Vorlesungsskript Mathematik 2

7/25/2019 Vorlesungsskript Mathematik 2

1/132

Mathematikfur

IngenieureTeil II

von

Werner HaumannKurt JetterKarl-Heinz Mohn

Bernd Stockenberg

Duisburg 2012


2/132

ii


3/132

Inhaltsverzeichnis

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

15 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen .............................. 1917 Lineare Abbildungen und Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4018 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren Veranderlichen ......5219 Die Taylor-Formel mit Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6720 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7921 Integrale mit Parametern und Integraleuber Normalbereiche . . . . . . . . . . 9322 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9923 Zufallszahlen, Verteilungen und Dichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11124 Wichtige Verteilungen und Grenzwertsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

iii


4/132

Literatur

Arenset al.: MathematikSpektrum Akademischer Verlag, 1. Auflage (2008).

Brauch/Dreyer/Haacke: Mathematik fur Ingenieure

Teubner, 10. Auflage (2003).

Burg/Haf/Wille: Hohere Mathematik fur IngenieureTeubner, Band I, 5. Auflage (2001) und Band II, 4. Auflage (2002).

Dallmann: Einfuhrung in die hohere MathematikVieweg, Band 1, 3. Auflage (1991) und Band 2, 2. Auflage (1991).

Duma: Kompaktkurs Mathematik fur Ingenieure und NaturwissenschaftlerSpringer Verlag, 1. Auflage (2002).

Hoffmann/Marx/Vogt: Mathematik fur Ingenieure 1

Pearson Studium, 1. Auflage (2005).Papula: Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler, Klausur undUbungsaufgabenVieweg, 1. Auflage (2004).

Papula: Mathematik fur Ingenieure und NaturwissenschaftlerViewegs Fachbucher der Technik, Band I, II, 10. Auflage (2001), Band III, 4.Auflage (2001)

Papula: Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler - Anwendungs-beispiele

Viewegs Fachbucher der Technik, 5. Auflage (2004).

Formelsammlungen

Papula: Mathematische FormelsammlungViewegs Fachbucher der Technik

Bronstein: Taschenbuch der MathematikVerlag Harri Deutsch

Bartsch: Taschenbuch mathematischer FormelnFachbuchverlag Leipzig-Koln

Netz: Formeln der MathematikHanser Verlag

Stocker: Taschenbuch mathematischer FormelnVerlag Harri Deutsch

iv


5/132

15 Vektorrechnung

Bei der Behandlung von Funktionen mit mehreren Veranderlichen (vgl. 18) tritt an dieStelle einer einzigen Variablenxim Falle von zwei Veranderlichen ein Paar (x, y) reelleroder komplexer Zahlen oder allgemein ein sog. n-Tupel (x1, x2, . . . , xn) von Zahlen.Die Menge aller dieser n-Tupel bezeichnen wir mit Kn (K = R oder K = C). In derMenge Kn werden wir Rechenoperationen behandeln, die der Vektorrechnung zugrundeliegen. Von besonderem Interesse sind dabei der zweidimensionale (n = 2) und derdreidimensionale Fall (n= 3).

15.1. n-dimensionaler Raum Kn

(i) Unter dem n-dimensionalen Raum Kn verstehen wir die Menge

Kn :=

{x

|x= (x1, x2, . . . , xn) mit xk

K

}.

Die Elemente x Kn heien n-dimensionale Vektoren, die Zahlen xk dieKomponentenoderKoordinaten von x.

(ii) Zwei Vektorenx = (x1, x2, . . . , xn) und y = (y1, y2, . . . , yn) heien genau danngleich, wenn gilt:

xk =yk fur k= 1, 2, . . . , n .

(iii) Die Summe zweier Vektoren x = (x1, x2, . . . , xn) und y = (y1, y2, . . . , yn) wirddefiniert durch

x + y:= (x1+ y1, x2+ y2, . . . , xn+ yn).

(iv) Fur K, x= (x1, x2, . . . , xn) Kn heit

x:= (x1, x2, . . . , xn)

das fache vonx (skalares Vielfaches).

15.2. Beispiele

(a) n= 1 : R1 = R = reelle Zahlengerade.

(b) n = 2 : Der R2 besteht aus allen Paaren (x1, x2) mit x1, x2 R, also allenPunkten der reellen Zahlenebene. Die Vektoren des R2 konnen durch Pfeile dar-gestellt werden. Vektoren, deren Ausgangspunkt im Nullpunkt (0, 0) liegt, heienOrtsvektoren:

1


6/132

EinOrtsvektorim R2:

R

x= (x1, x2)

x2

Rx1

Die Summe zweier Vektoren erhalt man durch Aneinandersetzen:

R

x

x + y

R

y

In der Physik tritt die Addition von Vektoren u.a. bei der Behandlung desKrafteparallelogramms auf.

2


7/132

Skalares Vielfaches:

R

x

mit = 2.5

x

R

(c) n= 3: Der Raum R3 besteht aus allen Vektorenx= (x1, x2, x3) mitxk R. Erstellt den dreidimensionalen Raum dar. Die Vektoren konnen wieder durch Pfeiledargestellt werden, und der Addition entspricht wieder das Aneinandersetzen,der Skalarmultiplikation das Verlangern (oder Verkurzen bzw. Umkehren) vonVektoren.

R

x + yy

R

x

R

3


8/132

15.3. Rechenregeln fur VektorenEs seienx, y, z Kn und, K gegeben. Dann gelten die folgenden Rechenregeln:

(i) (x + y) + z= x + (y+ z) (Assoziativgesetz).

(ii) Zu beliebigena,b Kn gibt es genau ein x Kn mita + x= b.(iii) Fur allex, y Kn giltx + y= y+ x(Kommutativgesetz).(iv) (+ )x= x + x.

(v) (x + y) =x + y.

(vi) ()x= (x).

(vii) 1x= xfur 1 K.

15.4. Bemerkungen

(i) Die Losung vona + x= abezeichnet man als Nullvektor0 = (0, 0, . . . , 0).

(ii) Die Losung von a+ x = 0 ist x =a = (a1, a2, . . . , an),und heit dasNegative vona.

15.5. VektorraumbegriffEine nichtleere MengeVvon Elementen (die dann Vektoren heien) heit reeller bzw.komplexerVektorraum, wenn fur je zwei Elementex, y Vdie Summex+ydefiniertist und wieder in V liegt, und zu jedem K undxV das skalare Vielfache xdefiniert und ausVist, und die Gesetze 15.3.(i) bis (vii) gelten.

Ist K = R, so spricht man von einem reellen Vektorraum. Ist K = C, so spricht manvon einem komplexen Vektorraum.

Bemerkung: Vektorraume konnen auch unter Benutzung von beliebigen Korpern (vgl.Teil I, Bemerkung 1 auf S. 14) statt K definiert werden.

15.6. Beispiele

(a) Sei Vdie Menge aller auf dem Intervall [0, 1] stetigen reellwertigen Funktionen,also

V ={

f|

f : [0, 1]

R stetig}

.

Definiert man furf, g V, Rdie Summe f+ g und das skalare Vielfache fdurch

(f+ g)(x) =f(x) + g(x),

(f)(x) = f(x),so bildet Vmit diesen Operationen einen reellen Vektorraum.

4


9/132

(b) Die Menge aller Polynome vom Grad nbildet ebenfalls einen Vektorraum.(c) Die Menge der Polynome vom exakten Grad n bildet dagegen keinen Vektor-

raum, denn wahlt man z.B.

Pn(x) =anxn + an1x

n1 + . . . + a0

undQn(x) = anxn + bn1xn1 + . . . + b0,

so ist der Grad von Pn+ Qn echt kleiner als n.

(d) Ebenso ist die Menge aller stetigen Funktionen f auf [0, 1] mit f(0) = 1 keinVektorraum. (Warum?)

Wir kehren nun wieder zum Vektorraum Rn zuruck und erlautern, was man unter freienVektoren versteht.

15.7. Freie VektorenJedem geordneten Paar (P1, P2) von Punkten des R

n wird ein Vektor

P1P2zugeordnet,

der P1 in P2 uberfuhrt, und man definiert z =

P1P2=

OP2

OP1, wobei

OP2 undOP1 Ortsvektoren sind (d.h. mit Ausgangspunkt0 Rn). Der Vektor zheit freierVektor.

P1

z=

P1P2

P2

0

Wir werden in Zukunft nicht zwischen Ortsvektoren und freien Vektoren unterschei-

den, denn jeder freie Vektor lasst sich durch Parallelverschiebung in einen Ortsvektoruberfuhren und umgekehrt.

5


10/132

Beispiel im R2:

R

P1

z

P2

R

z

z=

OP2

OP1= (3, 1) (1, 2) = (2, 1) =z.

15.8. Skalarprodukt im Kn

(i) Sindx, yKn, so heit die Zahl

x y=n

k=1

xkyk K

das Skalarprodukt (oderinneres Produkt) vonx undy. Im Fall K= R giltspeziell

x y=n

k=1

xkyk R .

(ii) Es giltx x 0 fur allex Kn sowie x x= 0 genau dann, wenn x= 0 ist.(iii) Unter demBetrag(oder der Lange) eines Vektorsx

Kn versteht man

|x| =

x x= n

k=1

|xk|2.

6


11/132

15.9. Beispiele

(a) x= (4, 3, 2) R3, y= (1, 2, 3) R3,dann giltx y= 4 + 6 + 6 = 8.

(b) Seix= (2, 3)

R2, dann erhalt man fur die Lange vonx

|x| = x x= 22 + 32 = 13.

(c) Vektorenz Kn mit|z| = 1 heien Einheitsvektoren.(d) Der Kn, versehen mit dem Skalarprodukt 15.8.(i), heit euklidischer Vektor-

raum (K = R) bzw.unitarer Vektorraum (K = C).

15.10. Eigenschaften des Skalarproduktes

(i) Ist der Winkel zwischen x, y Rn, so gilt x y= |x| |y| cos .(ii) Cauchy - Schwarzsche Ungleichung fur Vektoren

Fur je zwei Vektorenx, y Kn gilt:

|x y| |x| |y|.

Hierbei steht das Gleichheitszeichen genau dann, wenn fur geeignete , Kmit

||

+||

>0 gilt:x+ y= 0.

(Die Vektorenx, y heien dann linear abhangig, siehe 15.14.)

Die folgenden Gleichungen gelten fur allex, y, z Kn, K:(iii) x y= y x,(iv) (x y) = (x) y= x ( y),(v) x (y+ z) =x y+ x z(Distributivgesetz).

(vi) Dreiecksungleichung:Fur allex, y Kn

gilt|x + y| |x| + |y|.

7


12/132

Bemerkung

Nach 15.10.(i) lasst sich mit Hilfe des Skalarprodukts der Winkel zwischen zwei Vek-torenx, y Rn berechnen, namlich aus

cos = x y

|x| |y| fur

|x

| |y

| = 0.

15.11. Orthogonalitat von VektorenZwei Vektoren x, y Kn heien orthogonal (oder senkrecht), Zeichen dafur ist,falls

x y= 0.

Beispiel:Furx= (2, 3) R2, y= (3, 2) R2 gilt

x y= 2 3 + 3 (2) = 0.R

x

/2R

y

15.12. Beispiel

Auch in dem in Beispiel 15.6. (a) eingefuhrten VektorraumV lasst sich ein Skalarpro-dukt erklaren. Es seienV = {f| f : [0, 1] R stetig}undf , g V; dann heit

f, g = 10

f(x) g(x) dx

das Skalarprodukt vonf und g .

8


13/132

Das so eingefuhrte Skalarprodukt hat ebenfalls die Eigenschaften 15.10.(ii) - (vi). Zweistetige Funktionenf , g: [0, 1] R heienorthogonal, falls gilt:

f, g = 10

f(x) g(x) dx= 0.

15.13. Geometrische Anwendungen der Vektorrech-nung

(i) Parameterdarstellung einer Geraden im Rn

Es seia=0 ein Vektor in Richtung der Geraden g und x0 der Ortsvektor einesfesten Punktes auf dieser Geraden. Dann wird jeder PunktPder Geradeng mitdem Ortsvektorxgegeben duch

x= x0+ a mit R,und die Punkte einer festen Strecke auf der Geraden durch

x= x0+ a fur a b.

ng g

P Pa

P0 P0

x x

x0 x0

0 0

(ii) Hessesche Normalform der Geradengleichung im R2

Gegeben sei ein Vektor n= 0 senkrecht auf der Geraden g (n heit dann einNormalenvektor der Geraden).P0sei ein fester Punkt aufgmit dem Ortsvektorx0 undPein beliebiger Punkt aufg mit Ortsvektor x. Dann gilt:

P0P=x x0 und (x x0) n ,

d.h.(x x0) n= 0.

