Versuch: Virtuelles Labor - Berguberstromung

Versuchsbeschreibung

Version vom 18. August 2013

Peter SpichtingerTheoretische Wolkenphysik

Institut fur Physik der AtmosphareJohannes Gutenberg-Universitat Mainz

1

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung und Motivation 3

2 Theorie der Schwerewellen 3

2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Auftriebskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Boussinesq-Naherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Lineare Theorie der Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Topographie-induzierte Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Virtuelles Labor 14

4 Praktikumsversuch 14

4.1 Voruberlegungen und Aufgaben (Vortestat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Installation des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3 Installation der Auswertesoftware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4 Simulationsszenarien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.5 Auswertung der Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2

1 Einleitung und Motivation

Wellen sind wichtige Phanomene der Atmosphare. Diese treten auf sehr unterschiedlichen Skalenauf und beeinflussen dabei eine Vielzahl von atmospharischen Stromungsregimen. Sie sind weiterhinauch wichtig fur das Auftreten von Turbulenz, die ublicherweise mit Wellenbrechen assoziiert wird.

In dem Praktikumsversuch sollen mit Hilfe eines Stromungsmodells bestimmte Typen von Schwe-rewellen untersucht werden. Diese Wellen treten dadurch auf, dass in einer stabil geschichtetenAtmosphare Luftpakete vertikal ausgelenkt werden und dabei durch die Ruckstellkraft Schwerkraftin Schwingungen geraten. Im Nachfolgenden werden zunacht wichtige Begriffe aus der Theorie derSchwerewellen wiederholt und die Szenarien fur die weitere Untersuchung erlautert. Es wird aus-serdem das Modell kurz beschrieben und dann folgt eine Aufgabenstellung fur den eigentlichenPraktikumsversuch.

Das Modell sowie die Visualisierungssoftware liegt bereit auf dem Verzeichnis

2 Theorie der Schwerewellen

2.1 Notation

Wir betrachten immer kartesische Koordinatensysteme mit r = (x, y, z) = (x1, x2, x3) mit denEinheitsvektoren ex, ey, ez. Ublicherweise legen wir das System so, dass die Wellenausbreitung inx-Richtung erfolgt. Die Wellenlange wirdublicherweise mit λ bezeichnet, bzw. fur die einzelnenRichtungen mit λx, λy, λz. In der gesamten Darstellung betrachten wir Wellen mit Wellenlangenλ 1000 km, d.h. wir werden sehr oft auch die Corioliskraft vernachlassigen konnen. Ausserdemkann man die Wellenzahl einfuhren, d.h.

k :=2πλx, l :=

2πλy, m :=

2πλz

(1)

und dem Wellenvektor κ = (k, l,m) mit κ = |κ| = k2 + l2 +m2. Die Periode der Welle τ ist gegebendurch die Zeit einer Oszillation, die Frequenz wird beschrieben durch ω = 2π

τ . Die Phase der Wellekann beschrieben werden durch den Phasenwinkel

φ = κ · r− ωt = kx+ ly +mz − ωt (2)

und damit kann die Welle auch in komplexer Darstellung geschrieben werden als

f(x, y, z, t) = A exp(iφ) (3)

mit der Amplitude A. Die physikalische Darstellung erhalt man uber den Realteil der komplexenWelle. Zur Bestimmung der Wellengeschwindigkeit betrachten wir die Bewegung eines Phasenpunk-tes, d.h. eines Punktes auf der Welle zum Zeitpunkt t und dessen Entwicklung bzw. Position zumZeitpunkt t+ ∆t. Dabei gilt naturlich die Bedingung φ = const., so dass man schreiben kann

dφ

dt

∣∣∣φ

= κ · drdt− ω = 0 (4)

3

Damit kann man die Phasengeschwindigkeit definierren als

c :=d|r|dt

=ω

κ=

ω√k2 + l2 +m2

(5)

Ebenso kann man die Geschwindigkeiten cx, cy, cz definieren durch

dφ

dt

∣∣∣φ,y,z

= kdx

dt− ω = kcx − ω = 0 (6)

dφ

dt

∣∣∣φ,x,z

= ldy

dt− ω = lcy − ω = 0 (7)

dφ

dt

∣∣∣φ,x,y

= mdz

dt− ω = mcz − ω = 0 (8)

d.h.cx =

ω

k, cy =

ω

l, cz =

ω

mund

1c2

=1c2x

+1c2y

+1c2z

(9)

Schlussendlich definiert man noch die Gruppengeschwindigkeiten

ug :=∂ω

∂k, vg =

∂ω

∂l, wg =

∂ω

∂m, und ug = (ug, vg, wg) (10)

2.2 Auftriebskraft

Die Auftriebskraft eines Luftpaketes der Masse mp ist gegeben durch die verdrangte Luftmasse ma

und die Erdbeschleunigung g, d.h.:

