Vorwort · 2016. 10. 11. · Geben Sie die Kr¨afte in den Seilen in vektorieller Form an....

Statik und elementare Festigkeitslehre Prof. Popov WiSe 2016/17 Seite 111.10.2016Aufgabenkatalog zur Statik und elementaren Festigkeitslehre

VorwortAuf den folgenden Seiten ist der Aufgabenkatalog fur die Veranstaltung ’Statik und elementareFestigkeitslehre’ abgedruckt, aus dem jede Woche Aufgaben fur die Plenarubung, die Tutorien unddas eigenstandige Arbeiten ausgewahlt werden. Losungen zu den Tutoriums- und Hausaufgabenwerden ungefahr eine Woche nach Bearbeitung veroffentlicht. Leider schleichen sich manchmal in dieveroffentlichten Losungen Fehler ein. Wir bemuhen uns, diese moglichst zugig zu beseitigen. JederStudent und jede Studentin ist aber in erster Linie selbst verantwortlich. Darum sollte selbstandiggerechnet werden. Wer gerne weitere Aufgaben (mit Musterlosungen) rechnen mochte, sei auf diebreite Auswahl an Aufgabenbuchern verwiesen. Die Aufgaben werden nicht notwendigerweise inder Reihenfolge des Katalogs abgearbeitet.

Der Katalog kann in den Tutorien kauflich erworben oder im Internet heruntergeladen werden:www.reibungsphysik.de → Studium und Lehre → WiSe 2016/17 → Statik und elementare Fe-stigkeitslehre → Studienmaterial.

Bei Fragen zur Organisation lesen Sie bitte zuerst das Informationsblatt und die entsprechendenInternetseiten grundlich durch.

Inhaltsverzeichnis

1 Statik starrer Korper 2

1.1 Zentrale und allgemeine Kraftegruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Auflagerreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Stabwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Schnittlasten in Balken und Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Elastostatik 27

2.1 Zug/Druck, Warmedehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Hauptspannungsberechnung, Mohrscher Spannungskreis . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Stabilitat, Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Literatur

[1] Gross, Dietmar, Werner Hauger und Walter Schnell: Technische Mechanik, Band 1Statik. Springer, 6. Auflage, 2004. (Neuere Ausgabe) in der Lehrbuchsammlung: 5Lh378.

[2] Gross, Dietmar, Werner Hauger, Walter Schnell und Peter Wriggers: TechnischeMechanik, Band 4 Hydromechanik, Elemente der Hoheren Mechanik, Numerische Methoden.Springer, 2. Auflage, 1995. (Neuere Ausgabe) in der Lehrbuchsammlung: 5Lh381.

[3] Schnell, Walter, Dietmar Gross und Werner Hauger: Technische Mechanik, Band 2Elastostatik. Springer, 6. Auflage, 1998. (Neuere Ausgabe) in der Lehrbuchsammlung: 5Lh379.


1 Statik starrer Korper

1.1 Zentrale und allgemeine Kraftegruppe

1. An einer Halterung greifen die Krafte F1 und F2 an. DieWirkungsrichtungen der Kraft sind durch den Winkel αbzw. β beschrieben (siehe Skizze).

(a) Geben Sie die Krafte in der dargestellten Basis an.

(b) Wie groß ist die resultierende Kraft? Geben Sie Be-trag und Richtung an.

(c) Zeichnen Sie eine Freischnittskizze und berechnenSie die Kraft in der Einspannstelle.

(d) Gehen Sie nun von folgenden Zahlenwerten aus:F1 = 2,5 kN, F2 = 2,0 kN, β = 30◦. In welcherRichtung α muss die Kraft F1 an der Halterung an-greifen, damit an der Einspannstelle nur eine axialeKraft (Kraft in y-Richtung) wirkt?

ey

ex

F1

F2

αβ

Literatur: [1, S. 14-22]

2. Der skizzierte Haken ist durch die zwei Krafte F1 =1,8 kN und F2 = 2,6 kN belastet. Die Wirkungsrichtun-gen der Krafte werden durch die Winkel α = 15◦ undβ = 55◦ beschrieben.

Ersetzen Sie die zwei Krafte durch eine resultierendeKraft Fres. Bestimmen Sie den Betrag und die Richtungdieser resultieren Kraft rechnerisch und zeichnerisch.

y

x

F1

F2

αβ

3. Ein Ozeandampfer wird von drei Schleppern gezogen.In den drei Seilen wirkt die gleiche Zugkraft F = 20 kN.Die Wirkungsrichtungen der Krafte werden durch dieWinkel α = 15◦, β = 10◦ und γ = 20◦ beschrieben.

Welche resultierende Zugkraft Fres wirkt auf den Oze-andampfer?

y

x

F

F

F

αβ

γ

4. Eine Kiste hangt an zwei Seilen. Die Seilkraft F2

wird gemessen. Sie betragt 5,0 kN. Die Richtung derSeilkrafte wird durch die Winkel α = 15◦ und β =20◦ beschrieben.

(a) Bestimmen Sie die Seilkraft F1.

(b) Welche Masse hat die Kiste?

Geg.: α = 15◦, β = 20◦, F2 = 5,0 kN, g =9,81m s−2

ey

ex

F1 F2

α β

g


5. An den Punkten P1 bis P4 einer Scheibe(x-y-Ebene) greifen vier in dieser Ebeneliegende Krafte F1 bis F4 an. Ihre Wir-kungslinien schneiden sich im Punkt P5

der Scheibe. Alle Krafte weisen von P5

weg. Gesucht sind Große und Richtung derResultierenden.

Geg.: (Alle Großen in SI-Einheiten)F1 = 70 F2 = 40 F3 = 20 F4 = 100P1(4; 2) P2(1; 4) P3(−3; 3) P4(−5;−3) P5(0;−2)

P1

P2P3

P4 P5

x

y

6. Die abgebildete Hebevorrichtung wirdzum Umschlagen von Holzstammen ver-wendet. Das Seil und der Balken schlie-ßen stets einen Winkel von 45o ein (sie-he Abbildung). Der Schwerpunkt derLast liege stets genau unterhalb desKranhakens. Die MassemS der Stammesei 200 kg, die Masse mH der Hebevor-richtung sei 50 kg.

(a) Wie groß ist die Kraft F im ver-tikalen Seil?

(b) Bestimmen Sie die Vektoren rCE

und rDE. Hinweis: Der erstge-nannte Buchstabe ist der Punkt,zu dem der Vektor zeigt, d.h.rCE = rC − rE.

a

b

c

c

g

45o

A B

CD

E

ex

ey

F

1 2

(c) Fertigen Sie eine Freischnittskizze des Hakens an. Wie lauten die Gleichgewichtsbedin-gungen? Geben Sie die Krafte in den Seilen in vektorieller Form an.


7. Am Gelenk eines Festlagers greifen die Krafte F1 und F2

an. Die Wirkungsrichtungen der Krafte sind durch dieWinkel α bzw. β beschrieben (siehe Skizze). Der Gelenk-durchmesser ist als klein anzunehmen.

(a) Geben Sie die Krafte in der dargestellten Basis an.

(b) Wie groß ist die resultierende Kraft? Geben Sie Be-trag und Richtung an.

(c) Schneiden Sie das Gelenk des Festlagers frei und be-rechnen Sie die Kraft, die das Lager ubertragt.

(d) Gehen Sie nun von folgenden Zahlenwerten aus:F1 = 2,5 kN, F2 = 2,0 kN, β = 30◦. In welcherRichtung α muss die Kraft F1 am Gelenk angrei-fen, damit das Lager nur eine axiale Kraft (Kraft iny-Richtung) ubertragt?

ey

ex

F1

F2

αβ



8. Aus den drei gewichtslosen Staben 1, 2, 3 derLange l wird ein Gelenkviereck gebildet. Die Ge-lenke sind reibungsfrei. An den Gelenken C undD hangen die Gewichte G1 und G2.

Durch eine im Punkt D angreifende Kraft P mithorizontaler Wirkungslinie soll erreicht werden,dass die Stabe I und II um den Winkel α gegendie Vertikale geneigt sind.

Man berechne die Kraft P und die Krafte in dendrei Staben.

Geg.: α = 45◦, l = 1m, G= 100N, G1 = G,G2 = 2G

A B

CD P3

21α

G1 G2


9. Das Gewicht G1 ist an einem Ring be-festigt, der durch zwei Seile (undehn-bar, gewichtslos) gehalten wird. Das ei-ne Seil ist an der Spitze des Dreibeins Ibefestigt, das andere Seil ist uber eineRolle (Radius vernachlassigbar klein)an der Spitze des Dreibeins II gefuhrtund durch das Gewicht G2 = G bela-stet.

(a) Wie groß ist der Winkel β?

(b) Wie groß muß das Gewicht G1

sein, damit α = 45◦ ist?

(c) Wie groß sind die Stabkrafte inden Staben 1-6?

Geg.: G2 = G, a, α = 45◦

a

a

a

aa

a

a2

a2

√3a

G1

G2

g

1

23

4

5

6

I II

α β

Ring

Rolle

zy

x

10. Die unteren Zylinder haben die Masse m und den Radius r. Der obere Zylinder hat die MasseM und den Radius R. Es gelte h < r.

(a) Drucken Sie die Winkel α und β durchgegebene Großen aus.

(b) Machen Sie alle in der skizzierten Anord-nung auftretenden Kontaktkrafte durchFreischnitte sichtbar und berechnen Siedie Kontaktkrafte. Alle Kontakte seienglatt. Die Winkel α und β sind dabeiaus dem 1. Teil bekannt. Die Ausdruckedafur mussen nicht eingesetzt werden.

Geg.: m, M , r, R, g, h, a.

gM

m m

R

rrβ

α

h h

a


11. Ein Klapptisch besteht aus der Platte 1(Gewicht G1, Schwerpunkt S1), den Bei-nen 2 und 3 (Gewichte G2 = G3 = G,Schwerpunkte im Gelenk A) sowie dermassenlosen Stange 4.

Berechnen Sie die Kraft in der Stange 4unter Vernachlassigung der Reibung!

Geg.: G1, G, l, ϕ

A

g

S1ϕ

1

4l

1

4l

1

2l

1

2

3

4


12. Wie groß ist das Moment der Kraft Fbezuglich des Punktes B? Rechnen Sie so-wohl vektoriell (Kreuzprodukt) als auch ska-lar (

”Kraft mal Hebelarm“).

Geg.: a, F

F

ex

ey

ez

A

B

a

a

aa


13. Das dargestellte raumliche Tragwerk ist imPunkt A gelagert (feste Einspannung) undwird im Punkt D durch die Last F belastet.Die Balkenabschnitte AB und CD verlaufenparallel zur y-Achse. Der Abschnitt BC ist einHalbkreisbogen parallel zur x,z-Ebene.

Geg.: R, F

R

3R

2R

FA

B C

D exey

ez

(a) Geben Sie die Abstandsvektoren rAD, rAC , rAB an. Hinweis: Der zweitgenannte Buch-stabe ist der Punkt, zu dem der Vektor zeigt, d.h. rAD := rD − rA.

(b) Geben Sie die vektorielle Darstellung der außeren Kraft in der eingezeichneten Basis an.

(c) Berechnen Sie das Kreuzprodukt rAD × F . Welche physikalische Bedeutung hat die soberechnete Große?


14. Ein einfacher Lastenaufzug gemaß der Skizze trage eine Last G = 1kN. Der Aufzug bestehtaus den Staben 1 und 2, einer Rolle mit dem Radius r und einem Seil. Die Gewichte derRolle, der Stabe und des Seils sollen vernachlassigt werden.

(a) Bestimmen Sie die Vektoren rAE, rBE und rCE.Hinweis: Der erstgenannte Buchstabe ist derPunkt, zu dem der Vektor zeigt, d.h. rAE =rA − rE.

(b) Wie groß ist der Betrag der Seilkraft?

(c) Fertigen Sie eine Freischnittskizze der Rolle an.Geben Sie die Krafte, die das Seil auf die Rol-le ausubt, in vektorieller Form an. Nehmen Siedabei r ≪ l an.

(d) Wie groß sind die Stabkrafte in den Staben 1und 2?

(e) Kann man notfalls einen Stab durch ein Seil er-setzen?

(f) Wie groß sind die Auflagerreaktionen in B?

Geg.: l, G, r

A

B

C

E

G

2

1

l

l

l

2r

ex

ez

15. Fur den unter Wirkung außerer Krafte stehenden Hebel ist die Große der Kraft F so zubestimmen, dass Momentengleichgewicht herrscht. Zusatzlich sind die Lagerreaktionen zubestimmen. Gehen Sie wie folgt vor:

(a) Schneiden Sie das System an Lager, und tragenSie die Auflagerreaktionen als Schnittkrafte ein.

(b) Geben Sie die Bedingung fur das Momenten-gleichgewicht um A an, und bestimmen Sie dar-aus F .