9


14/132

Umgekehrt gilt: Jeder Vektorx, der dieser Gleichung genugt, ist Ortsvektor einesPunktes auf der Geraden. Mitnist auchnNormalenvektor der Geraden, somitlasst sich durch geeignete Wahl des Vorzeichens erreichen, dass gilt

p= x0 n 0.

Durch Normierung kann man noch erreichen, dass|n| = 1 ist. Die HessescheNormalform der Geraden im R2 lautet dann

x n p= 0 mit p 0 und |n| = 1.

In Koordinatenschreibweise erhalt man ausx= (x1, x2), n= (a, b) mita2+b2 = 1

die Gleichungax1+ bx2 p= 0.

Die Groe p hat ebenfalls eine geometrische Bedeutung. Geht die Gerade durchden Nullpunkt, so istp = 0. Im Falle p = 0 fallt man das Lot vom Nullpunkt aufdie Geradeg. IstQ der Lotfupunkt undxder Ortsvektor vonQ, so ist mit demWinkel zwischenxundn

p= x n= |x| |n| cos .

Da aber|n| = 1 und = 0 oder = ist, folgt wegen der Wahl des Vorzeichensvonn

p= |x|.Also istp der Abstand der Geraden g vom Nullpunkt.

Allgemeiner erhalt man:

Sei R ein beliebiger Punkt im R2 mit Ortsvektorx, R0 (mit Ortsvektor x0) derFupunkt des Lotes von R auf die Gerade durch0 undQ:

.

.

.

.

R0

g

Q

R

0

10


15/132

Dann giltx n = |x| |n| cos

= |x0|.d.h.: Der Abstand des Punktes R von der Geraden g ist|d(R)|, wobei

d(R) =x n p.d(R) ist positiv, wenn g zwischenRund Nullpunkt liegt, sonst negativ.

Beispiel:Gegeben sei die Geradengleichung

y=4

3x + 2

oderaquivalent4x + 3y 6 = 0.

Durch Normierung erhalt man die Hessesche Normalform

45

x +3

5y 6

5= 0.

Somit ist der Abstand des Nullpunktes von g gerade p= 6/5, und der Abstanddes Punktes R = (2, 1) vong ist 11/5, denn

d(R) = 45 2 +3

5 1 6

5= 11

5.

R liegt auf derselben Seite von g wie0.

15.14. Lineare Abhangigkeit von Vektoren

(i) Gegeben seien m Vektorenak Kn furk = 1, 2, . . . , m. Dann heitmk=1

kak mit

k KeineLinearkombinationder Vektorenak. Die Linearkombination heitnicht trivial, wenn gilt

mk=1

|k| >0 .

(ii) Die Vektoren ak, k= 1, . . . , m, heienlinear abhangig, falls der Nullvektor einenichttriviale Linearkombination der Vektoren a1, . . . ,am ist, d.h. falls es Zahlen1, . . . , m K gibt mit den Eigenschaften

(a)mk=1

kak = 0 und (b)mk=1

|k| >0 .

11


16/132

(iii) Folgt umgekehrt aus der Beziehungmk=1

kak = 0 stetsmk=1

|k| = 0, d.h. 1 =2= . . .= m = 0, so heien die Vektorena1, . . . ,am linear unabhangig.

15.15. Beispiele

(a) Gegeben seien a1 = (4, 2) R2 unda2 = (6, 3) R2. Dann ist 3a1 2a2 =0,und somit sinda1 unda2 linear abhangig.

(b) Betrachtea1 = (4, 1)R2,a2 = (1, 1)R2 und bestimme0 als Linearkombi-nation vona1 unda2, d.h.

0 =a1+ a2= (4+ , ).Also muss gelten

0 = 4+ ,

0 = ,und hieraus folgt = = 0. Also sind die Vektoren a1und a2linear unabhangig.Man sagt: Die beiden Vektoren spannen die ganze Ebene R2 auf.

(c) m (m 2) Vektoren sind genau dann linear abhangig, wenn mindestens einervon ihnen als Linearkombination derubrigen darstellbar ist.

Sei etwaa1=mk=2

kak; dann ist0 =mk=1

kak mit1= 1.

Sind umgekehrt dieak linear abhangig, also

0 =mk=1

kak undmk=1

|k| >0,

dann ist mindestens ein k= 0 und es gilt:

ak =mj=1

j=k

jaj mit j = jk

.

Spezialfall:ImKn

sindzweiVektoren genau dann linear abhangig, wenn einerein Vielfaches des anderen ist.

Bezeichnung: Zwei linear abhangige Vektoren heien kollinear, drei linearabhangige Vektorenkomplanar(sie liegen dann in einer Ebene).

(d) Der Nullvektor0 ist stets linear abhangig.

12


17/132

(e) Parallele und windschiefe Geraden im R3

Gegeben seien zwei Geraden g1 und g2 durch ihre Parameterdarstellungen

g1 : x= x0+ a ( R, x0,a R3), a = 0,

g2 : y= x1+

b ( R

, x1,

b R3

),

b =0.

g1 und g2 heien parallel, fallsa undb linear abhangig sind. Sie heien wind-schief, fallsaund blinear unabhangig sind undg1 undg2 keinen Punkt gemein-sam haben.

15.16. Dimension eines Vektorraums

(i) Gegeben sei ein VektorraumV uber K (z.B. Kn). Eine Menge M={x1, x2, . . .}von Vektoren spannt V auf, falls gilt:

Jeder Vektorx V lasst sich als Linearkombination von Vektoren aus M schrei-ben, d.h. mit passendem r N gilt

x=r

k=1

kxk (k K).

Man sagt auch: Die Vektoren{x1, x2, . . .} erzeugen V.(ii) Eine Menge{x1, x2, . . .}linear unabhangiger Vektoren inV, die den Vektorraum

Verzeugen, heit eineBasisdes Vektorraums. DieDimensiondes VektorraumsV ist gleich der Anzahl der linear unabhangigen Vektoren{x1, x2, . . .}, die Verzeugen.

Beispiele:

(a) Eine Gerade g durch den Nullpunkt wird durch einen einzigen linear unabhangi-gen Vektor aufgespannt. Daher hat sie die Dimension 1.

(b) Eine EbeneEdurch den Nullpunkt wird durch zwei linear unabhangige Vektorenaufgespannt, sie hat also die Dimension 2.

(c) Der Raum Kn wird durchn linear unabhangige Vektoren, etwa durch die kano-nischen Einheitsvektorenaufgespannt:

e1 = (1, 0, 0, . . . . . . , 0),

e2 = (0, 1, 0, . . . . . . , 0),

... ...

en = (0, . . . . . . , 0, 0, 1).

13


18/132

Jeder Vektorx Kn lasst sich als Linearkombination derek darstellen:

x= (x1, . . . , xn) =n

k=1

xkek.

15.17. Darstellungen einer Ebene im R3

(i) Parameterdarstellung

Seien a,b, x0 R3 und a,blinear unabhangig. Dann erhalt man alle Punkte einerEbeneEdurch

x= x0+ a + b mit , R.

Ea

a + b

b

x0 x=x0+ a + b

0

(ii) Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

Eine EbeneEwird durch einen Normalenvektor nund einen festen PunktP0 inder Ebene festgelegt. Fur einen beliebigen PunktP Eist (x x0)n,also

(x x0) n= 0

oderaquivalent x n p= 0,wobei durch geeignete Wahl des Vorzeichens von n stets p = x0 n0 erreichtwerden kann. Normiert man auf|n| = 1, ist p der Abstand der Ebene vomNullpunkt.

14


19/132

.

n

E

P

P0 x x0

x0 x

0

Ahnlich wie bei der Geraden im R2 berechnet man den Abstand eines beliebigenPunktesR (mit Ortsvektorx)von der Ebene mittels d(R) =x n p.

Beispiel:Gegeben sei die Ebenengleichung

2x + y+ 2z 4 = 0.Ein Vektor senkrecht zur Ebene ist n0= (2, 1, 2). Einen Normalen-Einheitsvektor erhalt

man durch Normierung vonn0 zun=1

3n0, denn|n0| =

4 + 1 + 4 = 3.

Die Hessesche Normalform lautet somit2

3x +

1

3y+

2

3z4

3= 0,

und der Abstand der Ebene vom Nullpunkt ist 4/3.

Der Abstand des Punktes R = (4, 3, 2) von der Ebene ist

d(R) =2

3 4 +1

3 3 +2

3 2 4

3=

11

3.

15.18. Das Vektorprodukt im R3

Furx= (x1, x2, x3), y= (y1, y2, y3) R3 heitx y= (x2y3 x3y2, x3y1 x1y3, x1y2 x2y1)

das Vektorprodukt (oder das Kreuzprodukt) von x und y. Anders als beim Ska-larprodukt ist das Ergebnis wieder ein Vektordes R3.

15


20/132

15.19. Eigenschaften des Vektorprodukts

(i) (x y) x, (x y) y undx, y, x y bilden ein Rechtsdreibein, fallsx y= 0ist.

x y

.

.

y

x(ii) x y= y x.

(iii) x y= 0 genau dann, wenn xundy linear abhangig sind.(iv) (x y) = (x) y= x (y) fur R.(v) x (y+ z) =x y+ x z.

.

h= |y| sin y

x

(vi)|x y| = Flacheninhalt des vonx und y aufgespannten Parallelogramms.

(vii) Speziell gilt fur die Einheitsvektoren e1, e2, e3des R3

in zyklischer Nummerierung:

e1 e2= e3, e2 e3= e1, e3 e1= e2 .

16


21/132

15.20. Normalenvektor einer Ebene als Vektorpro-dukt

Mit Hilfe des Vektorproduktes lasst sich ein Normalenvektor einer durch die linearunabhangigen Vektorenaund baufgespannten Ebene berechnen und damit die Para-meterdarstellung in die Hessesche Normalform uberfuhren. Gegeben sei die Ebene E

durch die Parameterdarstellung

x= x0+ a + b (a,b linear unabhangig).

Dann wird ein Einheits-Normalenvektor gegeben durch

n= a b|a b|

,

und die Hessesche Normalform durch

(x x0) a b|a b| = 0 (sofern x0 (a b) 0 ist).

15.21. Das Spatprodukt und seine geometrische Be-deutung

Gegeben seien drei Vektorena,b,c des R3. Dann heit

S= (a b) c

dasSpatproduktder drei Vektorena,b, c.

Es ist (bis auf das Vorzeichen) gleich dem Rauminhalt des von den Vektoren a,b,caufgespanntenParallelepipeds (Spat):

V = |(a b) c |

c

b

a

17


22/132

S hat folgende Eigenschaften:

(i) S >0, fallsa,b, c ein Rechtssystem (=Rechtsdreibein) bilden.

(ii) S= 0, fallsa,b, c komplanar sind.

(iii) S


23/132

16 Lineare Gleichungssysteme undMatrizen

16.1. Lineares Gleichungssystem

Unter einemlinearen Gleichungssystem mitnUnbekanntenxkund mGleichungenverstehen wir die Gesamtheit der folgenden Gleichungen:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

... ...

... ...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm.

Kurzschreibweise:n

k=1 ajkxk =bj fur 1 j m.Die ajk R (oder C) heien die Koeffizienten des Gleichungssystems, die bj dierechten Seiten. Das System heit homogen, falls alle bj = 0 sind, andernfalls heitesinhomogen.

16.2. BeispieleLineare Gleichungssysteme treten in verschiedenen Zusammenhangen auf, wie wir durcheinige Beispiele erlautern wollen.

(a) Die Untersuchung der linearen Abhangigkeit der drei Vektorena= (1, 0, 2, 3),b= (3, 2, 1, 1),c= (1, 1, 2, 2) des R4 fuhrt auf das homogene lineare Gleichungs-system

x1a + x2b + x3c= 0,

oder ausfuhrlich geschrieben

x1 + 3x2 + x3 = 0

2x2 + x3 = 0

2x1 + x2 + 2x3 = 0

3x1 + x2 + 2x3 = 0 .

(b) Die Bestimmung der Schnittmenge zweier Ebenen im R3, die durcha1 x = p1unda2 x= p2 gegeben sind, fuhrt auf das Gleichungssystem

a11x1 + a12x2 + a13x3 = p1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = p2 .

19


24/132

(c) Drehung eines kartesischen Koordinatensystems imR2:

R

.

Px2

x1

x2

Rx1

Ist der Punkt P durch seine Koordinaten x1, x2 gegeben, so ergeben sich dieKoordinaten im gedrehten System durch

x1 = x1cos + x2sin

x2 = x1sin + x2cos .

