Quantensysteme im Nichtgleichgewicht: Einfuhrung · Inhaltsverzeichnis 1 Vorlesungsskript zur...

Quantensysteme im Nichtgleichgewicht: Einfuhrung

TU Berlin, WS 2016/2017

Prof. Dr. T. Brandes

30. November 2016

INHALTSVERZEICHNIS

1. Einfache Zahlprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1 Zahlstatistik fur Ratengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Momentenerzeugende Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Der Photodetektor und die Mandel-Formel . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Eine Anwendung auf den Transport durch Quantenpunkte . . . . . . . . . 61.2.1 Zahlprozess mit internen Zustanden . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Bewegungsgleichungen und Langzeitverhalten . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Momente und Kumulanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Kumulanten-erzeugende Funktion in der Thermodynamik . . . . . 12

1.3 Zahlstatistik und Dichteoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Von–Neumann–Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Beispiel: Fano-Anderson-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Die Mastergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1 Ableitung der Mastergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Reduzierte Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Faktorisierung und Bornsche Naherung . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 Explizite Form der Mastergleichung in Bornscher Naherung . . . . 222.1.4 Direkter Markovscher Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Korrelationsfunktionen und linearer Response . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1 Wechselwirkungsbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2 Suszeptibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3 Analytische Eigenschaften von χAB(ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Das Fluktuations-Dissipations-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.1 Beispiel: harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2 Oszillator mit Ohmscher Dampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.3 Energieabsorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Die Mastergleichung fur das Fano-Anderson-Modell . . . . . . . . . . . . . 342.4.1 Exakter Markov-Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.2 Ratengleichung in Markov–Naherung . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.3 Matrixdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.4 Dichtematrix und Zahlstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 The damped harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.1 Rates and Energy Shift (RWA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Inhaltsverzeichnis iii

2.5.2 Lindblad Form of RWA-Master Equation . . . . . . . . . . . . . . 422.5.3 Expectation Values (RWA Model) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5.4 Master Equation (Non-RWA Model) . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5.5 Properties of C(t), validity of Markov assumption . . . . . . . . . 452.5.6 Derivation of Master equation (non-RWA), secular approximation 46

2.6 The Quantum Jump (Quantum Trajectory) Approach . . . . . . . . . . . 472.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.2 Unravelling and Decomposition into Histories . . . . . . . . . . . . 48

2.7 Phase Space Solution Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.7.1 Wiederholung: Koharente Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.7.2 P -representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.7.3 Zero temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.7.4 Finite temperatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.7.5 W -representation (Wigner function) . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.7.6 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.8 Master equation for the two-level system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.8.1 Atom + Electrical Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.8.2 Dipole Approximation and RWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.8.3 Spontaneous Emission (Atom without Driving Field) . . . . . . . . 642.8.4 Mapping onto harmonic oscillator master equation . . . . . . . . . 652.8.5 Expectation Values, Einstein Equations, Bloch Equations . . . . . 66

2.9 Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.9.1 The Quantum Regression Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.9.2 Die Wartezeitenverteilung w(τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.9.3 Die g(2)(τ)-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3. Feedback Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.1.1 Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.1.2 Feedback model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2 Time-versus-number feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.1 Tunnel junction with feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2.2 Moment generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 Wiseman-Milburn Feedback Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.1 Transport model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3.2 Electron counting and control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3.3 Feedback stabilization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4 Maxwell Demon Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4.1 Single tunnel barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4.2 Single level dot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4.3 Microscopic Maxwell Demon model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.5 Coherent feedback control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.5.1 Single bosonic mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Inhaltsverzeichnis iv

3.5.2 Usual Markovian Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.5.3 Structured Bath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.5.4 More realistic spectral densities, P -value issue . . . . . . . . . . . . 93

Anhang 94

A. Der Statistische Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.1 Wiederholung QM: Die Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

A.1.1 Gemischte Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.1.2 Spezialfall Spin 1/2: die Bloch-Sphare . . . . . . . . . . . . . . . . 98A.1.3 Zeitentwicklung, Liouville-von-Neumann-Gleichung . . . . . . . . . 100A.1.4 Entropie, thermische Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

A.2 Zusammengesetzte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102A.2.1 Bipartite Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102A.2.2 Reduzierte Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.2.3 Reine und verschrankte Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105A.2.4 Die Schmidt-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

B. Kumulanten-erzeugende Funktionen in der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . 108B.1 Mikrokanonische Gesamtheit und Fluktuationen der Energie . . . . . . . . 108

B.1.1 Fall: Diskrete Gesamtenergien E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108B.1.2 Fall: Kontinuierliche Gesamtenergien E . . . . . . . . . . . . . . . 109B.1.3 Fluktuationen der Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109B.1.4 Kumulanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

B.2 Grosskanonische Gesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112B.2.1 Entropie. Anschluss an die Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . 113B.2.2 Kumulanten-erzeugende Funktion der Teilchenzahl . . . . . . . . . 114

C. Theorie der Linearen Antwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116C.1 Die Relaxationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

C.1.1 Thermische Suszeptibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117C.1.2 Klassischer Limes fur ΦAB(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118C.1.3 Zusammenhang zwischen χ– und Φ–Funktion . . . . . . . . . . . . 118

C.2 Die Kubo-Formel fur die Leitfahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119C.2.1 Linear-Response-Ausdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120C.2.2 Homogene Leitfahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121C.2.3 Lorentz–Drude–Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123C.2.4 Drude–Modell fur die Relaxationfunktion . . . . . . . . . . . . . . 125C.2.5 Wechselwirkungsfreie Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

C.3 Die Gedachtnis-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127C.3.1 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128C.3.2 Gedachtnis-Funktion fur Streuung an statischen Potentialen . . . . 129

Inhaltsverzeichnis v

D. Grobkornungs-Verfahren fur die Mastergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131D.1 Positivitat und Lindblad-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132D.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133D.3 Born-Markov-Sekularnaherung (τ →∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

E. Formeln aus der Quantenoptik (eine bosonische Mode) . . . . . . . . . . . . . . . 137E.1 Koharente Zustande des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . 137E.2 Komplexe Deltafunktion and Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . 137E.3 Gauß-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138E.4 Charakteristische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

F. Feynman-Vernon Influence Functional Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140F.1 Introduction, Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140F.2 Single Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140F.3 Double Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142F.4 The Influence Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143F.5 Influence Functional for Coupling to Harmonic Oscillators . . . . . . . . . 144

F.5.1 Time-evolution operator UB[q] ≡ UB(t) . . . . . . . . . . . . . . . 144F.5.2 Influence Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146F.5.3 Linear Response, Fluctuation-Dissipation Theorem for L(t) . . . . 148

F.6 Applications: Linear Coupling, Damped Harmonic Oscillator . . . . . . . 151F.6.1 Linear Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151F.6.2 Propagator for Damped Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . 152

F.7 Another Look at Influence Functionals for General Baths . . . . . . . . . 152F.7.1 ‘Re-Exponentiation’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

F.8 ‘Semiclassical’ Limit for Damped Single Particle Motion . . . . . . . . . . 155F.8.1 Expansion of the Influence Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156F.8.2 Completing the Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158F.8.3 Wigner Distribution in ‘Semi-classical’ Limit . . . . . . . . . . . . 159F.8.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160F.8.5 Linear Dissipation (‘Ohmic Bath’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161F.8.6 Application: Polaron-Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

c©T. Brandes 2016

Inhaltsverzeichnis 1

Vorlesungsskript zur Quantensysteme im Nichtgleichgewicht (Theoretische PhysikVI: Vertiefung). Das Skript basiert auf dem Skript aus dem Jahr 2012, allerdings wirdder Stoff an einigen Stellen inhaltlich erweitert und die Reihenfolge andert sich etwas.Das liegt auch daran, dass ich fur das nachste Sommersemester 2017 eine weitere, sichanschließende Spezialvorlesung (offiziell wahrscheinlich auch als Theoretische Physik VI:Vertiefung unter dem Titel Quantensysteme im Nichtgleichgewicht) anbieten werde. Des-halb wird das vorliegende Skript als ‘Einfuhrung’ bezeichnet, die Vorlesung im Sommer-semester soll dann bestimmte physikalische Systeme wie z.B. kalte Atome und weitere,fortgeschrittene theoretische Methoden behandeln (was genau, ist noch nicht ganz klarund wird auch vom Interesse der Zuhorer abhangen).

Voraussetzung fur diese Vorlesung sind Kenntnisse in Quantenmechanik und Ther-modynamik/Statistik, wunschenswert (aber nicht zwingend notwendig) ist an manchenStellen die Kenntnis der zweiten Quantisierung aus der Quantenmechanik II. Ich versu-che, wichtige Konzepte wie z.B. das des Dichteoperators aus meinen anderen Skriptenhier in den Anhang aufzunehmen, so dass man sie bei Bedarf einfach nacharbeiten kannbzw. weitere entsprechende Lehrbucher konsultieren kann. Insgesamt ist die Veranstal-tung ab dem Masterstudium gedacht, kann aber auch von interessierten Bachelorstuden-ten ab etwa dem 5. Semester besucht werden.

Wie immer kann die Veranstaltung zu einem Wahlpflichtfach erganzt werden, nahereshierzu in der Vorlesung. AUTOREN von Textbuchern, die ich fur das Skript teilweiseverwende, werden in Großbuchstaben angegeben.

Ubungen sind teils als AUFGABEN in den Text eingebaut, naheres hierzu im Tuto-rium. Eine Empfehlung: Skript erst zum Schluß bzw. nur so weit wie notig ausdrucken.Ich werde versuchen, großere Anderungen des bereits hochgeladenen Teils zu vermeiden,aber kleinere Korrekturen sind wahrend des Semesters immer moglich.

1. EINFACHE ZAHLPROZESSE

1.1 Zahlstatistik fur Ratengleichung

Wir betrachten ein physikalisches System, dessen Zustande mit n = 0, 1, 2, ... durch-numeriert seien. Nun soll es zufallige Ubergange zwischen diesen Zustanden geben, undzwar mit den Raten γn fur ‘Vorwarts-Ubergange’ von n nach n+1 und γn fur ‘Ruckwarts-Ubergange’ von n nach n− 1.

Diese Raten seien im Sinne von zeitlichen Anderungen von Wahrscheinlichkeiten wiefolgt definiert: Sei p(n, t) die Wahrscheinlichkeit, das System zur Zeit t im Zustand n zufinden. Dann soll sich diese Wahrscheinlichkeit im Zeitintervall dt um

dp(n, t) = −p(n, t)(γn + γn)dt+ p(n− 1, t)γn−1dt+ p(n+ 1, t)γn+1dt (1.1)

dp(0, t) = −p(0, t)γ0dt+ p(1, t)γ1dt.

andern.Wir diskutieren kurz die Bedeutung der einzelnen Terme. Wir interpretieren dabei

die Wahrscheinlichkeiten p(n, t) als relative Haufigkeiten in einem Ensemble gleichar-tiger Versuchsanordnungen, d.h. als die Anzahl #n der Systeme des Ensembles (proGesamtzahl der System) , die sich tatsachlich im Zustand n zur Zeit t befinden,

p(n, t) ≡ #n

#total. (1.2)

Diese Anzahl andert sich wie folgt:a) p(n + 1, t)γn+1dt: Von den Systemen im Zustand n + 1 geht ein Bruchteil γn+1dt inden Zustand n uber. Die Anzahl der Systeme im Zustand n wachst hierdurch um

d#n = #n+1γn+1dt. (1.3)

Entsprechendes gilt naturlich fur die ‘Sprunge’ von n− 1 nach n,

d#n = #n−1γn−1dt. (1.4)

Diese beiden Gleichungen stellen gleichzeitig die Definition des Begriffs ‘Rate’ dar, namlichals Proportionalitatsfaktor fur eine Anzahlanderung uber ein Zeitfenster dt.b) −p(n, t)(γn+ γn)dt: Andererseits sinkt aber auch die Anzahl der Systeme im Zustandn durch Verlassen dieses Zustands mit der Rate γn + γn in eine der beiden Richtungen(n+ 1 oder n− 1). Von #n Zustanden gehen #n(γn + γn)dt verloren,

d#n = −#n(γn + γn)dt. (1.5)

1. Einfache Zahlprozesse 3

Addiert man diese drei Anderungen und dividiert durch die Gesamtzahl #total, so ergibtdas schon die entsprechende Anderung der Wahrscheinlichkeit, dp(n, t) wie in Gl. (1.1).

Division von Gl. (1.1) durch dt liefert nun eine sogenannte Mastergleichung, die sichin Matrixform als p(t) = Mp(t) schreiben laßt mit der Definition

M ≡

−γ0 γ1 0 ...γ0 −γ1 − γ1 γ2 0...0 γ1 −γ2 − γ2 γ3...... ... ... ...

. (1.6)

sowie p(t) ≡ (p(0, t), p(1, t), ...)T .Im Falle eines endlichen Zustandsraums (n = 0, 1, ..., nmax), z.B. mit nmax = 2, liest

sich das explizit

p(t) = Mp(t), M ≡

−γ0 γ1 0γ0 −γ1 − γ1 γ2

0 γ1 −γ2

. (1.7)

Hier gibt es einige einfache Beobachtungen. Zunachst muss sinnvollerweise ein Erhal-tungssatz fur die Wahrscheinlichkeit gelten, d.h.∑

n

p(n, t) = 1 d

dt

∑n

p(n, t) = 0. (1.8)

Formal konnen wir das durch die Einfuhrung des Vektors

eT ≡ (1, 1, 1, 1, ...) (1.9)

ausdrucken; es gilt dann namlich

eTp(t) = 1, eTM = 0. (1.10)

Spatestens an dieser Stelle sollte uns der Unterschied zwischen nmax <∞ und nmax =∞auffallen: wenn die Summe der Wahrscheinlichkeiten uber unendlich viele Terme n lauft,mussen diese fur die meisten n praktisch Null sein, weil die Summe sonst nicht gegenEins konvergieren konnte.

Fur endliches nmax < ∞ ist die Matrix M naturlich auch endlich. Die GleichungeTM = 0 bedeutet dann, dass M einen linken Eigenvektor mit Eigenwert Null hat. Esgibt dann auch einen rechten Eigenvektor pst von M , der uber

0 = pst = Mpst (1.11)

definiert ist, was somit eine stationare Losung definiert, falls diese existiert. Typischer-weise lauft die Losung p(t) der Mastergleichung fur endlichdimensionales M und furgrosse Zeiten t → ∞ gegen eine solche stationare Losung. Wir werden aber gleich furden Fall nmax =∞ ein wichtiges Gegenbeispiel kennenlernen.


1.1.1 Momentenerzeugende Funktion

Im Folgenden beschranken wir uns auf ein ganz einfaches Beispiel, namlich den unidi-rektionalen Zahlprozess mit γi = γ sowie γi = 0 fur die Raten. Es gilt dann also

p(0, t) = −γp(0, t)p(n, t) = −γp(n, t) + γp(n− 1, t), n = 1, 2, ... (1.12)

was sich am einfachsten mittels einer momentenerzeugenden Funktion

M(χ, t) ≡∞∑n=0

einχp(n, t). (1.13)

losen laßt. Die Fourier-Variable χ wird hierbei haufig als Zahlfeld bezeichnet.Wegen der Normierung der Wahrscheinlichkeiten gilt M(0, t) = 1, und Summation

uberr n ergibt

∞∑n=0

einχp(n, t) =

∞∑n=0

einχ [−γp(n, t) + γp(n− 1, t)]

= −γ∞∑n=0

einχp(n, t) + γeiχ∞∑n=0

ei(n−1)χγp(n− 1, t)

= γ(eiχ − 1

) ∞∑n=0

einχp(n, t). (1.14)

Dabei haben wir p(−1, t) = 0 ausgenutzt, denn es gibt nach Definition keinen Zustandn = −1. Die Differentialgleichung fur M(χ, t) lautet also

∂

∂tM(χ, t) = γ(eiχ − 1)M(χ, t) M(χ, t) = e(eiχ−1)γtM(χ, t = 0). (1.15)

Hierfur benotigen wir eine Anfangsbedingung, die wir wie folgt wahlen

p(n, 0) = δn,0 M(χ, 0) =

∞∑n=0

einχp(n, 0) = 1. (1.16)

Wir stellen uns hierbei einen Zahler vor, der anfanglich auf Null steht und dann mit derZeit immer weiter hochzahlt.

Dieser Zahlprozess, der auch als Poisson-Prozess bezeichnet wird, besitzt also diemomentenerzeugenden Funktion

M(χ, t) = e(eiχ−1)γt. (1.17)

Aus M(χ, t), lassen sich die Wahrscheinlichkeiten p(n, t) konstruieren:

M(χ, t) ≡∞∑m=0

eimχp(m, t) p(n, t) =

∫ π

−π

dχ

2πe−inχM(χ, t) (1.18)


In unserem Beispiel mit M(χ, t) = exp[(eiχ − 1

)γt]

folgt dann

p(n, t) =(γt)n

n!e−γt Mandel formula (1.19)

Wie bereits erwahnt, beschreibt das einen Poisson-Prozess, der durch einen einzigenParameter, namlich γt = 〈n〉, charakterisiert wird. Das ist gerade der Mittelwert

〈n〉 ≡∞∑n=0

np(n, t) =∂

∂iχM(χ, t)

∣∣∣∣χ=0

= γt. (1.20)

Die Variable n wird hierbei nicht langer als blosser Index fur den Zustand des Systemsaufgefasst, sondern als Zufallsvariable mit den Werten n ∈ N.

Man bezeichnet solche Erwartungswerte als Momente der Wahrscheinlichkeitsvertei-lung:

Definition Das k-te Moment der Wahrscheinlichkeitsverteilung p(n, t) ist definiert durch

µk(t) ≡∞∑n=0

nkp(n, t) =∂k

∂(iχ)kM(χ, t)

∣∣∣∣χ=0

. (1.21)

1.1.2 Der Photodetektor und die Mandel-Formel

Die Mandel-Formel kommt ursprunglich aus der sogenannten semiklassischen Theorie desPhotodetektors. Dabei geht es um die Bestimmung der Verteilung pn(t, t+ T ), d.h. dieWahrscheinlichkeit, mit einem Detektor n Photonen eines elektromagnetischen Feldesim Zeitintervall (t, t + T ) zu finden. Die Theorie ist ‘semiklassisch’, als dass sie daselektromagnetische Feld tatsachlich klassisch uber ein Vektorpotential

A(r)e−iωt + A∗(r)eiωt (1.22)

einfuhrt, ohne letzteres zu quantisieren. Dafur wird implizit ein quantenmechanischer De-tektor in der Form eines einzelnen Atomes angenommen, das durch die Wechselwirkungmit dem Feld ionisiert wird. Dabei geht ein einzelnes Elektron von einem gebundenenZustand |E0〉 in einen Zustand des kontinuierlichen Spektrums |E〉 uber.

Die zugehorige Ubergangwahrscheinlichkeit p1(t, t+ ∆t) entspricht der Wahrschein-lichkeit fur die Detektion eines Photons der Energie ~ω. Man kann sie nach Fermi’sGoldener Regel berechnen;

p1(t, t+ ∆t) =

∫ ∞0

dEν(E)∣∣∣〈E| e

mpA(r)|E0〉

∣∣∣2D∆t(E − E0 − ~ω)

≡ ηI(r)∆t, I(r) = |A(r)|2Intensitat. (1.23)

Hierbei ist m die Masse des Elektrons, −e < 0 seine Ladung und p der kanonischeImpuls in der minimalen Kopplung an das Feld. Weiterhin ist ν(E) die Zustandsdichteder Zustande, in die das Elektron hineingestreut wird.


Schließlich ist

D∆t(E) ≡(

[sin1

2E∆t]/[

1

2E]

)2

, (1.24)

und es wird ∆t → 0 vorausgesetzt, wobei D∆t(E) gegen eine Delta-Funktion geht.Hierbei haben wir die nutzliche Formel

limε→0

1

εf(xε

)= δ(x) (1.25)

fur integrable, normierte Funktionen (∫∞−∞ dxf(x) = 1) benutzt.

Die Polarisation des Feldes ist uber einen Polarisationsvektor ~ε in A(r) = ~εA(r)enthalten. In der Große η werden also alle mikroskopischen Details dieser Ionisationzusammengefasst. Wir haben hiermit eine einfache Theorie des photoelektrischen Effekts .Man beachte, dass der Begriff ‘Photon’ hier nur indirekt uber die Einsteinsche Beziehung

~ω = E − E0 (1.26)

auftaucht, denn das Feld wird ja klassisch behandelt.Wie erhalten wir nun hieraus die Wahrscheinlichkeit fur n Ubergange fur die Vertei-

lung pn(t, t + T )? Wir haben bisher ja nur Wahrscheinlichkeit p1(t, t + ∆t) = ηI(r)∆tfur kurze Zeiten ∆t→ 0, und zwar fur ein Elektron, mit der Ubergangsrate ηI(r). Jetztbenotigen wir also einen Ubergang von einer mikroskopischen zu einer makroskopischenWahrscheinlichkeit (wenn n 1 ist), und das fur lange Zeiten T in pn(t, t+ T ).

Um hier weiterzukommen, nehmen wir an, dass die individuellen Ionisationsereignissealle statistisch unabhangig sind. Aus der mathematischen Statistik weiß man, dass manes dann mit einer Poisson-Verteilung zu tun hat, die durch nur einen Parameter, namlichden Mittelwert n, charakterisiert ist. Das heißt fur uns also

pn(t, t+ T ) =nn

n!e−n, n = ηI(r)T, Mandel-Formel , (1.27)

womit wir bereits am Ziel sind.Wir konnen an dieser Stelle auch noch einmal unsere Mastergleichung reproduzieren,

namlich durch

pn(t+ dt) = pn(t)× [1− ηI(r)dt] + pn−1(t)× ηI(r)dt (1.28)

d

dtpn(t) = ηI(r)[pn−1(t)− pn(t)]. (1.29)

Die Ubergangsrate ist hierbei durch ηI(r) bestimmt.

1.2 Eine Anwendung auf den Transport durch Quantenpunkte

Hierbei handelt es sich um einen Quantenpunkt, durch den einzelne Elektronen uberzwei Zuleitungen (source und drain) fließen. Die winzigen raumlichen Dimensionen und


Fig. 1.1: Links: A quantum point contact (QPC) detects single electrons tunneling through asingle quantum dot. The time-dependent signal is used to construct the probabilitydistribution p(n, t) of the number n of electrons tunneled after time t, and its cor-responding cumulants Ck(t). From: C. Flindt, C. Fricke, F. Hohls, T. Novotny, K.Netocny, T. Brandes, and R. J. Haug, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 106, 10116 (2009).Rechts: Modell fur Transport durch einen Quantenpunkt.

damit elektrostatischen Kapazitaten des Dots sorgen fur eine sehr hohe LadungsenergieE = Q2/2C, so dass jeweils nur ein Elektron nach dem anderen durch den Dot fließt(‘Coulomb-Blockade’, siehe weiter unten bzw. SEMINARVORTRAG). Der Stromflussdurch den benachbarten Quantenpunktkontakt dient mit seinen zwei Stromwerten alsDetektor (Dot besetzt oder unbesetzt). Bei hohem Spannungsabfall fließen die Elektro-nen nur in eine Richtung.

Wir definieren nun als die sogenannte volle Zahlstatistik (Full Counting Statistics)als die Wahrscheinlichkeit p(n, t), nach einer Zeit t eine Anzahl von n Elektronen in der‘drain’-Ableitung zu haben.

1.2.1 Zahlprozess mit internen Zustanden

Um wie im obigen Beispiel solchen Transportprozesse z.B. durch Quantenpunkte be-schrieben zu konnen, mussen wir unseren Zahlformalismus erweitern. Es kommen jajetzt noch weitere Freiheitsgrade ins Spiel, z.B. die Variablen des Dots (z.B. besetzt oderunbesetzt).

Fur den obigen unidirektionalen Fall mit 0 und 1 als inneren Freiheitsgraden erwei-tern wir deshalb die Mastergleichung in naturlicher Weise zu

p0(n, t) = −ΓLp0(n, t) + ΓRp1(n− 1, t) (1.30)

p1(n, t) = ΓLp0(n, t)− ΓRp1(n, t) (1.31)

Zur Ableitung dieses Systems von Gleichungen ist ein Diagramm wie in Fig. 1.2 nutzlich:wieder betrachtet man Wahrscheinlichkeiten als relative Haufigkeiten fur Ubergange zwi-schen den moglichen Zustanden des Gesamtsystems, die durch Pfeile angezeigt werden,


0

1

0n n+1n+1n-1

L

L

L

L

R

R

R

Fig. 1.2: Ubergange im Raum der Zustande des Dots 0, 1 und des Zahldetektors n zur Ableitungder Mastergleichung Gl. (1.30) fur das System aus Fig. 1.1.

an denen die jeweiligen Raten stehen. Letztere multiplizieren die Wahrscheinlichkeitenan den Ursprungen der Pfeile und fuhren zu positiven (ankommende Pfeile) bzw. ne-gativen Beitragen auf der recheten Seite in Gl. (1.30) fur die jeweilige Anderung derWahrscheinlichkeit eines bestimmten Zustands.

Wir definieren nun

ρ(n, t) = L0ρ(n, t) + J ρ(n− 1, t)

L0 ≡(−ΓL 0ΓL −ΓR

), J ≡

(0 ΓR0 0

). (1.32)

und erhalten hiermit eine sogenannte n-aufgeloste Mastergleichung in der Form

ρ(n, t) = L0ρ(n, t) + J ρ(n− 1, t). (1.33)

An dieser Stelle konnen wir bereits Bezeichnungen einfuhren, die spater im allgemeinenFormalismus sehr nutzlich sind, namlich die des Sprungoperators (jump (super)–operator) J und des Liouvillians L ≡ L0 + J .

Das oben definierte Objekt ρ(n, t) hat dabei die folgende Bedeutung: Wir erhaltendie Statistik der internen Freiheitsgrade des Quantenpunkts durch Summation 1 uber n;

ρ(t) ≡∞∑n=0

ρ(n, t) ≡ (p0(t), p1(t))T ρ(t) = Lρ(t). (1.34)

Auf der anderen Seite folgt die Statistik der ’externen’ (Detektor) Freiheitsgrade, d.h.die volle Zahlstatistik, durch Summation uber die dabei nicht interessierenen internenZustande des Dots;

p(n, t) ≡ p0(n, t) + p1(n, t) ≡ Trρ(n, t). (1.35)

1 In der Physik haufig als reduzierte Wahrscheinlichkeiten bezeichnet, in der Mathematik als Margi-nalisierung


Der nachste Schritt ist nun die Einfuhrung eines verallgemeinerten Dichteoperators

ρ(χ, t) ≡∞∑n=0

einχρ(n, t), ρ(χ = 0, t) = ρ(t) (1.36)

der naturlich formal wieder nichts anderes als eine Fourierreihe darstellt und sich furχ = 0 auf den (internen) Dichteoperator ρ(t) reduziert. Die dazugehorige momentener-zeugende Funktion lautet damit

M(χ, t) ≡∞∑n=0

einχp(n, t) = Trρ(χ, t), (1.37)

wir bekommen also aus dem verallgemeinerten Dichteoperator Zugang zur Zahlstatistikdes Transportprozesses! Das ist ein ganz wichtiger Zusammenhang.

1.2.2 Bewegungsgleichungen und Langzeitverhalten

Die Bewegungsgleichung fur den verallgemeinerten Dichteoperator ρ(χ, t) hat nun einesehr einfache Form, namlich

ρ(χ, t) =(L0 + eiχJ

)ρ(χ, t). (1.38)

Fur χ = 0 erhalt man hieraus die ubliche ‘interne’ Mastergleichung

ρ(t) = (L0 + J )ρ(t). (1.39)

Die formale Losung der Bewegungsgleichung erfolgt als Matrix-Exponentialfunktion;

ρ(χ, t) = e(L0+eiχJ )tρ(χ, t = 0). (1.40)

Das zeitliche Verhalten hiervon wird durch die Eigenwerte von

L0 + eiχJ =

(−ΓL eiχΓRΓL −ΓR

)(1.41)

bestimmt. Wir erinnern hier an die Theorie 2 der Systeme von gewohnlichen Differenti-algleichungen erster Ordnung

Satz 1. Losungen von

y′(t) = Ay(t) (1.42)

mit einer konstanten, komplexen n × n-Matrix A haben die Form y(t) = pm(t)eλt, mitpm(t) = (pm1 (t), ..., pmn (t))T und Polynomen pml (t) in t vom Grad ≤ m. Hierbei ist λeine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A. Mit der Vielfachheit k von λ gibtes k linear unabhangige Losungen mit dieser Form, die Matrix A kann auf JordanscheNormalform gebracht werden, und λ sind die Eigenwerte von A.

2 z.B. W. Walter, ‘Gewohnliche Differentialgleichungen’, Springer (1986).


Die Rechnung fur unsere Mastergleichung Gl. (1.38) ergibt die zwei Eigenwerte

0 = (ΓL + λ)(ΓR + λ)− eiχΓRΓL

λ±(χ) ≡ −ΓR + ΓL2

(1±

√1 + 4

ΓLΓR(ΓR + ΓL)2

(eiχ − 1)

)(1.43)

Daraus erkennt man, dass fur χ = 0 einer der Eigenwerte, λ−(χ = 0), verschwindenmuss, wie wir es erwarten, denn die 2 × 2-Matrix M = L0 + J muss wiederum wegender Erhaltung der Wahrscheinlichkeit (1, 1)M = 0 erfullen, also singular sein.

Generell erwarten wir wegen des Theorems, Satz 1, dass bei physikalisch sinnvollenMastergleichungen keine Losung exponentiell divergiert, also

Satz 2. Alle Realteile der Eigenwerte λ von L0 + eiχJ in einer physikalisch sinnvollenMastergleichung der Form Gl. (1.38) erfullen

<λ ≤ 0. (1.44)

Im vorliegenden Fall haben wir

<λ+(χ = 0) < <λ−(χ = 0) = 0. (1.45)

Fur die momentenerzeugende Funktion M(χ, t) benutzen wir die Anfangsbedingungρ(n, t = 0) = ρ(t = 0)δn,0, woraus ρ(χ, t = 0) = ρ(t = 0) sowie

M(χ, t = 0) = Trρ(χ, t = 0) = 1 (1.46)

folgt. Es ist also

M(χ, t) = Tre(L0+eiχJ )tρ(χ, 0) =1

1 + qetλ−(χ) +

q

1 + qetλ+(χ), (1.47)

wobei die q in den Koeffizienten vor den Exponentialfaktoren aus den Eigenvektorenfolgen 3, somit aber auf jeden Fall M(χ, t = 0) = 1 erfullt ist.

Fur große Zeiten t→∞ erwarten wir, dass auch fur χ 6= 0 der Eigenwert λ−(χ) daszeitliche Verhalten von M(χ, t) bestimmt. Etwas salopp ausgedruckt also

M(χ, t) ∼ etλ−(χ) t→∞. (1.48)

Dieses asymptotische Verhalten ist auch nutzlich bei der Berechnung des Langzeitver-haltens der Verteilungsfunktion p(n, t) selbst:

p(n, t) = Trρ(n, t) =

∫ π

−π

dχ

2πe−inχTrρ (χ, t) ∼

∫ π

−π

dχ

2πe−inχetλ−(χ), t→∞. (1.49)

Das Integral muss ublicherweise numerisch ausgewertet werden. Allerdings bietet sichgerade wegen des Limes t→∞ eine Sattelpunktapproximation an. 4

3 Vgl. die Diskussion in der Referenz, die bei Fig. (1.1) angegeben ist.4 D. A. Bagrets and Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. B 67, 085316 (2003).


1.2.3 Momente und Kumulanten

Das zeitliche Verhalten M(χ, t → ∞) ∼ etλ−(χ) legt bereits nahe, den Logarithmus dermomentenerzeugenden Funktion zu betrachten:

Definition Die kumulantenerzeugende Funktion F(χ, t) der Zahlstatistik ist definiertals

F(χ, t) ≡ logM(χ, t). (1.50)

Es gilt also fur lange Zeiten

F(χ, t→∞)→ tλ−(eiχ). (1.51)

Momente bzw. Kumulanten charakterisieren die Verteilungsfunktion p(n, t): Wir erin-

nern uns an Gl. (1.21), µk(t) ≡∑∞

n=0 nkp(n, t) = ∂k

∂(iχ)kM(χ, t)

∣∣∣χ=0

. Analog zu den

Momenten definiert man die Kumulanten der Wahrscheinlichkeitsverteilung p(n, t):

Definition Die k-te Kumulanten Ck(t) der Wahrscheinlichkeitsverteilung p(n, t) ist de-finiert durch

Ck(t) ≡=∂k

∂(iχ)kF(χ, t)

∣∣∣∣χ=0

. (1.52)

Im Gegensatz zu den Momenten gibt es jetzt allerdings keine so einfache Formel mehr,die analog zu 〈nk〉 ≡

∑∞n=0 n

kp(n, t) ware. Trotzdem lassen sich die Kumulanten durchdie Momente ausdrucken (und umgekehrt). Bis zu k = 3 ist das recht einfach,

C1(t) = µ1(t)

C2(t) = µ2(t)− µ21(t)

C3(t) = µ3(t)− 3µ2(t)µ1(t) + 2µ1(t)3. (1.53)

NACHRECHNEN als AUFGABE.Die wichtigste Kumulante der Zahlstatistik ist die erste (die gleich dem ersten Mo-

ment ist), denn sie definiert fur lange Zeiten den stationaren Strom durch das System.Hierbei meint man den aus den einzelnen Elektronen zusammengesetzten Teilchenstrom,der dann multipliziert mit der Elementarladung −e < 0 des Elektrons den Ladungsstromdurch das System ergibt, d.h. die pro Zeiteinheit durch das System im Mittel hindurch-fliessenden Ladungen.

Definition Der stationare Teilchenstrom ist definiert durch

Ist ≡ limt→∞

µ1(t)

t. (1.54)


Spater werden wir auch andere Strome wie z.B. Energie- oder Warmestrome diskutieren.Wir kommen jetzt nochmal auf die Verteilung p(n, t) im Langzeitlimes zuruck, vgl.

Gl. (1.49). Zunachst ist klar, dass das erste Moment von p(n, t)

µ1(t) = 〈n〉 = C1(t) = Istt, t→∞ (1.55)

erfullt. Wir setzen n = 〈n〉+m, hierbei kann 〈n〉 und damit m naturlich im allgemeinenkeine naturliche Zahl sein. Wir definieren die Verteilung in dem mit C1(t) mitbewegtenBezugssystem

p(m, t) ≡∫ π

−π

dχ

2πe−i(〈n〉+m)χeF(χ,t) (1.56)

als Erweiterung zu beliebigen reellen Zahlen m. Im Langzeitlimes ist dann

p(m, t) ≡∫ π

−π

dχ

2πe−imχet(λ−(χ)−iχIst). (1.57)

Fur große t wird das Integral durch das Extremum von

λ− (χ)− iχIst = iχIst +1

2(iχ)2C2(t)

t+

1

3!(iχ)3C3(t)

t+ ...−−iχIst (1.58)

bestimmt, also durch die Umgebung von χ = 0 mit

λ− (χ)− iχIst = −1

2χ2C2(t)

t+ ... (1.59)

Tatsachlich tragen hier auch die hoheren Kumulanten C3(t) etc. bei. In einer GaußschenNaherung laßt man diese alle weg und wertet das Integral dann als Gaußintegral aus,

p(m, t) ≈∫ π

−π

dχ

2πe−imχe−

12χ2C2(t) ∼ e−

m2

2C2(t) , (1.60)

wobei wegen C2(t) ∼ t fur große Zeiten im letzten Schritt tatsachlich nur die Umgebungvon χ = 0 beitragt und die Integrationsgrenzen getrost nach ±∞ verschoben werdenkonnen.

An diesem Ausdruck fur die Verteilung p(m, t) im mitbewegten System sieht manexplizit deren Verbreiterung mit der Zeit, die durch die zweite Kumulante C2(t) beschrie-ben wird.

1.2.4 Kumulanten-erzeugende Funktion in der Thermodynamik

Zum Abschluss bemerken wir, dass es fur die Kumulanten eine Analogie zur kanoni-schen und großkanonischen Verteilung der Gleichgewichts-Thermodynamik gibt, sieheim Anhang. Vereinfacht gesagt, spielen in der Thermodynamik die freie Energie bzw.das großkanonische Potential die Rolle von Kumulanten-erzeugende Funktionen. Bei ge-eigneter Skalierung der Variablen – Teilchenzahl N und Energie N , erhalt man GaußscheStatistik fur diese Variablen im thermodynamischen Limes N →∞, V →∞.


AUFGABE: Berechne die Zahlstatistik p(n, t) fur den unidirektionalen Transportdurch einen einzelnen Quantenpunkt, d.h. das oben diskutierte Systeme. Wir fuhrenhierzu in den Raten ΓR und ΓL den Asymmetrie-Parameter −1 ≤ a ≤ 1 uber

ΓR = ΓL1− a1 + a

(1.61)

ein und setzen in der Numerik immer ΓL = 1.a) Zeige durch einfaches Nachrechnen, dass der stationare Strom durch

Ist =ΓLΓR

ΓR + ΓL(1.62)

gegeben ist. Berechne weiterhin die zweite Kumulante und drucke sie durch den Asymme-trie-Parameter a aus.b) Berechne die kumulantenerzeugende Funktion fur große Zeiten (t → ∞) analytischim Grenzfall a→ 1 und a→ −1 und diskutiere diese beiden Grenzfalle physikalisch.c) Berechne die Verteilung p(m, t) im mitbewegten System numerisch fur lange Zeiten(unter Benutzung des Ausdrucks fur den Eigenwert λ−(χ)). Fertige Plots von p(m, t)als Funktion von m fur verschiedene Werte von t an. Was passiert, wenn man in derNumerik zu kleine Werte fur die Zeit t nimmt?d) Berechne die Zahlstatistik p(n, t) durch numerisches Losen des Systems der Differen-tialgleichungen fur drei verschiedene Werte von a, z.B. a = −0.9, a = 0, a = 0.9. Fertige2d-Plots von p(n, t) als Funktion von n zu verschiedenen Zeiten t an. Berechne hierausdie ersten drei Kumulanten Ck(t), k = 1, 2, 3 als Funktion der Zeit.

1.3 Zahlstatistik und Dichteoperator

Uns interessiert im Nichtgleichgewicht, z.B. in der Theorie des Quantentransports, haufigdie Statistik der innerhalb einer Zeitspanne t zwischen verschiedenen raumlichen Gebie-ten ubertragenen Teilchen, z.B. Elektronen, Photonen oder Phononen. Das fuhrt auf dasProblem der Ladungstransfer-Statistik, oder allgemeiner der Zahlstatistik, die wir im ers-ten Kapitel bereits phanomenologisch kennen gelernt haben. Fur eine Einfuhrung in denelektronischen Transport in mesoskopischen Quantensystemen vgl. NAZAROV/BLANTER.

Wir benutzen im Folgenden eine Definition, die auf zwei hintereinanderfolgende von–Neumann–Projektionen beruht 5.

Das Zahlen einzelner Teilchen ist z.B. auch dort von besonderem Interesse, wo Stromenicht direkt gemessen werden konnen wie z.B. bei ungeladenen Fermionen.

1.3.1 Von–Neumann–Messung

Sei N ein Teilchenzahloperator mit Eigenwerten n = 0, 1, 2, ..., und ρ(t) der Zustand einesQuantensystems zur Zeit t. Nach dem Projektionspostulat wird mit Wahrscheinlichkeit

p(n, t) ≡ Trρ(t)Pn (1.63)

5 K. Schonhammer, Phys. Rev. B 75, 205329 (2007); M. Esposito, U. Harbola, S. Mukamel, Rev. Mod.Phys. 81, 1665 (2009).


der Eigenwert n gemessen, wenn Pn der Projektionsoperator auf einen Unterraum zumEigenwert n ist. Wir konnen p(n, t) umschreiben als

p(n, t) ≡ Trρ(t)∞∑m=0

δn,mPm (1.64)

= Trρ(t)1

2π

∫ π

−πdχe−iχn

∞∑m=0

eiχmPm =1

2π

∫ π

−πdχe−iχnTrρ(t)eiχN .

Hierbei haben wir die Spekraldarstellung

eiχN =∞∑m=0

eiχmPm (1.65)

benutzt.Bis hierher haben wir noch nichts uber die Anfangsbedingung der Zustands ρ(t)

ausgesagt. Im Folgenden nehmen wir an, dass zur Zeit t = 0 ein Anfangszustand ρ(0) ≡∑n0ρ(n0) durch eine Messung von N mit dem Ergebnis n0 im Zustand ρ(n0) prapariert

wird, mit

Nρ(n0) = n0ρ(n0). (1.66)

Wir definieren damit die Wahrscheinlichkeit

P (n, t) ≡∑n0

p(n+ n0, t) =1

2π

∫ π

−πdχ∑n0

e−iχ(n+n0)Trρ(t)eiχN

=1

2π

∫ π

−πdχ∑n0

e−iχnTre−iχn0ρ(n0)U †(t)eiχNU(t), n ≥ 0, (1.67)

wobei wir die Zeitentwicklung

ρ(t) = U(t)ρ(0)U †(t) (1.68)

fur den Zustand ρ(t) eingesetzt und Gl. (1.64) benutzt haben. Im letzten Schritt benutzen

wir jetzt Gl. (1.66) fur e−iχn0ρ(n0) = e−iχNρ(n0), ρ(0) ≡∑

n0ρ(n0) und die zyklische

Invarianz der Spur,

P (n, t) =1

2π

∫ π

−πdχe−iχnM(χ, t)

M(χ, t) ≡ Trρ(0)U †(t)eiχNU(t)e−iχN . (1.69)

Das ist die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Wert n + n0 zu messen, wenn zur Zeitt = 0 irgendein Wert n0 gemessen wurde. Hier und im Folgenden soll eine unitareZeitentwicklung

U(t) = e−iHt (1.70)

mit zeitunabhangigem Hamiltonian angenommen werden.


Definition Die Funktion

M(χ, t) =∞∑

n=−∞eiχnP (n, t) (1.71)

heißt momentenerzeugende Funktion, die Fourier-Variable χ heißt Zahlfeld zur Wahr-scheinlichkeitsverteilung P (n, t).

Wir schreiben die momentenerzeugende Funktion zunachst in einer etwas symmetrische-ren Form, indem wir [N , ρ(0)] = 0 benutzen;

M(χ, t) = Trρ(0)e−iχ2NU †(t)ei

χ2Nei

χ2NU(t)e−i

χ2N . (1.72)

An dieser Stelle fuhren wir den χ-abhangigen verallgemeinerten Dichteoperator ein;

ρ(χ, t) ≡ Uχ(t)ρ(0)U †−χ(t) Uχ(t) ≡ eiχ2NU(t)e−i

χ2N. (1.73)

Fur χ = 0 wird daraus wieder die ubliche Zeitentwicklung des Dichteoperators. Diemomentenerzeugende Funktion laßt sich also als

M(χ, t) = Trρ(χ, t) ≡ 〈U †−χ(t)Uχ(t)〉0 (1.74)

schreiben. In diesem Zusammenhang definieren wir:

Definition Der Erwartungswert 〈U †2(t)U1(t)〉0 des Produktes eines vorwarts (U1(t)) und

ruckwarts (U †2(t)) laufenden unitaren Operators heißt Influenzfunktional.

Die momentenerzeugende FunktionM(χ, t) ist also ein Influenzfunktional mit Zahlfeldernχ/2, die auf dem Vorwarts– bzw. Ruckwartsweg das genau entgegengesetzte Vorzeichenhaben. Solche Funktionale spielen auch im Bereich der Quantendissipation (Feynman-Vernon-Influenzfunktional) eine große Rolle, vgl. SKRIPT STATISTIK I (2007) undweiter unten.

Wenn wir die Definition der Exponentialfunktion ausnutzen, gilt weiterhin

Uχ(t) ≡ eiχ2NU(t)e−i

χ2N = e−itHχ (1.75)

mit dem χ-abhangigen Hamiltonian

Hχ ≡ eiχ2NHe−i

χ2N , (1.76)

so dass wir

M(χ, t) = 〈eitH−χe−itHχ〉0 (1.77)

schreiben konnen (beachte, dass H†χ = Hχ hermitesch ist.)


1.3.2 Beispiel: Fano-Anderson-Modell

Als Beispiel fur die Einfuhrung des Zahlfeldes χ in einen Hamiltonian nehmen wir densogenannten Tunnel-Hamiltonian im Fano-Anderson-Modell.

Letzteres beschreibt ein einzelnes Energieniveau ε0 (‘Quantendot’), das an eine Um-gebung (‘Bad’) gekoppelt ist, die aus mehreren unabhangigen fermionische Reservoirs(mit dem Index α) besteht 6 Fur eine einfache Karikatur, vgl. das Bild in Fig. (1.1),rechts.

Dieser fermionische Hamiltonian ist in zweiter Quantisierung durch

H ≡ H0 + V, H0 ≡ Hres + Hd (1.78)

Hd ≡ ε0d†d, Hres ≡

∑kα

εkαc†kαckα, V ≡

∑kα

(Vkαc

†kαd+ V ∗kαd

†ckα

)(1.79)

definiert und wird manchmal als Fano-Anderson-Modell bezeichnet.Das Matrixelement Vkα modelliert die Amplitude fur das Tunneln zwischen dem Dot

und der Umgebung. Die Operatoren vom Dot und den einzelnen Reservoiren sollen aufverschiedenen Hilbertraumen operieren und miteinander vertauschen. Der Spinindex furdie Fermionen ist in diesem Modell hier weggelassen - wir konnen uns z.B. vorstellen,dass alle Fermionen spinpolarisiert sind mit einer festen Spinrichtung, z.B. ↑ bei Spin 1

2 .Die einfachste Form, ein Nichtgleichgewicht zu erzeugen, ist die Annahme zweier

Reservoirs (‘links’ und ‘rechts’), d.h.

