Niedersachsen, November 2006 Das Kerncurriculum Mathematik verstehen – Entstehungsgeschichte –...

Niedersachsen, November 2006

Das Kerncurriculum Mathematik verstehen – Entstehungsgeschichte – Struktur – Beispiele –

Jan-Peter Braun SINUS-Transfer Niedersachsen

Landeskoordinator

Berthold FritschSINUS-Transfer Niedersachsen

Setkoordinator

Wir müssen die Kinder und Jugendlichen mit der bestmöglichen mathematischen Bildung ausstatten, mit einer Bildung, die sie befähigt, persönliche Wünsche und Berufsvorstellungen in einer sich ständig ändernden Welt zu erfüllen.Mathematische Kompetenzen öffnen Türen zu einer produktiven Zukunft. Ein Mangel an mathematischen Kompetenzen verschließt diese Türen.(NCTM 2000)

9.30 (I) Bildungsstandards und Kerncurricula – von veränderten Lehrplänen zu verändertem Unterricht (90‘)

11.00 Pause (15´)

11.15 (II) Das Kerncurriculum verstehen – Entwicklung und Aufbau der neuen Kerncurricula im Fach Mathematik (60‘)

12.15 Mittagspause (60´)

13.15 (II) Fortsetzung (60‘)

14.15 (III) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum – Anregungen für einen kompetenzorientierten Unterricht (120‘)

16.15 (IV) Ausblick und Fragen (15‘)

16.30 Ende der Veranstaltung

Überblick über den heutigen Tag – Vortrag und Workshop –

Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik

Teil I

Bildungsstandards und Kerncurricula- Von veränderten Lehrplänen zu verändertem Unterricht –

Kapitel 1 des Kerncurriculums … und mehr


Stimmen zum Kerncurriculum

„Kerncurricula sind das Gleiche wie Rahmenrichtlinien – alter Wein in neuen Schläuchen!“

„Kerncurricula sind eine Modeerscheinung – genauso wie die Mengenlehre werden auch Kerncurricula bald wieder in Vergessenheit geraten!"

„Die da oben verlangen immer mehr von uns! Bei dieser Erlassflut muss ich Schwerpunkte setzen. Das Kerncurriculum wird nicht mein Schwerpunkt."

„Für die jungen Lehrkräfte ist das sicherlich interessant. Ich habe noch 5 Jahre bis zum Ruhe-stand, da stelle ich mich nicht mehr um."

„Kerncurricula sind Standards – Ich möchte keine standardisierten Menschen!"

„In zwei Jahren denken die sich wieder was anderes aus.“



„Das Kerncurriculum Mathematik sieht ja ganz anders aus als das Kerncurriculum Englisch, und dieses wiederum anders als das Kerncurriculum Deutsch – die wissen wohl selbst nicht, was sie wollen.“

„Was haben die sich denn da ausgedacht? Jetzt haben wir neben Bildungsstandards noch etwas, mit dem wir uns beschäftigen müssen!"

„Alles ist anders! – Wie soll ich das leisten?"

„In Klasse 5/6 sind 102 Erwartungen formuliert – Ich kann doch in realistisch für Unterricht zu Verfügung stehenden 300 Unterrichtsstunden nicht 102 Themen stopfen!"

„Jetzt heißt das eben nicht mehr Ziele sondern Kompetenzen.“

„Meine Schüler können nicht mal schriftlich dividieren und dann soll ich prozessbezogene Kompetenzen aufbauen?“

„Endlich wird sich der Unterricht in der Schule mal wirklich grundlegend verändern, dafür investiere ich gerne Zeit und Arbeit.“



„Kerncurricula sind der Innovationsmotor für die Verbesserung des Bildungssystems – durch Kerncurricula schneidet Niedersachsen in der kommenden PISA-Studie deutlich besser ab."

„Habt Ihr es in Niedersachsen gut! Wir müssen selbst mit den Bildungsstandards zurechtkommen und diese auf die einzelnen Jahrgangsstufen herunterbrechen."

„Super, dass Ihr Euren Lehrern so etwas bietet. Ich nutze bereits die Entwurfsfassung für die Lehrerbildung in Kursen zur Umsetzung der Bildungsstandards."

„Wir als Fachdidaktiker sollten uns mit Kritik am Kerncurriculum sehr zurückhalten. Wir haben es in den vergangenen Jahrzehnten nicht geschafft, etwas Vergleichbares zu entwickeln."

„Endlich können wir uns auf die wesentlichen Inhalte beschränken.“

„Endlich ändert sich mal was. Wer braucht auch schon 6/18 : 7/15. Im Berufsleben müssen wir teamfähig sein, Probleme lösen und dabei technische Hilfsmittel sinnvoll einsetzen.“


Teil II

Das Kerncurriculum verstehen- Entwicklung und Aufbau –


(1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards

(2) Von den Bildungsstandards zum Kerncurriculum

(3) Die Struktur des Kerncurriculums

(4) Die prozessbezogenen Kompetenzbereiche verstehen

(5) Neues an den inhaltsbezogenen Kompetenzbereichen verstehen


(7) Förderung von Mädchen und Jungen

(8) Entwicklung von Aufgaben für die Kooperation von Schülern

(9) Verantwortung für das eigene Lernen stärken

(10)Prüfen - Erfassen und Rückmelden von Kompetenzzuwachs

(11)Qualitätssicherung innerhalb der Schule und Entwicklung schulübergreifender Standards

Module

(1) Weiterentwicklung der Aufgabenkultur

(2) Naturwissenschaftliches Arbeiten

(3) Aus Fehlern lernen

(4) Sicherung von Basiswissen - verständnisvolles Lernen auf unterschiedlichen Niveaus

(5) Zuwachs von Kompetenz erfahrbar machen — Kumulatives Lernen

(6) Fächergrenzen erfahrbar machen - Fachübergreifendes und fächerverbindendes Arbeiten

Zentrale Befunde

o die in den Lehrplänen gesetzten Ziele werden nicht erreicht

o die Leistungen der Schüler variieren stark

o im internationalen Vergleich liegen die Leistungen unter dem Durchschnitt

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Jahr

TIMSS 1995

Untersuchung Gutachten

PISA 2000

PISA 2003

Steigerung derEffizienz des MNU

SIN

US

-Mod

ellv

.S

-T 2

S-T

Bildungsstandards

Bildungsstandards Mathe/NW

Kerncurricula Niedersachsen

KMK–Zentrale Handlungsfelder

Zentrale IdeeKooperationImpulse von außenFokussierung

(1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards – ein Überblick –

KooperationImpulse von außenFokussierung

Teil II: Das Kerncurriculum verstehen

10/04

12/04

2/05

4/05

6/05

8/05

10/05

12/05

2/06

4/06

6/06

Jahr

InoffizielleDiskussion

mit Experten

InoffizielleEinbeziehungvon Experten

Kom

missio

nssitzu

ng

en

Erste Version im Internet

Expertenanhörung

Veröffentlichung

Informationsveranstaltung

Expertengutachten

Durchlauf durchs MK

Landtagsfassung

Druckfassung/Internetfassung

Sp

rech

er

Kommissionsbildung

Anhörfassung

8 Sitzungen a 2 ½ Tage

(tlw. 12 h am Tag)


(1) Von den Bildungsstandards zum Kerncurriculum – ein Überblick –

Die Vorlage – NCTM Principles and Standards for School Mathematics


Durch die Kommission gesetztePrämissen

• so kurz wie möglich

• so umfangreich wie zum Verständnis (auch für fachfremd unterrichtende Lehrkräfte) notwendig

