eine Folge Rn → ∞ (n → ∞) bilden also die Mengen SRn eineabsteigende Folge kompakter Mengen und somit (cf. endliches Durch-schnittsprinzip Lemma A.1.3) folgt die Existenz eines Elements uY mit

uY ∈∞⋂n=1

SRn .

Aus (3.34) und der Definition von KR ⊆ C erhalten wir sofort

‖uY ‖ ≤ r und uY ∈ C . (3.35)

Außerdem ist uY eine Losung von (3.32), denn fur (v, v∗) ∈ A, v ∈ C ∩ Ygilt: Es existiert ein Rn0

, so dass ‖v‖ ≤ Rn0. Damit ist uY eine Losung von

(3.33) fur Rn0. Da aber uY fur alle Rn (n→∞) in SRn liegt und v beliebig

gewahlt war, erhalten wir

〈b−BuY − v∗, uY − v〉 ≥ 0 ∀(v, v∗) ∈ A mit v ∈ C ∩ Y.

5. Konvergenz der Galerkin–Losungen uY : Wir wollen zeigen, dass in ei-nem gewissem Sinne gilt: “uY → u“, wobei u eine Losung von (3.30) sein wird.Hierbei tritt das Problem auf, dass Pseudomonotonie nur uber (abzahlbare)Folgen definiert ist, das System L aber uberabzahlbar ist. Also ist eine weitereApproximation notig. Seien Y,Z ∈ L. Wir setzen

MZ := (uY , BuY ) ∈ C ×X∗∣∣uY Losung von (3.32) mit Y ⊇ Z .

Zuerst zeigen wir, dass es ein Element

(u, u∗) ∈⋂Z∈L

Mw

Z (3.36)

gibt, wobei Mw

Z der Abschluss von MZ in X ×X∗ bzgl. der schwachen To-pologie ist. Dieses u wird letztendlich die gesuchte Losung sein.

(a) Beweis von (3.36): Aus der apriori Abschatzung (3.35) erhalten wir, dassfur alle Y ∈ L gilt ‖uY ‖ ≤ r. Da B : X → X∗ beschrankt ist, ist dieBildmenge B(Br) auch beschrankt. Also gibt es einen abgeschlossenenBall K ⊆ X ×X∗, so dass ⋃

Z∈LMZ ⊆ K .

Da X reflexiv ist, sind es auch X∗ und X ×X∗ (cf. Lemma A.7.4). DaK stark abgeschlossen, beschrankt und konvex ist, ist K auch schwachkompakt (cf. Folgerung A.8.14). Nun ist aber fur alle Z ∈ L die Menge

Mw

Z schwach abgeschlossen und es gilt: Mw

Z ⊆ K. Demzufolge ist auch


Mw

Z schwach kompakt, und ⋃Z∈L

Mw

Z ⊆ K .

Seien nun Y, Z ∈ L beliebig aber fest. Wir setzen S = spanY, Z underhalten MY ∩MZ ⊇ MS . In der Tat, sei (uS , BuS) ∈ MS . Dann ist uSeine Losung von (3.32) in einem Raum U ⊇ S = spanY,Z ⊇ Y undU ⊇ S ⊇ Z. Das bedeutet aber (uS , BuS) ∈MZ ∩MY . Wiederholen wirdieses Argument endlich oft, erhalten wir

N⋂i=1

Mw

Yi 6= ∅ ∀N ∈ N , ∀Yi ∈ L .

Aus dem endlichen Durchschnittsprinzip (cf. Lemma A.1.3) folgt somit(3.36).

(b) Konstruktion eines speziellen Paares (v0, v∗0): Es existiert (v0, v

∗0) ∈ A,

so dass gilt:〈b− u∗ − v∗0 , u− v0〉 ≤ 0 . (3.37)

Sei dem nicht so, dann gilt fur alle (v, v∗) ∈ A:

〈b− u∗ − v∗, u− v〉 > 0 .

Da A maximal monoton ist, folgt b− u∗ ∈ Au. Somit konnen wir v = uund v∗ = b − u∗ wahlen und erhalten 〈b − u∗ − v∗, u − v〉 = 0. Dies istein Widerspruch zur Annahme. Also gilt (3.37).