α = L,R, (1.80)

die sich im thermischen Gleichgewicht mit Temperatur Tα und chemischem Potential µα(großkanonisches Ensemble) befinden, und zwar so, dass unterschiedliche Temperaturenund/oder unterschiedliche chemische Potentiale vorliegen.

Gezahlt werden soll im Folgenden immer im rechten Reservoir, d.h.

N = NR =∑k

c†kRckR. (1.81)

Das modifizierte Uχ(t) aus Gl. (1.74) bzw. das zugehorige H†χ konnen nun explizit aus-

gerechnet werden. In der Tat ist H†χ nichts anderes als ein kanonisch transformierter

Hamiltonian H, bei dem nur die Operatoren ckR und c†kR transformiert werden, da alleanderen Operatoren mit NR vertauschen. Wir haben

eiχ2NckRe

−iχ2N = e−i

χ2 ckR, ei

χ2Nc†kRe

−iχ2N = ei

χ2 c†kR, (1.82)

was durch NACHRECHNEN einfach aus einer ‘Zeitentwicklung’ mit χ2 N folgt, oder mit

Hilfe von verschachtelten Kommutatoren :6 Man kann ebenso ein Fano-Anderson-Modell fur Bosonen definieren, das dann allerdings wegen der

Moglichkeit einer Bose-Einstein-Kondensation wesentlich komplexere Eigenschaften als die fermionischeVariante hat. Siehe hierzu G. Engelhardt, G. Schaller, T. Brandes, Phys. Rev. A 94, 013608 (2016),‘Bosonic Josephson effect in the Fano-Anderson model’.


Satz 3. Verschachtelte Kommutatoren:

eSOe−S = O + [S,O] +1

2![S, [S,O]] +

1

3![S, [S, [S,O]]] + ... (1.83)

Insgesamt haben wir also das Ergebnis

Hχ ≡ Hres + Hd + Vχ (1.84)

Vχ ≡∑k

VkReiχ

2 c†kRd+ VkLc†kLd+H.c. (1.85)

Wir werden weiter unten noch mehrmals auf den Tunnel-Hamiltonian zuruckgreifen.AUFGABE: 1. Beweise Gl. (1.83) durch Herleitung einer DGL erster Ordnung fur f(x) ≡exSOe−xS und Taylor-Entwicklung in x.2. Wir betrachten den Tunnel-Hamiltonian (ohne Zahlfeld). a) Berechne aus den Hei-senbergschen Bewegungsgleichungen die Zeitabhangigkeit des Dot-Operators d(t). Hier-zu soll bei der Rechnung angenommen werden, dass die Energie (E)–Abhangigkeit derTunnelraten

Γα(E) ≡ 2π∑k

|Vkα|2δ(εkα − E) (1.86)

vernachlassigt werden darf, d.h. wir setzen Γα(E)→ Γα. b) Berechne mit dem Ergebnisaus a) eine allgemeine Formel fur die Besetzungswahrscheinlichkeit des Dots zu langenZeiten t→∞, und werte diese konkret fur die Reservoir-Temperaturen Tα = 0, α = L,R,aus.

2. DIE MASTERGLEICHUNG

Der folgende Zugang zur Quantenmechanik im Nichtgleichgewicht ist fur stark wech-selwirkende Systeme geeignet. In den Mastergleichungen geht man direkt von Vielteil-chenzustande |α〉 eines (Vielteilchen)–Hamiltonians aus. Der Nachteil besteht darin, dassman dann meist auf einfache Storungstheorie in der Ankopplung des betrachteten Sys-tems an ein Reservoir angewiesen ist. In vielen Fallen ist das aber ein realistischer Aus-gangspunkt, da viele System-Reservoir-Kopplungen schwach sind und eine grosse Klassephysikalischer Probleme erfassen: Darunter sind Quantendissipation, quantenoptischeEffekte wie der Laser, elektronischer Transport durch schwach gekoppelte, wechselwir-kende Nanostrukturen wie Quantenpunkte mit Coulomb-Blockade, um nur einige zunennen.

2.1 Ableitung der Mastergleichung

Wir betrachten die Zeitentwicklung einer Dichtematrix eines ’Universums’ (Gesamtsys-tem, d.h. ein System und seine Umgebung) ρtotal(t) = U(t)ρtotal(0)U †(t). Die Zeitent-wicklung ist ublicherweise

U(t) = e−iHt, H = H0 + V, (2.1)

wobei V die Kopplung zwischen System und Umgebung (‘System–Bad–Kopplung’) be-schreibt und

H0 ≡ HS +HB (2.2)

die Summe aus System– und Bad–Hamiltonian ist. Etwas verallgemeinernd betrach-ten wir fur die Vorwarts– und Ruckwartszeitentwicklung wieder zwei Hamiltonians undentsprechende Propagatoren

H1 ≡ H0 + V1, H2 ≡ H0 + V2, Uj(t) ≡ e−iHjt, j = 1, 2 (2.3)

und definieren

ρtotal(t) ≡ U1(t)ρtotal(0)U †2(t), verallgemeinerte Dichtematrix. (2.4)

Wir erinnern uns hier zur Motivation dieser Verallgemeinerung noch einmal an dieZahlstatistik und den χ-abhangigen verallgemeinerten Dichteoperator Gl. (1.73),

ρ(χ, t) ≡ Uχ(t)ρtotal(0)U †−χ(t). (2.5)

2. Die Mastergleichung 19

Die momentenerzeugende FunktionM(χ, t) ist gerade die Spur dieser verallgemeinertenDichtematrix des Gesamtsystems, vgl. Gl. (1.74). Deshalb ist es nutzlich, von vornehereingleich etwas allgemeiner mit zwei unterschiedlichen Zeitentwicklungen zu arbeiten. ImFolgenden lassen wir das Argument χ zunachst einmal weg, um die Notation einfach zuhalten.

Wir definieren als erstes ein verallgemeinertes Heisenbergbild fur Operatoren A undρ(χ, t) uber

A(t) ≡ U †2(t)AU1(t), A(t) ≡ U †0(t)AU0(t), U0(t) ≡ e−iH0t,

ρtotal(t) = eiH0tρtotal(t)e−iH0t. (2.6)

Damit erhalten wir

Uj(t) = U0(t)Uj(t), Uj(t) ≡ Te−i∫ t0 dt′Vj(t′)

∂

∂tUj(t) = −iHjUj(t),

∂

∂tUj(t) = −iVj(t)Uj(t). (2.7)

und durch Ableiten nach t

∂

∂tρtotal(t) = i[H0, ρtotal(t)]− ieiH0t (H1ρtotal(t)− ρtotal(t)H2) e−iH0t

= −i(V1(t)ρtotal(t)− ρtotal(t)V2(t)

). (2.8)

Fur V1 = V2 entspricht das der linearen Antworttheorie, vgl. weiter unten. In Integralformschreiben wir

ρtotal(t) = ρtotal(t = 0)− i∫ t

0dt′(V1(t′)ρtotal(t

′)− ρtotal(t′)V2(t′)

). (2.9)

Einsetzen in Gl. (2.8) ergibt

∂

∂tρtotal(t) = −i

(V1(t)ρtotal(0)− ρtotal(0)V2(t)

)(2.10)

−∫ t

0dt′(V1(t)V1(t′)ρtotal(t

′)− V1(t′)ρtotal(t′)V2(t)− V1(t)ρtotal(t

′)V2(t′) + ρtotal(t′)V2(t′)V2(t)

).

Eine kompakte Schreibweise fur dieses Ergebnis ist

∂

∂tρtotal(t) = Lt [ρtotal(0)] +

∫ t

0dt′LtLt′

[ρtotal(t

′)]

(2.11)

Lt [A] ≡ −i(V1(t)A−AV2(t)

), Liouville-Superoperator. (2.12)


2.1.1 Reduzierte Dichtematrix

Im Folgenden nehmen wir eine Zerlegung des gesamten HilbertraumsH in einen System–und einen Bad–Anteil an,

H = HS ⊗HB. (2.13)

Die verallgemeinerte reduzierte Dichtematrix ρ(t) des Systems erhalten wir durch diepartielle Spur

ρ(t) ≡ TrBρtotal(t), (2.14)

wobeui wir wiederum das Zahlfeld χ in der Notation fortlassen.Fur eine entsprechende Zerlegung des ungestorten Hamiltonians

H0 = HS +HB (2.15)

in System– und Badanteil folgt im Wechselwirkungsbild

TrB[ρtotal(t)] = TrBeiH0tρtotal(t)e

−iH0t

= eiHSt(TrBe

iHBtρtotal(t)e−iHBt

)e−iHSt = eiHStρ(t)e−iHSt

≡ ρ(t). (2.16)

Das Wechselwirkungsbild ρ(t) involviert hierbei nur den System–Hamiltonian HS undnicht H0,

ρ(t) ≡ eiHStρ(t)e−iHSt. (2.17)

Die Bewegungsgleichung der reduzierten Dichtematrix folgt jetzt durch Spurbildungvon Gl. (2.11),

∂

∂tρ(t) = TrBLt [ρtotal(0)] +

∫ t

0dt′TrBLtLt′

[ρtotal(t

′)]. (2.18)

Bis hierhin ist noch alles exakt.Fur Systemoperatoren

AS(t) ≡ eiH0tASe−iH0t = eiHStASe

−iHSt (2.19)

konnen wir Erwartungswerte wie folgt berechnen;

〈AS〉t ≡ Trtotal[ρtotal(t)AS ]

= TrS [TrBρtotal(t)]AS = TrS [ρ(t)AS ] = TrS

[ρ(t)AS(t)

]. (2.20)

Das sind ‘echte’ Erwartungswerte im Sinne einer unitaren Zeitentwicklung des Gesamt-systems fur V1 = V2, d.h. identischen Hamiltonians fur Vorwarts– und Ruckwartszeit-entwicklung.


2.1.2 Faktorisierung und Bornsche Naherung

Zur Zeit t = 0 wird eine faktorisierende Anfangsbedingung angenommen;

ρtotal(t = 0) = R0 ⊗ ρ(t = 0) (2.21)

R0 ≡ TrS [ρtotal(t = 0)], ρ(t = 0) ≡ TrB[ρtotal(t = 0)].

Die Faktorisierung wird einen Einfluss auf die Ergebnisse zu kurzen Zeiten t haben. Obsie auch fur lange Zeiten t einen Einfluss hat oder nicht, hangt vom jeweiligen Problemab und kann nicht generell entschieden werden.

Wir benutzen im Folgenden jetzt Storungstheorie fur schwache Wechselwirkung zwi-schen System und Bad. In niedrigster (nullter) Ordnung in der Wechselwirkung V1/2 istim Wechselwirkungsbild nach Gl. (2.9) zunachst

ρtotal(t′) = ρtotal(0) = R0 ⊗ ρ(t = 0), nullte Ordnung. (2.22)

Andererseits ist die rechte Seite von Gl. (2.18) bereits von zweiter Ordnung in der Wech-selwirkung V1/2.

Im Sinne der Bornschen Naherung der Storungstheorie zweiter Ordnung konnte manalso auf der rechten Seite von Gl. (2.18) versucht sein, einfach Gl. (2.22), also die nullteOrdnung einzusetzen. Allerdings zeigt es sich, dass eine solch einfache Naherung furphysikalisch sinnvolle Ergebnisse nicht ausreicht.

Den Grund hierfur diskutieren wir an dem einfachen Beispiel der Zerfallsgleichung

y′(t) = γy(t), y(0) = y0 (2.23)

die man naturlich sofort exakt losen kann. ‘Storungstheoretisch’ konnte man hier versu-chen, die rechte Seite durch die Anfangsbedingung zu ersetzen,

y′(t) = γy0 y(t) = y0(1 + γt), (2.24)

also einer Zeitentwicklung linear in t, die unsinnig ist und den echten exponentiellenZerfall der exakten Losung y(t) = y0e

−γt nur fur ganz kurze Zeiten t γ−1 reproduziert.Man geht deshalb in der Storungstheorie fur Gl. (2.18) tatsachlich noch einen Schritt

weiter als Gl. (2.22), indem man zu allen Zeiten t′ > 0 analog zu Gl. (2.22) fur dieGesamt-Dichtematrix einen faktorisierenden Zustand annimmt, also

χ(t′) ≈ R0 ⊗ ρ(t′), Bornsche Naherung in r.S. von Gl. (2.18). (2.25)

Physikalisch sollte das eine gute Naherung sein, wenn die Ruckwirkung auf das Bad ver-nachlassigt werden kann 1 und das Bad tatsachlich immer im selben Zustand R0 bleibt.

1 Normalerweise wird diese Bornsche Naherung fur die ublichen reduzierten Dichtematrizen verwendetund nicht wie hier fur die verallgemeinerte Vorwarts-Ruckwarts-Zeitentwicklung der verallgemeinertenDichtematrix mit den Zahlfeldern χ. Zunachst scheint es widersinnig, die Ruckwirkung auf das Bad zuvernachlassigen, wenn man z.B. gerade an Teilchenzahl-Anderungen im Bad, wie sie bei Transportpro-zessen ja immer auftreten, interessiert ist. Allerdings ist Gl. (2.28) ja eine Gleichung fur die reduzierteDichtematrix des Systems und nicht des Bades.


Fur R0 wahlt man dann haufig (aber nicht zwangslaufig) einen thermischen Gleichge-wichtszustand, z.B. in der Form

R0 =∏α

e−βα(Hα−µαNα)

Zα(2.26)

fur mehrere unabhangige Bader α mit Hamiltonians Hα, Teilchenzahloperatoren Nα,inversen Temperaturen βα und chemischen Potentialen µα.

Damit erhalt man eine geschlossene Integro-Differentialgleichung fur die verallgemei-nerte reduzierte Dichtematrix ρ(t) im Wechselwirkungsbild.

Definition Die Mastergleichung in Bornscher Naherung hat die Form

∂

∂tρ(t) = TrBLt [R0 ⊗ ρ(0)] +

∫ t

0dt′TrBLtLt′

[R0 ⊗ ρ(t′)

]. (2.27)

Als Vorstufe zu einer weiteren Naherung, der Markov-Naherung, betrachtet man manch-mal eine Form von Gl. (2.28), in der ρ(t′) zunachst ‘per Hand’ durch ρ(t) ersetzt wird(vgl. BREUER/PETRUCCIONE),

Definition Die Mastergleichung in Redfield-Form ist definiert durch

∂

∂tρ(t) = TrBLt [R0 ⊗ ρ(0)] +

∫ t

0dt′TrBLtLt′ [R0 ⊗ ρ(t)] . (2.28)

Wir werden weiter unten die volle Markov-Naherung etwas systematischer einfuhren undbegrunden.

2.1.3 Explizite Form der Mastergleichung in Bornscher Naherung

Fur die Kopplung zwischen System und Umgebung nehmen wir jetzt folgende allgemeineForm (CARMICHAEL, BREUER/PETRUCCIONE)

V1 =∑k

S1k ⊗B1

k, V2 =∑k

S2k ⊗B2

k (2.29)


mit System– und Badoperatoren. Damit wird aus den einzelnen Termen in der Master-gleichung (Tilde hier aus Notationsgrunden fur einen Moment weglassen)

−TrBV1(t)V1(t′)R0ρ(t′) = −∑kl

TrBS1k(t)B1

k(t)S1l (t′)B1

l (t′)R0ρ(t′)

= −∑kl

C11kl (t, t

′)S1k(t)S1

l (t′)ρ(t′) (2.30)

TrBV1(t′)R0ρ(t′)V2(t) =∑kl

TrBS1k(t′)B1

k(t′)R0ρ(t′)S2l (t)B2

l (t)

=∑kl

C21lk (t, t′)S1

k(t′)ρ(t′)S2l (t) (2.31)

TrBV1(t)R0ρ(t′)V2(t′) =∑kl

TrBS1k(t)B1

k(t)R0ρ(t′)S2l (t′)B2

l (t′)

=∑kl

C21lk (t′, t)S1

k(t)ρ(t′)S2l (t′) (2.32)

−TrBR0ρ(t′)V2(t′)V2(t) = −∑kl

TrBR0ρ(t′)S2k(t′)B2

k(t′)S2l (t)B2

l (t)

= −∑kl

C22kl (t

′, t)ρ(t′)S2k(t′)S2

l (t), (2.33)

wobei

Cjj′

kl (t, t′) ≡ TrBρBBjk(t)B

j′

l (t′), Bad-Korrelationsfunktion. (2.34)

Im Folgenden nehmen wir an, dass die Erwartungswerte der einzelnen Badoperatorenverschwinden;

TrBR0B1k(t) = 0. (2.35)

Dann wird die Mastergleichung im Wechselwirkungsbild in Bornscher Naherung zu

∂

∂tρ(t) = −

∫ t

0dt′∑kl

(C11kl (t, t

′)S1k(t)S1

l (t′)ρ(t′) + C22kl (t

′, t)ρ(t′)S2k(t′)S2

l (t))

+

∫ t

0dt′∑kl

(C21lk (t, t′)S1

k(t′)ρ(t′)S2l (t) + C21

lk (t′, t)S1k(t)ρ(t′)S2

l (t′)). (2.36)

Dieses Ergebnis ist bis zur zweiten Ordnung noch exakt.

2.1.4 Direkter Markovscher Limes

Im Folgenden beginnen wir mit unserer allgemeinen Form Gl. (2.36), diesmal ohne dieVerallgemeinerung verschiedener V1/2, also ohne obere Indizes an den Badkorrelations-


funktionen und Systemoperatoren;

∂

∂tρ(t) = −

∫ t

0dt′∑kl

(Ckl(t, t

′)Sk(t)Sl(t′)ρ(t′) + Ckl(t

′, t)ρ(t′)Sk(t′)Sl(t)

)+

∫ t

0dt′∑kl

(Clk(t, t

′)Sk(t′)ρ(t′)Sl(t) + Clk(t

′, t)Sk(t)ρ(t′)Sl(t′)). (2.37)

Im Folgenden benutzen wir fur die Badkorrelationen die Bad-Gleichgewichtsbedingung

Ckl(t, t′) = Ckl(t− t′), (2.38)

die im Abschnitt ‘Lineare Antworttheorie’ begrundet wird.In der Markov-Naherung nehmen wir nun an, dass die Bad-Korrelationsfunktion

Ckl(τ) stark um τ ≡ t− t′ = 0 gepeakt ist mit einer Breite δτ γ−1, wobei γ eine typi-sche Rate fur die Anderung von ρ(t′) im Wechselwirkungsbild bezeichne. Die Bedingungδτ γ−1 kann naturgemaß erst nach der Losung der Bewegungsgleichung kontrolliertwerden.

Im Wechselwirkungsbild ersetzen wir nun

ρ(t′)→ ρ(t) (2.39)

unter dem Integral und erhalten

d

dtρ(t) = −

∫ t

0dt′∑kl

[Ckl(t− t′)

Sk(t)Sl(t

′)ρ(t)− Sl(t′)ρ(t)Sk(t)

+ Clk(t′ − t)

ρ(t)Sl(t

′)Sk(t)− Sk(t)ρ(t)Sl(t′)]

. (2.40)

Wichtig ist, dass diese Naherung im WW-Bild (und nicht im Schrodingerbild) ausgefuhrtwird, weil im WW-Bild die schnellen Anteile der Dynamik durch die freie Zeitentwicklungmit Hs wegtransformiert sind.

Wir konnen nun in das Schrodinger-Bild zurucktransfomieren,

d

dtρ(t) = i[HS , ρ(t)] + eiHSt

d

dtρ(t)e−iHSt

d

dtρ(t) = −i[HS , ρ(t)] + e−iHSt

d

dtρ(t)eiHSt (2.41)


was auf folgende Form fuhrt;

d

dtρ(t) = −i[HS , ρ(t)]

−∫ t

0dt′∑kl

[Ckl(t− t′)

e−iHStSk(t)Sl(t

′)ρ(t)− Sl(t′)ρ(t)Sk(t)eiHSt

+ Clk(t′ − t)

e−iHStρ(t)Sl(t

′)Sk(t)− Sk(t)ρ(t)Sl(t′)eiHSt

]= −i[HS , ρ(t)]

−∫ t

0dt′∑kl

[Ckl(t− t′)

SkSl(t

′ − t)ρ(t)− Sl(t′ − t)ρ(t)Sk

+ Clk(t

′ − t)ρ(t)Sl(t

′ − t)Sk − Skρ(t)Sl(t′ − t)

]. (2.42)

In einem zweiten Schritt wird jetzt die Integration uber t′ durch eine Integration bist =∞ ersetzt, was mit der obigen Annahme gepeakter Korrelationsfunktionen konsistentist und die Rechnung vereinfacht. Mit den Definitionen

Dk ≡ limt→∞

∫ t

0dτ∑l

Ckl(τ)Sl(−τ), Ek ≡ limt→∞

∫ t

0dτ∑l

Clk(−τ)Sl(−τ), (2.43)

schreiben wir dann

d


−∑k

[SkDkρ(t)−Dkρ(t)Sk + ρ(t)EkSk − Skρ(t)Ek

]. (2.44)

Diese allgemeine Markovsche Form der Mastergleichung ist zeitlokal und erhalt die Spurder Dichtematrix, wie man sofort durch Spurbildung feststellt. Allerdings ist hier diePositivitat der reduzierten Dichtematrix ρ(t) fur alle Zeiten t noch nicht sichergestellt.Die Verletzung der Positivitat kann z.B. zu negativen Wahrscheinlichkeiten fuhren. Wennman diesen Nachteil ausmerzen mochte, muss eine weitere Naherung (Sekularnaherung)durchgefuhrt werden, die dann zur Lindblad-Form der Mastergleichung fuhrt (s. weiterunten).

2.2 Korrelationsfunktionen und linearer Response

Fur die Auswertung der Mastergleichung benotigen wir die Korrelationsfunktionen desBades. Es ist sinnvoll, diese im Rahmen der Theorie der linearen Antwort (engl. ‘li-near response’) zu untersuchen. Im Folgenden wiederholen wir deshalb zunachst dentechnischen Aufbau der Linear-Response-Theorie, wie wir ihn eventuell bereits in derTHERMODYNAMIK UND STATISTIK (SKRIPT) kennen gelernt haben. Weitere hiernicht benotigte Teile der Linear-Response-Theorie sind im Anhang.


2.2.1 Wechselwirkungsbild

Wir definieren das Wechselwirkungsbild uber eine Aufspaltung des Gesamt-Hamiltonians

H ≡ H0 + V (2.45)

mit der Storung V . Sei ρ(t) die Dichtematrix des Systems. Sie gehorcht der Liouville-von-Neumann-Gleichung

d

dtρ(t) = −i[H, ρ(t)] ρ(t) = e−iHtρ(t = 0)eiHt, (2.46)

mit Anfangsbedingung ρ(t = 0). Wir definieren das Wechselwirkungsbild uber

ρ(t) ≡ eiH0tρ(t)e−iH0t (2.47)

A(t) ≡ eiH0tAe−iH0t (2.48)

fur Observablen A. Damit erhalt man die Bewegungsgleichung

d

dtρ(t) = i[H0, ρ(t)] + eiH0t d

dtρ(t)e−iH0t

= i[H0, ρ(t)]− ieiH0t[H, ρ(t)]e−iH0t

= i[H0, ρ(t)]− ieiH0t[H0 + V, ρ(t)]e−iH0t

= i[H0, ρ(t)]− i[H0 + V (t), ρ(t)]

= −i[V (t), ρ(t)]. (2.49)

In Integralform lautet die Losung des Anfangswertproblems

ρ(t) = ρ0 − i∫ t

t0

dt′[V (t′), ρ(t′)] (2.50)

mit ρ0 ≡ ρ(t0), wobei t0 eine Anfangszeit ist. Bis hierhin ist noch alles exakt. Erwar-tungswerte von Observablen werden

〈A〉t ≡ Trρ(t)A = Trρ(t)A(t) = Trρ0A(t)− i∫ t

t0

dt′Tr[V (t′), ρ(t′)]A(t)

= Trρ0A(t)− i∫ t

t0

dt′Trρ(t′)[A(t), V (t′)]. (2.51)

2.2.2 Suszeptibilitat

Definition Sei H(t) = H0 − f(t)B ein Hamiltonian mit Storoperator −f(t)B (mitskalarer Funktion f(t)) und ρ0 eine Dichtematrix zur Anfangszeit t0. Wir definieren dieAbweichung des Erwartungswerts 〈A〉t fur t ≥ t0 vom Wert fur f = 0 in erster (linearer)Ordnung in f ,


δ〈A〉t ≡∫ ∞t0

dt′χAB(t, t′)f(t′), t ≥ t0 (2.52)

χAB(t, t′) ≡ iTr(ρ0[A(t), B(t′)]

)θ(t− t′), dynamische Suszeptibilitat. (2.53)

Im exakten Ergebnis Gl. (2.50) haben wir also ρ(t′) durch ρ0, d.h. die ungestorte Dich-tematrix, ersetzt. Die Stufenfunktion θ(t − t′) schneidet das Integral bei t ab und wirdin die dynamische Suszeptibilitat hineindefiniert. Dadurch wird garantiert, dass

δ〈A〉t = 0, t ≤ t0. (2.54)

Beim Einschalten einer Storung zur Zeit t0 erfogt eine endliche Anderung des Erwar-tungswerts also erst nach dem Einschalten.

AUFGABE: Man uberlege sich, wie man die obige Definition zu andern hat, wennman die Dichtematrix-Anderung ‘ruckwarts’ in der Zeit, d.h. fur t < t0, verfolgen mochte.

Besonders interessante Falle sind jetzt Gleichgewichtssituationen fur ρ0:

Satz 4. Falls ρ0 ein Gleichgewichtszustand zum Hamiltonian H0 ist, d.h. falls [ρ0, H0] =0, gilt

χAB(t, t′) = iTr(ρ0[A(t− t′), B(0)]

)θ(t− t′). (2.55)

(Beweis als AUFGABE, einfach). In diesem Fall, der uns im Folgenden interessierenwird, benutzt man der Ubersicht halber dasselbe Symbol, χAB(t, t′) = χAB(t − t′). Esgilt dann also

χAB(t) ≡ iTr(ρ0[A(t), B]

)θ(t). (2.56)

In die Definition der dynamischen Suszeptibilitat geht die Anfangszeit t0 nicht mehrexplizit ein, wohl aber in den Erwartungswert

δ〈A〉t =

∫ ∞t0

dt′χAB(t− t′)f(t′). (2.57)

FALL 1: Wenn t0 endlich ist, kann man ohne Beschrankung der Allgemeinheit t0 = 0annehmen und den Faltungssatz fur Laplace-Transformationen verwenden,

δ〈A〉t =

∫ ∞0

dt′χAB(t− t′)f(t′), δ〈A〉z = χAB(z)f(z) (2.58)

f(z) ≡∫ ∞

0dte−ztf(t), χAB(z) ≡

∫ ∞0

dte−ztχAB(t), <(z) > 0. (2.59)

Die Laplace-Transformation konvergiert in der rechten Halbebene (z.B. BRONSTEIN).


FALL 2: Haufiger wird der Fall t0 = −∞ benutzt, wo man den Faltungssatz furFourier-Transformationen verwenden kann,

δ〈A〉t =

∫ ∞−∞

dt′χAB(t− t′)f(t′), δ〈A〉ω = χAB(ω)f(ω) (2.60)

f(ω) ≡∫ ∞−∞

dteiωtf(t), χAB(ω) ≡∫ ∞

0dteiωtχAB(t). (2.61)

Wegen χAB(t < 0) = 0 haben in beiden Fallen die Integrale uber χAB(t) die UntergrenzeNull.

Es gilt weiterhin

Satz 5. Seien A und B hermitesch sowie f(t) = f0 sin(ωt)θ(t) (periodische Storung wirdzur Zeit t = 0 eingeschaltet). Dann gilt

δ〈A〉t→∞ = <χAB(ω)f0 sinωt−=χAB(ω)f0 cosωt. (2.62)

Beweis: Zunachst ist fur A und B hermitesch χAB(t) nach seiner Definition reell.Dann kann man die Definition fur die Fouriertransformierte χAB(ω) in Real- und Ima-ginarteil aufspalten und erhalt (Additionstheorem fur den Sinus) damit die obige Zerle-gung.

2.2.3 Analytische Eigenschaften von χAB(ω)

Wir betrachten χAB(ω) ≡∫∞

0 dteiωtχAB(t) als Funktion einer komplexen Frequenz ω.Damit das Integral konvergiert, sollte =(ω) > 0 gelten. Dann folgt: Die dynamischeSuszeptibilitat χAB(ω) ist analytisch in der oberen Halbebene. Diese Eigenschaft hangtnaturlich mit t ≥ t0 und der daraus resultierenden θ-Funktion in der Definition vonχAB(t) zusammen, d.h. wir losen ein Anfangswertproblem fur die Anderung des Dichte-operators durch die Storung −f(t)B und kein Endwertproblem, was haufig als ’Kausa-litat’ bezeichnet wird.

Um herauszufinden, was fur reelle ω passiert, wendet man den Cauchy-Integralsatzan, ∫

C

χAB(z)

z − ω= 0, ω ∈ R, (2.63)

wobei C der Halbkreis nach oben ist, der auf der reellen Achse den Punkt z = ω obenumfahrt (SKIZZE). Explizit folgen damit dann durch die Zerlegung

limδ→0+

χAB(ω + iδ) ≡ χ′AB(ω) + iχ′′AB(ω) (2.64)

die Kramers-Kronig-Relationen (AUFGABE)

χ′′AB(ω) = −P∫dω′

π

χ′AB(ω′)

ω′ − ω(2.65)

χ′AB(ω) = +P

∫dω′

π

χ′′AB(ω′)

ω′ − ω. (2.66)


Hierbei bezeichnen die Striche und Doppelstriche an χ nicht die Ableitungen, sondernReal- und Imaginarteil, und P steht fur das Hauptwert-Integral.

Weiterhin folgt aus der Dirac-Identitat

1

x− i0= P

1

x+ iπδ(x) (2.67)

die Darstellung

χAB(z) =

∫dω′

π

χ′′AB(ω′)

ω′ − z, Lehmann-Spektraldarstellung , (2.68)

zunachst fur z = ω + i0 aus den Kramers-Kronig-Relationen fur reelle ω und dann uberanalytische Fortsetzung als Integraldarstellung in der ganzen komplexen z-Ebene.

2.3 Das Fluktuations-Dissipations-Theorem

Wir definieren zunachst Korrelationsfunktionen fur hermitesche Operatoren A und B,

C+AB(t) ≡ 〈A(t)B〉0, C−AB(t) ≡ 〈BA(t)〉0

C±AB(t) ≡ SAB(t)± iAAB(t) (2.69)

SAB(t) =1

2〈A(t)B +BA(t)〉0, AAB(t) =

1

2i〈A(t)B −BA(t)〉0

mit reellen Funktionen SAB(t), AAB(t). Die Erwartungswerte beziehen sich jetzt aufeinen thermischen Zustand,

〈X〉0 ≡1

ZTre−βH0X, Z ≡ Tre−βH0 . (2.70)

Jetzt benutzen wir

Tr(e−βH0BA(t)) = Tr(e−βH0BeβH0e−βH0A(t)) = Tr(B(iβ)e−βH0A(t))

= Tr(e−βH0A(t)B(iβ)) = Tr(e−βH0A(t− iβ)B)

C−AB(t) = C+AB(t− iβ), (2.71)

was als Kubo-Martin-Schwinger-Relation (KMS) bezeichnet wird. Durch Fouriertrans-formation folgt

C−AB(ω) = C+AB(ω)e−βω, detaillierte Gleichgewichtsrelation. (2.72)

In der Aufspaltung

χAB(ω) ≡ χ′AB(ω) + iχ′′AB(ω) (2.73)


wollen wir jetzt einen Zusammenhang zwischen χ′′AB(ω) und C+AB(ω) herstellen. Dazu

integrieren wir die Lehmann-Spektraldarstellung uber e−iωt

2π ,

χAB(t) = limi0→0

∫dωe−iωt

2πχ(ω + i0) = lim

i0→0

∫dω′

π

∫dωe−iωt

2π

χ′′AB(ω′)

ω′ − ω − i0, (2.74)

wofur wir folgendes Integral benotigen:∫dωe−iωt

2π

1

ω′ − ω − i0= ie−iω

′tθ(t), (2.75)

was aus dem Residuensatz folgt, denn der Pol liegt in der unteren ω-Ebene, in der mandas Integral fur t > 0 schliessen muss, damit der Halbkreisbeitrag verschwindet. Es giltalso

χAB(t) = 2iχ′′AB(t)θ(t) χ′′AB(t) =1

2〈[A(t), B]〉0. (2.76)

Fouriertransformation liefert nun

χ′′AB(ω) =1

2

(C+AB(ω)− C−AB(ω)

), (2.77)

woraus aus dem detaillierten Gleichgewicht folgt

χ′′AB(ω) =1

2

(1− e−βω

)C+AB(ω), Fluktuations-Dissipations-Theorem (2.78)

(Callen, Welton 1951). Man kann es mittels der symmetrischen Korrelationsfunktionumschreiben,

SAB(ω) =1

2(C+

AB(ω) + C−AB(ω)) =1

2

(1 + e−βω

)C+AB(ω), (2.79)

und zwar in der Form

SAB(ω) = χ′′AB(ω) cothβω

2. (2.80)

Da χ′′AB(ω) mit der Energieabsorption des Systems zusammenhangt (s.u.) und SAB(ω)Fluktuationen beschreibt, erklart sich der Name ‘Fluktuations-Dissipations-Theorem’.

2.3.1 Beispiel: harmonischer Oszillator

Wir betrachten die Orts-Orts-Korrelationsfunktion des harmonischen Oszillators im ther-mischen Gleichgewicht,

C+(t) = 〈x(t)x〉0, H0 = Ωa†a (2.81)


wobei der Ortsoperator durch Leiteroperatoren ausgedruckt wird,

x =

√1

2MΩ

(a+ a†

), x(t) =

√1

2MΩ

(ae−iΩt + a†eiΩt

). (2.82)

Daraus folgt

C+(t) = 〈x(t)x〉0 =1

2MΩ〈aa†e−iΩt + a†aeiΩt〉 =

1

2MΩ

(1 + nB)e−iΩt + nBe

iΩt

=1

2MΩ(1 + 2nB) cos Ωt− i sin Ωt , (2.83)

also

〈x(t)x〉0 =1

2MΩ

coth

βΩ

2cos Ωt− i sin Ωt

, harmonischer Oszillator, (2.84)

wobei wir im letzten Schritt die Beziehung fur die Bose-Einstein-Verteilung nB ≡ 1eβΩ−1

,

1 + 2nB = 1 +2

eβΩ − 1=eβΩ + 1

eβΩ − 1= coth

βΩ

2(2.85)

ausgenutzt haben. Aus C+(t) ≡ 〈x(t)x〉0 folgt jetzt direkt durch Ablesen der (anti)-symmetrische Teil der Korrelationsfunktion,

S(t) =1

2MΩcoth

βΩ

2cos Ωt, A(t) = − 1

2MΩsin Ωt

S(ω) =1

2MΩπ δ(ω + Ω) + δ(ω − Ω) coth

βΩ

2

=1

2MΩπ −δ(ω + Ω) + δ(ω − Ω) coth

βω

2

χ′′xx(ω) =π

2MΩ−δ(ω + Ω) + δ(ω − Ω) , (2.86)

wobei wir im letzten Schritt das FDT benutzt haben, um χ′′xx(ω) abzulesen. Andererseitserhalten wir das auch direkt mit

χxx(t) = −2θ(t)Axx(t) = 2θ(t)1

2MΩsin Ωt

χ′′xx(ω) = Im

∫ ∞0

dtχxx(t)eiωt = Imi

2MΩ

∫ ∞0

dt(e−iΩt − eiΩt

)eiωt

=1

2MΩ

∫ ∞0

dt cos(ω − Ω)t− cos(ω + Ω)t

=1

2MΩ

1

2

∫ ∞−∞


=1

2MΩ

2π

2δ(ω − Ω)− δ(ω + Ω) . (2.87)


2.3.2 Oszillator mit Ohmscher Dampfung

(z.B. U. WEISS)

Definition Ein Oszillator mit Masse M , Eigenfrequenz ω0, Ortskoordinate x in einerDimension und Ohmscher Dampfungskonstante γ > 0 wird durch die Bewegungsglei-chung

x(t) + γx(t) + ω20x(t) =

1

Mf(t), γ > 0 (2.88)

beschrieben, wobei f(t) eine außere Kraft ist.

Wegen der Linearitat der Bewegungsgleichung erfullen die Erwartungswerte 〈x〉t derOrtskoordinate dieselbe Bewegungsgleichung, aus der wir damit sofort durch Fourier-transformation die dynamische Suszeptibilitat erhalten,(

−ω2 − iγ + ω0

)〈x〉ω =

1

Mf(ω) 〈x〉ω ≡ χxx(ω)f(ω)

χxx(ω) =1

M

1

−ω2 − iγω + ω20

. (2.89)

Es folgen Real- und Imaginarteil der Suszeptibilitat zu

χ′xx(ω) =1

M

ω20 − ω2

(−ω2 + ω20)2 + γ2ω2

(2.90)

χ′′xx(ω) =1

M

γω

(−ω2 + ω20)2 + γ2ω2

. (2.91)

Interessant ist jetzt die Berechnung z.B. der symmetrisierten Korrelationsfunktion desOrtes,

Sxx(t) =1

2(〈x(t)x〉0 + 〈xx(t)〉0) (2.92)

uber das Fluktuations-Dissipations-Theorem. Zunachst wird in Sxx(t) von einem ther-mischen Gleichgewichtszustand ρ0 mit Temperatur T und 〈x〉0 = 0 ausgegangen. Derentscheidende Punkt hier ist nun, dass man fur die Berechnung von Gleichgewichtsfluk-tuationen (z.B. Sxx(t = 0)) ρ0 nicht explizit zu kennen braucht: Durch das FDT ist manin der Lage, die Gleichgewichtsfluktuationen zu berechnen, wenn die Bewegungsgleichungbekannt ist.

Konkret haben wir also

Sxx(t) =1

2π

∫dte−iωtSxx(ω) =

1

2π

∫dte−iωtχ′′xx(ω) coth

βω

2(2.93)

=1

2πM

∫dte−iωt

γω

(−ω2 + ω20)2 + γ2ω2

cothβω

2. (2.94)

Man beachte allerdings, dass in vielen Fallen die Herleitung der Bewegungsgleichung auseinem mikroskopischem Hamiltonian nicht-trivial ist und z.B. mikroskopische System-Bad-Modelle erfordert (siehe z.B. WEISS).


-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

RealteilImaginaerteil

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

Fig. 2.1: Gedampfter harmonischer Oszillator. LINKS: Real- und Imaginarteil von χxx(ω).Rechts: Sxx(t = 0)/(Mω2

0) nach Gl. (2.93) als Funktion der Temperatur kBT/~ω0

fur Dampfungskonstanten γ/ω0 = 0.1 (obere Kurve) γ/ω0 = 1 und γ/ω0 = 10 (untereKurve).

2.3.3 Energieabsorption

Es ist klar, dass mit einem zeitabhangigen Hamiltonian H(t) = H0 − f(t)B die Energiekeine Erhaltungsgroße ist: durch die zeitabhangige Storung wird Energie in das Systemhineingesteckt.

Man kann aber formal den ungestorten Hamiltonian H0 weiterhin als Energieopera-tor auffassen und dessen Erwartungswert berechnen: Aus der Liouville-von-Neumann-Gleichung folgt zunachst

〈H0〉t = Trρ0H0(t) + i

∫ t

t0

dt′f(t′)Trρ(t′)[H0(t), B(t′)] (2.95)

= Trρ0H0 + i

∫ t

t0

dt′f(t′)Trρ(t′)[H0, B(t′)] = 〈H0〉0 +

∫ t

t0

dt′f(t′)Trρ(t′)d

dt′B(t′)

Im letzten Term haben wir

Trρ(t′)d

dt′B(t′) =

d

dt′Trρ(t′)B(t′)− Tr

d

dt′(ρ(t′)

)B(t′)

=d

dt′Trρ(t′)B(t′)− if(t′)Tr[B(t′), ρ(t′)]B(t′)

=d

dt′Trρ(t′)B(t′) =

d

dt′〈B〉t′ (2.96)

und damit haben wir

δ〈H0〉t =

∫ t

t0

dt′f(t′)d

dt′〈B〉t′ . (2.97)


Jetzt definieren wir

∆E ≡ limt0→−∞,t→∞

δ〈H0〉t =

∫ ∞−∞

dt′f(t′)d

dt′〈B〉t′

=

∫ ∞−∞

dω

2πf(−ω)(−iω)〈B〉ω, (2.98)

wobei wir im letzten Schritt die Parsevalsche Gleichung der Fouriertransformation be-nutzten. Bis hierher ist noch alles exakt, aber jetzt machen wir eine linear-response-Naherung fur

〈B〉ω = 〈B〉0 + χBB(ω)f(ω) +O(f2). (2.99)

Wenn f(t) reell ist, gilt f(−ω) = f∗(ω), und wir erhalten

∆E =

∫ ∞−∞

dω

2π|f(ω)|2(−iω)χBB(ω). (2.100)

Wegen der Symmetrien (s. Aufgabe unten)

χ′BB(ω) = χ′BB(−ω), χ′′BB(ω) = −χ′′BB(−ω) (2.101)

folgt also

∆E =

∫ ∞−∞

dω

2πωχ′′BB(ω)|f(ω)|2. (2.102)

AUFGABEN:1) Beweise die Kramers-Kronig-Relationen Gl. (2.65).2) Benutze den Residuensatz zum Beweis von Gl. (2.75).3) Seien A und B hermitesche Operatoren. Beweise die Symmetrierelationen

χ′AB(ω) = χ′AB(−ω), χ′′AB(ω) = −χ′′AB(−ω) (2.103)

fur den Real- und Imaginarteil der dynamischen Suszeptibilitat 2.

2.4 Die Mastergleichung fur das Fano-Anderson-Modell

Als erstes Beispiel fur eine Transport-Mastergleichung nehmen wir wieder unseren Trans-port durch einen einfachen Quantendot, das Fano-Anderson-Modell aus Abschnitt 1.3.2

Wir betrachten wieder einen Tunnel-Hamiltonian der Form

Hj ≡ H0 + Vj , H0 ≡ Hres + Hd (2.104)

Hd ≡ ε0d†d, Hres ≡

∑l

εlc†l cl, Vj ≡

∑l

(Vjlc

†l d+ Vjld

†cl

), j = 1, 2.(2.105)

2 Fur weitere Symmetriebeziehungen, vgl. BRENIG ‘Statistical Theory of Heat’.


Hierbei indiziert j = 1, 2 den Hin/Ruckweg in der Zeitentwicklung mit verschiedenenHj .Damit wollen wir moglichst allgemeine Falle fur die Zahlstatistik erfassen (s.u.) Wirhaben

Sj1 = d, Sj2 = d†, Bj1 =

∑kα

V jkαc†kα, Bj

2 =∑kα

V jkαckα (2.106)

Cjj′

12 (t− t′) =∑kα

V jkαV

j′

kαfkαeiεkα(t−t′) (2.107)

Cjj′

21 (t− t′) =∑kα

V jkαV

j′

kα(1− fkα)e−iεkα(t−t′). (2.108)

Weiterhin ist

2π∑k

V jkαV

j′

kαδ(ω − εkα) ≡ Γjj′

α (ω) (2.109)

Cjj′

12 (t− t′) =

∫dω

2π

∑α

Γjj′

α (ω)fα(ω)eiω(t−t′) (2.110)

Cjj′

21 (t− t′) =

∫dω

2π

∑α

Γj′jα (ω)(1− fα(ω))e−iω(t−t′). (2.111)

Mit dieser Form kann die Mastergleichung jetzt durch Laplace-Transformation ohneweitere Approximationen gelost werden (SKRIPT CLIVE EMARY 2007).

2.4.1 Exakter Markov-Limes

Eine Vereinfachung, die auch im Folgenden und fur fast alle weiteren Anwendungen sehrwichtig ist, besteht in einer weiteren Approximation, die als Markov-Limes bezeichnetwird. In unserem Tunnelmodell wird dieser Limes exakt erreicht durch die Annahmen

Γjj′

α (ω) ≡ Γjj′

α = const, konstante (verallgemeinerte) Tunnelraten

fα(ω) = δα,L, unendliche Spannung zwischen Reservoir L und R. (2.112)

Dann werden die Bad-Korrelationsfunktionen zu Delta-Funktionen

Cjj′

12 (t− t′) =

∫dω

2πΓjj′

L eiω(t−t′) = Γjj′

L δ(t− t′) (2.113)

Cjj′

21 (t− t′) =

∫dω

2πΓj′jR e−iω(t−t′) = Γj

′jR δ(t− t′), (2.114)

mit denen die rechte Seite der Mastergleichung sofort ausgerechnet werden kann. Hiersind also die Fermifunktionen gar nicht mehr vorhanden, sondern einfach durch Nullbzw. Eins ersetzt.


