Post on 05-Apr-2015
1(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Finite Elemente MethodenbgFEM
Pflichtwahlfach BuG/I
HS09
Hermann Knoll
2(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Tragwerkstypen
Eindimensionaler Spannungszustand
3(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Tragwerkstypen
Zweidimensionaler Spannungszustand
4(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Tragwerkstypen
Dreidimensionaler Spannungszustand
5(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Bedeutung der Symbole
• x, y, z Koordinaten
• u, v, w Verschiebungen x, y, xy, ... Dehnungen
x, y, z Normalspannungen
xy, xz, yz Schubspannungen
• E Elastizitätsmodul
• G Torsionsmodul, Schubmodul
6(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Zustandsgrössen
• Verschiebungsgrössen (u, v, ...)
• Verzerrungsgrössen– Dehnungen (, , ...)
– Krümmungen
• Kraftgrössen (F, M, ...)
• Spannungen (, , m, ...)
7(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Grundgleichungen
• Gleichgewichtsbedingungen
• kinematische Bedingungen(Verträglichkeit der Verzerrungen mit den Verschiebungsgrössen)
• Materialgesetz (z.B. Hooke'sches Gesetz)
• Randbedingungen: Auflager, äussere Lasten
8(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe
9(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Vorzeichendefinition der Spannungen
Positive Spannungen zeigen an einem positiven Schnittufer in die positive Koordinatenrichtung.
Das Schnittufer, dessen Normalvektor in die positive Koordinatenrichtung zeigt, heisst positives Schnittufer.
10(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Verzerrung und Verschiebung
Die Verzerrungen lassen sich aus den Verschiebungen durch Differenzieren ermitteln.
Beim Stab gilt:
€
x =du
dx
11(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
und bei der Scheibe
€
x =∂u
∂x
εy =∂v
∂y
γ xy =∂u
∂y+
∂v
∂x
12(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe
= L • u€
x
εy
γ xy
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟=
∂
∂x0
0∂
∂y∂
∂y
∂
∂x
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⋅u
v
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
13(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Spannungen
• Fachwerkstab • Scheibe
€
i =N i
Ai
τ ij =Qij
Aij
14(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Verzerrungen
• Fachwerkstab
Dehnung
• Scheibe
Dehnungen
€
=du
dx
€
x
εy
γ xy
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟=
∂
∂x0
0∂
∂y∂
∂y
∂
∂x
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⋅u
v
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
15(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Hooke'sches Gesetz
• Fachwerkstab
E = Eleasitzitästmodul
• Scheibe (isotropes Material)
µ = Querdehnzahl€
x = E ⋅εx
€
x
σ y
τ xy
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟=
E
1−μ 2
1 μ 0
μ 1 0
0 01−μ
2
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⋅
εx
εy
γ xy
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
16(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Materialgesetze
Das Hooke'sche Gesetz ist ein Materialgesetz, welches im 1-dimensionalen Fall gültig ist.
Im 2-dimsensionalen Fall gibt es verschiedene Verhältnisse, je nachdem, ob das Material isotrop oder anisotrop ist. Die vorgängigen Gleichungen gelten für isotrope Materialien.
isotrop = in verschiedene Richtungengleichförmig strukturiert
17(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen
Wenn sich ein Körper im Gleichgewicht befindet, ist für beliebige, infinitesimal kleine, virtuell auf den Körper einwirkende Verschiebungen, die die Auflagerbedingungen erfüllen, die gesamte innere virtuelle Arbeit gleich der äusseren virtuellen Arbeit.
18(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Virtuelle Verschiebung
Eine virtuelle Verschiebung ist eine kleine, fiktive Verschiebung, die man zusätzlich zu den tatsächlichen Verschiebungen annimmt.
19(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Virtuelle innere Arbeit im infinitesimalen Element
• Fachwerkstab
20(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Virtuelle innere Arbeit
Die virtuelle innere Arbeit ist diejenige Arbeit, die die wirklichen inneren Kräfte leisten würden, wenn der virtuelle Verschiebungszustand aufgebracht würde.
€
Für den Fachwerkstab gilt :
dW i = Kraft ⋅differentielle virtuelle Verschiebung = σ x ⋅A( ) ⋅ ε xdx( )
Virtuelle Arbeit im gesamten System :
W i = A ⋅∫ ε x ⋅σ x ⋅dx
21(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe
22(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Scheibe
€
dW i = t ⋅σ x ⋅ε x ⋅dx ⋅dy + t ⋅σ y ⋅ε y ⋅dx ⋅dy + t ⋅τ xy ⋅ γ1 + γ 2( ) ⋅dx ⋅dy =
= t ⋅ σ x ⋅ε x + σ y ⋅ε y + τ xy ⋅γ xy( ) ⋅dx ⋅dy
W i = t ⋅ ε x ε y γ xy[ ]∫ ⋅
σ x
σ y
τ xy
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥⋅dxdy
23(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Gleichgewichtsbedingung
Virtuelle innere und virtuelle äussere Arbeit müssen gleich sein:
€
W i = W a
24(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Arbeit
Arbeit = Kraft x Weg
W = F • s = s • F
25(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Virtuelle äussere Arbeit
Die virtuelle äussere Arbeit ist diejenige Arbeit, die die wirklichen äusseren Kräfte leisten würden, wenn der virtuelle Verschiebungszustand zusätzlich zu den wirklichen Lasten auf das System aufgebracht würde.
€
W a = u1 ⋅F1 + u2 ⋅F2 + u3 ⋅F3 + ... bzw.
W a = u1 u2 u3 ...[ ] ⋅
F1
F2
F3
...
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
€
W a = uT⋅F
26(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Prinzip der virtuellen Kräfte
Bringt man auf einen Körper infinitesimal kleine, virtuelle Kräfte (Spannungen) auf, so ist die äussere virtuelle Arbeit gleich der gesamten inneren virtuellen Arbeit.
27(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Typischer Verlauf einer FE-Berechnung
Vorlauf– Festlegen des Modelltyps
– Erzeugen bzw. Einlesen der Geometrie der Struktur
– Bereitstellen der Materialdaten
– Vernetzen der Struktur
28(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Typischer Verlauf einer FE-Berechnung
Aufbau und Lösen des FE-Systems– Berechnen der Elementsteifigkeitsbeziehungen
– Zusammenbau zur Systembeziehung
– Einarbeiten der Randbedingungen
– Lösen des Gleichungssystems
– Berechnen der unbekannten Verschiebungen
29(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Typischer Verlauf einer FE-Berechnung
Nachlauf– Berechnen der Dehnungen und Spannungen in den
Elementen
– Mitteln von Spannungsgrössen und graphische Darstellung
– Ergebnisauswertung