(c) Geben Sie die Bedingungen fur dasKraftegleichgewicht an, und bestimmen Siedaraus die Lagerreaktionen.

a a

αAB

CD

b

F

F1

F2

Geg.: F1 = 1kN, F2 = 2kN, a = 0, 25m, b = 1m und α = 30◦

16. Fur den Hebel ist die Position s so zu bestimmen, dassstatisches Gleichgewicht herrscht. Ferner sind die Auf-lagerreaktionen zu ermitteln.

Geg.: F = 20kN, α = 30◦, b = 1m F

FA

s

bα

17. Bei einem Kolbenkompressor wirke in der skizziertenStellung auf die Kolbenflache die Gaskraft FG. Wie großist das erforderliche Antriebsmoment MA, wenn die Rei-bungskrafte vernachlassigt werden konnen?

Geg.: FG, l, α

A

MA

FG

α

l


18. Die abgebildete Kippvorrichtung dient zumEntladen von Waggons. Fur einen gegebenenWaggon (Masse m, Radabstand 2a, Schwer-punkthohe b, Pufferhohe c) soll der maximalmogliche Kippwinkel bestimmt werden.

(a) Wie groß sind die Stutzkrafte an denRadern fur einen gegebenen Winkel α?

(b) Bei welchem Winkel αk kommt es zumKippen des Waggons?

(c) Der Puffer C ist fur eine maximale KraftFzul ausgelegt. Uberprufen Sie, ob diePufferkraft fur den unter (b) berechnetenmaximal moglichen Kippwinkel unter derzulassigen Kraft Fzul bleibt.

a

a

b

c

A

BC

G

α

Geg.: a = 2, 0 m, b = 1, 6 m, c = 1, 2 m, m = 25 t, g = 9, 81 m s−2, Fzul = 250 kN

19. Am skizzierten Korper greift das raumliche KraftsystemF 1, F 2, F 3 an.

(a) Man bestimme die resultierende Kraft R und ihrenBetrag !

(b) Bestimmen Sie das Vektorprodukt zwischen demAbstandsvektor der Resultierenden zum Ursprungund der resultierenden Kraft R! Was beschreibtdieses Vektorprodukt?

Geg.:−→OP1=

a00

,−→OP2=

02a0

,−→OP3=

00a

F 1 = Fez, F 2 = Fex, F 3 = Fey, a

O

x

y

z

F 1

F 2

F 3

P1

P2

P3

20. Drei Studenten tragen eine 1,2 m mal 2,4 m große Holz-platte wie abgebildet (horizontal). Welche Kraft mussendie Studenten aufbringen, um die 50 kg schwere Holz-platte zu halten? Es sei angenommen, daß die Holzplattehomogen ist.


1.2 Schwerpunkt

21. Es sind die Schwerpunktabstande xS und yS des neben-stehend skizzierten Blechteiles zu bestimmen. (Dicke d= 3mm)

1020

70

70

80

100S

xS

yS

22. An welchem Punkt P in der (x, y)- Ebene muß ein Kran-haken angebracht werden, damit der skizzierte homoge-ne Korper in waagerechter Lage des Oberteils angehobenwerden kann?

Geg.: a, s1 =a10, s2 =

2a10, s3 =

4a10

xy

za

aa

s1

s2s3

P

23. Man bestimme mithilfe des Tabellenverfahrens die Koordinaten des Flachenmittelpunktes xs,ys fur die zwei skizzierten Querschnitte.

a)

ab

2a

x

yb)

Profil T 120:Flache:A = 29,6 cm2

T120

120mm

120 mm

120mm

90 mm

8 mm

32,8

mm S

x

y


24. Man bestimme per Integration die Lage des Li-nienmittelpunkts eines Kreisbogens und denFlachenmittelpunkt eines Kreissektors mit demOffnungswinkel α. Man bestimme auch denFlachenmittelpunkt einer Halbkreisflache.

Warum fallt der Linienmittelpunkt und derFlachenmittelpunkt mit dem Schwerpunkt von Li-nie bzw. Flache zusammen, wenn eine konstante Dichte(langs der Linie bzw. uber die Flache) angenommenwird?

xx

yy

SS RR


25.(a) Berechnen Sie den Flacheninhalt

und die beiden Koordinaten desFlachenmittelpunkts der skizzier-ten Flache bzgl. des eingezeichne-ten Koordinatensystems. Ver-wenden Sie dazu eine Tabelle!

(b) Geben Sie ohne neue Rech-nung die Koordinaten desFlachenmittelpunkts der skiz-zierten Flache an!

Geg.: a

a

aa

a

2a

2a4a

8a8a

xx

yy

Skizze zu a) Skizze zu b)

26. Berechnen Sie die Koordinaten des Mittel-punkts der Flache, die durch den Graphender Parabel, die y-Achse und die Linie y = abegrenzt wird (s. Skizze).

(a) Stellen Sie die Funktionsgleichung derParabel auf.

(b) Berechnen Sie alle notwendigen Inte-grale.

Geg.: a

x

y

a

a

27. Eine Walze (homogen, Masse m,Radius r) liegt an einem Absatz(Hohe r

2) einer schiefen Ebene (Win-

kel α zur Horizontalen). Auf die Wal-ze stutzt sich ein Korper (homogen,Masse M , Kantenlangen 2a). An demKorper greift die Kraft F (ebenfallsWinkel α zur Horizontalen) an. Diegesamte Anordnung ist reibungsfrei.

Gegeben: M , m, g, F , a, r, α

Hinweis: Benutzen Sie das eingezeich-nete Koordintensystem.

A

B

C

D

E

a

a

2a

2aF

g

m

M

r

r/2

x

y

α

α

(a) Schneiden Sie Walze und Korper frei und zeichnen Sie alle angreifenden Krafte ein.

(b) Berechnen Sie die Schnittkrafte in den Beruhrpunkten A, B und C.

(c) Ermitteln Sie den Schwerpunkt des Korpers. Welchen Wert a∗ darf a hochstens anneh-men,damit der Korper nicht nach links uber die Walze kippt?

(d) Wie groß darf fur a < a∗ die Kraft F hochstens sein, damit die Walze in Punkt B nichtabhebt?


28. Das skizzierte System, das sich im Schwerefeld der Erde befindet, besteht aus einer ebenenScheibe, die mit drei Pendelstutzen gelagert ist. Die Scheibe setzt sich aus zwei Teilen mit denDichten ρ1 und ρ2 zusammen. Beide Teile haben die konstante Dicke t. Der LagerungspunktB kann so verandert werden, daß sich verschiedene Winkel 0o < β < 90o einstellen lassen.

(a) Bestimmen Sie ρ2 inAbhangigkeit von ρ1 so,daß der Schwerpunkt derScheibe im Ursprung desin der Skizze eingetrage-nen Koordinatensystemsbefindet.

(b) Bestimmen Sie die Kraftin der Pendelstutze BE alsFunktion von β.

(c) Fur welchen Winkel βk exi-stiert kein Gleichgewichts-zustand? Begrunden Sie.

Geg.: g, t, s, l, ρ1

A

B

C

D

E

Fl

l

ll

2s

3s

β

ρ1

ρ2

l

x

y

g

x

yr

2α

Schwerpunkt des Kreisausschnittes:

xS =2r sinα

3α

29. Aus einer halbkreisformigen Scheibe (Dicke t, Dichte ρ) ist einrechteckiges Stuck entfernt. Bei gegebenem r und a bestimmeman b mithilfe des Tabellenverfahrens so, dass der SchwerpunktS die eingezeichnete Lage annimmt.

Gegeben: r, a = 9π2r64

a

b rS


30. Fur die dargestellte Kreisscheibe, die in der oberen Halfte einekreisformige Aussparung besitzt, bestimme man uber das Ta-bellenverfahren das Verhaltnis der Dichten ρi derart, dass derSchwerpunkt im Mittelpunkt der Kreisscheibe liegt. Der Mittel-punkt der Aussparung befindet sich im Abstand R/2 von derMitte der Kreisscheibe.

Hinweis: Der Schwerpunkt einer Halbkreisflache liegt bei ys =4R3π

,wobei R den Radius bemißt.

Geg.: R, r

r

ρ2

ρ1

R

x

y

1

2R


31. Nachdem sich am Tag der Vordiplomprufung alle Studentenin den ihnen zugeteilten Salen eingefunden haben, verliest derim Audimax Aufsicht fuhrende Assistent die Hinweise zumPrufungsablauf. Er erwahnt dabei, daß TM-Bucher als Hilfs-mittel nicht zugelassen seien, was 20% der Anwesenden, diedie Hinweise am Aushang nicht vorher gelesen haben, in helleAufregung versetzt.

Die unzulassigen TM-Bucher werden daraufhin eingesammeltund auf der Buhne gestapelt. Da eine solche Prufung fur dieAufsichten nicht gerade unterhaltsam ist, wendet sich der As-sistent dem Bucherstapel zu. Er versucht nun, alle Bucher soaufzustapeln, daß der Uberhang s moglichst groß wird. Dabeistellt er sich recht ungeschickt an, und der Stapel fallt immerwieder um. Da Sie mit Ihren Prufungsaufgaben vor der Zeitfertig sind, beschließen Sie, ihm zu helfen.

Hinweis: Fangen Sie beim Stapeln oben an. Wann bleibt dasoberste Buch gerade noch liegen?

(a) Wie groß ist der maximale Uberhang smax, der mit 36 Buchern erreicht werden kann?Betrachten Sie die Bucher als homogene Quader gleicher Dichte.

(b) Ist der Uberhang fur beliebig viele Bucher beschrankt?

(c) Die Dichte der Bucher sei jetzt verschieden (ρTMI

< ρTMII

< ρTMIII

). Wie mussen dieBucher angeordnet werden, damit der Uberhang maximal wird?

Gegeben: h = 10 mm, 2b = 205 mm

Plotten Sie smax/b als Funktion von n (= Anzahl der Bucher, 1 ≤ n ≤ 100)

32. Kurz vor der Wintersaison ist ein neuer Su-perbob auf den Markt gebracht worden. Erwird vereinfacht durch die abgebildete ebe-ne Figur dargestellt. Bestimmen Sie fur dieangegebene Geometrie

(a) die Flacheninhalte Ai und die Koordinaten xSi, ySi, i = 1, . . . , 4 der Flachenschwer-punkte der vier ebenen Teilkorper bzgl. des vorgegebenen x, y–Koordinatensystems.

(b) fur das Gesamtsystem die Koordinaten xS , yS des Flachenschwerpunkts bzgl. des vor-gegebenen x, y–Koordinatensystems.


1.3 Auflagerreaktionen

33. Das dargestellte raumliche Tragwerk ist imPunkt A gelagert (feste Einspannung) undwird im Punkt D durch die Last F belastet. DieBalkenabschnitte AB und CD verlaufen paral-lel zur y-Achse. Der Abschnitt BC ist ein Halb-kreisbogen parallel zur x,z-Ebene. BerechnenSie die Auflagerreaktionen im Punkt A.

Geg.: R, F R

3R

2R

FA

B C

D xy

z

34. Fur den mit einer trapezformigen Streckenlast beauf-schlagten Balken sind die Auflagerreaktionen zu ermit-teln.

Geg.: qA, qB, ll

x

z

A B

qAqB

q(x)

35. Berechnen Sie fur den skizzierten Balken die Auflager-reaktionen. Die Streckenlast q(x) ist wie dargestellt co-sinusformig.

Geg.: q0, l

l

x

z

q0

q(x)

36. Das skizzierte Tragwerk besteht aus zwei gelenkig gelagerten Winkeltragern, die durch einGelenk miteinander verbunden sind. Das Tragwerk wird durch eine konstante Streckenlastund eine Einzelkraft belastet.

(a) Ist das System statisch bestimmt? Be-grunden Sie Ihre Antwort.

(b) Bestimmen Sie Betrag und Angriffspunktder Resultierenden der Streckenlast mitHilfe der integralen Zusammenhange.

(c) Bestimmen Sie samtliche Lagerreaktio-nen.

Geg.: F = 1kN, q0 = 0, 3 kN

m, a = 2m, b =

4m

a

a b

A B

F

x

y

q0


37. Ein LKW mit dem Gesamtgewicht G(Schwerpunkt S) steht in der gezeich-neten Lage auf einer Brucke, die inder Mitte (Zwischenlager E) geteiltist.

Bestimmen Sie alle Auflager-und Zwischenlagerreaktionen inA,B,C,D,E.

Geg.: a, G = 90 kN

A

B

C

D

E

Sg

a

2a

2a

2a

6a 6a


38. Das abgebildete System besteht aus einem Balken AC und einem Stab CD, die in den PunktenA, B und D gelenkig an die Umgebung gekoppelt sind und im Punkt C gelenkig miteinanderverbunden sind. Der Balken AC ist durch eine lineare Streckenlast belastet.

(a) Ist das System statisch bestimmt?Begrunden Sie ihre Antwort.

(b) Bestimmen Sie den Betrag unddie Wirkungslinie der Resultieren-den der Streckenlast.