2.4.2 Ratengleichung in Markov–Naherung

Wenn wir die Teilchen im Reservoir α zahlen, ist nach Gl. (1.84)

V1 = Vχ =∑k

VkReiχR2 c†kRd+ VkLe

iχL2 c†kLd+H.c. (2.115)

V2 = V−χ =∑k

VkRe−iχR

2 c†kRd+ VkLe−iχL

2 c†kLd+H.c. (2.116)

Damit ist also

V 1kα = Vkαe

iχα2 , V 2

kα = Vkαe−iχα

2 , V j′

kα = (V j′

kα)∗ (2.117)

Γjjα = Γα, Γ12α = eiχαΓα, Γ21

α = e−iχαΓα. (2.118)

Statt eine unendliche Spannung zwischen linkem und rechtem Reservoir anzunehmen (wodie Markov-Naherung exakt wird), approximieren wir jetzt die Bad-Korrelationsfunktionenin

∂

∂tρ(t) = −

∫ t

0dt′(C11

12 (t, t′)e−iε0(t−t′)dd†ρ(t′) + C1121 (t, t′)eiε0(t−t′)d†dρ(t′)

)−

∫ t

0dt′(C22

12 (t, t′)ρ(t′)e−iε0(t−t′)dd† + C2221 (t, t′)eiε0(t−t′)ρ(t′)d†d

)+

∫ t

0dt′(C21

12 (t, t′)e−iε0(t−t′)d†ρ(t′)d+ C2121 (t, t′)eiε0(t−t′)dρ(t′)d†

)+

∫ t

0dt′(C21

12 (t′, t)eiε0(t−t′)d†ρ(t′)d+ C2121 (t′, t)e−iε0(t−t′)dρ(t′)d†

),(2.119)

und zwar durch

Cjj′

12 (t, t′)e−iε0(t−t′) =

∫dω

2π

∑α

Γjj′

α (ω)fα(ω)ei(ω−ε0)(t−t′)

→∑α

Γjj′

α fαδ(t− t′), fα ≡ fα(ε0) (2.120)

Cjj′

21 (t, t′)eiε0(t−t′) =

∫dω

2π

∑α

Γj′jα (ω)(1− fα(ω))e−i(ω−ε0)(t−t′)

→∑α

Γj′jα (1− fα)δ(t− t′). (2.121)

Hierbei werden also die Fermi-Funktionen an der Energie ε0 des Dot-Levels ausgewertet.DISKUSSION. Bei der Auswertung mussen wir auf

∫ t0 dt

′δ(t − t′)f(t′) = 12f(t) achten

und erhalten dann die explizite Form

ρ(t) =∑α

Γαfα

(−1

2dd†ρ(t)− 1

2ρ(t)dd† + e−iχαd†ρ(t)d

)(2.122)

+∑α

Γα(1− fα)

(−1

2d†dρ(t)− 1

2ρ(t)d†d+ eiχαdρ(t)d†

). (2.123)

Diese Form schreiben wir als


ρ(t) = L0ρ(t) +∑α,±

e±iχαJ ±α ρ(t) (2.124)

L0ρ ≡ −∑α

Γα

(fαdd†, ρ+ (1− fα)d†d, ρ

)(2.125)

J +α ρ ≡ Γα(1− fα)dρd†, J −α ρ ≡ Γαfαd

†ρd, Sprung-Superoperatoren. (2.126)

2.4.3 Matrixdarstellung

Fur praktische Berechnungen ist eine explizite Matrixdarstellung der Mastergleichungsehr nutzlich. Der Ausgangspunkt sind hier die Systemzustande |α〉, in unserem Beispielalso einfach die Zustande

|α〉 = |0〉, unbesetztes Niveau (2.127)

|α〉 = |1〉, besetztes Niveau . (2.128)

Diese Zustande sind eine vollstandige Basis fur das System. Wir konnen in ihr Matrix-elemente der Mastergleichung nehmen unter Beachtung von

d|0〉 = 0, d|1〉 = |0〉 d = |0〉〈1|, d† = |1〉〈0|. (2.129)

Matrixelemente der Superoperatoren sind dann

〈0|L0ρ|0〉 = −∑α

Γαfα〈0|ρ|0〉, 〈0|L0ρ|1〉 = −∑α

Γα〈0|ρ|1〉, (2.130)

〈1|L0ρ|1〉 = −∑α

Γα(1− fα)〈1|ρ|1〉, 〈1|L0ρ|0〉 = −∑α

Γα〈1|ρ|0〉 (2.131)

fur den Term L0ρ. Die Sprungoperatoren haben die Darstellung

J +α ρ = Γα(1− fα)|0〉〈1|ρ|1〉〈0|, J −α ρ = Γαfα|1〉〈0|ρ|0〉〈1| (2.132)

und sind also diagonal. Hier erklart sich auch der Name ‘Sprungoperator’: durch An-wendung von J +

α wird ein Zustand ρ in Γα(1− fα)p1|0〉〈0| transformiert, also den Leer-zustand |0〉〈0| multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit p1, das Niveau besetzt zu finden,und der Rate Γα(1− fα) fur den Transfer in das Reservoir α. Entsprechend wird durchAnwendung von J −α wird ein Zustand ρ in Γαfαp0|1〉〈1| transformiert, also den besetztenZustand |1〉〈1| multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit p0, das Niveau leer zu finden, undder Rate Γαfα fur den Transfer aus dem Reservoir α heraus. Hier wird auch die Bedeu-tung der Fermifunktionen fα(ε0) klar, die die ‘nackten’ Tunnelraten Γα multiplizierenund den Effekt der Reservoirbesetzung besdchreiben.

Definition Der Faktor 1− fα wird als Pauli-Blockfaktor bezeichnet.

In besetzte Zustande kann namlich nach dem Pauliprinzip nicht hineingetunnelt werden.Wir fuhren jetzt die Vektor/Matrixschreibweise


∂

∂t|ρ〉〉 ≡ L|ρ〉〉, |ρ〉〉 ≡

〈0|ρ|0〉〈1|ρ|1〉〈0|ρ|1〉〈1|ρ|0〉

, L ≡(L 00 Lc

)(2.133)

L ≡∑α

Γα

(−fα eiχα(1− fα)

e−iχαfα −(1− fα)

), Lc ≡

∑α

Γα

(1 00 1

)

ein. Insbesondere entkoppeln hier die Besetzungen p0 ≡ 〈0|ρ|0〉 (‘leer’), p1 ≡ 〈1|ρ|1〉(‘voll’) von den Koharenzen, d.h. den Ausserdiagonaltermen der Dichtematrix. Letzte-re erfullen in der Tat triviale entkoppelte Bewegungsgleichungen, die ein exponentielleDampfen einer anfanglichen Koharenz beschreiben.

Im Unterraum der Besetzungen hat man also ein 2× 2-System

∂

∂t|p〉〉 = L|p〉〉, |p〉〉 ≡

(p0

p1

), (2.134)

von gewohnlichen Differentialgleichungen.

2.4.4 Dichtematrix und Zahlstatistik

Zur Interpretation der Zahlfelder χα schreiben wir allgemein eine Mastergleichung derForm Gl. (2.124) als

ρ = L0ρ+ J ρ, J ≡M∑k=1

eiχkJkρ (2.135)

mit M Sprungoperatoren Jk. Wir konnen das formal wie folgt losen;

ρ(t) ≡ e−L0tρ(t), J1(t) ≡ e−L0tJ eL0t (2.136)

d

dtρ(t) = −L0ρ(t) + e−L0t (L0 + J ) eL0tρ(t) = L1(t)ρ(t)

ρ(t) = ρ(0) +

∫ t

0dt1J (t1)ρ(t1)

= ρ(0) +

∫ t

0dt1J (t1)ρ(0) +

∫ t

0dt1

∫ t1

0dt2J (t1)J (t2)ρ(t2)

...

= ρ(0) +∞∑n=1

∫ t

0dtn...

∫ t2

0dt1J (tn)...J (t1)ρ(0). (2.137)


Rucktransformation auf ρ(t) liefert

ρ(t) = eL0tρ(0)

+∞∑n=1

∫ t

0dtn...

∫ t2

0dt1e

L0te−L0tnJ eL0tne−L0tn−1J eL0tn−1 ...e−L0t1J eL0t1ρ(0)

= eL0tρ(0)

+∞∑n=1

∫ t

0dtn...

∫ t2

0dt1e

L0(t−tn)J eL0(tn−tn−1)J eL0(tn−1−tn−2)...eL0(t2−t1)J eL0t1ρ(0)

≡ eL0tρ(0) +

∞∑n=1

∫ t

0dtn...

∫ t2

0dt1ρc(t; t1, ..., tn), (2.138)

wo wir eine nicht–normierte, konditionierte verallgemeinerte Dichtematrix ρc(t; t1, ..., tn)definiert haben, die im Zeitintervall [0, t] insgesamt n ‘Quantensprunge’ zu Zeiten t1 ≤t2 ≤ ... ≤ tn ≤ t beschreibt. In der Tat beschreibt die Operation eL0τρ ja eine nicht vonSprungen (Sprungoperatoren) unterbrochene Zeitentwicklung eines Anfangszustands ρuber die Periode τ . Die (verallgemeinerte) System-Dichtematrix ρ(t) zur Zeit t ist danndie Summe uber alle Trajektorien mit n = 0, ...,∞ Unterbrechungen, von den jede einemder k = 1, ...,M Sprungoperatoren Jk zugeordnet ist.

Da diese Zuordnung uber die Zahlfelder eiχk vor dem jeweiligen Sprungoperator Jkerfasst wird, konnen wir durch Fouriertransformation Trajektorien herausprojizieren.Wir definieren hierzu

ρn1,...,nM (t) ≡∫ π

−π

dχ1

2πe−iχ1n1 ...

∫ π

−π

dχM2π

e−iχ1nMρ(χk; t), n-aufgeloste Dichtematrix(2.139)

wobei wir jetzt explizit die Zahlfelder in der (verallgemeinerten) Dichtematrix anzeigen.Entsprechend interpretieren wir die Spur

P (n1, ..., nM ; t) ≡ Trρn1,...,nM (t) (2.140)

als die Wahrscheinlichkeit, dass im Zeitintervall [0, t] insgesamt nk Sprunge vom Typ kstattfinden. Die Momenten-erzeugenden Funktion zu dieser Wahrscheinlichkeit ist damit

M(χ1, ..., χM , t) ≡∞∑

n1...nM=0

ei(χ1n1+...+χMnM )Trρn1,...,nM (t) (2.141)

= Trρ(χk; t) = TreL(χk)tρ(0). (2.142)

Im letzten Schritt haben wir hier die formale Losung von Gl. (2.135) eingesetzt.

2.5 The damped harmonic oscillator

(SKRIPT STATISTISCHE MECHANIK I, 2007). In the following, we will discuss twomodels for damped harmonic oscillators and derive the explicit forms for the correspon-ding Master equations.


The model Hamiltonian is defined by

Htotal ≡ HS +HSB +HB

= Ωa†a+∑Q

γQ(aQ + a†Q)(a+ a†) +∑Q

ωQa†QaQ, non-RWA model.(2.143)

Here, V ≡ HSB = S ⊗B with S = a+ a† and B =∑

Q γQ(aQ + a†Q). The indices k andl play no role here.

Often one starts straight away with a simplified model Hamiltonian in Rotating WaveApproximation (RWA)


= Ωa†a+∑Q

γQ(aQa† + a†Qa) +

∑Q

ωQa†QaQ, RWA model. (2.144)

Here, V ≡ HSB =∑

i=1,2 Si ⊗ Bi with S1 = a†, S2 = a, an B1 =∑

Q γQaQ, B2 =∑Q γQa

†Q). The indices k and l now do play a role.

We first derive the master equation for the RWA model.

2.5.1 Rates and Energy Shift (RWA)

The bath correlation functions simply are

C12(t) ≡ TrB

[B1(t)B2R0

]= TrB

∑QQ′

γQγQ′aQe−iωQta†Q′R0

=

∑Q

γ2Qe−iωQt(1 + nB(ωQ)) =

∫ ∞0

dωρ(ω)e−iωt(1 + nB(ω))

C21(t) ≡ TrB

[B2(t)B1R0

]= TrB

∑QQ′

γQγQ′a†Qe

iωQtaQ′R0

=

∑Q

γ2Qe

iωQtnB(ωQ) =

∫ ∞0

dωρ(ω)eiωtnB(ω)

C11(t) = C22(t) = 0, (2.145)

where all the information on the microscopic coupling to the bath in now comprisedwithin one single function, the bath spectral density ρ(ω)

ρ(ω) ≡∑

Q γ2Qδ(ωQ − ω). (2.146)


Using S1(t) = a†eiΩt, S2(t) = ae−iΩt, we have

D1 ≡∫ ∞

0dτC12(τ)S2(−τ) =

∫ ∞0

dτC12(τ)aeiΩt = C12(−iΩ)a (2.147)

D2 ≡∫ ∞

0dτC21(τ)S1(−τ) =

∫ ∞0

dτC21(τ)a†e−iΩt = C21(iΩ)a†

E1 ≡∫ ∞

0dτC∗21(τ)S2(−τ) =

∫ ∞0

dτC∗21(τ)aeiΩt = [C21(iΩ)]∗a = D†2

E2 ≡∫ ∞

0dτC∗12(τ)S1(−τ) =

∫ ∞0

dτC∗12(τ)a†e−iΩt = [C12(−iΩ)]∗a† = D†1

Here, we defined the Laplace transformation of a function f(t),

f(z) =

∫ ∞0

dte−ztf(t). (2.148)

The Master equation therefore is

d

dtρ(t) = −i[Ωa†a, ρ(t)]

−∑

SkDkρ(t)−Dkρ(t)Sk + ρ(t)EkSk − Skρ(t)Ek

(2.149)

= −i[Ωa†a, ρ(t)]

−[

C12(−iΩ)a†a+ C21(iΩ)aa†]ρ(t) + ρ(t)

[[C21(iΩ)]∗aa† + [C12(−iΩ)]∗a†a

]− C12(−iΩ)aρ(t)a† − C21(iΩ)a†ρ(t)a− [C21(iΩ)]∗a†ρ(t)a− [C12(−iΩ)]∗aρ(t)a†

.

Let us have a closer look at the expressions

C12(z) =

∫ ∞0

dωρ(ω)[1 + nB(ω)]

∫ ∞0

dte−(z+iω)t. (2.150)

The Laplace transform exists for Re(z) > 0 to ensure convergence of the integral, but inthe expressions above we need C12(z = −iΩ) etc., i.e. purely imaginary arguments! Thelimit t→∞, if explicitely written, reads

C12(z = −iΩ) = limt→∞

∫ ∞0

dωρ(ω)[1 + nB(ω)]

∫ t

0dt′ei(Ω−ω)t′ . (2.151)

Now,

limt→∞

∫ t

0dt′eixt

′= lim

t→∞

[sinxt

x+ i

1− cosxt

x

]= πδ(x) + iP

(1

x

), (2.152)

where P denotes the principal value.For the first term, we used that for any integrable, normalised function f(x) with∫∞

−∞ dxf(x) = 1, one has limε→01εf(xε

)= δ(x), cf. Gl. (1.25) Since

∫∞−∞ dx sin(x)/x = π,

this yields the Delta function above.


We split the two bath correlation functions into real and imaginary parts,

C12(−iΩ) ≡ 1

2γ+ + i∆+, C21(iΩ) ≡ 1

2γ + i∆

γ+ ≡ γ+(Ω) ≡ 2πρ(Ω)[1 + nB(Ω)], γ ≡ γ(Ω) ≡ 2πρ(Ω)nB(Ω)

∆+ ≡ P

∫ ∞0

dω

2π

γ+(ω)

Ω− ω, ∆ ≡ −P

∫ ∞0

dω

2π

γ(ω)

Ω− ω. (2.153)

Remarks:

• Real and imaginary parts of the correlation functions are related to each other:Kramers-Kronig relations.

• Note the minus-sign in the definition of ∆.

2.5.2 Lindblad Form of RWA-Master Equation

Using these definitions, we can now write

d

dtρ(t) = −i[Ωa†a, ρ(t)]− 1

2

[(γ+ + 2i∆+)a†a+ (γ + 2i∆)aa†

]ρ(t) (2.154)

+ ρ(t)[(γ − 2i∆)aa† + (γ+ − 2i∆+)a†a

]− 2γ+aρ(t)a† − 2γa†ρ(t)a

.

We write 2i∆aa† = 2i∆(a†a+ 1) and obtain

d

dtρ(t) = −i[(Ω + ∆+ + ∆)a†a, ρ(t)] (2.155)

− 1

2γ+

a†aρ(t) + ρ(t)a†a− 2aρ(t)a†

− 1

2γaa†ρ(t) + ρ(t)aa† − 2a†ρ(t)a

.

This master equation has Lindblad-form;

Definition A master equation has Lindblad-form, if it can be written as

d

dtρ(t) = Lρ(t) ≡ −i[H, ρ(t)] +Dρ(t) (2.156)

≡ −i[H, ρ(t)] +∑µ

γµ

(Jµρ(t)J†µ −

1

2ρ(t)J†µJµ −

1

2J†µJµρ(t)

). (2.157)

Here, H is an effective system Hamiltonian, the Lindblad operators Jµ in the dissipatorD are system operators, and γµ > 0 are rates.

Lindblad-form master equations have special nice properties that makes them popularfor most applications in quantum dissipation:

Satz 6. Lindblad-form master equations preserve trace and positivity of the reduceddensity matrix during its time evolution. Lindblad-form generators L are the most generalgenerators of quantum dynamical semi-groups. 3

3 More details can be found in BREUER/PETRUCCIONE.


We will discuss Lindblad-forms and their derivation from coarse-graining below.Our harmonic oscillator master equation can now be further re-arranged into

d

dtρ(t) = −iΩ[a†a, ρ]− κ

a†aρ+ ρa†a− 2aρa†

(2.158)

− 2κnB(Ω)a†aρ+ ρaa† − aρa† − a†ρa

, (2.159)

where

Ω ≡ Ω + P

∫ ∞0

dωρ(ω)

Ω− ω, κ ≡ πρ(Ω). (2.160)

Remarks

• This is the ‘standard’ Master equation for the damped harmonic oscillator, asdiscussed in many text books and used for many applications.

• Modifications appear if one uses the non-RWA model Hamiltonian instead of theRWA Hamiltonian.

• Eq.(2.158) is, of course, not exact because we have used 2nd order perturbationtheory (in the system-bath coupling γQ), and the Markov approximation.

• The oscillator energy ~Ω is renormalised due to the coupling to the environment.The renormalised frequency Ω is temperature independent.

• The integral for the renormalised frequency Ω may diverge, depending on the formof the spectral density ρ(ω), Eq.(2.146), in which case this theory breaks down.We will make this statement more precise below.

• One can show that the Master equation Eq.(2.158) (and its non-RWA analogon,model 1) is indeed ‘wrong’ in the sense that there is an exact solution for thedensity operator ρ(t) within the same model, which is different from the solutionof Eq.(2.158). This again will be discussed below.

• Comparing the exact ρ(t) with that obtained from Eq.(2.158), one could now dis-cuss the ‘validity of the entire Master equation approach’. However, the dampedharmonic oscillator is (with very few exceptions) the only quantum dissipativesystem where an exact solution exists.

2.5.3 Expectation Values (RWA Model)

We would like to use our Master equation Eq.(2.158)

d



− 2κnB(Ω)

a†aρ+ ρaa† − aρa† − a†ρa


and calculate some ‘useful’ quantities as, for examples, expectation values of System(= oscillator) observables θ. Let us do this for the number operator, θ = n = a†a.Multiplying with n and taking the trace, we obtain

d

dt〈n〉(t) = −iΩTr

(n[a†a, ρ]

)− κTr

a†aa†aρ+ ρa†aa†a− 2aρa†a†a

− 2κnB(Ω)Tr

a†aa†aρ+ ρaa†a†a− a†aaρa† − a†aa†ρa

= −iΩTr

(a†aa†aρ− a†aρa†a

)− κTr

2a†aa†aρ− 2ρa†(aa† − 1)a

− 2κnB(Ω)Tr

a†aa†aρ+ ρ(a†a+ 1)a†a− a†(aa† − 1)aρ− aa†aa†ρ

= −2κTr

ρa†a

− 2κnB(Ω)Tr

a†aa†aρ+ ρ(a†a+ 1)a†a− a†(aa† − 1)aρ− (a†a+ 1)(a†a+ 1)ρ

= −2κTr

ρa†a

+ 2κnB(Ω)

= −2κ (〈n〉(t)− nB(Ω)) . (2.161)

This is now a simple first order differential equation which has the solution

〈n〉(t) = 〈n〉(t = 0)e−2κt + nB(Ω)(1− e−2κt

). (2.162)

In particular, one has

〈n〉(t→∞) = nB(Ω). (2.163)

For large times, the occupation number is thus given by the thermal equilibrium Bosedistribution, regardless of the initial condition 〈n〉(t = 0).

2.5.4 Master Equation (Non-RWA Model)

Let us re-call the non-RWA model


= Ωa†a+∑Q

γQ(aQ + a†Q)(a+ a†) +∑Q

ωQa†QaQ.

In the following, we will have a closer look at the properties of bath correlation functions.We first re-call the definition of the bath correlation function,

C(t) ≡ TrB

[B(t)BR0

]= TrB

∑QQ′

γQγQ′(aQe−iωQt + a†Qe

iωQt)(aQ′ + a†Q′)R0

=

∑Q

γ2Q

[e−iωQt(1 + nB(ωQ)) + eiωQtnB(ωQ)

]=

∫ ∞0

dωρ(ω)[e−iωt(1 + nB(ω)) + eiωtnB(ω)

]= C∗(−t). (2.164)


Furthermore, nB(ω) ≡ 1/[eβω − 1] is the Bose function.To simplify things, we introduce the bosonic spectral density ρ(ω) All the dependence

on the coupling constants γQ is encapsulated within the spectral density ρ(ω). The latteris often parametrised as

ρ(ω) = 2αω1−sc ωse−ω/ωc , (2.165)

where α is the dimensionless coupling parameter and ωc is the cutoff frequency. Note thatρ(ω) has the dimension [ω] which is the reason for the pre-factor ω1−s

c . The parameter sdetermines the low-frequency behaviour of ρ(ω), and one calls couplings with

s < 1 : sub-ohmic

s = 1 : ohmic

s > 1 : super-ohmic. (2.166)

This classification has its origin in the analysis of the dissipative two-level (spin-boson)system, cf. the book of WEISS.

The case s = 1, ωc →∞

ρ(ω) = 2αω (2.167)

is called scaling limit of the ohmic bath and has the special property of homogeneityρ(kω) = kρ(ω).

2.5.5 Properties of C(t), validity of Markov assumption

One can write

C(t) =

∫ ∞0

dωρ(ω) [coth (βω/2) cos(ωt)− i sin(ωt)] , (2.168)

where we used the useful identity

coth (βω/2) = 1 + 2nB(ω). (2.169)

Calculation of the integral with ρ(ω) given by Eq.(2.165) yields

C(t) = 2αω1−sc β−(s+1) × (2.170)

Γ(s+ 1)

[ζ

(s+ 1,

1 + βωc − iωctβωc

)+ ζ

(s+ 1,

1 + iωct

βωc

)],

where Γ is the Gamma function and

ζ(z, u) ≡∞∑n=0

1

(n+ u)z, u 6= 0,−1,−2, ... (2.171)


is the generalised Zeta function (cf. W. Magnus, F. Oberhettinger, and R. P. Soni,Formulas and Theorem for the Special Functions of Mathematical Physics, Springer,Berlin 1966). The zero temperature limit is obtained either from the β → ∞ limit ofEq.(2.170) or directly by calculating the integral,

C(t) = 2αωs+1c Γ(s+ 1) (1 + iωct)

−(s+1) . (2.172)

With explicit expressions like Eq. (2.170) and Eq. (2.172), one can now directly assessthe validity of the Markov assumption (Assumption 2a above): ‘ the bath correlationfunction Ckl(τ) is strongly peaked around τ = 0 with a peak width δτ γ−1, where γis a typical rate of change of ρ(t′).’ For example, for T = 0, γ = 2πρ(Ω), and withinthe model ρ(ω) = 2αω1−s

c ωse−ω/ωc , Eq.(2.165), one has δτ ∼ ω−1c , cf. Eq.(2.172). This

would mean

ω−1c 4παω1−s

c Ωse−Ω/ωc 1

4πα (Ω/ωc)s e−Ω/ωc 1, (2.173)

which is fulfilled for large ωc (Ω/ωc . 1), s > 0, and small α. The condition of small αis consistent with the Born approximation (perturbation theory in the coupling to thebath).

2.5.6 Derivation of Master equation (non-RWA), secular approximation

We now move on to derive the Master equation for the non-RWA model. Using S(t) =ae−iΩt + a†eiΩt, we have

D ≡∫ ∞

0dτC(τ)S(−τ) =

∫ ∞0

dτC(τ)[aeiΩτ + a†e−iΩτ

]= C(−iΩ)a+ C(iΩ)a† ≡ c−a+ c+a

†

E ≡∫ ∞

0dτC∗(τ)S(−τ) =

∫ ∞0

dτC∗(τ)S†(−τ) = D†

= c∗+a+ c∗−a†, (2.174)

where we used the Laplace transform of C(τ),

C(z) ≡∫ ∞

0dτe−zτC(τ). (2.175)

We now note that C(z) = C12(z) + C21(z). In the secular approximation, one sets

C12(iΩ) ≡∫ ∞

0dωρ(ω)e−iωte−iΩt(1 + nB(ω))→ 0

C21(−iΩ) ≡∫ ∞

0dωρ(ω)eiωteiΩtnB(ω)→ 0. (2.176)

The real parts of C12(iΩ) and C21(−iΩ) are zero because δ(ω+Ω) yields no contributionfrom the integral (remember that Ω > 0). This approximation therefore neglects the


imaginary parts of C12(iΩ) and C21(−iΩ) which, however, do not lead to damping butonly to a renormalisation of the system Hamiltonian HS . For consistency, we thereforeneglect the imaginary parts of C12(−iΩ) and C21(iΩ) as well. Therefore,

c− + c+ ≈ 1

2(γ+ + γ) = πρ(Ω)[1 + 2nB(ω)]

c− − c+ ≈ 1

2(γ+ − γ) = πρ(Ω). (2.177)

Finally, we introduce a phase-space (x-p) representation: let us write

D =1√2

((c− + c+)x+ i (c− − c+) p) ≈ πρ(Ω)√2

(x coth

(βΩ

2

)+ ip

),

(2.178)

where we again used coth (βΩ/2) = 1 + 2nB(Ω). Using E = D†, one obtains the Masterequation from the Non-RWA Model in secular approximation,

d

dtρ = −i[HS , ρ]− πρ(Ω)

2coth

(βΩ

2

)(x2ρ+ ρx2 − 2xρx

)(2.179)

− iπρ(Ω)

2(xpρ− ρpx− pρx+ xρp) . (2.180)

2.6 The Quantum Jump (Quantum Trajectory) Approach

References: M. B. Plenio and P. L. Knight, Rev. Mod. Phys. 70, 101 (1998); H. Car-michael ‘An Open System Approach to Quantum Optics’, Springer Lecture Notes inPhysics m18, Springer (Berlin, Heidelberg, 1993).

2.6.1 Introduction

• Method for numerically solving Master equations in a Monte-Carlo-like simulation:wave functions instead of density matrix computational advantages.

• Restricted to Markovian Master equations of Lindblad form.

• Some regard it as more physical than usual density operator theory.

2.6.1.1 Motivation: telegraphic fluorescence (driven spontaneous emission) of single atoms

Example single V-systems: two upper levels 1 (fast spontaneous emission) and 2 (slowspontaneous emission), one lower level 0 driven by two lasers. Transition 0 → 2 trapsthe system in 2 for a long time. Resonance fluorescence intensity I(t) therefore exhi-bits jumps: ‘telegraphic fluorescence’ with random switching between bright and darkperiods. Aim: calculate distribution of dark periods.


Length TD of dark period can be simply calculated from the density matrix elementρ22

T−1D = ρ22(t = 0), ρ22 = 0, (2.181)

where the derivative is calculated from the underlying equation of motion (Master equa-tion). However, the calculation of other, more complicated quantities related to thedescription of telegraphic fluorescence turns out to be technically complicated withinthe Master equation formalism. Example: ‘exclusive probability’ P0(t) that, after anemission at time t = 0, no other photon has been emitted in the time interval [0, t].

• Some people raise ‘objections’ against the traditional Master equation approach:the density operator ρ describes ensembles of quantum systems and is thereforeinappropriate to describe single quantum systems such as a single ion in an iontrap. However, these objections are unjustified; as long as one sticks with the pro-babilistic interpretation of Quantum Mechanics, the density operator descriptionis perfectly valid for a single quantum system.

• ‘Single quantum systems’ can not only be realised in ion traps, but also in ‘artificialatoms’ and ‘artificial molecules’ (solid state based quantum dots, superconductingcharge or flux qubits). These will be discussed in a later chapter.

2.6.2 Unravelling and Decomposition into Histories

2.6.2.1 Super-Operators

We have another look at the (Markoffian) Master equation of the damped harmonicoscillator at zero temperature T = 0 (spontaneous emission only);

d



. (2.182)

Suppose we started from a pure state ρ(0) = |Ψ〉〈Ψ| at time t = 0: after a short time∆t, this would evolve according to

|Ψ〉〈Ψ| → |Ψ〉〈Ψ|+ ∆t(−iΩa†a− κa†aρ

)|Ψ〉〈Ψ|

(iΩa†a− κa†aρ

)+2κa|Ψ〉〈Ψ|a†

≡ |Ψ〉〈Ψ|+ ∆tL0|Ψ〉〈Ψ|+ L1|Ψ〉〈Ψ|

, (2.183)

where we defined the super-operators via

L0ρ ≡ −iHeffρ+ ρiH†eff , Heff ≡ H − iκa†a = Ωa†a− iκa†aL1ρ ≡ 2κaρa†. (2.184)


For pure states |Ψ〉〈Ψ|: L0 generates time-evolution with non-hermitian HamiltonianHeff , but L1 generates a quantum jump;

L0 : |Ψ〉 → −iHeff |Ψ〉L1 : |Ψ〉 →

√2κa|Ψ〉. (2.185)

The state a|Ψ〉 corresponds to a state with one photon less.

2.6.2.2 Decomposition into Histories

We may write the Master equation Eq.(2.182) as

d

dtρ(t) = (L0 + L1) ρ(t). (2.186)

This can be formally solved as follows: we define

ρ(t) ≡ e−L0tρ(t), L1(t) ≡ e−L0tL1eL0t (2.187)

d

dtρ(t) = −L0ρ(t) + e−L0t (L0 + L1) eL0tρ(t) = L1(t)ρ(t)

ρ(t) = ρ(0) +

∫ t

0dt1L1(t1)ρ(t1)

= ρ(0) +

∫ t

0dt1L1(t1)ρ(0) +

∫ t

0dt1

∫ t1

0dt2L1(t1)L1(t2)ρ(t2)

...

= ρ(0) +

∞∑n=1

∫ t

0dt1...

∫ tn

0dtnL1(t1)...L1(tn)ρ(0). (2.188)

Transforming back to ρ(t), we can explicitely write this as

ρ(t) = eL0tρ(0)

+

∞∑n=1

∫ t

0dt1...

∫ tn

0dtne

L0te−L0t1L1eL0t1e−L0t2L1e

L0t2 ...e−L0tnL1eL0tnρ(0)

= eL0tρ(0)

+∞∑n=1

∫ t

0dt1...

∫ tn

0dtne

L0(t−t1)L1eL0(t1−t2)L1e

L0(t2−t3)...eL0(tn−1−tn)L1eL0tnρ(0)

≡ eL0tρ(0) +∞∑n=1

∫ t

0dt1...

∫ tn

0dtnρc(t; t1, ..., tn), (2.189)

where we defined the un-normalised, conditioned ‘density matrix’ ρc(t; t1, ..., tn) at timet with n quantum jumps occuring at times t1, ..., tn. This object (the underlined term inEq.(2.189)) indeed corresponds to the original density matrix ρ(0), ‘freely’ time-evolvedwith the effective Hamiltonian Heff during the time intervals (0, tn], (tn, tn−1],... inter-rupted by n ‘jumps’ at times tn, tn−1, ..., t1. The total density matrix ρ(t) at time t thenis the sum over all possible ‘trajectories’ with n = 0, ...,∞ jumps occuring in between a‘free’, effective time evolution.


2.6.2.3 ‘Monte Carlo’ Procedure

The decomposition of histories can now be simulated on a computer in order to actuallysolve the Master equation. Here, we only describe the simplest version (spontaneousemission, no driving field), starting from a pure state |Ψ〉 of the total system. For moredetails, see Carmichael or Plenio/Knight.

Step 1: Fix a time step ∆t. Calculate the probability ∆P of photon emission;

∆P ≡ 2κ∆t〈Ψ|a†a|Ψ〉. (2.190)

Step 2: Compare ∆P with a random number 0 ≤ r ≤ 1 (unit distribution)

• For ∆P > r: ‘emission’, replace

|Ψ〉 → a|Ψ〉‖a|Ψ〉‖

(2.191)

• For ∆P ≤ r: no emission but time-evolution under effective Hamiltonian Heff ,

|Ψ〉 → (1− i∆tHeff)|Ψ〉(1−∆P )1/2

(2.192)

Step 3: Go back to Step 1.This procedure (performed with small time-steps ∆t up to a final time tfinal) yields a

‘curve’ of simulated states |Ψ(t)〉, t ∈ [0, tfinal] in the system Hilbert space HS . The pro-cedure is then repeated many times in order to obtain time-dependent averages 〈Ψ|θ|Ψ〉of observables θ.

The entire procedure yields a density operator ρ(t) = |Ψ〉〈Ψ| that solves the originalMaster equation, Eq.(2.182): in one time step ∆t, we have

ρ(t+ ∆t) = ∆Pa|Ψ(t)〉〈Ψ(t)|a†

‖a|Ψ(t)〉‖2+ (1−∆P )

(1− i∆tHeff)|Ψ(t)〉〈Ψ(t)|(1 + i∆tH†eff)

(1−∆P )1/2(1−∆P )1/2

= 2κ∆taρ(t)a† + ρ(t)− i∆t[H, ρ(t)] + κ∆t(a†aρ(t) + ρ(t)a†a

)+O(∆t)2

d

dtρ(t) = −i[H, ρ(t)]− κ


. (2.193)

Remarks:

• The splitting of L as L = L0 +L1 is not unique, there are ususally several ways ofhow to ‘unravel’ the Master equation.

• For more complicated Master equations, one has to extend and modify the aboveprocedure.


2.7 Phase Space Solution Methods

These are powerful methods to solve master equations containing oscillator modes a†.We discuss these methods here only for the Master equation of the damped harmonicoscillator in RWA,

d



− 2κnB(Ω)

a†aρ+ ρaa† − aρa† − a†ρa

. (2.194)

2.7.1 Wiederholung: Koharente Zustande

Wegen der großen Bedeutung der Leiteroperatoren a und a† kann man nach deren Ei-genzustanden fragen. Wir beginnen mit dem Absteigeoperator a und fordern

a|z〉 = z|z〉 (2.195)

mit dem zu bestimmenden Zustand |z〉 und dem Eigenwert z, der i.a. komplex sein kann,denn a ist ja nicht hermitesch. Wir setzen |z〉 als Linearkombination der Fock-Zustande|n〉 (Eigenzustande des Hamiltonians Hosc des harmonischen Oszillators) an,

|z〉 =∞∑n=0

cn|n〉. (2.196)

Wir erhalten eine Iterationsgleichung fur die Koeffizienten cn,

a|z〉 =

∞∑n=0

cn√n|n− 1〉 = z

∞∑n=0

cn|n〉

cn+1

√n+ 1 = zcn |z〉 = c0

∞∑n=0

zn√n!|n〉, (2.197)

und die Forderung nach Normierung fuhrt auf

1 = 〈z|z〉 = |c0|2e|z|2, (2.198)

was insgesamt den koharenten Zustand (Glauber-Zustand 4)

|z〉 = e−12|z|2

∞∑n=0

zn√n!|n〉 (2.199)

ergibt (der freie Phasenfaktor ist wieder gleich Eins gesetzt worden).

4 Roy J. Glauber, ∗1925, Nobelpreis 2005 fur die Entwicklung der Theorie der koharenten Zustandein der Quantenoptik


Ein spezieller koharenter Zustand ist naturlich der Grundzustand |z = 0〉 = |0〉 desharmonischen Oszillators, insgesamt gibt es aber (uberabzahlbar) viele (fur jedes z ∈ C).Im Ortsraum erhalt man deren Wellenfunktionen direkt aus

a|z〉 = z|z〉

(√mω

2~x− z +

√~

2mω∂x

)|z〉 = 0

(q −√

2z + ∂q

)Ψz(q) = 0, q ≡

√mω

~x

dΨz

Ψz= (

√2z − q)dq ln Ψz = −1

2q2 +

√2zq + c

Ψz(q) = Cze− 1

2q2+√

2zq, Cz Normierung . (2.200)

Das ist, wie man durch quadratische Erganzung des Exponenten sieht, eine verschobeneGauß-Funktion im Ortsraum! Fur z = 0 erhalten wir wieder die Wellenfunktion desGrundzustands, 〈x|0〉 = Ψ0(x).

Die Iteration Gl. (2.197) funktioniert allerdings nur bei den Eigenzustanden |z〉 desAbsteigeoperators a: Es gibt keine Eigenzustande des Aufsteigeoperators a† (AUFGA-BE). Wir konnen allerdings das hermitesch konjugierte der Definitionsgleichung a|z〉 =z|z〉 schreiben als

〈z|a† = z∗〈z| (2.201)

im Sinne des mit den Bra-Vektoren (Funktionalen) definierten Skalarproduktes: DasSkalarprodukt von a|z〉 mit einem beliebigen Ket |f〉 des Hilbertraums ist

(a|z〉, |f〉) = 5(|z〉, a†|f〉) = 6〈z|a†|f〉.

Man bezeichnet 〈z| dann als linker Eigenvektor von a†. Beachte, dass das z in 〈z| nichtkonjugiert komplex geschrieben wird, sondern explizit

〈z| = e−12|z|2

∞∑n=0

(z∗)n√n!〈n|. (2.202)

Es gilt also z.B. in Skalarprodukten

〈z|a|z〉 = 〈z|z〉z = z, 〈z|a†|z〉 = z∗. (2.203)

Wir schreiben den Orts- und Impulsoperator als

x =

√~

2mω

(a+ a†

), p = i

√m~ω

2

(a† − a

). (2.204)

5 Definition des adjungierten Operators6 ‘Mathematiker-Skalarprodukt’ in ‘Physiker-Skalarprodukt’ umschreiben


Fur deren Erwartungswerte in den koharenten Zustanden gilt dann also

〈z|x|z〉 =

√~

2mω

(〈z|a|z〉+ 〈z|a†|z〉

)=

√~

2mω(z + z∗) =

√~

2mω2Rez

〈z|p|z〉 = i

√m~ω

2

(〈z|a†|z〉 − 〈z|a|z〉

)= i

√m~ω

2(z∗ − z) =

√m~ω

22Imz

(2.205)

Die koharente Zustande haben weiterhin ein minimales Produkt der quantenmecha-nischen Unscharfe in Ort x und Impuls p. Wir formulieren zunachst allgemein (BEWEISals AUFGABE)

Satz 7. Seien A, B zwei Observablen (selbstadjungierte Hilbertraum-Operatoren) und|Ψ〉 ein Hilbertraum-Zustand. Dann gilt die Heisenbergsche Unscharferelation

〈(A− 〈A〉)2〉〈(B − 〈B〉)2〉 ≥ 1

4

∣∣∣〈[A, B]〉∣∣∣2 , 〈.〉 ≡ 〈Ψ|.|Ψ〉. (2.206)

Fur die koharenten Zustande gilt nun (AUFGABE)

〈(x− 〈x〉)2〉〈(p− 〈p〉)2〉 =~2

4, 〈A〉 ≡ 〈z|A|z〉, (2.207)

d.h. fur die |z〉 wird das Produkt der Unscharfen 〈(x− 〈x〉)2 und 〈(p− 〈p〉)2〉 von Orts-und Impulsoperator in der Heisenbergschen Unscharferelation minimal.AUFGABE 1: Beweisen Sie die Heisenbergsche Unscharferelation.AUFGABE 2a) Berechnen Sie fur den 1d harmonischen Oszillator die Zeitentwicklung|Ψ(t > 0)〉 eines koharenten Zustandes |Ψ(t = 0)〉 = |z〉 fur ein gegebenes komplexes z.Skizzieren Sie die Zeitentwicklung in der komplexen Ebene.AUFGABE 2b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung P (n), im koharentenZustand |Ψ(t)〉 eine Anzahl von n Energie-Quanten (Photonen, Phononen) zu finden.AUFGABE 3a) Zeigen Sie, daß die koharenten Zustande |z〉 eine vollstandige Basis imHilbertraum des 1d harmonischen Oszillators sind. Zeigen Sie hierzu∫

d2z

π|z〉〈z| =

∞∑n=0

|n〉〈n| = 1, (2.208)

wobei das Integral uber die gesamte komplexe Ebene lauft (Mass d2z ≡ dxdy fur z =x+ iy) und

∑∞n=0 |n〉〈n| die vollstandige Eins in der Basis der Fockzustande ist.

AUFGABE 3b) Zeigen Sie, daß die koharenten Zustande |z〉 keine Orthogonalbasis bil-den.AUFGABE 4) Betrachte Zustande im Hilbertraum H = L(R) (WF auf der reellenAchse). Sind die koharenten Zustande |z〉 die einzigen Zustande, fur die das Produktder Unscharfen von Orts- und Impulsoperator in der Heisenbergschen Unscharferelationminimal wird?


2.7.2 P -representation

The idea here is to convert the operator equation into a partial differential equation(PDE) for the P -representation of the reduced density operator ρ. The definition of theP -representation of an operator θ is (WALLS/MILBURN, CARMICHAEL)

θ =

∫d2z

πP (θ; z)|z〉〈z|. (2.209)

Remarks:1. Other authors use a definition without the 1/π.2. Some books write P (z) (instead of P (θ = ρ; z)) for the P -representation of the

density operator, and use the form

P (z) ≡ P (z, z∗) = Tr[ρδ(z∗ − a†)δ(z − a)

]. (2.210)

(again multiply this by π to get our P ).3. For coherent states ρ = |z0〉〈z0|, one has P (z) = πδ(z − z0).4. We have the Metha-formula,

P (θ; z) = e|z|2

∫d2z′

π〈−z′|θ|z′〉e|z′|2ezz′∗−z∗z′ . (2.211)

HERLEITEN.5. The P -distribution can be highly singular. Example: number state.In the following, we also need the followings derivatives:

Definition The Wirtinger derivatives are defined as

∂

∂z≡ 1

2

(∂

∂x− i ∂

∂y

),

∂

∂z∗≡ 1

2

(∂

∂x+ i

∂

∂y

). (2.212)

In particular, this definition provides an independence of the variables z and z∗:

∂

∂zz∗ =

1

2

(∂

∂x− i ∂

∂y

)(x− iy) = 0,

∂

∂z∗z = 0. (2.213)

The phase space functions defined in the following are then regarded as functions f(z, z∗)with z and z∗ as independent variables – they can alternatively be regarded as functionsof x and y, but the z, z∗ notation is often simpler and more convenient. Sometimes onewrites f(z) instead of f(z, z∗), but one has to keep in mind that this is only a shorthandnotation which must not be confused with that used for, e.g., holomorphic functions ofone complex variable.

We also have the complex delta distribution (CARMICHAEL) as

δ(2)(α) ≡∫d2z

π2e−iz

∗α∗−izα = δ(2)(α∗), α ∈ C. (2.214)


TASK: CHECK this by direct calculation of the integral.In order to transform the master equation, we require the P -representation of terms

like aρa† etc. Let us start with a†ρ.Method 1: We follow Walls/Milburn and introduce Bargmann states

||z〉 ≡ e|z|2/2|z〉 ≡∑n

zn

(n!)1/2|n〉, (2.215)

(‘coherent states without the normalisation factor in front’). Therefore (CHECK as anexercise),

a†||z〉 =∂

∂z||z〉, 〈z||a =

∂

∂z∗〈z||. (2.216)

We use this to write

ρ =

∫d2z

π||z〉〈z||e−|z|2P (z) (2.217)

a†ρ =

∫d2z

πa†||z〉〈z||e−|z|2P (z) =

∫d2z

π

[∂

∂z||z〉]〈z||e−|z|2P (z)

= −∫d2z

π||z〉〈z|| ∂

∂ze−zz

∗P (z) =

∫d2z

π||z〉〈z||e−|z|2

(z∗ − ∂

∂z

)P (z),

using integration by parts, ∂∂z 〈z|| = 0, and assuming the vanishing of P (z) at infinity.

Comparison yields

a†ρ↔(z∗ − ∂

∂z

)P (z). (2.218)

Method 2: Use the Metha formula for θ = a†ρ,

P (a†ρ; z) = e|z|2

∫d2z′

π〈−z′|a†ρ|z′〉e|z′|2ezz′∗−z∗z′

= ezz∗∫d2z′

π(−z′∗)〈−z′|ρ|z′〉e|z′|2ezz′∗−z∗z′ =

=

[− ∂

∂z+ z∗

](ezz

∗)

∫d2z′

π〈−z′|ρ|z′〉e|z′|2ezz′∗−z∗z′ . (2.219)

Here, we generate −z′∗ in the integral by differentiation with respect to the parameterz and subsequent compensation of the term aring from ezz

∗, thus arriving even faster at

Eq.(2.218). Similarly,

P (ρa; z) = ezz∗∫d2z′

π〈−z′|ρ|z′〉z′e|z′|2ezz′∗−z∗z′ =

=

[− ∂

∂z∗+ z

](ezz

∗)

∫d2z′

π〈−z′|ρ|z′〉e|z′|2ezz′∗−z∗z′ . (2.220)


For the terms a†aρ, the first method is easier:

a†aρ =

∫d2z

πa†a||z〉〈z||e−|z|2P (z) =

∫d2z

π

[∂

∂z||z〉]〈z||e−|z|2zP (z)

= −∫d2z

π||z〉〈z|| ∂

∂ze−zz

∗zP (z) =

∫d2z

π||z〉〈z||e−|z|2

(z∗ − ∂

∂z

)zP (z)

ρa†a =

∫d2z

π||z〉〈z||a†ae−|z|2P (z) =

∫d2z

π||z〉

[∂

∂z∗〈z||]e−|z|

2z∗P (z)

= −∫d2z

π||z〉〈z|| ∂

∂z∗e−zz

∗z∗P (z) =

∫d2z

π||z〉〈z||e−|z|2

(z − ∂

∂z∗

)z∗P (z)

aρa† =

∫d2z

πa||z〉〈z||a†e−|z|2P (z) =

∫d2z

π||z〉〈z||e−|z|2zz∗P (z)

a†ρa =

∫d2z

π

[∂

∂z||z〉] [

∂

∂z∗〈z||]e−|z|

2P (z) =

∫d2z

π||z〉〈z|| ∂

∂z∗∂

∂ze−|z|

2P (z)

=

∫d2z

π||z〉〈z||e−|z|2

(z − ∂

∂z∗

)(z∗ − ∂

∂z

)P (z).