• kurze und prägnante Hinweise zu den einzelnen Kompetenzbereichen

• kurze und prägnant formulierte Texte „drumherum“

• Abbildung des kumulativen Kompetenzaufbaus

• die formulierten Kompetenzen müssen überprüfbar sein

• Grundideen für Laien verständlich

• kompatibel zu bzw. anschlussfähig an länderübergreifende Publikationen/Materialien

• Mitdenken von Folgeprodukten– Lernentwicklungsdokumentation, Handreichungen, Schulcurriculum


(3) Die Struktur des Kerncurriculum


Gliederung des Kerncurriculums

Allgemeine Informationen zu den niedersächsischen Kerncurricula (2 Seiten)

1. Bildungsbeitrag des Faches (1 Seite)

2. Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum (5 Seiten)

3. Erwartete Kompetenzen (1 Seite)1. Prozessbezogene Kompetenzbereiche (6 Doppelseiten)

2. Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche (7 Doppelseiten)

4. Leistungsfeststellung und Leistungsbewertung (1 ½ S.)

5. Aufgaben der Fachkonferenz (1 Seite)

– Kerncurricula und Bildungsstandards

– Kompetenzen

– Kompetenzerwerb

– Struktur der Kerncurricula

– Befähigung zur praktischen Lebensbewältigung

– Befähigung zur Weltorientierung und zur Wahrnehmung der Mathematik als Kulturgut

– Befähigung zum rationalen Handeln und zum kritischen Vernunftgebrauch

– Befähigung zum sozialen Handeln und zum eigenverantwortlichen Lernen


Die mathematischen Kompetenzbereiche

Mathematische Bereiche

– Zahlen und Operationen

– Größen und Messen

– Raum und Form

– Funktionaler Zusammenhang

– Daten und Zufall


Mathematik

– Modellieren– Problemlösen– Argumentieren– Kommunizieren– Darstellen– Symbolische, formale und

technische Elemente

Der Kern jedes mathematischen Bereichs

Grundlegende Idee (Kern) eines mathematischen Bereichs(Kernkompetenz)– …

– …

– …

– …


Mathematik

Formulierung von Kernkompetenzen (prozessbezogener Kompetenzbereich)

Problemlösen

Kernkompetenzen

Schülerinnen und Schüler –

erkennen ein mathematikhaltiges Problem und präzisieren es

→ …

→ …

setzen Problemlösestrategien ein → …

→ …

beurteilen Prozesse und Ergebnisseder Problemlösung

→ …

Kom

petenzaufbau

Anforderung

Schw

ierigkeit


Formulierung von Kernkompetenzen(inhaltsbezogener Kompetenzbereich)

Zahlen und Operationen

Kernkompetenzen


besitzen sinntragende Vorstellungen vonZahlenbereichen

→ …

→ …

stellen Zahlen dar und nennenBesonderheiten derZahldarstellung

→ …

→ …

rechnen flüssig → …

schätzen und prüfenihre Ergebnisse

→ …

Kom

petenzaufbau

Schw

ierigkeit


Kompetenzabbildung in einem prozessbezogenen Kompetenzbereich

DarstellenEnde Schuljahrgang 6

Ende Schuljahrgang 8


Kernkompetenzen


Erwartungen


Erwartungen


Erwartungen


… → … → … → …

erstellen mathematische Darstellungen

→ … → … → …

→ erstellen exakte Darstellungen

→ strukturieren Darstellungen übersichtlich

→ bereiten Darstellungen präsentations- gerecht auf

→ … → … → …

→ … → … → …

Kompetenzaufbau

Anforderung

Schwierigkeit


Kompetenzabbildung in einem inhaltsbezogenen Kompetenzbereich

Raum und FormEnde Schuljahrgang 6



Kernkompetenzen


Erwartungen


Erwartungen


Erwartungen


Identifizieren und strukturieren ebene und räumliche Figuren in der Umwelt

→erkennen und benennen Eigenschaften einfacher Körper (Würfel, Quader)

→erkennen und benennen Eigenschaften von Prismen

→erkennen und benennen Eigenschaften geometrischer Grundkörper (Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel)

→ … → … → …

Kompetenzaufbau

Schwierigkeit


Struktur

KompetenzbereichEnde Schuljahrgang 6



Kernkompetenzen


Erwartungen


Erwartungen


Erwartungen


… → … → … → …

→ … → …

→ … → …

… → … → … → …

→ …

… → … → … → …

→ …

Kompetenzaufbau

Anforderung

Schwierigkeit

Kom

petenzaufbau

Anforderung

Schw

ierigkeitTeil II: Das Kerncurriculum verstehen

BegriffsklärungenKompetenzaufbau – Anforderungen – Schwierigkeit – Kompetenzstufen

Kompetenzaufbau

Lern- undentwicklungspsychologisch bedingt und erklärbar

Anforderung

Kognitiver Anspruch(kognitive Komplexität)

Schwierigkeit

Empirisch ermittelbar(z.B. PISA-Kompetenzstufen,Erfahrungen von Lehrkräften)

Die fachdidaktische Lehr-/Lernforschung steht noch am Anfang

Das Kerncurriculum ist ein Kompetenzmodell

Anforderungsbereiche(bezogen auf prozessbezogene Kompetenzen)

I: Reproduzieren II: Zusammenhänge herstellenIII: Verallgemeinern und Reflektieren

Abhängig von- dem Thema/Stoff- den bereits aufgebauten Kompetenzen/Vorwissen- der Vertrautheit- …


(4) Die prozessbezogenen Kompetenz-bereiche verstehen


Modellieren

Problemlösen

Argumentieren

Kommunizieren

Darstellen

Symbolische, formale und technische Elemente

Modellieren

Ziel

• Mathematik in der Realität- erkennen- beurteilen

• Realitätsbezogene Situation mit mathematischen Mitteln- verstehen,- strukturieren- einer Lösung zuführen

Mittel

• Mathematisches Modell– vereinfachtes Abbild der Realität– Bindeglied zwischen Umwelt und

Mathematik– berücksichtigt nur Teilaspekte

Kernkompetenzen

Schülerinnen und Schüler

• stellen zu Sachsituationen Fragen, die sich mit mathematischen Mitteln bearbeiten lassen

• verbinden Realsituationen mit mathematischen Modellen

• arbeiten im Modell

• beurteilen das Ergebnis und das Modell in Bezug auf die Realsituation


Eine Beispielaufgabe zum Modellieren

Tanken

Herr Stein wohnt in Trier, 20 km von der Grenze zu Luxemburg entfernt. Er fährt mit seinem VW Golf zum Tanken nach Luxemburg, wo sich direkt hinter der Grenze eine Tankstelle befindet. Dort kostet der Liter Benzin nur 1,05 €, im Gegensatz zu 1,30 € in Trier.

Lohnt sich die Fahrt für Herrn Stein? Begründe deine Antwort!

Lösungsweg

1. Problemsituation verstehen

Fragestellung/Problem strukturieren/präzisieren

2. Problem mathematisieren

3. Mathematisch arbeiten (im Modell arbeiten)

4. Ergebnis interpretieren und überprüfen


Entscheidungsaufgabe: Lohnt es sich 20 km zur günstigeren Tankstelle zu fahren?Spare ich Geld, wenn ich

zur 20 km entfernten günstigeren Tankstelle fahre?

