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MerkurVerlag RintelnM

Patyna Mathematik

für das Berufliche Gymnasium in NiedersachsenKerncurriculum und BildungsstandardsQualifikationsphase – Schwerpunkt Wirtschaft – Analysis

yKerncurriculum und BildungsstandardsQualifikationsphase – Schwerpunkt Wirtschaft – Analysis

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Die in diesem Buch zitierten Internetseiten wurden vor der Veröffentlichung auf rechtswidrige Inhalte untersucht. Rechtswidrige Inhalte wurden nicht gefunden.Stand: Februar 2019

Umschlag: Hintergrund: ECE, Ernst-August-Galerie, Hannover, Kreis rechts oben: Candy Box — Fotolia.com, Kreis Mitte: Colourbox.de, Kreis links: Syda Productions — Colourbox.de, Grafik: Colourbox.de

* * * * *

1. Auflage 2019© 2019 by MERKUR VERLAG RINTELN

Gesamtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, 31735 RintelnE-Mail: info@merkur-verlag.de; lehrer-service@merkur-verlag.deInternet: www.merkur-verlag.de

ISBN 978-3-8120-0686-6

Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Praxis

Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap †

Die Verfasserin:

Marion Patyna

51Die Produktion in einem Unternehmen erfolgt in der Regel mithilfe des Einsatzes von verschiedenen Produktionsfaktoren. Die betriebswirtschaftlichen Produktions-faktoren leiten sich aus den volkswirtschaftlichen Produktionsfaktoren Arbeit, Boden, Kapital und Wissen ab und werden nach Gutenberg in zwei Gruppen ein-

Elementarfaktoren werden die objektbezogene menschliche Arbeit, die Betriebs mittel und die Werkstoffe bezeichnet. Die dispositiven Faktoren umfassen die Planung, die Betriebsorganisation und den unternehmerischen Instinkt des Füh-rungspersonals. Ein Unternehmen kann sich auf Basis von wirtschaftlichen Analysen entscheiden, einen Produktionsfaktor durch einen anderen zu ersetzen, ohne dass der Output, also die Produktionsmenge, angepasst werden muss. Auf diese Weise

Produktions faktoren wird mithilfe der Minimalkostenkombination bestimmt.

Mathematisch modellieren; Probleme mathematisch lösen; mathematisch argumentieren; mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umgehen; kommunizieren.

Gruppenarbeit

2 Doppelstunden

52English Summer, Winter Feeling und Blue Morning

werden im Unternehmen Hansen die Produktionsfaktoren Arbeit (x (y English Summer zu

x in ME 4 7 9

y in ME 29 11 9

kostet 30 GE. Insgesamt stehen nach Angaben der Geschäftsführung für die Produktion der drei

budgets zu der jeweiligen Teesorte erfolgt mithilfe der Minimalkostenkombination.

Die Isokostenfunktion K = p x x p y y I (x p x _ p y

x K_ p y

Die Isoquantenfunktion ist eine unecht gebrochenrationale Funktion des Typs I Output (x = a_

x b c .

Grafische Darstellungen

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Kapital in ME

Isokostengerade

Isoquante

4

8

12

16

20

24

OArbeit in ME

53

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Kapital in ME

Isokostengerade

Isoquante

4

8

12

16

20

24

OArbeit in ME

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Kapital in ME

Isokostengerade

Isoquante

4

8

12

16

20

24

OArbeit in ME

English Summer verwendet werden muss, damit die Minimalkostenkombination realisiert werden kann.

54Die Isokostengeradetionen der verwendeten Produktions-faktoren x und y in Mengeneinheiten

K

K = p x x p y y ⇒ I (x y p x _ p y

x K_ p x

p x und p y geben die Preise des jeweiligen

Die Isoquanteder verwendeten Produktionsfaktoren

x und y in Mengenein-

Output I Output erzielen. Der Graph der Isoquante ist ein Hyperbelast, weil die Funktion eine unecht gebrochenratio-nale Funktion I Output (x = a_

x b c ist. rechts oben liegt,

desto höher ist der Output.

Von Produktionsfaktor x müssen mehr als b Einheiten für die Produktion eingesetzt werden, damit der geplante Output erreicht wird. Von Produktionsfaktor y müssen mehr als c Einheiten eingesetzt werden.

