Seite 1 von 35

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

O

Quadratische Funktionen (Parabeln) Aufgabe: Gegeben ist die quadratische Funktion y = (1) x2. Berechne mit Hilfe einer Wertetabelle die Funkti-onswerte von –3 bis +3 im Abstand 0,5. Zeichne anschließend die Punkte in ein Koordinatensystem ein.

x -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 y 9 6,26 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9

Spiegelpunkt Beispiel für eine solche Funktion: Seitenlänge eines Quadrats � Flächeninhalt des Quadrats Merke: 1.) Eine quadratische Funktion heißt Parabel. 2.) Die quadratische Funktion y = x2 bezeichnet man als Normalparabel. 3.) Die Parabel ist eine Kurve mit einer Symmetrieachse. 4.) Den tiefsten Punkt der Parabel bezeichnet man als den Scheitelpunkt (S) der Parabel. 5.) Die Parabel y = x2 fällt im 2. Bereich bis zum Scheitelpunkt und steigt im 1. Bereich wieder an.

Symmetrieachse

Scheitelpunkt (S)

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-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

O

Die Funktion y = ax2 Aufgabe: Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle folgende Funktionen mit unterschiedlichen Farben in ein Koordi-natensystem ein:

22222 x2

1y;x2y;x1y;x

2

1y;x2y −=−=−===

Überlege: Welche Auswirkungen hat der Faktor a auf den Verlauf der Parabel?

x -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 y1 18 12,5 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 12,5 18 y2 4,5 3,125 2 1,125 0,5 0,125 0 0,125 0,5 1,125 2 3,125 4,5 y3 -9 -6,25 -4 -2,25 -1 -0,25 0 -0,25 -1 -2,25 -4 -6,25 -9 y4 -18 -12,5 -8 -4,5 -2 -0,5 0 -0,5 -2 -4,5 -8 -12,5 -18 y5 -4,5 -3,125 -2 -1,125 -0,5 -0,125 0 -0,125 -0,5 -1,125 -2 -3,125 -4,5

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Eigene Erklärung: Wenn man die Vorzahl von x2 bei einer quadratischen Funktion vergrößert, verläuft die Parabel steiler nach oben bzw. nach unten, als wenn man sie verkleinert. Dann wird sie flacher. Merke:

1.) Die quadratische Funktion 2xay ⋅= nennt man Parabel mit dem Scheitelpunkt S(0/0).

2.) Steht vor dem x2 ein negativer Faktor a, dann ist die Parabel nach unten geöffnet – Spiegelung an

der x-Achse – bei einem positiven Faktor a nach oben geöffnet. 3.) Für a > 0 gilt:

Bei a > 1 verläuft die Funktion steiler, sie ist enger geöffnet als die Normalparabel y = 1x2.

Beispiele für 2 2a 1: y 3 x ; y 7 x> = ⋅ = ⋅

Bei 0 < a < 1 verläuft die Funktion flacher, sie ist weiter geöffnet als die Normalform y = 1x2.

Beispiele für 2 21 30 a 1: y x ; y x

2 4< < = ⋅ = ⋅ x2

4.) Für a < 0 gilt:

Bei a < (-1) verläuft die Funktion steiler, sie ist enger geöffnet als die gespiegelte Normalparabel.

Beispiel für 2 2a 1: y 3 x ; y 4 x< − = − ⋅ = − ⋅

Bei -1 < a <0 verläuft die Funktion flacher, sie ist weiter geöffnet als die gespiegelte Normalparab.

Beispiel für 2 21 31 a 0 : y x ; y x

2 4− < < = − ⋅ = − ⋅

5.) Bei a = 0 stellt die Funktion (y = 0) die x-Achse dar.

Bedeutung des Faktors a für die Öffnungsrichtung und die Öffnungsweite der Parabel Richtung: nach unten nach oben Weite: enger weiter weiter enger x-Achse Aufgaben dazu: Zeichne folgende Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein:

2 2 2 21 2 3 4

1y 3 x ; y x ; y 0,4 x ; y 2,5 x

5= ⋅ = − ⋅ = ⋅ = − ⋅

Lege dazu eine gemeinsame Wertetabelle für alle Funktionen an und berechne mindestens 10 Werte zu jeder Funktion.

Weitere Fragestellungen zu der Parabel 2xay ⋅= :

-1 0 1 −∞ +∞

Seite 4 von 35

1.) Wie breit ist die Parabel 2y 2x= 10 (20, 50 Einheiten (cm)) über ihrem Scheitelpunkt?

2.) Welche Höhe besitzt die Parabel 2y 2x= 5 (10, 20 Einheiten (cm)) rechts von ihrem Scheitel-

punkt?

3.) Wie breit ist die Parabel 21y x

5= − 10 (20, 50 Einheiten (cm)) unter ihrem Scheitelpunkt?

4.) Welche Tiefe besitzt die Parabel 21y x

5= − 5 (10, 20 Einheiten (cm)) links von ihrem Scheitel-

punkt?

5.) Wie lang wäre eine Strecke, die vom Punkt P(6/0) senkrecht hoch bis zur Parabel 21y x

2= ver-

läuft?

6.) Wie breit ist die Parabel 21y x

2= 1 Meter über ihrem Scheitelpunkt bei einer Zentimetereintei-

lung? zu 1.) zu 2.)

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1

2 2 2

2

y 2x y 2x y 2x y 2x y 2x y 2x

10 2x 20 2x 50 2x y 2 5 y 2 10 y 2 5

5 x 10 x 25 x y 2 25 y 2

,23 x 3,16 x 5 x y 50 cm y

100 y 2 25

b 2 2,23 b 2

200 cm y 50 cm

b 4,46 cm b 6

2,23 x

,32 cm b 10

3,16

3,

x

16 b 2 5

c

5 x

= =

= = = = = =

= = = = ⋅ = ⋅ = ⋅

= = = = ⋅ = ⋅ = ⋅

= ⋅ =

=

− = − =

= = =

= =

= ⋅

=

−

⋅

=

m

zu 3.) zu 4.)

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1

2

y 0,2x y 0,2x y 0,2x y 0,2x y 0,2x y 0,2x

10 0,2x 20 0,2x 50 0,2x y 0,2 5 y 0,2 10 y 0,2 20

50 x 100 x 250 x y 0,2 25 y 0,2 100 y 0,

y 5 cm y 20 cm y 807,07 x 10 x 15,81 x

7,

2 40

m

0

07 x

c

= − = − = − = − = − = −

− = − − = − − = − = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅

= = = = − ⋅ = − ⋅

= = =

−

= − = − = −

− ⋅

=

=

2 2 2

b 2 7,07 b 2 10 b 2 1

10 x 15,

5,8

b 14,14 cm b 20 cm

8

1

b 31,62 cm

1 x

= ⋅ = ⋅ =

= = =

⋅

− = − =

zu 5.)