(c) Bestimmen Sie samtliche Auflager-reaktionen.

(d) Welcher Beanspruchung unterliegtder Stab CD?

Geg.: l, a, α, q0

ll

A B C

D

α

a

q0

x

y


39. Betrachtet wird der abgebildete Kran in einer Werkhalle. Der horizontale Trager ist rechtsund links im Mauerwerk gelagert.

s

(a) Skizzieren Sie vier verschie-dene Lagerungsmoglich-keiten und fertigen Siefur alle vier VariantenFreischnittskizzen an.

(b) Fur welche Varianten kannman die Auflagerkrafteaus den Gleichgewichts-bedingungen berechnen?Wann spricht man voneinem statisch bestimmtenSystem?



40. Ein homogene Scheibe (Masse m) ist wie ab-gebildet uber zwei Pendelstutzen und ein Los-lager gelagert.

(a) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen,d.h. die Krafte in den Pendelstutzen unddie Kraft im Loslager C.

(b) Skizzieren Sie die Kraft im Lager C alsFunktion der Lange b, wobei 0 < b < 2a.

Geg.: a, b, g, m, α = 30o

a

2a

A B

C

ex

ey

b

√3

3a

g

αα

41. Der abgebildete starre Rahmen ist in A und B uber Loslager und in C uber eine Pendelstutzegelagert. Im Punkt E wird die Konstruktion durch eine Einzelkraft F belastet.

(a) Schneiden Sie den Rahmen frei.Wieviele unbekannte Lagerreaktio-nen gibt es?

(b) Stellen Sie die Gleichgewichtsbedin-gungen auf.

(c) Zeigen Sie, dass die Zugkraft S in derPendelstutze

S =2F

cosα− sinα

betragt. Bestimmen Sie zudem dieLagerkrafte in den Loslagern A undB.

(d) Skizzieren Sie den Verlauf derKraft S in der Pendelstutze inAbhangigkeit vom Winkel α, wobei0 < α < 90◦.

A

B

C

D

E

P

2l

2l

ll

l

α

ex

ey

F

(e) Zeichnen Sie die Wirkungslinien der drei berechneten Auflagerreaktionen fur α = 45◦ ineine maßstabsgerechte Skizze der Konstruktion. Interpretieren Sie das Ergebnis.

Geg.: F , l, 0 < α < 90◦


42. Das abgebildete Tragwerk soll soausgelegt werden, daß die Sicherheitgegen Versagen der Lager fur dieBelastung durch die Einzelkraft Fmoglichst groß ist. Die Hauptabmes-sungen des Tragwerks sind aus funk-tionalen Grunden bereits vorgege-ben. Lediglich die Position des Ge-lenks E, d. h. die Lange a, kann nochverandert werden. Die zulassigenLagerkrafte sind fur alle Lager gleichgroß.

Bestimmen Sie die Lange a, so dassdie betragsmaßig maximalen Krafteder Lager A, B, C, D moglichst kleinwerden.

Geg.: F , l

l

l

1

2l

a

F

y

x

AB

C

D

E

43. Ein in A, B und C gelagerter Gerbertrager wird durch die konstante Streckenlast q und eineEinzelkraft F = 3

2ql belastet. Die Hauptabmessungen des Gerbertragers sind aus funktionalen

Grunden bereits vorgegeben. Lediglich die Lage des Gelenkes G (0 < a < l) kann noch gewahltwerden. Die zulassigen Lagerkrafte (betragsmaßig) seien fur alle Lager gleich groß.

(a) Berechnen Sie die Auflagerkrafte inAbhangigkeit von a.

(b) Bestimmen Sie nun (z.B. grafisch) die Langea so, dass die Sicherheit gegen Versagen eines(beliebigen) Auflagers moglichst groß wird.

Hinweis: Zur betragsmaßigen Erfassung derLagerkrafte sind auch die horizontalen Kom-ponenten entscheidend.

Geg.: q, l, F = 3

2ql

A B CG

all

q

x

z

+

F

44. Das abgebildete Tragwerkwird durch eine konstanteStreckenlast q0 belastet.

Berechnen Sie die Aufla-gerreaktionen in den La-gern A und C.

Geg.: a, b, q0

A

B

C

q0

a a2a a

b

ex

ey


45. Ein in P gelenkig gelagerter Balkenwird von zwei Seilen AC und BDgehalten und durch eine Kraft Fim Punkt E belastet. Man berech-ne den Vektor der Auflagerkraft FP

im Lager P und die Krafte FAC bzw.FBD in den beiden Seilen.

Hinweis: Die Lager in A, B und Psind Festlager.

Geg.: l, F

l

l

2l

2l

2l

2l

A

B

C

D

E

P

x

y

z

F

46. Eine Seilwinde ist durch ein Festla-ger A und ein Loslager B gelagert.Durch die an der Kurbel angreifendeKraft P soll der Last G das Gleich-gewicht gehalten werden. Wie großmuß die Kraft P sein, und welcheKrafte wirken in der eingezeichnetenStellung in den Lagern?

Geg.: l, a, c, r, h, G, ϕ = 45◦

y x

z z

P P

G

h

r

c

A

B

a

l

ϕ

47. Es soll die abgebildete Entladestation naher untersucht werden. Die Stangen AD und BEhaben die Lange l und sind im Punkt C gelenkig miteinander verbunden. Das Gewicht derStangen soll gegenuber dem Gewicht der Ladung und der Plattform (insgesamt GewichtskraftG, Schwerpunkt S) vernachlassigt werden.

(a) Berechnen Sie die Gelenkkrafte in Aund C sowie die Kraft im Hydrau-likzylinder DP in Abhangigkeit vomWinkel α.

(b) Wie groß ist die Absenkung ∆h,wenn in der oberen Lage α = 60◦

und in der unteren Lage α = 30◦

gilt? Zeigen Sie, dass fur a = 1

3l der

Schwerpunkt S stets zwischen A undB liegt.

(c) Wie groß ist Lagerkraft im Gelenk Cfur a = 1

3l und α = 30◦? Werten Sie

alle Winkelfunktionen aus und ge-ben Sie auch eine Naherung fur dieLagerkraft an.

Geg.: l, a, G

a

α

∆h

S

A B

C

DE

P



48. Auf der in den Punkten A, B und C jeweilszweiwertig gestutzten Plattform wird imPunkt D ein Loch gebohrt und dabei dieKraft F0 und das Moment M0 erzeugt.Man berechne samtliche Auflagerkrafte.

Gegeben: L, F0, M0

L

L

L

L

L

A

B

C

D

x

yz

F0

M0

49. Die abgebildete Konstruktion ist Teil einer Erdolforderanlage in einem Naturschutzgebiet inAlaska.

a

2a3a

5a 6a

A B

C

D

E

M

F

SBSB

SC

SW

α

β

Untersucht wird die dargestellte Lage, bei der der Trager ABC horizontal ist. In diesem Fallist die Kraft im Kabel gerade F . Welches Drehmoment M muss in diesem Fall durch denMotor aufgebracht werden, um die Last F gerade zu halten? Die Gewichte des oberen Tragersseien GC , GB mit den Schwerpunkten SC bzw. SB . Das Gegengewicht ist GW . Die StangeAD ist beidseitig gelenkig gelagert und ihr Gewicht ist vernachlassigbar.

Geg.: F = 1000N, GC = 240N, GB = 520N, GW = 800N, α = 30o, β = 60o, a = 0,3m

Literatur: [1, S. 88]


1.4 Stabwerke

50. Das aus einem Starrkorper, einer Fachwerkscheibe (Stabe 1 bis 7) und dem Stab 8 bestehendeSystem ist in den Punkten A und B statisch bestimmt gelagert. Ein im Punkt D befestigtesSeil wird uber reibungsfreie Umlenkrollen in E und F gefuhrt und mit einer Kraft P belastet.Zusatzlich wirkt im Punkt C die Kraft 1

2P . Der Radius der Umlenkrollen kann bei der Losung

vernachlassigt werden.

(a) Bestimmen Sie die Auflagerre-aktionen des Systems.

(b) Ermitteln Sie die Krafte in denStaben 4, 5 und 6 mit ei-nem Ritterschen Schnitt. Ge-ben Sie jeweils die Bean-sprungsart (Zug/Druck) an.

(c) Der Stab 8 wird aus dem Sy-stem entfernt. Verandern Siedie Lagerung so, daß auch dasneue System statisch bestimmtgelagert ist. Skizzieren Sie ei-ne der moglichen Losungen. Be-grunden Sie Ihre Entscheidungdurch den Nachweis der stati-schen Bestimmtheit.

Geg.: P , a

a

a a aa

a

a

x

y P

1

2P

A B

C

D

E F1

2

3

4

5

6

7

8

51. Die abgebildete Vorrichtung wird ineiner Werkstatt benutzt, um schwe-re Komponenten (z.B. Motoren) zubewegen. Strebe BD und Hydraulik-zylinder BF sind beidseitig gelenkiggelagert. Das Eigengewicht der Kon-struktion ist fur die folgenden Be-rechnungen zu vernachlassigen. DieMasse des Motors sei m. BerechnenSie die Kraft F1 im Hydraulikzylin-der BF und die Kraft F2 in der Stre-be BD.

Geg.: a, b = 2a, m, g

a

a

a

b

b

bb

A B

C

D

EFG

H



52. Das abgebildete Fachwerk aus neun Staben wirdwie skizziert im Knoten II durch eine EinzelkraftF belastet.

(a) Uberprufen Sie, ob das skizzierte Fachwerkstatisch bestimmt ist.

(b) Berechnen Sie die Stabkrafte Si (i =1, ..., 9). Geben Sie zu jedem Stab an, ober auf Zug oder Druck belastet ist.

Geg.: l, F

��

��

��

x

y

(I) (II) (III)

(IV)

(V)

(VI)

1

2 3

4

56

78

9l

ll

l2

F

53. Gegeben ist das skizzierte Tragwerk aus einemfest eingespannten Balken und einem Fach-werk aus 13 Staben. Es wird belastet durchdas Gewicht G = 2q0a an einem uber 2 Rollengefuhrten Seil (reibungsfrei). Der Balken wirdzusatzlich durch eine nicht konstante Strecken-last qz(x) belastet, deren Maximalwert mit q0gegeben ist.

(a) Erkennen Sie Nullstabe?

(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktion in Aund B.

a

aaaa

2ar

r

q0

x

zA

B

G

1

2 3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

(c) Berechnen Sie die Stabkrafte in den Staben 8, 9, 10. Handelt es sich um Zug- oderDruckstabe?

Geg.: q0, a, r, G = 2q0a

54. Das aus 15 gelenkig miteinander verbundenen Stabenbestehende ebene Fachwerksystem, das in den PunktenA und B gelagert ist, wird durch die vier Krafte belastet.

(a) Begrunden Sie die statische Bestimmtheit.

(b) Benennen Sie drei Nullstabe und begrunden Sie Ih-re Wahl.

(c) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen in A und B.

(d) Ermitteln Sie die Krafte in den Staben 12, 13 und14 mit Hilfe des Ritterschen Schnittes und gebenSie an, ob die Stabe auf Zug oder Druck bean-sprucht werden.

(e) Prufen Sie die Richtigkeit der berechneten Stab-krafte S12, S13 und S14 mit Hilfe des Knoten-schnittverfahrens.

Geg.: F , l

A

B

F

F

F

√2F

ll

ll 2

l 2

45o

x

z

+

11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

13

14

15


55. Der Dachbinder einerTurnhalle soll alsFachwerkkonstruktionwie nebenstehendskizziert ausgebildetwerden. Berechnen Siedie Auflagerreaktionenund Stabkrafte. Nut-zen Sie die Symmetrie.

Geg.: α, l, F

FF

3F

αααα

1

4l1

4l1

4l1

4l

l

56. Das Tor einer Flugzeughalle wird mittels des abgebil-deten Mechanismus langsam geoffnet bzw. geschlos-sen. Zwischen dem Rad in A und der Wand soll dieReibung vernachlassigt werden.

Unter der Annahme einer zweigliedrigen Tur (jeweilsHohe h, Breite b und Masse m) soll die Kraft im SeilAB berechnet werden.

Geg.: h, b, m, g, ϕg

ϕ

A

B

C

D

57. Ein Kranausleger soll mit dem ab-gebildeten mechanischen System be-schrieben werden. Fur die Dimen-sionierung mussen die Auflagerkrafteund Stabkrafte bestimmt werden.

(a) Uberprufen Sie die notwendi-ge Bedingung fur statische Be-stimmtheit des Fachwerks.

(b) Bestimmen Sie die Lagerreak-tionen in A (Knoten VI) undB (Knoten IV).

AB

1 2

34

56

7

8 9

I II III

IV

V

VI

~ex~ey

~ez

l

l2

l2 2l

F

(c) Ermitteln Sie nun die Stabkrafte in den Staben 1 bis 9 mit Hilfe des Knotenschnittver-fahrens oder mit dem Ritterschnittverfahren.