Alle Systeme in den angegebenen Beispielen haben nur wenige Gleichungen und Un-bekannte, so dass sie sich auch durch Probieren losen lassen. Ein solches Vorgehen

versagt jedoch bei zunehmender Anzahl von Gleichungen und Unbekannten. Wir wollendaher im Folgenden Kriterien und Verfahren behandeln, die es uns ermoglichen

() zu entscheiden, wann esuberhaupt Losungen gibt,

() zu entscheiden, ob es genau eine Losung gibt, und

() im Falle der Existenz von Losungen diese zu bestimmen.

Bei der Behandlung dieser Fragen spielen Matrizen eine wesentliche Rolle. Wir wer-den daher zunachst definieren, was wir unter einer Matrix verstehen und wie manmit Matrizen rechnet. Dann werden wir Eigenschaften von Matrizen kennen lernen,

die fur die Untersuchung linearer Gleichungssysteme wichtig sind, aber auch in an-deren Zusammenhangen, wie etwa bei der Behandlung von Funktionen mit mehrerenVeranderlichen, angewendet werden.

20


25/132

16.3. (m n)-MatrixEine(mn)-MatrixAist ein System von m nZahlenajk , die in einem rechteckigenSchema vonm Zeilen und n Spalten folgendermaen angeordnet sind:

A:= a11 . . . a1n

... ...am1 . . . amn

, ajk K(= R oder C).Kurzschreibweise:

A:= (ajk) := (ajk)1jm, 1kn.

Die Menge aller (m n)-Matrizen mit Elementen in K bezeichnen wir mit Mm,n(K).Dieajk heienElementeder Matrix,j der Zeilenindexundk derSpaltenindex. Istinsbesondere m = n, so spricht man von einer quadratischen Matrix der Ordnung n.Matrizen, die nur aus einer Zeile bzw. einer Spalte bestehen, nennen wirZeilenvekto-renbzw.Spaltenvektoren. So bilden z.B. die in der j -ten Zeile stehenden Elemente

einer MatrixA Mm,n(K) denj -ten Zeilenvektoraj = (aj1, . . . , ajn).

Die MatrixA, fur die ajk = 0 fur alle j undk gilt, bezeichnen wir als Nullmatrix0.

16.4. Matrix-OperationenAufgrund derm nElemente einer (m n)-MatrixA lasst sich diese auch als Elementdes Kmn auffassen. Man definiert daher Gleichheit, Addition und skalares Vielfachesvon Matrizen wie bei Vektoren:

(i) Zwei Matrizen A, B Mm,n(K) sind genau dann gleich, wenn

ajk =bjk fur 1 j m, 1 k n.

(ii) A + B= (ajk + bjk)1jm,1kn.

(iii) Fur K istA= (ajk)1jm,1kn.

Mit diesen Operationen bilden alle (m n)-Matrizen einen Vektorraum.(iv) Das Produkt zweier MatrizenA Mm,n(K) undB Mn,p(K) wird definiert

durch

A B= (cjk)1jm,1kp mit cjk =n=1

ajbk fur 1 j m, 1 kp.

21


26/132

Es giltA B = C Mm,p(K).

Die Elemente der Produktmatrix sind die Skalarprodukte aus den Zeilenvektorender Matrix A mit den Spaltenvektoren der Matrix B. Es lassen sich daher nurMatrizen miteinander multiplizieren, bei denen die Anzahl der Spalten des ersten

Faktors gleich der Anzahl der Zeilen des zweiten Faktors ist.

16.5. Beispiele(a) 6 2 13 5 2

1 2 0

7 21 5

3 0

= 41 232 19

9 8

.Achtung:Hier ist B Anicht definiert!

(b) Es sei A = 1 10 2 , B= 1 11 0 .Dann istA B=

0 12 0

und

B A=

1 11 1

.

Die Matrixmultiplikation ist also auch in dem Falle, dass beide Produkte definiertsind, i.A.nicht kommutativ.

(c) Jedes lineare Gleichungssystem lasst sich mit dem Matrixprodukt als A x= Bschreiben mit:

A= (ajk)1jm,1kn, x=

x1...xn

, B= b1...

bm

.In diesem Zusammenhang heit A die Koeffizientenmatrixdes linearen Glei-chungssystems.

(d) Sind A, B,CMatrizen, so dass die Produkte A B undA Cdefiniert sind, undgiltA B=A CmitA = 0, so folgt im Allgemeinen nichtB = C. Denn wahlenwir z.B.

A= 0 10 0

, B= 0 01 0

und C= 1 01 0

,dann istB=Cund A = 0, aber

A B =

1 00 0

=A C.

22


27/132

(e) Unter der Voraussetzung, dass die auftretenden Matrixoperationen definiert sind,gilt:

) A (B C) = (A B) C.) A (B+ C) =A B+ A C.

) (A + B) C=A C+ B C.) A 0 = 0 A= 0.

Aus A B = 0 folgt jedoch nicht notwendig A = 0 oder B = 0, wie das folgendeBeispiel zeigt:

1 23 6

4 102 5

=

0 00 0

.

16.6. Rang einer Matrix und Gauscher AlgorithmusJeder Matrix lasst sich eine nicht-negative ganze Zahl zuordnen, die wir als den Rangder Matrixbezeichnen. Diese Zahl steht in engem Zusammenhang mit der Anzahl derLosungen eines linearen Gleichungssystems, das diese Matrix als Koeffizientenmatrixhat, beziehungsweise mit der Losbarkeit des Systemsuberhaupt.

Es sei A Mm,n(K), dann ist der Rang von A (Abkurzung Rang(A)) gleich derMaximalzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren. Man kann zeigen, dassRang(A) auch gleich der Maximalzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren ist. Esgilt offenbar

Rang(A) min(m, n).Der Rang einer Matrix kann nun mit Hilfe sogenannter elementarer Umformungenbestimmt werden. Dies sind:

E1: Das Vertauschen zweier Zeilen,

E2: Das Vertauschen zweier Spalten,

E3: Addition eines Vielfachen einer Zeile (bzw. Spalte) zu einer anderen Zeile (bzw.Spalte),

E4: Multiplikation einer Zeile (bzw. Spalte) mit einem Faktor K, = 0.

23


28/132

Die Anwendung dieser elementaren Umformungenandert den Rang einer Matrix nichtund gestattet es insbesondere, jede (m n)-MatrixAin eine MatrixA der Gestalt

A=

b11 . . . . . . . . . . . . . . . b1n

0 b22 . . . . . . . . . . . . b2n

... . . . ...

... . . .

...... bss . . . bsn

0 . . . . . . . . . 0 . . . 0...

... ...

0 . . . . . . . . . 0 . . . 0

mit bkk= 0 fur k= 1, . . . , s ,

uberzufuhren. Es gilt dann Rang (A) = Rang (A) =s. Dieses Verfahren zur Ermitt-lung des Ranges einer Matrix wird als Gauscher Algorithmus bezeichnet.

16.7. Beispiel

Gegeben sei die Matrix A. Sie wird durch den Gauschen Algorithmus in die MatrixA uberfuhrt:

A=

1 2 41 1 11 2 43 3 9

1 2 40 3 30 0 00 3 3

1 2 40 3 30 0 00 0 0

=A.Also gilt

Rang (A) = Rang (A

) = 2.

16.8. Anwendung auf lineare Gleichungssysteme

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem

Ax= b

mitA Mm,n(K) undB Mm,1(K). Gesucht wird ein x Mn,1(K) mita11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

... ...

... ...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm .

Die Menge der Losungen des linearen Gleichungssystems bleibt unverandert, wenn manfolgende Operationen darauf anwendet:

24


29/132

S1: Vertauschung zweier Gleichungen,

S2: Vertauschung zweier Unbekannten (und entsprechende, von der ursprunglichenReihenfolge der Unbekannten abweichende Benennung der Unbekannten),

S3: Addition des Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung,

S4: Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor K, = 0.Diese Operationen entsprechen den elementaren Umformungen E1 bis E4 bei der umdie rechte Seite B erweiterten Koeffizientenmatrix (oderSystemmatrix)

(A, B) =

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2

... ...

... ...

am1 am2 . . . amn bm

.

Durch Umformungen der Art E1 - E4 bei der erweiterten Matrix (A, B) lasst sich diefolgende Gestalt erreichen:

(A, B)

1 a12 . . . a1r a

1,r+1 . . . a

1n b

1

0 1 . . . a2r a2,r+1 . . . a

2n b

2

. . . ...

...

1 ar,r+1 . . . arn b

r

... 0 . . . 0 br+1. . . ...

0 bm1

0 . . . 0 bm

.

Hieraus lasst sich sofort ablesen:

(i) Das Gleichungssystem ist genau dann losbar, wenn br+1 = br+2 = . . . = b

m = 0

gilt, und in diesem Fall erhalt man eine Losung, indem manxr+1, . . . , xn beliebigwahlt undxr, xr1, . . . , x1sukzessiv aus den verbliebenen Gleichungen berechnet:

xr = br ar,r+1xr+1 . . . arnxn...

... ...

...

x1 = b1 a12x2 a13x3 . . . a1nxn.

Es gilt das folgende allgemeine Losbarkeitskriterium:

25


30/132

(ii) Das lineare Gleichungssystem Ax = B mit AMm,n(K) und B Mm,1(K) istgenau dann losbar durch mindestens ein x Mn,1(K), falls

Rang (A) = Rang (A, B)

gilt. Es besitzt genau eine Losungx Mn,1(K), fallsRang (A) = Rang (A, B) =n.

16.9. Losungsstruktur linearer Gleichungssysteme

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = B mit AMm,n(K), B Mm,1(K);gesucht seien Losungenx Mn,1(K).

(i) Man erhalt alle Losungen des inhomogenen Gleichungssystems aus einer speziel-len Losungx0 des inhomogenen Systems, indem man zu dieser alle Losungenxh

des zugehorigen homogenen Systems addiert:

x= x0+ xh.

(ii) Die Losungen des homogenen linearen Gleichungssystems bilden einen Vektor-raum der Dimension nRang(A).

(iii) Das homogene lineare Gleichungssystem hat genau dann nur die triviale Losungx= 0, wenn Rang (A) =n ist.

(iv) Ein lineares Gleichungssystem mit A Mn,n(K) ist genau dann fur jede rechteSeite eindeutig losbar, wenn das homogene System nur die triviale Losung besitzt.

16.10. Beispiele

(a) Gegeben seien die reellen Matrizen

A=

1 0 22 1 5

, B =

1/2

8

.

Dann ist Rang (A) = Rang (A, B) = 2, denn der Gau-Algorithmus fuhrt Auber in A:

A= 1 0 22 1 5 1 0 20 1 9 =A.

Wir losen zunachst das homogene System

x1 + 2x3 = 02x1 x2 + 5x3 = 0 .

26


31/132

Da die Variable x3 frei wahlbar ist, setzen wir x3 = R und erhalten damitx1 = 2, x2 = 9, also mit R

xh=

291

.

Beim inhomogenen System

x1 + 2x3 = 12

2x1 x2 + 5x3 = 8

ist ebenfalls x3 frei wahlbar. Mit x3 = R folgt dann x1 =1/2 + 2 undx2 =9 + 9. Die allgemeine Losung des inhomogenen Systems hat also dieGestalt

x=

12+ 29 + 9

=

1290

+

2

9

1

=x0+ xh (mit R).Geometrisch werden durch die beiden Gleichungen des inhomogenen Systemszwei Ebenen im R3 beschrieben. Die Losungsmenge ist die Schnittgerade dieserbeiden Ebenen.

E1

g

E2

27


32/132

(b) Wir betrachten nun die Matrizen

A=

1 2 1 02 0 1 11 2 2 1

, B = 12

3

.Zunachst bestimmen wir Rang (A) und Rang (A, B): 1 2 1 0 12 0 1 1 2

1 2 2 1 3

1 2 1 0 10 4 1 1 0

0 4 1 1 4

1 2 1 0 10 1 1/4 1/4 0

0 0 2 2 4

1 2 1 0 10 1 1/4 1/4 0

0 0 1 1 2

.Da Rang (A) = Rang (A, B) = 3 ist, ist das Gleichungssystem Ax= B losbar,

aber nicht eindeutig, da Rang (A)< nist. WeilnRang (A) = 1 ist, konnen wireine Variable frei wahlen, namlich x4. Dann erhalt man

x3 = 2 x4,x2 =

1

2,

x1 = 2 x4,also

x= 2 x4

1/2

2 x4x4

= 2

1/2

2

0

+ x4 10

11

mit beliebigemx4 R. Man beachte, dass x2 nichtfrei wahlbar ist!

(c) Schnitt zweier Geraden im R3

Zwei Geraden im R3 seien durch ihre Parameterdarstellungen gegeben:

x = x0+ ta

y = y0+ ub

mit t, u

R, a

= 0

= b .

