S =S G - TUHH · 3. Kinematisches Modell 10.09.2019 V3.5 - 3-5 - © Dr-Ing. habil. Jörg Wollnack R...

3. Kinematisches Modell

10.09.2019 V3.5 - 3-1 - © Dr-Ing. habil. Jörg Wollnack

3 Kinematisches Modell

Im Folgenden werden die mathematischen Ansätze zur Beschreibung offener, unverzweigter

kinematischer Ketten eingeführt, die zur Modellierung des stationären Positionierverhaltens

des Roboters dienen. Auf der Basis der homogenen Transformationen werden die Koordina-

tentransformationen der kinematischen Kette des Industrieroboters definiert. Die bekannten

und in der Robotik etablierten Transformationstypen werden hinsichtlich ihrer Eignung unter-

sucht und bewertet. Zur Beschreibung des Fehlerfortpflanzungsverhaltens der kinematischen

Kette wird eine neue analytische Methode entwickelt, die die rekursive analytische Be-

schreibung der verallgemeinerten Taylorschen Reihe des kinematischen Modells zulässt. Es

wird kurz der Begriff der inversen kinematischen Transformation eingeführt, werden Ver-

fahren zur Berechnung mit ihren Querverbindungen zur analytischen Differenziation aufge-

zeigt, das Beschleunigungs- Kraft- sowie Momentenverhalten erörtert, die internen Sensor-

gleichungen beschrieben, Verfahren zur Werkzeug- und Montageposebestimmung aufgezeigt

und die Parameteridentifikation diskutiert.

Industrieroboter bestehen aus mehre-

ren, durch Gelenke miteinander ver-

bundene Teilstrukturen. Bei der Be-

schreibung ihres stationären Posi-

tionierverhaltens wird ein starres

Mehrkörpersystem zugrunde gelegt.

Die regulär nummerierten G Teil-

körper sind dabei ebenfalls durch

regulär nummerierte G Gelenke, die

Drehachsen und Führungen des In-

dustrieroboters, miteinander verbun-

den (siehe Abb. 3-1). Im Allgemeinen

werden die Achsen voneinander unab-

hängig angetrieben. Diese rotato-

rischen und translatorischen Achsen

eines Industrieroboters dienen zur

definierten Bewegung. Die Orientierungseinstellung des Industrieroboters wird allein durch

die rotatorischen Gelenke bestimmt. Die Position des Industrieroboters wird jedoch sowohl

von den Rotationsachsen als auch von den Translationsachsen beeinflusst. Gewöhnlich wer-

den hierbei kartesische Koordinatensysteme verwendet.

Im Raum hat ein beweglicher, starrer Körper sechs Freiheitsgrade f = 6, die in einem karte-

sischen Bezugskoordinatensystem durch drei Rotations- und drei Translationsparameter be-

schrieben werden. Ein einzelnes Gelenk eines Industrieroboters kann wegen der

mechanischen Kopplung maximal fünf der existierenden sechs Freiheitsgrade nutzen, so dass

der Antriebsfreiheitsgrad fAi des i-ten Gelenks im Intervall

0 f fiA (f = 5) (3-1)

liegt. Typischerweise werden die Gelenke nur mit einem Gelenkfreiheitsgrad "eins" als Dreh-

oder Schubgelenke ausgeführt.

Die Anzahl der Bewegungsachsen des Industrieroboters oder der Getriebefreiheitsgrad

Abb. 3-1: Schema der offenen kinematischen Kette

Si-1

Si

Si+1

i-tes Gelenk

( -1)-tes Gelenki

( +1)-tes Gelenki

S =Sq R

Ti-1Ti

G-tesGelenk

SG

S0

WKS

Roboter-KS Endeffektor-KS



f f i

i

B A

Glieder

(3-2)

der offenen kinematischen Kette muss nicht identisch mit dem Freiheitsgrad f sein. Dennoch

kann der Freiheitsgrad fK des Endeffektorkoordinatensystems gegenüber dem Bezugs- oder

Weltkoordinatensystem S0 die maximale Anzahl der Freiheitsgrade f nicht überschreiten, so

dass die Relation

0

0

RSTUVW

f f f f

f f

K B

K B

für

sonst (3-3)

gilt. Ist der Getriebefreiheitsgrad größer als 6 ( fB > f ), so kann die erhöhte "Beweglichkeit"

des Industrieroboters dazu genutzt werden, z.B. um Hindernisse herumzugreifen.

Bei dem üblicherweise realisierten Aufbau eines Industrieroboters mit nur einem Freiheits-

grad hinsichtlich der Translation oder1 Rotation lassen sich die Transformationen der Achsko-

ordinaten des Industrieroboters in ein Weltkoordinatensystem S0 in mehrere Elementartrans-

formationen zerlegen. Aus dieser roboterspezifischen Zerlegung ergeben sich die typischen

Grundformen von Robotern und Arbeitsraumbeschreibungen. Die Aufgabe der kinematischen

Transformation besteht darin, die Endeffektorposition und -orientierung, die allgemein als

Pose bezeichnet wird, im Welt- oder Roboterkoordinatensystem zu berechnen. Hierzu werden

typischerweise körperfeste, lokale kartesische Koordinatensysteme in die Bewegungsachsen

des Industrieroboters gelegt, so dass hierdurch eine Kette von lokalen Koordinatensystemen

und Transformationen entsteht. Die rekursive Transformationsvorschrift Ti-1 ergibt sich in

homogen Koordinaten

t 4

Mi i i ix y z k r (3-4)

zu:

1 1 1:i i i i T r T r , 4 41 1

1

M

xi i

ik

D tT

0 , i G{ ,..., }1 , mit (3-5)

ir := Ortsvektor im i-ten Koordinatensystem,

t i1 := Translationsvektor zwischen dem (i-1)-ten und i-ten

Koordinatensystem im (i-1)-ten Koordinatensystem

beschrieben,

Di1 := Rotationsmatrix der absteigenden Koordinaten-

transformation und

kM := Skalierungsfaktor . (3-6)

Der Faktor kM ermöglicht eine Gesamtskalierung, die bei einer maßstabsgetreuen Darstellung,

wie sie in der Robotik erforderlich ist, zu kM = 1 zu setzen ist. Zwischen den neun Richtungs-

kosinussen, die eine Drehung charakterisieren, existieren wegen der Orthogonalitätsrelation

D D Ei i

t (3-7)

nur sechs unabhängige Gleichungen, weshalb die Drehung allein mit drei Größen und die

homogene Transformationsmatrix mit sechs Parametern eindeutig beschreibbar ist. Bei der

homogenen Koordinatentransformation handelt es sich um eine eindeutige Abbildung.

1 Unter dem sprachlichen ´oder´ soll hier das logische ´exklusiv-oder´ verstanden sein.



Die bei der sukzessiven Koordinatentransformation entstehende resultierende Koordinaten-

transformation kann aufgrund der homogenen Koordinaten über den Produktterm

T T

j

j q q G{ , ,..., }1 1

, q G { , , ,..., }012 2 (3-8)

beschrieben werden. Diese Matrix stellt die kinematische Transformation dar, wobei q den

Index des Roboter- oder des Bezugskoordinatensystems angibt.

Die T j-Matrizen der kinematischen Transformation sind von den entsprechenden Transforma-

tionsparametern des Gelenkübergangs abhängig. Je nachdem, welche Beschreibungsform für

diese Gelenkübergänge gewählt wird, hängt jede Matrix von einer bestimmten Anzahl von

Parametern ab. Dabei sind gewisse Parameter konstant und andere Variable, so dass eine Ab-

bildung im Sinne von

t t t

' ' t t t t( ) ( , ) , mit , , undi i T T p T p x p p x p p x x

'( ) ( , )j j j j j j T T p T p x . (3-9)

vorliegt.

Die Aufgabe der inversen kinematischen Transformation ist es, unter vorgegebener Pose die

Gelenkstellungen der homogenen Transformationsmatrizen zu berechnen. Die inverse kine-

matische Transformation ist nicht notwendigerweise eindeutig, so dass für eine Pose mehrere

Lösungen existieren können. Ferner sind für den allgemeinen Fall bisher keine analytischen

Lösungen bekannt. Für weitere Einzelheiten zur inversen kinematischen Transformation sei

auf Kap. 3.4 verwiesen.

