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Vermessungskunde fürBauingenieure und Geodäten

Übung 4:Freie Stationierung (Koordinatentransformation) undFlächenberechnung nach Gauß

Milo HirschFlorian Schill

Institut für GeodäsieFachbereich 13

1 Aufgabenbeschreibung

1.1 Freie Stationierung

Die Bestimmung von Punktkoordinaten im (übergeordneten) Koordinatensystem der Festpunk-te (bekannte Punkte) erfolgt in der Regel mit dem Polarverfahren. Hierbei wird ein Tachymeterauf einem bereits koordinatenmäßig bekannten Festpunkt aufgestellt und anschließend die Ho-rizontalrichtungen und -strecken zu den Neupunkten gemessen.Bei dieser Vorgehensweise ist man jedoch bezüglich der Aufstellung des Tachymeters immer andie bereits vorhandenen Festpunkte gebunden. Oft ist aber eine freie Standpunktwahl (=FreieStationierung) für eine effiziente Koordinatenbestimmung unumgänglich. Gründe hierfür sindvor allem freie Sichten zu den Neupunkten und möglichst verkehrssichere Instrumentenstand-punkte.

Im Gegensatz zur oben beschriebenen Verfahrensweise bei der Neupunktbestimmung mussbei der Freien Stationierung zuvor noch die Bestimmung des frei gewählten Tachymeterstand-punktes im Koordinatensystem der Festpunkte erfolgen. Dazu müssen neben den Tachymeter-messungen zu den Neupunkten auch Horizontalrichtungen und -strecken zu mindestens zweikoordinatenmäßig bekannten Festpunkten gemessen werden.

Mit diesen Messungen kann man über die 2. Geodätische Hauptaufgabe kartesische Koordi-naten im (lokalen) Koordinatensystem des Tachymeters berechnen. Anschließend liegen für dieFestpunkte zwei Sätze von kartesischen Koordinaten vor: Zum einen im lokalen und zum ande-ren im übergeordneten System.

1.2 Koordinatentransformation

Will man nun Koordinaten von Neupunkten im übergeordneten System bestimmen, müssen de-ren lokale Koordinaten in das übergeordnete System überführt (man sagt auch: transformiert)werden. Für diese Koordinatentransformation müssen wiederum die Beziehungen zwischen bei-den Systemen, die durch sog. Transformationsparameter beschrieben werden, bekannt sein. Siesind zugleich die Unbekannten in den Transformationsgleichungen der Koordinatentransforma-tion.

Wir werden uns im Folgenden auf die 4-parametrige Koordinatentransformation, die sog. Ähn-lichkeitstransformation, beschränken und zunächst zeigen, wie man aus den in beiden Systemenvorliegenden Koordinaten der Festpunkte die Transformationsparameter bestimmen kann. Sinddie Unbekannten in den Transformationsgleichungen berechnet, werden die lokalen Koordina-ten der Neupunkte durch einfaches Einsetzen in übergeordnete Koordinaten (der Festpunkte)transformiert.

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Vor einer Transformation der Koordinaten muss die Transformationsrichtung bestimmt werden.Dies erfolgt mit den Bezeichnungen Quell- bzw. Zielsystem. Es wird immer von der Quelle zumZiel transformiert.

In der Regel sind für uns drei Anwendungen relevant:

Koordinatensystem 1 Koordinatensystem 2

Anwendung Quellsystem (Y Q, X Q) Zielsystem (Y Z , X Z)

Freie Stationierung(Aufnahme)

lokales Systemdes Tachymeters

übergeordnetes Systemder Festpunkte

Freie Stationierung(Absteckung)

übergeordnetes Systemder Festpunkte

lokales Systemdes Tachymeters

Trassierunglokales System

der Trassierungselementeeinheitliches

Absteckkoordinatensystem

1.3 Flächenberechnung nach Gauß

Mit der Gauß’schen Flächenberechnung kann aus Koordinaten die eingeschlossene Fläche be-rechnet werden, also beispielsweise die Fläche eines einfachen Polygons. Die Berechnung erfolgtin diesem Fall durch Zerlegung der gesuchten Fläche in Trapeze.