Fur einen eventuellen Schnittpunkt muss gelten:

x0+ ta= y0+ ub.

28


33/132

Hieraus erhalt man durch Komponentenvergleich das Gleichungssystem:

a1t b1u = y01 x01 =: c1a2t b2u = y02 x02 =: c2a3t

b3u = y03

x03 =: c3 .

Die zugehorige erweiterte Koeffizientenmatrix lautet somit: a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

= (A, C).Da A M3,2(R) ist, haben wir Rang (A) =r 2.Es konnen nun die folgenden Falle auftreten:

() Rang (A) = 2, Rang (A, C) = 3.

Hier hat das Gleichungssystem nach 16.8.(ii) keine Losung, die Geradenhaben keinen Schnittpunkt, sie sind windschief (vgl. 15.15.(e)).

() Rang (A) = Rang (A, C) = 2.

Dann ist r = n = 2, also hat das Gleichungssystem nach 16.8.(ii) eineeindeutige Losung, d.h. es gibt genau einen Schnittpunkt.

() Rang (A) = 1, Rang (A, C)

2.

Auch hier hat das Gleichungssystem nach 16.8.(ii) keine Losung. Da aber

Rang (A) = 1 ist, sind a und b linear abhangig und somit die Geradenparallel. Die Geraden sind jedoch verschieden.

() Rang (A) = Rang (A, C) = 1.

Auch in diesem Fall sind die Geraden parallel. Das System hat aber Losun-gen (unendlich viele), d.h. die Geraden sind gleich.

Rang (A) = 0 kann nicht vorkommen, daa

= 0 und b

= 0 vorausgesetzt ist.

29


34/132

(d) Schnitt einer Geraden mit einer Ebene im R3

Gegeben seien die Gerade mit der Parameterform

x= x0+ a

mitx0 R3,a = 0 R3 und R, und die Ebene mit der Parameterformy= y0+ b + c

mity0,b, cR3, b, c linear unabhangig und , R. Aus der Schnittbedingungx= y ergibt sich durch Vergleich der Komponenten das Gleichungssystem

a1 b1 c1 = y01 x01 =:d1a2 b2 c2 = y02 x02 =:d2a3 b3 c3 = y03 x03 =:d3 .

Die zugehorige erweiterte Koeffizientenmatrix lautet: a1 b1 c1 d1a2 b2 c2 d2a3 b3 c3 d3

= (A, D).Damit sind die folgenden Falle moglich:

() Rang (A) = Rang (A, D) = 3.

Es existiert genau eine Losung, d.h. Gerade und Ebene haben genau einen

Schnittpunkt.

() Rang (A) = Rang (A, D) = 2.

Rang (A) = 2 bedeutet, dass a,bund clinear abhangig sind, d.h. die Geradeund die Ebene sind parallel. Da aber wegen Rang (A) = Rang (A, D)Losungen existieren, liegt die Gerade in der Ebene.

() Rang (A) = 2, Rang (A, D) = 3.

Hier sind wieder Gerade und Ebene parallel. Da aber keine Losung existiert,

liegt die Gerade nicht in der Ebene.

Rang (A) 1 ist nicht moglich, da bundc linear unabhangig sind.

30


35/132

(e) Schnitt zweier Ebenen im R3

Gegeben seien zwei Ebenen jeweils in der Hesseschen Normalform:

x n1 p1 = 0x

n2

p2 = 0

mit n1, n2 R3 , |n1| = |n2| = 1.

Dies fuhrt zu dem Gleichungssystem

x1n11 + x2n12 + x3n13 = p1

x1n21 + x2n22 + x3n23 = p2

mit der Systemmatrix (N, P) M2,4(R). Wir unterscheiden die folgenden Falle:

() Rang (N) = Rang (N, P) = 2.

Wir konnen eine Variable frei wahlen. Man erhalt also eine Gerade als

Schnittmenge. Ihre Richtung ist senkrecht zun1 und senkrecht zu n2. Also

ys = x0+ a mit a= n1 n2.

() Rang (N) = 1, Rang (N, P) = 2.

Die beiden Ebenen haben keinen Schnittpunkt.

() Rang (N) = Rang (N, P) = 1.

Da Rang (N) = 1 ist, sind n1 und n2 linear abhangig, also parallel. Daauerdem Losungen existieren, mussen die Ebenen gleich sein.

16.11. Die transponierte Matrix

Fur Operationen mit Matrizen, z.B. bei der in 16.4.(iv) erklarten Multiplikation, ist esmanchmal erforderlich, die Rollen der Zeilen und Spalten einer Matrix zu vertauschen.Man spricht dann von der transponierten Matrix. Genauer bedeutet dies: Ist

A= (ak)

Mm,n(K),

so heit

AT = (bk) Mn,m(K) mit bk = ak, 1 k n, 1 m

dietransponierte Matrix.

31


36/132

Beispiel: 1 2 34 5 6

T=

1 42 53 6

.Fur Produkte gilt: (A B)T =BT AT.

16.12. Einheitsmatrix und inverse Matrix

(i) Die quadratische MatrixEn = (ek)1kn,1n aus Mn,n(K) mit der Eigenschaft

ek = k :=

1 fur = k

0 fur =kheitEinheitsmatrix. Es ist also

En= 1 0 . . . 0

0 1 . . . 0... ...

. . . ...

0 0 . . . 1

.Fur alle MatrizenA Mm,n(K) gilt

A En= Em A= A.Eine MatrixDn= (dk)1kn,1n Mn,n(K) mit

dk = 0 fur =kheit Diagonalmatrix.

(ii) Existiert zu einer MatrixA Mn,n(K) eine MatrixB Mn,n(K) mitA B= B A= En,

so heit B inverse Matrix zu A und man schreibt: B = A1. Aber: ImAllgemeinen existiert nicht zu jeder Matrix AMn,n(K) mitA= 0 eine inverseMatrix. Sei etwa A =

1 00 0

= 0. Fur die inverse Matrix B =

a bc d

musste gelten

A B=E2.Nun ist A B = 1 0

0 0 a b

c d = a b

0 0 fur jede Wahl von a, b R

von

1 0

0 1

verschieden, d.h. fur diesesA existiert keine inverse Matrix. Man

nennt MatrizenA Mn,n(K), fur dieA1 existiert,regular oderinvertierbar,andernfallssingular.

32


37/132

16.13. Eigenschaften regularer Matrizen

(i) Eine MatrixA Mn,n(K) ist genau dann regular, wenn Rang (A) =n ist.(ii) Sind A, B Mn,n(K) und A regular, so existieren Matrizen X undY mit

A X=B und Y A= B;es giltX=A1 B undY =B A1.

(iii) Sind A, B Mn,n(K) und A, B beide regular, so ist auch A B regular und esgilt (A B)1 =B1 A1.

16.14. Berechnung der inversen Matrix(Gau-Jordan-Verfahren)

Zur Berechnung der Inversen einer Matrix A Mn,n(K) wendet man auf die Matrix(A, En) Mn,2n(K) die folgenden Operationen, die auch beim Gauschen Algorithmusauftreten, an:

E3: Addition eines Vielfachen einerZeilezu einer anderen Zeile.

E4: Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor K, = 0.Lasst sich (A, En) durch diese Operationen uberfuhren in die Matrix (En, B), so istB= A1.

Erhalt man bei der Durchfuhrung dieses Verfahrens an der Stelle von A nicht die volleEinheitsmatrixEn, so istA nicht invertierbar, und damit singular.

Beispiele:

(a) Es sei

A=

1 2 02 1 31 3 1

.Wir erhalten

(A, E3) =

1 2 0 1 0 02 1 3 0 1 01 3 1 0 0 1

1 2 0 1 0 00 3 3 2 1 00 1 1 1 0 1

33


38/132

1 2 0 1 0 00 1 1 2/3 1/3 00 1 1 1 0 1

1 0 2 1/3 2/3 00 1 1 2/3 1/3 0

0 0 2 5/3 1/3 1

1 0 2 1/3 2/3 00 1 1 2/3 1/3 00 0 1 5/6 1/6 1/2

1 0 0 4/3 1/3 10 1 0 1/6 1/6 1/2

0 0 1 5/6 1/6 1/2

.Damit ist

A1 =1

6

8 2 61 1 3

5 1 3

.

(b) Gegeben sei nun

A=

1 1 22 3 62 1 2

.Dann liefern die Operationen E3 und E4:

(A, E3) =

1 1 2 1 0 02 3 6 0 1 0

2 1 2 0 0 1

1 1 2 1 0 02 3 6 0 1 0

2 1 2 0 0 1

1 1 2 1 0 00 5 10 2 1 00 3 6 2 0 1

1 1 2 1 0 00 1 2 2/5 1/5 0

0 3 6 2 0 1

1 0 0 3/5 1/5 0

0 1 2 2/5 1/5 00 0 0 4/5 3/5 1 .

Bei der Umformung von A tritt eine Zeile mit lauter Nullen auf, damit kann Anicht invertierbar sein.

34


39/132

16.15. Determinanten

In diesem Abschnitt definieren wir fur jede quadratische Matrix A Mn,n(K) die De-terminante von A(Bezeichnung det Aoder|A|). Dabei gilt det A K. Mit Hilfe derDeterminante einer Matrix lassen sich Kriterien fur die Invertierbarkeit der Matrix undFormeln fur die Elemente der inversen Matrix angeben. Auerdem kann mit Determi-

nanten die eindeutige Losbarkeit eines Gleichungssystems Ax = B mit quadratischerMatrixA nachgepruft und ggf. die Losung angegeben werden.

Zur induktiven Definition der Determinante von A fuhren wir folgende Bezeichnungein.

(i) Es sei A = (ak)1kn,1n Mn,n(K) furn 2. MitAk Mn1,n1(K)

bezeichnen wir diejenige Matrix, die aus A entsteht, wenn man diek-te Zeile und

die -te Spalte streicht.(ii) Definition der Determinante

() Fur eine 1 1-MatrixA = (a) definieren wir|A| := det A:= a.

Achtung:| | bedeutet hier Determinante und nicht Betrag!() Ist fur jede (n 1) (n 1)-Matrix (mitn 2) deren Determinante bereits

erklart, so definiert man fur eine n n-MatrixA:

|A| := det A:= a11det A11 a12det A12

+ a13det A13 . . . + (1)n+1a1ndet A1n

=n=1

(1)1+a1det A1.

Man spricht hier von der Entwicklung nach der ersten Zeile der Matrix A.

Dies ist ein Spezialfall der Entwicklung nach einer beliebigen Zeile oder Spalte:

(iii) Entwicklung nach k-ter Zeile bzw. -ter Spalte

Es sei A Mn,n(K). Dann gilt fur jedes k {1, 2, . . . , n}:

det A=n=1

(1)k+ak det Ak,

35


40/132

und fur jedes {1, 2, . . . , n}:

det A=n

k=1

(1)k+ak det Ak.

16.16. BeispielGegeben sei die 4 4-Matrix

A=

1 2 3 4

1 0 0 13 1 4 00 3 2 1

.Zur Berechnung der Determinante von A wahlen wir eine Zeile oder Spalte mit moglichstvielen Nullen aus. Hier bietet sich die Entwicklung nach der 2. Zeile an:

det A = (

1)2+1

a21det A21

+ (1)2+2 a22det A22

+ (1)2+3 a23det A23

+ (1)2+4 a24det A24

= (1) (1)

2 3 41 4 0

3 2 1

+ 1

1 2 33 1 40 3 2

.

Die erste der beiden 3 3-Determinanten entwickeln wir nach der dritten Spalte:2 3 4

1 4 03 2 1

= 4 1 43 2

+ 1 2 31 4

= 4 (14) + 1 11 = 45;die andere 33-Determinante berechnen wir durch Entwicklung nach der dritten Zeile:

1 2 33 1 40 3 2

= (1) 3

1 33 4 + 2

1 23

1

= 3 (5) + 2 (7) = +1.Also folgt als Gesamtergebnis:

det A= 1 (45) + 1 1 = 44.

36


41/132

16.17. Eigenschaften von Determinanten

Es seienA, B Mn,n(K). Dann gilt:(i) det(AT) = det A (AT: transponierte Matrix).

(ii) Vertauscht man zwei Zeilen (Spalten) von A, so andert sich das Vorzeichen derDeterminante.

(iii) Addiert man zu einer Zeile (Spalte) vonA eine beliebige Linearkombination vonanderenZeilen (Spalten), soandert sich der Wert der Determinante nicht.

(iv) Multipliziert man die Elemente einer Zeile (Spalte) von A mit einem Faktor K, so wird det Amit multipliziert; insbesondere gilt furA Mn,n(K) :det(A) =n det A.