2 2

2 2

2

1 2

1 1y x x 6 y x y 100

2 21 1

y 6 100 x2 21

y 36 200

14,14 x 14,1y 18 cm b 2 14,14 24 8,

x2

2 cmx 8= − =

= = = =

= ⋅ =

= ⋅

⋅ =

=

= =

Seite 5 von 35

PARABELSCHABLONEN

Bitte auf Pappe kleben und ausschneiden!

21

y x4

= ± 2y 2x= ±

2y 1x= ±

21y x

2= ±

Seite 6 von 35

Parabeln, Brücken, Parabeln, Brücken ... 1.) Die Müngstener Brücke der Bahnstrecke zwischen Solingen und Remscheid hat einen parabel-

förmigen Bogen mit der Funktionsgleichung 2x90

1y −= .

Berechne die Spannweite des Brückenbogens für eine Bogenhöhe von 69 Metern. Fertige dazu zuerst eine kleine Skizze der Brücke an!

2.) Von einer Hängebrücke ist die Gleichung des parabelförmigen Bogens mit 2x120

1y = bekannt.

Fertige eine Skizze der Brücke an! Berechne die Spannweite der Brücke, wenn die Höhe 90 Meter beträgt. Wie ändert sich die Spannweite bei einer Bogenhöhe von 45 Metern?

3.) Für einige Brücken sind die Werte für h und w

gegeben:

Brooklyn-Bridge: w = 486 m ; h = 88 m Golden Gate Bridge: w = 1280 m ; h = 144 m Verrazano-Bridge: w = 1298 m ; h = 122 m Ermittle die Koordinaten der Punkte A und B und bestimme die Gleichung der Parabel für die ein-zelnen Brücken.

4.) Bestimme die Parabelgleichung der dargestell-

ten Brücke für h = 25 m und w = 100 m und be-rechne die Länge der Stützen, wenn der Ab-stand 10 Meter beträgt.

5.) In der Konstruktionszeichnung

rechts ist der Hauptbogen ei-ner Eisenbahnbrücke darge-stellt.

Bestimme mit den angegebe-nen Maßen die Parabelglei-chung des Bogens. Rechne mit der gefundenen Gleichung und den übrigen Angaben nach, ob die Punkte auf der Parabel liegen.

Seite 7 von 35

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

O

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

O

Parabeln, Brücken, Parabeln, Brücken (Lösungen) 1.)

m60,157280,78sx80,78

x6210

x901

69

x901

y

2

2

2

=⋅==

=

−=−

−=

2.)

m97,146sm45bei

m84,207292,103sx92,103

x10800

x120

190

x120

1y

2

2

2

=

=⋅==

=

=

=

3.)

2 2

2

2

2 2

2

2

2

y 0,00

x 243 y ax x 640 y ax

y 88 88 a 243 y 144 144 a 640

Brooklyn : Go149x y 0,0003lden Gate :

x 649 y a

5x

y 0,000

x

y

29x

a 0,

122

00149 a 0,

122 649

Verrazan

00035

a 0

o

,00029

= = = =

= = ⋅ = = ⋅

= =

=

= =

= =

=

= =

4.)

m16h40xm9h30xx01,0y

m4hm1h01,0a

4y1y50a2525y

2001,0y20x1001,0y10xaxy50x

2

2

222

=⇒==⇒=−=

==−=

−=−=⋅=−−=

⋅−=⇒=⋅−=⇒===

Seite 8 von 35

5.)

m625,5m375,0m6x241

y

375,0ya241

83

y12a6

9241

y3xaxy

2

2

2

=−−=

−==−

−=⋅=−

⋅−=⇒==

6 m – 0,38 m = 5,62 richtig (wenn gerundet wurde) 6 m – 1,5 m = 4,5 richtig 6 m – 3,38 m = 2,62 richtig (wenn gerundet wurde)

x 3 6 9

y -0,38 -1,5 -3,38

Seite 9 von 35

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

O

Die Parabel 2y a x c= ⋅ +

Aufgabe:

a.) Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle folgende Funktionen in ein gemeinsames Koordinaten-system ein:

2 21 2

1y x 4 y 2x 6

2= − + = −

b.) Notiere die Koordinaten des Scheitelpunktes (S) der Parabeln. c.) Berechne die Koordinaten der Nullstellen (N) der Parabeln. d.) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte (T1 und T2) der beiden Parabeln

x -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 y1 -0,5 0,875 2 2,875 3,5 3,875 4 3,875 3,5 2,875 2 0,875 -0,5 y2 12 6,5 2 -1,5 -4 -5,5 -6 -5,5 -4 -1,5 2 6,5 12

Seite 10 von 35

zu b.) Scheitelpunkt von y1: S(0/4) Scheitelpunkt von y2: S(0/-6) zu c.)

1

2 2

2 2

1 1

2 2

1

2 2

2 2

2 2

2,83 x 1,73 x

2,83 x

10 x 4 0 2x 6

21

4 x 6 2x2

8 x 3 x

8 3

8 3

1y x 4 y 2x 6

2

N (2,83 / 0) N

1,73 x

(1,73 / 0)

N ( 2,83 / 0) N ( 1,73 / 0)

=

= − + = −

− + = −

− = − =

= =

= =

− = − =

−

=

− = − =

−

=

zu d.)

1 1

2

2 2

2

2

2

1

2

1x 4 2x 6

2

2,5x 10

x 2 y 2

T (2 / 2)

T ( 2 / 2

4

2 y

)

x 2

x

=

− + = −

− = −

=

−

=

=

= −

MERKE: Die Funktion y = ax2 + c ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt (S) um den Wert c entlang der y-Achse verschoben wurde. Die Öffnungsrichtung (nach oben oder unten) und der Verlauf der Parabel (steil oder flach) sind wieder abhängig vom Faktor a. Der Scheitelpunkt dieser Parabeln liegt immer bei S(0/c) Übungsaufgaben dazu:

Gegeben sind die folgenden Funktionen: 2 21 2

1y x 2 y x 3

4= − = − +

a.) Gib die Koordinaten der Scheitelpunkte (S) der Parabeln an. b.) Zeichne sie mit Hilfe der Schablonen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. c.) Berechne die Nullstellen (N) der beiden Parabeln. d.) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte (T1 und T2) der beiden Parabeln.

zu a.) Scheitelpunkt y1: S(0/-2) zu c.) Nullstellen y1: N1(2,83/0) ; N2(-2,83/0) Scheitelpunkt y2: S(0/3) Nullstellen y2: N1(1,73/0) ; N2(-1,73/0) zu d.) Schnittpunkt y1 und y2: T1(2/-1) ; T2(-2/-1)