(c) Spezielle Approximation: Wir wahlen nun Y ∈ L fest: Die Menge Mw

Y

ist schwach abgeschlossen in X × X∗, und (u, u∗) ∈ Mw

Y wegen (3.36).Aufgrund von Lemma A.8.17 gibt es eine Folge (un, u

∗n) ⊂ MY mit

(un, u∗n) (u, u∗) in X × X∗ (n → ∞). Nach Konstruktion von MY

ist u∗n = Bun und insbesondere un ∈ C. Die Menge C ist stark abge-schlossen und konvex, also auch schwach abgeschlossen (cf. Satz A.8.9),daher liegt auch u in C. Nach Lemma A.8.17 gibt es eine Folge (un) ⊂ C,so dass

un u in X

Bun u∗ in X∗(n→∞) , (3.38)

und

〈b−Bun − v∗ , un − v〉 ≥ 0 ∀(v, v∗) ∈ A mit v ∈ Y ∩ C , (3.39)

denn un ∈MY , und Elemente von MY sind Losungen von (3.32).

(d) Pseudomonotonie von B: Wir wollen zeigen, dass gilt:

〈Bu, u− v〉 ≤ 〈b− v∗, u− v〉 ∀ (v, v∗) ∈ A mit v ∈ Y ∩ C ,


denn damit haben wir gezeigt, dass (3.30) und damit auch (3.28) furalle v ∈ Y ∩ C gilt. Wir beschranken uns dazu auf solche Y ∈ L mitv0 ∈ Y , wobei v0 das Element aus 5. (b) ist. Wir wahlen ein festes,aber beliebiges Y mit dieser Eigenschaft. Aus (3.39) folgt fur alle w ∈ C,(v, v∗) ∈ A, v ∈ Y ∩ C, und alle n ∈ N

〈Bun, un − w〉 ≤ 〈b− v∗, un − v〉+ 〈Bun, v − w〉 . (3.40)

Wir wahlen insbesondere w = v. Dies ist moglich, da D(A) ⊆ C. Somitfolgt aus (3.40)

〈Bun, un− v〉 ≤ 〈b− v∗, un− v〉 ∀ (v, v∗) ∈ A mit v ∈ Y ∩C . (3.41)

Nun wahlen wir w = u , v = v0 und v∗ = v∗0 , wobei (v0, v∗0) das spezielle

Paar aus 5. (b) ist, und erhalten aus (3.40)

〈Bun, un − u〉 ≤ 〈b− v∗0 , un − v0〉+ 〈Bun, v0 − u〉

und somit mit Hilfe von (3.38) und (3.37)

lim supn→∞

〈Bun, un − u〉 ≤ 〈b− v∗0 − u∗, u− v0〉 ≤ 0 ,

d.h. lim supn→∞ 〈Bun, un − u〉 ≤ 0. Da der Operator B pseudomo-noton ist und un u (n → ∞), folgt mit Hilfe von (3.41) fur alle(v, v∗) ∈ A, v ∈ Y ∩ C

〈Bu, u− v〉 ≤ lim infn→∞

〈Bun, un − v〉

≤ 〈b− v∗, u− v〉 ,

d.h. fur alle (v, v∗) ∈ A, und v ∈ Y ∩ C gilt:

〈b−Bu− v∗, u− v〉 ≥ 0 .

Zu beliebigem (v, v∗) ∈ A gibt es ein Y ∈ L mit v ∈ Y , denn⋃Y ∈Lv0∈Y

Y = X.

Damit haben wir gezeigt, dass

〈b−Bu− v∗, u− v〉 ≥ 0 ∀(v, v∗) ∈ A ,

d.h. u ∈ C ist eine Losung von (3.30).

Der Beweis des Satzes ist vollstandig.

Bemerkungen. (i) Wie wir bereits im Beweis des Satzes bemerkt habensind die Voraussetzungen des Satzes 3.29 fur alle b ∈ X∗ erfullt, falls dieMenge C beschrankt ist.


(ii) Die Voraussetzungen von Satz 3.29 sind auch fur alle b ∈ X∗ erfullt,falls B koerziv bezuglich A ist, d.h. es existiert ein Element u0 ∈ C∩D(A),so dass

lim‖u‖→∞u∈C

〈Bu, u− u0〉‖u‖

=∞ . (3.42)

Dann gibt es fur alle b ∈ X∗ eine Losung von (3.30), d.h. R(A + B) = X∗.In der Tat haben wir fur ‖u‖ > r

〈Bu− b, u− u0〉‖u‖

≥ 〈Bu, u− u0〉‖u‖

− ‖b‖ ‖u− u0‖‖u‖

≥ 〈Bu, u− u0〉‖u‖

− ‖b‖‖u‖+ ‖u0‖‖u‖

≥ 〈Bu, u− u0〉‖u‖

− 2‖b‖ .