In particular, for the master equation we needa†aρ+ ρa†a− 2aρa†

↔

(z∗ − ∂

∂z

)z +

(z − ∂

∂z∗

)z∗ − 2zz∗

P (z)

= − ∂

∂zz +

∂

∂z∗z∗P (z) = −

z∂

∂z+ z∗

∂

∂z∗+ 2P (z)

a†aρ+ ρ(a†a+ 1)− aρa† − a†ρa↔

(z∗ − ∂

∂z

)z +

(z − ∂

∂z∗

)z∗ + 1

− zz∗ −(z − ∂

∂z∗

)(z∗ − ∂

∂z

)P (z)

=− ∂

∂zz + z

∂

∂z+ 1 +

∂

∂z∗∂

∂z

P (z) =

∂

∂z∗∂

∂zP (z)[

a†a, ρ]↔

[− ∂

∂zz +

∂

∂z∗z∗]P (z) =

[−z ∂

∂z+ z∗

∂

∂z∗

]P (z).

The whole master equation is therefore transformed into

∂

∂tP (z, t) =

2κ+ i

[Ω− iκ

]z∂

∂z− i[Ω + iκ

]z∗

∂

∂z∗+ 2κnB

∂2

∂z∗∂z

P (z, t) (2.221)

Here, we have explicitely indicated that the P -function depends both on z and on thetime t.Remarks:

• The first order derivate terms are called drift terms, the second order derivateterms diffusion term.


• This is not directly solvable by Fourier transformation: z,z∗-dependence of coeffi-cients.

• Written in real coordinates, this has the form of a Fokker-Planck equation

∂

∂tP (x) =

−∑j

∂

∂xjAj(x) +

1

2

∑ij

∂

∂xi

∂

∂xjDij(x)

P (x) (2.222)

2.7.3 Zero temperature

In this case, we only have first order derivatives. There is a (more or less) completetheory of first order PDEs: they are solved by the method of characteristics (cf. Cou-rant/Hilbert).

We write the PDE as∂

∂t− i[Ω− iκ

]z∂

∂z+ i[Ω + iκ

]z∗

∂

∂z∗

P (z, z∗t) = 2κP (z, z∗t) (2.223)

and consider the function P (z, z∗, t) on trajectories z = z(t) and z∗ = z∗(t) whereP (z, z∗, t) = P (z(t), z∗(t), t). We regard the l.h.s. of Eq.(2.223) as a total differential.Along the trajectories, the temporal change of P is

d

dtP (z(t), z∗(t), t) = z(t)∂z + z∗(t)∂z∗ + ∂tP (z(t), z∗(t), t)

= 2κP (z(t), z∗(t), t) (2.224)

Comparison yields

z(t) = −i[Ω− iκ

]z(t) z(t) = z0e

−i[Ω−iκ]t

z∗(t) = i[Ω + iκ

]z∗(t) z∗(t) = z∗0e

i[Ω+iκ]t. (2.225)

On the other hand, ddtP = 2κP yields

P (z(t), z∗(t), t) = e2κtP0(z0, z∗0). (2.226)

Here, P0 is the initial condition for P , with z0 = z(t = 0) and z∗0 = z∗(t = 0). This looksvery innocent but has a deep physical (and geometrical) meaning: we can trace back ourtrajectories z(t),z∗(t) to their origin z0, z∗0 , writing

z0 = z(t)e+i[Ω−iκ]t, z∗0 = z∗(t)e−i[Ω+iκ]t. (2.227)

We thus have expressed the inital values z0, z∗0 in terms of the ‘final’ values z(t),z∗(t).Insertion into Eq.(2.226) yields

P (z(t), z∗(t), t) = e2κtP0

(z(t)e+i[Ω−iκ]t, z∗(t)e−i[Ω+iκ]t

). (2.228)


We now write again z and z∗ instead of z(t), z∗(t), and therefore have

P (z, z∗, t) = e2κtP0

(ze+i[Ω−iκ]t, z∗e−i[Ω+iκ]t

). (2.229)

AUFGABE: Berechne damit die Zeitentwicklung eines ursprunglich reinen Einfangs-zustandes |z0〉. Hinweis: beweise und benutze δ(2)

(αreiφ

)= 1

r2 δ(2)(α) fur die komplexe

Delta-Funktion.

2.7.4 Finite temperatures

Since we know the solution for nB = 0, we perform a transformation of variables andseek the solution for nB > 0 in the form

P (z, z∗t) = F (u, u∗, s), u = ze+i[Ω−iκ]t, u∗ = z∗e−i[Ω+iκ]t, s = t, (2.230)

which leads to

∂tP =(i[Ω− iκ

]ze+i[Ω−iκ]t∂u − i

[Ω + iκ

]z∗e−i[Ω+iκ]t∂u∗ + ∂s

)F (u, u∗, s)

=(i[Ω− iκ

]z∂z − i

[Ω + iκ

]z∗∂z∗

)P (z, z∗t) + ∂sF (u, u∗, s)

=(i[Ω− iκ

]z∂z − i

[Ω + iκ

]z∗∂z∗ + 2κ+ 2κnB∂z∂z∗

)P (z, z∗t), (2.231)

where in the last line we compared with the original PDE. Therefore, one has

∂sF (u, u∗, s) = 2κF (u, u∗, s) + 2κnB∂z∂z∗P (z, z∗t)

= 2κF (u, u∗, s) + 2κnBe2κs∂u∂u∗F (u, u∗, s), (2.232)

where we used ∂z∂z∗ = e2κs∂u∂u∗ , cf. Eq.(2.230). The big advantage now is that we havegot rid of the first order derivatives with the z,z∗-dependent coefficients. Eq.(2.232) isnow a standard diffusion equation with time (s = t)-dependent coefficients, which canbe solved by Fourier transformation:

Reminder: complex Fourier transformation

Delta function δ(w) =

∫d2z

(2π)2e−izw, w, z ∈ C

Fourier Trafo f(w) ≡∫d2zeizwf(z), f(z) =

∫d2w

(2π)2e−izwf(w)

scalar product zw ≡ 1

2(zw∗ + z∗w) = (z1, z2)

(w1

w2

)(2.233)

Reminder: Gauß integrals∫ ∞−∞

dxe−ax2+bx =

√π

aeb2

4a , <a > 0 (2.234)∫d2w

(2π)2e−izwe−

a4ww =

1

πae−|z|2a . (2.235)


We now Fourier-transform Eq.(2.232), ∂sF = (2κ+ 2κnBe2κs∂u∂u∗)F , to obtain

∂sF (w,w∗, s) =

(2κ+ 2κnBe

2κs

(−1

4ww

))F (w,w∗, s) (2.236)

F (w,w∗, s) = exp

2κs− 1

4nB(e2κs − 1

)ww

F (w,w∗, s = 0)

F (u, u∗, s) =

∫d2w

(2π)2e−iuw exp

2κs− 1

4nB(e2κs − 1

)ww

F (w,w∗, s = 0)

=

∫d2u′

∫d2w

(2π)2e−i(u−u

′)we2κs−14nB(e2κs−1)wwF (u′, u′∗, s = 0)

=e2κs

πnB (e2κs − 1)

∫d2u′ exp

− |u− u′|2

nB (e2κs − 1)

F (u′, u′∗, s = 0)

Now we remember u = ze+i[Ω−iκ]t, s = t, and write u′ = z′ in F (u′, u′∗, s = 0) =P (z′, z′∗, t = 0), to find

P (z, z∗, t) =

∫d2z′

1

πnB (1− e2κt)exp

−|ze

+i[Ω−iκ]t − z′|2

nB (e2κt − 1)

P (z′, z′∗, t = 0)

=

∫d2z′

1

πnB (1− e−2κt)exp

−|z − z

′e−i[Ω−iκ]t|2

nB (1− e−2κt)

P (z′, z′∗, t = 0)

≡∫d2z′G(z, z′; t)P (z′, z′∗, t = 0),

G(z, z′; t) ≡ 1

πnB (1− e−2κt)exp

−|z − z

′e−i[Ω−iκ]t|2

nB (1− e−2κt)

. (2.237)

This is the solution of the initial value problem of the PDE: we have explicitely con-structed the propagator G(z, z′; t) and expressed the solution of the PDE at times t > 0in terms of the initial P -distribution P (z′, z′∗, t = 0).

2.7.5 W -representation (Wigner function)

An alternative phase-space method is to convert the operator master equation into aPDE for the Wigner function W (A; z) of an operator A. The formula for the Wignerfunction of an operator product AB is

W (AB; z) = W (A; z) exp

[1

2

(←−∂ z−→∂ z∗ −

←−∂ z∗−→∂ z

)]W (B; z) (2.238)


We obtain

W (a) = z, W (a†) = z∗

W (a†a) = z∗(

1 +1

2(∂z∂z∗ − ∂z∗∂z)

)z = z∗z − 1

2

W (a†aρ) =

(z∗z − 1

2

)(1 +

1

2(∂z∂z∗ − ∂z∗∂z) +

1

8(∂z∂z∗ − ∂z∗∂z) (∂z∂z∗ − ∂z∗∂z)

)W (ρ)

=

(z∗z − 1

2

)W (ρ) +

1

2z∗∂z∗W (ρ)− 1

2z∂zW (ρ)− 2

8∂z∂z∗W (ρ)

W (ρa†a) = W (ρ)

(1 +

1

2(∂z∂z∗ − ∂z∗∂z) +

1

8(∂z∂z∗ − ∂z∗∂z) (∂z∂z∗ − ∂z∗∂z)

)(z∗z − 1

2

)=

(z∗z − 1

2

)W (ρ)− 1

2z∗∂z∗W (ρ) +

1

2z∂zW (ρ)− 2

8∂z∂z∗W (ρ) (2.239)

Similarly,

W (aρ) = z

(1 +

1

2(∂z∂z∗ − ∂z∗∂z)

)W (ρ) = zW (ρ) +

1

2∂z∗W (ρ)

W (aρa†) =

(zW (ρ) +

1

2∂z∗W (ρ)

)(1 +

1

2(∂z∂z∗ − ∂z∗∂z)

)z∗

=

(zz∗W (ρ) +

1

2z∗∂z∗W (ρ)

)+

1

2∂z(zW (ρ)) +

1

4∂z∂z∗W (ρ)

W (a†ρ) = z∗(

1 +1

2(∂z∂z∗ − ∂z∗∂z)

)W (ρ) = z∗W (ρ)− 1

2∂zW (ρ)

W (a†ρa) =

(z∗W (ρ)− 1

2∂zW (ρ)

)(1 +

1

2(∂z∂z∗ − ∂z∗∂z)

)z

=

(zz∗W (ρ)− 1

2z∂zW (ρ)

)− 1

2∂z∗(z

∗W (ρ)) +1

4∂z∂z∗W (ρ)

(2.240)

Thus, a†aρ+ ρa†a− 2aρa†

↔ −

2 + z∂z + z∗∂z∗ + ∂z∂z∗

W (ρ)

a†aρ+ ρ(a†a+ 1)− aρa† − a†ρa↔ −∂z∂z∗W (ρ)[

a†a, ρ]↔ (z∗∂z∗ − z∂z)W (ρ). (2.241)


Therefore, the master equation Eq.(2.194) is converted into

∂

∂tW (z, t) = −iΩ (z∗∂z∗ − z∂z)W (z, t) + κ

2 + z∂z + z∗∂z∗ + ∂z∂z∗

W (z, t)

+ 2κnB(Ω)∂z∂z∗W (z, t)

= 2κ + i[Ω− iκ

]z∂

∂z− i[Ω + iκ

]z∗

∂

∂z∗+ κ[1 + 2nB]

∂2

∂z∗∂z

W (z, t).

(2.242)

We compare this with the PDE for the P -function, Eq.(2.221):

∂

∂tP (z, t) =

2κ+ i

[Ω− iκ

]z∂

∂z− i[Ω + iκ

]z∗

∂

∂z∗+ 2κnB

∂2

∂z∗∂z

P (z, t)

The difference is just in the diffusion term, i.e., 1 + 2nB in the Wigner representationinstead of 2nB in the P representation. In the Wigner representation, even at zero tem-perature T = 0 (nB = 0) one has a diffusion term in the PDE. Technically, the solutionproceeds as before: one first solves the first order part via characteristics and then thediffusive part via Fourier transformation.

• A similar derivation can be done for the Q-representation, cf. Walls/Milburn. TheQ-representation is more convenient for systems where the initial oscillator state issqueezed, or the decay is into a bath not in thermal equilibrium but in a squeezedstate.

2.7.6 Remarks

Phase space methods are powerful tools for solving Master equations. The resultingPDEs, however, are often non-trivial and cannot be solved exactly. This is particularlytrue if more than one degree of freedom is involved and one has to solve systems ofPDEs.

Systems of partial differential equations are really complicated beasts: in contrastto systems of ordinary differential equations, they are not equivalent to a single PDEof higher order, cf. the discussion in Courant/Hilbert ‘Methoden der MathematischenPhysik’.

Related problems occur in the theory of the laser, where one has to deal with PDEscontaining derivatives up to infinite order. This is discussed in the book by Scully/Lamb.Another, very recent challenge are systems of Master equations with non-linear couplingsbetween bosonic and electronic degrees of freedom in nano-electromechanical systems.

2.8 Master equation for the two-level system

Assume a system with Hilbert space H = C2 with basis vectors (1, 0)† and (0, 1)†. Ingeneral, a ‘System’-Hamiltonian will have the form of the Hamiltonian of a Pseudo Spin


12 in a (time-dependent) classical pseudo magnetic field B(t) (c-number),

HS(t) ≡ B(t)~σ, ~σ =

σxσyσz

. (2.243)

• Note that for a time-dependent B(t), the free Schrodinger equation with HS(t)only is in general not analytically solvable. For an isolated two-level system (HS(t)only), this is not a problem because one can easily solve a two-by two differentialequation on a computer. However, problems start when it comes to system-bathHamiltonians. Many of the ‘simpler’ system bath theories implicitely assume thatthe time-evolution under Hs is trivial (which it is for constant B(t) = B).

• Some special cases are analytically solvable: Landau-Zener-Rosen tunneling (Land-au 1932).

• For a periodic time-dependence of B(t): Floquet theory (Shirley 1965).

• The wave function can aquire a geometrical phase (Berry phase, Berry 1984).

Assume a ‘bath’ of bosonic modes Q (the index Q contains all quantum numbers of that

mode) with creation operator a†Q. The simplest interaction between the two-level system

and the bath is linear in a†Q and aQ and can be written with coupling constant vectorsgQ(t),

HSB(t) ≡ A(t)~σ ≡∑Q

(gQ(t)a†Q + g†Q(t)aQ

)~σ. (2.244)

Note that A(t) can be regarded as a fluctuating (quantum operator) pseudo magneticfield. The simplest Hamiltonian for a bosonic bath is

HB =∑Q

ωQa†QaQ. (2.245)

• Example: free photons, ωQ = c|Q|.

• Example: phonons in crystals. However, more realistic Hamiltonians would containphonon-phonon interaction. In particular, in order to explain the thermal expan-sion of materials one needs boson-boson interaction ( ‘Gruneisen parameter’),cf. N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, ‘Solid State Physics’, Saunders College(Philadelphia, 1976).

• Photonic or phononic crystals or cavities have more complicated bandstructu-res and nontrivial dispersion relations ω = ωQ. Example: Phonon cavities in 2-dimensional thin elastic plate, Rayleigh-Lamb waves; cf. L. D. Landau and E. M. Lifs-hitz, ‘Theory of Elasticity’, Vol. 7 of Landau and Lifshitz, Course of TheoreticalPhysics (Pergamon Press, 1970); B. Auld, ‘Acousic Fields and Waves’, (Wiley, NewYork, 1973).


Further Remarks: 1. Coupling to non-bosonic baths: this is a relatively unexploredfield. The most prominent examples are spin-baths, where the system is coupled to acollection of spins or other two-level systems. Connection to theory of glasses.2. Dissipative dynamics of qubit with geometrical phase: this is the topic of some currentactivities, cf. (Y. Makhlin et al. etc.)

2.8.1 Atom + Electrical Field

Assume a single electron within an atom, described as a two-level system with states|g〉 (ground state), |e〉 (excited state), and energy difference ~ω0 between ground andexcited state. Then,

Hatom =~ω0

2σz, σz ≡

(1 00 −1

)≡ |e〉〈e| − |g〉〈g|. (2.246)

Remember

σx ≡(

0 11 0

), σy ≡

(0 −ii 0

), σz ≡

(1 00 −1

)σ− ≡

(0 01 0

), σ+ ≡

(0 10 0

)σ± =

1

2(σx ± iσy), σx = σ+ + σ−, σy = −i(σ+ − σ−)

[σ+, σ−] = σz, [σz, σ±] = ±2σ±. (2.247)

2.8.2 Dipole Approximation and RWA

Consider an electrical field in the form of a linearly polarised, monochromatic plain wavewith wave vector k,

E(r, t) = E cos(kr− ωt). (2.248)

Describe the interaction of the atom with the electrical field in dipole approximation: theenergy of a dipole d in a field E(r, t) is given by −dE(r, t). Treating the field classically,we obtain the time-dependent dipole Hamiltonian

HL(t) = −〈g|dE(r, t)|e〉|g〉〈e| − 〈e|dE(r, t)|g〉|e〉〈g|≈ − (~Ωσ− + ~Ω∗σ+) cos(ωt), (2.249)

where we used kr 1 in the overlap integral (wave length dimension of atom, ‘dipoleapproximation’), and introduced

σ− ≡ |g〉〈e|, σ+ ≡ |e〉〈g|. (2.250)

and the Rabi frequency

Ω ≡ 1

~〈g|dE|e〉, (2.251)


which in general is a complex number. The total system Hamiltonian therefore is

HS(t) = Hatom +HL(t) =~ω0

2σz − (~Ωσ− + ~Ω∗σ+) cos(ωt). (2.252)

One usually assumes real Ω = Ω∗, in this case we can formally write HS(t) = B(t)~σ with

B(t) =

−~Ω cos(ωt)0

12~ω0

. (2.253)

We introduce the System Hamiltonian HRWAS (t) in rotating wave approximation

(RWA) by writing cos(ωt) = 12(eiωt + e−iωt) and neglecting the counter-rotating terms

σ−e−iωt and σ+e

iωt

HRWAS (t) ≡ ~ω0

2σz −

(~Ω

2σ−e

iωt +~Ω

2σ+e

−iωt). (2.254)

In this case, HRWAS (t) = BRWA(t)~σ with

BRWA(t) =

−12~Ω cos(ωt)−1

2~Ω sin(ωt)12~ω0

(2.255)

2.8.3 Spontaneous Emission (Atom without Driving Field)

The microscopic interaction between a two-level atom and a photon bath is via a coupling

(aQ + a†Q)(σ+ + σ−) = (aQ + a†Q)σx, (2.256)

cf. Walls/Milburn, Carmichael, Baym or other quantum optics (quantum mechanics)books. Comparing with our generic form Eq.(2.244),

HSB(t) ≡ A(t)~σ ≡∑Q

(gQ(t)a†Q + g†Q(t)aQ

)~σ,

this case would correspond to a (time-independent) coupling vector gQ(t) = g†Q(t) =(gQ, 0, 0). Within the RWA, this interaction is further simplified by neglecting the ‘counter-rotating’ terms and by writing

gQ =1

2γQ

1−i0

, γQreal. (2.257)

Assuming a free photon bath, the total Hamiltonian then is


= HS +∑Q

γQ(aQσ+ + a†Qσ−) +∑Q

ωQa†QaQ. (2.258)


2.8.4 Mapping onto harmonic oscillator master equation

We now use the fact that HSB has the same form as for the damped single bosonic modeif we identify σ+ → a†, σ− → a. We can therefore ‘copy’ the derivation of the masterequation of the damped harmonic oscillator, as long as no commutation relations areused! This is the case up to Eq.(2.154),

d

dtρ(t) = −i[Ωa†a, ρ(t)]

− 1

2

[(γ+ + 2i∆+)a†a+ (γ + 2i∆)aa†

]ρ(t)

+ ρ(t)[(γ − 2i∆)aa† + (γ+ − 2i∆+)a†a

]− 2γ+aρ(t)a† − 2γa†ρ(t)a

, harmonic oscillator.

The interaction picture for the two-level atom is with respect to the Hamiltonian

H0 ≡ω0

2σz +HB σ±(t) = σ±e

±iω0t, σz(t) = σz. (2.259)

In the interaction picture, the Master equation for the two-level atom therefore reads

d

dtρ(t) = −1

2

[(γ+ + 2i∆+)σ+σ− + (γ + 2i∆)σ−σ+] ρ(t)

+ ρ(t) [(γ − 2i∆)σ−σ+ + (γ+ − 2i∆+)σ+σ−]

− 2γ+σ−ρ(t)σ+ − 2γσ+ρ(t)σ−

. (2.260)

We now use

σ+σ− =1

2(1 + σz) , σ−σ+ =

1

2(1− σz) , (2.261)

re-arrange and transform back into the Schrodinger picture,

d

dtρ(t) = −i1

2 (ω0 + ∆+ −∆) [σz, ρ]− 12γ+

σ+σ−ρ+ ρσ+σ− − 2σ−ρσ+

− 1

2γσ−σ+ρ+ ρσ−σ+ − 2σ+ρσ−

.

(2.262)

We recall (note that the harmonic oscillator frequency Ω has to be replaced by ω0)

γ+ ≡ 2πρ(ω0)[1 + nB(ω0)], γ ≡ 2πρ(ω0)nB(ω0)

∆+ −∆ ≡ δω0 ≡ P∫ ∞

0dωρ(ω)[1 + 2nB(ω)]

ω0 − ω. (2.263)

Remarks:

• In contrast to the harmonic oscillator, the energy shift ~δω0 is now temperaturedependent.

• The T = 0 contribution is the Lamb-shift within RWA.


2.8.5 Expectation Values, Einstein Equations, Bloch Equations

We can write the Master equation with the help of

σ− ≡ |g〉〈e|, σ+ ≡ |e〉〈g|, σ−σ+ = |g〉〈g|, σ+σ− = |e〉〈e|

d

dtρ(t) = −i1

2ω0[|e〉〈e| − |g〉〈g|, ρ]

− 1

2γ+

|e〉〈e|ρ+ ρ|e〉〈e| − 2|g〉〈e|ρ|e〉〈g|

− 1

2γ|g〉〈g|ρ+ ρ|g〉〈g| − 2|e〉〈g|ρ|g〉〈e|

. (2.264)

Taking matrix elements, we obtain

d

dt〈e|ρ|e〉 = −γ+〈e|ρ|e〉+ γ〈g|ρ|g〉 (2.265)

d

dt〈g|ρ|g〉 = +γ+〈e|ρ|e〉 − γ〈g|ρ|g〉 (2.266)

d

dt〈e|ρ|g〉 =

(−iω0 −

γ+ + γ

2

)〈e|ρ|g〉 (2.267)

d

dt〈g|ρ|e〉 =

(+iω0 −

γ+ + γ

2

)〈g|ρ|e〉. (2.268)

The first two equations for the diagonal elements (which are linearly dependent because〈e|ρ|e〉+ 〈g|ρ|g〉 = 1) are called Einstein equations. We can re-write the four equations,subtracting the second from the first, as three equations,

d

dt〈σz〉 = −(γ+ + γ)〈σz〉+ (γ − γ+)

ddt〈σ+〉 =

(+iω0 − γ++γ

2

)〈σ+〉

ddt〈σ−〉 =

(−iω0 − γ++γ

2

)〈σ−〉.

(2.269)

These equations are called Bloch equations. Introducing the relaxation time T1 and thedecoherence time T2,

T1 =1

2T2 ≡ (γ+ + γ)−1, (2.270)

we can write

d

dt〈σz〉 = − 1

T1(〈σz〉 − 〈σz〉∞) , 〈σz〉∞ ≡

γ − γ+

γ + γ+

d

dt〈σ+〉 =

(+iω0 −

1

T2

)〈σ+〉

d

dt〈σ−〉 =

(−iω0 −

1

T2

)〈σ−〉. (2.271)


2.9 Correlation Functions

(CARMICHAEL) Correlation functions are important since they can tell us a lot aboutthe dynamics of dissipative systems. Moreover, they are often directly related to expe-rimentally accessible quantities, such as photon or electron noise. In quantum optics,fluctuations of the photon field are expressed by correlations functions such as g(1)(τ)and g(2)(τ).

2.9.1 The Quantum Regression Theorem

We first discuss the correlation function of two system operators A and B

CBA(t, τ) ≡ 〈B(t)A(t+ τ)〉 ≡ Trtotal (ρtotal(0)B(t)A(t+ τ)) , τ > 0. (2.272)

We insert the time evolution of the operators within the framework of a Master equationin Born approximation,

ρtotal(t) = e−iHtχ(0)eiHt, B(t) = eiHtBe−iHt, A(t+ τ) = eiH(t+τ)Ae−iH(t+τ)

(2.273)

to find

CBA(t, τ) = Trtotal (ρtotal(0)B(t)A(t+ τ))

= Trtotal

(eiHtρtotal(t)Be

−iHteiH(t+τ)Ae−iH(t+τ))

= Trtotal

(e−iHτρtotal(t)Be

iHτA)

= Trtotal

(e−iHτρ(t)R0Be

iHτA)

Born Approximation

≡ TrS

(ATrBath

e−iHτρ(t)BR0e

iHτ)

≡ TrS

(ATrBath

e−iHτρB;tR0e

iHτ)

≡ TrS (AρB;t(τ)) . (2.274)

The correlation function can therefore be written as an expectation value of A with a‘modified system density matrix’ ρB;t(τ) which starts at τ = 0 as ρB;t(τ = 0) = ρ(t)Band evolves as a function of time τ > 0.

For the time-evolution of a system operator O according to

O(τ) ≡ TrBath

e−iHτ OR0e

iHτ, (2.275)

we can write a formal operator equation

d

dτO(τ) ≡ Lτ O(τ), (2.276)


where we introduced the super-operator Lτ .Example: Master equation for O = ρ(0) in Born and Markov approximation, cf.

Eq.(2.44)

d


−∑k

[SkDkρ(t)−Dkρ(t)Sk + ρ(t)EkSk − Skρ(t)Ek

].

It is important to realise that Lτ is a linear operator. We now assume that the systemhas a basis of kets |α〉 and express the linearity of Lτ by writing the matrix elementsof Lτ O(τ),

∂

∂τ〈α|O(τ)|β〉 = 〈α|Lτ O(τ)|β〉 =

∑γδ

∫ τ

0dτ ′Mαβ

γδ (τ, τ ′)〈γ|O(τ ′)|δ〉. (2.277)

with a time-dependent memory kernel as a fourth-order tensor M(τ, τ ′) that relates thematrix elements of the system operator O at earlier times to its matrix elements of the(time-evolved) system operator at later times.

Using A = |β〉〈α| in CBA, we now have

CB,|β〉〈α|(t, τ) = 〈α|ρB;t(τ)|β〉,d

dτCB,|β〉〈α|(t, τ) =

d

dτ〈α|ρB;t(τ)|β〉 = 〈α|LτρB;t(τ)|β〉

=∑γδ

∫ τ

0dτ ′Mαβ

γδ (τ, τ ′)〈γ|ρB;t(τ′)|δ〉

=∑γδ

∫ τ

0dτ ′Mαβ

γδ (τ, τ ′)CB,|δ〉〈γ|(t, τ′) (2.278)

Introducing

k ≡ (αβ), l ≡ (γδ)

Ak ≡ |β〉〈α|, Mαβγδ (τ, τ ′) ≡Mkl(τ, τ

′), (2.279)

we convert the tensor equation into a vector equation,

d

dτCB,Ak(t, τ) =

∑l

∫ τ

0dτ ′Mkl(τ, τ

′)CB,Al(t, τ′) (2.280)

which can be written in compact form using the vector of operators,

A ≡

A1

A2

..Ak..

. (2.281)


In vector and matrix notation, we thus obtain the quantum regression theorem ,

d

dτ〈B(t)A(t+ τ)〉 =

∫ τ

0dτ ′M(τ, τ ′)〈B(t)A(t+ τ ′)〉, τ > 0. (2.282)

So far, we have not made use of the Markov approximation. 7 It turns out, however,that this results really only holds for Markovian Master equations. Within the Markovapproximation, one then has a simple time-local differential (tensor) equation instead ofan integro-differential (tensor) equation:

∂

∂τ〈α|O(τ)|β〉 = 〈α|Lτ O(τ)|β〉 =

∑γδ

Mαβγδ 〈γ|O(τ)|δ〉 (2.283)

This then leads is to the usual form of the quantum regression theorem as discussed inmany textbooks;

d

dτ〈B(t)A(t+ τ)〉 = M〈B(t)A(t+ τ)〉, τ > 0. (2.284)

The correlation function thus obeys the same equation of motion (it has the same matrixM) as the expectation value 〈α|O(τ)|β〉. For τ < 0, the derivation of the quantumregression theorem is analogous to the case τ > 0.

2.9.2 Die Wartezeitenverteilung w(τ)

Wir kommen jetzt noch einmal auf die Zerlegung Gl. (2.135) der Mastergleichung (hierohne Zahlfelder)

ρ = Lρ ≡ L0ρ+ J ρ, J ≡M∑k=1

Jkρ (2.285)

mit M Sprungoperatoren Jk zuruck, die zu einer Zeitentwicklung

ρ(t) = eL0tρ(0) (2.286)

+∞∑n=1

∫ t

0dtn...

∫ t2

0dt1e

L0(t−tn)J eL0(tn−tn−1)J eL0(tn−1−tn−2)...eL0(t2−t1)J eL0t1ρ(0)

fuhrt, in der Quantensprunge (beschrieben durch Jump-Superoperatoren Jk) eine nicht-unitare Zeitentwicklung (beschrieben durch eL0(ti+1−ti)) unterbrechen. Diese Zerlegungist nicht eindeutig - sie hangt von der Wahl Aufspaltung des Gesamt-Liouvillians ab.

7 The first derivation of the quantum regression theorem has been given by Melvin Lax, Phys. Rev.129, 2342 (1963). He emphasises that the only approximation one needs is the factorisation (in ournotation ρtotal(t) = ρ(t)R0, Born approximation). In the ‘Note added in proof’ in his paper he statesthat the derivation therefore is correct even for non-Markovian systems.


Man kann sich z.B. bei einer Messung nur fur einen der M Sprungtypen interessieren,z.B. J1, was dann zur selben Mastergleichung

ρ = L′0ρ+ J1ρ (2.287)

fuhrt, die aber ein anderes Wechselwirkungsbild (‘unravelling’) induziert.Wir fragen jetzt nach der Wahrscheinlichkeitsverteilung wkl(τ) der Zeitintervalle τ

zwischen zwei Quantensprungen vom Typ l (zuerst) und vom Typ k (danach) im stati-onaren Zustand ρ0 der Mastergleichung, d.h. ein Zustand mit Lρ0 = 0. 8 Beispielsweisekann es sich um die Zeit zwischen zwei Photonen-Emissionen handeln. Der Zustandentwickelt sich nach zwei solcher Sprungen gemaß

ρ0 → JkeL0τJlρ0, (2.288)

und wir setzen die Wahrscheinlichkeitsverteilung wkl(τ) deshalb proportional zur Spuruber diese Große an, da uns die internen Freiheitsgrade des Systems nicht interessieren;

wkl(τ) ≡ TrJkeL0τJlρ0

Il, Il ≡ TrJlρ0. (2.289)

Der Faktor mit dem Strom Il ≡ TrJlρ0 ist hier so gewahlt, dass eine sinnvolle Normie-rungsbedingung erfullt wird. Um das einzusehen, erinnern wir uns noch einmal an unsereSuper-Bra-Ket-Notation;

|ρ〉〉 = (ρ11, ρ22, ..., ρNN ,=ρ12,<ρ12, ...,<ρNN−1)T , Dichtematrix als Vektor

|0〉〉 = ρ0, Lρ0 = 0, Stationarer Zustand

〈〈0| = (1, 1, ...1, 0, 0...0), Zeilenvektor fur Normierung

〈〈0|0〉〉 = 1, Normierung des stationaren Zustands. (2.290)

Wir betrachten wieder unser Standard-Beispiel des Single-Level-Dots im Grenzfall un-endlicher Spannung;

∂

∂t|ρ〉〉 ≡ L|ρ〉〉, |ρ〉〉 ≡ (p0, p1)T , L ≡

(−ΓL ΓRΓL −ΓR

), (2.291)

wobei wir hier nur die Diagonalmatrixelemente p0,1 der Dichtematrix betrachten, da dieKoharenzen entkoppeln, vgl. Gl. (2.133). Die Sprung-Superoperatoren sind

JR =

(0 ΓR0 0

)= |R〉〉〈〈R|, |R〉〉 = (1, 0)T , 〈〈R| = (0,ΓR) (2.292)

JL =

(0 0

ΓL 0

)= |L〉〉〈〈L|, |L〉〉 = (0, 1)T , 〈〈L| = (ΓL, 0). (2.293)

8 vgl. T. Brandes, Ann. Phys. (Berlin) 17, 477 (2008).


Wir haben sie hierbei als dyadisches Produkt eines Spaltenvektors (Super-Ket) mit einemZeilenvektor (Super-Bra) geschrieben. Dadurch wird auch die Interpretation der Sprung-Superoperatoren klar: es gilt z.B.

JR(r0

r1

)= |R〉〉〈〈R|

(r0

r1

)= ΓRr1|R〉〉. (2.294)

Aus dem Zustand

(r0

r1

)wird der Leer-Zustand des Dots |R〉〉 =

(10

), namlich mit

der Wahrscheinlichkeit ΓRr1 pro Zeit.Allgemein schreiben wir die Sprung-Superoperatoren in Gl. (2.285) jetzt in der Form

Jk ≡ |k〉〉〈〈k|, k = 1, ...,M, (2.295)

so dass die |k〉〉 System-‘Zustande’ nach dem Sprung vom Typ k sind. 9 Im obigen Beispielentspricht z.B. k = 1 = R, k = 2 = L. Fur die Wartezeitenverteilung wkl(τ) gilt dann

wkl(τ) ≡ 〈〈k|eL0τ |l〉〉〈〈l|0〉〉〈〈l|0〉〉

= 〈〈k|eL0τ |l〉〉, (2.297)

d.h. die stationaren Strome Il = 〈〈l|0〉〉 kurzen sich gerade weg und es bleibt das Matri-xelement der Nichtsprung-Zeitentwicklung im Liouvilleraum.

Jetzt definieren wir den Super-OperatorWl(z) als Laplace-Transformierte von eL0τJl,

Wl(z) ≡ (z − L0)−1Jl, (2.298)

wodurch die Laplace-Transformierte von wkl(z) als

wkl(z) ≡∫ ∞

0dte−ztwkl(t) =

TrJkWl(z)ρ0

TrJlρ0= 〈〈k|(z − L0)−1|l〉〉 (2.299)

geschrieben werden kann. Fur jeden anfanglichen Sprung vom Typ l muss die Warte-zeitenverteilung wkl(τ) bei Summation uber alle folgenden Sprunge vom Typ k sowieIntegration uber alle Zeiten τ ≥ 0 insgesamt Eins ergeben. Diese Normierung folgt inder Tat aus∫ ∞

0dτ∑k

wkl(τ) =∑k

wkl(0)

= −〈〈0|(L − L0)L−10 Jl|0〉〉

Il=〈〈0|Jl|0〉〉

Il= 1. (2.300)

9 Allgemein betrachten wir einen Sprung-Superoperator Jkρ ≡ γkJkρJ†k aus der Lindblad-Form einerMastergleichung. Wir zerlegen |k〉〉 in der System-Basis |n〉 in alle Eintrage (auch Ausserdiagonalele-mente), |k〉〉 =

∑nm ρ

knm|n〉〈m|. Dann ist in der dyadischen Schreibweise

γk〈n|JkρJ†k |m〉 = 〈n|k〉〉|m〉〈〈k|ρ = ρknm〈〈k|ρ, (2.296)

wobei 〈〈k|ρ hier als gewohnliches Skalarprodukt (Zeilen- mal Spaltenvektor) eine Zahl ist.


Hierbei haben wir benutzt, das 〈〈0| linker Eigenvektor des gesamten Liouvillians L ist,〈0|L = 0, was gerade die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit zum Ausdruck bringt.

AUFGABE: Wir betrachten wieder den Single-Level-Dot im Grenzfall unendlicherSpannung;

∂

∂t|ρ〉〉 ≡ L|ρ〉〉, |ρ〉〉 ≡ (p0, p1)T , L ≡

(−ΓL ΓRΓL −ΓR

)= L0 + JR, (2.301)

wobei in der Zerlegung hier nur die rechtsseitigen Sprunge beobachtet werden und JRwieder durch Gl. (2.292) gegeben ist. Leite das Ergebnis fur die entsprechende Warte-zeitenverteilung wR(τ) zwischen zwei rechtsseitigen Sprungen her,

wR(τ) = ΓRΓLe−ΓLτ − e−ΓRτ

ΓR − ΓL. (2.302)

Interpretiere dieses Ergebnis. Hinweis: Berechne zunachst wR(z).AUFGABE: Consider the damped oscillator with creator a†,

ρ = (L0 + Je + Ja)ρ = −i[ωa†a, ρ]− γe2

(a†aρ+ ρa†a− 2aρa†

)− γa

2

(aa†ρ+ ρaa† − 2a†ρa

), (2.303)

where Jeρ ≡ γeaρa†. Calculate the waiting time distribution for photon emissions,

wee(τ) =TrJeeL0τJeρ0

TrJeρ0(2.304)

for a thermal state ρ0.

2.9.3 Die g(2)(τ)-Funktion

Statt der Verteilung wkl(τ) der Zeiten zwischen zwei Sprungen (ohne dass dazwischen

irgendwelche anderen Sprunge stattfinden), konnen wir auch nach der Verteilung g(2)kl (τ)

der Zeiten zwischen zwei Sprungen fragen, wobei jetzt im Zeit-Intervall zwischen den zweiSprungen l und k auch beliebige andere Sprunge stattfinden durfen sollen. In Analogiezu wkl(τ) ∝ TrJkeL0τJlρ0 definieren wir daher

g(2)kl (τ) ∝ TrJkeLτJlρ0, (2.305)

wobei jetzt statt des Nicht-Sprung Propagators eL0τ der volle Propagator eLτ der Mas-tergleichung zwischen den Sprung-Superoperatoren steht. Im Folgenden betrachten wireine Zerlegung der Mastergleichung als

ρ = Lρ ≡ L0ρ+ J ρ, (2.306)

ohne den Sprung-Superoperator J weiter zu zerlegen. Wir konnen uns z.B. eine Messungvorstellen, bei der nur ein Typ von Quantensprungen (z.B. die spontane Emission vonPhotonen, Tunneln eines Elektrons aus einem Quantendot in eine bestimmte Zuleitunghinein) beobachtet wird. Dann definieren wir


g(2)(τ) ≡ TrJ eLτJ ρ0

(TrJ ρ0)2 . (2.307)

Hierbei ist die Normierung so gewahlt, dass eine direkte Analogie zu der Korrelations-funktion g(2)(τ) der elektrischen Feldkomponenten in der Quantenoptik hergestellt wer-den kann (CARMICHAEL). 10 Eine (etwas ungenaue) erste Quantifizierung der ‘Dichte’der aufeinanderfolgenden Quantensprunge besteht in einer Klassifikation von Verteilun-gen g(2)(τ) gemaß (τ > 0)

g(2)(τ) < g(2)(0), gebundelte Sprunge (‘bunching’ ) (2.308)

g(2)(τ) > g(2)(0), entbundelte Sprunge (‘antibunching’ ). (2.309)

Bundelung (bunching) entspricht also einer erhohten Wahrscheinlichkeit fur sehr schnell(evtl. sofort) aufeinanderfolgenden Quantensprunge. Umgekehrt ist bei antibunching dieWahrscheinlichkeit fur sehr schnell aufeinanderfolgenden Quantensprunge geringer alsdie fur zeitlich etwas weiter auseinanderliegende Sprunge.

AUFGABE: Betrachte eine Zerlegung der Mastergleichung ρ = L0ρ + J ρ, wobeider Sprungoperator eine einfache dyadische Form J = |1〉〉〈〈1| haben soll (d.h. beiAnwendung von J auf einen Zustand |ρ〉〉 landet das System immer im selben Zustand|1〉〉 unabhangig von |ρ〉〉). Zeige, dass dann im Laplace-Raum der Zusammenhang

w(z) =Ig(2)(z)

1 + Ig(2)(z), I ≡ TrJ ρ0 (2.310)

zwischen der Wartezeitenverteilung und der g(2)-Funktion besteht.

10 vgl. auch C. Emary, C. Poltl, A. Carmele, J. Kabuss, A. Knorr, und T. Brandes; Phys. Rev. 85,165417 (2012).

3. FEEDBACK CONTROL

Fig. 3.1: LEFT: centrifugal governor. CENTER: stochastic cooling of particle collider beams.RIGHT: photodetector signal that corrects a laser diode pump current

3.1 Introduction

Feedback is a closed loop control scheme where some part of the dynamics of a system isrecycled in order to achieve a certain control goal.1 Often, this goal consists in stabilizingthe overall system dynamics, reducing fluctuations, or preparing certain states. This isparticularly challenging in small systems with large intrinsic fluctuations, where onehas to combine methods from non-equilibrium statistical mechanics, measurement and(quantum) information theory to properly design and analyse the control action.

Feedback control has a long history, going back at least to 17th century windmills orthe Boulton and Watt centrifugal governor for steam engines (1788, Maxwells treatise‘On governors’ 1868), see the figure), where a stochastic input is regulated automatically.This is thus an early form of what one calls ‘coherent control’ these days: the controlleris a part of the whole machine, in contrast to measurement based control, where anexternal observer or measurement apparatus is providing the feedback action.

1 This chapter is taken from a recent publication, T. Brandes, C. Emary, Phys. Rev. E 93 042103(2016), arXiv:1602.02975.

3. Feedback Control 75

Fig. 3.2: LEFT: Feedback control of a single-atom trajectory RIGHT: Stabilizing photon numberstates in the experiment of the Haroche group.

Recent examples include the stochastic cooling of particle collider beams (S. van derMeer 1972, Nobel Prize 1984 for the discovery of W and Z bosons), a photodetector signalthat corrects a laser diode pump current (S. Machida, Y. Yamamoto 1986), feedbackcontrol of a single-atom trajectory (Rempe group, 2009), or real-time quantum feedbackthat prepares and stabilizes photon number states in cavity experiments with atoms andphotons 2.

An important issue is to assess under which conditions feedback is useful and moreefficient and effective than other control schemes such as open loop control or an a priorioptimization of system parameters. At present, there is no complete framework withinthermodynamics or some kind of resource theory that would fully resolve this issue,and the best way forward seems to be the study of well-defined physical setups wherefeedback operations are expected to be beneficial.

The distinction between measurement-based (active) and passive feedback is par-ticularly important in the quantum regime. There, passive feedback (sometimes calledcoherent) avoids issues related to the quantum measurement problem by building thefeedback loop as part of the total system. Coherent feedback has been introduced verysuccessfully in quantum optics and in coherent quantum transport recently.

In general, a key question in all feedback schemes is to determine the efficiency ofthe control loop, also in comparison with open loop control. Much progress has beenachieved over the past few years in the analysis of feedback from a thermodynamic per-spective, based on concepts such as entropies, mutual information, and modifications offluctuation relations or the various formulations of the second law. Applied to concretecontrol scenarios, this analysis however often requires certain assumptions, e.g., a bipar-tite splitting into system and controller, or the maintainance of a certain system stateas the control goal.

2 C. Sayrin, I. Dotsenko, X. Zhou, B. Peaudecerf, T. Rybarczyk, S. Gleyzes, P. Rouchon, M. Mirrahimi,H. Amini, M. Brune, J.-M. Raimond, S. Haroche; Nature 477, 73 (2011). Serge Haroche was awardedthe 2012 Nobel Prize for Physics together with David J. Wineland.


3.1.1 Method

Our starting point is an open physical system – classical or quantum – interacting withseveral reservoirs, measurement and feedback devices. The state of the system at time tis given by a reduced system density operator ρ(t). In the classical case, this is a vectorof probabilities in the space of system states (assumed as discrete here), in the quantumcase one has additional coherences. We decompose ρ(t) according to

ρ(t) ≡∞∑n=0

ρ(n)(t), (3.1)

where n is the total number n of (quantum) jumps in [0, t] defined via stochastic tra-jectories, i.e. sequences xn = xn, ..., x1 of transitions among the system states. The-se transitions are of type li and occur at time ti, and we use the shorthand notationxi = (li, ti).

Next, we introduce conditioned and unnormalized density operators ρ(t|xn) in thesense that the ρ(n)(t) are given in terms of a ‘path integral’;

ρ(n)(t) =M∑

l1=1,...,ln=1

∫ t

0dtn...

∫ t2

0dt1ρ(t|xn). (3.2)

For a Markovian, time-independent quantum master equation without any form ofcontrol, the ρ(t|xn) can be expressed explicitly in the usual unraveling procedure: Thereduced density operator obeys

ρ(t) = Lρ(t), L = L0 + L1, L1 =M∑k=1

Jk, (3.3)

where the total Liouvillian L is split into two superoperators: L1 describes M differenttypes of jump processes, whereas L0 is the generator for the time evolution St ≡ eL0t

between the jumps. In this case, Gl. (3.2) is the usual unraveling with

ρ(t|xn) ≡ St−tnJlnStn−tn−1Jln−1 ...Jl1St1ρin (3.4)

and ρ(0)(t) = Stρin, which technically follows from the solution of Gl. (3.3) in the inter-action picture with respect to L0. Here and in the following, ρin ≡ ρ(t = 0) denotes theinitial density operator at time t = 0.