Geg.: l, F



58. Das skizzierte, ebene, ideale Fachwerk dient als mechanisches Ersatzmodell fur eienen Kran,welcher eine Last mit dem Gewicht G (Gewichtskraft) tragt. Das Tragseil ist am Knoden-punkt A befestigt und wird uber drei reibungsfreie Umlenkrollen mit vernachlassigbar kleinemRadius gefuhrt.

(a) Uberprufen Sie die notwendigeBedingung fur die statische Be-stimmtheit des Fachwerks.

(b) Bestimmen Sie die Lagerreaktio-nen in den Punkten A und B.

(c) Ermitteln Sie die Stabkrafte inden Staben 3, 8 und 12 mit Hil-fe des Ritterschnittverfahrens undgeben Sie die jeweilige Beanspru-chungsart an.

(d) Wie groß sind die Krafte in denStaben 1 und 4?

Geg.: l, G

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13

14 15 16

17

18 19 20

21A B

llll

l

l

lG

~ex

~ez

Hinweis: Alle Aufgabenteile sind unabhangig voneinander losbar.

59. Gegeben ist der skizzierte Kranausleger. Am Tragseil hangt ein Gewicht der Masse M . Dasmasselose Tragseil wird uber zwei masselose reibungsfreie Rollen (von zu vernachlassigendemDurchmesser) gefuhrt.

(a) Bestimmen Sie die Auflager-reaktionen in A und B sowiedie Seilkraft S.

(b) Ermitteln Sie die Krafte inden Staben 6, 7 und 9 undgeben Sie an, ob die Stabeauf Zug oder auf Druck be-ansprucht sind. (Werten Siedie trigonometrischen Funk-tionen aus und vereinfachenSie das Endergebnis.)

Geg.: M , g, a, α = 30◦

A

B

y

x

M

a

a

2a

2a

+

α

g

1 2

3

4 5 6 78 9 10


1.5 Schnittlasten in Balken und Rahmen

60. Der skizzierte Balken ist links fest eingespannt und wirddurch eine cosinusformige Streckenlast q(x) belastet.

(a) Berechnen Sie den Verlauf der Schnittgroßen (Biegemo-ment, Querkraft, Normalkraft).

(b) Skizzieren Sie den Verlauf der Schnittgroßen unter An-gabe charakteristischer Werte.

(c) Wie groß ist das maximale Biegemoment?

Geg.: q0, l

l

x

z

q0

q(x)

61. Der skizzierte Balken ist in A und B gelenkig gelagertund wird durch eine lineare Streckenlast q(x) belastet.Berechnen Sie den Verlauf der Schnittgroßen (Biegemo-ment, Querkraft, Normalkraft).

Geg.: q1, q2, ll

x

z

A B

q1q2

q(x)

Literatur: [1, S. 116-129]

62. Der nebenstehende Balken ist belastet mit der vertikalenLast p(s) = p0 sin

πs2l. Ermitteln Sie die Schnittgroßen

mithilfe der Schnittlast-Differentialgleichungen.

Geg.: α = 30◦, p0, l

ls

p0α

63. Auf den skizzierten Balken wirkt ein Ein-zelmoment M0 = 4q0l

2 und eine konstanteStreckenlast q0. Gesucht sind die Schnittla-stenverlaufe. Gehen Sie zu deren Berechnungwie folgt vor:

(a) Ist das System statisch bestimmt gela-gert? Begrunden Sie Ihre Antwort.

(b) Bestimmen Sie alle Lagerreaktionen.

q0

2l2l 4l

xM0

α

(c) Berechnen Sie die Schnittgroßen N(x), Q(x) undM(x) und skizzieren Sie diese qualitativunter Angabe markanter Werte (Nullstellen, Extrema etc.).

Geg.: q0, l, α, M0 = 4q0l2


64. Die abgebildete Hebevorrichtung wirdzum Umschlagen von Holzstammen ver-wendet. Das Seil und der Balken schlie-ßen stets einen Winkel von 45◦ ein (sieheAbbildung). Der Schwerpunkt der Lastliege stets genau unterhalb des Kranha-kens. Wo mussen die Befestigungen Cund D vorgesehen werden (Lange b), da-mit die Last im Abschnitt CD kein Bie-gemoment hervorruft. Nehmen Sie an,daß die Masse m der Holzstamme 200kg betragt.

Geg.: m = 200 kg, a = 3m, c = 0,2m

a

b

c

c

g

45◦

A B

CD

E

65. Bestimmen Sie fur das skizzierte System die Schnittlasten mit

(a) dem Globalschnittverfahren und

(b) mittels der Schnittlastendifferentialgleichungen.

Stellen Sie die Schnittlastverlaufe grafisch dar! Das Maximumder Streckenlast sei q0.

Geg.: q0, l, F = q0l

x

z

q0F

ll

66. Der abgebildete Kran soll untersucht werden.Die Lange des horizontalen Tragers AC unddie Lage der Auflager A und B sind aus funk-tionalen Grunden bereits festgelegt. Die Hoheder Stutze AD soll nun so bemessen sein, daßdas maximale Biegemoment in der Strukturmoglichst klein ist.

Das undehnbare Seil wird uber reibungsfreieRollen mit vernachlassigbar kleinem Radiusgefuhrt. Fur den Abstand der Lager gilt a =2

3l.

x

y

g

h

a

l

m

A B

C

D

(a) Erlautern Sie kurz die notwendigen Berechnungsschritte.

(b) Berechnen Sie die Hohe der Stutze AD.

(c) Skizzieren Sie fur diesen Fall den Verlauf des Biegemomentes im gesamten Kran unterAngabe charakteristischer Werte.

(d) Bis zu welchen Lasten kann der Kran zugelassen werden, wenn das maximal zulassigeBiegemoment 5 · 105 N m betragt (Lange l = 5 m).

67. Ein in A, B und C gelagerter Gerbertrager wirddurch die Streckenlast q belastet.

Bestimmen Sie die Lage des Gelenkes G (Maß a) so,dass das maximal auftretende Biegemoment einenmoglichst kleinen Wert annimmt.

Geg.: q, l

A B CG

all

q

x


68. Die skizzierten Balken sind sta-tisch bestimmt in den PunktenA, B und C gelagert. Sie wer-den im Bereich AB durch eine li-near von Null auf q0 ansteigendeStreckenlast sowie im Bereich BCdurch eine entgegengesetzte kon-stante Streckenlast q0 belastet.

Die Verlaufe von BiegemomentM(x) und Querkraft Q(x) sol-len in den folgenden Schritten be-stimmt werden.

A B C

3l 2l

q0

q0

x

z

Benutzen Sie fur alle Berechnungen das eingezeichnete Koordinatensystem.

(a) Wie lauten (allgemein) die Differentialgleichungen, die die Berechnung der gesuchtenSchnittlasten Q(x), M(x) ermoglichen?

(b) Nehmen Sie eine Bereichseinteilung vor und stellen Sie die Funktion der Streckenlast qjfur alle Abschnitte j auf.

(c) Geben Sie die Rand- und Ubergangsbedingungen an, die zur Berechnung der Schnittla-sten benotigt werden. Weist die Querkraft einen Knick oder Sprung an der Stelle x = 3lauf? Begrunden Sie.

(d) Bestimmen Sie nun die gesuchten Großen M(x) und Q(x) im Abschnitt BC.

(e) Skizzieren Sie den Querkraft- und den Biegemomentenverlauf im Abschnitt BC.

Geg.: q0, l

69. Das skizzierte Tragwerk, bestehend aus 4Balkenelementen, wird am ersten Balken-element durch eine konstante Sreckenlastbelastet. C ist ein Gelenk, B und D sindbiegesteife Ecken.

Gegeben: q0, l

A

B

C D

E

l

l l

q0

ex

ez

x1z1 x2

z2

x3z3

x4z4

60◦

(a) Begrunden Sie die statische Bestimmtheit des skizzierten Tragwerkes.

(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen und die Gelenkkrafte.

(c) Berechnen Sie die Normalkraft, die Querkraft und das Biegemoment fur

die Balkenlemente 1 und 2.

(d) Skizzieren Sie die Schnittlastenverlaufe aus (c) unter Angabe charakteristischer Werte.


70. Das skizzierte Rahmentragwerk soll naher untersuchtwerden.

(a) Berechnen Sie die Normalkraft, die Querkraft sowiedas Biegemoment fur jeden Punkt des Rahmens.

(b) Skizzieren Sie die Schnittlastverlaufe fur F = q0lunter Angabe charakteristischer Werte.

(c) Wie groß ist das maximale Biegemoment?

Geg.: F , q0, l

x

z

l

l2

l2

F

q0

71. Ein Trager wird zwischen den Auflager-punkten A und B durch eine konstan-te Streckenlast q0 sowie im Bereich l ≤x ≤ 2l durch eine linear veranderlicheStreckenlast beansprucht.

(a) Berechnen Sie den Verlauf derQuerkraft Q(x) und des Biegemo-ments M(x) mit einem Verfah-ren Ihrer Wahl (Globalschnittver-fahren oder Schnittlastendifferenti-algleichungen).

AB

z

x

q0

l l

(b) Bestimmen Sie das betragsmaßig großte Biegemoment.

(c) Skizzieren Sie den Verlauf der Querkraft Q(x) und des Biegemoments M(x) unter An-gabe charakteristischer Werte.

Geg.: l, q0

72. (a) Berechnen Sie fur das skizzierte ebene Tragwerk die Auflagerreaktionen und Stabkrafte.

(b) Bestimmen Sie nun die Schnittlasten M(x), Q(x) im Bereich 0 < x < 3l.

(c) Skizzieren Sie die Schnittgroßen.

x

l

lll

3l3l

2l/3

q0

Geg.: q0, l

Literatur: [1, S. 116-134]


73. Die abgebildete Vorrichtung wird ineiner Werkstatt benutzt, um schwe-re Komponenten (z.B. Motoren) zubewegen. Die Masse von Motor undAufhangung (Kette, Haken) sei mL.Der horizontale Trager ist homogenund hat eine Masse mT = 1

10mL. Fur

die Abmessungen gilt b = 2a.

(a) Berechnen Sie die Schnittlastenim horizontalen Trager EG.

(b) Wie groß ist das maximale Bie-gemoment? Nutzen Sie die un-tenstehenden Zahlenwerte.

Geg.: a = 1m, b = 2a, mL = 150 kg,mT = 15kg, g = 9,81m s−2

a

a

a

b

b

bb

A B

C

D

EFG

H


74. Das skizzierte Tragwerk wird auf demwaagerechten Teil des gewinkelten Tragersdurch eine konstante Streckenlast belastet.

(a) Begrunden Sie die statische Be-stimmtheit des skizzierten Tragwer-kes.

(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktio-nen und die Gelenkkrafte.

(c) Skizzieren Sie den Verlauf derSchnittgroßen (Normalkraft N ,Querkraft Q und Biegemoment M)und geben Sie charakteristischeWerte an.

A

B

C

a

aa

q0Gelenk

Geg.: a, q0

75. Ein kreisformiger Trager (Radius R) ist in A durch ein Festlager und in B durch ein Loslageran die Umgebung gekoppelt. In B greift eine horizontale Kraft F an.

(a) Bestimmen Sie den Schnittkraftvektor in demgekrummten Trager fur beliebige Winkel ϕ.

(b) Wie groß sind fur ϕ = 45o und fur ϕ = 90o dieNormalkraft und die Querkraft?

(c) Bestimmen Sie nun den Schnittmomentenvek-tor in dem gekrummten Trager fur beliebigeWinkel ϕ.

(d) Wie groß ist fur ϕ = 45o und fur ϕ = 90o dasBiegemoment?

ex

ez

Fϕ

R

A B

Geg.: R, F


2 Elastostatik

2.1 Zug/Druck, Warmedehnung

76. Ein Draht aus hochfestem Stahl (Lange l = 20 cm, E-Modul E = 210 GPa) wird durchEinwirkung einer Kraft F = 10 kN um ∆l = 0, 5 mm verlangert.

(a) Wie groß ist die Dehnung ε?

(b) Berechnen Sie die Spannung σ im Draht.

(c) Welche Querschnittsflache A hat der Draht? Wie groß ist der Durchmesser d des Drahtes,wenn man einen kreisformigen Querschnitt zu Grunde legt?

Literatur: [3]: Zug und Druck Staben, Abschnitt 1.1 bis 1.4

77. Ein Stab der Lange l = 10 cm mit kreisformigem Querschnitt (Durchmesser d = 2 cm)verlangert sich unter der Einwirkung einer Langskraft F = 5 kN um ∆l = 0, 2 mm.

(a) Wie groß ist die Dehnung ε des Stabes?

(b) Welche Spannung σ herrscht im Stab?

(c) Kann der Stab aus Stahl sein?