Parabeln der Form y = ax² + c

Seite 11 von 35

1.) Wie lauten die Funktionsgleichungen y1 –y5 der hier gezeigten quadratischen Funktionen? 2.) Wie lauten die Koordinaten der Scheitelpunkte (S1 – S5)? 3.) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zu den angegebenen Funktionen

gehören:

2817

463524

534211

yauf)12(?/P;yauf)30(?/P

yauf)20(?/P;yauf)44(?/P;yauf)93(?/P

yauf/?)15(P;yauf/?)8(P;yauf/?)2(P

−

−−

−−

4.) Berechne, wenn möglich, die Koordinaten der Nullstellen (N) der Parabeln. 5.) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte (P1 und P2) von y2 mit y3 sowie (P3 und P4) von y4 mit

y5

y1

y3 y5 y4

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

O

y2

Seite 12 von 35

Parabeln der Form y = ax² + c (Lösungen) zu 1.)

2 2 2 2 21 2 3 4 5

1 1 1y x 1 y 2x 5 y x 6 y x 2 y x 3

4 2 4= + = − = − + = − − = − +

zu 2.)

1 2 3 4 5S (0 /1) S (0 / 5) S (0 / 6) S (0 / 2) S (0 / 3)− −

zu 3.)

1 1 2 4 3 5

4 2 5 3 6 4

7 1 8 2

P ( 2 / ) auf y P ( 8 / ) auf y P (15 / ) auf y

P ( / 93) auf y P ( / 44) auf y P ( / 20) auf y

2 18 222

7 7 10 10 8,49 8,49

10,7P ( / 30) auf y P ( / 12) auf7 10,77 n.l. y

− − − −

∨ − −∨

−

− ∨ − −

∨ −

zu 4.)

2 2 2 2 21 2 3 4 5

1 1 1

2 2 2

keine N N (1,58 / 0) N (3,46 / 0) keine N N (1,73 / 0)

N

1 1 1y x 1 y 2x 5 y x 6 y x 2 y x 3

4

( 1,58 / 0) N ( 3,4

2 4

6 / 0) N ( 1,73 / 0)

= + = − = − + = − − − +

− −

=

−

zu 5.)

2 3 4 5

1 1 1 1

1 2 3 4

2 2 2 2

2 2

2

2

2

2 2 2

y mit y : y mit y :

x 2,1 y 3,82 x 2,58 y 3,67

x 2,1 y 3,82 x 2,58 y 3,67

P

1 12x 5

(2,1

x 6 x 2

/ 3,8

x 32 4

32,5x 11

2) P ( 2,1/ 3,82) P (2,58 / 3,6

x

7) P ( 2

54

x 4,4 x 6

,58 / 3,6

67

7)

,

= = = =

− = − + − − = − +

= =

−

= − =

= =

= −

−

= −

− − −

Seite 13 von 35

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-1

1

2

3

4

5

6

7

O

Die Parabel y = a · (x - b)2

Aufgabe: Lege für die Parabel 2)2x(2

1y +⋅= eine Wertetabelle von -5 bis 5 an (Abstand 1).

a.) Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel? b.) Wie heißen die Nullstellen der Parabel? c.) Wo schneidet sie die y-Achse?

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 12,5 18 24,5

Scheitelpunkt (S) Nullstellen (N) zu a.) Scheitelpunkt: S(-2 / 0) zu b.) Nullstellen: N1(-2 / 0) zu c.) Berechnung des Schnittpunktes mit der y-Achse

2

2

1y (x 2) x 0

21

y (0 2)21

y 42

y 2

= ⋅ + ⇒ =

= ⋅ +

= ⋅

=

Schnittpunkt y-Achse (Sy) = (0 / 2)

Seite 14 von 35

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

O

Merke: Die Funktion y = a · (x - b)2 ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S (-b /0). Die Öffnungsrichtung und die Öffnungsweite sind wieder abhängig vom Faktor a vor der Klammer. Aufgabe:

Gegeben sind die quadratischen Funktionen: 2 21 2

1y 2x 6 und y (x 3)

4= − + = ⋅ −

a.) Zeichne sie mit Hilfe der Parabelschablonen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. b.) Bestimme die Koordinaten ihrer Schnittpunkte (T1 und T2).

zu a.)

Seite 15 von 35

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

O

zu b.)

)4/1(2T35

x32

x0

)44,0/67,1(1T43

3x23

x49

0

4y134

31

x49

x23

x41

6x2

94

y32

135

34

31

x)9x6x(41

6x2

915

91

31

x)3x(41

6x2

2

2

2222

1122

2/122

−−−=

−−=

=−=−=+−=+−

===+=+−⋅=+−

+±=−⋅=+−

Aufgabe: Gegeben sind folgende Funktionen:

2x21

y)4x(21

y2x21

yx41

y 42

32

22

1 +−=+⋅=+−==

a.) Zeichne die vier Funktionen mit unterschiedlichen Farben in ein gemeinsames Koordinaten-

system ein. b.) Berechne die Koordinaten der Nullstellen (N) von y2 und y4. c.) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von y2 und y4 und von y1 und y3.

y1 y4 y3 y2

Seite 16 von 35

zu b.)

1

2

22 4

2

2

2

1 2

1 1y x 2 y x 2

2 2

1 10 x 2 0 x 2

2 21 1

2 x 2 x2

y

N(4 / 0)

N

0 y 0

4 x

2 x

2 x

(2 / 0) N ( 2 / 0)

2

4 x

= =

=

=

= − + = − +

= − + = − +

− = − − =

−

−

=

− =

zu c.)

( )

( )

( )

1

22 22 4 1 3

22 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

11 /

/ 2

1

1

2

22

1 1 1 1y x 2 y x 2 y x y x 4

2 2 4 21 1 1 1

x 2 x 2 x x 42 2 4 21 1 1 1

x x 0 x x 8x 162 2 4 2

1 1x x 0 x x 4x 8

4 21

x (x 1) 0 0 x 4x 84

0 x 16x 32

x 8 64 32

x 0 x 1

y 2 y 1,

S (0 / 2) S (1/1

x

)

8 3

,

5

5

= − + = − + = = ⋅ +

− + = − + = ⋅ +

− + = = ⋅ + + +

− = =

= ∨ =

+ +

⋅ − = ⇒ = + +

= + +

= − ± −

=

=

−

=

±

∨

1

1

2

1

2

2

x 8 5,66 2,34

x 8 5,66 13,66

y 1,3

S ( 2,34 /1,

2

3

7

y

7)

46

S ( 13,66 / 46,65

,65

)