Fb = −g(mp −ma)ez (11)

Bei einer Auslenkung in z−Richtung um δz um die Gleichgewichtslage erhalt man unter Anwendungder Newton’schen Gesetze

mpd2(δz)dt2

= −g(mp −ma) (12)

Mit Hilfe der Dichte ρp = mp · Vp und dem Gesetz fur das ideale Gas p = ρRT erhalt man

d2(δz)dt2

= −gρp − ρa

ρp= −gTa − Tp

Tp(13)

Wenn man nun die Temperaturen des Luftpaketes und der umgebenden Luft um die Gleichge-wichtslage ze nach δz entwickelt (unter der Vorausetzung, dass Tp(ze) = Ta(ze)) und in den Auf-triebsterm einsetzt, so erhalt man unter Vernachlassigung der Terme hoherer Ordnung als δz diefolgende Gleichung:

d2(δz)dt2

= − g

Ta

(∂Ta

∂z− ∂Tp

∂z

)δz = − g

Ta

(Γ− ∂Ta

∂z

)δz (14)

mit dem adiabatischen Temperaturgradienten Γ = gcp

. Hier wird angenommen, dass die Tempera-turanderung durch die vertikale Auslenkung klein gegen die Temperatur der Gleichgewichtslage ist,d.h.

To ∂Ta

∂zδz (15)

4

Mit Hilfe der Potentiellen Temperatur θ := T (p0/p)κd mit κd = R/cp und dem hydrostatischenGleichgewicht ∂p

∂z = −gρ lasst sich schliesslich schreiben:

d2(δz)dt2

= −gθ

∂θ

∂zδz := −N2δz (16)

mit der Brunt-Vaisala-Frequenz

N2 :=g

θ

∂θ

∂z(17)

Damit ergibt sich fur die Bewegung eines Luftpaketes bei konstanter Frequenz N die folgendenLosungen der gewohnlichen Differentialgleichung:

• N2 > 0: Losung δz(t) = A exp(iNt) +B exp(−iNt) harmonische Schwingung, d.h. Welle

• N2 = 0: Losung: δz(t) = z0 + v0t Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

• N2 < 0,N = iNi, Ni ∈ R: Losung δz(t) = A exp(Nit)+B exp(−Nit) exponentielle Instabilitat

Wellen propagieren oftmals auch in horizontaler Richtung, d.h. in einem Winkel β zur Horizontalen.Damit wird auch die antreibende Kraft gegeben durch

Fs = mpd2(δs)dt2

= −g(mp −ma) sinβ (18)

wobei δs nun das “schrage” Linienelement bezeichnet. Man kann nun ebenso wie vorher die Bewe-gungsgleichung ableiten, allerdings muss man die Bewegung entlang s statt entlang z betrachten,daher ergibt sich zunachst

d2(δs)dt2

= −g sinβTa − Tp

Tpδs (19)

Bei einer Entwicklung in Taylorreihen in s-Richtung erhalt man

d2(δs)dt2

= −g sinβTa

(∂Ta

∂s− ∂Tp

∂s

)δs (20)

Die Kuhlrate fur das Luftpaket ist gegeben durch die auf die Stromlinie projezierte Tempera-turanderung γ = Γ sinβ und damit gilt:

d2(δs)dt2

= −g sinβTa

(∂Ta

∂s+g sinβcp

)δs (21)

Der Temperaturgradient der potentiellen Temperatur entlang s ist gegeben durch

1θ

∂θ

∂s=

1Ta

(∂Ta

∂s+g

cp

)sinβ =

1θ

∂θ

∂zsinβ (22)

denn ∂Ta∂s = ∂Ta

∂z sinβ. Damit kann man schreiben:

d2(δs)dt2

= −qθ

∂θ

∂zsin2 βδs = −N2 sin2 βδs = −N ′2δs (23)

Damit kann man wieder Losungen fur die gewohnliche Differentialgleichung angeben.

5

2.3 Boussinesq-Naherung

Wir starten mit den Euler-Gleichungen

ρdudt

= −∇p+ ρg (24)

dρ

dt+ ρ∇ · u = 0 (25)

dθ

dt= 0 (26)

Wir wollen gerne die Schallwellen ausfiltern, weil diese nicht zu meteorologischen Phanomenen aufden untersuchten Skalen beitragen und daruber hinaus ein Argernis fur die Numerik darstellen.Dazu betrachten wir die sogenannte Boussinesq-Naherung, die im wesentlichen Dichtevariationenmit der Zeit ausfiltert und Dichteanderungen nur im Auftriebsterm zulasst. Dazu betrachten wireinen Storungsansatz ψ = ψ0 + ψ1 mit ψ1 ψ0 mit ψ ∈ pρ, u, v, w, θ. Wir gehen von einemhydrostatischen Hintergrund aus, d.h. es gilt ∂p0