KDifferenz = KTrier - KLuxemburg

KTrier = (1,30€/l 45l) + (1,30€/l 2km 8l/100km)

KLuxemburg= (1,05€/l 45l) + (1,05€/l 40km 8l/100km)

Umgang mit Termen und Gleichungen, evtl. Grafen und technische Hilfsmittel

Die Fahrt lohnt …

… oder?

Eine Beispielaufgabe zum Modellieren mit geringerem Anforderungsniveau

Kuchenrezept

Lisa benötigt für einen Kuchen die folgenden Zutaten: 250 g Mandeln, 250 g Mehl, 125 g Zucker, 5 Eier, etwas Salz, 40 g Mandelblättchen.

Der Teig reicht nach Rezept für eine runde Backform mit 22 cm Durchmesser. Lisa besitzt aber nur eine Form mit 26 cm Durchmesser. Beide Formen haben die gleiche Höhe.

Verändere die Liste der Zutaten so, dass der Teig in der größeren Backform die gleiche Höhe wie in der kleineren Form hat. Runde geeignet. 22 cm 26 cm


Geringeres Anforderungsniveau, da

o Situation klar umrissen

o Ein Modell nahe liegt (Zylinder, Zuordnung)

Beispielaufgabe zum Modellieren mit geringem Anspruchsniveau

Trinkpäckchen

Gegeben ist ein Trinkpäckchen mit angeklebtem Strohhalm.

a) Miss Länge, Breite und Höhe des Trinkpäckchens. Zeichne maßstabsgetreu ein Schrägbild.

b) Berechne das Volumen des Trinkpäckchens. Vergleiche mit der Angabe auf der Verpackung.

Einstichloch


Geringes Anforderungsniveau, da

o lediglich einschrittiges Vorgehen notwendig

o das Modell vorgegeben ist

Problemlösen

Ziel• lösen eines mathematikhaltigen

Problems, bei dem– ein Lösungsansatz nicht

offensichtlich ist– ein Lösungsverfahren (Algorith-

mus) nicht zu Verfügung steht

Mittel• Zerlegungsprinzip

• Analogieprinzip

• Vorwärtsarbeiten

• Rückwärtsarbeiten

• Systematisches Probieren

• Veranschaulichen durch mathe-matische Figur, Skizze, Tabelle

Kernkompetenzen


• erkennen ein mathematisches Problem und präzisieren es

• setzen Problemlösestrategien gezielt ein

• beurteilen Prozess und Ergebnis der Problemlösung

„In welche Teilprobleme lässt sich das Problem zerlegen?“

„Habe ich ein ähnliches Problem bereits gelöst?“

„Was lässt sich alles aus den gegebenen Daten folgern?“

„Was wird benötigt, um das Gesuchte zu erhalten?“


O

O O

O O O

1

2

3

4

5

6

Beispielaufgabe zum Problemlösen

Fläche

In das abgebildete Quadrat mit der Seitenlänge a sind zwei Halbkreise und eine Diagonale eingezeichnet.

Berechne den Inhalt der blauen Fläche.

Lösungsweg

1. Hilfslinie einzeichnen

2. Berechnung Flächeninhalt des Kreises

3. Berechnung Flächeninhalt des Halbkreises

4. Berechnung Flächeninhalt des Dreiecks

5. Ablau = (AHalbkreis – ADreieck) : 2


Raum und Zeit (Mittagspause)- bis 13.15 Uhr -


Bücher zu den Bildungsstandards mit vielen Anregungen und Beispielaufgaben liegen zur Ansicht aus!

Argumentieren

Ziel• Verbinden von Aussagen zu

Argumentationsketten

• Verstehen und kritisches Bewerten von Argumentationen

Mittel• Schüler zum Formulieren aufordern

– „Begründe …!“– „Überprüfe …!“– „Beweise …!“– „Widerlege …!“– „Kann es sein, dass …!“– „Warum ist das so?“– „Gilt das immer?“– „Warum sind dies alle Fälle, die...?“

Kernkompetenzen


• hinterfragen mathematische Aussagen

• begründen Vermutungen

• bewerten Argumente


Beispielaufgabe zum Argumentieren

Summe von Nachbarzahlen

Jette behauptet: „Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist stets durch drei teilbar.“

Hat Jette recht? Begründe deine Antwort.

Mögliche Ansätze

1. Pragmatischer Ansatz

man nimmt 3 aufeinander folgende Zahlen, z. B. 3, 4, 5

(4 -1) + 4 + (4+1) = 4+4+4 = 3 · 4

2. Algebraischer Ansatz

Wenn n die erste dieser drei Zahlen ist, dann gilt:

n+(n+1)+(n+2) = 3n + 3 = 3 ·(n+1)


4. Inhaltlicher Ansatz

• eine der drei Zahlen muss durch 3 teilbar sein (3er-Reihe)

• eine der drei Zahlen lässt bei der Division durch 3 den Rest 1

• eine der drei Zahlen lässt bei der Division durch 3 den Rest 2

->der Rest (1+2 = 3) lässt sich durch 3 teilen, also ist die Summe durch 3 teilbar

5. Iterativer Ansatz

1+2+3 = 6; und 6 ist durch 3 teilbar

2+3+4 = 9; und 9 ist durch 3 teilbar

Die Summe wächst jeweils um 3 und bleibt deshalb durch 3 teilbar3. Zeichnerischer Ansatz

Kommunizieren

Ziel

• Verstehen von Texten und mündlichen Äußerungen

• verständliche (fachsprachliche) Darstellung von Überlegungen, Lösungswegen, Ergebnissen

Mittel

• Sprache

Kernkompetenzen


• teilen mathematische Gedanken anderen schlüssig und klar mit

• vollziehen mathematische Argumentationen anderer nach, bewerten sie und diskutieren sachgerecht

• gehen konstruktiv mit Fehlern um

Abgrenzung zum Argumentieren:Der Adressatenbezug


Beispielaufgabe zum Kommunizieren

Badewannen-Geschichte

Der obige Graf beschreibt den Wasserstand in einer Badewanne.

Erfinde eine Geschichte dazu!


Darstellen

Ziel

• eigenständige Erzeugen von Darstellungen

• verständliche Umgehen mit vorgegebenen Darstellungen

Mittel– Diagramme

– Abbildungen

– Skizzen

– statistische Schaubilder

– Grafen

Kernkompetenzen


• beschaffen sich aus Darstellungen mathematikhaltige Informationen

• erstellen mathematische Darstellungen

• bewerten gegebene Darstellungen

• dokumentieren ihren Lernprozess


Beispielaufgabe zum Darstellen

Wahlen

Stelle das folgende Wahlergebnis in einem Kreisdiagramm dar:

Partei A: 30 % Partei B : 40 %Partei C: 25 % Sonstige: 5 %

Stelle folgendes Wahlergebnis in einem Diagramm dar:

Partei A: 30 % Partei B : 40 %Partei C: 25 % Sonstige: 5 %

Lösung


A

B

C

sonst

0

5

10

15

20

25

30

35

40

A B C sonst

05

1015202530354045

A B C sonst


Ziel

• Ausbildung entlastender Routinen

• Gebrauch mathematischer– Fakten („Wissen, dass …“)

– Fertigkeiten („Wissen, wie …“)

