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„Value at Risk“

Methoden zur Quantifizierung von Marktpreisrisiken

- Ein empirischer Vergleich -

Dr. Michael Auer

Michael Auer VaR - Methoden zur Quantifizierung von Marktpreisrisiken

Stand: 28.05.04, 08:29 1

Inhalt:

1. Motivation und Definition von VAR

2. Zielsetzung des Vergleichs

3. Methoden zur Quantifizierung von Marktpreisrisiko

4. Backtesting

5. Minibank & Marktdaten

6. Risk Engine

7. Ergebnis Beispiele

8. Erweiterungen


Stand: 28.05.04, 08:29 2

Zukuntsziel: Integriertes Risikocontrolling/-management

Probleme:• Abdeckung aller Risiken• •

• Korrelationen• • Methodenunterschiede• • Trennung Risikoarten• • • • Derzeit vielversprechende An-sätze zur Integration von Markt- undKreditrisiken, darüber hinaus aber:• Anfangsstadium, noch viele Fragen

OR

MR KR

IntegriertesRisiko-

controlling/-management

GR


Stand: 28.05.04, 08:29 3

Motivation zur VaR Ermittlung

• Vereinheitlichung: -> VaR ist ein einheitlicher Maßstab der Risikoeinschätzungeiner Vielzahl von verschiedenen Risikopositionen und Portfolios untereinheitlichen Kriterien.

• Limitierung / Steuerung: -> Die Messung und Limitierung des VaR istfundamental für die Portfolio Steuerung

• Kapitalunterlegung: -> VAR dient zur Bestimmung des risikogebundenenKapitals, welches erforderlich ist, um die jeweils eingegangenen Risiken zudecken. Dies dient dem Schutz des Unternehmens.

• Kapitalallokation: -> VaR gibt der Geschäftsleitung die Möglichkeit dasverfügbare Kapital optimal auf die Geschäftsaktivitäten mit einem entsprechendenVerzinsungsanspruch zu verteilen. Betrachtet wird dabei das Verhältnis „Return onRisk“.


Stand: 28.05.04, 08:29 4

Allgemeine Definition von VaR bei Marktrisiko

Value at Risk (VaR) ist ein Maß für den prognostizierten Verlust aus einembetrachteten Portfolio in Folge von Marktwert- bzw. Kurswert- Veränderungen(Marktpreisrisiko) innerhalb eines bestimmten Zeitraums (Haltedauer), der miteiner bestimmten Wahrscheinlichkeit (abh. vom Konfidenzniveau) nichtüberschritten wird. -> Statistische Schätzung

Marktwert-Veränderungen0VAR

Konfidenz-niveau z.B. 99%

Haltedauer: 1 Tag -> d.h. Was kann von heute auf morgen passieren?

Annahme: Die betrachteten Positionen werden während der Haltedauer nichtverändert.


Stand: 28.05.04, 08:29 5

Zielsetzung des Vergleichs

! Worin unterscheiden sich die Methoden und wo liegen die jeweiligen Stärken undSchwächen?

! Welche Methode eignet sich für die VAR Ermittlung des jeweiligen Produktesam besten?

! Welche Methode eignet sich für die VAR Schätzung des Portfolios am besten?

! Wie verändert sich die Güte der VAR Schätzung in Abhängigkeit derParametereinstellungen?

! Wie können die empirisch ermittelten Eigenschaften der jeweiligen Methodetheoretisch begründet werden?

! Wie kann die VAR Schätzung der jeweiligen Methode verbessert werden?


Stand: 28.05.04, 08:29 6

Ansätze zur Ermittlung von VaR

Allgemeine Annahme: historische Marktbewegung des Risikofaktors S liefert einegute Schätzung für die zukünftige Wertveränderung ∆V

local valuation ∆V = β * ∆S

Linearer Zusammenhang (Sensitivität β) zwischen dem Marktwert der Position unddem jeweiligen Risikofaktor

-> Varianz Kovarianz Ansatz

full valuation ∆V = V(S1) - V(S0)

Vollständige mark to market Bewertung => keine Annahme hinsichtlich desZusammenhanges zwischen dem Portfoliowert und dem Risikofaktor.