= − + = −

= − − = −

=

−

−

=

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Parabeln der Form y = a (x - b)² 1.) Wie lauten die Funktionsgleichungen der hier gezeigten quadratischen Funktionen: 2.) a.) Bestimme durch Rechnung die Schnittpunkte (Sy) der Parabeln y1 - y5 mit der y-Achse. b.) Bestimme die Koordinaten der Scheitelpunkte (S) der Parabeln y1 - y5. c.) Zeichne mit einer Farbe die Spiegelachsen der Parabeln ein. d.) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zu den angegebenen Funktionen gehören:

48372615

44332211

yauf)16(?/P;yauf)15(?/P;yauf)25(?/P;yauf)9(?/P

yauf/?)9(P;yauf/?)10(P;yauf/?)3(P;yauf/?)7(P

−−

−−−

3.) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von y1 und y2 sowie von y3 und y5. 4.) Welche Breite besitzt die Parabel y1 2 cm oberhalb ihres Scheitelpunktes? Welche Breite besitzt die Parabel y3 4 cm unterhalb ihres Scheitelpunktes? Welche Breite besitzt die Parabel y2 20 cm oberhalb ihres Scheitelpunktes? Welche Breite besitzt die Parabel y5 50 cm unterhalb ihres Scheitelpunktes?

y5

y3

y4

y1 y2

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

O

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Parabeln der Form y = a (x - b)² (Lösungen) zu 1.)

2 2 2 2 21 2 3 4 5

1 1y (x 2) y (x 2) y (x 3) y 2 (x 1) y 1 (x 3)

2 4= + = ⋅ − = − ⋅ + = − ⋅ + = − ⋅ −

zu 2.) zu a.)

2 2 2 2 21 2 3 4 5

2 2 2 2 21 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 1y (x 2) y (x 2) y (x 3) y 2 (x 1) y 1 (x 3)

2 41 1

y (0 2) y (0 2) y (0 3) y 2 (

y 4 y 2 y 2,

Sy(0 / 4) Sy(0 / 2) Sy(0 / 2,25) Sy(0 / 2) Sy(

0

2

1) y 1 (0

0 /

5 y 2 y 92

)

3

9

)4

= + = ⋅ − = − ⋅ + = − ⋅ + = − ⋅ −

= + = ⋅ − = − ⋅ + = − ⋅ + = −

= = = −

−

⋅

−

−

−

=

−

− =

zu b.)

1 2 3 4 5S ( 2 / 0) S (2 / 0) S ( 3 / 0) S ( 1/ 0) S (3 / 0)− − −

zu c.) x 2 x 2 x 3 x 1 x 3= − = = − = − = zu d.)

1 1 2 2 3 3 4 4

5 1 6 2 7 3 8 4

5 1 6 2 7 3 8 4

P ( 7 / ) auf y P ( 3 / ) auf y P (10 / ) auf y P ( 9 / ) auf y

P ( / 9) auf y P ( / 25) auf y P ( /15) auf y P ( / 16) auf y

P ( / 9) auf y P ( / 25) auf y

25 12,5 42,25 128

1 n.l. n

P ( /15) au

.l. 1,83

5 n. f y P ( / 16) aufl. n.l. y3,83

− − −

−

−

−

−−

−

−

−

zu 3.)

2 2 2 21 2 3 5

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

1 1y (x 2) y (x 2) y (x 3) y 1 (x 3)

2 41 1

(x 2) (x 2) (x 3) 1 (x 3)2 4

1 1x 4x 4 (x 4x 4) (x 6x 9) 1 (x 6x 9)

2 41 1 3 9

x 4x 4 x 2x

x 12

2 x x 1x 6x 92 4 2 4

1 3 1 3x 6x 2 0 x 7 x 6 0

2 4 2 4

x

= + = ⋅ − = − ⋅ + = − ⋅ −

+ = ⋅ − − ⋅ + = − ⋅ −

+ + = ⋅ − + − ⋅ + + = − ⋅ − +

+ + = − + − − − = −

+

+ −

+ + = − + =

+2

1 1

1/ 2

1 1

2

1 1

2 2 2 2

1/ 2

1/ 2 1/

2

2

S ( 0,34 / 2,76) S (9 / 36)

S

4 0 x 10x 9 0

x 0,34 y 2,76 x 9 y 36

x 11

x 6 36 4 x 5 2

( 11,66 / 93,32) S (1

,66 y 93

/

5 9

x

4)

,32 x 1 y 4

6 5,66 x 5 4

= − + =

= − = = =

= − ± − = ± −

= − ± =

−

= − = =

±

−

= −

−

− −

Seite 19 von 35

zu 4.)

1 1 1 1

2 2 2 21 3 2 5

2 2 2

2

2

2 2 2

1 1y (x 2) y (x 3) y (x 2) y 1 (x 3)

4 21 1

2 (x 2) 4 (x 3) 20 (x 2) 50 1 (x 3)4 2

1,41 x 2

x 0,59 x 1 x 8,32 x 10,07

x 3,41 x 7 x 4,32 x 4,07

4 x 3 6,32 x 2 7,07 x 3

Breite : Breite : Breit

= − = = =

= − = − = − =

= + = − ⋅ + = ⋅ − = − ⋅ −

= + − = − ⋅ + = ⋅ − − = − ⋅ −

± = + ± = + ± =

−

− ± = −

( 3,41) ( 0,59) 1 ( 7) 8,32 ( 4,32) 10,07 ( 4,07)

2,82 E 8 E 12,64 E 14,14 E

e : Breite :

− − − = − − = − − = − − =

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-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-1

1

2

3

4

5

6

7

O

Die Parabel y = a ( x - b )2 + c

Beispiel: 2)1x(2

1y 2

+−⋅=

↑ ↑ ↑ a b c Scheitelpunkt: ( -b / c) ( 1 / 2 ) Merke: Die Funktion y = a · (x - b)2 + c ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-b/c). Die Öffnungsrichtung und Öffnungsweite werden wieder durch den Faktor a angegeben. Da man bei dieser Funktionsgleichung y = a (x - b)2 + c sofort den Scheitelpunkt ablesen kann, nennt man sie Scheitelform der Parabel.

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-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

O

Die Parabel y = a (x - b)² + c y2 y4 y1 y5 y3 1.) Wie lauten die Funktionsgleichungen der hier gezeigten quadratischen Funktionen: 2.) Benutze die Funktionsgleichungen, um folgende Aufgaben zu lösen:

a.) Bestimme durch Rechnung die Schnittpunkte der Parabeln y1 - y5 mit der y-Achse. b.) Bestimme die Koordinaten der Scheitelpunkte der Parabeln y1 - y5. c.) Bestimme die Gleichungen der Spiegelachsen und zeichne sie ein.

d.) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zu den angegebenen

Funktionen gehören:

P auf y P auf y P auf y P auf y1 3 2 5 3 1 4 23 2 2 4( / ?) ; ( / ?) ; (?/ ) ; (?/ )−

e.) Wie breit ist die Parabel y1 sieben Einheiten unter ihrem Scheitelpunkt? f.) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von y5 und y2. g.) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von y1 und y4. h.) Bestimme die möglichen Nullstellen der Parabeln.