Die rechte Seite der Ungleichung konvergiert gegen ∞ fur ‖u‖ → ∞. Somitgilt 〈Bu, u − u0〉 > 〈b, u − u0〉 fur alle ‖u‖ > r mit r groß genug, d.h. dieBedingungen des Satzes 3.29 sind fur alle b ∈ X∗ erfullt.

3.3.3 Variationsungleichungen

Wir wollen nun Satz 3.29 auf Variationsungleichungen anwenden. Gegebensei ein Operator A : C → X∗, wobei C ⊆ X eine konvexe, abgeschlosseneMenge ist, und b ∈ X∗. Wir suchen ein u ∈ C so, dass

〈b−Au, u− v〉 ≥ 0 ∀v ∈ C . (3.43)

Eine aquivalente Formulierung von (3.43) ist: Suche ein u ∈ C, so dass

b ∈ ∂χ(u) +Au , (3.44)

wobei χ die Indikatorfunktion von C ist, d.h.

χ(u) =

0 u ∈ C ,∞ u ∈ X \ C .

Wir haben gezeigt, dass das Subdifferential ∂χ gegeben ist durch:

∂χ(u) =

u∗ ∈ X∗

∣∣ 〈u∗, u− v〉 ≥ 0 ∀v ∈ C u ∈ C ,

∅ u ∈ X \ C .

Daher ist u ∈ C mit b ∈ ∂χ(u) +Au aquivalent zu 〈b−Au, u−v〉 ≥ 0 fur allev ∈ C. Falls C = X, so ist (3.43) aquivalent zur Operatorgleichung Au = b.


3.45 Satz. Sei C 6= ∅ eine konvexe, abgeschlossene Teilmenge eines refle-xiven, reellen Banachraumes X. Der Operator A : C → X∗ sei pseudomono-ton, demistetig und beschrankt. Falls C unbeschrankt ist, existiere ein u0 ∈ C,so dass

lim‖u‖→∞u∈C

〈Au, u− u0〉‖u‖

=∞ .

Dann gilt:

(i) Fur alle b ∈ X∗ gibt es eine Losung u von (3.43).

(ii) Falls A : C → X∗ monoton ist, ist die Losungsmenge von (3.43) abge-schlossen und konvex.

(iii) Falls A : C → X∗ strikt monoton ist, ist (3.43) eindeutig losbar.

Beweis . ad (i): Die Menge C ist konvex, abgeschlossen und nichtleer, daherist nach Lemma 3.27 das Subdifferential der Indikatorfunktion ∂χ : C → 2X

∗

maximal monoton. Wir haben auch gezeigt, dass fur u ∈ C gilt ∂χ(u) 6= ∅(cf. (3.17)). Um Satz 3.29 und die Bemerkungen nach diesem Satz anwendenzu konnen, wahlen wir A = ∂χ und B = A. Also existiert ein u ∈ C, so dass

b ∈ ∂χ(u) +Au .

Dies ist aufgrund obiger Uberlegungen aquivalent zur Existenz einer Losungvon (3.43).

ad (ii): Wenn A : C → X∗ monoton ist, ist (3.43) aquivalent zu: Sucheu ∈ C, so dass

〈b−Av, u− v〉 ≥ 0 ∀v ∈ C . (3.46)

In der Tat, sei u eine Losung von (3.43), dann haben wir aufgrund der Mo-notonie von A

〈Av, v − u〉 = 〈Au, v − u〉+ 〈Av −Au, v − u〉

≥ 〈Au, v − u〉(3.43)

≥ 〈b, v − u〉 ,

d.h. u ist eine Losung von (3.46). Sei umgekehrt u eine Losung von (3.46).Wir setzen v = (1− t)u+ tw, w ∈ C, 0 < t < 1. Da C konvex ist, folgt v ∈ C.Die Ungleichung (3.46) impliziert daher

〈b−A((1− t)u+ tw)), u− w〉t ≥ 0

oder aquivalent〈b−A((1− t)u+ tw), u− w〉 ≥ 0 .

Im Grenzubergang t→ 0+ folgt, da A demistetig ist,

〈b−Au, u− w〉 ≥ 0 .


Das ist aber gerade (3.43).