Mittel– Lösungs- und Kontrollverfahren

(Algorithmen) mit Schrittfolge

– geometrische Grundkonstruktionen / Werkzeuge

– Taschenrechner, Software

– Variable, Terme, Gleichungen, Funktionen

– Nachschlagewerke

Kernkompetenzen


• verwenden mathematische Werkzeuge

• verwenden Variablen, Terme, Gleichungen (auch Formeln) und Funktionen

• wählen Informationsquellen und technische Hilfsmittel aus


Erwartungen aus „Symbolische, formale und technische Elemente“

Achtung! Folgen beachten …

• Ende Schuljahrgang 8– nutzen dynamische

Geometriesoftware

– nutzen die Standardfunktionen des Taschenrechners

– nutzen Tabellenkalkulationssoftware

– wählen technische Hilfsmittel unter Berücksichtigung der Kriterien Genauigkeit, Zeitökonomie und Fehleranfälligkeit aus


• Ende Schuljahrgang 10– nutzen die erweiterten

Möglichkeiten des Taschenrechners (Speicher, statistische Funktionen, Editierfunktionen)

– nutzen Software oder einen grafikfähigen Taschenrechner zur Darstellung und Manipulation funktionaler Zusammenhänge

– nutzen Software zur Präsentation mathematischer Sachverhalte


Aufbau prozessbezogener Kompetenzen


Modellieren

Problemlösen

Argumentieren

Kommunizieren

Darstellen


Die prozessbezogenen Kompetenzen werden von den Schülerinnen und Schülern in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben.

(5) Neues an den inhaltsbezogenen Kompetenzbereichen verstehen



Größen und Messen

Raum und Form

Funktionaler Zusammenhang

Daten und Zufall



• Ende Schuljahrgang 6– wenden die 4 Grundrechenarten auf

Brüche mit überschaubarem Nenner in Sachsituationen an

– rechnen mit Dezimalbrüchen in Sachsituationen

– führen die Division mit einfachen mehrstelligen Divisoren aus

– rechnen im Kopf, halbschriftlich und schriftlich, wählen das Verfahren sinnvoll aus, nutzen dabei Rechenvorteile

• Ende Schuljahrgang 10– rechnen mit Zehnerpotenzen in

Anwendungszusammenhänge

Kernkompetenzen


• besitzen sinntragende Vorstellungen von Zahlbereichen

• stellen Zahlen dar und nennen Besonderheiten der Zahldarstellung

• rechnen flüssig

• schätzen und prüfen ihre Ergebnisse


Größen und Messen


• Ende Schuljahrgang 6– rechnen alltagsnahe Längen-,

Massen- und Zeiteinheiten in benachbarte Einheiten um

• Ende Schuljahrgang 10– bestimmen näherungsweise

den Flächeninhalt nicht geradlinig begrenzter Flächen und das Volumen unregelmäßig geformter Körper

Kernkompetenzen


• verwenden Größen und Einheiten sachgerecht

• schätzen und messen

• berechnen Größen

• nutzen Maßstäbe


Raum und Form


• Ende Schuljahrgang 6– konstruieren

achsensymmetrische Figuren und setzen Muster fort

• Ende Schuljahrgang 10– konstruieren geometrische

Figuren mit Zirkel und Geodreieck sowie dynamischer Geometriesoftware

Kernkompetenzen


• identifizieren und strukturieren ebene und räumliche Figuren aus der Umwelt

• stellen ebene und räumliche Figuren dar und operieren in der Vorstellung mit ihnen

• untersuchen Symmetrien und konstruieren symmetrische Figuren

• lösen innermathematische und realitätsbezogene geometrische Probleme




• Gestrichen– „Definitionsmenge“,

„Lösungsmenge“

• Ende Schuljahrgang 8– wechseln zwischen

Funktionsgleichung, Graf, Tabelle und verbaler Beschreibung von linearen Zusammenhängen

– geben zu vorgegebenen Grafen und Funktionstermen Sachsituationen an

Kernkompetenzen


• beschreiben Muster, Beziehungen und Funktionen

• nutzen mathematische Modelle zur Lösung von inner- und außermathematischen Problemen

• analysieren und formalisieren inner- und außermathematische Situationen unter funktionalem Aspekt

• analysieren Veränderungen in unterschiedlichen Zusammenhängen


Daten und Zufall


„Daten und Zufall“ ist die neue Schwerpunktsetzung im inhaltlichen Bereich

Begründung: Die Mathematik als Kommunikationsmittel hat in den vergangenen beiden Jahrzehnten beständig an Bedeutung gewonnen.

Hinweis: Dieser Kompetenzbereich sollte – wo immer möglich – mit anderen Kompetenzbereichen verknüpft werden.

Kernkompetenzen


• formulieren Fragen, sammeln Daten und stellen sie angemessen dar

• nutzen zur Analyse von Daten angemessene statistische Methoden

• interpretieren Daten

• beurteilen Zufallsphänomene mit den Prinzipien der Wahr-scheinlichkeit


Aufbau inhaltsbezogener Kompetenzen

Die prozessbezogenen Kompetenzen werden von den Schülerinnen und Schülern in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben.

Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden (nachhaltig) von den Schülerinnen und Schülern durch mathematische Prozesse (Handlungen) erworben.


Teil III

Unterrichtsgestaltung mit dem KC

- Anregungen für einen kompetenzorientierten Unterricht –


(1)Vorbemerkungen

(2)Kooperation von Schülerinnen und Schülern

(3) Verantwortung für das eigene Lernen

(4) Umgang mit Fehlern

(5) Individuelle Förderung

(6) Umgang mit Medien

Workshop I: Kompetenzorientierter Unterricht

(7) Die Rolle der Aufgabe

Workshop II: Kompetenzorientierte Aufgaben


(7) Förderung von Mädchen und Jungen

(8) Entwicklung von Aufgaben für die Kooperation von Schülern

(9) Verantwortung für das eigene Lernen stärken

(10)Prüfen - Erfassen und Rückmelden von Kompetenzzuwachs

(11)Qualitätssicherung innerhalb der Schule und Entwicklung schulübergreifender Standards

Module

(1) Weiterentwicklung der Aufgabenkultur

(2) Naturwissenschaftliches Arbeiten

(3) Aus Fehlern lernen

(4) Sicherung von Basiswissen - verständnisvolles Lernen auf unterschiedlichen Niveaus

(5) Zuwachs von Kompetenz erfahrbar machen — Kumulatives Lernen

(6) Fächergrenzen erfahrbar machen - Fachübergreifendes und fächerverbindendes Arbeiten

Steigerung derEffizienz des MNU

Zentrale IdeeKooperationImpulse von außenFokussierung


(1) Vorbemerkungen


(1) Vorbemerkungen


(1) Vorbemerkungen

Die folgenden Informationen betrachten Sie bitte als

praxiserprobte Anregungen

für einen kompetenzorientierten Unterricht im Sinne des Kerncurriculums!

(2) Kooperation von Schülerinnen und Schülern

Kooperative Unterrichtsformen•Partner- und Gruppenarbeit

•Ich-Du-Wir-Prinzip

•Projektarbeit

•Aufgaben zur Kooperation von Schülern

Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Prozessbezogene Kompetenzbereiche

Kommunizieren

ArgumentierenModul 8:

Entwicklung von Aufgaben für die Kooperation von Schülern

Kooperative Lernformen bilden die Grundlage dafür, dass kognitives Lernen und soziales Lernen im

Unterricht miteinander verbunden werden.Timo Leuders, 2006

(3) Verantwortung für das eigene Lernen

Individuelle Lernprozesse strukturieren

•Lerntagebuch

•Selbstdiagnose/Partnerdiagnose

•Lernzirkel/Lernen an Stationen

•Wochenplan

•Freiarbeit

•Problemlösekompetenz


Modul 9:

Verantwortung für das eigene Lernen stärken

(4) Individuelle Förderung


• Definition von Basiswissen

• Sicherung von Basiswissen (Karteikarten, Übungs- und Wiederholungszirkel, ...)