(v) Sind zwei Zeilen (Spalten) von A gleich, so ist det A= 0.

(vi) det(A1) = 1

det A (falls A regular ist).

(vii) det(AB) = (det A)(det B).

(viii) det En= 1.

Bemerkung:

Mit Hilfe der Umformungen (ii) und (iii) lasst sich einenn-MatrixAauf die folgendeGestalt bringen:

A= a11

a22 0

. . .

ann

.Istp die Anzahl der dabei durchgefuhrten Vertauschungen von Zeilen und Spalten, sogilt

det A= (1)p det A= (1)p a11 a22 . . . ann.

16.18. Invertierbare Matrizen

SeiA Mn,n(K) . Dann sind die folgenden Aussagenaquivalent:(i) A ist regular,

(ii) det A = 0,(iii) Rang(A) =n.

37


42/132

Mit Hilfe der Determinante erhalt man eine weitere Moglichkeit, die Inverse einer re-gularenn n-MatrixA zu berechnen: Existiert A1 = (bk) so ist

bk = (1)k+det Akdet A

(Verfahren der Adjungierten).

Beispiel:(siehe auch 16.14.)

A=

1 2 02 1 31 3 1

Es ist det A= 1

1 33 1 2 2 31 1

= 8 + 2 = 6,b11 = (1)1+1 det A116 =

1

6

1 33 1

= +8

6,

b12 = (1)2+1 det A216 =1

6

2 03 1 =26 ,

b13 = (1)3+1 det A316 = 1

6

2 01 3 = 1,

... ...

b33 = (1)3+3 det A336 = 1

6

1 22 1 =12 .

16.19. Spatprodukt, Vektorprodukt

Gegeben seien die Vektorena,b, c R3.

(i) Dann lasst sich deren Spatproduktfolgendermaen berechnen:

S= (a b) c=

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

.

38


43/132

(ii) Als Merkregel fur die Berechnung des Vektorprodukts der Vektoren a

und b R3 gilt:

e1 e2 e3a1 a2 a3b1 b2 b3

= e1(a2b3 a3b2)

+ e2(a3b1 a1b3)

+ e3(a1b2 a2b1).Dabei sinde1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) und e3 = (0, 0, 1) die Einheitsvektoren inRichtung der Koordinatenachsen. Hier wird formal eine Determinante berech-net, und zwar durch Entwicklung nach der ersten Zeile, obwohl die auftretendenGroen teils Vektoren und teils Skalare sind.

39


44/132

17 Lineare Abbildungen und Eigenwerte

Eine wichtige Klasse von Abbildungen sind die linearen Abbildungen. Sie spielenbei der Differentialrechnung von Funktionen mit mehreren Veranderlichen eine wichtigeRolle (vgl.18).

17.1. Lineare Abbildungen

Sei K = Roder C, m , n N. Eine Abbildungf : Kn Km heitlinear, wenn fur allea, b K und x, yKn gilt:

f(ax+ by) =a f(x) + b f(y).

17.2. Eigenschaften linearer Abbildungen

(i) Eine lineare Abbildung f : Kn Km ist durch ihre Werte f(b1), . . . , f (bn) aufeiner Basis{b1, . . . ,bn}des Kn eindeutig festgelegt. Zu beliebigen Bild-Vektorena1, . . . ,an Km gibt es (genau) eine lineare Abbildung f : Kn Km mit

f(bj) = aj (1 j n).

(ii) Gegeben seien die Basen{b1, . . . ,bn} des Kn und{b 1 , . . . ,b m} des Km. Danngilt: Die Matrizen AMm,n(K) entsprechen bijektiv den linearen Abbildungenf : Kn Km, wobei

A= (ajk)1jm,1kn

durch die n Bedingungen

f(bk) =m

j=1

ajkbj (1 k n)

gegeben ist. Die Zuordnung f Ahangt naturlich von den gewahlten Basen ab.Wahlt man speziell die kanonischen Basen{e1, . . . , en}bzw.{e 1 , . . . , e m} mit

ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)T Kn

(j)

bzw. e k = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)T Km,

(k)

so gilt fur jedesx Knf(x) =A x.

40


45/132

(iii) Sind den linearen Abbildungen f : Kn Km und g : Km Kp bezuglich gege-bener Basen die Matrizen A bzw. B zugeordnet, so entspricht der Kompositiong f : Kn Kp das MatrixproduktB A.

(iv) Im Fallen= m entsprechen den bijektiven Abbildungen die regularen Matri-zen. Wahlt man insbesondere im Bild- und Urbildraum die gleichen Basen, also

bj = b j fur 1j n, so entspricht der Abbildung f1 die inverse Matrix A1,wennA der Abbildung f entspricht.

17.3. Beispiele

(a) Es sei R2 mit der kanonischen Basis e1 = (1, 0)T, e2 = (0, 1)

T versehen und essei f : R2 R2 linear, gegeben durch f(e1) = (2, 1)T und f(e2) = (4, 3)T. Istx= (x1, x2)

T R2 beliebig gegeben, so erhalt man (mit der Linearitat vonf)f(x) =f(x1 e1+ x2 e2) = x1f(e1) + x2f(e2)

= x1(2, 1)T + x2(4, 3)

T

= (2x1+ 4x2, x1+ 3x2)T

=

2 41 3

x= A x,

d.h. die Bilder der Basisvektoren treten als Spalten in der Abbildungsmatrix auf.Sei daruber hinaus g : R2

R gegeben mit g(e1) = 1 und g(e2) = 3, so erhalt

man (mit der Linearitat von g)

g f(x) =g((2x1+ 4x2, x1+ 3x2)) = 2x1+ 4x2+ 3x1+ 9x2

= 5x1+ 13x2.

Nach 17.2. (iii) entspricht der Abbildung g f die ProduktmatrixB A.MitB = (1 3) M1,2(R) ist dies (1 3)

2 41 3

= (5 13), also gilt

g

f(x) = (5 13)

x1

x2 = 5x1+ 13x2.(b) Losungen eines linearen Gleichungssystems Ax =b mit A Mm,n(K), x Kn

undb Km lassen sich auch mit einer Abbildung f : Kn Km deuten: Beigegebener AbbildungsmatrixA und rechter Seite bsind die Losungen gerade dieUrbilder von b.

41


46/132

Im Folgenden sei A darstellende Matrix einer linearen Abbildung des Kn in den Kn,also A Mn,n(K). Wir suchen Vektoren, die sich unter der Abbildung lediglich umeinen Skalarfaktorandern.

17.4. Eigenwerte und Eigenvektoren

Es sei AMn,n(K). Dann heit x=0 Eigenvektor vonA zum Eigenwert K,wenn gilt:

A x= x .

Schreibt man diese Gleichung in der Form (AE)x = 0, so ist dies ein lineareshomogenes Gleichungssystem. Nach den Losungskriterien fur lineare Gleichungssys-teme 16.9.(iii) und 16.18. hat dieses nur dann nichttriviale Losungen x= 0 wenndet(A E) = 0 ist. Es gelten somit die folgenden Aussagen:

17.5. Eigenwerte und charakteristisches Polynom(i) ist genau dann Eigenwert der MatrixA, wenn det(A E) = 0 ist.

(ii) det(A E) ist ein Polynom genau n-ten Grades in . Es heit das charakte-ristische Polynom vonA.

(iii) Die Matrix A hat n (komplexe, nicht notwendig verschiedene) Eigenwerte, namlichdie Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Ist eine s-fache Nullstelle descharakteristischen Polynoms, so heit sdie Ordnung des Eigenwerts.

17.6. Beispiel

Gegeben sei die Matrix A =

1 71/4 2

. Das charakteristische Polynom

det(A E) = 1 71/4 2

=2 154hat die Nullstellen1= 3/2 und 2 = 5/2, die beide die Ordnung 1 besitzen.Die Eigenvektoren ergeben sich als L

osungen der linearen Gleichungssysteme

A +3

2E

x= 0 und

A 5

2E

x= 0, x= 0.

Zu1 erhalt manx= (14, 1)T mit 0=R und zu 2 die Vektoreny=(2, 1)Tmit 0 = R.

42


47/132

Die Eigenvektoren sind also nur bis auf einen von Null verschiedenen Faktor bestimmt.Allgemein gilt:

17.7. Eigenraum

Sind x1, x2, . . . , xrKn

zum Eigenwert gehorende Eigenvektoren der Matrix A, soist auch jede nichtverschwindende Linearkombination

rj=1

jxj mit j K

Eigenvektor zum Eigenwert , d.h. die Menge der Eigenvektoren zum Eigenwert bildet zusammen mit dem Nullvektor einen Vektorraum. Dieser heitEigenraumvonund seine Dimension die Vielfachheitdes Eigenwerts.

Der Zusammenhang mit dem charakteristischen Polynom wird folgendermaen herge-stellt:

17.8. Ordnung und Vielfachheit eines Eigenwerts

Es sei eine s-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Matrix A Mn,n(K),d.h. hat die Ordnung s. Dann gilt fur die Vielfachheit r des Eigenwerts :

1 r s.

17.9. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwertenvon A

(i) Die zu verschiedenen Eigenwerten gehorenden Eigenvektoren von A Mn,n(K)sind linear unabhangig.

Daraus folgt:

(ii) BesitztA Mn,n(K) dienvoneinander verschiedenen Eigenwerte1, . . . , n K,so sind zugehorige Eigenvektorenx1, . . . , xn linear unabhangig und bilden damiteine Basis des Kn.

17.10. Eigenwerte der Ordnung s >1

Hat die Matrix A Mn,n(K) einen Eigenwert der Ordnung s > 1, so kann dieDimension des Eigenraums (d.h. die Vielfachheit von ) durchaus kleiner als s sein.Dies wird durch folgendes Beispielbelegt: Es sei

A=

1 0 30 2 10 1 0

.43


48/132

Das zugehorige charakteristische Polynom ist

p() = det(A E) = (1 )3. = 1 ist also einziger Eigenwert (der Ordnung 3). Zur Bestimmung des Eigenraumsbetrachten wir die Losungenx

R3 von

0 = (A E) x= 0 0 30 1 1

0 1 1

x.d.h. wir suchen nichttriviale Losungen des Gleichungssystems

3x3 = 0,

x2+ x3 = 0;

die dritte Gleichung ist mit der zweiten identisch (bis auf das Vorzeichen1). Hierausfolgt: x3 = 0, x2 = 0 sowie x1 R beliebig. Damit ergibt sich als Eigenraum fur= 1:

V = {x R3 :x= (1, 0, 0)T mit R}.Vhat die Dimension 1. Damit ist die Vielfachheit des Eigenwerts = 1 gerade 1, seineOrdnung aber 3.

Bemerkung

Eine Matrix A Mn,n(K) besitzt genau dann n linear unabhangige Eigenvektoren,wenn zu jeder Nullstelle der Ordnung s des charakteristischen Polynoms genaus linearunabhangige Eigenvektoren existieren. Solche Matrizen werden auch diagonalahnlich

genannt (vgl. 17.12.).

17.11. Symmetrische Matrizen, HermitescheMatrizen

(i) Eine Matrix AMn,n(K) heit symmetrisch, falls AT =A, also ajk =akj giltfur 1 j, k n.

(ii) Eine Matrix AMn,n(K) heit Hermitesch, falls AT =A, also ajk =akj gilt(Querstrich: konjugiert komplexe Zahl) fur 1 j, k n.

(iii) Hermitesche und reelle symmetrische Matrizen haben nur reelle Eigenwerte.

(iv) IstA eine Hermitesche oder reelle symmetrische Matrix, so stehen Eigenvektorenzu verschiedenen Eigenwerten , aufeinander senkrecht:

x x= 0.

44


49/132

(v) Jede reelle symmetrische MatrixA Mn,n(R) besitzt n paarweise orthogonaleEigenvektoren, die also eine Basis des Rn bilden.

(vi) Jede Hermitesche MatrixA Mn,n(C) besitzt n paarweise orthogonale Eigen-vektoren, die daher eine Basis des Cn bilden.

AlsBeispielbetrachten wir die reelle symmetrische Matrix

A=1

6

10 2 2

2 7 1

2 1 7

.Das zugehorige charakteristische Polynom hat die Nullstellen 1= 2= 1 und3= 2.

Aus dem Gleichungssystem

0 = (A 1 E) x= 16

4 2 2

2 1 1

2 1 1

xerhalt man die linear unabhangigen Eigenvektoren

x1= (1, 2, 0)T und x2 = (1, 0, 2)T.Damit hat1= 2= 1 den Eigenraum

V1/2= {x R3 :x= 120

+ 102

mit , R}.Ein zu 3 = 2 gehoriger Eigenvektor ergibt sich aus dem Gleichungssystem

0 = (A 2E) x= 16

2 2 2

2 5 12 1 5

x,

namlich x3 = (2, 1, 1)T

. Der zugehorige Eigenraum ist also

V3 = {x R3 :x= 21

1

mit R}.Es gilt:x1 x3 = 0 =x2 x3.