Seite 22 von 35

Die Parabel y = a (x - b)² + c (Lösungen) zu 1.)

2 21 2

2 23 4

25

y 0,5 (x 3) 4 y 2 (x 1) 5

y 1 (x 2) 3 y 1 (x 2) 2

y 0,25 (x 3) 1

= − ⋅ − + = ⋅ + −

= − ⋅ + + = ⋅ − −

= − ⋅ + +

zu 2.) a.)

21 2

1 3

1 4

5

y 0,5 (0 3) 4 Sy (0 / 3)

y 0,5 Sy (0 / 1)

Sy (0 / 0,5) Sy (0 / 2)

Sy (0 / 1,25)

= − ⋅ − + −

= − −

−

−

zu 2.) b.)

1 2 3

4 5

S (3 / 4) S ( 1/ 5) S ( 2 / 3)

S (2 / 2) S ( 3 /1)

− − −

− −

zu 2.) c.) x1 = 3 x2 = -1 x3 = -2 x4 = 2 x5 = -3 zu 2.) d.) P1 (-3/2) auf y3 P2 (2/-5,25) auf y5 P3 (5/2) oder P3 (1/2) auf y1 P4 (1,12/4) oder P4 (-3,12/4) auf y2 zu 2.) e.)

21/ 2

21

22

2

2

2

3 0,5 (x 3) 4 x 3 9 5

3 0,5 (x 6x 9) 4 x 3 3,74 6,74

3 0,5x 3x 4,5 4 x 3 3,74 0,74

3 0,5x 3x 0,5

0 0,5x 3x 2,5 Breite : 6,74 ( 0,74) 7,48 cm

0 x 6x 5

− = − ⋅ − + = ± +

− = − ⋅ − + + = + =

− = − + − + = − = −

− = − + −

= − + + − − =

= − −

zu 2.) f.)

1 1

1

2

2

2

2

x 0,29 y 1,67

x 2,

T (0,2

2

9 / 1,67)

T (

73

2

2,73 /

7x x 0

9y 1

1)

9+ − =

−

−

= = −

= − =

zu 2.) g.)

2

2

1

2

1 1

2

x 4,27 y 3,15

x 0,39 y

T (4,27 / 3,15)

T (0,39 / 0

0,59

14 5x x 0

3 3

,59)

− + = =

=

=

=

zu 2.) h.)

1 2

3 4

5

N (0,17 / 0) und (5,83 / 0) N (0,58 / 0) und ( 2,58 / 0)

N ( 0,27 / 0) und ( 3,73 / 0) N (3,41/ 0) und (0,59 / 0)

N ( 1/ 0) und ( 5 / 0)

−

− −

− −

Seite 23 von 35

Zusammenfassung der Parabeleigenschaften Hier noch einmal ein Überblick über die Eigenschaften der bisher besprochenen Parabeln in tabellari-scher Form:

Funktion 2y x= 2y ax= 2y cax= + 2y (x ba )⋅ −= 2) cay (x b−= ⋅ +

Scheitelpunkt (S): (0/0) (0/0) (0/c) (-b/0) (-b/c)

Schnittpunkt mit y-Achse (Sy):

(0/0) (0/0) (0/c) 2(0 / a b )⋅ 2(0 / a b c)⋅ +

Beispiel: 2y x= 2y 2x= 2y 32x= − 2y (x 42 )⋅ −= 2) 32y (x 4−= ⋅ −

Scheitelpunkt (S): (0/0) (0/0) (0/-3) (4/0) (4/-3)

Schnittpunkt mit y-Achse (Sy):

(0/0) (0/0) (0/-3) 2(0 / 2 4 32)⋅ = 2(0 / 2 4 3 29)⋅ − =

Faktor a gibt Auskunft über die Form und Öffnungsrichtung der Parabel: engere oder weitere Öffnung als die Normalparabel 2y x= ; nach oben oder nach unten geöffnet.

Der Wert c gibt die Verschiebung des Scheitelpunktes der Parabel in y-Richtung (nach oben oder nach unten) an. Der Wert b gibt die Verschiebung des Scheitelpunktes der Parabel in x-Richtung (nach links oder nach rechts) an. Beispiel: Gegeben ist die Funktion 2y ( 3,5 4x )0 +−= +⋅

Scheitelpunkt: S(-3/4) S(-b/c) Öffnungsrichtung: nach unten (da a<0) Öffnungsweite: weiter als Normalparabel (da -1<a<0) Um den Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse zu bestimmen, setzt man x = 0 und berechnet den y-Wert: Schnittpunkt mit der y-Achse: 2y (0 ) y 0,0 43, 55 += ⇒ = −− +⋅ Sy(0/-0,5) Um die Nullstellen der Parabel zu berechnen, setzt man y = 0 und berechnet die bei-den x-Werte:

1

22

1

2

0,1 N ( 0,17 / 0)

N

7

x ( 5,83 / 05, )83

0 0,5 x 3x

4( )−

≈ − −

≈ −

+⋅ +−=

- - - - - - - 1 2 3 4 5 6 7

-------

1234567

x

y

O

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-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

O

Die Parabel y = ax2 + dx + e Aufgabe: Gegeben ist die Parabel 2y x 4x 1= + +

a.) Berechne die Nullstellen (N1, N2) der Parabel. b.) Berechne die Schnittstelle (Sy) der Parabel mit der y-Achse. c.) Zeichne die 3 Punkte in ein Koordinatensystem ein. d.) Versuche, mit Hilfe einer Schablone und der 3 Punkte die Parabel zu zeichnen. e.) Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes (S) der Parabel aus der Zeichnung.

zu a.) Berechnung der Nullstellen:

2

2

1/ 2

1

2

1

2

0

y x 4x 1

0 x 4x 1

x 2 4 1

x 2 1,73

x

N ( 0,27 / 0)

N ( 3,73 /

2 1,73

,27

3

0)

,73

= + +

= + +

= − ± −

= − + =

=

−

−

−− − =

−

Seite 25 von 35

zu b.) Berechnung des Schnittpunktes mit der y-Achse:

2

y

2y x 4x 1

y 0 4 0

y 1

(0 / )

1

S 1

=

= + +

= + ⋅ +

zu e.) Scheitelpunkt der Parabel: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S(-2/-3) Aufgabe: Gibt es eine Möglichkeit, den Scheitelpunkt aus der Gleichung 2y x 4x 1= + + zu berechnen?