3.1 Allgemeine Ansätze

Bisher wurde bewusst offen gelassen, wie die Rotations- und Translationsparameter der

Gelenkkoordinatentransformationen in Zusammenhang mit den konstruktiven Größen eines

Roboters stehen. Diese Beschreibungen lassen sich nicht für die Charakterisierung der Kinetik

heranziehen, da hierfür die Ortskoordinaten der Teilkörperschwerpunkte und nicht die Ortsko-

ordinaten der Gelenke benötigt werden.

Prinzipiell gibt es eine Reihe von Beschreibungsformen, die sich hinsichtlich der Transfor-

mationsparameter und ihren Eigenschaften unterscheiden, z.B.:

Roll-Pitch-Yaw-Transformation [107],

Euler-Transformation,

Denavit-Hartenberg-Transformation [23],

Hayati-Mirmirani-Transformation [53],

Veitschegger-Wu-Transformation [158] usw.

Die Wahl einer bestimmten Transformation wird in der Regel von Anwendungs- oder An-

schaulichkeitsaspekten geleitet, auf die im Folgenden kurz eingegangen werden soll.



Minimalität der kinematischen Transformation

Die kinematische Transformation der offenen und unverzweigten kinematischen Kette, deren

Elemente durch Dreh- und Schubgelenke verbunden sind, ist minimal und vollständig, wenn

sie genau

n r tK K K 4 2 6 (3-10)

Parameter enthält [135], wobei rK die Anzahl der Drehgelenke und tK die Anzahl der Schub-

gelenke angibt. Dies macht deutlich, dass bei Rotationsgelenken 4 parametrige und bei Trans-

lationsgelenken 2 parametrige Achsmodelle zur Konstruktion minimaler Systeme hilfreich

wären. Die Zielsetzung der Konstruktion minimaler Modelle hat dabei zu verschiedenen

Konventionen bei der Beschreibung benachbarter Achsbeziehungen geführt. Dabei wurde der

Gewinn an Minimalität zumeist durch

den Verlust an Eindeutigkeit und einer

Zunahme von Rangdefekten erkauft.

Roll-Pitch-Yaw- und Elementar-

transformationen

Die 6-dimensionale Roll-Pitch-Yaw-

Transformation (RPY) besitzt drei

Positions- und drei Rotationsparameter

tx, ty und tz sowie x, y und z (siehe

Abb. 3-2). Sie lässt sich zur Beschrei-

bung beliebiger Transformations-

beziehungen zweier kartesischer Koor-

dinatensysteme verwenden, weshalb sie

häufig zur Charakterisierung von Posen

herangezogen wird.

Die homogene Transformationsmatrix (3-5) der RPY-Transformation lässt sich über elemen-

tare Translations- und Rotationsoperationen beschreiben, die nur von einem Transformations-

parameter abhängig sind:

T T T T T T T z z y y x x Rz z Ry y Rx xt t t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , mit (3-11)

Translation

t

3 0 0( )

1

xx x

tt

ET

0 ,

t

3 0 0( )

1

yy y

tt

ET

0 ,

t

3 0 0( )

1

zz z

tt

ET

0 , (3-12)

Rotation

( )

( )1

x x

Rx x

R 0T

0 ,

( )( )

1

y y

Ry y

R 0T

0 ,

, ( )( )

1

z z

Rz z

R 0T

0 , mit (3-13)

Abb. 3-2: Koordinatentransformation zwischen benachbarten

Gelenken

i

( +1)-tesGelenki

i-tesGelenk

ti

x i+1

y i+1z

i+1

x i

y i z

i



R x x x x

x x

( ) cos sin

sin cos

F

HGG

I

KJJ

1 0 0

0

0

, R y y

y y

y y

( )

cos sin

sin cos

F

HGGG

I

KJJJ

0

0 1 0

0

,

R z z

z z

z z( )

cos sin

sin cos

F

HGG

I

KJJ

0

0

0 0 1

und (3-14)

D D R R R ( ) ( ) ( ) ( ) z z y y x x . (3-15)

Die homogene TransformationsmatrixT Tj der j-ten Transformation des Produktterms (3-8)

T T pj j ( ' ) (3-16)

ist eine Funktion des Transformationsparametervektors

p t' , ( , , , , , )j j j x j y j z j x j y j z jt t t t t

tte j . (3-17)

Der im 3. Kap. eingeführte Begriff der Pose zwischen zwei Koordinatensystemen lässt sich

nach der Wahl einer bestimmten Koordinatentransformation als Zahlentupel 6' j p der

Transformationsparameter dieser Transformation definieren2. Für die RPY-Transformation

berechnet sich die Pose aus der homogenen Transformationsmatrix zu:

t p Tt

;

t ( )1 2c ht RPY , mit

t t t t14 24 34b gt , 1 2;

x y z1 2 1 2 1 2; ; ;

td i , y1 2;

RSTarcsin( )

arcsin( )

t

t

31

31

für I. und II. Quadranten

für III. und IV. Quadranten ,

x1 2; arctan ( / cos( ) , / cos( )); ;2 32 1 2 33 1 2t ty y für y1 2

090; und

z1 2; arctan ( / cos( ) , / cos( )); ;2 21 1 2 11 1 2t ty y für y1 2

090; . (3-18)

Es existieren grundsätzlich zwei Posevektoren, die die Matrix T beschreiben. Durch die Be-

schränkung auf die RPY-Hauptwerte y [ , ]0 , lässt sich die Eindeutigkeit der Poseberech-

nung sicherstellen.

Translatorische Bewegungen können bei der RPY-Transformation in Richtung des Orts-

vektors t t oder in Richtung einer der Einheitsvektoren e , { , , }x y z beschrieben

werden und rotatorische Bewegungen repräsentieren Drehungen um eine der Koordinaten-

achsen , { , , } x y z . Damit lässt sich diese Transformation sowohl für Schub- als auch

Drehgelenke verwenden.

2 Konsequenterweise müßte der Posevektor mit der verwendeten Transformation indiziert werden, da nur unter

ihrer Kenntnis der Begriff der Pose Sinn hat. Auf die Indizierung wird jedoch in der Regel verzichtet.



Der Vorteil der RPY-Transformation liegt in dem isolierten, nur punktförmigen Rangverlust.

Ihr Nachteil beruht auf dem 6 parametrigen Transformationstyp, der bei der Beschreibung von

Kinematiken zum Minimalitätsverlust führt (siehe Tab. 3-1).

Denavit-Hartenberg-Transformation

Die Denavit-Hartenberg-Transformation (DH), siehe Abb. 3-3, erlaubt die Beschreibung be-

liebiger mechanischer Gelenke mit nur vier Parametern. Die geringe Anzahl der Parameter er-

gibt sich aus der Einschränkung der Freiheitsgrade benachbarter Koordinatensysteme. Das

Modell ist sowohl für Dreh- als auch Schubgelenke geeignet.

3 Um eine kompakte Schreibweise zu ermöglichen, steht c für cosinus und s für sinus.

Transformationstyp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z Rz z Ry y Rx xt t t T T T T T T T

Transformation c c c s s s c c s c s s

s c s s s c c s s c c s

s c s c c

0 0 0 1

z y z y x z x z y x z x x

z y z y x z x z y x z x y

y y x y x z

t

t

t

T 3

Rangverlust Ist identisch mit dem Rangverlust des Rotationsteils und tritt bei Drehungen

auf, bei der die z-Achse in die x/y-Ebene übergeht ( y 900).

Vollständigkeit ja (global)

Stetigkeit ja

Minimalität 6 parametrig

Tab. 3-1: Eigenschaften der RPY-Transformation

Abb. 3-3: Denavit-Hartenberg-Transformation

Gelenk +1i

Glied +1i

ai zi

xi

Si

Si -1

xi -1

zi -1di

Si

Glied -2i

Gelenk -1i

Gelenk i

Glied -1i

Glied i

Roos



Transformationstyp ( ) ( ) ( ) ( )z z x xd a T R T T R

Transformation c -s c s s c

s c c -c s s

0 s c

0 0 0 1

a

a

d

T

Rangverlust bei parallelen Achsen


Stetigkeit ja


Tab. 3-2: Eigenschaften der Denavit-Hartenberg-Transformation

Der Vorteil der DH-Transformation liegt in ihrem 4 parametrigem minimalen Ansatz. Von

Nachteil ist, dass bei parallelen Achsen ein Rangverlust auftritt (siehe Tab. 3-2).