3.1.2 Feedback model

We now introduce control operations in the following way: the system parameters attime t > 0 are continuously modulated depending on the values xi of the previous jumpevents. Starting the time evolution at t = 0, the system is monitored until the first jumpoccurs at time t = t1. During that period, the Liouvillian becomes time-dependent,

L(t) = L0(t) +

M∑l=1

Jl(t), 0 ≤ t ≤ t1, (3.5)


and thus until the occurance of the first jump, the time evolution becomes

ρ(t) = S(t)ρin, S(t) ≡ Te∫ t0 dt′L0(t′), (3.6)

where T is the time ordering operator. In the course of the time evolution, all jumpevents xn are recorded and taken as parameters in the subsequent Liouvillians, whichread (tn ≤ t ≤ tn+1)

L(t|xn) = L0(t|xn) +M∑l=1

Jl(t|xn). (3.7)

The time evolution between the nth and n+ 1th jump is now generated by

S(t|xn) ≡ Te∫ ttndt′L0(t′|xn), (3.8)

as the solution of ddtS(t|xn) = L0(t|xn)S(t|xn) with S(tn|xn) = 1 (unity opera-

tor).For example, with n = 2 jumps, the density operator conditioned on x1, x2 reads

ρ(t|x2) = S(t|x2)Jl2(t2|x1)S(t2|x1)× Jl1(t1)S(t1)ρin, (3.9)

and the corresponding n-resolved density operator, i.e., the n = 2 term in Gl. (3.2), isobtained by summation/integration over the jump variables x1, x2,

ρ(2)(t) =M∑

l1=1,l2=1

∫ t

0dt2

∫ t2

0dt1ρ(t|x2). (3.10)

Iterating Gl. (3.9), we obtain the sequence

ρ(t|xn) = S(t|xn)Jln(tn|xn−1)S(tn|xn−1)...× Jl2(t2|x1)S(t2|x1)Jl1(t1)S(t1)ρin, (3.11)

with (non)-jump time-evolutions for the unraveling of ρ(t) according to Gl. (3.2) in whicheach step in conditioned upon the previous ones.

The form Gl. (3.11) is a key result in the formulation of active, measurement basedcontrol as introduced here. This formulation is phenomenological in the sense that, incontrast to the expression Gl. (3.4) without control, it has not been derived from atotal, microscopic Hamiltonian for the system including all reservoirs, measurement,and control devices. As in Gl. (3.4), the ρ(t|xn) are given by a sequence of jump andnon-jump time-evolutions. Here, this sequence is generated by superoperators whichthemselves in general depend on the trajectories xn and thus are random quantities.As we show below, this leads to a number of powerful control schemes, some of whichhave been successfully applied in the past already.


The specific form of the jump operators Jl(t|xn) defines a particular feedbackprocedure, called ‘protocol’ in the following. In general, this opens numerous ways tocontrol a stochastic process, possibly also including modulation of the parameters in theHamiltonian in the quantum case.

The simplest case is open loop control with jump operators

Jl(t|xn) = Jl(t) (3.12)

that are just modulated as a function of time and thus do not depend on the stochasticprocess itself. Needless to say that this already leads to a vast variety of control schemes.For example, a periodic modulation of parameters leads to Floquet-type (quantum)master equations. More general time-dependencies could be optimized with methodsof optimal control theory in order to reach a specific control target, such as adiabaticcontrol with slow pulses.

In the remaining two section, we will discuss two closed–loop contrl schemes in somemore detail.

3.2 Time-versus-number feedback

We consider a dissipative counting process in the usual way by coupling a system Ha-miltonian HS of a few-state system (e.g., a quantum dot) to reservoirs 3. The classicalfeedback loop is modelled by a dependence of the parameters in HS and the system-bathcoupling Hamiltonian HSB on time t and on the number operator N of one of the re-servoirs. In the usual Born-Markov approximation in lowest order in HSB, the reducedsystem density operator ρ(n)(t) conditioned on the number of counts n obeys a Masterequation

ρ(n)(t) = L0n(t)ρ(n)(t) + Jn−1(t)ρ(n−1)(t) + Jn+1(t)ρ(n+1)(t). (3.13)

Here, ρ(n)(t) is a vector with d real components representing system occupations andcoherences, and in contrast to the usual n-resolved Master equations, the jump (J , J )and non-jump (L0) super-operators (d× d matrices) have a time- and n-dependence.

We assume the elements of the superoperators multiplied by analytic functions ofthe form

f(qn(t)), qn(t) ≡ I0t− n, f(0) = 1, (3.14)

where I0 is a stationary target current that one would have without feedback, i.e. forf ≡ 1. Importantly, the modulation of system parameters via the difference Gl. (3.14)constitutes a classical feedback loop which itself is not part of the quantum system.The split between quantum system and classical feedback loop is in analogy with thequantum optics experiments.

3 This part is from ‘Feedback Control of Quantum Transport’, T. Brandes, Phys. Rev. Lett. 105,060602 (2010)


3.2.1 Tunnel junction with feedback

Let us start with the simplest transport model: a tunnel junction with no internal systemdegrees of freedom (d = 1) and

Jn(t) ≡ γn(t), Jn(t) ≡ γn(t), −L0n(t) ≡ γn(t) + γn(t). (3.15)

We first consider linear feedback for the rates

γn(t) = γ (1 + g (I0t− n)) , γn(t) = γ (1 + g (I0t− n)) (3.16)

where g and g denote a feedback strength parameter, and γ and γ the forwards/backwardsrate without feedback. The rate equation for the probability p(n, t) now has the simpleform in analogy with Gl. (1.1), but with time- and n–dependent rates;

p(n, t) = −p(n, t)(γn(t) + γn(t)) + p(n− 1, t)γn−1(t) + p(n+ 1, t)γn+1(t).(3.17)

We calculate the equations of motion for the first moments of p(n, t),

µ1(t) =∑n

np(n) =∑n

n [−p(n)(γn + γn) + p(n− 1)γn−1 + p(n+ 1)γn+1]

=∑n

[−np(n)(γn + γn) + (n+ 1)p(n)γn + (n− 1)p(n)γn]

=∑n

p(n) [γn − γn] , (3.18)

and for the second moment

µ2(t) =∑n

n2p(n) =∑n

n2 [−p(n)(γn + γn) + p(n− 1)γn−1 + p(n+ 1)γn+1]

=∑n

[−n2p(n)(γn + γn) + (n+ 1)2p(n)γn + (n− 1)2p(n)γn

]=

∑n

p(n) [(2n+ 1)γn + (−2n+ 1)γn] . (3.19)

For simplicity, we consider the unidirectional case in the following,

γ = 0, unidirectional transport. (3.20)

Then things become quite simple. For the first cumulant µ1(t) = C1(t) we obtain

C1(t) ≡ 〈n〉t = γt, (3.21)

i.e. a linear increase of the particle number independent of the feedback strength g andas we know it from the simple Poissonian process discussed at the beginning. The fluc-tuations are characterized by the second cumulant C2(t) ≡ µ2(t)−µ2

1(t). The calculationyields


Fig. 3.3: a) Distribution of number n of tunneled particles at times t = 10, 30, 60, 100, 140, 180for tunnel junction (tunnel rate γ = 1, linear feedback strength g) ; b) Single realisation(trajectory) of n/t for tunnel junction as a function of time t (γ = 1); c) frozen feedbackdistributions pfb(m) ≡ limt→∞ p(〈n〉t +m, t) for chain with N = 1 and N = 2 quantumdots.

C2(t) ≡ 〈n2〉t − 〈n〉2t =1

2g

(1− e−2gγt

), feedback stabilized. (3.22)

This already shows that at any finite feedback strength g > 0, there occcurs a drasticchange: the cumulants Ck, k ≥ 2 no longer increase linearly in time t but converge toa constant, e.g. C2(∞) = 1

2g . This means that the FCS charge distribution no longerspreads out but freezes into a stationary distribution with a fixed shape that constantlymoves to larger n, with a mean value 〈n〉t = I0t, cf. Fig. (3.3a).

3.2.2 Moment generating function

In order to obtain p(n, t) and all the other cumulants Ck(t), we define the moment gene-rating function, i.e. the Fourier transform M(χ, t) ≡

∑n ρ

(n)(t)eiχn and use Gl. (3.13)to derive the partial differential equation

∂

∂tM(χ, t) = L(χ)f

(I0t−

∂

∂iχ

)M(χ, t), (3.23)

where L(χ) ≡ Γ(eiχ − 1) and I0 = Γ (we set the elementary charge −e = 1). Fromthe solution of Gl. (3.23), one finds the cumulant generating function (CGF) F(χ, t) ≡


lnM(χ, t) for linear feedback,

F(χ, t) = I0tiχ+1

gln(eiχ(1− e−gΓt) + e−gΓt

)+

1

g

[Li2

((1− e−iχ

)e−gΓt

)− Li2

(1− e−iχ

)], (3.24)

where Li2(z) ≡∫ 0zdtt ln(1− t).

From Gl. (3.24), we find explicit expressions for the FCS via

p(n, t) =

∫ π

−π

dχ

2πe−inχeF(χ,t), (3.25)

and for the cumulants

Ck(t) ≡∂k

∂(iχ)kF(χ, t)|χ=0. (3.26)

In the long time limit, one obtains

Ck(t→∞) = −1

gBk−1, k ≥ 2, (3.27)

where the Bk ≡ dk

dxkx

ex−1

∣∣∣x=0

are the k-th Bernoulli-Seki numbers (the cumulants thus

grow rapidly at large k. The presence of feedback thus transforms the originally Pois-sonian FCS (Ck = Γt for g = 0) into a non-diffusive, constantly moving distribution atlarge times. This qualitative change is underlined by the fact that the finite-feedbackresults Gl. (3.24), Gl. (3.27) are non-perturbative in the feedback coupling parameterg > 0.

We can find a further characteristic feature by solving the n-resolved Master equa-tions Gl. (3.13) via the quantum jump method, which in the tunnel junction (d = 1)case amounts to a simple stochastic algorithm simulating individual experimental reali-sations of electron tunneling histories n(t), cf. Fig. (3.3b). On long time scales, feedbacksuppresses large deviations of n(t) (we plot n(t)/t for a clearer picture) that withoutfeedback lead to the linear increase of the cumulants Ck(t) with time. In contrast, onshort time scales this distinction is barely visible, which is also underlined by the factthat the waiting time distribution of electron tunneling w(τ) reacts much less sensitiveto feedback (which we do not discuss here).

3.3 Wiseman-Milburn Feedback Control

Next, we introduce another efficient feedback protocol. This is feedback conditioned onthe previous jump event xn only, instead on the whole trajectory xn, xn−1, ..., x1, i.e.,Jl(t|xn) = Jlln(t−tn). Here and in the following, we already assumed that the protocolimmediately starts (without delay) after the time tn of the previous jump, and used the


jump-type ln as an additional index at the jump operators. The conditioned densityoperators in Gl. (3.11) now become

ρ(t|xn) = Sln(t− tn)Jln,ln−1(tn − tn−1)× (3.28)

... Jl2,l1(t2 − t1)Sl1(t2 − t1)Jl1(t1)S(t1)ρin.

A feature of this protocol is that the same form of time–dependence in the controlparameters is repeated over and over again after each jump.

One simple example of this type of protocol is a discontinuous change in the jumpoperators from Jl to J ′l after a fixed delay time:

Jlln(t− tn) = Jlθ(τ − t+ tn) + J ′l θ(t− tn − τ), (3.29)

with θ(t) the unit step function, and where we have assumed a uniform delay time τfor all jump processes. Jump operators of this form were employed in Ref. [Emary2013],(see also Ref. [Wiseman94]) to model delayed-feedback control in quantum transport. Inthis context, the jump operators Jl were the ones of the original system, and J ′l = eKlJlwere the controlled jump operators where the original operator is followed by a controloperation. In the limit τ → 0, the first term in Gl. (3.29) vanishes, and we are leftwith Jlln(t − tn) = J ′l = eKlJl, which is the instantaneous-control form introducedby Wiseman and Milburn 4. In this way, we see that the Wiseman-Milburn feedbackscheme maps onto an effective time-independent open-loop control problem, in which wesimply design the control operations eKl to produce the desired modification of systembehaviour.

3.3.1 Transport model

We start by considering a general transport Hamiltonian, H = HS +HL +HT, composedof system (e.g. quantum dots (QD)s), leads and tunnel-coupling parts 5. We consider two

leads with non-interacting Hamiltonian HL =∑

k,α εαkc†αkcαk with cαk the annihilation

operator of an electron in lead α = L,R (left, right) with quantum numbers k. We assumestrong Coulomb blockade and a bias configuration such that at most one excess electroncan be in the system at any given time. The state-space of the system is thus spanned bythe empty state |0〉 and N single electron states |n〉, typically not eigenstates of systemHamiltonian HS. Finally we assume that the leads are each coupled to one and only onelocalized system level (|L〉 and |R〉 respectively) such that the tunnel Hamiltonian reads

HT =∑

k tRkc†RkDR + tLkc

†LkD

†L + H.c. with D†L=|L〉〈0| and D†R=|0〉〈R|.

In the high-bias limit with tunnel rates Γα = 2π∑

k |tαk|2δ(ε−εαk) assumed constant,the behavior of the system density matrix can be described with a Markovian masterequation of Lindblad form

ρ = Lρ =(L0 + JL + JR

)ρ, (3.30)

4 For a more general introduction, cf. the book ‘Quantum Measurement and Control’ by H. M. Wise-man and G. J. Milburn

5 This part is taken from ‘Feedback stabilization of pure states in quantum transport’, C. Poltl, C.Emary, and T. Brandes, Phys. Rev. B 84, 085302 (2011)


Fig. 3.4: Main part: After an electron jumps into the double quantum dot (DQD) (measured e.g.with a quantum point contact QPC) a pulsed control operation modifies e.g. the gatevoltages VG and rotates the electron into a different state. In an effective model thiscontrol operation modifies the left jump operator. The DQD is described by ε=εL−εRthe detuning and TC the coupling strength between the dots. The electrons tunnelinto/out the left/right dot with the rate ΓL/R. Inset: For sufficient control operationsthe DQD is stabilized. The transport can then be described by a single resonate level

model with an effective right tunnel rate γ(j)R .

with jump super-operators Jαρ=ΓαD†αρDα, which transfer an electron to/from lead

α = R/L, and free Liouvillian L0, which describes the evolution of the system without

electron transfer. This latter assumes the form L0ρ = −iHρ− ρH†

(we set ~ = 1),

where

H = HS − i1

2

∑α

ΓαD†αDα, (3.31)

is an effective non-Hermitian ‘Hamiltonian’ operator for the system.

3.3.2 Electron counting and control

The evolution of the density matrix under Gl. (3.30) can be interpreted in terms oftrajectories. The density matrix at time t is then given as a sum of terms such as∫ t

0dt2

∫ t2

0dt1S(t− t2)JRS(t2 − t1)JLS(t1)ρ(t0), (3.32)

which describe all trajectories in which an electron jumps into the system at time t1 (JL),out again at time t2 (JR), with evolution in between described by the no-jump propagatorS(t) = eL0t. As in FCS experiments, we assume that our measurement device is sensitiveto single electron jumps. Conditioned then on the detection of an electron jump from theleft lead, we set the control electronics to implement a control operation on the systemwhich we consider here to act as an instantaneous unitary operation on the system [?].In an experimental setup for the transport through QDs these control operations could


be achieved, for example, with pulsed gate voltages. This scheme modifies the quantumtrajectories such that each left jump operator is followed by a control operation; wethus replace JL with J CL = CLJL in all trajectories like Gl. (3.32). Re-summing all thetrajectories, we arrive at an effective Liouvillian for the evolution of the density matrixwith control that is the same as L in Gl. (3.30) but with JL replaced by J CL .

3.3.3 Feedback stabilization

We now describe how this control schema can be used to stabilize certain states. Theeffective “Hamiltonian”, Gl. (3.31), has right and left eigenstates H|ψj〉 = εj |ψj〉 and

〈ψj |H = εj〈ψj |, which, in general, are non-adjoint: 〈ψj | 6= |ψj〉†, and can be used towrite H in its diagonal basis as

H = −i12

ΓL|0〉〈0|+N∑j=1

εj |ψj〉〈ψj |, (3.33)

where we have separated the empty state since it is not coupled to other states by H.The eigen-operators of the free Liouvillian are ρjk=|ψj〉〈ψk| such that

L0ρjk=− i (εj − ε∗k) ρjk. (3.34)

The diagonal matrices ρjj represent pure states and obey

L0ρjj=2i=(εj)ρjj . (3.35)

The empty state is one such eigen-operator with

L0ρ00 = −ΓLρ00. (3.36)

The remaining pure density matrices ρjj ; j > 0 are states that we will seek to stabilizewith our feedback scheme.

To effect the state stabilization, we choose the control operation CL to rotate state|L〉 into the desired eigenstate of H. The effective left jump operator therefore acts as

J CL ρ00 = ΓLρjj , (3.37)

where the ΓL forefactor arises from the normalization and the fact that the empty statedecays with rate ΓL with or without control. Once in state ρjj , no transitions out ofthis state are induced by L0. Rather, the only thing that happens to an electron in

this state is that it leaves at a rate γ(j)R = −2=(εj). By jumping directly into one of

the eigenstates of the free Liouvillian |ψj〉 the dynamic of the system is then determinedsolely by the vacuum |ψ0〉 and |ψj〉; the other states are decoupled. In the basis ρ00, ρjjthe Liouvillian of the feedback controlled system in the above parametrization can bewritten as

L(j)C =

(−ΓL γ

(j)R

ΓL −γ(j)R

). (3.38)


This Liouvillian corresponds to an effective single resonant level, with the effective tunnel

rate γ(j)R and the stationary state

ρstat =1

ΓL + γ(j)R

(γ

(j)R |0〉〈0|+ ΓL|ψj〉〈ψj |

). (3.39)

In the limit ΓL γ(j)R the stationary state reduces to

limΓL/γ

(j)R →∞

ρstat = |ψj〉〈ψj |, (3.40)

and the system is thus stabilized in the pure state |ψj〉.In general then, a system with N internal states has N pure states that can be

prepared in this manner. These states depend on the internal system parameters as wellas on ΓR. In the limit of ΓR→0, the stabilized states will be eigenstates of HS. Forfinite ΓR, however, these states are, in some sense, non-equilibrium pure states, sincethey depend on the rate ΓR and can be quite different from the eigenstates of the bareHamiltonian HS. Needless to say, the states are unstable without control.

3.4 Maxwell Demon Feedback

The original Maxwell demon is a thought experiment (Maxwell 1867) where two volumesof a gas inside a container are initially seperated by a sliding door. An external observer,the ‘demon’, now continuously opens and closes door in order to separate fast fromslow gas molecules, in such a way that at the end all the fast molecules are one oneside of the container, and the slow ones are on the other side. In this way, the demonhas established a temperature gradient out of an initial equilibrium situation, ideallyat no energetic costs if one assumes that the sliding of the doors does not require anymechanical work.

This overall decrease of entropy of the gas container clearly is in contradition withthe second law of thermodynamics, which Maxwell understood to have ”... only a sta-tistical certainty”. Related thought experiments were then devised by others (Szilardengine, 1929; Landauer’s erasure principle, 1961) 6, but only relatively recently a morequantitative, microscopic model based analysis has been brought forward, also triggeredby modern experiments 7.

3.4.1 Single tunnel barrier

The simplest Maxwell Demon feedback model again used our single tunnel barrier modelfrom the first chapter. We start with the rate equation

p(n, t) = −p(n, t)(γ + γ) + p(n− 1, t)γ + p(n+ 1, t)γ (3.41)

6 For a recent review, see ‘The physics of Maxwell’s demon and information’; K. Maruyama, F. Nori,and V. Vedral, Rev. Mod. Phys. 81, 1 (2009).

7 ‘Experimental demonstration of information-to-energy conversion and validation of the generalizedJarzynski equality’, S. Toyabe, T. Sagawa, M. Ueda, E. Muneyuki, and M. Sano, Nature Physics 6, 988(2010).


with forward and backward rates

γ = ΓfL(1− fR), γ = ΓfR(1− fL). (3.42)

These occur when integrating out the dot degrees of freedom in the single electrontransistor (SET) model with extremely asymmetric left and right tunnel rates, ΓL ΓR ≡ Γ. Alternatively, we can simply regard Gl. (3.42) as a model for forwards andbackwards jumps with given rates γ and γ. Crucially now, when deriving those ratesfrom a microscopic system-bath Hamiltonian, the microscopic forward and backwardrates Γ, Γ in Gl. (3.42) are identical,

Γ = Γ, no feedback . (3.43)

If the reservoirs attached to the system are in equilibrium, as is usually assumed whenderiving the master (rate) equation, the thermal occupation factors like the Fermi func-tions in Gl. (3.42) appear and lead to

γ

γ= eA, A ≡ µL − µR

kBT, no feedback , (3.44)

whereA is called affinity. This is a condition that the rates in Gl. (3.41) must fulfill withinthe usual framework of equilibrium reservoirs attached to a system. As we have seenin section 2.2, this is ultimately due to the detailed balance (Kubo-Martin-Schwinger-Relation, KMS) relations for the bath correlation functions like Gl. (2.72)

C−AB(ω) = C+AB(ω)e−βω. (3.45)

Crucially now, the characteristic feature of Maxwell demon type feedback now is thatit violates the detailed balance relations, in a more or less subtle way, depending on itsspecific implementation, i.e., the form of the model.

A first and very crude modeling then consists in setting

Γ 6= Γ, Maxwell demon feedback (3.46)

‘by hand’, i.e. just by assuming that one somehow can control the microscopic ratesdepending whether they are for forward or backward direction, in much the same fashionas in the original Maxwell demon thought experiment. Let us see what this means forour rate equation Gl. (3.41). First, we recognize a modification of Gl. (3.44) which nowhas the form

γ

γ= eA+ln Γ

Γ . (3.47)

We obtain an additional term ln ΓΓ

on top of the affinity A. As we wil see later, this term(which has the form of an ‘entropy’ with its logarithmic dependence) is related to theinformation that is needed in operating such a scheme.


Fig. 3.5: Maxwell demon feedback in single electron transistor.

Let us briefly discuss some of the consequences of this feedback. We obtain thestationary current

I = limt→∞

∑n

np(n, t) = γ − γ (3.48)

as usual by summation of Gl. (3.41) over n. With feedback Γ 6= Γ, this leads to a finitecurrent even if the voltage drop V = µL− µR is zero! This particular ’demon’ thus pilesup charges within one of the two identical reservoirs.

To quantify this a bit more, one can introdude the Shannon entropy

S ≡ −∑n

pn ln pn (3.49)

and decompose the temporal derivative thereof into two parts,

S = Se + Si, Si ≥ 0 (3.50)

with a positive entropy production rate

Si = AI + lnΓ

ΓI, (3.51)

which therefore has the form of the dissipated electric power per kBT plus an informationcurrent ln Γ

ΓI. More on the decomposition Gl. (3.50) later in the chapter on fluctuation

relations, stochastic thermodynamics and thermoelectrics.

3.4.2 Single level dot

As a next step, we consider the Fano Anderson model from section 2.4. 8 The Maxwelldemon feedback operation is now introduced by modifying the forward and backwards

8 This part is from G. Schaller, C. Emary, G. Kießlich, T. Brandes; Phys. Rev. B 84, 085418 (2011).


1

2

3

4

1

2

0

1

E FState of the SET

Sta

te o

f th

e d

em

on

Fig. 3.6: LEFT: Microscopic Maxwell demon feedback model in single electron transistor (bot-tom) coupled to a detector (top). RIGHT: Diagram for the transition between the fourstates of the system with the corresponding transition rates.

rates in the Liouvillian of the master equation

ρ(t) = Lρ(t), (3.52)

with

L =∑α=L,R

Γα

(−eδEα fα eδ

Fα (1− fα)

eδEα fα −eδFα (1− fα)

). (3.53)

The rates for tunneling at the left and at the right barrier (α = L/R) now individuallybreak local detailed balance according to

fα1− fα

eδEα

eδFα= e−βα(εd−µα)+δEα−δFα . (3.54)

Without feedback, one would simply have eδEα = eδ

Fα which could simply be absorbed

into the bare rates Γα. For eδEα 6= eδ

Fα , as a result of the Maxwell demon type feedback,

current can flow against the external potential µL−µR, if for example we tune δ = δEL =δFR = −δER = −δFL 6= 0.

3.4.3 Microscopic Maxwell Demon model

Finally, we discuss a microscopic model for a larger system that implements a MaxwellDemon feedback operation in a single electron transistor (SET) coupled to a chargedetector 9. The system is defined as a single level SET (bottom, two reservoirs L/R)

9 This part is from P. Strasberg, G. Schaller, T. Brandes, M. Esposito, Phys. Rev. Lett. 110, 040601(2013).


coupled to a detector dot (top, one reservoir) via a Hubbard type interaction: there arealtogether four states

|0E〉, |0F 〉, |1E〉, |1F 〉 (3.55)

with energies 0 (empty), εs, εd, εs + εd + U . The tunnel rates are chosen to be energydependent and in an asymmetric fashion, such that certain requirements are fulfilled:

• Detector requirements:

– Fast ΓD,ΓUD Γα,Γ

Uα .

– Precise U kBTD.

• SET requirements:

– Spatial asymmetry ΓUR ΓUL , ΓL ΓR.

The technical trick now is to use a separation of time scales for rates

ΓD,ΓUD Γα,Γ

Uα , fast detector condition (3.56)

in the full four by four rate equation of the system

ρij =∑i′j′

Wij,i′j′ρi′j′ . (3.57)

In this way, one is able to derive an effective two-by-two set of rate equations for theSET degrees of freedom only, which has the form

ρi =∑i′

Vii′ρi′ . (3.58)

From this, one obtains an effective entropy production rate for the SET (with tempera-ture T ) in analogy with Gl. (3.51) in the form

Si =µL − µRkBT

I + lnfUL fRΓULΓR

fUR fLΓURΓLI, (3.59)

where I is the stationary current through the SET. This can now be connected to themodel (‘feedback by hand’) from the previous section, if we consider the limit

fUαfα

= 1. (3.60)

In this limit, the SET then effectively looks as if a Maxwell-demon like feedback operationwas going on all the time.

Concerning the energetics, we can consider the following cycle between system statesand the corresponding energies (see Figure),

εd → εs + εd + U → εs → 0→ εd. (3.61)


Then, a net energy U transferred from SET to detector. When the work done by thedemon can savely be neglected,

U εs, (3.62)

one has come very close to the ‘true’ demon from Maxwells original thought experiment.

3.5 Coherent feedback control

In coherent feedback control (passive control), we regard the feedback loop as part of thequantum system, in contrast to measurement (active) feedback control. In system-bathlanguage, the bath hamiltonian HB in

H = HS +HSB +HB (3.63)

now coherently feeds back into the total dynamics (and therefore also the reduced sys-tem dynamics). This means that we no longer can treat the bath as an inert equilibri-um system. In particular, we must go beyong the standard Born-Markov assumptionρtotal(t) = ρ(t)⊗R0 with factorized reduced system and bath density matrices.

To be more concrete, we consider a two-level system coupled to a bosonic mode whichitself decays into a continuum of modes k 10,

HS ≡ ω0σz − g(σ−a† + σ+a) + Ωa†a, HB ≡∑b

ωkb†kbk

HSB ≡ −∑k

(Gka

†bk + h.c.)

(3.64)

Here, the idea is to model the coupling Gk in an appropriate way in order to generatea coherent dynamics of the coupled two-level- single boson system in order to overcomethe dissipative effect due to the bath that has an infinite number of continuum of modesk.

3.5.1 Single bosonic mode

For g = 0, the two-level system decouples and we just have to deal with the model for adamped bosonic mode a†. As we have a linear model, we can solve it exactly, for examplevia the Heisenberg equations of motion

a(t) = −iΩa(t) + i∑k

Gkbk(t) (3.65)

bk(t) = −iωkbk(t) + iG∗ka(t). (3.66)

10 This part follows ‘Analytical study of quantum-feedback-enhanced Rabi oscillations’, Julia Kabuss,Dmitry O. Krimer, Stefan Rotter, Kai Stannigel, Andreas Knorr, and Alexander Carmele, Phys. Rev. A92, 053801 (2015).


Integrating the second equation and inserting it into the first yields

a(t) = −iΩa(t) + i∑k

Gke−iωktbk(0)−

∑k

|Gk|2∫ t

0dt′e−iωk(t−t′)a(t′). (3.67)

We define a coupling density of states as always

ρ(ω) ≡∑k

|Gk|2δ(ω − ωk), (3.68)

with which the second term can be written as a functional of [a(t′);

Σ[a(t′)] ≡∑k

|Gk|2∫ t

0dt′e−iωk(t−t′)a(t′) =

∫ ∞0

dωρ(ω)

∫ t

0dt′e−iω(t−t′)a(t′). (3.69)

3.5.2 Usual Markovian Description

The usual description of weak-coupling dissipation would invoke a Born-Markov appro-ximation like

ρ(ω) = 2κ > 0, flat-band approximation , (3.70)

which immediately leads to the Markovian functional

Σ[a(t′)] = κa(t) (3.71)

and thus

a(t) = (−iΩ− κ)a(t) + i∑k

Gke−iωktbk(0), (3.72)

from which by integration we obtain

a(t) = e(−iΩ−κ)ta(0) + i∑k

Gk

∫ t

0dt′e(−iΩ−κ)(t−t′)e−iωkt

′bk(0). (3.73)

3.5.3 Structured Bath

We now abandon the flat-band approximation Gl. (3.70) and use instead a model with

Gk ≡G0 sin(kL)√L/(2π)

, (3.74)

which can be interpreted as a model for coupling to modes with wave function ∝ sin(kL)in a large one-dimensional cavity (wave guide) of length L. For large L, we can convertthe k–sum into an integral, which leads to a spectral density Gl. (3.68)

ρ(ω) = |G0|2∫ ∞−∞

dk1

2(1− cos(2kL)) δ(ω − c|k|)

=|G0|2

c(1− cos(2ωL/c)) . (3.75)


Here, we used a dispersion relation

ωk = c|k|, c > 0 (3.76)

for the bath mode frequencies.We now use this to evaluate our functional Gl. (3.69)

Σ[a(t′)] =|G0|2

c

∫ t

0dt′a(t′)

∫ ∞0

dω (1− cos(2ωL/c)) e−iω(t−t′)

(3.77)

To make progress here, we use the identity∫ ∞0

dωe−iωx =1

i(x− i0)=

1

i

(P

1

x+ iπδ(x)

)= πδ(x)− iP 1

x. (3.78)

Defining the cavity round-trip time

τ ≡ 2L

c> 0, (3.79)

the integration in Gl. (3.77) gives∫ ∞0

dω

(1− 1

2eiτω − 1

2e−iτω

)e−iω(t−t′)

= πδ(t− t′)− π

2δ(t− t′ − τ)− π

2δ(t− t′ + τ), +iP terms. (3.80)

If we neglect the principal value terms, we are thus left with three delta functions. Thelast term δ(t− t′ + τ) does not contribute as in the integral Gl. (3.77) t− t′ ≥ 0 always.Form the first delta function we pick up a factor 1

2 from evaluating it at the end of theintegration interval, while the second delta function only contributes if t − τ > 0 as t′

has to be positive. Altogether this transform Gl. (3.77) into

Σ[a(t′)] =|G0|2

c

π

2(a(t)− θ(t− τ)a(t− τ)) , iP terms neglected. (3.81)

We are now ready to write down Gl. (3.67). Again we neglect the iP terms (an issuewhich we need to discuss separately), and we anticipate that the terms ∝ bk(0) do notcontribute if we start the time evolution with a bath at zero temperatures (no mdesoccupied) and take expectation values later. As a result, we obtain

a(t) = −iΩa(t)− κFB (a(t)− θ(t− τ)a(t− τ)) , delayed feedback. (3.82)

κFB =π|G0|2

2c(3.83)

This is a Pyragas type feedback equation with delay as defined by the round-trip time τ .


In order to get a first impression of solution of Gl. (3.82), we consider times t > τand delay times on resonance with the oscillator, τ = 2π/Ω. Inserting the ansatz a(t) =Ae−iΩt then immediately leads to a solution

a(t) = Ae−iΩt (3.84)

since the two terms a(t) − a(t − τ) exactly cancel each other. Instead of a dissipativedecay (as in the Markovian description Gl. (3.73)) we thus find a completely coherenttime evolution with the same oscillation frequency Ω as in the case without reservoircoupling.

Physically, there is a permanent oscillation between the bosonic mode and the reso-nant modes of the reservoir. In fact, we can insert Gl. (3.84) into the equation for bk(t),Gl. (3.66), which then become driven oscillator equations

bk(t) = −iωkbk(t) + iG∗kAe−iΩt bk(t) = bk(0)e−iωkt + iG∗kA

∫ t

0dt′e−iωk(t−t′)e−iΩt

′

(3.85)

3.5.4 More realistic spectral densities, P -value issue

In order to adress the above mentioned issues with the neglected principal value contri-butions, we reconsider our starting point

a(t) = −iΩa(t)−∑k

|Gk|2∫ t

0dt′e−iωk(t−t′)a(t′), (3.86)

where again we can savely drop the ‘initial condition’ ∝ bk(0) for an initially emptybosonic reservoir. In Laplace space, this reads

(z + iΩ)a(z) = a(0)−∑k

|Gk|21

z + ωka(z), (3.87)

which can immediately be solved for a(z). We thus have

a(z) = [z + iΩ + Σ(z)] a(0), Σ(z) ≡∑k

|Gk|2

z + ωk(3.88)

with the ‘self-energy’ Σ(z) in z–space now taking the place of our earlier functional Σ.We now try to model Σ(z) via a model of ρ(ω),

Σ(z) =

∫ ∞0

dωρ(ω)

z + ω, ρ(ω) =

|G0|2

c(1− cos(ωτ)) e−ω/ωc (3.89)

with an additional cut-off with frequency ωc.

ANHANG

A. DER STATISTISCHE OPERATOR

A.1 Wiederholung QM: Die Dichtematrix

(SKRIPT QUANTENMECHANIK). Systemzustande werden in der Quantenmechanikdurch (normierte) Vektoren (Kets) |Ψ〉 eines Hilbertraums beschrieben. Bei der Bildungvon Erwartungswerten von Observablen A,

〈A〉 ≡ 〈Ψ|A |Ψ〉 (A.1)

kommt es auf einen Phasenfaktor eiα mit reellem α nicht an. Systemzustande werdendeshalb genauer gesagt durch Aquivalenzklassen von Strahlen

eiα|Ψ〉, α ∈ R (A.2)

beschrieben. Man kann den Phasenfaktor loswerden, indem man zu Projektionsoperato-ren ubergeht:

Definition In einem Hilbertraum H ist ein reiner Zustand durch einen Projektions-operator

PΨ ≡ |Ψ〉〈Ψ|, |Ψ〉 ∈ H (A.3)

zum Vektor |Ψ〉 definiert.

Hier kurzt sich jetzt ein Phasenfaktor eiα in |Ψ〉 heraus. Erwartungswerte von Observa-blen A im reinen Zustand PΨ definieren wir jetzt uber die Spur-Operation:

Definition Der Erwartungswert der Observablen A im reinen Zustand PΨ ist

〈A〉Ψ = Tr (PΨA) = Tr (|Ψ〉〈Ψ|A) , (A.4)

wobei TrX die Spur des Operators X, gebildet mit einem VOS (vollstandigem Ortho-normalsystem) ist,

TrX =∑n

〈n|X|n〉. (A.5)

Die Spur eines Operators ist basisunabhangig: gegeben seien zwei VOS |n〉 und |α〉,∑n

|n〉〈n| =∑α

|α〉〈α| = 1 (A.6)

Tr(X) =∑n

〈n|X|n〉 =∑n,α

〈n|α〉〈α|X|n〉 = (A.7)

=∑n,α

〈α|X|n〉〈n|α〉 =∑α

〈α|X|1|α〉 =∑α

〈α|X|α〉. (A.8)

A. Der Statistische Operator 96

Die Spur ist invariant unter zyklischer Vertauschung (AUFGABE),

Tr(AB) = Tr(BA). (A.9)

AUFGABE: Zeige, dass 〈A〉Ψ mit der ublichen Definition ubereinstimmt, d.h. zeige〈A〉Ψ = 〈Ψ|A |Ψ〉.

A.1.1 Gemischte Zustande

Die QM enthalt durch die Kopenhagener Deutung ein intrinsisches Element an Stochasti-zitat: Voraussagen fur Messungen sind Aussagen uber Wahrscheinlichkeiten, selbst wennder Zustand |Ψ〉 des Systems zu einer bestimmten Zeit t exakt bekannt ist.

Es gibt nun Falle, wo durch Mangel an Information (z.B. unsere eigene ‘Dummheit’oder die Unfahigkeit, an bestimmte Informationen zu gelangen) selbst der Zustand desSystems zu einer bestimmten Zeit t nicht exakt bekannt ist. Das ist wie in der klassischenMechanik, wo man statt eines Punktes im Phasenraum nur eine gewisse Verteilung imPhasenraum angeben kann. Die Bestimmung dieser Verteilung ist Aufgabe der Statistik(Ensembletheorie, Thermodynamik). Wir definieren:

Definition Uber ein quantenmechanisches System im Hilbertraum H mit VOS (voll-standigem Orthonormalsystem) |n〉 liege nur unzureichende Information vor: Mit Wahr-scheinlichkeit pn befinde es sich im Zustand |n〉. Die Menge (pn, |n〉) heisst Ensemblevon reinen Zustanden. Dann ist der Erwartungswert einer Observablen A gegebendurch

〈A〉 ≡∑n

pn〈n|A|n〉,∑n

pn = 1, 0 ≤ pn ≤ 1. (A.10)

Hiermit hat man jetzt zwei konzeptionell verschiedenartige Arten von Wahrscheinlich-keiten vorliegen

• Die Wahrscheinlichkeit pn, die aus dem Mangel an ‘klassischer’ Information uberdas System herruhrt.

• Die intrinsisch quantenmechanische Wahrscheinlichkeit, die sich in der Wahrschein-lichkeitsinterpretation der Quantenmechanik ausdruckt. Der Zustanden |n〉 kannz.B. im Ortsraum eine Wellenfunktion Ψn(x) besitzen, die eine Wahrscheinlich-keitsdichte |Ψn(x)|2 fur das Auffinden eines Teilchens am Ort x definiert.

Beide Arten von Wahrscheinlichkeit konnen bei der Berechnung von Erwartungswertennun mit Hilfe des Dichteoperators zusammengefaßt werden:

Definition Der Dichteoperator (Dichtematrix) ρ eines Ensembles (pn, |n〉) ist

ρ ≡∑n

pn|n〉〈n|, (A.11)


d.h. eine Summe von Projektionsoperatoren auf die reinen Zustande |n〉. Es gilt

〈A〉 ≡∑m

pm〈m|A|m〉 =∑m

∑n

pm〈m|n〉〈n|A|m〉 (A.12)

=∑m

〈m

(∑n

pn|n〉〈n|

)A|m〉 = Tr(ρA). (A.13)

Der Erwartungswert druckt sich also wieder mittels der Spur aus.Der Dichteoperator hat folgende Eigenschaften:

• Normierung: Fur Dichteoperatoren ρ gilt

Tr(ρ) =∑n,m

pn〈m|n〉〈n|m〉 = 1. (A.14)

• Hermitizitat: Weiterhin in einer beliebigen Basis gilt fur Dichteoperatoren ρ

〈α|ρ|β〉 =∑n

pn〈α|n〉〈n|β〉 =∑n

pn〈β|n〉∗〈n|α〉∗ = 〈β|ρ|α〉∗ (A.15)

ρ = ρ†, ρ ist Hermitesch . (A.16)

• Positivitat: Es gilt (AUFGABE)

〈ψ|ρ|ψ〉 ≥ 0 ρ ≥ 0 (A.17)

fur beliebige Zustande ψ.

Es gilt weiterhin

Satz 8. Ein Operator ρ ist genau dann Dichteoperator zu einem Ensemble, wenn Tr(ρ) =1 und ρ ≥ 0.

Beweis: Sei ρ ≥ 0, dann ist ρ auch Hermitesch (AUFGABE) und hat deshalb eineZerlegung ρ =

∑l λl|l〉〈l| mit reellen Eigenwerten, die wegen der Positivitat λl ≥ 0 sind,

weshalb mit der Normierung Tr(ρ) = 1 =∑

l λl die Darstellung ρ =∑

l λl|l〉〈l| einEnsemble (λl, |l〉) beschreibt. Die umgekehrte Richtung erfolgt aus Gl.(A.14), (A.17).QED.

Man beachte, dass ein Dichteoperator ρ ein Ensemble nicht eindeutig festlegt: Ver-schiedene Ensembles (λl, |l〉), (pn, |n〉) konnen zu ein und demselbem ρ gehoren (s.u.).In der (pn, |n〉)-Darstellung ρ ≡

∑n pn|n〉〈n|, Gl. (A.11), haben wir eine Diagonaldar-

stellung, die sich auf die Basis |n〉 bezieht und die in Matrixform als

ρ =

p1 0 0 ...0 p2 0 ...0 0 p3 00 ... ... ...

(A.18)


geschrieben wird - daher der Name Dichtematrix. Im Allgemeinen ist das bei einer un-endlichdimensionalen Basis eine unendlichdimensionale Matrix.

Es gilt (AUFGABE) folgende Ungleichung:

Tr(ρ2) ≤ 1. (A.19)

Insbesondere definiert man

ρ2 = ρ, Tr(ρ2) = 1, reiner Zustand. (A.20)

ρ2 6= ρ, Tr(ρ2) < 1, gemischter Zustand. (A.21)

Ein reiner Zustand hat die Form ρ = |Ψ〉〈Ψ|, d.h. alle Wahrscheinlichkeiten pn sind Nullbis auf die eine, die eins ist und zum Projektor |Ψ〉〈Ψ| gehort.

A.1.2 Spezialfall Spin 1/2: die Bloch-Sphare

Der Dichteoperator ρ ist in diesem Fall eine hermitische 2 mal 2 Matrix mit Spur 1. Esgilt folgendes Theorem:

Satz 9. Es gibt eine 1-zu-1-Beziehung zwischen allen Dichtematrizen ρ eines Spin 1/2und den Punkten der Einheitskugel (‘Bloch-Sphare’) |p| ≤ 1,

ρ ≡ 1

2

(1 + pσ

)(A.22)

mit einem reellen dreikomponentigem Vektor p und dem Vektor σ der Pauli-Matrizen.Die reinen Zustande entsprechen dem Rand der Bloch-Sphare |p| = 1. Allgemein gilt furdie Erwartungwerte der Spinkomponenten σx, σy, σz in einem (gemischten oder reinen)Zustand ρ,

〈σi〉 ≡ Tr(ρσi) = pi, i = x, y, z. (A.23)

Zum Beweis: Mit den Eigenwerten λ1, λ2 von ρ gilt

λ1λ2 = det ρ =1

4

(1− p2

). (A.24)

Damit gilt: a) ρ ≥ 0 positiv (semi)definit λ1λ2 ≥ 0 |p| ≤ 1. b) |p| ≤ 1 λ1λ2 ≥ 0,wegen λ1 + λ2 konnen nicht beide λi negativ sein λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0 ρ ≥ 0. Also: ρ istDichtematrix ↔ |p| ≤ 1 .

Fur |p| = 1 ist p ein Einheitsvektor - dann gilt (AUFGABE)

(pσ)2 = 1, |p| = 1 (A.25)

In diesem Fall hat man explizit

ρ2 =1

2

(1 + pσ

) 1

2

(1 + pσ

)=

1

4

(1 + 2pσ + (pσ)2

)=

1

2

(1 + pσ

)= ρ, (A.26)


d.h. ρ ist ein reiner Zustand, also ein Projektionsoperator. Weiterhin gilt die Gleichung(AUFGABE)

1

2Trσiσj = δij , i = 1, 2, 3, (A.27)

aus der man mit Trσi = 0 direkt

Tr(ρσi) =1

2Tr((

1 + p1σ1 + p2σ2 + p3σ3

)σi)

= pi (A.28)

folgert. QED.Wir wollen uns die zwei Extremfalle von Spin 1/2-Zustanden nochmal genauer an-

schauen:

A.1.2.1 Reiner Zustand mit |p| = 1

In diesem Fall beschreibt die Dichtematrix also einen reinen Zustand ρ (Projektionsope-rator) mit ρ2 = ρ. Dann gilt wegen (pσ)2 wieder

(pσ)ρ = (pσ)1

2

(1 + pσ

)=

1

2

(pσ + 1

)= ρ. (A.29)

Unser reiner Zustand ist also gerade der Projektor

ρ = ρ(p) = | ↑,p〉〈↑,p|, |p| = 1, (A.30)

denn (pσ)| ↑,p〉 = | ↑,p〉 ist ja gerade die Eigenwertgleichung fur den Spin-Zustandmit ‘spin-up’ fur die SG-Apparatur in p-Richtung. Die Einheits-Vektoren p mit |p| = 1auf der Oberflache der Blochsphare beschreiben also Eigenzustande | ↑,p〉 mit ‘spin-up’fur die SG-Apparatur in p-Richtung. Fur die Richtung p = ez haben wir dann z.B. dieexplizite Darstellung

ρ ≡ | ↑ ez〉〈↑ ez| =(

1 00 0

)z

, (A.31)

wobei wir mit dem Index z an der Matrix die Basis kennzeichnen. An dieser Darstel-lung erkennen wir noch einmal, daß es sich um einen Ensemble handelt, in dem wirmit Wahrscheinlichkeit w↑ = 1 den Zustand | ↑ ez〉 und mit Wahrscheinlichkeit w↓ = 0den Zustand | ↓ ez〉 antreffen. Das heißt aber naturlich nicht, daß damit alle Mess-ergebnisse deterministisch festgelegt waren: Nur wenn wir den Spin σz in z-Richtungmessen und diese Messung z.B. mit vielen identisch praparierten Systeme, die durch dasρ, Gl. (A.31), beschrieben werden, wiederholen, finden wir stets das Ergebnis ‘spin-up’.Bei einer Messung von σx in x-Richtung finden wir mit diesem Zustand die zwei Mess-werte ‘spin-up’ und ‘spin-down’, die den zwei Eigenwerten von σx entsprechen: Es giltja (NACHPRUFEN!)

| ↑ ez〉 =1√2

(| ↑ ex〉+ | ↓ ex〉) , (A.32)


und die entsprechenden quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten sind jeweils(

1√2

)2=

12 .