-> Historische Simulation, Monte Carlo Simulation


Stand: 28.05.04, 08:29 7

Risikoarten / RisikofaktorenVerschiedene Risikoarten innerhalb des Marktpreisrisikos

Kurswert-änderung

Zeit

Kurs-wert

Kurswertänderungsrisiko

NiedrigeOpt ionsvola

Zeit

KurswertUnder-lying

HoheOpt ionsvola

Volarisiko

L aufzeit

Z in s Verän derun g derZ in sst ruk t urk urv e

Zins änderung s ris ik o

Laufzeit

ZinsRisikobehaftete

Zinsst rukutrkurve

RisikofreieZinsst rukturkurve

Spread

Spreadrisiko


Stand: 28.05.04, 08:29 8

Varianz-Covarianz-Ansatz (1)

Linearer VAR Ansatz unter der Annahme das Veränderungen der Risikofaktorennormalverteilt um den Mittelwert µ=0 sind

Ermittlung des overnight Value at Risk VaRON:

1. Analyse der relevanten Risikofaktoren, Zerlegung jeder Position in die jeweiligenBasis-Cashflow-Komponenten, Mapping der Komponenten zu den entsprechendenRisikofaktoren

2. Ermittlung des present value Vi (mit i=1, ... , N) jeder Cashflow Komponente i

3. Das Value at Risk VaR ergibt sich gemäß TSS VAR ⋅Σ⋅−=


Stand: 28.05.04, 08:29 9

Varianz-Covarianz-Ansatz (2)

TSS VAR ⋅Σ⋅−= falls Σ positiv semidefinit1 mit:

S f V f V f Vi i i N N N= ( , ... , , ..... , )σ δ σ δ σ δ1 1 1 und Σ =

1

1

1

1

21

1

. . .

. . . . . .

. . .

ρρ

ρ

N

N

Σ : Korrelationsmatrix (N x N)σ i : Standardabweichung der Veränderung des Risikofaktors iδi : Sensitivität des Marktwertes der Position bezüglich des Risikofaktors iVi : Barwert des Cashflows für den Risikofaktor if : Faktor, abhängig vom Konfidenzniveau α (Annahme: Normalverteilung)

z.B. f = 1,65 für α=95%ST : Spaltenvektor von S

1 Σ ist positiv semidefinit, falls x Σ xT ≥ 0 ∀ x ≥ 0


Stand: 28.05.04, 08:29 10

Mapping

Produktabhängige Zuordnung von Cashflow Komponenten der Einzelpositioneneines Portfolios zu den jeweiligen Risikofaktoren.

Beispiel: Zinspositionen -> Risikofaktoren als Gridpoints der Zinskurve

Cashflow

Risikofaktoren

Zuordnung eines einzelnen Cashflow auf dieRisikofaktoren

i j

Risiko-/Varianzerhaltung => Var r Var r ri j( ) ( ( ) )= ⋅ + − ⋅α α1

! σ α σ α α ρ σ σ α σ2 2 2 2 22 1 1= + − + −i ij i j j( ) ( ) α =− ± −b b ac

a

2 4

2

! a i j ij i j= + −σ σ ρ σ σ2 2 2 b ij i j j= −2 2 2ρ σ σ σ c j= −σ σ2 2


Stand: 28.05.04, 08:29 11

Historische Simulation

Bewertung zu einem bestimmten Stichtag mit historischen Bewertungsparametern

Beispiel: Gewöhnlicher Differenzenansatz2

Einzelposition: )T,f,...,f(P)T,f,...,f(P)T,t(D 1t,k1t,1it,kt,1ii −−−=

P f f Ti t k t( , . . . , , ), ,1 : Marktwert der Position i zum Stichtag T mit den Bewertungs-parametern f ft k t1, ,, . . . , zum Zeitpunkt t . Die Restlaufzeit bleibt konstant.

Mit Konfidenzniveau α folgt VaR aus der empirischen Häufigkeitsverteilung.α i iPR D t VAR= >( ( ) ) mit: { }t t t t N∈ 0 1, , ... ,

Portfolio: ∑−∑= −−i

1t,k1t,1ii

t,kt,1ip )T,f,...,f(P)T,f,...,f(P)T,t(D

2 Weitere Ansätze sind spezifischer Differenzenansatz sowie gewöhnlicher / spezifischer Ratenansatz


Stand: 28.05.04, 08:29 12

Monte Carlo Simulation

Die zukünftige Veränderung der Risikofaktoren wird über normalverteilteZufallsziehungen und einem stochastischen Prozess simuliert.

Vorgehensweise:

1. Wähle stochastischen Prozeß, z.B. t

T,jtT,jt,jjeSS

∆εσ∆+ ⋅= und die jew. Parameter

2. Generiere Sequenz von unabhängigen Zufallszahlen η η1 , . . . , N (N Anzahl derSimulationen z.B. N=500), transformiere daraus korrelierte Zufallszahlen ε ε1 , . . . , N

und leite daraus die Sequenz der Preise bzw. Risikofaktoren N1 S,...,S ab

3. Berechne den Wert des jeweiligen Produktes bzw. Portfolios tTF ∆+ gemäß denerzeugten Preisen

4. Wiederhole den Schritt 3 für alle N Simulationsschritte. Daraus erhält man dieempirische Verteilung der Werte 500

tT1

tT F,...,F ∆+∆+ . Für das Konfidenzniveau α ergibtsich das VaR aus der empirischen Verteilung.