45


50/132

x1 und x2 sind nicht orthogonal, doch konnen zwei andere Eigenvektorenx1, x

2 V1/2

gewahlt werden, die zueinander orthogonal sind, z.B.

x 1 = (2, 2, 2)T und x 2= (0, 2,2)T.

17.12. Ahnliche Matrizen

(i) Zwei MatrizenA, B Mn,n(K) heienahnlich, wenn es eine regulare MatrixPgibt mit

B= P1AP

oderaquivalentAP =P B.

(ii) Ahnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom, also auch dieselben

Eigenwerte. Fur jeden Eigenvektorx von A ist P1

xein Eigenvektor von B .(iii) Jede MatrixA Mn,n(K), dien linear unabhangige Eigenvektoren besitzt, ist zu

einer Diagonalmatrixahnlich (man sagt auch diagonalahnlich).

(iv) Speziell gilt: Jede Hermitesche oder reelle symmetrische Matrix ist diagonalahn-lich (vgl. 17.11.(v) und (vi)).

17.13. Orthogonale Matrizen

(i) Eine Matrix A Mn,n(R) heit orthogonal, falls eine der beiden folgendenaquivalenten Bedingungen gilt:

) AT =A1,

) ATA= E.

Beispiel

Furn = 2 sei mit R

A= cos sin sin cos .Dann giltAT A= E, also istA eine orthogonale Matrix.

46


51/132

(ii) IstA Mn,n(R) orthogonal und x Rn, so gilt|A x |2 = (A x) (A x) = (A x)T(A x) =xTATAx= xTx= |x |2 ,

also ist die Abbildung x Ax langentreu. Allgemeiner gilt furx , y Rn

(A x)

(A y) = (A x)T(A y) =xTATAy= xTy ,

bei der Abbildung x Axbleibt also das Skalarprodukt erhalten. Fur die Winkel zwischenx , y bzw. zwischen Ax , Ay gilt daher

(A x) (A y) = |A x ||A y | cos = | x || y | cos = | x || y | cos ,bis auf Orientierung bleibt also auch der Winkel erhalten.

(iii) Jede orthogonale Matrix vermittelt eine orthogonale Koordinatentransfor-mation, die eine Basis{e1, e2, . . . , en} von paarweise orthogonalen Vektorenin eine Basis{e 1, e 2, . . . , e n} von ebenfalls paarweise orthogonalen Vektorenuberfuhrt.

17.14. Quadratische Formen

IstA Mn,n(R) eine symmetrische Matrix, so heit die AbbildungQ : Rn R mit

Q(x) =xT A x=n

j=1

nk=1

ajkxjxk

(wobeix=n

j=1 xjej) eine quadratische Form.17.15. Hauptachsentransformation quadratischer

Formen

Jede quadratische Form Q(x) =xT A xlasst sich durch eine orthogonale Koordina-tentransformationx= P x auf Diagonalform transformieren, d.h. es gilt

Q(x) =n

j=1j(x

j)

2 =x T D x mit D=

1 O. . .

O n

.

Dieksind dabei die Eigenwerte vonA. Zur Transformation wahlt man als Spaltenvek-toren der MatrixPein System ausnpaarweise orthogonalen normierten EigenvektorenvonA. Die neuen Koordinatenrichtungen heien Hauptachsenrichtungen von Q.

47


52/132

17.16. Definite und semidefinite quadratischeFormen

(i) Istmin der kleinste undmax der grote Eigenwert vonA, so gilt fur allex Rn

min

|x

|2

Q(x)

max

|x

|2.

(ii) Sind alle Eigenwerte vonA positiv, so folgtQ(x)> 0 fur jeden Vektorx = 0. Diequadratische FormQbzw. die Matrix A heit in diesem Fall positiv definit.

(iii) Sind alle Eigenwerte negativ, so heitQ bzw.A negativ definit.

(iv) Sind alle Eigenwerte vonA nicht negativ, so gilt Q(x)0 fur alle Vektoren x;dann heit Q bzw. A positiv semidefinit. Entsprechend wird negativ semidefiniterklart.

(v) HatA positive und negative Eigenwerte, so gibt es Vektoren mit

Q(x1)>0, Q(x2) = 0 und Q(x3)< 0,

und Q bzw.A heitindefinit.

17.17. Kurven und Flachen zweiten Grades

Es sei jetzt n = 2 oder n = 3.

(i) Eine Kurve (fur n = 2) oder Flache (fur n = 3) zweiten Grades im Rn wird

durch die Menge aller x Rn

gegeben, fur die gilt:

x T A x + 2b T x + c= 0.Hierbei ist A Mn,n(R) eine symmetrische Matrix, A= 0, sowieb Rn undc R.

(ii) Die Kurve (Flache) zweiten Grades besitzt einen Mittelpunkt x0, wenn durch

die Translation x = x+x0 erreicht werden kann, dassb =0 ist. (x steht fur

alte,xfur neue Koordinaten.) Dann liegt mitxauchxauf der Kurve (Flache).(iii) Ist die Matrix

I=

A bbT c

=

a11 . . . a1n b1

... ...

an1 . . . ann bnb1 . . . bn c

singular, so heit die Kurve (Flache) zweiter Ordnung entartet.

48


53/132

17.18. Normalform der Kurven (Flachen) zweitenGrades

(i) Ist det A = 0, so besitzt die Kurve (Flache) zweiten Grades den Mittelpunkt

x0= A1b.

(ii) DurchTranslationenx = x+aundDrehungenx = P xmit einer geeignetenorthogonalen Matrix P, bei denen Rang(A), Rang(I) sowie det A und det I un-verandert bleiben, lasst sich folgendeNormalformeiner Kurve (Flache) zweitenGrades erreichen:

rj=1

j (xj)2 + 2xn+ = 0 (mit r = Rang (A)).

Hierbei sind die j mit

|1

| . . .

|r

| > 0 sowie r+1 = . . . = n = 0 die

Eigenwerte vonA; ferner ist = 0 furr = n und = 0 fur = 0.

17.19. Kurven zweiten Grades im R2 (Kegelschnitte)

Folgende Normalformen von Kurven zweiten Grades im R2 sind moglich (mit x= x1,y= x2 sowie = 1, falls= 0):

(a) Rang(I) = 3:

(i) detA >0: x2

a2+

y2

b2 = 1

x2

a2+

y2

b2 = 1

Ellipse

(keine reellen Losungen)

(ii) det A


54/132

(b) Rang(I) = 2:

(iv) det A >0: x2

a2+

y2

b2 = 0 (Nullpunkt)

(v) det A 0

x2 = a2 0det A

= 0

x2

a2+

y2

b2 +

z2

c2 = 1

x2

a2+ y

2

b2 z

2

c2 = 1


einschaliges Hyperboloid

(ii) det I 0det A= 0

x2

a2y2

b2 = 2z hyperbolisches Paraboloid

(iv) det I


55/132

(b) Rang(I) = 3:

(v) Rang(A) = 3: x2

a2+

y2

b2 +

z2

c2 = 0

x2

a2+

y2

b2z2

c2 = 0

(Nullpunkt)

elliptischer Kegel

(vi) Rang(A) = 2: x2

a2+

y2

b2 = 1

x2

a2 y

2

b2 = 1

x2

a2+

y2

b2 = 1

elliptischer Zylinder

hyperbolischer Zylinder


(vii) Rang(A) = 1: x2

a2 = 2z parabolischer Zylinder

(c) Rang(I) = 2:

(viii) Rang(A) = 2: x2

a2+

y2

b2 = 0

x2

a2 y

2

b2 = 0

eine reelle Gerade

zwei sich schneidende Ebe-

nen

(ix) Rang(A) = 1: x2 =a2 >0

x2 = a2


56/132

18 Differentialrechnung bei Funktionen mitmehrerenVeranderlichen

Bei naturwissenschaftlich-technischen Problemen treten in der Regel Funktionen meh-rerer Variablen auf, etwa Funktionen der drei Raumvariablen x,y,z und der Zeit t

oder Funktionen der Variablen p (Druck), V (Volumen) und T (Temperatur). Es istdeshalb notwendig, solche Funktionen genauer zu untersuchen. Wir betrachten alsoFunktionen

f :G Rm, (m 1)mitG Rn, (n 1)

(wobei der Definitionsbereich G der Funktion nicht leer sein soll). Den Funktionswertf(x), x G, schreiben wir auch als Spaltenvektor (f1(x), f2(x), . . . , f m(x))T; dadurchwirdf in eindeutiger Weise durch die Komponentenabbildungen

fj :G R, j = 1, . . . , m ,

beschrieben. Entsprechend wird x Rn durch den Spaltenvektor (x1, . . . , xn)T dar-gestellt. Wird aber x = (x1, . . . , xn)

T Rn als Argument einer Funktion benutzt, soschreiben wir stets (wie auch sonst in der Literatur ublich)

f(x) =f(x1, . . . , xn),

obwohl man eigentlich f((x1, . . . , xn)T) schreiben musste.

In7 haben wir reelle Funktionen einer Veranderlichen behandelt; das entspricht nun-mehr dem Spezialfall n = 1, m = 1. Dort wurden Funktionen durch ihr Schaubildanschaulich beschrieben. Im Fall n= 2, m= 1 fuhrt eine entsprechende Veranschauli-

chung von fzu Flachen:

y

f(x, y)

x

52


57/132

18.1. Umgebungen, offene Mengen, Randpunkte,abgeschlossene Mengen

(i) Mit|x| bezeichnen wir wie in 15.8.(iii) die (euklidische) Lange des Vektorsx Rn(n 1). Manchmal heit|x| auch Betrag des Vektorsx Rn.

(ii) Istx Rn und >0 eine beliebige reelle Zahl, so heit die Menge U(x0) Rn,U(x0) = {x Rn : |x x0| < }

eine-Umgebung von x0. Speziell fur die Fallen= 1, 2, 3 ergeben sich Intervalle,Kreise, bzw. Kugeln mit Mittelpunktx0 und Durchmesser 2.

(iii) Eine Menge M Rn heit offen, falls es zu jedem Punkt x0 M eine -Umgebung gibt, die voll in Menthalten ist.

Beispiele fur offene Mengen sind-Umgebungen, die leere Menge Rn und derganze Raum Rn. Weiter ist der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen

und die Vereinigung beliebig vieleroffener Mengen wieder offen.

(iv) Der Rand M einer Menge M Rn besteht aus allen Randpunkten vonM,das sind Punkte x0 Rn, fur die jede -Umgebung U(x0) nichtleeren Durch-schnitt mit M undCM = Rn \ M hat. Enthalt M den ganzen Rand (d.h. giltM M), so heitMabgeschlossen. Allgemein nennt manM=MMden(topologischen)Abschlussoder dieabgeschlossene Hulle vonM.

Am Beispiel der -Umgebungen erkennt man

U(x0) = {x Rn : |x x0| =},

U(x0) = {x Rn : |x x0| }.

18.2. Stetigkeit

(i) Mit den eben eingefuhrten Bezeichnungen lasst sich der KonvergenzbegriffausAbschnitt 6.5.(i) wortlich auf Folgen (a)N,a Rn, ubertragen. Wir verwen-den im Folgenden auch die dort eingefuhrte Schreibweisean a(n ) oderlimn

an= a.

Nutzlich ist folgende Aussage: Die Folge (x)N mitx= (x()1 , . . . , x()n )T Rn

ist genau dann konvergent gegenx= (x1, . . . , xn)T Rn, wenn

lim

x()j =xj

fur alle Indizesj = 1, 2, . . . , ngilt.

53


58/132

(ii) Entsprechend ergibt sich der Grenzwert einer Funktion f : G Rm (mit = G Rn) wie in Abschnitt 7.1., wenn dort sowohl im Urbildbereich G alsauch im Bildbereich Rm der Konvergenzbegriff aus (i) zugrundegelegt wird.

(iii) f :G Rm (mit =G Rn) heit schlielich stetig in x0 G, falls

limxx0 f(x) =f(x0)

gilt, undstetig in G, fallsfin jedem Punktx0 Gstetig ist. Aquivalent hierzuist, dass jede der Komponentenabbildungen f1, . . . , f m von f stetig in x0 bzw.stetig aufG ist.

(iv) In Analogie zu 7.3.(i) ergibt sich: Sindf :G Rm,g : G Rm stetig inx0 G,so sind f+g, f g und fT g stetig in x0 G; dabei ist fT g im Sinne desSkalarprodukts (vgl. 15.8.(i)) zu verstehen, d.h. sind f1, . . . , f m bzw. g1, . . . , gmdie betreffenden Komponentenabbildungen, so gilt

(fT g)(x) = (f1g1)(x) + (f2g2)(x) + . . . + (fmgm)(x).