8 16 24 32 40 48

y

4

8

12

O

x

8 16 24 32 40 48

y

4

20

8

12

16

Ox

8 16 24 32 40 48

y

1 2 3

4

20

8

12

16

Ox

55Die Grenzrate der Substitution y_

x gibt zum einen die Steigung der Isoquante an und zum anderen, wie viele Mengenein-heiten von Produktionsfaktor x zusätzlich benötigt werden, wenn von Produktions-faktor y eine Einheit weniger zur Verfü-

IOutput ′ (x = a_ (x b 2

Dienegativ, weil der Hyperbelast fallend verläuft und weil die Verwendung der

x ein-gesetzt wird, desto weniger wird von Produktions faktor y

-gerade eine Tangente

-tenbudget für die Produktion des geplanten Outputs verursachen. Es liegt die Mini-malkostenkombination

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

y

2

4

6

8

10

12

Ox

Verläuft die Isokostengerade als Sekante zur Isoquante, so kann der geplante Output mit zwei verschiedenen Faktorkombinationen hergestellt werden. Die für die Produk-

Passante

2 4 6 8 10 12

y

1

10

12

4

6

8

Ox

xy

56

faktoren werden die Isoquanten mithilfe von unecht gebrochenrationalen Funktionen model-liert. Hierbei sind Zähler- und Nennergrad gleich groß, da beide Funktionen lineare Funktionen sind.

f (x a_x b c a_

x b c (x b _x b a c x b c_

x b c x a b c_x b

Die Traubenernte ist im Herbst für jeden Winzer eine zeitaufwendige Arbeit. Die Trauben können mithilfe von zwei verschiedenen Produktionsfaktoren

-nen, sogenannten Trauben vollerntern, oder per Hand. Das Unternehmen Weingut Hansen plant die diesjährige Ernte. Aus dem letzten Jahr ist bekannt, dass die beiden Produktions faktoren wie folgt kombiniert werden können. Erntemaschine x 2 3 5

Ernte per Hand y 9 7 6

Die zugehörige Isoquantenfunktion I Output ist eine unecht gebrochenrationale Funk- I Output (x = a_

x b c . Eine -stunden 10 GE. Die Geschäftsführung des Weingutes Hansen geht davon aus, dass das

zusätzlicher Weinberg bepflanzt wurde und dieses Jahr abgeerntet werden muss. Die Geschäftsführung geht davon aus, dass sie das Budget auf 250 GE erhöhen muss.

richtig liegt.-

tens benötigten Arbeitsstunden an.

Pol

unechtgebrochen-

57Funktionsterm der Isoquante bestimmen

| a_2 b c 9

a_3 b c 7

a_5 b c 6 | Multiplizieren

| a c (2 b 9 (2 b a c (3 b 7 (3 b

a c (5 b 6 (5 b | ern auflösen

| a 2 c b c 18 9 b a 3 c b c 21 7 b

a 5 c b c 30 6 b |

| a 2 c b c 18 9 b c 3 2 b

3 c 12 3 b |

| a 2 c b c 18 9 b c 3 2 b

0 3 3 b | Umformen ⇒ b 1 einsetzen in die beiden anderen Zeilen

| a 2 c c 18 9 c 3 2

b 1 | Umformen ⇒ c 5 einsetzen in die obere Zeile

| a 2 5 5 18 9 c 5

b 1 | Umformen ⇒ a 4

I Output (x) 4_x 1 5

Definitions- und Wertebereich D math R\ {1} , D ök (1; ∞ ⇒werden.

g (x 5 ⇒ W ök (5; ∞ ⇒

58Prüfen des Kostenbudgets K p x x p y y ⇒ K 40 x 10 y

I 150 (x) 4x 15 I 150 (x I Output (x

4 x 15 = 4_x 1 5 ⇒

Das -se Recht.

I 250 (x) I Output (x) 4 x 25 = 4_

x 1 5 ⇒ x 1 1,27 ∨ x 2 4,73 y 1 = I Output ( x 1 19,93 ∨ y 2 I Output ( x 2 6,07

Das Budget von 250 GE reicht für die Ernte aus. Das Weingut Hansen hat zwei Mög--

läuft und die Isoquante zweimal schneidet.1,27 ME Maschinenstunden des Traubenvollernters und 19,93 ME Arbeitsstunden oder 4,73 ME Maschinenstunden und 6,07 ME Arbeitsstunden.