2 Ähnlichkeitstransformation

Die Ähnlichkeitstransformation im zweidimensionalen Fall besteht aus vier Parametern (2 Trans-lationen, 1 Rotation, 1 Maßstab). Zur eindeutigen Lösung der daraus resultierenden vier Be-stimmungsgleichungen werden vier in beiden Systemen bekannte Koordinatenwerte benötigt.Da jeder Festpunkt durch zwei Koordinatenwerte definiert wird, werden zwei Festpunkte zurLösung der Bestimmungsgleichungen benötigt.

2.1 Visualisierung der Transformationsparameter

Die folgenden Abbildungen sollen zunächst die einzelnen Transformationsparameter veran-schaulichen (Abbildungen 1. - 3.), in der 4. Abbildung ist dann die komplette Transformationbestehend aus den vier einzelnen Transformationsparametern dargestellt. In allen Abbildungenist das Quellsystem jeweils in rot dargestellt das Zielsystem dagegen in schwarz.

YZ

XZ

YQ

XQ

Pi

X0

Y0

Abb. 2.1: Translationen (Y0 und X0)


YZ

XZ

PZi (X

Zi,Y

Zi)

Y Q

X Q

P Qi (X Q

i ,Y Qi)

ε

Abb. 2.2: Rotation ε

YZ

XZ

PZi (X

Zi,Y

Zi)

YQ

XQ

PQi (X

Qi,Y

Qi)

m · XZi

m · YZi

Abb. 2.3:Maßstab m


Gegeben: Festpunkte: Gesucht: Punkt Pi (Y Zi , X Z

i )

Punkt P1 (Y Z1 , X Z

1 ) (Y Q1 , X Q

1 )Punkt P2 (Y Z

2 , X Z2 ) (Y Q

2 , X Q2 )

Neupunkte:

Punkt Pi (Y Qi , X Q

i )

YZ

XZ

Y Q

X Q

P1

P2

ǁX Q

X QP1

X QP2

X QPi Y Q

Pi

Y QP2

Y QP1

Pi

ǁXZ

ε tZ

1,2tQ

1,2

X0

Y0

Abb. 2.4: Darstellung der kompletten Transformation


2.2 Transformationsgleichungen

Y Zi = Y0 + sinε ·m · X Q

i + cosε ·m · Y Qi

X Zi = X0 + cosε ·m · X Q

i − sinε ·m · Y Qi

→ Unbekannte Transformationsparameter Y0, X0, ε und m bestimmen

→ 4 Bestimmungsgleichungen notwendig, (i=1,2; i ... Festpunkt)

Y Z1 = Y0 +m · sinε · X Q

1 +m · cosε · Y Q1

X Z1 = X0 +m · cosε · X Q

1 −m · sinε · Y Q1

Y Z2 = Y0 +m · sinε · X Q

2 +m · cosε · Y Q2

X Z2 = X0 +m · cosε · X Q

2 −m · sinε · Y Q2

2.3 Berechnung der Transformationsparameter

1. Falls erforderlich berechnen Sie die kartesischen Koordinaten (Y Qi , X Q

i ) im Quellsystemaller Punkte aus den Polarkoordinaten rQ

i , sQi :

Y Qi = sQ

i · sin rQi X Q

i = sQi · cos rQ

i

Kontrollen:

rQi = arctan

�

Y Qi

X Qi

�

sQi =

r

Y Qi

2+ X Q

i2

2. Berechnen Sie jeweils die Strecke zwischen den in beiden Koordinatensystemen gegebenenPunkten (P1 und P2):

Quellsystem: sQ1,2 =

r

∆YQ1,2

2+∆XQ

1,22

Zielsystem: sZ1,2 =

Ç

∆YZ1,2

2 +∆XZ1,2

2

Maßstab: m=Zielsystem

Quellsystem=

sZ1,2

sQ1,2

(Angabe mit 7 Nachkommastellen!)