Beachte: Der Quotient f

g ist nur im Fall m = 1 erklart. In diesem Fall ist

f

gebenfalls stetig in x0, falls g(x0) = 0 gilt.

(v) Ist f :G Rm stetig in x0G und g :f(G) Rr stetig in y0 =f(x0), so istauch die Komposition

g f :G Rrstetig inx0.

Beispiele

(a) Die Funktion

f : R2 \ {0} R, (x, y)T y2

x2 + y2

ist stetig auf dem ganzen Definitionsbereich, da (x, y)T y2 und (x, y)T x2+y2dort stetig sind und x2 + y2 nur furx = y = 0 verschwindet.

54


59/132

Die Funktion fist in der folgenden Skizze dargestellt:

f(x, y)

y

x

f ist inx0 = 0 nicht stetig erganzbar. Fur die gegen0 konvergente Folge (xj)jNmitx2n= (1/n, 0)

T,x2n1= (0, 1/n)T, n N, folgt namlich

f(x2n) = 0, f(x2n1) = 1, n N.

(b) Polynome, etwa P(x,y,z) = xyz+ x3 z2 +xy + 1, sind stetig, ebenso ratio-nale Funktionen, etwa Q(x, y) =

y2

x2

+ y2

, in allen Punkten (x, y)T, in denen der

Nenner nicht verschwindet.

(c) Eine rationale Funktion kann auch in Punkten stetig erganzbar sein, in denender Nenner verschwindet. Z.B. ist

f(x, y) =

x3

x2 + y2 fur (x, y) = 0,

0 fur x= y = 0,

stetig auf ganz R2. Dass

lim(x,y)(0,0) f(x, y) = 0

ist, erkennt man z.B. in Polarkoordinaten x = r cos , y= r sin :

f(r cos , r sin ) =r cos3 0 fur r 0.

55


60/132

(d) Die Betragsfunktion

f : R2 R, (x, y)T

x2 + y2

ist stetig. Die Punkte (x, y, f(x, y))T liegen auf der Mantelflache eines auf derSpitze stehenden Kreiskegels:

f(x, y)

y

x

18.3. Zwischenwertsatz und Satz vom Maximum/Minimum

Die folgenden beiden Aussagen gelten nur fur stetige reellwertige Funktionen

f :G R, =G Rn,(d.h. fur den Fall m = 1) unter Zusatzannahmenuber den Definitionsbereich G.

(i) Ist G zusammenhangend (d.h. gibt es zu je zwei Punkten x1, x2 G einenPolygonzug, der x1 und x2 verbindet und ganz in G liegt), so nimmt f jedenWert zwischenf(x1) und f(x2) in G mindestens einmal an.

(ii) Ist Gabgeschlossen (vgl. 18.1.(iv)) und beschrankt(d.h. existiert eine reelleKonstante K derart, dass|x| K fur alle x G gilt), so existieren Punktex1, x2 Gmit

f(x1) = maxxG

f(x),

f(x2) = minxG

f(x).

Der Zwischenwertsatz ist z.B. dann unmittelbar einzusehen, wenn mit x1 undx2auch die Verbindungsstrecke

x(t) =x1+ t(x2 x1), t [0, 1],

56


61/132

ganz inG liegt. In diesem Fall ist Satz 7.4.(ii) einfach auf die Funktion

g: [0, 1] R, g(t) =f(x(t))anzuwenden. Man beachte, dass g als Komposition der stetigen Funktion f undder linearen Funktiont

x1+ t(x2

x1) nach 18.2.(v) ebenfalls stetig ist.

18.4. Differenzierbarkeit

Im Folgenden sei die Funktion f : G Rm stets auf einer offenen und zusam-menhangenden Menge =G Rn definiert. Man nennt dannG ein Gebiet.

(i) fheitdifferenzierbarin x0 G, wenn es eine lineare Abbildung L : Rn Rmgibt, so dass fur allex Ggilt:

f(x) =f(x0) + L(x

x0) + r(x, x

0) mit lim

xx0

r(x, x0)

|x x0|= 0.

L heit die Ableitung von f an der Stelle x0.

(ii) Im Spezialfallm = 1 (also bei reellwertigen Abbildungen) nennt man L auch denGradienten vonfund schreibt diesen in der Form

gradf(x0) = f(x0).

(iii) Legt man im Rn bzw. Rm die kanonische Basis zugrunde, so wissen wir nachAbschnitt 17.2., dass sich die lineare Abbildung L als Matrix mit m Zeilen undn Spalten darstellen l

asst (der Gradient entspricht dann einem Zeilenvektor).

Diese Matrix nennen wir die Funktionalmatrixund bezeichnen sie mitfx(x0).Entsprechend istL(x x0) als Matrix-Vektor-Produktfx(x0) (x x0) zu lesen.(Beachte: x x0 ist ein Spaltenvektor mit n Komponenten.)

Beispiele:

(a) Fur konstante Funktionen f :x a mit festem a Rm gilt f(x)f(x0) = 0,also istfx(x0) die Nullmatrix (mitm Zeilen und n Spalten).

(b) Fur affine Abbildungen

f : Rn

Rm

, x= (x1, . . . , xn)T

a + A x,mit festem Spaltenvektora Rm und fester (m n)-MatrixAgilt

f(x) f(x0) =A (x x0).Also folgt fur allex0 Rn :fx(x0) =A.

57


62/132

(c) Quadratische Polynome in n Veranderlichen lassen sich darstellen durch

P(x) =a + bT x +x TCx mit x= (x1, . . . , xn)T,

wobei a R,b Rn und C eine symmetrische nn-Matrix ist. WegenC=CT folgt x T0 Cx= x

TCx0, also

x TCx x T0 Cx0 = (x + x0)TC(x x0)

= 2x T0 C(x x0) + (x x0)TC(x x0),also

P(x) =P(x0) + (bT

+ 2x T0 C)(x x0) + (x x0)TC(x x0).Hieraus folgt

Px(x0) =bT

+ 2x T0 C.

(iv) Im Fall m = 1 lasst sich die Ableitung anschaulich beschreiben: Hier stellt dieAbbildung

x f(x0) + f(x0) (x x0)eine Ebene, die sog. Tangentialebene, dar. Differenzierbarkeit von f inx0 be-deutet also, dass sich fin einer Umgebung von x0 durch eine Ebene (in 1. Nahe-rung) approximieren lasst.

(v) Istf inx0 Gdifferenzierbar, so ist fdort auch stetig. Dies folgt direkt ausf(x) f(x0) =fx(x0) (x x0) + r(x, x0) 0 fur x x0 0.

58


63/132

18.5. Rechenregeln fur differenzierbare Funktionen

Die Rechenregeln aus Abschnitt 10.3. lassen sich sinngemaubertragen.

(i) Sind f :GRm, g :GRm in x0G differenzierbar, so sind auch f+g, cf(mitc

R) und das Skalarprodukt fT

g inx0 differenzierbar, und es gilt

(f+ g)x(x0) = fx(x0) + gx(x0),

(cf)x(x0) = c fx(x0),sowie die Produktregel:

(fT g)x(x0) =gT(x0) fx(x0) + fT(x0) gx(x0).

Fur skalarwertige Funktionen (Fall m = 1) ist auch f

g unter der Zusatz-

voraussetzungg(x0)= 0 in x0 differenzierbar, und es gilt die Quotientenregelf

g

x

(x0) = 1

g2(x0){g(x0)fx(x0) f(x0)gx(x0)}.

(ii) Differentiation der Umkehrfunktion

Es sei =G Rn ein Gebiet und f :G Rn inG differenzierbar. Dann ist dieFunktionalmatrix von f quadratisch (wegen m = n). Sind die Elemente dieserMatrix stetig in G und ist fx(x0) inx0 Gregular, so folgt() Es existiert eine-UmgebungU(x0) derart, dass die (eingeschrankte) Funk-

tion f :U(x0) f(U(x0)) mit x f(x)bijektiv ist.

() Die Umkehrfunktion f1 :f(U(x0)) U(x0)mity x, wobeif(x) =y gilt, ist iny0= f(x0) differenzierbar, und es gilt

( f1)y(y0) = [fx(x0)]1,d.h. die Funktionalmatrix von

f1 iny0 ist die Inverse vonfx(x0).

(iii) Kettenregel

Ist f : G Rm mit x f(x) differenzierbar in x0 G und g : f(G) Rr,mit y g(y) differenzierbar in y0 = f(x0), so ist auch die Komposition g fdifferenzierbar inx0, und es gilt:

(g f)x(x0) = (gy(y0))fx(x0)

59


64/132

im Sinne des Matrixproduktes (vgl. Abschnitt 16.4.(iv)). Als Spezialfalle ergebensich hier:

Fall n= 1, r = 1, m beliebig:(g f : R R):

(g

f)(x0) =

g(f(x0))

fx(x0)

im Sinne des Skalarproduktes.

Fall m= 1, n, r beliebig: (f :G R)

(g f)x(x0) =gy(f(x0))f(x0)

(als Matrixprodukt).

(iv) In vielen Beispielen kann man die Ableitung in Form der Funktionalmatrix da-durch bestimmen, dass man die partiellen Ableitung (vgl. 18.6.) bestimmt.Allerdings ist dabei zu beachten, dass man auf diese Weise nur unter geeigne-ten Zusatzvoraussetzungen vorgehen darf (vgl. 18.7.). Wir werden hierzu spatereinige Beispiele behandeln.

18.6. Partielle Ableitungen, Richtungsableitungen

In diesem Abschnitt istf :G R eine reellwertige Funktionuber dem GebietG Rn.

(i) f besitzt in x0 G eine Richtungsableitung in Richtung des Vektorsn

Rn,

|n

|= 1, falls es einen Spaltenvektora

Rn gibt mit der Eigenschaft

f(x0+ tn) =f(x0) +aT tn+ r(x0, t) mit lim

t0r(x0, t)

t = 0.

a Tn heit dann die Richtungsableitung von f in x0 in Richtung von n; siewird mit

f

n(x0)

bezeichnet.

(ii) Ist speziell n = ej Rn der j-te (kanonische) Einheitsvektor, so heit die ent-sprechende Richtungsableitung diepartielle Ableitung vonfnach derj -tenVariablenxj (wobeix= (x1, . . . , xn)

T); sie wird mit

f

xj(x0) oder fxj(x0)

bezeichnet.

60


65/132

(iii) Zur Berechnung der Richtungsableitung wirdf(x0+tn) =g(t) als Funktion alleinvon t in einer -Umgebung des Nullpunktes betrachtet und die Ableitung g(0)gema den Regeln aus10 gebildet.

Beispiel:Definitionsbereich G := R2 \ {0},

f(x, y) = x2

x2 + y2, x0=

23

, n=

12

11

.

Hier giltx0+ tn= 1

2

2

2 + t

3

2 + t

und

f(x0+ tn) =

1

2(2

2 + t)2

1

2[(2

2 + t)2 + (3

2 + t)2]

= 8 + 4

2t + t2

26 + 10

2t + 2t2=g(t).

Also wird

g(0) = (2t + 4

2)(2t2 + 10

2t + 26) (4t + 102)(t2 + 42t + 8)

(2t2 + 10

2t + 26)2

t=0

= 4

2 26 102 8

262 =

6

2

169 =

f

n(x0).

(iv) Zur Berechnung der partiellen Ableitung nachxj differenziert man f(x1, . . . , xn)formal nach der Variablen xj, wobei die anderen xk als Konstanten behandeltwerden. Also gilt

xjxk

= 0 fur k=j ,1 fur k= j .

Beispiel:

f(x, y) = x2

x2 + y2 (Definitionsbereich R2 \ {0})

f

x(x, y) =

2x(x2 + y2) 2x x2(x2 + y2)2

= 2xy2

(x2 + y2)2

fy

(x, y) = 0 (x2 + y2) 2y x2(x2 + y2)2

= 2x2y(x2 + y2)2

Speziell erhalt manfx(1, 1) =1

2, fy(2, 2) = 1

4.

61


66/132

(v) Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen lassen sich anschaulich als Stei-gung der Tangente fur die Funktion g mitg(t) =f(x0+ tn) int = 0 deuten:

.