• Aufgaben mit hohem Differenzierungsniveau

• Diagnose

• Gezielte Fördermaßnahmen für einzelne Schüler

Modul 4:

Sicherung von Basiswissen - Verständnisvolles Lernen auf

unterschiedlichen Niveaus

(5) Umgang mit Fehlern

Um- und Irrwege sind Teile des Modellierungs- und

Problemlöseprozesses.


• Trennung von Lern- und Leistungssituationen

• Fehler als Lerngelegenheit für beide Seiten – Lehrkräfte und Schüler

Modul 3:

Aus Fehlern lernen

Erfolg ist das Ergebnis richtiger Entscheidungen.

Richtige Entscheidungen sind das Ergebnis von Erfahrung.

Erfahrung ist das Ergebnis falscher Entscheidungen.

Anthony Robbins

(6) Umgang mit Medien

Taschenrechner

Dynamische Geometriesoftware

Grafikfähiger Taschenrechner

Internet


Workshop I: Videodokumentation eines

kompetenzorientierten Unterrichts


Workshop I: Videodokumentation eines

kompetenzorientierten Unterrichts

Aufgabe:

Welche Kompetenzbereiche werden in den gezeigten Unterrichten thematisiert?

Video Start



(4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

Aufgabentyp 1

Technische Aufgaben

Aufgabentyp 2

Rechnerische Problemlöse- und Modellierungsaufgaben

Aufgabentyp 3

Begriffliche Modellierungs- und Problemlöseaufgaben

Rechnen/konstruieren nach vorgegebenen Regeln (nach vorgegebenem Ansatz)

Anwendungsaufgaben/Problemlöseaufgaben (klassische Textaufgaben) bei der gesuchte Größe aus einem Ansatz heraus berechnet wird

Modellierungs- und Problemlöseaufgaben bei denen der Zusammenhang zwischen erworbenen Kompetenzen selbst hergestellt werden muss

Typisierung nach PISA 2003



Aufgabenvariationen

Endlich ist es soweit! Das Steinhuder Meer ist seit 15 Jahren mal wieder zugefroren und zum Schlittschuhlaufen freigegeben. Doch der 14jährige Nico darf mit seinen 2 Freunden die Eisfläche erst betreten, wenn der gesamte See vom Schnee befreit ist. Die 8

Arbeiter, die den Schnee räumen, versprechen, in 4 Stunden fertig zu sein. Nico und seine Freunde überlegen: Wann wäre die

Eisfläche frei, wenn wir mithelfen würden?



Aufgabenvariationen

Ein rechteckiger Hof ist 6,00 m lang und 5,30 m breit. Berechne die Fläche!

• Wie viel m² Stoff braucht Giesela für eine Tischdecke, die bei einem rechteckigen Tisch der Breite 80 cm und Länge 1,20 m auf jeder Seite 15 cm überhängen soll?

• Wie viel Stoff brauchst du für die Tischdecke zu deinem Tisch (Schule oder zu Hause)?

• Ein Parkplatz ist ungefähr so groß wie ein Fußballfeld. Wie viele Autos können in etwa darauf parken?



Aufgabenvariationen

• Vor einer Ampel stauen sich auf 100 m Autos. Gehe davon aus, dass ein Auto 4 m lang ist. Der Abstand beträgt 1 m von Auto zu Auto. Wie viele Autos stehen vor der Ampel?

• Vor einer Ampel stauen sich auf 200 m Autos. Wie viel Menschen stehen in Stau. Begründe deine Antwort!



Aufgabenvariationen

Die Tageszeitung wiegt 180g. Die Samstagszeitung wiegt doppelt soviel. Bernd muss 147 Zeitungen austragen. Wie viel kg muss er in der Woche austragen?

• Die Tageszeitung wiegt 180g. Die Samstagszeitung wiegt doppelt soviel. Bernd muss 147 Zeitungen austragen.



Aufgabenvariationen

• Berechne: 23 - (16 - 4) : (-2)

• Du hast die Ziffern des heutigen Datums 04/11/23 zur Verfügung. Setze Rechenzeichen so, dass -1 herauskommt.

Kompetenzorientierte Aufgaben gestalten einen kompetenzorientierten Unterricht.


Kompetenzorientierte Aufgaben

• fordern nicht ausschließlich technische Fertigkeiten (Symbolische, technische und formale Elemente)

• sind nicht kalkül- und verfahrenstechnisch orientiert

• ermöglichen verschieden Lösungswege

• verknüpfen prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompetenzbereiche.

(7) Die Rolle der AufgabeKompetenzorientierte Aufgaben

Workshop II: Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe


Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe

• Offenes Pflaster

• Bei einer wasserdurchlässigen Befestigung einer Garageneinfahrt mit Rasengittersteinen können die Niederschläge wieder im Erdreich versickern und in die Grundwasserströme ge langen. Dadurch bleibt der Wasserkreislauf erhalten und die Niederschlagswasser werden nicht direkt über den Kanal in die Flüsse abgeleitet.

• Das nebenstehende Bild zeigt einen solchen Rasengitter stein. Er besteht aus wasserdurchlässigen Öffnungen und wasserundurchlässigen Betonteilen.

• Der 40 cm × 60 cm × 10 cm große Rasengitterstein besteht aus 6 gleichartigen offenen Pflastersteinen.

• Das folgende Bild zeigt Form und Maße eines dieser offenen Pflastersteine:




a) Herrn Meiers Garageneinfahrt ist 8 m lang und 6 m breit. Wie viele solche Rasengittersteine werden benötigt?

b) Wie viel Prozent der gesamten Garageneinfahrt bestehen dann aus den wasserdurchlässigen Öffnungen?

c) Herr Meier entdeckt auf einer Palette im Hof eines Baumarktes einen Stapel mit Rasengittersteinen (siehe Bild).

Wie viele Rasengittersteine befinden sich auf der Palette, wenn sie lückenlos aneinandergereiht auf der Palette aufgestapelt sind?

Erläutere, wie du deren Anzahl bestimmst.

d) Kann man mit einem LKW mit 7,5 Tonnen Ladegewicht alle benötigten Rasengittersteine in einer Fahrt anliefern? (Dichte von Beton: 2,3 g/cm³)

Lege dar, wie du zu deiner Lösung gekommen bist.

Aufgabe:

Welche Kompetenzbereiche/Kernkompetenzen/Erwartungen werden in den Teilaufgaben konkretisiert?

Ordnen Sie die Teilaufgaben einem Anforderungsbereich zu.