Dieser Rangverlust ist problematisch, da aufgrund der stets vorhandenen Fertigungsfehler,

Messfehler und Toleranzen die Sollwerte der Konstruktionsparameter eines Industrieroboters

nicht exakt einzuhalten sind. Bei aufeinanderfolgenden, fast parallelen Achsen ist die DH-

Transformation aufgrund des Rangverlustes und der o.g. Fehler schlecht konditioniert, womit

hinsichtlich der Fehlerfortpflanzung ein ungünstiges Verhalten entsteht [11, 98]. Im Hinblick

auf die Verbesserung der Positioniergenauigkeit von Industrierobotern mittels Roboterpara-

meteridentifikation gilt es gerade, diese individuellen Roboterparameter zu identifizieren, und

da die in der Montagetechnik bewährten Horizontal-Knickarm-Roboter (SCARA) nahezu pa-

rallele Drehachsen aufweisen, ist die Verwendung der DH-Transformation für die Genauig-

keitssteigerung einer off-line-programmierbaren flexiblen Montagezelle nicht geeignet.

Hayati-Mirmirani-Transformation

Die Hayati-Mirmirani-Transformation (HM) in Abb. 3-4 stellt eine Erweiterung des DH-

Modells dar, mit dem Ziel, den Rangverlust bei parallelen Achsen auszuschließen. Dies wird

durch eine zusätzliche Drehung um die y-Achse zusammen mit einer einparametrigen

Abb. 3-4: Hayati-Mirmirani-Transformation

Gelenk +1iGelenk i

Si -1

gi

yi -1 zi-1

xi -1

Ei

x´

ai

Si

xi

yi

zi

zi -1

y´´

x´

Roos



Beschreibung des Koordinatensystemursprungs erreicht. Das Modell ist nur für Drehgelenke

geeignet und muss zur Anwendung auf Schubgelenke entsprechend modifiziert werden.

Transformationstyp ' ' ''( ) ( ) ( ) ( )z x x ya T R T R R (nur Drehgelenke)

Transformation c c s s s -s c c s s s c c

s c c s s c c s s c s c s

c s s c c 0

0 0 0 1

a

a

T

Rangverlust Bei orthogonalen Rotationsachsen und beliebigen Rotationsachsen, die sich

im Ursprung des Ausgangskoordinatensystems schneiden.

Vollständigkeit nein (global); nur lokal, für nicht aufeinanderfolgende identische

Rotationsachsen

Stetigkeit ja


Tab. 3-3: Eigenschaften der Hayati-Mirmirani-Transformation

Veitschegger-Wu-Transformation

Das von Veitschegger und Wu (VWU) entwickelte Modell kombiniert die DH- und HM-An-

sätze mit dem Ziel, die Rangverluste für aufeinanderfolgende identische Achsen

auszuschließen. Dies wird durch die Einführung eines weiteren Drehwinkels mit dem Verlust

an Minimalität erreicht (siehe auch Abb. 3-4).

Transformationstyp T R T T R R z z x x yd a( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ''

Transformation c c s s s -s c c s s s c c

s c c s s c c s s c s c s

c s s c c

0 0 0 1

a

a

d

T

Rangverlust Bei Rotationsachsen, die die z-Achse im Ausgangskoordinatensystem

schneiden und bei Rotationsachsen, die parallel zur x/y-Ebene liegen.


Stetigkeit ja


Tab. 3-4: Eigenschaften der Veitschegger-Wu-Transformation

Zusammenfassung

Die o.g. Transformationen haben jeweils spezifische Vor- und Nachteile, so dass keinem die-

ser Ansätze generell der Vorzug zu geben wäre. Unter dem Gesichtspunkt der Minimalität des

Modells haben die DH- und die HM-Transformation eine höhere Präferenz, wobei die DH-

Transformation für aufeinanderfolgende, (quasi) orthogonale und die HM-Transformation für

(quasi) parallele Achsen einzusetzen ist.

Unter den Aspekten der Vollständigkeit und des Rangdefekts wäre die RPY-Transformation

vorzuziehen. Dies hätte jedoch den Verlust der Minimalität zur Folge, weshalb die RPY-

Transformation bisher hauptsächlich zur Posebeschreibung herangezogen wurde. Mit Hilfe

des Verfahrens zur Konstruktion minimaler Modelle kann dieser Nachteil beseitigt werden.

Damit lässt sich auch die RPY-Transformation für kinematische Modelle ohne Verlust der

Minimalität einsetzen und man erhält ein vollständiges, minimales und hinsichtlich der



Rangverluste vorteilhaftes Modell. Aus diesem Grunde wird im Folgenden nur die RPY-

Transformation diskutiert.

3.2 Schnelle und exakte Differenziation

Ausgehend von der Produktform (3-8) erhält man mit der Produktregel die partielle Ableitung

nach den Eingangsgrößen ' { }k xk yk zk xk yk zkp t t t des parametrischen Modells zu [117]:

1 1

' '0 1

k Gk

j j

k j j kk kp p

TT T T , {0,1,..., 1}k G . (3-19)

Da der Parameter nur in einer Transformation vorliegt, vereinfacht sich die Ableitung zu:

1 1

' '0 1

k Gk

j j

j j kk kp p

TT T T . (3-20)

Zerlegt man den Term

' k

kp

T (3-21)

in die Elementartransformationen (3-12) und (3-13), so erhält man

' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k z zk y yk x xk Rz zk Ry yk Rx xk

k k

t t tp p

T T T T T T T (3-22)

bzw. nach erneuter Anwendung der Produktregel

' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k z zk y yk x xk Rz zk Ry yk Rx xk

k k

t t tp p

T T T T T T T

'

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z zk y yk x xk Rz zk Ry yk Rx xk

k

t t tp

T T T T T T

'


k

t t tp

T T T T T T

'


k

t t tp

T T T T T T

'


k

t t tp

T T T T T T

'


k

t t tp

T T T T T T (3-23)

Damit lässt sich die Differenziation der kinematischen Kette auf die Differenziation der

Elementarmatrizen zurückführen. Da jeweils auch nur eine Elementartransformation vom

Parameter '

kp abhängt, verschwinden die Ableitungen der Terme (3-23), die nicht von diesem

Parameter abhängen.



Die Ableitungen der homogenen4 Elementarmatrizen ergeben sich zu:

Translation

( )0

xxx

x

tt

0 eT

0 , ( )

0

y y

y

y

tt

T 0 e

0 , ( )

0

zzz

z

tt

0 eT

0 (3-24)

Rotation

( )

( )

0

xxRx

x x

x

R0T

0

,

( )

( )

0

y

yRy

y y

y

R0T

0

und

,( )

( )

0

z

zRzz z

z

R0T

0

. (3-25)

Analog lassen sich höhere Ableitungen beschreiben, wobei die Besonderheit auftritt, dass die

Translationsterme verschwinden und lediglich höhere Ableitungen der Rotationsterme

existieren:

Translation

für 10

( ) , { , , }

sonst0

n

n

n

t x y zt

0 e

0T

0 0

0

(3-26)

4 Die Differenziation homogener Koordinaten führt zu der Gleichung: '' ' '

10 0

p p p

r R t r

0

.

Hierbei ist darauf zu achten, dass die Matrizendifferenziation homogener Matrizen von der allgemeinen

Definition der Matrixdifferenziale abweichen muss, weil man ansonsten nicht homogene Differenzialmatrizen

erhält. Man kann dies erkennen, wenn man von ' r R r t ausgeht. Aus '' ' 'p p p

r R r t erhält man in

homogener Schreibweise die partiellen Ableitungen homogener Matrizen zu: '' ' '

11 1

p p p

r R t r

0

.