Die Dichtematrix eines reinen Zustands hat nun allerdings keineswegs stets die ein-fache Gestalt Gl. (A.31): Fur den reinen Zustand ‘Spin-up’ in x-Richtung haben wirbeispielsweise

ρ ≡ | ↑ ex〉〈↑ ex| =1

2

(1 11 1

)z

, (A.33)

wie man mit

| ↑ ex〉 =1√2

(| ↑ ez〉+ | ↓ ez〉) (A.34)

durch Ausmultiplizieren findet. In der z-Basis ist die Dichtematrix fur diesen Zustandalso voll besetzt.

A.1.2.2 Gemischter Zustand mit |p| = 0

In diesem Fall beschreibt die Dichtematrix einen gemischten Zustand ρ = 12 1, der durch

die Mitte der Blochsphare representiert wird. Wir wollen diesen Zustand in einer Basis-darstellung schreiben. Mit den Basis-Kets | ↑ ez〉, | ↓ ez〉 fur Stern-Gerlach-Apparaturin z-Richtung schreibt sich ρ als

ρ =1

2| ↑ ez〉〈↑ ez|+

1

2| ↓ ez〉〈↓ ez| =

1

2

(1 00 1

)z

, (A.35)

wobei wir mit dem Index z die Basis kennzeichnen. Interessant ist nun, daß wir diesen(gemischten) Zustand ρ genauso gut als

ρ =1

2| ↑ ex〉〈↑ ex|+

1

2| ↓ ex〉〈↓ ex| =

1

2

(1 00 1

)x

, (A.36)

d.h. als Gemisch bezuglich der Basis fur die x-Richtung der SG-Apparatur schreibenkonnen! Genauso geht das fur eine Basis | ↑ n〉, | ↓ n〉, die sich auf eine beliebigeRichtung n bezieht (AUFGABE). Fur diesen Zustand ist also uberhaupt keine Spin-Richtung ausgezeichnet!

A.1.3 Zeitentwicklung, Liouville-von-Neumann-Gleichung

Jetzt betrachten wir die unitare Zeitentwicklung eines Zustands ρ, die einfach aus derSchrodingergleichung folgt:

i∂

∂t|Ψ(t)〉 = H|Ψ(t)〉 |Ψ(t)〉 = U(t)|Ψ(0)〉 (A.37)

i∂

∂tU(t) = HU(t) (A.38)

U(t) = e−iHt, Zeitentwicklungsoperator. (A.39)


Es folgt nun

ρ(t) =∑n

pn|n(t)〉〈n(t)| =∑n

pnU(t)|n(0)〉〈n(0)|U †(t) (A.40)

= U(t)ρ(0)U †(t), (A.41)

und die Zeitentwicklung des Zustands ist

i∂

∂tρ(t) = = HU(t)ρ(0)U †(t)− U(t)ρ(0)U †(t)H (A.42)

= [H, ρ(t)], Liouville-von-Neumann-Gleichung . (A.43)

Da U(t) unitar, ist die Zeitentwicklung von ρ(t) unitar. Das wird sich andern (s.u.), wennwir Information aus ρ(t) ‘herausreduzieren’ (reduzierte Dichtematrix). Die Liouville-von-Neumann-Gleichung ist der Ausgangspunkt der Nichtgleichgewichts-Quanten-statistik. Aus ρ(t) = U(t)ρ(0)U †(t) folgt weiterhin

[ρ(0), H] = 0 ρ(t) = ρ(0) ∀t, (A.44)

d.h. falls der Zustand ρ mit dem Hamiltonian fur eine bestimmte Zeit (t = 0 hier)vertauscht, ist er fur alle Zeiten konstant (auch t < 0)! 1 Deshalb die

Definition Ein Gleichgewichtszustand eines durch einen Hamiltonian H beschrie-benen Systems ist ein Zustand ρ, der mit H vertauscht.

A.1.4 Entropie, thermische Zustande

Man definiert die von-Neumann-Entropie eines Zustands ρ als

S = −kBTr (ρ ln ρ) = −kB∑n

pn ln pn. (A.45)

Hierbei hat man im letzten Schritt die Diagonaldarstellung von ρ =∑

n pn|n〉〈n| benutzt,sowie die Funktion eines Operators X in Diagonaldarstellung,

X =∑n

xn|n〉〈n| f(X) =∑n

f(xn)|n〉〈n|. (A.46)

(uberprufe mit Taylor-Entwicklung von f). Es gilt

S = 0, reiner Zustand (A.47)

S > 0, gemischter Zustand. (A.48)

Die von-Neumann-Entropie, die ja nur von den Basis-unabhangigen Eigenwerten pn derDichtematrix abhangt, ist also ein Maß fur die ‘Gemischtheit’ eines Zustands ρ.

1 vgl. mit holomorphen Funktionen: f(z) = const auf einem (kleinen) Gebiet der komplexen Ebene f(z) =const uberall.


Fur thermische Gleichgewichts-Zustande werden die Wahrscheinlichkeiten pnin der Quantenstatistik bestimmt. Fur das ‘Warmebad-Ensemble’ (kanonisches En-semble) eines Systems mit Hamiltonoperator H und Eigenwertgleichung H|n〉 = En|n〉haben wir

ρ =∑n

e−βEn

Z|n〉〈n| = 1

Ze−βH , Z = Tre−βH . (A.49)

Hierbei ist die Exponentialfunktion eines Operators einfach uber die Potenzreihedes Operators definiert, und

β =1

kBT, kB Boltzmann-Konstante (A.50)

mit der Gleichgewichts-Temperatur T .

A.2 Zusammengesetzte Systeme

Ein quantenmechanisches System kann ausN Teilsystemen bestehen (Engl. ‘N-partite’)und wird dann durch das Tensorprodukt der Hilbertraume der Teilsysteme beschrieben,

H = H1 ⊗ ...⊗HN . (A.51)

Daraus ergibt sich der großte Bruch mit der klassischen Physik: das Auftreten von Ver-schrankung (s.u.).

A.2.1 Bipartite Systeme

Der wichtigste Fall sind zunachst bipartite Systeme (N = 2),

H = HA ⊗HB. (A.52)

Den einfachsten Fall hatten wir bereits bei der Beschreibung des Spins im Hilber-traum der Spinoren kennengelernt: Hier war einer der Hilbertraume der HR der Bahn-Wellenfunktionen, der andere der HR der Spin-Wellenfunktionen (zweikomponentigeVektoren).

Der nachste Fall ist der, in dem man tatsachlich zwei verschiedene physikalischeSysteme, die auch miteinander wechselwirken durfen, in einem gemeinsamen Rahmenbeschtreiben mochte. Als Beispiel betrachten wir zwei Beobachter A und B, die jeweilsein Spin-1

2 -Teilchen (‘Spin-12 ’) vor sich haben. Die gesamte Wellenfunktion beider Spins

laßt sich dann nach folgender Basis entwickeln:

|0〉A ⊗ |0〉B, |1〉A ⊗ |0〉B, |0〉A ⊗ |1〉B, |1〉A ⊗ |1〉B, (A.53)

wobei

|0〉A ≡ | ↑, ez〉A, |1〉A ≡ | ↓, ez〉A (A.54)


die Basisvektoren des Spinraums C2 (bezuglich einer Stern-Gerlach-Apparatur in z-Richtung) sind, und entsprechend fur Beobachter B.

Ein allgemeiner Zustand fur das System aus zwei Qubits schreibt sich dann als

|Ψ〉 =1∑

ab=0

cab|a〉 ⊗ |b〉 ≡ c00|00〉+ c01|01〉+ c10|10〉+ c11|11〉. (A.55)

Im letzten Schritt haben wir hier bereits die Abkurzungen

|0〉A ⊗ |0〉B ≡ |00〉 (A.56)

etc. eingefuhrt, um Schreibarbeit zu sparen.Wir betrachten nun den Fall hoherdimensionaler Hilbertraume. Haufige Anwendun-

gen treten bei der Beschreibung von Dissipation und Dekoharenz auf. Hierfur benotigtman, wie in der Thermodynamik, ein Gesamtsystem, das sich aus zwei Anteilen zusam-mensetzt: System und Bad. Sei das Gesamtsystem im reinen Zustand |Ψ〉, den wir wiefolgt zerlegen:

|Ψ〉 =∑ab

cab|a〉 ⊗ |b〉 (A.57)

wobei |a〉 ein VOS in HA und |b〉 ein VOS in HB. Die Matrix c ist dabei i. A. rechteckig,

c↔

c11 ... ... c1N

c21 ... ... c2N

... ... ... ...cM1 ... ... cMN

, dim(HA) = M, dim(HB) = N, (A.58)

denn die Dimensionen der Hilbertraume brauchen ja nicht ubereinzustimmen.

A.2.2 Reduzierte Dichtematrix

Jetzt kommt mit dem Begriff der reduzierten Dichtematrix der eigentliche Auftritt derDichtematrix als unverzichtbares Konzept in der Quantenmechanik. Die reduzierte Dich-tematrix spielt eine zentrale Rolle bei der Quantifizierung von Informationsverlust, Ver-schrankung, Dekoharenz bis hin zum Messprozess.

Im zusammengesetzten System A + B wollen wir uns nur fur die Information uberdas System A interessieren, d.h. Erwartungswerte aller Observablen A des Systems A,aber nicht die von B. Diese reduzierte Information liegt z.B fur einen Beobachter Avor, der keinen Zugang zum System B hat bzw. keine Moglichkiet, etwas uber B zuerfahren. Im Falle eines System-Bad Hilbertraums, HS ⊗HB, kann das umgebende Badz.B.zwar an das System gekoppelt, ansonsten aber unzuganglich sein.

Wir nehmen wieder an, daß sich das Gesamtsystem durch eine Wellenfunktion |Ψ〉 =∑ab cab|a〉⊗|b〉, Gl. (A.57), beschrieben wird, sich also in einem reinen Zustand befindet.


Die Erwartungswerte einer Observablen in A sind dann wie immer einfach durch dieSkalarprodukte gegeben,

〈A〉 = 〈Ψ|A⊗ 1|Ψ〉, Observable operiert nur in HA (A.59)

=∑aba′b′

c∗abca′b′〈b| ⊗ 〈a|A⊗ 1|a′〉 ⊗ |b′〉 =∑aba′

c∗abca′b〈a|A|a′〉 (A.60)

≡ TrA(ρAA), ρA ≡∑aba′

c∗abca′b|a′〉〈a|. (A.61)

Hiermit wird der reduzierte Dichteoperator ρA des Teilsystems A definiert, dessenKenntnis die Berechnung samtlicher Erwartungswerte in A ermoglicht. Die Spur TrAwird dabei nur im Teilraum A ausgefuhrt! Es gilt

ρA = TrB (|Ψ〉〈Ψ|) =∑aba′b′

c∗abca′b′TrB(|a′〉 ⊗ |b′〉〈b| ⊗ 〈a|

)(A.62)

=∑aba′

c∗abca′b|a′〉〈a| =∑aa′

(cc†)a′a|a′〉〈a| (A.63)

(cc†)

=

c11 ... ... c1N

c21 ... ... c2N

... ... ... ...cM1 ... ... cMN

c∗11 ... c∗M1

c∗12 ... c∗M2

... ... ...

... ... ...c∗1N ... c∗MN

. (A.64)

Weiterhin gilt (AUFGABE)

ρA = ρ†A, TrAρA = 1, ρA ≥ 0. (A.65)

Deshalb definiert ρA tatsachlich einen Dichteoperator in HA.Wie sieht das konkret aus? Wir nehmen als BEISPIEL ein System aus zwei Qubits

A und B, das sich im Zustand

|Ψ〉 ≡ a|00〉+ b|11〉 ≡ a|0〉A ⊗ |0〉B + b|1〉A ⊗ |1〉B (A.66)

befinde. Fur die Koeffizienten a, b ∈ C muß wegen der Normierung

|a|2 + |b|2 = 1 (A.67)

gelten. Die Dichtematrix in A folgt zu

ρA = |a|2|0〉〈0|A + |b|2|1〉〈1|A =

(|a|2 00 |b|2

). (A.68)

Den Spezialfall a = b = 1/√

2 schauen wir uns noch etwas genauer an. Der Gesamtzu-stand sei

|Ψ〉 ≡ 1√2

(| ↑ ez〉A ⊗ | ↑ ez〉B + | ↓ ez〉A ⊗ | ↓ ez〉B) . (A.69)


Wir haben hier jeweils ez in den Vektoren geschrieben, um die Basis mit ‘Stern-Gerlach-Apparatur’ in z-Richtung zu bezeichnen. Die Dichtematrix ρA lautet

ρA =1

2| ↑ ez〉A〈↑ ez|+

1

2| ↓ ez〉A〈↓ ez| =

1

2

(1 00 1

). (A.70)

In der Blochsphare ist das ein Zustand Gl. (A.22) mit p = 0, d.h. genau im Ursprung.Interessant ist nun, daß wir diesen (gemischten) Zustand ρA genauso gut als

ρA =1

2| ↑ ex〉A〈↑ ex|+

1

2| ↓ ex〉A〈↓ ex|, (A.71)

d.h. als Gemisch bezuglich der Basis fur die x-Richtung der SG-Apparatur schreibenkonnen, und genauso fur jede beliebige Richtung n (AUFGABE). Fur den BeobachterA ist also uberhaupt keine Spin-Richtung ausgezeichnet! Er hat einen Spin-Zustand ρA,bei dessen Messung in einer beliebige Richtung n jeweils Spin ↑ und Spin ↓ mit dengleichen Wahrscheinlichkeiten 1

2 auftreten.

A.2.3 Reine und verschrankte Zustande

Definition Zustande |Ψ〉 eines bipartiten Systems H = HA ⊗HB heissen reine Ten-soren (separabel), falls sie sich in der Form

|Ψ〉 = |φ〉A ⊗ |φ′〉B, reiner Tensor (A.72)

mit (normierten) |φ〉A ∈ HA und |φ′〉B ∈ HB schreiben lassen. Zustande |Ψ〉, die sichnicht als reine Tensoren schreiben lassen, heissen verschrankt.

Wenn |Ψ〉 separabel ist, folgt fur die zugehorigen reduzierten Dichteoperatoren

ρA = TrB|φ〉A ⊗ |φ′〉B〈φ′| ⊗ 〈φ| (A.73)

= |φ〉A〈φ| × TrB|φ′〉B〈φ′| = |φ〉A〈φ| (A.74)

ρ2A = ρA, |Ψ〉 separabel ρA rein. (A.75)

Entsprechend ist dann auch ρB rein. Wenn |Ψ〉 verschrankt ist, gilt nicht mehr ρ2A = ρA,

es muss also TrAρ2A < 1 gelten und deshalb

|Ψ〉 verschrankt ρA Gemisch und ρB Gemisch.

Wir werden weiter unten die physikalischen Konsequenzen der Verschrankung diskutie-ren.AUFGABE 1 a) Betrachte das 2-Qubit (zwei Systeme A und B),

|Ψ〉 ≡ a|00〉+ b|11〉 ≡ a|0〉A ⊗ |0〉B + b|1〉A ⊗ |1〉B (A.76)

ρA = |a|2|0〉〈0|A + |b|2|1〉〈1|A, (A.77)

wobei ρA die reduzierte Dichtematrix fur A ist. Fur welche a, b ist |Ψ〉 verschrankt ?


AUFGABE 1b) Betrachte das 2-Qubit

|Ψ〉 ≡ 1√2

(|01〉+ |11〉) (A.78)

Berechne hierfur die reduzierte Dichtematrix ρA. Ist |Ψ〉 verschrankt ?AUFGABE 2. Ein Spin 1

2 (System A) sei an ein ‘Warmebad’ (System B) mitN Zustandengekoppelt. Das Gesamtsystem befinde sich im normierten Zustand

|Ψ〉 ≡ | ↑〉 ⊗ (α1|1〉+ ...+ αN |N〉) + | ↓〉 ⊗ (β1|1〉+ ...+ βN |N〉) (A.79)

mit komplexen Koeffizienten, die alsN -komponentige Vektoren ~α und ~β zusammengefaßtwerden.a) Drucken Sie die reduzierte Dichtematrix ρA fur System A mittels der Vektoren ~α und~β aus.b) Berechnen Sie die Eigenwerte λ± von ρA und uberprufen Sie, daß ρA tatsachlich eineDichtematrix ist.c) Diskutieren Sie fur reelle ~α und ~β mit |~α| = |~β die Abhangigkeit der von-NeumannEntropie S ≡ −Tr (ρA ln ρA) vom Winkel zwischen ~α und ~β. Wann ist der Zustand |Ψ〉verschrankt?

A.2.4 Die Schmidt-Zerlegung

Ausgehend von einem reinen Zustand |Ψ〉 eines bipartiten Systems H = HA⊗HB erhaltman die reduzierten Dichtematrizen ρA (fur System A) und ρB (fur System B). Wiehangen ρA und ρB miteinander zusammen, und wie lassen sie sich charakterisieren? Wirbeginnen mit einem

Satz 10. Jeder Zustand (Tensor) |Ψ〉 eines bipartiten Systems H = HA ⊗ HB kannzerlegt werden als

|Ψ〉 =∑n

λn|αn〉 ⊗ |βn〉, λn ≥ 0, (A.80)

wobei |α〉 ein VOS in HA und |β〉 ein VOS in HB ist.

Beweis: Zunachst fur dim(HA) = dim(HB) = N (endlichdimensional). Ein Tensorlasst sich immer schreiben als |Ψ〉 =

∑ab cab|a〉 ⊗ |b〉 mit |a〉 ein VOS in HA und

|b〉 ein VOS in HB. Wir zerlegen die quadratische Matrix C (Elemente cab) mit derSingularwertzerlegung (singular value decomposition) (s.u.),

C = UDV, U ,V unitar, D = diag(λ1, ..., λN ), λn ≥ 0 diagonal. (A.81)

Man hat dann

|αn〉 ≡∑a

Uan|a〉, |βn〉 ≡∑b

Vnb|b〉 (A.82)

|Ψ〉 =∑abn

UanDnnVnb|a〉 ⊗ |b〉 =∑n

λn|αn〉 ⊗ |βn〉, (A.83)

wie behauptet. QED. Hier ist noch das


Satz 11. Singularwertzerlegung: Jede quadratische Matrix A lasst sich zerlegen als

A = UDV, U ,V unitar, D = diag(λ1, ..., λN ), λn ≥ 0 diagonal. (A.84)

Die Diagonalelemente von D heissen die singularen Werte der Matrix A.

Bemerkung: diese Zerlegung ist allgemeiner als die Spektralzerlegung fur hermite-sche Matrizen H, H = UDU † mit diagonalem (aber nicht unbedingt positivem) D undunitarem U und kann auch einfach auf rechteckige Matrizen erweitert werden. Literatur:NIELSEN/CHUANG.

Diskussion der Schmidt-Zerlegung:

• Man hat also statt der doppelten Summe |Ψ〉 =∑

ab cab|a〉 ⊗ |b〉 nur eine einfacheSumme |Ψ〉 =

∑n λn|αn〉 ⊗ |βn〉, λn ≥ 0.

• Folgerung fur die reduzierten Dichtematrizen ρA (fur System A) und ρB (fur Sys-tem B):

ρA =∑n

λ2n|αn〉〈αn|, ρB =

∑n

λ2n|βn〉〈βn|, (A.85)

d.h. die reduzierten Dichtematrizen in beiden Teilsystemen haben dieselben Eigen-werte λ2

n! Die Kenntniss von ρA und ρB ist allerdings nicht ausreichend, um denZustand |Ψ〉 zu rekonstruieren: die Information uber die Phasen der |αn〉, |βn〉 istin ρA und ρB nicht enthalten!

• Fur zwei verschiedene Ausgangszustande |Ψ〉 und |Ψ′〉 erhalt man i.A. Schmidt-Zerlegungen mit verschiedenen VOS in HA und HB. Die VOS |α〉 und |β〉 inder Schmidt-Zerlegung |Ψ〉 =

∑n λn|αn〉 ⊗ |βn〉 hangen also ganz vom Ausgangs-

zustand |Ψ〉 ab.

• Die von-Neumann-Entropie S = −kB∑

n λ2n lnλ2

n ist dieselbe fur beide ZustandeρA und ρB.

• Fur dim(HA) 6= dim(HB) gibt es in genau der gleichen Weise eine Schmidt-Zerlegung, nur dass einige der λn dann Null sein konnen.

• Die Anzahl der von Null verschiedenen Eigenwerte λn in der Schmidt-Zerlegungvon |Ψ〉 heisst Schmidt-Zahl nS . Fur nS = 1 ist der Zustand |Ψ〉 separabel, furnS > 1 ist er verschrankt.

B. KUMULANTEN-ERZEUGENDE FUNKTIONENIN DER THERMODYNAMIK

B.1 Mikrokanonische Gesamtheit und Fluktuationen der Energie

Wir bestimmen die Besetzungswahrscheinlichkeiten pα fur Mikrozustande α fur abge-schlossene Systeme mit konstanter Gesamtenergie E (SKRIPT THERMODYNAMIK).Im Folgenden bezeichnen wir die Energien der Mikrozustande α bei fester TeilchenzahlN mit ENα .

B.1.1 Fall: Diskrete Gesamtenergien E

z.B. endliche Spinsysteme. In diesem Fall pα ∝ δE,ENα (Kronecker-Symbol), und Mini-mierung der Shannon-Information liefert

0 =∑α

δE,ENα (ln pα + 1 + λ) δpα (B.1)

pα =δE,ENα∑α δE,ENα

≡δE,ENα

Ω(E,N), mikrokanonische Verteilung (B.2)

Ω(E,N) =∑α

δE,ENα , mikrokanonische Zustandssumme. (B.3)

Die mikrokanonische Zustandssumme Ω(E,N) gibt einfach die Anzahl aller Eigenzustande(Mikrozustande α) des N -Teilchensystems mit Gesamtenergie E an. Damit wird dieEntropie zu

SB(E,N) ≡ −kB∑α

pα ln pα = kB ln Ω(E,N), Boltzmann-Entropie (B.4)

Zusammenhang mit der kanonischen Verteilung: die kanonische Zustandssumme ist

Z(β,N) =∑α

e−βENα =

∑E

∑α

δE,ENα e−βE =

∑E

Ω(E,N)e−βE (B.5)

Man hatte an dieser Stelle gerne eine Moglichkeit, zwischen Z(β,N) und Ω(E,N) hin-und herzutransformieren. Fur diskrete Gesamtenergie gibt es allerdings i.a. keine solcheTransformation. Das ist anders im kontinuierlichen Fall:

B. Kumulanten-erzeugende Funktionen in der Thermodynamik 109

B.1.2 Fall: Kontinuierliche Gesamtenergien E

Dort wird die diskrete Summe uber E durch ein Integral uber E folgendermassen ersetzt:

Z(β,N) =∑E

Ω(E,N)e−βE , Ω(E,N) ≡∑α

δE,ENα , diskret (B.6)

Z(β,N) =

∫ ∞−∞

dEνN (E)e−βE , νN (E) ≡∑α

δ(E − ENα ), kont. (B.7)

Hier ist

νN (E) ≡∑α

δ(E − ENα ), N-Teilchen Zustandsdichte. (B.8)

Die N -Teilchen Zustandsdichte der mikrokanonischen Gesamtheit und die Zustandss-umme der kanonischen Gesamtheit sind also einfach durch eine Fourier-Transformationmiteinander verbunden:

Z(iβ,N) =

∫ ∞−∞

dEνN (E)e−iβE (B.9)

νN (E) =1

2π

∫ ∞−∞

dβZ(iβ,N)eiβE . (B.10)

Fur kontinuierliche Gesamtenergien ist die mikrokanonische Zustandssumme also zurN -Teilchen Zustandsdichte geworden. Entsprechend werden die Wahrscheinlichkeitenpα ∝ δE,ENα jetzt zu

pα =δ(E − ENα )

νN (E). (B.11)

B.1.3 Fluktuationen der Energie

Im kanonischen Ensemble ist die Energie E des betrachteten Systems, im Gegensatz zummikrokanonischen Ensemble, nicht fixiert. Nur der der Mittelwert der Energie U ist fest,

U = 〈E〉 =1

Z(β,N)

∑α

ENα e−βENα = − ∂

∂βlnZ(β,N) (B.12)

=1

Z(β,N)

∫ ∞−∞

dEEνN (E)e−βE , E kontinuierlich (B.13)

=1

Z(β,N)

∑E

EΩ(E,N)e−βE , E diskret. (B.14)

Wir haben also eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (-dichte) p(E) fur die Energien imkanonischen Ensemble vorliegen, die durch

pE ≡ Ω(E,N)e−βE

Z(β,N), E diskret (B.15)

p(E) ≡ νN (E)e−βE

Z(β,N), E kontinuierlich (B.16)


gegeben ist. Wir wollen zeigen, dass p(E) im thermodynamischen Grenzfall N →∞, d.h.fur eine makroskopische Zahl von Teilchen, gegen eine scharfe Gauss-Verteilung strebt.

Zunachst ist fur diskrete E

pE =Ω(E,N)e−βE

Z(β,N)=e−βE+ln Ω(E,N)

Z(β,N)≡ e−βfB(E)

Z(β,N)(B.17)

fB(E) ≡ E − TSB(E,N), E diskret (B.18)

Wir wollen das Maximum E0 von pE bestimmen und hierzu fB(E) in eine Taylor-Reiheentwickeln. Das geht nur, falls fB(E) differenzierbar ist, d.h. fur kontinuierliche E. Wirsetzen deshalb die Boltzmann-Entropie fur diskrete E stetig fort zu kontinuierlichenWerten E. Eine solche Naherung, der dem Grenzfall unendlich grossen Volumens V →∞entspricht, war uns bereits beim idealen Gas in der Form des Ubergangs von der k-Summe zum Integral oben begegnet.

Wir fordern bei E = E0

0 = f ′B(E) = 1− T(∂SB∂E

)N,E=E0

(B.19)

Der Vergleich mit der Thermodynamik liefert hier wieder SB = S und E0 = U : dieBoltzmann-Entropie ist die thermodynamische Entropie, und das Maximum der Vertei-lung pE ist die innere Energie. Die freie Energie fB(E) ist dort minimal, und die zweiteAbleitung ist

f ′′(U) ≡ −T ∂2S(E,N)

∂E2

∣∣∣∣E=U

=1

TCV> 0 (B.20)

pE ∝ exp

− (E − U)2

2kBT 2CV

, (B.21)

naturlich mit der entsprechenden Normierung der Gauss-Verteilung. Insbesondere lesenwir ab

〈E2〉 − 〈E〉2 = kBT2CV ∝ N (B.22)√

〈E2〉 − 〈E〉2〈E〉

∝ 1√N, (B.23)

da die spezifische Warme wie die innere Energie U = 〈E〉 extensiv ist. Hierbei habenwir die thermodynamischen Relationen

∂S

∂E=

1

T,

∂T

∂E= − 1

T 2

∂T

∂E= − 1

T 2VV(B.24)

benutzt.


B.1.4 Kumulanten

Fur N → ∞ werden die Fluktuationen der Energie relativ zu ihrem Mittelwert offen-sichtlich immer kleiner: die Verteilung pE wird also immer scharfer. Wir quantifizierendiese Aussage:

Definition Die Kumulanten-erzeugende Funktion f(χ) einer W-Verteilung pE istdefiniert als

e−f(χ) =∑E

pEeiχE . (B.25)

Damit sind die Kumulanten κm der Verteilung wie folgt definiert:

−f(χ) = ln〈eiχE〉 =∞∑m=1

(iχ)m

m!κm. (B.26)

Es gilt also

κm = −(−i)m ∂m

∂χmf(χ)|χ=0 (B.27)

Man hat z.B. (check!)

κ1 = 〈E〉, κ2 = 〈E2〉 − 〈E〉2. (B.28)

Wir erinnern uns nun an die Transformation von Zufallsvariablen : Sei p(x) eine Wahr-scheinlichkeitsdichte fur die Zufallsgrosse x. Dann ist die entsprechende Wahrscheinlich-keitsdichte P (y) fur eine Funktion y = f(x) der Zufallsgrosse x gegeben durch

P (y) =

∫dxδ(y − f(x))p(x), kontinuierlicher Fall. (B.29)

Py =∑x

δy,f(x)px, diskreter Fall. (B.30)

Damit berechnen wir nun die Kumulanten-erzeugende Funktion der Energie in der ka-nonischen Verteilung. Diese ist nun gegeben durch

e−f(χ,N) =

∫dEp(E)eiχE , p(E) ≡ νN (E)e−βE

Z(β,N)=Z(β − iχ,N)

Z(β,N)(B.31)

d.h. als Quotient zweier kanonischer Zustandssummen, wenn die Temperatur als kom-plexe Variable aufgefasst wird. Wir entwickeln f(χ,N) in eine Taylorreihe in χ. DieAbleitungen von f(χ,N) = − lnZ(β − iχ,N) + lnZ(β,N) bei χ = 0 sind

f ′(χ,N) = i∂

∂βlnZ(β − iχ,N) f ′(χ = 0, N) = −i〈E〉 = −iκ1 (B.32)

f ′′(χ,N) = +∂2

∂β2lnZ(β − iχ,N)

f ′′(χ = 0, N) = − ∂2

∂β2βF (β,N) = kBT

2CV = κ2 (B.33)


(AUFGABE: Nachprufen der letzten Gleichung mit CV !) Da die freie Energie F =−β−1 lnZ extensiv ist, sind alle Ableitungen, d.h. die Kumulanten der Verteilung p(E),proportional zur Teilchenzahl N . Fur N →∞ fuhrt man jetzt die neue, dimensionsloseVariable

ε ≡ E − κ1√κ2≡ E − U√

kBT 2CV(B.34)

ein. Die Variable ε ist die um ihren Mittelwert U verschobene Energie E, gemessen inEinheiten der Fluktuation

√〈E2〉 − 〈E〉2. Fur N → ∞ ist nun ε normalverteilt! Das

sieht man so: die Kumulanten-erzeugende Funktion K zur W-Dichte P (ε) fur ε ist

e−K(χ,N) =

∫dεP (ε)eiχε =

∫dε

∫dEp(E)δ

(ε− E − κ1√

κ2

)eiχε

=

∫dEp(E)eiχ(E−κ1)/

√κ2 = e−iχκ1/

√κ2Z(β − iχ/√κ2, N)

Z(β,N). (B.35)

Beim Entwickeln von K(χ,N) in eine Taylorreihe in χ ist nun im Vergleich zu f(χ,N)oben die Variable χ mit 1√

κ2skaliert,

K(χ,N) = iχκ1/√κ2 − i

χ√κ2κ1 +

(χ/√κ2)2

2κ2 +

(χ√κ2

)3

O(N) (B.36)

=1

2χ2 +O

(1√N

). (B.37)

Alle weiteren Terme haben die Form O(N)×(χ/√κ2)k mit k = 4, 5, ... (der Vorfaktor ist

als Ableitung der freien Energie immer ∝ N) und fallen deshalb wegen κ2 ∝ N starkerals 1

√N ab. Deshalb ist P (ε) eine Gauss-Verteilung mit Mittelwert 0 und Breite 1 fur

N →∞,

e−K(χ,N→∞) = e−12χ2

=

∫dεP (ε)eiχε

P (ε) =1

2π

∫dχe−iχεe−

12χ2

=1√2πe−

ε2

2 . (B.38)

Hierbei haben wir das nutzliche Gauss-Integral∫ ∞−∞

dxe−ax2+bx =

√π

aeb2

4a (B.39)

benutzt.

B.2 Grosskanonische Gesamtheit

Wir betrachten jetzt offene Systeme, die sich in Kontakt mit einem Teilchenreservoirbefinden und bei denen die Teilchenzahl deshalb nicht mehr langer konstant ist. Die


Wahrscheinlichkeiten pα der Mikrozustande werden wieder aus der Minimierung derShannon-Information bestimmt. Als Nebenbedingung fixieren wir

U =∑α

Hαpα, Mittelwert der Gesamtenergie (B.40)

N =∑α

Nαpα, Mittelwert der Gesamtteilchenzahl (B.41)

mit

Nα = 〈α|N |α〉 (B.42)

als Erwartungswert der Gesamtteilchenzahl im Zustand α.Das fuhrt auf

0 =∑α

(ln pα + 1 +

[λ(0)1 + λ(1)Hα + λ(2)Nα

])δpα (B.43)

pα =e−βE

Nα +βµNα∑

α e−βENα +βµNα

, grosskanonische Verteilung , (B.44)

wobei λ(1) ≡ β und λ(2) ≡ βµ gesetzt wurden. Wir haben also

pα =e−β(ENα −µNα)

Zgk, grosskanonische Verteilung (B.45)

Zgk =∑α

e−β(ENα −µNα), grosskanonische Zustandssumme . (B.46)

B.2.1 Entropie. Anschluss an die Thermodynamik

Wieder uber

I =∑α

pα ln pα = − lnZgk − βU + βµN. (B.47)

Wiederum Ableiten nach U und N gibt

∂I

∂U= −β, ∂I

∂N= βµ, (B.48)

und Vergleich mit der Thermodynamik

∂S

∂U=

1

T β =

1

kBT, S = −kBI[pα] (B.49)

∂S

∂N=−µT, µ: chemisches Potential. (B.50)

Desweiteren

U − TS − µN = −kBT lnZgk. (B.51)


Vergleich mit der Thermodynamik zeigt also

−p(T, V, µ)V = Ω(T, V, µ) = −kBT lnZgk. (B.52)

Die grosskanonische Zustandssumme fuhrt also direkt zum grosskanonischen Potentialder Thermodynamik!

B.2.2 Kumulanten-erzeugende Funktion der Teilchenzahl

Wir gehen jetzt, wie bei der kanonischen Verteilung, direkt die Frage der Fluktuationenderjenigen thermodynamischen extensiven Variablen an, die im Gegensatz zur mikroka-nonischen Gesamtheit keine festen Werte haben, sondern nur als Mittelwerte vorgegebensind. Es sind dies bei der grosskanonischen Verteilung die Gesamtenergie E und die Ge-samtteilchenzahl n des betrachteten Systems. Der Erwartungswert von n ist

N =1

Zgk

∑α

Nαe−β(Eα−µNα) = (B.53)

=

∑∞n=0

∑α δNα,nne

−β(Eα−µn)∑∞n=0

∑α δNα,ne

−β(Eα−µNα)=

∑∞n=0 ne

βµnZ(β, n)∑∞n=0 e

βµnZ(β, n), (B.54)

wobei Z(β, n) die kanonische Zustandssumme mit n Teilchen ist. Wir haben also ei-ne Wahrscheinlichkeitsverteilung pn fur die Gesamtteilchenzahl n im mikrokanonischenEnsemble,

pn =eβµnZ(β, n)∑∞n=0 e

βµnZ(β, n). (B.55)

Wir diskutieren die Fluktuationen von n durch Einfuhren der Kumulanten-erzeugendenFunktion der Teilchenzahl in der grosskanonischen Verteilung,

e−fgk(χ) =∞∑n=0

pneiχn =

Zgk(µ+ iχ/β)

Zgk(µ)(B.56)

ganz in Analogie zum kanonischen Fall. Wir entwickeln fgk(χ) um χ = 0,

fgk(χ) = iχ∂

∂µΩ− χ2

2β

∂2

∂µ2Ω + ... (B.57)

= −iχN +χ2

2β

∂

∂µN + ..., (B.58)

wo wir bereits ∂∂µΩ = −N benutzt haben. Jetzt benotigen wir noch

∂

∂µN =

κTN2

V, (B.59)


wobei κT die isotherme Kompressibilitat ist. Die Kumulanten der Verteilung pn sind also

κ1 = N, κ2 =kBTκTN

2

V(B.60)

Alle Kumulanten sind wegen Ω = −pV proportional zum Volumen, denn der Druck pist eine intensive Grosse und damit Volumen-unabhangig. 1 Es gilt also wieder

√κ2

κ1∝ 1√

V∝ 1√

N. (B.62)

Wie bei der Verteilung der Energie in der kanonischen Verteilung konnen wir also wiederumskalieren, die skalierte Teilchenzahl

ν ≡ n− κ1√κ2

=n−N√

kBTκTN2/V(B.63)

einfuhren und zeigen, dass fur V →∞ die Verteilung P (ν) gegen eine Gauss-Verteilungmit Mittelwert Null und Breite Eins strebt: die Fluktuationen der skalierten Teilchenzahlν sind in der grosskanonischen Gesamtheit asymptotisch normalverteilt. Auf der Skalader mittleren Gesamtteilchenzahl N , vgl. (B.60), gehen die Fluktuationen der Teilchen-zahl N im thermodynamischen Limes V →∞ gegen Null.

1 Beispiel: van-der-Waals Gas (p+ a

N2

V 2

)(V −Nb) = NkBT (B.61)

N ∝ V damit p und T intensive Grossen bleiben.

C. THEORIE DER LINEAREN ANTWORT

In diesem Kapitel sind weitere Kapitel der Linear-Response-Theorie aus dem SKRIPTvon 2012 zusammengefasst.

C.1 Die Relaxationsfunktion

(z.B. BRENIG, VL Prof. W. Zwerger Gottingen 1989). Ein zweiter Ansatz fur linearenAntwortfunktionen ist das Ausschalten einer Storung −fB zur Zeit t = 0, d.h.

H(t) = H0 − fBθ(−t). (C.1)

Zur Zeit t = 0 sei das System im thermischen Zustand

ρ ≡ e−β(H0−fB)

Z, Z ≡ Tre−β(H0−fB), (C.2)

der fur t ≥ 0 wegen [H0 − fB,H0] 6= 0 ein Nichtgleichgewichtszustand ist (Ausnahme:[H0, B] = 0).

Wir berechnen die Zeitentwicklung des Erwartungswerts einer Observable A,

〈A(t)〉 ≡ TrρA(t), A(t) ≡ eiH0tAe−iH0t (C.3)

Hier ist die Zeitentwicklung der Observable ‘einfach’ (mit H0) und der Zustand ρ0

‘schwierig’ (Storung −fB vorhanden), so dass wir eine Storungtheorie fur ρ0 ansetzen:dazu definieren wir eine Wechselwirkungsbild gemaß

e−βH = U(β)e−βH0 U ′(β) = ∂βe−βHeβH0 = e−βH (−H +H0) eβH0

= fe−βHeβH0e−βH0BeβH0 , (C.4)

also

U ′(β) = fU(β)B(iβ), B(iβ) ≡ e−βH0BeβH0 . (C.5)

Iteration bis zur ersten Ordnung in f ergibt

U(β) = 1 + f

∫ β

0dβ′B(iβ′) +O(f2). (C.6)

C. Theorie der Linearen Antwort 117

Die Zustandssumme wird dann

Z ≡ Tre−β(H0−fB) = TrU(β)e−βH0 = Tr

(1 + f

∫ β

0dβ′B(iβ′) + ...

)e−βH0

= Z0

(1 + f

∫ β

0dβ′〈B(iβ′)〉0

)+O(f2), Z0 ≡ Tre−βH0 , (C.7)

wobei der Erwartungswert 〈..〉0 mit ρ0 berechnet wird. Damit hat man

ρ ≡ e−β(H0−fB)

Z=

(1 + f

∫ β

0dβ′B(iβ′) + ...

)(1− f

∫ β

0dβ′〈B(iβ′)〉0 + ...

)e−βH0

Z0

=

(1 + f

∫ β

0dβ′(B(iβ′)− 〈B(iβ′)〉0

)) e−βH0

Z0+O(f2) (C.8)

und somit

〈A(t)〉 = 〈A(t)〉0 + f

∫ β

0dβ′(〈A(t)B(iβ′)〉0 − 〈A(t)〉0〈B(iβ′)〉0

)+O(f2)

= 〈A〉0 + f

∫ β

0dβ′(〈A(t)B(iβ′)〉0 − 〈A〉0〈B(iβ′)〉0

)+O(f2). (C.9)

Im letzten Schritt haben wir 〈A(t)〉0 = 〈A〉0 benutzt. Formal wird dieses Ergebnis jetztgeschrieben als

δ〈A(t)〉 = fΦAB(t) (C.10)

ΦAB(t) ≡ 〈A(t)|B†〉, Relaxationsfunktion ΦAB(t) , t > 0 (C.11)

mit der Definition

〈A(t)|B〉 ≡∫ β

0dβ′(〈A(t)B†(iβ′)〉0 − 〈A〉0〈B†(iβ′)〉0

), Mori-Skalarprodukt. (C.12)

B†(iβ) = e−βH0B†eβH0 . (C.13)

C.1.1 Thermische Suszeptibilitat

Fur t = 0 kann man aus dem Ergebnis fur δ〈A(t)〉 das Ergebnis der rein thermodynami-schen Storungstheorie ablesen: wir haben den thermischen Zustand in erster Ordnungin f und damit die Anderung der Erwartungswerte

χthAB ≡ ∂f TrρA|f=0 = ΦAB(0), thermische Suszeptibilitat , (C.14)

es gilt also

χthAB = ΦAB(0) =

∫ β

0dβ′(〈AB(iβ′)〉0 − 〈A〉0〈B(iβ′)〉0

). (C.15)


C.1.2 Klassischer Limes fur ΦAB(t)

Im klassischen Limes werden aus den Operatoren A und B c-Zahlen. Insbesondere hatman dann im Mori-Skalarprodukt B(iβ′) = B und deshalb

ΦclAB(t) = β (〈A(t)B〉0 − 〈A〉0〈B〉0) = β〈δA(t)δB〉0 (C.16)

mit δA(t) ≡ A(t) − 〈A〉0 und δB ≡ B − 〈B〉0. Die Relaxationsfunktion laßt sich alsodurch die Fluktuationen im ungestorten Gleichgewicht ausdrucken. Insbesondere gilt furdie thermische Suszeptibilitat im klassischen Limes

χth,clAB = β〈δAδB〉0 (C.17)

Manchmal wird bereits dieser Zusammenhang als eine Manifestation des Fluktuations-Dissipations-Theorems bezeichnet.

BEISPIEL: Im großkanonischen Ensemble hatten wir in der THERMODYNAMIKgefunden, dass

χth,clNN ≡

∂

∂µ〈N〉 =

κT 〈N〉2

V, (C.18)

wobei κT die isotherme Kompressibilitat ist und V das Volumen. Die Suszeptibilitat gibthier also die Anderung der mittleren Teilchenzahl bei einer Anderung des chemischenPotentials µ, gemaß

H = H0 − µN (C.19)

also mit f = µ und B = N (Gesamtteilchenzahloperator) in unserer Terminologie. Diezweite Kumulante κ2 der Verteilung pn der fluktuierenden Teilchenzahl war andererseits

κ2 ≡ 〈δNδN〉 =kBTκT 〈N〉2

V, (C.20)

also

χth,clNN =

∂

∂µ〈N〉 =

1

kBT〈δNδN〉, (C.21)

was mit unserem allgemeinen Ergebnis ubereinstimmt.