Stand: 28.05.04, 08:29 13

Korrelierte Zufallszahlen

Eigenwert - Zerlegung der reellen, symmetrischen Korrelationsmatrix Σ

TADA ⋅⋅=Σ

D: Diagonalmatrix mit den Eigenwerten λ i von Σ in der HauptdiagonalenA: Die Spalten von A enthalten die normierten Eigenvektoren von Σ

Für ein Set N unabhängiger Zufallszahlen η η η η= ( , , . . . , )1 2 N erhält man durch

T2

1

DA η⋅⋅=ε ein Set mit korrelierten (Korrelationsmatrix Σ) Zufallszahlen

ε ε ε ε= ( , , . . . , )1 2 N

Voraussetzung: Korrelationsmatrix R positiv definit3

3 Ansonsten besteht Gefahr negativer Eigenwerte


Stand: 28.05.04, 08:29 14

Backtesting (1) - Allgemein

Backtesting: Vergleich der VAR Schätzung mit den tatsächlich eingetretenenMTM Veränderungen => Ermittlung der empirischen Überschreitungsrate

-15.000.000,00

-10.000.000,00

-5.000.000,00

0,00

5.000.000,00

10.000.000,00

15.000.000,00

31.0

7.96

23.0

7.96

15.0

7.96

05.0

7.96

27.0

6.96

19.0

6.96

11.0

6.96

31.0

5.96

22.0

5.96

13.0

5.96

03.0

5.96

24.0

4.96

16.0

4.96

04.0

4.96

27.0

3.96

19.0

3.96

11.0

3.96

01.0

3.96

22.0

2.96

14.0

2.96

06.0

2.96

29.0

1.96

19.0

1.96

11.0

1.96

03.0

1.96

21.1

2.95

13.1

2.95

05.1

2.95

MTM change

VAR-COVAR 0.01

Hist.-Sim 0.01

MC-Sim 0.01

Abb Minibank: VAR Vergleich von 01.12.95 bis 31.07.96 (ca. 165 Stichtage)


Stand: 28.05.04, 08:29 15

Backtesting (2) – BIS Ampelprinzip

Anzahl der Überschreitungen für das 99% Konfidenzniveau

Anzahl

Über-schreit-

ungen

Zuschlags-

faktor

Grüne Zo-ne

≤ 4 0

5 0,4

6 0,5

7 0,65

8 0,75

Gelbe Zo-ne

9 0,85

Rote Zone ≥ 9 1

0%

20%

40%

60%

80%

100%

HS MC VC

% Anteil grün% Anteil gelb


Stand: 28.05.04, 08:29 16

Backtesting (3) - Überschreitungsrate

Über längeren Zeitraum wird analysiert, wie häufig die tatsächlich eingetreteneMTM Veränderung tx die prognostizierte VAR Schätzung überschreitet.

t1tt MMx −= + tM : Marktwert zum Zeitpunkt t

=> Überschreitungsrate ∑=

αα −χζ=ϕT

1tt

)(t

)( )x( T

1mit

sonst

0für x

0

1)x(

>

=ζ

=> Normierte Überschreitungsrate 1

)()(

α−ϕ=ζ

αα =>

1)( >>ζ α => Systematische Unterschätzung des VAR

1)( ≈ζ α => Adäquate Abschätzung des VAR

1)( <<ζ α => Systematische Überschätzung des VAR

)(tαχ : VAR Schätzung zum Zeitpunkt t mit dem Konfidenzniveau α

Beachte Vorzeichenregelung: )(tαχ , tx < 0


Stand: 28.05.04, 08:29 17

Portfolio „Minibank“

Portfolio basiert auf dem TestportfolioII von Basel für die Proberechnung 1995 undenthält insgesamt 89 Positionen in den Währungen DEM, GBP, USD, JPY

Aktie11

Aktienindex4

FX Option6

FX Spot3

Forward-Cashflow

11

Cap/Floor10

Bond12

Swap15

FRA9

Aktienindexoption8

Die jeweils eingestellten Fälligkeitstermine wurden jeweils konstant gehalten


Stand: 28.05.04, 08:29 18

Marktdatenhistorie

Der verfügbare Zeitraum für das Backtesting ist abhängig von der Marktdatenhistorie