-budget niedriger sein könnte, da nicht die Minimalkostenkombination vorliegt. Eine Parallelverschiebung der Isokostengerade nach links unten ist möglich; dadurch ver-

Grafische Darstellung

148

Asymptote

Pol2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Arbeitsstunden in ME

5

10

15

20

25

OMaschinenstunden in ME

(4,73|6,07)

(1,27|19,93)

Isoquante

IK

IK

59Definitions- und Wertebereich für I Output (x a_

x b c

Interpretation

Pol N (x 0 ⇒ x bZ (b 0

Bei x b

Asymptote g (x c Es handelt sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion, bei

I Output (x = a_x b c a c (x b _

x b c x a b c_1 x b .

Die Asymptote entspricht dem ganzrationalen Teil des Funktions-x .

mathe-matisch

D math R\ {b} W math R\ {c}

Zum mathematischen Definitionsbereich gehören alle reellen Zahlen außer der Definitionslücke, die bei b liegt.Zum mathematischen Wertebereich gehören alle reellen Zahlen außer c ; das ist die Zahl, bei der die Asymptote liegt.

ökonomisch D ök (b; ∞ W ök (c; ∞

Von dem Produktionsfaktor x müssen mehr als b Einheiten eingesetzt werden, um den geplanten Output zu erzielen.Von dem Produktionsfaktor y müssen mehr als c Einheiten eingesetzt werden, um den geplanten Output zu erzielen.

Die Geschäftsführung des Weingutes Hansen benötigt für die genaue Bud-

Minimalkosten für die vollständige Ernte der Weintrauben.

-

Produk tionsfaktoren an.

Gegeben I Output (x = 4_

x 1 5

K = p x x p y y ⇒ K 40 x 10 y

I (x = 4 x K_10 Diedes Berührpunktes geben die Minimalkostenkombination der Produktionsfaktoren an.

60Berechnung des Berührpunktes IOutput ′ (x = I ′ (x

Ableitungen bestimmen

Funktion f (x u [v (x ] . I Output (x 4 (x b c

innere Funktionäußere Funktion

u (x 4 x 1 ⇒ u ′ (x = 1 4 x 1 1 4 x 2 v (x x b ⇒ v ′ (x 1

Die Ableitung wird gebildet, indem die Ableitung der äußeren Funktion unter Beibe-haltung der inneren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert

f ′ (x u ′ [v (x ] v ′ (x IOutput ′ (x 1 4 (x b 1 1 4 (x b

äußere Ableitung innere Ableitung unter Beibehaltung der inneren Funktion

1

I (x = 4 x K_10 ⇒ I ′ (x 4

Gleichsetzen der beiden Ableitungen

4_ (x 1 2 = 4 ⇒ 4 4 (x 1 2 ⇒ 1 (x 1 2

± 1 = x 1 ⇒ x 1 0 ∉ D ök ∨ x 2 2

Funktionswert ermitteln I Output (2 = 4_

2 1 5 9 ⇒ (2 | 9

Kostenbudget bestimmen K 40 x 10 y 40 2 10 9 170

MinimalkostenkombinationDer geplante Output, also die Ernte der gesamten Trauben, kann durch den Einsatz von 2 ME des Traubenvollernters und 9 ME Arbeitsstunden erzielt werden. Dafür ent-

61Bei verketteten Funktionen sind die Funktionsterme miteinander verknüpft und wer-

f x u [v x ] . Zur Bestimmung des Funktionswertes wird erst die innere Funktion v und dann die äußere Funktion u ausgeführt. Mithilfe der Ketten regel f ′ x u ′ [v x ] v ′ xVerkettete Funktion Äußere Funktion Innere Funktion Ableitung

f (x (x 2 2 u (x x 2 v (x x 2 f ′ (x 2 (x 2 1 2 (x 2

f (x _2x 4 u (x

_x x 1_2 v (x 2 x 4 f ′ (x 1_2 (2 x 4 1_2 1 (2 = 2_

2 _ (2 x 4

1_ _ (2 x 4

f (x e 3x u (x e x v (x 3 x f ′ (x e 3x 3 3 e 3 x

f (x sin (2 x 3 u (x sin x v (x 2 x 3 f ′ (x (cos (2 x 3 2

Das Weingut Hansen baut an einem

flaschen abgefüllt wird. Für die Hopfenernte werden Menschen und Maschinen benötigt. Nachfolgende Grafik verdeutlicht die

-tionsfaktoren und die Isokostengerade. Die zugrundeliegende Funktionenschar I Output, b mit I Output, b (x = 3_

x b 1 modelliert die möglichen Isoquanten mit b∈  {3; 5; 7} . Mit steigendem b wird ein größerer Output erzielt, sodass das Weingut Hansen eine größere Hopfenmenge ernten kann. I (x =

p x _ p y

x K_ p y modelliert die

Isokostengerade.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Maschinenstunden in ME

2

4

6

8

OArbeitsstunden in ME(16|0)

(0|5,33)

-nation der Produktionsfaktoren.