Sei S die Losungsmenge von (3.46) und seien u, u ∈ S. Dann gilt furw = (1− t)u+ tu:

〈b−Av,w − v〉 = 〈b−Av, (1− t)u+ tu− ((1− t)v + tv)〉= (1− t)〈b−Av, u− v〉+ t〈b−Av, u− v〉 ≥ 0 ,

aufgrund von (3.46), d.h. die Losungsmenge S ist konvex. Sei (un) ⊆ S eineFolge mit un → u (n→∞). Dann gilt:

〈b−Av, un − v〉 ≥ 0 .

Fur n→∞ folgt 〈b−Av, u−v〉 ≥ 0 und damit u ∈ S. Also ist S abgeschlossen.

ad (iii): Fur u, u ∈ S gilt:

〈b−Au, u− v〉 ≥ 0 ,

〈b−Au, u− v〉 ≥ 0 .

Wir setzen v = u in die 1. Ungleichung ein und v = u in die 2. Ungleichung,danach addieren wir beide Ungleichungen. Dies ergibt

〈−Au+Au, u− u〉 ≥ 0 ⇔ 〈Au−Au, u− u〉 ≤ 0 .

Da A strikt monoton ist, folgt daraus u = u.

Beispiel. Wir betrachten folgendes Hindernisproblem: Gesucht ist ein Ele-ment u ∈W 1,2

0 (Ω), so dass

−∆u = f in Ω ,

u = 0 auf ∂Ω ,

u ≥ g in Ω ,

(3.47)

wobei f, g gegebene Funktionen sind und Ω ⊂ Rd ein beschranktes Gebietist. Diese Gleichungen beschreiben das Verhalten einer elastischen Membranunter dem Einfluss einer Kraft f , falls die Bewegung durch ein Hindernis gbeeinflusst wird.

Membran

Kraft f

Hindernis g

Abb. 2


Wir setzen

C :=u ∈W 1,2

0 (Ω)∣∣u ≥ g ,

〈Au, v〉 :=

∫Ω

∇u · ∇v dx ,

〈b, v〉 :=

∫Ω

fv dx ,

und betrachten die folgende Variationsungleichung: Suche ein u ∈ C mit

〈b−Au, u− v〉 ≥ 0 , ∀v ∈ C , (3.48)

d.h. suche ein u ∈ C mit∫Ω

f(u− v) dx−∫Ω

∇u · ∇(u− v) dx ≥ 0 ∀v ∈ C .

3.49 Satz. Sei Ω ⊂ Rd ein beschranktes Gebiet mit Rand ∂Ω ∈ C0,1. Dannexistiert fur alle f ∈ L2(Ω) und g ∈ W 1,2(Ω) , g ≤ 0 auf ∂Ω, genau eineLosung u ∈ C der Variationsungleichung (3.48).

Beweis . 1. Die Menge C ist nichtleer, da fur

v = max (g, 0) = g+

offensichtlich v ≥ g gilt und man zeigen kann, dass v zum Raum W 1,2(Ω)gehort (cf. [9, Satz 4.2.4 (iii)]). Da auf dem Rand ∂Ω aufgrund unserer Vor-aussetzungen v = 0 gilt, ist also v ∈ W 1,2

0 (Ω). Offensichtlich ist C konvex.Die Menge C ist auch abgeschlossen, da fur eine Folge (un) ⊆ C mit un → uin W 1,2(Ω) (n→∞) folgt, dass es eine Teilfolge gibt mit unk(x)→ u(x) fastuberall in Ω (k → ∞) (cf. Satz A.12.24, Satz A.11.12). Daraus folgt, dassauch u ∈ C.

2. Der Operator A ist stetig, strikt monoton und koerziv, wie wir in Lem-ma 1.30 gezeigt haben (p = 2, s = 0).

Satz 3.45 liefert also sofort die Behauptung.

Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen der Losung der Variations-ungleichung (3.48) und der Losung unseres ursprunglichen Problems (3.47)?Falls die Losung u und die Daten f, g glatt sind, dann erhalten wir, dass

O := x ∈ Ω∣∣u(x) > g(x)

offen ist und dassB := x ∈ Ω

∣∣u(x) = g(x)


abgeschlossen ist. Wir setzen v = u + τϕ mit ϕ ∈ C∞0 (O) und |τ | klein. Dau und g glatt sind, ist v ∈ C, und es folgt

−τ∫Ω

fϕ dx+ τ

∫Ω

∇u · ∇ϕdx = τ

∫O

∇u · ∇ϕ− fϕ dx ≥ 0 .