Analyse einer kompetenzorientierten AufgabePflasteraufgabe a)

Pro

zessb

ezo

ge

ner K

om

peten

zbereich

Modellieren X wählen naheliegende Modelle lösen Aufgaben unter Anwendung mathematischer Modelle interpretieren das Ergebnis in Bezug auf die Realsituation

Problemlösen

Argumentieren

Kommunizieren

Darstellen X entnehmen Informationen aus komplexeren Grafiken sowie längeren Texten erstellen einfache Darstellungen für mathematische Situationen


X stellen Sachsituationen durch Gleichungen dar wählen Lösungs- und Kontrollverfahren und wenden sie an

Inh

altsbezo

gen

er K

om

peten

zbereich


Größen und Messen X berechnen Flächeninhalt und Umfang von Quadrat und Rechteck rechnen alltagsnahe Flächen- und Volumeneinheiten in benachbarte Einheiten um

Raum und Form


Daten und Zufall

Anforderungsbereich II (Lesekompetenz)


Analyse einer kompetenzorientierten AufgabePflasteraufgabe b)

Pro

zessb

ezo

ge

ner K

om

peten

zbereich

Modellieren X wählen naheliegende Modelle lösen Aufgaben unter Anwendung mathematischer Modelle interpretieren das Ergebnis in Bezug auf die Realsituation

Problemlösen

Argumentieren

Kommunizieren

Darstellen X entnehmen Informationen aus komplexeren Grafiken sowie längeren Texten


X stellen Sachsituationen durch Gleichungen dar wählen Lösungs- und Kontrollverfahren und wenden sie an

Inh

altsbezo

gen

er K

om

peten

zbereich

Zahlen und Operationen X lösen einfache Sachprobleme mit proportionaler Struktur (Zweisatz) verwenden Prozentrechnung sachgerecht und berechnen Zinsen

Größen und Messen X berechnen Flächeninhalt und Umfang zusammengesetzter Figuren rechnen alltagsnahe Flächen- und Volumeneinheiten in benachbarte Einheiten um

Raum und Form


Daten und Zufall

Anforderungsbereich II (Lesekompetenz und Mehrschrittigkeit)



Eine Umsetzung des Kerncurriculums kann nur gelingen, wenn der Lehrer vertraut ist

• mit der Idee, Leistung durch Kompetenzen zu beschreiben und mit dem hierfür verwendeten Kompetenzmodell (Prozessbezogene Kompetenzen, Inhaltsbezogene Kompetenzen, Anforderungsbereiche)

• mit der Analyse von Aufgaben, herkömmlicher wie neuartiger, mittels einer „Kompetenzbrille“

• mit der zielgerichteten Konstruktion bzw. Variation kompetenzorientierter Aufgaben

• mit dem variablen Einsatz solcher Aufgaben in einem auf Kompetenzentwicklung ausgerichteten Mathematikunterricht

• mit der Verwendung solcher Aufgaben für Diagnosen und Evaluationen

• mit der Umsetzung von Diagnose- und Evaluationsergebnissen in gezielte Fördermaßnahmen für einzelne Schüler oder für die ganze Klasse

Teil IV

Ausblick und Fragen- Das Unterstützungssystem –

Kapitel 4 und 5 des Kerncurriculum … und mehr

(1) Die Unterstützungssysteme zur Implementierung der Kerncurricula Mathematik

(2) Fragen


Das offizielle Unterstützungssystem in Niedersachsen

• Veröffentlichung kompetenzorientierter Kerncurricula– enthalten theoretisch fundiertes, auf die Praxis ausgerichtetes und

in Teilen erprobtes Kompetenz- und Kompetenzaufbaumodell

– in der Form und Konsequenz u.W. deutschlandweit (ggf. weltweit) erstmalig

• Informationsveranstaltungen „Das Kerncurriculum verstehen“– Niedesachsen: Oktober/November 2006, 9.30 – 16.30 Uhr

– Teilnehmer: Fachleiter Mathematik

Teil IV: Ausblick und Fragen

Das offizielle Unterstützungssystem in NiedersachsenCurriculare Vorgaben

• Abschlussprüfungen Sek. I

• Bildungsstandards

• EPA

• Kerncurricula/Rahmenrichtlinien

• Leistungsüberprüfungen-9/10

• Operatoren

• Vergleichsarbeiten

• Zentralabitur

• Materialien

cuvo.nibis.deTeil IV: Ausblick und Fragen

Unterstützung der schulischen Fachgruppen

Wer? Die schulische Fachgruppe

Wann? Im Kalenderjahr 2007

Mit wem? In Kooperation mit 4 bis 6 weiteren Schulen der Region

Wo? In Ihrer Region (Regionale Lehrerfortbildung)

Zeitrahmen? 1 ½ Tage oder 4 Nachmittage

Was? Unterstützung der Schulen bei- Entwicklung/Auswahl/Variation/Einsatz von Aufgaben - dem Aufbau eines Schulcurriculums- der Dokumentation der individuellen Lernentwicklung- der Sicherung von Basiswissen

Durch wen? Ausgebildete Multiplikatoren (tlw. mit SINUS-Erfahrung)

Die Angaben stellen eine Planungsgrundlage dar. Änderungen sind möglich.


Das offizielle länderübergreifende Unterstützungssystem

Veröffentlichungen

• Blum / Drüke-Noe / Hartung / Köller (Hrsg.): Bildungsstandards Mathematik: konkret. Oktober 2006 (Cornlesen)

www.iqb.hu-berlin.de


Das länderübergreifende SINUS-Unterstützungssystem

Veröffentlichungen

• Ulm, Volker:Mathematikunterricht für individuelle Lernwege öffnen2004 (Kallmeyer)

www.sinus-transfer.de


Das inoffizielle länderübergreifende Unterstützungssystem

Veröffentlichungen

• Herget, Wilfried / Jahnke, Thomas / Kroll, Wolfgang:Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht 2001 (Cornelsen)


Das inoffizielle länderübergreifende Unterstützungssystem

Veröffentlichungen

• Büchter, Andreas / Leuders, Timo:Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Lernen fördern – Leistungen überprüfen2005 (Cornelsen Scriptor)

• weitere Titel siehe SINUS-Handreichung „Literatur-hinweise und Materialien zum Kerncurriculum“


Das SINUS-Unterstützungssystem in Niedersachsen

Handreichungen zum Kerncurriculum

• Literaturhinweise und Materialien zum Kerncurriculum Tipp

• Vom Kerncurriculum zum Schulcurriculum

• Lernentwicklungsdokumentation mit dem Kerncurriculum

• Das Kerncurriculum verstehen (in Arbeit)

• Unterrichtsbezogene Qualitätsentwicklung mit dem Kerncurriculum (in Arbeit)

• Unterricht mit dem Kerncurriculum (in Planung)

• www.sinus-niedersachsen.de

Teil VI: Ausblick und Fragen

Sonstige Unterstützungssysteme in NiedersachsenDiskussionsforum Kerncurriculum

• Kerncurricula und Handreichungen herunterladen

• fachspezifisch diskutieren

• Ideen austauschen

• Informationen erhalten und weitergeben

• Fragen stellen und Antworten geben

• Materialien und Aufgaben herunter-laden und anderen zu Verfügung stellen

• Ergänzungen und Erläuterungen zu den Kerncurricula bereitstellen und lesen

www.kerncurricula.deTeil IV: Ausblick und Fragen

R a u m f ü r F r a g e nKein Buch kann jemals fertig werden: während wir daran arbeiten, lernen wir immer gerade genug, um seine Unzulänglichkeit klar zu sehen, wenn wir es der Öffentlichkeit übergeben.(Popper, 1970)


Niedersachsen, November 2006

Das Kerncurriculum Mathematik verstehen– Entstehungsgeschichte – Struktur – Konsequenzen –

Jan-Peter BraunSINUS-Transfer Niedersachsen

Landeskoordinator

Berthold FritschSINUS-Transfer Niedersachsen

Setkoordinator

Wir danken für Ihre Aufmerksamkeitund wünschen eine angenehme Heimreise

Ende der Präsentation

Hinweise zu dieser Präsentation siehe folgende Seite

Hinweise zu dieser PräsentationVersion 1.0 (Stand: 26.11.2006)

Zu dieser Präsentation

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Kontakt

Über Rückmeldungen zu dieser Präsentation, Anregungen, Ergänzungen, Korrekturen usw. würden wir uns freuen.