∂z = −gρ0 mit p0 = p0(z), ρ0 = ρ0(z). Damitbetrachten wir die Kontinuitatsgleichung

(ρ0 + ρ1)dudt

= −∇(p0 + p1) + (ρ0 + ρ1)g = −∇p0 −∇p1 + ρ0g + ρ1g (27)

Es gilt ∇p0 = ∂p0

∂z ez = −gρ0ez und damit kann man die Gleichung nach Division durch ρ0 schreibenals (

1 +ρ1

ρ0

)dudt

= − 1ρ0∇p1 +

ρ1

ρ0g (28)

Weil ρ0 ρ1 kann man nahern 1 + ρ1

ρ0≈ 1; dabei belasst man die Variationen ρ1

ρ0nur im Auftrieb-

sterm. Es ist a priori nicht klar, wann diese Naherung gilt. Dazu betrachten wir die Dichteverteilungmit der Hohe in Form einer Exponentialfunktion mit Hilfe der Skalenhohe Hs fur eine isothermeAtmosphare (siehe Betrachtungen in der Thermodynamik zu polytropen Zustandsanderungen),d.h.

ρ(z) = ρs exp(− z

Hs

)mit ρs = ρ(z = 0) (29)

Damit gilt naturlich∂ρ

∂z= − ρs

Hsexp

(− z

Hs

)= − ρ

Hs(30)

Im Sinne der Trennung der Variablen kann man schreiben

δρ

ρ= − δz

Hs(31)

bzw. mit δρ ≡ ρ1, ρ ≡ ρ0 und δz ≡ λz (vertikale Wellenlange) kann man schreiben∣∣∣∣ρ1

ρ0

∣∣∣∣ =λz

Hsd.h.

∣∣∣∣ρ1

ρ0

∣∣∣∣ 1 ⇔ λz Hs (32)

Man kann zeigen, dass die Dichtevariationen durch den Druck zu vernachlassigen sind, so dassdas Fluid inkompressibel wird und die Schallwellen verschwinden, d.h. die Schallgeschwindigkeit

6

geht gegen unendlich (cs →∞). Damit kann man die folgende Naherung (Boussinesq-Gleichungen)angeben:

dudt

= − 1ρ0∇p1 +

ρ1

ρ0g (33)

dρ

dt= 0 (34)

∇ · u = 0 (35)dθ

dt= 0 (36)

2.4 Lineare Theorie der Wellen

Wir starten mit den zweidimensionalen Boussinesq-Gleichungen (in x− z Richtung), d.h.

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ w

∂u

∂z= −1

ρ

∂p

∂x(37)

∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ w

∂w

∂z= −1

ρ

∂p

∂z− g (38)

∂u

∂x+∂w

∂z= 0 (39)

∂ρ

∂t+ u

∂ρ

∂x+ w

∂ρ

∂z= 0 (40)

Wir linearisieren die Gleichungen wieder bezuglich eines horizontal uniformen hydrostatischen Hin-tergrundes, d.h. ψ = ψ0(z) + ψ1(x, z, t) fur ψ ∈ u, v, w, p, ρ, θ und ∂p0

∂z = −gρ0 mit w0 = 0.Weiter werden in der weiteren Linearisierung Terme hoherer Ordnung vernachlassigt, d.h. Termeder Form ψ1 ·φ1 oder ψ1

∂φ1

∂s werden gleich Null gesetzt. Damit erhalten wir das folgende vereinfachteGleichungssystem:

∂u1

∂t+ u0

∂u1

∂x+ w1

∂u0

∂z= − 1

ρ0

∂p1

∂x(41)

∂w1

∂t+ u0

∂w1

∂x= − 1

ρ0

∂p1

∂z− g

ρ1

ρ0(42)

∂u1

∂x+∂w1

∂z= 0 (43)

∂ρ1

∂t+ u0

∂ρ1

∂x+ w1

∂ρ0

∂z= 0 (44)

Weiter nehmen wir wellenartige Losungen an, d.h.

ψ1(x, z, t) = ψ(z) exp(i(kx+mz − ωt)) fur ψ ∈ u,w, p, ρ, θ (45)

Damit gilt∂ψ1

∂t= iωψ1,

∂ψ1

∂x= ikψ1,

∂ψ1

∂z=∂ψ

∂zexp(i(kx+mz − ωt)) (46)

7

und man erhalt den folgeden Gleichungssatz, nachdem man die Losungen eingesetzt und durch denExponentialanteil geteilt hat:

−iωu+ iu0ku+ w∂u0

∂z= − i

ρ0kp (47)

−iωw + iu0kw = − 1ρ0

∂p

∂z− g

ρ

ρ0(48)

iku+∂w

∂z= 0 (49)