Dazu müsste man die Gleichung 2y x 4x 1= + + in die Form 2y a (x b) c= ⋅ − + (Scheitelpunktform)

bringen.

2

2

2

2

4 quadratische Ergä

y x 4x 1

y x 4x 1 /

y (x 4x 4) 3

y

nz

(x 2)

ung!4

S / 3

3

( 2 )

= + +

= + +

= + + −

=

−

+ −

−

−

+

Merke: Die Funktion 2y ax dx e= + + ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt aus der Funktionsgleichung nicht

direkt ablesbar ist. Um den Scheitelpunkt (S) bestimmen zu können, muss man sie in die Form 2y a (x b) c= ⋅ − + (Schei-

telpunktform) umformen. Dies geschieht mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion: 21f(x) y x 5x 8

2= = − +

1.) Berechne die Nullstellen (N1;N2) der Parabel. 2.) Berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse (Sy). 3.) Berechne den Scheitelpunkt (S). zu 1.)

1

21/

2

2

21

22

1y x 5x 8 x 5 25 16

21

0 x 5x 8 x 5 N (8 / 0)

N (

32

0 x 10x 2 / 0)16 x

8

25 3

= − + = ± −

= − + = + =

= − + = − =

Seite 26 von 35

zu 2.) zu 3.)

2

2

y

1y x 5x 8

21

y 0 5 0

S (0 / 8

828

)

y

= − +

= ⋅ −

=

⋅ +

2

2

2

2

2

2

1y x 5x 8 /

22y x 10x 16

2y x 10x 25 25 16

2y (x 10x 25) 9

2y (x 5)

2

: 2

1y (x 5) 4,

S(5 / 4,5)

9 /

52

= − +

= − +

= − + − +

= − + −

= −

−

−

−

⋅

= −

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion: 2f(x) y 2x 6x 2,5= = − + −

1.) Berechne die Nullstellen (N1; N2). 2.) Berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse (Sy). 3.) Berechne den Scheitelpunkt (S). zu 1.)

21/ 2

21

22

1

2

y 2x 6x 2,5 x 1,5 2,25 1,25

0 2x 6x 2,5 x 1,5 1

0 x 3

N (2,5 / 0)

N (x 0,51,25 x 1,5 1 / )

2 5

0,5 0

,

= − + − = ± −

= − + − = + =

= − + = − =

zu 2.) zu 3.)

2

2

y

y 2,5

S (0 / 2

y 2x 6x 2,5

y 2 0 6 0 2,5

,5)

= − + −

= − ⋅ + ⋅

−

= −

−

2

2

2

2

2

2

y 2x 6x 2,5 /

0,5y x 3x 1,25

0,5y x 3x 2,25 2,25 1,25

0,5y (x 3x 2,25) 1

0,5y

: ( 2)

( 2)

y 2(x 1,5

S(1,5 / 2

(x 1,

) 2

5) 1 /

)

= − + −

− = − +

− = − + − +

− = − + −

− =

−

⋅ −

= − −

− −

+

y = ax2 + dx +e → y = a (x+b)2 + c Aufgabe: Gegeben sind folgende Funktionen:

2

2

2

f(x) y x 6x 5

g(x) y x 8x 12

h(x) y x 9x 24,25

= = − +

= = + +

= = − +

1.) Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes (S) jeder Funktion. 2.) Zeichne alle Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. 3.) Berechne die Koordinaten der Nullstellen (N1, N2) der Funktionen. 4.) Gib die Koordinaten der jeweiligen Schnittpunkte (Sy) mit der y-Achse an.

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-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

O

zu 1.)

2

2

2

2

y x 6x 5

y x 6x 5

y (x 6

9

S(3 /

x 9) 4

y (x 3) 4

9

4)

= − +

= − +

= − + −

= − −

−

−

+

2

2

2

2

y x 8x 12

y x 8x 12

y (x

16

S

8x 16)

16

4

y (x 4

( 4

)

4

4

/ )

= + +

= + +

= + + −

−

−

= +

−

+ −

2

2

2

2

y x 9x 24,25

y x 9x 24,25

y (x 9x 20,25) 4

2

y

20,25

S(4,5 / 4)

(x 4,5)

0,25

4

= − +

= − +

= − + +

= − +

−+

zu 2.)

Seite 28 von 35

zu 3.)

2

2

1/ 2

1

2

1

2

y x 6x 5

0 x 6x 5

x 3 9 5

x 3 2

x 3

N (5 / 0)

N (1/

5

0

12

)

= − +

= − +

= ± −

= + =

= − =

2

2

1/ 2

1

1

2

2

y x 8x 12

0 x 8x 12

x 4 16 12

x 4 2

x 4 2

N ( 2 / 0)

N ( )

2

6

6 / 0

−

−

= + +

= + +

= − ± −

= − +

= −

−

=

−

−

=

2

2

1/ 2

1/ 2

y x 9x 24,25

0 x 9x 24,25

x 4,5 20,25 24,

nicht lösbar

keine Null

25

x 4,5 4

stellen

!

!

= − +

= − +

= ± −

= ± −

zu 4.)

2

y

2y x 6x 5

y 0 6 0

y 5

(0 / )

5

S 5

=

= − +

= − ⋅ +

2

y

2y x 8x 12

y 0 8

y

0 12

S (0 /12)

12

= + +

= + ⋅

=

+

2

y

2y x 9x 24,25

y 0 9 0 2

y 24,25

S

4

(0 / 24,25)

,25

= −

= − ⋅ +

=

+

Aufgabe: Gegeben sind folgende Funktionen:

2h(x) y 3x 6x 9= = − − +

21s(x) y x 3x 3

2= = − + +

1.) Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes (S) jeder Funktion. 2.) Berechne die Koordinaten der Nullstellen (N1, N2) der Funktion. 3.) Gib die Koordinaten der jeweiligen Schnittpunkte (Sy) mit der y-Achse an. zu 1.)

2

2

2

2

2

2

y 3x 6x 9 /

0,3 y x 2x 3

0,3 y x 2x 1 1 9

0,3 y (x 2x 1) 8

0,3 y (x 1) 8 /

: ( 3)

( 3)

y 3(x 1)

S( 1/

24

24)

−

⋅

= − − +

− = + −

− = + + − +

− = + + +

− −

= +

−

− −

−

= + +

2

2

2

2

2

2

y 0,5x 3x 3 /

2y x 6x 6

2y x 6x 9 9 6

S(3 / 7

2y (x 6x 9) 15

,5)

2y

( 2)

: ( 2)

y 0,5(x 3

(x 3

) ,

) /

7 5

15

= − + +

− = − −

− = − + − −

− = − + −

− =

−

⋅ −

−

=

−

− − +

−

zu 2.)