3. Berechnen Sie jeweils die Richtungswinkel zwischen den in beiden Koordinatensystemengegebenen Punkten (P1 und P2):

Quellsystem: tQ1,2 = arctan

�

∆YQ1,2

∆XQ1,2

�

Zielsystem: tZ1,2 = arctan

�

∆YZ1,2

∆XZ1,2

�

Rotation: ε = Zielsystem−Quellsystem= tZ1,2 − tQ

1,2

4. Setzen Sie die Rotation ε und den Maßstab m in die Transformationsgleichungen ein undlösen Sie diese nach den Translationen Y0, X0 auf:

Y0 = Y Z1 −m · sinε · X Q

1 −m · cosε · Y Q1

X0 = X Z1 −m · cosε · X Q

1 +m · sinε · Y Q1

Kontrollen:

Y0 = Y Z2 −m · sinε · X Q

2 −m · cosε · Y Q2

X0 = X Z2 −m · cosε · X Q

2 +m · sinε · Y Q2

Damit sind alle Parameter (Y0, X0,ε, m) in den Transformationsgleichungen bestimmt.

Die Translationsparameter Y0 und X0 stellen dabei die Koordinaten des StandpunktesS im Zielsystem dar.


2.4 Koordinatentransformation für die Punkte Pi

Setzen Sie die im Quellsystem (Y Q, X Q) gegebenen Koordinaten der Punkte Pi in die Transfor-mationsgleichungen ein und berechnen Sie die Koordinaten der Punkte Pi im Zielsystem (Y Z ,X Z).

Y Zi = Y0 +m · sinε · X Q

i +m · cosε · Y Qi

X Zi = X0 +m · cosε · X Q

i −m · sinε · Y Qi

Hinweis für eine effizientere Berechnung:

Die Produkte vor den Koordinaten (Y Qi , X Q

i ) im Quellsystem in den obigen Transformati-onsgleichungen können in den beiden Koeffizienten (Angabe mit 7 Nachkommastellen!)

a = m · cosε und o = m · sinε

zusammengefasst werden, dies führt zu den vereinfachten Formeln:

Y Zi = Y0 + o · X Q

i + a · Y Qi

X Zi = X0 + a · X Q

i − o · Y Qi

�

Kontrollen: m=p

a2 + o2 und ε = arctan�o

a

��


3 Flächenberechnung aus Koordinaten nach Gauß

Die Gauß’sche Flächenformel ermöglicht die Berechnung einer Polygonfläche aus den Koordi-naten ihrer Eckpunkte. Dabei werden Trapeze gebildet, die addiert bzw. subtrahiert werden.

3.1 Flächenberechnung im Trapez

1

2

x1

h

b

a

x2

FTrapez =12· h · (a+ b)

FTrapez =12· (x1 − x2) · (y1 + y2)

2 · FTrapez = (x1 − x2) · (y1 + y2)


3.2 Gauß’sche Flächenformel

y

x

1

2

3

4

x3

x1

x2

1

2

Trapez 1: x1, 1, 2, x2Trapez 2: x2, 2, 3, x3

y

x

1

2

3

4

x1

x4

x3

4

3

Trapez 3: x4, 4, 3, x3Trapez 4: x1, 1, 4, x4

Zusammengefasst für alle 4 Trapeze, führt dies zu:

2 · F= Trapez 1+ Trapez 2− Trapez 3− Trapez 4

2 · F= (x1 − x2) · (y1 + y2) + (x2 − x3) · (y2 + y3)− (x4 − x3) · (y4 + y3)− (x1 − x4) · (y1 + y4)

Ausmultiplizieren, Ordnen und Ausklammern führt zu:

2F =∑

x i · (yi+1 − yi−1) bzw. − 2F =∑

yi · (x i+1 − x i−1)


4 Übungsaufgaben

17

S

19

2

1

3

4

24/4

Abb. 4.1: Situation zu den Aufgaben G4.1 bis G4.3


Aufgabe G4.1

Berechnen Sie mit den vorliegenden Messwerten (Polarkoordinaten: Horizontalstrecken sQi und

Horizontalrichtungen rQi ) die kartesischen Koordinaten (Y Q

i , X Qi ) der Grenzpunkte 1, 2, 3, 4

sowie der Festpunkte 17 und 19 im Quellsystem. Wenden Sie dabei die Zweite GeodätischeHauptaufgabe (polares Anhängen) an. Kontrollieren Sie ihre Ergebnisse, indem Sie aus den kar-tesischen Koordinaten (Y Q

i , X Qi ) im Quellsystem wieder Polarkoordinaten (sQ

i , rQi ) berechnen.

Punkt Hz-Richtungen Hz-Strecken

rQi [gon] sQ

i [m]

17 56,7486 57,486

19 215,9637 61,274

1 374,9546 25,896

2 263,5599 75,298

3 306,1453 72,396

4 339,1586 36,256

Formeln:

Y Qi = sQ

i · sin rQi

X Qi = sQ

i · cos rQi

Kontrolle:

rQi = arctan

�

Y Qi

X Qi

�

(Quadrantenabfrage!)

sQi =

Ç

Y Q2i + X Q2

i

Aufgabe G4.2

Berechnen Sie mit Hilfe der gegebenen Gauß-Krüger-Koordinaten der Festpunkte 17 und 19die Koordinaten des Standpunktes S sowie der Grenzpunkte 1 bis 4 im Zielsystem (hier: Gauß-Krüger-System).

Punkt Rechtswert Y [m] Hochwert X [m]

17 3475.912, 734 5586.770,852

19 3475.896, 183 5586.659,376

Aufgabe G4.3

Berechnen Sie mit Hilfe der Gauß-Krüger-Koordinaten der Grenzpunkte die Grenzlängen(s1,2, s2,3, s3,4, s4,1) und die Fläche des Grundstücks 24/4. Verwenden Sie für die Flächenbe-rechnung das Verfahren nach Gauß. Führen Sie diese Berechnungen ebenfalls mit den Koordi-naten im Quellsystem durch. Vergleichen Sie die Ergebnisse im Zielsystem mit den Ergebnissenim Quellsystem und diskutieren Sie diese.


Aufgabe G4.4

57

56

22

11

33

44

S1

S2

Abb. 4.2: Situation zur Aufgabe G4.4

Die Fläche eines Grundstücks soll mit Hilfe der Koordinaten der Grenzpunkte 11, 22, 33 und 44bestimmt werden. Zuvor müssen die noch unbekannten Koordinaten der Grenzpunkte aus Mes-sungen von den Standpunkten S1 bzw. S2 berechnet werden. Aufgrund eines Sichthindernisseskönnen von keinem der beiden Standpunkte alle vier Grenzpunkte angemessen werden (sieheAbb. 4.2). Zusätzlich wurden von beiden Standpunkten die Punkte 56 und 57 angemessen.

1. Transformieren Sie die Punkte 22 und 33 ins lokale Koordinatensystem des StandpunktesS1.

2. Berechnen Sie die Fläche des Grundstückes mit den lokalen Koordinaten der Grenzpunkte11, 22, 33 und 44 im Koordinatensystem des Standpunktes S1.

Standpunkt S1:


ri [gon] si [m]

56 228,1197 69,651

57 158,1164 38,316

11 202,3871 11,641

44 348,6699 32,567

Standpunkt S2:


ri [gon] si [m]

56 205,4214 41,149

57 129,2258 64,316

22 169,6007 14,393

33 9,5519 27,526


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