−iωρ+ iu0kρ+ w∂ρ0

∂z= 0 (50)

Wir betrachten nun die intrinsische Frequenz Ω = ω − v · κ mit der horizontalen Geschwindig-keit v = (u0, v0). Damit gilt ω = Ω − ku0 und cx = Ω

k + u0 = cI + u0 mit der intrinsischenPhasengeschwindigkeit cI . Damit konnen die Gleichungen geschrieben werden als

iΩu− w∂u0

∂z= − i

ρ0kp (51)

iΩw =1ρ0

∂p

∂z+ g

ρ

ρ0(52)

iku+∂w

∂z= 0 (53)

iΩρ+ wρ0

gN2 = 0 (54)

Dabei wurde benutzt:N2 =

g

θ0

∂θ0∂z

= − g

ρ0

∂ρ0

∂z(55)

Damit haben wir vier Gleichungen fur vier Unbekannte. Alternativ kann man die Gleichungenineinander einsetzen, so dass man eine Gleichung fur die Komponente w bekommt:

∂2w

∂z2+

1ρ0

∂ρ0

∂z

∂w

∂z+

[k2N2

Ω2+k

Ω∂2u0

∂z2+k

Ω1ρ0

∂ρ0

∂z

∂u0

∂z− k2

]w = 0 (56)

Mit Hilfe des Skalenansatzes ρ0(z) = ρs exp(− z

Hs

)kann man die Gleichung vereinfachen zu

∂2w

∂z2− 1Hs

∂w

∂z

[k2N2

Ω2+k

Ω∂2u0

∂z2− k

Ω1Hs

∂u0

∂z− k2

]w = 0 (57)

Die SkalenhoheHs kann nun weiter benutzt werden, um die Gleichung mit Hilfe von transformiertenGrossen zu beschreiben:

w := exp(

z

2Hs

)w (58)

u := exp(

z

2Hs

)u (59)

p := exp(− z

2Hs

)p (60)

ρ := exp(− z

2Hs

)ρ (61)

8

Damit ergibt sich die klassische Form der Taylor-Goldstein-Gleichung :

∂2w

∂z2+

[k2N2

Ω2+k

Ω∂2u0

∂z2− k

Ω1Hs

∂u0

∂z− 1

4H2s

− k2

]w = 0 (62)

Fur eine analytische Losung muss gelten, dass der Ausdruck in den eckigen Klammern konstantist, dann erhalt man eine einfache gewohnliche Differentialgleichung

d2w

dz2+ γw = 0 (63)

Fur bestimmte Falle kann man analytische Losungen angeben:

1. Keine Hintergrundstromung, d.h. u0 ≡ 0 und die Gleichung vereinfacht sich zu

d2w

dz2+

[k2N2

ω2− k2

]= 0 (64)

und die allgemeine Losung ist gegeben durch w(z) = A exp(imz) + B exp(−imz) und damitergibt sich die Dispersionsrelation

−m2 +k2N2

ω2− k2 = 0 ⇔ m2 = k2

[N2

ω2− 1

](65)

fur die vertikale Wellenzahl m und man kann somit die Frequenz bestimmen:

ω = ± kN√k2 +m2

(66)

wobei wir aus der Konvention heraus den positiven Ast wahlen. Die Losung im physikalischenRaum lautet dann

w1(x, z, t) = A exp(

z

2Hs

)exp (i(kx+mz − ωt) (67)

mit der Phasengeschwindigkeit cz = ωm , der Neigung der Stromlinien dz

dx = − km und der

Frequenz

ω = Nk√

k2 +m2= N cosβ (68)

Fur ω = N gilt β = 0, d.h. m = 0. Es gilt weiter

ug =Nm2

(k2 +m2)32

, wg = − Nkm

(k2 +m2)32

= −cz sin2 β (69)

Wir sind oft an monochromatischen Wellen interessiert, dazu betrachten wir nochmals dievertikale Wellenzahl

m = ±k√N2

ω2− 1 (70)

dabei konnen verschiedene Falle auftreten:

(a) ω < N : Propagierende oder interne Welle mit einer vertikalen Wellenzahl m ∈ R(b) ω = N : Rein horizontal propagierende Welle, keine vertikale Wellenzahl

9

(c) ω > N : Evaneszente oder externe Welle, vertikale Wellenzahl ist rein imaginar mitm = imi,mi ∈ R. Diesen Fall betrachten wir nochmals genauer:

m = ±ik√

1− N2

ω2= ±iq (71)

und damit kann man die physikalische Losung schreiben bezuglich der Referenzwellew1 = A exp(i(kx− ωx) am vertikalen Level zL als

w1 =A exp(−q(z − zL)) exp(i(kx− ωt) fur z > zLA exp(+q(z − zL)) exp(i(kx− ωt) fur z < zL

(72)

Diese Wellen propagieren rein horizontal.