78. Das abgebildete mechanische System besteht aus zweiStaben (Langen: l1 = 10 cm, l2 = 8 cm, Durchmesser:d1 = 3 cm, d2 = 2 cm, E-Modul: E1 = E2 = 210 GPa).Am rechten Ende greift die Kraft F = 20 kN an.

Wie groß ist die gesamte Langenanderung?

F

1 2

Literatur: [3]: Zug und Druck Staben, Abschnitt 1.1 bis 1.4

79. Das abgebildete mechanische System besteht aus zwei Staben mit kreisformigem Querschnitt,die zwischen zwei starren Platten angebracht sind. Die Stabe wurden bei Raumtemperaturspannungsfrei eingefugt. Danach wurden die Stabe um unterschiedliche Temperaturen ∆T1

und ∆T2 erwarmt.

(a) Leiten Sie Gleichungen fur die Spannungen in beidenStaben als Funktion von ∆T1, ∆T2, α1, α2, E1, E2, l1,l2, d1 und d2 her.

(b) Setzen Sie nun die folgenden Zahlenwerte ein:

Langen: l1 = 30 cm, l2 = 50 cm;Durchmesser: d1 = 10 cm, d2 = 8 cm;E-Modul: E1 = 206 GPa, E2 = 147 GPa;Thermische Ausdehnungskoeffizienten:α1 = 1, 3 · 10−5 K−1, α2 = 0, 6 · 10−5 K−1;Temperaturerhohungen: ∆T1 = 20 K, ∆T2 = 40 K.

1 2


80. Der starre Hebel BDE ist uber zwei Stabe AB und CDgestutzt. Stab AB ist aus Aluminium (E-Modul E1) undhat eine Querschnittsflache A1. Stab CD ist aus Stahl(E-Modul E2) und hat eine Querschnittsflache A2. ImPunkt E ist der Hebel durch eine Einzelkraft F belastet.

(a) Wie groß sind die Langenanderungen der StabeAB und CD?

(b) Bestimmen Sie die Absenkung des Punktes E un-ter der angegebenen Last.

l2l1

l21

2l2

F

A

B

C

D E

Geg.: F = 30 kN, l1 = 300 mm, l2 = 400 mm, E1 = 70000 Nmm−2, E2 = 200 000 Nmm−2,A1 = 500 mm2, A2 = 600 mm2

Literatur: [3]: Statisch bestimmte Stabsysteme: Abschnitt 1.5, insb. Beispiel 1.5

81. Der starre Hebel AF ist uber zwei Stabe BC undDE gestutzt. Beide Stabe sind aus Stahl (E-ModulE = 200 kNmm−2) und haben eine rechteckigeQuerschnittsflache (12 mm× 6 mm). Im Punkt Aist der Hebel durch eine Einzelkraft P belastet.

(a) Ist der starre Hebel AF statisch bestimmtgelagert? Kann man die Krafte in denStaben BC und DE nur aus den Gleichge-wichtsbedingungen bestimmen?

(b) Wie groß sind die Krafte in den beidenStaben?

(c) Bestimmen Sie die Auslenkung des PunktesA unter der angegebenen Last.

a b

a

1

2a

1

2a

PA

B C

DE

F

Geg.: P = 2, 5 kN, a = 100 mm, b = 125 mm, E = 200 kNmm−2, A = 72 mm2

Literatur: [3]: Statisch unbestimmte Stabsysteme: Abschnitt 1.6, insb. Beispiel 1.7

82. Der Architraph eines Daches mit dem Ge-wicht G soll auf zwei Saulen aufgestellt wer-den. Es sind nur Saulen der Langssteifigkeit EAverfugbar und das Dach soll zu jeder Zeit waa-gerecht liegen. (Das heißt, die Saulen sollen sichunter der Dachlast gleichmaßig absenken.)

(a) Welches Langenverhaltnis h1

h2muß

gewahlt werden, damit der Architraphwaagerecht steht?

(b) Wie groß ist der Winkel α zu wahlen?

Geg.: EA, G, l

h1h2

lα

g


83. Das gezeigte ebene, symmetrische Dreibein be-steht aus drei elastischen Staben. Alle drei Stabehaben den E-Modul E. Die Stabe 1 und 3 ha-ben die Querschnittsflache A, Stab 2 hat die Quer-schnittsflache 2A.

Das Dreibein wird im oberen Gelenkpunkt, in demalle Stabe gelenkig verbunden sind, durch eineKraft P belastet. Knicken der Stabe sei ausge-schlossen. Die Verformungen sind sehr klein undrein elastisch.

(a) Berechnen Sie die Stabkrafte S1, S2 und S3.

(b) Wie groß ist die Durchsenkung w des Punk-tes A?

Geg.: P , E, A, l

x

y

ll

l

A

3

P

1 2

84. Eine Kraft F soll mit einem Stabzweischlag im Abstand a vomPunkt C gehalten werden. Beide Stabe bestehen aus dem glei-chen Werkstoff und haben jeweils eine konstante Querschnitts-flache A. Die zulassige Spannung σzul ist bei Zug- und Druck-beanspruchung gleich.

(a) Wie groß muß der Winkel α < 90◦ gewahlt werden, da-mit moglichst wenig Material benotigt wird? BeachtenSie, daß in keinem der Stabe die maximale Spannunguberschritten werden darf.

(b) Wie verschiebt sich der Punkt B in diesem Fall, wenn dieLast F = 1

2Aσzul wirkt?

Geg.: F , a, E, A, σzul

a

α

F

A

BC2

1

85. Das skizzierte System aus drei elastischen Staben wird im zentralen Knoten P mit der durchden Vektor ~F = Fx~ex+Fy~ey gegebenen Kraft belastet. Die dadurch hervorgerufene Verschie-bung soll mit dem zu bestimmenden Vektor ~u beschrieben werden.

Alle Bauteile haben den Elastizitatsmodul E und die Querschnittsflache A. Die Langen sindder Skizze zu entnehmen.

(a) Formulieren Sie die Gleichgewichtsbeziehungfur den Knoten P.

(b) Ermitteln Sie die Langenanderung ∆li derdrei Stabe i ∈ {1, 2, 3} als Funktion der Ver-schiebungskomponenten ux und uy.

(c) Geben Sie die Stabkrafte Si als Funktionenvon ux und uy an.

(d) Bestimmten Sie die Komponenten des Ver-schiebungsvektors ~uP .

x

ya b

c

d~F

P 1

2

3

Geg.: a, b, c, d, A, E, Fx, Fy

Hinweis: Verwenden Sie die Abkurzung r :=√a2 + c2.


86. Der skizzierte Balken sei starr, die Stabe sollen die Feder-steifigkeit k1 bzw. k2 haben und nicht ausknicken. Es sollenkleine Verformungen angenommen werden.

(a) Bestimme die Langenanderung ∆l1, ∆l2 der Stabe 1und 2!

(b) Bestimme die Verschiebung uB des linken Lagers Bund den Winkel ϕ, um den sich der Balken unter derBelastung dreht!

Geg.: l, α, F , k1, k2

��

��

��

α

F

k1

k2

l l

1

2

ABC

87. Das skizzierte System aus vier elastischen Stabenwird im zentralen Knoten P mit der Last F inder angegebenen Richtung belastet. Alle Bauteilehaben den Elastizitatsmodul E und einen quadra-tischen Querschnitt mit der Kantenlange D. DieLangen sind der Skizze zu entnehmen.

Bestimmen Sie die x- und y-Komponenten der Ver-schiebung des Punktes P! Die Verschiebung sollklein und Knicken ausgeschlossen sein.

Geg.: a, b, c, d,D, F, α,E

x

ya b

c

dF

αP 1

2

3

4

88. Stab 1 der abgebildeten Konstruktion wird um ∆Terwarmt.

Berechnen Sie die Komponenten ux und uy der Verschie-bung des Knotens P. (Beachten Sie die eingezeichnete Vek-torbasis.)

Geg.: b, ∆T , Querschnittsflache A = const, Elasti-zitatsmodul E, Temperaturausdehnungskoeffizient α

P

bbb

1

2 3

ex

ey

89.

d D1

D2

H1

H1H1

H2 H2

H2

A A

A:

ll

Zur Verbindung der beiden HulsenringeH1 (E1 = 2,1 · 105 N/mm2,D1 = 40 mm) und H2 (E2 = 0,8 · 105 N/mm2, D2 = 50 mm)wird ein Niet (EN = 2,1 · 105 N/mm2) bei einer Temperatur vonT0 = 520 K durch die Bohrung (d = 20 mm) geschlagen. Man be-rechne die Spannungen in den Hulsenringen H1 und H2 sowie imSchaft des Nietes nach Abkuhlung auf T1 = 290 K. (Annahme: dieNietkopfe sind starr, die Hulsen von Anfang an kalt: 290 K).

Geg.: αt = 12 · 10−6 1/K


90. Die Endquerschnitte eines konischen Stabessind durch zwei gleiche, anfangs ungespannteFedern mit der Federsteifigkeit c verbunden.

Wie verschiebt sich der rechte EndquerschnittA, wenn der Stab (nicht die Federn) um ∆Terhitzt wird? Knickung sei ausgeschlossen.

Geg.: D, d, l, E, c, α, ∆T

ADα,E

l

d

x

c

cstarre Platte

91. Ein starrer Balken der Lange 4l ist durch ein festes Ge-lenklager in A und zwei Stabe in B und C gestutzt. DerBalken und die Stabe sind als gewichtslos zu betrachten.Im unbelasteten Zustand seien die Stabe ungedehnt.Die Stabe haben die Querschnittsflachen A1 = A2 = Aund die Langen l1 = l, l2 = 2l, E-Modul E.

Der Balken wird durch eine konstante Streckenlast qbelastet. Der Stab 1 wird zudem um ∆T erwarmt. Derlineare Warmeausdehnungskoeffizient fur denWerkstoffdes Stabes 1 ist α.

x

y

q

A

B

C

12

2l 2l

(a) Berechnen Sie fur diesen Fall die Stabkrafte S1 und S2 sowie die Lagerkraft in A.

(b) Fur welche Temperaturanderung ∆T ∗ wird die gesamte Belastung von Stab 1 getragen?

Geg.: q, ∆T , α, A, l, E

92. Der skizzierte Stab besteht in seinem rechten Teil 3 aus einem homogenen Werkstoff, inseinem linken Teil (1 und 2) aus einem symmetrisch aufgebauten Verbund-Korper. Zwischenden Teilen des Stabes befindet sich eine starre Platte. Der Stab liegt zunachst spannungsfreizwischen zwei festen Widerlagern. Dann wird Teil 3 des Stabes um eine Temperatur ∆θerwarmt.

A1/2

A1/2

A2

l1 l2

1

1

2 3

SS:

(a) Wie groß sind die Normalspannungen in den drei Querschnittsteilen?

(b) Wie groß ist die Verschiebung der starren Platte?

Geg.: l1 = 4, 00m, l2 = 3, 50m, A1 = 300cm2, E1 = 2 · 104N/mm2, ∆θ = 40K,A2 = 100cm2,E2 = 2 · 105N/mm2,A3 = 700cm2,E3 = E1 = 2 · 104N/mm2, αt3 = 12 · 10−61/K


2.2 Torsion

93. Wie groß ist die Torsionsfederkon-stante fur die skizzierte Welle?

Geg.: d1 = 2 cm, d2 = 4 cm, a = 25cm, b = 50 cm, e = 30 cm, G = 86GPa a b e

d1 d2

94. Der vorlaufige Entwurf einer Welle zur Verbindung eines Motors mit einem Generator siehteine Hohlwelle mit Innendurchmesser di = 100 mm und Außendurchmesser da = 150 mm vor.Die maximal zulassige Schubspannung betragt τzul = 85 MPa. Welches maximale Drehmo-ment kann durch die Welle ubertragen werden, wenn

(a) die Welle wie geplant gefertigt wird,

(b) eine Vollwelle gleicher Masse gefertigt wird,

(c) eine Hohlwelle gleicher Masse und Außendurchmesser da =200 mm gefertigt wird?

di da

Literatur: [3]: Torsion kreiszylindrischer Wellen: Abschnitt 5.1

95. Die Enden einer abgesetzten Welle (Abschnitt 1: Durchmesser d1, Abschnitt 2: Durchmesserd2) sind in den Lagern A und B gegen Verdrehung festgehalten. Auf ein Zahnrad, das mitder Welle fest verbunden ist, wirkt ein Kraftepaar, so daß auf die Welle das TorsionsmomentMT ubertragen wird.

(a) Wie groß sind die in den Lagern A und B auf-zunehmenden Torsionsmomente?

(b) In welchem Wellenabschnitt tritt fur den Falla > b > c die großte Schubspannung τmax aufund wie groß ist sie?

(c) An welcher Stelle mußte das Zahnrad auf demWellenabsatz 2 befestigt sein, damit der Ver-drehwinkel maximal wird?