Backtesting Zeitraum

250 Handelstage250 Handelstage

ZeitStichtag 130.11.95

Stichtag n27.02.97

Verfügbare Marktdatenhistorie

21.11.94 28.02.97

Verfügbarkeit der Marktdatenhistorie von 21.11.94 bis 28.02.97=> Backtesting Zeitraum von 30.11.95 bis 27.02.97 (entspricht ca. 310 Handelstage)


Stand: 28.05.04, 08:29 19

Datenfluß / Risk Engine

Minibank MarktparameterMasterkalender

VAR / Backtesting Ergebnisse

C++ DLL

Risk engine• Varianz Kovarianz Ansatz• Monte Carlo Simulation• Historische Simulation• Backtesting

" $% & '&(')*'+" ,&-.)/0$1'(23'4'&0)+*

" 56117+*" 8)96::$(6;:'+*'+'&7'&'+

" <7*'+4'&08'&:'*)+*

" =7>):7'&0'56&/016&6>'0'&'&(')*'+

" ?)6+07:''&>700':+

" ,-&09-:7-@**&'*607-+


Stand: 28.05.04, 08:29 20

Risikofaktoren / Produktmatrix

Varianz Kovarianz Historische Simulation Monte Carlo SimulationZR DR SR AR VR ZR DR SR AR VR ZR DR SR AR VR

Zinsinstrumente:Forward rate Agreement X X X X X XSwap X X X X X XBond X X X X X X X X XForwards X X X X X XCaps / Floors X* X M X X X X X MFX-PositionenFX-Spot X X XFX-Option M X* M X X X X X MAktienpositionen:Synth. Stock index X X X X X XSingle Stocks X X* X X X XEquity options M X X* M X X X X X X X M

Berücksichtigung von: ZR: Zinsrisiko, DR: Devisenkursrisiko, SR: Spreadrisiko, AR: Aktienkursrisiko, VR: Volarisiko(*Nur lineare Berücksichtigung des Risikofaktors – z.B. Delta Näherung)

Kürzel: X: von der jeweiligen Methode berücksichtigte RisikoartM: Risikoart kann durch die Methode nicht berücksichtigt werden

Die schattierten Flächen zeigen Risikoarten, die für die jeweiligen Produkte nicht relevant sind


Stand: 28.05.04, 08:29 21

Backtesting Minibank - Normierte Überschreitungsrate

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0,99

0,97

0,95

0,93

0,91

0,89

0,87

0,85

0,83

0,81

0,79

0,77

0,75

0,73

0,71

0,69

0,67

0,65

0,63

0,61

0,59

0,57

0,55

Konfidenzniveau

No

rmie

rte

Üb

ersc

hre

itu

ng

srat

e

VKHSMC

Stützperiode 250 TageHaltedauer 1 TagMC Simulationen 1000Gleichgewichtung


Stand: 28.05.04, 08:29 22

Backtesting Swaps gemittelt – Gleichgewichtung

Backtesting Swap gemittelt

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0,99 0,97 0,95 0,93 0,91 0,89 0,87 0,85 0,83 0,81 0,79 0,77 0,75 0,73 0,71 0,69 0,67 0,65 0,63 0,61 0,59 0,57 0,55

Konfidenzniveau

Mit

tler

e n

orm

iert

e Ü

ber

sch

reit

un

gsr

ate

HS

MC

VC

2T

1tt )rr(

T

1)r( ∑ −=σ

=)rr)(rr(

T

1)r,rcov( jjt

T

1tiitji −∑ −=

=)r()r(

)r,rcov(

ji

jiij σ⋅σ

=ρ


Stand: 28.05.04, 08:29 23

Backtesting Swaps gemittelt – Exp. Gewichtung

Backtesting Swap gemittelt exp. gewichtet (lambda=0.94)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0,99 0,97 0,95 0,93 0,91 0,89 0,87 0,85 0,83 0,81 0,79 0,77 0,75 0,73 0,71 0,69 0,67 0,65 0,63 0,61 0,59 0,57 0,55

Konfidenzniveau

Mit

tler

e n

orm

iert

e Ü

ber

sch

reit

un

gsr

ate

HS

MC

VC

2T

1tt

1t )rr()1()r( ∑ −λλ−=σ=

− )rr)(rr()1()r,rcov( jjtT

1tiit

1tji −∑ −λλ−=

=

−)r()r(

)r,rcov(

ji

jiij σ⋅σ

=ρ


Stand: 28.05.04, 08:29 24

Backtesting Swaps gemittelt – Korrelations Adjustierung

Backtesting Swap gemittelt Korrelations korr. (f=1)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0,99 0,97 0,95 0,93 0,91 0,89 0,87 0,85 0,83 0,81 0,79 0,77 0,75 0,73 0,71 0,69 0,67 0,65 0,63 0,61 0,59 0,57 0,55