Es ist moglich bei sich andernder Scherung des Horizontalwindes von propagierenden zuevaneszenten Wellen uberzugehen. Dabei tritt dann an diesem Ubergangslevel Reflexion auf.

2. Konstanter Hindergrund u0 = const., damit ergibt sich die folgende Gleichung:

d2w

dz2+

[k2N2

Ω2− k2

]= 0 (73)

mit dem Phasenwinkel φ = kx+mz − Ωt und der vertikalen Wellenzahl

m =

√k2N2

(ω − ku0)2− k2 (74)

Hier kann man nicht wie oben a priori einen Losungsast wahlen, so dass man fur die Frequenzschreiben muss:

ω = uok ±√

N2k2

k2 +m2(75)

und weiter gilt fur die Phasengeschwindigkeiten

c = cx = u0 +N

kcosβ, cz = u0

k

m+N

mcosβ (76)

und fur die Gruppengeschwindigkeiten

ug = u0 +m2

N2(cx − u0)3, wg = −km

N2(cx − u0)3 (77)

2.5 Topographie-induzierte Wellen

Diese Art von Wellen ist bezuglich des Raumes fest bzw. stationar, d.h. es gilt fur die intrinsi-sche Phasengeschwindigkeit cI = −u0. Damit gilt auch ω = 0 bzw. Ω = ω − ku0 = −ku0 sowiecI = Ω

k = −u0. Da der Wellenvektor in die Richtung der Welllenpropagation zeigen muss, gilt daherk = −|k|sgn(u0), d.h. der Wellenvektor zeigt in die der Stromung entgegengesezte Richtung. Wirbetrachten wieder eine zweidimensionale Sttromung in der x − z−Ebene uber eine ausgedehnteOberflache in der Boussinesq-Naherung. Wellen werden dabei von der Oberflache angeregt undlaufen gegen die Stromung. Dabei wird Energie von unten nach oben und gegen die Stromung

10

transportiert, d.h. wg > 0, ug < 0. Die Phasenfronetn der Wellen sind parallel zum Gruppenge-schwindigkeitsvektor ug = (ug, wg), d.h. diese mussen stromaufwarts gekippt sein. Man stellt weiterfest, dass wegen wg = −km

N2 (c− u0)3 auch m < 0 sein muss, d.h. die Wellenfronten laufen abwarts.

Sei nun die Oberflache gegeben durch eine wellenartige Struktur mit h(x) = H exp(iksx) mit derAmplitude H und der (horizontalen) Wellenlange λs = 2π

ks. Wir betrachten den einfachen Fall

u0 = const. und damitd2w

dz2+

[N2

u20

− k2

]w = 0 (78)

Im Sinne der vorherigen Betrachtung lasst sich die Komponente w auch als Fouriertransformierteder physikalischen Losung w1 vetrachten, d.h.

w(k, z) =∫ ∞

−∞w1(x, z) exp(−ikx)dx (79)

Fur den propagierenden Fall N2

u20> k2 ist die Losung gegeben durch w(k, z) = A exp(−imz) mit

m2 = N2

u20− k2. Wir benotigen in diesem Fall noch sinnvolle Randbedingungen fur unsere Wellen,

d.h. “oben und unten”. Am oberen Rand des betrachteten Gebiets setzen wir die songenannteStrahlungsbedingung an, d.h. nur aufwarts propagierende Energie ist erlaubt, eine Reflexion findetnicht statt. Dazu muss man m geeignet festlegen. Die untere Randbedingung (am Boden, an demdie Wellen ausgelost werden) wird dazu benutzt, die Amplitude festzulegen. Die Oberflache istdabei eine Stromlinie, d.h. die Stromung normal zur Oberflache muss verschwinden, d.h. v ·n = 0.Die Gleichung fur die Oberflache ist dabei φ = z − h(x) mit h(x) klein. Der Normalenvektor zurStromung ist gegeben durch:

n :=∇φ||∇φ||

=1

||∇φ||(−∂h∂x

ex + ez) (80)

Damit ergibt sich aus der Gleichung

v · n =(u0 + u1

w1

)·(−∂h

∂x1

)1

||∇φ||= 0 (81)

die Gleichung fur w1 am Boden, d.h.:

w1(x, z = 0) = u0∂h

∂z(82)

unter Vernachlassigung des Terms u1∂h∂z weil h klein sein soll. Diese Bedingung muss noch in Fou-

riermoden ausgedruckt werden, d.h.

h(x) =12π

∫ ∞

−∞h(k) exp(ikx)dk (83)

h(k) =∫ ∞

−∞h(x) exp(−ikx)dx (84)

und mit h(x) = H exp(iksx) gilt dann

w(k, 0) = iu0k

∫ ∞

−∞H exp(−i(k − ks)x)dx (85)