C.1.3 Zusammenhang zwischen χ– und Φ–Funktion

In der Definition der linearen Antwort uber die Suszeptibilitat

δ〈A〉t =

∫ t

−∞dt′χAB(t− t′)f(t′) (C.22)


(Anfangszeit t0 = −∞) setzen wir fur die außere Kraft

f(t) = fθ(−t) (C.23)

und erhalten dann

δ〈A〉t = f

∫ 0

−∞dt′χAB(t− t′) = f

∫ ∞t

dt′χAB(t′) ≡ fΦAB(t), (C.24)

wobei wir die Definition der Relaxationsfunktion Gl. (C.10) benutzt haben. Durch Dif-ferentiation nach t folgt also der allgemeine Zusammenhang

χAB(t) = − ∂

∂tΦAB(t). (C.25)

C.2 Die Kubo-Formel fur die Leitfahigkeit

(BRUUS/FLENSBERG) Der allgemeinste lineare Zusammenhang zwischen Stromdichtej und elektrischem Feld E lautet

j(r, t) =

∫ t

−∞dt′∫dr′σ(r, t; r′, t′)E(r′, t′), (C.26)

wobei σ eine Matrix ist und sich die r′–Integration uber den ganzen Raum erstreckt.Der Operator der Ladungsstromdichte fur Teilchen der Masse ml, Ladung ql mit

Orts– und Impuls–Operatoren xl, pl ist in erster Quantisierung

j(r, t) =∑l

ql2ml

[(pl −

qlc

A(r, t))δ(r− xl) + δ(r− xl)

(pl −

qlc

A(r, t))]. (C.27)

Hierbei ist A(r, t) das Vektorpotential, das uber

E(r, t) = −1

cA(r, t). (C.28)

das elektrische Feld erzeugen soll. Die Eichung ist so gewahlt, dass das skalare Potentialverschwindet. Der Stromdichteoperator besteht also aus zwei Anteilen;

j(r, t) = jp(r, t)−A(r, t)∑l

q2l

mlcδ(r− xl)

jp(r) ≡∑l

ql2ml

[plδ(r− xl) + δ(r− xl)pl] , paramagnetischer Strom (C.29)

Der zweite (diamagnetische) Term in j(r, t) ist bereits in erster Ordnung in A. Wirbenotigen also nur noch die lineare Antwort des paramagnetischen Stroms auf das Feld


A, das in erster Ordnung Storungstheorie einen zeitabhangigen Storoperator erzeugt.Dieser kommt aus der kinetischen Energie der Ladungen (minimale Kopplung)

H =∑l

1

2ml

(pl −

qlc

A(rl, t))2

=∑l

p2l

2ml−∑l

ql2mlc

[plA(rl, t) + A(rl, t)pl] +O(A2)

=∑l

p2l

2ml−∫drjp(r)A(r, t) +O(A2), (C.30)

C.2.1 Linear-Response-Ausdruck

Der Storoperator hat also die Form

−1

c

∫drjp(r)A(r, t), (C.31)

ist also eine lineare Uberlagerung von Operatoren vom Typ −f(t)B in Gl. (2.52). Ent-sprechend dem Ausdruck Gl. (2.52),

δ〈A〉t ≡∫ t

−∞dt′χAB(t− t′)f(t′), χAB(t− t′) ≡ iTr

(ρ0[A(t− t′), B]

)θ(t− t′)(C.32)

(Gleichgewichtskorrelationsfunktion) erhalten wir jetzt

〈jp(r)〉t = iTr

∫ t

−∞dt′(ρ0 [jp(r, t− t′),

∫dr′jp(r′)A(r′, t′)]

)+O(A2), (C.33)

wobei im Gleichgewicht 〈jp(r)〉0 = 0, weshalb also die Abweichung vom Gleichgewichts-wert δ〈jp(r)〉t = 〈jp(r)〉t. In Komponenten α, β = x, y, z ausgeschrieben ist das

〈jpα(r)〉t =

∫ t

−∞dt′∫dr′∑β

χαβ(r, r′; t− t′)1

cAβ(r′, t′) (C.34)

fur den paramagnetischen Strom mit

χαβ(r, r′; t) ≡ iθ(t)Tr(ρ0[jpα(r, t), jpβ(r′)]

), Strom-Strom-Korrelationsfunktion. (C.35)

Fur den gesamten Strom gilt also

〈jα(r)〉t =

∫ t

−∞dt′∫dr′∑β

χαβ(r, r′; t− t′)1

cAβ(r′, t′)

−∑l

q2l

mlcTr (ρ0δ(r− xl))

1

cAα(r, t) (C.36)


Hierbei ist Tr (ρ0δ(r− xl)) die dem l–ten Teilchen entsprechende (Wahrscheinlichkeits–)Dichte an der Stelle r im Gleichgewichtszustand, der wie immer durch ρ0 bezeichnet wirdund naturlich das Feld A nicht enthalt. Wenn wir mehrere Teilchensorten s = 1, ..., Ns

mit Ladungen qs und Massen ms unterscheiden wollen, konnen wir die Summen uberalle Teilchen l nach Sorten aufspalten,

∑l

q2l

mlcTr (ρ0δ(r− xl)) =

Ns∑s=1

q2s

mscns, (C.37)

wobei ns die Teilchen–Dichte der Teilchensorte s ist. Entsprechend kann man dann denparamagnetischen Strom als Summe

jp(r) =

Ns∑s=1

jps(r) (C.38)

schreiben.Fouriertransformation gibt jetzt mit dem Faltungssatz

〈jα(r)〉ω =

∫dr′∑β

[χαβ(r, r′;ω)− δαβδ(r− r′)

Ns∑s=1

q2s

msns

]1

cAβ(r′, ω). (C.39)

Diese Form ist jetzt ubersichtlicher, denn sie ist ‘lokal’ in der Frequenz ω. Entsprechendkonnen wir jetzt endlich das elektrische Feld einfuhren;

Aα(r, ω) =c

iωEα(r, ω) (C.40)

und erhalten damit den Leitfahigkeitstensor

〈jα(r)〉ω =

∫dr′∑β

σαβ(r, r′;ω)Eβ(r′, ω) (C.41)

σαβ(r, r′;ω) ≡χαβ(r, r′;ω)− δαβδ(r− r′)

∑Nss=1

q2smsns

iω. (C.42)

C.2.2 Homogene Leitfahigkeit

In raumlich homogenen Systemen konnen wir Gl. (C.42) raumlich Fourier-transformieren;

〈jα(r)〉ω =

∫dr′∑β

σαβ(r, r′;ω)Eβ(r′, ω) (C.43)

〈jα(q)〉ω =∑β

σαβ(q;ω)Eβ(q, ω) (C.44)


Hierbei ist

Eβ(q, ω) =

∫dre−iqrEβ(r, ω) (C.45)

σαβ(q, ω) =1

V

∫dr

∫dr′e−iq(r−r′)σαβ(r, r′;ω), (C.46)

wobei V das Systemvolumen bezeichnet. Der Strich deutet hier an, dass die Abhangigkeitvon r− r′ i.A. erst durch einen raumlichen Mittelungsprozess entstehen kann, da in dermikroskopischen Definition von Gl. (C.35) ja beide Ortsvariablen noch unabhangig sind.Mit der obigen Definition der Fouriertransformation nimmt man das Ergebnis dieses Mit-telungsprozesses praktisch schon vorweg. Im allgemeinen ist das nur in makroskopischenSystemen gerechtfertigt, wo man im Mittel Translationsinvarianz erwarten kann.

Fur gleiche Ladungen ql = −e und Massen ml = m haben wir dann fur die parama-gnetischen Stromdichten in χαβ(r, r′;ω), Gl. (C.35),

jp(q = 0) = −ev, v =∑l

1

mpl, Geschwindigkeitsoperator, (C.47)

man bekommt also insgesamt

σαβ(ω) ≡ σαβ(q = 0, ω) ≡ e2

V

χαβ(ω)− δαβ Nmiω

(C.48)

χαβ(ω) ≡ iθ(t)Tr (ρ0[vα(t), vβ]) , Geschwindigkeitskorrelator, (C.49)

wobei N die Teilchenzahl ist. Weiterhin kann man jetzt zeigen (AUFGABE), dass diethermische Suszeptibilitat fur den Geschwindigkeitskorrelator

χthαβ = δαβ

N

m(C.50)

erfullt.Der Leitfahigkeitstensor kann jetzt mit der oben eingefuhrten Relaxationsfunktion Φ

verknupft werden. Dazu erinnern wir uns noch einmal an Gl. (C.14) und Gl. (C.25),

χAB(t) = − ∂

∂tΦAB(t), χAB(t = 0) = χth

AB (C.51)

Fouriertransformation mit

ΦAB(z) ≡∫ ∞

0dteiztΦAB(t) (C.52)

liefert

ΦAB(z) =χAB(z)− χth

AB

iz. (C.53)

Das hat genau die Struktur des Ausdrucks Gl. (C.48)fur den Leitfahigkeitstensor, wirhaben also

σαβ(ω) =e2

VΦαβ(ω), Φαβ(ω) =

∫ ∞0

dteiωt〈vα(t)|vβ〉, Kubo-Formel. (C.54)


C.2.3 Lorentz–Drude–Modell

Bevor wir mit der bis jetzt doch recht formalen Theorie fortfahren, schieben wir hiereine Wiederholung des phanomenologischen Modells zur Leitfahigkeit und dielektrischenFunktion ein (SKRIPT ELEKTRODYNAMIK).

(JACKSON) Wir erstellen ein einfaches mikroskopischen Modell fur ein Dipolmomentp: Eine Ladung −e < 0 fuhrt gedampfte harmonische Schwingungen um eine RuhelageR mit Kreisfrequenz ω0 und Dampfungskonstante γ > 0 unter dem Einfluss der Kraft−eE aus. Die Bewegungsgleichung fur Auslenkungen x(t) aus der Ruhelage lautet

x + γx + ω20x = − e

mE(t) (C.55)

wobei ein raumlich homogenes aber zeitlich veranderliches elektrisches Feld E(t) ange-nommen wird. Daraus ergibt sich ein Dipolmoment p(t) = −ex(t). Im Frequenzraumerhalt man also den linearen Zusammenhang

p(ω) =e2

m

E(ω)

ω20 − ω2 − iωγ

. (C.56)

Hat man j = 1, ...,K Sorten von Ladungen ej mit Massen mj , Dampfungskonstantenγj > 0, Frequenzen ωj und Dichten nj , so erhalt man mit diesem Modell eine Polarisation(Dipolmoment pro Volumen)

P(ω) =K∑j=1

nje2j

mj

E(ω)

ω2j − ω2 − iωγj

(C.57)

und dementsprechend eine dielektrische Verschiebung

D(ω) = ε0E(ω) + P(ω) = ε(ω)E(ω) (C.58)

ε(ω) = ε0

1 +K∑j=1

nje2j

ε0mj

1


. (C.59)

Die dielektrische Funktion ε(ω) hat fur das Lorentz-Modell einige wichtige Eigenschaften,die auch ganz allgemein gelten:

• ε(ω) ist komplexwertig, Real- und Imaginarteil von ε(ω) hangen uber Hilbert-Integraltransformationen (Kramers-Kronig-Relationen) miteinander zusammen (z.B.FLIESSBACH).

• Die Pole von ε(ω) liegen in der unteren komplexen ω-Ebene.

• Es gilt

<ε(ω) = <ε(−ω), =ε(ω) = −=ε(−ω), ω ∈ R. (C.60)


Falls in einem Medium frei bewegliche Ladungen vorhanden sind, hat man

∇× H(r, ω) = jf (r, ω)− iωD(r, ω). (C.61)

Wir nehmen an, dass die freie Stromdichte jf (r, ω) proportional zum elektrischen Feldist (Ohmsches Gesetz),

jf (r, ω) = σ(ω)E(r, ω), Leitfahigkeit σ(ω). (C.62)

Dann hat man

∇× B(r, ω) = µ(ω) [σ(ω)− iε(ω)ω] E(r, ω) (C.63)

= −iµ(ω)εtot(ω)ωE(r, ω) (C.64)

mit der gesamten dielektrischen Funktion

εtot(ω) ≡ ε(ω) + iσ(ω)

ω. (C.65)

Damit diese im Rahmen des Lorentz-Modells wieder von der Form Gl. (C.58) ist, schrei-ben wir

εtot(ω) = ε0

1 +K∑j=1

nje2j

ε0mj

1


+ ε0ne2

ε0m

1

ω2f − ω2 − iωγ

(C.66)

und identifizieren

ne2

m

1

ω2f − ω2 − iωγ

= iσ(ω)

ω ωf = 0, σ(ω) = −iωne

2

m

1

−ω2 − iωγ, (C.67)

also einem expliziten Ausdruck fur die frequenzabhangige Leitfahigkeit der Form

σ(ω) =ne2

m

τ

1− iωτ, τ ≡ γ−1, Drude-Modell. (C.68)

Formal erhalt man also einen Ausdruck fur die Leitfahigkeit des Mediums im Rahmen desLorentz-Modells fur die dielektrische Funktion des Mediums, indem man fur die freienLadungstrager mit Dichte n, Masse m und Ladung e eine verschwindende Oszillator-frequenz ωf = 0 ansetzt. Die im Lorentz-Modells auftretende Dampfungskonstante γ−1

wird dabei als eine Streurate fur die freien Ladungstrager interpretiert. Interessant isthierbei, dass ein voll mikroskopisches Modell fur die Ohmsche Leitfahigkeit σ(ω) einesMaterials im Rahmen gewisser Naherungen auf dasselbe Ergebnis fuhrt, freilich mit ei-nem expliziten Ausdruck fur τ (z.B. durch Elektron-Phonon-Wechselwirkung verursachteStreuung).

Wenn das Medium nur freie Ladungen enthalt und keine Polarisation auftritt, hatman ε(ω) = ε0 und somit

εtot(ω) = ε0 + iσ(ω)

ω. (C.69)


Ein solches System wird haufig als Metall bezeichnet, es entspricht den Leitern, diewir in der Elektrostatik abstrakt eingefuhrt haben. Fur Frequenzen mit ωτ 1 giltinsbesondere

εtot(ω)

ε0≈ 1−

ω2p

ω2, ωτ 1, ω2

p =ne2

mε0, Plasmafrequenz ωp. (C.70)

Fur Frequenzen ω < ωp wird εtot negativ und der Brechungsindex rein imaginar: Strah-lung mit solchen Frequenzen kann im Metall nicht propagieren, das Metall ist fur sol-che Frequenzen undurchsichtig. Oberhalb der Plasmafrequenz (ω > ωp) hingegen wirdεtot positiv und der Brechungsindex rein reell - das Metall ist dann durchsichtig. Wirstellen uns das Metall als freie Elektronen mit einem festen positiven Hintergrund (Io-nengitter) vor. Die Gesamtladung des Metalls ist Null, die Gesamtladungsdichte ρ(r, t)kann aber fur Frequenzen oberhalb der Plasmafrequenz oszillieren, was einer kollekti-ven Schwingung aller Elektronen entspricht (z.B. SKRIPT FESTKORPERTHEORIE;ASHCROFT/MERMIN).

AUFGABE: Betrachte ein Medium mit nur freien Ladungen, in dem ein OhmschesGesetz

j(q, ω) = σ(q, ω)E(q, ω), skalare Leitfahigkeit σ(q, ω) (C.71)

gelten soll.1. Begrunde die Form Gl. (C.71) aus dem allgemeinsten linearen Zusammenhang

zwischen elektrischem Feld und Stromdichte im raum-zeitlich translationsinvariantenund isotropen Fall.

2. Ausgehend von der longitudinalen dielektrische Funktion εl(q, ω), Gl. (??), sollder Zusammenhang

εl(q, ω) = 1 + iσ(q, ω)

ε0ω(C.72)

hergeleitet werden (beachte, dass die dielektrische Funktion hier dimensionslos definiertist und deshalb im Vergleich zu Gl. (C.65) der Faktor ε0 im Nenner auftritt). Benutze furdie Herleitung den Zusammenhang zwischen externem elektrischen Potential Vext undvollem elektrischen Potential V , sowie die Kontinuitatsgleichung.

C.2.4 Drude–Modell fur die Relaxationfunktion

Wenn wir das Drude-Resultat mit der exakten Kubo-Formel Gl. (C.54) vergleichen,

σ(ω) =ne2

m

1

τ−1 − iω, Drude-Modell (C.73)

σαβ(ω) =e2

VΦαβ(ω), Φαβ(ω) =

∫ ∞0

dteiωt〈vα(t)|vβ〉, Kubo-Formel, (C.74)


liegt ein phanomenologischer Ansatz fur das Mori-Skalarprodukt 〈vα(t)|vβ〉 der Ge-schwindigkeitsoperatoren

v =N∑l=1

plm

(C.75)

mit einer exponentiell abfallenden Korrelation auf der Hand, namlich

〈vα(t)|vβ〉 → δαββN〈vαe−t/τvα〉0, (C.76)

wobei die Geschwindigkeiten verschiedener Teilchen unkorreliert sind und im thermi-schen Gleichgewicht

β〈vαvα〉0 =1

kBT

kBT

m(C.77)

nach dem Gleichverteilungssatz. Dann wird

〈vα(t)|vβ〉 → δαβe−t/τN

m, (C.78)

und durch Fouriertransformation erhalt man die Drude-Formel mit n = N/V , wobei alleDiagonalelemente des Leitfahigkeitstensors gleich sind.

C.2.5 Wechselwirkungsfreie Fermionen

Fur wechselwirkungsfreie Fermionen laßt sich ein Ausdruck fur den Leitfahigkeitstensorherleiten, der direkt weiter berechnet werden kann. Hierfur gehen wir nochmal auf dieDefinition der dynamischen Suszeptibilitat Gl. (2.52) zuruck,

χAB(t) ≡ iTr(ρ0[A(t), B]

)θ(t), (C.79)

den wir jetzt in zweiter Quantisierung fur Einteilchenoperatoren (SKRIPT QUANTEN-MECHANIK II)

A =∑nm

〈n|A|m〉c†ncm, B =∑kl

〈k|B|l〉c†kcl (C.80)

auswerten. Hierbei ist

[A(t), B] =∑nmkl

〈n|A|m〉〈k|B|l〉ei(εn−εm)t[c†ncm, c†kcl], (C.81)

wobei wir die Zeitentwicklung der Operatoren cm(t) = e−iεmt etc. mit den Einteilchen-energien εm benutzen. Weiterhin gilt (NACHRECHNEN)

[c†αcβ, c†γcδ] = c†αcδδβγ − c†γcβδαδ, (C.82)


und mit

Tr(ρ0c†ncm

)= δnmfn, fn ≡

1

eβ(εn−µ) + 1, Fermifunktion (C.83)

folgt dann

χAB(t) = i∑nmkl

〈n|A|m〉〈k|B|l〉ei(εn−εm)tδnlδmk (fn − fm)

= i∑nm

〈n|A|m〉〈m|B|n〉ei(εn−εm)t (fn − fm) . (C.84)

Durch Fourier-Trafo folgt

χAB(z) =

∫ ∞0

dteiztχAB(t) =∑nm

〈n|A|m〉〈m|B|n〉 fn − fmεm − εn − z

. (C.85)

Wir benutzen das zur Berechnung des Realteils des Leitfahigkeitstensors σαβ(ω), Gl. (C.42),

<σαβ(r, r′;ω) =e2

V

=χαβ(r, r′;ω)

ω. (C.86)

Hierbei ist =χ ≡ χ′′ mit den Matrixelementen der paramagnetischen Stromdichteopera-toren auszuwerten, d.h. A = j(x) und B = j(x′), und wir erhalten

<σαβ(r, r′;ω) =πe2

V

∑nm

〈n|jα(x)|m〉〈m|jβ(x′)|n〉fn − fmεm − εn

δ(εm − εn − ω). (C.87)

C.3 Die Gedachtnis-Funktion

Die Form

Φ(ω) = −i χth

−iτ−1 − ω, χth =

N

m(C.88)

legt einen allgemeinen Ansatz

Φ(z) = −i χth

N(z)− z, Gedachtnis-Funktion N(z) (C.89)

nahe. Hierbei hofft man, die Gedachtnis-Funktion N(z) einfacher als die gesamte Rela-xationsfunktion direkt berechnen zu konnen.

Wir formen das etwas um;

Φ(z) = −i χth

N(z)− z=χ(z)− χth

iz(C.90)

χ(z) =−N(z)χth

−N(z) + z=−N(z)χth

z

(1− −N(z)

z2+ ...

), (C.91)


wobei wir hier eine Potenzreihenentwicklung in der Gedachtnis-Funktion N(z) angesetzthaben, die wir im Folgenden im Sinne einer Storungstheorie als ‘klein’ ansehen wollen,motiviert durch die Identifikation

N(z) ∼ −iτ−1 (C.92)

mit der Rate in der Drude–Formel, die wiederum (im Gegensatz zur Zeit τ) storungstheoretischberechnet werden kann (z.B. durch Fermis Goldene Regel). In niedrigster Ordnung inN(z) haben wir also 1

zχ(z) ≈ −N(z)χth. (C.93)

C.3.1 Bewegungsgleichungen

Bewegungsgleichungen fur Heisenbergoperatoren A(t) ≡ eiHtAe−iHt, B:

〈〈A;B〉〉 ≡ χAB(z) = i

∫ ∞0

dteizt〈[A(t), B]〉0

=−iiz〈[A,B]〉0 − i

∫ ∞0

dt1

izeizt

d

dt〈[A(t), B]〉0

=−1

z〈[A,B]〉0 −

1

z

∫ ∞0

dteizti〈[[H,A](t), B]〉0

z〈〈A;B〉〉 = −〈[A,B]〉0 − 〈〈[H,A];B〉〉. (C.94)

Alternativ ist

〈〈A;B〉〉 ≡ χAB(z) = i

∫ ∞0

dteizt〈[A,B(−t)]〉0

=−iiz〈[A,B]〉0 − i

∫ ∞0

dt1

izeizt

d

dt〈[A,B(−t)]〉0

=−1

z〈[A,B]〉0 −

1

z

∫ ∞0

dteizt(−i)〈[A, [H,B](−t)]〉0

z〈〈A;B〉〉 = −〈[A,B]〉0 + 〈〈A; [H,B]〉〉. (C.95)

Eine zweite Anwendung liefert

z〈〈[H,A];A〉〉 = −〈[[H,A], A]〉0 + 〈〈[H,A]; [H,A]〉〉 (C.96)

Damit hat man dann z.B.

z〈〈A;A〉〉 ≡ zχAA(z) = −〈〈[H,A];A〉〉 = −〈〈[H,A]; [H,A]〉〉 − 〈[[H,A], A]〉0z

(C.97)

1 W. Gotze und P. Wolfle, Phys. Rev. B 6, 1226 (1972).


C.3.2 Gedachtnis-Funktion fur Streuung an statischen Potentialen

Wir verwenden das nun, um die Gedachtnisfunktion

N(z) ≈ −zχ(z)/χth (C.98)

in Storungstheorie bezuglich eines Streu–Potentials V zu berechnen, um daraus die Rate

τ−1 = −=N(ω = 0) ≡ −N ′′(0) (C.99)

zu erhalten. Hierbei ist

H = H0 + V, H0 ≡∑kσ

εkσc†kσckσ, V ≡

∑kk′σ

Vkk′c†kσck′σ (C.100)

ein Modell fur freie Fermionen (H0), die an einem statischen Storpotential streuen. Wirbenutzen weiterhin

A =∑kσ

v(k)c†kσckσ (C.101)

als Operator fur eine Geschwindigkeitskomponente v(k) (z.B. die x–Komponente), wobeik der Wellenvektor ist.1. AUFGABE: Wir berechnen die Drude-Leitfahigkeit

σ(ω) =ne2

m

1

τ−1 − iω. (C.102)

a) Wieso kann man nicht erwarten, die Streurate τ−1 (z.B. fur Streuung an Storstellen)durch eine direkte Storungsrechnung fur σ(ω) zu erhalten?

b) Wir berechnen deshalb σ(ω) = e2

V Φαβ(ω) mit Hilfe der uber Φ(z) = −i χth

N(z)−z defi-

nierten Gedachtnisfunktion N(z), wobei Φαβ(ω) die Relaxationsfunktion der Geschwin-digkeit ist. Hierzu approximieren wir N(z) ≈ −zχ(z)/χth wie oben ausgefuhrt, wobei

χ(z) der retardierte Korrelator einer Geschwindigkeitskomponente∑

kσ v(k)c†kσckσ furden Modell-Hamiltonian Gl. (C.100) in zweiter Ordnung Storungstheorie in V ist. Zeige

hierzu, dass [H,A] =∑

kk′σ Vkk′(v(k′)− v(k))c†kσck′σ.c) Berechne den Imaginarteil =N(ω) ≡ N ′′(ω). In zweiter Ordnung Storungstheorie inV konnen hierzu Fermifunktionen f(εk) bei der Berechnung der Korrelationsfunktionen

der c†kσck′σ angenommen werden. Zeige, dass

N ′′(ω) = −πmN

∑kk′

|Vkk′(v(k′)− v(k))|2δ(ω − εk′ + εk)[f(εk)− f(εk′)]1

ω. (C.103)

und damit bei Temperaturen kBT EF und Frequenzen ω EF

τ−1 = −N ′′(0) =πm

N

∑kk′

|Vkk′(v(k′)− v(k))|2δ(εk′ − εk)δ(EF − εk). (C.104)


d) Interpretiere das Ergebnis fur τ−1 durch Ubergangsraten

W (k→ k′) ≡ 2π|Vkk′ |2δ(εk′ − εk) (C.105)

im Sinne von Fermis Goldener Regel. Weiterhin soll angenommen werden, dass durcheine weitere Mittelung uber das Potential V (das z.B. durch Unordnung erzeugt wird)das Ergebnis fur τ−1 nur vom Betrag des Impulsubertrags q ≡ k − k′ abhangt, so dassman z.B. in d = 3 Dimensionen

(v(k′)− v(k))2 → 1

3m2(k− k′)2 (C.106)

ersetzen darf. Schreibe somit τ−1 mit Hilfe der k-abhangigen Transportrate

τ−1k ≡

∑k′

W (k→ k′)(1− cos θ). (C.107)

Welche Bedeutung hat der Winkel θ ?2. AUFGABE (Projekt): Berechnung der Drude-Leitfahigkeit mit der Boltzmann-Gleichung.3. AUFGABE: Herleitung der Landauer-Buttiker-Formel aus der Kubo-Formel.

D. GROBKORNUNGS-VERFAHREN FUR DIEMASTERGLEICHUNG

Markov- und Sekularnaherung konnen beide gleichzeitig aus einem Grobkornungs-Verfahrenhergeleitet werden, das wir im Folgenden beschreiben wollen 1. Hierzu setzen wir unsereDichtematrix im Wechselwirkungsbild als Exponentialfunktion in Superoperator-Forman;

ρ(t) = eLeff tρ(0), (D.1)

wobei der effektive Liouvillian (Zeitentwicklungsoperator fur Dichtematrizen) zu bestim-men ist. Wir bestimmen ihn aus der Forderung, dass er zumindest fur kleine Zeiten τmit der exakten Zeitentwicklung von ρ(τ), ubereinstimmen sollten. Letztere erhalten wiraus Gl. (2.37) in zweiter Ordnung Storungstheorie durch Integration von Gl. (2.37) mitρ(t′)→ ρ(0) auf der rechten Seite. Wir starten also mit einer faktorisierenden Anfangs-bedingung zwischen System und Bad und werten einfach die Zeitentwicklung bis zurzweiten Ordnung ohne weitere Annahmen aus;

ρ(τ) = ρ(0)−∫ τ

0dt

∫ t

0dt′∑kl

(Ckl(t, t

′)Sk(t)Sl(t′)ρ(0) + Ckl(t

′, t)ρ(0)Sk(t′)Sl(t)

)+

∫ τ

0dt

∫ t

0dt′∑kl

(Clk(t, t

′)Sk(t′)ρ(0)Sl(t) + Clk(t

′, t)Sk(t)ρ(0)Sl(t′)). (D.2)

Der Vergleich mit dem Ansatz Gl. (D.1) ergibt dann durch Entwickeln von eLeffτ =1+ τLeff + ... eine Differenzen–Approximation (‘Grobkornung’) der zeitlichen Ableitung;

ρ(τ)− ρ(0)

τ=

1

τ

∫ τ

0dt ˙ρ(t) = Leff ρ(0) (D.3)

mit dem effektiven Liouvillian

Leffρ = −1

τ

∫ τ

0dt′∫ t′

0ds∑kl

(Ckl(t

′, s)Sk(t′)Sl(s)ρ+ Ckl(s, t

′)ρSk(s)Sl(t′))

+1

τ

∫ τ

0dt′∫ t′

0ds∑kl

(Clk(t

′, s)Sk(s)ρSl(t′) + Clk(s, t

′)Sk(t′)ρSl(s)

)(D.4)

1 vgl. G. Schaller, T. Brandes ‘Preservation of Positivity by Dynamical Coarse-Graining’, Phys. Rev.A 78, 022106 (2008), und SKRIPT SCHALLER

D. Grobkornungs-Verfahren fur die Mastergleichung 132

als Superoperator-Gleichung bei Anwendung auf Dichteoperatoren (Zustande) ρ, wobeiwir die Integrationsvariablen in t′ und s umbenannt haben, um nicht mit den Zeiten tund τ durcheinander zu kommen. Hierbei wird τ als Grobkornungs-Parameter aufgefasst,d.h. die Zeit τ ist hier eine feste Konstante. Mit Gl. (D.4) ist die Anwendung von Leff

auf beliebige ρ festgelegt und bestimmt dann nicht nur wie in Gl. (D.3) die Kurzzeitent-wicklung, sondern nach dem Ansatz Gl. (D.1) die Bewegungsgleichung fur alle Zeitent ≥ 0,

∂

∂tρ(t) = Leff ρ(t) (D.5)

= −1

τ

∫ τ

0dt′∫ t′

0ds∑kl

(Ckl(t

′, s)Sk(t′)Sl(s)ρ(t) + Ckl(s, t

′)ρ(t)Sk(s)Sl(t′))

+1

τ

∫ τ

0dt′∫ t′

0ds∑kl

(Clk(t

′, s)Sk(s)ρ(t)Sl(t′) + Clk(s, t

′)Sk(t′)ρ(t)Sl(s)

).

Wir erhalten also eine Markovsche Bewegungsgleichung, da die Dichtematrix auf derrechten Seite von t und nicht von den Zeitintegrationsvariablen t′, s abhangt.

D.1 Positivitat und Lindblad-Form

Wir konnen Gl. (D.5) durch Einfuhren von Stufenfunktionen θ(t′− s) umschreiben. Dieletzte Zeile wird dann durch Vertauschen von t′ mit s im letzten Term einfach zu

1

τ

∫ τ

0dt′∫ τ

0ds∑kl

Clk(t′, s)Sk(s)ρ(t)Sl(t

′),

wahrend die erste Zeile etwas komplizierter mit θ(t′ − s) = 12(1 + sgn(t′ − s)) zu

−1

τ

∫ τ

0dt′∫ τ

0ds∑kl

Ckl(t′, s)

(1

2Sk(t′)Sl(s), ρ(t)+

1

2sgn(t′ − s)[Sk(t′)Sl(s), ρ(t)]

)wird, insgesamt also

∂

∂tρ(t) = −1

τ

∫ τ

0dt′∫ τ

0ds∑kl

Ckl(t′, s)

1

2sgn(t′ − s)[Sk(t′)Sl(s), ρ(t)] (D.6)

+1

τ

∫ τ

0dt′∫ τ

0ds∑kl

Clk(t′, s)

(Sk(s)ρ(t)Sl(t

′)− 1

2Sl(t′)Sk(s), ρ(t)

).

Es muss jetzt gezeigt werden, dass sich diese Form auf Lindblad-Form transformierenlasst und damit per Konstruktion fur alle τ die Positivitat der Dichtematrix ρ(t) erhalt.Wir nehmen der Einfachheit halber hier hermitsche System- und Bad-Operatoren S undB und schreiben die zweite Zeile als Superoperator in Multi-Index-Form;

Dρ ≡ 1

τ

∑κλ

aλκ

(sκρsλ −

1

2sλsκ, ρ

), aλκ = TrBρBBl(t

′)Bk(s), (D.7)


vgl. Gl. (2.34). Es entspricht also κ = (k, s), λ = (l, t′),∑

κ =∑

k

∫ τ0 ds. Hierbei wird das

Integral einfach als zusatzliche Summation aufgefasst. Die Matrix aλκ ist nun positiv-definit, denn

∑κλ

z∗λaλκzκ = TrBρB

(∑l

zl(t′)

∫ τ

0dt′Bl(t

′)

)†(∑k

zk(s)

∫ τ

0dsBk(s)

)≡ TrBρBB

†zBz ≥ 0. (D.8)

D.2 Auswertung

Die technische Aufgabe ist jetzt die Umformung dieser Bewegungsgleichung in eine hand-habbare Form. Dazu werten wir durch Einschieben von vollstandigen Einsen

∑α |α〉〈α|

von Systemhamiltonian- Eigenzustanden den effektiven Liouvillian aus. Wir definierenhierzu

Sαβk = 〈α|Sk|β〉, Pαβ ≡ |α〉〈β|, Ckl(t′ − s) =

∫dω

2πe−iω(t′−s)Ckl(ω), (D.9)

wobei wir das Bad im Gleichgewicht annehmen (deshalb hangen die Korrelationsfunk-tionen nur von der Zeitdifferenz ab). Die auftretenden Zeitintegrale aus der Ausfuhrungdes Wechselwirkungsbildes haben dann die Form

Fτ (ω, ω1, ω2) ≡∫ τ

0dt′∫ t′

0dse−iω(t′−s)eiω1t′−iω2s. (D.10)

Alles eingesetzt ergibt dann die etwas langliche Form

∂

∂tρ(t) =∑

αβγδ

∫dω

1

τ[Fτ (ω, ωγβ, ωδα) + Fτ (−ω, ωαδ, ωβγ)]

(∑kl

Clk(ω)Sαδk Sγβl

)Pαδρ(t)Pγβ

−∑βγδ

∫dω

1

τFτ (ω, ωγβ, ωδβ)

(∑kl

Clk(ω)Sγβl Sβδk

)Pγδρ(t)

−∑βγδ

∫dω

1

2τFτ (−ω, ωβδ, ωβγ)

(∑kl


)ρ(t)Pγδ. (D.11)

Wir konnen das geschickt umschreiben, indem wir in der zweiten Zeile

1

2Fτ (ω, ωγβ, ωδβ) +

1

2Fτ (−ω, ωβδ, ωβγ) +

(1

2Fτ (ω, ωγβ, ωδβ)− 1

2Fτ (−ω, ωβδ, ωβγ)

)


schreiben (entsprechend in der dritten Zeile). Dann kann man zusammenfassen als

∂

∂tρ(t) =

∑αβγδ

(∫dω

1


∑kl

Clk(ω)Sαδk Sγβl

)×

×(Pαδρ(t)Pγβ −

1

2Pαδρ(t), Pγβ

)−

∑βγδ

∫dω

1

2τ[Fτ (ω, ωγβ, ωδβ)−Fτ (−ω, ωβδ, ωβγ)]

(∑kl


)Pγδρ(t)

−∑βγδ

∫dω

1

2τ[Fτ (−ω, ωβδ, ωβγ)−Fτ (ω, ωγβ, ωδβ)]

(∑kl


)ρ(t)Pγδ,

(D.12)

wobei wir im Anti–Kommutator die Orthogonalitat der Zustande ausgenutzt haben, d.h.

PγβPαδ = δαβPγδ. (D.13)

Kompakt konnen wir das wie folgt schreiben;

∂

∂tρ(t) =

∑αβγδ

γταδγβ

(Pαδρ(t)Pγβ −

1

2Pαδρ(t), Pγβ

)− i [Hτ , ρ(t)] , (D.14)

wobei wir Tensoren fur die entsprechenden Vorfaktoren einfuhren;

γταδγβ ≡∫dω

1


∑kl

Clk(ω)Sαδk Sγβl (D.15)

Hτ ≡ −i∑βγδ

∫dω

1

2τ[Fτ (ω, ωγβ, ωδβ)−Fτ (−ω, ωβδ, ωβγ)]

(∑kl


).

D.3 Born-Markov-Sekularnaherung (τ →∞)

Wir machen fur den Langzeitlimes τ →∞ eine Fallunterscheidung im Integral

Fτ (ω, ω1, ω2) ≡∫ τ

0dt′∫ t′

0dse−iω(t′−s)eiω1t′−iω2s

=1− e−iτ(ω−ω1)

(ω − ω1)(ω − ω2)+−1 + eiτ(ω1−ω2)

(ω1 − ω2)(ω2 − ω), ωj 6= ω, ω1 6= ω2

Fτ (ω1, ω1, ω2) =1− eiτ(ω1−ω2) + iτ(ω1 − ω2)

(ω1 − ω2)2, ω1 6= ω2 (D.16)

Fτ (ω2, ω1, ω2) =−1 + eiτ(ω1−ω2)(1− iτ(ω1 − ω2)

(ω1 − ω2)2, ω1 6= ω2. (D.17)


Fur τ →∞ wird 1τFτ (ω, ω1, ω2) also im Fall ω1 6= ω2 immer Null bzw. bleibt (bei ω = ω1

oder ω = ω2) endlich, was aber in der anschliessenden Integration uber ω nur isoliertePunkte (Menge vom Mass Null) sind, die nichts beitragen.

Anders ist das fur ω1 = ω2, wo fur ω → ω1 das Integral divergiert. In der Tat istFτ (ω, ω1, ω1) dann eine Distribution, die folgendermassen berechnet werden kann: ImLaplace-Raum ist

Fz(ω, ω1, ω1) ≡∫ ∞

0dτe−zτ

∫ τ

0dt′∫ t′

0dse−i(ω−ω1)(t′−s), <z > 0 (D.18)

gegeben, was ein integriertes Faltungsintegral ist. Nach dem Faltungssatz ist also

Fz(ω, ω1, ω1) =1

z

1

z

1

z + i(ω − ω1)(D.19)

Jetzt benutzen wir, dass ein Verhalten ∝ t fur t→∞ im Laplaceraum einem Verhalten∝ 1

z2 fur z → 0 entspricht. Der Vorfaktor ist gerade das, was wir benotigen, d.h.

limτ→∞

1

τFτ (ω, ω1, ω1) = lim

z→0+z2Fz(ω, ω1, ω1)

=−i

ω − ω1 − iO+= −iP 1

ω − ω1+ πδ(ω − ω1) (D.20)

Damit wird

limτ→∞

1

τ[Fτ (ω, ωγβ, ωδα) + Fτ (−ω, ωαδ, ωβγ)] =

= δωγβ ,ωδα

[−iP 1

ω − ωγβ+ πδ(ω − ωγβ)− iP 1

−ω − ωβγ+ πδ(−ω − ωβγ)

]= δωγβ ,ωδα2πδ(ω − ωγβ), (D.21)

es bleibt also einfach eine Delta-Funktion ubrig, die Energieerhaltung an den BohrschenUbergangsfrequenzen ausdruckt. Weiterhin bleiben in

limτ→∞

1

2τ[Fτ (ω, ωγβ, ωδβ)−Fτ (−ω, ωβδ, ωβγ)] = −iδωγβ ,0P

1

ω − ωγβ(D.22)

nur die Hauptwertanteile ubrig. Unsere Tensoren in Gl. (D.15) vereinfachen sich also zu

γ∞αδγβ = δωγβ ,ωδα2π

∫dω∑kl

δ(ω − ωγβ)Clk(ω)Sαδk Sγβl (D.23)

H∞ ≡ −∑βγδ

δωγβ ,0

∫dωP 1

ω − ωγβ

(∑kl


). (D.24)

In dieser Form geht die Grobkornungs–Mastergleichung in die Form der sogenann-ten Born-Markov-Sekularnaherung (BMS–Form) uber. Die BMS–Form wird haufig ‘per


Hand’ aus der Born-Markov-Form aufgestellt, indem schnell rotierenden Terme in derMastergleichung vernachlassigt werden (Sekularnaherung). Hier erhalten wir diese Formdirekt als einen Spezialfall unserer Grobkornungs–Mastergleichung.AUFGABE: Uberprufe, dass man fur konstante Tunnelraten ΓL/R damit die einfacheForm Gl. (2.124) der Mastergleichung (ohne Zahlfeld) fur das Einniveausystem reprodu-ziert.

E. FORMELN AUS DER QUANTENOPTIK (EINEBOSONISCHE MODE)

E.1 Koharente Zustande des harmonischen Oszillators

Wir fassen hier einige Formeln zusammen, vgl. z.B. MILBURN/WALLS.Definitionsgleichungen

a|α〉 = α|α〉, |α〉 = e−12|α|2

∞∑n=0

αn√n!|n〉 (E.1)

Unitarer Verschiebungsoperator

D(α) ≡ eαa†−α∗a = e−|α|2/2eαa

†e−α

∗a. (E.2)

Eigenschaft

D†(α)aD(α) = a+ α, D(α+ β) = D(α)D(β)e−i=(αβ∗) (E.3)

|α〉 = D(α)|0〉. (E.4)

Skalarprodukt

〈β|α〉 = e−12(|α|2+|β|2)+αβ∗ , |〈β|α〉|2 = e−|α−β|

2(E.5)

Es gilt die Vollstandigkeitsrelation∫d2z

π|z〉〈z| = 1, (E.6)

wobei das Integral uber die gesamte komplexe Ebene lauft (Mass d2z ≡ dxdy fur z =x+ iy)

E.2 Komplexe Deltafunktion and Fouriertransformation

Die komplexe Deltafunktion ist

δ(2)(w) ≡∫d2z

π2e−iz

∗w−izw∗ =

∫d2z

(2π)2e−izw, w, z ∈ C, (E.7)

E. Formeln aus der Quantenoptik (eine bosonische Mode) 138

mit der ublichen Eigenschaft∫d2zf(z)δ(2)(z − w) = f(w), w ∈ C. (E.8)

Das ‘komplexe Skalarprodukt’ ist hierbei die nutzliche Abkurzung (z = z1+iz2, z1, z2 ∈ Retc.)

zw ≡ 1

2(zw∗ + z∗w) = (z1, z2)

(w1

w2

)(E.9)

Es gilt bei Multiplikation mit reiφ

δ(2)(αreiφ

)=

1

r2δ(2)(α). (E.10)

Fur die komplexe Fouriertransformation gilt nun

f(w) ≡∫d2zeizwf(z), f(z) =

∫d2w

(2π)2e−izwf(w) (E.11)

E.3 Gauß-Integrale

Fur Gauß-Integrale∫ ∞−∞

dxe−ax2+bx =

√π

aeb2

4a , <a > 0 (E.12)

hat man im Komplexen ∫d2w

(2π)2e−izwe−

a4ww =

1

πae−|z|2a . (E.13)

E.4 Charakteristische Funktionen

Sei ρ der Dichteoperator zu einer bosonischen Mode a†. Wir definieren (Carmichael)

χP (z, z∗) ≡ Tr(ρeiz

∗a†eiza), normalgeordnet (E.14)

χQ(z, z∗) ≡ Tr(ρeizaeiz

∗a†), anti-normalgeordnet (E.15)

χW (z, z∗) ≡ Tr(ρeiz

∗a†+iza), symmetrisch geordnet . (E.16)

Der Zusammenhang dieser drei besteht uber den Spezialfall der Baker-Hausdorff-Formel

eA+B = eAeBe−[A,B]/2, (E.17)

E. Formeln aus der Quantenoptik (eine bosonische Mode) 139

wobei A und B hier fur den Erzeuger a oder Vernichter a† stehen.Wir haben fur die normalgeordnete charakteristische Funktion

χP (z, z∗) ≡∫d2α

πP (α)〈α|eiz∗a†eiza|α〉 =

∫d2α

πP (α)eiz

∗α∗eizα (E.18)

durch Einsetzen der Definition der P -Darstellung fur ρ, Gl. (2.209)

ρ =

∫d2α

πP (α)|α〉〈α|. (E.19)

Integration von χP (z, z∗) ergibt∫d2z

πχP (z, z∗)e−iz

∗α∗e−izα =

∫d2z

π

∫d2w

πP (w)eiz

∗w∗eizwe−iz∗α∗e−izα

=

∫d2wP (w)δ(w − α) = P (α), (E.20)

die beiden Funktionen P (α) und χP (z, z∗) sind hangen also einfach durch eine Fourier-transformation zusammen. Die Funktion χP (z, z∗) ergibt alle normalgeordneten Erwar-tungswerte von Produkten der Erzeuger und Vernichter durch die Regel

〈a†paq〉 =∂p+q

∂(iz∗)p∂(iz)qχP (z, z∗)|z=z∗=0 . (E.21)

Entsprechend konnen wir nun fur die anti-normalgeordneten Erwartungswerte verfahren,wo der Zusammenhang zwischen χQ(z, z∗) und der Q–Darstellung gilt (Carmichael);

Q(α) ≡ 1

π2

∫d2zχQ(z, z∗)e−iz

∗α∗e−izα. (E.22)

Fur die Q–Darstellung, die haufig auch als Husimi-Verteilung bezeichnet wird, gilt

Q(α) =1

π〈α|ρ|α〉, (E.23)

sie gibt also die (positive) Wahrscheinlichkeit fur den koharenten Zustand α an.

F. FEYNMAN-VERNON INFLUENCEFUNCTIONAL THEORIES

F.1 Introduction, Motivation

This is a technique to solve the Liouville-von-Neumann Equation,

d

dtχ(t) = −i[H,χ(t)], χ(t) = e−iHtχ(t = 0)eiHt, (F.1)

for the time-dependent density matrix ρ(t) of system-bath Hamiltonians

H ≡ HS +HB +HSB. (F.2)

It is mainly useful for cases where the system Hamiltonian HS referees to a single (or afew) degrees of freedom, coupled via HSB to a bath HB of many degrees of freedom. Thetechnique is based on double path integrals. The original reference is R. P. Feynman,F. L. Vernon, Ann. Phys. (N. Y.) 24, 118 (1963).

One of the applications of influence functional theories is the systematic derivati-on of a semiclassical dynamics (Fokker-Planck equations, ...) from an exact quantum-mechanical theory:

F.2 Single Path Integrals

We assume a time-independent Hamiltonian for a particle of massM in a one-dimensionalpotential V (x) (the generalisation to larger than one dimension is easy),

H ≡ T + V, T ≡ p2

2M. (F.3)

The solution of the Schrodinger equation can be written as

|Ψ(t)〉 = e−iHt|Ψ(0)〉, 〈x|Ψ(t)〉 =

∫dx′G(x, t;x′, t′ = 0)〈x′|Ψ(0)〉, t > 0 (F.4)

with the help of the propagator

G(x, t;x′) ≡ G(x, t;x′, t′ = 0) ≡ 〈x|e−iHt|x′〉. (F.5)

F. Feynman-Vernon Influence Functional Theories 141

We now use the Trotter product formula

e−λ(T+V ) =(e−

λN

(T+V ))N

= limN→∞

(e−

λNT e−

λNV)N

(F.6)

with λ = it (~ = 1) and write (inserting the identity N − 1 times)

G(x, t;x′) = limN→∞

∫dx1...dxN−1

N−1∏j=0

〈xj+1|e−λNT e−

λNV |xj〉, xN ≡ x, x0 ≡ x′

= limN→∞

∫dx1...dxN−1

N−1∏j=0

〈xj+1|e−λNT |xj〉e−

λNV (xj). (F.7)

Now use (cf. p 1.15, 1.17),∫dp

(2π)|p〉〈p| = 1, 〈x|p〉 = eipx

〈x|e−λNT |y〉 = 〈x|e−

λ2MN

p2 |y〉∫dp

2π〈x|p〉e−

λ2MN

p2〈p|y〉 =

∫dp

2πe−

λ2MN

p2+ip(x−y) =

√MN

2πλe−MN(x−y)2/2λ,(F.8)

where we analytically continued the formula for Gaussian integrals∫ ∞−∞

dxe−ax2+bx =

√π

aeb

2/4a, Re a > 0, (F.9)

a→ ia+ η, η > 0, cf. Fresnel integrals and the book by H. Kleinert, ‘Path Integrals’ 2ndedition, World Scientific (Singapore, 1995).