62Bestimmen der Isokostenfunktion und Interpretation des Funktionsterms

I (x) = p x _ p y

x K_ p y mit P 1 (0 | 16_

3 ) und P 2 (16 0

I (0 = p x _ p y

0 K_ p y 16_

3 ⇒ K_ p y 16_

3

I (16 = p x _ p y

16 16_3 0 ⇒

p x _ p y

1_3

I (x = 1_3 x 16_3

⇒ K = 16, p x 1, p y 3

Preis für den Einsatz einer ME Maschinen bei 3 GE/ME.

Bestimmen der Minimalkostenkombination

Isoquante auswählen und b bestimmen

die Minimalkostenkombination vor. Für die grüne Isoquante liegt der Pol bei x 7 ,

⇒ I Output, b (x = 3_x 7 1

I (x = 1_3 x 16_3

Schnittpunkt ermitteln (algebraisch oder GTR/CAS) 3_x 7 1 = 1_3 x 16_

3 (x 7

⇒ 3 (x 7 = 1_3 x (x 7 16_3 (x 7

zusammenfassen ⇒ 0 = 1_3 x 2 20_

3 x 100_3 | Nach x auflösen (pq-Formel,

⇒ x 1, 2 10 ⇒

I Output, b (10 = 3_10 7 1 2

Berührpunkt bei (10 2

einem Einsatz von 10 ME Arbeit und 2 ME Maschinen. Auf diese Weise kann das

blauen und roten weiter oben rechts liegt.

63Bestimmen des Funktionsterms für eine Isoquantenfunktion I Output (x a_

x b c Drei Punkte, die auf der Isoquante liegen, sind bekannt angegeben.

und ein Gleichungssystem aufgestellt.

gelöst, sodass a, b und c bestimmt werden.

Ein Punkt und zwei wirtschaftliche Angaben sind gegeben Im Text ist die Angabe enthalten „Mehr als … Einheiten werden vom Produk-tionsfaktor x benötigt.“ Der angegebene Wert wird für b eingesetzt.

Im Text ist die Angabe enthalten „Mehr als … Einheiten werden vom Produk-tionsfaktor y benötigt.“ Der angegebene Wert wird für c eingesetzt.

der schon die Werte für b und c eingesetzt wurden, sodass nur noch a bestimmt werden muss. Die Gleichung wird nach a aufgelöst.

64Bestimmen der Minimalkostenkombination bekannt istAbleitungen der Isokostengerade und der Isoquantenfunktion bestimmen

I ′ (x p x _ p y

und IOutput ′ (x a_ (x b 2

Ableitungsterme gleichsetzen I ′ (x IOutput ′ (x

p x _ p y

= a_ (x b 2

Gleichung nach x auflösen Termumformungen

Den für x berechneten Wert x in die Funktions-gleichung der Isoquante ein setzen, um y zu ermitteln

I Output ( x a_ x b c y

Minimalkosten berechnen K p x x p y y

Bestimmen der MinimalkostenkombinationFunktionsterme der Isokostenfunktion und der Isoquantenfunktion gleichsetzen

I (x I Output (x

p x _ p y

x K_ p y = a_

x b c

Gleichung nach x auflösen Termumformungen

Da es sich um einen Berührpunkt handelt,

x 1, 2 x

Den für x berechneten Wert x in die Funktions gleichung der Isoquante ein setzen, um y zu ermitteln

I Output ( x a_ x b c y

Die Geschäftsführung des Weingutes Hansen benötigt eine Analyse der Grenzrate der Substitution in Bezug auf die Minimalkostenkombination bei der

I Output (x = 3_x 7 1 (10 2

IOutput ′ (x 3_

(x 7 2

IOutput ′ (10 = 3_ (10 7 2 1_3 dy_

dx d Maschinenstunden____d Arbeitsstunden

Eine Einheit des Maschineneinsatzes kann durch drei Einheiten Arbeit ersetzt werden.