BLK-Programm SINUS-Transfer Niedersachsen – Theodor-Heuss-Straße 1 – 31226 Peine – Tel. (0 51 71) 790 25-28 – Fax -29 – E-Mail [email protected]; [email protected]

Ergänzungen zu dieser Präsentation

Folgende Seiten wurden in Fortbildungen bisher nicht genutzt. Vielleicht können Sie jedoch die eine oder andere Folie verwenden.

Merkmale guter Bildungsstandards

1. Fachlichkeit

2. Fokussierung

3. Kumulativität

4. Verbindlichkeit für alle (Mindeststandards)

5. Differenzierung (über Mindeststandards hinaus)

6. Verständlichkeit

7. Realisierbarkeit


Empfehlung

nicht gefolgt

Empfehlung

nicht gefolgt

Überprüfung der Bildungsstandards

• Überprüfung von Kompetenzmodellen– Voraussetzung für den Einsatz der Testinstrumente in den u.g.

Bereichen

• Systemmonitoring– z.B. TIMSS, PISA

• Schulevaluation– interne und externe Evaluation

– Bezug auf die Programmatik und Spezifika der Schule

• Individualdiagnostik und Förderung einzelner Schüler– einen kleinen Kompetenzbereich detailliert erfassen


Testentwicklung

• Die Testentwicklung sollte in der Verantwortung einer wissenschaftlich qualifizierten Agentur liegen.

• Eine enge Zusammenarbeit mit– Landesinstituten,

– Fachdidaktischen Vereinigungen,

– Lehrerverbänden,

– Universitären Zentren

ist notwendig.

• Kommerzielle Anbieter sollten in die Testentwicklung einbezogen werden.


Kompetenzorientierter Unterricht

Voraussetzungen für eine fachbezogene Lernentwicklungsdokumentation

„Es geht darum, so genau wie möglich zu ermitteln, inwieweit Schüler über mathematisch-kognitive Werkzeuge verfügen, mittels derer sie die mit Mathematik verbundene Welt zu erschließen und zu verstehen, mittels derer sie Mathematisierung vorzunehmen vermögen“ (Cohors-Fresenborg/Sjuts/ Sommer 2004)

Kompetenzorientiert unterrichten


Wohl soll der Schüler auch künftig Kenntnisse und Fertigkeiten gewinnen – wir hoffen sogar: noch mehr als früher -, aber wir wollen sie ihm nicht beibringen, sondern er soll sie sich erwerben.

Damit wechselt des Lehrers Aufgabe auf allen Gebieten. Statt Stoff darzubieten, wird er künftig die Fähigkeit des Schülers zu entwicklen haben.

Und das Tun des Schülers ist nicht mehr auf Empfangen eingestellt, sondern auf Erarbeiten. Nicht Leitung und Rezeptivität, sondern Organisation und Aktivität ist es, was das Lehrverfahren der Zukunft kennzeichnet.

Johannes Kühnel, 1950

Von SINUS zum Kerncurriculum – Vom Kerncurriculum zu SINUS

Kernentwicklungs-Bereiche desMathematikunterrichts

Prinzipien gutenMathematik-

unterrichts

Unterrichtsgestaltungmit dem

Kerncurriculum

SINUS-Module


Kapitel 2: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum

• Kompetenzbereiche

• Kompetenzentwicklung (SINUS-Modul 5)

• Kooperation von Schülerinnen und Schülern (Modul 8)

• Umgang mit Fehlern (SINUS-Modul 3)

• Verantwortung für das eigene Lernen (SINUS-Modul 9)

• Individuelle Förderung (SINUS-Modul 4, SINUS-Modul 7)

• Umgang mit Medien

• Aufgaben im Mathematikunterricht (SINUS-Modul 1)

• Die zentrale Stellung prozessbezogener Kompetenzen (Modul 6)


Bildungsstandards Mathematik


Modellieren

Anforderungsbereich I

• vertraute und direkt erkennbare Standardmodelle nutzen (z.B. „Dreisatz“)

• direktes Überführen einer Realsituation in ein mathematisches Modell

• direktes Interpretieren eines mathematischen Resultats

Anforderungsbereich II

• mehrschrittige Modellierungen innerhalb weniger und klar formulierter Einschränkungen vornehmen

• Ergebnisse einer solchen Modellierung interpretieren

• Ein mathematisches Modell passenden Realsituationen zuordnen oder an veränderte Umstände anpassen

Modellieren

Anforderungsbereich III

• ein Modell zu einer komplexen Situation bilden, bei der Annahmen, Variablen, Beziehungen und Einschränkungen neu definiert werden müssen

• Überprüfen, Bewerten und Vergleichen von Modellen

Problemlösen


• finden eines Lösungsweges zu einer Problemstellung durch ein mehrschrittiges strategiegestützes Vorgehen


• lösen einer einfachen mathematischen Aufgabenstellung durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie (z.B. zeichnen einer einfachen Hilfslinie)

Problemlösen


• Konstruieren einer elaborierten Strategie, um z.B. die Vollständigkeit einer Fallunterscheidung zu begründen oder eine Schlussfolgerung zu Verallgemeinern

• Reflektieren über verschiedene Lösungswege

Argumentieren


• überschaubare mehrschrittige Argumentationen nachvollziehen, erläutern oder entwicklen


• Routineargumentationen (bekannte Sätze, Verfahren, Herleitungen, usw.) wiedergeben und anwenden

• einfache rechnerische Begründungen geben

• mit Alltagswissen argumentieren

Argumentieren


• komplexe Argumentationen nutzen, erläutern oder entwickeln

• verschiedene Argumente nach Kriterien wie Reichweite und Schlüssigkeit bewerten

Kommunizieren


• Verständliche, i.d.R. mehrschrittige Darlegung von Lösungsverfahren, Überlegungen und Ergebnissen

• Äußerungen (richtige, aber auch fehlerhafte) von anderen Personen zu mathematischen Texten interpretieren

• Identifikation und Auswahl von Informationen aus mathematikhaltigen Texten (die Ordnung der Information entspricht nicht unmittelbar den Schritten der mathematischen Bearbeitung


• Darlegung einfacher mathematischer Sachverhalte

• Identifikation und Auswahl von Informationen aus kurzen mathematikhaltigen Texten (die Ordnung der Information im Text entspricht weitgehend den Schritten der mathematischen Bearbeitung)

Kommunizieren


• Entwickeln einer kohärenten und vollständigen Präsentation eines komplexen Lösungs- oder Argumentationsprozesses

• Komplexe mathematische Texte sinnentnehmend erfassen

• Äußerungen von anderen vergleichen, bewerten und ggf. korrigieren

Darstellen


• gegebene Darstellungen verständig interpretieren oder verändern

• zwischen zwei Darstellungen wechseln


• Standarddarstellungen von mathematischen Objekten und Situationen anfertigen und nutzen

Darstellen


• unvertraute Darstellungen verstehen und verwenden

• eigene Darstellungsformen problemadäquat entwickeln

• verschiedene Formen der Darstellung zweckgerichtet beurteilen



• Verwenden elementarer Lösungsverfahren

• direktes Anwenden von Formeln und Symbolen

• direktes Nutzen einfacher mathematischer Werkzeuge (z.B. Formelsammlung, Taschenrechner)