We now introduce ε = t/N = λ/iN and have

G(x, t;x′) = limN→∞

∫dx1...dxN−1

(MN

2πλ

)N2N−1∏j=0

exp

[−MN(xj − xj+1)2

2λ− λV (xj)

N

]

= limN→∞

∫dx1...dxN−1

(M

2πiε

)N2

exp

iεN−1∑j=0

[M

2

(xj − xj+1)2

ε2− V (xj)

]≡

∫ x

x′Dxei

∫ t0 dt′L(x,x), L(x, x) =

1

2Mx2 − V (x). (F.10)

Here, we have defined the Lagrange Function L for the path x(t′), 0 ≤ t′ ≤ t, x(0) ≡x′, x(t) ≡ x with start point x and end point x′ in configuration space. The Feynmanpath integral measure Dx is a symbolic way of writing the limit N →∞,

Dx = limN→∞

∫dx1...dxN−1

(M

2πiε

)N2

. (F.11)


• When calculating the path integral explicitly, one always has to go back to thefinite N version and then take N →∞.

• The path integral represents an integration over all paths of the particle startingat x and ending at x′, not only the ones allowed by the Euler-Lagrange equationsof classical mechanics. Each path is weighted with the factor exp(iScl), where

Scl ≡∫ t

0dt′

1

2Mx(t′)2 − V (x(t′)) (F.12)

is the classical action integral of the individual path x(t′). We therefore can write

G(x, t;x′) =

∫ x

x′Dx exp(iScl). (F.13)

Note, however, that this is only a shorthand notation for the discretised version inthe N →∞ limit.

F.3 Double Path Integrals

Now let us come back to our density operator for our system-bath Hamiltonian,

H ≡ HS +HB +HSB, χ(t) = e−iHtχ(t = 0)eiHt. (F.14)

For the moment, let us assume that the system has one degree of freedom q and thebath the degree of freedom x (the generalisation to many bath degrees of freedom xi isstraightforward). We then use a representation of χ(t) in spatial coordinates,

〈x, q|χ(t)|q′, x′〉 =

∫dq0dq

′0dx0dx

′0〈x, q|e−iHt|q0, x0〉〈x0q0|χ(t = 0)|q′0, x′0〉

× 〈x′0q′0|eiHt|q′, x′〉. (F.15)

We trace out the bath degree of freedoms to obtain an effective density matrix

ρ(t) ≡ TrBχ(t) (F.16)

of the system,

〈q|ρ(t)|q′〉 =

∫dq0dq

′0dx0dx

′0dx〈x, q|e−iHt|q0, x0〉〈x0q0|χ(t = 0)|q′0, x′0〉

× 〈x′0q′0|eiHt|q′, x〉. (F.17)

Now we realise that the Hamiltonian H ≡ HS + HB + HSB induces a classical actionStotal ≡ SS [q]+SB[x]+SSB[xq], where in the following for notational simplicity we omit


indices at the three S. We use the path integral representation for the propagator matrixelements,

〈q|ρ(t)|q′〉 =

∫dq0dq

′0dx0dx

′0dx

∫ q

q0

Dq∫ x

x0

Dx∫ q′

q′0

D∗q′∫ x′=x

x′0

D∗x′

× exp[i (S[q] + S[x] + S[xq])− i

(S[q′] + S[x′] + S[x′q′]

)]× 〈x0q0|χ(t = 0)|q′0, x′0〉

=

∫dq0dq

′0

∫ q

q0

Dq∫ q′

q′0

D∗q′ exp[i(S[q]− S[q′]

)]×

∫dx0dx

′0dx

∫ x

x0

Dx∫ x

x′0

D∗x′ exp[i (S[x] + S[xq])− i

(S[x′] + S[x′q′]

)]× 〈x0q0|χ(t = 0)|q′0, x′0〉= [assume χ(t = 0) = ρ(0)⊗ ρB]

=

∫dq0dq

′0〈q0|ρ(0)|q′0〉

∫ q

q0

Dq∫ q′

q′0


)]F [q(t′), q′(t′)]

F [q(t′), q′(t′)] ≡∫dx0dx

′0dx〈x0|ρB|x′0〉

×∫ x

x0

Dx∫ x

x′0

D∗x′ exp[i (S[x] + S[xq])− i

(S[x′] + S[x′q′]

)]• In the original Feynman-Vernon method, one assumes a factorising initial conditionχ(t = 0) = ρ(0) ⊗ ρB, although that can be generalised to non-factorising initialdensity matrices χ(t = 0), cf. for example H. Grabert, P. Schramm, G. L. Ingold,Phys. Rep. 168, 115 (1988), or the book by Weiss.

• The functional F [q(t′), q′(t′)] is called influence functional . It describes theeffect of the bath on the time-evolution of the system density matrix.

• For zero system-bath coupling HSB = 0, F [q(t′), q′(t′)] = 1

F.4 The Influence Functional

Let us assume that we can write

HSB = HSB[q] = f(q)X (F.18)


with some given bath operator X and some given function f(q) of the system coordinateq. The influence functional can then be written as

F [q(t′), q′(t′)] ≡∫dx0dx

′0dx〈x0|ρB|x′0〉

×∫ x

x0

Dx exp [i (S[x] + S[xq])]

∫ x

x′0

D∗x′ exp[−i(S[x′] + S[x′q′]

)]=

∫dx0dx

′0dx〈x0|ρB|x′0〉〈x|UB[q]x0〉

[〈x|UB[q′]x′0〉

]∗= TrB

(ρBU

†B[q′]UB[q]

), (F.19)

where UB[q] is the unitary time-evolution operator for the time-dependent HamiltonianHB + HSB[q] with a given q(t′), 0 ≤ t′ ≤ t. Note that q(t′) and q′(t′) are independentpaths, they enter as ‘external’ parameters into the influence functional which then inthe final expression for 〈q|ρ(t)|q′〉 is integrated over all paths q(t′) and q′(t′). This formis useful to recognise general properties of F [q(t′), q′(t′)],

• q(t′) = q′(t′) F [q(t′), q′(t′)] = 1.

• |F [q(t′), q′(t′)]| ≤ 1.

The

Operator Form of Influence Functional

F [q(t′), q′(t′)] ≡ TrB

(ρBU

†B[q′]UB[q]

),

(F.20)

is particularly useful for discussing the coupling to other baths (spin-baths, Fermi bathsetc.)

F.5 Influence Functional for Coupling to Harmonic Oscillators

We start with the coupling of the system to a single harmonic oscillator,

HB +HSB[q] ≡ HB(t) ≡ p2

2M+

1

2MΩ2x2 + g(t)x, (F.21)

where without loss of generality we set f [q(t)] = g(t).

F.5.1 Time-evolution operator UB[q] ≡ UB(t)

This is given by the solution of the Schrodinger equation,

i∂

∂tUB(t) = HB(t)UB(t), UB(0) = 1, (F.22)

the formal solution of which is

UB(t) = Te−i∫ t0 dt′HB(t′) (F.23)


with the time-ordering operator T. Now, UB(t) can’t be directly calculated from Eq. (F.23)because the HB(t′) do not commute with each other at different times 1. One solution isto calculate UB(t) by direct evaluation of the path integral which is tedious but can bedone. Here, we show an alternative solution: introduce the interaction picture and write

HB(t) = H0 + g(t)x ≡ H0 + V (t)

UB(t) = e−iH0tU(t), i∂tU(t) = V (t)U(t)

V (t) = eiH0tV (t)e−iH0t = g(t)

(x cos Ωt+

p

MΩsin Ωt

). (F.24)

We solve for U(t) by making the general ansatz

U(t) = e−iA(t)e−iB(t)xe−iC(t)p (F.25)

with functions A(t) etc to be determined by taking the time-derivative of U(t). Thisyields

i∂

∂tU(t) = A(t)U(t) + xB(t)U(t) + C(t)e−iA(t)e−iB(t)xpe−iC(t)p

= A(t)U(t) + xB(t)U(t) + C(t)e−iA(t)

(pe−iB(t)x +

[e−iB(t)x, p

])e−iC(t)p

= use [e−iαx, p] = i∂xe−iαx = αe−iαx

=(A(t) + xB(t) + pC(t) +B(t)C(t)

)U(t) ≡ V (t)U(t). (F.26)

Therefore, comparing with the expression for V (t) yields

B(t) =

∫ t

0dt′g(t′) cos Ωt′, C(t) =

1

MΩ

∫ t

0dt′g(t′) sin Ωt′

A(t) = − 1

MΩ

∫ t

0dt′∫ t′

0dsg(t′)g(s) cos Ωs sin Ωt′ (F.27)

and therefore,

〈x|UB(t)|x′〉 = 〈x|e−iH0te−iA(t)e−iB(t)xe−iC(t)p|x′〉= e−iA(t)〈x|e−iH0te−iB(t)x|x′ + C(t)〉= e−iA(t)〈x|e−iH0t|x′ + C(t)〉e−iB(t)[x′+C(t)] (F.28)

In order to get explicit results here, we now need the propagator matrix elements for theharmonic oscillator,

〈x|e−iH0t|x′〉 =

√MΩ

2πi sin Ωtexp

iMΩ

2 sin Ωt

[(x2 + x′2

)cos Ωt− 2xx′

]. (F.29)

1 This is a dangerous source of mistakes, cf. J. H. Reina, L. Quiroga, and N. F. Johnson, ‘Decoherenceof quantum registers’, Phys. Rev. A 65, 032326 (2002)


These again can either be obtained by direct evaluation of the single path integral forthe harmonic oscillator or (somewhat simpler) by using the stationary eigenstates. Thematrix element for the driven harmonic oscillator, 〈x|UB(t)|x′〉, can then after sometransformations (straightforward algebra with trig functions) be written as

〈x|UB(t)|x′〉 =

√MΩ

2πi sin Ωtexp

iS(x, t;x′)

S(x, t;x′) ≡ iMΩ

2 sin Ωt

[ (x2 + x′2

)cos Ωt− 2xx′

− 2x

MΩ

∫ t

0dt′g(t′) sin Ωt′ − 2x′

MΩ

∫ t

0dt′g(t′) sin Ω(t− t′)

− 2

M2Ω2

∫ t

0

∫ t′

0dt′dsg(t′)g(s) sin Ω(t− t′) sin Ωs

]. (F.30)

This coincides with the result given in L. S. Schulman, Techniques and Applications ofPath Integration, Wiley (1981).

F.5.2 Influence Phase

The influence phase can be obtained directly from its definition, Eq. (F.19),

F [q(t′), q′(t′)] ≡ TrB

(ρBU

†B[q′]UB[q]

)= TrB

(ρBU

†[q′]eiH0te−iH0tU [q])

= TrB

(ρBe

iC′peiB′xeiA

′e−iAe−iBxe−iCp

)= ei(A

′−A)

∫dx〈x|ρB|eiC

′pei(B′−B)xe−iCp|x〉

= ei(A′−A)

∫dx〈x|ρB|x+ C − C ′〉ei(B′−B)(x+C),

where for a moment we abbreviated A, A′ etc. for the integrals Eq. (F.27) with g(t′) ≡f(q(t′)) in the undashed and g′(t′) ≡ f(q′(t′)) in the dashed (not the derivative) quanti-ties. We now assume a thermal equilibrium for the density operator ρB,

ρB =e−βH0

Z, Z = Tre−βH0 =

1

2 sinhβΩ/2(F.31)

〈x|ρB|x′〉 =1

Z

√MΩ

2π sinh Ωβexp

−MΩ

2 sinhβΩ

[(x2 + x′2

)coshβΩ− 2xx′

],


where we used the matrix elements of the propagator 〈x|e−iH0t|x′〉 for it = β (Wickrotation of the time t). Doing the Gaussian integral yields

F [q(t′), q′(t′)] = ei(A′−A)

∫dx〈x|ρB|x+ C − C ′〉ei(B′−B)(x+C)

= ei(A′−A) 1

Z

√MΩ

2π sinh Ωβ

∫dxei(B

′−B)(x+C)

× exp

− MΩ

2 sinhβΩ

[(x2 + (x+ C − C ′)2

)coshβΩ− 2x(x+ C − C ′)

]=

[use tanh

x

2=

coshx− 1

sinhx, cothx− 1

2tanh

x

2=

1

2coth

x

2

]= exp

i(A′ −A) +

i

2(B′ −B)(C + C ′)

× exp

− 1

4MΩcoth

βω

2

[(B′ −B)2 +M2Ω2(C − C ′)2

]. (F.32)

the last step now is to re-insert the definitions of A,B,C,A′, B′, C ′. The resulting longexpression

F [q(t′), q′(t′)] (F.33)

= exp

− 1

4MΩcoth

βω

2

∫ t

0dt′∫ t

0ds(g′t′ − gt′)(g′s − gs) cos Ω(t′ − s)

× exp

− i

MΩ

∫ t

0dt′∫ t′

0ds(g′t′g

′s − gt′gs) cos Ωs sin Ωt′

× exp

i

2MΩ

∫ t

0dt′∫ t

0ds(g′t′g

′s − gt′gs) cos Ωt′ sin Ωs

× exp

i

2MΩ

∫ t

0dt′∫ t

0ds(g′t′gs − gt′g′s) cos Ωt′ sin Ωs

(F.34)

can be further simplified with sinα cosβ = 12 [sin(α − β) + sin(α + β)] and carefully

considering the limits of the integrals and the symmetry of the integrands. Re-installingfurthermore gt′ ≡ g(t′) ≡ f [qt′ ] (we write the time-arguments as an index to avoid bulkyexpressions with too many brackets), the result can be written in a compact form, theFeynman-Vernon Influence Functional for the coupling of a single particle to a single


harmonic oscillator in thermal equilibrium,

H = HS [q] +HB[x] +HSB[xq] = HS [q] +p2

2M+

1

2MΩ2x2 + f [q]x

〈q|ρ(t)|q′〉 =

∫dq0dq

′0〈q0|ρ(0)|q′0〉

∫ q

q0

Dq∫ q′

q′0


)]F [qt′ , q

′t′ ]

F [qt′ , q′t′ ] = exp

−Φ[qt′ , q

′t′ ]

Influence Functional

Φ[qt′ , q′t′ ] =

∫ t

0dt′∫ t′

0dsf [qt′ ]− f [q′t′ ]

L(t′ − s)f [qs]− L∗(t′ − s)f [q′s]

L(τ) =

1

2MΩ

(coth

βΩ

2cos Ωτ − i sin Ωτ

). (F.35)

F.5.3 Linear Response, Fluctuation-Dissipation Theorem for L(t)

We first check that

L(t) = 〈x(t)x〉0, (F.36)

the (van-Hove) position correlation function of the harmonic oscillator with co-ordinatex in thermal equilibrium: write

x =

√1

2MΩ

(a+ a†

), x(t) =

√1

2MΩ

(ae−iΩt + a†eiΩt

)L(t) = 〈x(t)x〉0 =

1

2MΩ〈aa†e−iΩt + a†aeiΩt〉 =

1

2MΩ

(1 + nB)e−iΩt + nBe

iΩt

=1

2MΩ(1 + 2nB) cos Ωt− i sin Ωt =

1

2MΩ

coth

βΩ


,(F.37)

where we again have used the relation

1 + 2nB = 1 +2

eβΩ − 1=eβΩ + 1

eβΩ − 1= coth

βΩ

2. (F.38)

Now let us have another look at this function. Consider the Hamiltonian

HB[x] +HSB[xq] ≡ H(t) =p2

2M+

1

2MΩ2x2 + f(t)x, (F.39)

where we consider the function f [qt] = f(t) for a fixed path qt as an external classicalforce acting on the oscillator. The density matrix ρB(t) of the oscillator in the interactionpicture fulfills, cf Eq.(2.50),

ρB(t) = ρ0 − i∫ t

0dt′f(t′)[x(t′), ρB(t′)] (F.40)

≈ ρ0 − i∫ t

0dt′f(t′)[x(t′), ρ0] 1st order,


where ρ0 = ρB(t = 0) is assumed to be the thermal equilibrium density matrix. Theexpectation value of the position is then

〈x〉t ≡ TrρB(t)x = TrρB(t)x(t)

= 〈x〉0 − i∫ t

0dt′f(t′)Tr[x(t′), ρ0]x(t) = 〈x〉0 − i

∫ t

0dt′f(t′)Trρ0[x(t), x(t′)]

= 〈x〉0 − i∫ t

0dt′f(t′)〈[x(t), x(t′)]〉0, 1st order.

We check that

〈[x(t), x(t′)]〉0 = 〈[x(t− t′), x(0)]〉0 (F.41)

(definition of ρ0 !) and define the linear susceptibility

χxx(t− t′) ≡ iθ(t− t′)〈[x(t− t′), x(0)]〉0, (F.42)

so that we can write

〈x〉t = 〈x〉0 − i∫ t

0dt′χxx(t− t′)f(t′). (F.43)

The theta function in χxx(t − t′) guarantees causality: the response of x at time t isdetermined by the system at earlier times t′ ≤ t only.

Define additional functions and their symmetric and antisymmetric (in time) linearcombinations,

C+(t) ≡ 〈x(t)x〉0, C−(t) ≡ 〈x(−t)x〉0 = 〈xx(t)〉0C±(t) ≡ S(t)± iA(t) (F.44)

S(t) = S(−t) =1

2〈x(t)x+ xx(t)〉0, A(t) = −A(−t) =

1

2i〈x(t)x− xx(t)〉0.

We thus have

χxx(t) = −2θ(t)A(t) (F.45)

We define the Fourier transforms,

C±(ω) ≡∫ ∞−∞

dtC±(t)eiωt, S(ω) ≡∫ ∞−∞

dtS(t)eiωt, A(ω) ≡∫ ∞−∞

dtA(t)eiωt

χ(ω) ≡∫ ∞

0dtχ(t)eiωt (F.46)

and use

Tr(e−βHBxx(t)) = Tr(e−βHBxeβHBe−βHB x(t)) = Tr(x(iβ)e−βHB x(t))

= Tr(e−βHB x(t)x(iβ)) = Tr(e−βHB x(t− iβ)x)

C−(t) = C+(t− iβ), (F.47)


and therefore in the Fourier transform

C−(ω) = C+(ω)e−βω (detailed balance relation). (F.48)

We now define real and imaginary part of the Fourier transform of the susceptibility,

χxx(ω) ≡ χ′xx(ω) + iχ′′xx(ω). (F.49)

Then,

χ′′(ω) = Im

∫ ∞0

dtχ(t)eiωt = −2Im

∫ ∞0

dtA(t)eiωt = −21

2i

∫ ∞0

dt(A(t)eiωt −A(t)e−iωt

)= i

(∫ ∞0

dtA(t)eiωt −∫ 0

−∞dtA(−t)eiωt

)= [A(t) = −A(−t)] = i

∫ ∞−∞

dtA(t)eiωt

= iA(ω) = i1

2i

(C+(ω)− C−(ω)

)=

1

2

(1− e−βω

)C+(ω) (F.50)

The relation

χ′′(ω) =1

2

(1− e−βω

)C+(ω) (F.51)

is called Fluctuation-Dissipation Theorem (FDT) (Callen, Welton 1951) and canbe re-written, using

S(ω) =1

2(C+(ω) + C−(ω)) =

1

2

(1 + e−βω

)C+(ω), (F.52)

leading to

S(ω) = χ′′(ω) cothβω

2. (F.53)

Example- harmonic oscillator: we have

χ(t) = iθ(t)〈[x(t), x]〉0 =iθ(t)

2MΩ

(e−iΩt − eiΩt

) χxx(ω) = Im

i

2MΩ

∫ ∞0

dt(e−iΩt − eiΩt

)eiωt

=1

2MΩ

∫ ∞0


=1

2MΩ

1

2

∫ ∞−∞

dt cos(ω − Ω)t− cos(ω + Ω)t , (F.54)

therefore

χxx(ω) =1

2MΩ

2π

2δ(ω − Ω)− δ(ω + Ω). (F.55)


On the other hand,

C(t) ≡ L(t) = 〈x(t)x〉0 =1

2MΩ

coth

βΩ


S(t) =

1

2MΩcoth

βΩ

2cos Ωt

S(ω) =1

2MΩπ δ(ω + Ω) + δ(ω − Ω) coth

βΩ

2

=1

2MΩπ −δ(ω + Ω) + δ(ω − Ω) coth

βω

2= χxx(ω) coth

βω

2, (F.56)

which is consistent with the FDT.

F.6 Applications: Linear Coupling, Damped Harmonic Oscillator

Our result for the influence phase can immediately be generalised to a single particle,coupled to a system of N > 1 harmonic oscillators in thermal equilibrium,

H = HS [q] +HB[x] +HSB[xq] = HS [q] +

N∑α=1

p2α

2Mα+

1

2MαΩαx

2 + fα[q]xα

F [qt′ , q′t′ ] = exp

−Φ[qt′ , q

′t′ ]


Φ[qt′ , q′t′ ] =

N∑α=1

∫ t

0dt′∫ t′

0dsfα[qt′ ]− fα[q′t′ ]

Sα(t′ − s)fα[qs]− S∗α(t′ − s)fα[q′s]

Sα(τ) =

1

2MαΩα

(coth

βΩα

2cos Ωατ − i sin Ωατ

). (F.57)

F.6.1 Linear Coupling

In many applications, one assumes (often for simplicity) a linear coupling to the bath,

HB[x] +HSB[xq] =N∑α=1

[p2α

2Mα+

1

2MαΩ2

α

(xα −

cαMαΩ2

α

q

)2]

=N∑α=1

[p2α

2Mα+

1

2MαΩ2

αx2α − cαqxα +

1

2

c2α

MαΩ2α

q2

]F [qt′ , q

′t′ ] = exp

−Φ[qt′ , q

′t′ ]


Φ[qt′ , q′t′ ] =

∫ t

0dt′∫ t′

0dsqt′ − q′t′

L(t′ − s)qs − L∗(t′ − s)q′s

+ i

µ

2

∫ t

0dt′q2t′ − (q′t′)

2

(F.58)


Here, the kernel L(t) and the spectral density J(ω) are

L(τ) ≡ 1π

∫∞0 dωJ(ω)

(coth βω

2 cosωτ − i sinωτ)

J(ω) ≡ π2

∑Nα=1

c2αMαΩα

δ(ω − Ωα). (F.59)

Note that in this form, an additional term appears in HSB as a potential

Vcounter(q) ≡1

2µq2, µ ≡ 1

2

∑α

c2α

MαΩ2α

=2

π

∫ ∞0

J(ω)

ωdω. (F.60)

Since the action S appears as exp(iS[q]) in the path integral for q and exp(−iS[q]) inthe path integral for q′, we could absorb the counter term into the influence phase as

exp(iµ

2

∫ t

0dt′q2t′ − (q′t′)

2

).

Note that the entire information on the coupling to the bath is now contained in thespectral density J(ω), which we have defined following the notation of Weiss, ‘QuantumDissipative Systems’.

F.6.2 Propagator for Damped Harmonic Oscillator

One now has to face the tedious task to (exactly) evaluate the double path integral,which can be done because it is Gaussian. Reference: H. Grabert, P. Schramm, andG.-L. Ingold, Phys. Rep. 168, 115 (1988).

Comparison to Master Equation Approach: R. Karrlein, H. Grabert, Phys. Rev. E55, 153 (1997).

F.7 Another Look at Influence Functionals for General Baths

(This sub-section is partly due to private communications from W. Zwerger). Feynmanand Vernon realised that the coupling of a system S to any bath B can be mapped ontothe coupling to an equivalent oscillator bath, if the coupling is weak and second orderperturbation theory can be applied: let us have another look at the operator form of theinfluence functional, Eq. (F.20),

F [q(t′), q′(t′)] ≡ TrB

(ρBU

†B[q′]UB[q]

)HB(t) = H0 + V (t), H ′B(t) = H0 + V ′(t), (F.61)

where UB[q] is the time-evolution operator for HB(t) and U †B[q′] the (backwards in time)evolution operator for H ′B(t). Here, HB(t) and H ′B(t) refer to different paths q and q′.


Example: For a Fermi bath, we could have

H0 =∑k

εkc†kck, V (t) ≡ V [qt] =

∑kk′

Mkk′ exp(i(k − k′)qt)c†k′ck. (F.62)

where c†k creates a Fermion with quantum number k.

We again introduce the interaction picture and write

UB[q] = e−iH0t

1− i

∫ t

0dt′V (t′)−

∫ t

0

∫ t′

0dt′dsV (t′)V (s) + ...

U †B[q′] =

1 + i

∫ t

0dt′V ′(t′)−

∫ t

0

∫ t′

0dt′dsV ′(s)V ′(t′) + ...

eiH0t (F.63)

The product of the two time-evolution operators therefore becomes

U †B[q′]UB[q] = 1− i∫ t

0dt′V ′(t′)− V (t′)

+

∫ t

0dt′V ′(t′)

∫ t

0dsV (s)

−∫ t

0

∫ t′

0dt′ds

V ′(s)V ′(t′) + V (t′)V (s)

+ ...

= 1− i∫ t

0dt′V ′(t′)− V (t′)

+

1

2

∫ t

0

∫ t

0dt′ds

V ′(t′)V (s) + V ′(s)V (t′)

−

∫ t

0

∫ t′

0dt′ds

V ′(s)V ′(t′) + V (t′)V (s)

+ ...

= 1− i∫ t

0dt′V ′(t′)− V (t′)

+

∫ t

0

∫ t′

0dt′ds

V ′(t′)V (s) + V ′(s)V (t′)

−

∫ t

0

∫ t′

0dt′ds

V ′(s)V ′(t′) + V (t′)V (s)

+ ...

= 1− i∫ t

0dt′V ′(t′)− V (t′)

+

∫ t

0

∫ t′

0dt′ds

[V ′(t′)− V (t′)

]V (s)

−

∫ t

0

∫ t′

0dt′ds

V ′(s)

[V ′(t′)− V (t′)

]+ ... (F.64)

In order to be a little bit more definite, a useful parametrisation of the interactionoperators might be

V (t) ≡∑αβ

gαβ(t)Xαβ, V ′(t) ≡∑αβ

g′αβ(t)Xαβ, (F.65)

with bath operators Xαβ. Note that this comprises the cases considered so far (harmonic


oscillator, Fermi bath). Taking the trace over ρB, we obtain

F [q(t′), q′(t′)] ≡ TrB

(ρBU

†B[q′]UB[q]

)≡ 〈U †B[q′]UB[q]〉0

= 1− i∑αβ

∫ t

0dt′g′αβ(t′)− gαβ(t′)

〈Xαβ(t′)〉0

+∑αβγδ

∫ t

0

∫ t′

0dt′ds

g′αβ(t′)− gαβ(t′)

[gγδ(s)〈Xαβ(t′)Xγδ(s)〉0

− g′γδ(s)〈Xγδ(s)Xαβ(t′)〉0]

+ ... (F.66)

Introducing the correlation tensor

Lαβγδ(t′, s) ≡ 〈Xαβ(t′)Xγδ(s)〉0, (F.67)

this can be written as

F [q(t′), q′(t′)] = 1− i∑αβ

∫ t

0dt′g′αβ(t′)− gαβ(t′)

〈Xαβ(t′)〉0

+∑αβγδ

∫ t

0

∫ t′

0dt′ds

g′αβ(t′)− gαβ(t′)

[gγδ(s)Lαβγδ(t

′, s)− g′γδ(s)Lγδαβ(s, t′)]

+ ... (F.68)

F.7.1 ‘Re-Exponentiation’

So far this expression for the influence functional is very general, but it is only to secondorder in the system-bath interaction! In principle, one should write down the entireDyson series for U †B[q′] and UB[q] and sum up all the terms of the resulting expressionin order to obtain the final result for the influence functional. Clearly, this is in generalnot possible, and it is even not guaranteed that such an expression would be convergentand mathematically meaningful.

For simplicity, let us assume that the linear term vanishes,

〈Xαβ(t′)〉0 ≡ 0. (F.69)

For example, this is fullfilled for coupling to a linear harmonic oscillator, Xαβ ≡ δαβxwith x the oscillator coordinate.

At least some contributions to the infinite series for F [q(t′), q′(t′)] can be summedup in closed form: this is done by ‘re-exponentiation’. In fact, up to second order in the


system-bath interaction, we can write (summarising all our definitions so far)

V [qt] ≡∑αβ

gαβ[qt]Xαβ, Lαβγδ(t′, s) ≡ 〈Xαβ(t′)Xγδ(s)〉0

Fpert[q(t′), q′(t′)] = exp−Φpert[q(t′), q′(t′)],

Φpert[q(t′), q′(t′)] =∑αβγδ

∫ t

0

∫ t′

0dt′ds

gαβ[qt′ ]− gαβ[q′t′ ]

×

[gγδ[qs]Lαβγδ(t

′, s)− gγδ[q′s]Lγδαβ(s, t′)]

(F.70)

by simply expanding the exponential. The ‘re-exponentiation’ automatically sums up aninfinite number of terms. Such ‘exponentiation’ schemes are known, e.g., from cluster

expansions of the statistical operator e−βH . The important observation here is that forthe harmonic oscillator case, this re-exponentiation becomes exact: with V = f [q]x andV ′ = f [q′]x, we recognise

Φ[q(t′), q′(t′)] =

∫ t

0

∫ t′

0dt′ds

f [qt′ ]− f [q′t′ ]

L(t′, s)f [qs]− L(s, t′)f [q′s]

,(F.71)

L(t′, s) = 〈x(t′)x(s)〉0 = 〈x(t′ − s)x〉0 = L(t′ − s)L(s, t′) = 〈x(s)x(t′)〉0 = 〈x(t′)x(s)〉∗0 = L∗(t′ − s), (F.72)

and therefore by comparison with Eq. (F.35) we find that both expressions co-incide.

F.8 ‘Semiclassical’ Limit for Damped Single Particle Motion

References: A. Schmid, J. Low Temp. Phys. 49, 609 (1982); W. Zwerger, Phys. Rev. B35, 4737 (1987); N. Janssen and W. Zwerger, Phys. Rev. B 52, 9406 (1995); U. Weiss,‘Quantum Dissipative Systems’ (2nd ed.), World Scientific (Singapore) (1999), ch. 5.5.

Let us assume a single particle in a potential V (q),

HS =p2

2m+ V (q). (F.73)

We consider the reduced density matrix ρ(t) of the system S,

ρ(x, y, t) ≡ 〈x+ y/2|ρ(t)|x− y/2〉, (F.74)

where we set

q = x+ y/2, q′ = x− y/2; x =1

2

(q + q′

), y = q − q′, (F.75)

thus introducing the ‘center-of-mass’ coordinate x and the relative coordinate y. Notethat the Wigner distribution function f(x, p, t) is obtained from the density matrixas a Fourier transform with respect to the relativ co-ordinate y,

f(x, p, t) =

∫ ∞−∞

dy

2πρ(x, y, t)e−ipy. (F.76)


Correspondingly, in the double path integral we integrate over center-of-mass-coordinateand relative-coordinate paths,

xt =1

2

(qt + q′t

), yt = qt − q′t (F.77)

The Jacobian of the corresponding discretised variable transformation is one whence onecan write

ρ(x, y, t) =

∫dx0dy0ρ0(x0, y0)J(x, y, t;x0, y0)

J(x, y, t;x0, y0) =

∫ x

x0

Dx∫ y

y0

Dy exp

[i

∫ t

0dt′ (Mxt′ yt′ − V (x+ y/2) + V (x− y/2))

]× exp −Φ[xt′ , yt′ ] (F.78)

F.8.1 Expansion of the Influence Phase

In order to derive a semiclassical limit from the double path integral, the central idea is toexpand the influence phase in powers of the paths yt′ . The yt′-paths describe ‘off-diagonalexcursions’ from the diagonal paths xt′ in the time-evolution of ρ(t). We write

F [xt′ , yt′ ] = exp −Φ[xt′ , yt′ ] Influence Functional

−Φ[xt′ , yt′ ] = −N∑α=1

∫ t

0dt′∫ t′

0ds fα[xt′ + yt′/2]− fα[xt′ − yt′/2]

×Sα(t′ − s)fα[xs + ys/2]− S∗α(t′ − s)fα[xs − ys/2]

= −

N∑α=1

∫ t

0dt′∫ t′

0dsf ′α[xt′ ]yt′

×

Re Sα(t′ − s)f ′α[xs]ys + 2iIm Sα(t′ − s)fα[xs]

+O [ys]3 .(F.79)

In the semiclassical approximation, we thus can write the influence functional as

Fsc[xt′ , yt′ ] ≡ exp −Φ[xt′ , yt′ ] = exp iφ1 − φ2 (F.80)

iφ1 ≡ −i∫ t

0dt′∫ t′

0dsϕ1[xs]yt′ , ϕ1[xs] ≡

N∑α=1

2Im Sα(t′ − s)f ′α[xt′ ]fα[xs]

φ2 ≡∫ t

0dt′∫ t′

0dsϕ2[xs]yt′ys, ϕ2[xs] ≡

N∑α=1

Re Sα(t′ − s)f ′α[xt′ ]f′α[xs].

Exercise: Check that for the linear model (coupling linear in q), Eq.(F.58), the influencephase becomes

Φ[xt′ , yt′ ] =

∫ t

0dt′∫ t′

0dsyt′

Re L(t′ − s)ys + 2iIm L(t′ − s)xs

+ iµ

∫ t

0dt′xt′yt′ . (F.81)


For the linear model, the semiclassical expansion of the influence phase is therefore exact.

In a similar way, we expand the potential V (x± y/2) in the action in powers of theoff-diagonal path y, thus arriving at

ρsc(x, y, t) =

∫dx0dy0ρ0(x0, y0)Jsc(x, y, t;x0, y0) (F.82)

Jsc(x, y, t;x0, y0) =

∫ x

x0

Dx∫ y

y0

Dy exp

[i

∫ t

0dt′(Mxt′ yt′ − V ′(xt′)yt′

)]× exp

−i∫ t

0dt′∫ t′

0dsϕ1[xs]yt′ −

∫ t

0dt′∫ t′

0dsϕ2[xs]yt′ys

.

The first step now is to perform an integration by parts to transform the term Mxt′ yt′ ,and to re-arrange

Jsc(x, y, t;x0, y0) =

∫ x

x0

Dx∫ y

y0

Dy exp [iM(xty − x0y0)]

× exp

[−i∫ t

0dt′yt′

Mxt′ + V ′(xt′) + FB[xs, t

′]−∫ t

0dt′∫ t′

0dsϕ2[xs]yt′ys

]

FB[xs, t′] ≡

∫ t′

0dsϕ1[xs] =

∫ t′

0ds

N∑α=1

2Im Sα(t′ − s)f ′α[xt′ ]fα[xs]

= −N∑α=1

∫ t′

0ds

sin Ωα(t′ − s)MαΩα

f ′α[xt′ ]fα[xs]. (F.83)

This is an interesting expression: the term in the brackets looks likely to lead to aclassical equation of motion,

Mxt′ + V ′(xt′) + FB[xs, t′] = 0, (F.84)

where −V ′(xt′) is the force due to the potential V (x), and FB[xs, t′] is a retarded,

position-dependent deterministic friction force due to the bath. In addition, however,there is the term quadratic in y containing the function

ϕ2[xs] ≡N∑α=1

Re Sα(t′ − s)f ′α[xt′ ]f′α[xs]

=N∑α=1

1

2MαΩαcoth

βΩα

2cos Ωα(t′ − s)f ′α[xt′ ]f

′α[xs], (F.85)

which is the only place where the bath temperature T = 1/β enters.


F.8.2 Completing the Square

This is a useful trick when dealing with functional integrals. We start from the identityfor a real symmetric, positive definite n× n matrix A,

e−12yAy = [2π detA]−n/2

∫∞−∞ dx1...dxne

− 12xA−1x+iyx (F.86)

Exercise: Prove this identity. Hint: use the standard formula for Gaussian integrals anda linear transformation that diagonalises A.

We now obtain

exp

[−1

2

∫ t

0

∫ t

0dt′dsA(t′, s)yt′ys

]= lim

N→∞exp

−ε2

2

N−1∑j,k=0

Ajkyjyk

= lim

N→∞[2π detA]−N/2

∫dξ0...dξN−1 exp

−ε2

2

N−1∑j,k=0

ξjA−1jk

ε2ξk + iε

N−1∑j=0

yjξj

=

∫Dξ exp

[−∫ t

0

∫ t

0dt′dsξt′A

−1(t′, s)ξs + i

∫ t

0dt′yt′ξt′

](F.87)

Dξ ≡ limN→∞

[2π detA]−N/2 dξ0...dξN−1

A(t′, s) = ϕ2[x](t′, s), cf. Eq. (F.85).

Here, we have used the fact that the discrete inverse of an operator needs to be dividedby ε2,

A−1(t′, s)↔ 1

ε2A−1jk . (F.88)

This can be derived by considering the discrete equivalent of the delta function and leadsto the following translation table between continuous and discrete:

f(x) =

∫dx′δ(x− x′)f(x′), fm =

∑m

δmnfn = ε∑m

δmnεfn

δ(x− x′)↔ δmnε∫

dx′A−1(x, x′)A(x′, x′′) = δ(x− x′), ε∑m′

A−1mm′

ε2Am′m′′ =

δmm′′

ε

A−1(x, x′)↔ 1

ε2A−1mm′ . (F.89)

Now using the fact that ϕ2 is symmetric in t′ and s, we have∫ t

0dt′∫ t′

0dsϕ2[xs]yt′ys =

1

2

∫ t

0dt

∫ t

0dsϕ2[xs]yt′ys (F.90)


and therefore

Jsc(x, y, t;x0, y0) =

∫ x

x0

Dx∫ y

y0

DyeiM(xty−x0y0)

× exp

[−i∫ t

0dt′yt′


′]− 1

2

∫ t

0

∫ t

0dt′dsϕ2[xs]yt′ys

]=

∫ x

x0

Dx∫ y

y0

DyeiM(xty−x0y0)

∫Dξ[x] exp

[−1

2

∫ t

0

∫ t

0dt′dsξt′ϕ2[xs]

−1ξs

]× exp

[−i∫ t

0dt′yt′


′]− ξt′]. (F.91)

Here we have explicitly indicated the dependence of the measure Dξ[x] on the paths xs,which enters through the determinant of the operator ϕ2[xs]. The pathintegral over Dyis now very easy: we find (ε = t/N)

∫ y

y0

Dy exp

[−i∫ t

0dt′yt′bt′

]= lim

N→∞

∫dy1...dyN−1

(M

2πiε

)N2

exp

−iεN−1∑j=0

yjbj

= lim

N→∞

(M

2πiε

)N2 2πδ(b0)

ε· ... · 2πδ(bN−1)

εe−iεy0b0 ≡ ∆(yt′ − bt′), (F.92)

Here, ∆ indicates the product of delta functions that fixes the yt′ path to the bt′ path,and for ε→ 0 the e−iεy0b0 becomes irrelevant. Inserting yields

Jsc(x, y, t;x0, y0) = eiM(xty−x0y0)

∫ x

x0

Dx∫Dξ[x] exp

[−1

2

∫ t

0

∫ t

0dt′dsξt′ϕ2[xs]

−1ξs

]× ∆(Mxt′ + V ′(xt′) + FB[xs, t

′]− ξt′). (F.93)

F.8.3 Wigner Distribution in ‘Semi-classical’ Limit

Considering now the definition of the Wigner distribution function,

fsc(x, p, t) =

∫ ∞−∞

dy

2πρ(x, y, t)e−ipy =

∫ ∞−∞

dy

2πe−ipy

∫dx0dy0ρ0(x0, y0)Jsc(x, y, t;x0, y0)

=

∫dy

2πdx0dy0ρ0(x0, y0)e−ipyeiM(xty−x0y0)

∫ x

x0

Dx∫Dξ[x]e−

12

∫ t0

∫ t0 dt′dsξt′ϕ2[xs]−1ξs

× ∆(Mxt′ + V ′(xt′) + FB[xs, t′]− ξt′)

=

∫dx0f0(x0, p0 = Mx0)δ(p−Mx)

∫ x

x0

Dx∫Dξ[x]e−

12

∫ t0

∫ t0 dt′dsξt′ϕ2[xs]−1ξs

× ∆(Mxt′ + V ′(xt′) + FB[xs, t′]− ξt′). (F.94)


Here, the y-integral generated δ(p −Mx), and the y0-integral transformed the initialcondition ρ0(x0, y0) into its Wigner transform f0(x0, p0 = Mx0). We summarise,

fsc(x, p, t) =∫dx0f0(x0,Mx0)δ(p−Mx)

×∫ xx0Dx∫Dξ[x] exp

[−1

2

∫ t0

∫ t0 dt

′dsξt′ϕ2[xs]−1ξs

]× ∆(Mxt′ + V ′(xt′) + FB[xs, t

′]− ξt′).(F.95)

F.8.4 Discussion

In the semi-classical approximation, the time-evolution of the Wigner-distribution func-tion is determined by Eq. (F.95). This equation describes a stochastic process for thecenter-of-mass co-ordinate xt′ of the particle, moving within a potential V (x) under theaction of a deterministic friction force FB[xs, t

′],

FB[xs, t′] = −

N∑α=1

∫ t′

0ds

sin Ωα(t′ − s)MαΩα

f ′α[xt′ ]fα[xs], (F.96)

and a stochastic force ξt′ . The motion of the particle is governed by the stochastic integro-differential equation

Mxt′ + V ′(xt′) + FB[xs, t′] = ξt′ , (F.97)

where the stochastic force ξt′ is a random force which itself depends on the coordinateof the particle: this can be seen by the fact that its variance,

〈ξt′ξs〉 = ϕ2[x] =N∑α=1

1

2MαΩαcoth

βΩα

2cos Ωα(t′ − s)f ′α[xt′ ]f

′α[xs], (F.98)

depends on the particle path xs. The Wigner distribution is obtained by integrating overall possible realisations of the stochastic force, such that Eq. (F.98) is fulfilled. Since theξ path-integral is Gaussian, one speaks of a Gaussian stochastic process. This of courseis due to the fact that we truncated the yt′ expansion in the influence phase after theterm quadratic in yt′ .

Our results shows that the influence of the bath is two-fold: it leads to a deterministic,retarded ‘friction’ force, and to a stochastic force. The latter contains the temperatureand, by means of the coth(β~Ω/2) terms in ϕ2[x], a fully quantum mechanical descriptionof the bath.

For certain types of system-bath couplings, one can explicitely show that the operatorϕ2 is positive definite and therefore, the term quadratic in yt′ in the original double pathintegral exponentially suppresses strong deviations from the diagonal paths with yt′ = 0.In this case, the expansion of the one-particle potential V ,

−V (x+ y/2) + V (x− y/2) ≈ −V ′(x)y (F.99)

becomes more plausible. One should, however, expect that quantum mechanical effects(like particle tunneling) are destroyed by the approximation Eq. (F.99).


F.8.5 Linear Dissipation (‘Ohmic Bath’)

The influence phase for the linear model, Eq.(F.58), the influence phase is (cf. Eq. (F.81,F.60,F.59))

Φ[xt′ , yt′ ] =

∫ t

0dt′∫ t′

0dsyt′

Re L(t′ − s)ys + 2iIm L(t′ − s)xs

+ iµ

∫ t

0dt′xt′yt′ , µ ≡ 1

2

∑α

c2α

MαΩ2α

=2

π

∫ ∞0

J(ω)

ω

L(τ) ≡ 1

π

∫ ∞0

dωJ(ω)

(coth

βω

2cosωτ − i sinωτ

), (F.100)

whence the deterministic friction force FB[xs, t′] becomes

FB[xs, t′] = µxt′ +

∫ t′

0ds2Im L(t′ − s)xs

=2

π

∫ ∞0

dωJ(ω)

ωxt′ −

2

π

∫ ∞0

dωJ(ω)

∫ t′

0ds sinω(t′ − s)xs

=2

π

∫ ∞0

dωJ(ω)

ωxt′ −

2

π

∫ ∞0

dωJ(ω)

[xt′

ω− cosωt′

ωx0 −

∫ t′

0ds

cosω(t′ − s)ω

xs

]

=2

π

∫ ∞0

dωJ(ω)

[cosωt′

ωx0 +

∫ t′

0ds

cosω(t′ − s)ω

xs

]. (F.101)

The term xt′ from the integration by parts has cancelled exactly with the counter-termµxt′ . If one now assumes a linear spectral function J(ω),

Johmic(ω) ≡ ηω, (F.102)

we recover the original Caldeira-Leggett description of quantum friction (plus the addi-tional term 2ηx0δ(t

′) that was missing there, cf. A. O. Caldeira, A. J. Leggett, Physica121 A, 587 (1983); ibid. 130 A, 374(E), (1985); Weiss book chapter 5.1),

Fohmic[xs, t′] =

2η

π

∫ ∞0

dω

[x0 cosωt′ +

∫ t′

0ds cosω(t′ − s)xs

]

= 2ηx0δ(t′) + 2η

∫ t′

0dsδ(t′ − s)xs = 2ηx0δ(t

′) + ηxt′ . (F.103)

The resulting stochastic equation of motion Eq. (F.97) is

Mxt′ + ηxt′ + V ′(xt′) = ξt′ − 2ηx0δ(t′). (F.104)

Note that the ‘awkward’ term 2ηx0δ(t′) brings in a dependence on the ‘initial condition’

x0.


F.8.6 Application: Polaron-Transport

Feynman et al. (R. P. Feynman, R. W. Hellwarth, C. K. Iddings, and P. M. Platzman,Phys. Rev. 127 1004 (1962), K. K. Thornber, R. P. Feynman, Phys. Rev. B 1, 4099(1970)), and Janssen and Zwerger (N. Janssen and W. Zwerger, Phys. Rev. B 52, 9406(1995)) have used the influence functional theory for the non-equilibrium polaron pro-blem, i.e. the motion of a single electron coupled to optical phonons in a crystal. Theperiodic crystal potential is considered in the form of an effective band-mass m∗, andthe potential V is due to an accelerating, homogeneous force in which case the expansionEq. (F.99) becomes exact.

Quantensysteme im Nichtgleichgewicht: Einfuhrung · Inhaltsverzeichnis 1 Vorlesungsskript zur...

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