Dieser Umstand kann dadurch berücksichtigt werden, dass man in erst der resultierenden Produktmatrix T (3-19)

den verschwindenden Maßstabsfaktor zu eins setzt. Dies gilt analog auch für die homogene Koordinate rH.



Rotation

( )

, {1,2,...} , { , , }

0

n

nn

nn x y z

D0T

0

mit

( ) ( ( 1) )n

nn

D D (3-27)

Betrachtet man die Gleichung

1 1

' '0 1

nn k Gk

j jn nj j kk kp p

TT T T , (3-28)

so kann man die Produktterme durch ihre Transformationen

1 1

0 1' '

nk Gk

kn

k kp p

TT T T (3-29)

ersetzen. Mit (3-26) und (3-27) erhält man nach Multiplikation der Matrizen5:

1 0 1 1

0 1 1 1

' 1 0 1 1

0 1 1 1

1 0 1 10 1 1 1

für R-Achsen1 1 1

für T-Achsen1 1 1

für R-Ac1 1

k G k

k k n k G

n

n k G kk k k k n k G

k G kk n k k G

p

D t R 0 D t

0 0 0T

D t R e D t

0 0 0

D R t D t

0 0

1 1 0 1 10 0 1 1 1

1 1 1 1 0

0 1 0 1 1

1 1 1 1 1 0

0 1 0 1 0 1

hsen

für T-Achsen1 1

für R-Achsen1

für T-Ach1

k k G kk k n k k G

k G k k

k n k k n G k

k G k k k

k k k G k n k

D R D e t D t

0 0

D R D D R t t

0

D R D D R t D e t

0sen

,

(3-30)

mit für 1

sonst

k n

k n

n

ee

0 und

( ( 1) 2 )k n k n

Θ

RR e . (3-31)

Infolgedessen lässt sich das Differenzial der offenen kinematischen Kette analytisch be-

schreiben (siehe auch Anhang Kap. 3.7).

5 R steht für Rotation und T Translation.



3.3 Verallgemeinerte Taylorsche Reihe

Die T j-Matrizen der kinematischen Transformation sind von den entsprechenden Transforma-

tionsparametern des Gelenkübergangs abhängig. Je nachdem, welche Beschreibungsform für

diese Gelenkübergänge gewählt wird, hängt jede Matrix von einer bestimmten Anzahl von

Parametern p jk' ab:

T fj j j j jk jbp p p p ( ' , ' ,..., ' ,..., ' )1 2 . (3-32)

Hierbei bezeichnet der erste Index die Nummer und der zweite Index den Parameter des

Gelenkübergangs. Diese Parameter beschreiben sowohl stationäre Größen, z.B. Armlängen,

als auch variable Größen, die Stellgrößen der Antriebe. Bei der Berechnung der Pose der

kinematischen Transformationsmatrix

y p T RPY( ) (3-33)

werden N G b Parameter der Gelenkübergänge auf M 6 Transformationsparameter ab-

gebildet:

' : ( ')N M p y y f p . (3-34)

Im Falle der hier diskutierten Roll-Pitch-Yaw-Transformation ist b const 6. Die Parameter

der Gelenkübergänge sind nur mit einer beschränkten Genauigkeit bekannt oder lassen sich

hinsichtlich der Stellgrößen nur mit einer beschränkten Auflösung messen oder einstellen.

Die Fehlerfortpflanzungsanalyse erster Ordnung dieser Unsicherheiten der kinematischen

Transformation wird im wesentlichen bereits durch die allgemeinen systemtheoretischen Dar-

stellungen vollzogen, weshalb im Folgenden lediglich kurz die Möglichkeiten der

analytischen Berechnung der partiellen Ableitungen der T-Matrizen [117] diskutiert wird.

Diese analytische Beschreibung ermöglicht eine geschlossene Berechnung der verallge-

meinerten Taylorschen Reihe [31] der T-Matrix:

T p T p T p T p T p R p( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) .... ( ' ) ( ' )! !

0 012

2

01

0d d dm

m

Tm , (3-35.1)

mit d k

ii

N

i

k

phT p T p( ' )

'' ( ' )

FHG

IKJ

1

, (3-35.2)

p' ( ' ... ' ) ( ' ... ' ; ' ... ' ;...; ' ... ' ) p p p p p p p pP

t

b b a ab

t

1 11 1 21 2 1 , (3-35.3)

h p p p' ' ' ' 0 und (3-35.4)

R p T p hTm m

md( ' ) ( ' ' )( )!

11

1

0 , h' ' h ib g , 0 1 . (3-35.5)

Für den Differenzialoperator in (35.2) lässt sich die Identitätsaussage

FHG

IKJ

p

hk

k k k ph

ii

N

i

k

nk k k k

k

i

ki

N

i

k

n

i

i

i

''

!

! ! ! ''

1 1 2 11 2

(3-36)

(Summe über alle N-Tupel verschiedener natürlicher Zahlen,

für die gilt k Ni )

angeben. Diese Beschreibung lässt sich in eine rekursive Form überführen:

T R p T T p0 0 11

0, , !( ' ) ( ' )m Tm m m

m d , mit T T p0 0 0, ( ' ) . (3-37)



Die rekursive Beschreibung hat den Vorteil, dass bei einer Genauigkeitssteigerung nicht

sämtliche Terme der verallgemeinerten Taylorschen Reihe neu zu berechnen sind. In der

Praxis wird man sich meist auf lineare, quadratische und kubische Terme beschränken. Für

weitere Einzelheiten und Anwendungsmöglichkeiten dieses Ansatzes sei auf [117, 166] ver-

wiesen.

3.4 Inverse kinematische Transformation

Die Aufgabe der inversen kinematischen Transformation ist es, unter vorgegebener Pose die

Gelenkkoordinaten zu berechnen. Die inverse kinematische Transformation ist nicht notwen-

digerweise eindeutig, so dass für eine Pose mehrere Lösungen existieren können. Diese Mehr-

deutigkeiten können dazu genutzt werden, z. B. um Hindernisse herumzugreifen.

Die inverse kinematische Transformation

K T p K T T T tI v I: ' ( ) , ( , ) G

q

G

q (3-38)

berechnet zu einer gegebenen Pose ( , )tG

q

G

qt t t des Endeffektorkoordinatensystems SG gegen-

über dem Bezugskoordinatensystem Sq die Werte der Gelenkvariablen

Bt

v v v( 1) v( 1)' ( ' , ' ,..., ' )f

q q Gp p p p (3-39)

der kinematischen Transformation.

Der Gelenkvariablenvektor p'v enthält die nicht konstanten Elemente der Transformations-

parametervektoren p' , { , ,..., }i i G 01 1 . Es existieren zumeist mehrere Lösungen, mit

denen dieselbe Pose angefahren wird. Der durch den Vektor p'v aufgespannte Raum wird als

Gelenkkoordinatenraum des IR und die Elemente des Gelenkkoordinatenvektors werden als

Gelenkkoordinaten bezeichnet.

Die Problemstellung der inversen kinematischen Transformation erfordert die Lösung von G

gekoppelten, nichtlinearen Gleichungen [24, 64, 76, 77, 133, 140, 173, 178]. Geschlossene

analytische Lösungen sind nur für bestimmte Annahmen, wie z.B. der Parallelität oder der

Orthogonalität der Gelenkachsen zueinander, entwickelt worden. Im Zusammenhang mit der

Roboterparameteridentifikation der 3D-Modelle gilt es, gerade auch diese Parallelitäts- und

Orthogonalitätsfehler zu identifizieren, so dass man in diesem Zusammenhang von den

vereinfachenden Annahmen keinen oder nur in beschränkter Weise Gebrauch machen kann.

Die Lösung der inversen kinematischen Transformation wird deshalb zumeist unter

Anwendung numerischer Minimierungsverfahren vollzogen [24, 35, 133, 148]. Der Ansatz

von Li [89] nutzt ein Bindungsgleichungssystem, um mit Hilfe einer Polynomgleichung und

weiteren linearen Gleichungen sämtliche Lösungen der Gelenkkoordinaten zu berechnen.