.

f(x, y)

g(t)

t

y

n

x0

x

18.7. Differenzierbarkeit und partielle Differenzier-barkeit

(i) Ist f : G Rm, x (f1(x), f2(x), . . . , f m(x))T, wobei G Rn ein Gebiet ist,in x0 G differenzierbar, so existieren auch alle Richtungsableitungen von fin x0 in jeder Richtung n Rn,|n| = 1. Insbesondere existieren alle partiellenAbleitungen inx0, und die Funktionalmatrix errechnet sich nach

() fx(x0) =

f1x1

(x0) . . . f1

xn(x0)

... ...

fmx1

(x0) . . . fm

xn(x0)

=

f1(x0)...

fm(x0)

.

Weiter erhalt man die Richtungsableitung der Komponentenabbildungen als Ska-larprodukt

fjn

(x0) = fj(x0) n, j= 1, . . . , m ,

62


67/132

kurz:f

n(x0) =fx(x0) n

im Sinne eines Matrix-Vektor-Produkts.

(ii) Existieren umgekehrt alle partiellen Ableitungen der Komponentenabbildungen

von f : G Rm in jedem Punkt x0 G und sind diese partiellen Ablei-tungen in G stetig, so ist f in jedem Punkt x0 G differenzierbar und diezugehorige Funktionalmatrix ergibt sich aus ().

18.8. Beispiele

(a) Wir berechnen die Richtungsableitung des Beispiels aus Abschnitt 18.6.(iii) noch

einmal unter Verwendung von 18.7. Fur f(x, y) = x2

x2 + y2 erhalt man die parti-

ellen Ableitungen

fx(x, y) = 2xy2

(x2 + y2)2, fy(x, y) = 2x

2y

(x2 + y2)2.

Beide Ableitungen sind stetig in R2\{0}. Also gilt fur x0 =

2

3

und n=

12

1

1

:

f

n(x0) = f(x0) n=

36

169, 24

169

1

2

1

1

=

1

2 12

169=

6

2

169.

(b) Die Funktionf : R2 R,

f(x, y) =

xy

(x2 + y2)2 , (x, y) = 0,

0 , x= y = 0

ist im Nullpunkt nicht stetig, also wegen 18.4.(v) nicht differenzierbar. Um dieseinzusehen, betrachten wir Polarkoordinaten: dann gilt

f(r cos , r sin ) =cos sin

r2 , r >0.

Speziell fur = /4 ergibt sich also

f

r cos

4, r sin

4

=

1

2r2 fur r 0.

63


68/132

Andererseits existieren die partiellen Ableitungen von f fur beliebiges x0 R2.Fur (x, y)T = (0, 0)T gilt namlich

fx(x, y) = y(x2 + y2)2 2(x2 + y2) 2x xy

(x2 + y2)4 =

y3 3x2y(x2 + y2)3

fy(x, y) = x3

3xy2

(x2 + y2)3,

und im Punkte x = 0 ergeben sich wegen f(0, y) = f(x, 0) = 0 die partiellenAbleitungen

fx(0, 0) =fy(0, 0) = 0.

Gema 18.7.(ii) muss also eine Unstetigkeitsstelle fur eine partielle Ableitungvorliegen: z.B. folgt furr >0:

fx r cos

4, r sin

2= 1

r3

2 fur r 0.

(c) Die Kettenregel 18.5.(iii) wenden wir auf die Funktion

h: Rn R, x exp(a Tx)mit a = (a1, . . . , an)

T Rn an. Offensichtlich ist h die Komposition gf derAbbildungen

f : Rn R, x a Tx= y,g: R R, y ey.

Damit folgt wegen

f(x) =a T unmittelbar

h(x) =ey a T = exp(a Tx) aT.

(d) Polarkoordinaten in der Ebene

Es sei G =

r

R2; r >0

und

f :G R2,

r

x

y

=

r cos

r sin

.

Dann ist fauf ganz G differenzierbar, und als Funktionalmatrix erhalt man dieMatrix

J=

cos r sin sin r cos

.

Beim Ubergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten erhalt mannach der Kettenregel furu(x, y) =u(r cos , r sin ) =h(r, ) =u f(r, ):

64


69/132

h(r, ) = u(f(r, )) Jalso

hr =ux cos + uy sin , h= ux(r sin ) + uyr cos Wegen det J = r > 0 ist J fur r > 0 regular, und damit ist die dadurch be-schriebene Transformation in allen Punkten (x, y)T =0 lokal umkehrbar und esgilt

(ux, uy) = (hr, h)J1,

also

ux = cos hrsin r

h=x

rhr y

r2h,

uy = sin hr+cos

r h=

y

rhr+

x

r2h.

(e) Rotationssymmetrische Funktionen

f :G R mit f(x) =g(|x|) ist fur0 =x Gdifferenzierbar, falls g :]0, [ Rdifferenzierbar ist. Nach der Kettenregel gilt dann

f(x) =g (|x|)|x| =g (|x|)xT

|x| .

18.9. Mittelwertsatz

(i) Ist die Funktionf :G R differenzierbar auf dem GebietG Rn, so gilt fur jezwei Punktex1, x2 G, deren Verbindungsstrecke ganz in G enthalten ist,

f(x2) f(x1) = f(x0) (x2 x1)mit einem geeigneten Punktx0 auf der Verbindungsstrecke von x1 undx2; dennfur die Funktion

h: [0, 1] R, t f(x1+ t[x2 x1])

folgt nach dem Mittelwertsatz 10.10.:h(1) h(0) =h(), ]1, 0[,

und nach der Kettenregel 18.5.(iii):

h() = f(x1+ [x2 x1]) (x2 x1).

65


70/132

(ii) Folgerung: Ist f : G R in dem Gebiet G Rn differenzierbar, und giltf(x) = 0 fur alle x G, so istf konstant.

18.10. Das Newton-Verfahren

Istf :G Rn

auf dem GebietG Rn

differenzierbar, so kann eine Nullstelle von f,d.h. ein Punktx G mitf(x) = 0,

manchmal mit folgendem Iterationsverfahren berechnet werden (vgl. hierzu 11.5.). Aus-gehend von einer Startnaherung x0 G berechne man die Folge (xk)kN aus denlinearen Gleichungssystemen

0 =f(xk) + fx(xk) (xk+1 xk), k 0,unter der Voraussetzung, dass die Funktionalmatrix fx(xk) stets regular ist.

Beispiel:Um den Schnittpunkt des Kreises mit der Gleichung

x2 + y2 2 = 0und der Hyperbel mit der Gleichung

x2 y2 + 5xy 4 = 0zu bestimmen, setzen wir

f(x, y) =

x2 + y2 2

x2 y2 + 5xy 4

.

Dann gilt

fx(x, y) = 2x 2y

2x + 5y 5x

2y .Mit dem Startvektor x0 = (1, 1)

T fuhren wir einen Iterationsschritt aus. Man erhaltdas lineare Gleichungssystem f(x0) + (fx(x0))(x1 x0) = 0, also

0 =

0

1

+

2 27 3

(x1 x0)

mit der Losung

(x1 x0) =18

3 27 2

0

1

=

1

4

11

.

Hieraus ergibt sich

x1= x0+ (x1 x0) =1

435.Entsprechend folgtx2=

45

56327

280

mit dem Naherungswert 0.0090.02

furf(x2).

66


71/132

19 Die Taylor-Formel mit Anwendungen

In diesem Abschnitt ist f : G R stets eine skalarwertige Funktion auf dem GebietG Rn, dessen Punkte wir wieder mit x= (x1, . . . , xn)T bezeichnen.

19.1. Partielle Ableitungen hoherer Ordnung(i) Existiertfxi(x) in einer-Umgebung des Punktes x0 G, und ist die Abbildung

x fxi(x) inx0 partiell nach xj differenzierbar, so ist durch

xj

xif(x0)

=:

2f

xixj(x0) =:fxixj (x0)

einezweite partielle Ableitungvonf(nach den Variablenxiundxj) definiert.Entsprechend ergeben sich hohere Ableitungen der Ordnung k gema

xik

xik1

. . . xi1

f =fxi1xi2 ...xik .Beispiel: Fur v : R3 R, (x,y,z)T exp(x 2yz) + sin(x y)cos z+ y2z3ergibt sich

vx = exp(x 2yz) + cos(x y) cos z,vy = 2zexp(x 2yz) cos(x y) cos z+ 2yz3,vz =

2y exp(x

2yz)

sin(x

y)

sin z+ 3y2z2

undvxx = exp(x 2yz) sin(x y) cos z,vxy = 2zexp(x 2yz) + sin(x y) cos z,vxz = 2y exp(x 2yz) cos(x y) sin z,vyx = 2zexp(x 2yz) + sin(x y) cos z,...

Man erkennt, dass z.B. vxy =vyx gilt. Diese Unabhangigkeit der partiellen Ablei-tungen hoherer Ordnung von der Reihenfolge der einzelnen partiellen Ableitungengilt in folgenden Fallen:

(ii) Satz von H.A. Schwarz:Existieren die Ableitungenfxi , fxj , fxixj , fxjxi in einer-Umgebung vonx0 G und sind fxixj und fxjxi inx0 stetig, so folgt

fxixj(x0) =fxjxi(x0).

67


72/132

AlsBeispieldafur, dass die Forderung der Stetigkeit von fxixj und fxjxi fur dieGultigkeit der Aussage wesentlich ist, betrachten wir die Funktion f : R2 R,

(x, y)T

xy x2 y2

x2 + y2 , (x, y) = 0

0 , x= y = 0

.

Hier gilt in jedem Punkt0 = (x, y)T R2

fx(x, y) = y x4 + 4x2y2 y4

(x2 + y2)2 ,

fy(x, y) = x x4 4x2y2 y4

(x2 + y2)2 .

Mit spezieller Untersuchung in0 erhalt man

fx(0, 0) =fy(0, 0) = 0.

Aus fx(0, y) =y folgt dann fxy(0, 0) =1, wahrend man aus fy(x, 0) = xden Wert fyx(0, 0) = +1 erhalt. Dagegen gilt fur alle (x, y)

T = (0, 0)T stetsfxy(x, y) =fyx(x, y).

19.2. Der Laplace-Operator

In den Anwendungen besonders wichtig ist der Laplace-Operator

:u ni=1

uxixi .

Bei zwei Variablenxundy ist also u= uxx+uyy , und fur drei Variablenx, y,zergibtsichu= uxx+ uyy+ uzz . Wir behandeln den Fall zweier Veranderlichen genauer undfuhren Polarkoordinaten

x = r cos ,

y = r sin ,

ein. Furu(x, y) =u(r cos , r sin ) =h(r, ) erhalt man nach 18.8.(d)

hr = cos ux + sin uy,

h = r sin ux + r cos uy .

68


73/132

Analog berechnet man die zweiten partiellen Ableitungen

hrr = cos2 uxx+ cos sin uxy+ sin cos uyx+ sin

2 uyy

h = r2 sin2 uxx r2 cos sin uxy r2 sin cos uyx+ r2 cos2 uyy ...

... r cos ux r sin uy ,also gilt

hrr + 1

r2h= uxx+ uyy1

r(cos ux+ sin uy) =uxx+ uyy1

rhr .

Insgesamt erhalten wir schlielich die Darstellung des Laplace-Operators in Po-larkoordinaten:

u= hrr +1r

hr+ 1

r2h.

Man beachte, dass bei der Transformation der Punkt (x, y)T = 0 ausgeschlossen wurde!

19.3. Die Taylor-Formel

(i) Zur Formulierung des Satzes von Taylor bietet es sich an,formale Gradienten-vektoren

=

x1,

x2, . . . ,

xn

als Zeilenvektoren und formale Skalarprodukte

x = x1

, . . . , xn

(x1, . . . , xn)T=

ni=1

xi

xi

einzufuhren. Fur j N bedeutet dann ( x)jf(x0), dass das formale Produkt x zunachst formal zur j-ten Potenz genommen wird und anschlieend diepartiellen Ableitungen von f an der Stelle x0 ausgewertet werden. Z.B. erhaltman

im Fall j= 0:( x)0f(x0) = 1 f(x0) =f(x0),

im Fall j= 1:( x)1f(x0) =ni=1

xi xi

f(x0) =ni=1

xifxi(x0)

69


74/132

und im Fall j = 2:

( x)2f(x0) =

ni=1

xi

xi

2f(x0) =

ni=1

nj=1

xixj2

xixjf(x0)

= (x1, . . . , xn) fx1x1(x0) . . . f x1xn(x0)... ...

fxnx1(x0) . . . f xnxn(x0)

x1...xn

.Die hier auftretende n n-Matrix nennt man auch die Hesse-Matrix von fan der Stelle x0 (kurz Hess f(x0)); sie enthalt alle moglichen partiellen Ablei-tungen der Ordnung 2 von f. Formal lasst sich die Hesse-Matrix schreiben alsMatrixprodukt (T )f(x0); man beachte

Vorlesungsskript Mathematik 2

Documents

Transcript of Vorlesungsskript Mathematik 2