65f (x = 3_ x 2 f (x = (x 4 2 f (x

_2 x 1

f (x (2 x 1 3 f (x = 2_x 4 f (x =

_ x 2 2

P 1 (11 25 , P 2 (14 10 und P 3 (15 9 x 9 10 12

y 4 3 2,5

P 1 (6 14 , es werden mehr als vier Mengeneinheiten des Produktionsfaktors x und mehr als acht Mengeneinheiten des Produktionsfaktors y zur Produktion benötigt. D ök (2; ∞ , W ök (3; ∞ . Wenn von dem Produktionsfaktor x sieben Einheiten eingesetzt werden, werden vom Produktionsfaktor y vier Einheiten benötigt.

Die Produktion von Industrieleitern -faktoren Arbeit ( x y

Output Isoquante

150 Industrieleitern I 150 (x 15_x 5 5

100 Industrieleitern I 100 (x 10_x 5 2

50 Industrieleitern I 50 (x 5_x 5 1

-tenbudget optimal ist.

Folgende Informationen liegen für die Produktion von

Isoquante Es werden mehr als 20 ME vom Produktions-faktor x benötigt

(22 35

IOutput ′ (25 2

Isokostengerade (22 34 und (30 10

p y 20

66Der Obsthof Meyer kann die Apfelernte

mithilfe von Erntehelfern ( x in Mengen-

den Einsatz von Erntemaschinen ( y in Mengeneinheiten Maschineneinsatz-

der für eine Einheit der Erntemaschine 10 GE. Für die gesamte Apfelernte ist ein

tion der Produktionsfaktoren durch die Isoquantenschar I Output, a; c mit I Output, a; c (x = a_

x 1 c modelliert werden kann. Für den Obsthof Meyer rentiert sich die Erntemaschine nur, wenn sie mehr als 3 ME eingesetzt wird.

Minimalkostenkombination.

Eine Aufgabe geht auf Reisen

1.

die dazugehörige Musterlösung zum Thema Minimalkostenkombination.

2.

anderen Gruppe aus Ihrer

4.

Gruppe die Lösung.

5.

erhaltene Lösung.

6.

die andere Gruppe zurück

3.

67Der Pol der Isoquantenfunktion liegt bei x 5 und die Asymptote bei g (x 5 .

der Isoquantenfunktion.

die Isokostengerade.

4 8 12 16 20 24

Maschinenstunden in ME

5

25

10

15

20

OArbeitsstunden in ME

Pol

IK

Isoquante

Asymptote(7|8)

(0|18,5)

Die gibt

Produktionsfaktoren an, die gleich hohe

Eine kombiniert zwei Produktionsfaktoren so, dass der-selbe Output erzielt wird.

-tem für die Hyperbel den Pol und die Asymptote.

2 4 6 8 10 12

Maschinenstunden in ME

2

10

4

6

8

OArbeitsstunden in ME

68In einem Betrieb für Lebkuchen werden Untersuchungen über die kostengüns-

-faktors x mit dem Produktionsfaktor y durchgeführt. Die nachfolgende Grafik zeigt die ers-ten Analysen für die Herstellung der Lebkuchen.

mit den richtigen Bezeichnungen und den Einheiten sowie die Graphen für die 8 16 24 32 40 48

4

20

8

12

16

O

Isoquantenfunktion mit I Output und die Isokostenfunktionen mit I I bzw. I

Definitionsbereich.

Die Geschäftsführung des Unternehmens Schoki Untersuchungen über die kosten günstig-

Arbeit xy in ME für die Produktion von

Schokoladenzwergen vornehmen. Eine ME des Produktionsfaktors Arbeit

Das Unternehmen könnte mit den vorhandenen Maschinen zwei unterschiedliche Outputmengen realisieren. Diese lassen sich mithilfe der unten stehenden Isoquan-tenfunktionen darstellen.

x 5 6,5 9

y 7 4 3

I Output 2 (x = 9_x 4 2

DieVerfügung.

budget realisiert werden kann.

69gesetzt werden müssen, damit die Produktion überhaupt realisiert werden kann.

Das Unternehmen Klaussen erntet Grünkohl per Hand (Arbeit xy -

faktoren wird angegeben durch I Output (x = 3 x 34_x 2

eine Mengeneinheitbei 10 GE.

Klaussen die Produktionssituation grafisch und