Dieser Ansatz führt letztlich auf die iterative Suche der Nullstellen der Polynomgleichung,

weshalb man auch diese Methode in die Klasse der iterativen Verfahren einordnen muss. Für

einen systematischen Vergleich verschiedener Verfahren der inversen Transformation sei auf

Kreuzer [77] verwiesen.



3.4.1 Singularitäten

Kinematische Robotermodelle besitzen sowohl kontante als auch zeitlich veränderliche Para-

meter. Singularitäten können sowohl aus der Sicht der konstanten als auch der Sicht der

variablen Parameter auftreten. Unter einer Singularität wird ein Rangdefekt der Jacobi-Matrix

im Sinne von

v v vRang ( ' ) Dim 'J p p (3-40)

verstanden. Man unterscheidet struktur- und lagebedingte Rangdefekte. Strukturbedingte

Singularitäten sind konstruktiver Natur oder liegen in den Achsmodelle begründet. Lage-

bedingte Rangdefekte sind strukturspezifisch und treten bei bestimmten Gelenkstellungen auf.

Damit zerfällt die Ranguntersuchung einer kinematischen Struktur in zwei Teile:

Die Parametersingularitäten

Rang ( , ) DimpJ p x p (3-41)

und Antriebssingularitäten

Rang ( , ) DimxJ p x x . (3-42)

Parametersingularitäten sind für die Parameteridentifikation und Antriebssingularitäten für

das inverse kinematische Problem bedeutsam. Singularitäten können auf Flächen oder Punkt-

mengen auftreten und kennzeichnen linear abhängige Parameter oder Eingangsgrößen. Von

besonderem Interesse sind ausgezeichnete Punktsingularitäten der Antriebsgrößen innerhalb

des Wertevorrats des TCP-Poseraums.

3.4.2 Klassische Ansätze

Die klassischen Lösungsverfahren können auf zwei Ansätze zurückgeführt werden:

Ansatz mit Taylorscher Reihe

Die Aufgabenstellung der Bestimmung der Stellwerte für eine mit dem Endeffektorkoordina-

tensystem anzufahrende Pose lässt sich auf die Taylorsche Reihendarstellung zurückführen,

so dass man die linearisierte Parametervektoränderung über

1

v v v RPY' ( ' ) q

G

p J p p , mit t

t t

RPYRPY

qq

GG

p t (3-43)

berechnen kann. Für den Fall einer quadratischen, nichtsingulären Jacobi-Matrix lässt sich die

Aufgabenstellung lösen. Bei den nichtquadratischen Formen bedient man sich der Pseudo-

inversen der SVD-Zerlegung. Hieran zeigt sich die Bedeutung der Singularitäten für die

Inversenberechnung. Dies wird auch noch einmal in Kap. 3.5 im Zusammenhang mit den

Gelenkgeschwindigkeiten deutlich.



Minimierungsproblem

Eine andere Interpretation der Aufgabenstellung führt zu einem Minimierungsproblem

tt t

' RPYRPY,Soll

Min ( ( ' ))v vp t p T p , (3-44)

so dass für die Bestimmung des Gelenkvariablenvektors Verfahren Anwendung finden kön-

nen, die sich der partiellen Ableitung der kinematischen Transformation bedienen.

Die o. g. Ansätze nutzen bei der iterativen Berechnung der Gelenkkoordinaten die partiellen

Ableitungen der kinematischen Kette. Anstatt nummerische Differenziationsverfahren zu ver-

wenden, ließe sich für eine Genauigkeitssteigerung und Beschleunigung der Berechnung der

Gelenkkoordinaten die analytische Berechnung der partiellen Ableitungen heranziehen [117,

166]. Ferner kann der Startwert für eine weitere Beschleunigung der Verfahren über das ver-

einfachte parallelitäts- und orthogonalitätsfehlerfreie kinematische Modell des IR berechnet

werden.

Minimierungsansätze haben zudem den Vorteil, dass sie bei Rangdefekten nicht versagen und

mehrdeutige Lösungen produzieren, die für die Antriebe auch vorliegen. Deshalb kann man

diese zur Inversenberechnung an ausgezeichneten Antriebssingularitäten einsetzen. Als Start-

werte kann man Lösungen der Inversen in der Umgebung der ausgezeichneten Singularität

heranziehen. Dies hat zudem zur Folge, dass man mit minimalen Veränderungen der

Antriebsgrößen in die analytisch nicht berechenbare Endeffektorpose fährt.

Diese Möglichkeit der Inversenberechnung an ausgezeichneten Singularitäten ist insbeson-

dere für den kooperierenden Betrieb eines Multi-Kinematik-Systems bedeutsam, weil man

hiermit die Bewegungsrestriktionen des Gesamtsystems reduzieren kann. Die Iteration muss

dabei unter Echtzeitbedingungen erfolgen, was keineswegs eine triviale Aufgabe darstellt.



3.4.3 Analytische Inverse für ausgezeichnete Kinematiken

Eine analytische inverse kinematische Transformation mit sechs Freiheitsgraden lässt sich im-

mer dann finden, wenn die serielle offenen kinematischen Kette so konstruiert ist, dass so-

wohl die Drehgelenksachsen orthogonal bzw. parallel ausgerichtet als auch die Position und

Orientierung separierbar sind. Hierzu müssen sich die drei letzten Drehachsen des Handge-

lenks in einem Punkt, dem Wrist Center Point (WCP), schneiden (siehe Abb. 3-5).

Abb. 3-5: Fanuc Industrieroboter mit eingezeichneten Koordinatensystemen in Nulllage

Ausgehend von den Koordinatensystemen in Abb. 3-5 erhält man die Transformationsma-

trizen zu6:

1 1 1 1

1 1 1 11

0

0

0

0 1 0 0

0 0 0 1

C S a C

S C a S

T 7

2 2 2 2

2 2 2 22

1

0

0

0 0 1 0

0 0 0 1

C S a C

S C a S

T

3 3 3 3

3 3 3 33

2

0

0

0 1 0 0

0 0 0 1

C S a C

S C a S

T

4 4

4 44

3

4

0 0

0 0

0 1 0

0 0 0 1

C S

S C

d

T

5 5

5 55

4

0 0

0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

C S

S C

T

6 6

6 66

5

6

0 0

0 0

0 0 1

0 0 0 1

C S

S C

d

T . (3-45)

6 Der kompakten Schreibweise wegen werden die Abkürzungen und Identitäten

cos( )i iC , sin( )i iS ,

cos( )cos( ) sin( )sin( ) cos( )i j i j i j i jC und

sin( )cos( ) cos( )sin( ) sin( )i j i j i j i jS

herangezogen. 7 Für die Kalibration des Robotermodells ist es zweckmäßig d1 = 0 zu setzen, da die Verschiebung in z-Richtung

von der äußeren Transformation zum Referenzsystem prinzipiell nicht separierbar ist.

x0

x1

y0

y1

y3 y2

z0

z1

x4y4

y5

x6

z6y6

x5

z4 z5

z2

Θ0

Θ2

Θ4

Θ5

Θ2 =Θ’2-90°

Θ1

Θ3

x2

x’2

x3



Separationsansatz

Die TCP-Pose sei im Aktuatorkoordinatensystem über folgende Matrix

6

0

0 0 0 1

x x x x

y y y y

z z z z

u v w p

u v w p

u v w p

T . (3-46)

beschrieben. Für die gesamte kinematische Kette gilt:

6 1 2 3 4 5 6

0 0 1 2 3 4 5T T T T T T T . (3-47)

Diese kinematische Vorwärtstransformation wird so separiert, dass die erste Matrix

1 23 1 1 23 1 1 2 2 3 23

1 23 1 1 23 1 1 2 2 3 233 1 2 3

0 0 1 2

23 23 2 2 3 23

( )

( )

0

0 0 0 1

C C S C S C a a C a C

S C C S S S a a C a C

S C a S a S

T T T T (3-48)

die Transformation vom WCP- ins Aktuatorkoordinatensystem und die zweite Matrix

4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5 6 4 5

4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5 6 4 56 4 5 6

3 3 4 5

5 6 5 6 5 4 6 5

0 0 0 1

C C C S S C C S S C C S d C S

S C C C S S C S C C S S d S S

S C S S C d d C

T T T T (3-49)

die Transformation vom TCP- ins WCP-Koordinatensystem angibt. Weiter gilt dann:

6 3 6

0 0 3T T T . (3-50)

Position des Wrist Center Point

Die WCP-Position sei durch den Vektor

t

0 1x y zq q qq (3-51)

beschrieben. Für die Position des WCP in Bezug auf den TCP gilt:

t

6 60 0 1d q . (3-52)

Damit erhält man die Transformation

6

0 0 6

6

0

0

0 0 0 1 1

x x x x

y y y y

z z z z

u v w p

u v w p

u v w p d

q T q (3-53)



bzw.