• mehrschrittige Anwendungen formal mathematischer Prozeduren

• Umgang mit Variablen, Termen, Gleichungen und Funktionen im Kontext

• mathematisches Werkzeug je nach Situation und Zweck gezielt auswählen und einsetzen



• Durchführen komplexer Prozeduren

• Bewerten von Lösungs- und Kontrollverfahren

• Reflektieren der Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Werkzeuge

Kompetenzorientierte Diagnose

„Das gesamte Unterrichtsarrangement muss auch auf Diagnose und daraus abgeleitete Konsequenzen ausgerichtet sein“ (Helmke 2003)

Teil V: Unterrichtsplanung mit dem Kerncurriculum

Kompetenzorientierte Aufgaben

„Repräsentiert man Bildungsstandards durch Aufgaben, so geben die Aufgabenbearbeitungen Aufschlüsse darüber, in welchem Maße angesprochene Kompetenzen bereits entwickelt sind und in welchem Maße Anforderungen eines bestimmten Bereichs bewältigt wurden.“ (Sjuts 2006)

Teil V: Unterrichtsplanung mit dem Kerncurriculum

Eckpfeiler der Kommissionsarbeit zu Beginn der 1. Sitzung

• Prozess– Benennung eines Kommissionssprechers

– möglichst Abstimmung zwischen den Kommissionen

– Abstimmung der Kommissionssprecher untereinander und mit der Projektleitung im Kultusministerium (je 1 Projektleiter für GS, HS/RS und Gymnasium/IGS)

• Ergebnis– Abbildung über Doppeljahrgangsstufen

– Standards als Kompetenzen formuliert

• Sonst:– keine!


Bestandteile von Kompetenzmodellen

• Komponenten– beschreiben das Gefüge von der Anforderungen, deren

Bewältigung von Schülern erwartet wird.

• Stufen– liefert wissenschaftlich begründete Vorstellungen darüber, welche

Abstufungen eine Kompetenz annehmen kann bzw. welche Grade oder Niveaustufen sich bei den einzelnen Schülern feststellen lassen.

Kerncurriculum

Jede Kompetenzstufe ist durch kognitive Prozesse und Handlungen von bestimmter Qualität spezifiziert, die Schüler auf dieser Stufe bewältigen können, aber nicht auf niedrigeren Stufen.

Die Kompetenz einer Person lässt sich über Aufgaben beschreiben, denen ein entsprechender Schwierigkeitsgrad zugeordnet werden kann.


Problem bei dem Weg von den Bildungsstandards zum Kerncurriculum

Variante A:Endkompetenz Ende Klasse 10

• Beispiel aus „symbolische, formale und technische Elemente der Mathematik“:

mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen arbeiten

• Beispiel aus „Funktionaler Zusammenhang“:

verwenden die Sinusfunktion zur Beschreibung von periodischen Vorgängen

Variante B:doppeljahrgangsspezifisch zu konkretisierende übergeordnete Kompetenz

• Beispiel aus „Probleme mathematisch lösen“:

geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum Problemlösen auswählen und anwenden

• Beispiel aus „Raum und Form“:

erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt


Bildungsstandards und Kompetenzmodelle

• Aufgabe der Bildungsstandards:– Kompetenzen benennen, die Schüler erwerben müssen, damit

Bildungsziele als erreicht gelten können.

• Aufgabe der Kompetenzmodelle:– beschreiben, welche Lernergebnisse von Schülern in bestimmten

Altersstufen in den jeweiligen Fächern erwartet werden.

– beschreiben, welche „Wege zum Wissen und Können“ eingeschlagen werden können.

Kerncurriculum


Das dem Kerncurriculum zugrunde liegende „Modell des Kompetenzerwerbs“

• Gliederung in prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompetenzen

• Beschreibung der Kompetenzbereiche durch eine begrenzte Anzahl an Kernkompetenzen– geben den Kern des Kompetenzbereichs an

– auch für den Laien in verständliche Sprache

• Konkretisierung der Kernkompetenzen über Erwartungen– Erwartungen sind „Teilkompetenzen“

– gegliedert nach Doppeljahrgangsstufen

• Gliederung– bildet einen systematischen, kumulativen Kompetenzaufbau ab

– nach Anforderungen (Anforderungsniveau)

– nach Schwierigkeit


4 Seiten zusammenfassende Thesen zum Kerncurriculum (Seite 1)

Das vorliegende Kerncurriculum ist soll Schülerinnen und Schüler befähigen, wichtige mathematische Konzepte und Verfahren mit Verständnis zu erlernen.

Die erwarteten Kompetenzen zu erreichen, wird nicht einfach sein, aber die Aufgabe ist außerordentlich bedeutsam.

Wir müssen die Kinder und Jugendlichen mit der bestmöglichen mathematischen Bildung ausstatten, mit einer Bildung, die sie befähigt, persönliche Wünsche und Berufsvorstellungen in einer sich ständig ändernden Welt zu erfüllen.



Wir leben in einer durch Mathematik geprägten Welt.

Ob wir uns zu einem Kauf entschließen oder eine Versicherung, eine Geldanlage oder einen Kredit wählen, wir verlassen uns auf mathematisches Verständnis.

Das World Wide Web, CD-ROMs und andere Medien verbreiten riesige Mengen an Informationen.

Die am Arbeitsplatz benötigten Anforderungen an mathematischem Denken und Problemlösen sind in den vergangenen beiden Jahrzehnten enorm angestiegen.



In einer solchen Welt haben diejenigen, die Mathematik verstehen und anwenden können, Möglichkeiten, die andere nicht haben.

Mathematische Kompetenz öffnet Türen zu einer produktiven Zukunft.

Ein Mangel an mathematischer Kompetenz verschließt diese Türen.



Schülerinnen und Schüler haben unterschiedliche Fähigkeiten, Bedürfnisse und Interessen.

Dennoch muss jede und jeder fähig sein, Mathematik in seinem persönlichen Leben anzuwenden; am Arbeitsplatz und beim weiteren Bildungsweg.

Alle jungen Menschen haben Anspruch auf Gelegenheiten, die Kraft und die Schönheit der Mathematik zu verstehen.

Sie müssen mathematische Basiskompetenzen erwerben können, die sie befähigt, flüssig zu rechnen und Probleme kreativ und einfallsreich zu lösen.


Die Rolle der Aufgaben


Aufgaben werden in Lernsituationen genutzt, um

• die Lernausgangslage festzustellen,

• die Einführung neuer Begriffe und Verfahren vorzubereiten und durchzuführen,

• intelligente Übungsmöglichkeiten zum Wiederholen und Festigen bereitzustellen,

• mathematikhaltige Probleme aus der Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler aufzugreifen,

• den Erfolg des Kompetenzaufbaus zu ermitteln.

In Leistungssituationen nutzt man Aufgaben

• zur individuellen Leistungsfeststellung,

• zur Qualitätssicherung von Unterricht.

Kompetenzorientierter Unterricht

„Man weiß aus der Lehr-/Lernforschung, dass ein bloßes Abarbeiten und Trainieren von Aufgaben höchstens bei rein verfahrensorientierten Aufgabentypen überhaupt Effekte haben kann. Für langfristigen Kompetenzaufbau notwendig ist ein entsprechend breit angelegter, konsequent kompetenzorientierter Unterricht.“ (Blum, Köller u.a. 2006)


Niedersachsen, November 2006 Das Kerncurriculum Mathematik verstehen – Entstehungsgeschichte –...

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