Wir ersetzen τ durch −τ , und erhalten insgesamt∫O

fϕ dx−∫O

∇u · ∇ϕdx = 0 ∀ϕ ∈ C∞0 (O) .

Daraus folgt durch partielle Integration (cf. (A.12.18)), dass∫O

(f + ∆u)ϕdx = 0 ∀ϕ ∈ C∞0 (O) ,

woraus wir schließen−∆u = f in O .

Sei nun ϕ ∈ C∞0 (Ω), ϕ ≥ 0, 0 < τ ≤ 1. Wir setzen v = u + τϕ. Dann istv ∈ C und es gilt:

−τ∫Ω

fϕ dx+ τ

∫Ω

∇u · ∇ϕdx ≥ 0 .

Partielle Integration der Gleichung ergibt

−∫Ω

(f + ∆u)ϕdx ≥ 0 ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω), ϕ ≥ 0 ,

woraus wir schließen konnen

−∆u ≥ f in Ω .

Wir haben also gezeigt, dass eine glatte Losung u der Variationsungleichung(3.48) das Problem

−∆u ≥ f, u ≥ g in Ω ,

−∆u = f, u > g in O .

lost. Man vergleiche dies mit dem Originalproblem (3.47).

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Index

Br(x0) 181ε–Netz 181N0 205σ–Algebra 197– Borel 197X → Y 206

Abbildung 117– bilineare 48– folgenstetig 180– maximal monoton 118– monoton 118– stetig 178– unterhalbstetig 178Abbildungsgrad– Brouwer 141, 164– Leray–Schauder 167Ableitung– Frechet 46– Gateaux 45– partielle 205– Radon–Nikodym 210– Richtungs- 45– schwache partielle 211– verallgemeinerte Zeit- 91Abstand 181apriori Abschatzung 32, 58, 66, 81, 90,

94, 112, 131, 172

Basis 183, 184Bilinearform 31, 194

Caratheodory–Bedingung 69Cauchy–Folge 181

Definitionsbereich 45– effektiver 117Diffeomorphismus 47

Differentialgleichung– gewohnliche 5, 29– partielle 31, 71, 75, 76, 82, 84, 90, 98,

99, 109, 138Dimension 183Dualitat 186Dualitatsabbildung 125Dualitatsprodukt 186Dualraum– von C(Ω) 205– von Lp(Ω) 210– von W k,p

0 (Ω) 212Durchmesser 181

Eigenvektor 185Eigenwert 185Einbettung 206, 211, 213– kompakt 206– stetig 206endliches Durchschnittsprinzip 179Energiefunktional 11Euler–Lagrange–Gleichungen 12Exponent– duale 43, 208

fast uberall 199Fehlerabschatzung 4Fixpunkt 1Fixpunktsatz 1– Banach 2– Brouwer 9– Schauder 9, 27, 28Fourierreihe 184Funktion– Bochner–messbar 36– charakteristische 199– integrierbar 201– konvex 122

220 Index

– Lipschitz–stetig 206– lokal integrierbar 208– messbar 198– stetig 44, 178, 204– stetig differenzierbar 47– unterhalbstetig 121

Galerkin–Verfahren 58, 65, 81, 93, 109Gebiet 204Gelfand–Tripel 91Glattungsoperator 209gleichgradig stetig 205Gleichung– Euler–Lagrange 12– Laplace 31, 173– Navier–Stokes 85– quasilineare elliptische 71, 76, 82,

174– quasilineare parabolische 98– Warmeleitungs– 90Gradient 11, 205Graph 117

Hindernisproblem 138Homoomorphismus 178Homotopie 141, 168Hyperebene 195

Indikatorfunktion 124Integral– Bochner 35, 36– Lebesgue 36, 200– Parameter– 202Interpolation 208Isometrie 164, 185Isomorphismus 164, 185iterative Folge 2

Kettenregel 48Kompaktheit 179Konvergenz 186– ∗–schwache 188– einer Folge 180, 181, 183– schwache 188– stark 188Konvergenzprinzip 60konvexe Hulle 182Konvolution 209Kronecker–Symbol 184

Kugel 181

Losung– schwach 32Lagrangefunktion 11Laplace–Gleichung 31Lebesgue–Maß 35, 197Lemma– von Aubin–Lions 101– von Fatou 202– von Lax–Milgram 194– von Mazur 28linear unabhangig 183lineare Hulle 182lineares Funktional 186Linearkombination 182

