Mathe I Ferienblatt
-
Upload
james-barnes -
Category
Documents
-
view
10 -
download
0
Transcript of Mathe I Ferienblatt
Universitat StuttgartFachbereich MathematikPD Dr. Dull, Wolf-Patrick,Dr. A. Lalegname, Dipl.-Math. R. Bauer
Mathematik II fur Informatiker
und Softwaretechniker
SS 2014
Ferienblatt
Aufgabe 1 (schriftliche Aufgabe - 10 Punkte)
i) Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (an)n∈N
auf Konvergenz und berechnenSie gegebenfalls ihre Grenzwerte:
a) an=
n2 + n + 1
n3 + 4n2 + 5s, b) a
n=
2n−√n
(√n+ 1)2
, c) an=
7n−√n3
n+√n
,
d) an= (−1)n +
n
2 + n3, e) a
n=
2n + 3n
3n + n5, f) a
n= n(
√n4 + 8n−
√n4 + 5),
g) an= 1 +
(
1
1000
)
n
, h) an=
(
1 +1
1000
)
n
.
ii) Bestimmen Sie alle Haufungspunkte sowie Limes superior und Limes inferior derFolge (b
n)n∈N mit
∀n ∈ N : bn=
n
n+ 1((−1)n + 1) .
Aufgabe 2 (Folgen und Konvergenz)
Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (an)n∈N
auf Konvergenz und berechnen Siegegebenfalls ihre Grenzwerte:
a) an=
n2 − 1√n(n2 + 1)
, b) an=
3n2 − 4n+ (−1)n
(2n−√n)3 − 4
+ i
(
2n4 − n3
1 + n4+
n− 2
n+ 4
)3
4
,
c) an=
n2
2n, d) a
n= (−1)n
1
n+ in
(
1−(
1− 1
n
)1
4
)
,
e) an=
(
n+ 3
2n− 1
)
n
, f) an=
(
n− 2
n+ 3
)2n+3
,
g) an=
(
1− 1
n2
)
n2
, h) an=
(
1 +1
n
)
n2
,
i) an=
(
1− 1
n2
)
n
, j) an=
(
1 +1
n2
)
n
.
1 Termin: 14./15.04.2014, Abgabetermin 14./15.04.2014
Aufgabe 3 (Haufungspunkte, limes superior, limes inferior, rekursive Folgen)
i) Bestimmen Sie alle Haufungspunkte der folgenden Folgen und, falls existent, denLimes superior und Limes inferior:
a) an= sin
(πn
4
)
+1
n, b) a
n= in.
ii) Die Folgen (xn)n∈N und (y
n)n∈N seien wie folgt rekursiv definiert:
a) x1 = 7, xn+1 =
√7 + 2x
nfur n ≥ 1,
b) y1 = 1, yn+1 =
n2 + 4n+ 1
n3 + 8yn
fur n ≥ 1.
Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls denGrenzwert.
Aufgabe 4 (Beweisaufgabe)
Seien (an)n∈N, (bn)n∈N sowie (c
n)n∈N reellwertige Folgen. Beweisen Sie: Gibt es ein n0 ∈ N,
so dass fur n ≥ n0 die Ungleichung |cn| ≤ |a
n| · |b
n| gilt und ist (a
n)n∈N eine beschrankte
Folge und (bn)n∈N eine Nullfolge, dann ist (c
n)n∈N eine Nullfolge.
2 Termin: 14./15.04.2014, Abgabetermin 14./15.04.2014