Geg.: d1, d2, a, b, c, MT

A B

a b c

x

1 2

96. Dargestellt ist ein durch zwei außere Drehmomente belasteter zusammengesetzter zylindri-scher Stab aus elastischem Material mit dem Schubmodul G.

aaaa

M2Md1

starr

d2

Bestimmen Sie ξ = d1/d2 so, dass links und rechts der starren Scheibe betragsmaßig dieselbenmaximalen Spannungen auftreten!


97. Eine Vollwelle aus Stahl (Durch-messer d) und eine Hohlwelle ausAluminium (Außendurchmesser da,Wandstarke t) sind rechts fest ein-gespannt und links uber eine star-re Platte verbunden. Wie groß istdas maximal zulassige Drehmoment,das auf die starre Scheibe aufgebrachtwerden kann, wenn die zulassigenSchubspannungen fur die StahlwelleτS = 120 MPa und fur die Alumin-umwelle τA = 70 MPa betragen.

ddida

lstarr

Geg.: Vollwelle aus Stahl: d = 50 mm, GS = 80 GPa, τS = 120 MPa, Hohlwelle aus Alumini-um: t = 8 mm, da = 76 mm, GA = 27 GPa, , τA = 70 MPa

98. Dargestellt ist ein Stab mit rundem Querschnitt,bei dem a nur unwesentlich großer ist als b.

(a) Bestimmen Sie das polare Flachentragheits-moment Ip.

(b) Bestimmen Sie nun den Verdrehwinkel ϕ amrechten Ende des Stabes!

M

G, l

2a 2b

99. Zwei Torsionswellen mit kreisformigem Querschnitt, die aus dem gleichen Material gefertigtwurden, sind durch Zahnrader miteinander verbunden. Die Zahnrader sind so geformt, daßes nur zu Torsionsbeanspruchungen in den Wellen kommt. Die linke Welle 1 (Radius r1) wirdmit dem Moment M1 und die rechte Welle 2 (Radius r2) mit dem Moment M2 belastet.

A

B

d1

d2

M1

M2

l1

l2

x1

x2

Welle 1

Welle 2

(a) Berechnen Sie die Torsionswiderstande fur die beiden Wellen.

(b) Zeigen Sie, daß im statischen Gleichgewicht M1 = −2M2 gilt.

(c) Bestimmen Sie die Lange l2 der rechten Welle fur den Fall, daß die Verdrehung derWellenquerschnitte in den Punkten A und B dem Betrag nach gleich groß sind. GehenSie davon aus, daß sich die Zahnrader nicht verdrehen.

(d) In welchem der beiden Querschnitte ist die Schubspannung am großten?

Geg.: r, r1 = r, r2 =√2r, d, l1 = 20d, d1 = 2d, d2 = d


100. Dargestellt ist ein Stab, der durch ein Torsionsmoment MT beansprucht wird. Als Profilesollen (A) ein Vollkreisquerschnitt und (B) ein dunnwandig geschlossener Rohrquerschnittmit denselben Abmessungen und dem gleichen Material betrachtet werden.

MT

l

G, l

��

��

��

��

A B

2R2R

t

(a) Um welchen Faktor ist das Profil (A) torsionssteifer als das Profil (B)?

(b) Berechnen Sie das Torsionsmoment MT,zul fur die zwei Profile, so daß die zulassigeSchubspannung τzul gerade nicht uberschritten wird.

(c) Wie groß ist der Verdrehwinkel ϕ infolge der Belastung durch das zulassige Torsionsmo-ment MT,zul?

(d) Stellen Sie die Schubspannungsverlaufe im Querschnitt fur die drei Profile unter Angabecharakteristischer Werte und der Richtung graphisch dar.

Geg.: MT , R = 10 cm, t = 2 mm, l = 2 m, G = 81000 N/mm2, τzul = 80 N/mm2

101.

dmt

Bei welchem Verhaltnis α = dmt

kann ein Kreisring alsdunnwandiges geschlossenes Profil auf Torsion untersuchtwerden? Ingenieurmaßig wird i.a. ein relativer Fehler von 3%akzeptiert.

Geg.: dm

102. Ein Stab mit Kreisringquerschnitt(Außenradius R, Innenradius r) istwie abgebildet eingespannt. Am an-deren Ende des Stabes ist ein starrerBalken angeschweißt, der durch zweiFedern abgestutzt wird.

Gesucht:

(a) Die maximal mogliche KraftPmax, wenn im Punkt A diezulassige Verschiebung uzul (inz-Richtung) vorgegeben ist.

(b) Ort und Betrag der maxima-len Schubspannung im Stab-querschnitt fur P = Pmax.

A

B

C

PPG

c c

x

y

z

uzul

l/2l/2

l

Gegeben: R = 10 cm, r = 5 cm, l = 2 m, c = 106 Nm−1, uzul = 2 cm, G = 8 · 1010 Nm−2,


2.3 Biegung

103. Ein Balken (Lange l, Biegesteifigkeit EI) ist wie skizziert gelagert und belastet. (Bei A ge-lenkig aber nicht verschieblich)

(a) Bestimmen Sie die Biegelinie mit Hilfeder Biegeliniendifferentialgleichung.

(b) Bestimmen Sie die Auflagerkraft im Ge-lenk A.

(c) An welcher Stelle tritt das maximal Bie-gemoment auf?

Geg.: l, q0 , EI

A B

z,w

x

q0

l

EI

104. Der skizzierte Balken ist in A und B gelenkig gelagertund wird durch eine lineare Streckenlast q(x) belastet.

(a) Berechnen Sie die Biegelinie w(x).

(b) Erklaren Sie, wie man die maximale Durchsenkungw berechnen kann!

Geg.: q1, q2, l, EI

l

x

z

A B

q1q2

q(x)

105. Der skizzierte Balken ist links fest eingespannt und wirddurch eine cosinusformige Streckenlast q(x) belastet.

(a) Berechnen Sie die Durchbiegung w(x) und skizzie-ren Sie den Verlauf.

(b) Wie groß ist die maximale Durchsenkung w?

Geg.: q0, l, EI

l

x

z

q0

q(x)

106. Der abgebildete schlanke Balken (Biegesteifigkeit EI, Lange l) ist links fest eingespannt undwird uber die gesamte Lange durch eine konstante Streckenlast q0 belastet. Zudem greifen amrechten Ende eine Einzelkraft F und ein Moment M an. Zeigen Sie, daß fur die Absenkungw und die Neigung ϕ des rechten Balkenendes gilt

w =Fl3

3EI+

Ml2

2EI+

q0l4

8EI,

ϕ =Fl2

2EI+

Ml

EI+

q0l3

6EI.

Geg.: q0, F , M , l, EI

lx

z

q0 F

M


107. Der abgebildete schlanke Balken (BiegesteifigkeitEI) ist links fest eingespannt und wird im AbschnittBA durch eine konstante Streckenlast q0 belastet.Bestimmen Sie die Absenkung des Punktes A.

Geg.: q0, l, EI ll

q0

AB

108. Das skizzierte Tragwerk ist im Bereich AG durch eine konstante Streckenlast q0 sowie in denPunkten C und B durch einzelne Krafte F belastet.

(a) Begrunden Sie die statische Be-stimmtheit des skizzierten Trag-werks.

(b) Berechnen Sie die Auflagerreak-tionen und die Gelenkkrafte.

(c) Berechnen Sie mit dem Schnitt-verfahren das Biegemoment imBereich AG.

(d) Rechnen Sie im Folgenden mitdem Biegemomentenverlauf

M(x) = −1

2q0x

2 +1

2q0lx

weiter. An welcher Stelle x imBereich AG tritt das maxima-le Biegemoment M(x) auf? Wiegroß ist dessen Betrag?

A

B

CG F

F

EI

z,w

x

q0l

l l

(e) Ausgehend von dem in (d) gegebenem Biegemoment M(x) bestimmen Sie die Biegelinieim Bereich AG.

Geg.: l, q0, EI, F

109. Der abgebildete Balken ist rechts fest eingespannt undlinks uber ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. DerBalken wird durch eine lineare Streckenlast q(x) undeine Kraft F belastet.

(a) Wie lautet die Differentialgleichung fur die Durch-senkung w(x)?

ABx

z,w

l

q0F

(b) Bestimmen Sie die allgemeine Losung der Biegeliniendifferentialgleichung fur diesen Last-fall und geben Sie die geometrischen und dynamischen Randbedingungen des Systemsan.

(c) Bestimmen Sie die unbekannten Konstanten.

(d) Bestimmen Sie den Verdrehwinkel ϕA im Lager A.

(e) Wie muss die Kraft F gewahlt werden, damit die Durchsenkung w(0) = 0 wird?

Geg.: F , E, I, q0, l,


110. Berechne bitte den Querverschiebungszustand der skizzierten Systeme durch Integration derVerschiebungsdifferentialgleichungen!

��

��

��

��

q0M0

EIl

��

��

��

��

��

q0M0

EIl

Geg.: l, q0, M0 =q02l2, EI

111. Der abgebildete schlanke Balken (Lange l, Biege-steifigkeit EI) ist links fest eingespannt und rechtsuber ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. DerBalken wird bei B durch ein Moment MB belastet.

(a) Ist der Balken statisch bestimmt gelagert?Konnen die Schnittgroßen allein aus denGleichgewichtsbedingungen gewonnen wer-den?

x

z

MB

A

B

(b) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen und den Verlauf des Biegemomentes mit Hilfe derBiegeliniendifferentialgleichung.

(c) Nutzen Sie das Superpositionsprinzip, um den Aufgabenteil (b) zu losen.

(d) Wie groß ist das maximale Biegemoment im Balken?

Geg.: MB , l, EI

112. Der abgebildete schlanke Balken (Lange l, Biegesteifigkeit EI) ist rechts fest eingespanntund links uber ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. Der Balken wird durch eine lineareStreckenlast q(x) belastet.

(a) Ist der Balken statisch bestimmt gelagert? Konnendie Schnittgroßen allein aus den Gleichgewichtsbe-dingungen gewonnen werden?

(b) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen im Lager A.

(c) Wie groß ist die Durchsenkung w(x) des Balkens?

(d) Bestimmen Sie den Verdrehwinkel ϕA im Lager A.

Geg.: q0, l, EI

l

x

z

q0

A B


113. Der abgebildete schlanke Balken (Lange l, Biege-steifigkeit EI) ist uber drei Lager gestutzt. Der Bal-ken wird uber die gesamte Lange durch eine kon-stante Streckenlast q0 belastet.

(a) Ist der Balken statisch bestimmt gelagert?Konnen die Schnittgroßen allein aus denGleichgewichtsbedingungen gewonnen wer-den?

x

z

q0

2

3l 1

3l

A B C

(b) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen mit Hilfe der Biegeliniendifferentialgleichung.

(c) Uberprufen Sie die Auflagerkraft im Punkt B, in dem Sie diese nochmals mit Hilfe desSuperpositionsprinzips berechnen.

(d) Wie groß ist die Neigung im Punkt A?

Geg.: q0, l, EI

114. Der nebenstehend skizzierte Balken sei langshomogen. Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionenin A und B!

(a) Lassen sich die Auflagerreaktionen alleine aus den Gleich-gewichtsbeziehungen bestimmen? Begrunden Sie ihreAntwort!

��

��

��

��

F

l lA B C

(b) Geben Sie stichpunktartig die Arbeitsschritte an, die zur Losung dieses Problems erfor-derlich sind! (Zwei oder drei Stichpunkte genugen.)

(c) Berechnen Sie die Losung auf dem in (b) angegebenen Weg!

Geg.: F , l, KL, KB

115. Ein schubstarrer Balken (Lange 2l, konstante Biegesteifigkeit EIy) ist an seinem linken Endefest eingespannt und im Punkt B uber ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. Der Balkenwird uber seine gesamte Lange durch eine konstante Streckenlast q0 beansprucht.

(a) Bestimmen Sie die Auflagerkraft imPunkt B.

(b) Ermitteln Sie das Biegemonent an derStelle x = 0.

(c) Wie groß ist der Neigungswinkel imPunkt B?

Geg.: l, q0, EIy = const

A Bz,w

x

l l

EIy

q0

Hinweis: Wir empfehlen, diese Aufgabe mit Hilfe des Superpositionsprinzips zu losen.


116. Geben Sie alle geometrischen und statischen Rand- und Ubergangsbedingungen des skizzier-ten Systems an!

z

x

ℓℓℓℓ

α

FM0cM

q1(x)

q2(x)

I II III IV

117. Mit dem skizzierten Radmutternkreuz wird ei-ne Radmutter mit dem Drehmoment MD an-gezogen. Das Radkreuz besteht aus Rundstahl(Durchmesser d, Materialkennwerte E und G).

(a) Bestimmen Sie die Kraft FD, mit der diebeiden Enden A und B belastet werden, umdas Drehmoment zu erzeugen. (Siehe Skiz-ze)

(b) Wie weit federn die Kraftangriffspunk-te A und B zuruck, wenn die Belastungzuruckgenommen wird?