Mit Hilfe der Dirac-Funktion

δ(x) =12π

∫ ∞

−∞exp(−ixy)dy,

∫ ∞

−∞δ(x)dx = 1 (86)

11

kann man fur die Amplitude schreiben A = w(k, 0) = i2πu0kHδ(k − ks) bzw. fur die Losung

w(k, z) = i2πu0kH exp(−imz)δ(k − ks) (87)

und mit Hilfe der Fouriertransformation erhalt man eine sehr einfache Losung im physikalischenRaum (mit u0 > 0):

w1(x, z) = −iu0Hksexp(−i(ksx+msz) (88)

und der vertikalen Wellenzahl ms =√

N2

u0− k2

s . Damit erzeugt die Dirac-Funktion genau die Wel-lenzahl in Resonanz mit dem Terrain, d.h. alle anderen Wellen werden in der linearen Theorieausgeschaltet mit Amplitude =0. Man kann zeigen, dass dann auch gilt:

p1(x, z) = iρ0u20Hms exp(−i(ksx+msz)) (89)

u1(x, z) = iu0Hms exp(−i(ksx+msz)) (90)

θ1(x, z) = Hdθ0dz

exp(−i(ksx+msz)) (91)

Die vertikale Auslenkung bzw. die Verschiebung der Stromlinien kann beschrieben werden durchζ1(x, z) und damit

w1(x, z) = u0∂ζ1(x, z)∂x

(92)

mit der Oberflache ζ1(x, z = 0). Tatsachlich wird im propagierenden Fall die Oberflachenstromliniein der Hohe z = λz = 2π

kswiedergegeben.

Im evaneszenten Fall Nu0< ks ist die Losung gegeben durch

w1(x, z) = −u0Hks exp(−qz) exp(iksx) (93)

mit q = k√

1− N2

Ω2 .

Die Physik des Problems schreibt negative Wellenzahlen in x- und z-Richtung vor, d.h. k,m < 0.Wir konnen mit Hilfe von Ω = ω − ku0 = −ku0 die Taylor-Goldstein-Gleichung formulieren als

d2w

dz2+

[k2N2

Ω2− k2

]w = 0 (94)

Damit gilt

Ω = ± kN√k2 +m2

(95)

wobei a priori nicht klar ist, welcher Zweig gewahlt werden muss. Allerdinsg muss auch hier furdie stationare Losung gelten cx = 0, d.h.

c = cx =ω

k=

Ω + ku0

k= u0 +

Ωk

= u0 ±N√

k2 +m2= u0 ± u0 (96)

und damit ist klar, dass der negative Zweig gewahlt werden muss, auch fur die Phasengeschwindig-keit in z-Richtung, d.h.

cz =ω

m= u0

k

m− N√

k2 +m2= 0 (97)

12

Im Referenzkoordinatensystem ruhend zur Oberflache ist die Welle stationar (cx = cz = 0), relativzur Stromung bewegen sich die Wellen mit cx = −u0 und cz = −u0

km , d.h. stromaufwarts und in

vertikaler Richtung abwarts. Weiter gilt fur die Gruppengeschwindigkeiten

ug =∂ω

∂k= u0 +

∂Ω∂k

= u0k2

k2 +m2(98)

wg =∂ω

∂m= u0

km

k2 +m2(99)

wobei relativ zur Stromung fur die Gruppengeschwindigkeiten gilt:

ug = −u0m2

k2 +m2(100)

wg = u0km

k2 +m2(101)

5 6 TERRAIN-GENERATED GRAVITY WAVES

g .E

1-

0 1000 2000 3000 Downwind distance (m)

4000

F I G U R E 3 . 8 St reaml ine d i sp l acemen t s over a surface co r ruga t ion wi th H = 50 m and w a v e l e n g t h )~s = 2000 m. N = 0 .023 s - 1 and u 0 = 4 m s - 1 .

occur when u0 is large, or N is small, or when Zs is small. If u0 is too large, then the frequency of the forced vertical oscillations of the air parcels as they pass over the surface corrugation will be greater than the resonant frequency of the atmosphere, N. As we have seen in Chapter 2, when a stably stratified flow is forced to oscillate at a frequency greater than its natural frequency, only evanescent waves are produced.

3.2.1 PHASE SPEED AND GROUP VELOCITY OVER A SURFACE CORRUGATION

We have seen that the physics of the problem has fixed the directions of the wave vectors so that k < 0 and m < 0. Using (3.1), we can write (3.6) as

d2~o rk2N 2 ] Y~-+I ~2 _~2 ~,=0.