21/ 2

2 2

21

2

1

y 3x 6x 9 x 1 1 3

0 3x 6x 9 N (3 / 0)x 1 2

0 x

3

12x N ( 1/ 0)3 x 1 2

= − − + = ± +

= − − + = +

−= − = −

=

= + −

2

1

22

1

/

1

2

2

2 6, N (6,87

y

8 / 0)

N ( 0,87 / 0)

0,5x 3x 3 x 3 9 6

0 0,5x 3x 3 x 3 3,87

0 x 6x 6 x 3 3,87

7

0,87

= − + + = ± +

= − + + = + =

= − −− = − = −

Seite 29 von 35

zu 3.)

2

2

y

y 3x 6x 9

y 3 0 6 0

S (0 / 9

y

)

9

9

= − − +

= − ⋅ −

=

⋅ +

2

y

2

y 0,5x 3x 3

y 0,5 0 3 0

S (0 /

3

y 3

3)

= − + +

= − ⋅

=

+ ⋅ +

Anwendungsaufgaben Aufgabe: Die Sprungparabel eines Flohs hat die Gleichung y = -0,1x2 + 0,4x + 0,5. (x in Dezimeter)

a.) Wie hoch springt der Floh? b.) Wie weit springt der Floh?

zu a.)

2

2

2

2

y 0,1x 0,4x 0,5

y 0,1 (x 4x) 0,5

y 0,1 (x 4x 4) 0

Sprun

,4 0,5

y 0,1 (x

ghöhe : 0,9 dm 9 c

2) 0,9 S( 9

m

2 / 0, )

= − + +

= − ⋅ − +

= − ⋅ − + + +

= − ⋅

=

− +

zu b.)

2

2

1/ 2

1

2

0 0,1x

5

0,4x 0,5

0 x 4x 5

x 2 4 5

x 2 3

Sprungweite : 5 dm ( 1dm) 6 dm 60 c

12 3

m

x

= − + +

= − +

= ± +

= + =

− − = =

−= − =

Seite 30 von 35

Parabeln (Abschluss) 1.) Wie lauten die Funktionsgleichungen der hier gezeigten Funktionen: y2 y4 y3 y1 y5 2.) Berechne die Koordinaten der Nullstellen von y1, y4 und y5. 3.) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von y1 und y3 sowie von y4 und y5. 4.) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zu den angegebenen Funktionen

gehören: P1(-5/?) auf y2 ; P2(?/-3) auf y4. 5.) Überprüfe durch Rechnung: Liegt der Punkt T(23/96) auf der Parabel y4? Anwendungsaufgaben: 6.) Christian wirft im Sportunterricht seinen Ball aus 1,3 m Höhe senkrecht nach oben. Mit der Glei-

chung 3,1t9t5h 2++−= kann er näherungsweise die Maßzahl der Höhe berechnen, die der Ball

nach einer bestimmten Zeit (in Sekunden) erreicht hat.

a.) Wie hoch fliegt Christians Ball? b.) Wie viel Zeit bleibt ihm, um den Ball in 1 m Höhe wieder aufzufangen?

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

O

Seite 31 von 35

7.) Bei den Bundesjugendspielen wirft Heiko seinen Ball in der Form einer Parabel. Diese kann be-

schrieben werden mit der Funktionsgleichung 5,1x6,0x02,0y 2++−= .

a.) Wie weit fliegt der Ball? b.) In welcher Entfernung von Heiko hat er den höchsten Punkt erreicht? c.) In welcher Höhe hat Heiko den Ball abgeworfen?

8.) Ein Springbrunnen besitzt zwei entgegen gesetzt gerichtete Wasserdüsen. Die Flugbahn des

Wassers stellt eine Parabel dar. Die Wasserdüsen sind 50 cm über dem Wasser angebracht. Der Höhepunkt der Wasserflugbahn liegt 1,4 m hoch und 60 cm von der Brunnenmitte entfernt.

Wie lautet die Funktionsgleichung der Flugbahn?

9.) Bob Beamon (USA) stellte bei den Olympischen Spielen 1968 in Mexiko-City einen neuen Fa-

belweltrekord im Weitsprung der Männer auf. Er übertraf dabei die bis dahin bestehende Best-marke um sagenhafte 55 cm.

Die Flugbahn seines Körperschwerpunktes wird annähernd durch die Funktion:

2y 0,0571x 0,3838x 1,14= − + + beschrieben.

Welche Fragestellungen sind möglich? Versuche sie rechnerisch zu beantworten!

Seite 32 von 35

Parabeln (Abschluss) Lösungen zu 1.)

2 2 2 21 2 3 4 5y 0,5x 5 y (x 3) y 0,5x 2 y 0,25(x 3) 4 y 2(x 6) 5= − + = + = − + = − − = − − +

zu 2.)

2 2 21 3 4 5

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

y 0,5x 5 y 0,5x 2 y 0,25(x 3) 4 y 2(x 6) 5

0 0,5x 5 0 0,5x 2 0 0,25(x 3) 4 0 2(x 6) 5

5 0,5x 2 0,5x 0 0,25(x 6x 9) 4 0 2(

N(4 / 0

x 12x 36) 5

10 x 4 x 0 0,25x 1,5x

x 3,16

2,25 4 0 2x 24x 72 5

= − + = − + = − − = − − +

= − + = − + = − − = − − +

− = − − = − = − + − = − − + +

= = = − + − = − +

=

+ −

2 22

1

2

1 1

2 2

2 2

1/ 2 1/ 2

1 1

2 2

0 0,25x 1,5x 1,75 0 2x 24x 67

x 3 9 7 x 6 36 33,5

x 3 4 x 6 1

x 3,16 0 x 6x 7 0 x 12

,58

)

N (3,16 / 0)

N ( 3,16 / 0)

N (7 / 0) N (7,58 / 0)

N ( 1/ 0) N (4,42 / 0)

x 33,5

7 7,58

1 4x 3 4 x 6 1,58 ,42

= − − = − + −

= ± + = ± −

= + = = + =

= − = − − = −

= − =

−

+

=− =

−

−

zu 3.)