Konfidenzniveau

Mit

tler

e n

orm

iert

e Ü

ber

sch

reit

un

gsr

ate

HS

MC

VC

)r,rcov()r,rcov()r,rcov()r,rcov( 01jt

0it

0jt

01it

0jt

0itjtit −− ++=

)r()r(

)r,rcov(

0jt

0it

jtitadij σ⋅σ

=ρ

Adjustierung der Korrelation bei nicht synchronen Zeitreihendurch Einführung einer „lag“ Komponente γ

1t,j1t,jt,jt,j0t,j rrr −− ⋅γ+⋅γ=

returns ebeobachtet : r 0j

returns wahre: rj


Stand: 28.05.04, 08:29 25

Backtesting Aktienindexoptionen ohne Volarisiko gemittelt

Backtesting Stock options ohne volarisiko gemittelt

0

2

4

6

8

10

12

0.99 0.97 0.95 0.93 0.91 0.89 0.87 0.85 0.83 0.81 0.79 0.77 0.75 0.73 0.71 0.69 0.67 0.65 0.63 0.61 0.59 0.57 0.55

Konfidenzniveau

HS

MC

VC

Für den Teil derHistorie wirddas VARunterschätzt

P

t-

P

S

Beispiel:Long call

t-

Verlauf desUnderlyings

Verlauf desOptionspreises


Stand: 28.05.04, 08:29 26

Variation der Stützperiode

0

1

2

3

4

5

6

50 100 150 200 250

Stützperiode in Tagen

No

rmie

rte

Üb

ersc

hre

itu

ng

srat

e

HSMCVK

Durch Reduzierung der Stützperiode verkleinert sich der Stichprobenumfang der HSerheblich => Verschlechterung der Backtesting Ergebnisse!


Stand: 28.05.04, 08:29 27

Eigenschaften der Korrelationsmatrix

Ausgehend von der (k, T) Risikofaktoren Matrix X, mit der Zeitreihe (Anzahl derTage der Stützperiode T) des Instrumentes i (von insgesamt k Instrumenten) alsSpaltenvektor ix , gilt für die Kovarianzmatrix C

T

XXC

T

= und für den Rang R gilt damit: )X(R)XX(R)C(R T ==

! Allgemein entspricht der Rang der maximalen Anzahl der linear unabhängigenZeilen-/ Spaltenvektoren

! Der Rang der Kovarianz Matrix C entspricht dem Rang der Matrix X! Der Rang der Kovarianz Matrix C kann somit nicht größer sein als die Anzahl der

Tage der Stützperiode4

D.h. für eine Stützperiode von 50 Tagen und 103 Risikofaktoren enthält dieKovarianzmatrix nur max. 50 linear unabhängige Zeilen/Spaltenvektoren

4 Allgemein gilt für den Rang einer (m,n) Matrix A : R(a)≤min(m,n)


Stand: 28.05.04, 08:29 28

Monte Carlo Simulation – Variation der Simulationsschritte

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

50 250 500 750 1000 5000 8000

MC Simulationsschritte

No

rmie

rte

Üb

ersc

hre

itu

ng

srat

e

0,990,970,95


Stand: 28.05.04, 08:29 29

Zusammenfassung

! Backtsting Ergebnisse zeigen i.d.R. leptokurtische Verteilungen

! Die exponentielle Gewichtung führt bei den meisten Einzelprodukten zu besserenBacktesting Ergebnissen

! Die Korrelations Adjustierung führt zu verbesserten Backtesting Ergebnissen

! Beim Varianz Kovarianz Ansatz und der Monte Carlo Simulation wird das VARvon Optionen aufgrund des fehlenden Volarisikos deutlich unterschätzt.

! Insbesondere bei Optionen liefert der spezifische Differenzenansatz deutlichbessere Ergebnisse als der gewöhnliche Differenzenansatz

! Bei der Variation der Stützperiode verschlechtern sich insbesondere dieBacktesting Ergebnisse für die Historische Simulation.


Stand: 28.05.04, 08:29 30

Weitere Analysen

" Analyse für alle übrigen Einzelprodukte

" Latin Hypercube Sampling

" Variation der verschiedenen Ansätze zur Historischen Simulation

" Variation des Mappings

" Weitere Variation der Stützperiode

" Exponentielle- versus Gleichgewichtung pro Einzelprodukt

" Vergleich zwischen Jacobi- und Householder Varfahren

" Beta Adjustierung für Aktien

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