For constant N and u0, the dispersion relation is

k N = 4-(k 2 -.t_ m2)1/2"

(3.36)

(3.37)

U N I F O R M F L O W OVER A S U R F A C E C O R R U G A T I O N 5 7

g ¢- .03

- r

800 -

600'

400

200. S

0

400 800 1200 1600 2000 Downwind distance (m)

FIG U R E 3 . 9 Evanescent mountain waves over a surface corrugation. The values are the same as in Fig. 3.8, but now ,ks = 1000 m. Note that now the wave fronts are vertical.

To de te rmine the proper branch for f2, we calculate the hor izontal phase speed in the terrain-at tached reference frame. Using (3.1) and (3.37), we get

o9 N c = - - = u0 4- -- u0 -4- u0. (3.38) k (k 2 + m2) 1/2

Because we require c = 0, we must take the negat ive branch in (3.37). The vert ical phase speed is then

o9 k N Cz - - m - - UO--m (k 2 + m2)1/2 - - 0 , (3.39)

and we see that in the reference f rame attached to the mountain , the w a v e fronts appear stationary. However , re la t ive to the flow the phase speeds are c = - u 0 and Cz = - u o k / m , i .e . , the w a v e fronts appear to be m o v i n g downward and upstream, as shown in Fig. 3.5.

Abbildung 1: Berguberstromung fur propagierenden vs. evaneszenten Fall. Links: PropagierenderFall mit den Parametern N = 0.023 s−1, H = 50m, λs = 2000m, u0 = 4m s−1. Man beachte, dassdie Oberflachenwelle bei Hohe der vertikalen Wellenlange (d.h. z = λz ≈ 1304m) reproduziert wird.Rechts: Evaneszenter Fall mit Parametern N = 0.023 s−1, H = 50m, λs = 1000m, u0 = 4m s−1.

13

3 Virtuelles Labor

Fur die Darstellung von orographischen Wellen soll ein Stromungsmodell benutzt werden. Dieses isteine vereinfachte Version des Forschungsmodells EULAG, das am National Center for AtmosphericResearch (NCAR) in Boulder, USA, entwickeltwurde und in der Arbeitsgruppe fur eine Vielzahlvon Untersuchungen benutzt wird. Es steht eine Single-Prozessor-Version zur Verfugung, mit dereinfache Probleme schnell berechnet werden konnen.

Das Modell ist schon fur orographische Wellen vorbereitet, es mussen fur die Durchfuhrung nochdie Verzweichnisstrukturen sowie einige Einstellungen gewahlt werden. Danach kann das Modellnach dem vorgegebenen Muster ausgefuhrt werden.

Zur Auswertung des Modells liegen Programme unter Matlab vor, die ebenfalls in Verzeichnisstruk-tur und Einstellungen bearbeitet werden mussen. Danach lassen sich die erzeugten Daten graphischdarstellen. Zur quantitativen Auswertung konnen diese Einlese- und Verarbeitungsprogramme be-nutzt werden.

4 Praktikumsversuch

4.1 Voruberlegungen und Aufgaben (Vortestat)

Man uberlege sich anhand des Skripts Antworten zu den folgenden Themengebieten:

1. Wie kann man den Auftrieb eines Luftpaktes beschreiben, welche Prinzipien gehen dort einund welche Naherungen werden benotigt? Wie kann man die Stabilitat noch ausdrucken?Was ist qualitativ notig, damit uberhaupt Wellen entstehen konnen?

2. Welche Naherungen gehen bei der Herleitung der Boussinesq-Gleichungen ein? Welche Nahe-rungen kennen Sie noch zur Elimination der Schallwellen? Welche Annahmen werden dortgetroffen und welche Unterschiede bestehen dabei zur Boussinesq-Naherung?

3. Leiten Sie explizit die Taylor-Goldstein-Gleichung (62) aus den Gleichungen der linearenTheorie her.

4. Man gebe explizit die Losung des horizontalen Windes u1 aus der Losung von w1 fur denSpezialfall 1 (kein Hintergrundwind u0 = 0) an.

5. Man berechne explizit die Wellenzahlen und Wellenlangen, sowie die Losungsfunktionenw1, u1, p1, θ1 (in physikalischer Form) fur die in der Abbildung gezeigten Falle.

4.2 Installation des Modells

Zur Installation des Modells muss das File in das Praktikumsdirectory kopiert werden, danachmussen die Verzeichnisse erstellt und angepasst werden. Ausserdem muss das Skript an die Maschineangepasst werden, damit das Modell laufen kann.

14

Beispiel:

• Rechnername: cloud

• Hauptverzeichnis: praktikum

• Ausgabeverzeichnis: output

Damit muss man in das Programm einsetzen:

if ( $mach == cloud ) thensetenv OUTPUTDIR ~/praktikum/output/setenv DIR ~/praktikum/output/$JOBNAMEendif

Des weiteren muss man fur jeden Lauf des Modells den jobname andern. Die einzigen zu anderndenParameter sind Horizontalwind u00, Stabilitat st und kwert, diese mussen im Code eingestelltwerden. Dazu suche man nach den Wortern einstellung-wind-stab und einstellung-kwert.

