Universitat StuttgartFachbereich MathematikPD Dr. Dull, Wolf-Patrick,Dr. A. Lalegname, Dipl.-Math. R. Bauer

Mathematik II fur Informatiker

und Softwaretechniker

SS 2014

Ferienblatt

Aufgabe 1 (schriftliche Aufgabe - 10 Punkte)

i) Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (an)n∈N

auf Konvergenz und berechnenSie gegebenfalls ihre Grenzwerte:

a) an=

n2 + n + 1

n3 + 4n2 + 5s, b) a

n=

2n−√n

(√n+ 1)2

, c) an=

7n−√n3

n+√n

,

d) an= (−1)n +

n

2 + n3, e) a

n=

2n + 3n

3n + n5, f) a

n= n(

√n4 + 8n−

√n4 + 5),

g) an= 1 +

(

1

1000

)

n

, h) an=

(

1 +1

1000

)

n

.

ii) Bestimmen Sie alle Haufungspunkte sowie Limes superior und Limes inferior derFolge (b

n)n∈N mit

∀n ∈ N : bn=

n

n+ 1((−1)n + 1) .

Aufgabe 2 (Folgen und Konvergenz)

Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (an)n∈N

auf Konvergenz und berechnen Siegegebenfalls ihre Grenzwerte:

a) an=

n2 − 1√n(n2 + 1)

, b) an=

3n2 − 4n+ (−1)n

(2n−√n)3 − 4

+ i

(

2n4 − n3

1 + n4+

n− 2

n+ 4

)3

4

,

c) an=

n2

2n, d) a

n= (−1)n

1

n+ in

(

1−(

1− 1

n

)1

4

)

,

e) an=

(

n+ 3

2n− 1

)

n

, f) an=

(

n− 2

n+ 3

)2n+3

,

g) an=

(

1− 1

n2

)

n2

, h) an=

(

1 +1

n

)

n2

,

i) an=

(

1− 1

n2

)

n

, j) an=

(

1 +1

n2

)

n

.

1 Termin: 14./15.04.2014, Abgabetermin 14./15.04.2014

Aufgabe 3 (Haufungspunkte, limes superior, limes inferior, rekursive Folgen)

i) Bestimmen Sie alle Haufungspunkte der folgenden Folgen und, falls existent, denLimes superior und Limes inferior:

a) an= sin

(πn

4

)

+1

n, b) a

n= in.

ii) Die Folgen (xn)n∈N und (y

n)n∈N seien wie folgt rekursiv definiert:

a) x1 = 7, xn+1 =

√7 + 2x

nfur n ≥ 1,

b) y1 = 1, yn+1 =

n2 + 4n+ 1

n3 + 8yn

fur n ≥ 1.

Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls denGrenzwert.

Aufgabe 4 (Beweisaufgabe)

Seien (an)n∈N, (bn)n∈N sowie (c

n)n∈N reellwertige Folgen. Beweisen Sie: Gibt es ein n0 ∈ N,

so dass fur n ≥ n0 die Ungleichung |cn| ≤ |a

n| · |b

n| gilt und ist (a

n)n∈N eine beschrankte

Folge und (bn)n∈N eine Nullfolge, dann ist (c

n)n∈N eine Nullfolge.

2 Termin: 14./15.04.2014, Abgabetermin 14./15.04.2014