6

6

0

6

1 1

x x x

y y y

z z z

q p d w

q p d w

q p d w

q 8. (3-54)

Hiermit lässt sich die WCP-Position in Bezug auf das Aktuatorkoordinatensystem für eine

TCP-Pose angeben. Zudem ist die Position des WCP in Bezug auf das dritte Gelenk über

3

4

0

0

1

d

q (3-55)

definiert. Mit der Transformation 3

0T multipliziert, lässt die Gleichung

6 1 23 1 1 23 1 1 2 2 3 23

6 1 23 1 1 23 1 1 2 2 3 233

0 0 3

6 23 23 2 2 3 23 4

( ) 0

( ) 0

0

1 0 0 0 1 1

x x

y y

z z

p d w C C S C S C a a C a C

p d w S C C S S S a a C a C

p d w S C a S a S d

q T q (3-56)

aufstellen. Diese Gleichung lässt sich mit der inversen von 1

0T zu

1 1 1 1 3 1 1 1 2 3 2 3

0 0 0 0 3 0 0 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) T q T T q T T T T q T T q

1 1 1 23 23 3 23 2 2

23 23 3 23 2 2

1 1 4

0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

x

y

z

C S a q C S a C a C

q S C a S a S

S C q d

(3-57)

umformen. Aus diesem Gleichungssystem lassen sich drei unabhängige Gleichungen für drei

Variablen bestimmen:

1 1 1 4 23 3 23 2 2x yq C q S a d S a C a C (3-58)

4 23 3 23 2 2zq d C a S a S (3-59)

1 1 0x yq S q C . (3-60)

8 Für d1 ≠ 0 wäre hier 6 1z z zq p d w d zu setzen.



Aus (3-60) lässt sich dann unmittelbar der Winkel

1 arctan2( , )y xq q 9 (3-61)

berechnen.

Die Variablen qx und qy sind über (3-54) bestimmt, sofern die Lage des WCP und die Lage

der ersten Achse im gleichen Quadranten des Aktuatorkoordinatensystem liegen.

Letztlich liegen zwei mögliche Lösungen

1;1,2

arctan 2( , ) für WCP A1

arctan 2( , ) für WCP A1 arctan 2( , ) [0, ]

arctan 2( , ) für WCP A1 arctan 2( , ) ]0, [

y x

y x y x

y x y x

q q

q q q q

q q q q

, 10

(3-62)

vor, bei der die Lage des WCP und die Lage der ersten Achse A1 in gleichen oder unter-

schiedlichen Quadranten liegen. Man nennt diese auch als Normal-Position oder Überkopf-

Position. Für letzteres sind dann weiter die Werte

1;2 1 1;2 1sin( ) , cos( )S C (3-63)

bzw.

1;2 1 1;2 1sin( ) sin , cos( ) cosS x C x 11 (3-64)

heranzuziehen.

Bildet man das Quadrat12 für die gewählte Lösung der ersten beiden Zeilen (3-58) und (3-59),

so erhält man:

2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

4 3 2 1 2 3 2 23 2 23 2 4 23 2 23 2

2 2

2 ( ) 2 ( )

x y z x yq q q a q C a q S

d a a a a a C C S S a d S C C S

. (3-65)

Mit den trigonometrischen Additionstheoremen

23 2 23 2 2 3 2 3cos( )C C S S C und (3-66)

23 2 23 2 2 3 2 3sin( )S C C S S (3-67)

9

H

H

Hauptwerte: ] , ]

arctan( / ) für 0 [ 0 , / 2 [ für 0

arctan( / ) für 0 0 ] 0 , / 2 [ für 0arctan 2( , ) , mit arctan( )

arctan( / ) für 0 0 / 2 für

undefiniert für 0 / 2 für

y x x u

y x y x uy x u

y x y x u

x y u

10 Die zweite Lösung benötigt die Fallunterscheidung der parallelen und antiparallelen Variante, damit eine bis

zur dritten Ableitung stetig differenzierbare Bewegung entsteht (siehe Anhang Kap. 9.15). Die zwei im Grunde

identischen Lösungen müssen unterschieden werden, damit in den Maschinenkoordinaten keine Sprünge von

positiven zu negativen Werten auftreten, die die Lageregler bzw. Mechaniken nicht vollziehen können.

11 sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin

cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos

x y x y x y x x

x y x x y x x

12 2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc und 2 2sin cos 1x x



kann man (3-65) zu

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 4 3 2 1 2 3 3 2 4 32 2 2 2x y z x yq q q a q C a q S d a a a a a C a d S (3-68)

umformen. Da 1 über (3-61) bestimmt ist, können die bekannten und konstanten Parameter

zusammengefasst werden. Mit den Abkürzungen

1 2 42a d , (3-69)

2 2 32a a und (3-70)

2 2 2 2 2 2 2

3 1 1 1 1 4 3 2 12 2 ( )x y z x yq q q a q C a q S d a a a (3-71)

erhält man für (3-68):

1 3 2 3 3S C . (3-72)

Und mit den trigonometrischen Beziehungen

2

2 tan2sin

1 tan2

A

AA

und

2

2

1 tan2cos

1 tan2

A

AA

(3-73.1-2)

können 3S und 3C mit

33 tan

2t

(3-74)

durch 33 2

3

2

1

tS

t

und

2

33 2

3

1

1

tC

t

ersetzt werden, sodass man die quadratische Gleichung

2

3 2 3 1 3 3 2( ) 2 ( ) 0t t 13 (3-75)

erhält. Deren zwei Lösungen

2 2 2

1 1 2 3

3;1,2

2 3

t

(3-76)

erlaubt über (3-74) eine Berechnung der Lösungen

3;1,2 3;1,22 arctan( )t . (3-77)

Dies sind die sogenannte rechts- und eine linksarmige Lösung den inversen Problems.

13 2

2

1;202 2

p px px q x q



Aus (3-58) und (3-59) erhält man eine Beziehungen für 2 . Führt man hierzu die Abkürzun-

gen

1 2 3 3 4 3a a C d S , (3-78)

2 3 3 4 3a S d C , (3-79)

1 3 3 4 3a S d C und (3-80)

2 2 3 3 4 3a a C d S (3-81)

ein, so erhält man ein lineares Gleichungssystem:

1 2 1 2 1C S (3-82)

2 2 2 2 2C S . (3-83)

Mit der Cramerschen Regel erhält man die gesuchte Lösungen zu:

1 2 2 12

1 2 2 1

S

und (3-84)

1 2 2 12

1 2 2 1

C

. (3-85)

Damit lässt sich der Winkel 2 über

2 2 2arctan 2( , )S C (3-86)

berechnen. Für diesen Winkel existieren korrespondierend zu (3-77) ebenfalls zwei Lösungen.

Orientierung des Handgelenks

Nachdem sämtliche Winkel der ersten drei Antriebsachsen bestimmt sind, lassen sich die

Winkel der letzten drei Antriebsachsen ermitteln. Aus der bereits bekannten kinematischen

Kette 6 3 6

0 0 3T T T folgt für die WCP-Transformation:

6 3 1 6

3 0 0( )T T T . (3-87)

Damit ergibt sich nach (3-49) für 6

3T :

4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5 6 4 5

4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5 6 4 56

3

5 6 5 6 5 4 6 5

0 0 0 1

C C C S S C C S S C C S d C S

S C C C S S C S C C S S d S S

S C S S C d d C

T . (3-88)

Für die verbleibenden Gelenkwinkel ist nur noch die Orientierung des TCP bedeutsam. Aus

diesem Grunde wird die Rotationsmatrix

4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5

6

3 4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5

5 6 5 6 5

C C C S S C C S S C C S

S C C C S S C S C C S S

S C S S C

R (3-89)

herangezogen.