4.3 Installation der Auswertesoftware

Die Matlab-Programme mussen ebenfalls bei den Pfaden angepasst werden. Nach dem obigenMuster ware die Anpassung wie folgt:

% Pfad des eulag-outputspfad=’~/praktikum/output/’;% Pfad des Matlab-outputspfad2=’~/praktikum/output/’;

4.4 Simulationsszenarien

Ziel des Praktikums ist die Darstellung von propagierenden und evaneszenten topographie-induzierten Wellen in Abhangigkeit der eingehenden Parameter Stabilitat, horizontaler Wind undWellenzahl der Oberflache. Dabei kann man die folgenden Werte einstellen:

• u00 in m s−1

• Stabilitat in der folgenden Form st = N2

g , d.h. fur eine konstante Brunt-Vaisala-Frequenzvon N = 0.01 s−1 muss man festlegen st = 1.02 · 10−5 m−1 mit g = 9.81 m s−2

• kwert fur die Anzahl der Wellen pro Gebiet. Das in x-Richtung periodische Gebiet hat eineLange L, die Anzahl der Wellen im Gesamtgebiet ist dabei kwert/2, damit kann man dieWellenlange setzen als λs = L

kwert/2 .

15

• amp = Amplitude der Welle in m.

Je nach Wahl der Parameter kann man propagierende oder evaneszente Wellen bekommen (oderauch ein Verhalten ausserhalb der Gultigkeit des linearen Modells).

Man versuche nun, verschiendene Serien von Simulationen herzustellen, bei denen jeweils nur einParameter variiert wird und die anderen festgehalten werden. Es soll ein Ubergang in den Regimen(von propagierenden zu evaneszenten Wellen oder umgekehrt) beobachtet werden.

Eine mogliche Vorgehensweise ist in der Liste praktikum scenarien dokumentiert, man muss abernicht unbedingt diese Vorgehensweise wahlen.

Des weiteren soll versucht werden, ein Regime zu erreichen, in dem die lineare Theorie nicht mehrstimmt, bzw. in dem sich die Modellsimulationen aufgrund vollstandig enthaltener nichtlinearerEffekte deutlich von der linearen Theorie abhebt.

Die anderen Parameter (d.h. Auflosung des Modells, Zeitschritt etc.) sollte nicht verandert werden.

4.5 Auswertung der Simulationen

Man erstelle zu jeder Serie von Simulationen (d.h. mit Variation eines Parameters und Festhaltenaller anderen) eine Dokumentation, d.h. man beschreibe qualitativ und quantitativ das Verhal-ten der Simulationen. Dabei ist vor allem ein Vergleich der Kenngrossen (Wellenzahlen und Wel-lenlangen) mit der linearen Theorie wichtig. Die vertikalen Wellenlangen konnen z.B. uber die inMatlab eingebaute FFT-Routine erstellt werden (siehe auch plot-Skript) oder aber auch anhandder Vertikalwind-Minima/Maxima abgelesen werden.

Die Struktur des Berichtes sollte im wesentlichen folgendermassen aussehen:

1. Einleitung/Motivation

2. Kurzer Abriss der wesentlichen Theorie

3. Beschreibung des Setups

4. Beschreibung und Diskussion der Ergebnisse auch im Vergleich mit der linearen Theorie

5. Zusammenfassung und Schluss

16

Anhang A

Verfugbare Programme:

• eulag serial dur.txt: Hauptprogramm, muss mit csh eulag serial dur.txt in der con-sole abgeschickt werden, dann fuhrt es selbststandig eine Kompilation durch und berechnetdas vorgegebene Szenarium. Der output wird in die Files vom Typ *.da geschrieben, diesewerden dann von den matlab Skripten eingelesen.

• Matlab-Programme:

1. read single da.m: Liest die files ein und fuhrt auch das Plotprogramm aus.

2. plot single.m: Plotprogramm

3. dainput3D.m: Wird zum Einlesen der files vom Typ *.da benotigt.

4. sdf.m: Wird zur Darstellung der Plots benotigt.

Weiter verfugbar: Szenarienliste praktikum scenarien.ods bzw. praktikum scenarien.xls alsMuster zur Durchfuhrung des Versuchs.

Auf dem Verzeichnis:http://www.staff.uni-mainz.de/spichtin/praktikum/liegt dieses Skript sowie ein zip-Ordner mit den beschriebenen Programmen bereit.

Literatur

Durran, D.R., 1990: Mountain Waves and Downslope Winds. In Atmospheric Processes over Com-plex Terrain. Meteorological Monographs, Vol 23, No. 45, American Meteorological Society.

Nappo, C., 2011: An introduction to atmospheric gravity waves. Acad. Press, XIX, 276 S.

17