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Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern

Quantum Computing

Seminar: Informatikanwendungen in Nanotechnologien

Wladislaw Debus

20.06.2006

Wladislaw Debus Quantum Computing


Inhalt

1 Einführung

2 Aufbau eines QuantencomputersQubitsQuantenregisterSchaltkreise

3 Komplexitätsklassen

4 QuantenalgorithmenFaktorisierung nach ShorSuchalgorithmus von Grover

5 Realisierung von QuantencomputernIonenfallenKernspinresonanz



Einführung

Was ist Quantum Computing

Ein Quantencomputer ist ein Computer, der die Gesetze derQuantenmechanik ausnutzt, um gewisse Rechungen e�zienterdurchzuführen, als konventionelle Computer.

eine neue art des Rechnens

hohe Parallelität

hohe technische Voraussetzungen



1 Einführung







Superposition

De�nition

Superposition bedeutet die Überlagerung von zwei oder mehrerenZuständen eines Objektes. Die Zustände einer Superpositionkönnen nicht gleichzeitig beobachtet werden.



Dekohärenz

De�nition

Eine Superposition mehrerer Zustände wird durch Wechselwirkungmit der Umgebung zerstört. Diesen E�ekt nennt man Dekohärenz.



Qubits

Qubits

Zustand eines Qubits:

|φ>= α|0> +β|1> α, β ∈ C

mit |α|2 + |β|2 = 1



Qubits

Qubits

Mathematische Darstellung

Ersetze:

|0> :=

(10

)|1> :=

(01

)Dann gilt:

α |0 > +β |1 > = α

(10

)+ β

(01

)=(

αβ

)



Qubits

Qubits - Realisierung



Qubits

Operationen auf Qubits



Qubits

Operationen auf Qubits

Operationen

dargestellt durch unitäre Matrizen A−1 = (A∗)T

Beispiele

NOT

(0 11 0

) (0 11 0

) (10

)=

(01

)(

0 11 0

) (01

)=

(10

)

H 1√2

(1 11 − 1

) (1√2

1√2

1√2− 1√

2

) (10

)=

(1√2

1√2

)(

1√2

1√2

1√2− 1√

2

) (01

)=

(1√2

− 1√2

)Wladislaw Debus Quantum Computing


Qubits

Ein Zufallsgenerator

Algorithmus

1. |x> ← |0>2. |x> ← H|x>3. Messe |x>



Quantenregister

Quantenregister

Quantenregister

R = |x1 > |x0 >mit |x1 >= γ0 |0> +γ1 |1>

|x0 >= β0 |0> +β1 |1>Einsetzen:

|x1 > |x0 >= (γ0 |0> +γ1 |1>)(β0 |0> +β1 |1>)= α00 |00> +α01 |01> +α10 |10> +α11 |11>

R =

α00

α01

α10

α11



Schaltkreise

Schaltkreise



Schaltkreise

Simulation klassischer Schaltkreise

To�oli-Gatter:

Negation und Konjunktion mit einem To�oli-Gatter:



Schaltkreise

Probleme bei der Realisierung

Reversibilität

Jede Rechnung muss reversibel sein.

No-Cloning-Theorem

Es gibt keine unitäre Transformation, die einen Quantenzustandkopieren kann.

Unentscheidbarkeit von Zuständen

Zwei Zustände lassen sich nur dann zweifelsfrei unerscheiden, wennsie zueinander orthogonal sind.



Schaltkreise

Das Problem von Deutsch

Ablauf

1. |x>|y> ← |0> |1>2. Wende die Hadamard-Transformation H auf beide Bits an:

|x>|y> ← H|x> H|y>3. Werte f aus:

|x>|y> ← Uf |x> |y>4. Wende die Hadamard Transformation H auf beide Bits an:

|x>|y> ← H|x> H|y>5. Messe das Register:

Hat |x> den Wert |0>: Ausgabe konstant, sonst balanciert.Wladislaw Debus Quantum Computing


1 Einführung







Quanten-Komplexitätsklassen

Klasse BQP

Durch Quantenschaltkreise polynomieller Grösse berechenbareFunktionen, bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit < 1

3



1 Einführung







Faktorisierung nach Shor

Faktorisierungsalgorithmus von Shor

Ziel:

Schnelle Faktorisierung grosser Zahlen.

Schnellster klassischer Algorithmus: O(en13 log(n

23 ))

Shors Algorithmus: O(n2)benutzt Quanten-Fourier-Transformation.



Suchalgorithmus von Grover

Suchalgorithmus von Grover

Ziel:

In einer Menge n unsortierter Daten muss ein ausgezeichneterZustand x0 gefunden werden.

Algorithmus1 nimm einen n-Qubit Register

2 erzeuge eine Superposition aller 2n Zustände

3 wende unitäre Transformationen auf das Register an, die die

Amplitude des Ausgezeichneten Zustandes erhöht

4 wiederhole die Transformation O(√

n) mal an

5 führe eine Messung durch - W (x0) = 1

Komplexität des Algorithmus O(√

n log(n))



1 Einführung







Ionenfallen

Ionenfallen

Kette von Ionen in elektromagnetischer Falle

Operationen werden durch Laserimpulse realisiert

1-Qubit Operationen umgesetzt

Faktorisierung der Zahl 15

nur wenige Sekunden Stabil



Kernspinresonanz

Kernspinresonanz

Moleküle in �üssigem Zustand

Operationen werden durch Radiofrequenzimpulse realisiert

elementare Gatteroperationen umgesetzt

Grovers Suchalgorithmus für vier Datensätze realisiert



Kernspinresonanz

Literatur

Quantum Computing verstehen. Grundlagen - Anwendungen -Perspektiven von Matthias Homeister, Vieweg-Verlag

Quantum Computingvon Mika Hirvensalo, Springer-Verlag

http://home.in.tum.de/ nguy-enh/�les/qc/Quantencomputer.ppt

www.wikipedia.de

http://www.itp.uni-hannover.de/ kreutzm/data/qit1main.pdf

http://www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/ klauck/QC05.html


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