Diese Transformationsmatrix ist bereits über (3-48) zu

1 23 1 1 23

3

0 1 23 1 1 23

23 230

C C S C S

S C C S S

S C

R (3-90)

definiert. Da die Inverse dieser Matrix gleich ihrer Transponierten ist, erhält man:

1 23 1 23 23

3 1

0 1 1

1 23 1 23 23

( ) 0

C C S C S

S C

C S S S C

R . (3-91)

Mit

6 3 1 6

3 0 0( )R R R (3-92)

gewinnt man die Gleichungen:

4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5 1 23 1 23 23

4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5 1 1

5 6 5 6 5 1 23 1 23 23

0

x x x

y y y

z z z

C C C S S C C S S C C S C C S C S u v w

S C C C S S C S C C S S S C u v w

S C S S C C S S S C u v w

(3-93)

und

4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5 11 12 13

4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5 21 22 23

5 6 5 6 5 31 32 33

C C C S S C C S S C C S r r r

S C C C S S C S C C S S r r r

S C S S C r r r

. (3-94)

Hieraus lässt sich der Winkel 5 über das Matrixelement 33 berechnen. Mit

5 33C r (3-95)

ergibt sich

5;1,2 33arccos( )r . (3-96)

Für 5 existieren somit zwei Lösungen.

Aus den Matrixelementen 13 und 23 erhält man die Relationen

134

5

rC

S und (3-97)

234

5

rS

S (3-98)

Damit gilt dann weiter:

23 134

5 5

arctan 2 ,r r

S S

. (3-99)



Analog lässt sich auch 6 zu

32 316

5 5

arctan 2 ,r r

S S

(3-100)

berechnen. Für diese Winkel existieren korrespondierend zu (3-96) ebenfalls zwei Lösungen.

Damit sind sämtliche Gelenkwinkel bestimmt. Insgesamt existieren somit vier verschiedene

Lösungen. Vor allem der dritten Achse kommt eine besondere Bedeutung zu, wenn es darum

geht, Hindernisse zu umfahren.

Die nominellen Werte der DH-Transformation für das inverse Modell unterscheiden sich von

denen der Vorwärtstransformation. Die entsprechenden Werte können der Tab. 3-5 entnom-

men werden (siehe auch Abb. 3-5 u. 3-6).

Abb. 3-6: DH-Parameter eines Gelenküberganges

i θi a / mm d / mm α / ° 14θο / °

1 θ1 312 0 90 0

2 θ2 1075 0 0 -90

3 θ3 225 0 90 0

4 θ4 0 1280 -90 0

5 θ5 0 0 90 0

6 θ6 0 215 0 0

Tab. 3-5: DH-Parameter der Fanuc-Kinematik

Bemerkungen: Die Lage des Steuerungskoordinatensystems wird von vielen Roboterher-

stellern in die x/y-Ebene des Montageflansches in Abb. 3-5 gelegt. Dies ist im Hinblick auf

die Kalibration der Robotermodelle nicht zweckmäßig, da hierdurch eine Linearkombination

(Rangdefekt) des d-Parameters mit einem Translationsparameter zum externen Posemess-

system entsteht.

14 Diese Werte ergeben sich aus der vom Hersteller willkürlich definierten Nulllagenstellung der Maschine.

Θi

Θi

Θi+1αi

xi-1

xi

yi

zi

yi-1

zi-1

di

ai

Link i

Gelenk i

Gelenk + 1i



Mehrfachdrehungen: Desweiteren können bei einigen Antriebsachsen Mehrfachdrehungen

auftreten. Die analytische Inverse berechnet jedoch nur die Hauptwerte ] ]i der

Achskoordinaten Ai .

Ausgehend von den Sensorgleichung

M M0 M M0

22 , {... 2 1012 ...}i i

i i i i i

i

km k k

m

(3-101)

erhält man

A A A, mit arctan2(sin ,cos )i i i i i i (3-102)

und damit die Achskoordinate aus den Hauptwerten zu:

Ai i i . (3-103)

3.5 Jacobi-Matrizen und kinematische Eigenschaften

Die Jacobi-Matrizen der Systemmodelle spielen eine zentrale Rolle in der Systemtheorie. Sie

verknüpfen verschiedene Eigenschaften der Ein- und Ausgangssignale und charakterisieren

das Fehlerfortpflanzungsverhalten erster Ordnung [201]. Zum Ende dieses Kapitels wird in

Form einer Tabelle ein kompakter Überblick gegeben, um rückblickend die Bedeutung der

Jacobi-Matrizen als Ganzes zu illustrieren.

3.5.1 Lokales Poseverhalten

Ausgehend von dem kinematischen Modell (3-8) und (3-33) mit einer Zerlegung nach Para-

metern p und Eingangsgrößen x

( , )y f p x (3-104)

erhält man über das totale Differenzial

( , ) d ( , ) di i

i ii i

p xp x

f fdy p x p x (3-105)

bzw. mit den Jacobi-Matrizen kompakt

( , ) ( , ) p xdy J p x dp J p x dx . (3-106)

Im Allgemeinen verschwinden die Parameteränderungen, so dass man die in der Robotik ge-

bräuchliche Form

( , ) xd y J p x d x (3-107)

bzw.

1( , ) xdx J p x dy , mit det 0xJ (3-108)

erhält.



3.5.2 Geschwindigkeitsverhalten

Aus dem totalen Differenzial (3-105) erhält man die Relation

d d

( , ) ( , )d d d

i i

i ii i

p x

t p t x t

dy f fv p x p x (3-109)

bzw. mit den Jacobi-Matrizen kompakt

( , ) ( , ) p xy J p x p J p x x . (3-110)

Infolgedessen hängen die Posegeschwindigkeiten über die Jacobi-Matrizen mit den Para-

meter- und Achsgeschwindigkeiten zusammen. Im Allgemeinen verschwinden die Parameter-

geschwindigkeiten, so dass man die in der Robotik gebräuchliche Form

( , ) xy J p x x (3-111)

bzw.

1( , ) xx J p x y , mit det 0xJ (3-112)

erhält.

3.5.3 Beschleunigungsverhalten

Das Beschleunigungsverhalten erhält man nach Differenziation von (3-109) unter Anwendung

der Summen- und Produktregel zu:

22

2 2

2

2

d d( , ) ( , )

d d d

d d( , ) ( , )

d d

i i

i ii i

i i

i ii i

p p

t t p t p t

x x

t x t x t

d yf p x f p x

f p x f p x

. (3-113)

Mit den Jacobi-Matrizen erhält man in kompakter Form die Gleichung

p p x xy J p J p J x J x , mit ( , ) , ( , ) p p x xJ J p x J J p x (3-114)

bzw. in der Robotik bei verschwindenden Ableitungen der Parameter die gebräuchliche Form

der Gleichung zu:

x xy J x J x (3-115)

bzw. aus (3-112) zu:

1 1 x xx J y J y , mit det 0xJ und det 0xJ . (3-116)

3.5.4 Ruck- und Pulsverhalten

In physikalischen Systemen, die durch Differenzialgleichungen n-ter Ordnung beschrieben

werden, sollten Zustandsänderungen (n + 1)-fach stetig differenzierbar sein, damit keine



Sprung- und Dirac-Funktionen15 auftreten, die physikalisch letztlich nicht realisierbar sind.

Man nennt solche Zustandsänderungen ruck- und stoßfrei. Diese Bewegungen zeichnen sich

zudem potenziell sowohl durch geringere Soll-Istfehler als auch einen materialschonenden,

vibrationsarmen Betrieb aus.