Geg.: E,G,L, d,MD , kleine Verschiebungen

A

B

L2

L2

L2

L2

FD

FD

MD

MD

Literatur: [3]: Biegelinie: Abschnitt 4.5, Torsion: Abschnitt 5.1

118. An einem Torsionsstab (Lange (a + b) ist horizontal einHebel der Lange c angebracht. Beide sind aus dem glei-chen Rundstahl gefertigt (Durchmesser D, E, G). AmHebel wirkt senkrecht die Kraft F . Die Durchbiegung desTosionsstabes soll vernachlassigt werden, die Verschie-bungen und Drehungen sollen klein sein. Berechnen Siedie Absenkung des Kraftangriffspunktes P!

Geg.: a, b, c,D, ε, F , aus Tabellenwerk:w = F l3

3EI ��

FEI

l

w

x

y

z F

a

b

c

P


119. Fur das gegebene dunnwandige, quadratische Hohlprofilsind in Bezug auf das gegebene Koordinatensystem dieFlachentragheitsmomente zu bestimmen!

Geg.: a, δ ≪ a

a

δ

y

z

Literatur: [3]: Flachentragheitsmomente: Abschnitt 4.2

120. Die y- und z-Achse seien Hauptzentralachsendes skizzierten Flachenquerschnitts. ErmittelnSie das axiale Flachentragheitsmoment Iy mitHilfe des erweiterten Tabellenverfahrens.

Geg.: b

y

z

b

b

bb 2b 2b

2b

2b2b

S

121. Bestimmen Sie die Flachentragheitsmomente Iyy und Izz sowie das Deviationsmoment Iyz furdie gezeigten Querschnitte bzgl. der Flachenschwerpunkte.

yz

yz

t

t

3t

4t h

h

2h

h2

h2

h2

S

P b)a)

Geg.: t, h

122.

e

η η

y

z

ri

t

Berechnen Sie das Flachentragheitsmoment Iηη desRohrquerschnittes.

Geg.: ri = 49 cm, t = 2 cm, e = 20 cm


123. Bestimmen Sie fur das dargestellte gleichseitige Dreieck dasFlachentragheitsmoment Iyy mittels Integration.

Geg.: a Sy

z

a

124. Das abgebildete Maschinenteil (Querschnitt wie abgebildet) ist in den Endpunkten A und Dgelenkig gelagert und wird in den Punkten B und C durch Einzelkrafte belastet.

x

y

zz

aa

b

c

l

t

t

FF

A B C D

(a) Bestimmen Sie den Verlauf des Biegemomentes im Balken AD. An welcher Stelle ist dasBiegemoment am großten?

(b) Berechnen Sie den Flachenschwerpunkt der Querschnittsflache. Anmerkung: Der Ur-sprung des eingezeichnete Koordinatensystem liegt im Flachenschwerpunkt der Quer-schnittsflache.

(c) Berechnen Sie das Flachentragheitsmoment Iyy.

(d) Wie groß sind die maximale Zug- und Druckspannung in dem Maschinenteil?

Geg.: F = 15 kN, a = 250 mm, l = 875 mm, t = 12 mm, b = 100 mm, c = 75 mm

Literatur: Schnittlasten im geraden Balken: [1] Abs. 7.2; Flachenschwerpunkt: [1] Abs. 4.3;Flachentragheitsmoment: [3] Abs. 4.2; Normalspannungen: [3] Abs. 4.4

125. Der abgebildete schlanke Balken (Querschnitt wie abgebildet) ist links fest eingespannt undwird bei B durch ein Moment M belastet. Die maximal zulassige Normalspannung sei σzul =100 MPa. Wie groß darf das angelegte Biegemoment maximal sein, damit nirgends diezulassige Normalspannung uberschritten wird?

x

yz

z

h

b

t

M

A

B

Geg.: b = 80 mm, h = 120 mm, t = 8 mm, σzul = 100 MPa


126. Ein Stahltrager liegt auf zwei Steinwanden mit dem Abstand l auf und wird in der Mittedurch ein Gewicht mit der Kraft G belastet.

Der Stahltrager ist aus drei gleichen Flachstahlbandern zu einem I-Profil zusammengeschweißt.Die Flachstahlbander haben einen rechteckigen Querschnitt mit den Kantenlangen b und h(h > b).

(a) Bestimmen Sie das Biegemoment an derKrafteinleitungsstelle in der Mitte desStahltragers.

(b) Berechnen Sie die maximale Normal-spannung in diesem Querschnitt (an derKrafteinleitungsstelle). Benutzen Sie I =1

2bh3 als Naherung fur das Flachentrag-

heitsmoment. Verwenden Sie nicht das

exakte Flachentragheitsmoment!

(c) Zeigen Sie, daß das maximale Biegemo-ment in der Mitte des Stahltragers auf-tritt.

(d) Zeigen Sie, daß das tatsachliche Flachen-tragheitsmoment Iexakt großer ist als dieNaherung I = 1

2bh3.

Geg.: l, b, h, G

127. Das abgebildete Maschinenteil (Querschnitt wie abgebildet) ist in den Endpunkten A und Dgelenkig gelagert und wird in den Punkten B und C durch Einzelkrafte belastet. Wie großsind die maximale Zug- und Druckspannung in dem Maschinenteil?

x y

z

zaa

b

b

l

t

tFF

A B C D

Anmerkung: Der Ursprung des eingezeichneten Koordinatensystems liegt im Flachenschwerpunktder Querschnittsflache. Bei der Berechnung des Flachentragheitsmomentes Iy durfen Sie(naherungsweise) von t ≪ b ausgehen.

Geg.: F , a, l, t, b

Literatur: Schnittlasten im geraden Balken: [1] Abs. 7.2; Flachentragheitsmoment: [3] Abs.4.2; Normalspannungen: [3] Abs. 4.4


128. Fur einen belasteten Balken der Lange l hat man folgende Schnittla-sten ermittelt:

N(x) =N0x

l, My(x) =

q02(lx− x2) .

Berechnen Sie die maximale Normalspannung σmax im Balken. Anwelcher Stelle (x0, z0) tritt sie auf?

Hinweis: Das eingezeichnete Koordinatensystem hat seinen Ursprungim Flachenschwerpunkt der Querschnittsflache.

Geg.: q0 = 10Ncm−1, N0 = 100 kN, l = 8m, t = 1cm, h = 10 cm,s = (4h− t)/10

xy

z

h

h

h2

s

t

t

t

129. Das Modell eines Tragflugelholms besteht aus einem einseitig fest eingespannten Balken derLange l. Der Tragflugelholm wird durch eine konstante Streckenlast q0, die aus den Luftkraftenund dem Eigengewicht resultiert, belastet. Der Balken hat eine rechteckige QuerschnittsflacheA = bh. Die Balkenhohe h ist eine Funktion der Langskoordinate x. Das Material sei isotrop.

(a) Bestimmen Sie den Ver-lauf der Balkenhohe h,so daß der maximale Be-trag der Langsspannungσmax uber die gesam-te Lange des Balkenskonstant und gleich derzulassigen Spannung σzulist.

(b) Berechnen Sie fur diesenFall die Biegelinie w(x).

Geg.: q0, l, E, b, σzul

l

q0

x y

z

z

b

h

130.

bb

h0 4h0

a3ax1 x2

FBestimmen Sie die maximale Span-nung σ(x) in jedem Querschnitt x undstellen Sie diese graphisch dar!

Wie groß ist die maximale Normalspan-nung?

Geg.: b, h0, a, F


2.4 Hauptspannungsberechnung, Mohrscher Spannungskreis

131. Fur die gegebenen Spannungszustande S = σijeiej berechne man die Hauptspannungen σI ,σII , σIII .

(a) σij = σ0

11

2

−9√3

23√3

−9√3

2

29

2−9

3√3 −9 7

(b) σij = σ0

2 5 05 2 00 0 0

Gegeben: σ0

Literatur: [3] Abs. 2.1 und 2.2: Spannungsvektor, -tensor, Koordinatentransformation,Mohrscher Spannungskreis

132. Fur die gegebenen Spannungszustande S = σijeiej berechne man die Hauptspannungen σI ,σII , σIII .

(a) σij =

0 τ0 0τ0 0 00 0 0

(b) σij =

σ0 0 τ00 0 0τ0 0 0

(c) σij =

σ0 0 00 0 00 0 0

(d) σij =

p0 0 00 p0 00 0 p0

Gegeben: σ0, τ0, p0

133. Gegeben sei der Spannungstensor S bezuglich einer kartesischen Basis durch

S = σ0

−1

4

3√3

40

3√3

4

5

40

0 0 0

eiej

(a) Um welche Art eines Spannungszustandes handelt es sich hierbei?

(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Tensors S.

(c) Stellen Sie S bezuglich seiner Hauptachsen dar.

(d) Geben Sie den Spannungsvektor σn(ϕ) an, der sich fur eine beliebige Schnittrichtung ϕaus diesem Spannungszustand ergibt.

(e) Unter welchem Winkel ϕ treten die maximalen Normalspannungen auf und wie großsind sie?

(f) Zeichnen Sie den Mohrschen Spannungskreis.

Gegeben: σ0


134. Ein dreieckiges Blech ist an einen horizontalenTrager angeschweißt und wird durch die uber die je-weilige Querschnittsflache konstanten Normalspan-nungen σx = σ0 und σy = −σ0 belastet. Die Geo-metrie der Anordnung wird u.a. durch den Winkelϕ = 15◦ charakterisiert.

σ0

σ0

ϕ

y

x

(a) Zeichnen Sie den Mohrschen Kreis und lesen Sie aus diesem die Normal- und Schub-spannung in der Schweißnaht ab.

(b) Schneiden Sie nun das Dreieckselement von der Schweißnaht frei und werten Sie dasKraftegleichgewicht am Element aus. Verifizieren Sie die Ergebnisse aus Aufgabenteil(a)

Geg.: σ0, ϕ = 15◦

135. Gegeben ist der ebene Spannungszustand σxx = 7 N

mm2 , σyy = 1 N

mm2 und τxy = 4 N

mm2 imx, y-Koordinatensystem.

(a) Bestimmen Sie die Hauptspannungen σ1 und σ2.

(b) Wie groß ist die maximale Schubspannung τmax?

(c) Skizzieren Sie den Mohrschen Spannungskreis fur diesen Spannungszustand und kenn-zeichnen Sie σxx, σyy, τxy, σ1 und σ2.

(d) Bestimmen Sie die Normalspannungen σξξ und σηη und die Schubspannung τξη fur dasum ϕ = 45◦ gegenuber dem x, y-System um die z-Achse gedrehte ξ, η-Koordinatensystemund zeichnen Sie auch diese in den Mohrkreis ein.

136. Der Spannungszustand an einem Punkt in einer dunnenStahlplatte ist nebenstehend abgebildet. Bestimmen Sie

(a) die Hauptrichtungen und Hauptspannungen,

(b) die maximale Schubspannung und

(c) die Spannungskomponenten fur ein Element, das ausdem abgebildeten durch Drehung um 30◦ entgegen demUhrzeigersinn entsteht.

100 MPa

60 MPa

48 MPa

y

x

Literatur: [3] Abs. 2.1 und 2.2: Spannungsvektor, -tensor, Koordinatentransformation,Mohrscher Spannungskreis

137. Der untersuchte ebene Spannungszustand besteht aus einerNormalspannung σ0 = 100 MPa in Richtung der x-Achseund einer noch unbekannten Schubspannung τ0.

(a) Bestimmen Sie den Betrag der Schubspannung τ0, sodaß die großte Normalspannung 100 MPa betragt.

(b) Wie groß ist nun die maximale Schubspannung?

σ0

τ0

y

x


138. Der dargestellte Scheibenausschnitt steht unter der Wirkungder eingezeichneten Spannungen. Leite in diesem allgemei-nen Fall die Gleichungen fur den MOHRschen Spannungs-kreis her!

(a) Fordere das Kraftegleichgewicht in x- und y-Richtungund bestimme daraus moglichst einfache Gleichungenfur σ und τ ! Benutze Additionstheoreme!

(b) Erzeuge durch Quadrieren und Addieren der Gleichun-gen eine Kreisgleichung!

(c) Identifiziere den Mittelpunkt, den Radius, die maxi-male Schubspannung und die Hauptnormalspannun-gen!

στ

ϕσxx

σyy

τxy

τxyx, ex

y, ey

139. Ein dunnwandiges Rohr mit dem Außendurchmesser d, das aus einem wendelformig gewickel-ten und verschweißten Stahlband der Breite b gefertigt ist, dient zum Ubertragen eines Torsi-onsmomentes und einer axialen Druckkraft. In einem Schnitt senkrecht zur Rohrachse tretendabei die Druckspannung σD und die Schubspannung τ auf.

σD

σDτ

τ(a) Bei welchem Verhaltnis σD/τ wird die Schweiß-

naht nicht auf Schub beansprucht?

(b) Wie groß sind im Fall (a) die Normalspannun-gen in der Schweißnaht?