1 3 4 5

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

1/ 2

1

y und y : y und y :

0,5x 5 0,5x 2 0,25(x 3) 4 2(x 6) 5

0,5x 0,5x 3 0 0,25(x 6x 9) 4 2(x 12x 36) 5

0,25x 1,5x 2,25 4 2x 24x 72 5

x 0,5 0,25 6 0,25x 1,5x 1,75 2x 24x 67

x 0,5 2

x x 6

,5 23 2

0

, 5

− + = − +

− − =

− − = − − +

− + + = − + − = − − + +

− + − = − + − +

= ± + − − = − + −

= + =

1

2

2

22

1

2

1

1

1/ 2

1

2

2

2

x 25,5x 65,25 0

x 0,5 2,5

2 1x 5 32 29

3 92

T (3 / 0,5)

T ( 2 / 3)

T (7,43 / 0,91)

T (3,91/ 3,79

12 x 11

x 5 1,7

x 29 03

y 0,5

y 3 7,43

3,91

y

632

x 5 1,7

0,91

y 3,79

3

)

6

− + =

= − =

= ± −

= + =

− + + =

=

=

=

−

−

− =

− =

=

Seite 33 von 35

zu 4.)

2 21

21

2

2

2

1/ 2

2

1

1

2

1

2

2

x 5 y 3

y 7,5

y 0,5x 5 3 0,25(x 3) 4

y 0,5 25 5 3 0,25(x 6x 9) 4

3 0,25x 1,5

P ( 5 / 7,5)

P (5 / 3)

P (1

x 2,25 4

3 0,25x 1,5x 1,75

0 0,25x 1,5x 1,25

x 3 9 5

x 3 2

x 3 2

0 x 6x 5

5

)

1

/ 3

−

= − + − = − −

= − ⋅ + − = − + −

− = − + −

− = − −

= − +

=

= − = −

= −

= − +

± −

= + =

−

−

=

−

− =

zu 5.)

24

2

2

x 23 ; y 96

y 0,25(x 3) 4

96 0,25(23 3) 4

96 0,25 20 4

96 0,25 40

96 96

0 4

96 100

w)

4

(

= =

= − −

= − −

= ⋅ −

= ⋅ −

=

= −

zu 6.) a.) b.)

2

2

2

2

2

h 5t 9t 1,3

0,2h t 1,8t 0,26

0,2h t 1,8t 0,81 0,81 0,26

0,2h (t 0,9) 1,07

h 5(t 0,9)

S(0,9 / 5,35)

5,35

= − + +

− = − −

− = − + − −

− = − −

= − − +

21/ 2

21

22

2

h 5t 9t 1,3 t 0,9 0,81 0,06

1 5t 9t 1,3 t 0,9 0,9

0 5t 9t 0,3 t 0,9 0,9

0 t 1,8t 0,0

18

0

6

,

= − + + = ± +

= − + + = + =

= − + + = − =

= − −

Christians Ball erreicht nach 0,9 Sekunden Christian bleibt 1,8 Sekunden Zeit, um den Ball eine Höhe von 5,35 m. in 1 m Höhe wieder aufzufangen.

Seite 34 von 35

zu 7.) a.) b.)

2

2

1/ 2

1

2

2

1

2

y 0,02x 0,6x 1,5

0 0,02x 0,6x 1,5

x 15 225 75

x 15 17,

0 x 30x 75

32,32

2,32

N (32,32 / 0)

32

x 15 17,32

w 32,32 m 2, 34,64 m

N ( 2,32 / 0

m

)

32

= − + +

= − + +

= ± +

= + =

= − −

−

=

−

= − =

= +

2

2

2

2

2

y 0,02x 0,6x 1,5

50y x 30x 75

50y x 30x 225 225 75

50y (x 15) 300

y 0,02(x 1

S(1

5) 6

5 / 6)

= − + +

− = − −

− = − + − −

− = − −

= − − +

Der Ball fliegt 34,64 m weit. In 15 m Entfernung von Heiko erreicht er den höchsten Punkt von 6 m Höhe. zu c.) Heiko hat den Ball in einer Höhe von 1,5 m abgeworfen. zu 8.)

2

2 2

2

2

2

2

2

x 0 cm ; y 50 cm ; c 140 cm ; b 60 cm

1y (x 120x 3600) 140

401

y a(x b) c y x 3x 90 14040

50 a(0 60) 140

50 a( 60) 140

50 3600a 140

90 3600a

90a

3

1y (x 60) 140

40

a ?

1y (x 60

1y x 3x 50

40

1a

4

600

)4

0

1400

= = = = = − − +

= = − − + +

=

= −

− + = − + − +

= − +

= − +

= +

= − + −

−

− =

−

− +

=

=

Seite 35 von 35

zu 9.) Fragestellung: Bei welcher Weite trifft sein KSP auf?

2

2

1/ 2

2

1

2

y 0,0571x 0,3838x 1,14

0 0,0571x 0,3838x 1,14

x 3,36075 11,2946 19,965

x 3,36075 5,59

0 x 6,7215x 19,965

8,95 m Sprungweite1 K

(x 3,36075 5,591 2,2 )

PS

3

= − + +

= − + +

= ± +

= +

= − −

⇒=

= − = −

Fragestellung: Wie hoch war sein KSP an der höchsten Stelle des Sprungs, und bei welcher Weite passierte das?

2

2

2

2

y 0,0571x 0,3838x 1,14

y 0,0571(x 6,7215x) 1,14

y 0,0571(x 6,72

y 0,0

15x 11,2946) 0,6449 1,14

571(x 3,36075) 1,7849

S(3,36 /1,785)

= − + +

= − −

=

+

= −

− − +

− + + +

Nach 3,36 m erreichte sein KSP eine Höhe von 1,785. Fragestellung: Bei welcher Sprungweite ist sein KSP 1,50 m hoch in der Luft?

2

2

2

1/ 2

2

1

2

y 0,0571x 0,3838x 1,14

1,50 0,0571x 0,3838x 1,14

0 0,0571x 0,3838x 0,36

x 3,36075 11,2946 6,3047

x 3,36075 2,2338 5,594

0 x 6,7215x 6,3047

(5,59 m)55 m

x 3,36075 2,2338 1,1269 (1,13 )5 m m

= − + +

= − + +

= − + −

= ± −

= + = ⇒

= − = ⇒

= − +

Er befand sich also ca. 4,46 m weit über einer Höhe von 1,50 m. Fragestellung: Welche Höhe hatte sein KSP bei 6 m Sprungweite?

2

2

y 0,0571x 0,3838x 1,14

y 0,0571 6 0,3838 6 1

y 1,387

,1

2 m 1,

4

39 m= ⇒

= − + +

= − ⋅ + ⋅ +

Sein KSP war bei einer Sprungweite von 6 m 1,39 m hoch.

Sprungweite (x) Höhe KSP (y)

1,0 m 1,47 m 2,0 m 1,68 m 3,0 m 1,78 m 4,0 m 1,76 m 5,0 m 1,63 m 6,0 m 1,39 m 7,0 m 1,03 m 8,0 m 0,56 m