In realen mechatronischen Systemen sind typischerweise Differenziale 3-ter Ordnung zu be-

trachten, da elektrische Spannungssprünge im Allgemeinen zulässig und näherungsweise

realisierbar sind. Nach Anwendung der Produktregel erhält man aus (3-114) das Ruck- und

Pulsverhalten zu:

2 2 xp p x xpy J p J p J p J x J x J x (3-117)

Die in der Robotik bei verschwindenden Ableitungen der Parameter gebräuchliche Form er-

gibt sich dann zu:

2 xx xy J x J x J x (3-118)

bzw. aus (3-116) zu:

1 1 12 x x xx J y J y J y , mit det 0xJ , det 0xJ und det 0xJ . (3-119)

3.5.5 Kraft- und Momentenverhalten

Unter der Annahme einer verlustlosen Bewegung einer masselosen kinematischen Struktur

lässt sich aufgrund des Energieerhaltungssatzes eine Relation zwischen den verallgemeinerten

Kräften im (G-1)-ten Koordinatensystem und den Antriebskräften herleiten.

Ausgehend von einer infinitesimalen Bewegung der Antriebs- und (G-1)-ten-Koordinaten dx

und dy erhält wegen der Äquivalenz der Energien

t t

Dd dF y F x . (3-120)

Hierbei repräsentiert F den verallgemeinerten Kraftvektor im (G-1)-ten Koordinatensystem

und T den der Antriebskoordinaten. Da die infinitesimale Bewegung über die Jacobi-Matrix

d ( , ) d xy J p x x (3-121)

zusammenhängt, erhält man mit (3-120) weiter

t t

D( , ) d dxF J p x x F x , (3-122)

so dass die Relation

t t

D ( , ) xF F J p x (3-123)

gilt. Mit t t tA B B A lassen sich die verallgemeinerten Kräfte sodann über

t

D ( , ) xF J p x F (3-124)

15 Sprung- oder Pulsfunktionen bedingen Spektren der Art 1(2 )

2f

j f

oder si( ) sin( ) /f f f .

Die Dirac-Funktion hat als Spektrum eine konstante 1. Bei endlicher Bandbreite können diese Funktionen nicht

existieren.



beschreiben. Damit stehen bei einer verlustlosen Kinematik die verallgemeinerten Antriebs-

kräfte über die transponierten Jacobi-Matrix der Antriebskoordinaten mit den verallgemeiner-

ten Kräften im (G-1)-ten Koordinatensystem in einem wohldefinierten Zusammenhang. Bei

der Verwendung von elektrischen Antrieben kann man seinerseits die Antriebskräfte- bzw.

-momente über die Motorströme und Motorkonstanten bestimmen, so dass eine Messung der

verallgemeinerten Kräfte im (G-1)-ten Koordinatensystem möglich wird. Treten nicht zu

große Verluste auf, so lassen sich diese Gleichungen zur Abschätzung der Kräfte heranziehen.

Die Jacobi-Matrizen können analytisch über die Ansätze im Kap. 3.2 bestimmt werden, so

dass eine Berechnung selbst unter zeitkritischen Bedingungen möglich ist.



3.5.6 Übersicht

Stationäres explizites parametrisches Steuerungsmodell:

, ( , )P M ND W f yp x y y f p x , mit ( , ) ( , )

x x

fJ J p x p x

x (3-125)

Positions-, Geschwindigkeits-, Beschleunigungs-, Stoss- und Ruck- sowie Kraftver-

halten:

Kinematisch vorwärts

xdy J dx (3-126)

xy J x (3-127)

x xy J x J x (3-128)

2 x x xy J x J x J x (3-129)

t

D ( , ) xF J p x F , verlust- und massefreie Kinematik (3-130)

Kinematisch invers

1 xdx J dy , mit det 0xJ (3-131)

1 xx J y , mit det 0xJ (3-132)

1 1 x xx J y J y , mit det 0xJ und det 0xJ (3-133)

1 1 12 x x xx J y J y J y , mit det 0xJ , det 0xJ und det 0xJ (3-134)

-1

t

D( , ) xF J p x F , verlust- und massefreie Kinematik (3-135)

Kinematisch invers rekursive Alternative

1

1i i i

xx x J y y , mit det 0xJ (3-136)

1( , ) xx J p x y , mit det 0xJ (3-137)

1 x xx J y J x , mit det 0xJ (3-138)

1 2 x x xx J y J x J x , mit det 0xJ (3-139)

Technische Restriktionen:

Max( )x t v und

Max( )x t a , mit {1,..., }f (3-140)

Unsicherheiten:

Implizites Modell I, , ( , , ) ( , )D W f yp y x f p y x 0 y f p x (3-141)

Systematische Fehler

1

Maxm mn mn m mn my xp y x pJ J x J p (3-142)

Zufällige Fehler

t

' ' 'y yx x yxS Q S Q , mit 1

' '( , , ) ( , , )yx y xQ J p x y J p x y , (3-143)

' ' '' 'm nm x n xE x x XS , (3-143)

i ji y j yE y y YS und (3-143)

t

t t' x x p (3-144)

Tab. 3-6: Jacobi-Matrizen und kinematisches Systemverhalten



3.6 Kooperierende Kinematiken

Im Folgenden sollen die geometrischen Aspekte kooperierender Kinematiken beim Objekt-

Transport betrachtet werden. Die offenen kinematischen Ketten werden dabei letztlich über

das Objekt zu geschlossenen kinematischen Ketten (siehe Abb. 3-7). Hierdurch entstehen zu-

sätzliche Zwangsbedingungen, die zu beachten sind. Eine fehlerhafte Positionierung führt un-

mittelbar je nach Systemsteifigkeit zum Auftreten von mehr oder minder großen Kräften und

Momenten. Dies kann bei falscher Auslegung des Gesamtsystems sowohl die Objekte als

auch die Greifer und Kinematiken gefährden. Die Bewegungsplanung muss dabei sämtliche

Kinematiken berücksichtigen, wodurch im Hinblick auf die Antriebssingularitäten zusätzliche

Bewegungseinschränkungen entstehen, die man jedoch mit den Ansätzen in Kap. 3.4.2 hin-

sichtlich der ausgezeichneten Singularitäten entschärfen kann.

Abb. 3-7: Kooperierende Kinematiken

Für die Beschreibung derartiger System mit A Kinematiken ist es zweckmäßig, eine Kine-

matik {1,..., }m A zum Master (Meister) zu erklären. Die anderen Kinematiken werden als

Slaves (Sklaven) betrachtet. Über einen geschlossen Umlauf erhält man die Transformation:

1

TCP TCP A TCP

TCP A A A

m

m m

T T T T E , {1,..., }\A m , mit A TCP

A TCPconst constm

m

T T . (3-145)

Diese Gleichung ist sowohl Grundlage für die messtechnische Bestimmung der Aktuato-

rrelationen A

A m

T als auch Grundlage für die Berechnung der kooperierenden Bewegung. Die

kooperierenden Bewegungen müssen den Zwangsbedingungen

TCP A TCP TCP

A A A TCP

m

m m

T T T T , {1,..., }\A m , mit A TCP

A TCPconst constm

m

T T (3-146)

genügen.

η-terSlave-

Aktuator

m-terMaster-

Aktuator

Objekt

SA

η

STCP

η

SG

η

TTCP

A η

TG

TCP η

SA

m

STCP

m

SG

m

TTCP

A m

TG

TCP m



Inhaltsverzeichnis

3 Kinematisches Modell ................................................................................................. 1

3.1 Allgemeine Ansätze ................................................................................................. 3

3.2 Schnelle und exakte Differenziation ........................................................................ 9

3.3 Verallgemeinerte Taylorsche Reihe ....................................................................... 12

3.4 Inverse kinematische Transformation .................................................................... 13

3.4.1 Singularitäten .................................................................................................. 14

3.4.2 Klassische Ansätze .......................................................................................... 14

3.4.3 Analytische Inverse für ausgezeichnete Kinematiken .................................... 16

3.5 Jacobi-Matrizen und kinematische Eigenschaften ................................................. 24

3.5.1 Lokales Poseverhalten .................................................................................... 24

3.5.2 Geschwindigkeitsverhalten ............................................................................. 25

3.5.3 Beschleunigungsverhalten .............................................................................. 25

3.5.4 Ruck- und Pulsverhalten ................................................................................. 25

3.5.5 Kraft- und Momentenverhalten ....................................................................... 26

3.5.6 Übersicht ......................................................................................................... 28

3.6 Kooperierende Kinematiken .................................................................................. 29

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