Geg.: d = 240 mm, b = 360 mm, σD = 4000 N/mm2

140. Die dargestellte rechteckige Scheibe befindetsich in einem ebenen (sog. zweiachsigen) Span-nungszustand. Sie ist durch die Normalspan-nungen σxx = −5 N/m2 und σyy = 21 N/m2

belastet.

(a) Konstruiere den Mohrschen Kreis furdiesen Spannungszustand! Bestimmegrafisch und rechnerisch die Normal-und Schubspannung fur ϕ = 60◦!

(b) Wie groß ist die maximale Schubspan-nung τmax und der zugehorige Winkel?

σ

τxy

τxy

τxy

τxy

τxy

τxy

τ

ϕϕσxxσxx

σyyσyy

σyyx, ex

y, ey

(c) Wie groß sind die Hauptnormalspannungen σmin und σmax und die zugehorigen Winkel?

(d) Wiederhole (a) bis (c) fur den Fall, dass die Scheibe zusatzlich durch eine Schubspannungτxy = 10 N/m2 belastet wird!


141. Der ebene Spannungszustand imPunkt P der Oberflache eines Flug-zeugrumpfes wird durch das gezeig-te Flachenelement eindeutig charak-terisiert.

(a) Ermitteln Sie die maxima-len Schubspannungen τmax imPunkt P .

P

ϕ

y

x

1

2σ0

σ0

3

4

√3σ0

(b) Wie groß sind die Hauptspannungen und unter welchen Winkeln ϕ∗i treten diese auf?

(c) Zeichnen Sie den Mohrschen Spannungskreis und markieren Sie die oben berechnetencharakteristischen Werte (Achsenbeschriftungen nicht vergessen).

Geg.: σ0,3

4

√3 ≈ 1, 3

142. Gegeben ist ein dunnwandiger Zylinder (RadiusR, Lange L, Wand-dicke t). Durch den im Inneren herrschenden Uberdruck p entste-hen Umfangs- und Langsspannungen in der Hulle.

Geg.: t = 10−3 m, p = 0, 2 106 Pa und R = 0, 5 m

(a) Bestimme die Langsspannungen σxx und die Umfangsspan-nungen σyy durch Freischnitt und mithilfe der Gleichge-wichtsbedingungen!

R

p

l

(b) Konstruiere den Mohrschen Kreis!

(c) Bestimme grafisch und rechnerisch die Normal- und Schubspannungen fur ϕ = 60◦!

(d) Wie groß ist die maximale Schubspannung τmax und der zugehorige Winkel?

143. In einem Zahnradgetriebe soll die skizzierte Welle (Durchmesser d) dimensioniert werden,hier nur der Querschnitt bei x = 0. Das Getriebe ubertragt die Leistung P , die Welle drehtdabei mit der Drehzahl N .

(a) Bestimme die Schnittmomente (Biege- und Torsi-onsmoment) im Querschnitt x = 0.

(b) Bestimme die max. Biege- und Torsionsspannun-gen in diesem Querschnitt.

(c) Bestimme daraus die maximale Normalspannungund die maximale Schubspannung (unabhangigvom Schnittwinkel) mit Hilfe des MohrschenSpannungskreises. (Prinzipskizze)

(d) Bestimme die v. Misessche Vergleichsspannung.

Geg.: L, R, P , N , d

x

yz

R

L

Annahmen: Die Krafte zwischen den Zahnradern wirken nur in tangentialer Richtung. DieSchubspannungen, die sich aus der Querkraft in der Welle ergeben, sollen vernachlassigtwerden.


144. Eine Welle ist wie skizziert gelagert unddurch die Krafte Fa und Fb sowie Torsions-momente MT an den Enden belastet. Dermittlere Abschnitt zwischen den Lagern (0 <x < c) soll dimensioniert, also der erforderli-che DurchmesserD bestimmt werden. In die-sem Bereich betragt das Biegemoment:

x

z

a bcFaFb

MTMT

Mb(x) = aFa

(x

c− 1

)

− bFbx

c

(a) Der Querschnitt x mit dem betragsmaßig großten Biegemoment Mb = M(x) ist fur dieDimensionierung der Welle maßgeblich. Bestimmen Sie x und Mb. (Beachten Sie dieAngaben zu den gegebenen Großen unten.)

(b) Wie groß sind das axiale und das polare Flachentragheitsmoment Iy und Ip eines (Vollkreis-) Wellenquerschnitts mit dem Durchmesser D?

(c) Bestimmen Sie in Abhangigkeit vom noch zu bestimmenden Durchmesser D der Welledie maximale Normalspannung σxx (Zug) sowie die maximale Schubspannung τxy imQuerschnitt x. (D kann in diesem Aufgabenteil als gegebene Große angesehen werden.)

(d) Die großte Hauptspannung σ1 darf nicht großer als die maximal zulassige Normal-spannung σzul sein. Bestimmen Sie den dazu erforderlichen Wellendurchmesser D. (ZurHauptspannungsberechnung kann der Mohrsche Spannungskreis skizziert werden unddaraus eine geeignete Formel abgelesen werden.)

Geg.: a, b, c, Fa, Fb, MT , E, σzul, a < b, Fa < Fb

145. Mit dem skizzierten Radmutternkreuz wird eine Radmutter mit dem Drehmoment MD an-gezogen. Das Radkreuz besteht aus Rundstahl (Durchmesser d, Materialkennwerte E undG).

(a) Bestimmen Sie die Schub- und Normal-spannungen im Querschnitt C (an derNuß) fur den Fall, daß an beiden Enden Aund B mit (betragsmaßig) gleicher Kraftgedruckt wird (FA = FB). Nehmen Sie da-bei das Anzugsmoment MD als gegebenan.

(b) Welches Moment MD,b kann auf diese Wei-se auf die Radmutter ubertragen werden,ohne daß (bei C) die max. zulassige Schub-spannung τzul uberschritten wird?

(c) Jetzt soll nur einseitig gedruckt wer-den (FA = 0). Bestimmen Sie furdiesen Fall das maximal mogliche An-zugsmoment MD,c so, daß (bei C) diemax. zulassige Schubspannung τzul nichtuberschritten wird.

A

B

C

L2

L2

L2

L2

FA

FB

MD

MD

Geg.: E,G,L, d, τzul, kleine Verschiebungen

Achtung: Es entsteht moglicherweise ein zweiachsiger Spannungszustand. Die Schubspannunginfolge der Querkraft soll vernachlassigt werden.


2.5 Stabilitat, Knickung

146. Der dargestellte Balken ist aus zweiAbschnitten unterschiedlicher Bie-gesteifigkeiten zusammengesetzt.Bestimme die kritische Last!

2EI EIF

l/2l/2

Literatur: [3] Abs. 7.2 Der Euler-Stab

147. Zwei gleiche homogene Stabe sind uber ein Gelenk und eine Torsions-feder (Steifigkeit c) verbunden. Samtliche Lager und Gelenke seien rei-bungsfrei. Bei ϕ = 0 ist die Feder spannungsfrei. Bestimmt werden solldie mindestens erforderliche Federsteifigkeit c, bei der die Ausgangslageϕ = 0 stabil ist.

(a) Stelle das Momentengleichgewicht fur das System aus beidenStaben bezuglich des unteren Gelenkes auf und gewinne daraus dieseitliche Kraft auf die obere Fuhrung. Das System soll sich dabeiin einer ausgelenkten Lage (ϕ 6= 0) befinden.

(b) Schneide nun den oberen Stab in derselben Lage frei und stelle dasMomentengleichgewicht bezuglich des mittleren Gelenks auf!

(c) Fur kleine Auslenkungen aus der Ausgangslage (ϕ ≪ 1) kann li-nearisiert werden. Die entstehende Gleichung hat eine von ϕ un-abhangige Losung, aus der sich die kritische Federsteifigkeit be-stimmen laßt.

Geg.: m, l, g

Literatur: Mit Hilfe der Gleichgewichtsbeziehungen: [2] Abs. 5.2.1”1) Die Gleichgewichts-

methode“; mit Hilfe von Arbeits- oder Energieausdrucken: [1] Abs. 8.5 oder [3] Abs. 7.1:Stabilitat einer Gleichgewichtslage, zur Gegenuberstellung siehe auch [2] Abs. 5.2.1 1) und 2)

148. Ein stehendes Pendel mit der Endmasse m wird mit Hilfe vonzwei Federn c und cT gehalten.

(a) Bestimme die Gleichgewichtslagen!

(b) Bestimme l1 = l1,krit so, daß das Gleichgewicht bei ϕ = 0ein indifferentes ist.

Geg.: l, m, c = mgl, cT = 1

2mgl

149. Fur den auf Druck beanspruchten elastischen Stab sinddie Knickbedingung und die kritische Last zu bestimmen.

Geg.: l, EI, F

��

��

��

��EI

F

x

l


150. Ein Balken der Biegesteifigkeit EI und der Lange lwerde auf verschiedene Arten gelagert.

(a) Berechne die kritischen Lasten Fkrit fur die Va-rianten A bis C!

(b) Wie musste das Verhaltnis der BalkenlangenlA/lB gewahlt werden, damit fur A und B die-selbe kritische Last berechnet wird?

FFF

A B C

c

Literatur: [3] Abs. 7.2 Der Euler-Stab

151. Fur den auf Druck beanspruchten elastischen Stabsind die Knickbedingung und die kritische Last zu be-stimmen. Die Federn sind in der dargestellten Lagespannungsfrei.

Geg.: l, EI, c, F��

��

��

��

EI

F

c cc

l

152. Ein Stab ist unten fest eingespannt und zusatzlich in der Mittedurch eine feste Buchse gefuhrt.

(a) Wie lautet die Eulersche Differentialgleichung fur den Knick-stab?

(b) Berechnen Sie die kritische Knicklast in beiden Bereichen!

(c) In welchem Bereich wird der Stab zuerst ausgelenkt?

Geg.: F ,E, I, l

Hinweis: Die allgemeine Losung der Eulersche Differentialglei-chung lautet:

w(x) = A cos λx+B sinλx+ Cλx+D

F

x1

x2

ll

153. Gegeben sei das wie skizziert gelagerte und belastete System.

(a) Formulieren Sie die Rand- undUbergangsbedingungen fur das System.

(b) Stellen Sie die charakteristische Glei-chung zur Berechnung der kritischen Lastauf. (Die Determinante muss nicht be-rechnet werden.)

Geg.: ℓ, EI, c, F

EIEI

ℓℓ

Fc

x

z


154. Das durch das Festlager A unddas Loslager B gelagerte Fachwerkwird durch die Kraft F belastet.Das Fachwerk besteht dabei ausStaben der Biegesteifigkeit EI.

(a) Ermitteln Sie alle Lagerre-aktionen.

(b) Benennen Sie die offen-sichtlichen Nullstabe undbestimmen Sie die Stab-krafte in den verbleibendenStaben.

1 2 3

45 6

7 8 9

10 11A

B

I II III IV

V V I V II

F

aaa

a

(c) Welcher Stab wurde bei dieser Anordnung zuerst ausknicken, und wie groß darf die KraftF maximal werden, damit es nicht zum Ausknicken dieses Stabes kommt?

Geg.: F , EI, a

155. Der skizzierte Stab wird bei der Temperatur T1 span-nungsfrei eingebaut. Nun wird der Stab gleichformig aufdie Temperatur T2 erwarmt.

l

EI,As, αT

z, w

x

(a) Wie lautet die Differentialgleichung fur das Knickproblem (Knickgleichung)?

(b) Berechnen Sie die aus der Temperaturerhohung resultierende Kraft F .

(c) Bestimmen Sie die kritische Knicklast Fkrit.

(d) Bestimmen Sie die Temperatur T2, bei der der Stab knickt.

Gegeben:E, I, Querschnittsflache: As, Warmeausdehnungskoeffizient: αT , T1.

Literatur: [3] Abs. 7.2 Der Euler-Stab, Abs. 1.3 Stoffgesetz mit Temperaturdehnung

156. Der dargestellte Balken der Lange ℓ ist mit einer Normalkraft F > 0 belastet. Es soll dasKnickproblem untersucht werden. In der gezeichneten Ausgangslage ist die Feder entspannt.

(a) Ermitteln sie alle erforderlichen Randbedin-gungen.

(b) Stellen sie das Gleichungssystem zur Berech-nung der Konstanten auf und bestimmen siedie Eigenwertgleichung.

(c) Wie lautet die kritische Last Fkrit fur denFall, dass die Feder unendlich weich ist?

Geg.: ℓ, EI, F , k

F

x

k

ℓ

1

1

2

34

5

7

8

9

2

10

1312

11

1415

1617

3

19

18

2120

22

24

23

4

2625

27

28

31

29

30

Vorwort · 2016. 10. 11. · Geben Sie die Kr¨afte in den Seilen in vektorieller Form an....

Documents

Transcript of Vorwort · 2016. 10. 11. · Geben Sie die Kr¨afte in den Seilen in vektorieller Form an....