Maß 197– außeres 196– σ–endlich 198– absolut stetig 210– Borel 198– Lebesgue 197– regular 198– signiertes 198– vollstandig 198Maßraum 198Menge– uberdeckungskompakt 179– abgeschlossen 177– Borel 197– dicht 178– folgenkompakt 180– konvex 182– Lebesgue–messbar 197– monoton 18– offen 177, 181– prakompakt 181– relativ kompakt 179– relativ folgenkompakt 180Metrik 181Minimierungsproblem 120Minimum 12Minty Trick 58

Navier–Stokes–Gleichungen 85Nemyckii–Operator 69Newtonverfahren 4Norm 183

Index 221

– aquivalente 7, 215Null–Lagrangefunktion 13Nullmenge 198

Operator 185– adjungiert 186– Bedingung (M) 76– beschrankt 63, 185– Bildraum 185– demistetig 63– hemistetig 57, 63– Integral- 23– invers 185– Kern 185– koerziv 58, 62, 129, 136– kompakt 23– linear 185– lokal beschrankt 63– maximal monoton 18, 59, 116– monoton 17, 57, 61– positiv semidefinit 186– pseudomonoton 17, 76, 77– selbstadjungiert 186– stark monoton 62– stark stetig 63– stetig 185– strikt monoton 61Operatornorm 185orthogonal 184Orthogonalkomplement 184Orthonormalbasis 184Orthonormalsystem 184– vollstandig 184

partielle Integration 211, 213Prinzip der gleichmaßigen Beschrankt-

heit 194Produktmaß 203– außeres 203Produktregel 48

Rand 207Randwert– schwacher 213Randwertproblem 31, 71Raum– C(U ;Y ) 44– C(Ω) 204– C∞0 (Ω) 206

– Ck(Ω) 205– Cn(U ;Y ) 47, 50– Ck,λ(Ω) 206– L(X,Y ) 185– L1

loc(Ω) 208– L∞(Ω) 208– Lp(S;X) 41– Lp(Ω) 207– W k,p(Ω) 211– W k,p

0 (Ω) 212– Banachraum 183, 184– Basis 184– Bidualraum 187– Dualraum 186– gleichmaßig konvex 192– Hausdorff–Raum 177– Hilbertraum 184– Lebesgue–Raum, Lp(Ω) 207– lokal gleichmaßig konvex 192– metrischer 180– normierter Vektorraum 183– reflexiv 187– separabel 178– Sobolev–Raum, W k,p(Ω) 211– strikt konvex 192– topologischer 177, 181– Vektorraum 182– vollstandiger 181Retraktion 10

Satz– uber die inverse Funktion 54– uber implizite Funktionen 51– uber majorisierte Konvergenz 201– uber monotone Konvergenz 201– Mittelwert- 46– Projektions- 193– Reduktions- 165– Rieszscher Darstellungs- 193– Transformations- 204– von Arzela–Ascoli 205– von Baire 195– von Banach–Aloaglu–Bourbaki 191– von Banach–Steinhaus 194– von Bochner 38– von Borsuk 161, 170– von Brouwer 162– von Browder 129– von Browder–Minty 65

222 Index

– von De Rham 89– von Eberlein–Smuljan 191– von Egorov 200– von Fubini 203– von Hahn 198– von Hahn–Banach 195, 196– von Kadec–Troyanski 193– von Kolmogorov 210– von Levi 201– von Lusin 199– von Mazur 190– von Milman–Pettis 192– von Minty 59– von Pettis 37– von Radon–Nikodym 210– von Riesz 188– von Riesz–Radon 205– von Schauder 170, 173– von Taylor 50– von Weierstrass 204schwache Formulierung 31, 71, 90Skalarprodukt 184Spur 213Spuroperator 213Subdifferential 119

Subgradient 119

Topologie 177– induzierte 181– schwache 188Trager einer Funktion 179Tragerfunktional 124Treppenfunktion 35, 199

Umgebung 177Ungleichung– Holder 43, 208– Minkowski 209– Poincare 214– Young 208

Variationsrechnung 11Variationsungleichung 136, 139Vektorraum 182

Warmeleitungsgleichung 90Wachstumsbedingung 69Wertebereich 117

Zerlegung der Eins 19, 25, 179, 212

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